Exponentielles Wachstum: Definition und Beispiele

Definition

• Exponentielles Wachstum beschreibt die unbeschränkte Entwicklung einer Population mit der Zeit.
• Charakteristisch: Werte zwischen zwei benachbarten Zeitpunkten unterscheiden sich immer um denselben Faktor.
• In der Realität sind viele Prozesse beschränkt, z.B. durch logistische oder beschränkte Wachstumsmodelle.

Einfaches Beispiel

• Papierfaltung: Ein Blatt Papier, das mehrfach gefaltet wird, verdoppelt seine Dicke mit jedem Falten.
  • Tabelle der Dicke:
    • 0 Faltungen: 1
    • 1 Faltung: 2
    • 2 Faltungen: 4
    • 3 Faltungen: 8
  • Nach 30 Faltungen reicht das Papier in den Weltraum, nach 42 Faltungen zum Mond.

Darstellungsformen des exponentiellen Wachstums

• Exponentialfunktion: Modelliert exponentielles Wachstum
  • Formel: ( N(t) = N_0 \cdot b^t )
  • ( N_0 ): Anfangsbestand
  • ( b ): Wachstumsfaktor
• Explizite Darstellung: ( N(t) = N_0 \cdot e^{kt} )
  • ( e ): Eulersche Zahl
  • Wird häufig bei Differentialgleichungen verwendet.
• Rekursive Darstellung: Späterer Wert wird durch Multiplikation des vorherigen Wertes mit einem Faktor bestimmt.

Beispiele

• Biologie (Bakterienkultur): Start mit 150 Bakterien, Verdopplung alle 3 Stunden.
  • Exponentielles Wachstum wird durch die Funktion ( N(t) = 150 \cdot 2^{t/3} ) beschrieben.
• Zinseszins: Betrag wächst monatlich um 10%.
  • Beispiel: Start mit 50, am Ende des Jahres 142,66.

Änderung der Wachstumsrate

• Absolute Änderungsrate: Differenz zwischen Population zu zwei Zeitpunkten.
  • Proportional zur Population selbst.
• Relative Änderungsrate: Konstante Rate bei exponentiellem Wachstum.

Exponentieller Zerfall

• Wenn der Wachstumsfaktor zwischen 0 und 1 liegt, spricht man von exponentieller Abnahme oder Zerfall.
• Die Population nimmt stetig ab.

Aufgaben

• Aufgaben zur Berechnung des Wachstumsfaktors, zur Bestimmung, ob Wachstum exponentiell ist, und zur Berechnung spezifischer Parameter.
• Beispielaufgaben zeigen, wie die Parameter berechnet und Modelle aufgestellt werden können.

Beschränktes Wachstum

• Im Gegensatz zum exponentiellen Wachstum ist das beschränkte Wachstum durch eine natürliche Schranke begrenzt.

Links zu weiteren Inhalten

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• Logistisches Wachstum
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