herzlich willkommen zum crashkursv zum Thema quadratische Funktion ein super großes und super wichtiges Thema in der schulischen Mathematik aber auch in der Realität und hier gucken wir uns jetzt wieder die wichtigsten Sachen an die es zu diesem Thema zu wissen gibt wie immer sage ich es vorsich seber noch mal das ganze ist ein crashkursvide das heißt die Sachen sind nicht ganz so ausführlich erklärt wie sie es vielleicht in einem ersten Erklärvideo worden wären hier geht's um die allerwichtigsten Sachen die für die Prüfung vor allenen in der zehnten Klasse relevant sind ab und zu gebe ich auch nur Anreize und sag vielleicht sowas wie das kannst du dir vielleicht noch mal selbständig angucken und dann kannst du dir vielleicht entweder den alten hefteauzeichnung noch mal angucken mich fragen im Unterricht oder vielleicht auch ein anderes Erklärvideo suchen wo das ganze einführender und ausführlicher erklärt wird bevor es gleich losgeht will ich dir einmal kurz sagen worum es in dem Video insgesamt so geht offensichtlich quadratische Funktion aber welche Teilpunkte hier so notiert sind und du siehst schon in den ersten beiden Punkten da sind so wieder die typischen Freunde der Funktion Funktionsgleichung und funktionsgraf wollen wir uns natürlich für quadratische Funktion auch wieder angucken bei quadratischen Funktion im Vergleich zu linearen Funktionen ist es etwas anders da gibt's nämlich verschiedene Funktionsgleichungen und da gucken wir uns an welche Arten es gibt und dann ist bei quadratischen Funktion auch noch bei funktionsgrafen ein paar Sachen anders der Graf sieht natürlich anders aus da gibt's neue Eigenschaften die wir untersuchen müssen und das gucken wir uns im zweiten Punkt an die Funktionsgleichungen die wir in erstens uns noch mal angucken werden haben einzelne und individuelle Vorteile und damit man die wirklich ideal nutzen kann gucken wir uns im Punkt 3 an wie man die Arten ineinander umwandeln kann da gibt's auch verschiedene Möglichkeiten das zeige ich dann alles später Punkt 4 habe ich aufgeschrieben Dinge die Du schon von linearen Funktionen kennst im Prinzip gibt es einzelne Sachen die für jeden funktionstyp gleich verlaufen und ich will dir einfach noch mal ein zwei Beispiele zeigen wie man beinetwen die ykoordinate eines Punktes berechnet wie man den y- aachsenabschnitt berechnet und so weiter und das zeige ich dir an Beispielen werd sie aber kaum noch mal neu klären weil es wie gesagt genauso funktioniert wie bei linearen Funktion Punkt 5 super wichtiger Punkt habe ich geschrieben quadratische Gleichungen die haben an sich erstmal mit Funktion prinzipiell nichts zu tun aber natürlich stecken quadratische Gleichung in der Art der Funktion wie wir damit rechnen sehr oft drin man kann z.B mit diesen quadratischen Gleichung dann die Nullstellen von quadratischen Funktionen berechnen Punktkoordinaten z.B die x-Koordinate zu dem Punkt berechnen man kann Schnittpunkte von Quadrat Funktion oder von quadratischen Funktion linearen Funktionen berechnen und das führt sich aber alles wieder auf das Lösen von quadratischen Gleichungen zurück deswegen Punkt 5 noch mal eine ganz kurze Wiederholung dazu und dann jeweils kurze Erklärung zu den Anwendungen und dann bist du eigentlich mit den wichtigsten Sachen auch schon durch wenn du in der L oder E-Klasse bist dann wäre Punkt 9 für dich vielleicht noch relevant da geht's um das rekonstruieren von quadratischen Funktion das heißt man hat verschiedene Informationen gegeben und möchte dann herausfinden wie die eigentliche Funktionsgleichung lautete und wir gucken uns da auch noch mal an was sogenannte bquadratische Gleichungen sind und wie man die lösen kann aber das wie gesagt nur wenn du in der L oder E-Klasse bist gut wenn du bereit bist dann einmal tief durchatmen und auf in den Kampf wir fangen an mit Punkt 1 Funktionsgleichungen von quadratischen Funktion schaut man sich Funktionsgleichungen von quadratischen Funktion etwas genauer an dann stellt man fest dass es eigentlich nur zwei wesentliche Formen von Funktionsgleichungen gibt einmal die Scheitelpunktform und einmal die allgemeine Form zu jeder quadratischen Funktion gibt es sowohl die Scheitelpunktform als auch die allgemeine Form und der einzige Grund warum man irgendwie von der einen in die andere wechseln sollte ist dass abhängig von der Form bestimmte Information leichter bestimmbar sind welche das genau sind gucken wir uns gleich an wichtig erstmal dass du weißt dass es zwei Formen gibt und dass letztendlich aber gleich bedeutend sein können also sowohl die Scheitelpunktform als auch die allgemeine Form könnte genutzt werden um alles über eine Funktion rauszu finden manche Sachen sind bloß in der einen einfacher als in der anderen ich habe mal vorsichtber noch die Normalform als dritte Form mit aufgenommen liest man manchmal in Büchern oder hört man auch in einzelnen Lernvideos das ist eigentlich nur eine besondere Form von einzelnen Funktionen die gibt es nicht für jede quadratische Funktion und was genau diese Normalform auszeichnet das zeige ich dir später wir fangen mal an mit der Scheitelpunktform die Scheitelpunktform das sagt der Wort laut des Namens ja eigentlich schon hat irgendwas mit dem Scheitelpunkt zu tun als kurz Erinnerung wenn man sich so ein Grafen von einer quadratischen Funktion anguckt ich habe ja oben schon mal ein skizziert dann gibt es natürlich immer bei so einer Parabel so hießen ja die Grafen den tiefsten Punkt des Grafen bzw wenn der Graf nach unten geöffnet wäre den höchsten Punkt des Grafen dieser Punkt wird in der Mathematik als Scheitelpunkt bezeichnet weißt du bestimmt noch man könnte das Ganze auch mathematischer schreiben das ist im Prinzip der Punkt wo sich das monotonieverhalten des Grafen ändert wir gucken uns mal den Grafen an du siehst bis zum Scheitelpunkt fällt der Graf und ab dem Scheitelpunkt steigt der Graf ja also der Punkt wo sich das monotonieverhalten ändert die Vorstellung mit höchster oder tiefster Punkt tut's aber an sich eigentlich auch mit diesem Scheitelpunkt kann man jetzt die Scheitelpunktform eines funktionsgrafen aufstellen die hat immer die gleiche allgemeine Form die schreib habe ich dir einmal auf ich nenne unseren unsere Funktion mal wieder F also haben wir f von x und dann gibt es insgesamt drei Parameter und ich erkläre gleich welche Bedeutung sie haben ich notiere das ganze mal schnell im allgemeinen lautet die also a mal in Klammern X + D Klam zu Quadrat + E schön was bedeutet das jetzt eigentlich das wichtigste was es abzulesen gilt sind die Koordinaten des Scheitelpunktes die kann man nämlich aus so ein einer Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform sofort ablesen und die stecken hier hinten drin da wo wir hier unser D und unser e haben können wir sofort die Koordinaten des Scheitelpunktes einer Funktionsgleichung ermitteln die lauten nämlich immer gleich wir schreiben mal s für Scheitelpunkt und der hat dann die xkoordinate - D also aufpassen nicht nur D sondern D mit einem umgedrehten Vorzeichen und e als ykoordinate und weil diese beiden Werte die x-Koordinate und die ykoordinate des schitelpunktes da drin stecken in dieser Form nennt man sie letztendlich Scheitelpunktform ganz wichtig also und super hilfreich um den Grafen grob in den Koordinatensystem legen zu können weil man zumindest schon mal weiß wo liegt eben der schalelpunkt jetzt haben wir natürlich noch unseren Parameter a hier vorne und der hat letztendlich den gleichen Einfluss wie du es eigentlich schon von allen möglichen anderen funktionart funktionsarten kennst nämlich dieser Parameter a der kann den Grafen Strecken stauchen oder spiegeln wie genau das in so einem Grafen dann aussieht bei einer Parabel ist ja ein bisschen anders als meine wegen bei Sinusfunktion oder was weiß ich