लो भी चैंपियंस आज यह सेशन जो है तुम्हारा पूरे का पूरा मैथ कम से कम समय में रिवाइज करवा देगा दैट इज वई आई मेंशन स्मार्ट रिवीजन स्ट्रेट अवे मुद्दे की बात पे आएंगे कि आज हम कैसे पढ़ने वाले हैं ताकि पूरा मैथ कम से कम समय में रिवाइज हो जाए और ऐसे रिवाइज हो कि आपको लगे कि एक-एक चीज आपकी टेस्ट भी हो गई आपकी रिवाइज भी हो गई राइट तो भाई सीधी सी बात बता हूं इस सेशन का अगर बेस्ट फायदा लेना है जिस जिस स्लाइड के ऊपर यहां पर लिखा हुआ होगा पॉज फॉर फ सेकंड वहां करते रहना और जो करने को बोला जाएगा वह करते रहना बाय द एंड ऑफ सेशन यू विल रिलाइज कि एक एक चीज तुम्हारे दिमाग में जा चुकी है तुम सोच चुके हो या मैं तुम्हें बता चुका हूं और हां एक और आज बहुत बड़ा अनाउंसमेंट करूंगा आपको अभी के अभी एक चैट में लिंक दिख रहा होगा पिंड पिंड मैसेज दिख रहा होगा जो बच्चे बाद में देखेंगे को डिस्क्रिप्शन में मिल जाएगा उस लिंक को अभी के अभी पहले क्लिक करो और उसको नोटिफाई मी करो और उस वीडियो को लाइक कर दो दैट इज द मोस्ट इंपोर्टेंट वीडियो फॉर ऑल ऑफ यू और तुम में से कुछ केसेस में बच्चे जो आपके छोटे भाई ना उनके लिए भी आई लव यू ऑल बेटा गॉड ब्लेस यू तो सबसे पहले फटाफट जो चैट में लिंक पिंड है उसे ओपन करिए आई विल वेट फॉर 5 10 सेकंड्स मैं बताता हूं कि उस लिंक की अहमियत क्या है चैट में लिंक है उसे ओपन करिए उसे नोटिफाई मी करिए लाइक कर दीजिए शाबाश और करने के बाद बता दीजिए सर कर दिया और वापस आ गए एंड स्ट्रेट अवे फिर हम सेशन शुरू करेंगे आज का बहुत बढ़िया अरे लव यू टू बेटा गॉड ब्लेस यू कर दिया सर कर दिया डन भाई ओके तो बेसिकली अब मैं बहुत ज्यादा कहानी नहीं सुनाने बैठूंगा क्योंकि हमें अब शुरू करना है सेशन सीधी सी बात यह है अब जो आपके बेहतरीन एजुकेटर्स हैं वह सबके लिए हैं आपकी जो बेस्ट एकेडमिक सिस्टम्स है जहां से रैंक आते हैं हम आपको पढ़ाते हैं वो सबके लिए है और बेस्ट सिस्टम सबके लिए हैं अब अनअकैडमी सबके लिए नाउ इसका मतलब क्या है यही उस वीडियो में बताया जाएगा आफ्टर टू थ्र डेज तो वो वीडियो जरूर देखना दिस इज आरंभ वो कहते ना यार अब तुम्हारा भाई यहां पर है तो कुछ तो बड़ी चीज होगी तुम्हें पता इतना तो भरोसा मेरे पर है ना मैं कभी कोई ऐसी वैसी इंफॉर्मेशन नहीं देता जो बहुत ही काम की प्रेसा इंफॉर्मेशन होती है वही हमेशा आके बताता हूं कि यह बहुत काम की है और यह इंफॉर्मेशन बहुत ज्यादा काम की है तो इस लिंक प पक्के से नोटिफाई मी कर देना और जरूर देखना और मेरी इस बात को याद रखना अब अनअकैडमी सबके लिए तुम्हारा भाई अब यहां पे है राइट गॉड ब्लेस यू तो से स्ट्रेट स्ट्रेट अवे शुरू करते हैं यहां पे जो जो चीजें होंगी आपको यहां पे लिख दी गई है आपने नोटिफाई मी कर दिया मतलब वो वीडियो आप देखेंगे देखेंगे क्योंकि आपके भाई ने कहा है जरूर देखनी भाई और ये वो सारे सेशंस है वो सारे चैप्टर्स हैं जो आज हम रिवाइज करने वाले हैं और बहुत ही स्मार्ट तरीके से रिवाइज करेंगे हर एक स्लाइड पे कभी कंफ्यूजन होगा कभी टेस्टिंग होगी कभी राइट हैंड साइड कभी लेफ्ट हैंड साइड कभी कांसेप्ट कभी फार्मूला एक-एक चीज आपके दिमाग में यहां पे जानी चाहिए और उसके लिए बहुत दिमाग जो है ना लगा के रखना दिमाग को ओपन रखना और जहां-जहां पे लिखा होगा इस स्लाइड पे इधर पॉज एंड थिंक फॉर फाइव सेकंड वहां वो करना है मैं बार-बार मेंशन नहीं करूंगा यहां व लिख दिया है जिस-जिस लाइड पे करना है तो स्ट्रेट अवे शुरू करें सबसे पहले शुरू होगा क्वाड्रेटिक इक्वेशन क्वाड्रेटिक इक्वेशन में हमें पता है सम ऑफ रूट जो था - b / a था प्रोडक्ट ऑफ √ c / a था जरा बताइए डिफरेंस ऑफ रूट क्या था जरा बताइए डिफरेंस ऑफ रूट क्या था सर √ d / मड a था ओके सर आता है हमें सर हमें ये बताइए अगर अल्फा बीटा इस क्वाड्रेटिक के रूट हैं और सम ऑफ ये जो डिफाइन किया गया है तो न्यूटन आइडेंटिटी आपको क्या बताती है फटाफट इसके लिए और ए ए इसके लिए न्यूटन आइडेंटिटी सोचिए क्या था सर अगर अल्फा पा n प्लस माइनस बीटा पा n हो और यहां पे कोई कांस्टेंट भी आ जाए तो न्यूटन आइडेंटिटी कहती है कि x स् की जगह पे s एलगा दीजिए फिर एक कम कर दीजिए और फिर एक और कम कर दीजिए सर यह तो हमें काफी हद तक याद था पर मुझे आप यह बताइए भाई यह तो तब काम करेगी अगर आपका ए का जो मैक्सिमम डिफरेंस है वह दो का हो ए और ए माइट दो तक का गैप य संभाल सकती है ऐसे सवाल में क्या करेंगे हाउ विल यू प्रोसीड इ द स्टेटमेंट इवॉल्व s10 एंड ए6 यहां पर गैप चार का आ गया यहां पर क्या करोगे अब यह आपका पहला काम है पॉज एंड थिंक फॉर फ सेकंड एंड देन लेट मी नो इन द चैट और उसके बाद मैं जो लिखूंगा आपने देखना है सर जब भी यहां पर गैप दो से ज्यादा आ जाए तो हम न्यूटन आइडेंटिटी को साइड पर रख देते हैं और एक अलग अप्रोच यूज करते हैं न्यूटन आइडेंटिटी में यह जो ए ए होता है उसमें अल्फा पा ए और बीटा पा ए को एक साथ रखा जाता है यानी कि अल्फा और बीटा की टर्म्स एक साथ रखी जाती है ऐसे सवाल में अल्फा की टर्म्स अलग कर दी जाती है बीटा की टर्म्स अलग कर दी जाती है अल्फा टर्म्स सेपरेट एंड बीटा टर्म्स सेकंड स्टेप क्या होता है सर सेकंड स्टेप वेरी गुड सर इक्वेशन में रूट को सेटिस्फाई करवाकर हम अल्फा पावर 4 को अल्फा स्क्वा से रिलेट कर लेते हैं यहां पे एग्जांपल ले रहा हूं x स् - 5x + 1 का जिसके रूट है आपके अल्फा और बीटा और आपको मान लो पूछ लिया गया अल्फा पावर 21 + बी पा 21 प् अल्फा पावर 17 + बीटा पावर 17 अप अल्फा पावर 19 + बीटा पावर 19 ऐसा कुछ पूछ लिया गया तो क्या करते थे सर यहां पे देखा कि 21 चल रहा है ये s 21 है और ये s 17 है गैप ज्यादा आ गया तो सर पहले स्टेप के मुताबिक हम इसे चेंज करके लिख लेंगे कैसे लिख लेंगे अल्फा के टर्म्स अलग कर देंगे और बीटा के टर्म्स अलग कर देंगे अल्फा ये दोनों एक साथ कर देंगे और बीटा के टर्म्स अलग कर देंगे नाउ लास्ट एंड मोस्ट इंपॉर्टेंट स्टेप क्या था सर रूट सेटिस्फाई इक्वेशन यूज कर लो अब क्योंकि अल्फा सेटिस्फाई करता है तो मैं कह सकता हूं अल्फा स्क्वा - 5 अल्फ + 1 0 है तो अल्फा स्क्वा ् 1 को 5 अल्फा लिखेंगे और स्क्वायरिंग कर देंगे तो अल्फा पावर 4+ 1+ 2 अफ स्क = 25 अफ स्क्वा इस 2 अफ स्क्वा को उधर सबट कर दीजिए तो बन गया 23 अल्फ स्क्वा कितनों को दिख रहा है सवाल खत्म हो गया कितनों को दिख रहा सवाल खत्म हो गया क्योंकि इसकी वैल्यू लिखी जा सकती है 23 अफ स्क्वा इसकी वैल्यू लिखी जा सकती है 23 बीटा स्क्वा अब ऊपर नीचे अल्फा 19 प् बीटा 19 खत्म आंसर इज 23 दैट वाज योर फर्स्ट क्विक रिवीजन ऑफ फ सेकंड जो आपने यहां पर दिमाग में लगाना था बहुत बढ़िया देन आ जाते हैं आपके क्यूबिक के सम ऑफ रूट प्रोडक्ट ऑफ ट एवरीथिंग सम ऑफ रूट माइ बी बा ए था सम टेकन टू एट टाइम c बा ए था प्रोडक्ट ऑफ रूट माइडी बा ए था हमें आता है सर पर मुझे जरा यह बताओ अगर यहां पे 4 डिग्री इक्वेशन होती आई एम प्रिटी शोर सम तो अभी भी लिख लेते क्या s2 की जो छह टर्म्स थी वो कौन-कौन लिख सकता है फटाफट बता दो जो s2 की छह टर्म्स थी वो कौन-कौन लिख सकता है जो लिख सकता है कॉपी पर लिख लो सर पहले अल्फा के साथ ना सबके पेयरिंग कर दो अल्फा बीटा अल्फा गामा अल्फा डेल्टा सर फिर बीटा को उठाओ और अगले की पेयरिंग करो बीटा के साथ गामा बीटा के साथ डेल्टा वेरी गुड और इसकी वैल्यू क्या होती है सर - बी बा ए तो अगला क्या होगा सर c बा ए अब आएगी असली क्वेश्चन की बारी भाई तीन टर्म्स जो होती है टेकन थ एट टाइम वो चारों टर्म्स किसकिस को लिखनी आती है कॉन्फिडेंटली यह बताओ पॉज एंड थिंक फॉर फ सेकंड्स तरीका क्या था पहले अल्फा को उठाओ और इनमें से दो दो के पेयर अल्फा के साथ रख दो अल्फा को उठा लिया अब अल्फा बीटा गामा अल्फा के साथ बीटा डेल्टा और अल्फा के साथ गामा डेल्टा इससे अल्फा की टर्म सारी खत्म हो गई और अब जो तीन बच गई है उनकी एक टम बना दीजिए बीटा गामा डेल्टा तो आपकी चारों टर्म्स आ गई बहुत बढ़िया और वैल्यू क्या है - d बा a एंड लास्ट प्रोडक्ट ऑफ रूट दैट इज e बा a वंस वी नो रिलेशंस और उनके हमें टर्म्स लिखने आते हैं ये एक छोटा सा कांसेप्ट था फटाफट बताओ यहां पे क्या लिखा जाएगा व्हेन एवर वी आर फाइंडिंग और प्रूफंग सम कंडीशन एंड ड्यूरिंग द प्रोसीजर वी गेट वैल्यू ऑफ सम रूट ऑलवेज क्या करना चाहिए हम कोई कंडीशन ढूंढ रहे हैं या बेसिकली जो कफिट है उनमें कुछ रिलेशन बनाना चाह रहे हैं प्रोसीजर करते करते हमारे पास एक रूट की वैल्यू आ गई बहुत बढ़िया ऑलवेज मेक इट सेटिस्फाई द इक्वेशन ये सारे जवाब आपने आज देते रहना है सेटिस्फाई इक्वेशन उस रूट को सेटिस्फाई करा दो सवाल वहीं पर खत्म हो जाता है अच्छा नाउ नेचर ऑफ रूट की अगर बात करें डिस्क्रिमिनेंट हमें पता है अब मेन मुद्दा आता है हमें क्या-क्या चीजें याद है सारी की सारी अब असली टेस्ट होगा ध्यान देना हमें पता है डी पॉजिटिव है रियल एंड डिस्टिंक्ट रूट होते हैं जरा मुझे बताइए व्ट वास द कंडीशन फॉर कजुट इरेशनल रूट्स शाबाश बताइए व्ट वास द कंडीशन फॉर कंजुल रूट्स सर इरेशनल रूट तो तब आता है जब डी परफेक्ट स्क्वायर नहीं होता हां वो तो रैशनल रूट हो गया चलो ठीक है डी नॉ अ परफेक्ट स्क्वायर बट उससे वो कजुट नहीं हो पाएंगे उसके लिए एक कंडीशन और चाहिए थी आ गलत गलत गलत जी छी छी छी दिल तोड़ दिया बाय गड तभी कह रहा हूं आज सारी रिवीजन ऐसे ही होगी आपने अपने आप को टटोलना है और जहां-जहां गलती की वहां पे सही कर लेना है अपने आपको को लिख लेना है ये मैंने गलती की थी ी नॉट अ परफेक्ट स्क्वायर तो हमारे रूट्स इरल हो जाएंगे बट वो कॉन्जुलेरे शल हो जब कॉफिश एंट आपके रैशनल हो अच्छा अब इधर आ जाओ ये तो बता देना मेरे को अगर d नेगेटिव है तो नॉन रियल रूट्स आएंगे बट वो रूट कॉन्जुलेरे हमेशा कंजुरिंग पेयर में आते हैं आज एक-एक चीज ऐसी आप अपने आप को पूछते जाएंगे टटोल जाएंगे और इसी के थ्रू हम रिवीजन करने वाले हैं ट्रांसफॉर्मेशन अगर एक इक्वेशन है जिसके रूट अल्फा बीटा है और मुझे वो इक्वेशन चाहिए जिसके रूट 2 अल्फा 2 बीटा हो तो भाई मैं x को किस चीज से रिप्लेस करूंगा किस चीज से रिप्लेस करूंगा सर 2 अल्फा को x कह दीजिए अल्फा की वैल्यू आएगी x / 2 सर x को रिप्लेस करेंगे x / 2 से बहुत बढ़िया अगर मुझे 1 बा अफ 1 बा बीटा वाली इक्वेशन चाहिए तो किस चीज से रिप्लेस करेंगे x को किस चीज से रिप्लेस करेंगे सर / x के साथ अगर मुझे इक्वेशन चाहिए जिसके रूट अल्फा + 2 बीटा + 2 हो तो किस चीज से रिप्लेस करेंगे बहुत ही बढ़िया सर इसको रिप्लेस करेंगे x - 2 के साथ अल्फा + 2 को x कह दिया अल्फा की वैल्यू x - 2 जो अल्फा की वैल्यू आती है उसी से रिप्लेस करते हैं ये शॉर्टकट हर एक डिग्री के लिए काम करता है क्वाड्रेटिक क्यूबिक बाई क्वाड्रेटिक सबके लिए काम करता है बहुत बढ़िया अब वन रूट कॉमन बोथ रूट कॉमन कॉमन रूट में क्या था किस-किसको कंडीशन याद है सारी बोल दो कंडीशन लिखनी नहीं बस है यस और नो कंडीशन कितने को याद है अपने आप को पूछो कॉपी पे लिख के देखो क्या कंडीशन लिख पा रहे हो सर पहले दूर वाले का क्रॉस मल्टीप्लाई करते थे और उसका स्क्वायर कर देते थे फिर ये जो पास वाले हैं इनका क्रॉस मल्टीप्लाई और फिर अगले जो दो पास वाले हैं उनका क्रॉस मल्टीप्लाई मैं फिर से कह दूं यहां पे मैं बार-बार ऐसे चीज बोलूंगा नहीं ये आपको खुद ही देखना है जिस स्लाइड पे ये लिखा होगा ना वहां पे पॉज करके 5 सेकंड के लिए जो जो वहां पे अंडरलाइन छोड़ा है क्वेश्चन मार्क लिखा है उसका जवाब खुद से सोचना है एंड देन फिर मुझे थोड़ा सा देखकर अपने आप को कंफर्म करना है इस तरह से चलना है बहुत बढ़िया नाउ इन व्हिच टू कंडीशंस वी कैन अवॉइड यूजिंग दिस बिग कंडीशन ऑफ वन रूट कॉमन देखो ये बहुत बड़ी सी कंडीशन होती है हम इसे लगाना थोड़ा अवॉइड करने की कोशिश करते हैं तो ऐसे कौन-कौन से क्वेश्चंस थे या सवाल थे जहां पर हम इसे अवॉइड करके जुगाड़ से सवाल कर सकते हैं शाबाश अपने आप को सोच लो बहुत बढ़िया सर पहला इफ वन इक्वेशन इज कंपलीटली नोन कंपलीटली नोन अगर एक इक्वेशन ऐसी है जो पूरी की पूरी पता है तो मैं उसके दोनों रूट ही निकाल लूंगा और दोनों रूट निकाल लूंगा तो वहां से पता लग जाएगा कि या तो यह कॉमन रूट या ये कॉमन रूट दूसरा कंडीशन क्या था दूसरा कंडीशन क्या था दूसरा सवाल कैसा होता है जहां पर मैं इस कंडीशन को लगाना अवॉइड करता हूं और किसी और तरीके से करता हूं बहुत बहुत बढ़िया सर इफ वी कैन सॉल्व द गिवन टू इक्वेशंस टू गेट अ नाइस कॉमन रूट अ नाइस कॉमन रूट अगर वो दो इक्वेशन सॉल्व होके आपको कॉमन रूट डायरेक्टली दे ही देती है तो हम कह देते हैं कि ये रहा कॉमन रूट ये सेटिस्फाई करेगा दोनों को बहुत ही बढ़िया नाउ कॉमन रूट जब दोनों हो जाते हैं तो प्रोपोर्शनैलिटी आ जाती है इसमें कोई बड़ी बात नहीं है टू कॉमन रूट्स कब होते हैं जब कॉफिश एंट प्रोपोर्शनल होते हैं अब आते हैं ग्राफ की बात में देखो भैया a पॉजिटिव था तो अपवर्ड पैराबोला था और वर्टेक्स - b / 2a - d / 4a बिठा लो दिमाग में क्वाड्रेटिक हो पैराबोला ही बनेगा और वर्टेक्स हमेशा यही आएगा चाहे वो अपवर्ड बने चाहे वो डाउन वर्ड बने मेन जो मुद्दा आता है वो इसका आता है कि x एक्सिस को वो कट कर रही है या टच कर रही है या ऊपर नीचे चली गई मतलब मीट ही नहीं की मुद्दा यहां पे आता है अगर डीप पॉजिटिव है तो पक्की बात है आपके दो रूट आने वाले हैं दो रूट आने वाले हैं तो क्वाड्रेटिक की कुछ वैल्यूज नेगेटिव रहेंगी और कुछ वैल्यूज पॉजिटिव रहेंगी हां जी सर बट अगर मेरा डी जीरो हो गया तो भाई क्वाड्रेटिक अपने साइन को चेंज नहीं कर पाएगी यानी कि अगर उसकी वैल्यूज पॉजिटिव है तो मैक्स टू मैक्स जीरो तो बन पाएगी बट ने नहीं बन पाएगी सेम अगर वैल्यूज नेगेटिव थी तो वो नेगेटिव ही रहेंगी जीरो बन पाएगी बट पॉजिटिव नहीं बन पाएगी तो इ 0 मतलब आपका क्वाड्रेटिक अपना साइन चेंज नहीं कर पाएगा बहुत बढ़िया नाउ सबसे इंपॉर्टेंट केस डी पॉजिटिव और डी नेगेटिव जब भी डी नेगेटिव दिया हो आपने क्या कंक्लूजन 4ac नेगेटिव ग्राफिकली ग्राफ एक्स एक्सिस को मीट ही नहीं करता रूट ही नहीं आ रहे अगर ग्राफ एक्स एक्सिस को मीट ही नहीं करता तो या तो पूरा ही ग्राफ ऊपर रह जाएगा या पूरा ग्राफ नीचे रह जाएगा यानी कि क्वाड्रेटिक या तो हमेशा पॉजिटिव हो जाएगा या हमेशा ही नेगेटिव हो जाएगा और यहीं से इसकी कंडीशन आप खुद लिखेंगे फटाफट लिखिए कि रेंज क्या थी यह यहां पर क्या आना चाहिए यहां पर क्या आना चाहिए अगर आपको यह पता हो यह यहां पे क्या आना चाहिए यहां पे क्या आना चाहिए अगर आपको यह पता हो फटाफट पॉज करके अपना जवाब दिमाग में सोच लीजिए फिर आप मैच करेंगे मेरे साथ रेंज क्या होती है सर रेंज जो होती है ना हमेशा - b / 2a - d सॉरी फेटे मुंह रेंज की बात हो रही है तो - d / 4a से इनफिनिटी तक जाता है अगर a पॉजिटिव हो और - इनफिनिटी से - d / 4a तक होता है अगर a नेगेटिव अब आप मुझे जवाब दीजिए इसका यहां पर क्या आएगा और यहां पर क्या आएगा इन दोनों जगह पर क्या आएगा अ क्वाड्रेटिक इज दिस जीरो दिस x बहुत बढ़िया सर ए पॉजिटिव डी नेगेटिव मतलब क्वाड्रेटिक ग्रेटर दन जीरो होगी फॉर ऑल एक हमेशा ही पॉजिटिव रहेगी सिमिलरली बहुत बढ़िया यार लेसन जीरो फॉर ऑल x दोनों साइड से आपने चीजों को सोचना सीखना है दोनों साइड से कभी ये गिवन है कभी ये गिवन है यही दिमाग में चलाना है पूरा अगर ये चल रहा है मतलब आपका कॉन्फिडेंस सुपर हाई रहेगा कि मुझे आता है मुझे भूला तो नहीं है अब यूज करना है उसको बस बहुत बढ़िया रेंज ऑफ क्वाड्रेटिक फॉर x बिलोंग टू सम इंटरवल अगर मुझे क्वाड्रेटिक की रेंज निकालनी हो जहां पे x लिमिटेड हो y = x स् + x + 1 और आपको x दे दिया गया -5 से -1 आपको एक्स दे दिया गया ट से 3 और आपको x दे दिया गया -1 से ू तो रेंज कैसे निकाली जाएगी किसकिस को याद है बता दो फटाफट अगर याद है तो बताओ इसमें रेंज निकालने के लिए मुझे कौन-कौन सी वैल्यूज निकालनी होंगी इस केस में रेंज निकालने के लिए मुझे कौन-कौन सी वैल्यूज निकालनी होंगी बहुत बढ़िया सर इसका वर्टेक्स - b / 2a पे आता है जो कि - 1/2 है अगर वह वर्टेक्स - b / 2a इंटरवल के अंदर नहीं बैठा तो आंसर हमेशा बाउंड्री पॉइंट से आता है जो बाउंड्री पे बैठे हैं तो f ऑफ -5 निकाल लीजिए f ऑफ -1 इनमें से जो छोटा है वह मिन होगा जो बड़ा है वह मैक्स होगा खत्म यही रेंज आएगी मेरी अगेन -1 बा 2a इंटरवल में नहीं बैठा हुआ नहीं बैठा हुआ तो भैया बस बा पर वैल्यू निकाल लीजिए इन्हीं से मेरे मैक्स मन मिल जाएंगे इन्हीं में मेरे मैक्स मन बैठे हुए होंगे बट अगर मेरा जो वर्टेक्स है माइन बी बा 2a माइव बाटू माइव बाटू वो मेरे इंटरवल में बैठा हो फिर आपको माइव बाटू यानी कि माइनस बी बाटू प भी वैल्यू निकालनी पड़ती है अलोंग विद