बायनॉमियल थ्योरम का अध्ययन

एक्स्पेन करके लिखी हुई है, आप लोग अपना फॉर्मला वाइस देख सकते हो, ये भी एक important application, value निकाल ये सर, 101, सर, simple calculator से कर सकते थे हम लोग, है न, या simple 101 को 4 बार multiply कर देंगे तब भी आ जाएगा, पर यहाँ पर क्या लिखा है, using binomial theorem, आपको binomial theorem का use करके value निकालना है बैट जानी चाहिए कि अगर ऐसा expansion आए तो हमें क्या करना है हेलो बच्चा लोग कैसे हैं आप सब लोग आशा करता हूँ सबका दिन अच्छा जा रहा होगा आज हम आ गए हैं page series के next lecture पे जो की है binomial theorem एक simple chapter है सिर्फ एक formula की मदद से आप पूरा chapter सॉल कर सकते हो scoring chapter होता है तो चलिए जल्दी से start करते हैं हम सारे type के questions करेंगे basic से लेके आपके miscellaneous exercise जो की tough question माने जाते हैं उस सारे questions हम करेंगे ठीक है आशा करता हूँ, आप सबकुछ clear हो रहा है अब ही तक, और आपको बहुत useful हो रही है series, तो last series में, या हमने last lecture में, हमने क्या देखा था, P and C, permutation and combination complete किया था, उसके अंदर हमने पढ़ा था, fundamental principle of counting, फिर factorial के बारे में पढ़ा था, वो factorial आज binomial में भी काम आएंगे, फिर permutation प� सारी टाइप के क्वेश्चन से हमने किये थे, वो चैप्टर हमने अच्छे से फिनिश किया था. आज की इस लेक्चर में हम क्या करने वाले हैं? Binomial Theorem for Positive Integral Index. मतलब जब पावर आपकी Positive Integer होती है, तब उसका Expansion क्या होता है? General Term, very very important. एक General Term से ही आपके Maximum टाइप के क्वेश्चन सॉल्व होते हैं. फिर Middle Term in the Binomial Theorem. चाहे आप इसका फॉर्मुला याद कर लो, या Basic जो आपकी Common Sense है, आप Common Sense यूज़ करके उसको General Term फॉर्मुले से सॉल्व करतो. मैं आपको दोनों तरीके आपको बताने वाला हूँ, ठीक है? तो चलिए जल्दी से स्टार्ट करते हैं इस chapter को, Binomial Theorem, सर, Binomial का मतलब क्या होते है? जैसे हमने पढ़ा है Monomial, Binomial, Trinomial, तो Binomial का मतलब दो terms, यानि कि जब आपके पास दो terms हो जाएं, इसको बोले जाता है Binomial, ठीक है? 1 plus 2x minus 3x, ये Binomial होगा क्या? नहीं. इसको जब आप solve करोगे यह हो जाएगा 1-x अब यह binomial है यह भी मतलब binomial का ही एक part है उसको बस divide कर दिया गया है समझे? तो इस तरह के चीजों को यह इस तरह के brackets को बहुत जाता है binomial अब expansion कब लगेगी? जब यहाँ पे power आ जाएगी इसको बोलते है binomial expansion जो हमें पढ़ना है, वो है बेटा सिर्फ positive integral index, यानि कि जो n है, ये क्या होना चाहिए सर, positive integer होना चाहिए, ये क्या होना चाहिए, सिर्फ और सिर्फ positive integer होना चाहिए, तब उसकी जो expansion होती है, सिर्फ उसके बारे में हमें पढ़ना है, हमारे syllabus में सिर्फ उतना ही दिया हुआ है, तो होता कैसे है सर, एकदम जल्दी से, दो मतलब, solve करना बहुत असान है इसको, x plus y का power n, तो सर आप क्या करेंगे? पहले तो NC0, X का power N, Y का power 0, plus NC1, X का power N-1, Y का power 1, NC2, X का power N-2, Y का power 2, and so on, last में जाता है NCN, X का power 0, Y का power N, ये आपकी expansion होती है. ठीक है, अब याद कैसे किया जाए सर, जो भी यहाँ पे पहला term होगा सर, उसकी जो power है, जो bracket है आपकी, वो ही आपकी highest power होती है, यानि कि वो highest power से 0 तक जाएगा, second term 0 से लेके highest तक जाएगा, यानि कि simple शब्दों में पहले term की power decrease करते जाना है, और second term की power को increase करते वे जाना है, इस expansion में, ठीक है, ये चीज समझ में आ गई, उसके बाद ये जो NC0, NC1, NC2, इसको हम बोलते है binomial coefficient, coefficient एक अलग होता है, ये है binomial coefficient, ठीक है, इनको हम बोलते है binomial coefficient, तो हर के साथ attach होता वा जाएगा, NC0 से start करेंगे up to NCn, तो ये आपकी हो जाती है binomial expansion, इस expansion से आपको कई सारी चीज़े समझनी की कभी भी जो आपके bracket की power है उससे बड़ी नहीं हो सकती, उससे बड़ी नहीं हो सकती, second चीज जब आप इन दोनों power का sum करोगे, यहाँ पे n, n-1 plus n, n-2 plus 2n, 0 plus n, n, यानि कि दोनों जो वहाँ पे terms आएंगी, उनकी जो power है, वो sum कभी भी इस bracket से बड़ा नहीं हो सकता, इस जो bracket की power है, उससे बड़ा नहीं हो सकता बेटा, अगर उससे बड़ा है तो वो term उस वहाँ पे आएगी ही नहीं, वो term कभी भी आएगी नहीं, दूसरी चीज अगर ये sum n के equal नहीं हो रहा है तो वो term भी नहीं आएगा, अगर दोनों variable है तो, एक constant है तो constant कोई भी power ले सकता है, लेकिन अगर दोनों variable हैं तो उन दोनों की power का sum bracket की power के equal होना चाहिए, bracket की power का equal होना चाहिए, basic basic चीज, इस basic basic चीजों को आपको समझना है, overall आपको क्या देखना है बेटा, पहले term की power decrease होती जा रही है, second term की power increase होती जा रही है, और फिर binomial coefficient को आपको attach करते वे जाना है, ये होता है एक normal binomial expansion, जहांपे जो n है, वो क्या है, एक positive integer है, एक positive integer है, ठीक इसी चीज को यहाँ पे दुबारा बताय गया है, ठीक है, एक चीज मैं और बोलना चाहूँगा, सर पावर n से स्टार्ट होके 0 तक आ रहा है, n से स्टार्ट होके, तो number of terms कितने हो जाएंगे, number of terms वो हो जाएंगे n plus 1, यानि कि जो भी bracket की पावर है, उससे एक जादा, उससे 0 से, मतलब, i-n से लेके वो 0 तक जा रहा है, यानि एक 0 वाला term extra आएगा, तो इतनी चीज़ें आपको समझनी है, तो पहला पाट है, सिर्फ और सिर्फ इस expansion की मदद से, हम काफी सारी चीज़ें solve कर पाते हैं, सिर्फ इस expansion की मदद से, तब बाद में हम लोग पढ़ेंगे general term, ठीक है, तो यहीं पे उस चीज़ों का बाद में और भी हमने आपकी notes के लिए बना दिया है, कि the number of terms in the binary expansion is one more than the index n, यानि की n plus 1, उसका reason क्या है? सर highest power से लेके वो 0 तक जा रहा है तो इसलिए वो n plus 1 हो गया in every term, sum of the indices of x and a is always n ये भी मैंने आपको बताया कि सर पहल, जो भी दोनों terms हैं उन दोनों के power का sum हमेशा index की value के equal होना चाहिए यानि कि जो bracket की power है उसके equal होना चाहिए the binomial coefficient of the terms are nc0, nc1, nc2 up to ncn इन सबको बोला जाता है binomial coefficient coefficient अलग होता है, अगर binomial coefficient बोल रहा है, तो ये होता है, उपर से ये दो formula जो हमने पढ़े थे, कि ncr is equals to ncn minus r, nc0 is equals to ncn, nc1, यानि कि पहला term, अगर मैं पीछे जाओं, तो सर पहले term का जो binomial coefficient है, वो last term के binomial coefficient के बराबर होगा, second term का जो binomial coefficient है, वो second last term के binomial coefficient के बराबर होगा, and so on. ठीक है ना, एक simple से example से भी आप समझ सकते हो, जैसे कि sir, a plus b का whole square, यह होता है a square plus 2ab plus b square, मतलब technically हम ऐसे लिखते हैं, तो आप देखोगे, यह binomial expansion ही है, तो पहले term का जो है, वो last term के coefficient के equal है, अब अगर a plus b whole cube ले लीजिए आप, तो वो होता है a cube plus 3a square b, plus 3ab square plus b cube, technically हम उसको ऐसे लिखते हैं, तो यहाँ पे भी, पहले term का coefficient, last term के coefficient के बराबर है, second term का coefficient, second last term के coefficient के बराबर है, तो इस तरीके से आपको binomial coefficient बराबर मिलेंगे, इस तरीके से आपको binomial coefficient बराबर मिलेंगे, तो इतनी सारी चीज़ें, हम लोग सिर्फ एक expansion से कि number of terms कितने होंगे, उसकी expansion में क्या होगा, पहले term का power decrease, second term का power increase, ये सारी चीज़े आपको ध्यान में रखनी है, ठीक है, simple है, सिर्फ एक expansion है, चलिए, आगे, hence the binomial coefficient of the term equidistance from the beginning and end are equal, वो equal हो जाता है, this, the notation this sigma, अब सर यहाँ पे k की value 0 से start होके, तो इसको जब आप expand करोगे वो ऐसे ही बनेगा, NC0 this this this ये, तो ये लिखो या ये लिखो बात एक ही है, ये दोनों का meaning क्या है विटा, ये दोनों का meaning है, सर ये बोल रहा है x plus a to the power n, इन दोनों का meaning, आप इसको expand करोगे तो ये मिलेगा, पहले term की power decrease हो रही है, दूसरे term की power increase हो रही है, साथ में binomial coefficient है, तो वो बन जाएंगे x plus a का power n, x plus a का power n. Hence the theorem can also be stand as x plus a to the power n equals to sigma notation of this. एक प्रकार से इसको हम बोलते हैं general term आशा करता हूँ समझ में आ रहा होगा यहां तक कोई दिक्कत नहीं होनी चाहिए यहां पे ठीक है आशा करता हूँ यहां तक समझ में आ रहा होगा ठीक है clear है ठीक है चलिए आगे बढ़ते हैं तो कुछ important expansion, आपको जैसे x plus a हो गया, उसके बाद x minus a क्या होगा, कुछ important expansion, दिमाग में एकदम बैट जानी चाहिए, कि अगर ऐसा expansion है, तो हमें क्या करना है, जैसे x plus a हमने देखा ही था, x minus a में बस क्या होगा बेटा, alternate plus minus आ जाएगा, यात करने के लिए, plus minus plus minus, मतलब जहा second term की odd power आएगी यानि कि alternate terms में वहाँ पे आपको minus sign रखना है बाकी सब जगा पे plus रहेगा simple उसी तरीके से अगर एक 1 हो जाए तो sir 1 का power कुछ भी 1 ही होता है 1 का power आप कुछ भी रखो वो 1 ही होता है तो इसलिए second term का power increase होते जा रहे है देखो nc 0 x power 0 nc 1 x power 1 nc 2 x power 2 करते करते तो 1 plus x का power n simple ठीक है NC 0, NC 1, NC 2, 1, X, X square, ऐसे करके जाता जाएगा, वहीं पे 1 minus X, तो अब क्या होगा, जहां जहां X की odd powers है, वहाँ पे minus sign, यानि की alternate plus, minus, plus, minus, ऐसे जाता जाएगा आपका, ऐसे आपका plus minus जाता जाएगा, तो ये कुछ expansion है, जो आपको याद रखनी चाहिए, ठीक है, ये into है बि� Using Binomial Theorem, expand each of the following. अब मतलब आगे वाले कुछ questions को हमें बस देखना है कि Binomial Expansion करके क्या होता है? आपको पूरा solve करने के भी ज़रूरत नहीं है, कभी कबार आप छोड़ भी सकते हो, वो डिपेंड करते हैं नंबर के उपर बेटा. एक नंबर का question है, दो नंबर का question है, तो हमें पता है, सर पहला टर्म 1 है, तो हम क्या करेंगे, 5 इसकी है, तो 5C0 plus. या एक काम करें यहाँ पे plus minus है तो alternate plus minus 5C1 2X का power 1 plus 5C2 2X का power 2 minus 5C3 2X का power 3 plus 5C4 2X का power 4 minus 5C5 2X का power 5 IS power 5 जाएगी उसके आगे जानी सकती तो अब थोड़ा थोड़ा आपको PNC से याद हो गया होगा कुछ terms, 5C0 होता है, 5C1 5 होता है, 5C2 10 होता है, 5C3 इसी के बराबर है तो 10 होता है, और 2 cube 8x cube हो जाएगा, 5C4 वापिस 5, 2 का power 4, 16x का power 4, और 5C5 1, 2 का power 5 यानि की 32x का power 5, इस तरीके से. ठीक है, तो यह हो जाएगा 1 minus 10x plus 40x square minus 80x cube plus 80x power 4 minus 32x power 5, यह आपकी expansion हो जाएगी, simple, यह आपकी expansion हो जाएगी, ठीक है, तो अब देखो बेटा, by no means, अब बच्चे बोलेंगे सर, पहला और आखरी तो equal नहीं हुआ, तो बेटा हमेशा याद रखो कि binomial coefficient equal होता है, coefficient equal होना ज़रूरी नहीं है, क्योंकि यहाँ पे 2 है, तो उसकी power की विज़ासे वो change होगा, बच्चे कई बार मेरे से पूछते हैं, तो इसलिए एक line उपर जाएगे, 1, यहाँ पे भी देखो, 1, यह into 1 है, ठीक है, 5, 5, 10, 10, बरा और coefficient में, तो coefficient होता है, जो terms के साथ भी है, उसका multiplication, और binomial coefficient होता है, सिर्फ C वाला part, ठीक है, इस चीज़ को बेटा, आपको ध्यान रखना है, ठीक है, question में ध्यान रखना है, और question करेंगे, जैसे यहाँ पे, अफसर 1 नहीं है, तो पहला term भी start हो जाएगा, 6C0, पहला term का power 6, alternate plus minus, so minus, 6C1, 2X का power 5, 3 का power 1 plus 62, 2x का power 4, 3 का power 2. minus 6C3, 2X का power 3, 3 का power 3, 6C4, 2X का power 2, power reduce हो रही है बेटा, 3 का power 4, फिर 6C5, minus आ जाएगा, 2X का power 1, 3 का power 5, last में 6C6, 2X का power 0, 3 का power 6 इस तरीके से तो अगर ये एक number में है तो आप ऐसी छोड़ दो कि दो number में है तो एक step और कर देना है आपको इस सब का expansion ये expansion आप कर सकते हैं तो मैं ये इसको नहीं कर रहा हूँ आप easily इसको solve कर सकते हो ठीक है चलिए next एक और 3x plus 2y to the power 5 सर same to same है पहला और second term है power 5 तो ये मैं आपको as a homework छोड़ रहा हूँ कि आप लोग easily इसको binomial के थूँ expansion कर सकते हैं, अब इस type की question जरूर हैं sir, ये two marks में आ सकते हैं, तो ऐसी type की question में evaluate बोला है, तो आपको पूरा का पूरा solve करना पड़ेगा, अब इसको solve करने का तरीका क्या है, ऐसा नहीं है कि आप दोनों को expand कर दो, तो देखो एक plus है और एक minus है, ठीक है, तो पहले अपन इसको तो जब हम expand करेंगे यह हो जाएगा 6C0 root 2 का power 6, 1 का power कुछ भी 1 ही होता है, 6C1 root 2 का power 5, 6C2 root 2 का power 4, then 6C3 root 2 का power 3, dot dot dot, 6C6 root 2 का power 6, यह हो जाएगा, अब just इसी के नीचे आप लिखे, root 2 minus 1 का power 6, तो सर वो क्या होगा, अब alternate plus minus 1, plus और minus आ जाएगा सर, तो यहाँ पे minus आ जाएगा, यहाँ पे minus आ जाएगा, फिर plus आएगा, यहाँ पे minus आ जाएगा, dot dot dot, लास्ट वाले में plus ही रहेगा, तो आप plus करोगे, minus बोलता तो आप minus करोगे, तो जैसे हम plus करेंगे, root 2 plus 1 का power 6, plus root 2 minus 1 का power 6, तो देखो बेटा, ये odd power वाले cancel हो रहे हैं, तो ये क्या होगा, 2 times, 6C0, root 2 का power 6, 6C2, root 2 का power 4, 6C4, root 2 का power 2, और last में 6C6, root 2 का power 6, ये लीजे, तो आपको सारा calculate नहीं करना पड़ा, वरना होता क्या, बच्चा क्या, इसको भी पूरा calculate करता, फिर इसको calculate करता, फिर add करता, तो आपकी calculation save हो गई, और यही correct method होता है, अब आप इसको solve कर सकते हो, जैसे 601 होता है sir, root 2 का power 6, यानि कि 2 cube हो जाएगा, अब 6C2, तो 6C2 को हम पर solve कर लेंगे 6 factorial, 2 factorial, 4 factorial एक cancel हो जाएगा 15 आ जाएगा बेटा तो यह हो जाएगा 15 अब यह हो जाएगा 2 का power 2 6C4, 6C2 के बराबर ही होगा तो देखो आपको मदद मिलती रहेगी ऐसा नहीं है कि आपको मदद नहीं मिलेगी और 6C6, 1 ही होता है 2 का power 3 यह हो जाएगा ठीक है? यह हो जाएगा, यह power 6 4, अच्छा यहाँ पे 0 आएगा sir, sorry, यहाँ पे 0 आएगा, my mistake यह आपका 0, तो यह 1 ही हो जाएगा तो 2 का power 0 decrease होना था power, तो 0 आएगा, तो इस तरीके से तो finally, 2 यह हो जाएगा 2 cube 8 4 into 15, आपका 60 हो जाएगा फिर 15 into 2, 30 हो जाएगा और ये 1, तो 2 into, सर 60 और 30 90, 98 plus 1, 99, final answer, बिटा 198, ये आपका answer हो जाएगा, 198 ये आपका answer हो जाएगा, इस तरीके से ये इस type के question को आपको solve करना है, ठीक है, minus होता, तो even power वाले चले जाते, odd power वाले आपके पास रह जाते, ठीक है आशा करता हूँ समझ में आ चलिए, अब देखिए minus वाला आ गया, एक question, minus वाला भी आ गया, तो यहाँ पे भी आपको same चीज करनी है, root 3 plus 1 का power 5, 5C0, root 3 का power 5, plus 5C1, root 3 का power 4, 5C2, root 3 का power 3, dot dot dot, 5C5, root 3 का power 0, 1, ये बचेगा, फिर root 3 minus 1, अब alternate minus आजाएगा, जो उपर लिखा हुआ है, same to same आपको लिखना है, मतलब अपने आप चीजे simple हो जाएगी, बस alternate minus लगा देना है बेट आपको, ठीक है, तो यहाँ पे minus आएगा, और last में भी minus आएगा, क्योंकि odd है, तो 5C5, अब हमें minus करना है, तो सर यह minus हो जाएगा, ये plus हो जाएगा, ये minus हो जाएगा ये plus हो जाएगा, ये plus हो जाएगा ऐसे करके हो जाएगा तो जब हम करेंगे root 3 plus 1 का power 5 minus root 3 minus 1 का power 5 तो अब सर ये वाले terms आपके cancel हो जाएगे, आप देखेंगे तो बचेगा क्या? 2 times 5C1 root 3 का power 4 5C3 root 3 का power 2, 5C5 into 1, ये आपका बच जाएगा, चलिए अब solve कर देते हैं, 5C1 sir 5 होता है, ये हो जाएगा 3 का square, 5C3, 5C2 के बराबर होगा, यानि कि 10 हो जाएगा, ये हो जाएगा 3, और 5C5 1 होता है, चलिए, एक और step, 3 square 9, 9 5's are 45, 10 3's are 30, plus 1, तो बेटा ये हो जाएगा आपका 75 plus 1, 76, ये हो जाएगा 40 plus 30, 70, 76, तो 2 6s are 12, 1, 2 7s are 14 plus 1, 5, तो 152 आपका answer हो जाएगा, तो evaluate जब भी बोलें आपको पूरा का पूरा solve करना है, आपको पूरा का पूरा solve करना है, ये 2 marks, 3 marks में question आता है, ठीक है, अच्छा question है, इस तरीके से करेंगे तो आपकी calculation reduce हो जाएगी, तो इसको इसी method से आप करिएगा, हमने दोनों case देख लिये, plus वाला भी देख लिया, minus वाला भी देख लिया, ठीक है बच्चा, चलो, अब ये भी एक important application है, value निकाल लिये sir, 101, sir, simple calculator से कर सकते थे हम लोग, simple 101 को 4 और multiply कर देंगे, using binomial theorem, आपको binomial theorem का use करके value निकालना है, ठीक है, तो कैसे करें, sir, binomial यानि कि इसको 2 terms में आपको divide करना पड़ेगा, 2 terms में, तो 101 को हम क्या लिख सकते हैं, बेटा, 100 plus 1 लिख सकते हैं, 100 plus 1 लिख सकते हैं, फायदा क्या होगा, sir, 100 का square, cube अराम से कर सकते हैं, और 1 का power कुछ भी तो 1 हो तो हमेशा कोशिश करो जब भी break कर रहे हो, तो 0, 0 में break करो, 0, 0, जैसे अगर 9 आ जाता, तो उसको मैं 8 plus 1 नहीं करता, मैं उसको 10 minus 1 करूँगा, जितना कोशिश हो सके, 0 लेके आओ, ठीक है, अब, यह हो गया break, अब इसको expand कर देंगे, 4C0, 100 का power 4, 4C1, 100 का power 3, 4C2, 100 का power 2, 4C3, 100 का power 1, 4C4, क्योंकि 1 का power कुछ भी तो 1 होगा, तो हमको उसके लिए tension लेनी की ज़रूरत नहीं है, चल ये 4C01 होता है, तो ये हो जाएगा 1, 2, 3, 4, मतलब 100 का power 4 ना sir, so 100 into 100 into 100, sir कितनी बार, 4 बार, तो 1, 2, 1, 2, 3, 4, ये आ जाएगा, 4C1 sir, 4 होता है, 100 power 3, तो 1, 2, 3, यह आ जाएगा, 4C2 आपका होता है 6, तो यह हो जाएगा 6 into 100, into 100, फिर 4C3, यानि की 4 into 100, और plus 1, यह हो जाएगा सर, ठीक है, तो अब इन सब को आपको add करना है, ठीक है, तो add करने के लिए आप यहाँ पे ऐसे भी कर सकते हो, सर, 1, 2, 3, 4, मतलब 1, 2, 3, 4, फिर उसके बाद 4, 1, 2, मतलब 1, 2, 3 फिर 4 आ गया, फिर 1, 2, फिर 6 आ गया, और फिर 400 आ गया, फिर 1 आ गया, ये, इन सब को एड़ करने है, तो 1, 0, 4, 0, 6, 0, 4, 0, 1, तो सर आंसर हो जाएगा आपका, 1, 0, 4, 0, 6, 0, 4, 0, 1, ये आपका आंसर हो जाएगा, यह आपका answer हो जाएगा इस तरीके से आपको solve ��रना है ठीक है इस तरीके से आपको solve करना है I hope clear है चलिए आगे बढ़ते हैं again अब 98 का power 4 पूछ रहा है बेटा 98 का power 4 तो अब कुछ बच्चे बोलेंगे sir 95 power plus 3 कर दें, या 97 plus 1 कर दें, पर बेटा एक बात बताओ, 97 का power 4 करने में बहुत दिक्कत आईगी, 100 का power 4 करने में दिक्कत नहीं आई थी, तो इसलिए, जब भी इस type of question आएगा, तो आपको break करना है किस में? 