gucken wir uns gleich im zweiten Punkt an erstmal nur die allgemeine Information dafür ist dieser Parameter quasi da gut also wir sehen schon wichtige Information Scheitelpunkt kriegt man easy peasy aus der Scheitelpunktform warum braucht man jetzt die allgemeine Form da gibt's wie gesagt verschiedene Gründe für ich schreibbe die erstmal wieder die allgemeine Funktionsgleichung auf F von X GLE im allgemeinen lautet die wie folgt ax² + BX + C okay auch hier können wir wieder verschiedene Informationen ermitteln du siehst schon vorne haben wir wieder unseren Parameter a das ist tatsächlich derselbe wie in der Scheitelpunktform das heißt er hat auch wieder denselben Einfluss auch dieser Parameter streckt staucht oder spiegelt den Grafen unserer Funktion dann haben wir da irwi so ein Parameter B noch drin der hat tatsächlich erstmal in dieser Form kaum einen wichtigen Einfluss für uns bzw wir können aus diesem eigentlich keine wichtigen Information ermitteln aber was wir können ist aus unserem Parameter C also ganz hinten dieser dieser Wert da können wir sofort unseren y Achsenabschnitt der Funktion ermitteln das heißt anders als bei der Scheitelpunktform können wir zwar nicht sagen wo der Graf seinen Scheitelpunkt hat wir wissen aber sofort an welcher Stelle der Graf die yachse durchstößt ich schreib jetzt mal für beide Formen noch mal ein allgemeines Beispiel auf für die Scheitelpunktform könnte so ein Graf bzw eine Funktionsgleichung also meinetwegen lauten F von x = 7 x + 2 zum quadrat- 3 und für die allgemeine Form könnte eine Funktionsgleichung meinetwgen 3x qu + 2x - 4 lauten beide Grafen beschreiben jetzt in diesem Fall verschiedene quadratische Funktion ich könnte aber sowohl die Funktion in der allgemeinform in ein passendes pandon und der Scheitelpunkt V umwandeln als auch das aus der Scheitelpunktform in ein passendes pandon in der allgemeinen Form umwandeln und du siehst wie gesagt abhängig von der Form kriegt man verschiedene Informationen die allgemeine Form ist z.B auch noch sehr hilfreich um später dann Nullstellen zu berechnen oder andere Sachen zu berechnen meinetwgen Schnittpunkte mit anderen Funktionen wie genau das alles geht das zeige ich dir später erstmal noch mal ganz kurz wofür ist diese Normalform eigentlich da oder was genau verbirgt sich dahinter Normalform gibt es eigentlich nur für Funktionen die weder gestreckt noch gestaucht noch gespiegelt sind das heißt die als Graf eine sogenannte Normalparabel haben die einfach nur im Koordinatensystem irgendwo hingeschoben wurde das heißt auch wenn wir uns die Funktionsgleichung angucken einer Funktion in der Normalform dann haben wir als Wert quasi vorne für a den Wert 1 also im Prinzip wenn ich allgemein aufschreiben möchte ein x² und dann kommen irgendwelche Parameter noch dazu die nennt man dann meistens P X + Q aber die könnte man auch irgendwie anders nennen ganz wichtig dieser Wert vor dem x²r der ist 1 das heißt also theoretisch ich k könnte ihn auch einfach nicht hinschreiben also diese 1 und hätte jetzt eine Funktion in der Normalform wie gesagt gibt es nicht für jede Funktion aber ist sehr sehr angenehm wenn man damit irgendwas machen muss weil man sich bestimmte Schritte du später noch mal sehen wirstereinfachen kann oder vielleicht sogar sparen kann ich schreib vor aber noch mal schnell ein Beispiel auf vielleicht nicht in gelb sondern in schwarz z.B wäre eine Funktionsgleichung in der Normalform x² + 2x - 4 und das wär es das sind die drei wichtigen Funktionsgleichungen Hauptschwerpunkt solltest du für dich auf die Scheitelpunktform und die darin inbegriffen Information legen und natürlich auf die allgemeinform mit ihren Informationen in diesem Abschnitt geht es jetzt um funktionsgraen von quadratischen Funktion diese Grafen kann man natürlich abhängig von der Form der man sich befindet also Scheitelpunktform oder allgemeine Form in ein Koordinatensystem einzeichnen dabei sind ganz wichtige Grundlagen wichtig die wir uns jetzt hier noch mal angucken und vor allen Dingen auch dass man weiß wie man bestimmte Informationen nutzen kann und vielleicht auch wie man sich einen Grafen schon ohne ih überhaupt skizziert zu haben grob im Kopf vorzeichnen kann dass man ungefähr weiß wie er verläuft wir fangen mal an mit den allerwesentlichsten Grundlagen bei quadratischen Funktion ist eine Sache super denn wir wissen der Graf verläuft immer parabelförmig parabelförmig heißt ich glaube das weißt du entweder so oder so auf verschiedene Arten und Weisen das heißt der Graf kann auch mal super gestreckt verlaufen oder extrem gestaucht aber letztendlich hat man immer diese bogenartige Form die entweder nach oben oder nach unten geöffnet ist ja das ist ganz wichtig genauso wie bei linearen Funktion da war ja immer eine gerade hier haben wir immer diesen Bogen wenn man sich so vorstellen möchte wie kommt man jetzt von einer funktionsgleich auf einen funktionsgrafen das einfachste was man ja theoretisch immer machen kann und was für jede Funktion funktioniert ist einfach sich eine passende Wertetabelle aufzuzeichnen das heißt ich habe ja hier schon mal oben hineschrieben wir sind in der Scheitelpunktform jetzt zum Anfang ich habe mal ein spezifisches Beispiel hingeschrieben und für dieses Beispiel also F vonx= einmal in Klammern X + 1 in Klam zum Quadrat + 2 schreiben wir uns jetzt eine Wertetabelle auf und mit Hilfe dieser Wertetabelle können wir unseren funktionsgrafen zeichnen anders als bei linearen Funktion macht es bei quadratischen Funktion allerdings vorher bevor man also anfängt seine Werte auszurechnen Sinn mal kurz drüber nachzudenken wie der Graf denn vermutlich verlaufen wird die Problematik dahinter die wir auf die wir nämlich stoßen können ist die folgende angenommen ihr fangt jetzt an euch dann später in der Wertetabelle Punkte zu berechnen und ihr kommt dann auf meinetwgen Punkte die verlaufen so und ihr denkt okay okay ich habe irgendwie meinen Grafen jetzt langsam gefunden aber ihr wisst eben nicht so wirklich bis wohin fällt denn mein Graf jetzt ist hier der Scheitelpunkt hier unten oder verläuft der Graf dann noch weiter und ist er dann hier unten man weiß quasi nicht genau wie der Graf an sich verläuft das heißt es macht Sinn sich zuerst zu überlegen wo der Scheitelpunkt ist und dann von dort bestimmte Werte einzusetzen bzw auszuwählen für seine wtetabelle sodass man auf ein gutes Bild des Grafen t und wir wissen ja zum Glück wo wir den Scheitelpunkt unserer Funktion herkriegen aus der Scheitelpunktform ist der ja super leicht abzulesen wir wissen dass der Scheitelpunkt dieser Funktion wir haben als Wert für D1 umgtes Vorzeichen also -1 und als y WT haben wir e also 2 und diesen Wert können wir natürlich jetzt bzw diesen Punkt können wir jetzt schon automatisch in unsere in unser Koordinatensystem einzeichnen also Scheitelpunkt bei -1 und bei 2 genau hier wird unser Scheitelpunkt später liegen so und jetzt wissen wir verschiedene Sachen nicht wir wissen z.B nicht ist unser Graf nach oben geöffnet oder nach unten geöffnet wie stark ist der gestreckt oder gestaucht verläuft er jetzt so oder so oder so oder so das alles wissen wir theoretisch noch nicht diese Information kriegen wir jetzt aber mit unserer Wertetabelle wissen aber durch die Lage des Scheitelpunktes besser wo wir uns orientieren müssen das heißt bei welchen Werten und deswegen würde ich immer empfehlen dass man den Scheitelpunkt ungefähr in die Mitte seiner Wertetabelle einfach mal einträgt wir haben also -1 als x-Wert und 2 als ywert und jetzt können wir quasi nach links und rechts weitergehen und uns bestimmte Werte ermitteln ich mache das ganze jetzt mal in gelb also wir haben z.B dann -2 -3 und -4 und in die andere Richtung haben wir 0 1 und 2 und so erhalten wir quasi ein gutes Bild von unserem Grafen diese