In questa lezione ci occuperemo dei SOLIDI. Esistono diversi tipi di solidi, ciascuno caratterizzato da proprietà uniche che lo distingue dagli altri. Analizzeremo le terminologie che li compongono, le loro differenze e le diverse classificazioni. Spesso nei test ci sono domande relative alla geometria dei solidi, come ad esempio: Quali di questi solidi è un poliedro regolare? a) piramide obliqua b) tetraedro c) piramide tronca d) cono e) prisma Analizzando questa domanda si può capire che per rispondere occorre sapere le definizioni delle varie figure solide e le loro caratteristiche. Cominciamo con il dare la definizione di SOLIDO: Un SOLIDO è una figura a tre dimensioni giacente nello spazio. La classificazione dei solidi avviene in base alla superficie che li delimita. Una prima suddivisione dei solidi è in POLIEDRI e SOLIDI DI ROTAZIONE. Incominciamo la trattazione con i POLIEDRI. Il POLIEDRO è un solido limitato esclusivamente da poligoni (dette facce). In figura possiamo vedere la terminologia legata ai poliedri (vertice, spigolo e faccia) Tra i poliedri si differenziano i PRISMI dalle PIRAMIDI, inizieremo con la trattazione dei PRISMI. Il termine PRISMA si riferisce a un poliedro con due facce parallele e congruenti chiamate basi, e altre facce che sono parallelogrammi formati collegando i vertici corrispondenti delle basi. Queste facce del parallelogramma sono chiamate facce laterali. La forma e il numero dei lati delle basi determinano il tipo di prisma. Un prisma può essere classificato secondo la base: prisma triangolare, pentagonale, e così via. Un prisma i cui spigoli laterali sono perpendicolari alle basi si dice RETTO, in questo caso le facce laterali sono rettangoli, ed ogni spigolo laterale può essere considerato altezza. Un prisma NON retto si dice OBLIQUO. Si dice PARALLELEPIPEDO, un prisma le cui basi sono dei parallelogrammi. Un parallelepipedo si dice RETTANGOLO se tutte le facce sono rettangoli, dunque è un parallelepipedo retto con base un rettangolo. La DIAGONALE del parallelepipedo rettangolo è quel segmento di lunghezza massima che congiunge due vertici opposti del parallelepipedo, che non condividono spigoli né facce. Enunciamo un’importante proprietà delle diagonali: la somma dei quadrati delle tre dimensioni di un parallelepipedo rettangolo è uguale al quadrato della diagonale. d^2=a^2+b^2+c^2 Si dimostra così che le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono tutte di ugual lunghezza. Se le tre dimensioni del parallelepipedo rettangolo sono uguali si ha il CUBO detto anche ESAEDRO REGOLARE. Passiamo ora a definire le PIRAMIDI. Un solido si definisce PIRAMIDE se una faccia è un poligono qualsiasi (detta base) e le altre facce sono dei triangoli che uniscono i lati della base con un unico punto fuori di essa, detto vertice della piramide. Una piramide si dice RETTA se la base è circoscrittibile ad una circonferenza il cui centro è il piede dell’altezza. L’altezza delle facce di una piramide retta prende il nome di APOTEMA. Passiamo ora ai poliedri regolari. Nei test spesso viene chiesto, quanti poliedri regolari ci sono? Come si chiamano? Quali caratteristiche hanno? I poliedri regolari sono, nello spazio gli analoghi dei poligoni regolari nel piano. Ma mentre nel piano esistono infiniti poligoni regolari nello spazio ESISTONO SOLTANTO CINQUE TIPI DI POLIEDRI REGOLARI. Un POLIEDRO REGOLARE o solido platonico è un poliedro convesso che ha per facce poligoni regolari congruenti che si incontrano nei vertici sempre in egual numero. Inoltre tutti i suoi angoloidi (o anche angoli solidi) sono congruenti. Elenchiamo i 5 poliedri regolari e le relative facce: Tetraedro (quattro triangoli equilateri) Esaedro o cubo (sei quadrati) Ottaedro (8 triangoli equilateri) Dodecaedro (12 pentagoni regolari) Icosaedro (20 triangoli equilateri) Inoltre possiamo ricordare la relazione di Eulero, valida per ciascun poliedro: il numero delle facce f + il numero dei vertici v è uguale al numero di spigoli s più 2 Consideriamo ora i SOLIDI DI ROTAZIONE Iniziamo con cilindro, cono e sfera, poi passeremo a quei solidi che si ottengono per rotazioni complete di figure piane. Si dice CILINDRO: il solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati. Un cilindro si dice EQUILATERO se la sua altezza è isometrica al diametro della base. Si dice CONO: il solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto. Un cono si dice EQUILATERO se il suo lato è isometrico al diametro della base. Si dice SFERA: il solido generato dalla rotazione completa di una semicirconferenza attorno al suo diametro. Per quanto riguarda i solidi di rotazione in generale, le figure rotonde sono generate dalla rotazione completa di una figura piana, attorno ad una retta (asse di rotazione). Nei test universitari si possono trovare domande che chiedono di stabilire quale figura piana abbia generato un solido, come negli esempi riportati. Si possono ottenere anche solidi cavi, ad esempio facendo una rotazione completa di un trapezio isoscele per la base minore, oppure un trapezio rettangolo facendo una rotazione completa attorno alla base minore. Per il formulario dei calcoli delle aree e volumi dei solidi descritti si può far riferimento a dei manuali di matematica, Riportiamo qui le formule dei volumi dei solidi di rotazione più importanti. Sappiamo che due solidi sono EQUIVALENTI se hanno lo stesso volume. Ricordiamo anche il PRINCIPIO DI CAVALIERI: Considerati due solidi di uguale altezza e un fascio continuo di piani tutti perpendicolari all’altezza, se le sezioni dei due solidi ottenute dallo stesso piano hanno sempre uguale area allora i due solidi hanno volume uguale. Conseguenza: Un prisma qualsiasi è equivalente ad un parallelepipedo rettangolo di eguale altezza e base equivalente. Due piramidi, o una piramide e un cono, o due coni, aventi basi equivalenti e altezze uguali sono equivalenti. Chiudiamo questa lezione con un'ultima osservazione che riguarda lo sviluppo di un solido. Lo sviluppo di un solido consiste nell’aprire la sua superficie col minimo numero di tagli e nel distenderla su un piano. La superficie piana risultante si chiama sviluppo della superficie. Tutti i solidi delimitati da facce piane sono sviluppabili. Tutti gli sviluppi sono effettuati tenendo presente la regola generale: i lati della figura sviluppata e quelli corrispondenti del solido di origine devono avere la stessa lunghezza.