100, मतलब 0 के multiples में, हमेशा 0 के multiples में, हम लिखेंगे 100 minus 2 का power 4, 100 minus 2 का power 4, तो सर अब इसको expand जब करेंगे, 4C0, 100 का power 4, minus, alternate minus आ जाएगा, 4C1, 100 का power 3, 2 का power 1, plus 4C2, 100 का power 2, 2 का power 2, 4C3, 100 का power 1, 2 का power 3, अच्छा यहाँ पे minus आ जाएगा बेटा, alternate plus minus है, और last term plus 4C4, 2 का power 4, यह हो जाएगा बेटा, plus minus plus minus plus, इस तरीके से, अब आपको solve कर देना है, 4C01 होता है सर, यह हो जाएगा, 1, 2, 3, 4, minus, 4C14 होता है, 4 to the 8, 1, 2, 3, 4C2 6 होता है सर, और 6 into 4, 24, 1, 2, 4C3 4 होता है सर, और 4 into 8, 4 8s, 32 आ जाएगा, और last में 2 का power 4, 16, यह हो जाएगा, अब यहाँ पे आप plus वाले एक साथ कर सकते हो, और फिर minus वाले एक साथ कर सकते हो, जैसे मैंने plus वाले एक साथ अगर कर दिये, ते हो जाएगा, वन ये एक दो तीन चार पांच है तो जीरो जीरो टू फोर डबल जीरो वन सिक्स माइनस इन दोनों को आप एड करेंगे थ्री टू डबल जीरो तो यानि की एट जीरो जीरो थ्री टू डबल जीरो ये हो जाएगा अब आपको इन दोनों को माइनस करना है तो हम सिंपल माइनस कर सकते हैं वन डबल जीरो टू फोर डबल जीरो वन सिक्स और यहाँ पे आ जाएगा, 3, 2, 0, 0, 8, 0, 0, तो सर 6, 1, 10 में से 2 गया सर, 8, 9 में से 3 गया सर, 9 में से 3 गया 6, तो यह 3 हो गया था, यह 2 है, और फिर से 100 में से 8 गया सर, तो 92, तो आंसर हो जाएगा बिटा आपका, 9, 2, 2, 3, 6, 8, 1, 6, ये आपका answer हो जाएगा, अगर आपको exam में doubt हो, तो आप sir 98 को 4 times करके check कर सकते हो, आप 98 को 4 times करके check कर सकते हो, उससे क्या होगा, आप sure हो जाओगे कि आपका answer सही है, आपका answer सही है, ठीक है, आपका answer सही है, तो इस तरीके से आप verify भी कर सकते हो कि जो आपने calculation करी है, वो सही है, और मेरे marks deduct, ना हो एक छोटा सा चेक जो कि हर किसी को करना चाहिए ठीक है तो इस टाइप के कोशिशन बेटा आ सकते हैं और आते भी हैं दो से तीन मार्क्स में आते हैं उसको इसी तरीके से आपको सॉल करना है जीरो के मल्टिपल में करना मत बूलियेगा चलिए अब डेसिमल वैल्यू भी आता है कई बार 0.99 आ जाएगा या 1.2 तो यहां पे भी सर वन प्लस या वन माइनस क्योंकि वन का बावर कुछ भी रखोगे तो वन ही होगा ठीक है तो यहाँ पे भी हम इसको क्या लिखेंगे बेटा, 1 plus 0.2 का power 4, अगर 0.9 और आपके miscellaneous में question भी है, अगर ये देता तो हम यहाँ पे लिखते 1, minus 0.01 का power n, तो इस type से, अगर decimal आ जाए, तो आपको 1 के, मतलब parameter में करना चाहिए, ठीक है, अब इसको फिर से expand, 4C0, पहले term 1 का power तो कुछ भी रहेगा sir, फिर 4C1, 0.2 का power 1, 4C2 0.2 का power 2, 4C3 0.2 का power 3, 4C4 0.2 का power 4, इस तरीके से आप करेंगे, 4C01 हो जाएगा, 4C1 4 होता है, 4C2 6 होता है, अब ये हो जाएगा सर, 2, 2's of 4, लेकिन 2 decimal के बाद आएगा, तो 0.04 हो जाएगा, 4C3, 4 हुआ, तो यह हो जाएगा 0.008, यह हो जाएगा, 4C41 होता है, यह हो जाएगा 0.0016, यह हो जाएगा सर, 2 का power 4, 16, 16 by 4 zeros, तो यह हो जाएगा, तो solve कर दीजे, 1 plus 4 to the 8, फिर यह हो जाएगा 0.24, यह हो जाएगा 0.032 और यह हो जाएगा 0.016 अब इन सब को आपको add up करना है ठीक है तो अगर मैं इसको ऐसे कर दूँ 0.8, 0.24, 0.032 और फिर 0.0016, add करना है sir, तो यह हो जाएगा, 6, 2 plus 1, 3, 4 plus 3, 7, 8 plus 2, 10, तो 1.0736, plus 1, तो 2.0736, यह आपका answer हो जाएगा बिटा, यह आपका answer हो जाएगा, again, अगर आपको check करना है, तो आप 1.2 को 4 बार multiply करके देख सकते हैं, आप उसको चार बार multiply करके देख सकते हो ठीक है तो इस तरीके से आपको हर चीज आनी चाहिए चेक करके आनी चाहिए कैसे करना है क्या करना है यह आप class घर में करके देखिएगा miscellaneous में एक question है वहाँ करके देखिएगा up to 3 decimal या 4 decimal उसको आप solve करके देखिएगा तो यह एक ब वो ही, सिर्फ expansion करके हम, सिर्फ expansion करके solve कर रहे हैं, अभी तक जितने भी question किये हमने, सिर्फ expansion करके solve किये हैं, तो ये था expansion based, ठीक है, अब इसी में एक type आता है, जिसमें हम divisibility check करते हैं, तो चलिए, अब उन questions को देखते हैं, सबसे पहले, using binomial theorem, again, वो साफ सा बोल रहा है, सर, using तो सर 49 से divisible होने के लिए 49 के multiple होना चाहिए, like 49 into 1, 49 into 2, या 49 into some integer, तो दिमाग में यह आना चाहिए, जिससे भी divisible होना है, उसके वो multiple में होना चाहिए, ठीक है, तो यहाँ पे अब आते हैं, सर, 2 cube, मतलब 2 का power 3n, इसको हम ऐसे लिख सकते हैं, बिटा, 2 का power 3, का power n, इस तरीके से, तो सर होगा क्या, 2 cube हो जाएगा 8, और 8 को मैं लिख सकता हूँ 1 plus 7, ठीक है, अब बच्चे बोलेंगे सर 7 plus 1 भी लिख सकते थे, लिख सकते हो, पर 1 अगर है तो 1 को पहले लिखो, 1 plus 7 का power n, ऐसे हम लिख सकते हैं, ठीक है, इतना करने के बाद आप इसको expand कर दीजिए, ये क्या होगा, nc 0 plus nc 1 into 7, nc 2 into 7 square, nc 3 7 cube, dot dot dot, NCN 7 power N, minus 7N minus 1, यह हो जाएगा बेटा, चलिए, NC0 1 होता है, NC1 N होगा, तो यह हो जाएगा 7N, बाकि यह जितने भी terms हैं, इन सब में 7 square के higher powers हैं, तो यानि कि मैं 7 square common ले सकता हूँ, अगर मैंने 7 square common लिया, यहां बचेगा NC2, plus NC3 7, dot, dot, dot, NCN 7 power N minus 2 ये बचेगा सर देख लिजिये एकदम क्लियर है अरे सर ये तो cancel हो रहा है, ठीक है, ये cancel हो गया, अब ये क्या बचा, 49, अब एक चीज हमेशा याद रखना बेटा, NCR हमेशा integer देता है, हमेशा एक integer value देता है, तो integer, integer, into integer, integer, plus integer, ये सब plus होके एक integer ही देंगे, कोई भी एक integer हो सकता है, आपको calculate करनी की जरूरत नहीं है, ये सब plus या minus होके, या into होके एक integer देंगे, तो क्या बन गया, सर ये बन गया 49 into integer, तो आप लिखोगे, hence proved that, 2 power 3n, minus 7n minus 1, is divisible by 49, लीजे, दुबारा सिर्फ और सिर्फ expansion की मदद से, आपने solve किया है, सिर्फ और सिर्फ expansion की मदद से, तो जो भी वहाँ पे दिया है, उसका multiple आपको यहाँ पे लाना है, अब बच्चा पूछता है सर, कैसे दिमाग में लाए, 49 है, 49 क्या है, 7 square, यानि की 7, तो दिमाग में लाए चीज़े सर, 7, कैसे यहाँ पे हम 7 लाए, expansion में, जिस दिन से आप वो समझ जाओगे, तो आप आराम से आगे solve करना start कर पाओगे, ठीक है बेटा, चलिए, और question देखते हैं, next question, show that this is divisible by 64, 64 यानि की 8 का square, यानि की sir 8 के बारे में कुछ होना चाहिए, ठीक है, 8 के बारे में कुछ होना चाहिए, 9n plus 1, sir यहाँ पे तो 9 का power कु� into 9 power 1 minus 8n minus 9, ऐसे लिख सकता हूँ, तो सर 9 यहाँ पे, इस 9 को मैं 1 plus 8 का power n लिख सकता हूँ, बिल्कुल लिख सकते हैं सर, लिख सकता हूँ ना सर, 1 plus 8 का power n, minus 8n minus n, ऐसे लिख सकता हूँ, और मुझे 64 का चाहिए, तो यानि कि 8 आ गया मेरा, तो अब इसको expand करेंगे और देखेंगे, कि सर कुछ बन रहा है कि नहीं बन रहा है, चलिए, तो सर ये बनेगा NC0, NC1, फिर उसके बाद NC1 into 8, NC2, 8 square, NC3, 8 का power NCN, 8 का power N, ये बन जाएगा, minus 8n minus 9, ये हो जाएगा सर, ठीक है, अब 9 into 1, nc1 ये 8n दे देगा, अब इन सब में से 8 square common लूँगा, तो सर ये बचेगा, nc2 plus nc3 का 8, dot dot dot, ncn 8 का power n minus 2, minus 8n और 9 इधर है, so 9 into 1, 9, 9 8s are कितना होता है बेटा, 72 होता है सर, sorry, हाँ, 9 8s are 72 होता है, n plus 64 into 9, क्योंकि 9 multiply हो रहा है न सर, तो 9 into 64 into integer, अभी हमने proof किया था कि यह integer हो जाता है, minus 8n minus 9, लो सर, 9 और 9 cancel हो गया, अब सर 72-8 कितना होता है अगर आप देखेंगे तो 72-8 आपको दे देगा 64n plus 64 into 9 into integer मैं 9 को अंदर ले गया सर 9 को अंदर ले गया अब इन दोनों में 64 common लिया तो n plus 9 into integer एक और integer हो जाएगा और n भी एक positive integer है तो integer plus integer दूसरा कोई integer हो जाएगा 64 into कुछ integer हो जाएगा, लो सर, बन गया, तो फिर से last line क्या लिखेंगे, hence proved that this is divisible by 64, इस तरीके से सारे, इस तैप के question solve होंगे, इस तरीके से इस तैप के सारे question solve होंगे, देख लीजे, आशा करता हूँ यहां तक समझ में आ रहा है, कोई तकलीफ नहीं होगी, ठीक है, समझने में, चलिए अब यहाँ पे देखिए एक expansion का question भाई sigma दिया हुआ है सारे तो सिग्मा दिया हो तो डरना नहीं है बिटा, कोशिश करें, expand करते हैं, r 0 से start हो रहा है, तो n c 0, 3 का power 0, n c 1, 3 का power 1, n c 2, 3 का power 2, डॉट, डॉट, डॉट, n c n, 3 का power n, यह हो जाएगा, ठीक है, यह हो जाएगा, तो सर ये कुछ कुछ देखावा लग रहा है, क्या मैं इसको n c 0 1 का power n 3 का power 0 लिख सकता हूँ, बिल्कुल लिख सकते हैं, n c 1 1 का power n minus 1 3 का power 1, बिल्कुल लिख सकते हैं, तो ये जाता जाएगा, n c n 1 का power 0 3 का power n, तो हो कहा रहा है सर, पहले term का power decrease हो रहा है, दूसरे term का power increase हो का power n लिख सकता हूँ, जो की हो जाएगा 4 by n, तो ये आपका बन गया RHS, यहां से हमने start किया था LHS, इस तरीके से ये proof होगा, ठीक है बिटा, तो अभी तक हमने जितने question किये, question के evaluation वाले, ठीक है बिटा, फिर 98 या 99 का power कुछ दिया होगा, वो evaluation वाले question, फिर divisibility वाले question, और ये expansion based question, ये जितने भी थे, अभी तक जो सिर्फ हमने एक formula देखा था expansion का, कि पहले term का power decrease होगा, दूसरे term का power increase होगा, सब के सब उसी पे based थे, सब के सब उसी पे based थे, तो आशा करता हूँ यहां तक आप लोग को समझ में आ गया होगा, ठीक है, चलिए, अब आते हम अप कि अगर एक binomial expansion दिया हुआ है, महाँ पे हमने देख भी लिया था, तो इसका general term क्या होता है, इसको हम denote करते हैं, बेटा, tr plus 1, equals to, ncr, first term का power n minus r, second term का power r, इसको बोला जाता है, general term, अगर मैं इसको expand करूँ, तो यह हो जाएगा, nc0, x का power n, a का power 0, n c 1, x का power n minus 1, a का power 1, n c 2, x का power n minus 2, a का power 2, dot dot dot, n c n, x का power 0, a का power n, यह हो जाएगा, तो अगर compare करें, suppose करो मुझे third term चाहिए, तो सर, r की value क्या रखूँगा, 2 रखूँगा, R की value क्या रखूँगा, 2 रखूँगा, तो ये बन जाएगा NC2, X का power N-2, A का power 2, पहला, दूसरा, तीसरा, देखो सर, NC2, same to same आ गया, यानि कि ये TR plus 1, यानि कि अगर आपको पहला टम चाहिए, तो R को 0 रखना पड़ेगा, R को आपको 0 रखना पड़ेगा, इसको रटने का भी तरीका क्या है, N, C, R, first term, जो भी यहाँ पे first term है, X, Y, Z, कुछ भी हो, first term का power N-R, second term का power R, इस तरीके से आपको इसको रट लेना है, ठीक है, इस तरीके से आपको इसको रट लेना है, अब, इसकी application भी देखेंगे, so, R plus 1th term, T R plus 1 is called the general term, उसका formula यह, पहला term का power N-R, second term का power r notes के लिए मैं दुबारा लिख देता हूँ जिससे क्या है कि बच्चा अगर miss कर रहा है कि क्या हो रहा है तो कम से उसको लिखावा भी मिल जाए उसके notes proper बन जाए अब इसको question में कैसे use करते हैं find the 16th term पहला type का question होता है कि sir एक expansion है उसके अंदर 15th term कौन सा होगा 20th term कौन सा होगा 16th term कौन सा होगा पहले type का question यह है तो बेटा जब भी भी ऐसा कुछ आ जाए, सबसे पहले आप general term में उसको set कर दो, general term में set कर दो, set करने का मतलब, sir, tr plus 1, यहाँ पे n की value 17 है बेटा, n क्या है, 17 है, तो 17cr, first term, देखो मैंने पूरा का पूरा ले लिया, जो भी first term था, first term का power n minus r, अब second term minus के साथ ले लो, क्योंक यहाँ पे minus है तो minus तो कभी भी गलती नहीं होगी का power r लीजिये सर first term का power n minus r second term का power r चुपचा पहले आप उसको set कर लो general term में अब जो भी question है उसको पढ़ते हैं 16th term चाहिए मुझे चाहिए t 16 यानि कि t 15 plus 1 16 होता है तो यानि कि मैं क्या put up करूँगा, put r equals to 15, तो यह हो जाएगा 15 plus 1, 17 c 15, root x 17 minus 15, minus root y 15, यह हो जाएगा बेटा, अब solve कर दो, तो t 16, 17 c 15 होगा, 17 factorial, 15 factorial, 2 factorial, 17 minus 15, 2, तो x बचेगा, ये minus है तो minus बाहर आ जाएगा, ठीक है, और यहाँ पे बचेगा y का power 15 by 2, तो सर ये हो जाएगा 16, ये cancel, 2 8s हाँ, तो final answer बेटा क्या हो जाएगा, 8 into 17, 80 plus 56 is 136, so minus 136, x y का power 15 by 2. ये आपका answer हो जाएगा बेटा, ये आपका answer हो जाएगा, देख सकते हो आप लोग, ठीक है, इस तरीके से ये solve होगा, general term में कुछ भी नहीं, general term में पहले set कर देना है, set करने के बाद जो भी question में दिया हुआ है उसके according आपको काम करना है, हम अभी बहुत सारे question करेंगे, तो और कुछ भी नहीं करना इस question में, एकदम free के marks है, मैं बोलता हूँ, मतलब मैं बोल रहा हूँ, next, find the 13th term in the expansion of, where x is not 0, ठीक है सर, अभी आपने सिखाया, पहले अपन इसको general term में set कर लेंगे, अब थोड़ा सा हाथ ज़्यादा तेज चलना चाहिए, 18CR, पहला term का power 18-R, दूसरे term का power R, थर्टीन तरम चाहिए, तो R को मैं 12 put up करूँगा, तो T13, यह हो जाएगा 18C12, 9X का power 18-12, 18-12, 6 बचेगा, और minus 1 by 3 root X का power 12, यह हो जाएगा सर 9 का power 6, x का power 6, इसको आप simplify कर सकते हो, even है तो minus plus हो जाएगा, 3 का power 12, root x का power 12, यानि कि x का power 6, root x का power 12, यानि कि x का power 6, तो देखो यह और यह cancel हो गया, और सर 3 square 9 होता है, तो सर यह और यह भी cancel हो गया, तो आपका answer क्या बचा, 18 c 12, यानि कि 13th term आपका answer क्या ह 18C12, आप चाहो तो अब इसको solve कर सकते हो, factorial में, कोई बड़ी बात नहीं है आप लोगों के लिए, कोई बड़ी बात नहीं है, ठीक है, आशा करता हूँ समझ में आ रहा है, clear होगा, चलिए, आगे बढ़ते हैं, if the coefficient of x power 7 and x power 8 in the expansion are equal, then find the value of, अब ये second type का question है बेटा, second type का question है, पहले type का question था, कि आपको term निकालना था, कि 13th term, 16th term, 18th term, 20th term, वैसा निकालना था, अब coefficient निकालना है, x का power 7 या x, तो सर method क्या change हो जाएगा, नहीं बेटा, method change नहीं होगा, method same रहेगा, सबसे पहले अपन लिखेंगे general term, tr plus 1, तो ncr, पहले term का power, n minus r, दूसरे term का power r, अब जबी भी x का coefficient बोल रहे हैं न, x कोई power का, तब आप सारे constant को एक साथ कर लो, और x को एक साथ कर लो, इतना काम आपको extra करना है, तो actual general term आपका बन जाएगा, ncr, 2 का power n-r, ये 3 का power minus r उपर चला जाएगा, और x का power r, तो ये पूरा का पूरा आपका coefficient हुआ, और ये आपका x का power बन गया, ये आपका x का power बन गया, ठीक है, अब एक बार आप इसको भूल जाओ, हमको क्या चाहिए, x का power 7 चाहिए, तो सर, x का power 7 कैसे मिलेगा, जब मैं r को 7 put up कर दूँगा, और x power 7, r की value 7 होनी पड़ेगी, तो जैसी मैं r की value 7 डालूँगा, वो बोज n c7 2 का power n-7, 3 का power, minus 7, x power 7, यह बन जाएगा, यानि कि यह जो complete है, अब देखो binomial coefficient नहीं बोल रहा, सिर्फ coefficient बोल रहा है, यहाँ पे भी बच्चे को ध्यान रखना है, कि question setter, binomial coefficient बोल रहा है, यह सिर्फ coefficient बोल रहा है, यहाँ पे सिर्फ coefficient बोल रहा है, तो सिर्फ आप n-c-7 लेते हैं, तब आप सिर्फ NC7 लेते हैं, ध्यान रखना इस चीज़ को तो सर यही पे फिर क्या बोल रहा है? for X power 8 R को आपको क्या put up करना पड़ेगा? 