डिनर सेट ज्वेलरी सेट किचन सेट क्या आपने नोटिस किया इन सारे सेट्स में कुछ ऑब्जेक्ट्स की कलेक्शन है बिल्कुल सही पकड़े हैं आज बात करेंगे कुछ ऐसे ही कलेक्शन ऑफ ऑब्जेक्ट्स के मैथमेटिक्स के सेट्स [संगीत] में हेलो एवरीवन आई होप ऑल ऑफ यू आर डूइंग गुड एंड आई एम बैक टुडे विथ अ वीडियो ऑन क्लास 11थ मैथ सेट्स तो जैसा कि आप सबको पता है कि हर बार की तरह इस वीडियो में हम कवर करेंगे सारे इंपॉर्टेंट कॉन्सेप्ट्स उनके एग्जांपल्स के साथ पूरे चैप्टर को कवर करेंगे एक ही वीडियो में तो इस लेसन के अंदर हम कुछ इंपॉर्टेंट टॉपिक्स जो कवर करने वाले हैं वो है सेट्स सेट्स नोटेशन इन रोस्टर फॉर्म एंड सेट बिल्डर फॉर्म एमटी सेट फाइना इट एंड इनफाइनों पढ़नी है एक ही चैप्टर में बट ट्रस्ट मी दिस इज अ सुपर इजी चैप्टर बहुत ही आसान चैप्टर है टॉपिक्स बहुत सारे हैं बट सारे छोटे-छोटे और बहुत ही आसान टॉपिक्स हैं तो जैसे-जैसे हम पढ़ेंगे आपको पता चलेगा कि कैसे चुटकियों में सेट्स खत्म हो जाएगा तो लेट्स गेट स्टार्टेड सेट जो वर्ड है है यह वर्ड ही हम तब यूज करते हैं जब हम कोई कलेक्शन की बात करते हैं एक एग्जांपल देती हूं बहुत ही आमतौर पे जो लेडीज को अच्छे से समझ आएगा जब भी हम कहते हैं कि यार मेरी वो सेट कहां रखी है सेट का मतलब होता है जिसमें नेकलेस भी हो ईयररिंग्स भी हो मे बी साथ में रिंग्स और बैंगल्स वगैरह हो क्यों क्योंकि ये कलेक्शन ऑफ ज्वेलरी एक जगह है तो उसको हम सेट कहते हैं ठीक उसी तरह से मैथमेटिक्स में सेट हम कहते हैं वेल डिफाइंड कलेक्शन ऑफ ऑब्जेक्ट्स एक ही तरह की बहुत सारी चीजें जब साथ में रहती हैं तो उसे हम एक सेट कहते हैं एग्जांपल जैसे कि रिवर्स ऑफ इंडिया इंडिया की जितनी भी नदियां हैं वह एक सेट बना सकती है राइट अब उसके अंदर गंगा यमुना सारी नदियां आ जाएंगी अगर हम बोले कि स्टूडेंट्स ऑफ एबी सी स्कूल यानी कि एबीसी स्कूल में पढ़ने वाले सारे बच्चे वो एक सेट बना लेंगे मैं कह सकती हूं मेंबर्स ऑफ माय फैमिली मेरे घर पे जितने भी लोग हैं मेरे पेरेंट्स मेरे हस्बैंड मेरे बच्चे सब जो है वो एक ही सेट का पार्ट है तो इस तरह से जब भी हम ऐसा कहेंगे कि कलेक्शन ऑफ बहुत सारी चीजें तो वो होता है सेट अब मैथमेटिक्स में जरूरी होता है कि हम सब कुछ को रिप्रेजेंट करें ये तो मैंने बता दिया कि भाई सब कुछ का कलेक्शन हो तो वो सेट है बट इसको हम मैथमेटिकली रिप्रेजेंट कैसे करेंगे तो सेट को हम हमेशा अल्फाबेट से रिप्रेजेंट करेंगे वो भी कैपिटल लेटर ए बी सी डी कुछ भी भी यूज कर सकते हैं एक सेट को रिप्रेजेंट करने के लिए बट कैपिटल लेटर्स में ओके ठीक है अब इन सेट के अंदर जो ये ऑब्जेक्ट्स हैं इनको कैसे रिप्रेजेंट करेंगे इनको अगर हमें जेनरिक टर्म में रिप्रेजेंट करना है तो इन्हें भी हम अल्फाबेट से रिप्रेजेंट कर सकते हैं लेकिन स्मॉल लेटर ठीक है तो इसमें देखिए लेटर का बहुत सिग्निफिकेंट है भाई ठीक है ना ओके आगे बढ़ते हैं अब ये जो ऑब्जेक्ट्स होते हैं मतलब एक सेट के अंदर जो भी चीजें होती हैं उनको हम कहते हैं एलिमेंट्स एलिमेंट्स भी कहा जाता है उन्हें मेंबर्स भी कहा जाता है और उन्हें ऑब्जेक्ट्स भी कहा जाता है तो मेंबर्स ऑफ अ सेट या एलिमेंट्स ऑफ अ सेट कुछ भी कह सकते हैं हम तो यानी कि जैसे अगर मान लेते हैं हम बात करते हैं रिवर्स ऑफ इंडिया की तो गंगा यमुना यह सारे जो है इस सेट के एलिमेंट्स है क्लियर है यहां तक ओके आगे बढ़ेंगे अब जब कभी कोई एक एलिमेंट जो है वो एक सेट का पार्ट है इस बात को हम मैथमेटिक के लिए कैसे रिप्रेजेंट करें अब हमेशा इतना बड़ा तो लिख नहीं सकते कि भाई गंगा इज एन एलिमेंट ऑफ द सेट रिवर या फिर द सेट ए हमेशा इतना लंबा तो लिखेंगे नहीं क्योंकि हम मैथ्स पढ़ रहे हैं तो सब कुछ हम शॉर्ट में लिखेंगे तो कैसे लिखेंगे इसके लिए हम एक सिंबल का यूज करते हैं जिसे हम कहते हैं बिलोंग टू और वो कुछ ऐसा होता है देखने में एगजैक्टली तो अब हम मान लेते हैं कि हमारे पास एक सेट है कैपिटल ए और इस सेट का एक एलिमेंट है स्ल ए तो हम इसको कैसे लिखेंगे मैथमेटिकली स्मल ए बिलोंग टू कपि ए आसान तरीका है बिल्कुल भी लंब लंबे से पूरी कहानी लिखने की जरूरत नहीं है अब दूसरी तरफ अगर मान लेते हैं कि एक एलिमेंट है स्मल बी ये जो है सेट ए का एलिमेंट नहीं है तो कैसे लिखेंगे तो हम कहेंगे बी डज नॉट बिलोंग टू a तो डज नॉट बिलोंग टू का सिंबल काफी सिंपल है बिलोंग टू के ऊपर एक कट मार दो राइट तो इस तरह से हम रिप्रेजेंट करेंगे अब एक रियल लाइफ एग्जांपल लेते हैं जैसे मान लेते हैं कि हम बात कर रहे हैं एक सेट ए की जिसके अंदर सारे इवन नंबर्स है ठीक है इवन नंबर्स यानी कि जो भी नंबर टू से डिविजिबल होता है तो इसमें किस तरह के नंबर्स आएंगे 2 4 6 8 10 12 14 ऐसे नंबर्स आएंगे ठीक है ये हमारा सेट ए है तो अगर मैं आपसे पूछूं कि थ्री जो है क्या वो इस सेट का मेंबर है लेकिन थ्री तो टू से डिविजिबल है ही नहीं थ्री तो इवन नंबर है ही नहीं यानी कि हम कहेंगे कि थ्री डजन बिलोंग टू a तो अभी तक का सारा कांसेप्ट क्लियर है ओके मैथमेटिक्स वर्ल्ड के कुछ पॉपुलर सेट्स जैसे कि कैपिटल n इससे हम डिनोट करते हैं सेट ऑफ ऑल नेचुरल नंबर्स यानी कि 1 2 3 4 से लेक करके इंफिनिटी तक ये सारे नेचुरल नंबर्स है और इनके पूरे सेट को हम डिनोट करते हैं कैपिटल n से उसी तरह z यूज़ करते हैं हम सेट ऑफ ऑल इंटी जर्स के लिए जिसमें पॉजिटिव नेगेटिव रो सब कुछ आ जाएगा क्य यूज़ करते हैं सेट ऑफ ऑल रैशनल नंबर्स रैशनल नंबर्स मतलब p / q फॉर्म में जो हो जहां पे q नॉ इक्व ट 0 और रियल नंबर्स इसके लिए हम यूज़ करते हैं कैपिटल r तो इस तरह से मैथमेटिक्स में जो कॉमनली जिस तरह के नंबर्स यू यूज होते हैं उनके लिए एक स्पेसिफिक लेटर हम यूज करते हैं उसके सेट को डिनोट करने के लिए अब यहां पर साफ-साफ कहा गया है कि a जो है ये है ऑल इवन नंबर्स का सेट यानी कि 2 4 6 8 10 12 14 एंड सो ऑन तो सवाल ये पूछा जा रहा है कि 1 7 4 9 ये सारे इस सेट के मेंबर्स हैं या नहीं अब जाहिर सी बात है कि अगर यहां पे हम सिर्फ इवन नंबर्स रख रहे हैं यानी कि जो नंबर टू से डिविजिबल है तो उस केस में यहां पे सिर्फ फोर एक ऐसा नंबर है जो टू से डिविजिबल है और इसीलिए फोर जो है वो इस सेट का मेंबर है इसके अलावा बाकी तीनों नंबर चाहे वन है या सेवन है या नाइन है ये सभी इवन नंबर्स नहीं है और इस वजह से यह सारे इस सेट का मेंबर नहीं है किसी भी सेट को हम दो तरीके से रिप्रेजेंट