Werte kann man jetzt natürlich ausrechnen ich mache mal ein Beispiel wir berechnen mal den Wert für x = 0 also hier diesen Wert und ich hoffe du weißt wie man das macht ich sag's dir trotzdem noch mal du setzt einfach dein x-Wert in deine Funktionsgleichung ein das heißt wir haben F von X ich schreib noch mal die allgemeine Form hin die wir jetzt hier in der Scheitelpunktform haben also wir haben 1 K X + 1 K zu zum Quadrat + 2 und wir wollen jetzt 0 einsetzen formal schreibt man das also so auf anstatt von X wollen wir jetzt 0 haben und dann schreibt man das eben genauso auf ist= 1 Klam auf 0 + 1 Klam zu zum Quadrat + 2 und jetzt könnte man wenn man möchte das ganze einfach ein Taschenrechner eingeben oder noch im Kopf weiterrechnen ich entscheide mich jetzt hier für die Variante im Kopf du kannst gerne mit dem Taschenrechner mal nachrechnen insgesamt erhalten wir auf jeden Fall ein Ergebnis von jetzt kann man mal überlegen 0 + 1 ist 1 quadriert ist immer noch 1 mal 1 ist immer noch 1 + 2 ergibt 3 das ist also der passende y Wert y erhalten wir ein Wert von 3 und so haben wir einen nächsten Punkt gefunden und können den wieder eintragen 0 3 das ist der zweite Punkt in unserem Koordinatensystem und so könnte man dieses Spiel jetzt fortsetzen für weitere Punkte es gibt natürlich auf eurem Taschenrechner verschiedene Hilfsmittel wie man das ganze schneller machen kann man kann sich Wertetabelle anzeigen lassen man könnte die Funktion wenn ihr den ähm computerfähigen kassrechner habt dann könnt ihr da auch die Funktion definieren und das ganze machen aber das grobe Verfahren einsetzen und ausrechnen für eine Wertetabelle das ist hier quasi noch mal dargestellt ich fülle die Tabelle jetzt mal du kannst gerne probieren und selber nachrechnen wenn man die Wertetabelle dann vollständig füllt dann kann man die Punkte auch relativ problemlos im Koordinatensystem einzeichnen und entsprechend den Grafen skizzieren jetzt haben wir natürlich noch folgendes Problem wir hatten jetzt hier in unserem Beispiel einen spezifischen Wert für unseren Parameter a den Grünen Wert quasi vor der Klammer ganz am Anfang der kann natürlich ganz anders noch lauten entsprechend würden sich auch die Werte in der Wertetabelle ändern weil man eben natürlich eine andere Rechnung durchführt das Gute dabei ist dass man zumindest im Kopf eine grobe Orientierung dafür haben kann wie der Graf durch den Parameter a verändert wird und dabei kommen wieder diese Schlagworte Spiegel Strecken stauchen ins Spiel und welchen Einfluss es genau gibt das schreibe ich dir jetzt hier noch mal kurz auf insgesamt gibt's wie gesagt drei verschiedene Einflüsse die man sich merken sollte man kann natürlich erstmal sich überlegen wann kommt es zu einer Streckung das habe ich ja eben als Schlagwort schon genannt und das ist immer genau dann der Fall wenn A eine Zahl ist die größer ist als eins also z.B 2 3 4 5 6 10000 75 milonen,234 vollkommen egal größer als ein und das hat immer zur Folge dass der Graf gestreckt wird natürlich abhängig davon wie groß diese Zahl ist umso stärker wird der Graf auch gestreckt das heißt er verläuft dann z.B so oder im Extremfall wirklich super stark gestreckt so z.B ja das sind alles Möglichkeiten wie so eine Streckung aussehen kann man kann sich das wirklich vorstellen so der Graf wird ganz lang gezogen ähm und dann ist der auch gestreckt in der Mathematik genannt andersherum kann natürlich auch gestaucht werden wann ist das der Fall da gibt's einen ganz bestimmten Bereich wenn das der Fall ist nämlich wenn A zwischen 0 und 1 liegt also wenn 0 kleiner ist als a also a größer als 0 aber a gleichzeitig noch kleiner ist als 1 dann wird der Graf gestaucht das heißt verläuft viel viel flacher und in beide Richtungen ähm flach gedrückter wenn man es sich so vorstellen möchte also meinetwegen so und das Dach auch das könnte man wieder ins Extreme führen also es könnte auch wirklich mal so ein super flach verlaufender Graf sein all das ist theoretisch mit quadratischen Funktion möglich wenn der Wert für a passend gewählt ist z.B 0,0001 würde wirklich einen super super gestauchten Grafen geben und dann kann es wie gesagt noch zu einer Spiegelung kommen das Wichtige ist was man sich merken sollte ist erstmal dass diese grobe Regel also a größer als 1 und A zwischen 0 und 1 auch im Negativen gilt also wenn A kleiner ist als -1 oder zwischen 0 und -1 liegt wird er immer noch gestreckt oder gestaucht aber zusätzlich noch nach unten geöffnet also gespiegelt schreibe ich mal auf a negativ dann kommt es zu einer zusätzlichen Spiegelung also zusätzlich zur Streckung oder stuchung und dann hat man z.B für -10 eine nach unten geöffnete und gestreckte Parabel oder für -0,5 eine nach unten geöffnete gestauchte Parabel auch das geht wenn A tatsächlich mal genau eins ist dann sagt man dazu auch normal Parabel also quasi nicht gestreckt nicht gestaucht und bei -1 wä es eine nach unten geöffnete Normalparabel ne die wird ja trotzdem gespiegelt das ist gut zu wissen auch wenn es ein sozusagen beim genauen zeichnen nicht wirklich hilft kann man dieses Wissen nutzen um sich eine grobe Vorstellung vom Graf zu machen wenn man also weiß da steht z.B -0,1 als als Wert für a und man kommt beim ausrechnen auf eine Parabel die aber gestreckt und nach oben geöffnet ist dann weiß man irgendwas habe ich wohl nicht ganz richtig gemacht und man hat einfach ein besseres Gefühl dafür wie der Graf eigentlich verläft das Gute ist dass man das ganze auch mit der allgemeinform machen kann schreib die noch mal schnell auf ja der immer die Form ax² + BX + C und auch da steckt dieser Parameter a drin und er sagt uns eben genau das gleiche aus das heißt auch für in dieser Form kann ich eine grobe Orientierung dafür kriegen wie der funktionsgraf verlaufen wird was ich allerdings hier nicht kriege und das ist sozusagen der erste Vorteil der Scheitelpunkt ist eben die Lage des Scheitelpunktes wenn ich also in der allgemeinen Form den funktionsgrafen skizzieren wollen würde könnte ich natürlich jetzt wieder eine Wertetabelle machen ich rechne wieder aus wie das Ganze abläuft muss aber selber überlegen wo könnte jetzt der Scheitelpunkt liegen welche Werte nehme ich da genau was passt ganz gut wenn ihr den kassrechner habt oder einen Taschenrechner der euch eine Wertetabelle ausspuckt könnt ihr aber mit Hilfe durch ganz genaues hingucken sogar aus der Wertetabelle den Scheitelpunkt ablesen ich zeige euch mal was ich wenn man nämlich genau hinguckt sieht man hier bei der Y Koordinate unseres scheitelpunkts wenn ich nach rechts gehe kommt als nächste Zahl die 3 dann die 6 dann die 11 und nach links kommt auch erst die D dann die 6 und dann die 11 und das ist tatsächlich immer so wenn man sich den Scheitelpunkt anguckt der fungiert quasi wie so eine Art Spiegelachse für die y Werte das heißt wenn ihr diese Stelle findet könnt ihr automatisch aus der Wertetabelle auch den Scheitelpunkt Stimmen du siehst also beide funktionsarten bzw beide Formen lassen sich als Graf darstellen immer mit Hilfe von einer Wertetabelle du kannst den Parameter a nutzen um eine Orientierung zu kriegen aber ganz genau geht es wirklich nur mit einer Wertetabelle in diesem Punkt gucken wir uns an wie man die Funktionsgleichungen ineinander umwandeln kann also von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form und andersherum sinind dahinter ist natürlich wieder dass man bestimmte Vorteile dann einfacher nutzen kann du musst für dich selbst rausfinden wann welche Funktion für dich in bestimmten Situationen einfacher ist oder hilfreicher ist wir gucken uns hier erstmal ganz formal an wie man die einfach nur umformt damit du quasi frei wählen kannst welche dir angenehmer ist ich mache das ganze jetzt wie folgt auf der linken Seite rechne ich dir jetzt quasi ein