बाउंड्री पॉइंट्स बस इनम से आप आपके मैक्स मेन आ जाएंगे बोलो सवाल छप गया दिमाग में क्लियर हो गया बहुत बढ़िया तो यह हो गया रेंज ऑफ क्वाड्रेटिक अगर आपका x किसी इंटरवल में हो देन आ जाता है अगर आपके लोकेशन ऑफ रूट की बात करें अब यहां पे उल्टा पढ़ेंगे उल्टा उल्टा उल्टा पढ़ेंगे दिमाग उल्टा चलाओ एक क्वाड्रेटिक है ओके और एक नंबर है k मुझे बोला गया व्हाट वाज द कंडीशन फॉर अ नंबर k टू लाई इनसाइड द रूट सोचो अगर मैं चाहता हूं कि k रूट के अंदर हो तो मैं क्या कंडीशन लगाऊंगा आप क्वाड्रेटिक को fx9 के टू लाई आउटसाइड द रूट मुझे बोला कि ऐसा अननोन दिया कुछ इक्वेशन में ये अननोन फाइंड करिए ताकि ना फाइ रूट्स के बाहर चल जाए फ रूट्स के अंदर नहीं होना चाहिए तो दो कंडीशन लगेंगी गलती कर ग यहीं पर गलती कर गए दो कंडीशन लगेंगी अगर मैं चाहता हूं कि एक नंबर रूट के बाहर हो तो दो कंडीशन वेरी गुड ए के पॉजिटिव करिए एंडडी को ग्रेटर इक्व ट 0 करिए और अब मुझे जवाब दीजिए इसका अगर तो बाहर भेजना है फिर तो काम आसान हो गया मुझे कहा था बाहर भेजो पर एक पर्टिकुलर साइड पर भेजो फ ना दोनों रूट से छोटा होना चाहिए तो फ बाहर भी है और लेफ्ट साइड प है वेरी गुड तो व्हाट एक्स्ट्रा कंडीशन अदर देन सेकंड कंडीशन वी यूज टू मेक शर के लाइज ऑन पर्टिकुलर साइड वेरी गुड वी कंपेयर k विद - ब बा 2a वर्टेक्स के पॉइंट से कंपेयर करते हैं शाबाश छा गए बस अपने आप को ये पुश करते रहो तो ये तीन कंडीशन थी अब आता है मेन पॉइंट पिछली बार जेई मेन में पिछले तीन सालों में दो बार सवाल इस पे आया है अब इसका ये फिल इन द ब्लैक्स आपने भरना है ऑफकोर्स टाइम लेके फिर जवाब दीजिए फिर 10 सेकंड आगे करके मैच कर लीजिए वीडियो को fk1 fk2 लेन 0 इंप्लाइज दैट ओनली वन ऑफ द k1 एंड k2 लाइज इनसाइड द रूट ओके यह कंडीशन जो होती है यह इंप्ली करती है कि k1 के2 में से सिर्फ एक ही है जो रूट के अंदर है तो जब भी हमें सवाल आता है कि आउट ऑफ टू एंड फाइव ओनली वन शुड लाई इनसाइड द रूट यानी कि एक अंदर हो और एक बाहर हो कुछ ऐसा एक बाहर एक अंदर तो पहले तो हम ये कंडीशन लगाते हैं पर उसके बाद एक स्टेप और करना पड़ता है वो स्टेप क्या था बताइए वही तो आ बहुत बढ़िया क्योंकि वही पेपर में डिस्टिंग्विश करेगा आपको + 4 और -1 में सर जब भी हम चाहते हैं कि k1 k2 में से सिर्फ एक नंबर अंदर हो तो पहले ये कंडीशन लगाते हैं और फिर जो हमारा आंसर आता है उसमें जो बाउंड्री पॉइंट्स होते हैं उनको अलग से चेक करते हैं इन दिस केस यू नीड टू चेक बाउंड्री पॉइंट्स सेपरेटली बाउंड्री पॉइंट्स ऑफ योर आंसर ऑफ योर आंसर तो जो इंटरवल आपका आ जाएगा उसके बाउंड्री पॉइंट्स को अलग से चेक करते हैं जिसको ये भूल रहा है ना मार्क कर लो देखो ये सारे चैप्टर मैंने वन शॉर्ट में करवाए हुए हैं विद टाइम स्टैप्स लगे हुए हैं जहां पे लगा ये पूरा याद नहीं आया लिख लो अपने पास इमीडिएट आफ्टर सेशन वन शॉर्ट के टाइम स्टैंप पर जाके 5 मिनट लगा के ये कांसेप्ट खा जाना है इस तरह से बाय द एंड ऑफ डे आपको पूरा मैथ खा जाना है बहुत ही बढ़िया 11वी के आ गए क्लास में वेरी गुड सर ओनली y ओनली y इज द इमेजिनरी पार्ट ओके नाउ कंजुल मॉडल अस आर्गुमेंट की अगर बात की जाए तो भैया फ आयो का आर्गुमेंट कॉन्जुलेरे जो जो पूछा गया है वैसे वैसे ही बताना है इनमें राइट हैंड साइड पूछी गई है और इनमें लेफ्ट हैंड साइड पूछी गई है आ जाओ फटाफट शुरू हो जाओ पॉज करके पहले सारे सोच लो और फिर मैच करो पावर हर जगह अंदर बाहर चली जाती है कितनों को याद है पावर हर जगह अंदर बाहर चली जाती बहुत बढ़िया मूल्य कंजुल बहुत ही टूटा हुआ इंसान है हर जगह टूटता है प्रोडक्ट पे रेशो पे एडिशन पे सबटेक्स्ट है बहुत बढ़िया खा गए खा गए तुम लोग खा गए सर इसमें ना आयो मिसिंग है सर ू आयो इमेजिनरी z को ऐसे लिखा जाता है तो अगर आप ऐसे लिख रहे हो तो यहां पे नीचे आयो भी लगाना पड़ेगा खा गए बहुत बढ़िया खा गए नाउ अगर हम बात करें भैया यह पॉइंट हो गया आर्ग प्लेन में जो z को रिप्रेजेंट करता है इस लेंथ को मड z कह देते हैं और इस एंगल को हम आर्गुमेंट कहते थे नाउ इसके बारे में आपने मुझे अब ये चीजें बतानी है कॉन्जुलेरे इज्जत होती है या नहीं होती है कंजुल की मोड के अंदर इज्जत होती है या नहीं होती है सर नहीं होती है नहीं होती का मतलब अगर मोड के अंदर बहुत सारे टर्म्स बैठे हैं बहुत सारे टर्म्स बैठे हैं और उन सबके ऊपर कॉन्जुलेरे टूट जाता है और रेशो पर भी टूट जाता है पावर हर जगह अंदर बाहर चली जाती है हर जगह बोलूंगा कजुट मोड में आर्गुमेंट में तो बाहर आती आगे आती है तो पावर अंदर बाहर चली जाती है अब यह बताइए जरा इसमें मुझे आंसर चाहिए आपका दिस इज द प्रॉपर्टी जिस पर सवाल आता है व्हेन एवर द वैल्यू ऑफ मोड ज इज गिवन हम क्या यूज करते हैं जब भी मोड ज की वैल्यू गिवन होती है सवाल में हम क्या यूज करते हैं बहुत बढ़िया सर हम यूज करते हैं कि मोड z स्क्वा इज z * z कंजुल में जैसे मर्जी यूज कर दो सवाल खत्म हो जाता है किसी भी सवाल में अगर मोड z की वैल्यू गिवन है उसे ऐसे लिख लीजिए स्क्वायरिंग करके और इस चीज को अपने गिवन सवाल के मैं जहां मर्जी जैसे मर्जी यूज कर दो सवाल खत्म हो जाएगा बहुत बढ़िया अगर ट्रायंगल इन इक्वलिटी की बात करें ये तो ठीक है सर मड z1 + z2 मुझे पता है सर ये एडिशन में ऐसा होता और सर सबक्स में ना ऐसा होता है और बाहर भी एक मैग्नी ूड्स मन निकालने के लिए यूज करते समय कितने बच्चे जानते हैं कि आपको एक ही स्टेप करना होता है अगर ए प्स बी लिखा है चाहे a माइनस बी लिखा है कोई फर्क नहीं पड़ता अगर ऐसे एक्सप्रेशन से मैं मैक्स निकालना चाहता हूं तो मैं ऊपर वाली इक्वलिटी यू करना चाहूंगा तो इसमें < = मड a + मड b कर देते हैं फॉर मैक्स और अगर ऐसी जगह पे मैं मिन निकालना चाहता हूं मिन तो क्या करते हैं सर पता क्या करो मिन आएगा ग्रेटर दन इक्वल टू से और उसके लिए यहां पे माइनस चाहिए होता है a - - b लिख दो सर अब लगा दो मड a - मड ऑफ - b खत्म ये सबको याद था ऐसे एक्सप्रेशन से मैक्स निकालनी तो ये लगा दो मिन निकालनी तो ये लगा दो है एक ही चीज एक ही चीज से वैल्यू आनी है मैक्स मिन हमेशा शाबाश नाउ इफ थीटा इज आर्गुमेंट ऑफ जड देन डैश इज आल्सो एन आर्गुमेंट ऑफ ज बताइए अगर एक नंबर का आर्गुमेंट थीटा है तो उसी नंबर का आर्गुमेंट यह भी है बोलो क्या बहुत बढ़िया सर थीटा में अगर 2n पा ऐड कर दो तो डायरेक्शन चेंज नहीं होती और आर्गुमेंट का काम डायरेक्शन देना है तो थीटा और थट थ प् 2n पाई दो डिफरेंट आर्गुमेंट है बट दोनों सेम डायरेक्शन को रिप्रेजेंट कर रहे हैं वैल्यू ऑफ आर्गुमेंट च लाइज इन माइनस पा टू पाई अब यह मैं आप डाउट नहीं करूंगा सर्फ प्रिंसिपल आर्गुमेंट कहते हैं यह आप पर डाउट नहीं किया जाएगा आर्गुमेंट ऑफ पोरली इमेजिनरी नंबर्स बताइए जो पोरली इमेजिनरी नंबर्स होते हैं उनका आर्गुमेंट क्या होता है पोरली इमेजिनरी नंबर्स का आर्गुमेंट क्या होता है वेरी गुड सर प्लस माइनस पाई बायट अगर आपका नंबर के आयो टाइप का है के आयो और के पॉजिटिव है तो भैया पाई बाटू और अगर माइनस है तो माइनस पा बाटू और पोरली रियल नंबर का सर जीरो 2 पाई अब इसमें 2 ए पाई ऐड करते रहिए 2 ए पाई ऐड करते रहिए सॉरी 0 और पाई अब इसमें 2 एंड पाई ऐड करते रहिए तो सेम ही रहेगा बहुत बढ़िया अब आ जा यहां पर मुझे इसका तुमसे चाहिए कि हां सर यह बना लिए और तीनों के तीनों हम बना पाए इसका सवाल पेपर में आएगा आपको इसके बेस पर प्लॉट करिए यह मेरे हिसाब से आपको आना चाहिए लॉग होता है लॉग बोले तो भैया प्रोडक्ट जो है वह एडिशन में टूट जाएगा डिवीजन जो है वह सबक्स में टूट जाएगा और पावर जो है वो बाहर आ जाएगी पर अगर यहां पे कंजुन्नी बच्चे समझते हैं इस बात को कि इन सब में कायदे से + 2n पा लिखना चाहिए कायदे से + 2n पा एडजस्टमेंट करने के लिए सबको पता है क्योंकि डायरेक्शन तो सेम है बट आर्गुमेंट लिखते समय में उसको थीटा या थ + 2n पा कुछ भी लिख सकता था तो इन दोनों को इक्वेट करते समय कुछ 2n पा का एडजस्टमेंट करना पड़ सकता है बहुत बढ़िया अब आता है कि क्या मैं यह सारे बना पा रहा हूं कितने बच्चे हैं जो गिवन जड के लिए माइनस जड जड कॉन्जुलेरे यहां पे आता है क्योंकि x और y दोनों ही नेगेटिव हो गए और सर इसका कॉन्जुलेरे ऐड कर दीजिए तो वो मिल गया बहुत बढ़िया और यहां पे क्या आ गया माइनस इसका नेगेटिव है तो माइनस आर्गुमेंट ऑफ z + पा इसके आर्गुमेंट में पाई ऐड कर दिया ऑफकोर्स + 2n पा लगाते रहना + 2n पा लगेगा फॉर मतलब वो उसको होल्ड कराने के लिए कई बारी क्योंकि आर्गुमेंट को लिखने के तरीके आ जाते हैं वेरियस फॉर्म में लिखने के तरीके क्या-क्या थे पोलर फॉर्म क्या थी भैया r सिज थीटा सिज थीटा की फुल फॉर्म कोस थीटा प्स आयो सान थीटा यूलर फॉर्म क्या थी आर प आयो थीटा सबसे पहला इंपोर्टेंट पॉइंट क्या है सबसे पहला इंपोर्टेंट पॉइंट सर e पार आयो थीटा का मोड क्या था बताइए e पार आयो थीटा का मोड क्या था अपने आप को टटोल रहिए सर वन रीजन बीइंग हमारा जो e पार आयो थीटा है वो क थीटा प् आटा सा थीटा ही होता है उसी की वैल्यू लिखी जाती है ऐसे सबसे बढ़िया शाबाश अब व्हिच फॉर्म इज वेरी एफिशिएंट फॉर हैंडलिंग बिग एंड बैड पावर्स ऑफ अ कॉम्प्लेक्शन की है तीसरी बार रिवीजन कर रहे हो खा पा रहे हो अच्छे से चीजों को तीसरी बार रिवीजन हो रही है पूरा पूरा पूरा खा पा रहे हो अपने आप को पुश कर पा रहे हो टटोल पा रहे हो मुझे याद था मुझे भूल गया था ये क्लियर था इसमें हल्का सा डाउट था डी वेरी गुड डी मोरे थ्योरम डी मरे थ्योरम क्या थी हमारी सर ये पावर जो होती है ना अंदर आ जाती है थीटा में कस n थीटा प्लस आयो साइन n थीटा सर पावर जो है अंदर आ जाती है बिल्कुल नाइस छा गए क्यूब रूट ऑफ यूनिटी फटाफट आ जाओ भैया z क इ 1 के रूट्स को कहते थे राइट एक वन आता है एक ओमेगा और एक ओमेगा स्क्वायर मुझे पता है ओमेगा क्यूब तो वन होता है और 1 प् ओमेगा प् ओमेगा स्क्वा 0 होता है जरा तीसरे वाला आप बताइए सम ऑफ थ्री कंजेक्टिव पावर्स ऑफ ओमेगा क्या होता है ओमेगा की तीन कंजेक्टिव पावर्स का सम क्या होता है सर कोई भी तीन कंजेक्टिव पावर जो होंगी उनका सम जीरो ही बनेगा क्योंकि उनमें से सबसे छोटी कॉमन निकालने पर अंदर यही बचेगा और ये तो जीरो होता है वेरी गुड अब यह बताओ z स् ् z+ 1 = 0 के रूट्स क्या थे सवाल में कभी भी वो ओमेगा या ओमेगा स्क्वा नहीं बोलते ऐसी चीजें बोलते नहीं वो तो एक इक्वेशन दे देते हैं इसको सेटिस्फाई करता है राइट तो जरा बताइए इसके रूट क्या थे z स् ् z+ 1 = 0 के सर ओमेगा एंड ओमेगा स्क्वा और अगर यहां बीच में माइनस आ जाए z स् - ज + 1 इसके रूट क्या होते हैं माइनस ओमेगा एंड माइ ओमेगा स्क्वा बहुत बढ़िया इस तरह से आपका सवाल में z को देते हैं और ओमेगा उसकी वैल्यू होती है हाउ मड इज यूज टू मेंशन डिस्टेंस बिटवीन टू पॉइंट अगर मुझे z1 और z2 अब हम ज्योमेट्री प आ रहे हैं अगर एक पॉइंट है p जो कि z1 को रिप्रेजेंट करता है और एक पॉइंट है q जो z2 को रिप्रेजेंट करता है और मैं इनके बीच के डिस्टेंस को रिप्रेजेंट करना चाहता हूं यूजिंग मोड तो यह डिस्टेंस मैं कैसे रिप्रेजेंट करता हूं आ शाबाश सर हम इसे रिप्रेजेंट करते हैं मोड ऑफ z1 - z2 मोड ऑफ z1 - ज2 तो अगर मैं लिखता हूं मोड ऑफ ज माइ z1 आप इसे कैसे पढ़ेंगे सर इसे पढ़ेंगे डिस्टेंस ऑफ जड फ्रॉम z1 और अगर मैं इसकी कुछ वैल्यू दे देता हूं सेट तो आप क्या कहेंगे सर डिस्टेंस ऑफ ज फ्रॉम z1 इटू सर अगर आप जड का लोकस पूछने वाले हो तो पहले बता देता हूं जड का लोकस एक सर्कल बनने वाला है जिसका सेंटर z1 है और रेडियस टू है बहुत बढ़िया अब मुझे बताओ यह वाला सर्कल कितनों को याद था z - z1 z - z2 = k वेर k इज नॉट वन इससे क्या बनता है व्हाट इज द लोकस ये किस लोकस को रिप्रेजेंट करता है सर यह एक सर्कल को रिप्रेजेंट करता है यह कौन सा सर्कल है इसको ज्योमेट्री सोचोगे थोड़ा मुश्किल होगा जिसने नहीं पढ़ा हुआ तो अगर इसकी इक्वेशन निकालनी आ गई तो इसको x+ आयो y रखना x+ आयो y रखना मोड खोल देना स्क्वायरिंग कर देना इक्वेशन आ जाएगी बहुत बढ़िया नाउ अब आती है आपकी मेजर जो सवाल अक्सर बनते हैं वह बनते हैं आपके एलिप्स और हाइपरबोला को लेके तो आओ देखते हैं कितनों को तीनों केस याद है a जो है और बी जो है z1 ज2 को रिप्रेजेंट कर रहे हैं और यह फिक्स्ड पॉइंट्स है ओके z मूव कर रहा है जिसका लोकस पूछा गया है पहले तो उसको सही तरीके से पढ़िए डिस्टेंस ऑफ z फ्रॉम z1 प्लस डिस्टेंस z फ्रॉम z2 इक्व ट के दिया हुआ है अगर मेरा के ग्रेटर दन z1 माइ ज2 है तो क्या बनेगा पहले वाले में क्या बनेगा रोशन कह रहे सर इज दिस रिकॉर्डेड हां हां बेटा रिकॉर्डेड ही है तुम्हारे लिए रिकॉर्डेड है टेंशन नहीं लेनी ठीक है आ जाओ के ग्रेटर मोड ऑफ z1 - z2 क्या यह कुछ बनेगा सर यह रही पहली साइड और यह रही दूसरी साइड सम ऑफ टू साइड की जो वैल्यू है वो तीसरी साइड से बड़ी दी हुई है तो सर इसमें एलिप्स बनेगा ऑफकोर्स इससे मेरे कहने का मतलब क्या है इस केस में क्या होगा सर कुछ नहीं बनने वाला सम ऑफ टू साइड्स की जो वैल्यू है वो लेस दन थर्ड साइड तो हो ही नहीं सकती नो लोकस इसे ऐसे ही याद रखना है अगर कंफ्यूजन होता है ऐसे पी जाओ अब आता है यह वाला सिनेरियो यह कितनों को याद है व्हाट डज दिस रिप्रेजेंट अगर ये जो k है उसकी वैल्यू z1 - z2 के के मोड के बराबर आ गई सर वेरी गुड सर यह ना दो पॉइंट जो है आपके a और b a और b उनको जॉइन करती हुई लाइन सेगमेंट को रिप्रेजेंट करेगा अब इसी का उल्टा होता है आपके हाइपरबोला में सोच के बताना जल्दी मत करना फिर बता रहा हूं डिस्टेंस ऑफ़ z फ्रॉम z2 माइनस डिस्टेंस ऑफ़ z फ्रॉम z2 z1 k दिया हुआ है डिफरेंस ऑफ टू साइड की वैल्यू k दी हुई है अगर यह वैल्यू तीसरी साइड से छोटी है तो क्या बनेगा शाबाश पहले वाले में क्या बनेगा हाइपरबोला बनेगा वेरी गुड शाबाश हाइपरबोला इसमें क्या बनेगा डिफरेंस ऑफ टू साइड की जो वैल्यू है वो तीसरी साइड से बड़ा दिया हुआ है तो क्या बनेगा सर कुछ नहीं बनना डिफरेंस ऑफ टू साइड तीसरी साइड से बड़ा तो हो ही नहीं सकता नो लोकस और इसमें यह सबसे इंपोर्टेंट पार्ट होता है इसमें क्या बनता है शाबाश बोल दीजिए अब कह भी दो आई लव यू टू सर इसमें क्या बनता है लाइन नहीं बनती मैंने पिटाई करनी लाइन सेगमेंट भी नहीं बनती ओ फेटे मुह दिल तोड़ दिया मेरा जो आपके पॉइंट है ना ए और बी वहां से शुरू होती हुई दो रेज बनती है बाहर की ओर टू रेज रेज बनती है ए और बी के बाहर की तरफ नाइस अब आता है सीक्वेंस एंड सीरीज सीक्स एंड सीरीज की बात करें तो यह मैं आप में से किसी पर डाउट नहीं कर रहा कि किसी को भी यह डाउट होगा एपीजीपी टर्म सम टर्म सम इसमें कोई डाउट नहीं है मेरे को आते हैं यहां पे थ्री टर्म्स ए की कैसे अज्यू करते थे यह मुझे डाउट नहीं है मुझे पता है आप बता देंगे बस मुझे यह बताइए अगर आपने टर्म्स ऐसे अजूम की है तो आपके सीक्वेंस की फर्स्ट टर्म क्या है इज इट ए इज इट ए नो सर इट इज ए माइनस डी अगर फोर टर्म्स अजूम की है तो मुझे पता है कि ऐसे अजूम करते हैं मुझे तुम पर डाउट ही नहीं है और पहले का जवाब दे के मुझे यह भी समझ आ गया कि तुमको पता है कि फर्स्ट टर्म क्या है पर क्या मुझे कॉमन डिफरेंस बताओगे अगर टर्म्स को ऐसे अजूम किया है तो कॉमन डिफरेंस क्या होता है आपका सर डी होता है वेरी गुड डी छा गए छ गए अब आता है असली टेस्ट जहां पर मैक्सिमम बच्चे गलती करते एथ ऑड नंबर क्या होता है किसी सवाल में अगर मुझे एथ ऑड नंबर की जरूरत पड़ जाए तो उस नंबर को क्या लिया जाता है 2 ए मानव प्लस व बिल्कुल नहीं बोलना बच्चों ने दूसरे का जवाब भी दिया सम ऑफ फर्स्ट एन ऑड नंबर्स ए स्क्वा होता है ये दोनों चीज हमें दिमाग में रखनी चाहिए छा गए नाउ आ जा यहां पर जीपी में यह बेसिक पॉइंट हमें पता है टर्म्स कैसे अजूम करते हैं अगर मुझे ए के याद है तो यह तो मुझे भूल ही नहीं सकते यह गलत लिख दिया मैंने यार ए बा आ कब ए बाय आ ए क्यूब ऐसे ये भी चलो इसमें मेरे को कोई डाउट नहीं था यह मैंने क्यों पूछ लिया आपसे पता नहीं इसमें मुझे यह तो आप पर डाउट नहीं है ए ऑफ टू नंबर ऐसा होता है ए ऑफ 3 नंबर ऐसा होता है ए इज बेसिकली सिंपल एवरेज मुझे यह बताइए अगर सवाल में कभी गिवन हो a1 इज 1 ए बिटवीन स्मल ए एंड बी इसका मतलब क्या होता है शाबाश अगर a1 आपको दिया गया है कि 1 ए है बिटवीन a एंड b तो इसका मतलब क्या होता है शाबाश सर इसका मतलब a को अगर a और b के बीच में रखेंगे तो आपको ए मिलेगी सिमिलरली अगर a1 एंड a2 आपको दिया हो कि 2 ए है बिटवीन a एंड b तो इसका मतलब क्या होता है इसका मतलब होता है कि जब a1 और a2 को a और b के बीच में रखा जाएगा तो आपको ए मिलेगी इसे कहते थे इंसर्ट ऑफ ए बिटवीन टू नंबर और जब भी इंसर्ट करते हैं जब भी इंसर्ट