7. Vektorrechnung, Analytische Geometrie

7.1. Vektoren

Definition

• Verschiebung eines Punktes P1 zu P2 ist durch P1 und P2 eindeutig festgelegt, ergibt einen Vektor.
• Vektor: Klasse aller parallelen, gleich langen und gleich orientierten Pfeile.
• Ortsvektor: Pfeil OP von Ursprung O zu Punkt P.
• Koordinaten eines Vektors: Differenz der Koordinaten der Punkte.
• Betrag eines Vektors: ( \sqrt{x^2 + y^2} ) für 2D, ( \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} ) für 3D.

Rechenoperationen mit Vektoren

• Addition: Koordinatenweise Addition.
• Subtraktion: Koordinatenweise Subtraktion.
• Multiplikation mit Skalar: Koordinatenweise Multiplikation.
• Beispielrechnungen: Summe und Differenz von Vektoren, Vielfaches eines Vektors.

Spezielle Vektoren

• Nullvektor: Vektor mit Betrag 0, neutrales Element der Addition.
• Einheitsvektor: Vektor mit Betrag 1, wird durch Division der Koordinaten durch den Betrag erhalten.
• Basisvektoren: Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen.

Lineare Abhängigkeit

• Lineare Abhängigkeit: Ein Vektor ist Linearkombination der anderen.
• Kollinearität: Vektoren sind Vielfache voneinander.
• Komplanarität: Vektoren liegen in einer Ebene.

7.2. Multiplikation von Vektoren

Skalares Produkt

• Skalares Produkt: Produkt der Längen der Vektoren und des Kosinus des eingeschlossenen Winkels.
• Null, wenn Vektoren orthogonal.

Vektorielle Produkt

• Vektorielle Produkt (Kreuzprodukt): Erzeugt einen Vektor, der normal zu beiden Vektoren steht.
• Anwendung in der Berechnung von Flächeninhalten von Parallelogrammen.

7.3. Analytische Geometrie

Gleichung der Geraden

• Gerade durch zwei Punkte, Verwendung von Parameterdarstellungen.
• Normalvektorform: Normalvektor steht orthogonal zu allen Richtungsvektoren der Geraden.

Gleichung der Ebene

• Ebene durch zwei Vektoren von einem Punkt.
• Parameterdarstellung und Normalvektorform.

Lagebeziehungen

• Untersuchung der Lage von Geraden und Ebenen zueinander.

Abstand Punkt - Gerade/Ebene

• Berechnung des kürzesten Abstands (Normalabstand).

Winkel zwischen Geraden

• Berechnung über das skalare Produkt.

7.4. Analytische Behandlung der Kegelschnitte

Kreis

• Kreisgleichung und Tangentenbedingungen.

Ellipse

• Ellipse als Menge der Punkte mit konstanter Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten.

Hyperbel

• Hyperbel als Menge der Punkte mit konstanter Differenz der Abstände zu zwei Brennpunkten.

Parabel

• Parabel als Menge der Punkte mit gleichem Abstand zu Brennpunkt und Leitlinie.

Anhang: Übungsbeispiele zum 7. Kapitel

• Diverse Aufgaben zur Anwendung der Konzepte der Vektorrechnung und analytischen Geometrie, z.B. Bestimmung von Vektoren, Berechnung von Längen, Winkel, Flächeninhalten und Parameterdarstellungen.