Beispiel vor erstmal wie man von der schitelpunktform in die allgemeine Form kommt und auf der rechten Seite schreibe ich Dir quasi immer das Schlagwort hin wie man das ganze quasi Schritt für Schritt machen könnte sass du wie ein kleines Kochrezept hast um das Ganze umzuformen wie geht man ran wir haben hier eigentlich ja eine Gleichung stehen die einen Term beinhaltet ein ganz schön komplexen nämlich zweimal irgendwie so eine Klammer mit einem Quadrat oben dran plus noch eine Zahl und ganz wichtig ist dass wir als grobes Ziel im Prinzip einfach nur diesen Term vereinfachen wollen bzw die klammer auflösen und zusammenfassen wollen und dabei ist es wieder wichtig sich vor Augen zu führen welche es bei Termumformungen gibt nämlich die mit dem geilen Namen poklapsregel das heißt zuerst Potenzen angucken dann Klammern dann punktrechnung und dann Strichrechnung und genau das müssen wir jetzt hier auch machen das heißt das allererste was wir uns angucken ist die Potenz und die bezieht sich ja auf die Klammer das heißt ich könn vielleicht sogar lieber so machen diese hoch 2 müssen wir zuerst auflösen und jetzt ich weiß auch wenn das nicht dein bester Freund ist Klammer hoch 2 Schlagwort binomische Formel das heißt wir gucken uns das ganze mal an was haben wir denn F vonx G wir haben 2 mal dann wird jetzt gleich unsere Klammer aufgelöst und am Ende noch + 5 jetzt können wir mal eine Nebenrechnung machen die lösche ich aber gleich wieder Nebenrechnung also wir wollen eigentlich ausrechnen -3 hoch 2 ische Formel sagt uns jetzt das ist das gleiche wie x² - 6x + 9 so geht das ganze in schnell wenn man die binomische Formel kann oder man muss es ausführlich machen und sich überlegen okay X - 3 hooch 2 heißt eigentlich nichts anderes als x- 3 mal X - 3 und jetzt kann ich das ganze wieder mit meinen Bögen ausrechnen x* x x* -3 -3* x -3* -3 und da kommt man letztendlich auf genau das gleiche was oben steht beides ist möglich wichtig ist aber binomische Formel im ersten Schritt ist essentiell das heißt das was wir gerade eben aufgeschrieben haben schreiben wir jetzt hier auf wir haben also x² - 6x + 9 ganz wichtig ich habe natürlich diesen Platz nicht ohne Grund gelassen ist dass wir das was wir jetzt ausgerechnet haben wieder in Klammern schreiben müssen denn wir sehen ja hier oben wir haben ja zweimal die ganze quasi ische Formel und so wie wir es jetzt gerade stehen haben haben wir zal x² aber nicht mal den ganzen Rest den noch drin vorkommt wir wollen ja zweimal das ganze Ding nehmen also zweimal in Klammern dann haben wir unser + 5 noch und erster Schritt können wir jetzt also aufschreiben ist die binomische Formel da muss man ein bisschen aufpassen das könnte auch mal sein dass man die erste binomische Formel braucht wenn er z.B x plus eine Zahl drin steht aber die sind letztendlich ein anderes themt wenn du da noch mal ein bisschen mehr Hilfe brauchst geh vielleicht noch mal ins Crashkurs Video zu Termen zurück guck dir noch mal binomische Formeln an dann weß du auf jeden Fall wieder wie es geht okay jetzt sind wir im zweiten Schritt angelangt wir unssregel jetzt müssen wir uns unsere Klammer angucken ob wir da noch irgendwas zusammenfassen können können wir in dem Fall nicht das heißt wir können gleich weiter zur punktrechnung übergehen wo finden wir punktrechnung die finden wir hier vorne bei zweimal und entsprechend müssen wir jetzt auch noch zweimal die ganze Klammer nehmen das heißt wir machen wieder unsere Bögen 2 x x² 2 x -6 und 2 x 9 und das ganze können wir wieder ausrechnen das heißt ich kann schon mal aufschreiben klammer auflösen und vielleicht sogar noch als Schlagwort ausmultiplizieren also wie sieht das ganze dann aus wir haben F von X ist g jetzt haben wir erster Bogen 2 x x² ergibt 2x² zweiter Bogen 2 x -6x ergibt -12x Dritter Bogen 2* 9 ergibt 18 und nicht vergessen hinten haben wir immer noch unsere + 5 und wenn wir das haben dann sind wir eigentlich schon fast fertig jetzt kommt der allerletzte Schritt noch wir müssen jetzt noch mal zusammenfassen das heißt eigentlich nur hinten unsere beiden Zahlen noch addieren 18 + 5 und dann sind wir wirklich fertig F von X ist also insgesamt 2x² - 12x + 23 kann ich also auch noch mal aufschreiben wir müssen uns am Ende ganz am Ende hier noch mal angucken dass wir das hier passen zusammenfassen können aber ich glaube wenn man bis da angekommen ist dann kriegt man das auch hin zusammenfassen so und so kommt man von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form erster Schritt binomische Formel anwenden zweiter Schritt klammer auflösen dritter Schritt zusammenfassen und du siehst jetzt wieder wir haben die wirklich die Struktur die wir am Anfang haben wollte also Zahl ax² BX + C jetzt gucken wir uns andersum noch an wie man von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform kommt da gibt's insgesamt zwei verschiedene Möglichkeiten ein Weg zeige ich Dir jetzt hier ich habe ja am Anfang mal gesagt ich zeige dir das allerwichtigste hier du könntest jetzt das ganze auch mit der sogenannten quadratischen Ergänzung machen das ist ein anderes mathematisches Prinzip zur thmumformung was man hier nutzen könnte es ist wirklich sinnvoll das Ganze zu können gerade wenn man noch ein bisschen weiter in der Mathematik gehen möchte 11 12 13 Klasse dann ist es wirklich sinnvoll sich das ganze mal anzugucken und das würde ich jetzt tatsächlich in deine Hand geben recherchier doch vielleicht noch mal selbständig ob du noch Aufzeichnung hast zur quadratischen Ergänzung wie man das ganze macht wie man das nutzen kann um Terme umzuformen und wenn du gar nichts mehr findest auch nicht im Internet etwas was dir quasi weiterhilft dann frag mich doch einfach noch mal gerade wenn du in der L und E-Klasse bist würde ich dir empfehlen wie gesagt schreib das mal auf dein Merkzettel und guck mal nach was du noch findest es geht aber auch ohne quadratische Ergänzung wie das zeige ich Dir jetzt dazu muss man eine bestimmte neue Formel sich merken oder wissen wo sie im Tafelwerk steht beides geht und mit dieser Formel kann man aus der allgemeinen Form auch sich den Scheitelpunkt einer Funktionsgleichung bzw eines funktionsgrafen eigentlich eher ausrechnen und wenn ich diese Werte dann habe also die x-Koordinate und die ykoordinate meines Scheitelpunktes dann kann ich die natürlich einfach in meine Scheitelpunktform übertragen und mir so quasi die gesuchte Form zusammenbasteln wie lautet jetzt diese Formel sieht erstmal sehr abstrakt aus ich zeig es dir einmal so sieht das ganze Ding aus ich kann mir also die x-Koordinate und die ykoordinate ausrechnen indem ich diese termwerte die dort stehen berechne also du siehst schon für den x-Wert gilt er lautet immer -b dur 2a natürlich schreibt man nicht hin X ist - B dur 2a sondern man setzt ein und rechnet aus und wir wissen ja mittlerweile a haben wir hier vorne B ist in diesem Fall -12 und C haben wir ganz hinten + 23 und das ganze setzt man ein und rechnet aus das gebe ich jetzt auch mal in deine Hand probier das ganze mal rechne mal aus welche termwerte sich ergeben wenn du A B und C entsprechend einsetzt du kannst gerne den Taschenrechner nutzen du kannst auch probieren das ganze mal im Kopf zu machen ich zeige dir jetzt hier nur mal das Ergebnis aber erst wenn du bereit bist dann kannst du nämlich einfach wieder Play drücken wenn man passend einsetzt und ausrechnet erhält man einen Scheitelpunkt mit den Koordinaten x = 3 und Y = 5 und im Prinzip kann man also sich als ersten Schritt auch notieren dass man sich immer diesen Scheitelpunkt mit Hilfe der oben eingekäelten Formel ausrechnet wenn man den Scheitelpunkt dann berechnet hat kann man die Werte die man hat in seine Scheitelpunktform einsetzen die lautete ja immer ähnlich also wir haben immer f vonx =le d hatten wir diesen