Eine Zahlenfolge ist genau wie der Name schon sagt, einfach nur eine Abfolge von Zahlen. Meistens bezeichnet man sie mit Buchstaben wie a, b, c oder x oder y und schreibt tiefgestellt so eine Indexzahl hin, meistens n für Numbers, die dann genau angibt, um das wievielte Glied dieser Zahlenkette es sich handelt. Wenn man jetzt zum Beispiel definiert, dass es sich bei n gleich 1, also bei uns hier bei a1, um das erste Glied der Zahlenkette handelt, dann wäre a2 das zweite Glied der Zahlenkette, a3 das dritte Glied der Zahlenkette und so weiter und so fort.
In diesem Video zeige ich dir die wichtigsten Zahlenfolgen, die du kennen solltest und was es mit der rekursiven und expliziten Darstellungsform auf sich hat. Los geht's! Fangen wir mal mit der Zahlenfolge an, die wir schon als Kinder als allererstes kennengelernt haben.
Die Folge der natürlichen Zahlen. 1, 2, 3, 4 und so weiter. Die Folge der natürlichen Zahlen ist eine arithmetische Zahlenfolge.
Das kannst du daran erkennen, dass der Abstand zweier benachbarter Zahlenglieder immer konstant ist. Um jetzt von dem ersten Zahlenglied auf das zweite zu kommen. rechnen wir plus 1, um von dem zweiten auf das dritte zu kommen, plus 1, um von dem dritten auf das vierte zu kommen, plus 1, immer wieder plus 1, um auf den zugehörigen Nachfolger zu kommen.
Und damit haben wir schon die erste Darstellungsform unserer Zahlenfolge rausgefunden. Immer wenn du so ein Muster erkennst, wie man von einem Folgeglied auf den zugehörigen Nachfolger kommt und dieses Muster jetzt auch wirklich für jedes einzelne Glied dieser Zahlenfolge funktioniert, dann nennt man das die rekursive Bildungsvorschrift. Schau mal, an plus 1 ist der Nachfolger von an.
Erkennst du daran, dass hier im Index plus 1 gerechnet wird. Also in der Kette der Zahlenfolge wird jetzt genau ein Glied weitergegangen. Und dieser Nachfolger berechnet sich genau, wie wir gerade gesagt haben, über den zugehörigen Vorgänger plus 1. Du musst aber aufpassen. Diese Bildungsvorschrift hier hängt nicht eineindeutig mit unserem Beispiel Folge der natürlichen Zahlen zusammen. Klar gilt, dass jetzt für diese Folge der natürlichen Zahlen das hier die rekursive Bildungsvorschrift ist.
Ist es denn wirklich so, dass jede Zahlenfolge, die diese Gleichung hier erfüllt, gleich die Folge der natürlichen Zahlen ist? Nein, das stimmt nicht. Zum Beispiel hätten wir 1,5, 2,5, 3,5, 4,5, dann würde sich diese Folge ebenfalls durch diese Rekursion hier darstellen lassen. Es ist aber eine andere Zahlenfolge als die, die dort steht.
Das bedeutet, für solche rekursiven Darstellungsformen brauchst du immer auch noch mindestens ein Glied der Zahlenfolge. Klassiker ist, dass man das erste Glied angibt. Also zum Beispiel a1 gleich 1. Jetzt funktioniert es. Diese Darstellungsform mit diesem sogenannten Anfangswert stellt jetzt eindeutig unser Beispiel dar, die Folge der natürlichen Zahlen.
Die Rekursion ist zum Beispiel ein ziemlich beliebtes Hilfsmittel in der Informatik. Stell dir mal vor, du möchtest von einer Zahlenfolge alle Glieder von a1 bis a100 berechnen. Dann fängst du mit deinem vorgegebenen a1 an und kannst mit dieser ganz einfachen Rechenanweisung den zugehörigen Nachfolger a2 berechnen.
Und mit derselben Rechenanweisung a3, a4, a5 und so weiter bist du bei a100 bist. Da du sowieso alle Glieder dieser Zahlenfolge brauchst. Perfekt. Jetzt stell dir aber mal vor, du möchtest nur das 100. Folgeglied berechnen. Dann bräuchtest du, wenn du mit dieser Rekursionsformel hier arbeitest, um das 100. Folgeglied zu berechnen.
Den zugehörigen Vorgänger, das 99. Folgeglied. Und um das zu berechnen, brauchst du wieder den zugehörigen Vorgänger, das 98. Folgeglied und so weiter und so fort. Also um A100 zu berechnen, brauchst du alle 99 davor ebenfalls. Klar, bei der Folge der natürlichen Zahlen ist das jetzt vielleicht noch nicht so das große Problem, aber es gibt schon relativ einfache Zahlenfolgen, bei denen selbst unser Computer ins Schwitzen gerät.