करते हैं a1 a2 सोन टू ए ए आ ए एम् बिटवीन ए एंड बी तो भैया कॉमन डिफरेंस की वैल्यू क्या आती थी बहुत बढ़िया पहले जवाब तैयार है तुम लोगों के हमारे कॉमन डिफरेंस की वैल्यू क्या आती थी सर b - a अप n+ 1 और हमारा के ए क्या होता था a की वैल्यू क्या होती थी अगर a1 a2 सो ऑन टू ए r ए बिटवीन ए एंड बी तो एक की की वैल्यू क्या होती थी शाबाश बोलिए ए प्लस शाबाश शाबाश वेरी गुड ए प्स केडी ए प्स केडी ए प् केडी नाइस सिमिलरली ज्योमेटिक मीन में आ गया यह मुझे आप पे डाउट नहीं है और यह भी मुझे आप पे डाउट नहीं है ज्योमेटिक मीन होता है प्रोडक्ट रे टू पावर व बाय नंबर ऑफ टर्म्स बस ये कंफर्म कर दीजिए अब तो आप कर ही देंगे पिछला देख लिया पार्ट अच्छे से g1 इज कॉल्ड 1gm बिटवीन a एंड b ऐसा कब कहते हैं अगर g1 a और b के बीच का एक जीएम है तो इसका मतलब क्या होता है वेरी गुड सर जीप बनती है जब भी इसको a और b के बीच में रखा जाएगा और अगर दो बोले हैं g1 g2 आर टूज एम्स बिटवीन a एंड b तो जब भी इन दो नंबर्स को a और b के बीच रखा गया है तो आपको अब मुद्दा तो वही है इन जनरल इन जनरल जरा बताइए जब हम एन जीएम इंसर्ट करते हैं तो आर की वैल्यू क्या होती है जब हम एनजीएम इंसर्ट करते हैं तो आ की वैल्यू क्या आती है बहुत ही बढ़िया बी बाय एव बाय कुछ बच्चों ने गलती कर दी न बाय ए लिख दिया न बाय ए नहीं न बाय ए नहीं ओए 1 बा n प्व लिखना था क्या कहते हो हा या यही से याद यहां भी n प्व आता है और यहां पावर में आता है बहुत बढ़िया और अगर जी के की बात की जाए ए आ पावर के ओके अब आ जाओ यहां प इसका जवाब देखते कितने बच्चे दे पाते कितने बच्चे अंदर टोल पाते हैं सम ऑफ ए एम इंसर्टेड बिटवीन ए एंड बी इ इक्वल टू आपने ए और बी के बीच में ए ए बिठा दिए मीनिंग को पता है उन ए एम्स का सम सुंदर फॉर्म में कैसे लिखा जाता है वेरी गुड सर इट इज n टाइम ए प् बी बा 2 और सेम जीएम के लिए बताओ प्रोडक्ट ऑफ एजीएम बिटवीन ए एंड बी आपने ए और बी के बीच में एजीएम इंसर्ट कर दिए और उन ए के एजीएम का मैंने प्रोडक्ट पूछा तो कैसे आता है सर जो ए का जीएम है ना उसकी पावर n उसकी पावर n शाबाश चमक गया याद आ गया बहुत बढ़िया जो जो चीज ऐसी लगी कि इस समय आपको सोचनी पड़ी उसको मार्क करते ना क्योंकि उसको आपने एक बार और देखना है फिर आता है आपका एजीपी भैया एजीपी क्या होता है ए और जीपी एक साथ चलती थी हां जी सर मुझे जरा यह बताइए क्योंकि हमें जी ए प में हमेशा सम निकालना पड़ता है तो सम निकालने के स्टेप क्या थे पहला स्टेप दूसरा स्टेप तीसरा स्टेप एंड देन सर जरा एी पी का सम निकालने का स्टेप याद करो क्या क्या स्टेप थे सर सबसे पहले व मल्टीप्लाई मल्टीप्लाई बोथ साइड्स बाय आर जो आपकी जीपी बैठी है बीच में उससे दोनों साइड को आ से मल्टीप्लाई कर देते हैं फिर क्या करते हैं सेकंड स्टेप क्या होता था शाबाश सर पहले आ से मल्टीप्लाई करते हैं सर फिर सबक्स बाय शिफ्टिंग टम टू द राइट याद आ रहा है शिफ्टिंग वन टर्म इस तरह से पूरा प्रोसीजर दिमाग में छपा हुआ होना चाहिए बाय शिफ्टिंग वन टर्म टू द राइट अब यहां पर मेरा सवाल यह है जब हम ऐसे शिफ्ट करके सबकट करते थे तो लेफ्ट हैंड साइड तो ठीक है ए माइन आ ए आ जाती है राइट हैंड साइड पर पहले एक टर्म बचता है फिर एक ब्रैकेट आती है और फिर आखिर में एक टर्म बचता है इस बीच वाली ब्रैकेट में कितने टर्म्स आते थे यहां पे कितने टर्म्स आते थे ओय शाबाश जीप विद n-1 टर्म्स कंप्लीट बात लिखी बच्चे ने जीप विद n-1 टर्म्स शाबाश और फिर हमारा सवाल खत्म होता था आ गए व आ गए बात बिल्कुल सही अब आ गया ए जीएम का रिलेशन भैया हमें पता है कि ए ्र g ए होता है बराबर तब होते हैं अगर सारे टर्म्स बराबर हो जिस टर्म पे आप जिन टर्म्स पे ए जीएम लगा रहे हो अगर वो टर्म्स इक्वल है तो यहां पे इक्वलिटी अगर इक्वल नहीं है तो ग्रेटर देन आएगा नाउ लेट मी आस्क यू वन थिंग अगर मैं एजीएम से मिनिमम वैल्यू निकालना चाह रहा हूं और जिन टर्म्स पे मैं एम जीएम लगा रहा हूं वो टर्म्स आपस में इक्वल नहीं हो सकते कभी भी यानी कि ये वाला केस बनेगा तो क्या आपको ए जीएम से मिन वैल्यू मिलेगी या नहीं मिलेगी सर अगर एम जीएम से बड़ा ही रह गया तो यह तो ग्रेटर देन रहेगा ग्रेटर देन मतलब कि वह मिन के बराबर तो हो ही नहीं पाया मिन के बराबर हो पाएगा तभी आपकी मिन वैल्यू मिलेगी तो मिन वैल्यू हमेशा तब मिलती है जब एम जीएम बराबर हो पाए बहुत ही बढ़िया अब यहां पर तीनों हिंट आपने मुझे बताने हैं चैट में लिख देने हैं व्हाट आर द थ्री गुड थिंग्स इन द एक्सप्रेशन दैट गिव हिंट फॉर अप्लाइज एम रिलेशन भैया तीन हिंट क्या थे आप जिस एक्सप्रेशन को देख रहे हो कैसे पता लगेगा कि इस पर एमजीएम से बात बनने वाली है वेरी गुड टर्म्स सर सबसे पहले सर सबसे पहली बात तो मिन वैल्यू पूछी जाती है मिन वैल्यू इज आस्क सर दूसरी बात सर टर्म्स ऑफ एक्सप्रेशन आर पॉजिटिव वेरी गुड ये पॉजिटिव थे और तीसरी बात तीसरी बात तीसरी बात क्या होती है वेरी गुड सर प्रोडक्ट ऑफ टर्म्स इज गुड गुड का मतलब नॉर्मली मतलब क्या होता है कांस्टेंट कि उसमें वेरिएबल नहीं आ रहा ये तीन हिंट थे अगर तीन हिंट आपके पास हैं तो फटाफट एएम जीएम लगा दीजिए सवाल वहीं पर खत्म हो जाएगा नाउ मेन मुद्दा क्या है जरा इस नोट को पढ़िए यह था वेटेड एजए जब दोती a आ जाए 4 5 a2 आ जाए तो हम वेट लगा देते थे यस और नो मेरे पास a a b b b ऐसे पड़े थे अब इसका ए मैं ऐसे भी लिख सकता हूं a + a b + b + b / 5 या मैं सीधे लिख सकता हूं 2 टा a 3 टा b बा नंबर ऑफ़ टर्म्स इसका मैं gm1 b * b * b पा 1/5 यहां पे सीधे लिख सकता हूं दो बार a था तीन बार b था पावर 1/5 तो ऐसे लिखने को कहते हैं वेटेड एम जीएम पर मुद्दा है पूछा क्या है एम जीएम रिलेशन इज यूज्ड व्हेन दे आस्क व्हाट वेटेड एमजीएम इज यूज्ड व्हेन दे आस्क व्हाट मुझे पहले का जवाब दीजिए एमजीएम कब लगाया जाता है व्हेन दे आस्क व्हाट कब लगाया जाता है बहुत बढ़िया सर व्हेन दे आस्क मीन वैल्यू ऑफ सम ऑफ फ्यू टर्म्स आपका जो एक्सप्रेशन है उसमें कुछ टर्म्स का सम होगा और आपको उस एक्सप्रेशन का मीन वैल्यू पूछा जाएगा यह कब लगाया जाता है या आई एम सो हैप्पी फटाफट जवाब दे रहे हो वेटेड एमजीएम कब लगाया जाता है जब आपको मैक्स वैल्यू पूछी जाती है ऑफ प्रोडक्ट ऑफ फ्यू टर्म्स उसमें कुछ टर्म्स प्रोडक्ट होता है और उन टर्म्स में पावर्स बैठी होती हैं पावर्स इवॉल्वड होती हैं तो इस समय पता लगता है कि भैया एमजीएम का सवाल है या वेटेड एमजीएम का सवाल है बहुत बढ़िया अगर हम सिग्मा की बात की जाए भैया एडिशन पे टूट जाता है सबक्स पे टूट जाता है कांस्टेंट बाहर चला जाता है और ये सी जो है कांस्टेंट बाहर गया अंदर बचा सिगमा 1 सिगमा व क्या होता है n यह हमें आते हैं नाउ प्रोडक्ट पर नहीं टूटता रेशो पर नहीं टूटता सिग्मा इनकी वैल्यूज मतलब डाउट करना अच्छी बात तो नहीं है बट थोड़ा सा यहां पर हम अपने को चेक कर लेते कि वाक याद है ना आप में से ऐसे काफी बच्चे होंगे जिन्होंने पेपर में लास्ट टाइम जब गए होंगे सिगमा ए स्क आ गया होगा सिगमा के स्क और 5 सेकंड के लिए फ्रीज हो गए होंगे अरे यार वैल्यू क्या थी इस बार नहीं इस बार लिख लो फटाफट यहां पे इस बार फ्रीज नहीं होना n * n+ 1 बा n * n+ 1 2n + 1 बा 6 और n * n+ 1 बा 2 होल स्क्वायर शाबाश बहुत बढ़िया दिस मेथड मेथड ऑफ डिफरेंस बताइए अब सोचिए अपने आप को मेथड ऑफ डिफरेंस कब यूज करते हैं किस चीज के लिए यूज करते हैं दिस मेथड इज यूज टू फाइंड डैश व्हेन द डिफरेंस ऑफ डैश इज गुड याद करिए मेथड ऑफ डिफरेंस कब यूज करते थे इस तरह से आपकी चीज आपके दिमाग में होनी चाहिए तभी कांसेप्ट एक्चुअली आप इतने स्ट्रांग होंगे कि सवाल देखते आपको पता लग जाएगा लगाना तो यही है और ऐसे लगाना है उसके आगे फिर आपकी सॉल्विंग की प्रैक्टिस है जो आपने पिछले कुछ समय में की है जो वहां पर आपको आउटपुट देगी आई एम जस्ट मेकिंग श्यर कि पेपर में आप नर्वस ना हो जाओ आपका दिमाग फ्रीज ना हो जाए आपको हर एक चीज को दोनों एंगल से देखना आता हो बहुत बढ़िया सर यह हमें हेल्प करती है टू फाइंड जनरल टर्म जिसे कि ए के लिख सकते हैं वन द डिफरेंस ऑफ कं टर्म्स इज गुड कंजेक्टिव टर्म्स इज गुड बहुत बढ़िया और इसमें क्या करते थे कैसे लगाते थे प्रोसीजर क्या था प्रोसीजर क्या था इसमें ओ सर जी कुछ नहीं करना होता आपके पास एव लिखा होता है इसमें से ए ए को ही सबकट कर देते हैं बस एक आगे लिख के एक आगे लिख के ए ए को ही सबकट कर देते हैं तो इधर तो कट के जी ही आ जाता है और यह वाला ए1 बाहर फिर ब्रैकेट शुरू होती है कुछ टर्म्स आ जाती है लास्ट में यह वाला ए बाहर आ जाता है और यही वाला ए इधर जाके प्लस ए बन जाता है एंड यू गेट ए का वैल्यू पटाक से क्लेरिटी दिमाग में हो गए छप गए ओके v ए मेथड कैसी फॉर्म्स में लगाया जाता है अपने आप को पूछो शाबाश बोलो किस फॉर्म में लगाया जाता न मेथड कब लगाते थे याद करो फटाफट याद करो न मेथड किस तरह के सवालो में लगाया जाता था सर न मेथड लगाया जाता था जब कुछ टर्म्स का सम होता है कुछ टर्म्स का सम होता है नीचे कुछ प्रोडक्ट होता है नीचे दो टर्म्स का या तीन टर्म्स का प्रोडक्ट हो सकता है और ऊपर एक नंबर होता है और यह जो नंबर है यह इन दोनों के डिफरेंस के बराबर होता है सर तब v एन मेथड लगाया जाता है सबको याद आ गया अब कितने बच्चे ऐसे हैं जिनको इस सवाल से डर नहीं लगता r पावर 4 आ स्क्वा प्व आव से n कितने बच्चे ऐसे जिनको इससे डर नहीं लगता फटाफट बोल दो टेलीस्कोपिक टाइप सीरीज बिल्कुल सर इससे हमें बिल्कुल डर नहीं लगता सर पहली बात तो यह चीज तो अब बिल्कुल डरती नहीं हमने तो इसका बड़ा भाई भी सीख लिया इसको हमेशा फैक्टराइज किया जाता है मिडल वाली टर्म को ब्रेक करके और सर इन दोनों का डिफरेंस देखिए 2 आ है दिस माइनस दिस इ 2 आ और न्यूमरेशन में 2 आ बैठा हुआ है सर ये देखो ऐसे सबको याद आ गया बिल्कुल सर यह सवाल फर्जी हो चुका है बिल्कुल तो v एन मेथड ऐसे सवाल में लगाया जाता है एंड बी केयरफुल ऐसा हो सकता है कि नीचे तीन टर्म्स का प्रोडक्ट हो ऐसे तीन टर्म्स का प्रोडक्ट हो चार का भी हो सकता है तो भी v ए मेथड लगता है जब इन दोनों का जो डिफरेंस है वह यहां पे बैठा हो बस उसको ओपन करके लिखिए कट कट कट कट कट करते रहिए टेलीस्कोपिक सीरीज़ सबको याद आ गई ओ छा गए यार देन कम्स बानो थ्योरम बानो मियल थ्योरम में सबसे पहले तो क्या थी आपकी यह तीन प्रॉपर्टीज इन तीन प्रॉपर्टीज को छोड़ो मुझे इसका जवाब दो 2n + 1c + 2 / 2n + 1c + 1 इसका जवाब दीजिए जब तक मैं यह वैल्यू लिख देता हूं इन पे मुझे डाउट नहीं है आप पे हां जी देखिए तो कितनों ने सही जवाब दिया सर यह अच्छे से याद है वेरी गुड सर जब भी ऊपर यह दोनों सेम हो और इसमें एक कम हो जाए तो नीचे वालों का डिफरेंस न्यूमरेशन में आता है इन दोनों का डिफरेंस ऊपर आएगा 2n प्व माइन आ प्व और यह ऊपर वाला जो है व नीचे चला जाता है बात है कि इसको ए और आर से याद नहीं करना इसे याद करना है पैटर्न से यह दोनों सेम और इसमें एक कम तो इनका डिफरेंस ऊपर आएगा और यह बड़े वाला नीचे आ जाएगा शाबाश बायनम एक्सपेंशन हमें अच्छे से आती है मुद्दा है नवर दे आस्क टर्म हैविंग सम क्वालिटी व्ट डू वी डू एक सवाल आ गया उन्होने बोला इस एक्सपेंशन की वो टर्म बताओ जिसमें यह वाली खूबी हो तो क्या करते हैं तो क्या करते हैं बहुत बढ़िया व एज्यूम ट टर्म टू बी टी के प्व एंड वी फाइंड के यूजिंग द गिवन क्वालिटी या कंडीशन जो भी कह दीजिए उसे यूज करके हम के निकाल देते हैं वो टर्म बताइए जिसमें x की पावर 5 है वो टर्म बताइए जिसमें x आता ही नहीं है यह सब सवाल यहीं से किए जाते हैं बहुत बढ़िया अब आगे इसके जवाब दीजिए मुझे जरा हम 1 प् x पावर n -1 इज डिविजिबल बाय अपने दिमाग को दौड़ाना सीखो ठीक है मतलब मैं प चेप दूंगा फायदा कोई नहीं इस बार मैंने पहले कहा डिफरेंट तरीके से रिवीजन करेंगे यहां पे लिख के मतलब लिखा हुआ पढ़ा के नहीं आप ही अपने आप को जवाब दे रहे हैं तो पता लग रहा है आपको मुझे ये याद था या नहीं याद था दैट्ची होती है इसके पहले दो टर्म्स ऐसे लिखे जाते हैं आगे जो है पट पट पट ए स एक्स पा सर यह यूज किया हमने बहुत बढ़िया अब यहां पर आ जाओ एक्स पा ए माइवा पर डिबल बा वट जितने भी आपके रिमाइंडर के डिविजिबिलिटी के सवाल आएंगे भैया व इन्ही कांसेप्ट से बनने वाले हैं यह किससे होता है डिविजिबल सर एकस माइवा से ऑलवेज मुझे जरा यह बताइए ऑलवेज मतलब यहां पर ए नेचुरल है ओके मतलब कुछ और मत ले लेना ए बिलोंग टू नेचुरल य से होता है डिविजिबल एक्स पा ए प्वा प ए क्या यह भी x प्वा से होता है डिविजिबल या नहीं होता या अंडर सम कंडीशन होता है बहुत ही बढ़िया सर यह एक प्वा से डिविजिबल होता है बट ओनली फॉर ऑड ए वरना नहीं होता ऑड ए अगर यहां पर n इवन हो गया तो इसके फैक्टर बनते ही नहीं है इसके फैक्टर बनते ही नहीं है बहुत बढ़िया इसकी लास्ट टर्म बताइए लास्ट टर्म ऑफ x माइ पा n इज ये सीधे लिखने आनी चाहिए भैया इसकी जब एक्सपेंशन करेंगे लास्ट टर्म क्या आएगी कॉन्फिडेंस रखिए और लिखिए कॉन्फिडेंस मेंटेन करते हो डरिए मत जो दिमाग में आ रहा लिखिए अपने आपको को कंफर्म करिए यस आप बिल्कुल सही सोच रहे हो -1 पर n ऐसे ही लिखेंगे ऐसे ही लिखेंगे -1 पा n शाबाश नाउ अगर हमें ग्रेटेस्ट टर्म निकालनी हो एक्सपेंशन में एट अ गिवन x फाइंड ग्रेटेस्ट टर्म इन द एक्सपेंशन यूज द फॉलोइंग एल्गोरिथम कितनों को ये एल्गोरिथम याद था फटाफट बताइए tk1 / tk1 करके हम k निकाल लेते हैं अगर तो k मेरा इंटी जर आ जाए इफ k कम्स आउ टू बी इंटी जर तो t के और t के + 1 सबसे बड़े टर्म्स होते हैं और अगर ये नॉन इंटी जर आ जाए तो जिफ ऑफ k + 1 टर्म सबसे बड़ी टर्म होती है दो स्टेप का सवाल होता है और डायरेक्ट आता है फटाफट शाबाश भूल गई थी सर अबे अपने पास लिख लो ग्रेटेस्ट टर्म पूछी है तो tk1 बा tk1 रखिए और सॉल्व करके k की वैल्यू निका निकाल लीजिए बस सवाल खत्म अगर ये k इंटी जर आया है तो t के और tk1 मान लो k आ गया 5 तो t5 और t6 सबसे बड़े टर्म थे और अगर एक नॉन इंटी जर आ गया मान लो 3 प समथिंग तो t3 + 1 t4 विल बी द ग्रेटेस्ट टर्म इस तरह से आपके छपा होना चाहिए डायरेक्ट फ्री के नंबर होते हैं ये ओके एक सवाल पूछूं इंटरेस्टिंग मुझे यहां पे जवाब देना है देखते हैं कितने बच्चे यहां पे इंटरप्रेट कर पाते हैं क्योंकि इस तरह का सवाल जेई मेन में आया था 2 साल पहले इफ ग्रेटेस्ट टर्म ऑफ ए प् बी एक्स पावर ए हैज ग्रेटेस्ट बानो मियल कफिट आल्सो यहां पर ए की वैल्यू मैं को पर्टिकुलर ले लेता हूं मुझे सवाल के एट नंबर तो याद नहीं है कुछ भी ले लेता हूं + 3 यहां पे ले लेता हूं मान लो 10 ठीक है मुझे एग्जैक्ट सवाल नहीं याद कांसेप्ट पूछ रहा हूं इफ ग्रेटेस्ट टर्म ऑफ दिस हैज ग्रेटेस्ट बानो मियल कफिट आल्सो तो यहां से आप क्या कंक्लूजन क्ट क्या बता रहा है तो वो आपको इनडायरेक्टली क्या बता रहा है इनडायरेक्टली क्या बता रहा है अगर वो यह स्टेटमेंट लिखता है तो व आपको य शाबाश सर ग्रेटेस्ट बाइनोरिया आता है हमेशा मिडल वाले में आता है तो वो आपको इनडायरेक्टली बता रहा है कि t6 इज ग्रेटेस्ट टर्म ग्रेटेस्ट टर्म सर वो इनडायरेक्टली यह बता रहा है और यह आपने आइडेंटिफिकेशन कुछ सवाल था तो आप जब भी ये ग्रेटेस्ट टर्म वाले सवाल कर रहे हैं या तो प्रोसीजर से खत्म हो जाएगा सवाल कई बारी वो उल्टा पूछ लेते हैं तो उल्टे में एक तो ऐसी इंफॉर्मेशन दे देते हैं दूसरा जो याद रखना है इस चीज का फर्द इंटरप्रिटेशन क्या होता है इसका मतलब t6 जो है वो t5 से भी बड़ा है एंड t6 जो है वो t7 से भी बड़ा है इसका इंटरप्रिटेशन यह होता है कि अपने पिछले से भी बड़ा है अगले से भी बड़ा है तो अगर ग्रेटेस्ट टर्म का कोई भी उल्टा सवाल आएगा उसमें आपको यह चीज वो इनडायरेक्टली देंगे और इसको आपने ऐसे यूज करना है और सवाल खत्म हो जाएगा आहा ये कितनों को याद है फ्रैक्शन प्रॉब्लम इसी बार आ गई थी फर्स्ट अटेंप्ट में इस बार या 2023 में आई थी एक तो याद नहीं रहता नहीं इसी बार आई थी शायद सो आरएफ फैक्टर प्रॉब्लम्स में कितनों को याद है प्रोसीजर क्या था सर याद है अच्छा तो जरा बताइए कितनों को याद है आओ देखते हैं सर जब भी ऐसा एक नंबर दे देंगे वो ए प् बी रट सी पावर ए और आर केना फ्रैक्शन पार्ट या ग्रेटर पार्ट पर कुछ कुछ कमेंट करने को बोलेंगे इसे कहते हैं आर एफ फैक्टर प्रॉब्लम सर दीवार पे चिपका रखा ओए होए अभी बिना देखे बताना एल्गोरिदम में सबसे पहले करते थे डिफाइन g बाय रिप्लेसिंग प्लस बाय माइनस इन द वैल्यू ऑफ r पहला स्टेप इज ओके जो r होता है उसमें हम प्लस की जगह माइनस डाल देते हैं बट ध्यान क्या रखना होता है कि g पॉजिटिव रहे अब आए अब ये बताओ आइर ऐड और सबै g फ्रॉम r सो दैट ये r बैठा है ये जी बैठा है अब इसको ऐड