📐

Quadratische Ergänzung in der Mathematik

Feb 12, 2025

Mathematikvorlesung: Quadratische Ergänzung

Einleitung

  • Thema: Quadratische Gleichungen
  • Methoden zur Lösung: Quadratische Ergänzung, Mitternachtsformel, pq-Formel
  • Ziel: Schrittweise Erklärung der quadratischen Ergänzung

Beispiel 1: (x^2 + 4x = 5)

  • Schritt 1: Quadratische Ergänzung

    • Identifikation des p-Wertes: 4 (Zahl vor dem x)
    • Quadratische Ergänzung: ((p/2)^2)
      • (4/2 = 2, 2^2 = 4)
    • Hinzufügen der Ergänzung: (x^2 + 4x + 4 = 9)
  • Schritt 2: Anwendung der binomischen Formel

    • Erste binomische Formel: ((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)
    • Umformung: ((x + 2)^2 = 9)
  • Schritt 3: Lösen der Gleichungen

    • Wurzelziehen: (x + 2 = \pm 3)
    • Lösungen:
      • (x_1 = 1)
      • (x_2 = -5)

Beispiel 2: (2x^2 - 12x - 32 = 0)

  • Schritt 1: Vereinfachen und quadratische Ergänzung

    • Teilen durch 2: (x^2 - 6x - 16 = 0)
    • p-Wert: -6
    • Quadratische Ergänzung: ((-6/2)^2 = 9)
  • Schritt 2: Umformung

    • (x^2 - 6x + 9 = 25)
    • Binomische Formel: ((x - 3)^2 = 25)
  • Schritt 3: Lösen der Gleichungen

    • Wurzelziehen: (x - 3 = \pm 5)
    • Lösungen:
      • (x_1 = 8)
      • (x_2 = -2)

Beispiel 3: (x^2 - 10x + 16 = 0)

  • Schritt 1: Quadratische Ergänzung

    • p-Wert: -10
    • Quadratische Ergänzung: ((-10/2)^2 = 25)
  • Schritt 2: Umformung und Anwendung der binomischen Formel

    • (x^2 - 10x + 25 = 9)
    • Binomische Formel: ((x - 5)^2 = 9)
  • Schritt 3: Lösen der Gleichungen

    • Wurzelziehen: (x - 5 = \pm 3)
    • Lösungen:
      • (x_1 = 8)
      • (x_2 = 2)

Zusammenfassung

  • Quadratische Ergänzung ermöglicht das Lösen quadratischer Gleichungen durch Transformation mittels der binomischen Formeln.
  • Wichtig ist das korrekte Identifizieren des p-Wertes und die Anwendung der binomischen Formeln.
  • Die Methode liefert zwei Lösungen aufgrund der positiven und negativen Wurzel.