streckungsstauchungspiegelungsparameter am Anfang also a mal X + D Quadrat + E und jetzt können wir die Koordinaten des Scheitelpunktes einsetzen man muss sich aber daran erinnern dass der Scheitelpunkt als xkoordinate nicht einfach nur D hat sondern -d das heißt beim Einsetzen muss ich jetzt meine Vorzeichen des xwertes umdrehen also ich versuch das ganze mal zu veranschaulichen ich setze jetzt ein hier und hier und passe dabei aber genau auf dass ich hier mein Vorzeichen drehen muss kannst du dir auch gerne noch mal reanschreiben Vorzeichenwechsel Vorzeichen drehen wie auch im du das Aufschreiben möchtest und so erhält man dann F von X = a wissen wir immer noch nicht a mal aber jetzt können wir einsetzen x- 3 wir hatten ja oben 3 gedrehtes Vorzeichen -3 + 5 hinten muss ich das ganze nicht machen da kann ich einfach übernehmen und jetzt sind wir schon fast fertig es fehlt uns nur noch der Wert für a und den können wir aber tatsächlich habe ich ganz am Anfang schon mal kurz erwähnt aus der allgemeinen Form übernehmen denn der Wert für A ist in der allgemeinen Form der gleiche wie der Wert für a in der Scheitelpunktform also können wir jetzt unsere Form komplett aufschreiben fonx = 2 x X - 3 Klam mal zu zum Quadrat + 5 und dann sind wir fertig was haben wir also jetzt gemacht wir haben den Scheitelpunkt berechnet dann haben wir den Scheitelpunkt eingesetzt dabei haben wir schön auf das Vorzeichen aufgepasst das schreibe ich hier extra noch mal hin und ganz am Ende haben wir noch den Wert von a einfach abgelesen und eingesetzt und so kommt man insgesamt von der allgemein Form in die Scheitelpunktform du kannst gerne am Ende mal wenn du möchtest überprüfen und jetzt wieder zurückumform also den Wert aus der Scheitelpunktform jetzt wieder in die allgemeinform umwandeln um dein Ergebnis zu überprüfen und du solltest feststellen dass das Ganze wirklich übereinstimmt jetzt hast du quasi die freie Möglichkeit zwischen den Funktionsgleichungen hin und her zu wechseln um die entsprechenden Vorteile zu benutzen welche das genau sind wird erst noch im weiteren Verlauf des Videos klar werden vielleicht ist das auch so schon bewusst dann leg Form um so wie es dich glücklich macht jetzt hast du die freie Wahl weiter geht's mit viertens Dinge die Du schon von linearen Funktionen kennst und die sich quasi jetzt hier für quadratische Funktionen übernehmen lassen tatsächlich lassen Sie sich nicht nur für quadratische Funktionen übernehmen sondern funktionieren genauso für alle funktionsarten die du schon kennst oder sogar noch kennenlernen wirst drei Sachen habe ich aufgeschrieben zum einen einmal eine punktprobe also quasi zu überprüfen ob ein gegebener Punkt auf dem Graf einer Funktion liegt dann die ykoordinate so bestimmen dass wenn man eine gegebene x-Koordinate hat dass der Punkt der dadurch entsteht auf dem Grafen einer Funktion landet und ganz zum Abschluss noch den y aachsenabschnitt einer Funktion bestimmen wenn man ihn dann nicht ablesen kann wie man es ja z.B in der allgemeinform machen könnte ich habe mal ein Beispiel aufgeschrieben F von x = 2 in K X - 1 zum Quadrat + 1 also eine Form oder eine Funktion in der schitelpunktform und jetzt probieren wir das Ganze mal aus und ich schreib dir jeweils den Ansatz den man verfolgen kann quasi noch mal mit dazu bei der punktprobe geht's wie gesagt darum zu überprüfen ob ein Punkt auf dem Grafen einer Funktion liegt z.Bp könnten wir jetzt überprüfen ob der Punkt P mit den Koordinaten 1 und 4 auf dem Grafen einer Funktion liegt bzw auf dem Grafen der Funktion die hier oben gegeben ist und jetzt kommt wieder ein ganz typischer Sachverhalt zum Tragen wir haben ja in unserem Punkt eine x-Koordinate und eine ykoordinate stehen und für unsere allgemeine Funktionsgleichung die wir oben rechts haben gilt ja dass F vonx nichts anderes ist als y= 2 x x- 1 zum Quadrat + 1 und alles was ich machen muss genauso wie bei linearen Funktion ist also jetzt für Y mein Wert einsetzen für X meinen Wert einzusetzen und dann zu gucken das was da rauskommt ist das eben wirklich gleich das machen wir mal ich schreibe noch mal ganz ausführlich hin so wie es in dem Test und einer Klassenarbeit auch ideal wäre also meine Funktionsgleichung lautet y = 2 Klammer auf x- 1 Klammer zu zum Quadrat + 1 und jetzt setze ich eben ich muss man natürlich nicht unbedingt machen ich mach jetzt hier mal damit schon übersichtlich ist ein einmal für Y da ist mein gegebener Wert 4 und dann können wir weiterschreiben zweimal Klammer auf für X setze ich jetzt wieder ein da ist mein Wert gegeben mit 1 -1 Klam zu zum Quadrat + 1 jetzt könnte man wenn man den Taschenrechner hat das ganze bzw die rechte Seite einfach in den kassrechner oder in den Taschenrechner eintippen und überprüfen ob das Ganze stimmt wir können es aber auch schnell im Kopf machen ist eigentlich gar nicht schwer die linke Seite ist klar die ist vi und rechts haben wir in der Klammer damit fangen wir an 1 - 1 das ergibt 0 dann 0 zum Quadrat 0 x 0 ist immer noch 0 dann 2 x 0 ist immer noch 0 und ganz am Ende + 1 also erhalten wir auf der rechten Seite 1 können natürlich auch gerne Schritt für Schritt machen wenn man etwas mehr Zeit braucht oder im Notfall wie gesagt mit dem Taschenrechner 4 = 1 haben wir erhalten das ist eine falsche Aussage und damit wissen wir unser Punkt liegt nicht auf dem Grafen anders wäre das wenn wir eine Aussage erhalten hätten die wahr gewesen wäre also sowas wie 2 = 2 4 = 4 3 = 3 - 100 = -10 dann wäre das Gegenteil der Fall dann würde der Punkt also auf dem Grafen liegen hier ist das nicht der Fall deswegen wissen wir das Gegenteil tritt ein weiter geht's mit dem zweiten Fall eine ykoordinate bestimmen wirklich super einfach wenn man weiß wie es geht mit dem Taschenrechner noch einfacher den einzigen Ansatz den wir wieder brauchen ist eben genau der von oben wir wissen wieder unser allgemeine Funktionsgleichung y ist= 2 kl auf x- 1 Klam zu zum Quadrat + 1 und meinetwegen sollen wir jetzt bestimmen wie der y Wert lautet für einen Punkt nennen wir den mal R wenn wir einen gegebene x-Koordinate haben z.B z und gesucht ist unser Wert für Y wie findet man den raus überhaupt nicht schwer wenn wir uns die Funktionsgleichung angucken steht ja da eigentlich y ist eben genau das was passiert wenn ich für X einen Wert einsetze und das mit meiner Funktionsgleichung verarbeite das heißt ich muss also dieses Mal einfach mein y stehen lassen und dann trotzdem wieder mein Wert für X einsetzen also z jetzt setze ich ein diesesm habe ich für X2 gegeben -1 zum Quadrat + 1 könnte man jetzt wieder ein Taschenrechner eintippen oder im Kopf ausrechnen ich mache's noch mal im Kopf in der Klammer 2 - 1 ergibt 1 zum Quadrat 1 x 1 ist immer noch 1 mal 2 ergibt 2 + 1 ergibt 3 und entsprechend habe ich mein y Wert bestimmt und könnte den Punkt jetzt aufschreiben am Ende natürlich immer das Ergebnis noch mal wirklich komplett hinschreiben R hat also die Koordinaten 2 3 so einfach geht das wie gesagt die beiden Ansätze funktionieren für alle funktionsarten gleich und abschließend noch den y- aachsenabschnitt auch hier kann man immer denselben Ansatz verfolgen wir fragen uns eigentlich einfach nur welchen y Wert habe ich oder erhalte ich bei meiner Funktion an der Stelle x = 0 und das übersetzt man mathematisch mit Hilfe der Schreibweise F von und dann 0 das heißt aber eigentlich nichts anderes als dass ich 0 für X einsetze kann ich noch mal hinschreiben 0 für X einsetzen ist natürlich trotzdem schön wenn man die mathematische Schreibweise dafür auch beherrscht dann kann man das ganze auch relativ kompakt aufschreiben und ich weiß sofort was ihr meint und das ganze schreibt man dann wie folgt auf also F von 0 vielleicht mit einer schwarzen Klammer so F von0 ist gleich und jetzt kommt wieder unsere Funktionsgleichung 