Das erkennst du dann daran, dass vielleicht deine App langsamer funktioniert oder besonders viel Akku frisst. Viel besser wäre es doch, wenn wir eine knackige Formel hätten, bei der wir einfach N gleich 100 einsetzen und sofort das 100. Folgeglied hätten. Und manche Zahlenfolgen haben sowas. Das nennt sich dann nämlich die explizite Bildungsvorschrift.
Von unserer Folge der natürlichen Zahlen lässt sich die explizite Bildungsvorschrift relativ einfach erraten. Und zwar ist das n-te Glied der Zahlenfolge gleich n. Das erste Glied der Zahlenfolge ist gleich 1. Das vierte Glied der Zahlenfolge ist gleich 4. Oder das 100. Glied der Zahlenfolge ist gleich 100. Wichtig aber, dass du dir bitte merkst, dass nicht jede Zahlenfolge eine explizite Darstellungsform hat. Es gibt sogar Zahlenfolgen, Musik die haben nicht mal eine Rekursive.
Und es gibt sogar Zahlenfolgen, die haben keine der beiden Darstellungsformen. Dazu kommen wir gleich noch. Also nimm das bitte nicht als selbstverständlich an, dass eine Zahlenfolge auch wirklich immer eine Bildungsvorschrift hat. Ein wunderschönes Beispiel für eine geometrische Zahlenfolge, mit denen du es zum Beispiel in der Zinseszins- oder Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun hast, wäre 1, 1,5, 1,25, 1,8 und so weiter und so fort.
Erkennst du vielleicht hier schon das Muster, um von einem Folgeglied auf den zugehörigen Nachfolger zu kommen? Wir müssen einfach nur rechnen mal... 1,5 mal 1,5 mal 1,5 mal 1,5.
Das heißt, um jetzt auf den Nachfolger a n plus 1 zu irgendeinem Folgeglied a n zu kommen, müssen wir dieses Folgeglied nur mal 1,5 rechnen. Und wichtig noch, dass wir einen Wert dieser Zahlenfolge angeben. Nehmen wir zum Beispiel mal diesen Startpunkt und den möchte ich jetzt bitte a0 gleich 1 nennen. Also das ist das 0. Folgeglied, das 1., das 2., das 3. und so weiter. Das ist gar nicht so unüblich.
Du hast zum Beispiel in vielen Programmiersprachen, dass bei der 0 angefangen wird zu zählen. Ich mache das jetzt nur deswegen, weil dadurch die explizite Darstellung sich ein bisschen schöner schreiben lässt und weil es noch andere Vorteile hat, dazu aber später mehr. Also ich sage jetzt einfach, das 1. Glied ist das 0. Glied. Und wenn wir das so machen, dann lässt sich diese explizite Form ganz einfach ausdrücken mit Hilfe von 1 halb hoch n. Angefangen natürlich bei n gleich 0, wie wir es gerade gesagt haben.
Wenn n gleich 0 ist, dann haben wir 1 halb hoch 0 gleich 1. 1 halb hoch 1, 1 halb hoch 2, 1 halb hoch 3. Tatsächlich, das passt. Vielleicht erkennst du jetzt auch schon alleine an diesen beiden Beispielen, was arithmetische und geometrische Zahlenfolgen so besonders machen. Bei arithmetischen Zahlenfolgen Rechnen wir immer Plus oder Minus, eine Konstante, um von einem Folgeglied auf den Nachfolger zu kommen. Und bei geometrischen rechnen wir Mal oder geteilt durch eine Konstante, um auf den zugehörigen Nachfolger zu kommen. Aber auf arithmetische und geometrische Zahlenfolgen gehen wir noch in den nächsten Videos genauer ein.
Die aber wahrscheinlich berühmteste aller Zahlenfolgen, die den Aufbau des Lebens beschreibt und all dessen, was wir als schön und ästhetisch empfinden, ist die Fibonacci-Zahlenfolge. Immer wenn du zwei aufeinanderfolgende Zahlenglieder addierst dieser Folge, Dann kommt der zugehörige Nachfolger raus. Siehst du das? 1 plus 1 gleich 2, 1 plus 2 gleich 3, 2 plus 3 gleich 5, 3 plus 5 gleich 8 und so weiter und so fort.
Ich denke, das Problem dabei ist nur, wenn du jetzt an einer expliziten Darstellung dieser Zahlenfolge interessiert bist. Also wie man jetzt aus dieser rekursiven Form auf genau diese Formel kommt. Weil du zum Beispiel an der 1000. Fibonacci-Zahl interessiert bist und zwar ohne die 999 davor ebenfalls zu berechnen. Und tatsächlich, so eine Formel gibt es.
