Differentiaal- en Integraalrekening 5.1: Het Getal e

Inleiding

• Het differentiëren van functies van de vorm (f(x) = g^x) wordt nu behandeld.
• Het getal (e) speelt een belangrijke rol in het differentiëren van exponentiële functies.

Leerdoelen

• Afgeleide van exponentiële functies bepalen.
• Het getal (e) in differentiëren gebruiken.

Voorkennis

• Gebruik van exponenten en logaritmen.
• Differentiëren met basisregels.

Verkennen

• Vergelijking van een functie (f(x)) en de benadering van zijn afgeleide met een grafische rekenmachine.
  • Invoer: (Y1 = 2^X), (Y2 = (Y1(X + 0.001) - Y1(X))/0.001), (Y3 = Y2/Y1).
  • Vragen over de grafieken en conclusies voor verschillende functies zoals (f(x) = 3^x) of (f(x) = x^2) en (f(x) = x^3).

Uitleg

• Exponentiële groei betreft functies van de vorm (f(x) = b \cdot g^x).
• Als (b = f(0) = 1), dan (f(x) = g^x).
• De helling van de grafiek hangt af van de grootte van (g).
• Voorbeelden:
  • (g = 2): (f'(x) = 0.69 \cdot 2^x).
  • (g = 3): (f'(x) = 1.10 \cdot 3^x).
• Er bestaat een waarde van (g) (bij benadering (2.7)) waarvoor geldt: (c = 1), dit getal is (e = 2.71828...).
• Specifiek voor (f(x) = e^x), is (f'(x) = e^x).

Opgaven

• Opgave 1: Grafieken en afgeleiden van (f(x) = g^x) bekijken en berekenen.
• Opgave 3: Veranderingen van (f(x) = g^x) op kleine intervallen analyseren.
• Opgave 5: Grafiek van (f(x) = e^x) verkennen en oplossingen van vergelijkingen vinden.

Theorie

• De afgeleide van de exponentiële functie (f(x) = g^x) is (f'(x) = c \cdot g^x).
• Bij (g = e) geldt (c = 1), de natuurlijke groeifactor (e).
• Notatie: (e^x = a \Rightarrow x = \ln(a)).

Voorbeelden

• Voorbeeld 1: Grafiek van (f(x) = e^x) en raaklijnvergelijkingen.
• Voorbeeld 2: Grafiek van (f(x) = \ln(x)) en karakteristieken bepalen.

Verwerken

• Opgaven 4-24: Differentiëren, logaritmen gebruiken, vergelijkingen oplossen.
• Opgave 26: Differentieer functies zoals (f(x) = e^x - 3e^{2x}) en (f(x) = x^2e^x).

Samenvatting

• Het getal (e) is cruciaal voor het differentiëren van exponentiële functies.
• De natuurlijke logaritme (\ln) is de inverse van de exponentiële functie met grondtal (e).
• Belangrijke toepassingen in het bepalen van veranderingssnelheden en groeiprocessen.