8 तो T 8 plus 1 ये क्या बन जाएगा? NC8 2 का power N minus 8 3 का power minus 8 into X का power 8 लीजिये सर coefficient of x power 7, coefficient of x power 8, यहीं पे बोलता सर कौन सा term, मतलब इस expansion में, कौन सा term आपका x power 7 देगा, तो यह बन गया 8th term, कि सर 8th term आपका x power 7 देगा, 9th term आपका x power 8 देगा, तो इस तरीके से आप ये एक और type को question पूछ सकता है, कि सर कौन सा term x power 7 आएगा, यह x power 8 आएगा, तो यह भी सा� अब according to question क्या बोल रहा है सर ये दोनों coefficient equal है तो n की value क्या होगी यानि की n c 7 2 का power n minus 7 और by 3 का power 7 equal है n c 8 के 2 का power n minus 8 by 3 के power 8 से ऐसे सर चलिए अब इदर उदर ले जाएगे, तो NC7 होगा आपका N factorial 7 factorial N minus 7 factorial, divided by N factorial 8 factorial N minus 8 factorial 3 power 7 यहाँ से cancel हो जाएगा sir, और यह भी यहाँ से, मतलब यह उधर जाएगा, और यह नीचे जाएगा तो उपर जब जाएगा, तो N, तो 2 power minus 1, तो यानि कि यहाँ पे बचेगा आज 3 power 1 और उपर में बचेगा बेटा minus n plus 7 तो 2 power minus 1 यह बचेगा तो यहाँ पे देखो n और n factorial cancel हो गया तो यह जब उपर जाएगा तो यह बचेगा 8 और यहाँ पे बचेगा by n minus 7 क्योंकि यह नीचे आ जाएगा n minus 7 into n minus 8 factorial equals to 1 upon 6 तो यहां से अपन करेंगे बेटा, 6 8's are 48 equals to n minus 7, तो n की value हो जाएगी कितनी? तो n minus 7 equals to 48, तो n की value हो जाएगी 48 plus 7, 55. यह आपका answer हो जाएगा, n की value हो जाएगी 55. इस तरीके से यह solve होगा. तो यहाँ पे हमने 2-3 चीज़े देखी, पहली, अगर आपको x का कोई coefficient बोल रहा है, x की power का कोई coefficient, तो आपको वहाँ पे क्या करना है बेटा, पहले general term निकाल के, x की term, मतलब purely x की power को एक साथ ले लेना है, और बच्चावा सारा आपका क्या हो जाएगा, coefficient हो जाएगा, फिर जो भी power है, उसको r की value आपको put up करनी है, इस तर आगे और questions करेंगे तब और भी clarity मिलेगी ठीक है तब आपको और भी clarity मिलेगी चलिए next find the ratio of the coefficient of x power 15 to the term independent of x in the expansion तो basically हो क्या रहा है sir आपको दो दो अलग अलग questions हैं लेकिन method same ही है जैसे ratio of the coefficient of x power 15 to the term independent of x, independent of x मतलब sir x का power up क्या हो जाएगा, 0, x का power क्या हो जाएगा, 0, ठीक है, तब अपन को क्या करना है, ठीक है, तो यहाँ पे भी sir वो ही करेंगे, सबसे पहले यहाँ पे आप ले लिजे, general term, तो sir general term क्या हो जाएगा, general term हो जाएगा, 15cr, first term का power 15 minus r, second term का power r, अब हमको इसको simplify करना है, 15cr x का power 30-2r हो जाएगा, 2 का power r हो जाएगा, x का power minus r हो जाएगा, 15cr, 2 का power r, यह आपका coefficient बन गया, x का power 30 minus 3r, यह हो जाएगा, x का power 30 minus 3r, यह हो जाएगा, यहां तक आशा करता हूँ, समझ में आ गया होगा, इतना करने के बाद, पहला part, coefficient of x power 15, तो सर x power 15 के लिए for x power 15 30 minus 3r equals to 15 होना चाहिए, 30 minus 3r जो भी x का power है ये 15 होना चाहिए ना सर, तो 3r equals to 15 होना चाहिए, r की value 5 होनी चाहिए, r की value 5 होनी चाहिए, तो मेरा coefficient क्या हो जाएगा, coefficient मेरा बन जाएगा, 15C5, 15C5, 2 का power 5, लीजिये, simple, क्योंकि यही बस आपका coefficient है, for x power 0, या independent of x, independent of x, दोनों का मतलब same है बेटा, x power 0 का मतलब ही है independent of x, 30 minus 3R को 0 होना पड़ेगा, 3R को 30 होना पड़ेगा, R को 10 होना पड़ेगा, तो coefficient मेरा क्या बन जाएगा, 15C10, 2 का power 10, ठीक है, तो अब हमसे बोल रहे है, ratio of the coefficient, तो sir ratio मेरा क्या हो जाएगा, x power 15 है, 15C5, 2 का power 5, divided by, 15C10, 2 का power 10, अब सर 15C5 और 15C10 equal होगा, NCR equals to NCN minus R, तो यह और यह तो cancel हो गया, यहाँ पर यह cancel होगे, 5 बचा, तो यह क्या बचा, 1 upon 2 का power 5, यानि कि 32, 2 to the 4, 4 to the 8, 8 to the 16, 32, यानि कि ratio बन गया बेटा, 1 is to 32, ratio आपका बन जाएगा, 1 is to 32, इस तरीके से यह solve होगा, इस तरीके से ये solve होगा, तो आशा करता हूँ, समझ में आ रहा है, और आराम से मैंने आपकी clarity के लिए, ऐसे question लिए, जहाँ पे दो दो बार आपको करना पड़ रहा है, तो आप solve करेंगे general term को, general term को solve करने के बाद, जो भी x की power आई है, और जो यहाँ पे x की power coefficient बोल रहा है, that's it. फिर उसका आप coefficient निकाल सकते हो, ठीक है, clear है, चलिए, आगे बढ़ते हैं, अब यहाँ पे देखिए सर, show that the ratio of the coefficient of x power 10 in the expansion of this and the term independent of x in the expansion of this is 1 is to 32, prove करना है मतलब, दो अलग-अलग question हैं, दोनों में ratio निकालने हैं, और फिर आपको proof करना है, ठीक है, एक-एक करके आप solve करोगे, सबसे पहले 1 minus x square का power 10, 1 minus x square का power 10, इसका general term कितना हो जाएगा बेटा, यह हो जाएगा 10cr, first term का power कुछ भी, तो minus x square का power r, यानि की 10cr minus 1 का power r, x का power 2r, लीजिये सर, ये आपका बन गया ठीक है इसकी बात करेंगे तो TR प्लस 1 ये क्या हो जाएगा 10CR फर्स्ट टर्म का पावर 10 माइनस R सेकिन टर्म का पावर R अब इसको सॉल करेंगे 10CR X का पावर 10 माइनस R माइनस 2 का पावर R X का पावर माइनस R तो 10CR minus 2 का power r, x का power 10 minus 2r, लीजे सर, ये भी बन गया, अब, पहले case में क्या बोल रहा है, coefficient of x power 10, तो, for x power 10, 2r को 10 होना पड़ेगा, तो r की value कितनी हो जाएगी बेटा, 5 हो जाएगी, तो coefficient हमारा क्या हो जाएगा, 10c5, minus 1 का power 5 यह हो जाएगी sir simple और यहाँ पे independent of x, यानि की for x power 0, यहाँ पे क्या है हमारा 10 minus 2r है, तो 10 minus 2r को 0 होना पड़ेगा, 2r को 10, r को 5, तो coefficient क्या बन जाएगा बेटा, 10c5 minus 2 का power 5, यह हो जाएगा, ठीक है, चलिए, अब ratio, ratio क्या बोल रहा है, minus 10 c 5, क्योंकि minus 1 का power 5 minus होता है, divided by minus 10 c 5 2 का power 5, sir, ये और ये तो cancel हो गया, minus minus plus हो गया, ये हो गया 1 is to 32, तो आप लिखेंगे proved, आप लिखेंगे इसको proved, इस तरीके से ये solve होगा, इस तरीके से ये solve हो जाएगा, ठीक है, तो हर जगा हम लोग बार बार एकी चीज कर रहे हैं बेटा, general term निकाल रहे हैं, simplify करके x की powers को या x की चीज को एक साथ लेके जा रहे हैं, constant को एक साथ लेके जा रहे हैं, जो भी question में बोला है कि x की किस power का coefficient चाहिए, r को उससे equate कर दे रहे हैं, that's it, ठीक है, चलिए multiply करके दे दिया, अब क्या करेंगे, तो सर, जो power 1 है, आप इसको तो expand करी सकते हो न, यानि कि, ये हो जाएगा 1 into 3 by 2 x square minus 1 by 3 x का power 9, plus x into 3 by 2 x square 1 by 3 x का power 9, plus 2x cube 3 by 2x square minus 1 by 3x का power 9 यानि कि अब ध्यान समझिएगा ये तो सर 1 है तो ये as it is रहेगा x into यानि कि यहाँ पे हर एक term से x multiply होगा और यहाँ पे हर एक term से x cube multiply होगा ठीक है तो अगर मैं general term निकालना चाहूँ इसका general term tr plus 1 वो हो जाएगा NCR first term का power N-R, second term का power R. थोड़ा सा simplify करेंगे, NCR 3 by 2 का power N-R, X का power 18-2R, minus 1 by 3 का power R, into X का power minus R. और simplify करेंगे, ncr 3 by 2 का power n minus r minus 1 by 3 का power r x का power 18 minus 3r यह हो जाएगा सर यानि कि यह जो तीनों है इनका जो आपका क्या बोलना चाहिए general term है वो यह आ जाएगा अब इसको आप तीन अलग अलग question समझ के चलिए पहला part यह है सर यहाँ से मुझे independent of x, यानि कि x का power 0 चाहिए, तो सर x का power 0 चाहिए, यानि कि 18 minus 3r 0 चाहिए, तो r की value हो जाएगी 6, r की value हो जाएगी 6, तो 6 put up कर दो, 9c6, 3 by 2 का power 9 minus 6, और minus 1 by 3, का power 6, अब यहाँ पे आ जाओ सर, यहाँ पे x multiply होगा, तो सर independent का बोगा, जब यहाँ पे 1 by x आएगा, अगर 1 by x आया, तो x उसको multiply करके independent of x बना देगा, यानि, मुझे अब यह x power का minus 1 चाहिए, x power minus 1 चाहिए, x power minus 1 चाहिए, यानि कि, 18 minus 3r minus 1 होना चाहिए, तो सर ये हो जाएगा 19 equals to 3R, तो R equals to 19 by 3, अब बच्चे क्या गलती करते हैं, R को 19 by 3 लिख देते हैं, ये गलत होगा सर, यानि कि इस वाले से आपको कोई भी X independent term नहीं मिलेगा, X independent term नहीं मिलेगा, क्यों, क्योंकि R की value हमेशा integer होनी चाहिए, R should always be integer, अगर r integer नहीं है, तो आप बोलेंगे वो term वहाँ पे नहीं आ सकता, वो term वहाँ पे नहीं आ सकता, ठीक है, यहाँ पे आ जाओ, सर यहाँ पे अब x power 3 है, basically हर एक term 2x power 3 से multiply होगा, तो यानि कि मुझे यहाँ पे x का power minus 3 चाहिए, यहाँ पे x का power 1 था, तो x का power minus 1 चाहिए था, यहाँ पे x का power minus 3 होगा, तभी तो cancel होगा, तो मुझे यहाँ पे चाहिए x का power minus 3, तो यानि कि 18 minus 3r minus 3 के equal होना चाहिए, तो sir 3r हो जाएगा 21, r equals to 7, यानि कि मैं r equals to 7 डालूँगा, तो जब यह multiply होगा, तब आपको independent of x मिलेगा, बहुत important सवाल है बेटा, 4 से 5 marks में यह आ सकता है, समझ ये, यहाँ से हमको मिला, यहां से नहीं मिला, यहां से फिर से मिला, अब यह 2 भी है, 2 भी सबसे multiply होगा, तो जब coefficient हो जाएगा वो 2, into, अब r की value 7, तो 9c7, 3 by 2 का power 9 minus 7, 2, और minus 1 by 3 का power 7, यह हो जाएगा, तो final answer क्या होगा, यह plus यह, यहां से तो 0 आया सक, यह coefficient क्या हो जाएगा, 0, अब इसको आप solve कर 9C6 कितना हो जाएगा बेटा, 9 factorial, 6 factorial, 3 factorial, यह हो जाएगा 3 का power 3, 2 का power 3 यानि की 8, यह हो जाएगा 1 का power 3 power 6, तो यह cancel होके यहाँ पे 3 power बचाएगा, plus इसको, तो sir 9C7, 9C2 के बराबर होता है, तो 2 into 9 factorial, 7 factorial, 2 factorial, 3 का square, और 2 का square, और ये minus आ जाएगा sir बाहर, तो यहाँ पे ये minus आ जाएगा, minus 1 by 3 का power 7, तो ये cancel होके यहाँ पे 5 दे देगा, अब इसको solve करेंगे, तो sir ये into 8, into 7, ये cancel हो जाएगा, 3 into 2, तो 3, 3's आ, और 2, 4's आ, एक 3 और cancel हो जाएगा sir, ये 2 बचेगा, ये 4 cancel हो जाएगा, ये भी 2 बचेगा, तो क्या बचेगा सर आपके पास, 7 by 7 by 2, और 3 square 9 so 9 into 2, 18 7 by 18, minus यहाँ पे आजाओ, 9 into 8, 7 factorial, cancel हो गया बेटा 4 into 2, ये 8 cancel हो जाएगा, अब ये 9 cancel हो जाएगा तो 2 power और चली जाएगी तो 3 बचेगा तो उपर में आप बचा 2 और नीचे में बचेगा 3 cube यानि की 27 7 by 18 minus 2 by 27 तो final answer LCM जब हम लेंगे तो सर 9 2's आ 9 3's आ तो 9 6's आ 54 तो 18 3's आ 54 होता है बेटा so 3 7's आ 21 minus 27 2's आ 2 2's आ 4 तो यानि की 17 by 54 आपका answer हो जाएगा 17 by 54 आपका answer हो जाएगा, इस तरीके से ये solve होगा, इस तरीके से ये solve होगा, बहुत जरूरी question है, आपको देखना था कि multiply होके ये आपको कैसे value देगा, ठीक है, तो आशा करता हूँ, चीज समझ में आ गई होगी, ठीक है, clear है, बहुत ही important सवाल है, चलिए, आगे बढ़ते हैं, अब ये सर उसी type का एक और question है, find the coefficient of x, वहाँ पे था independent of x, अब x, 1 minus x का power 16, मतलब जिन बच्चों को वो question में नहीं समझ में आया, तो दुबारा यहाँ पे समझ सकते हैं, मैं दुबारा पूरा explain करने वाला हूँ बेटा, तो minus 3x into 1 minus x का power 16 plus 7x square 1 minus x का power 16, यह हो जाएगा, चलिए, अब अगर इसका general term लेंगे, तो tr plus 1, यह कितना हो जाएगा, 16cr, 1 का power कुछ भी तो 1 होता है, minus x का power r, लीजिए, इसका general term भी आसान है, सर, इसका general term भी आसान है, मतलब इसको और अगर simplify करना है तो 16cr-1rxr आप ऐसे ले लीजे चलिए वापिस आते हैं, तीन अलग-अलग सवाल, तीन अलग-अलग सवाल, आपको x चाहिए, तो सर यहाँ पे x का power 1 चाहिए मुझे, अब अगर मुझे x का power 1 चाहिए, तो अब मैं क्या करूँगा सर, r की value को 1 put up करना पड़ेगा, जो भी वहाँ पे r है, उसको 1 put up करना प� सर, अब minus 3 x है, यानि कि हर एक टम x से multiply हो जाएगा, तो सर, मुझे तो फिर यहाँ से constant टम चाहिए न, तब ही तो मुझे वो x देगा, अगर मैं x को x से multiply करूँगा, वो x square हो जाएगा, तो यहाँ पे आपको चाहिए x का power 0, तो यानि कि r को आप क्या put up करोगे बेटा, 0 put up करोगे, और minus 3 पहले से ही था, ठीक है, तो 0 put up किया, तो 16c 0 आगया, minus 1 का power 0, 1 ही होता है, अब यहाँ पे x square है, तो मुझे अब यहाँ पे क्या चाहिए, x का power minus 1 चाहिए, मुझे अब यहाँ पे क्या चाहिए, x का power minus 1, तो सर मैं r को क्या put up करूँगा, minus 1, पर सर हम सिर्फ positive integer ले सकते हैं, r को positive integer ले सकते हैं, negative नहीं ले सकते हैं, तो यहाँ से no solution आएगा, simple शब्दों में जब हर चीज x square से multiply हो जाएगी, तो वो x कैसे देगा, वो x, नहीं दे सकता, दे सकता अगर 1 by x possible होता, पर यहाँ पे possible नहीं है, तो यहाँ से 0 हो जाएगा तो यही दोनों को solve करना है यह हो जाएगा, minus 16 c1 16th को देगा, और यह हो जाएगा minus 3, 16 c0 1 होता है, तो answer हो जाएगा minus 19, answer हो जाएगा minus 19, तो इस तरीके से यह solve होगा इस तरीके से यह solve होगा ठीक है चलिए आगे बढ़ते हैं तो बेटा यह था अभी तक जो आपने देखा कि जनरल टर्म का कैसे यूज होता है उसमें जब दो मल्टिप्लाई में भी आ जाते हैं वो सारे चीज हमने देखा मैंने लगबग जो क्वेश्चन से सारी टाइप कीए इंडिपेंडर आफ ट उसके बाद हम सिर्फ miscellaneous problems करेंगे काफी सारे middle term of binomial expansion सर middle term क्या होगा basically middle term क्या होगा तो इसको समझने के लिए एक छोटा से example लेते हैं x plus y का whole square और x plus y का whole cube just समझाने के लिए बेटा just समझाने के लिए ये देगा x square plus 2xy plus y square ये देगा x cube plus 3 x square y plus 3 x y square plus y cube plus y cube ये हो जाएगा ठीक है अब सर power even था power even था तो number of terms क्या होगा odd हो जाएगा 2 plus 1 3 तो सर middle term एक ही आएगा middle term एक ही आएगा जब power और था तो number of terms कितने हो जाएगे? 4 मतलब 1 जादा even हो जाएगा तो middle term 2 आएगे तो middle term 2 आएगे ये चीज आपको देखनी है तो यहाँ पे जो middle term है वो कैसे आया सर? n by 2 plus 1 मतलब 3 term थे तो 3 का आदा 1.5 यानि की second term आपका answer होगा यहाँ पे 3 total 4 term थे 4 का आदा यानि की 2 तो 2 और उसके आगे वाला 3 वो आपका middle term होगा इस तरीके से idea लगा के भी आप general term निकाल सकते हो, नहीं तो formula क्या होता है, in x plus y power n, ठीक है, if n is odd, then t n plus 1 by 2 and t n plus 3 by 2 are your middle term, if n is even, then t n by 2 plus 1 are your middle terms, नहीं तो आप ये formula याद कर लो, नहीं तो आप ये formula याद कर लो, देखो, 2 by 2, 1, 1 plus 1, 2, तो t 2 आपका middle term हो गया, फिर general term निकालना आते ही है, यहाँ पे 3 plus 1, 4, 4 by 2, 2, 3 plus 3, 6, 6 by 2, 3, तो second और third term आपका middle term हो गया, तो इस तरीके से आप middle term निकाल सकते हो, ठीक है, चलिए, तो वही चीज यहाँ पे है, explain करके लिखी हुई है, आप लोग अपना formula wise देख सकते हो, ठीक है, आप यहाँ पे formula wise देख सकते हो, अगर किसी को formula, मतलब यहाँ पे मैंने type करके भी दे दिया, यह 2 करेंगे तो 3 हो जाएगा, वो same ही चीज है sir, अब question देखते ह ये क्या है, even है, तो हमारा middle term क्या हो जाएगा, t 6 by 2 plus 1, यानि कि t 3 plus 1, ये आपका middle term होगा, तो यहाँ भी क्या करना है बेटा, general term, यानि कि 6cr, 3 का power 6 minus r, x का power r, तो यहाँ पे r की value क्या रखनी है, 3 रखनी है, तो 3 रख दीजे, तो यह जाएगा 6c3, 3 का power 6 minus 3, 3, और x का power 3, ये आपका middle term बन गया, simple sir, इसमें कोई difficulty नहीं है बेटा, formula याद रखे, बस आपको general term में r की value रख देनी है, r की value निकालने के लिए formula आपको याद होई गया होगा, ठीक है, next, दुबारा, 8 है sir, तो यहाँ पे मेरा middle term क्या होगा, t 8 by 2 plus 1, यानि की t 4 plus 1 यानि कि 8C4 first term का power 8-4 into second term का power 4, इसको आप simplify कर सकते हूँ, मैं यहीं पर छोट रहा हूँ, तो middle term एक छोटा सा topic है बिटा, formula based है, formula याद हो गया तो आप easily कर सकते हूँ, अब दुबारा यह 10, यहाँ पर भी 10 है तो आप यह निकाल सकते हूँ, ठीक है, यह भी basic चीज है, यह भी आप homework में कर सकते हैं, मतलब थोड़ा सा सबस्पलिफाइट करने है, इतना पार्ट मैं आप लोग के लिए छोड़ रहा हूँ, अब यहाँ पे देखो, find the two middle terms in the expansion, two middle terms यानि की देखो अब power क्या हो गई, odd हो गई, तो अब मेरी middle terms क्या होंग और T 8 by 2 4, तो T 3 और T 4 आपके expansion होंगे, तो अब यहाँ पे जब मैं general term लिखूंगा, TR plus 1, वो हो जाएगा 5CR, first term का power 5 minus R, second term का power R, ठीक है, अब मुझे T 3 और T 4 चाहिए, तो T 3 के लिए बेटा आप क्या लिखेंगे, T 2 plus 1, यानि कि r की value 2 रखनी है, 5c2 x square 5-2 a square 2, और t4 के लिए t3 plus 1, तो 5c3 x square 5-3 2, और a square 3, यह हो जाएगा, अब देखो, coefficient देखो, 5c2 10 है, 5c3 भी 10 है, दोनों का coefficient same होगा, होना ही पड़ेगा, ये लोग सेम हो ना हो, ये दोनों सेम होंगे, binomial coefficient सेम होंगे, ठीक है बेटा, इस तरीके से आपको ये करना है, अब एक की ज़ेगा, दो निकलेगा, एक step इसमें बढ़ जाएगा, वहाँ पे directly आ जाता है r plus 1, यहाँ पे r plus 1 में convert करना पड़ेगा, बस, ठीक है, इसी तरच पे एक और question है, 11, तो यहाँ पे भी sir, हमारे general term, मतलब, क्या होगा, 11 plus 1 by 2, and, 11 plus 3 by 2, तो T 12 by 2, 6, and T 14 by 2, 7, यह हो जाएगा, तो T 6 की जगा पे 5 plus 1, और यह हो जाएगा 7 की जगा पे 6 plus 1, तो 11 C 5, first term to the power 11 minus 5, into second term to the power 5, और यहाँ पे 11C6, first term और second term, ठीक है, तो coefficient आप देखोगे, वो same ही आएगा, वो बस solve करने पे अलग-अलग value हो सकती है, पर वो दोनों ही middle term कहलाएंगी, वो दोनों ही middle term कहलाएंगी, आपको confuse नहीं होना है, आप लोगों को confuse नहीं होना है, ठीक है, अब ये एक और है ये मैं आप लोग के लिए homework छोट रहा हूँ और ये चौथा वाला भी आप लोग के लिए homework, तो दो मैंने solve किये, दो-दो मैंने आप लोग के लिए homework छोड़े हैं, चलिए, अब अपन करते हैं कुछ miscellaneous problems, ठीक है, कुछ miscellaneous problems, तो topics बेटा तीन ही थे, ठीक है, topics अभी तक तीन ही थे, chapter theory wise complete हो चुका है, पहला topic था expansion, उसमें हमने divisibility वाला question, evaluation वाला question, second type था आपका general term, उसमें independent of x, यार 16th term, 15th term वो निकालना सीखा, third था आपका middle term, हमने वो, ये तीनी topic है, अब इनी सब के उपर कुछ miscellaneous problems है, जो थोड़े tough problems है, वो सब मैं आपको करवा रहूं, जिससे आपकी practice एकदम strong हो जाए, ठीक है, जिससे आपकी practice एकदम strong हो जाए, चल ये, जिससे यहाँ पे, ठीक है, तो आख बंद करके कभी भी आ जाए, कि कुछ x power 5 निकालना है कुछ करना है आपको पहले general term लिखना है बेटा तो यह हो जाएगा 8cr x का power 8 minus r first term first term का power n minus r second term का power r अब मुझे x power 5 चाहिए तो तुरंत आप क्या लिखोगे कि sir 8 minus r 5 होना चाहिए तो r की value हो जानी चाहिए 3 तो r की value को 3 put up कर दो तो 8c 3 x का power 8 minus 3 यानि की 5, 3 का power 3, coefficient बोला है, तो sir 8c3 कितना होगा, 8 factorial, 3 factorial, 5 factorial, into 3 cube, 27, तो 8 into 7 into 6, ये cancel हो जाएगा, 3 to the 6 भी cancel हो जाएगा, तो answer हो जाएगा 56 into 27, इसको आप multiply कर लेंगे, तो answer हो जाएगा, ठीक है? इतना पाट करना था सर, next, find the coefficient of x power 6, क्योंकि इस coefficient वाले problems थोड़े से difficult बच्चे के लिए होते हैं, तो हम थोड़े से और solve कर रहे हैं, अब x power 6 का coefficient चाहिए, method same है सर, tr plus 1, 9cr, first term का power n minus r, second term का power r, यह हो जाएगा, चले, 9CR 3 का power 9 minus r, x का power 18 minus 2r, multiply होगा sir, यहाँ पे minus 1 by 3 का power r, x का power minus r, और simplify करेंगे, 9CR 3 का power 9 minus r, minus 1 by 3 का power r, x का power 18 minus 3r हो जाएगा sir, यह आपका बन गया, अब आपको x power 6 चाहिए, यानि की 18 minus 3r 6 होना चाहिए, तो sir 3r 12 हो जाना चाहिए, r की value 4 हो जानी चाहिए, r की value 4 हो जानी चाहिए, तो substitute कर दो, तो coefficient of x power 6 कितना हो जाएगा, 9c4, 3 का power 9 minus 4, or minus 1 by 3, का power 4, तो ये plus हो जाएगा sir, ये हो जाएगा 9 factorial, 4 factorial, 5 factorial, sir ये cancel हो के, खली 3 दे देगा, तो 9 into 8 into 7 into 6, ये 5 factorial cancel हो जाएगा sir, 4 into 3 into 2, तो sir 4 or 2, 8 cancel हो गया, 3, 3 भी cancel हो गया, तो answer हो