कर सकते हैं जो पहला तरीका होता है उसको हम कहते हैं रोस्टर और टेबुलर फॉर्म इस फॉर्म में हम क्या करते हैं कि ऑल द एलिमेंट्स ऑफ द सेट आर लिस्टेड द एलिमेंट्स आर सेपरेटेड बाय कॉमा एंड आर एंक्लोज्ड विद इन ब्रेसेज जिसको हम कहते हैं सेकंड ब्रैकेट वही वाले ब्रैकेट हम यहां यूज़ करते हैं जितने भी एलिमेंट्स हैं सबको लिख डालते हैं एक के बाद एक बीच में रहता है कॉमा ठीक है यह सिंपल तरीका होता है रोस्टर फॉर्म में किसी भी सेट को खले लिखने का जैसे एग्जांपल लेते हैं मान लेते हैं कि अगर हमें एक सेट लिखना है अ जिसमें हम रिप्रेजेंट करेंगे इंग्लिश के जो टोटल 26 अल्फाबेट है उनके वावेल्स को ठीक है तो वावेल्स कौन-कौन से होते हैं ए ई आई ओ यू यह पांच वावेल्स होते हैं इनको कॉमा दे दे के लिख दिया और इसको ब्रेसेज के अंदर डाल दिया एक कैपिटल लेटर से डिनोट किया सेट का नाम तो इस तरीके से हम रिप्रेजेंट करते हैं रोस्टर फॉर्म में किसी भी सेट को और जब हम रोस्टर फॉर्म में रिप्रेजेंटेशन की बात करते तो यहां पे ऑर्डर कुछ मैटर नहीं करता है एज इन हम ए ई आई ओ यू लिखें या फिर हम ई आई ओ ए यू लिखें या यू ई आई ओ ए लिखें उससे कुछ फर्क नहीं पड़ता है एलिमेंट्स को हम किसी भी ऑर्डर में लिख सकते हैं दूसरी बात जो हमें ध्यान रखनी है वो यह है कि कभी भी जभी भी हम इस तरह से सेट को रिप्रेजेंट करते हैं तो हम एक ही लेटर को यानी कि एक ही एलिमेंट को हम दो बार या दो मतलब एक बार से ज्यादा बार रिपीट नहीं करते हैं एक एग्जांपल देती हूं मान लेते हैं कि हमारे पास एक वर्ड है मैथमेटिक्स ठीक है अब अगर मुझे एक सेट बनाना है सारे लेटर्स का जो इस वर्ड को बनाता है तो इस वर्ड में कितने सारे लेटर्स हैं जैसे एम ए टी एच ई ऐसे-ऐसे करके बहुत सारे लेटर्स से ये वर्ड बना है तो अगर हमें उन सारे लेटर्स का एक सेट बनाना है तो कैसे बनाएंगे ब्रैकेट्स के अंदर डालेंगे और सारे लेटर्स को कॉमा दे कर के लिखेंगे एम ए टी एच ई उसके बाद वापस से एम तो एम रिपीट हो रहा है लेकिन हम जब एलिमेंट्स लिखेंगे तो एम को रिपीट नहीं करवाएंगे क्योंकि एक बार तो हमने लिख दिया है कि भाई m जो है वो इस सेट का एलिमेंट है तो दोबारा लिखने की जरूरत नहीं है a दोबारा रिपीट हो रहा है जरूरत नहीं है टी दोबारा रिपीट हो रहा है जरूरत नहीं है इसके बाद लिखेंगे सीधा आई सी और एस तो सेट ऑफ ऑल द लेटर्स दैट फॉर्म द वर्ड मैथमेटिक्स इज दिस तो यहां दो बातें याद रखनी है एक तो यह कि एलिमेंट्स का ऑर्डर मैटर नहीं करता है और हम किसी भी एलिमेंट को रिपीट नहीं करते हैं अब जो दूसरा तरीका होता है रिप्रेजेंट करने का वह होता है सेट बिल्डर फॉर्म इस मेथड में यह होता है कि ऑल द एलिमेंट्स ऑफ अ सेट पोजेस अ सिंगल कॉमन प्रॉपर्टी व्हिच इज नॉट पोजेस बाय एनी एलिमेंट आउटसाइड द सेट तो इस वाले तरीके में हम क्या करते हैं हम सारे एलिमेंट्स को लिखते नहीं है जैसे रोस्टर फॉर्म में तो हमने सारे एलिमेंट्स को कॉमा दे देकर लिखा है यहां पे हम सारे एलिमेंट्स नहीं लिखेंगे यहां हम क्या करेंगे ये जो एलिमेंट्स है इनके कुछ एक ऐसी प्रॉपर्टी होगी जो उस सेट के सारे एलिमेंट्स के लिए ट्रू होगी और उन एलिमेंट्स के अलावा बाहर जितने भी एलिमेंट्स हैं उनके लिए वो ट्रू नहीं होगी तो इस तरह के रिप्रेजेंटेशन में हम उस प्रॉपर्टी के बारे में मेंशन करते हैं हम एगजैक्टली एलिमेंट्स नहीं लिखते हैं हम खाली वो प्रॉपर्टी के बारे में मेंशन करते हैं एक एग्जांपल देती हूं जैसे कि हम फिर से यही एग्जांपल लेते हैं वावेल्स वाला अब अल्फाबेट के अंदर 26 अल्फाबेट के अंदर सिर्फ पांच ही ऐसे लेटर्स हैं जो वावेल्स है राइट तो यह इनकी एक कॉमन प्रॉपर्टी है तो बजाय कि हम ये इन पांचों वावेल्स को अलग-अलग से लिखें कॉमा दे देकर हमारे पास एक अल्टरनेटिव तरीका यह है कि हम इसकी प्रॉपर्टी बताएंगे हम बताएंगे कि यह जो वी सेट है इसके एलिमेंट है x x एक वेरिएबल है जहां पे x इज ए वावेल इन इंग्लिश अल्फाबेट तो बेसिकली आप यहां नोटिस कर रहे हैं कि यहां पे हम एलिमेंट्स को लिख नहीं रहे हैं हम उन एलिमेंट्स की एक ऐसी प्रॉपर्टी बता रहे हैं कि उस प्रॉपर्टी को जान के किसी को भी समझ में आ जाएगा कि इस सेट के अंदर क्या है अब आप पूछेंगे कि इस तरह का रिप्रेजेंटेशन का जरूरत क्या है अब रोस्टर फॉर्म वावेल्स के लिए लिखना तो इजी है क्योंकि पांच ही वावेल्स होते हैं बट जब हमें कुछ ऐसा रिप्रेजेंट करना हो जिसके अंदर बहुत सारे एलिमेंट्स होंगे वैसे केसेस में उतने सारे एलिमेंट्स को लिखना फीजिबल नहीं होता है और वहां पे काम आता है सेट बिल्डर फॉर्म तो यहां पे एक खास बात यह भी है कि अगर कोई भी सेट ऐसा है जहां पे कोई भी ऐसी कॉमन प्रॉपर्टी नहीं है या फिर कोई भी ऐसा पैटर्न नहीं है तो उस सेट को हम सेट बिल्डर फॉर्म में नहीं लिख सकते हैं तो सेट बिल्डर फॉर्म में लिखने के लिए उन उस सेट के जितने भी एलिमेंट्स हैं उन सब की एक कॉमन प्रॉपर्टी होनी चाहिए अब यहां पर स्क्रीन पे हम कुछ एग्जांपल्स देखेंगे सेट के तो अगर हम देखें शुरू के जो चार सेट्स हैं a b c और d इन सब में हमने सेट के एलिमेंट्स मेंशन नहीं किए हैं हमने उनके प्रॉपर्टी के बारे में बताया है जैसे कि अगर हम सेट a को देखें x इज एन इंटी जर एंड -3 < x < 7 यानी कि x एक ऐसा इंटी जर है जो -3 से बड़ा है और सेवन से छोटा है यानी कि इसके अगर अगर मुझे इसके एग्जैक्ट एलिमेंट्स लिखने हो तो वो कुछ ऐसे होंगे -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ये इसके एग्जैक्ट एलिमेंट्स हैं तो ये पहले के ए बी सी डी ये जो चारों हैं ये चारों लिखे हुए हैं सेट बिल्डर फॉर्म में इसके अलावा नीचे के जितने भी हैं ई एफ जी एच आई ये सारे हैं रोस्टर फॉर्म में क्योंकि इन सब में स एगजैक्टली एलिमेंट्स लिखे हुए हैं उनके प्रॉपर्टी के बारे में कुछ नहीं बताया हुआ है अब कभी-कभार आपको इस तरह के सवाल पूछे जा सकते हैं कि भाई एक सेट जो है सेट बिल्डर फॉर्म में दिया हुआ है इसको रोस्टर फॉर्म में लिखिए तो जैसे कि पहला सेट ए को जो दिया हुआ है वो सेट बिल्डर फॉर्म है और यहां जो हमने लिखा है वो रोस्टर फॉर्म है राइट उसी तरह एक दो और ट्राई करते हैं जैसे बी सेट को ट्राई करते हैं यह भी सेट बिल्डर में दिया हुआ है इसका रोस्टर फॉर्म कैसा होगा बी इज इक्वल टू x इज अ नेचुरल नंबर लेस दन 6 नेचुरल नंबर शुरू होता है वन से तो ये लेस दन सिस होगा तो ये इसके एलिमेंट्स हो जाएंगे 1 2 3 4 5 कुछ और