Espace de Hilbert

Définition

Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien qui est complet pour la norme issue du produit scalaire.

$\mathbb{R}^n$ :
- Espace de Hilbert muni du produit scalaire usuel.
$\mathbb{C}^n$ :
- Espace de Hilbert muni du produit hermitien usuel.
Espace $\ell_2(\mathbb{N})$ :
- Ensemble des suites réelles $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de carré sommable.
- Condition : $\sum_{n\in\mathbb{N}} |u_n|^2 < +\infty$.
- Produit scalaire : $\langle u, v \rangle = \sum_{n\in\mathbb{N}} u_n v_n$.
Espace $\ell_2(\mathbb{N}, \mathbb{C})$ :
- Ensemble des suites complexes $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dont le module est de carré sommable.
- Condition : $\sum_{n\in\mathbb{N}} |u_n|^2 < +\infty$.
- Produit hermitien : $\langle u, v \rangle = \sum_{n\in\mathbb{N}} u_n \overline{v_n}$.
Espace $L^2([a,b], \mathbb{C})$ :
- Ensemble des fonctions mesurables sur $[a,b]$ dont le module est de carré intégrable.
- Produit scalaire : $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) \overline{g(t)} dt$.