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Ihr bekommt den Graphen von irgendeiner Funktion f hingeklatscht und sollt irgendwelche Aussagen über die Stamm-oder Ableitungsfunktion begründen. Stimmt es, dass die Ableitung von f in dem Intervall 20, 30, 1000, pipapo, 3 Nullstellen hat? Oder eben sowas in der Art.
Wenn ihr solche Aufgaben gar nicht abhaben könnt, seid ihr hier genau richtig. In diesem Video zeigen wir euch nämlich anhand von ein paar Beispielaufgaben, wie ihr dat ganz locker löst. Hauen wir gleich mal die Fische in die Pfanne und legen los!
Ihr bekommt diese wunderhübsche ganz rationale Funktion f1 von x und sollt jetzt die Aussage f1 von x hat den Grad 3 überprüfen. Wie macht ihr das? Wenn ihr komplett auf'm Schlauch steht, müsst ihr nur wieder zurück an die guten alten Zeiten denken.
Wo das Leben noch leicht war, das Abi in weiter Ferne lag, ihr den ganzen Tag chillen konntet und ihr es mit so einfachen Dingern wie Parabeln zweiten Grades zu tun hattet. So eine könnt ihr euch noch locker vorstellen. Die hat genau einen Extrempunkt, keinen Wendepunkt und maximal zwei Nullstellen. Wenn ihr jetzt einen Grad höher geht, müsst ihr einfach die Zahl der potenziellen Null, Extrem-und Wendestellen um 1 erhöhen. Ne ganz rationale Funktion dritten Grades kann also maximal zwei Extrempunkte, einen Wendepunkt und drei Nullstellen besitzen.
Eine vierten Grades maximal drei Extrempunkte, zwei Wendepunkte und vier Nullstellen und so weiter. Muss sie aber nicht. So kann zum Beispiel eine Funktion dritten Grades auch keine Extrempunkte besitzen.
So wie f3 von x gleich x hoch 3 zum Beispiel. Der Grad zeigt euch also erstmal nur, wie viele Null-Extreme-und-Wendestellen sie maximal besitzen kann. Wenn ihr euch also die Funktion in der Aufgabe anschaut, seht ihr, dass sie 2 Extremstellen hat, sie muss also mindestens vom Grad 3 sein. Es könnte aber auch ne Funktion fünften Grades sein. Oder siebten Grades.
f4 von x gleich x hoch 5 minus 3x sieht zum Beispiel auch so ähnlich aus. Ihr könnt also nicht genau sagen, welchen Grad f1 von x hat, nur dass sie mindestens den Grad 3 haben muss. Das, was wir euch mit der Aufgabe zeigen wollen, ist, dass ihr genau lesen und antworten müsst.
Achtet auf Formulierungen wie mindestens, genau, höchstens. Wenn ihr im Abi bei dieser Aufgabe nämlich einfach hinschreibt, yo, der Tyler hat zwei Extremstellen und hat deshalb den Grad 3, stimmt das leider nicht ganz und euer punktegeiler Mathelehrer klaut euch wertvolle Points. Besser seid ihr dran, wenn ihr schreibt, wegen der zwei Extrema muss f1 von x mindestens den Grad 3 haben.
Der genaue Grad ist jedoch aus dem Schaubild nicht ersichtlich. Ok, klingt bisschen spießig, aber genau da steht die Lehre drauf. So, weiter geht's.
Als nächstes bekommt ihr die Ableitungsfunktion g'. So schaut der Teil aus. Stimmt die Aussage, die Funktion g hat im Intervall minus 1,5 bis 2 genau 4 Extremstellen.
Um das zu lösen, müsst ihr euch die Nullstellen im Intervall anschauen. Klar, denn da wo g von x extremer hat, muss g'gleich 0 gelten. Wichtig ist hier nur, dass ihr 1. genau darauf achtet, wo euer Intervall liegt. In dem Beispiel schließt das gegebene Intervall nämlich die Nullstelle ganz links nicht mehr mit ein.
Und 2. die Nullstellen genauer betrachtet. Damit g nämlich wirklich an dieser Stelle einen Extrempunkt besitzt, muss an der Nullstelle ein Vorzeichenwechsel stattfinden. Wenn ihr das für diese Funktion abcheckt, stellt ihr fest, zwischen minus 1,5 und 2 hat g'genau 3 Nullstellen mit Vorzeichenwechsel.
Also hat g in diesem Intervall genau 3 Extremstellen. Für alle Ungläubigen unter euch haben wir hier nochmal die Funktion geplottet. g hat also wirklich zwischen minus 1,5 und 2 drei Extrema.
Zum Schluss bekommt ihr nochmal dieselbe Ableitungsfunktion g' Und sollt jetzt überprüfen, ob für die zweite Ableitung g2'gilt, g2'ist streng monoton fallend. Klingt im ersten Moment ziemlich schwierig. Wenn ihr euch aber klar macht, dass das einfach nur nochmal die Ableitung von g'ist, wird schon einfacher. Jetzt wisst ihr nämlich, dass g2'einfach die Steigungswerte von g'darstellt.
Soll heißen, da wo g'ne positive Steigung hat, ist g2'positiv. Das war's für heute. Da wo g'eine negative Steigung hat, ist g2'dementsprechend negativ. Da wo bei g'die Steigung immer weiter zunimmt, da wird g2'immer größer, steigt also streng monoton an. Umgekehrt fällt g2'dort streng monoton, wo die Steigung von g1'immer weiter abnimmt.
Wenn ihr euch das Schaubild anschaut, seht ihr ganz links bei x gleich minus 2 ist g'ziemlich steil. Geht ihr weiter nach rechts, nimmt die Steigung immer weiter ab. Beim ersten Hochpunkt ist sie dann genau 0 und danach wird sie sogar negativ. Bis hierhin sinkt die Steigung von g'also kontinuierlich.
Das bedeutet, dass g'streng monoton fällt. Beim ersten Wendepunkt, also bei circa minus 0,8, dreht sich aber der Spieß und die Steigung nimmt wieder zu. Das bedeutet, ab hier wächst g'streng monoton. Also ist g'von x aufs gesamte betrachtet Nicht streng monoton fallend, sondern fällt als erstes, steigt dann aber wieder und fällt zum Schluss nochmal. Konkret sieht g2'von x so aus.
Schaut euch ruhig nochmal das Schaubild an und versucht den Gedankengang Schritt für Schritt nachzuvollziehen. Und dann kommt unser wichtigster Tipp ganz zum Schluss. Übt Leute!
Rechnet euch die Finger wund! Und damit euch nicht erst mühsam irgendwo Übungsaufgaben raussuchen müsst, haben wir hier direkt passende Übungsaufgaben zu diesem Video. Wenn ihr zu den Übungsaufgaben kommen wollt, dann kommt einfach auf thesimpleclub.de oder ladet euch unsere App runter.
Wir sehen uns gleich dort! Musik