करना होता है या सबस्टैक करना होता है किस चीज का ध्यान रखते हुए बहुत बढ़िया सर स्क्वायर रूट इरेशनल टर्म्स कैंसिल हो जाए सच दैट इरेशनल टर्म्स कैंसल आउट बहुत बढ़िया सर बस यह देखना होता है कि जो ये रूट वाली टर्म्स है वो आपस में कैंसिल हो जाए तो देख लो कि ऐड करके कैंसिल हो रही है या सबकट करके कैंसिल हो रही है बहुत बढ़िया अगला स्टेप बिना देखे बताना है ओके इफ जी इज एडेड मान लो आपने ऐड किया था वो टर्म कैंसिल करने के लिए तो आपको f+ g की वैल्यू क्या मिलती है फिर बहुत बढ़िया सर अगर हमने जी ऐड किया है यहां पे तो स्ट्रेट अवे f प्ज को व ले लेके हम आगे सॉल्व करते हैं पर अगर हमने जी को सबक्स क्या मिलता है अगर जी को सबस्टैक किया था हमने फिर क्या मिलता है सर फिर हमें f = g मिलता है भैया आग लगाओगे तुम लोग बहुत बढ़िया बहुत बढ़िया बहुत बहुत बढ़िया देन आपका बाइनल फॉर एनी इंडेक्स ट इज कंपलीटली फाइन द ओनली थिंग इ की मोड x लेव के लिए लगाया जाता है और इसका सवाल क बार लिमिट्स में भी आ जाता है 1 प् n एक प्स दिस इन x स् बाटू इसको याद करने का तरीका बहुत आसान होता है यह जो है यह nc2 की वैल्यू ही है यह जो है यह nc3 की ही वैल्यू है तो याद करना बहुत आसान होता है इसको ओके नाउ यह वाले चार एक्सपेंशन अगर आपको याद है इसका मतलब आपने बाइनल फरानी इंडेक्स को रिवाइज किया था या पढ़ा था इज़्ज़त दी थी अगर याद नहीं है तो अभी के अभी अपने पाप धो लो 1 + x पा - 1 कि एक्सपेंशन के पहले तीन टर्म्स लिख दीजिए चैट में पहले तीन टर्म्स फटाफट 1 - x + x स् - x क सो ऑन सर प्लस माइनस चलता रहेगा और पावर जो है एक-एक करके बढ़ती रहेगी बहुत बढ़िया सर याद है वेरी गुड अगर माइनस माइनस दोनों जगह आ जाए तो सारे प्लस हो जाते हैं अगर यहां 1 + x पावर -2 है तो फिर से प्लस माइनस अल्टरनेट और 1 23 चलता है फिर 1 - 2x + 3x स् - 4x क सो ऑन और अगर दोनों जगह माइनस माइनस है तो प्लस चलेगा पूरे में पूरे में प्लस यह चार बानो मियल फॉर एनी इंडेक्स ऐसे हैं जो हमें याद होने चाहिए पेपर में नॉर्मली इन्हीं के अबाउट सवाल आता है और अगर यह याद हो तो तो टाइम बच जाता है वरना फिर हम इस फार्मूले से बनाने की कोशिश करते हैं और करीबन 30 40 सेकंड वहां पर खराब हो जाते हैं बहुत बढ़िया ये सारे के सारे कब एप्लीकेबल है जब आपका x छोटा है मड x लेव अब आता है आपका मल्टीनोमियल जरा मल्टीनोमियल की बोलिए जनरल टर्म कितनों को याद है जनरल टर्म ऑफ मल्टीनोमियल कितनों को याद है चलिए एक काम करिए ये मुझे लगता है आपको पता होगा कि जनरल टर्म थी सर ऊपर आता है n फैक्टोरियल नीचे तीन फैक्टोरियल लिए जाते हैं और वही तीन नंबर एक्स वाई जड की पावर में होते हैं मुझे यह बताइए सिग्मा यहां पर क्या लिखा जाता है आर एसटी प क्या कंडीशन होती है व्ट इज द कंडीशन ऑन आर एसटी क्या ये कोई भी तीन नंबर है या इन पर कोई कंडीशन थी सोचिए बानम फ मल्टीनोमियल में बस ट्रानो मियल एक्सपेंशन में हमने जो एक्स वाई जड की पावर ली है सर उनका जो सम है वो n के बराबर होना चाहिए और सारे होल नंबर है होल नंबर आर एसटी होल नंबर्स है वेरी गुड होल नंबर छा गए नाउ नंबर ऑफ टर्म्स इन द एक्सपेंशन ऑफ़ x + y + z पावर n कितना था x + y + z की पावर n है उसके एक्सपेंशन में कितनी टर्म्स थी और यह भी बताइए कि अगर आपको उसका लॉजिक पता है लॉजिक पता है तो लॉजिक भी बताइए क्योंकि हो सकता है वह इसका कोई भाई पूछ ले इसका भाई बहन भी पूछा जा सकता है यहां पे चार टर्म्स लिख सकते हैं पावर n कर देंगे पांच टम की पावर n कर देंगे इसका लॉजिक कितनों को याद है सर लॉजिक है सर बैगर मेथड सर इसमें उतनी ही टर्म्स आएंगी जितने इसके सॉल्यूशन है नंबर ऑफ सॉल्यूशंस ऑफ r ् s + t पावर n मैं पहले बता दूं ये पूरा पीडीएफ जो मिलेगा मैं आपको दो पीडीएफ दूंगा एक विदाउट एनोश एक विद एनोट आपने विदाउट नोटेशन पे सारा प्रैक्टिस करना है बाद में ठीक है वेरी गुड तो बेसिकली सर n को तीन गरीबों में बांटना है इतने तरीके हैं बैगर मेथड से चलते रहते हैं बहुत बढ़िया सारे के सारे फॉर्मूले किसको याद है आ जाओ भैया आई विल सजेस्ट पॉज कर दीजिए सारे आंसर लिख लीजिए और फिर मैच करिए nc0 nc1 कंप्लीट बानो मियल कॉफिश एंट का सम सर 2 पावर n अगर अकेले इवन ले लिए जाए या अकेले ऑड ले लिए जाए दोनों की वैल्यू बराबर होती है 2 पा n - 1 यानी कि इसके हाफ के बराबर अगर सिगमा r एसी आ जाए सर n * 2 पावर n - 1 अगर r स् एसी आ जाए सर इस टर्म को एस सच लिख देते हैं और ये 2 पावर n - 1 वाली टर्म को ये टर्म को एक और डिफरेंशिएबल दिस * n - 2 * 2 पा n - 3 यानी कि एक और डिफरेंशिएबल को कैसे डिराइवर किया नॉट यूजिंग इंटीग्रेशन बेसिकली मैं एक वेरिएशन कवर करना चाहता हूं जिसका सवाल पेपर में आ जाता है इंटीग्रेशन को यूज किए बिना इसकी वैल्यू कैसे डिराइवर की जाएगी या फॉर दैट सेक यह पहले वाला कैसे डिराइवर किया जाएगा सेम सेम मेथड चलता है किस किस प्रॉपर्टी का यूज होता है इनके डेरिवेशन में अगर आप अलजेब्राइकली डिराइवर कर रहे हो सर यह यह यूज होता है ऊपर से n नीचे से आ कॉमन निकाल दो तो यहां पर एक एक कम हो जाते हैं सर इसका यूज होता है बहुत बढ़िया दक्ष शाबाश पुनीत दिल खुश कर दिया सर अगर आप इसको डेवलप करना चाहते हो तो आप क्या करिए आप यह समझिए कि स तो ऐसे का ऐसा ही है यहां पर r प्व बैठा हुआ है अगर इसको ऊपर n प्व मिल गया जो कि मैं एडजस्ट करके दे सकता हूं तो सर यह पूरे का पूरा जुड़ जाएगा उल्टा चलिए जुड़ जाएगा तो सर यह आ गया 1 बा ए प्व सिगमा यह बन गया n प्व स प्व बट आपका जो आ था आ आ कहां से कहां तक था आप जब एनसीआर की बात बात कर रहे थे तो r आपका 0 से n जा रहा था 0 से n 0 से n तो जब आपका r0 से n जा रहा है ट्राई टू सी इसके सिग्मा में एक टर्म मिसिंग है इस सिग्मा में सारे के सारे बानो मियल टर्म्स नहीं आए कौन सा टर्म रह गया सर अगर सारे आ जाते तो सम ये होता सर ये वाला टर्म रह गया n + 1c 0 वाला n + 1c 0 वाला टर्म रह गया था अ वन वाला हां बिल्कुल r = -1 वाला वेरी गुड वो टर्म रह गया था तो आंसर आ गया 1 बा n+ 1 इन दिस तो जब भी आपके एनसीआर का सम आपको पता है तो यहां पे r लगा दो नीचे r प् 1 लगा दो कुछ भी लगाओ इस प्रॉपर्टी को यूज करते हुए आप उसको फिट कर सकते हो बस फिट कर दो सवाल खत्म हो जाएगा बहुत बढ़िया अब मुझे इसका जवाब दीजिए अगर यहां पे एनसीपी एमसी क यानी कि सिग्मा के अंदर दो बानो मिल्स का प्रोडक्ट आ जाए तो क्या फार्मूला होता है और उस फार्मूला को लगाने की कंडीशन क्या होती है मतलब वो कब लगाया जा सकता है सर जब भी प्रोडक्ट आता है ऊपर वाले आपस में ऐड हो जाते हैं नीचे वाले आपस में ऐड हो जाते हैं प्रोवाइडेड प्रोवाइडेड p + q की वैल्यू कांस्टेंट हो कांस्टेंट हो और अगर ये स्टेट अवे कांस्टेंट ना दिख रही हो तो क्या करना पड़ जाता है वी नॉर्मली यूज एसी इ n स ए माइ आ फॉर दिस पर्पस अगर ये कांस्टेंट ना दिख रही हो तो इनमें से किसी एक को एमसी क को एसी ए माइनस क करके लिख लो तो नीचे का सम कांस्टेंट बन जाता है बात है कि नीचे का सम कांस्टेंट होना चाहिए अगर वो कांस्टेंट नहीं है तो एक बार किसी एक टर्म को इस तरह से लिख के देखिए नीचे का सम कांस्टेंट बन जाएगा मूमेंट वो कांस्टेंट बन गया भाई आपने सीधे ये रिजल्ट लगा देना है सवाल खत्म हो गया सर मैं मेंटली प्रिपेयर्ड ओ शाबाश वेरी गुड अब अगर एनसीआई का स्क्वायर आ गया सिगमा एसीआई होल स्क्वायर तो क्या करोगे सर 2nc ए ये वो रिजल्ट है अगर आपको सारे के सारे याद हैं तो बानो मियल के जो प्रॉपर्टी बेस सवाल है वो इसके और इसके बाद नहीं जा सकते शाबाश इस तरह से हम आज सारे के सारे कांसेप्ट सारे चीजें जो सवालों में यूज होती है फॉर्मूले कांसेप्ट एवरीथिंग आज लपेटने वाले हैं सारे एक बार आपने लपेट लिया अपने आप को तैयार कर लिया फिर सवालों में धर धर धर धर लगाएंगे ठीक है बहुत बढ़िया देन आता है पीएनसी जो बच्चे बाद में आए हैं बता दूं आपके अभी चैट में एक मैसेज पिन होगा एक लिंक पिन होगा वही डिस्क्रिप्शन में में भी है उस लिंक को क्लिक करके नोटिफाई मी और लाइक जरूर कर देना काफी इंपॉर्टेंट है जस्ट हैव फेथ ऑन मी मैं बता रहा हूं मतलब इंपॉर्टेंट है वरना बताता ही ना समथिंग वेरी वेरी वेरी इंपॉर्टेंट इज गोइंग टू हैपन फॉर यू ऑल उसे जरूर क्लिक कर दीजिए ठीक है आ जाओ देन आता है परम्यूटेशंस एंड कॉमिनेशन अब पीएनसी में तो यार सारा चलता ही सवाल सवाल सवाल सवाल के थ्रू ही सीखा जाता है तो आओ इसमें अपने सारे के सारे मेजर अप्रोच को एक बारही पुश करते हैं कि हमें क्या स्टैंडर्ड अप्रोच याद है सारी सबसे पहले तो यह वाला कांसेप्ट आप दिमाग में रखिए जेई मेन काफी एक्सप्लोर करता है इस कंसेप्ट को अगर आपके सवाल में आइर और नाइ दर नॉर ऐसी चीजें यूज़ हो रही हैं तो उस सवाल को पीएनसी की बजाय सेट से करिए n ऑफ a यि b n ऑफ ए कॉम्प्ट इंटरसेक्शन b कम्प्लीनोस जो ना तो टू के डिविजिबल हो और ना ही फाइव से डिविजिबल हो तो जहां भी आइर और नाइ दर नॉर लगे वहां पे सेट नोटेशन को ही यूज करिए उसके अलावा और कुछ मत यूज़ करिए ओके अब आता है पूरा चैप्टर बेसिकली सिलेक्शन सिलेक्शन एंड अरेंजमेंट और डिस्ट्रीब्यूशन इसके अराउंड घूमता है और ऑफ लेटली डिस्ट्रीब्यूशन अच्छी खासी पूछी जाने लग पड़ी है और सिलेक्शन एंड अरेंजमेंट में अच्छे सवाल पूछे जाने लग गए हैं तो अर्ली अर डिस्ट्रीब्यूशन थोड़ा कम आता था पिछले अगर आप 2000 1920 से प पहले देखो 2013 से लेकर 201920 तक तो आपको डिस्ट्रीब्यूशन बहुत ही कम दिखेगा बट आजकल बहुत ज्यादा पूछा जाने लग पड़ा और अच्छे सवाल पूछे जाने लग पड़े हैं तो एकएक राइटी कवर करते हैं सबसे पहले आप मुझे बताएंगे इसमें क्या होता था अपने आप को पूछिए अ पर्टिकुलर पर्सन इज ऑलवेज सिलेक्टेड और ऑलवेज रिजेक्टेड याद करिए क्या होता था 16 प्लेयर्स सिलेक्ट 11 प्लेयर्स पहली कंडीशन पर्टिकुलर प्लेयर ऑलवेज सिलेक्टेड सिलेक्टेड बताइए पहले का पर्टिकुलर प्लेयर ऑलवेज सिलेक्टेड सर इसमें क्या होता है सर वो प्लेयर तो रख ही लिया हमने अब बचे कितने 15 प्लेयर और रिक्वा ट बची 10 की तो जब भी होता है कि पर्टिकुलर प्लेयर ऑलवेज सिलेक्टेड तो आपकी एक रिक्वायरमेंट पहली से फिक्स हो जाती है राइट वेरी गुड और अगर बोला हो अ पर्टिकुलर प्लेयर नेवर सिलेक्टेड तो इसमें क्या किया जाता है सर उसमें जो है ये 16 बंदे थे अब 16 रहे नहीं 15 ही बचे एक को बाहर निकाल दिया कि को तो सिलेक्ट ही नहीं कर रहे तो आपको अपना पूरा सिलेक्शन जो है बचे हुए 15 में से करना है तो 15 सी 11 ये तो ठीक है पर ये बताइए टू पर्टिकुलर प्लेयर नेवर कम टुगेदर टू पर्टिकुलर प्लेयर नेवर कम टुगेदर इसके दोनों तरीके दिमाग में रखिए सर पहला तरीका था कि पहला प्लेयर आएगा और दूसरा नहीं आएगा प्लस पहला नहीं आएगा और दूसरा आ जाएगा और तीसरा क्या था कि दोनों ही नहीं आएंगे भैया यह भी तो पॉसिबिलिटी है दोनों को एक साथ नहीं आना या तो पहला आएगा या दूसरा आएगा या दोनों ही नहीं आएंगे और दूसरा मेथड क्या है सर टोटल माइनस दोनों आ गए क्योंकि यही तो एक केस है जो मुझे हटाना है एक ही केस तो हटाना था तो ऑलवेज सिलेक्टेड वाला मेथड लगा के टोटल में से माइनस कर दो बहुत ही बढ़िया इसका आंसर क्या बन गया सर टोटल 16 में से 11 सेलेक्ट करने थे इतने तरीके अब माइनस कौन से तरीके जब p1 प2 दोनों आ गए जब p1 प2 दोनों ही आ गए तो टोटल बंदे बचे 14 और रिक्वायरमेंट बची मेरी न की तो 14 सी 9 बहुत बढ़िया छा गए देन जो अगला पार्ट आता है दैट इज तीन सेक्शन में से सिलेक्शन कितनों को याद है सिलेक्ट फ्रॉम थ्री सेक्शन सच दैट एटलीस्ट वन इ सिलेक्टेड फ्रॉम ऑल द सेक्शंस इसमें क्या करते थे आपके पास तीन सेक्शन है इसमें क्वेश्चन वन से लेकर क्वेश्चन फाइव है इसमें क्वेश्चन वन से क्वेश्चन फाइ है और फर इसमें क्वेश्चन वन से क्वेश्चन फाइव है और आपको कहा गया सिलेक्ट कुछ नंबर ले लो से कितने ले ले सेवन ले लेते हैं सिलेक्ट सेवन सच दैट एटलीस्ट वन इज सिलेक्टेड फ्रॉम ईच सेक्शन इसमें क्या ध्यान रखना होता था फ्रॉम ईच सेक्शन इसमें क्या ध्यान रखना होता था बताइए इसमें क्या आ शाबाश सर ऑलवेज मेक केसेस इसमें कभी भी ऐसा नहीं करना चाहिए सर इसमें कभी भी ऐसा नहीं करना रंग कि सर पहले यहां से एक ले लिया फिर यहां से एक ले लिया और फिर यहां से एक ले लिया सर तीनों से एक एक तो आ गया और टोटल तीन मेरे पास आ चुके हैं मेरे को और कितने चाहिए सर मेरे को टोटल चार और चाहिए और टोटल बचे कितने हैं सर तीन निकल गए थे तो 12 बचे थे सर 12 c4 ये गलत है ये कभी नहीं लगाना बिल्कुल ये गलत मेथड गलत अब करना क्या होता है सर इसमें हमेशा आपको केसेस बनाने होते हैं कि आप कितने क्वेश्चन यहां से सेलेक्ट करने वाले हैं तो सही मेथड क्या होता है आप टोटल सेवन करना चाहते हैं तीन हिस्सों में सो दैट कोई भी हिस्सा खाली ना हो तो आप कहेंगे सर वन वन और फ सर एक में से एक उठा लो एक में से एक उठा लो एक में से पांच उठा लो ये पहला पॉसिबिलिटी है दूसरा पॉसिबिलिटी क्या है वन टू कितने हो गए ये 1 2 3 फोर एक में से एक उठाओ एक में से दो उठाओ एक में से चार उठाओ दूसरा तीसरा पॉसिबिलिटी क्या है सर ट 2 3 दो दो और तीन उठा लो मेरे हिसाब से और कोई शायद केस नहीं बन पाएगा देखो बन रहा है क्या 2 4 हो गया 3 3 1 33 1 रह गया कमा 3 31 राइट बस मेरे ल सेय हो गया अब आंसर लिखने की बारी तो आंसर कैसे लिखा जाएगा ध्यान से देखना 11 लेने के तरीके कितने हैं यहां पर देखिए भैया टोटल तीन थे इनमें से दो में से आप उठाएंगे वन वन 5 सीव का स्क्वायर और तीसरे में से पांच के पांच उठा लेंगे 3 स2 बहुत इंपॉर्टेंट है न 5 151 511 तो तीन तरीके आए सबसे अच्छी बात 3 स2 कह दो खत्म बात तीन में से दो वन है बाकी पांच है तीसरा अगला कैसे आएगा सर यह तो तीनों अलग अलग है बिल्कुल सही तो ये क्या आ जाएगा 3 फैक्टोरियल इनटू 5 स1 5 स2 इन 5c 4 भैया 1 2 4 14 2 4 2 1 जितने भी यहां पे अरेंजमेंट बनेंगे वो सारे के सारे ऐड करने पड़ेंगे किसमें से एक लिया किसमें से दो लिए किसमें से चार लिए समझ रहे हो जैसे कि यहां पे 5c 1 था यहां पे 5c 2 था यहां पे 5c 4 था यह एक तरीका हो गया आपका ओके पर ऐसा भी है 5c 2 5c 1 5c 4 यह भी है ऐसे छह केस बनेंगे क्या सारे समझ पा रहे हैं समझ गए सर एगजैक्टली तो बेसिकली यह जो नंबर्स है इनको अरेंज भी करना होता है यह बड़ा इंपॉर्टेंट काम है बच्चे व भूल जाते हैं अगला क्या आ गया 2 2 3 फिर से दो सेम है और एक अलग है तो 5 स2 इन दो में से आए हैं दो दो और एक में से आया है तीन और लास्ट फिर से य आ गया 5 स2 इन 5 स3 का स्क्वायर * 5 स1 काफी एंड तक चला गया चलो छोटी सी मिस्टेक की मैंने मेरे खल से तो नहीं की मैंने यहां पर ओ फ लिख दिया मैंने ओ सॉरी थ लिखना था थ थथथ तीन में से उठा रहे थे सॉरी थ थ थैंक यू बाकी ठीक है ओके सो यह एक बहुत इंपॉर्टेंट वरायटी है इसे ऐसे करना है आपने और अच्छे सेरी दिमाग में डाल लेना है ओके डन ना डन डन बहुत बढ़िया अब आ जाओ आगे बाकी सब ठीक है ठीक है ठीक है फिर आती थी आपकी ज्योमेटिक काउंटिंग बिल्कुल ज्योमेटिक काउंटिंग ज्योमेटिक काउंटिंग में क्या होता था भैया कुछ पॉइंट कोलीन कुछ नॉन कोलीन कैसे डील करेंगे वह सब चीजें जमेट काउंट ओके तो सबसे पहले तो यार ऐसे मान लो चार पॉइंट आपके नॉन कोलिनियर है और आपके तीन पॉइंट कोलिनियर है और आपको कुछ कुछ पूछा जा रहा है ट्रायंगल कितने बनेंगे लाइन कितने बनेंगे क्वाड कितने बनेंगे तो नंबर वन लाइंस कितने बनेंगे आपको दोनों मेथड आने चाहिए टोटल माइनस जो बचा हुआ पार्ट कॉम्प्लीयंट है पहले वो देख लो लाइन बनेगी जब दो पॉइंट आएंगे बट भैया कुछ कोलिनियर कुछ नॉन तो हैव टू केयरफुल हमेशा ब्लू पार्ट से शुरू हो जाओ दोनों पॉइंट ब्लू से आ गए तो फो से टू लाइंस बनेंगी फिर एक पॉइंट को नीचे ले जाओ एक यहां से आया एक यहां से आया ऐसे 4 स1 3 स1 और फिर दोनों पॉइंट नीचे ले जाओ अगर दोनों पॉइंट नीचे से लेने हैं तो कितनी लाइने बनेंगी एक ही लाइन बनेगी क्योंकि यहां से एक ही लाइन बन सकती है 3 स2 नहीं बोल देना शाबाश और ल् मेथड टू क्या हो गया टोटल कितनी लाइंस बनती सर टोटल 7 सटू लाइंस बननी थी इनमें से कौन सी लाइंस मैंने गलत गिन ली जो नहीं बननी थी सर आपने ग्रीन से गिनी थी 3 सी2 सर 3 सी2 तो बन ही नहीं रही ग्रीन से ग्रीन से तो एक ही बन रही थी सर ऐसे बहुत बढ़िया माइन प्लस व भी करना था ओए उसका कंट्रीब्यूशन वन का तो है ही है ना वन का कंट्रीब्यूशन तो है ही दूसरा आ गया ट्रायंगल अब ट्रायंगल कैसे किए जाते हैं भैया वही पहले तो कंस्ट्रक्शन मेथड तीनों पॉइंट अगर यहां पर होते इतने ट्रायंगल बनते अब एक को नीचे ले जाओ तो दो ऊपर है और एक नीचे है अब दो पॉइंट नीचे ले जाओ एक ऊपर पॉइंट है और दो पॉइंट नीचे हैं अब तीनों नीचे ले जाओ अगर तीनों