Oglądacie ten filmik zapisany w formacie MP4 na urządzeniu elektronicznym, które zbudowano w oparciu o znajomość kwantowej natury materii. Wszystko to przenika matematyka. Nie każdy jednak wie, że w tej matematyce nieodzowne są liczby spoza starej, dobrej osi liczbowej. W tym pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych. Przez wieki uważano je za nonsense, za matematyczne urojenie, ale ostatecznie dzięki nim przebiliśmy się na głębsze poziomy fizycznej rzeczywistości. Zapraszam do magicznej krainy liczb zespolonych. O ile wiadomo, liczby zespolone po raz pierwszy zarysowały się w umysłach włoskich matematyków epoki renesansu. Gorącym tematem były wtedy równania wielomianowe, czyli takie, które dzisiaj zapisalibyśmy w tak, gdzie x jest niewiadomą, współczynniki stojące przy kolejnych potęgach x są jakimiś liczbami rzeczywistymi, natomiast n, czyli najwyższa pojawiająca się potęga x, nazywa się stopniem równania. Z równaniami stopnia pierwszego, czyli liniowymi, już się spotkaliśmy. Równania stopnia drugiego, czyli kwadratowe, uczymy się rozwiązywać w szkole, a ogólne metody ich rozwiązywania były znane już w starożytności. W pierwszej połowie XVI wieku kilku matematykom udało się podać ogólne sposoby rozwiązywania równań stopnia trzeciego. czyli sześciennych, a nawet stopnia czwartego. To dość niesamowita historia, pełna wyrazistych postaci, geniuszu, rywalizacji, zdrady i dramatycznych pojedynków na wielomiany i poświęcimy jej kiedyś osobny odcinek. Na razie wspomnijmy tylko, że to właśnie wtedy, w kontekście nowych odkryć algebraicznych, pojawiły się pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych. Oto fragment traktatu Ars Magna autorstwa Gerla Macardana z 1545 roku zawierający obliczenia dla pewnego równania kwadratowego. We współczesnej notacji zapisalibyśmy je tak. 5 dodać pierwiastek z minus 15 razy 5 odjąć pierwiastek z minus 15 itd. Równa się 40. Pamiętajmy, że w tamtych czasach liczby ujemne nie były powszechnie uznawane, więc pierwiastek z liczby ujemnej to było coś podwójnie podejrzanego. Nie dziwi więc, że po chwili Cardano kwituje taką arytmetykę jako tyleż wyrafinowaną, co bezużyteczną. Przez następne trzy stulecia kwestia pierwiastkowania liczb ujemnych nie dawała spokoju matematykom. Jeszcze w XVI wieku inny Włoch, Rafael Bombelli, zrozumiał, że stanowią... Zobaczył one zupełnie nowy rodzaj liczb i wyjaśnił, jak wykonywać na nich dodawanie, podejmowanie i mnożenie. Zauważył też, że niekiedy we wzorach na rozwiązania równań stopnia trzeciego i czwartego, znalezionych przez jego poprzedników, nie da się uniknąć stosowania pierwiastków z liczb ujemnych, które na koniec się skracają, tak jakby matematyka sama domagała się ich istnienia. Z czasem odkrywano coraz więcej sytuacji, w których te dziwne, nierzeczywiste liczby znacznie upraszczały obliczenia. Ale znowu w innych sytuacjach wydawały się prowadzić do zupełnie absurdalnych wyników. Klasyczny przykład. Liczba 1 jest oczywiście równa swojemu pierwiastkowi kwadratowemu. Rozpiszmy teraz jedynkę pod pierwiastkiem jako minus 1 razy minus 1. A następnie skorzystajmy z tego, że pierwiastek iloczynu jest równy iloczynowi. pierwiastków, a z samej definicji pierwiastka kwadratowego wyjdzie nam wynik minus 1. Czy to sprzeczność? 