Logaritmer og deres historie

Overview

Forelesningen gir en innføring i logaritmer, deres historiske opprinnelse, grunnleggende konsepter, regneregler og logaritmefunksjoner, med eksempler på bruk.

Historisk bakgrunn

• Logaritmer ble utviklet på 1600-tallet for å forenkle kompliserte utregninger.
• John Napier introduserte begrepet logaritmer; Henry Briggs laget de første logaritmetabellene med grunntall 10.
• Logaritmer gjorde det lettere å multiplisere og dividere store tall ved å bruke addisjon og subtraksjon.

Grunnleggende om logaritmer

• Logaritmer bygger på potensregning: multiplikasjon av potenser med samme grunntall gir addisjon av eksponentene.
• Logaritmen til et tall er eksponenten man må opphøye grunntallet i for å få tallet.
• Briggske logaritmer bruker 10 som grunntall og noteres lg (på norsk).

Logaritmetabeller og eksempler

• Eksempel: lg(2) ≈ 0,3010, lg(3) ≈ 0,4771, lg(10) = 1,0000.
• For å multiplisere 2 og 3 med logaritmer: lg(2) + lg(3) ≈ lg(6).
• Logaritmer kan brukes for alle positive tall, ikke bare heltall.

Logaritme- og eksponentialfunksjoner

• Grafen til f(x) = 10^x gir alle positive tall som verdier.
• Grafen til logaritmefunksjonen g(x) = lg(x) defineres bare for x > 0.
• Begge funksjonene vokser for økende x.

Naturlig logaritme og e

• På 1700-tallet ble det vanlig å bruke grunntallet e (≈ 2,718...) for naturlige logaritmer.
• Den naturlige logaritmen noteres ln og følger de samme regnereglene som lg.
• Eksempel: ln(e^4) = 4.

Andre logaritmegrunnlag

• Logaritmer kan ha hvilket som helst positivt grunntall, f.eks. log_5(25) = 2.

Praktisk bruk og digitale verktøy

• Logaritmetabeller og regnestaver var viktige før kalkulatoren ble vanlig.
• På kalkulatorer brukes ofte log for grunntall 10 og ln for e.
• Programvare som GeoGebra kan regne med logaritmer: lg(2), ln(2), log(5,25).

Key Terms & Definitions

• Logaritme — Eksponenten som viser hvilken potens et grunntall må opphøyes i for å få et gitt tall.
• Briggske logaritmer (lg) — Logaritmer med 10 som grunntall.
• Naturlig logaritme (ln) — Logaritmer med grunntall e (≈ 2,718...).
• Eksponentialfunksjon — Funksjonen f(x) = a^x hvor a > 0.
• Logaritmefunksjon — Den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen: log_a(x).

Action Items / Next Steps

• Utforsk sammenhengen mellom eksponential- og logaritmefunksjoner i oppgave 1.2.10.
• Tren på å bruke kalkulator og GeoGebra til å beregne ulike typer logaritmer.
• Spør voksne om deres erfaringer med logaritmetabeller.