नीचे लेने हैं तो क्या ट्रायंगल बनेगा नहीं सर तीनों पॉइंट यहां उठाएंगे ट्रायंगल नहीं बनेगा शाबाश नाउ दूसरा मेथड कंस्ट्रक्शन वाला टोटल भैया टोटल सेवन पॉइंट थे इतने ट्रायंगल बन जाते इनमें से कौन से तीन पॉइंट की सिलेक्शन ऐसी थी जो ट्रायंगल नहीं दे रहा भई मैं तो सारे तीन पॉइंट सिलेक्शन गिन रहा हूं पर ऐसे भी एक सिलेक्शन है जहां पे ट्रायंगल नहीं बनता तो अगर तीनों पॉइंट मैं ग्रीन वाले से उठा रहा हूं तो वो वाला ट्रायंगल नहीं बन रहा यहां पे + व मत कर देना क्योंकि यहां पे ग्रीन का कंट्रीब्यूशन ज़ीरो है यहां पे प्लस व किया था क्योंकि हमने ग्रीन का कंट्रीब्यूशन पूरा हटाया था और फिर कहा था कि ग्रीन से एक लाइन तो बन ही रही है पर यहां पे कुछ नहीं बनता और इसी तरह से आप क्वाड टल बना सकते हो जितने मर्जी बनाओ ये पहले वाला मेथड सबसे अच्छा रहता है ऊपर से शुरू हो जाओ फिर एक-एक पॉइंट को नीचे लेके जाते रहो ओके देन टोटल नंबर ऑफ सिलेक्शंस आउट ऑफ एन डिस्टिंक्ट ऑब्जेक्ट्स भैया टोटल नंबर ऑफ सिलेक्शन मेरे पास पांच टॉफी है बच्चे ने कहा सर दो टॉफी उठानी है मैं कहूंगा फ सीटू बज है राइट मैंने कहा जो मर्जी जितना मर्जी उठा ले ये टोटल सिलेक्शन बच्चा एक भी उठा सकता है दो भी उठा सकता है तीन भी उठा सकता है जितना मर्जी उठाए तो इसके कितने वेज होते थे शाबाश बताइए फटाफट ओए टोटल नंबर ऑफ सिलेक्शन कैसे निकालते थे शाबाश टोटल नंबर ऑफ सिलेक्शन ट पा ए सीधा तरीका भैया पहली टॉफी के दो तरीके या तो मैं दे दूंगा या नहीं दूंगा दूसरी टॉफी के भी दो तरीके या तो दे दूंगा या नहीं दूंगा एंड सो ऑन तो हर एक टॉफी के दोदो तरीके होंगे डील करने के इसमें सबसे इंपॉर्टेंट सवाल कौन सा बनता है सेट्स वाला सबसेट्स वाला एक काफी टेंट कैटेगरी बन जाती है मान लीजिए आपका सेट है 1 2 3 4 और आपको कहा गया इसके दो सबसेट बनाइए p और q सबसेट बनाइए ए के सच दैट इनका इंटरसेक्शन फई रहे तो कितने तरीके से बनाए जा सकते हैं तो कितने तरीके से बनाए जा सकते हैं ऐसे प क कितने होंगे नंबर ऑफ ऑर्डर्स पेयर्स प क दिस इ हैपनिंग देर तो क्या करते हैं सर यहां पर ना हम यह देखते हैं कि पहले एलिमेंट को डील करने के कितने तरीके हैं दूसरे एलिमेंट को डील करने के कितने तरीके हैं एंड सो ऑन तो मान लीजिए यह था प और यह था q मैंने वन को उठाया अब प और q सबसेट बनाने थे ए के तो सोचा वन को कहां डालूं तो पहला तरीका था कि मैं वन को यहां पर डाल देता हूं और यहां पर नहीं डालता क्योंकि मुझे इनका इंटरसेक्शन जो है फ रखना था दूसरा तरीका था कि वन को मैं इधर डाल देता हूं इधर नहीं डालता क्योंकि मुझे इंटरसेक्शन फई रखना था पर एक तरीका और था भैया मैंने वन को यहां भी नहीं डाला यहां भी नहीं डाला अभी भी तो इंटरसेक्शन फ रहेगा प और q का तो एक एलिमेंट को डील ने के तीन तरीके हैं सच दैट p और q सबसेट रहे a के और इनका इंटरसेक्शन फ है ऐसे इसके भी तीन तरीके इसके भी तीन तरीके इसके भी तीन तरीके तो आपका आंसर क्या आ गया 3 * 3 * 3 * 3 3 पावर 4 81 ऐसे पेयर बनाए जा सकते हैं डन डन डन डन तो कोई भी सबसेट वाला सवाल आता है तो हम टोटल सिलेक्शन लगाते हैं कंसेप्ट वो लगाते हैं कि एलिमेंट को डील करने के कितने तरीके हैं एलिमेंट को डील करने के कितने तरीके अब मजा तब आएगा अगर तुम मुझे इसका जवाब दे दो सोच के जवाब देना जल्दी मत कर देना प क आर तीन बनाने हैं सबसेट्स ऑफ ए सच ट उनका टोटल इंटरसेक्शन फ हो जाए तो आंसर क्या आएगा बताइए अब मैं एक एलिमेंट को कितने तरीके से यूज कर सकता हूं सर आठ तरीके से यूज कर सकता हूं आठ तरीके से मुझे टोटल इंटरसेक्शन फ रखना है तो इसमें डाल दिया और दो में नहीं डाला एक में डाला दो में नहीं डाला ऐसे करने के तीन तरीके आएंगे ये फिर मैंने क्या किया दो में डाल दिया और एक में छोड़ दिया ऐसा करने पे भी टोटल इंटरसेक्शन फ रहेगा अब ऐसा करने के भी तीन तरीके ऐसे और एक आ गया जब मैंने किसी में नहीं डाला तो कितने तरीके बन गए भाई सर 1 2 3 1 2 3 सर सेवन आ गए सेवन तो आंसर बन गया 7 * 7 * 7 इसको साथ तरीके डील करने के इसके तरीके साथ इसके तरीके साथ एज सिंपल एज दैट तो ऐसे सवालों को सबसेट के सवालों को हमेशा ऐसे करना है अब यह आ गई तुम्हारे जेई मेन की लेटेस्ट फेवरेट वरायटी ऑफ पी एन सी अगर मेरे पास चार अलाइक a थे और मुझे कहा दो ए सेलेक्ट कर लो कितने तरीके मैंने कहा एक ही तरीका है यार सारे अलाइक है बट अगर मेरे पास तीन a थे एक जैसे दो बी थे एक जैसे और तीन सी थे एक जैसे और मुझे कहा तीन लेटर सेलेक्ट करो कितने तरीके तो यहां पर अब लगाया जाता है बकेट मेथड आप बकेट्स बना लेते हो एक में सारे ए डाल दिए एक में सारे बी डाल दिए और एक में सारे सी डाल दिए अब आपको बोला गया तीन लेटर उठाइए उसने यह नहीं बताया कितने अलाइक कितने अलग तो आप कहेंगे पहली पॉसिबिलिटी क्या है सारे के सारे तीन अलाइक है दूसरी पॉसिबिलिटी क्या है दो अलाइक थे और वन डिस्टिंक्ट था और तीसरी पॉसिबिलिटी की क्या थी कि तीनों के तीनों डिस्टिंक्ट अब मुझे बताइए ऐसे कितने बकेट्स है जहां से तीन अलाइक लेटर उठाए जा सकते हैं ऐसी कितनी बकेट्स हैं सर ऐसी दो बकेट्स हैं बस आपको रिक्वायर्ड नंबर ऑफ बकेट्स को उठाना है दैट विल बी योर आंसर तुम्हारे पास दो बकेट अवेलेबल थी तुमको एक बकेट चाहिए क्योंकि उठाने तो एक ही सेट है तीन का तो इन दो बकेट में से एक बकेट उठा लो काम खत्म अगर तुमने यह बकेट उठाई थी तो तुम्हारे पास तीन ए आ गए अगर तुमने यह उठाई थी तो तीन सी आ गए ओके अब आते हैं दो अलाइक और एक डिस्टिंक्ट तो मुझे यह बताइए सबसे पहले दो अलाइक लेटर कितने बकेट्स अवेलेबल है मेरे पास दो अलाइक लेटर उठाने के लिए कितने बकेट्स अवेलेबल है गलती से भी एक मत बोल देना तीन है यहां से भी तो दो ए उठाए जा सकते हैं यहां से दो बी उठाए जा सकते हैं और यहां से दो सी उठाए जा सकते हैं तो तीन बकेट अवेलेबल है अलाइक उठाने के लिए इन तीन में से एक बकेट को उठाइए अगर आपने यह उठाई थी तो दो ए उठा लीजिए यहां से यह उठाई थी दो बी आ गए यह उठाई थी तो दो सी आ गए वो दो सी निकालने के तरीके नहीं लगाने भैया तीनों सी आइडेंट कल है यहां से दो सी निकालने का एक ही तरीका है तो यहां पर सिर्फ बकेट को उठाना है अंदर से निकालने का तरीका वन ही रहेगा उसको नहीं लिखना आपने ओके तो दो लाक उठाने थे इतने तरीके से सिलेक्शन की अब एक डिस्टिंक्ट उठाना है यानी कि जो बकेट यहां पर यूज हो चुकी है मान लो ये यूज हुई थी उसको दोबारा यूज नहीं करना इनमें से कोई एक बकेट उठा लो उसमें से जो भी लेटर निका लोगे एक वो पिछले से डिस्टिंक्ट होगा मुद्दा क्या है कि आपको लेटर्स नहीं सिलेक्ट करने बकेट सिलेक्ट करनी है जितने आपके रिक्वायर्ड नंबर ऑफ एलिमेंट है वो जितनी बकेट से आ सकते बकेट उठाने हैं जैसे तीन डिस्टिंक्ट लेटर ऐसे कितने बकेट्स है आपके जिसमें से आप एक लेटर उठा सकते हो क्योंकि तीन डिस्टिंक्ट का मतलब क्या है एक बकेट में से एक लेटर आएगा दूसरे में से दूसरा आएगा तीसरे में से तीसरा आएगा यस तो ऐसे कितने बकेट अवेलेबल है जहां से एक लेटर उठाया जा सकता है सर तीन बकेट अवेलेबल है और तुमको तीन ही लेटर चाहिए तो यानी कि तुमको तीनों बकेट उठाने पड़ेंगे इसमें से एक ए आएगा इसमें से एक बी आएगा इसमें से एक सी आएगा जिसको याद आ गया वेरी गुड नहीं आया लिख लो इसकी पूरी डिटेलिंग की हुई है हमने वन शॉट में काफी फेवरेट वैरायटी है आजकल जेई मेन की इसे कहते हैं बकेट मेथड मतलब कहते नहीं है मतलब मैं इसको बकेट मेथड के नाम से सिखाता हूं बकेट मेथड शाबाश देन आता है सिलेक्शन एंड अरेंजमेंट भैया सबसे पहली बात गैप मेथड ब्लॉक मेथड गैप मेथड कब यूज होता था सर जब चीजों को अलग-अलग करना हो मेरे पास फाइव बॉयज हैं एंड थ्री गर्ल्स हैं ऐसे बिठाए ऑल गर्ल्स सेपरेटेड तो जब भी कुछ चीजों को अलग-अलग करना था तो हम अपना गैप मेथड लगाते थे इसका आंसर फटाफट बताइए कैसे लगाते थे गैप मेथड सर गैप मेथड में सबसे पहले बाकी बाकी लोगों को बिठा दिया जाता है और देख लेते कितने गैप बन गए अगर पांच लोग बैठेंगे टोटल छ गैप बनेंगे चार अंदर और दो बाहर की ओर इन छह में से तीन गैप उठाइए और उन तीन गैप्स में इन तीन लड़कियों को बिठा दीजिए बिल्कुल सही जवाब बहुत बढ़िया ब्लॉक मेथड क्या था जब कुछ चीजों को एक साथ रखना हो फाइव बॉयज एंड थ्री गर्ल्स ऑल गर्ल्स टूगेदर जब कुछ चीजों को एक साथ रखना हो तो उनको एक ब्लॉक बना देते उनका एक एलिमेंट मान लेते थे यस और नो तो भैया क्या करिए इसका एक ब्लक मान लीजिए तो यह पांच एलिमेंट और यह छठा एलिमेंट उनको अरेंज करिए नाउ ब्लॉक के अंदर जहां भी यह ब्लॉक आएगा तीनों गर्ल्स वही बैठेगी पर उसके अंदर आपस में वह तीनों अरेंज हो सकती हैं सबको याद आ गया गैप मेथड ब्लॉक मेथड इसका फार्मूला फटाफट बता दीजिए नंबर ऑफ वेज ऑफ अरेंजिंग प एलिमेंट्स इन अ रो इफ आउट ऑफ प ऑब्जेक्ट ए आर अलाइक ए आर अलाइक बाकी सारे डिस्टिंक्ट थे तो अगर प ऑब्जेक्ट है जिनम से ए लाइक है और n अलाइक है और बाकी अलग-अलग है तो क्या फार्मूला था सर टोटल का फैक्टोरियल जितने अलाइक है उतने उतने फैक्टोरियल नीचे आ जाएंगे बहुत ही बढ़िया उतने उतने फैक्टोरियल नीचे आ जाएंगे डी अरेंजमेंट और सम ऑफ डिवाइजर एंड एक्सपोर्ट क्या था डी अरेंजमेंट का फार्मूला बोलिए सबको याद है लिख के देखिए ऐसा तो नहीं कि दिमाग फ्रीज हो रहा है छोटू सा कंफ्यूजन आ रहा है शाबाश सर याद है बाहर आता है n फैक्टोरियल सर पहली दो टर्म्स जो होती है वो कटती है और उसको लिखा जाता है ताकि सिमेट्री बनी रहे फार्मूले में याद रखा जाए भूल ना जाए बस प्लस माइनस चलते रहना सर प्लस माइनस - 1/3 फैक्टोरियल कब तक चला जाएगा जब तक ये n फैक्टोरियल प नहीं पहुंचा जाता शाबाश नाउ सम ऑफ ऑल डिवाइजर का फार्मूला कितनों को याद है बताइए अपने आपको सम ऑफ ऑल डिवाइजर एक नंबर है जो ऐसे टूटा लिखा हुआ प्राइम फैक्टराइजेशन लिखी हुई है ए प ए बी प ए सी प क दिस इ प्राइम फैक्टराइजेशन तो इस नंबर के जितने भी फैक्टर होंगे उनका सम क्या होगा जितने भी फैक्टर होंगे उनका सम क्या होगा सबको याद है हां जी आरन बेटा मैं आपका मैसेज पढ़ पा रहा हूं उसको स्पैम करने से कुछ नहीं होगा हा याद आया कुछ कुछ सर ए की पावर जीरो से शुरू हो जी प लिख दीजिए ए पार ए तक ऐसे ही बी पार जीरो से शुरू होकर जी प लिख दीजिए बी पार ए तक और सी पार जीरो से लेके सी पार क तक यही आपका आंसर होता है डायरेक्ट इन तीन जीपी का प्रोडक्ट आपका आंसर है यह मुझे निकालना आता है निकालना आता है निकालना आता है सवाल खत्म राइट एक्सोनेट ऑफ प्राइम प इन फैक्टोरियल कैसे निकालते थे सरम से कर लेते हैं हमें कहा गया एक्सपोटल यह हमेशा एक प्राइम नंबर का पूछा जाएगा और एक फैक्टोरियल में पूछा जाएगा इसका मतलब क्या होता है इसका मतलब है कि अगर 50 फैक्टोरियल की प्राइम फैक्टराइजेशन की जाए प्राइम फैक्टराइजेशन की जाए तो ट की कितनी पावर आएगी ट की कितनी पावर आएगी ट इ द मीनिंग ऑफ एक्स पोनेंट ऑफ टू इन n फैक्टोरियल इन 50 फैक्टोरियल तो फार्मूला डायरेक्ट कैसे लगाया जाता है भैया 50 बाटू का जिफ फिर 50 बाट स्क्वा का जिफ फिर 50/2 क्यूब जब तक य जीरो ना बन जाए तब तक लगाते रहिए पावर को बढ़ाते रहिए डिनॉमिनेटर में जब तक यह जीरो ना बन जाए जैसे ही लगे कि अब जीरो बन गया है रुक जाइए इसके आगे देखो जीरो बन गया वहां पर रुक जाना है आपने 25 12 6 3 व तो 37 43 46 47 तो अगर आप 50 फैक्टोरियल को फैक्टराइज करेंगे तो उसमें ट की पावर 47 आएगी पर अगर यहां पर प्राइम ना हो नॉन प्राइम हो फिर क्या करेंगे एक्सपो एंट ऑफ 6 इन 50 फैक्टोरियल अब क्या करेंगे तो जब भी यहां पर नॉन प्राइम आ जाए तो आप शॉर्टकट क्या लगाते हैं उस नॉन प्राइम के जो फैक्टर है उनमें से जो बड़े वाला है ना एक्सपोटल विल बी इक्वल टू एक्सपोटल बड़े वाला नंबर है बड़े वाला फैक्टर ऑफ 3 इन 50 फ्टो ये आप यूज कर देंगे तो ये हमेशा उसके लिए होता है प्राइम के लिए अगर प्राइम ना हो तो उसके फैक्टर बनाइए तो जो बड़े वाला फैक्टर है उसका जो एक्सपो एंट आएगा वही आपका आंसर आएगा एंड दैट इज बट ओबवियस भैया टू की कुछ पावर थ की कुछ पावर इनसे मिलके सिक्स की पावर बनेगी हां सर फॉर्मूले से आप समझ पा रहे हैं कि थ्र की पावर कम आएगी क्योंकि थ्री में ये टर्म जल्दी खत्म हो जाएगी हा सर तो बस इनका जुड़ के पावर वही बनेगी जो ्र की पावर होगी समझ गए मान लो ू की पावर 47 मान लो थ की पावर मान लो निकाल लो कितनी बन जाएगी पहले आ जाएगा 50/3 ट इज 15 16 16 फ 50 बा ना आ जाएगा ट इज अनदर फ तो 16 और 5 21 और उसके बाद आ जाएगा 1 26 26 आएगा शायद आई सपोज एंड सो ऑन तो अब मुझे बताइए अगर आपको 50 फैक्टोरियल की फैक्टराइजेशन पता कि ऐसी है देखने में और मैं आपसे पूछूं सिक्स का कितना फैक्टर बनेगा तो क्या आप मुझे यहां से बता नहीं पाएंगे कि 6 की पावर 26 आएगी यस और नो आईडिया चमक गया पटाक एगजैक्टली तो वहीं से वो आपको कांसेप्ट दे रहा हूं मैं शाबाश देन नंबर ऑफ वेज ऑफ अरेंजिंग एंड डिस्टिंक्ट ऑब्जेक्ट इन अ सर्कल यह बेसिक सा सवाल है नॉर्मली आता तो नहीं है बट चलो आ जाए तो पता होना चाहिए n-1 फैक्टोरियल सर्कल का कांसेप्ट एक ही होता है कि अगर फर्स्ट एलिमेंट हैज वन ऑप्शन या वन वे ऑन सर्कल सर्कल में एक पहला एलिमेंट बिठाने का एक ही तरीका होता है वन ऑन सर्कल जैसे अगर रो में पाच रो में पाच सीट है पहला एमेंट बैठाने के पाच तरीके होंगे पर अगर सर्कल में पाच सीट है तो पहला एलिमेंट उठाने का एक ही तरीका होता है ब सर्कल सिट्रिक है जहां से मर्जी शुरू हो जाओ एक जैसा दिखेगा मेन पॉइंट क्या कि अगर इफ वन एलिमेंट इज सीटेड ऑन अ सर्कल ऑन अ सर्कल आफ्टर दैट इट्स अ रो प्रॉब्लम आफ्टर दैट इट्स अ रो प्रॉब्लम उसके बाद काम खत्म हो गया जैसे कि मैं इस फॉर्मूले को जस्टिफाई करता हूं भैया मेरे पास 10 लोग थे सर्कल पर बिठाने थे आंसर आया ना फैक्टोरियल ऐसा क्यों भैया पहला आदमी बिठाने का तो एक ही तरीका है अब एक बंदा बैठ गया अब न सी बची है और अब ये रो प्रॉब्लम है मूमेंट एक बंदा बैठ गया इट बिकम अ रो प्रॉब्लम अब नौ बंदे नौ सीटें रो प्रॉब्लम कितने तरीके 9 फैक्टोरियल काम खत्म अगर आप बात करें इसकी तो ये क्या है कि अगर सवाल नेकलेस जैसा हो तो नेकलेस में क्या होता है कि ए बी सी हो या फिर सी बी ए हो वो आपको दिख तो अलग-अलग रहे हैं पर वो एक ही नेकलेस की दो साइड्स है तो नंबर ऑफ नेकलेस कम हो गए हाफ हो गए इसलिए यहां पे टूटू से डिवाइड कर दिया जाता है अगर नेकलेस या गारलैंड जैसे सवाल हो तो डिवाइड बा टू किया जाता है ओके अब आता है डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ ऑब्जेक्ट जो कि आजकल काफी पूछा जा रहा है आपके जेई मेन में पिछले दो-तीन साल से इसी के सवाल थोड़े ज्यादा पूछे गए हैं डिस्ट्रीब्यूशन में चारों केस आपको पता होने चाहिए चारों केस आ चुके हैं भैया आजकल बढ़िया सवाल पूछे जाते हैं सबसे पहला सबसे आसान केस आसान नहीं कंगा सबसे ज्यादा फैमिलियर केस केस आपके लिए ये होता है डिस्टिंक्ट ऑब्जेक्ट थे उनको डिस्टिंक्ट प्लेसेस प ही अरेंज करना था तो सबसे पहले आपका जब कोई भी कंस्ट्रेंट नहीं होता तो आपको पता है कि m पावर ए से किया जाता है जो बांट रहा है वो ऊपर होगा जिसमें बांट रहे हैं वो नीचे होंगे पांच चॉकलेट्स तीन स्टूडेंट नंबर ऑफ वेज थ पावर फ 3 पावर 5 जिसमें बांट रहे हैं वो नीचे जिस जो बांट रहा है वो ऊपर आएगा हमेशा नाइस अब अगर यहां पर कंस्ट्रेंट आ जाए कंस्ट्रेंट इसमें कैसा होता है नंबर ऑफ एलिमेंट फिक्स कर दिए जाते हैं राम को तीन मिलने चाहिए इसको चार मिलने चाहिए इसको पाच मिलने चाहिए या फिर सबको एक ना एक तो मिलना चाहिए नंबर ऑफ एलिमेंट फिक्स हो जाते हैं तो वहां पर क्या करते थे बताइए इस केस में क्या करते थे बताइए अब यह आप बताएंगे इसमें क्या था जब भी कांस्टेंट आ जाए वी फॉर्म ग्रुप्स तो यहां पर ग्रुप फॉर्मेशन को यूज किया जाता है ग्रुप फॉर्म कर लेते हैं एस पर रिक्वायरमेंट और फिर आगे ग्रुप दे देते हैं बहुत बढ़िया अब आता है दूसरा केस यह वाला यह भी आपका फेवरेट है यह तो सीधे चलो बैगर मेथड काम खत्म बैगर्स मेथड अगर अलाइक ओ सॉरी सॉरी सॉरी सॉरी सॉरी सॉरी माय बैड माय बैड यह था बैगर्स मेथड अब इसका सर आप मुझे बताइए इसमें क्या करते हैं ये आप बताइए अगर पास डिस्टिंक्ट ऑब्जेक्ट है बट प्लेसेस अलाइक है इसमें कैसे चलेंगे मान लो मुझे पांच लोगों को तीन जगह पर बिठाना है पर तीनों जगह आइडेंट कल है कैसे बिठाए 10 लोगों को तीन ऑफिस में बिठाना है ऑल द थ्री ऑफिस आर इंडिस्टिंग्विशेबल उनमें कोई फर्क ही नहीं बिल्कुल सेम दिखते हैं वेरी गुड इसमें ग्रुप फॉर्म करने के बाद भैया आप देखेंगे तीन जगह जाना है पांच लोग हैं अगर कोई कंडीशन दी है तो कंडीशन का ध्यान रख लेंगे वरना सीधे पॉसिबिलिटी बना देंगे ट पर ग्रुप