1 równa się minus 1, a więc koniec zabawy w pierwiastkowaniu liczb ujemnych? A może po drodze popełniliśmy błąd, bo z jakiegoś powodu pierwiastek iloczynu jednak nie jest równy iloczynowi pierwiastków, gdy w grę wchodzą liczby ujemne. Zdezorientowani? Matematycy też się tak czuli. Niektórzy odczuwali wręcz metafizycznie. ...tyczny niepokój. Kartezjusz nazwał pierwiastki z liczb ujemnych liczbami urojonymi. Wynalazca logarytmów, John Napier, uważał je za nonsense. Wielu, w tym sam Newton, określało je jako niemożliwe. Leibniz poetycko umiejscawiał je między istnieniem a nieistnieniem. A Augustus de Morgan jeszcze w 1831 roku krytykował je jako znaczeniowo puste, samozprzeczne... I absurdalne. Auć. Na szczęście w tym samym roku ukazały się dwa traktaty, w których Carl Friedrich Gauss oraz William Rowan Hamilton ostatecznie osadzali liczby zespolone, jak nazwał je Gauss, na solidnym, teoretycznym gruncie. Czym więc są liczby zespolone i jak je skonstruować? Nie jest to nic trudnego, a już na pewno jest prostsze niż skonstruowanie liczb rzeczywistych na bazie liczb wymiernych. o czym mówiliśmy w poprzednim odcinku. W istocie dzięki poprzednim odcinkom jesteśmy doskonale przygotowani do przeprowadzenia tej konstrukcji. Pamiętacie równanie kwadratowe x² równa się 2, które nie miało rozwiązania w zbiorze liczb wymiernych? Jego niewymierne rozwiązanie oznaczyliśmy symbolem pierwiastek z dwóch i za jego pomocą rozszerzyliśmy zbiór q do zbioru q od pierwiastka z dwóch, którego elementami były wyrażenia postaci a dodać b razy pierwiastek z dwóch, gdzie a, b były dowolnymi liczbami wymiernymi. No więc tu będzie dość analogicznie. Rozważmy równanie kwadratowe. x kwadrat równa się minus 1, które ewidentnie nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Postulujemy więc istnienie pewnego nierzeczywistego obiektu, który to równanie spełnia. Nasuwa się pomysł, żeby oznaczyć ten obiekt symbolem pierwiastek z minus 1. Dzięki. Ale to zły pomysł, bo jak już widzieliśmy, pierwiastkowanie liczb ujemnych nie do końca działa tak jak dla liczb nieujemnych i stosowanie tego symbolu to prosta droga do błędów i pomyłek. Zamiast tego matematycy używają literki I, od łacińskiego imaginarius, czyli urojony. I za pomocą tej tak zwanej jednostki urojonej rozszerzamy teraz zbiór R do zbioru R od I, którego elementami są wyrażenia postaci A dodać I razy B, gdzie A i B są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Zbiór ten jest rzecz jasna tak ważny w matematyce, że ma swoją literkę C. Od łacińskiego kompleks, co z jakiegoś powodu przetłumaczono na zespolony. Pewnie dlatego, że suma a dodać i b zespala ze sobą dwa istotnie różne obiekty. Liczbę rzeczywistą a oraz czysto urojoną wielkość i razy b. Jak wyglądają działania arytmetyczne na takich obiektach? Cóż, zupełnie normalnie. W przypadku dodawania, podejmowania i mnożenia trzeba po prostu odważnie otworzyć. tworzyć nawiasy i pogrupować wyrazy rzeczywiste i czysto urojone. Kiedy w trakcie mnożenia pojawi się i do kwadratu, należy po prostu zastąpić je przez minus jeden, zgodnie z definicją jednostki urojonej. Dzielenie też właściwie nie nastręcza problemów. Wystarczy zapisać je najpierw za pomocą kreski łamkowej i przypomnieć sobie sztuczkę, która w szkole służyła do usuwania niewymierności z mianownika. Co by nie mówić i jest bardzo niewymierna. więc mnożymy licznik i mianownik przez C odjąć i D. Po wymnożeniu i pogrupowaniu wszystkiego i w mianowniku zniknie, uprości się. Zostanie w nim tylko liczba rzeczywista c kwadrat dodać d kwadrat. Gdy na koniec rozpiszemy tak uzyskany ułamek, widzimy, że ponownie mamy coś