2 Klammer auf jetzt setzen wir wieder ein 0 - 1 Klammer zu zum Quadrat + 1 und das ganze können wir jetzt wieder ausrechnen und dann wissen wir f von 0 ist GLE muss man sich jetztich wieder über en 0-1 in der Klammer ergibt -1 quadriert -1 x -1 wird +1 mal 2 ergibt 2 + 1 ergibt 3 das ist also unser y aachsenabschnitt den wir jetzt hier einfach bestimmt haben ja vielleicht noch mal für dich als Orientierung ich habe ja gerade eben gesagt F von0 heißt nichts anderes als 0 in die Funktionsgleichung einzusetzen ich hätte also im zweiten Punkt gerade eben bei der Y Koordinate da haben wir ja z eingesetzt auch schreiben können hier an dieser Stelle das ist eigentlich nichts anderes als F von 2 zu bestimmen ja den Funktionswert den y Wert an der Stelle 2 eigentlich exakt gleich bedeutend ja und das ist es eigentlich auch schon wieder diese drei Sachen gibt es hier zu wissen du siehst eigentlich alle drei nicht wirklich schwer vor allen Dingen wenn man den Taschenrechner oder den kassrechner hat aber es ist gut sich noch mal dran zu ernern welche Ansätze zu verfolgen sind und was man eigentlich tun muss im fünften Punkt geht's jetzt um quadratische Gleichungen warum gucken wir uns jetzt Gleichungen an wenn wir doch eigentlich über Funktion sprechen solche Gleichungen muss man eben lösen können um bestimmte Problemstellungen mit Bezug zu quadratischen Funktionen lösen zu können dazu gehören zum einen Nullstellenbestimmung schnittpunktbestimmung und quasi das umgedhte zu dem was wir gerade eben schon gemacht haben heißt eine x-Koordinate bestimmen zu einem gegebenen y Wert sass der Punkt quasi zu einer Funktion passt dabei ist ganz ganz wichtig und das wirst Du gleich sehen dass wir letztendlich immer den gleichen Ansatz verfolgen den gucken wir uns auch hier jetzt einmal noch mal gemeinsam an nämlich die pq Formel ist ein ganz typischer irglaube dass die pq Formel irgendwie nur für Nullstellen von quadratischen Funktion notwendig ist das ist ganz anders eigentlich ein Ansatz zum Lösen von quadratischen Gleichungen und du wirst wie gesagt nachher sehen dass ich sowohl Nullstellen Schnittpunkte als auch eben das bestimmt von x-Koordinaten auf quadratische gleich der gleichen Form zurückführen lassen die man dann alle mit der pq Formel lösen kann wir gucken uns einfach mal eine relativ komplexes Beispiel an für eine quadratische Gleichung und wie man das ganze Ding dann lösen kann du wirst sehen dass du anhand von diesem Beispiel später in der Lage sein wirst alle Probleme quasi zu lösen denn wir müssen quasi jeden Schritt hier einmal durchführen später ist es dann einfach so dass du einzelne Schritte einfach nicht mehr machen musst sondern ist ein bisschen einfacher die Gleichung die wir uns hier angucken wie gesagt die wird etwas lang aber zum er zeigen ist die ganz gut wir nehmen mal 2x² + 4x + 1 ist gleich ein anderer quadratischer term jetzt 4x² + 6x - 11 und diese quadratische Gleichung gilt es jetzt zu lösen sieht erstmal auf den ersten Blick super fies aus aber ich habe ja eben schon gesagt wir verfolgen eigentlich immer denselben Ansatz nämlich wir wollen die pq Formel nutzen es gibt für bestimmte quadratische Funktionen und Gleichungen noch andere Hilfsmittel z.B ausklammern und solche Sachen aber wir gucken uns erstmal den wesentlichsten Ansatz hier an nämlich die pq Formel die kann ich aberich nur benutzen wenn ich eine ganz bestimmte Bedingung erfüllt habe bzw sogar zwei ich schreib die mal einmal ganz kurz auf und zwar gilt erstmal dass unsere Gleichung die Form 0 ist gleich irgendein quadratischer term hat das bedeutet also ich versuch das mal in orange ein bisschen hervorzuheben wir brauchen also wie gesagt die Form 0 ist gleich das kann natürlich auch andersrum lauten also erst der quadratische term und dann ist gleich 0 das würde auch funktionieren aber dieses ist gleich 0 ist markant und dann kommt eben nicht irgendein quadratischer ter mit ganz beliebigen Eigenschaften sondern der ist relativ spezifisch es muss nämlich weitergehen mit x² und dann ist danach tatsächlich egal + PX + Q ja also wichtig ist hier vorne das dieser Koeffizient hier vor dem x²adr habe ich nicht ganz die Stelle getroffen ich versuch es noch mal so da an der Stelle dieser Koeffizient der muss 1 sein als Beispiel 0 = x² + 10x - 3 würde gehen 0= x² + 2x - 10 auch gehen x² + 3x - 5 = 0 würde auch gehen diese beiden Bedingungen 0 ist gleich und Koeffizient vor dem x²r ist 1 müssen erfüllt sein das heißt um so eine komplexe Gleichung wie wir sie oben haben zu lösen müssen wir erstmal unsere Gleichung in diese Form bringen und das macht man mit den ganz typischen umformungsschritten die wir jetzt einfach hier mal gemeinsam durch Probieren also wir haben unsere Gleichung ich schreib sie noch mal auf und jetzt müssen wir ganz Struck ert einfach diese Form erreichen 0 ist gleich damit fangen wir erstmal an das heißt wir holen alles von der linken Seite auf die rechte Seite oder andersrum ich fange jetzt mal von links nach rechts an rechne also zuerst meinetwegen -1 wenn man irgendwann später ein bisschen mehr Erfahrung hat kann man auch mehrere Schritte auf einal machen ich mach jetzt hier wirklich mal ganz strukturiert dann erhalten wir auf der rechten Seite Entschuldigung auf der linken Seite 2x² + 4x die + 1 fällt dann weg und auf der rechten Seite m müssen wir sie dann noch mit abziehen also 4x² + 6x und ich kann natürlich nur bei der Zahl hinten mit abziehen da erhalte ich - 12 weiter geht's mit 4x die ziehe ich auch ab sind ja mit einem additionszeichen verknüpft und wir halalten 2x² = 4x² jetzt kann ich natürlich wieder nur von den 6x abziehen denn wir wissen ja Gleiches mit Gleichem dann halte ich an dieser Stelle 2x und die -12 bleiben stehen und zum Abschluss noch -2x² und dann sind wir bei der Form angelangt 0 ist= x² von x² abziehen h in diesem Fall 4 - 2 erhalten 2x² und wir haben noch 2x übrig - 12 so damit ist die erste Bedingung schon mal erfüllt das ist schon mal gut denn wir sind jetzt in der Form 0 ist GLE irgendetwas wir brauchen aber die Form 0= x² + PX + Q wir sehen ja hier an der Stelle wir haben noch unsere 2 die müssen wir noch loswerden und jetzt kommt die hauptfehlerquelle im ganzen Thema quadratische Funktion und quadratische Gleichung wir teilen durch 2 und wichtig wir teilen alle Bestandteile der Gleichung durch 2 auch die linke Seite theoretisch ist natürlich in dem Fall witzlos da steht da 0 damit erhalten wir rechts 0 dur 2 ist immer noch 0 aber auf auf der Entschuldigung auf der linken Seite schon wieder links rechts Schwäche schlägt mal wieder zu aber auf der rechten Seite da muss man eben aufpassen 2x² durch 2 damit fliegt die 2 quasi weg und wir haben noch ein x²r übrig und jetzt genauso weitermachen auch die 2x werden durch 2 geteilt damit erhalten wir nur noch 1 x und auch die -12 müssen durch 2 geteilt werden dann erhalten wir -6 ich kann euch versprechen diesen Fehler macht jeder irgendwann mal im meem in seinem Leben dass er mal vergisst die anderen beiden Bestandteile bei der Gleichung auch noch durch den Faktor zu teilen aber in diesem Fall sei es noch mal ganz klar gesagt jeder Teil der Gleichung muss dividiert werden und jetzt sehen wir wir haben beide Bedingungen erfüllt und können jetzt endlich unsere pq Formel anwenden denn wir haben die Form 0 = x² + irgendwas x- irgendwas jetzt ist noch mal ganz wichtig zu überlegen was ist jetzt hier Q und was ist P ich meine ich hab es ja oben zwar eigentlich schon mal hingeschrieben aber manchmal kann das ein bisschen verwirrend sein wenn das nicht mehr ganz da steht hier vorne vor dem X steht da eine unsichtbare 1 und wenn wir das wissen wissen wir einmal das hier ist unser P und das hier hinten ist unser Q ja und wenn man das jetzt weiß dann muss man jetzt einmal ins Tafelwerk gucken um sich