ट्राई करते हैं जैसे मान लेते हैं हम e को ट्राई करते हैं ये जो है ये दिया हुआ है रोस्टर फॉर्म में और अगर इसे हमें सेट बिल्डर फॉर्म में नि लिखना हो तो हम कैसे लिखेंगे इसकी पहले प्रॉपर्टी ढूंढेंगे कौन सी ऐसी प्रॉपर्टी है जो इन सबके लिए ट्रू है तो अगर इसको आप नोटिस करें तो 3 * 1 3 3 * 2 6 3 * 3 9 3 * 4 12 ये सारे जो हैं थ्री के मल्टीपल हैं राइट तो अगर हम ऐसा लिखें e = x जहां पे x इज ए मल्टीपल ऑफ 3 क्या इतना ही लिखना काफी होगा नहीं क्योंकि अगर सिर्फ इतना लिखेंगे उसका मतलब है कि इसके अंदर तो बहुत सारे और भी नंबर्स आने चाहिए बट यहां तो सिर्फ चार नंबर्स है राइट तो यहां पे ये भी लिखना जरूरी है सच दैट x इज < 15 15 से कम जो सबसे बड़ा थ्री का मल्टीपल होगा वो होगा 12 तो उस केस में यह 36 6 ना और 12 तक ही सीमित रहेगा तो इस तरह से यहां हमने देखा कि ई जो है वो रोस्टर फॉर्म में दिया हुआ था और हमने उसको सेट बिल्डर फॉर्म में लिखा ये तो बहुत आसान था क्यों बच्चों एमटी सेट नाम से ही पता चल रहा है कि ये क्या है एमटी है खाली है सेट के अंदर कुछ है ही नहीं तो ये एमटी सेट है अब एमटी सेट के कई और नाम है इसे नल सेट भी कहा जाता है और वॉइड सेट भी कहा जाता है और इसको हम रिप्रेजेंट कैसे करते हैं जैसे बाकी सेट को करते हैं ब्रेसेज लगा देंगे बट अंदर खाली है अंदर कुछ भी नहीं है एगजैक्टली बट एमटी सेट को रिप्रेजेंट करने का एक तरीका और है और वो है द सिंबल फाई जी हां तो या तो हम ब्रेसेज लगा के अंदर खाली छोड़ सकते हैं और नहीं तो हम फाई से रिप्रेजेंट कर सकते हैं ठीक है आप सोच रहे होंगे कि यार एमटी सेट जब सेट के अंदर कुछ है ही नहीं तो फिर ये एमटी सेट का कांसेप्ट क्यों है एक एग्जांपल लेते हैं मान लेते हैं कि हमारे पास दिया हुआ है कि भाई एक सेट a है जिसके अंदर जो एलिमेंट्स हैं x वो कुछ ऐसे हैं कि दे बिलोंग टू नेचुरल नंबर्स एंड x इज ग्रेटर द 5 बट लेस दन 6स अब x की वैल्यू क्या हो सकती है क्योंकि x जो है वो नेचुरल नंबर है नेचुरल नंबर क्या होते हैं जो वन से स्टार्ट होते हैं 2 3 4 5 ऐसे जाते हैं और इंफिनिटी तक जाते हैं राइट अब फाइव से बड़ा नेचुरल नंबर लेकिन सिक्स से छोटा बट फाइव के बाद तो सिक्स ही आता है नेचुरल नंबर में इनके बीच में कोई नेचुरल नंबर तो नहीं होता है तो इसका मतलब है कि इस तरह के x की वैल्यू पॉसिबल ही नहीं है तो सेट ए हमारा इस केस में हो जाता है नल सेट या फिर वॉइड सेट या फिर एमटी सेट यहां पर तीन सेट ए बी सी दिए हुए हैं और हमें इनमें से नल सेट निकालना है तो पहले वाले सेट का पहले इन सब को रोस्टर फॉर्म में निकालना पड़ेगा तभी हमें पता चलेगा कि कौन-कौन से एलिमेंट्स हैं तो पहले में हम देखते हैं कि x बिलोंग टू नेचुरल नंबर ये एक नेचुरल नंबर है सच दैट x - 1 * x - 2 = 0 तो इस इक्वेशन को अगर हम सॉल्व करें तो हमें पता चलेगा कि x की वैल्यू वन हो सकती है x की वैल्यू टू हो सकती है तो यानी कि जो a है इस a के अंदर x के दो ही वैल्यूज पॉसिबल है और वो है वन और टू तो ये एक ऐसा सेट है जिसके अंदर दो एलिमेंट्स हैं तो इसीलिए क्या यह नल सेट है नहीं b सेट को देखते हैं x इज़ अ नेचुरल नंबर x स् = 4 जहां x स् = 4 तो x की पॉसिबल वैल्यूज हो सकती है + 2 और एक पॉसिबल वैल्यू हो सकती है -2 बट -2 पॉसिबल नहीं है क्योंकि यहां पे x जो है वह एक नेचुरल नंबर है तो यह -2 पॉसिबल नहीं है तो इस केस में अगर इसे हम रोस्टर फॉर्म में लिखें तो b इ इ 2 हो जाएगा तो यहां कितने एलिमेंट हैं सेट में एक तो क्या यह नल सेट है नहीं सेट c को देखते हैं x इज अ नेचुरल नंबर एंड 2x - 1 इज = 0 तो इसको अगर हम सॉल्व करें तो x = 1/2 लेकिन क्वेश्चन में बोला गया है कि x जो है वो नेचुरल नंबर है बट 1/2 तो नेचुरल नंबर नहीं है क्योंकि नेचुरल नंबर क्या होता है नंबर स्टार्टिंग फ्रॉम वन गोज ऑन लाइक 1 2 3 4 5 6 टिल इनफिनिटी तो 1/2 तो उसमें आता ही नहीं है तो इस केस में c के अंदर कितने एलिमेंट हैं कोई सा भी नहीं क्योंकि होना चाहिए था हाफ बट चूंकि हाफ नेचुरल नंबर नहीं है तो इसके अंदर कुछ भी नहीं है तो क्या ये नल सेट है यस फाइना इट और इंफाइटिंग ये सब गेस कर चुके होंगे मुझे पूरा यकीन है फाइना इट यानी कि फिक्स्ड नंबर जिन सेट्स के अंदर फिक्स्ड नंबर ऑफ एलिमेंट्स होते हैं मतलब कितने एलिमेंट्स हैं वो अगर फिक्स्ड है तो उसे हम कहेंगे फाइना इट सेट और अगर उसमें अनगिन नंबर ऑफ एलिमेंट्स है तो उसे हम कहेंगे इनफाइकिल की बात करें मान लेते हैं कि एक सेट ए है जिसके अंदर जो एलिमेंट्स है वो क्या है नेचुरल नंबर्स यानी कि सारे नेचुरल नंबर्स अब कितने नेचुरल नंबर्स होते हैं वन से शुरू करते हैं तो वो इनफिनिटी तक जाते हैं तो ये कैसा सेट हुआ ये हुआ इनफाइनों है 1 2 3 4 5 पांच फिक्स्ड नंबर ऑफ एलिमेंट्स है चाहे वो पांच हो चाहे 50 हो चाहे 500 हो चाहे 5 हज हो बट नंबर जो है वो फिक्स्ड है फिक्स्ड नंबर ऑफ एलिमेंट्स है तो ये क्या हुआ ये हुआ फाइना इट सेट कुछ और एग्जांपल्स लेते हैं डेली लाइफ से जैसे कि अगर हम बोले कि भाई एक हमारा सेट है जिसमें डेज ऑफ द वीक है तो वो फाइना इट होगा या इंफाइटिंग कि उस सेट में कितने एलिमेंट्स होंगे सात तो वह फाइना इट सेट है स्क्रीन पे फिर से कुछ एग्जांपल्स हैं और हमें बताना है कौन सा फाइना इट है और कौन सा इंफाइटिंग नंबर है x - 1 * x - 2 इज 0 इस इक्वेशन को सॉल्व करेंगे तो x की दो वैल्यूज पॉसिबल है वन और टू तो हम कह सकते हैं a सेट के अंदर दो एलिमेंट्स हैं तो क्या ये फाइना इट है हां बिल्कुल क्योंकि हमें पता है कि इसमें दो ही एलिमेंट है ऐसा कुछ नहीं है कि ये इंफिनिटी तक है राइट बी सेट की अगर बात करें तो यह एक नेचुरल नंबर है x और x ग्रेटर 6 है यानी कि इसकी जो वैल्यू है वो सेवन से स्टार्ट होगी बट खत्म कहां होगी पता नहीं क्योंकि कहां लास्ट कहां तक जाएगी वो दिया हुआ नहीं है तो इससे साफ पता चलता है कि यह एक इंफाइटिंग अगर हम देखें तो x की वैल्यू है 1/2 अब 1/2 जो है वो नेचुरल नंबर नहीं है तो यानी कि यह जो है यह एक नल सेट है इसमें जीरो एलिमेंट्स हैं तो ये भी हमारा फाइना इट सेट है क्योंकि नल सेट में जरो एलिमेंट्स होते हैं तो ऑब् वियस वो इंफिनिटी तक तो जाने का कोई स्कोप ही नहीं है तो सारे नल सेट जो है वो फाइना इट सेट के कैटेगरी में ही आते हैं फाइनली डी सेट x जो है नेचुरल नंबर है एंड x इज ऑड तो यानी कि ऑड नंबर्स जैसे कि 1 3 5 7 9 11 एंड सो ऑन बट ये