rzeczywistego plus coś czysto urojonego. Oczywiście, o ile c oraz d nie są równocześnie obie równe 0. Dzielenie przez 0 dalej nie ma sensu. No i świetnie, mamy kolejny system liczbowy, w którym równanie x² równa się minus 1 ma rozwiązanie. A nawet dwa rozwiązania, bo liczba minus i oczywiście także je spełnia. Co jednak na przykład z równaniem x do czwartej równa się minus 1? Albo choćby takim równaniem, które też nie ma rozwiązań rzeczywistych. Właściwie to skoro już dołączyliśmy i, to co z jego pierwiastkami? Co z równaniami x do trzecie? x do czwartej równa się i, x do czwartej równa się i, x do piątej równa się i, i tak dalej. Jak pamiętamy z poprzedniego odcinka, strategia poszerzania systemu liczbowego o rozwiązania konkretnych równań zawiodła przy rozszerzaniu zbioru Q. Niby dlaczego więc ma zadziałać przy rozszerzaniu znacznie bogatszego zbioru R? Tu po raz pierwszy dają sobie znać magia liczby zespolonych. Okazuje się, że po dosypaniu liczb zawierających i nie musimy dołączać już nic więcej. Wszystkie wymienione przed chwilą równania mają już rozwiązania w zbiorze liczb zespolonych. Pierwiastek czwartego stopnia z minus jedynki? Proszę bardzo, są aż cztery. Pierwiastek sześcienny z i? Oto trzy liczby, które podniesione do trzeciej potęgi dają właśnie I. Ogólnie dowolne równanie wielomianowe o współczynnikach zespolonych ma przynajmniej jedno rozwiązanie w zbiorze C. Nawet jeśli nie potrafimy dokładnie obliczyć, ile takie rozwiązanie x wynosi, to wiemy, że zawsze musi istnieć. Dla XIX-wiecznych matematyków był to tak niesamowity i doniosły wynik, że nazwali go zasadniczym twierdzeniem algebry. Ale to dopiero początek magii. Liczby zespolone mają bardzo przejrzystą interpretację graficzną. Przypomnijmy, że zbiór liczb rzeczywistych przedstawia się standardowo jako osiem. liczbową. Każdej liczbie rzeczywistej a odpowiada dokładnie jeden punkt na tej osi i wszystkie jej punkty są wykorzystane. Nie ma w niej już żadnych dziur. Gdzie więc umieścić liczbę zespoloną a plus i b, skoro wszystkie punkty na osi są już zajęte? To proste. Trzeba wyjść poza oś. Konkretnie narysujmy drugą oś, oś urojoną, prostopadłą do osi rzeczywistej i przecinającą ją w zerze. Liczbie zespolonej a plus ib będzie teraz odpowiadać punkt płaszczyzny o współrzędnych ab. Przykładowo liczbie zespolonej 2 plus i odpowiada punkt o współrzędnych 2,1. Liczba minus pi minus i pierwiastek z dwóch znajduje się gdzieś w trzeciej ćwiartce, a sama jednostka urojona i leży dokładnie na osi urojonej w odległości 1 ponad zerem. Reasumując... Do tej pory mieliśmy oś rzeczywistą, a teraz mamy dwuwymiarową płaszczyznę liczbową, najczęściej zwaną płaszczyzną zespoloną. Taka geometryczna wizualizacja liczb zespolonych podsuwa pewien alternatywny sposób ich zapisu. Zauważmy, że zamiast określać położenie punktu na płaszczyźnie za pomocą współrzędnych a, b, można posłużyć się długością odcinka łączącego ten punkt z zerem. Oznaczmy tę długość przez r oraz kątem między tym odcinkiem a osią rzeczywistą, mierzonym od strony liczb dodatnich. Oznaczmy go małą grecką literą phi. Obie te wielkości mają tu swoje specjalne nazwy. Jakżeby inaczej. I tak, r nazywa się modułem liczby zespolonej a plus i b. Ponieważ uogólnia on pojęcie wartości bezwzględnej, oznacza się go takim samym symbolem. Z kolei phi to tak zwany argument liczby zespolonej a plus i b, lub, jak wolą fizycy, i wiążący jej faza. Odrobina szkolnej trygonometrii pozwala