Espace de Hilbert

Définition

• Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien qui est complet pour la norme issue du produit scalaire.

Exemples d'Espaces de Hilbert

• $\mathbb{R}^n$ :
  • Espace de Hilbert muni du produit scalaire usuel.
• $\mathbb{C}^n$ :
  • Espace de Hilbert muni du produit hermitien usuel.
• Espace $\ell_2(\mathbb{N})$ :
  • Ensemble des suites réelles $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de carré sommable.
  • Condition : $\sum_{n\in\mathbb{N}} |u_n|^2 < +\infty$.
  • Produit scalaire : $\langle u, v \rangle = \sum_{n\in\mathbb{N}} u_n v_n$.
• Espace $\ell_2(\mathbb{N}, \mathbb{C})$ :
  • Ensemble des suites complexes $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dont le module est de carré sommable.
  • Condition : $\sum_{n\in\mathbb{N}} |u_n|^2 < +\infty$.
  • Produit hermitien : $\langle u, v \rangle = \sum_{n\in\mathbb{N}} u_n \overline{v_n}$.
• Espace $L^2([a,b], \mathbb{C})$ :
  • Ensemble des fonctions mesurables sur $[a,b]$ dont le module est de carré intégrable.
  • Produit scalaire : $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) \overline{g(t)} dt$.

Liens Utiles

• Base hilbertienne
• Biographie de David Hilbert