खत्म कहां होगा पता नहीं यह जाएगा इनफिनिटी तक तो इसीलिए यह हो गया [संगीत] इनफाइनों बच्चों इक्वल सेट इक्वल बराबर इसमें तो कुछ समझाना ही नहीं है यार खुद ही समझ गए होंगे इक्वल का मतलब क्या हुआ बराबर अगर दो सेट बराबर कब होंगे जब दो दोनों में सेम टू सेम एलिमेंट्स होंगे सिंपल राइट तो मैंने कहा था ना कि सेट्स चैप्टर बहुत सिंपल है नाम सुनते खुद ही गेस कर लोगे कि यह क्या है ठीक है तो अब अगर हमारे पास दो सेट्स है a और बी दोनों में अगर वही वही एलिमेंट्स हैं तो इसका मतलब है वो दोनों सेट्स इक्वल है इसको हम रिप्रेजेंट कैसे करेंगे इज इक्वल टू सिंबल से a इ इक्वल टू b और अगर दोनों इक्वल नहीं है दोनों में अगर सेम एलिमेंट्स नहीं है तो तो हम कहेंगे a इज नॉट इक्वल टू b सिंपल अब यहां पे एक बात है जो आपको ध्यान देना है वो ये है कि इक्वल सेट्स के लिए ऐसा जरूरी नहीं है कि एलिमेंट्स का ऑर्डर भी सेम हो जैसे अगर सेट ए में तीन एलिमेंट्स हैं 1 2 3 सेट बी में भी तीन एलिमेंट्स हैं टू 1 तो क्या ये इक्वल सेट्स होंगे बिल्कुल होंगे क्योंकि एलिमेंट्स तो वही हैं भले आगे पीछे हैं तो इनका ऑर्डर मैटर नहीं करता है बस बराबर एलिमेंट्स होने चाहिए दोनों में एक बहुत ही इंपॉर्टेंट कांसेप्ट सबसेट एंड सुपरसेट यह हो सकता है आप गेस ना कर पाए हो बट कोई बात नहीं मैं समझाऊ सबसेट का कांसेप्ट होता है कि अगर हमारे पास दो सेट्स हैं a और b तो a जो है व b का सबसेट तब कहलाएगा जब a के अंदर जितने भी एलिमेंट्स हैं वो सारे एलिमेंट्स b के अंदर भी हैं बल्कि b में शायद कुछ और एक्स्ट्रा एलिमेंट भी हो सकते हैं बट a के जितने भी एलिमेंट्स हैं वह सारे के सारे बी में है अगर यह कंडीशन सेटिस्फाई होता है तो हम कहेंगे कि a इज अ सबसेट ऑफ बी ठीक है ध्यान दे मैं यह नहीं कह रही हूं कि दोनों में सेम एलिमेंट्स होना चाहिए मैं ये कह रही हूं कि a में जितने एलिमेंट है मान लेते हैं एग्जांपल लेते हैं a एक सेट है a जिसके अंदर तीन एलिमेंट्स है 1 2 3 एक एलिमेंट एक सेट है बी जिसके अंदर चार एलिमेंट्स है 1 2 3 4 ठीक है अब a के अंदर जितने भी एलिमेंट्स हैं वो सारे एलिमेंट्स बी के अंदर हैं इसका क्या मतलब हुआ a इज अ सबसेट ऑफ बी भले ही b में थोड़े एक्स्ट्रा एलिमेंट्स हैं कोई बात नहीं बट a के अंदर जितने हैं वो सारे तो बी में है ना तो a इज अ सबसेट ऑफ b लेकिन अगर मैं कहूं कि क्या b जो है वो भी a का सबसेट है नहीं क्योंकि b के अंदर चार एलिमेंट्स हैं और वो सारे एलिमेंट्स a के अंदर नहीं है इसीलिए बी इज नॉट अ सबसेट ऑफ a क्लियर है यहां तक ठीक है अब सबसेट की जब हम बात करते हैं तो इसमें एक कांसेप्ट और आता है कोई भी सेट वो अपने खुद का सबसेट होता है अगर a एक सेट है जिसमें 1 2 3 तीन एलिमेंट्स हैं तो 1 2 3 चूंकि उसके खुद में है तो वो खुद का तो सबसेट ही है राइट तो a एक कोई भी सेट जो है वो अपने आप का सबसेट होता है ये एक चीज आपको याद रखनी है और दूसरा आपको ध्यान रखना है कि जो नल सेट होता है यानी कि जो एमटी सेट होता है वो हर सेट का सबसेट होता है क्योंकि उसमें तो कुछ होता ही नहीं है वो तो खाली होता है तो हर एक सेट में अब आप पूछेंगे भाई वो तो खाली होता है बट दूसरा सेट खाली थोड़ी है खाली नहीं है बट दूसरे सेट में वो खाली के बाद और भी बहुत सारे एलिमेंट्स हैं राइट तो इसीलिए जो नल सेट होता है वो सारे सेट का सबसेट होता है ठीक है तो सबसेट का कांसेप्ट सिंपल सा था यहीं तक था अब सवाल ये उठता है कि अगर हमारे पास दो सेट है a और b जहां पे हम कह रहे हैं a के अंदर 1 2 3 एलिमेंट है और b के अंदर 1 2 3 4 है तो a जो है वो b का सबसेट है तो फिर b का क्या हुआ b का हुआ सुपर सेट सुपर सुपर का मतलब ही होता है थोड़ा बड़ा थोड़ा बेटर राइट यानी कि चूंकि b में थोड़े एक्स्ट्रा एलिमेंट है a में जो है उस तो है ही उसके अलावा भी एक एक्स्ट्रा एलिमेंट है फोर तो इसीलिए b जो है वो a का हो जाएगा सुपरसेट ठीक है यहां तक भी सही एक और लास्ट कांसेप्ट इसमें कि अगर यह जो दोनों सेट्स हैं a और b मान लेते हैं कि यह दोनों इक्वल है दोनों में ही बराबर एलिमेंट्स है तो उस केस में क्या होगा उस केस में a इज अ सबसेट ऑफ b b इज आल्सो अ सबसेट ऑफ a सबसेट के कांसेप्ट को थोड़ा और तगड़ा करने के लिए कुछ एग्जांपल्स देखते हैं सेट q ऑफ रैशनल नंबर्स एंड सेट r ऑफ रियल नंबर्स तो अगर रैशनल नंबर्स का सेट और रियल नंबर्स के सेट के बीच का रिलेशन बताना हो तो कैसे बताएंगे अगर सोचेंगे तो सारे रैशनल नंबर्स जो है वो रियल नंबर्स है लेकिन सारे रियल नंबर्स रैशनल नंबर्स नहीं है इसका मतलब है कि जितने भी रियल नंबर्स हैं उसी के अंदर के कुछ नंबर्स रैशनल नंबर्स हैं व्हिच मींस कि जो रैशनल नंबर्स है दैट इज अ सबसेट ऑफ रियल नंबर्स दूसरा एग्जांपल देखेंगे a इज 135 b इज x इज एन ऑड नेचुरल नंबर लेस दन 6 पहले तो देखते हैं b को हम रोस्टर फॉर्म में लिखते हैं ऑड नेचुरल नंबर लेस दन सिक्स यानी कि इसमें क्या-क्या आ जाएगा 1 3 5 ये आ जाएगा ठीक है तो अब a और b में क्या रिलेशन है अब a और b में साफ-साफ दिख रहा है दोनों में सेम ही एलिमेंट्स हैं तो हम कह सकते हैं कि a जो है वो b का सबसेट है b जो है वो a का सबसेट है और जब ऐसा होता है तो a और बी बराबर होते हैं जब भी दो सेट्स इक्वल होते हैं मतलब उनमें सेम नंबर ऑफ एलिमेंट्स होते हैं और सेम एलिमेंट्स ही होते हैं तो वो दोनों ही सेट एक दूसरे का सबसेट होता है तीसरा एग्जांपल a इ a आओ य एंड बी इज इक्वल टू ए सीडी तो यहां अगर हम देखें तो a में काफी एलिमेंट्स ऐसे हैं जो बी में नहीं है उसी तरह बी में भी काफी एलिमेंट्स ऐसे हैं जो a में नहीं है इसका मतलब है कि a इज नॉट सबसेट ऑफ b और ठीक उसी तरह b इज नॉट सबसेट ऑफ a अगला एग्जांपल a = 1 2 3 4 b = 1 2 3 4 5 6 यहां पे हम देख रहे हैं कि a के जितने भी एलिमेंट्स है वो b में है बल्कि b में कुछ एक्स्ट्रा है इसका मतलब है a जो है वो b का सबसेट है जिसका यह भी मतलब है कि b जो है वह a का सुपर सेट है अब मैथमेटिक्स वर्ल्ड में भी ये सबसेट का कांसेप्ट एजिस्ट करता है जो आपको अच्छे से समझ आना चाहिए क्योंकि इससे रिलेटेड कई बार क्वेश्चंस भी पूछे जाते हैं और कई बार दूसरे क्वेश्चन सॉल्व करने में यह कांसेप्ट काम आता है तो ये काफी इंपॉर्टेंट है सारे नेचुरल नंबर्स जो हैं वो इंटी जर्स का सबसेट है क्योंकि नेचुरल नंबर में क्या आता है वन से लेकर के इंफिनिटी तक 1 2 3 4 लेकिन जब हम बात