die Formel die pq Formel noch mal vor Augen zu führen ich will die jetzt gar nicht unbedingt hier hinschreiben da gibt's verschiedene Auslegungen von wichtig ist dass du weißt wo sie im Tafelwerk steht guck am besten jetzt selber mal nach und probier einfach mal das Ganze zu lösen wenn du nicht mit der pq Formel klar kommst dann sag mir einfach bescheid dann gucken wir uns das gemeinsam noch mal an du kannst in dem Fall auch gerne kurz den Taschenrechner benutzen probier es aber ruhig auch mal im Kopf ich habe das ganze jetzt hier einmal kurz zusammengefasst aufgeschrieben einmal in die pq Formel eingesetzt wir kriegen ja nach Möglichkeit sogar bis zu zwei Lösungen für unsere Gleichung es kann also mal auch mehr als eine Lösung es kann auch mal keine Lösung geben auch möglich aber in diesem Fall gibt's tatsächlich zwei und das findet man am ersten immer auch hier in diesem plus minus ausgedrückt wir haben also am Ende jetzt quasi unseren ersten Teil der Gleichung plus ein Wert oder minus ein Wert und je nachdem was man macht also + 2,5 im Beispiel oder - 2,5 erhält man eben die erste Lösung oder die zweite Lösung zumindest in diesem Beispiel wir erhalten also hier im Beispiel einmal als Lösung -0,5 oder - 1/ + 2,5 damit kommen wir auf einen Wert von 2 oder -1 -0,5 - 2,5 damit kommen wir auf ein Wert von -3 und das wären in diesem Fall die Lösungen für die Gleichung die wir oben ursprünglich uns mal gestellt hatten 2 und -3 ja ganz wichtig se noch mal gesagt es kann auch sein dass es mal nur eine Lösung gibt meinetwegen wenn unter der Wurzel nämlich genau 0 rauskommt dann hätten wir quasi in unserem Beispiel hier - 1/b + 0-0 ist beides das gleiche da kommt nur eine Lösung raus es kann auch mal sein dass es keine Lösung gibt das ist dann der Fall wenn ein Problem entsteht was wir mathematisch nicht lösen können nämlich genau dann wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht also z.B - 1/ plus die Wurzel aus -4 Wurzel aus einer negativen Zahl können wir nämlich nicht ziehen da geht die Mathematik kaputt und deswegen gibt's auch keine Lösung für die Gleichung so das war noch mal das Wichtigste zu quadratischen Funktion bzw quadratischen Gleichungen zusammengefasst jetzt zeige ich Dir in den Folgeschritten 6 7 und 8 wie man dieses Wissen nutzen kann um eben Schnittpunkte Nullstellen oder x-Koordinaten zu berechnen gucken wir uns mal an wie man Nullstellen von quadratischen Funktion bestimmen kann mit Hilfe von quadratischen Gleichungen und der pq Formel wir nehmen uns mal wieder ein Beispiel wir brauchen ja nur eine Funktion meinetweggen f von X = 2x² + 4x - 8 und diese Gleichung haben wir jetzt gegeben diese Funktionsgleichung und wollen die Nullstellen der passenden Funktion bestimmen ganz wichtig dafür ist dass wir erstmal uns wieder überlegen welchen Ansatz verfolge ich denn für Nullstellen und der Ansatz für Nullstellen ist tatsächlich für alle Funktionstypen wieder gleich man überlegt sich nämlich immer wieder an welchen Stellen erhalte ich ein Funktionswert von 0 das ist der Ansatz der quasi immer verfolgt werden muss wenn man es ein bisschen unmthematischer ausdrücken möchte steht da quasi wo ist y = 0 und das ist ja quasi gleich bedeuten mit wo ist mein Graf gerade auf der x-Achse was ja die Nullstellen wären das heißt alles was ich machen muss ist in meiner Gleichung F vonx mit 0 zu ersetzen und dadurch entsteht eben eine quadratische Gleichung die gelöst werden muss in diesem Fall ist das also 0 = 2x² + 4x - 8 und jetzt sollten schon die Alarmglocken angehen wir haben ja jetzt schon fast das Konstrukt was wir für die pq Formel brauchen und der deswegen wird die pq Formel auch häufig am ersten mit Null stellen in Verbindung gesetzt weil man denkt okay 0 ist gleich pq Formel das ist aber eigentlich nur die Voraussetzung die durch die Nullstellen zufälligerweise einfach sozusagen geschenkt wird was wir aber noch brauchen also ich kann ja mal mit unseren Haken von eben Arbeiten eine Gleichung mit 0 ist gleich haben wir schon mal wir brauchen aber noch die Form x² + PX + Q das heißt die 2 vor dem x² stört uns und wir müssen wieder durch 2 die dividieren wieder aufpassen jeden Teil der Gleichung dividieren 2x² durch 2 dann haben wir die x² die wir haben wollen mit Vorfaktor 1 und 4x dur 2 ergibt 2x und -8 dur 2 ergibt -4 und jetzt haben wir tatsächlich wieder die Bedingung die wir brauchen nämlich 0 = x² + PX + Q also irgendein Wert vor x irgendein Wert hinten auch als Zahl mit dran aber vor unserem x²r steht die unsichtbare ein und jetzt können wir wieder mit der pq Formel rangehen und das ist tatsächlich so einfach wie es auch schon ist also wieder ins Tafelwerk gucken pq Formel aufschreiben einsetzen ausrechnen diesmal schreibe ich dir nur das Ergebnis hin und du kannst das ganze vielleicht mal selbst probieren wenn du damit überhaupt nicht klar kommst dann schreibt dir die Frage einfach auf meld dich kurz vielleicht bist du ja sogar gerade im Unterricht und dann helfe ich Dir gerne in diesem Fall erhalten wir wieder tatsächlich zwei Lösungen die sind diesmal nicht so ganz glatte zahlen wie es gerade im Beispiel davor der Fall war aber dabei drauf achten ordentlich runden dann ist das auch vollkommen in Ordnung wir erhalten Lösung 1 -3,24 rund und für die zweite Lösung 1,24 rund bedeutet also die Nullstellen liegen eben genau bei diesen Punkten das könnte man sich ja sogar mit einem Grafen vielleicht noch mal gut vorstellen ob das wirklich so ist aber an sich siehst du das Verfahren ist eigentlich genauso wie gerade eben beim Lösen von quadratischen Gleichungen die pq Formel ist hier wieder der wesentliche Ansatz auch beim Berechnen von xordin braucht man wieder den Ansatz den wir gerade eben uns bei quadratischen Gleichungen vor Augen geführt haben wir nehmen mal weiter die Funktionsgleichung die wir oben schon hatten also f vonx = 2x² + 4x - 8 und eine Aufgabe könnte jetzt beispielsweise sein dass wir ein Punkt gegeben haben aber wir wissen momentan noch nicht den xwert also X ist uns unbekannt wir wissen aber dass meinetwgen irgendwo der y Wert 4 vorliegt und wir sollen jetzt rausfinden an welcher Stelle x finden wir denn diesen Wert y = 4 und jetzt auch hier ist der Ansatz eigentlich wieder so wie du es schon von linearen Funktion kennst wir setzen also wieder unseren y Wert für F vonx ein weiß ja immer noch F von X ist eigentlich nichts anderes als y und wir setzen quasi unseren y WT wieder ein dadurch entsteht wieder eine quadratische Gleichung die wir lösen können ich mache das ganze mal also für F von x 4 eingesetzt dann erhalten wir 4 ist=leich und jetzt kommt eigentlich blo wieder unser Funktionsterm von eben also 2x² + 4x - 8 und auch hier müssen wir jetzt wieder dafür sorgen dass wir in die Form kommen die wir für die pq Formel brauchen also 0 = x² + PX + Q also erster Schritt die -4 auf die andere Seite damit wir schon mal unsere 0 ist gleichform haben 4 - 4 auf der linken Seite ist 0 und auf der rechten Seite erhalten wir 2x² + 4x - 8 - 4 ergibt -12 erstes Ziel schon mal erreicht 0 ist GLE jetzt brauchen wir natürlich wieder die Form x² + PX + Q also die 2 vor dem x² stört uns wieder und wir dividieren wieder durch 2 wieder schön konzentrieren jeden Teil durch z Teilen x qu erhalten wir wir erhalten 2x und wir erhalten -6 und jetzt sind wir wiereit dass wir eine Gleichung erhalten die wir mit der PQ lösen können denn sie hat die passende Form also wierfelwerkücken PQ Form aufschlagen einsetzen ausrechnen und mal selbst probieren ich schreibbe die Lösung wieder auf wenn du Probleme hast sagst du mir bescheid und da haben wir unsere Lösung auch schon für einen x-Wert nämlich -3,65 ist das der Fall und für rund 1,65 hätten wir das ganze noch mal an der Stelle ist es ganz interessant wir haben zwar unsere Lösung schon gefunden sich