Overview
Ce cours porte sur l'intégration, notamment les théorèmes d'interversion limite-intégrale, l'étude d'intégrales à paramètre, la continuité/ dérivation sous le signe intégral et l'intégration terme à terme des séries de fonctions.
Remarques préliminaires sur l'intégrale
- L'intégrale est définie pour les fonctions continues par morceaux (construction Riemann).
- "Intégrable sur un intervalle" sous-entend "continue par morceaux" mais ce ne sera pas toujours explicitement mentionné.
I. Théorème de convergence dominée (Lebesgue)
- Permet d'intervertir limite et intégrale sous hypothèses de convergence simple et domination par une fonction intégrable.
- Si (fn) converge simplement vers f et |fn(x)| ≤ φ(x) (φ intégrable), alors ∫fn → ∫f.
- Hypothèse de domination essentielle ; la continuité par morceaux souvent implicite en pratique.
- Exemple : limₙ ∫₀^{2π} cos(n x) dx = 0, grâce à la domination par 1.
II. Intégrales dépendant d'un paramètre
Définition et vocabulaire
- Soit f(x, t) une fonction à deux variables ; pour chaque x, g(x) = ∫_I f(x, t) dt.
- x est le paramètre, t la variable d'intégration._
Exemples classiques
- Fonction gamma : Γ(x) = ∫₀^{+∞} t^{x-1} e^{-t} dt, vérifiée pour x > 0.
- Transformée de Laplace et de Fourier : exemples d'intégrales à paramètre très utilisées.
Principaux théorèmes
- Convergence dominée à paramètre continu : Si f(x, t) → l(t) simplement, |f(x, t)| ≤ φ(t), alors ∫ f(x, t) dt → ∫ l(t) dt.
- Continuité sous l'intégrale : Si f(x, t) continue en x et dominée, alors g(x) = ∫ f(x, t) dt continue.
- Dérivation sous l'intégrale : Si ∂f/∂x continue et dominée, g est C¹ et g'(x) = ∫ ∂f/∂x(x, t) dt.
- Adaptations possibles : domination sur segments de A suffit pour la continuité/dérivation sur A.
III. Théorème d'intégration terme à terme
- Si ∑fn converge simplement et la série ∑∫|fn| converge, alors ∫(∑fn) = ∑∫fn.
- En pratique, la convergence de la série d'intégrales absolues est plus importante que la continuité par morceaux.
- Possibilité d'utiliser la convergence dominée sur les sommes partielles si les critères du théorème principal ne sont pas remplis.
Key Terms & Definitions
- Intégrale de Riemann — définition classique de l'intégrale pour fonctions continues par morceaux.
- Fonction continue par morceaux — fonction continue sauf en un nombre fini de points de discontinuités de première espèce.
- Domination — existence d'une fonction intégrable majorant en valeur absolue la fonction considérée.
- Intégrale à paramètre — intégrale dont l'intégrande dépend d'une variable paramètre.
- Convergence simple — convergence point par point d'une suite de fonctions.
- Convergence uniforme — convergence simultanée (et mieux contrôlée) sur tout l'ensemble.
Action Items / Next Steps
- Vérifier les exemples donnés dans le texte (calculs de limites d'intégrales, équivalents, etc.).
- S'exercer à l'application des théorèmes sur des fonctions paramétrées et des séries de fonctions.
- Lire le chapitre sur les suites et séries de fonctions pour complément sur l'interversion.