फॉर्म करने के बाद जब उसको अरेंज करने की बारी आएगी तो इनटू वन करना है क्योंकि अब जहां पर व जा रहे हैं वहां पर इन 3 फैक्टोरियल नहीं लगेगा क्योंकि तीनों ऑफिस सेम है अलग अलग है ही नहीं लव यू टू शेरा गड ब्लेस यू अब आइए उस पर अलाइक ऑब्जेक्ट अलाइक प्लेसेस इसमें क्या करते हैं मेरे पास पांच सिक्के हैं बिल्कुल सेम और आगे तीन डब्बे हैं बिल्कुल सेम मुझे इन तीन सिक्कों को पांच ड नंबर बड़ा ले ले 10 सिक्के ले लेते चलो 10 सिक्के हैं पांच डब्बे है ऐसे डालना है कि ओ मैं सवाल लेट मी यूज बेटर वर्ड सिक्स अलाइक कॉइंस थ्री अलाइक डब्बास कितने तरीके से डाल सकते हैं समझ गए छ सिक्के भी सेम है और छ तीनों डब्बे भी सेम है अब कितने तरीके डालने के तो इसमें आपको मैनुअली बस पॉसिबिलिटीज काउंट करनी होती है सर मैं दो दो एक दो दो दो डाल दूंगा सर सर मैं न फ डाल दूंगा बस पॉसिबिलिटी आगे अरेंजमेंट नहीं होंगे इसके क्योंकि आगे सेम है इधर भी सल नहीं होगी क्यों क्योंकि पांचों सिक्के छ सिक्के सेम है बस मैनुअली आपको पॉसिबिलिटीज गिन होती है मैनुअली काउंट पॉसिबिलिटीज नो अरेंजमेंट नो अरेंजमेंट इज डन नो सिलेक्शन इज डन पॉसिबिलिटी ठीक वेरी गुड इसका सवाल इस पर आया था मुझे एट याद नहीं शायद वो पांच या छह चीजें थी उनको चार जगह पर बांट था पाच छ चीजें भी लाइक थी और चारों प्लेसेस भी लाइक थे तो आंसर आया था 600 पहला पॉसिबल केस मतलब एक एक तरीका 5100 दूसरा 4200 तीसरा ऐसे करते करते 111 3 2 220 ऐसे जितने केस थे वो सारे मैनुअली हमें गिने पड़ते हैं सिलेक्शन या अरेंजमेंट नहीं करनी बस सारे मैनुअल केसेस गिन के आपको आंसर लिखना होता है शाबाश देन कम स्ट्रेट लाइन स्ट्रेट लाइन पिछली बार काफी अच्छी वेटेज में रहा था फर्स्ट अटेंप्ट में मतलब सर्कल से ज्यादा आया पैराबोला से ज्यादा आया काफी ज्यादा पूछा गया तो भैया सेंट्रोइड्स डिवाइड बायथ इसमें कोई बड़ी बात नहीं हमें पता है इन सेंटर के बारे में फार्मूला आई सपोज आपको अच्छे से याद होगा साइड लेंथ मल्टीप्ला बाय ऑपोजिट वर्टेक्स किया जाता है फिर उसको ऐड कर देते हैं और डिवाइड बाय टोटल सम ऑफ साइड a इन एक्सव बी इन एक्सट सी इन एकस3 डि बा ए प् बी प् सी ओके पर मुझे ये बताइए ये कितनों को आते हैं टू प्रॉपर्टीज ऑफ इंटरनल एंगल बाईसेक्टर इंटरनल एंगल बाईसेक्टर के दो इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टीज कितनों को याद है कितनों को याद है शाबाश सोच लीजिए एंड देन सर सबसे पहली बात अगर आप ट्रायंगल की बात करेंगे तो एंगल बाईसेक्टर जो होता है वो अपोजिट साइड को एक फिक्स रेशो में डिवाइड करता है और वो रेशो क्या होती है एंगल कंटेनिंग साइड्स की लेंथ की रेशो यह पहला आ गया बहुत बढ़िया और दूसरा क्या होता है सर दूसरा होता है कि अगर आप एक साइड में वाइट ले लेते हैं बाईसेक्टर को अगर आप एक साइड पर कोई पॉइंट लेते हैं और आप उसका इमेज निकालते हैं एंगल बाईसेक्टर में तो वह दूसरी साइड पर गिरता है एंगल बाईसेक्टर में इे इमेज ऑफ वन इमेज ऑफ अ पॉइंट ऑन वन साइड अलोंग द एंगल बाईसेक्टर लाइज ऑन अदर साइड यह दो इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी आपके इंटरनल एंगल बाईसेक्टर की जो कि आपके सवालों में यूज होती हैं देन ऑर्थो सेंटर इ पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन ऑफ एल्टीट्यूड फार्मूला कोई खास काम इसका आता नहीं सिमिलरली आपका सरकम सेंटर जहां पे परपेंडिकुलर बाईसेक्टर कट कर जाते हैं फार्मूला खा ज्यादा काम आता नहीं क्योंकि सुंदर ही नहीं होता अब आती है ये बात फटाफट रेशो बताइए सरकम सेंटर सेंट्रोइड्स सेंटर एक लाइन पे लाई करते हैं और जी जो होता है यह ओ को एक फिक्स रेशो में डिवाइड करता है तो g ए अपज बताना है आपने वेरी गुड सर इसको ऐसे याद कर लेते कि सर o को ना जीरो की तरह पढ़ लो 0 1 2 ऐसे पढ़ लो तो g ए अपज बहुत बढ़िया इक्विलैटरल ट्रायंगल में सारे के सारे सेंटर एक ही जगह आ जाते हैं बिल्कुल सेम होते हैं ये सारी की सारी फॉर्म्स क्या मुझे रेडी मेड याद है स्लोप इंटरसेप्ट फॉर्म क्या थी सर y = mx8 स्लोप फॉर्म क्या थी सर एक पॉइंट दिया हुआ है स्लोप दी हुई है और सर लेट मी टेल यू दिस इज द मोस्ट इंपोर्टेंट फॉर्म आपके 90 पर से ज्यादा सवालों में आपको वो पॉइंट डायरेक्टली दे देंगे स्लोप बहुत इनडायरेक्टली देंगे और लाइन की इक्वेशन पूछेंगे और आपको सारा दिमाग यही लगाना होगा कि m को कैसे निकालूं मैं देन टू पॉइंट फॉर्म सर ये तो यही वाला केस है बस जो स्लोप है ना सर उसकी वैल्यू पॉइंट से डाल दी है दो जो पॉइंट से उनसे डाल दी है कुछ है नहीं इंटरसेप्ट फॉर्म सर हमें पता है कि x को कहां पे काट रहा है और y को कहां पे काट रहा है सर नॉर्मल फॉर्म सर x क अफ + y सा अफ इक्व p अब यहां पर मेरा डाउट आएगा तुमसे जवाब देने को तैयार हो जाओ इक्वल टू p यहां पर जो अल्फा होता है वो कहां से कहां तक लाई करता है नॉर्मल फॉर्म में अल्फा कहां से कहां तक लाई करता है बताइए शाबाश मतलब ऑफकोर्स p पॉजिटिव होता है क्योंकि वो ओरिजिन से डिस्टेंस को रिप्रेजेंट करता है बट अल्फा कहां से कहां ला करता है अब सबने गलती की बस यही कांसेप्चुअल तरीके पे आप मर जाते हो तभी आप नॉर्मल फॉर्म में मतलब लद रेयर पूछी जाती है बट जब पूछी जाती है तो भी गलत कर देते हो अल्फा जो होता है वह 0 से लेके 360 तक पूरा जाता है अगर लाइन इधर है तो यह रहा परपेंडिकुलर और यह रहा अल्फा अगर आपकी लाइन इधर है तो यह रहा परपेंडिकुलर यह रहा अल्फा अगर आपकी लाइन इधर है तो यह रहा परपेंडिकुलर और यह रहा अल्फा सिमिलरली फोर्थ क्वाड्रेंट तो अल्फा जो होता है वह 0 से 360 पूरे का पूरा वेरी करता है पैरामेट्रिक फॉर्म सर x को लिख देते हैं x1 प् r क थीटा और y को लिख देते हैं y1 ् r सा थीटा इक्वेशन तो याद है इसका यूज देखते हैं आगे जाके स्लाइड पे सर जनरल फॉर्म तो क्या ही होती है a + ब + c = 0 भाई देखो इंपॉर्टेंट क्या होता है कि फॉर्म तो मुझे याद है बहुत बार हमने लगा लिए बेसिक इक्वेशंस हो गई इनका यूज जब आना है कैसे आना है हमें वो देखना होता है मेट्रिक का यूज हमें बहुत अे से आना चाहिए जब भी एक पॉइंट से किसी डायरेक्शन में चलना हो तो आप पैरामेट्रिक फॉर्म लगा देते हैं उस पॉइंट को एक्सव वाव लेकर एक्स को लिख देते हैं एक्सव प् आर कॉस थीटा प् आ साइन थीटा आ डिनोट करता है कितना चले और थीटा डिनोट करता है किस डायरेक्शन में चले कभी भी सवालों में आपको ऐसी कंडीशन मिले अ पॉइंट स्टार्टिंग फ्रॉम प एंड समथिंग समथिंग हैपनिंग एंड प इन पब इन पसी समथिंग गिवन समझ जाना कि प को एक्सव वाव लेकर आपने पैराटिकी है प से हो रहा है सब कुछ तो जब भी एक पॉइंट से सब कुछ चलता है ना उस पॉइंट को एक्स वाव लेकर पैराट फॉम लिख दो सवाल खत्म हो जाएगा इसे खा जाना देन आता जनरल फॉम इ फाइन हां जी व्ट इज दिस फर्मूला स्टंड व्ट ड दिस फर्मूला स्टैंड फॉर बताइए व्ट डज दिस फर्मूला स्टैंड फॉर हम इसके इसका क्या यूज करते हैं ट व्ट यूज एटली वी टेक फ्रॉम दिस फार्मूला आय हाय हाय दिल तोड़ दिया मेरा तोड़ दिया दिल ही तोड़ दिया एंगल बिटवीन लाइन तो बेटा बच्चों वाली बात हो गई ओ नहीं यार इट इज अ रिलेशन बिटवीन m1 m2 एंड थीटा जो तुमने बताया वोह सबसे बेसिक बेसिक यूज है आपको m1 ए2 देके थीटा पूछेंगे अच्छा यूज क्या होता है अच्छा यूज होता है वो तुमको m1 दे देंगे थीटा दे देंगे m2 पूछेंगे ये है असली यूज वो तुम्ह लेंगे एक लाइन है जिसकी स्लोप पता है मान लो ट एक दूसरी लाइन है जो इसको कट कर जाती है एट एंगल मान लो 60 डिग्री अब इसकी स्लोप बताइए यह है असली सवाल मेंटोस जिंदगी समझ गए फार्मूला यही लगना है m1 की जगह पर ट आ जाएगा थीटा की जगह पर 6 आ जाएगा और m2 की वैल्यू आपसे पूछी जा रही है यह सबसे इंपोर्टेंट वरायटी होती है इसकी ठीक वेरी गुड नाउ फॉर्मूले फटाफट फॉर्मूले याद करिए डिस्टेंस ऑफ अ पॉइंट फ्रॉम लाइन कैसे निकालते थे यस और नो जस्ट राइट यस और नो याद है भूल गए सर इस पॉइंट को यहां पे रख दीजिए ax1 b1 + c अप √ a स् + b स् इसका मैग्निटिया सर पहले ए और बी को सेम बनाया जाता है एंड देन फार्मूला लगा देते हैं d - स अप र ए स् प् b स् मैग्नी आ हा हा फुट ऑफ परपेंडिकुलर शाबाश फुट ऑफ परपेंडिकुलर फटाफट बोलिए फुट ऑफ परपेंडिकुलर ऐसे याद किया था हमने याद आया इस तरह से याद किया था हमने अल्फ माइ x1 अपन ए बीटा माइ y1 अप बी एंड फाइनली शाबाश फाइनली x1 वाव को यहां पर रख दीजिए a एक्सव बीवा 1 प् सी नीचे स्क्वायर रूट नहीं लगाना नोट बच्चे जल्दबाजी में यहां पर स्क्वायर रूट लगा देते हैं एंड फाइनली यहां पर माइनस वेरी गुड बहुत बढ़िया शाबाश नाउ अगर इमेज आ जाए तो क्या फर्क पड़ता है सर इमेज के केस में सारा फार्मूला सेम रहता है बस -2 आ जाता है यहां पे माइनस होता है यहां पे -2 आ जाता है बाकी सारा सेम एगजैक्टली शाबाश फैमिली ऑफ लाइन के बारे में आ जाइए सवाल पूछने वाला हूं मैं आपसे अब भैया मुझे पता है एक लाइन l1 है एक l2 है और ये इसके इंटरसेक्शन से पास करती है लाइन तो ये देखने में l1 प् ल टाइप की दिखती है दिस इ कॉल्ड फैमिल ऑफ लाइन ओके आता है मुझे यह बताओ कौन सी दो वरायटी है स्टैंडर्ड जो बनती है फैमिली ऑफ लाइन पर सोचिए अपने आपको को पूछिए ऐसा कौन सा सवाल पेपर में या कांसेप्ट सवाल में पेपर में आएगा जिसे सोच के मेरे दिमाग में फैमिली ऑफ लाइन का कह लो कि जिक्र या पॉइंट आ जाएगा यह तो फैमिली ऑफ लाइन से होने वाला है शाबाश च टू वैराइटी आर मेजर्ली आस्क फ्रॉम दिस टॉपिक फैमिली ऑफ लाइन सर जब भी प्रूफ करना हो सवाल आ जाए लाइंस आर पासिंग थ्रू वन पॉइंट थ्रू अ पॉइंट बेसिकली लाइंस नहीं वेरिएबल लाइन वेरिएबल लाइन जैसे कि कॉड को लेकर बन जाते हैं कई बड़ी सवाल कि इस इस यह सारे पॉइंट से इसकी कॉड ऑफ कांटेक्ट बनाई गई प्रूफ करिए यह सारी कॉर्ड ऑफ कांटेक्ट एक फिक्स पॉइंट से पास करेंगी या फिर एक वेरिएबल लाइन है a एक्स प् बीवा प् सी उसमें ए बी सी में कुछ रिलेशन है प्रूफ करिए कि यह वेरिएबल लाइन एक फिक्स पॉइंट से पास करेगी वेरिएबल लाइन पासिंग थ्रू अ पॉइंट का अगर कांसेप्ट आ जाए वहां पर आप इसको यूज करते हैं दूसरी वरायटी क्या होती है पासिंग थ्रू अ पॉइंट एक दूसरी राइटी होती है दूसरा कांसेप्ट था आय शाबाश लाइन पासिंग थ्रू इंटरसेक्शन ऑफ l1 एंड l2 दैट इज फार्ट दैट इज फाेस्ट फ्रॉम गिवन पॉइंट सवाल कुछ याद आया कुछ ऐसा सवाल होगा आपको ए1 दे देंगे l2 दे देंगे और एक पॉइंट दे देंगे p और कहेंगे l1 ए2 के इंटरसेक्शन से पास करती हुई वो लाइन बताइए यहां से पास करती हुई वो लाइन बताइए जो प से फारेस्ट है तो आंसर क्या होता है जो इस कनेक्ट के परपेंडिकुलर होती है दिस इज योर आंसर तो प पता होता है यह वाला पॉइंट l1 ए2 को सॉल्व करके निकाल लेते हैं तो ग्रीन लाइन की स्लोप इस के परपेंडिकुलर होती है दिस इज व्हाट वी कॉल लाइन पासिंग थ्रू इंटरसेक्शन ऑफ टू लाइंस एंड फारेस्ट फ्रॉम गिवन पॉइंट ओके शाबाश अब आता है सर्कल नाउ सर्कल एक अच्छा खासा इंपॉर्टेंट टॉपिक रहा है जेई मेन का हालांकि 24 फर्स्ट अटेंप्ट में स्ट्रेट लाइन ज्यादा पूछा गया सर्कल कम पूछा गया बट एस सच सर्कल अच्छा खासा इंपोर्टेंट रहता है भैया यह तो मुझे पता है और हमें पता है कि 99 पर यही इक्वेशन यूज होती है जब भी हमें सर्कल की इक्वेशन निकालनी होती है बट इसका सिग्निफिकेंट अक्सर स्टेटमेंट में आता है सवाल के अंदर एक सर्कल दे देंगे इस फॉर्म में और आगे कुछ कुछ पूछेंगे तो सबसे पहले मुझे इसका सेंटर बताइए जब भी आप एक ऐसा सर्कल देखते हैं तो सर्कल का सेंटर क्या दिमाग में आता है सर नेगेटिव ऑफ हाफ द कफिट ऑफ x नेगेटिव ऑफ हाफ द कफिट ऑफ y प्रेफर बली ऐसे ही याद करिए - g - f से मत याद करिए नेगेटिव ऑफ हाफ द कफिट ऑफ x नेगेटिव ऑफ हाफ द कफिट ऑफ y रेडियस सर g स् + f स् - c डायमेट्रिक फॉर्म कितनों को याद डायमेट्रिक फॉर्म अगर एक सर्कल है जिसके डायमीटर के एंड पॉइंट आपको पता है तो डायमीट्रिक फॉर्म क्या थी सर x - x1 x - x2 सर एक क्वाड्रेटिक x में लिखनी है आपको जिसके रूट जो है ना x1 x2 होने चाहिए फिर एक क्वाड्रेटिक y में लिखनी है आपको जिसके रूट y1 y2 होने चाहिए इनका सम इक्वल टू 0 इज द आंसर कोई भी एक डायमीटर के एंड पॉइंट आपको पता है तो आप सर्कल की इक्वेशन लिख सकते हैं बहुत बढ़िया सम ऑफ टू क्वाड्रेटिक से याद करना है एक x में एक y में आ हा हा स्पेशल सर्कल जब भी सर्कल आपको गिवन है कि x को टच करता है y को टच करता है भैया इससे आपने क्या इंटरप्रेट करना है देखो सर सर्कल का कोई भी सवाल हो फाइनली इट इज अबाउट सेंटर ऑफ सर्कल एंड रेडियस ऑफ सर्कल फाइनली इट सेंटर एंड रेडियस तो हमें व जो भी इंफॉर्मेशन देंगे हम सारी की सारी सेंटर और रेडियस से ही जोड़ेंगे बहुत बढ़िया तो पहले वाले में हम क्या कह देंगे अगर य एक्स एक्सस को टच करता है भैया अगर रेडियस आ था तो सेंटर एमा आ होगा जरा इसमें बताइए इसमें हम सेंटर के बारे में क्या कहेंगे अगर सिचुएशन ऐसी है तो सटर के बारे में क्या कहेंगे बहुत बढ़िया सर अगर रेडियस आ है तो सेंटर आमा बी हाइट सेम रहेगी बी सर यही सर्कल अगर लेफ्ट पर होता तो सेंटर माइनस आमा बी आ जाता और अगर सर्कल दोनों एक्सिस को टच करता है तो सेंटर आमा आ हो जाता है अगर इधर चला गया तो एक्स नेगेटिव हो जाएगा इधर चला गया तो वा नेगेटिव हो जाएगा और इधर चला गया तो दो ही नेगेटिव हो जाएंगे नाउ सर्कल टचिंग बोथ एक्सस के बारे में आपको एक एक्स्ट्रा पॉइंट पता होना चाहिए सर्कल टचिंग बोथ एक्सेस एंड पासिंग थ्रू अ पॉइंट पासिंग थ्रू अ पॉइंट हमेशा याद रखिए अगर आपको सवाल में बोला गया कि आपका सर्कल जो है एक्स और वा को टच करता है और एक गिवन पॉइंट से पास करता है तो ऐसे दो सर्कल बनते हैं हमेशा या रखिएगा टू सर्कल्स सेटिस्फाई दिस क्राइटेरिया एक छोटा बनेगा कुछ ऐसे और एक बड़ा बनेगा ऐसे दे लवेज टू सर्कल सेटिस्फाइंग क्राइटेरिया काफी इंपॉर्टेंट है ऐसे टू सर्कल्स होते हैं इसे दिमाग में रखना यह इट सेल्फ अपने आप में इंपॉर्टेंट कांसेप्ट है सर्कल्स टचिंग बोथ एक्सेस एंड पासिंग थ्रू अ गिवन पॉइंट ऐसे दो सर्कल होते हैं एक छोटा एक बड़ा ठीक है ओके नाउ पैरामेट्रिक फॉर्म सर्कल का पैरामेट्रिक पॉइंट क्या था अगर x स् प् y r स् सर्कल है और आपको उसके ऊपर एक पॉइंट एज्यूम करना है तो कैसे अजूम करते थे सर्कल के ऊपर पॉइंट कैसे अजूम करते थे शाबाश शाबाश शाबाश r कस थीटा r सा थीटा पर अगर मेरा सेंटर ओरिजिन ना होकर सेंटर ओरिजिन ना होकर x1 y1 है तो मेरा सेंटर क्या आ जाएगा फिर सेंटर को कैसे लिखेंगे अगर सेंटर x1 y1 है तो पैरामेट्रिक पॉइंट कैसे लिया जाएगा कर्व के ऊपर x1 + r क थीटा y1 प् r सा थीटा ओबवियसली पैरामेट्रिक फॉर्म सर्किल की बहुत ज्यादा सिग्निफिकेंट नहीं रखती नॉर्मली ऐसे सवालों में काम आती है जहां पर लोकस होता है आपको सर्कल के ऊपर एक जनरल पॉइंट लेना होता है तो यह काम आती है नॉर्मली यूज्ड फॉर लोकस नॉर्मली यूज्ड फॉर लोकस क्वेश्चंस राइट च फिगर डू वी रेफर न सर्कल में एक इंटरसेप्ट लाइन याद करिए अगर एक सवाल है सवाल में उसने एक सर्कल दिया हुआ है और बोला गया कि यह सर्कल जो है एक लाइन को कट करता है और आगे कुछ कुछ पूछा गया है तो कौन सा फिगर बनाया जाता है सर याद है ट्रायंगल बनाते हैं सर ट्रायंगल सर सर्कल के सेंटर से ना ऐसे परपेंडिकुलर गिरा दीजिए ऐसे जोड़ दीजिए यह रेडियस होगा य बराबर हो जाएगी और यह मैं डिस्टेंस से निका लूंगा इस सेंटर का इस लाइन से डिस्टेंस एल बाटू ए बाटू बस सर यह फिगर बना लिया सवाल वही पर खत्म हो जाएगा बहुत बढ़िया एक्स एक्सिस पर और वा एक्सिस पर जब जनरल फॉर्म सर्कल लिखा जाता है और इंटरसेप्ट निकालना होता है उसका फार्मूला हम डायरेक्टली याद करते हैं रज स् माइ c रू ए स् माइ सी सम स्टैंडर्ड नोटेशन नोटेशन हमें सारी याद है s1 होता है कहां गया s1 s1 होता है वैल्यू ऑफ कर्व एट अ गिवन पॉइंट x वा की जगह पर x1 y1 डाल देते हैं और अगर हम x1 y1 के लिए ऐसे रिप्लेस कर देते थे तो क्या बन जाता है t बन जाता है राइट तो s1 इज वैल्यू एट अ पॉइंट और t क्या होता है x स् y स् एकवा को ऐसे रिप्लेस कर दीजिए और अपने पास लिख लीजिए t को टेंज कभी नहीं बोलना t को टेंज कभी नहीं बोलना ओके सर तो जरा मुझे यह बताइए p लाइज इनसाइड द सर्कल यह कैसे चेक किया जाता है एक पॉइंट है मुझे चेक करना सर्कल के अंदर है बाहर है तो हम कैसे चेक करते थे किस चीज से कंक्लूजन सर्कल के अंदर आएगा सर s1 < 0 बहुत बढ़िया ऑन द सर्कल s1 = 0 आउटसाइड सर्कल s1 > 0 पॉइंट को सर्कल में पुट कर दीजिए अगर ने वैल्यू आ गई तो पॉइंट अंदर था पॉजिटिव आ गई तो पॉइंट बाहर था आ हा हा लीस्ट डिस्टेंस ऑफ पॉइंट फ्रॉम द सर्कल कैसे निकालते थे एक सर्कल गिवन है उसके बाहर एक पॉइंट गिवन है लीस्ट डिस्टेंस पूछा गया यानी कि यह वाला