Wenn du einfach n gleich 1000 einsetzt, zack, hast du die 1000. Fibonacci-Zahl berechnet. Auch wenn es vielleicht etwas komisch klingt, weil ja hier sowas wie Wurzel 5 drinne vorkommt, kann man sich erstmal schwer vorstellen, dass da tatsächlich am Ende immer natürliche Zahlen bei rauskommen. Aber ich kann dir versprechen, es funktioniert.
Und wir schauen uns auch nochmal ganz konkret dieses Beispiel Fibonacci-Zahlenfolge an. Und zwar bei dem Thema Differenzengleichungen. Wenn ich dir erkläre, wie du aus dieser rekursiven Darstellung von manchen Zahlenfolgen auf die zugehörige explizite Form kommen kannst, und zwar rechnerisch. Aber dazu später mehr. Aber das größte Mysterium von allen liefert immer noch die Folge der Primzahlen.
Bisher ist niemandem, auch nur irgendein Bildungsgesetz, weder rekursiv noch explizit bekannt, dass die Folge der Primzahlen vollständig abbilden kann. Viele behaupten sogar, dass es so ein Bildungsgesetz überhaupt nicht geben kann. Und vielleicht ist es auch besser so, denn in der Kryptografie basieren viele Verschlüsselungstechniken genau auf dieser Tatsache.
Bevor es gleich im nächsten Video richtig losgeht, Hier nochmal ein etwas gewöhnlicheres Beispiel. Schau dir mal diese Folge von Quadratzahlen an. 1 Quadrat, 2 Quadrat, 3 Quadrat, 4 Quadrat und so weiter. Das heißt, ganz offensichtlich ist das explizite Bildungsgesetz gleich n Quadrat. Zum Beispiel das sechste Glied dieser Quadratfolge ist 6 Quadrat, also 36. Das passt.
Und manchmal ist es besonders interessant herauszufinden, was die zugehörige rekursive Bildungsvorschrift ist. Da treten manchmal besondere Erkenntnisse zutage, über die man sonst nicht gestolpert wäre. Lass uns das mal zusammen machen. Lass uns so ein rekursives Bildungsgesetz aus dieser expliziten Bildungsvorschrift herausfinden.
Das einzige, was wir brauchen, ist der Nachfolger, den wir dann irgendwie in Verbindung bringen müssen mit diesem Vorgänger a n. Wenn hier ein n steht, wird auch hier ein n quadriert. Wenn dort ein n plus 1 steht, naja, dann wird auch hier ein n plus 1 quadriert.
Und der Trick ist jetzt, diesen Term so lange umzuformen, bis irgendwie ein n² zum Vorschein kommt, damit wir es danach im Folgenden durch a n ersetzen können. Das geht zum Glück ziemlich einfach, indem wir hier einfach nur diese binomische Formel auflösen. Siehst du das? n², das ist gleich a n.
Oh, interessant. Eine Quadratzahl bekommen wir nämlich ganz einfach dadurch raus, indem wir die vorhergehende Quadratzahl nehmen, plus 2n plus 1. Und das ist immer eine ungerade Zahl. Okay, interessant.
Wenn n gleich 1 ist, also bei der ersten Quadratzahl, dann müssen wir eine 3 dazu addieren. Bei der zweiten Quadratzahl müssen wir eine 5 dazu addieren. Und so weiter und so fort. Schau mal. Plus 3, plus 5, plus 7, plus 9, plus 11. Das sind eben besondere Erkenntnisse, die nur dann zu Tage kommen, wenn man mal drüber nachdenkt und diese rekursive und explizite Bildungsvorschrift gegenüber setzt.
Abgesehen davon, dass eben auch sowas mal eine Prüfungsfrage sein kann. Viel Spaß damit und bis zum nächsten Video. Hey, ich hoffe, ich konnte gerade mit diesem Video weiterhelfen. Wenn du dich zufällig demnächst auf eine Matheprüfung vorbereiten musst, dann schau unbedingt mal unter diesem Video nach.
Ich habe dort mehrere Online-Kurse von mir zur Klausurvorbereitung verlinkt. Sollte mal eins deiner Themen nicht dabei sein, dann schreib mir einfach eine Mail und du erfährst als erstes, wenn neue Kurse rauskommen. Wenn dir das Video weitergeholfen hat und du möchtest, dass in Zukunft weiterer Content erscheint, dann erzähl einfach deinen Kommilitonen, deinen Freunden und deiner Familie von mir und abonnier den Kanal.
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