जाएगा बिटा, अ, 7 6s are, 7 5s are 35, 42, so 7 6s are, या 6 9s are 54 into 7, 7 4s are 28, 2, 7 5s are 35, 37, so 378 आपका answer हो जाएगा, 378 आपका answer हो जाएगा, इस तरीके से, पहले general term लिखना है, उसको बढ़िया से break करके, constant terms को एक साथ, x के term को एक साथ लेना है, फिर जो भी coefficient बोला है, मतलब जो भी power बोला है, उस power को इधर x के power से equal कर देना है, बस, फिर r निकल जाएगा, उसके बाद आप आसानी से solve कर सकते हो, उसके बाद आप आसानी से solve कर सकते हो, ठीक है, आशा करता हूँ समझ में आ रहा है यहाँ तक, को Find the coefficient of x power minus 15. Sir, ऐसा भी हो सकता है? बिल्कुल हो सकता है. आपको बस यहाँ पे जो x की power आई, उसको minus 15 से बराबर कर देना है, बस, ठीक है, तो देखते हैं सर, method तो same ही है, tr plus 1, तो 10cr 3x square का power 10 minus r minus a by 3x cube का power r, यह हो जाएगा, अब simplify करना है बेटा, 3 का power 10 minus r, x का power 20 minus 2r, ठीक है, minus a by 3 का power r, x का power minus 3r, यह हो जाएगा, तो 10cr, 3 का power 10 minus r, यह भी constant है, minus a by 3 का power r, x का power 20 minus 5r आ जाएगा, 2r और 3r plus, यह हो जाएगा, अब मुझे चाहिए minus 15, यानि कि यहाँ जो x की power है, 20 minus 5r, वो minus 15 के बराबर होनी चाहिए, यहाँ पे लेके आएंगे, यह हो जाएगा 35 equals to 5r, r की value 7, जब तक r की value एक positive integer आ रही है, यानि कि वो valid है, अगर r की value negative, या एक rational number आ जाए, तो आप बोलेंगे, यह वाला term इसमें कभ रखता हूँ, तो coefficient आप बोलोगे 0, simple सी बात, ठीक है, पर एक integer आई है, तो sir, coefficient of x power minus 15, कितना हो जाएगा, 10 c 7, 3 का power 10 minus 7, ठीक है, minus a by 3 का power 7, यह हो जाएगा, अब आपको यह solve करना है, इतना तो यार आप लोग कर सकते हो, ठीक है, तो बेटा घबराना नहीं है, घबराना बिलकुल भी नहीं है, हर जगह हम सिर्फ एक ही method कर रहे हैं, आप ये चीज देखो, general formula लिखा, general formula लिखके उसको expand किया, थोड़ा सा simplify किया, इस power को जो यहाँ पे given power है, उससे equate किया, अगर R एक integer आया, तो वो उसका answer देगा, integer की जग find the coefficient of a7b5, sir, अब दो दो term आ गए, तो अब हम फिर घबरा जाएंगे, घबराना नहीं है, method वही है, पहले हम लिखेंगे tr plus 1, 12cr, पहले term का power, 12 minus r, दूसरे term का power, r, चलिए, simplify करते हैं, 12cr, a का power, 12 minus r, minus 2 का power, r, b का power, r, 12CR, minus 2 का power R, 12 minus R, B का power R, लीजिये, पहली चीज, अगर यहाँ पे ऐसा बोलता, A power 7, B power 6, A power 11, B power 3, पहले सर दोनों power को add करके देखो, 7 plus 6, 13, सर power तो 12 है, पढ़ा क्या था, अगर दोनों variable हैं, उनका sum इसी के equal आना चाहिए, तो ये term नहीं आएगा, directly आप लिखोगे 0, 11 plus 3, 14, ये भी term नहीं आएगा, directly लिखोगे coefficient 0. 7 plus 5, 12, sir, 12 के बराबर है, यानि कि ऐसा term जरूर आएगा, यानि कि कोई ना कोई r की value ऐसी होगी, जो ये दे देगा. तो b का power 5, अगर मैं 5 रख दूँ, तो 12 minus 5, 7, लो sir, हो गया. So, for r equals to 5, we will get, ए पावर सेवन डी पावर फाइव देरफोर कॉफिशियंट ऑफ ए पावर सेवन डी पावर फाइव विल बी इतना ट्वेल सी फाइव माइनस टू का पावर फाइव यानि कि माइनस 32 इंटू ट्वेल सी फाइव यह आपका आंसर हो जाए तो आपको चीजे देखनी है जो हमने basic में पढ़ा था वो basic को ही यहाँ पर extend करेगा ठीक है वो basic को ही यहाँ पर extend करेगा आशा करता हूँ ये सब चीजे समझ में आ रही है ठीक है चलिए next question पे आते है show that the term containing x cube does not exist in this expansion ये आए ना सर कुछ अच्छा question एक different question अब बोल रहा है कि x3 इसके अंदर नहीं आता, यह प्रूव करना है आपको, तो सर उसको कोई method अलग हो जाएगा, नहीं बेटा TR plus 1, ठीक है सर, 8CR, पहला term का power 8 minus R, दूसरे term का power R, चलिए, 8CR, 3 का power 8 minus R, X का power, अब थोड़ा simplify भी तो करेंगे न, और फिर यहाँ पे, minus 1 by 2 का power R, X का power minus R, चलिए, last step, 8CR, 3 का power 8 minus R, minus 1 by 2 का power r x का power हो जाएगा बिटा 8 minus 2 r यह हो जाएगा 8 minus r minus r 8 minus 2 r so for x cube वहाँ पे x का power क्या है 8 minus 2 r should equals to 3 वो सर 3 के equal होना चाहिए तो 2 r 8 minus 3 5 के equal होना चाहिए r हो जाएगा 5 by 2 क्या आ गया सर एक rational number आ गया तो since r is not integer आप बोलेंगे x3 does not exist in the expansion अगर वो r की value एक integer होती तब आप उसको निकाल सकते हो लेकिन r की value अगर rational number या negative number हो जाए तब आप value नहीं निकाल सकते हो ठीक है, clear है, आशा करता हूँ, यहाँ तक समझ में आ रहा है, कोई तकलीफ नहीं होनी चाहिए, ठीक है, आगे बढ़ते हैं, अब यह जो next 3-4 question है बेटा, यह थोड़े से lengthy है, यह जो भी है आपके 4 markers, 5 marks आने वाले question है, ठीक है, आपके miscellaneous के question है, चले देखते हैं कैसे हम य कुछ भी नहीं दिया, ना पहला term, ना दूसरा term, ना power. If the first three terms of the expansion are 729, 7 to 90, और ये respectively, तो पहले तीन terms ये ये ये हैं, तो आपका a, b और n की value क्या होगी, ये बोला जा रहा है. चलिए, अगर मैं इसको expand करूँ, तो ये क्या बन जाएगा? अगर आपका n c 0, a का power n, n c 1, a का power n minus 1, b का power n, NC2, A का power N minus 2, B का power 2 and so on. मैं बाकी term क्यों नहीं लिख रहा? हमें बोला है सिर्फ first three terms. तो मैं सिर्फ पहले तीन terms को ही देखूँगा न बेटा. तो सर, NC0 तो 1 होता है, तो यानि कि A power N की value 729 है, ठीक है? अब NC1 N होता है, तो N into A का power N minus 1, B का power 1. इसकी value 7290 है और तीसरा term NC2 यानि की NC2 A का power N-2 B square इसकी value बेटा 30375 है तो basically तीन equation और तीन variable है तीन equation और तीन variable है तो हमें को यह solve करना है तो एक एक करके start करते है 729 सर 729 किसी का value होता है? किस का value होता है? आप कर सकते हैं सर 3 या 9 9, 9, 81, 9, 1, 9, 8, 0 तो 9 का cube भी होता है या 3 का square तो 3 का power 2, 3, 6 तो ये भी हो सकता है तो n की value 3 हो सकती है सर ठीक है? n मतलब यहाँ पे क्या हो सकता है sir की a की value यानी a की value 9 हुई तो n की value 3 होगी और a की value अगर 3 हुई तो n की value 6 होगी तो sir ये दो cases आ गए हमारे पास ये दो cases आ गए अब इन दो cases को बारी बारी करके आप यहाँ पे put up करके देखेंगे जैसे की ये sir n तो n अगर मैंने पहला case लिया तो sir अगर मैंने पहला case लिया, तो सर सिर्फ 3 eta माईंगे, मतलब 4 eta माईंगे, ठीक है, फिर भी, एक बार check कर लेते हैं, तो n को अगर मैंने 3 लिया, so 3a, a मेरा क्या है बेटा, a मेरा 9 है, तो 9 का power 2, into b, 7 to 9, 0 होगा, ठीक है, calculate करके देखते हैं, सर, ये basically क्या है, 9 cube into 10 है, तो ये 9 square, ये cancel हो जाएगा, तो सर b का power 1 हमारा क्या बचेगा 30 बचेगा तो b हमारा क्या हो जाएगा 30 first case के लिए b आपका क्या हो जाएगा 30 हो जाएगा, चलिए, चेक करते हैं कि ये जो तीनो values हैं, इसको satisfy कर रही हैं कि नहीं कर रही हैं, अगर satisfy करेंगी तो वो setup का answer हो जाएगा, नहीं तो automatically second setup का answer हो जाएगा, तो n 3 है सर, तो 3 c 2, a मेरा 9 है, तो 9 का power 3 minus 2, और b मेरा 30 है, तो 30 का power 2, ये values है होनी चाहिए 30375, चेक क 9 है, 900 है, तो सर 2 0 आ गए, सर ये तो नहीं हुआ सर, क्योंकि यहाँ पे 0 आ पर ये, तो यानि कि ये setup का answer नहीं होगा, ये setup का answer नहीं होगा, ठीक है, तो एक बार check करने के लिए आप दूसरा setup लेंगे, a की value 3 और n की value 6, तो अब अगर मैंने यहाँ पे substitute किया, n की value 6, a की value 3, 3 5 b का power 1, 7 to 9 0, यानि की 3 का power 6 into 10, तो सर ये और ये cancel हो जाएगा, यहाँ पे बचेगा 2b equals to 10, तो b की value यहाँ से आएगी सर 5, ठीक है, अब यहाँ पे substitute करते हैं, तो 6 c 2, क्योंकि n की value 6 है, sorry, n की value 6 है, तो 6C2 into A, 3 का power 6 minus 2, और B, जो की 5 है, 5 का power 2, तो सर 6C2 हो जाएगा, 6 factorial, 2 factorial, 4 factorial, so 5 ये cancel हो जाएगा, तो 15, तो सर 15 into 25 into 3 का power 4, सर 81, ये देख लीजिये सर, ये ही आएगा, 0, 0 नहीं आएगा, तो आपका answer क्या हो गया सर, A is equals to 3, b is equals to 5 and n is equals to 6 यह आपका value हो जाएगा तो इस तरीके से cases लेने है क्या पता यह case answer देता, क्या पता यह case तो यहां से हम आ गया यह case नहीं होगा यह इस तरीके से, तो simple था कुछ भी नहीं given था, लेकिन फिर भी simple था, क्योंकि हमें एक एक करके value निकालनी थी, ठीक है क्योंकि एक-एक करके हमें value निकालनी थी, चलिए, आगे बढ़ते हैं, next, find A, if the coefficient of x square and x cube in the expansion are equal, अब सर, ऐसे टाइप को question, कि वहाँ पे आपको बोल दिया कि सर, एक coefficient है, उसको value निकालो, अगर ये दोनों equal है, ये भी एक अच्छा question है, method क्या है सर, पहले तो general term निकालेंगे, तो tr plus 1, ये क्या हो जाएगा, ncr3 का power 9 minus r, ax का power r, और solve करेंगे, तो ncr3 का power 9 minus r, a का power r, x का power r, तो ये आपका coefficient हो गया sir, binomial coefficient नहीं बोला है, coefficient बोला है, और x का power r, तो sir, for x square, r की value को 2 होना पड़ेगा, यानि की coefficient क्या बन जाएगा, 9c2, 3 का power 9 minus 2 और a का power 2, यह हो जाएगा, for x cube, r की value को 3 रखना पड़ेगा, 9c3, 3 का power 9 minus 3, 6, a का power 3, अब question के हिसाब से यह दोनों equal हैं बोल रहा है, यह दोनों equal हैं, तो solve कर देते हैं, सर यहां से cancel होके यह cancel हो जाएगा, तो यानि की, एक ही value क्या हो जाएगी बेटा, 9 factorial by 2 factorial, 7 factorial into 3, divided by 9 factorial by 3 factorial, by 6 factorial, तो 9 factorial, 9 factorial, cancel हो जाएगा, ये सब उपर जाएगा, तो 6 factorial into 3 factorial, into 3 by 2 factorial, into 7 factorial, तो सर 6 factorial cancel होके, यहाँ पे 7 दे देगा, 2 factorial cancel होके, यहाँ पे 3 दे देगा, तो यहाँ पे क्या बचा, त्रित्रिजा 9 by 7, तो एक ही value हो जाएगी सर, 9 by 7, एक ही value हो जाएगी, 9 by 7, इस तरीके से ये solve होगा, इस तरीके से ये solve होगा, आशा करता हूँ, समझ में आ रहा है, simple chapter है, छोटा सा chapter है, कोई जादा बड़ा chapter नहीं है, हमने काफी सारे question देख लि ये काफी difficult question माना जाएगा Find the coefficient of x power 5, सर, पहले तो power 1 आती थी, अब यहाँ पे देखो, क्या-क्या आ गया, 7 आ गया, 6 आ गया, तो, क्या डर जाएंगे, नहीं सर, आप इन दोनों में से किसी एक को open कर दो, सर, यह वाला simple लग रहा है, इसको open कर देते हैं, या आपको यह simple लग रहा है, आपको x power 5 चाहिए, 6C0, plus 6C1, 2x, plus 6C2 2X square, 6C3 2X cube, 6C4 2X power 4, 6C5 2X power 5, 6C6 2X power 6, whole into 1 minus X power 7. तो सर अब ये 1-x power 7 इन सब से multiply होगा, ठीक है, पर यहाँ पे x power 6 आ गया सर, तो जैसे ही, यहाँ तो चलिए, पहले हम multiply कर लेता है, 6C01 होता है, तो 1-x का power 7, plus 6C16 होता है, तो 62012x into 1-x का power 7, अब 6C215 होता है, अभी हमने calculate किया था, 6 factorial, 2 factorial, 4 factorial, तो 3, 3, 5, 15, तो 15 into 4, 60 x square, 1 minus x का power 7, 63, 6 factorial, 3, 3, तो 6, 5, 4, ये cancel हो जाएगा, 20, so 20 into 8, so 8 zeros हाँ, और 8 twos हाँ, 16, तो 160 x cube, 1 minus x का power 7, 6 c 4, 6 c 2 के बराबर होगा, so 15, और 2 का power 4, 16, so 15 into 16, 15 into 16, 5 6s are 30, 5 1s are 5 plus 3, 8, 1 6s are 6, 1, तो यह हो जाएगा sir, 0, 8 plus 6, 14, 1, 2 40, x का power 4, 1 minus x का power 7, 6 c 5, 6 होगा, 6 into 32 6 into 32 6 to the 12 1 6 to the 18 plus 1 9 so 192 into x power 5 1 minus x power 7 plus 661 है अब यहाँ पे सर जब हम 2 x power 6 करते हैं into ये तो सर यहाँ से हमें कोई भी x power 5 नहीं मिलेगा क्योंकि सारे terms x power 6 से multiply हो जाएंगे, तो यह आप neglect कर सकते हो, यहां से 0 आ जाएगा, अब आपका यह बचा, अब आपका यह बचा, 1 minus x power 7 का general term क्या होगा, tr plus 1, 7cr, 1 का power कुछ भी, minus 1 का power r, x का power r, यह हो जाएगा, तो अब बेटा मुझे x power 5 question में divide हो गया, यहाँ पे मुझे x power 5 चाहिए, तो सर 5 रखेंगे, तो यहाँ पे आ जाएगा 7 c 5 minus 1 का power 5, plus 12 x, अब सर x है, तो मुझे यहाँ से x power 4 चाहिए, तब ही तो x into x power 4 क्या बनेगा, x power 5 बनेगा, तो अब मुझे यहाँ पे x power 4 चाहिए, तो आप 7 क्या रखेंगे, 7C4 minus 1 का power 4, ठीक है, plus 60, x square है, तो मुझे यहां से x cube चाहिए, यहां से x cube चाहिए, तो यह क्या हो जाएगा, 7C3 minus 1 का power 3, plus 160, x cube, तो यहां से सर मुझे x square चाहिए, तो 7C2 minus 1 का power, 2, ठीक है, फिर यहाँ पे 240, यह हो जाएगा x power 4, अब यहाँ से मुझे sir, x power 1 चाहिए, तो यानि की 7c1 minus 1 का power 1, last, यहाँ से मुझे x power 0 चाहिए, तो 190, क्योंकि x power 5 पहले चाहिए, तो यहाँ पे आ जाएगा 7c0 minus 1 का power 0, ये सब अब आपको ये सारा calculate करना है जो final coefficient आएगा, वो आपका answer होगा, वो आपका answer होगा, तो इस तरीके से ये solve करना है, इस तरीके से solve करना है, ठीक है, तो आप इसको भी expand कर सकते थे, method same होता, तो दोनों में जब भी ऐसा आ जाए, आपको किसी एक को expand करना है, फिर multiply करके, जो जो हर बार change होता जाएगा, क्योंकि यहाँ पे पहले सी बाहर कुछ multiply में है, तो जो भी multiply में है, वो minus कर दो, जैसे यहाँ पे x2 multiply है, तो x3 बचा, तो x power 3 का coefficient, यहाँ पे x power 4 multiply में है, तो x power 1 का coefficient, इस तरीके से इस टाइप के question solve होंगे, रखते हो इतने इंटेलिजेंट बच्चे आप लोग हो ठीक है इतने इंटेलिजेंट बच्चे आप लोग हो नेक्स्ट फाइंड एंड इफ द रेशियो फिफ्ट टर्म फ्रॉम द बिगनिंग टू द फिफ्ट टर्म फ्रॉम द एंड इन द एक्सपैंशन ऑफ दिस इस रूट सिक्स इस टू वन सर फ्रॉम द बिगनिंग तो ठीक है फ्रॉम द एंड कैसे हम करेंगे एक्जाम में बच्चा कभी भी कंफ्यूजन कंफ्यूजन हो तो छोटी छोटी expansion आपको मदद करेगी, कैसे? सर, a plus b का whole cube, a cube plus 3 a square b plus 3 a b square plus b cube, second term from the beginning और second term from the end, तो beginning से वो क्या हो जाता है? n minus r plus 1, तो देखो, 3, ठीक है? 3 minus 2, क्या हो जाएगा? second term from the end so second term from the end हो जाएगा आपका 3 minus 2 1, 1 plus 1, 2 second term from the beginning हो गई वो अब second term from the end तो पहले से मुझे क्या चाहिए? third चाहिए ठीक है? तो n minus r plus 2 हो जाता है वो फिर n minus r plus 2 from the beginning हो जाता है क्योंकि plus 1 भी आएगा ठीक है ना, तो n minus r plus 2 from the beginning, ये हो जाएगा, तो अब देखो n की value 3 है, तो यहाँ पे 3 रखा, r 2 रखा, तो 3 minus 2, 1, 1 plus 2, third term, third term आपका हो गया, जैसे की first term from the beginning, first term from the end, ये चाहिए, तो 3 minus 1, 3 minus 1, 2, 2 plus 2, 4, fourth term आ गया ना, तो, फिफ्ट टर्म फ्रॉम द बिगनिंग फिफ्ट टर्म फ्रॉम द एंड मीन्स आरत टर्म फ्रॉम एंड इज इक्वल्स टू एन माइनस आर प्लस टू थ टर्म फ्रॉम बिगनिंग यह हो जाता है सर यह चीज आपको याद रखनी है यह चीज आपको याद रखनी है, ठीक है, मैंने उसको निकालना भी सिखा दिया, तो अब हम solve करेंगे, थोड़ा सा lengthy question है, पहले general term लिखेंगे, tr plus 1, ठीक है, तो यह आपका आरत टर्म ही है, आरत टर्म ही यह कहलाता है, तो ncr, fourth root of 2 का power n minus r, 1 by fourth root of 3 का power r, तो फिफ्ट टर्म चाहिए, ठीक है, तो basically फिफ्ट टर्म from the beginning, तो सर फिफ्ट टर्म आपका क्या हो जाएगा, 4 हो जाएगा, R की value क्या हो जाएगी, 4 हो जाएगी, और अब मुझे चाहिए फिफ्ट टर्म from the end, तो फिफ्ट टर्म from the end क्या होगा, n minus 5 plus 2, n minus 5 plus 2, तो सर n plus 3 टर r को अगर मैंने 4 रखा तो ये क्या हो जाएगा t 4 plus 1 तो n c 4 4th root of 2 का power n minus 4 और 1 by 4th root of 3 का power 4 अब fifth term from the end ठीक है तो वो कितनी हो जाएगी n minus r plus 1 प्लस वन तो टी एन माइनस फाइव प्लस वन प्लस वन यह हो जाएगी तो यह बन जाएगी बेटा एन माइनस फोर ठीक है एन माइनस फोर तो एन माइनस टी एन माइनस फोर प्लस वन तो एन सी एन माइनस फोर ठीक है एन सी एन माइनस फोर और यहाँ पे आ जाएगा 4th root of 2 का power n minus r की जगा पे n minus 4 into 1 by 4th root of 3 का power n minus 4, ये हो जाएगी सर, ठीक है, अब यहाँ पे क्या बोल रहा है सर, इन दोनों का ratio दिया हुआ है root 6 is to 1, यहाँ पे इन दोनों का ratio दिया हुआ है root 6 is to 1, यानि की n c 4 फिर 4th root of 2 का power n minus 4 और 1 by 4th root of 3 का power 4 divided by n c n minus 4 यहाँ पे nn cancel हो जाएगा 4th root of 2 का power 4 1 by 4th root of 3 का power n minus 4 इसकी value बेटा दी हुई है root 6 by 1 इसको हम आपको solve करना है देखो ये और ये तो cancel हो गया अब ये 4 उपर जाएगा n minus 8 ये 4 नीचे आएगा तो ये भी बन जाएगा n minus 8 ठीक है n minus 8 यानि की ये बन रहा है बेटा 4th root of 2 का power n minus 8 और ये 1 by 3 नीचे गया, तो ये उपर चला जाएगा, 4th root of 3 का power n minus 8 equals to root 6, तो सर ये multiply हो जाएगा, तो ये क्या बन रहा है, 12, sorry, 2, 3, 6, ये क्या बन रहा है बेटा, 2, 3, 6, तो 6 का power n minus 8 by 4 equals to 6 का power 1 by 2, लो सर अब तो solve हो गया, n minus 8 by 4 equals to 1 by 2, 2 ones are, 2 twos are, n minus 8 equals to 2, n की value आ जाएगी बेटा 10, तो ये चीज आपको याद रखनी है, ये चीज आपको याद रखनी है, बाकी फिर solving same है, general term निकालो, उसके बाद solve करो, बाकी सब का सब same है, एक word बस नया आया, nth term या rth term from the, एंड ठीक है एनथ टर्म फ्रॉम द एंड यह आया क्लियर है आशा करता हूं समझ में आ रहा है चलिए तो यहां पर बेटा हमने सारे के सारे कोशिशन कुछ मिसलिनियत जो की काफी टॉफ थे जो की नए टाइप के थे वो भी कोशिशन हमने कर लिए कुछ भी पार्ट नहीं छोड़ा है, सब कुछ हमने कवर अप कर लिया, छोड़ा चेप्टर है, सिर्फ तीन पार्ट थे, जनरल एक्सपैंशन, मिडिल टर्म, और आपका जनरल टर्म, ये तीन चीज थे, ठीक है, कॉशिन बहुत इजी बनते हैं, मैंने सब जगा पर एकी जै पीएनसी के बाद बायनमेल थिवरों में एक छोड़ा चैप्टर होता है, इसके बाद हम लोग नेक्स चैप्टर करेंगे पेस सीरीज में, तब तक आप सारी चीज, सारा जो भी हमने पढ़ा है वो सिर्फ करते रहे हैं, आपको कुछ और करने की जुरत नहीं है, बेटा मैं स तो मिलते हैं अगली class में, तब तक solve करते रहें, पढ़ते रहें, PW की पुरी team आपके स

