Verificar si dos funciones son inversas

Concepto Principal

Para mostrar que dos funciones f(x) y g(x) son inversas entre sí, es necesario:

1. Comprobar que f(g(x)) = x
2. Comprobar que g(f(x)) = x

Ejemplo 1

Funciones:

• f(x) = x^2 + 5
• g(x) = √(x - 5)

Verificación:

1. f(g(x))

• Sustituir x en f por √(x - 5):
  • f(g(x)) = (√(x - 5))^2 + 5 = x - 5 + 5 = x
• Resultado: f(g(x)) = x

2. g(f(x))

• Sustituir x en g por x^2 + 5:
  • g(f(x)) = √(x^2 + 5 - 5) = √(x^2) = x
• Resultado: g(f(x)) = x

Conclusión: f(x) y g(x) son inversas.

Verificación Alternativa

Para comprobarlo de otra manera, hallamos la inversa de f(x):

1. y = x^2 + 5
2. Intercambiar x y y:
   • x = y^2 + 5
3. Despejar y:
   • x - 5 = y^2
   • y = √(x - 5)
4. La inversa de f(x) es y = g(x)

Conclusión conjunta: f(x) y g(x) son inversas.

Ejemplo 2

Funciones:

• f(x) = 3x + 8
• g(x) = 8x^2 - 3

Verificación:

1. f(g(x))

• Sustituir x en f por 8x^2 - 3:
  • f(g(x)) = 3(8x^2 - 3) + 8 = 24x^2 - 9 + 8 = 24x^2 - 1
• Resultado: f(g(x)) ≠ x

Conclusión: f(x) y g(x) no son inversas.

Ejemplo 3

Funciones:

• f(x) = 7x + 5
• g(x) = (x - 5) / 7

Verificación:

1. f(g(x))

• Sustituir x en f por (x - 5) / 7:
  • f(g(x)) = 7((x - 5) / 7) + 5 = x - 5 + 5 = x
• Resultado: f(g(x)) = x

2. g(f(x))

• Sustituir x en g por 7x + 5:
  • g(f(x)) = ((7x + 5) - 5) / 7 = 7x / 7 = x
• Resultado: g(f(x)) = x

Conclusión: f(x) y g(x) son inversas.

Verificación Alternativa

1. y = 7x + 5
2. Intercambiar x y y:
   • x = 7y + 5
3. Despejar y:
   • x - 5 = 7y
   • y = (x - 5) / 7
4. La inversa de f(x) es y = g(x)

Conclusión conjunta: f(x) y g(x) son inversas.

Ejemplo 4

Funciones:

• f(x) = 5 / (x + 3)
• g(x) = 5 / (x - 3)

Verificación:

1. f(g(x))

• Sustituir x en f por 5 / (x - 3):
  • f(g(x)) = 5 / ((5 / (x - 3)) + 3)
• Simplificar:
  • = 5(x - 3) / 5 = x - 3 + 3 = x
• Resultado: f(g(x)) = x

2. g(f(x))

• Sustituir x en g por 5 / (x + 3):
  • g(f(x)) = 5 / ((5 / (x + 3)) - 3)
• Simplificar:
  • = 5 / ((5 - 3(x + 3)) / (x + 3)) = x
• Resultado: g(f(x)) = x

Conclusión: f(x) y g(x) son inversas.

Ejemplo 5

Funciones:

• f(x) = 8x + 7
• g(x) = 7 / (x - 8)

Verificación:

1. f(g(x))

• Sustituir x en f por 7 / (x - 8):
  • f(g(x)) = 8(7 / (x - 8)) + 7 = 56 / (x - 8) + 7 ≠ x
• Resultado: f(g(x)) ≠ x

Conclusión: f(x) y g(x) no son inversas.

Ejemplo 6

Funciones:

• f(x) = x^3 + 5
• g(x) = ³√(x - 5)

Verificación:

1. f(g(x))

• Sustituir x en f por ³√(x - 5):
  • f(g(x)) = (³√(x - 5))^3 + 5 = x - 5 + 5 = x
• Resultado: f(g(x)) = x

2. g(f(x))

• Sustituir x en g por x^3 + 5:
  • g(f(x)) = ³√((x^3 + 5) - 5) = ³√(x^3) = x
• Resultado: g(f(x)) = x

Conclusión: f(x) y g(x) son inversas.