Mathematikvorlesung: Quadratische Ergänzung

Einleitung

• Thema: Quadratische Gleichungen
• Methoden zur Lösung: Quadratische Ergänzung, Mitternachtsformel, pq-Formel
• Ziel: Schrittweise Erklärung der quadratischen Ergänzung

Beispiel 1: (x^2 + 4x = 5)

• Schritt 1: Quadratische Ergänzung

  • Identifikation des p-Wertes: 4 (Zahl vor dem x)
  • Quadratische Ergänzung: ((p/2)^2)
    • (4/2 = 2, 2^2 = 4)
  • Hinzufügen der Ergänzung: (x^2 + 4x + 4 = 9)

• Schritt 2: Anwendung der binomischen Formel

  • Erste binomische Formel: ((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)
  • Umformung: ((x + 2)^2 = 9)

• Schritt 3: Lösen der Gleichungen

  • Wurzelziehen: (x + 2 = \pm 3)
  • Lösungen:
    • (x_1 = 1)
    • (x_2 = -5)

Beispiel 2: (2x^2 - 12x - 32 = 0)

• Schritt 1: Vereinfachen und quadratische Ergänzung

  • Teilen durch 2: (x^2 - 6x - 16 = 0)
  • p-Wert: -6
  • Quadratische Ergänzung: ((-6/2)^2 = 9)

• Schritt 2: Umformung

  • (x^2 - 6x + 9 = 25)
  • Binomische Formel: ((x - 3)^2 = 25)

• Schritt 3: Lösen der Gleichungen

  • Wurzelziehen: (x - 3 = \pm 5)
  • Lösungen:
    • (x_1 = 8)
    • (x_2 = -2)

Beispiel 3: (x^2 - 10x + 16 = 0)

• Schritt 1: Quadratische Ergänzung

  • p-Wert: -10
  • Quadratische Ergänzung: ((-10/2)^2 = 25)

• Schritt 2: Umformung und Anwendung der binomischen Formel

  • (x^2 - 10x + 25 = 9)
  • Binomische Formel: ((x - 5)^2 = 9)

• Schritt 3: Lösen der Gleichungen

  • Wurzelziehen: (x - 5 = \pm 3)
  • Lösungen:
    • (x_1 = 8)
    • (x_2 = 2)

Zusammenfassung

• Quadratische Ergänzung ermöglicht das Lösen quadratischer Gleichungen durch Transformation mittels der binomischen Formeln.
• Wichtig ist das korrekte Identifizieren des p-Wertes und die Anwendung der binomischen Formeln.
• Die Methode liefert zwei Lösungen aufgrund der positiven und negativen Wurzel.