करते हैं इंटी जर्स की तो उसमें नेगेटिव नंबर्स भी आते हैं जीरो भी आता है और पॉजिटिव नंबर्स भी आते हैं तो जाहिर सी बात है सारे नेचुरल नंबर्स जो है वो इंटी जर्स का सबसेट है और इंटी जर्स जो है यह सारे रैशनल नंबर्स का सबसेट है क्योंकि सारे इंटी जर्स जो है वो रैशनल नंबर्स हैं बट सारे रैशनल नंबर्स इंटी जर्स नहीं है और थोड़ा और आगे बढ़ेंगे तो सारे रैशनल नंबर्स जो है वह रियल नंबर के सबसेट है सिंगल टन सेट सिंगल टन मतलब पता नहीं सिंगल एक अकेला जिस सेट के अंदर एक अकेला मेंबर होता है उसे हम कहते हैं सिंगल टन सेट तो देखते हैं इज दिस अ सिंगल टन सेट यहां पे एक सेट दिया हुआ है ए जहां पे कहा जा रहा है कि x इज अ नेचुरल नंबर ठीक है एंड x - 1 x - 2 = 0 इससे हमें पता चलता है कि x की दो वैल्यू पॉसिबल है एक है वन और दूसरा है टू तो यानी कि यह जो सेट a है इसके अंदर दो एलिमेंट्स रहेंगे वन और टू तो क्या यह सिंगल टन सेट होगा सिंगल टन होने के लिए तो सिर्फ एक एलिमेंट होना चाहिए तो यह सिंगल टन सेट नहीं है दूसरा एग्जांपल है x बिलोंग टू नेचुरल नंबर एंड x स् इ इ 4 x स् = 4 का मतलब है x की दो वैल्यू पॉसिबल है एक तो + 2 और एक -2 बट यहां पे चूंकि x जो है वह नेचुरल नंबर है तो -2 का ऑप्शन खत्म हो गया तो इसका मतलब है सेट बी जो है इसमें एक ही एलिमेंट होगा और यूनिवर्सल सेट क्या होता होगा यूनिवर्सल सेट अब मेरा एक क्वेश्चन है यूनिवर्स क्या होता है जिस तरह यूनिवर्स के अंदर सब कुछ आता है प्लेनेट हो स्टार्स हो ये सोलर सिस्टम वगैरह वगैरह सब कुछ जो है वो यूनिवर्स के अंदर आता है उसी तरह यूनिवर्सल सेट एक ऐसा सेट है जिसके अंदर बाकी सारे सेट्स वगैरह सब कुछ आता है यानी कि ये एक ऐसा सेट है जिसके अंदर कोई भी एक गिवन सिचुएशन के ऑल पॉसिबल वैल्यूज होते हैं एग्जांपल लेके समझते हैं जैसे कि मान लेते हैं हम बात करते हैं नेचुरल नंबर्स की नेचुरल नंबर्स क्या होते हैं एक स्पेसिफिक टाइप के नंबर होते हैं जैसे 1 2 3 4 5 6 ठीक है बात करते हैं रैशनल नंबर्स की ये क्या होते हैं यह भी एक स्पेसिफिक टाइप के नंबर होते हैं जैसे कि p बा क के फॉर्म में होता है जहां पे q जो है वो जीरो ना हो ठीक है चलो ये भी ठीक है इंटी जर्स की बात करते हैं यह भी एक स्पेशल तरीके के नंबर्स होते हैं जिसमें सारे पॉजिटिव सारे नेगेटिव और जीरो यह सब आता है तो ये सारे जो नंबर्स हैं ये कुछ-कुछ अलग-अलग टाइप के नंबर्स होते हैं अब हम बात करते हैं रियल नंबर्स की तो रियल नंबर्स जो हैं वो एक ऐसा सेट है जिसके अंदर यह अभी जो भी तीनों नंबर्स की मैंने बात की वो सारे उसके सबसेट हैं सभी उसके अंदर फॉल करता है तो इस केस में रियल नंबर को हम कंसीडर कर सकते हैं कि एक यूनिवर्सल सेट है जिसके अंदर यह सार जो है सबसेट्स हैं तो बेसिकली कोई भी एक सिचुएशन कोई भी एक प्रॉब्लम के अंदर उसके जितने पॉसिबल सॉल्यूशंस हैं वो सब कुछ यूनिवर्सल सेट में आता है और यूनिवर्सल सेट के अंदर जो है अलग-अलग सेट्स होते हैं जब हम वन डायग्राम्स पढ़ेंगे तब आप देखेंगे कि किस तरीके से हम यूनिवर्सल सेट को हमेशा दिखाते हैं कि भाई टोटल जो है वो एक रेक्टेंगल में हम दिखाते हैं यूनिवर्सल सेट और उसके अंदर सर्कल्स में हम दिखाते हैं अलग-अलग सेट्स सेट्स के बारे में हम जब भी पढ़ हैं जरूरी है कि हम ओपन और क्लोज इंटरवल का कांसेप्ट को एकदम क्रिस्टल क्लियर कर ले वरना कई बार हम फालतू में इसको लेकर बहुत कंफ्यूज होते रहते हैं आपने देखा होगा कि सेट्स में स्पेशली जब हम सेट बिल्डर नोटेशन में लिखते हैं तो वहां पे कई बार हम इस तरह के डिस्क्रिप्शन लिखते हैं कि x की जो वैल्यू है दैट इज ग्रेटर दन 5 लेस दन 10 राइट तो इस तरह के सिचुएशन में हम ओपन इंटरवल और क्लोज्ड इंटरवल को यूज कर सकते हैं ठीक है ठीक है तो सवाल ये उठता है कि भाई इंटरवल होता क्या है तो ये जो 5 और 10 ये जो दो एंड पॉइंट्स है ये हमें बताती है कि वो इंटरवल क्या है मतलब x जो है वो किस रेंज में लाई करता है चलो ये भी ठीक है अब ये इंटरवल दो तरह के होते हैं एक होता है ओपन इंटरवल ओपन इंटरवल का मतलब होता है कि x की जो वैल्यू है वो फाइ से ज्यादा है और 10 से कम है यानी कि अगर मैं x की वैल्यूज लिखने बैठूं तो पहला नंबर क्या आएगा फाइव आएगा नहीं आएगा फाइव से अधिक है तो सिक्स से गिनती चालू होगी 6 7 8 9 वापस 10 भी नहीं आएगा क्योंकि ये 10 से लेस है तो ओपन इंटरवल वो होता है जिसमें जो एंड पॉइंट्स है यानी कि फाइव और 10 ये इंक्लूडेड नहीं होते हैं ठीक है तो ओपन इंटरवल को हम डिनोट कैसे करते हैं फर्स्ट ब्रैकेट से आपने देखा होगा फर्स्ट ब्रैकेट कैसा होता है ऐसा कुछ यूं दिखता है फर्स्ट ब्रैकेट ठीक है एक बहुत जरूरी बात यहां पे यह हो जाती है कि याद कैसे रहेगा कि ओपन इंटरवल कौन सा वाला होता है और क्लोज्ड कौन सा वाला दिक्कत है ऐसे याद रखेंगे ओपन इंटरवल जो है वो फर्स्ट ब्रैकेट से यूज करते हैं फर्स्ट ब्रैकेट को अगर ऐसे जॉइन कर दे तो क्या बन गया लगभग o बन गया तो ओ मतलब फर्स्ट ब्रैकेट जहां पे भी ये फर्स्ट ब्रैकेट दिखे फमा 10 और उसके आसपास फर्स्ट ब्रैकेट यानी कि ये ओपन इंटरवल है यानी कि 5 और 10 यह दोनों की वैल्यू इंक्लूडेड नहीं है तो यह हो गया ओपन इंटरवल क्लियर अब बारी है क्लोज्ड इंटरवल की क्लोज्ड इंटरवल में क्या होता है कि जो एंड पॉइंट्स है वो इंक्लूडेड होते हैं यानी कि 5 और 10 भी इंक्लूडेड होते हैं इसका मतलब है x की जो वैल्यू है वो ग्रेटर दन इक्वल टू 5 होता है और लेस दन इक्वल टू 10 होता है तो उसकी गिनती जो है यहां से स्टार्ट होती है 5 6 7 8 9 10 तो अब फिर से वही सवाल कि क्लोज्ड इंटरवल को नोट कैसे करते हैं थर्ड ब्रैकेट से स्क्वायर ब्रैकेट्स जिसे कहते हैं कुछ यूं ठीक है तो ये जो थर्ड ब्रैकेट है ये क्लोज्ड इंटरवल है कैसे याद रहेगा अगर इसे हम जॉइन कर दें ये लगभग एक खिड़की के जैसा है खिड़की बंद खिड़की तो इसीलिए ये क्लोज्ड है और क्लोज्ड है मतलब जो एंड पॉइंट्स हैं वो इंक्लूडेड है तो कई बार आपको इसमें कंफ्यूजन होने के चांसेस रहते हैं कि भाई ब्रैकेट देख के याद नहीं आता है कि भाई ये ओपन इंटरवल है या क्लोज्ड बट अब जो है इस मेमोरी टिप से आपको याद रहेगा कि ओपन इंटरवल ओ यानी कि फर्स्ट ब्रैकेट ठीक है क्लोज्ड इंटरवल यानी कि एक क्लोज्ड विंडो यानी कि थर्ड ब्रैकेट हमने अभी पढ़ा ओपन और क्लोज्ड इंटरवल का उसके बेसिस पे क्या हम कह सकते हैं कि इन सबके मीनिंग्स क्या-क्या हैं यहां पे