डिस्टेंस पूछा गया यह कैसे निकालते थे बहुत बढ़िया गलत लिखा ओ माइनस आ का मैग्निटिया गलत मैग्निटिया के बाहर हो चाहे अंदर हो ओ माइनस आ ही करना होता है बट मैग्नी लेना याद रखना ओके और अगर मैक्सिमम बात की जाए तो यह वाला डिस्टेंस तो भैया यह होता है ओ प् आ दिस फार्मूला होल्स वेदर प इ इनसाइड सर्कल और आउटसाइड सर्कल फॉर प लाइंग इनसाइड और आउटसाइड दोनों के लिए फर्मूला ट्रू हैय ओके आउटसाइड द सर्कल तो उसमें अपने दिमाग को कभी कंफ्यूज नहीं करना कि सर्कल के अंदर है बाहर है क्या हो रहा है बहुत बढ़िया + r में मैग्निटिया आएंगी कितनों को याद है आपी बता दो शाबाश इनके सेंटर है c1 c2 हैं जी हमने c1 c2 और डिस्टेंस निकाल लिया रेडियस r1 r2 है तो c1 c2 के डिस्टेंस को r1 आ2 से कैसे कंपेयर करके पता लगता था कि कौन सा पोजीशन हो रहा है मुझे पहले का जवाब दीजिए c1 सी2 का डिस्टेंस r1 r2 से कैसे रिलेटेड हो तो यह होता है यानी कि सर्कल अलग-अलग होते है दूर दूर बैठे होते हैं ग्रेटर देन r1 प् आ2 बहुत बढ़िया यह बाहर से टच कर जाए टच कर जाए यह सिचुएशन की कंडीशन क्या थी बहुत बढ़िया इक्व r1 प् r2 अब मुझे इसकी बताइए सीधे इसकी फोर्थ की बताइए टूथ 4 फोथ की कंडीशन क्या थी सर्कल अंदर से टच कर जाए सर r1 माइनस आ2 के बराबर बिल्कुल इन मैग्नी अब नाउ सर्टेनली यह वाला कंडीशन इन दोनों के बीच में है तो लेसन r1 प् आ2 और ग्रेटर दन r1 माइ आ2 और यह फर्द हो गया r1 माइ आ2 से भी छोटा अब य एक कंडीशन जो आपने दिमाग में रखनी है नवर दे से टू सर्कल्स आर टचिंग चच अदर बचा बाय डिफॉल्ट यह लगाता है पर याद रखिए इसमें भी तो दो सर्कल टच कर रहे हैं तो दोनों लगेंगे न टू सर्कल्स आर गिवन टू टच चच अदर आर गिवन टू टच ईच अदर अगर उन्होने एक्स ली मेंशन नहीं ना किया कि एक्सटर्नली टच कर रहे हैं या इंटरनली टच कर रहे हैं मेंशन किया तो ठीक है अगर सिर्फ लिखा टच कर रहे हैं तो भैया आपको दोनों कंडीशन लगा के चलना है दो आंसर आएंगे एक यहां से एक यहां से ठीक ओके नाउ दिस इज कंफर्टेबल कि s और एल के इंटरसेक्शन से पास होता हुआ सर्कल देखने में s प् लडा एल होता है नो प्रॉब्लम ये मुझे बताइए अगर एक सर्कल s है और एक s ड है उनके इंटरसेक्शन से पास करता हुआ सर्कल कैसे लिखा जाता है इसे लिखने का तरीका बताइए टू बी प्रेसा इज इसे लिखने का बढ़िया तरीका बताइए इसे लिखने का बढ़िया तरीका बताइए नॉट जस्ट तरीका बढ़िया तरीका बताइए आ हां शाबाश सर इसका आम जिंदगी में तो तरीका होता है s प् लडा एस ड बट सर यह ना बहुत लेी जा अर इसे ना ही लगाओ तो बेटर है इसे ना ही लगाओ तो बेटर है इसका स ज्यादा बढ़िया तरीका होता है ए प्लस लडा टाइम s माइन ए ड इक्व 0 यहां पर ए ड ए माइन एड क्या है कॉमन कॉड दो सर्कल की इक्वेशन अगर सबकट कर दो तो तुमको कॉमन कॉड की इक्वेशन मिल जाती है वेरी गुड और यह ब्लू सर्कल ए और यह लाइन के इंटरसेक्शन से भी तो पास कर रहा है तो इसको ऐसे ही लिखा जाता है ये ज्यादा एफिशिएंट रहता है शाबाश कैलकुलेशन कम रहती है इसमें बहुत बढ़िया देन फैमिली ऑफ सर्कल पासिंग थ्रू टू पॉइंट जब भी आपको दो पॉइंट दे दिए जाएं और कहा जाए कि इन दो पॉइंट से एक जनरल सर्कल लिखो या फैमिली ऑफ सर्कल लिखो आपने दो स्टेप करने हैं पहला स्टेप इन दो पॉइंट से लाइन की इक्वेशन लिख सकते हो लिखनी आती है हां सर आती है दो पॉइंट से लाइन लिख देंगे नंबर टू इन दो पॉइंट से एक सर्कल लिख सकते हो जिसका डायमीटर यह सर लाइन हो हां सर एक सर्कल मैं लिख दूंगा जिसका डायमीटर यह होगा नाउ एनी सर्कल पासिंग थ्रू सस टू पॉइंट बेसिकली बिलोंग टू फैमिली ऑफ ए एंड एल ए प्लस लडा ए यस और नो सर्कल विद डायमीट ए एंड बी दैट इज हाउ बिल्कुल डायमीट्रिक फॉर्म लगा के करते हैं सर शाबाश बहुत ही बढ़िया देन आती कॉड ऑफ कांटेक्ट व हमेश t इ 0 रहेगी जो मर्जी कोण आ जाए सर्कल आ जाए कॉड ऑफ कांटेक्ट हमेशा t इ 0 और कॉड वि गिवन मिड पॉइंट t इ s1 इसके बारे में जरा मुझे क्वेश्चन बताइए इसका आंसर बताइए क्वेश्चन पढ़िए जवाब दीजिए स्मॉलेट कॉड पासिंग थ्रू अ पॉइंट इनसाइड द सर्कल इज द वन च एक पॉइंट है सर्कल के अंदर है इस पॉइंट से पास करती हुई कॉर्ड जिसकी लेंथ मिनिमम पॉसिबल हो वह कौन सी कॉर्ड होती है स्मॉलेट कॉर्ड पासिंग थ्रू अ पॉइंट इनसाइड द सर्कल यह पॉइंट सर्कल के अंदर है इज द वन च अरे नहीं गलत गलत इज द वन जिसके लिए यह पॉइंट मिड पॉइंट हो इस पॉइंट से बहुत सारी कॉर्ड्स पास कर सकती है एक ऐसी कर सकती है फिर ऐसी कर सकती है राइट तो एक एक्सट्रीम ब्लू है एक रेड एक ग्रीन है इनमें से सबसे छोटी वो होगी जिसका मिड पॉइंट यहां पर बैठा हुआ है यानी कि ग्रीन ऐसे से तो आप कहेंगे इज द वन कहां पे लिखा [संगीत] जाए इज द वन फॉर व्हिच दैट पॉइंट इज मिड पॉइंट फॉर व्हिच दैट पॉइंट इज मिड पॉइंट गॉट इट तो कभी आपको ऐसा आ जाए कि यार ये पॉइंट है सर्कल के अंदर और इस पॉइंट से ना एक इक्वेशन बनाई गई है एक कॉर्ड बनाई गई है और वो कॉर्ड की ना लेंथ स्मालेस्ट पॉसिबल है तो उस कॉड की इक्वेशन बताओ तो आपने सिंपल t इ s1 लगाना है क्योंकि व वही कॉड होगी जिसका मिड पॉइंट वो पॉइंट है वेरी गुड हा कंडीशन फॉर ऑर्थोटीस्ट में लिखना है तो r1 स् प् आ2 स् स् क्योंकि ऑर्थोलॉजी मैं लिख रहा हूं जरा याद करिए यह आपको याद है यह कैसे लिखते थे जनरल कंडीशन अगर सर्कल जीएसी में लिखा गया है बहुत बढ़िया सो 2 g1 g2 + 2 f1 f2 = c1 + c2 बस देखते रहिए आपके दिमाग में वो ब्लैंक स्पॉट ना आए बीच में ब्लैंक हो गए ऐसा नहीं होना चाहिए वो कंफ्यूजन नहीं आना चाहिए जैसे एक दो बच्चे टू लिखना भूल गए टू होता है यहां पे दोनों जगह पे ठीक देन कम्स कोनिक सेक्शन यहां पे हम एक छोटू सा ब्रेक लेते हैं अ एक्चुअली थके तो नहीं पर गला भी ठीक है बट हमारी ना कल हम जरा ज्यादा जोश में आ गए एक्सरसाइज करते हुए और हमारी लोअर बैक में आ गया है अच्छा खासा ट्विस्ट और उस ट्विस्ट के चलते रहते पढ़ाते हुए महसूस तो मुझे नहीं हो रही दर्द परट जब मैं क्लास से पहले बाहर बैठा हुआ था तो समझ नहीं आहा क्लास कैसे लेनी है बेताज दुख लोर बैक मुड़ा नहीं जा रहा तो पढ़ाते पढ़ाते जोश आ जाता तो भूल जाते कि दर्द हो रही है पर इतना ना भल जाए कि कल क्लास लेनी मुश्किल हो जाए तो छोटा सा ब्रेक हम ले लेते हैं 320 से 330 ठीक है जी यह आपका ब्रेक है 10 मिनट का जाइए थोड़ा पानी पी लीजिए चाय ले लीजिए मिलते हैं 10 मिनट के बाद ठीक है ओके हम हम व लेट टॉपिक आएगा टाइम पे तो है हम एक आधा मिनट यार हो जाता है कई बार समझा करो हम ओके तो अब हम शुरू करते हैं कोनिक सेक्शंस य कोनिक होगा उसके बाद 12थ शुरू होगी ओके चलो कोनिक सेक्शंस सबसे पहली बात पैराबोला में ग्राफ बनाने के अलावा वो कौन सा इंपॉर्टेंट कांसेप्ट होता है जिससे मैक्सिमम सवाल इजली हो जाते हैं वन कांसेप्ट वी यूज इन द फर्स्ट वैराइटी ऑफ क्वेश्चन फर्स्ट राट मतलब ऐसे सवाल कि भैया यह पता है यह पता लेटर एक्टम बता दो यह पता है यह पता पैराबोला की इक्वेशन बता दो शाबाश सर दैट वन कांसेप्ट इज वर्टेक्स के ए यूनिट अंदर फोकस होता है और ए यूनिट बाहर डायरेक्ट्रिक्स होता है ए यूनिट अंदर फोकस और ए यूनिट बाहर डायरेक्ट्रिक्स यह कांसेप्ट जिसको आता है भैया उसके लिए पैराबोला की पहली वरायटी का सवाल सबसे सिंपल कि यह पता है यह पता है पैराबोला बता दो फोकस बता दो कहां पे है यह सब चीजें यह आराम से यहां से निपट जाती हैं बहुत बढ़िया सिमिलरली अगर यहां पे h के आ जाए तो वर्टेक्स जो है h के पे चला जाता है उसके अलावा कांसेप्ट फिर से भाई उसके अलावा कंसेप्ट फिर से वही बस वर्टेक्स h के पे चला गया उसके अलावा कुछ भी चेंज नहीं होता बस ए यूनिट आगे ए यूनिट पीछे बस यही रहता है अब सिमिलरली अगर आप एलिप्स की बात करो चलो मुझे डायग्राम बनाना आता है एक बार क्विकली रिवाइज भी कर देते हैं सर सेंटर जो है वो आता है ओरिजन पे हम सर दिमाग में डिस्टेंस इस को रखते हैं यहां से a आगे जाओगे फोकस आ जाता है और a बा e आगे जाओगे तो डायरेक्ट्रिक्स आ जाता है ऐसे ही पीछे a जाओगे तो दूसरा फोकस और पीछे a बा e जाओगे तो दूसरा डायरेक्ट्रिक्स हमें डिस्टेंस इस से याद करना होता है पर यह बताओ वन ऑब्जर्वेशन दैट सिंपली द कैलकुलेशन इन क्वेश्चंस ऑफ एलिप्स वो कौन सी ऑब्जर्वेशन है एलिप्स के सवालों में जहां पर अगर हमें पता हो तो भैया बहुत सारी कैलकुलेशन बहुत ही आसान हो जाती हैं बहुत बढ़िया सर वो ऑब्जर्वेशन होती है आपका जो सेंटर का फोकस से डिस्टेंस है सेंटर से फोकस का डिस्टेंस उसका जो स्क्वायर होता है वह बहुत ही अच्छा होता है a स्क - ब स्क अगर वर्टिकल है तो सेंटर से फोकस जो डिस्टेंस है उसका स्क्वायर बहुत ही अच्छा होता है b स् - a स् जहां पे भी ae50 पे ब दिखे स्क्वेयर कर दो सवाल वहीं के वहीं कैलकुलेशन खत्म होती है क्योंकि सवाल इज ऑलवेज अबाउट a एंड b और यहां से बहुत प्यारी इक्वेशन मिल जाती है आपको अगर यहां पे h के आ जाए तो यहां पे सेंटर h के हो जाता है पैराबोला इज ऑल अबाउट नंबर वन वर्टेक्स नंबर टू वर्टेक्स से ए यूनिट अंदर फोकस ए यूनिट बाहर डायरेक्ट्रिक्स एलिप्स इज ऑल अबाउट सेंटर एंड दूसरा जो मैंने आपको स्क्वेयर बताया a का स्क्वायर या बी का स्क्वायर बहुत अच्छा होता है बस अगर ये दो चीजें पता है तो भैया आपको पैराबोला एलिप्स हाइपरबोला फसा ही नहीं सकता हाइपरबोला में भी सेम ही वेरी गुड अब तुमने इसका जवाब खुद ही मुझे पहले का दे दिया तो दूसरे को आता ही है तो यह क्या होता है सर सेंटर से जो आपके फोकस की दूरी है उसका स्क्वायर बहुत अच्छा होता है है a स् + b स् सेंटर से फोकस की दूरी बहुत अच्छी होती है और याद रखना हाइपरबोला और एलिप्स के सारे डिस्टेंस सेम होते हैं एलिप्स में भी सेंटर से a यूनिट आगे फोकस था हाइपरबोला में भी सेंटर से a यूनिट आगे फोकस आएगा एलिप्स में भी सेंटर से a बाय e आगे डायरेक्ट्रिक्स था हाइपरबोला में भी सेंटर से a बा e आगे डायरेक्ट्रिक्स होगा एलिप्स और हाइपरबोला के सारे डिस्टेंस सेम रहते हैं सारे सारे के सारे कोई फर्क ही नहीं होता सेम अगर वर्टिकल है तो यहां पे ब का स्क्वायर बहुत ही अच्छा होता है b स् प् a स् शाबाश तो ये हमें क्लियर हो गया नाउ कंजुल माइनस उल्टे हो जाए इसका जो ट्रांसवर्स है वो इसका [संगीत] कॉन्जुलेरे जो आपस में कॉन्जुलेरे एकट रिजल्ट होता है ओके अच्छा एक और चीज बता दो फोका ऑफ कॉन्जुलेरे फॉर्म आ क्या बनता है इस पर डायरेक्ट सवाल आया था ज मेन में डायरेक्ट सवाल फॉर्म स्क्वेयर तो अगर मैं इसके और इसके सारे जो चारों फुकाई बनेंगे दो इसके दो इसके उनको जोड़ दू आपस में तो एक स्क्वेयर बन जाता है बहुत ही बढ़िया इक्विलैटरल या रेक्टेंगल हाइपरबोला क्या होता है जिसमें ए और बी बराबर आ जाते हैं और इसमें एक ही रिजल्ट है कि आपका इस सेंट्री हमेशा √2 रहती है रेक्टेंगल हाइपरबोला की सेंट्रिसिटी हमेशा रट रहती है गॉड ब्लेस यू शेरा खुश रहो बहुत बढ़िया नाउ पैरामेट्रिक पॉइंट यह वाला तो मैं लिख दूंगा मुझे इसमें कोई डाउट नहीं है एंड आई एम प्रिटी शर आपको भी डाउट नहीं होगा अगर x स् 4 एवा बन जाए तो उल्टा हो जाता है कोई डाउट नहीं है मुझे यह बताओ अगर यहां पर माइनस आ जाए यहां पर माइनस आ जाए तो क्या चेंज हो जाता है अगर माइनस आ जाए तो क्या चेंज हो जाता है यहां पर क्या चेंज हो जाता है सर जो स्क्वेयर वाली टर्म है ना वो नेगेटिव में लेनी पड़ती है हमें जो स्क्वेयर वाली टर्म है उसे नेगेटिव में लेना पड़ता है सर इसमें तो एच के ऐड हो जाना और कुछ नहीं h प् ए स्क्वा के प् 28 सर इसमें कोई दिक्कत नहीं और सर यहां पर भी उल्टा हो जाएगा हां जी के + 2at h + ए स् इसमें कोई दिक्कत नहीं हमें येलो वाला ध्यान रखना था नाउ एलिप्स को लेके भी मुझे डाउट नहीं है अच्छा मुझे यह बताओ अह यहां पे अगर a बड़ा है या b बड़ा है क्या इसके पैरामीटर्ज आता है क्या इसके पैरामीटर फॉर्म पे कोई चेंज आता है a बड़ा होने या b बड़ा होने से कि यह हॉरिजॉन्टल है या वर्टिकल है नो सर कोई चेंज नहीं आता x a थ ही रहता है और y भी सा थीटा ही रहता है ओके नाउ यह थीटा क्या होता है यह हमें याद है क्या सर अगर हॉरिजॉन्टल हाइपरबोला की बात करें और आप हमसे थीटा जानना चाहो कि यार यह पॉइंट है ये p ऑफ थीटा है तो ये थीटा कौन सा एंगल है इस पे भी एक और सवाल आ गया था 2024 में आया था शायद उसने थोड़ा सा कंसेप्ट यूज़ करवाया था कि थीटा होता क्या है थोड़ा सा ज्यादा नहीं ऑक्सिलैव सर्कल बनाओ जिसका डायमीटर जो है ये मेजर एक्सिस है इसे कहते हैं ऑक्जिरेल ऑफ अपना एलिप्स सर ऑक्सिलैव कली चले जाओ सर्कल पे इस पॉइंट का जो थीटा है ना वो यहां पे लिखा जाता है इस पॉइंट का जो थीटा है वो यहां पे लिखा जाता है गॉट इट तो अगर ये मेरा a थीटा b सा थीटा है तो ये पॉइंट क्या होगा a थीटा a सा थीटा क्योंकि इस सर्कल का रेडियस a है इस सर्कल का रेडियस ए है बहुत बढ़िया बट हाइपरबोला में फर्क पड़ जाता है कि आपका ए प्लस माइनस कैसे है प्लस वाले के साथ हमेशा सकट लिखना है और माइनस वाले के साथ न लिखना है जैसे कि यहां पर देखो माइनस आ गया इधर तो इस न आएगा ए न थीटा और वा में आ जाएगा सीकें क्योंकि प्लस इधर है सकट स्क्वा माइनस न स्क्वा करना होता है ना तो माइनस वाला जो है वो न में आएगा बस यह ध्यान रखना होता है वेरी गुड इसमें भी थीटा क्या होता है ऑक्सल सर्कल के ऊपर पॉइंट लिया जाता है आई एम प्रिटी होप फुल कि ऐसा वो कुछ यूज करवाएंगे नहीं पर हल्का सा य बना देता हूं डायग्राम यह रहा इसका ट्रांसवर्स एक्सिस वाला सर्कल इसे कहते हैं ऑक्सल सर्कल ऑफ हाइपरबोला जिसका रेडियस जो है वो ट्रांसवर्स एक्सिस हो अब अगर कोई पॉइंट है जिसको मैं प ऑफ थीटा कहता हूं तो ये थीटा कौन सा होता है माशाल्लाह बहुत ही बदसूरत होता है यहां से आप पहले परपेंडिकुलर ड्रॉप करिए फिर यहां से टेंज बनाइए सर्कल की इस पॉइंट का जो थीटा है ना दैट इज कॉल्ड थीटा जो कि यहां पे यूज हो रहा है तो ये कभी यूज नहीं होरहा क्योंकि मो में टेंट का कांसेप्ट भी आ गया तो यह हमें नहीं करना पर वो जरूर पता होना चाहिए उस पर सवाल आया था इस बार पोजीशन ऑफ पॉइंट के लिए हाइपरबोला में उल्टा हो जाता बस ये याद रखना है सर्कल पैराबोला लिप्स इन सब में सेम रहता है एव पॉजिटिव तो बाहर एव नेगेटिव तो अंदर बट हाइपरबोला में उल्टा हो जाता है पॉजिटिव के लिए इनसाइड नेगेटिव के लिए आउटसाइड हाइपरबोला में उल्टा हो जाता है फोकल कॉर्ड फोकल डिस्टेंस भैया पैराबोला के केस में दोनों ही बड़े इंपॉर्टेंट है फोकल कॉड की बात करते चलो सारे के सारे जवाब दो मेरे को अब अगर y स् 4x की बात करें प और q अगर एंड पॉइंट है फोकल कॉड के तो t1 इन t2 की वैल्यू किसके बराबर होती है शाबाश सर t1 t2 की वैल्यू माइनस व के बराबर होती है अच्छा अगर लेंथ ऑफ फोकल कॉर्ड का सवाल आएगा तो हमें दो चीजें मतलब होती है जिनम से एक चीज पता होती है तो अगर आप अल्फा पता है लेंथ ऑफ फोकल कॉर्ड ऑफ दिस पैराबोला मेकिंग एन एंगल अल्फा विद एक्स एक्सिस बहुत बढ़िया सर अगर ये एंगल दिया है और लेंथ पूछी है तो सर 4a कोक स्क्वायर अल्फा बन जाता है और याद रखिए यहां पे अल्फा क्या है जरूरी नहीं कि वह फोकस के पास बने ओके एक अच्छा सवाल अभी मैं इसका बताता हूं जहां पर वो फोकस के पास नहीं बनता अल्फा इज द एंगल अल्फा इज द एंगल मेड बाय फोकल कॉर्ड विद एक्स एक्सस सर सेम ही तो लिखा है नहीं थोड़ा फर्क है बेटा थोड़ा फर्क है जैसे कि ऐसे मान लो तुम्हारा पैराबोला यहां बैठा है हॉरिजॉन्टल है बट यहां बैठा हुआ है ऐसा यह फोकल पैराबोला यह इसकी फोकल कॉर्ड है और तुमको यह एंगल पता है अभी भी तुम इसकी लेंथ को लिख सकते हो 4a कोक स्क्वा 45 डिग्री कांसेप्ट समझ आ गया व्हाई आई एम मेंशनिंग कि वो x एक्सिस के साथ एंगल है नीड नॉट बी लाइक आपको यही दिखे हो सकता है वो यहां दिख जाए हालांकि दोनों सेम ही है बट बच्चे कई बारी देख ही नहीं पाते सवाल में कई बार वो यह एंगल दे देते हैं दिमाग में नहीं आता कि यार यह यहां पे जुड़ तो जाएगा बिल्कुल एगजैक्टली मैं बताता हूं सवाल में कैसे पूछेंगे वह आपको ऑफकोर्स ऐसे एंगल देंगे नहीं वो आपको यह पॉइंट दे देंगे 2 3 ये पॉइंट दे देंगे 1 0 और लेंथ पूछ लेंगे और लेंथ पूछ लेंगे अब अल्फा दिमाग में ही नहीं आ रहा समझ रहे अब अल्फा दिमाग में ही नहीं आ रहा तो यहां पे आपको समझना है इस लाइन की जो स्लोप है वो मैं निकाल सकता हूं 3 - 0 अप 2 - 1 3 से तो आपको t अफ की वैल्यू पता लग गई और अगर t अल्फा पता लग गया तो कोक स्क अल्फा भी मैं लिख दूंगा चमक गया पॉइंट अच्छे से ठीक ओके दूसरा दूसरा तरीका जो होता है वो लेंथ का वो आपको एंड पॉइंट दे देते हैं लेंथ ऑफ फोकल कॉर्ड हुज वन एंड पॉइंट इज p ऑफ t वो आपको यह वाला पॉइंट दे देंगे या यह वाला पॉइंट कोई भी एक पॉइंट दे देंगे वेरी गुड तो लेंथ निकाली जाती है t प्व