मतलब जब पावर आपकी Positive Integer होती है, तब उसका Expansion क्या होता है? General Term, very very important. एक General Term से ही आपके Maximum टाइप के क्वेश्चन सॉल्व होते हैं. फिर Middle Term in the Binomial Theorem.

चाहे आप इसका फॉर्मुला याद कर लो, या Basic जो आपकी Common Sense है, आप Common Sense यूज़ करके उसको General Term फॉर्मुले से सॉल्व करतो. मैं आपको दोनों तरीके आपको बताने वाला हूँ, ठीक है? तो चलिए जल्दी से स्टार्ट करते हैं इस chapter को, Binomial Theorem, सर, Binomial का मतलब क्या होते है? जैसे हमने पढ़ा है Monomial, Binomial, Trinomial, तो Binomial का मतलब दो terms, यानि कि जब आपके पास दो terms हो जाएं, इसको बोले जाता है Binomial, ठीक है? 1 plus 2x minus 3x, ये Binomial होगा क्या?

नहीं. इसको जब आप solve करोगे यह हो जाएगा 1-x अब यह binomial है यह भी मतलब binomial का ही एक part है उसको बस divide कर दिया गया है समझे? तो इस तरह के चीजों को यह इस तरह के brackets को बहुत जाता है binomial अब expansion कब लगेगी?

जब यहाँ पे power आ जाएगी इसको बोलते है binomial expansion जो हमें पढ़ना है, वो है बेटा सिर्फ positive integral index, यानि कि जो n है, ये क्या होना चाहिए सर, positive integer होना चाहिए, ये क्या होना चाहिए, सिर्फ और सिर्फ positive integer होना चाहिए, तब उसकी जो expansion होती है, सिर्फ उसके बारे में हमें पढ़ना है, हमारे syllabus में सिर्फ उतना ही दिया हुआ है, तो होता कैसे है सर, एकदम जल्दी से, दो मतलब, solve करना बहुत असान है इसको, x plus y का power n, तो सर आप क्या करेंगे? पहले तो NC0, X का power N, Y का power 0, plus NC1, X का power N-1, Y का power 1, NC2, X का power N-2, Y का power 2, and so on, last में जाता है NCN, X का power 0, Y का power N, ये आपकी expansion होती है. ठीक है, अब याद कैसे किया जाए सर, जो भी यहाँ पे पहला term होगा सर, उसकी जो power है, जो bracket है आपकी, वो ही आपकी highest power होती है, यानि कि वो highest power से 0 तक जाएगा, second term 0 से लेके highest तक जाएगा, यानि कि simple शब्दों में पहले term की power decrease करते जाना है, और second term की power को increase करते वे जाना है, इस expansion में, ठीक है, ये चीज समझ में आ गई, उसके बाद ये जो NC0, NC1, NC2, इसको हम बोलते है binomial coefficient, coefficient एक अलग होता है, ये है binomial coefficient, ठीक है, इनको हम बोलते है binomial coefficient, तो हर के साथ attach होता वा जाएगा, NC0 से start करेंगे up to NCn, तो ये आपकी हो जाती है binomial expansion, इस expansion से आपको कई सारी चीज़े समझनी की कभी भी जो आपके bracket की power है उससे बड़ी नहीं हो सकती, उससे बड़ी नहीं हो सकती, second चीज जब आप इन दोनों power का sum करोगे, यहाँ पे n, n-1 plus n, n-2 plus 2n, 0 plus n, n, यानि कि दोनों जो वहाँ पे terms आएंगी, उनकी जो power है, वो sum कभी भी इस bracket से बड़ा नहीं हो सकता, इस जो bracket की power है, उससे बड़ा नहीं हो सकता बेटा, अगर उससे बड़ा है तो वो term उस वहाँ पे आएगी ही नहीं, वो term कभी भी आएगी नहीं, दूसरी चीज अगर ये sum n के equal नहीं हो रहा है तो वो term भी नहीं आएगा, अगर दोनों variable है तो, एक constant है तो constant कोई भी power ले सकता है, लेकिन अगर दोनों variable हैं तो उन दोनों की power का sum bracket की power के equal होना चाहिए, bracket की power का equal होना चाहिए, basic basic चीज, इस basic basic चीजों को आपको समझना है, overall आपको क्या देखना है बेटा, पहले term की power decrease होती जा रही है, second term की power increase होती जा रही है, और फिर binomial coefficient को आपको attach करते वे जाना है, ये होता है एक normal binomial expansion, जहांपे जो n है, वो क्या है, एक positive integer है, एक positive integer है, ठीक इसी चीज को यहाँ पे दुबारा बताय गया है, ठीक है, एक चीज मैं और बोलना चाहूँगा, सर पावर n से स्टार्ट होके 0 तक आ रहा है, n से स्टार्ट होके, तो number of terms कितने हो जाएंगे, number of terms वो हो जाएंगे n plus 1, यानि कि जो भी bracket की पावर है, उससे एक जादा, उससे 0 से, मतलब, i-n से लेके वो 0 तक जा रहा है, यानि एक 0 वाला term extra आएगा, तो इतनी चीज़ें आपको समझनी है, तो पहला पाट है, सिर्फ और सिर्फ इस expansion की मदद से, हम काफी सारी चीज़ें solve कर पाते हैं, सिर्फ इस expansion की मदद से, तब बाद में हम लोग पढ़ेंगे general term, ठीक है, तो यहीं पे उस चीज़ों का बाद में और भी हमने आपकी notes के लिए बना दिया है, कि the number of terms in the binary expansion is one more than the index n, यानि की n plus 1, उसका reason क्या है? सर highest power से लेके वो 0 तक जा रहा है तो इसलिए वो n plus 1 हो गया in every term, sum of the indices of x and a is always n ये भी मैंने आपको बताया कि सर पहल, जो भी दोनों terms हैं उन दोनों के power का sum हमेशा index की value के equal होना चाहिए यानि कि जो bracket की power है उसके equal होना चाहिए the binomial coefficient of the terms are nc0, nc1, nc2 up to ncn इन सबको बोला जाता है binomial coefficient coefficient अलग होता है, अगर binomial coefficient बोल रहा है, तो ये होता है, उपर से ये दो formula जो हमने पढ़े थे, कि ncr is equals to ncn minus r, nc0 is equals to ncn, nc1, यानि कि पहला term, अगर मैं पीछे जाओं, तो सर पहले term का जो binomial coefficient है, वो last term के binomial coefficient के बराबर होगा, second term का जो binomial coefficient है, वो second last term के binomial coefficient के बराबर होगा, and so on. ठीक है ना, एक simple से example से भी आप समझ सकते हो, जैसे कि sir, a plus b का whole square, यह होता है a square plus 2ab plus b square, मतलब technically हम ऐसे लिखते हैं, तो आप देखोगे, यह binomial expansion ही है, तो पहले term का जो है, वो last term के coefficient के equal है, अब अगर a plus b whole cube ले लीजिए आप, तो वो होता है a cube plus 3a square b, plus 3ab square plus b cube, technically हम उसको ऐसे लिखते हैं, तो यहाँ पे भी, पहले term का coefficient, last term के coefficient के बराबर है, second term का coefficient, second last term के coefficient के बराबर है, तो इस तरीके से आपको binomial coefficient बराबर मिलेंगे, इस तरीके से आपको binomial coefficient बराबर मिलेंगे, तो इतनी सारी चीज़ें, हम लोग सिर्फ एक expansion से कि number of terms कितने होंगे, उसकी expansion में क्या होगा, पहले term का power decrease, second term का power increase, ये सारी चीज़े आपको ध्यान में रखनी है, ठीक है, simple है, सिर्फ एक expansion है, चलिए, आगे, hence the binomial coefficient of the term equidistance from the beginning and end are equal, वो equal हो जाता है, this, the notation this sigma, अब सर यहाँ पे k की value 0 से start होके, तो इसको जब आप expand करोगे वो ऐसे ही बनेगा, NC0 this this this ये, तो ये लिखो या ये लिखो बात एक ही है, ये दोनों का meaning क्या है विटा, ये दोनों का meaning है, सर ये बोल रहा है x plus a to the power n, इन दोनों का meaning, आप इसको expand करोगे तो ये मिलेगा, पहले term की power decrease हो रही है, दूसरे term की power increase हो रही है, साथ में binomial coefficient है, तो वो बन जाएंगे x plus a का power n, x plus a का power n.

Hence the theorem can also be stand as x plus a to the power n equals to sigma notation of this. एक प्रकार से इसको हम बोलते हैं general term आशा करता हूँ समझ में आ रहा होगा यहां तक कोई दिक्कत नहीं होनी चाहिए यहां पे ठीक है आशा करता हूँ यहां तक समझ में आ रहा होगा ठीक है clear है ठीक है चलिए आगे बढ़ते हैं तो कुछ important expansion, आपको जैसे x plus a हो गया, उसके बाद x minus a क्या होगा, कुछ important expansion, दिमाग में एकदम बैट जानी चाहिए, कि अगर ऐसा expansion है, तो हमें क्या करना है, जैसे x plus a हमने देखा ही था, x minus a में बस क्या होगा बेटा, alternate plus minus आ जाएगा, यात करने के लिए, plus minus plus minus, मतलब जहा second term की odd power आएगी यानि कि alternate terms में वहाँ पे आपको minus sign रखना है बाकी सब जगा पे plus रहेगा simple उसी तरीके से अगर एक 1 हो जाए तो sir 1 का power कुछ भी 1 ही होता है 1 का power आप कुछ भी रखो वो 1 ही होता है तो इसलिए second term का power increase होते जा रहे है देखो nc 0 x power 0 nc 1 x power 1 nc 2 x power 2 करते करते तो 1 plus x का power n simple ठीक है NC 0, NC 1, NC 2, 1, X, X square, ऐसे करके जाता जाएगा, वहीं पे 1 minus X, तो अब क्या होगा, जहां जहां X की odd powers है, वहाँ पे minus sign, यानि की alternate plus, minus, plus, minus, ऐसे जाता जाएगा आपका, ऐसे आपका plus minus जाता जाएगा, तो ये कुछ expansion है, जो आपको याद रखनी चाहिए, ठीक है, ये into है बि� Using Binomial Theorem, expand each of the following. अब मतलब आगे वाले कुछ questions को हमें बस देखना है कि Binomial Expansion करके क्या होता है? आपको पूरा solve करने के भी ज़रूरत नहीं है, कभी कबार आप छोड़ भी सकते हो, वो डिपेंड करते हैं नंबर के उपर बेटा. एक नंबर का question है, दो नंबर का question है, तो हमें पता है, सर पहला टर्म 1 है, तो हम क्या करेंगे, 5 इसकी है, तो 5C0 plus.

या एक काम करें यहाँ पे plus minus है तो alternate plus minus 5C1 2X का power 1 plus 5C2 2X का power 2 minus 5C3 2X का power 3 plus 5C4 2X का power 4 minus 5C5 2X का power 5 IS power 5 जाएगी उसके आगे जानी सकती तो अब थोड़ा थोड़ा आपको PNC से याद हो गया होगा कुछ terms, 5C0 होता है, 5C1 5 होता है, 5C2 10 होता है, 5C3 इसी के बराबर है तो 10 होता है, और 2 cube 8x cube हो जाएगा, 5C4 वापिस 5, 2 का power 4, 16x का power 4, और 5C5 1, 2 का power 5 यानि की 32x का power 5, इस तरीके से. ठीक है, तो यह हो जाएगा 1 minus 10x plus 40x square minus 80x cube plus 80x power 4 minus 32x power 5, यह आपकी expansion हो जाएगी, simple, यह आपकी expansion हो जाएगी, ठीक है, तो अब देखो बेटा, by no means, अब बच्चे बोलेंगे सर, पहला और आखरी तो equal नहीं हुआ, तो बेटा हमेशा याद रखो कि binomial coefficient equal होता है, coefficient equal होना ज़रूरी नहीं है, क्योंकि यहाँ पे 2 है, तो उसकी power की विज़ासे वो change होगा, बच्चे कई बार मेरे से पूछते हैं, तो इसलिए एक line उपर जाएगे, 1, यहाँ पे भी देखो, 1, यह into 1 है, ठीक है, 5, 5, 10, 10, बरा और coefficient में, तो coefficient होता है, जो terms के साथ भी है, उसका multiplication, और binomial coefficient होता है, सिर्फ C वाला part, ठीक है, इस चीज़ को बेटा, आपको ध्यान रखना है, ठीक है, question में ध्यान रखना है, और question करेंगे, जैसे यहाँ पे, अफसर 1 नहीं है, तो पहला term भी start हो जाएगा, 6C0, पहला term का power 6, alternate plus minus, so minus, 6C1, 2X का power 5, 3 का power 1 plus 62, 2x का power 4, 3 का power 2. minus 6C3, 2X का power 3, 3 का power 3, 6C4, 2X का power 2, power reduce हो रही है बेटा, 3 का power 4, फिर 6C5, minus आ जाएगा, 2X का power 1, 3 का power 5, last में 6C6, 2X का power 0, 3 का power 6 इस तरीके से तो अगर ये एक number में है तो आप ऐसी छोड़ दो कि दो number में है तो एक step और कर देना है आपको इस सब का expansion ये expansion आप कर सकते हैं तो मैं ये इसको नहीं कर रहा हूँ आप easily इसको solve कर सकते हो ठीक है चलिए next एक और 3x plus 2y to the power 5 सर same to same है पहला और second term है power 5 तो ये मैं आपको as a homework छोड़ रहा हूँ कि आप लोग easily इसको binomial के थूँ expansion कर सकते हैं, अब इस type की question जरूर हैं sir, ये two marks में आ सकते हैं, तो ऐसी type की question में evaluate बोला है, तो आपको पूरा का पूरा solve करना पड़ेगा, अब इसको solve करने का तरीका क्या है, ऐसा नहीं है कि आप दोनों को expand कर दो, तो देखो एक plus है और एक minus है, ठीक है, तो पहले अपन इसको तो जब हम expand करेंगे यह हो जाएगा 6C0 root 2 का power 6, 1 का power कुछ भी 1 ही होता है, 6C1 root 2 का power 5, 6C2 root 2 का power 4, then 6C3 root 2 का power 3, dot dot dot, 6C6 root 2 का power 6, यह हो जाएगा, अब just इसी के नीचे आप लिखे, root 2 minus 1 का power 6, तो सर वो क्या होगा, अब alternate plus minus 1, plus और minus आ जाएगा सर, तो यहाँ पे minus आ जाएगा, यहाँ पे minus आ जाएगा, फिर plus आएगा, यहाँ पे minus आ जाएगा, dot dot dot, लास्ट वाले में plus ही रहेगा, तो आप plus करोगे, minus बोलता तो आप minus करोगे, तो जैसे हम plus करेंगे, root 2 plus 1 का power 6, plus root 2 minus 1 का power 6, तो देखो बेटा, ये odd power वाले cancel हो रहे हैं, तो ये क्या होगा, 2 times, 6C0, root 2 का power 6, 6C2, root 2 का power 4, 6C4, root 2 का power 2, और last में 6C6, root 2 का power 6, ये लीजे, तो आपको सारा calculate नहीं करना पड़ा, वरना होता क्या, बच्चा क्या, इसको भी पूरा calculate करता, फिर इसको calculate करता, फिर add करता, तो आपकी calculation save हो गई, और यही correct method होता है, अब आप इसको solve कर सकते हो, जैसे 601 होता है sir, root 2 का power 6, यानि कि 2 cube हो जाएगा, अब 6C2, तो 6C2 को हम पर solve कर लेंगे 6 factorial, 2 factorial, 4 factorial एक cancel हो जाएगा 15 आ जाएगा बेटा तो यह हो जाएगा 15 अब यह हो जाएगा 2 का power 2 6C4, 6C2 के बराबर ही होगा तो देखो आपको मदद मिलती रहेगी ऐसा नहीं है कि आपको मदद नहीं मिलेगी और 6C6, 1 ही होता है 2 का power 3 यह हो जाएगा ठीक है? यह हो जाएगा, यह power 6 4, अच्छा यहाँ पे 0 आएगा sir, sorry, यहाँ पे 0 आएगा, my mistake यह आपका 0, तो यह 1 ही हो जाएगा तो 2 का power 0 decrease होना था power, तो 0 आएगा, तो इस तरीके से तो finally, 2 यह हो जाएगा 2 cube 8 4 into 15, आपका 60 हो जाएगा फिर 15 into 2, 30 हो जाएगा और ये 1, तो 2 into, सर 60 और 30 90, 98 plus 1, 99, final answer, बिटा 198, ये आपका answer हो जाएगा, 198 ये आपका answer हो जाएगा, इस तरीके से ये इस type के question को आपको solve करना है, ठीक है, minus होता, तो even power वाले चले जाते, odd power वाले आपके पास रह जाते, ठीक है आशा करता हूँ समझ में आ चलिए, अब देखिए minus वाला आ गया, एक question, minus वाला भी आ गया, तो यहाँ पे भी आपको same चीज करनी है, root 3 plus 1 का power 5, 5C0, root 3 का power 5, plus 5C1, root 3 का power 4, 5C2, root 3 का power 3, dot dot dot, 5C5, root 3 का power 0, 1, ये बचेगा, फिर root 3 minus 1, अब alternate minus आजाएगा, जो उपर लिखा हुआ है, same to same आपको लिखना है, मतलब अपने आप चीजे simple हो जाएगी, बस alternate minus लगा देना है बेट आपको, ठीक है, तो यहाँ पे minus आएगा, और last में भी minus आएगा, क्योंकि odd है, तो 5C5, अब हमें minus करना है, तो सर यह minus हो जाएगा, ये plus हो जाएगा, ये minus हो जाएगा ये plus हो जाएगा, ये plus हो जाएगा ऐसे करके हो जाएगा तो जब हम करेंगे root 3 plus 1 का power 5 minus root 3 minus 1 का power 5 तो अब सर ये वाले terms आपके cancel हो जाएगे, आप देखेंगे तो बचेगा क्या?