आप देख रहे हैं कि जो ब्रैकेट्स है ना कहीं पे तो दोनों तरफ ओपन है कहीं पे तो दोनों तरफ क्लोज्ड है कहीं पे एक तरफ ओपन एक तरफ क्लोज्ड है तो क्या इन सबके मीनिंग्स हम बता सकते हैं बिल्कुल बता सकते हैं इसका मतलब है दोनों तरफ ओपन है तो इसका मतलब है जो x की वैल्यू है व कुछ ऐसी है कि वह ए से कम है वो ए से ज्यादा है और बी से कम है अगर हम इसकी बात करें तो यह क्लोज्ड है यानी कि x की वैल्यू ऐसी है कि वह लेस वो ग्रेटर दन इक्वल टू ए है और लेस दन इक्वल टू बी है तो इस केस में जो है a और b दोनों की वैल्यूज इंक्लूडेड है यहां पे तीसरे केस में हम कहेंगे कि x की जो वैल्यू है वो कुछ ऐसी है ये b है ये a है ये a के तरफ क्लोज्ड है यानी कि a < इ x s देन b क्योंकि b की तरफ ये ओपन है उसी तरह यहां पे हम कह सकते हैं कि x की ऐसी वैल्यू है कि a < x है लेकिन x < इक्वल टू b है तो बी इसमें इंक्लूडेड है ब a इंक्लूडेड नहीं है तो बेसिकली यह मैंने इसलिए बताया कि इस तरह के ऑप्शंस भी पॉसिबल है जहां पे एक तरफ ओपन है और दूसरी तरफ क्लोज्ड है जैसे अगर आपको इस फॉर्मेट में दिया हुआ हो और कहा जाए कि उे इंटरवल के फॉर्म में लिखो तो कैसे लिखेंगे -4 < x यानी कि -4 जो है वो इंक्लूडेड नहीं है तो यह -4 से पहले क्या हो जाएगा ओपन x < इक्व 6 लेन इक्वल टू सि यानी कि सिक्स इंक्लूडेड है तो सिक्स की तरफ हो जाएगा क्लोज यह तो बहुत आसान था क्यों बच्चों खतरनाक इंपॉर्टेंट टॉपिक है इस लेसन का और वो है वेन डायग्राम्स अजीब सा नाम है वेन डायग्राम्स ऐसा नाम क्यों है क्योंकि इसे एक साइंटिस्ट के नाम के ऊपर दिया गया है और जिसका नाम था जॉन वेन ठीक है ये डायग्राम्स क्या करते हैं सेट्स के आपस में जो रिलेशनशिप्स है यह हम डायग्राम्स के हेल्प से बहुत ही आसानी से समझ सकते हैं तो इन डायग्राम्स में हम बनाते क्या हैं इ इनके कुछ प्रोटोकॉल्स है इन डायग्राम्स में हम यूज करते हैं रेक्टेंगल और सर्कल्स का अलग-अलग सेट्स को रिप्रेजेंट करने के लिए जिसमें रेक्टेंगल जो है वो रिप्रेजेंट करता है यूनिवर्सल सेट को जिसके अंदर सारे पॉसिबल वैल्यूज हैं किसी भी एक पर्टिकुलर प्रॉब्लम का और जितने बाकी सबसेट्स हैं क्योंकि बाकी तो सारे सेट यूनिवर्सल सेट के सबसेट ही होंगे तो उन सारे सबसेट्स को हम डिनोट करते हैं सर्कल से ठीक है एक एग्जांपल लेते हैं मान लेते हैं यहां पे ये यूनिवर्सल सेट है जिसके अंदर एलिमेंट्स हैं 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 इसका एक सबसेट है या फिर एक सेट है a उसके अंदर एलिमेंट्स हैं 1 2 3 4 तो उसको हमने बना दिया एक सर्कल इस रेक्टेंगल के अंदर तो हम देख रहे हैं कि सर्कल के अंदर 1 2 3 4 है और बाकी जो है वो सर्कल से बाहर है लेकिन रेक्टेंगल के अंदर है तो एक तरह से वन से लेकर के 10 तक सारे नंबर्स जो हैं रेक्टेंगल के तो अंदर ही है लेकिन सिर्फ चार नंबर जो हैं वो सर्कल के अंदर है तो इस डायग्राम को देख के ही हमें साफ पता चल जाए है कि a इज अ सबसेट ऑफ u अब वेन डायग्राम्स के हेल्प से हम तीन तरह के ऑपरेशन के बारे में समझेंगे ऑपरेशन कैसा ऑपरेशन डरने वाली बात नहीं है मैं उस ऑपरेशन की बात नहीं कर रही हूं मैं मैथमेटिकल ऑपरेशंस की बात कर रही हूं जैसे जब हम नंबर्स की बात करते हैं तो उसमें हम एडिशन सबट क्शन मल्टीप्लिकेशन डिविजन ये सारे ऑपरेशंस करते हैं उसी तरह से जब हम सेट्स की बात करेंगे तो यहां पर हम तीन ऑपरेशंस की बात करेंगे एक है यूनियन एक है इंटरसेक्शन और एक है डिफरेंस ऑफ सेट्स और ये तीनों ऑपरेशंस को अब हम वेन डायग्राम्स के हेल्प से समझेंगे पहली बारी है यूनियन ऑफ सेट यूनियन मिलन सब चीज जब साथ में इकट्ठा हो जाते हैं उसे हम कहते हैं यूनियन तो अगर हमारे पास दो सेट है a और बी तो a और बी का यूनियन क्या हो जाएगा a के सारे एलिमेंट्स प्लस बी के सारे एलिमेंट्स सिंपल और इसको हम डिनोट कैसे करेंगे इसके लिए हम यह सिंबल यूज करेंगे य तो a यि बी को हम इस तरीके से रिप्रेजेंट करेंगे और अगर हम वन डायग्राम में इसको रिप्रेजेंट करना चाहे तो हम इसे इस तरह से रिप्रेजेंट करेंगे एक सेट ए एक सेट बी और दोनों के अंदर जो शेडेड रीजन है वो रिप्रेजेंट कर रहा है a यि बी का जो कांसेप्ट हमने पढ़ा उसके हिसाब से a में जितने भी एलिमेंट्स है और बी में जितने भी एलिमेंट्स है दोनों मिलके बनता है यूनियन तो यहां पे a है 2 468 और बी है 6 8 10 12 तो a यि बी जो है वो हो जाएगा 2 4 6 8 10 12 ध्यान दीजिए कि यहां पे भी हम एलिमेंट्स को रिपीट नहीं करेंगे क्योंकि रिपीट करने का कुछ पॉइंट ही नहीं है राइट तो बेसिकली a यि बी मतलब जो सारे एलिमेंट्स इन दोनों में मिला के हैं तो वही इंपॉर्टेंट बात कि कॉमन एलिमेंट्स जो है वह हमने एक ही बार लिया है हमने सिक्स और एट को रिपीट नहीं किया है अब फटाफट देखते हैं यूनियन ऑफ सेट की प्रॉपर्टीज को a य ब इ इ b य ए जिसको हम कहते हैं कम्यूटर लॉ ये प्रॉपर्टीज जो है ना जैसे हम नंबर्स के केस में भी जो प्रॉपर्टीज पढ़ते हैं कम्यूटर डिस्ट्रीब्यूटर एसोसिएटिव उसी तरह से चलती है यहां पर भी एसोसिएटिव लॉ के हिसाब से a यि बी विद इन ब्रैकेट यूनि स इ इ a यूनियन विद इन ब्रैकेट b य सी ठीक है अब इन सब को आप चाहे तो कुछ भी रैंडम एग्जांपल्स लेके प्रूफ भी कर सकते हैं उसके बाद है लॉ ऑफ आइडेंटिटी एलिमेंट यानी कि a य फ फ जो है वो नल सेट है क्या हो जाएगा a a यि ए इज ऑलवेज a जिसको हम कहते हैं आईडम पोटेंट लॉ यानी कि अगर कोई भी एलिमेंट अपने आप से ही यूनियन करेगा तो क्या होगा उसको को अपना खुद के ही एलिमेंट्स मिलेंगे राइट कि अगर मान लेते हैं कि a जो है ये एक सेट है जिसके अंदर 1 2 3 ये तीन एलिमेंट्स हैं अगर a खुद के साथ ही यूनियन करेगा तो हम एक ही एलिमेंट को दो बार तो लिखेंगे नहीं तो क्या आएगा रिजल्ट a 1 2 3 ही आएगा u य a = u जहां पे u क्या है यूनिवर्सल सेट है तो यानी कि यूनिवर्सल सेट है मतलब जो सेट a है वो यूनिवर्सल सेट का सबसेट ही होगा तो अगर दोनों का यूनियन करेंगे तो रिजल्ट क्या निकलेगा u ही निक लेगा अगला ऑपरेशन है इंटरसेक्शन ऑफ सेट्स इंटरसेक्शन क्या होता है इंटरसेक्शन जनरली हम इसको कहां यूज किए हैं पहले जब एक लाइन दूसरे लाइन को कट करती है तो हम कहते हैं वो इंटरसेक्ट कर रही है मतलब कुछ भी जब ओवरलैप करता है तो उसे हम कहते हैं इंटरसेक्शन तो a और बी अगर दो सेट्स हैं इनका इंटरसेक्शन का मतलब है कि वैसे एलिमेंट्स जो दोनों में कॉमन है जो a में भी