zapisać kilka wzorów wiążących wszystkie te wielkości ze sobą. Co najważniejsze, pozwala zapisać naszą liczbę zespoloną w tak zwanej postaci trygonometrycznej, w której liczby a i b już się nie pojawiają, a zamiast tego mamy stojący przed nawiasem moduł oraz znajdujące się w nawiasie funkcje trygonometryczne kosinus i sinus kąta phi. Zobaczmy jakieś proste przykłady. Liczba pierwiastek z trzech plus i znajduje się na płaszczyźnie zespolonej tutaj. Jej moduł wynosi 2, a argument 30 stopni, co w radianach wynosi pi szóstych. Jak się przekonamy w następnym odcinku, argumenty liczb zespolonych warto wyrażać właśnie w radianach. Sama jednostka urojona ma moduł 1, a jej argument to 90 stopni, czyli pi drugich. Szczególnie prosto wyglądają w postaci trygonometrycznej liczby rzeczywiste, czyli te leżące na osi rzeczywistej. Na przykład liczba 2. ma moduł 2, a jej argument wynosi 0. Z kolei liczba minus 2 także ma moduł 2, ale już argument 180 stopni, czyli dokładnie pi radianów. Nieco kłopotliwa jest tylko liczba 0, bo dla niej nie da się sensownie określić argumentu. Na szczęście jej moduł wynosi oczywiście 0, więc taka niedookreśloność postaci trygonometrycznej w niczym nie przeszkadza. Można spytać, po co komu postać trygonometryczna? Czy z zapisem A plus IB, czyli tak zwaną postacią algebraiczną, było coś nie tak? No, trochę było. Przypomnijmy sobie wzory na mnożenie i dzielenie, które są, co by nie mówić, dość skomplikowane. Tymczasem, kiedy przeliczy się je w postaci trygonometrycznej, dzieje się rzecz cudowna. Dzięki różnym tożsamościom trygonometrycznym zarówno iloczyn, jak i iloraz, zwijają się do bardzo zwartych wzorów. które można streścić następująco. Mnożenie liczb zespolonych polega na mnożeniu ich modułów oraz dodawaniu ich argumentów, natomiast dzielenie liczb zespolonych polega na dzieleniu ich modułów oraz odejmowaniu ich argumentów. Mamy tu więc zaskakujący pomost między algebrą liczb zespolonych a trygonometrią, który można wykorzystywać w obie strony. Niektóre trudne do spamiętania tożsamości trygonometryczne stają się banalnie proste, gdy przełożymy je na język liczb zespolonych. Spróbujmy na przykład uprościć wyrażenia cosinus alfa plus pi drugich oraz sinus alfa plus pi drugich. W szkole robiło się to za pomocą tzw. wzorów redukcyjnych. No ale kto by je spamiętał? Gdy jednak popatrzymy na te obiekty jak na część rzeczywistą i urojoną takiej oto liczby zespolonej o module 1, to natychmiast możemy ją zapisać jako iloczyn dwóch liczb. Pierwszą z nich już jednak dzisiaj widzieliśmy. Jest to po prostu i. Gdy wymnożymy przez nie zawartość nawiasu, już tak bezpośrednio, dostaniemy i cos alfa odjąć sin alfa. Dziękuję. Porównując otrzymaną liczbę z wyrażeniem, od którego zaczęliśmy, widzimy, że cosα plus π drugich musi być równy minus sinα, natomiast to, co stoi przy i z lewej strony, czyli sinα plus π drugich, nie ma wyjścia jak być równym temu, co stoi przy i z prawej strony, czyli cosα. Właśnie wyprowadziliśmy dwa ze wzorów redukcyjnych. Możliwość tłumaczenia funkcji trygonometrycznych na... ma jednak dużo dalej sięgające zastosowania niż wyprowadzanie szkolnych wzorów. Niemal wszędzie, gdzie w nauce i technice pojawiają się funkcje sinus i kosinus, a pojawiają się wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia z ruchem falowym, drgającym, albo nawet szerzej z jakimiś regularnymi, cyklicznymi zmianami, Liczby zespolone znajdują ogromne zastosowanie. Wie o tym