2 times 5C1 root 3 का power 4 5C3 root 3 का power 2, 5C5 into 1, ये आपका बच जाएगा, चलिए अब solve कर देते हैं, 5C1 sir 5 होता है, ये हो जाएगा 3 का square, 5C3, 5C2 के बराबर होगा, यानि कि 10 हो जाएगा, ये हो जाएगा 3, और 5C5 1 होता है, चलिए, एक और step, 3 square 9, 9 5's are 45, 10 3's are 30, plus 1, तो बेटा ये हो जाएगा आपका 75 plus 1, 76, ये हो जाएगा 40 plus 30, 70, 76, तो 2 6s are 12, 1, 2 7s are 14 plus 1, 5, तो 152 आपका answer हो जाएगा, तो evaluate जब भी बोलें आपको पूरा का पूरा solve करना है, आपको पूरा का पूरा solve करना है, ये 2 marks, 3 marks में question आता है, ठीक है, अच्छा question है, इस तरीके से करेंगे तो आपकी calculation reduce हो जाएगी, तो इसको इसी method से आप करिएगा, हमने दोनों case देख लिये, plus वाला भी देख लिया, minus वाला भी देख लिया, ठीक है बच्चा, चलो, अब ये भी एक important application है, value निकाल लिये sir, 101, sir, simple calculator से कर सकते थे हम लोग, simple 101 को 4 और multiply कर देंगे, using binomial theorem, आपको binomial theorem का use करके value निकालना है, ठीक है, तो कैसे करें, sir, binomial यानि कि इसको 2 terms में आपको divide करना पड़ेगा, 2 terms में, तो 101 को हम क्या लिख सकते हैं, बेटा, 100 plus 1 लिख सकते हैं, 100 plus 1 लिख सकते हैं, फायदा क्या होगा, sir, 100 का square, cube अराम से कर सकते हैं, और 1 का power कुछ भी तो 1 हो तो हमेशा कोशिश करो जब भी break कर रहे हो, तो 0, 0 में break करो, 0, 0, जैसे अगर 9 आ जाता, तो उसको मैं 8 plus 1 नहीं करता, मैं उसको 10 minus 1 करूँगा, जितना कोशिश हो सके, 0 लेके आओ, ठीक है, अब, यह हो गया break, अब इसको expand कर देंगे, 4C0, 100 का power 4, 4C1, 100 का power 3, 4C2, 100 का power 2, 4C3, 100 का power 1, 4C4, क्योंकि 1 का power कुछ भी तो 1 होगा, तो हमको उसके लिए tension लेनी की ज़रूरत नहीं है, चल ये 4C01 होता है, तो ये हो जाएगा 1, 2, 3, 4, मतलब 100 का power 4 ना sir, so 100 into 100 into 100, sir कितनी बार, 4 बार, तो 1, 2, 1, 2, 3, 4, ये आ जाएगा, 4C1 sir, 4 होता है, 100 power 3, तो 1, 2, 3, यह आ जाएगा, 4C2 आपका होता है 6, तो यह हो जाएगा 6 into 100, into 100, फिर 4C3, यानि की 4 into 100, और plus 1, यह हो जाएगा सर, ठीक है, तो अब इन सब को आपको add करना है, ठीक है, तो add करने के लिए आप यहाँ पे ऐसे भी कर सकते हो, सर, 1, 2, 3, 4, मतलब 1, 2, 3, 4, फिर उसके बाद 4, 1, 2, मतलब 1, 2, 3 फिर 4 आ गया, फिर 1, 2, फिर 6 आ गया, और फिर 400 आ गया, फिर 1 आ गया, ये, इन सब को एड़ करने है, तो 1, 0, 4, 0, 6, 0, 4, 0, 1, तो सर आंसर हो जाएगा आपका, 1, 0, 4, 0, 6, 0, 4, 0, 1, ये आपका आंसर हो जाएगा, यह आपका answer हो जाएगा इस तरीके से आपको solve ��रना है ठीक है इस तरीके से आपको solve करना है I hope clear है चलिए आगे बढ़ते हैं again अब 98 का power 4 पूछ रहा है बेटा 98 का power 4 तो अब कुछ बच्चे बोलेंगे sir 95 power plus 3 कर दें, या 97 plus 1 कर दें, पर बेटा एक बात बताओ, 97 का power 4 करने में बहुत दिक्कत आईगी, 100 का power 4 करने में दिक्कत नहीं आई थी, तो इसलिए, जब भी इस type of question आएगा, तो आपको break करना है किस में? 100, मतलब 0 के multiples में, हमेशा 0 के multiples में, हम लिखेंगे 100 minus 2 का power 4, 100 minus 2 का power 4, तो सर अब इसको expand जब करेंगे, 4C0, 100 का power 4, minus, alternate minus आ जाएगा, 4C1, 100 का power 3, 2 का power 1, plus 4C2, 100 का power 2, 2 का power 2, 4C3, 100 का power 1, 2 का power 3, अच्छा यहाँ पे minus आ जाएगा बेटा, alternate plus minus है, और last term plus 4C4, 2 का power 4, यह हो जाएगा बेटा, plus minus plus minus plus, इस तरीके से, अब आपको solve कर देना है, 4C01 होता है सर, यह हो जाएगा, 1, 2, 3, 4, minus, 4C14 होता है, 4 to the 8, 1, 2, 3, 4C2 6 होता है सर, और 6 into 4, 24, 1, 2, 4C3 4 होता है सर, और 4 into 8, 4 8s, 32 आ जाएगा, और last में 2 का power 4, 16, यह हो जाएगा, अब यहाँ पे आप plus वाले एक साथ कर सकते हो, और फिर minus वाले एक साथ कर सकते हो, जैसे मैंने plus वाले एक साथ अगर कर दिये, ते हो जाएगा, वन ये एक दो तीन चार पांच है तो जीरो जीरो टू फोर डबल जीरो वन सिक्स माइनस इन दोनों को आप एड करेंगे थ्री टू डबल जीरो तो यानि की एट जीरो जीरो थ्री टू डबल जीरो ये हो जाएगा अब आपको इन दोनों को माइनस करना है तो हम सिंपल माइनस कर सकते हैं वन डबल जीरो टू फोर डबल जीरो वन सिक्स और यहाँ पे आ जाएगा, 3, 2, 0, 0, 8, 0, 0, तो सर 6, 1, 10 में से 2 गया सर, 8, 9 में से 3 गया सर, 9 में से 3 गया 6, तो यह 3 हो गया था, यह 2 है, और फिर से 100 में से 8 गया सर, तो 92, तो आंसर हो जाएगा बिटा आपका, 9, 2, 2, 3, 6, 8, 1, 6, ये आपका answer हो जाएगा, अगर आपको exam में doubt हो, तो आप sir 98 को 4 times करके check कर सकते हो, आप 98 को 4 times करके check कर सकते हो, उससे क्या होगा, आप sure हो जाओगे कि आपका answer सही है, आपका answer सही है, ठीक है, आपका answer सही है, तो इस तरीके से आप verify भी कर सकते हो कि जो आपने calculation करी है, वो सही है, और मेरे marks deduct, ना हो एक छोटा सा चेक जो कि हर किसी को करना चाहिए ठीक है तो इस टाइप के कोशिशन बेटा आ सकते हैं और आते भी हैं दो से तीन मार्क्स में आते हैं उसको इसी तरीके से आपको सॉल करना है जीरो के मल्टिपल में करना मत बूलियेगा चलिए अब डेसिमल वैल्यू भी आता है कई बार 0.99 आ जाएगा या 1.2 तो यहां पे भी सर वन प्लस या वन माइनस क्योंकि वन का बावर कुछ भी रखोगे तो वन ही होगा ठीक है तो यहाँ पे भी हम इसको क्या लिखेंगे बेटा, 1 plus 0.2 का power 4, अगर 0.9 और आपके miscellaneous में question भी है, अगर ये देता तो हम यहाँ पे लिखते 1, minus 0.01 का power n, तो इस type से, अगर decimal आ जाए, तो आपको 1 के, मतलब parameter में करना चाहिए, ठीक है, अब इसको फिर से expand, 4C0, पहले term 1 का power तो कुछ भी रहेगा sir, फिर 4C1, 0.2 का power 1, 4C2 0.2 का power 2, 4C3 0.2 का power 3, 4C4 0.2 का power 4, इस तरीके से आप करेंगे, 4C01 हो जाएगा, 4C1 4 होता है, 4C2 6 होता है, अब ये हो जाएगा सर, 2, 2's of 4, लेकिन 2 decimal के बाद आएगा, तो 0.04 हो जाएगा, 4C3, 4 हुआ, तो यह हो जाएगा 0.008, यह हो जाएगा, 4C41 होता है, यह हो जाएगा 0.0016, यह हो जाएगा सर, 2 का power 4, 16, 16 by 4 zeros, तो यह हो जाएगा, तो solve कर दीजे, 1 plus 4 to the 8, फिर यह हो जाएगा 0.24, यह हो जाएगा 0.032 और यह हो जाएगा 0.016 अब इन सब को आपको add up करना है ठीक है तो अगर मैं इसको ऐसे कर दूँ 0.8, 0.24, 0.032 और फिर 0.0016, add करना है sir, तो यह हो जाएगा, 6, 2 plus 1, 3, 4 plus 3, 7, 8 plus 2, 10, तो 1.0736, plus 1, तो 2.0736, यह आपका answer हो जाएगा बिटा, यह आपका answer हो जाएगा, again, अगर आपको check करना है, तो आप 1.2 को 4 बार multiply करके देख सकते हैं, आप उसको चार बार multiply करके देख सकते हो ठीक है तो इस तरीके से आपको हर चीज आनी चाहिए चेक करके आनी चाहिए कैसे करना है क्या करना है यह आप class घर में करके देखिएगा miscellaneous में एक question है वहाँ करके देखिएगा up to 3 decimal या 4 decimal उसको आप solve करके देखिएगा तो यह एक ब वो ही, सिर्फ expansion करके हम, सिर्फ expansion करके solve कर रहे हैं, अभी तक जितने भी question किये हमने, सिर्फ expansion करके solve किये हैं, तो ये था expansion based, ठीक है, अब इसी में एक type आता है, जिसमें हम divisibility check करते हैं, तो चलिए, अब उन questions को देखते हैं, सबसे पहले, using binomial theorem, again, वो साफ सा बोल रहा है, सर, using तो सर 49 से divisible होने के लिए 49 के multiple होना चाहिए, like 49 into 1, 49 into 2, या 49 into some integer, तो दिमाग में यह आना चाहिए, जिससे भी divisible होना है, उसके वो multiple में होना चाहिए, ठीक है, तो यहाँ पे अब आते हैं, सर, 2 cube, मतलब 2 का power 3n, इसको हम ऐसे लिख सकते हैं, बिटा, 2 का power 3, का power n, इस तरीके से, तो सर होगा क्या, 2 cube हो जाएगा 8, और 8 को मैं लिख सकता हूँ 1 plus 7, ठीक है, अब बच्चे बोलेंगे सर 7 plus 1 भी लिख सकते थे, लिख सकते हो, पर 1 अगर है तो 1 को पहले लिखो, 1 plus 7 का power n, ऐसे हम लिख सकते हैं, ठीक है, इतना करने के बाद आप इसको expand कर दीजिए, ये क्या होगा, nc 0 plus nc 1 into 7, nc 2 into 7 square, nc 3 7 cube, dot dot dot, NCN 7 power N, minus 7N minus 1, यह हो जाएगा बेटा, चलिए, NC0 1 होता है, NC1 N होगा, तो यह हो जाएगा 7N, बाकि यह जितने भी terms हैं, इन सब में 7 square के higher powers हैं, तो यानि कि मैं 7 square common ले सकता हूँ, अगर मैंने 7 square common लिया, यहां बचेगा NC2, plus NC3 7, dot, dot, dot, NCN 7 power N minus 2 ये बचेगा सर देख लिजिये एकदम क्लियर है अरे सर ये तो cancel हो रहा है, ठीक है, ये cancel हो गया, अब ये क्या बचा, 49, अब एक चीज हमेशा याद रखना बेटा, NCR हमेशा integer देता है, हमेशा एक integer value देता है, तो integer, integer, into integer, integer, plus integer, ये सब plus होके एक integer ही देंगे, कोई भी एक integer हो सकता है, आपको calculate करनी की जरूरत नहीं है, ये सब plus या minus होके, या into होके एक integer देंगे, तो क्या बन गया, सर ये बन गया 49 into integer, तो आप लिखोगे, hence proved that, 2 power 3n, minus 7n minus 1, is divisible by 49, लीजे, दुबारा सिर्फ और सिर्फ expansion की मदद से, आपने solve किया है, सिर्फ और सिर्फ expansion की मदद से, तो जो भी वहाँ पे दिया है, उसका multiple आपको यहाँ पे लाना है, अब बच्चा पूछता है सर, कैसे दिमाग में लाए, 49 है, 49 क्या है, 7 square, यानि की 7, तो दिमाग में लाए चीज़े सर, 7, कैसे यहाँ पे हम 7 लाए, expansion में, जिस दिन से आप वो समझ जाओगे, तो आप आराम से आगे solve करना start कर पाओगे, ठीक है बेटा, चलिए, और question देखते हैं, next question, show that this is divisible by 64, 64 यानि की 8 का square, यानि की sir 8 के बारे में कुछ होना चाहिए, ठीक है, 8 के बारे में कुछ होना चाहिए, 9n plus 1, sir यहाँ पे तो 9 का power कु� into 9 power 1 minus 8n minus 9, ऐसे लिख सकता हूँ, तो सर 9 यहाँ पे, इस 9 को मैं 1 plus 8 का power n लिख सकता हूँ, बिल्कुल लिख सकते हैं सर, लिख सकता हूँ ना सर, 1 plus 8 का power n, minus 8n minus n, ऐसे लिख सकता हूँ, और मुझे 64 का चाहिए, तो यानि कि 8 आ गया मेरा, तो अब इसको expand करेंगे और देखेंगे, कि सर कुछ बन रहा है कि नहीं बन रहा है, चलिए, तो सर ये बनेगा NC0, NC1, फिर उसके बाद NC1 into 8, NC2, 8 square, NC3, 8 का power NCN, 8 का power N, ये बन जाएगा, minus 8n minus 9, ये हो जाएगा सर, ठीक है, अब 9 into 1, nc1 ये 8n दे देगा, अब इन सब में से 8 square common लूँगा, तो सर ये बचेगा, nc2 plus nc3 का 8, dot dot dot, ncn 8 का power n minus 2, minus 8n और 9 इधर है, so 9 into 1, 9, 9 8s are कितना होता है बेटा, 72 होता है सर, sorry, हाँ, 9 8s are 72 होता है, n plus 64 into 9, क्योंकि 9 multiply हो रहा है न सर, तो 9 into 64 into integer, अभी हमने proof किया था कि यह integer हो जाता है, minus 8n minus 9, लो सर, 9 और 9 cancel हो गया, अब सर 72-8 कितना होता है अगर आप देखेंगे तो 72-8 आपको दे देगा 64n plus 64 into 9 into integer मैं 9 को अंदर ले गया सर 9 को अंदर ले गया अब इन दोनों में 64 common लिया तो n plus 9 into integer एक और integer हो जाएगा और n भी एक positive integer है तो integer plus integer दूसरा कोई integer हो जाएगा 64 into कुछ integer हो जाएगा, लो सर, बन गया, तो फिर से last line क्या लिखेंगे, hence proved that this is divisible by 64, इस तरीके से सारे, इस तैप के question solve होंगे, इस तरीके से इस तैप के सारे question solve होंगे, देख लीजे, आशा करता हूँ यहां तक समझ में आ रहा है, कोई तकलीफ नहीं होगी, ठीक है, समझने में, चलिए अब यहाँ पे देखिए एक expansion का question भाई sigma दिया हुआ है सारे तो सिग्मा दिया हो तो डरना नहीं है बिटा, कोशिश करें, expand करते हैं, r 0 से start हो रहा है, तो n c 0, 3 का power 0, n c 1, 3 का power 1, n c 2, 3 का power 2, डॉट, डॉट, डॉट, n c n, 3 का power n, यह हो जाएगा, ठीक है, यह हो जाएगा, तो सर ये कुछ कुछ देखावा लग रहा है, क्या मैं इसको n c 0 1 का power n 3 का power 0 लिख सकता हूँ, बिल्कुल लिख सकते हैं, n c 1 1 का power n minus 1 3 का power 1, बिल्कुल लिख सकते हैं, तो ये जाता जाएगा, n c n 1 का power 0 3 का power n, तो हो कहा रहा है सर, पहले term का power decrease हो रहा है, दूसरे term का power increase हो का power n लिख सकता हूँ, जो की हो जाएगा 4 by n, तो ये आपका बन गया RHS, यहां से हमने start किया था LHS, इस तरीके से ये proof होगा, ठीक है बिटा, तो अभी तक हमने जितने question किये, question के evaluation वाले, ठीक है बिटा, फिर 98 या 99 का power कुछ दिया होगा, वो evaluation वाले question, फिर divisibility वाले question, और ये expansion based question, ये जितने भी थे, अभी तक जो सिर्फ हमने एक formula देखा था expansion का, कि पहले term का power decrease होगा, दूसरे term का power increase होगा, सब के सब उसी पे based थे, सब के सब उसी पे based थे, तो आशा करता हूँ यहां तक आप लोग को समझ में आ गया होगा, ठीक है, चलिए, अब आते हम अप कि अगर एक binomial expansion दिया हुआ है, महाँ पे हमने देख भी लिया था, तो इसका general term क्या होता है, इसको हम denote करते हैं, बेटा, tr plus 1, equals to, ncr, first term का power n minus r, second term का power r, इसको बोला जाता है, general term, अगर मैं इसको expand करूँ, तो यह हो जाएगा, nc0, x का power n, a का power 0, n c 1, x का power n minus 1, a का power 1, n c 2, x का power n minus 2, a का power 2, dot dot dot, n c n, x का power 0, a का power n, यह हो जाएगा, तो अगर compare करें, suppose करो मुझे third term चाहिए, तो सर, r की value क्या रखूँगा, 2 रखूँगा, R की value क्या रखूँगा, 2 रखूँगा, तो ये बन जाएगा NC2, X का power N-2, A का power 2, पहला, दूसरा, तीसरा, देखो सर, NC2, same to same आ गया, यानि कि ये TR plus 1, यानि कि अगर आपको पहला टम चाहिए, तो R को 0 रखना पड़ेगा, R को आपको 0 रखना पड़ेगा, इसको रटने का भी तरीका क्या है, N, C, R, first term, जो भी यहाँ पे first term है, X, Y, Z, कुछ भी हो, first term का power N-R, second term का power R, इस तरीके से आपको इसको रट लेना है, ठीक है, इस तरीके से आपको इसको रट लेना है, अब, इसकी application भी देखेंगे, so, R plus 1th term, T R plus 1 is called the general term, उसका formula यह, पहला term का power N-R, second term का power r notes के लिए मैं दुबारा लिख देता हूँ जिससे क्या है कि बच्चा अगर miss कर रहा है कि क्या हो रहा है तो कम से उसको लिखावा भी मिल जाए उसके notes proper बन जाए अब इसको question में कैसे use करते हैं find the 16th term पहला type का question होता है कि sir एक expansion है उसके अंदर 15th term कौन सा होगा 20th term कौन सा होगा 16th term कौन सा होगा पहले type का question यह है तो बेटा जब भी भी ऐसा कुछ आ जाए, सबसे पहले आप general term में उसको set कर दो, general term में set कर दो, set करने का मतलब, sir, tr plus 1, यहाँ पे n की value 17 है बेटा, n क्या है, 17 है, तो 17cr, first term, देखो मैंने पूरा का पूरा ले लिया, जो भी first term था, first term का power n minus r, अब second term minus के साथ ले लो, क्योंक यहाँ पे minus है तो minus तो कभी भी गलती नहीं होगी का power r लीजिये सर first term का power n minus r second term का power r चुपचा पहले आप उसको set कर लो general term में अब जो भी question है उसको पढ़ते हैं 16th term चाहिए मुझे चाहिए t 16 यानि कि t 15 plus 1 16 होता है तो यानि कि मैं क्या put up करूँगा, put r equals to 15, तो यह हो जाएगा 15 plus 1, 17 c 15, root x 17 minus 15, minus root y 15, यह हो जाएगा बेटा, अब solve कर दो, तो t 16, 17 c 15 होगा, 17 factorial, 15 factorial, 2 factorial, 17 minus 15, 2, तो x बचेगा, ये minus है तो minus बाहर आ जाएगा, ठीक है, और यहाँ पे बचेगा y का power 15 by 2, तो सर ये हो जाएगा 16, ये cancel, 2 8s हाँ, तो final answer बेटा क्या हो जाएगा, 8 into 17, 80 plus 56 is 136, so minus 136, x y का power 15 by 2. ये आपका answer हो जाएगा बेटा, ये आपका answer हो जाएगा, देख सकते हो आप लोग, ठीक है, इस तरीके से ये solve होगा, general term में कुछ भी नहीं, general term में पहले set कर देना है, set करने के बाद जो भी question में दिया हुआ है उसके according आपको काम करना है, हम अभी बहुत सारे question करेंगे, तो और कुछ भी नहीं करना इस question में, एकदम free के marks है, मैं बोलता हूँ, मतलब मैं बोल रहा हूँ, next, find the 13th term in the expansion of, where x is not 0, ठीक है सर, अभी आपने सिखाया, पहले अपन इसको general term में set कर लेंगे, अब थोड़ा सा हाथ ज़्यादा तेज चलना चाहिए, 18CR, पहला term का power 18-R, दूसरे term का power R, थर्टीन तरम चाहिए, तो R को मैं 12 put up करूँगा, तो T13, यह हो जाएगा 18C12, 9X का power 18-12, 18-12, 6 बचेगा, और minus 1 by 3 root X का power 12, यह हो जाएगा सर 9 का power 6, x का power 6, इसको आप simplify कर सकते हो, even है तो minus plus हो जाएगा, 3 का power 12, root x का power 12, यानि कि x का power 6, root x का power 12, यानि कि x का power 6, तो देखो यह और यह cancel हो गया, और सर 3 square 9 होता है, तो सर यह और यह भी cancel हो गया, तो आपका answer क्या बचा, 18 c 12, यानि कि 13th term आपका answer क्या ह 18C12, आप चाहो तो अब इसको solve कर सकते हो, factorial में, कोई बड़ी बात नहीं है आप लोगों के लिए, कोई बड़ी बात नहीं है, ठीक है, आशा करता हूँ समझ में आ रहा है, clear होगा, चलिए, आगे बढ़ते हैं, if the coefficient of x power 7 and x power 8 in the expansion are equal, then find the value of, अब ये second type का question है बेटा, second type का question है, पहले type का question था, कि आपको term निकालना था, कि 13th term, 16th term, 18th term, 20th term, वैसा निकालना था, अब coefficient निकालना है, x का power 7 या x, तो सर method क्या change हो जाएगा, नहीं बेटा, method change नहीं होगा, method same रहेगा, सबसे पहले अपन लिखेंगे general term, tr plus 1, तो ncr, पहले term का power, n minus r, दूसरे term का power r, अब जबी भी x का coefficient बोल रहे हैं न, x कोई power का, तब आप सारे constant को एक साथ कर लो, और x को एक साथ कर लो, इतना काम आपको extra करना है, तो actual general term आपका बन जाएगा, ncr, 2 का power n-r, ये 3 का power minus r उपर चला जाएगा, और x का power r, तो ये पूरा का पूरा आपका coefficient हुआ, और ये आपका x का power बन गया, ये आपका x का power बन गया, ठीक है, अब एक बार आप इसको भूल जाओ, हमको क्या चाहिए, x का power 7 चाहिए, तो सर, x का power 7 कैसे मिलेगा, जब मैं r को 7 put up कर दूँगा, और x power 7, r की value 7 होनी पड़ेगी, तो जैसी मैं r की value 7 डालूँगा, वो बोज n c7 2 का power n-7, 3 का power, minus 7, x power 7, यह बन जाएगा, यानि कि यह जो complete है, अब देखो binomial coefficient नहीं बोल रहा, सिर्फ coefficient बोल रहा है, यहाँ पे भी बच्चे को ध्यान रखना है, कि question setter, binomial coefficient बोल रहा है, यह सिर्फ coefficient बोल रहा है, यहाँ पे सिर्फ coefficient बोल रहा है, तो सिर्फ आप n-c-7 लेते हैं, तब आप सिर्फ NC7 लेते हैं, ध्यान रखना इस चीज़ को तो सर यही पे फिर क्या बोल रहा है? for X power 8 R को आपको क्या put up करना पड़ेगा? 8 तो T 8 plus 1 ये क्या बन जाएगा?