mal vorzustellen warum das eigentlich der Fall ist ich skizziere dir mal kurz ein Koordinatensystem mit einem passenden Grafen und dann gucken wir uns das Ganze mal genauer an ich hab mir jetzt eine ganz grobe Skizze vom funktionsgrafen gemacht und die Frage war ja für welche xwert te erhalten wir ein Y Wert von 4 und wie gesagt ist ja nur eine grobe Skizze deswegen sage ich jetzt einfach mal ganz kurz unser ywerert 4 liegt meinetwegen hier und jetzt können wir uns überlegen wo verläuft denn da unser Graf und dann sieht man schon es gibt eben zwei Stellen einmal auf der linken Seite und einmal auf der rechten Seite und entsprechend können wir uns jetzt überlegen welche x-Werte lassen sich zu den entsprechenden Stellen am Grafen zuordnen einmal eben hier auf dieser Höhe da erhalten wir unseren ersten x-Wert das ist meinetwegen unser X1 - 3,65 und hier drüben erhalten wir einen zweiten x-Wert eben auf der Höhe in diesem Fall von 1,65 wie gesagt grobe Skizze aber man sieht es gibt halt zu jedem ywert 2 x-Werte die passend sind x1 und x2 auch bei Schnittpunkten kann man sich mit Hilfe von quadratischen Gleichungen Abhilfe verschaffen dazu ist es erstmal wieder wichtig sich zu überlegen wie berechnet man Schnittpunkte prinzipiell und dazu kennst du von linearen Funktion bereits den Ansatz man stellt bestimmte Funktionsgleichungen gleich setzt also den einen Funktionsterm gleich den anderen Funktionsterm und kriegt so die Stelle raus wo sich die Grafen schneiden und genauso ist es tatsächlich für quadratische Funktion auch wir nehmen uns mal wieder zwei Beispiele und mit die diesen beiden Beispielen F vonx und G vonx können wir jetzt eben unseren allgemeinen Ansatz noch mal aufschreiben wir haben eben schon gesagt wir setzen die Funktionsterme gleich schreibt man im Allgemeinen so F vonx = G vonx der Ansatz lässt sich immer verfolgen natürlich können die Funktion auch mal anders heißen P von x H von X vollkommen egal Funktionsterm 1 = Funktionsterm 2 und dann ist man eigentlich schon fast am Ziel wenn man weiß wie man diese Gleichung dann lösen kann ich schreib mal für unser Beispiel jetzt hier die dadurch entstehende Gleichung auf ich Schre erstmal für F von X den Funktionsterm auf also - x² + 3x - 4 ist g jetzt kommt g von X - 2x² + X + 2 und jetzt wie immer wieder in die passende Form bringen s dass wir diese quadratische Gleichung mit der pq Formel lösen können also wir brauchen wieder 0= x² + PX + Q wir fangen also wieder an umzuformen ich mach's noch mal ausführlich du kannst gerne überspringen wenn dir das zu einfach ist und einfach nur kontrollieren -4 auf die andere Seite also +4 was bleibt übrig links - x² + 3x = -2x² + X und bei der 2 kann ich die 4 mit dazu rechnen also + 6 weiter geht's 3x haben wir wir wollen die wegkriegen also -3x was bleibt übrig - x² -2x² bei X kann ich die -3x mit abziehen also -2x bleiben übrig + 6 und ganz zum Schluss noch - x² habe ich ich will es wegkriegen also + x² und ich erhalte 0 = -2x² + x² sind - x² - 2x + 6 und damit erstes Ziel erreicht 0 ist gleich erstmal irgendwas jetzt kann man sich leicht täuschen und sagen ich habe ja mein zweites Ziel auch schon erreicht denn vor meinem x² steht da keine Zahl mehr da steht nur noch minus da steht aber keine 1 da steht eine -1 in diesem Fall und wir wollen 1 als Vorfaktor von x² das bedeutet wir müssen die -1 noch wegkriegen und du kannst es genauso handhaben wie du es gerade bei 2 3 4 -5 und so weiter gemacht hättest wir teilen alles durch den entsprechenden Vorfaktor da steht -1 also dividieren wir in diesem Fall durch -1 und man erhält dadurch kann man im Taschenrechner gerne mal mit einzelnen Zahlen überprüfen immer das umgedrehte Vorzeichen an jeder Stelle also -x² dur -1 ergibt x² - 2x wir müssen ja wieder alles dividieren durch -1 ergibt + 2x und + 6 dur -1 ergibt -6 und jetzt haben wir die Form die wir für die pq Formel benötigen 0 = x² + PX + Q und alles was jetzt noch zu tun gibt pq Formel Tafelwerk einsetzen ausrechnen probier mal ich schreib dir die wieder die Ergebnisse hin und du kannst selber kontrollieren das sind unsere Lösungen ähnlich zu dem Beispiel von eben X1 ist rund -3,65 X2 ist rund 1,65 jetzt bitte nicht täuschen lassen wir sind noch nicht fertig denn gesucht ist ja ein Schnitt Punkt Punkte bestehen aus X und Y Koordinate das heißt wir können quasi den ersten Schnittpunkt jetzt schon halb aufschreiben Schnittpunkt nicht verwirren lassen ich nen jetzt auch es bei bitte beim Benennen von Scheitelpunkten und Schnittpunkt gleichzeitig einfach ein bisschen irgendwie andere Bezeichnungen wählen aber hier für Schnittpunkt denke ich ist das ganz passend S1 n ich das ganze mal also haben wir einmal x² 3,65 und noch eine bekannte oder unbekannte ykoordinate und auch für den zweiten Schnittpunkt können wir das ganze schon halbfertig aufschreiben also 1,65 und eine unbekannte ykoordinate wie finde ich denn jetzt meine ykoordinate eben genauso wie du es dir vielleicht in Punkt 4 schon angeguckt hast den x-Wert in eine der beiden Gleichungen einsetzen und einfach ausrechnen was rauskommt es ist egal welche du nimmst ob F vonx oder G vonx da kommt bei beiden das gleiche raus schließich der Schnittpunkt aber man muss es eben noch machen und das ganze schreibe ich hier noch mal hin y ist gleich bzw y lässt sich berechnen indem man jetzt sein xwert in die Funktion einsetzt ich schreib es mal ganz ausführlich hin also F von -3, 65 und das ganze ausgerechnet also -3,65 Z qur + 3 x -3,65 - 4 bisschen Schreibarbeit könnte man jetzt noch mal ausführlich aufschreiben mach das gerne ich mach's jetzt hier mal nicht du kannst das Ganze gleich selber mal probieren und wieder mit dem Video kontrollieren ich schreibt dir aber den Ansatz für den zweiten Punkt auch noch schnell auf Y ist für diesen Punkt eben F von 1,65 also einfach den x-Wert den man gerade berechnet hat in die Funktionsgleichung einsetzen und ausrechnen genauso wie in Punkt 4 beschrieben probier mal aus wenn man das ganze dann ausrechnet dann erhält man für den ersten y WT -28,27 und für den zweiten y WT -1,77 das ganze kann man dann zum Abschluss wirklich noch mal zusammengefasst als Punkt notieren es ging uns ja um die Schnittpunkte den ersten haben wir dann mit den Koordinaten -3,65 und -28,27 und den zweiten bei 1 ,65 und -1,77 zusammengefasst kann man das Verfahren also noch mal wie folgt beschreiben zuerst die Funktionsterme gleich setzen der Ansatz ist immer gleich dann umstellen s dass wir unsere pq Formel anwenden können mit der pq Formel alle möglichen xkoordinaten ausrechnen und dann zu jeder x-Koordinate durch Einsetzen in die Funktionsgleichung den passenden y Wert ausrechnen welche Funktionsgleichung man dann nimmt ist vollkommen egal wenn du das hingekriegt hast dann kann kanst du auch ohne Probleme den Schnittpunkt von quadratischen Funktionen mit linearen Funktion berechnen das ganze funktioniert exakt genauso ist sogar noch ein bisschen einfacher du kannst also wieder deine Funktionsterme notieren gleichsetzen umformen ausrechnen und so weiter und so fort ich empfehle das ganze einfach mal mit der Checkup Aufgabe zu probieren und wenn du dabei Probleme hast mich einfach zu fragen wie gesagt du kannst dich an diesem Beispiel trotzdem sehr gut orientieren Verfahren ist exakt identisch was manchmal aber s macht sich zu fragen ist wie viele Schnittpunkte es denn überhaupt geben kann und da gibt's eine ganz klare Einschränkung mindestens Null na ja mindestens ist da fast ein bisschen sinnlos zu sagen also es kann keinen Schnittpunkt geben maximal kann es zwei Schnittpunkte geben es kann auch mal nur genau einen Schnittpunkt geben eine ähnliche Aussage lässt sich übrigens auch über die Nullstellen treffen aber vielleicht erinnerst du dich daran ja auch schon dann muss ich das gar nicht noch mal sagen