każdy, kto miał choć trochę do czynienia z obwodami elektrycznymi prądu zmiennego, gdzie opór elektryczny wygodnie na przykład zastąpić jego zespolonym uogólnieniem. nazywanym impedancją. Dalszych zastosowań dostarczają elektronika, telekomunikacja, analiza i kompresja obrazów, dźwięków i szeroko pojętych sygnałów. Wszędzie tam podstawowym narzędziem matematycznym jest tak zwana transformacja Fouriera. Coś tak pięknego, że zasługuje na osobny odcinek. Kiedy ja to zrobię wszystko? Na koniec chcę wspomnieć o jeszcze jednym obszarze, który bez liczb zespolonych po prostu by nie istniał. O fizyce kwantowej. I naprawdę w tym momencie nie przesadzam. Tu już nie chodzi tylko o to, że liczby zespolone ułatwiają rachunki, pozwalając uniknąć niewygodnych funkcji trygonometrycznych. W przypadku mechaniki kwantowej chodzi o coś znacznie więcej. Ona jest zespolona do szpiku kości. Trudno powiedzieć, że słynne równanie Schrödingera, a także inne równania mechaniki kwantowej, zawierają jednostkę urojoną. Bez niej zwyczajnie by nie działały. Ba, sama funkcja falowa, jedno z centralnych pojęć tej teorii, oznaczona w tym równaniu grecką literą psi, jest funkcją przyjmującą właśnie wartości zespolone. Z punktu widzenia współczesnej fizyki można więc zaryzykować stwierdzenie, że liczby zespolone są bardziej rzeczywiste, raczej pełniej oddające rzeczywistość niż tak zwane liczby rzeczywiste. Ale widać to wyraźnie dopiero na poziomie cząstek elementarnych. i pól kwantowych. Cytowany na początku Roger Penrose, laureat Nagrody Nobla z fizyki za rok 2020, w swojej książce Droga do rzeczywistości pisze Liczby zespolone istnieją w zadziwiającej symbiozie z otaczającą nas rzeczywistością. To tak, jak gdyby przyroda sama była pod podobnym jak my wrażeniem zakresu i spójności systemu liczb zespolonych, i oddała w ich władanie precyzyjne operacje swojego świata w najbardziej mikroskopijnej skali. Tak w ogóle to super książka, dosyć ciężka, ale polecam. W dzisiejszym odcinku wykroczyliśmy poza rzeczywistość, by na koniec stwierdzić, że znaleźliśmy się po prostu na jej głębszym, bardziej fundamentalnym poziomie. Wprowadziliśmy nowy, dziwny obiekt, przezwany jednostką urojoną i oznaczony literą I, którego kwadrat wynosi minus jeden. Dołączając go do zbioru liczb rzeczywistych otrzymaliśmy nowy, kolejny już system liczbowy zwany zbiorem liczb zespolonych C. Ten niewinny zabieg ma niespodziewane konsekwencje. Okazuje się np., że nie tylko równanie x² równa się minus 1 posiada teraz rozwiązanie, ale dotyczy to już wszystkich równań wielomianowych. Graficznie przejście od zbioru liczb rzeczywistych do zbioru liczb zespolonych polega na wyjściu poza oś liczbową na całą płaszczyznę. Każdy punkt tej płaszczyzny odpowiada dokładnie jednej liczbie zespolonej. Takie geometryczne spojrzenie nasuwa pomysł, by alternatywnie zapisywać je w postaci trygonometrycznej, w której pojawiają się tzw. moduł i argument lub faza liczby zespolonej. Ujawnia to głęboki związek algebry liczb zespolonych z trygonometrią i tłumaczy częściowo ich szerokie zastosowanie w nauce i technice. To nie koniec naszych przygód z magią liczb zespolonych. Musimy zrobić porządek z ich pierwiastkowaniem, żeby nie dochodziło do paradoksów takich jak ten, który widzieliśmy wcześniej. W tym celu przyjrzymy się bliżej piątemu podstawowemu działaniu arytmetycznemu, czyli potęgowaniu, a także tzw. tożsamości Eulera, nazywanej najpiękniejszym wzorem matematyki.