NC8 2 का power N minus 8 3 का power minus 8 into X का power 8 लीजिये सर coefficient of x power 7, coefficient of x power 8, यहीं पे बोलता सर कौन सा term, मतलब इस expansion में, कौन सा term आपका x power 7 देगा, तो यह बन गया 8th term, कि सर 8th term आपका x power 7 देगा, 9th term आपका x power 8 देगा, तो इस तरीके से आप ये एक और type को question पूछ सकता है, कि सर कौन सा term x power 7 आएगा, यह x power 8 आएगा, तो यह भी सा� अब according to question क्या बोल रहा है सर ये दोनों coefficient equal है तो n की value क्या होगी यानि की n c 7 2 का power n minus 7 और by 3 का power 7 equal है n c 8 के 2 का power n minus 8 by 3 के power 8 से ऐसे सर चलिए अब इदर उदर ले जाएगे, तो NC7 होगा आपका N factorial 7 factorial N minus 7 factorial, divided by N factorial 8 factorial N minus 8 factorial 3 power 7 यहाँ से cancel हो जाएगा sir, और यह भी यहाँ से, मतलब यह उधर जाएगा, और यह नीचे जाएगा तो उपर जब जाएगा, तो N, तो 2 power minus 1, तो यानि कि यहाँ पे बचेगा आज 3 power 1 और उपर में बचेगा बेटा minus n plus 7 तो 2 power minus 1 यह बचेगा तो यहाँ पे देखो n और n factorial cancel हो गया तो यह जब उपर जाएगा तो यह बचेगा 8 और यहाँ पे बचेगा by n minus 7 क्योंकि यह नीचे आ जाएगा n minus 7 into n minus 8 factorial equals to 1 upon 6 तो यहां से अपन करेंगे बेटा, 6 8's are 48 equals to n minus 7, तो n की value हो जाएगी कितनी? तो n minus 7 equals to 48, तो n की value हो जाएगी 48 plus 7, 55. यह आपका answer हो जाएगा, n की value हो जाएगी 55. इस तरीके से यह solve होगा. तो यहाँ पे हमने 2-3 चीज़े देखी, पहली, अगर आपको x का कोई coefficient बोल रहा है, x की power का कोई coefficient, तो आपको वहाँ पे क्या करना है बेटा, पहले general term निकाल के, x की term, मतलब purely x की power को एक साथ ले लेना है, और बच्चावा सारा आपका क्या हो जाएगा, coefficient हो जाएगा, फिर जो भी power है, उसको r की value आपको put up करनी है, इस तर आगे और questions करेंगे तब और भी clarity मिलेगी ठीक है तब आपको और भी clarity मिलेगी चलिए next find the ratio of the coefficient of x power 15 to the term independent of x in the expansion तो basically हो क्या रहा है sir आपको दो दो अलग अलग questions हैं लेकिन method same ही है जैसे ratio of the coefficient of x power 15 to the term independent of x, independent of x मतलब sir x का power up क्या हो जाएगा, 0, x का power क्या हो जाएगा, 0, ठीक है, तब अपन को क्या करना है, ठीक है, तो यहाँ पे भी sir वो ही करेंगे, सबसे पहले यहाँ पे आप ले लिजे, general term, तो sir general term क्या हो जाएगा, general term हो जाएगा, 15cr, first term का power 15 minus r, second term का power r, अब हमको इसको simplify करना है, 15cr x का power 30-2r हो जाएगा, 2 का power r हो जाएगा, x का power minus r हो जाएगा, 15cr, 2 का power r, यह आपका coefficient बन गया, x का power 30 minus 3r, यह हो जाएगा, x का power 30 minus 3r, यह हो जाएगा, यहां तक आशा करता हूँ, समझ में आ गया होगा, इतना करने के बाद, पहला part, coefficient of x power 15, तो सर x power 15 के लिए for x power 15 30 minus 3r equals to 15 होना चाहिए, 30 minus 3r जो भी x का power है ये 15 होना चाहिए ना सर, तो 3r equals to 15 होना चाहिए, r की value 5 होनी चाहिए, r की value 5 होनी चाहिए, तो मेरा coefficient क्या हो जाएगा, coefficient मेरा बन जाएगा, 15C5, 15C5, 2 का power 5, लीजिये, simple, क्योंकि यही बस आपका coefficient है, for x power 0, या independent of x, independent of x, दोनों का मतलब same है बेटा, x power 0 का मतलब ही है independent of x, 30 minus 3R को 0 होना पड़ेगा, 3R को 30 होना पड़ेगा, R को 10 होना पड़ेगा, तो coefficient मेरा क्या बन जाएगा, 15C10, 2 का power 10, ठीक है, तो अब हमसे बोल रहे है, ratio of the coefficient, तो sir ratio मेरा क्या हो जाएगा, x power 15 है, 15C5, 2 का power 5, divided by, 15C10, 2 का power 10, अब सर 15C5 और 15C10 equal होगा, NCR equals to NCN minus R, तो यह और यह तो cancel हो गया, यहाँ पर यह cancel होगे, 5 बचा, तो यह क्या बचा, 1 upon 2 का power 5, यानि कि 32, 2 to the 4, 4 to the 8, 8 to the 16, 32, यानि कि ratio बन गया बेटा, 1 is to 32, ratio आपका बन जाएगा, 1 is to 32, इस तरीके से यह solve होगा, इस तरीके से ये solve होगा, तो आशा करता हूँ, समझ में आ रहा है, और आराम से मैंने आपकी clarity के लिए, ऐसे question लिए, जहाँ पे दो दो बार आपको करना पड़ रहा है, तो आप solve करेंगे general term को, general term को solve करने के बाद, जो भी x की power आई है, और जो यहाँ पे x की power coefficient बोल रहा है, that's it. फिर उसका आप coefficient निकाल सकते हो, ठीक है, clear है, चलिए, आगे बढ़ते हैं, अब यहाँ पे देखिए सर, show that the ratio of the coefficient of x power 10 in the expansion of this and the term independent of x in the expansion of this is 1 is to 32, prove करना है मतलब, दो अलग-अलग question हैं, दोनों में ratio निकालने हैं, और फिर आपको proof करना है, ठीक है, एक-एक करके आप solve करोगे, सबसे पहले 1 minus x square का power 10, 1 minus x square का power 10, इसका general term कितना हो जाएगा बेटा, यह हो जाएगा 10cr, first term का power कुछ भी, तो minus x square का power r, यानि की 10cr minus 1 का power r, x का power 2r, लीजिये सर, ये आपका बन गया ठीक है इसकी बात करेंगे तो TR प्लस 1 ये क्या हो जाएगा 10CR फर्स्ट टर्म का पावर 10 माइनस R सेकिन टर्म का पावर R अब इसको सॉल करेंगे 10CR X का पावर 10 माइनस R माइनस 2 का पावर R X का पावर माइनस R तो 10CR minus 2 का power r, x का power 10 minus 2r, लीजे सर, ये भी बन गया, अब, पहले case में क्या बोल रहा है, coefficient of x power 10, तो, for x power 10, 2r को 10 होना पड़ेगा, तो r की value कितनी हो जाएगी बेटा, 5 हो जाएगी, तो coefficient हमारा क्या हो जाएगा, 10c5, minus 1 का power 5 यह हो जाएगी sir simple और यहाँ पे independent of x, यानि की for x power 0, यहाँ पे क्या है हमारा 10 minus 2r है, तो 10 minus 2r को 0 होना पड़ेगा, 2r को 10, r को 5, तो coefficient क्या बन जाएगा बेटा, 10c5 minus 2 का power 5, यह हो जाएगा, ठीक है, चलिए, अब ratio, ratio क्या बोल रहा है, minus 10 c 5, क्योंकि minus 1 का power 5 minus होता है, divided by minus 10 c 5 2 का power 5, sir, ये और ये तो cancel हो गया, minus minus plus हो गया, ये हो गया 1 is to 32, तो आप लिखेंगे proved, आप लिखेंगे इसको proved, इस तरीके से ये solve होगा, इस तरीके से ये solve हो जाएगा, ठीक है, तो हर जगा हम लोग बार बार एकी चीज कर रहे हैं बेटा, general term निकाल रहे हैं, simplify करके x की powers को या x की चीज को एक साथ लेके जा रहे हैं, constant को एक साथ लेके जा रहे हैं, जो भी question में बोला है कि x की किस power का coefficient चाहिए, r को उससे equate कर दे रहे हैं, that's it, ठीक है, चलिए multiply करके दे दिया, अब क्या करेंगे, तो सर, जो power 1 है, आप इसको तो expand करी सकते हो न, यानि कि, ये हो जाएगा 1 into 3 by 2 x square minus 1 by 3 x का power 9, plus x into 3 by 2 x square 1 by 3 x का power 9, plus 2x cube 3 by 2x square minus 1 by 3x का power 9 यानि कि अब ध्यान समझिएगा ये तो सर 1 है तो ये as it is रहेगा x into यानि कि यहाँ पे हर एक term से x multiply होगा और यहाँ पे हर एक term से x cube multiply होगा ठीक है तो अगर मैं general term निकालना चाहूँ इसका general term tr plus 1 वो हो जाएगा NCR first term का power N-R, second term का power R. थोड़ा सा simplify करेंगे, NCR 3 by 2 का power N-R, X का power 18-2R, minus 1 by 3 का power R, into X का power minus R.

और simplify करेंगे, ncr 3 by 2 का power n minus r minus 1 by 3 का power r x का power 18 minus 3r यह हो जाएगा सर यानि कि यह जो तीनों है इनका जो आपका क्या बोलना चाहिए general term है वो यह आ जाएगा अब इसको आप तीन अलग अलग question समझ के चलिए पहला part यह है सर यहाँ से मुझे independent of x, यानि कि x का power 0 चाहिए, तो सर x का power 0 चाहिए, यानि कि 18 minus 3r 0 चाहिए, तो r की value हो जाएगी 6, r की value हो जाएगी 6, तो 6 put up कर दो, 9c6, 3 by 2 का power 9 minus 6, और minus 1 by 3, का power 6, अब यहाँ पे आ जाओ सर, यहाँ पे x multiply होगा, तो सर independent का बोगा, जब यहाँ पे 1 by x आएगा, अगर 1 by x आया, तो x उसको multiply करके independent of x बना देगा, यानि, मुझे अब यह x power का minus 1 चाहिए, x power minus 1 चाहिए, x power minus 1 चाहिए, यानि कि, 18 minus 3r minus 1 होना चाहिए, तो सर ये हो जाएगा 19 equals to 3R, तो R equals to 19 by 3, अब बच्चे क्या गलती करते हैं, R को 19 by 3 लिख देते हैं, ये गलत होगा सर, यानि कि इस वाले से आपको कोई भी X independent term नहीं मिलेगा, X independent term नहीं मिलेगा, क्यों, क्योंकि R की value हमेशा integer होनी चाहिए, R should always be integer, अगर r integer नहीं है, तो आप बोलेंगे वो term वहाँ पे नहीं आ सकता, वो term वहाँ पे नहीं आ सकता, ठीक है, यहाँ पे आ जाओ, सर यहाँ पे अब x power 3 है, basically हर एक term 2x power 3 से multiply होगा, तो यानि कि मुझे यहाँ पे x का power minus 3 चाहिए, यहाँ पे x का power 1 था, तो x का power minus 1 चाहिए था, यहाँ पे x का power minus 3 होगा, तभी तो cancel होगा, तो मुझे यहाँ पे चाहिए x का power minus 3, तो यानि कि 18 minus 3r minus 3 के equal होना चाहिए, तो sir 3r हो जाएगा 21, r equals to 7, यानि कि मैं r equals to 7 डालूँगा, तो जब यह multiply होगा, तब आपको independent of x मिलेगा, बहुत important सवाल है बेटा, 4 से 5 marks में यह आ सकता है, समझ ये, यहाँ से हमको मिला, यहां से नहीं मिला, यहां से फिर से मिला, अब यह 2 भी है, 2 भी सबसे multiply होगा, तो जब coefficient हो जाएगा वो 2, into, अब r की value 7, तो 9c7, 3 by 2 का power 9 minus 7, 2, और minus 1 by 3 का power 7, यह हो जाएगा, तो final answer क्या होगा, यह plus यह, यहां से तो 0 आया सक, यह coefficient क्या हो जाएगा, 0, अब इसको आप solve कर 9C6 कितना हो जाएगा बेटा, 9 factorial, 6 factorial, 3 factorial, यह हो जाएगा 3 का power 3, 2 का power 3 यानि की 8, यह हो जाएगा 1 का power 3 power 6, तो यह cancel होके यहाँ पे 3 power बचाएगा, plus इसको, तो sir 9C7, 9C2 के बराबर होता है, तो 2 into 9 factorial, 7 factorial, 2 factorial, 3 का square, और 2 का square, और ये minus आ जाएगा sir बाहर, तो यहाँ पे ये minus आ जाएगा, minus 1 by 3 का power 7, तो ये cancel होके यहाँ पे 5 दे देगा, अब इसको solve करेंगे, तो sir ये into 8, into 7, ये cancel हो जाएगा, 3 into 2, तो 3, 3's आ, और 2, 4's आ, एक 3 और cancel हो जाएगा sir, ये 2 बचेगा, ये 4 cancel हो जाएगा, ये भी 2 बचेगा, तो क्या बचेगा सर आपके पास, 7 by 7 by 2, और 3 square 9 so 9 into 2, 18 7 by 18, minus यहाँ पे आजाओ, 9 into 8, 7 factorial, cancel हो गया बेटा 4 into 2, ये 8 cancel हो जाएगा, अब ये 9 cancel हो जाएगा तो 2 power और चली जाएगी तो 3 बचेगा तो उपर में आप बचा 2 और नीचे में बचेगा 3 cube यानि की 27 7 by 18 minus 2 by 27 तो final answer LCM जब हम लेंगे तो सर 9 2's आ 9 3's आ तो 9 6's आ 54 तो 18 3's आ 54 होता है बेटा so 3 7's आ 21 minus 27 2's आ 2 2's आ 4 तो यानि की 17 by 54 आपका answer हो जाएगा 17 by 54 आपका answer हो जाएगा, इस तरीके से ये solve होगा, इस तरीके से ये solve होगा, बहुत जरूरी question है, आपको देखना था कि multiply होके ये आपको कैसे value देगा, ठीक है, तो आशा करता हूँ, चीज समझ में आ गई होगी, ठीक है, clear है, बहुत ही important सवाल है, चलिए, आगे बढ़ते हैं, अब ये सर उसी type का एक और question है, find the coefficient of x, वहाँ पे था independent of x, अब x, 1 minus x का power 16, मतलब जिन बच्चों को वो question में नहीं समझ में आया, तो दुबारा यहाँ पे समझ सकते हैं, मैं दुबारा पूरा explain करने वाला हूँ बेटा, तो minus 3x into 1 minus x का power 16 plus 7x square 1 minus x का power 16, यह हो जाएगा, चलिए, अब अगर इसका general term लेंगे, तो tr plus 1, यह कितना हो जाएगा, 16cr, 1 का power कुछ भी तो 1 होता है, minus x का power r, लीजिए, इसका general term भी आसान है, सर, इसका general term भी आसान है, मतलब इसको और अगर simplify करना है तो 16cr-1rxr आप ऐसे ले लीजे चलिए वापिस आते हैं, तीन अलग-अलग सवाल, तीन अलग-अलग सवाल, आपको x चाहिए, तो सर यहाँ पे x का power 1 चाहिए मुझे, अब अगर मुझे x का power 1 चाहिए, तो अब मैं क्या करूँगा सर, r की value को 1 put up करना पड़ेगा, जो भी वहाँ पे r है, उसको 1 put up करना प� सर, अब minus 3 x है, यानि कि हर एक टम x से multiply हो जाएगा, तो सर, मुझे तो फिर यहाँ से constant टम चाहिए न, तब ही तो मुझे वो x देगा, अगर मैं x को x से multiply करूँगा, वो x square हो जाएगा, तो यहाँ पे आपको चाहिए x का power 0, तो यानि कि r को आप क्या put up करोगे बेटा, 0 put up करोगे, और minus 3 पहले से ही था, ठीक है, तो 0 put up किया, तो 16c 0 आगया, minus 1 का power 0, 1 ही होता है, अब यहाँ पे x square है, तो मुझे अब यहाँ पे क्या चाहिए, x का power minus 1 चाहिए, मुझे अब यहाँ पे क्या चाहिए, x का power minus 1, तो सर मैं r को क्या put up करूँगा, minus 1, पर सर हम सिर्फ positive integer ले सकते हैं, r को positive integer ले सकते हैं, negative नहीं ले सकते हैं, तो यहाँ से no solution आएगा, simple शब्दों में जब हर चीज x square से multiply हो जाएगी, तो वो x कैसे देगा, वो x, नहीं दे सकता, दे सकता अगर 1 by x possible होता, पर यहाँ पे possible नहीं है, तो यहाँ से 0 हो जाएगा तो यही दोनों को solve करना है यह हो जाएगा, minus 16 c1 16th को देगा, और यह हो जाएगा minus 3, 16 c0 1 होता है, तो answer हो जाएगा minus 19, answer हो जाएगा minus 19, तो इस तरीके से यह solve होगा इस तरीके से यह solve होगा ठीक है चलिए आगे बढ़ते हैं तो बेटा यह था अभी तक जो आपने देखा कि जनरल टर्म का कैसे यूज होता है उसमें जब दो मल्टिप्लाई में भी आ जाते हैं वो सारे चीज हमने देखा मैंने लगबग जो क्वेश्चन से सारी टाइप कीए इंडिपेंडर आफ ट उसके बाद हम सिर्फ miscellaneous problems करेंगे काफी सारे middle term of binomial expansion सर middle term क्या होगा basically middle term क्या होगा तो इसको समझने के लिए एक छोटा से example लेते हैं x plus y का whole square और x plus y का whole cube just समझाने के लिए बेटा just समझाने के लिए ये देगा x square plus 2xy plus y square ये देगा x cube plus 3 x square y plus 3 x y square plus y cube plus y cube ये हो जाएगा ठीक है अब सर power even था power even था तो number of terms क्या होगा odd हो जाएगा 2 plus 1 3 तो सर middle term एक ही आएगा middle term एक ही आएगा जब power और था तो number of terms कितने हो जाएगे? 4 मतलब 1 जादा even हो जाएगा तो middle term 2 आएगे तो middle term 2 आएगे ये चीज आपको देखनी है तो यहाँ पे जो middle term है वो कैसे आया सर? n by 2 plus 1 मतलब 3 term थे तो 3 का आदा 1.5 यानि की second term आपका answer होगा यहाँ पे 3 total 4 term थे 4 का आदा यानि की 2 तो 2 और उसके आगे वाला 3 वो आपका middle term होगा इस तरीके से idea लगा के भी आप general term निकाल सकते हो, नहीं तो formula क्या होता है, in x plus y power n, ठीक है, if n is odd, then t n plus 1 by 2 and t n plus 3 by 2 are your middle term, if n is even, then t n by 2 plus 1 are your middle terms, नहीं तो आप ये formula याद कर लो, नहीं तो आप ये formula याद कर लो, देखो, 2 by 2, 1, 1 plus 1, 2, तो t 2 आपका middle term हो गया, फिर general term निकालना आते ही है, यहाँ पे 3 plus 1, 4, 4 by 2, 2, 3 plus 3, 6, 6 by 2, 3, तो second और third term आपका middle term हो गया, तो इस तरीके से आप middle term निकाल सकते हो, ठीक है, चलिए, तो वही चीज यहाँ पे है, explain करके लिखी हुई है, आप लोग अपना formula wise देख सकते हो, ठीक है, आप यहाँ पे formula wise देख सकते हो, अगर किसी को formula, मतलब यहाँ पे मैंने type करके भी दे दिया, यह 2 करेंगे तो 3 हो जाएगा, वो same ही चीज है sir, अब question देखते ह ये क्या है, even है, तो हमारा middle term क्या हो जाएगा, t 6 by 2 plus 1, यानि कि t 3 plus 1, ये आपका middle term होगा, तो यहाँ भी क्या करना है बेटा, general term, यानि कि 6cr, 3 का power 6 minus r, x का power r, तो यहाँ पे r की value क्या रखनी है, 3 रखनी है, तो 3 रख दीजे, तो यह जाएगा 6c3, 3 का power 6 minus 3, 3, और x का power 3, ये आपका middle term बन गया, simple sir, इसमें कोई difficulty नहीं है बेटा, formula याद रखे, बस आपको general term में r की value रख देनी है, r की value निकालने के लिए formula आपको याद होई गया होगा, ठीक है, next, दुबारा, 8 है sir, तो यहाँ पे मेरा middle term क्या होगा, t 8 by 2 plus 1, यानि की t 4 plus 1 यानि कि 8C4 first term का power 8-4 into second term का power 4, इसको आप simplify कर सकते हूँ, मैं यहीं पर छोट रहा हूँ, तो middle term एक छोटा सा topic है बिटा, formula based है, formula याद हो गया तो आप easily कर सकते हूँ, अब दुबारा यह 10, यहाँ पर भी 10 है तो आप यह निकाल सकते हूँ, ठीक है, यह भी basic चीज है, यह भी आप homework में कर सकते हैं, मतलब थोड़ा सा सबस्पलिफाइट करने है, इतना पार्ट मैं आप लोग के लिए छोड़ रहा हूँ, अब यहाँ पे देखो, find the two middle terms in the expansion, two middle terms यानि की देखो अब power क्या हो गई, odd हो गई, तो अब मेरी middle terms क्या होंग और T 8 by 2 4, तो T 3 और T 4 आपके expansion होंगे, तो अब यहाँ पे जब मैं general term लिखूंगा, TR plus 1, वो हो जाएगा 5CR, first term का power 5 minus R, second term का power R, ठीक है, अब मुझे T 3 और T 4 चाहिए, तो T 3 के लिए बेटा आप क्या लिखेंगे, T 2 plus 1, यानि कि r की value 2 रखनी है, 5c2 x square 5-2 a square 2, और t4 के लिए t3 plus 1, तो 5c3 x square 5-3 2, और a square 3, यह हो जाएगा, अब देखो, coefficient देखो, 5c2 10 है, 5c3 भी 10 है, दोनों का coefficient same होगा, होना ही पड़ेगा, ये लोग सेम हो ना हो, ये दोनों सेम होंगे, binomial coefficient सेम होंगे, ठीक है बेटा, इस तरीके से आपको ये करना है, अब एक की ज़ेगा, दो निकलेगा, एक step इसमें बढ़ जाएगा, वहाँ पे directly आ जाता है r plus 1, यहाँ पे r plus 1 में convert करना पड़ेगा, बस, ठीक है, इसी तरच पे एक और question है, 11, तो यहाँ पे भी sir, हमारे general term, मतलब, क्या होगा, 11 plus 1 by 2, and, 11 plus 3 by 2, तो T 12 by 2, 6, and T 14 by 2, 7, यह हो जाएगा, तो T 6 की जगा पे 5 plus 1, और यह हो जाएगा 7 की जगा पे 6 plus 1, तो 11 C 5, first term to the power 11 minus 5, into second term to the power 5, और यहाँ पे 11C6, first term और second term, ठीक है, तो coefficient आप देखोगे, वो same ही आएगा, वो बस solve करने पे अलग-अलग value हो सकती है, पर वो दोनों ही middle term कहलाएंगी, वो दोनों ही middle term कहलाएंगी, आपको confuse नहीं होना है, आप लोगों को confuse नहीं होना है, ठीक है, अब ये एक और है ये मैं आप लोग के लिए homework छोट रहा हूँ और ये चौथा वाला भी आप लोग के लिए homework, तो दो मैंने solve किये, दो-दो मैंने आप लोग के लिए homework छोड़े हैं, चलिए, अब अपन करते हैं कुछ miscellaneous problems, ठीक है, कुछ miscellaneous problems, तो topics बेटा तीन ही थे, ठीक है, topics अभी तक तीन ही थे, chapter theory wise complete हो चुका है, पहला topic था expansion, उसमें हमने divisibility वाला question, evaluation वाला question, second type था आपका general term, उसमें independent of x, यार 16th term, 15th term वो निकालना सीखा, third था आपका middle term, हमने वो, ये तीनी topic है, अब इनी सब के उपर कुछ miscellaneous problems है, जो थोड़े tough problems है, वो सब मैं आपको करवा रहूं, जिससे आपकी practice एकदम strong हो जाए, ठीक है, जिससे आपकी practice एकदम strong हो जाए, चल ये, जिससे यहाँ पे, ठीक है, तो आख बंद करके कभी भी आ जाए, कि कुछ x power 5 निकालना है कुछ करना है आपको पहले general term लिखना है बेटा तो यह हो जाएगा 8cr x का power 8 minus r first term first term का power n minus r second term का power r अब मुझे x power 5 चाहिए तो तुरंत आप क्या लिखोगे कि sir 8 minus r 5 होना चाहिए तो r की value हो जानी चाहिए 3 तो r की value को 3 put up कर दो तो 8c 3 x का power 8 minus 3 यानि की 5, 3 का power 3, coefficient बोला है, तो sir 8c3 कितना होगा, 8 factorial, 3 factorial, 5 factorial, into 3 cube, 27, तो 8 into 7 into 6, ये cancel हो जाएगा, 3 to the 6 भी cancel हो जाएगा, तो answer हो जाएगा 56 into 27, इसको आप multiply कर लेंगे, तो answer हो जाएगा, ठीक है?