है और b में भी है उनको हम कहते हैं उसे हम कहते हैं इंटरसेक्शन तो अब इसको रिप्रेजेंट कैसे करेंगे इसके लिए हम यूनियन का उल्टा सिंबल लगाते हैं उल्टा u तो a इंटरसेक्शन b इसे हम ऐसे रीड करते हैं और अगर हमें इसे वेन डायग्राम में दिखाना हो तो ये जो एरिया है a और b के बीच का शेडेड रीजन ये है a इंटरसेक्शन पे लेट a = 2468 b = 6 8 10 12 फाइंड a इंटरसेक्शन b इंटरसेक्शन यानी कि जो जो इनके बीच का कॉमन रीजन है तो कॉमन एलिमेंट्स कौन से हैं 68 तो यानी कि a इंटरसेक्शन ब विल बी इक्वल टू 68 तुम्हारा आंसर आया क्या अगर दो सेट्स ऐसे हो जिनके बीच में कुछ भी कॉमन ना हो तो ऐसे सेट्स को हम कहते हैं डिसजॉइंट सेट्स यानी कि उनके बीच में मतलब कुछ भी ऐसा है ही नहीं जो इनको आपस में जोड़ सके कनेक्ट कर सके अगर एक एक सेट है a जिसके अंदर तीन एलिमेंट्स है 1 2 3 दूसरा सेट है बी जिसके अंदर तीन एलिमेंट है 4 5 6 कॉमन तो कुछ है ही नहीं तो ऐसे दो सेट्स को हम कहेंगे डिसजॉइंट सेट्स और वन डायग्राम में उन्हें हम ऐसे दिखाएंगे जिसमें आप देख रहे हैं कि बीच का कॉमन एरिया है ही नहीं दोनों बिल्कुल सेपरेट है इंटरसेक्शन की प्रॉपर्टीज देखेंगे a इंटरसेक्शन b = b इंटरसेक्शन a a इंटरसेक्शन b इंटरसेक्शन c = a इंटरसेक्शन b इंटरसेक्शन c यानी कि एसोसिएटिव लॉ फ इंटरसेक्शन a इ इक्वल टू फ क्योंकि यहां पे हम कॉमन की बात कर रहे हैं तो फ जो है वो नल है अब चूंकि नल है और a में तो कुछ भी रह सकता है तो कॉमन क्या हुआ नल ही हुआ u इंटरसेक्शन a यहां पे हो जाएगा a यही मेजर फर्क है जब हम यूनियन की बात कर रहे थे तो जो सेट में ज्यादा एलिमेंट्स थे वो आंसर हो रहा था बट यहां चूंकि हम इंटरसेक्शन की बात कर रहे तो कॉमन होना चाहिए दोनों में तो जिसमें कम चीजें हैं वो आंसर है a इंटरसेक्शन a इ इक्वल टू 2 a जिसको हम यहां भी आईडम पोटेंट लॉ ही कहेंगे एक लास्ट इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी a इंटरसेक्शन b य c = a इंटरसेशन b य a इंटरसेक्शन c जिसको हम कहते हैं डिस्ट्रीब्यूटर लॉ याद है आपको डिस्ट्रीब्यूटर लॉ में ऐसा होता था a * b + c = a * b + a * c यहां पे हम दो तरह की ऑपरेशन को डील करते थे एक तो प्लस और एक तो मल्टीप्लाई यहां भी हम दो डील कर रहे हैं एक यूनियन और एक इंटरसेक्शन बट है एगजैक्टली उसी फॉर्मेट डिफरेंस ऑफ सेट्स दो सेट्स के बीच के डिफरेंस यानी कि फर्क को कैसे निकालेंगे मान लेते हैं अगर हमारे पास दो सेट्स हैं a और b a - b यानी कि डिफरेंस ऑफ a एंड b वो हम उसका मतलब होता है ऐसे सारे एलिमेंट्स जो a में है लेकिन b में नहीं है ठीक उसी तरह अगर हम लिखते हैं b - a इसका मतलब है वो सारे एलिमेंट्स जो b में है लेकिन a में नहीं है इसका लॉजिक काफी सिंपल है जैसे हम नंबर्स में भी 4 - 2 करते हैं इसका मतलब क्या होता है कि फोर में से हम टू को हटा देते हैं जो कुछ टू में है वो सब हटा दिया जो बाकी बचा वो डिफरेंस हो गया उसी तरह a - b मतलब b के अंदर जो भी एलिमेंट है वो सारे एलिमेंट को हटा दो उसके अलावा a में जो भी एलिमेंट्स हैं मतलब जो भी ऐसे एलिमेंट्स हैं a में जो b में नहीं है वो हो गया a - b a इ = 1 2 3 4 5 6 b = 2 468 फाइंड a - b तो a - b का मतलब हुआ कौन सी ऐसी एलिमेंट्स हैं जो a में है लेकिन b में नहीं है तो यानी कि a - b अगर यहां पे हम बात करें तो ये जो ब्लू रीजन है ये है a - b तो इसको निकालने के लिए हम देखेंगे कौन सी एलिमेंट्स हैं जो b में है पर जो a में है बट b में नहीं है और ऐसे एलिमेंट्स है 1 3 5 अब अगर हमें b - a निकालना हो इसका मतलब है वैसी एलिमेंट्स जो b में है लेकिन a में नहीं है और वैसा सिर्फ एक ही एलिमेंट है और वह है 8 क्योंकि 2 46b में भी है और a में भी है अब यहां पर एक इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी है कि ये जो सेट्स होती हैं a - b a इंटरसेक्शन b और b - a ये हमेशा म्यूचुअल डिसजॉइंट सेट्स होती है डिस जॉइंट्स मतलब इनमें कुछ भी कॉमन नहीं होता है अगर चाहे तो हम इसी एग्जांपल में देख सकते हैं a - b तो हमने ऑलरेडी निकाल रखा है b - ए भी हमने डी निकाल रखा है a इंटरसेक्शन बी भी निकाल लेते हैं दोनों में कॉमन क्या-क्या है 2 4 6 अब अगर इन तीनों को हम कंपेयर करें तो हम देखेंगे कि तीनों में कॉमन कुछ भी नहीं है इसका मतलब जो है यह तीनों जो है यह म्यूचुअल डिसजॉइंट सेट्स है कम्प्लीनोस ठीक है बट ये होता क्या है मतलब कॉम्प्लीयंट है ए ठीक है तो ए कॉम्प्लीयंट है वो उसमें नहीं है तो ए के बाहर यूनिवर्सल सेट में जो भी एलिमेंट्स हैं वो हो जाएगा a कॉम्प्लीयंट जो है यह यूनिवर्सल सेट माइनस सेट a है तो यूनिवर्सल सेट और सेट a का जो डिफरेंस है वही a कम्प्लीनोस हैं वट और पूरे यूनिवर्सल सेट के अंदर 1 2 3 4 है तो जो a कॉम्प्लीयंट कॉम्प्लीयंट सेट है 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 मतलब कि इस पूरे रेक्टेंगल के अंदर वन से लेके 10 तक है a के अंदर क्या-क्या है 1 3 5 7 9 यहां पे है 1 3 5 7 9 इसके अंदर यही है तो a का जो कॉम्प्लीयंट होंगी जो a में नहीं है a के अलावा बाकी बाहर जो जो कुछ भी है वो सारे होंगे तो बेसिकली यूनिवर्सल सेट में से हम वैसे एलिमेंट्स हटा देंगे जो a में है यानी कि हम वन 3 5 7 और ना को हटा देंगे तो बचेगा क्या 2 4 6 8 10 तो यही हो जाएगा कॉम्प्लीयंट सेट्स की प्रॉपर्टीज देखते हैं अगर a और a ड ये दो कॉम्प्लीयंट a य a कॉम्प्ट इ इक्व u a इंटरसेक्शन a कॉम्प्ट इ इक्व 5 क्योंकि कॉमन तो इनके बीच में कुछ होता ही नहीं है तो ओबवियसली इंटरसेक्शन जो है वह नल सेट ही होगा डी मॉर्गन लॉ कहते हैं इसे जो कहता है कि a य b ' इ इक्व a ' इंटरसेक्शन b ड उसी तरह a इंटरसेक्शन b ' = a ' य b ' अब इनको अगर आप चाहे तो बड़े ही आराम से आप वेन डायग्राम की हेल्प से भी प्रूफ कर सकते हैं वन डायग्राम्स भी अभी हमने पढ़ा है एंड इट्स वेरी इजी टू प्रूव दीज थिंग्स यूजिंग वेन डायग्राम्स लॉ ऑफ डबल कॉम्प्लीयंट है जिसमें है एलिमेंट्स वन और टू और यूनिवर्सल सेट जो है वो है 1 2 3 4 तो इस केस में a ड जो होगा वो क्या होगा 3 4 वैसे एलिमेंट्स जो ए में नहीं है तो अब अगर हम a ड का डैश निकाले यानी कि इस ए ड का कॉम्प्लीयंट सेट एंड यूनिवर्सल सेट ये कहता है कि फड फ का जो कॉम है नल सेट का कॉम्प्लीयंट सेट और यूनिवर्सल सेट का कॉम्प्लीयंट है अभी तक हम बात कर रहे थे सेट के अंदर कौन-कौन से एलिमेंट्स हैं उसके बारे