इतना पाट करना था सर, next, find the coefficient of x power 6, क्योंकि इस coefficient वाले problems थोड़े से difficult बच्चे के लिए होते हैं, तो हम थोड़े से और solve कर रहे हैं, अब x power 6 का coefficient चाहिए, method same है सर, tr plus 1, 9cr, first term का power n minus r, second term का power r, यह हो जाएगा, चले, 9CR 3 का power 9 minus r, x का power 18 minus 2r, multiply होगा sir, यहाँ पे minus 1 by 3 का power r, x का power minus r, और simplify करेंगे, 9CR 3 का power 9 minus r, minus 1 by 3 का power r, x का power 18 minus 3r हो जाएगा sir, यह आपका बन गया, अब आपको x power 6 चाहिए, यानि की 18 minus 3r 6 होना चाहिए, तो sir 3r 12 हो जाना चाहिए, r की value 4 हो जानी चाहिए, r की value 4 हो जानी चाहिए, तो substitute कर दो, तो coefficient of x power 6 कितना हो जाएगा, 9c4, 3 का power 9 minus 4, or minus 1 by 3, का power 4, तो ये plus हो जाएगा sir, ये हो जाएगा 9 factorial, 4 factorial, 5 factorial, sir ये cancel हो के, खली 3 दे देगा, तो 9 into 8 into 7 into 6, ये 5 factorial cancel हो जाएगा sir, 4 into 3 into 2, तो sir 4 or 2, 8 cancel हो गया, 3, 3 भी cancel हो गया, तो answer हो जाएगा बिटा, अ, 7 6s are, 7 5s are 35, 42, so 7 6s are, या 6 9s are 54 into 7, 7 4s are 28, 2, 7 5s are 35, 37, so 378 आपका answer हो जाएगा, 378 आपका answer हो जाएगा, इस तरीके से, पहले general term लिखना है, उसको बढ़िया से break करके, constant terms को एक साथ, x के term को एक साथ लेना है, फिर जो भी coefficient बोला है, मतलब जो भी power बोला है, उस power को इधर x के power से equal कर देना है, बस, फिर r निकल जाएगा, उसके बाद आप आसानी से solve कर सकते हो, उसके बाद आप आसानी से solve कर सकते हो, ठीक है, आशा करता हूँ समझ में आ रहा है यहाँ तक, को Find the coefficient of x power minus 15. Sir, ऐसा भी हो सकता है? बिल्कुल हो सकता है. आपको बस यहाँ पे जो x की power आई, उसको minus 15 से बराबर कर देना है, बस, ठीक है, तो देखते हैं सर, method तो same ही है, tr plus 1, तो 10cr 3x square का power 10 minus r minus a by 3x cube का power r, यह हो जाएगा, अब simplify करना है बेटा, 3 का power 10 minus r, x का power 20 minus 2r, ठीक है, minus a by 3 का power r, x का power minus 3r, यह हो जाएगा, तो 10cr, 3 का power 10 minus r, यह भी constant है, minus a by 3 का power r, x का power 20 minus 5r आ जाएगा, 2r और 3r plus, यह हो जाएगा, अब मुझे चाहिए minus 15, यानि कि यहाँ जो x की power है, 20 minus 5r, वो minus 15 के बराबर होनी चाहिए, यहाँ पे लेके आएंगे, यह हो जाएगा 35 equals to 5r, r की value 7, जब तक r की value एक positive integer आ रही है, यानि कि वो valid है, अगर r की value negative, या एक rational number आ जाए, तो आप बोलेंगे, यह वाला term इसमें कभ रखता हूँ, तो coefficient आप बोलोगे 0, simple सी बात, ठीक है, पर एक integer आई है, तो sir, coefficient of x power minus 15, कितना हो जाएगा, 10 c 7, 3 का power 10 minus 7, ठीक है, minus a by 3 का power 7, यह हो जाएगा, अब आपको यह solve करना है, इतना तो यार आप लोग कर सकते हो, ठीक है, तो बेटा घबराना नहीं है, घबराना बिलकुल भी नहीं है, हर जगह हम सिर्फ एक ही method कर रहे हैं, आप ये चीज देखो, general formula लिखा, general formula लिखके उसको expand किया, थोड़ा सा simplify किया, इस power को जो यहाँ पे given power है, उससे equate किया, अगर R एक integer आया, तो वो उसका answer देगा, integer की जग find the coefficient of a7b5, sir, अब दो दो term आ गए, तो अब हम फिर घबरा जाएंगे, घबराना नहीं है, method वही है, पहले हम लिखेंगे tr plus 1, 12cr, पहले term का power, 12 minus r, दूसरे term का power, r, चलिए, simplify करते हैं, 12cr, a का power, 12 minus r, minus 2 का power, r, b का power, r, 12CR, minus 2 का power R, 12 minus R, B का power R, लीजिये, पहली चीज, अगर यहाँ पे ऐसा बोलता, A power 7, B power 6, A power 11, B power 3, पहले सर दोनों power को add करके देखो, 7 plus 6, 13, सर power तो 12 है, पढ़ा क्या था, अगर दोनों variable हैं, उनका sum इसी के equal आना चाहिए, तो ये term नहीं आएगा, directly आप लिखोगे 0, 11 plus 3, 14, ये भी term नहीं आएगा, directly लिखोगे coefficient 0. 7 plus 5, 12, sir, 12 के बराबर है, यानि कि ऐसा term जरूर आएगा, यानि कि कोई ना कोई r की value ऐसी होगी, जो ये दे देगा.

तो b का power 5, अगर मैं 5 रख दूँ, तो 12 minus 5, 7, लो sir, हो गया. So, for r equals to 5, we will get, ए पावर सेवन डी पावर फाइव देरफोर कॉफिशियंट ऑफ ए पावर सेवन डी पावर फाइव विल बी इतना ट्वेल सी फाइव माइनस टू का पावर फाइव यानि कि माइनस 32 इंटू ट्वेल सी फाइव यह आपका आंसर हो जाए तो आपको चीजे देखनी है जो हमने basic में पढ़ा था वो basic को ही यहाँ पर extend करेगा ठीक है वो basic को ही यहाँ पर extend करेगा आशा करता हूँ ये सब चीजे समझ में आ रही है ठीक है चलिए next question पे आते है show that the term containing x cube does not exist in this expansion ये आए ना सर कुछ अच्छा question एक different question अब बोल रहा है कि x3 इसके अंदर नहीं आता, यह प्रूव करना है आपको, तो सर उसको कोई method अलग हो जाएगा, नहीं बेटा TR plus 1, ठीक है सर, 8CR, पहला term का power 8 minus R, दूसरे term का power R, चलिए, 8CR, 3 का power 8 minus R, X का power, अब थोड़ा simplify भी तो करेंगे न, और फिर यहाँ पे, minus 1 by 2 का power R, X का power minus R, चलिए, last step, 8CR, 3 का power 8 minus R, minus 1 by 2 का power r x का power हो जाएगा बिटा 8 minus 2 r यह हो जाएगा 8 minus r minus r 8 minus 2 r so for x cube वहाँ पे x का power क्या है 8 minus 2 r should equals to 3 वो सर 3 के equal होना चाहिए तो 2 r 8 minus 3 5 के equal होना चाहिए r हो जाएगा 5 by 2 क्या आ गया सर एक rational number आ गया तो since r is not integer आप बोलेंगे x3 does not exist in the expansion अगर वो r की value एक integer होती तब आप उसको निकाल सकते हो लेकिन r की value अगर rational number या negative number हो जाए तब आप value नहीं निकाल सकते हो ठीक है, clear है, आशा करता हूँ, यहाँ तक समझ में आ रहा है, कोई तकलीफ नहीं होनी चाहिए, ठीक है, आगे बढ़ते हैं, अब यह जो next 3-4 question है बेटा, यह थोड़े से lengthy है, यह जो भी है आपके 4 markers, 5 marks आने वाले question है, ठीक है, आपके miscellaneous के question है, चले देखते हैं कैसे हम य कुछ भी नहीं दिया, ना पहला term, ना दूसरा term, ना power. If the first three terms of the expansion are 729, 7 to 90, और ये respectively, तो पहले तीन terms ये ये ये हैं, तो आपका a, b और n की value क्या होगी, ये बोला जा रहा है.

चलिए, अगर मैं इसको expand करूँ, तो ये क्या बन जाएगा? अगर आपका n c 0, a का power n, n c 1, a का power n minus 1, b का power n, NC2, A का power N minus 2, B का power 2 and so on. मैं बाकी term क्यों नहीं लिख रहा? हमें बोला है सिर्फ first three terms. तो मैं सिर्फ पहले तीन terms को ही देखूँगा न बेटा.

तो सर, NC0 तो 1 होता है, तो यानि कि A power N की value 729 है, ठीक है? अब NC1 N होता है, तो N into A का power N minus 1, B का power 1. इसकी value 7290 है और तीसरा term NC2 यानि की NC2 A का power N-2 B square इसकी value बेटा 30375 है तो basically तीन equation और तीन variable है तीन equation और तीन variable है तो हमें को यह solve करना है तो एक एक करके start करते है 729 सर 729 किसी का value होता है? किस का value होता है? आप कर सकते हैं सर 3 या 9 9, 9, 81, 9, 1, 9, 8, 0 तो 9 का cube भी होता है या 3 का square तो 3 का power 2, 3, 6 तो ये भी हो सकता है तो n की value 3 हो सकती है सर ठीक है?

n मतलब यहाँ पे क्या हो सकता है sir की a की value यानी a की value 9 हुई तो n की value 3 होगी और a की value अगर 3 हुई तो n की value 6 होगी तो sir ये दो cases आ गए हमारे पास ये दो cases आ गए अब इन दो cases को बारी बारी करके आप यहाँ पे put up करके देखेंगे जैसे की ये sir n तो n अगर मैंने पहला case लिया तो sir अगर मैंने पहला case लिया, तो सर सिर्फ 3 eta माईंगे, मतलब 4 eta माईंगे, ठीक है, फिर भी, एक बार check कर लेते हैं, तो n को अगर मैंने 3 लिया, so 3a, a मेरा क्या है बेटा, a मेरा 9 है, तो 9 का power 2, into b, 7 to 9, 0 होगा, ठीक है, calculate करके देखते हैं, सर, ये basically क्या है, 9 cube into 10 है, तो ये 9 square, ये cancel हो जाएगा, तो सर b का power 1 हमारा क्या बचेगा 30 बचेगा तो b हमारा क्या हो जाएगा 30 first case के लिए b आपका क्या हो जाएगा 30 हो जाएगा, चलिए, चेक करते हैं कि ये जो तीनो values हैं, इसको satisfy कर रही हैं कि नहीं कर रही हैं, अगर satisfy करेंगी तो वो setup का answer हो जाएगा, नहीं तो automatically second setup का answer हो जाएगा, तो n 3 है सर, तो 3 c 2, a मेरा 9 है, तो 9 का power 3 minus 2, और b मेरा 30 है, तो 30 का power 2, ये values है होनी चाहिए 30375, चेक क 9 है, 900 है, तो सर 2 0 आ गए, सर ये तो नहीं हुआ सर, क्योंकि यहाँ पे 0 आ पर ये, तो यानि कि ये setup का answer नहीं होगा, ये setup का answer नहीं होगा, ठीक है, तो एक बार check करने के लिए आप दूसरा setup लेंगे, a की value 3 और n की value 6, तो अब अगर मैंने यहाँ पे substitute किया, n की value 6, a की value 3, 3 5 b का power 1, 7 to 9 0, यानि की 3 का power 6 into 10, तो सर ये और ये cancel हो जाएगा, यहाँ पे बचेगा 2b equals to 10, तो b की value यहाँ से आएगी सर 5, ठीक है, अब यहाँ पे substitute करते हैं, तो 6 c 2, क्योंकि n की value 6 है, sorry, n की value 6 है, तो 6C2 into A, 3 का power 6 minus 2, और B, जो की 5 है, 5 का power 2, तो सर 6C2 हो जाएगा, 6 factorial, 2 factorial, 4 factorial, so 5 ये cancel हो जाएगा, तो 15, तो सर 15 into 25 into 3 का power 4, सर 81, ये देख लीजिये सर, ये ही आएगा, 0, 0 नहीं आएगा, तो आपका answer क्या हो गया सर, A is equals to 3, b is equals to 5 and n is equals to 6 यह आपका value हो जाएगा तो इस तरीके से cases लेने है क्या पता यह case answer देता, क्या पता यह case तो यहां से हम आ गया यह case नहीं होगा यह इस तरीके से, तो simple था कुछ भी नहीं given था, लेकिन फिर भी simple था, क्योंकि हमें एक एक करके value निकालनी थी, ठीक है क्योंकि एक-एक करके हमें value निकालनी थी, चलिए, आगे बढ़ते हैं, next, find A, if the coefficient of x square and x cube in the expansion are equal, अब सर, ऐसे टाइप को question, कि वहाँ पे आपको बोल दिया कि सर, एक coefficient है, उसको value निकालो, अगर ये दोनों equal है, ये भी एक अच्छा question है, method क्या है सर, पहले तो general term निकालेंगे, तो tr plus 1, ये क्या हो जाएगा, ncr3 का power 9 minus r, ax का power r, और solve करेंगे, तो ncr3 का power 9 minus r, a का power r, x का power r, तो ये आपका coefficient हो गया sir, binomial coefficient नहीं बोला है, coefficient बोला है, और x का power r, तो sir, for x square, r की value को 2 होना पड़ेगा, यानि की coefficient क्या बन जाएगा, 9c2, 3 का power 9 minus 2 और a का power 2, यह हो जाएगा, for x cube, r की value को 3 रखना पड़ेगा, 9c3, 3 का power 9 minus 3, 6, a का power 3, अब question के हिसाब से यह दोनों equal हैं बोल रहा है, यह दोनों equal हैं, तो solve कर देते हैं, सर यहां से cancel होके यह cancel हो जाएगा, तो यानि की, एक ही value क्या हो जाएगी बेटा, 9 factorial by 2 factorial, 7 factorial into 3, divided by 9 factorial by 3 factorial, by 6 factorial, तो 9 factorial, 9 factorial, cancel हो जाएगा, ये सब उपर जाएगा, तो 6 factorial into 3 factorial, into 3 by 2 factorial, into 7 factorial, तो सर 6 factorial cancel होके, यहाँ पे 7 दे देगा, 2 factorial cancel होके, यहाँ पे 3 दे देगा, तो यहाँ पे क्या बचा, त्रित्रिजा 9 by 7, तो एक ही value हो जाएगी सर, 9 by 7, एक ही value हो जाएगी, 9 by 7, इस तरीके से ये solve होगा, इस तरीके से ये solve होगा, आशा करता हूँ, समझ में आ रहा है, simple chapter है, छोटा सा chapter है, कोई जादा बड़ा chapter नहीं है, हमने काफी सारे question देख लि ये काफी difficult question माना जाएगा Find the coefficient of x power 5, सर, पहले तो power 1 आती थी, अब यहाँ पे देखो, क्या-क्या आ गया, 7 आ गया, 6 आ गया, तो, क्या डर जाएंगे, नहीं सर, आप इन दोनों में से किसी एक को open कर दो, सर, यह वाला simple लग रहा है, इसको open कर देते हैं, या आपको यह simple लग रहा है, आपको x power 5 चाहिए, 6C0, plus 6C1, 2x, plus 6C2 2X square, 6C3 2X cube, 6C4 2X power 4, 6C5 2X power 5, 6C6 2X power 6, whole into 1 minus X power 7. तो सर अब ये 1-x power 7 इन सब से multiply होगा, ठीक है, पर यहाँ पे x power 6 आ गया सर, तो जैसे ही, यहाँ तो चलिए, पहले हम multiply कर लेता है, 6C01 होता है, तो 1-x का power 7, plus 6C16 होता है, तो 62012x into 1-x का power 7, अब 6C215 होता है, अभी हमने calculate किया था, 6 factorial, 2 factorial, 4 factorial, तो 3, 3, 5, 15, तो 15 into 4, 60 x square, 1 minus x का power 7, 63, 6 factorial, 3, 3, तो 6, 5, 4, ये cancel हो जाएगा, 20, so 20 into 8, so 8 zeros हाँ, और 8 twos हाँ, 16, तो 160 x cube, 1 minus x का power 7, 6 c 4, 6 c 2 के बराबर होगा, so 15, और 2 का power 4, 16, so 15 into 16, 15 into 16, 5 6s are 30, 5 1s are 5 plus 3, 8, 1 6s are 6, 1, तो यह हो जाएगा sir, 0, 8 plus 6, 14, 1, 2 40, x का power 4, 1 minus x का power 7, 6 c 5, 6 होगा, 6 into 32 6 into 32 6 to the 12 1 6 to the 18 plus 1 9 so 192 into x power 5 1 minus x power 7 plus 661 है अब यहाँ पे सर जब हम 2 x power 6 करते हैं into ये तो सर यहाँ से हमें कोई भी x power 5 नहीं मिलेगा क्योंकि सारे terms x power 6 से multiply हो जाएंगे, तो यह आप neglect कर सकते हो, यहां से 0 आ जाएगा, अब आपका यह बचा, अब आपका यह बचा, 1 minus x power 7 का general term क्या होगा, tr plus 1, 7cr, 1 का power कुछ भी, minus 1 का power r, x का power r, यह हो जाएगा, तो अब बेटा मुझे x power 5 question में divide हो गया, यहाँ पे मुझे x power 5 चाहिए, तो सर 5 रखेंगे, तो यहाँ पे आ जाएगा 7 c 5 minus 1 का power 5, plus 12 x, अब सर x है, तो मुझे यहाँ से x power 4 चाहिए, तब ही तो x into x power 4 क्या बनेगा, x power 5 बनेगा, तो अब मुझे यहाँ पे x power 4 चाहिए, तो आप 7 क्या रखेंगे, 7C4 minus 1 का power 4, ठीक है, plus 60, x square है, तो मुझे यहां से x cube चाहिए, यहां से x cube चाहिए, तो यह क्या हो जाएगा, 7C3 minus 1 का power 3, plus 160, x cube, तो यहां से सर मुझे x square चाहिए, तो 7C2 minus 1 का power, 2, ठीक है, फिर यहाँ पे 240, यह हो जाएगा x power 4, अब यहाँ से मुझे sir, x power 1 चाहिए, तो यानि की 7c1 minus 1 का power 1, last, यहाँ से मुझे x power 0 चाहिए, तो 190, क्योंकि x power 5 पहले चाहिए, तो यहाँ पे आ जाएगा 7c0 minus 1 का power 0, ये सब अब आपको ये सारा calculate करना है जो final coefficient आएगा, वो आपका answer होगा, वो आपका answer होगा, तो इस तरीके से ये solve करना है, इस तरीके से solve करना है, ठीक है, तो आप इसको भी expand कर सकते थे, method same होता, तो दोनों में जब भी ऐसा आ जाए, आपको किसी एक को expand करना है, फिर multiply करके, जो जो हर बार change होता जाएगा, क्योंकि यहाँ पे पहले सी बाहर कुछ multiply में है, तो जो भी multiply में है, वो minus कर दो, जैसे यहाँ पे x2 multiply है, तो x3 बचा, तो x power 3 का coefficient, यहाँ पे x power 4 multiply में है, तो x power 1 का coefficient, इस तरीके से इस टाइप के question solve होंगे, रखते हो इतने इंटेलिजेंट बच्चे आप लोग हो ठीक है इतने इंटेलिजेंट बच्चे आप लोग हो नेक्स्ट फाइंड एंड इफ द रेशियो फिफ्ट टर्म फ्रॉम द बिगनिंग टू द फिफ्ट टर्म फ्रॉम द एंड इन द एक्सपैंशन ऑफ दिस इस रूट सिक्स इस टू वन सर फ्रॉम द बिगनिंग तो ठीक है फ्रॉम द एंड कैसे हम करेंगे एक्जाम में बच्चा कभी भी कंफ्यूजन कंफ्यूजन हो तो छोटी छोटी expansion आपको मदद करेगी, कैसे? सर, a plus b का whole cube, a cube plus 3 a square b plus 3 a b square plus b cube, second term from the beginning और second term from the end, तो beginning से वो क्या हो जाता है? n minus r plus 1, तो देखो, 3, ठीक है?

3 minus 2, क्या हो जाएगा? second term from the end so second term from the end हो जाएगा आपका 3 minus 2 1, 1 plus 1, 2 second term from the beginning हो गई वो अब second term from the end तो पहले से मुझे क्या चाहिए? third चाहिए ठीक है?

तो n minus r plus 2 हो जाता है वो फिर n minus r plus 2 from the beginning हो जाता है क्योंकि plus 1 भी आएगा ठीक है ना, तो n minus r plus 2 from the beginning, ये हो जाएगा, तो अब देखो n की value 3 है, तो यहाँ पे 3 रखा, r 2 रखा, तो 3 minus 2, 1, 1 plus 2, third term, third term आपका हो गया, जैसे की first term from the beginning, first term from the end, ये चाहिए, तो 3 minus 1, 3 minus 1, 2, 2 plus 2, 4, fourth term आ गया ना, तो, फिफ्ट टर्म फ्रॉम द बिगनिंग फिफ्ट टर्म फ्रॉम द एंड मीन्स आरत टर्म फ्रॉम एंड इज इक्वल्स टू एन माइनस आर प्लस टू थ टर्म फ्रॉम बिगनिंग यह हो जाता है सर यह चीज आपको याद रखनी है यह चीज आपको याद रखनी है, ठीक है, मैंने उसको निकालना भी सिखा दिया, तो अब हम solve करेंगे, थोड़ा सा lengthy question है, पहले general term लिखेंगे, tr plus 1, ठीक है, तो यह आपका आरत टर्म ही है, आरत टर्म ही यह कहलाता है, तो ncr, fourth root of 2 का power n minus r, 1 by fourth root of 3 का power r, तो फिफ्ट टर्म चाहिए, ठीक है, तो basically फिफ्ट टर्म from the beginning, तो सर फिफ्ट टर्म आपका क्या हो जाएगा, 4 हो जाएगा, R की value क्या हो जाएगी, 4 हो जाएगी, और अब मुझे चाहिए फिफ्ट टर्म from the end, तो फिफ्ट टर्म from the end क्या होगा, n minus 5 plus 2, n minus 5 plus 2, तो सर n plus 3 टर r को अगर मैंने 4 रखा तो ये क्या हो जाएगा t 4 plus 1 तो n c 4 4th root of 2 का power n minus 4 और 1 by 4th root of 3 का power 4 अब fifth term from the end ठीक है तो वो कितनी हो जाएगी n minus r plus 1 प्लस वन तो टी एन माइनस फाइव प्लस वन प्लस वन यह हो जाएगी तो यह बन जाएगी बेटा एन माइनस फोर ठीक है एन माइनस फोर तो एन माइनस टी एन माइनस फोर प्लस वन तो एन सी एन माइनस फोर ठीक है एन सी एन माइनस फोर और यहाँ पे आ जाएगा 4th root of 2 का power n minus r की जगा पे n minus 4 into 1 by 4th root of 3 का power n minus 4, ये हो जाएगी सर, ठीक है, अब यहाँ पे क्या बोल रहा है सर, इन दोनों का ratio दिया हुआ है root 6 is to 1, यहाँ पे इन दोनों का ratio दिया हुआ है root 6 is to 1, यानि की n c 4 फिर 4th root of 2 का power n minus 4 और 1 by 4th root of 3 का power 4 divided by n c n minus 4 यहाँ पे nn cancel हो जाएगा 4th root of 2 का power 4 1 by 4th root of 3 का power n minus 4 इसकी value बेटा दी हुई है root 6 by 1 इसको हम आपको solve करना है देखो ये और ये तो cancel हो गया अब ये 4 उपर जाएगा n minus 8 ये 4 नीचे आएगा तो ये भी बन जाएगा n minus 8 ठीक है n minus 8 यानि की ये बन रहा है बेटा 4th root of 2 का power n minus 8 और ये 1 by 3 नीचे गया, तो ये उपर चला जाएगा, 4th root of 3 का power n minus 8 equals to root 6, तो सर ये multiply हो जाएगा, तो ये क्या बन रहा है, 12, sorry, 2, 3, 6, ये क्या बन रहा है बेटा, 2, 3, 6, तो 6 का power n minus 8 by 4 equals to 6 का power 1 by 2, लो सर अब तो solve हो गया, n minus 8 by 4 equals to 1 by 2, 2 ones are, 2 twos are, n minus 8 equals to 2, n की value आ जाएगी बेटा 10, तो ये चीज आपको याद रखनी है, ये चीज आपको याद रखनी है, बाकी फिर solving same है, general term निकालो, उसके बाद solve करो, बाकी सब का सब same है, एक word बस नया आया, nth term या rth term from the, एंड ठीक है एनथ टर्म फ्रॉम द एंड यह आया क्लियर है आशा करता हूं समझ में आ रहा है चलिए तो यहां पर बेटा हमने सारे के सारे कोशिशन कुछ मिसलिनियत जो की काफी टॉफ थे जो की नए टाइप के थे वो भी कोशिशन हमने कर लिए कुछ भी पार्ट नहीं छोड़ा है, सब कुछ हमने कवर अप कर लिया, छोड़ा चेप्टर है, सिर्फ तीन पार्ट थे, जनरल एक्सपैंशन, मिडिल टर्म, और आपका जनरल टर्म, ये तीन चीज थे, ठीक है, कॉशिन बहुत इजी बनते हैं, मैंने सब जगा पर एकी जै पीएनसी के बाद बायनमेल थिवरों में एक छोड़ा चैप्टर होता है, इसके बाद हम लोग नेक्स चैप्टर करेंगे पेस सीरीज में, तब तक आप सारी चीज, सारा जो भी हमने पढ़ा है वो सिर्फ करते रहे हैं, आपको कुछ और करने की जुरत नहीं है, बेटा मैं स तो मिलते हैं अगली class में, तब तक solve करते रहें, पढ़ते रहें, PW की पुरी team आपके स

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बायनॉमियल थ्योरम का अध्ययन