में अब हम बात करेंगे नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन सेट एक सेट के अंदर कितने एलिमेंट्स हैं 10 एलिमेंट्स हैं 12 एलिमेंट्स हैं 20 एलिमेंट्स हैं नंबर की बात करेंगे और यहां पे अगर हमारे पास तीन सेट्स हैं ए बी सी और तीनों फाइना इट सेट है यानी कि उनमें फिक्स्ड नंबर ऑफ एलिमेंट्स है तो हम कहेंगे कि नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन a य b इज इक्वल टू नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन a प्स नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन b माइनस नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन a इंटरसेक्शन b इसको भी आराम से यहां प्रूफ कर सकते हैं जितने एलिमेंट्स a य b में होगा वो कौन कितने एलिमेंट होंगे जितने a में है प्लस जितने b में है बट उसमें से हमने इसको माइनस क्यों किया क्योंकि यह जो कॉमन एरिया है जब हम दोनों को जोड़ दे रहे हैं तो इस कॉमन एरिया को हम दो बार जोड़े हैं नंबर ऑफ एलिमेंट ऑफ़ a में भी जुड़ा है और नंबर ऑफ एलिमेंट ऑफ़ b में भी जोड़ा है तो इसीलिए इसका जो यह कॉमन एरिया है उसको एक बार सबट क्ट करना जरूरी है दूसरा प्रॉपर्टी होता है कि नंबर ऑफ एलिमेंट ऑफ़ a य b यि c अगर तीन सेट्स हैं हमारे पास तो नंबर ऑफ एलिमेंट ऑफ़ a + b + c बट इस केस में भी ये वाले जो कॉमन एरियाज हैं इनको हमें सबस्टैक करना है एक-एक बार इसीलिए माइनस नंबर ऑफ एलिमेंट ऑफ a इंटरसेक्शन b - ब इंटरसेक्शन c - ए इंटरसेक्शन c प्लस नंबर ऑफ एलिमेंट ऑफ a इंटरसेक्शन ब इंटरसेक्शन c यानी कि ये a इंटरसेक्शन b इंटरसेक्शन c जो है वो यह वाला जगह है ठीक है यह दो प्रॉपर्टीज बहुत इंपॉर्टेंट है क्योंकि इनके बेसिस पे बहुत सारे वर्ड प्रॉब्लम्स हम सॉल्व कर सकते हैं अब कुछ वेन डायग्राम्स ड्र करने की प्रैक्टिस करेंगे अगर हमें ड्र करना हो a यि बी का कॉम्प्लीयंट मतलब सब कुछ जो इसके बाहर है बट यूनिवर्सल सेट के अंदर है तो यानी कि ए यूनियन बी का कॉम्प्ट हो जाएगा यह पूरा जगह राइट दूसरा है ए ड इंटरसेक्शन बी ड तो उस केस में ए ड क्या हो जाएगा ए ड मतलब ए के बाहर का पूरा जगह यह पूरा जगह ए के बाहर का बी ड हो जाएगा बी के बाहर का पूरा जगह तो बेसिकली इस केस में भी जो इंटरसेक्शन उनका होगा वह हो जाएगा यह पूरा जगह इससे हम देख रहे हैं कि ए यूनि बीड इ इक्वल टू एड इंटरसेक्शन बीड ए इंटरसे बी ड इसको हम कैसे दिखाएंगे ए इंटरसेक्शन बी यानी कि यह वाला जगह इसको छोड़ के बाकी सब जगह तो बेसिकली यह हो जाएगा यह पूरा जगह सिवाय ए इंटरसेक्शन बी वाले पार्ट को छोड़कर अगला है एड यूनियन बी ड यानी कि ए के अलावा बाकी पूरा रीजन बी के अलावा बाकी पूरा रीजन और उन दोनों के बीच का जो भी यूनियन है यानी कि कॉमन की बात नहीं दोनों को जोड़ दो a को छोड़ के बाकी पूरा जगह जो है वह हो गया ये ठीक है यह पूरा हो गया बी को छोड़ के बाकी पूरा जगह यह क्या हो गया यह बी को छोड़ के अगर हम बाकी पूरा करेंगे तो उसमें यह भी आ जाएगा और दोनों का यूनियन मतलब सिर्फ ये बीच वाला पार्ट छोड़ के बाकी पूरा ही आ जाएगा तो उससे हम देख रहे हैं कि ये दोनों बराबर है और ऊपर के ये दोनों बराबर है तो वेन डायग्राम से हमें काफी आसानी से इस तरह की जो रिलेशनशिप्स हैं यह हम बहुत आसानी से प्रूव कर सकते हैं और अब हम एक लास्ट वर्ड प्रॉब्लम देखेंगे इन अ स्कूल देयर आर 20 टीचर्स हु टीच मैथमेटिक्स और फिजिक्स आउट ऑफ दीज 20 टीच मैथमेटिक्स तो मान लेते हैं कि नंबर ऑफ टीचर्स टीचिंग मैथमेटिक्स जो है वो है 12 दिया हुआ है एक्चुअली और नंबर ऑफ़ टीचर टीचिंग बोथ फिजिक्स एंड मैथमेटिक्स मतलब मैथमेटिक्स और फिजिक्स का जो इंटरसेक्शन है वह है फोर हाउ मेनी टीच फिजिक्स तो यानी कि फिजिक्स कितने लोग पढ़ाते हैं वह निकालना है और 20 टोटल टीचर्स हैं जो फिजिक्स या मैथमेटिक्स दोनों में से कुछ ना कुछ तो पढ़ाते हैं यानी कि जो यूनियन है वह है 20 तो यह हमें वैल्यूज दी हुई है और यह निकालना है तो अगर इसको वेन डायग्राम के फॉर्म में भी हम बनाएं तो हम देखेंगे यह डायग्राम लेते हैं मान लेते हैं कि यह जो ब्लू कलर है यह बता रहा है मैथमेटिक्स और यह जो ऑरेंज कलर है यह बता रहा है फिजिक्स और यह बीच का जो जगह है यह बता रहा है कॉमन तो यह जगह जो है ऐसे फोर टीचर्स है मैथमेटिक्स वाले 12 टीचर्स है ठीक है फिजिक्स वाले हमें निकालने हैं और टोटल जो है वो 20 है तो हमने यह रिलेशनशिप पढ़ा है कि नंबर ऑफ एलिमेंट्स ऑफ a य b इज इक्वल टू नंबर ऑफ एलिमेंट्स ऑफ a प्लस नंबर ऑफ एलिमेंट्स ऑफ b माइनस नंबर ऑफ एलिमेंट्स ऑफ a इंटरसेक्शन b तो यहां पर यूनियन जो है वह है 20 नंबर ऑफ a यानी कि m जो कि है 12 फिजिक्स पढ़ाने वाले हमें निकालने हैं और इंटरसेक्शन जो है वो है फोर तो फिजिक्स बनाने वाले टीचर्स हो जाएंगे 20 - 12 प् 4 यानी कि 12 सो टोटल 12 ऐसे टीचर्स हैं जो फिजिक्स पढ़ाते हैं लनो हब एक ऐसा फ्री लर्निंग प्लेटफार्म जहां पर आपको मिलते हैं वीडियोस नोट्स एनसीआरटी सॉल्यूशंस सैंपल पेपर्स एंड ऑनलाइन टेस्टस अब्सोल्युटली फ्री ऑफ कॉस्ट इतना ही नहीं लर्न हब क्लास 11 12 बच्चों के लिए अथर्व बैच मंडे टू फ्राइडे एट 4:30 पीएम और क्लास 12थ के बच्चों के लिए अनंत बैच मंडे टू फ्राइडे एट 6 पीएम अगर आप या आपके जान पहचान का कोई तैयारी कर रहा है नीट या जेईई का तो हमारे youtube4 जीत जेई पे जीत का कंप्लीट कोर्स अब्सोल्युटली फॉर फ्री इनमें चैप्टर्स की डिटेल एक्सप्लेनेशन लाइव क्लासेस ढेर सारे क्वेश्चंस और प्रीवियस ईयर क्वेश्चंस डिटेल में कवर्ड है और तो और यू कैन आस्क ऑल योर डाउट्स एब्सलूट फॉर फ्री एट आस्क क्वेश्चन सेक्शन ऑफ लर्न हब हमारा ए पप भी है आप वन ऑन वन क्लास लेना चाहते हो तो है लर्न हब स्वयं एट अ वेरी अफोर्डेबल प्राइस लर्न हब फ्री है पर बेस्ट है तो कैसा लगा यह वीडियो ऑन सेट्स एक ही वीडियो में आपने पूरा का पूरा सेट्स कवर कर लिया जैसा कि मैंने कहा था लेट्स बहुत ही आसान थे टॉपिक्स बहुत ही इजी थे और मुझे पूरी उम्मीद है कि आपको सब कुछ एकदम अच्छे से समझ में आ गया होगा हालांकि अगर आपको और डिटेल वीडियोस चाहिए और ज्यादा सॉल्वड क्वेश्चंस चाहिए तो वो भी है हमारे पास और उन वीडियोस के लिंक जो है हमने डिस्क्रिप्शन में दिया हुआ है और अगर आपको वीडियो अच्छा लगा है तो इसे अपने दोस्तों के साथ भी शेयर करें बहुत ही जल्दी मैं आपसे मिलूंगी एक और नए क्रैश कोर्स वीडियो के साथ तब तक के लिए बा बाय और