बाटील स्क्वा बाहर a अब यहां पर t में चाहे तुम t1 की वैल्यू डालो चाहे t2 की वैल्यू डालो आंसर सेम ही आएगा लास्ट अगर एय फोकल कॉर्ड है तो ये वाला पार्ट जो है इसे कहते हैं फोकल सेगमेंट और इसे भी कहते हैं फोकल सेगमेंट फोकस से लेके पॉइंट तक का सेगमेंट तो अगर ए एक फोकल कॉर्ड है मैंने p क लिया इसको p क लिख देते हैं ज्यादा रिलेटेबल लगेगा p क इज अ फोकल कॉर्ड ऑफ दिस देन / ए + 1 बा s ब यहां से इसका और यहां से इसका 1 बा s एंड 1 बा s क इज इक्वल टू बहुत बढ़िया सर इ इक्वल टू 1 बा ए तो यह है आपके फोकल कॉर्ड ऑफ पैराबोला के रिजल्ट सारे के सारे इंपॉर्टेंट है डायरेक्टली आते हैं नॉर्मली इन दोनों पर सवाल बनते हैं उनमें से भी यह वाला आइकल ज्यादा चल रहा है जहां तक फोकल डिस्टेंस की बात है पैराबोला प कोई पॉइंट है आप उसका फोकस से डिस्टेंस निकालना चाहते हैं कभी डिस्टेंस फर्मूला नहीं लगाना यू विल यूज a प् x1 a प् x1 बस ऐसे यूज करना एलिप्स के केस में फोकल डिस्टेंस जब भी लेना है भैया इधर के केस में x माइ a और इधर के केस में x1 प् a माइनस वाले में प्लस आएगा प्लस वाले में माइनस आएगा बहुत बढ़िया और यहीं से आपको दिख जाता कि इसका जो सम है वह कांस्टेंट है ओ सॉरी उल्टा लिख दिया मैंने माय बैड किसी ने टोका भी नहीं पाप लगेगा तुमको कमक तो a माइ a प् एक्सव किसी ने टोका नहीं यार मैं वेट कर रहा था यार आपकी हद कर दी तुम लोगों ने ठीक है सो इसी से पता लगता है कि ऐड करेंगे तो सम बनेगा 2ae तो किसी भी पॉइंट के लिए जो एलिप्स के ऊपर बैठा हुआ है सम ऑफ फोकल डिस्टेंस हमेशा 2a के बराबर मैं क्या कर रहा हूं यार दिमाग में एई ऐसा छप गया क् गलत भी नहीं बोला माय बैड एक्सव मैं मैं खुद ही कंफ्यूज हो गया एक मिनट एक्सव माइनस ए एंड एक्सव ए एक बार मैं दिमाग में ड्राइव कर य थोड़ा कंफ्यूज हो गया बट फिर भी दिमाग डिराइवर कर लेते हैं तो ये निकालना है तो दिस इज e टाइम दिस और इसकी बात करें तो a / e - x1 तो a - ex1 हां बिल्कुल सही है जी 10 सेकंड के लिए मैं भी कंफ्यूज हो गया था अभी देखो हद हो गई तो ps-2 ps1 याद रखना है कि माइनस वाले से डिस्टेंस ले ले तो प्लस आएगा और यहीं से इसका जो सम है वो दिख जाता है कांस्टेंट है 2a जोकि हमें पता भी है एलिप्स के किसी भी पॉइंट का सम ऑफ फोकल डिस्टेंस कांस्टेंट रहता है मेजर एक्सिस के बराबर इस केस में दिमाग में रखना हाइपरबोला में ना आपने पॉइंट इधर लिया है या इस ब्रांच पे लिया है उससे थोड़ा चेंज आता है उस चेंज को एक फॉर्मूले में डालने का तरीका होता है मैग्नी ूडल लो बस तो आप जब ए ले रहे हो तो ex1 - a और जब s p ले रहे हो ex1 + a ठी इसमें मैग्निटिया वरना यहां पर दिक्कत हो जाती है याद रखना ठीक है मैग्नी यहां पर काफी इंपॉर्टेंट रहेगा क्योंकि आप अगर पॉइंट इधर लेते हो तो एक्व माइन आता है पॉइंट इधर लेते हो तो ए माइव आ जाता है चीज उल्टी हो जाती है ओके यह डन ना डन डन कॉड ऑफ कांटेक्ट एंड कड गिवन मिड पॉइंट में कोई चेंज नहीं होता देन कम्स मैट्रिस डिटरमिनेट चलो भैया 12थ क्लास को शुरू किया जाए एक बार हेल क्या कहते हे मुगमो मैट्रिस डिटर्मिननेंट को हे कर दो बहुत ही घटिया टॉपिक है मैट्रिस के कुछ अच्छे सवाल बनते हैं डिटरमिनेट कुछ खास तंग नहीं करता डिटरमिनेट तो कुची पची सा रहता है राइट 12थ ओपी इन द चैट ओए होए हो हो क्या बात है मैट्रिस एंड डिटरमिनेट और हर 12थ शुरू करने से पहले साथ साथ बता दूं कि जो बच्चे बाद में आए हैं तुम्हारे अभी चैट में एक लिंक पेंड होगा और बच्चे इस वीडियो को बाद में देखेंगे तुम्हें डिस्क्रिप्शन में सबसे ऊपर मिल जाएगा उस लिंक पर क्लिक करके जो भी वीडियो है उसको लाइक कर दो और नोटिफाई में कर दो वो वीडियो से को आएगा बहुत इंपॉर्टेंट वीडियो है आई रियली डोंट वांट यू टू मिस इट इट इज लाइक अ वेरी वेरी वेरी बिग अनाउंसमेंट फॉर ल ऑफ यू सो उसे मिस मत करिए ठीक ओके तो जो बच्चे बाद में आए लिंक को क्लिक करके ओपन करके उसको कर दीजिए नोटिफाई लाइक कर दो भाई बढ़िया बहुत बढ़िया शाबाश आ जाओ मैट्रिस एंड डिटरमिनेट सबसे पहले स्क्वेयर मैट्रिक्स की बात की जाए तो मुझे बताइए यार ए आई और एजे आई जो होते हैं वो क्या कहलाते हैं a आ आई तो डायगोनल कहलाते हैं ए आ ज और ए आई आपस में क्या कहलाते थे सर ये कहलाते थे आपस में कॉन्जुलेरे एलिमेंट्स अच्छा ट्रेस ट्रेस क्या होता है इज कॉल्ड ट्रेस ऑफ स्क्वेयर मैट्रिक्स ट्रेस ऑफ स्क्वेयर मैट्रिक्स क्या था सर स सिगमा ऑफ a सम ऑफ डायगोनल एलिमेंट इज कॉल्ड ट्रेस बहुत बढ़िया नाउ स्क्वेयर मैट्रिक्स ट्रायंगुलर और डायगोनल में टूट जाती है डायगोनल मतलब डायगोनल के अलावा सब जीरो है डायगोनल पे क्या है कोई कांस्टेंट नहीं डायगोनल पे जीरो भी हो सकता है नॉन जीरो भी हो सकता है डेफिनेशन इज नॉट अबाउट डायगोनल डायगोनल मैट्रिक्स कि डायगोनल के अलावा सब कुछ जीरो है जैसे कि अगर ट्रायंगुलर की बात करें अप्पर ट्रायंगुलर इसका डेफिनेशन का डायगोनल के ऊपर क्या बैठा है उससे कोई लेना देना नहीं है अपर ट्रायंगुलर मतलब डायगोनल के नीचे सब जीरो है समझ रहे हो उल्टी डेफिनेशन चलती है सिमिलरली लोअर ट्रायंगल डायगोनल के नीचे क्या बैठ कोई लेना देना नहीं है लोअर ट्रायंगुलर मतलब डायगोनल के ऊपर जो है वह सब जीरो है बाकी जो मर्जी हो ठीक तो डायगोनल मैट्रिक्स स्क्वेयर मैट्रिक्स अगर डायगोनल के सारे एलिमेंट सेम हो जाए उसे कहते हैं स्केलर मैट्रिक्स अब आता है अलजेब्रा ऑफ मैट्रिक्स मुझे बताइए अगर यहां से मैं के को निकालना चाहता हूं तो के क्यूब बाहर आएगा या के बाहर आएगा बताइए के की कितनी पावर बाहर आएगी सर अगर हम यहां से के को बाहर निकालना चाहते हैं तो के की पावर वन बाहर आएगी मैट्रिक्स में पूरे में से बाहर आता है तुम में से कुछ बच्चों ने ी भी लिख दिया शाबाश बहुत बढ़िया बहुत नाम रोशन करोगे डिटर्मिननेंट होता तो ्र पावर बाहर आती मैट्रिक्स में से पूरे में से एक साथ बाहर आता है ट इज कंपलीटली फाइन जरा मुझे यह बताइए हां ए प् बी स यहां पर ए बी सी मैट्रिक्स है जिसके बेसिक प्रॉपर्टी आपको पता है ए और बी स मैट्रिस है तो ए + bc-c को सिंपलीफाई कैसे करूंगा कैसे b को कॉमन निकालूं ताकि अंदर कुछ ए और सी आ जाए बहुत बढ़िया विक्रम ने बहुत अच्छा किया निशि ने दिल तोड़ दिया क्या करते हो कॉमन निकाल दिया ना छी छी छी छी तुम इसके आगे कुछ नहीं कर सकते बी अगर सेम साइड पे होगा तो ही कॉमन आएगा वरना कॉमन नहीं निकल सकता तो इसको आगे सिंपलीफाई करने का कोई तरीका नहीं है बी कॉमन नहीं आएगा ओके नाउ ट्रांसपोजिंग बाहर आ जाता है और रिवर्सल लॉ लगता है यह सबसे इंपॉर्टेंट है इसमें बताइए इसको कैसे लिखते हैं क्या मैं इसको ऐसे लिख सकता हूं यस और नो क्या मैं इसको ऐसे लिख सकता हूं यस और नो बताइए सर मैट्रिस में डिटरमिनेट में पावर हर जगह अंदर बाहर जाती है सर पावर की चिंता ही नहीं करनी पावर हर जगह अंदर बाहर चली जाती है बहुत बढ़िया नाउ और यहां पर एक चीज भूल गया मेंशन करना मैं यहां बताइए क्या मैं ए प् बी पावर ए को बानो मियल से एक्सपेंड कर सकता हूं बताइए बानो मियल एक्सपेंशन लगाई जा सकती है अगर और बी मैट्रिक्स है तो क्या ए प् बी पावर ए यानी कि ए प् बी पावर फो है 5 है 6 है उसको एक्सपेंड करने के लिए बानो मियल एक्सपेंशन लगा सकता हूं यस और नो दिली तोड़ दिया तुम सबने नहीं लगाया जा सकता कम वक तो सिर्फ एक कंडीशन में लगाया जा सकता है ओनली वेन यह क्या हो गया भैया कुछ तो हैंग हो गया भाई गुस्सा क खा गए अबे क्या भैया क्या हो रहा है तुमको गुस्सा ना खाओ यार ओके यह तो छप गया यहां पर चलो हां बानो मियल कैन बी अबे क्या हो रहा है ये एक मिनट रुको जरा पहले जो लिखा वो सेव कर ले पता लगा कोई गड़बड़ हो गई बुरा मान गया सही बात है यार माना यार मतलब नहीं क्यूट करते मैट्रिक्स पर गुस्सा क्यों खा रहे हो यार हो जापन अब धोखा मत दियो यार चल बानो मियल कैन बी अप्लाइड ओनली इन वन केस दैट इज कि ए और बी बराबर हो ए ब और बी बराबर हो जैसे कि आ प् ए की पावर कुछ n है तो आ और ए कम्यूटर हैं a और ए इवर्स की पावर कुछ n है a और ए इवर्स क्यूट करते हैं ए और एड जॉइंट ए की पावर ए है ए और एड जॉइंट ए क्यूट करते हैं तो यहां पर हम बानो मियल से एक्सपेंड कर सकते हैं इन जनरल नहीं कर सकते ठीक है ओके अब आता है आपका ट्रांसपोजर सिमिट्रिक एंड स्क्यू सिमिट्रिक इज फाइन दिस इ सिमिट्रिक दिस इ क्यू सिमिट्रिक स्क्यू सिमिट्रिक में एक चीज ध्यान रखना है कि डायगोनल पे जीरो होना जरूरी है बच्चे यह तो चेक कर लेते हैं कि आपस में नेगेटिव है डायगोनल पे ध्यान नहीं देते डायगोनल पे जीरो होना जरूरी है डिटर्मिननेंट ऑफ क्यू सिमिट्रिक मैट्रिक्स ऑफ ऑड ऑर्डर क्या होता है डिटरमिनेट ऑफ स्क्यू सिट्रिक मैट्रिक्स ऑफ ऑड ऑर्डर क्या होता है सर जीरो होता है और अगर इवन ऑर्डर हो और अगर इवन ऑर्डर हो डिटर्मिननेंट ऑफ क्यू सिमटिक मैट्रिक्स ऑफ इवन ऑर्डर हो तो सर तो यह परफेक्ट स्क्वेयर होता है डिटर्मिननेंट की वैल्यू परफेक्ट स्क्वायर आती है शाबाश यह आपको पता है पर दिमाग में रखना कि ये जो है इसे सिमिट्रिक पार्ट ऑफ a बोला जाता है और ये इसको क्यों सिमिट्रिक पार्ट ऑफ a कई बार ऐसी लैंग्वेज आ जाए सिमिट्रिक पार्ट ऑफ a पेपर में तो इसका मतलब है कि वो हाफ ऑफ a + a ट्रांस्पोज की बात कर रहे हैं बस ये मीनिंग पता ऐसे लिखते हैं ये पता होना चाहिए सारी की सारी डेफिनेशन बोलो दिमाग में फटाफट बताओ ऑर्थोगनाथाउज i एक-एक करके सारे की डेफिनेशन ो सारे के सारे आइडें पोटेंट मैट्रिक्स क्या था आईडम पोटेंट मैट्रिक्स शाबाश सारे के सारे पॉज करके दिमाग में लिखो फिर मैच करो सर a स् = a इवोल्यूट मैट्रिक्स सर a स्क्वा इक्व आइडेंटिटी नील पोटेंट अगर उसकी कोई पावर जो है जीरो मैट्रिक्स बन जाए उसे कहते हैं निल पोटेंट मैट्रिक्स बहुत ही बढ़िया नाउ अगर एक मैट्रिक्स आइड पोटेंट मैट्रिक्स है यानी कि a स्क ए है तो उसकी बड़ी पावर भी ए ही रहेगी आर यू ल कंफर्टेबल विद ट अगर ए स्क्वा ए आ गया तो ए क्य भी ए रहेगा ए पावर फो भी य रहेगा ए पर फ भी य रहेगा यार तू ना चेंज हो शाबाश अब मुझे इस रिजल्ट का जवाब दीजिए अगर ए बी ए के बराबर है और बी बी के बराबर है तो ए और बी के बारे में क्या कह सकते हो यह अपने आप में एक सवाल है बट एस रिजल्ट भी यूज होता है काफी बाकी सवालों में वेरी गुड वेरी वेरी वेरी गुड सर देन ए एंड बी आर आइड पोटेंट तो अगर ए बी की वैल्यू ए दी गई है बी की वैल्यू बी दी गई है तो आप समझ जाना कि वह आपसे यूज करवाना चाह रहे हैं कि ए स्क्वा ए के बराबर है और बी स्क्वा बी के बराबर है ओके हां जी ऑर्थल मैट्रिक्स को आइडेंटिफिकेशन बिहेव एस परपेंडिकुलर यूनिट वेक्टर्स कितनों को याद शाबाश जितन को नहीं याद तुम्हें पता है इसको कवर करना जरूरी है बहुत ही इंपॉर्टेंट कांसेप्ट है इससे बहुत सारे सवाल ओरली हो जाते हैं बिल्कुल परपेंडिकुलर यूनिट वेक्टर्स की तरह बिहेव करते हैं कॉलम्स या रोज दोनों बेसिकली कोई भी रिलेशन बिटवीन मैट्रिस एंड टर्मिनेट भैया मुझे यह बताइए अगर एक मैट्रिक्स है n ऑर्डर की और वो कांस्टेंट के से मलाड थी और डिटर्मिननेंट लगाया गया था और इस के को मैं बाहर लाना चाहता हूं तो के की कितनी पावर बाहर आएगी के की कितनी पावर बाहर आएगी बताइए सर के की पावर ए बाहर आएगी बहुत बढ़िया पावर हर जगह अंदर बाहर चली जाती है डिटरमिनेट के भी अंदर बाहर चली जाती है प्रॉपर्टीज ऑफ डिटरमिनेट तो हमें पता है बट तीन डिटरमिनेट याद रखना ज्यादा जरूरी है ओके प्रॉपर्टीज ट्रांस्पोज से फर्क नहीं पड़ता दो रो कॉलम सेम हो जाए रो आपस में कॉलम आपस में तो वैल्यू जीरो हो जाती है एंड सॉरी उल्टा को बोल दिया मैंने अच्छा दो रो इंटरचेंज कर दो माइनस बाहर आ जाता दो कॉलम इंटरचेंज कर दो माइनस बाहर ये आ गया प्रोपोर्शनल हो तो जीरो यहां पे आ गया कि अगर डिटरमिनेट के अंदर एक नंबर लेके जाना है तो एक ही रो या एक ही कॉलम में जाएगा ऑफ योर चॉइस कॉमन भी एक ही से आएगा बहुत बढ़िया अगर ऐसे लिखा गया है तो दो में टूट जाएगा और ऐसे तो जुड़ जाएगा अभी तो सवाल प्रॉपर्टीज पे नहीं आते डायरेक्ट सवाल क्योंकि अब वो ड़ हट सा गया बट लद दे मेक यूज अ प्रॉपर्टी टू फाइंड डिटरमिनेट बट यस इसका मेन कंसेप्ट जोड़ने में आता था पहले कि अगर दो रो सेम है तो जो अलग है ना वो ऐड हो जाएगी सेम वाली में कोई चेंज नहीं हुआ अलग ऐड हो जाएगी और इसको जनरल ऐसे याद करते थे कि अगर डिटरमिनेट के बाहर सिग्मा बैठा हुआ है डिटरमिनेट के बाहर सिग्मा बैठा हुआ है तो ये सिग्मा अंदर चला जाएगा कहां पे जहां पे इसका वेरिएबल है r जहां r है ये सिग्मा वहां चला जाएगा बाकियों को बकल डिस्टर्ब नहीं करेगा एक रो का मल्टीपल दूसरे में ऐड करना एक कॉलम का मल्टीपल दूसरे में ऐड करने से कोई फर्क नहीं पड़ती बिल्कुल फर्क नहीं पड़ता जहां से फर्क पड़ता है वह यह तीन वैल्यूज है इसकी वैल्यू बताइए क्या है यह तीनों डिटरमिन मुझे याद होने चाहिए ए सच इनकी वैल्यू मुझे याद होनी चाहिए 1 ए ए स्कव बी बी स्कव सी सी स्क की वैल्यू क्या थी शाबाश अपने को टटोलो अंदर और देखो कि क्या तुम्हें याद है सिमिलरली ए बी सी बी सी सी ए बी क्या इसकी वैल्यू मुझे याद है माइनस ऑफ a क प् बी क्य प् सी क माइ 3abc ये तीनों के तीनों डिटरमिन इंपोर्टेंट है इनकी शकल याद रखनी की वैल्यू याद रखनी है ऐसे कैसे ही मैक्सिमम मिनिम वैल्यू ऑ डिटर कैसे बनाते थे मैक्सिमम और मिनिमम वैल्यू कैसे बनाते थे यह 3 बाथ के लिए पहली बात तो ऑफ ऑर्डर थ यह सिर्फ थ ऑर्डर के डिटरमिनेट का रिजल्ट है ना ही ू बाटू के लिए ना ही 4 बा फ के लिए ओनली फॉर 3 बाथ ऑर्डर का रिजल्ट होता हैय मैक्स वैल्यू कब आती है जब डायगोनल पे स्मॉलेट एलिमेंट आता है और बाकी जगह बिगेस्ट एलिमेंट आता है याद आ गया वेरी गुड मिन वैल्यू कैसे निकालते थे मन वैल्यू हाउ ड व मिन वैल्यू ऑफ़ अ डिटरमिनेट सर मिन वैल्यू इज नथिंग बट नेगेटिव ऑफ मैक्स दैट्ची यूज दिमाग में आ रहा है अच्छा यूज डिफरेंशिएबल है इसका कोई अच्छा यूज दिमाग सम आ रहा है हां सर अगर एक डिटरमिनेट है जिसमें अल्फा बैठा है बीटा बैठा है और मुझे पूछा कि ये अ किस में से किससे इंडिपेंडेंट है किससे इंडिपेंडेंट है तो जिसके रिस्पेक्ट में डेरिवेटिव जीरो आ जाएगा उससे इंडिपेंडेंट होगा बहुत बढ़िया स्पेशल डिटरमिनेट बा को फैक्टर डिटर्मिननेंट डिटरमिनेट मेड बाय रिप्लेसिंग ऑल द एलिमेंट्स ऑफ अ डिटर्मिननेंट बाय देर रिस्पेक्टिव को फैक्टर्स इज कॉल्ड को इज कॉल्ड को फैक्टर डिटरमिनेट हर एक एलिमेंट की जगह पे उसका को फैक्टर रख दीजिए जो बना वो को फैक्टर डिटरमिनेट आप बताइए अगर एक डिटरमिनेट है डेल्टा जिसका ऑर्डर n है तो उसके को फैक्टर डिटरमिनेट की वैल्यू क्या होगी को फैक्टर डिटरमिनेट की वैल्यू क्या होगी बहुत बढ़िया सर डेल्टा की पावर n-1 डेल्टा की पावर n-1 प्रॉपर्टीज ऑफ एड जॉइंट भैया देखो एक तो ये है सबसे इंपॉर्टेंट जो सबसे इंपॉर्टेंट रिजल्ट है यहीं से सब कुछ आगे बनता है और एड जॉइंट ए का प्रोडक्ट बहुत खूबसूरत होता है डिटर्मिननेंट ए इन आ चाहे ऐसे चाहे ऐसे दोनों को म्यूट करते हैं आपस में मोस्ट इंपोर्टेंट बट अगर प्रॉपर्टीज की बात करें सवाल में जो डायरेक्ट लगती है भैया मुझे यह तो आप पर डाउट नहीं है कि आप मुझे बता देंगे इसकी पावर n माइव दो एड जॉइंट डिटरमिनेट के अंदर आ जाए तो मुझे यह भी डाउट नहीं क्या बता देंगे n माइव का स्क्वायर यहां तक कि यह भी डाउट नहीं कि तीन आ जाए तो बेसिकली जितने भी एड जॉइंट आ जाते हैं डिटरमिनेट के अंदर पावर में n माइव की उतनी ही पावर लगा दी जाती है यह मुझे डाउट नहीं है यह तो बताओ ही ना यह बताओ यह यह अगर दो एड जॉइंट है और डिटरमिनेट नहीं लगा हुआ अब बताओ सेकंड का राइट हैंड साइड बताओ एड जॉइंट ऑफ एड जॉइंट ऑफ ए को कैसे लिखा जाता था मैच करो डिटरमिनेट ए रे टू पावर n-2 टाइम्स ए टाइम्स मैट्रिक्स ए नॉट ओनली ए टाइम्स ए बिल्कुल सही अगर ट्रांसपोजर या ट्रांसपोजर बाहर चला जाता है और पावर भी अंदर बाहर चली जाती पावर लिखी मैंने यहां लिखी है पावर भी अंदर पावर तो हर जगह ही अंदर बाहर चली जाती है यार पावर की तो कभी टेंशन नहीं लेनी मुझे यह बताओ जब कांस्टेंट बाहर आएगा कितनी पावर से बाहर आएगा एड जॉइंट के अंदर से जब कांस्टेंट बाहर आता है कितनी पावर से बाहर आता है सर n माइव पावर से आता है और सर प्रोडक्ट में लगता है रिवर्सल लॉ प्रोडक्ट में लगता है रिवर्सल लॉ एड जॉइंट के सवाल में प्रॉपर्टी बन गई बात शाबाश बहुत बढ़िया अगर उन्होने कोई भी कांसेप्चुअल या रेटिक सवाल डाल दिया जहां पर डायरेक्ट प्रॉपर्टीज नहीं लग रही दिमाग लगाना पड़ रहा है तो समझ लेना यह लिखना पड़ेगा तुम्हे जितने भी एड जॉइंट के रेटिक कांसेप्चुअल सवाल बनेंगे वो इसी से होंगे बस ये लिख देना वो सवाल खत्म हो जाएगा ओके इवर्स ऑफ मैट्रिक्स भैया इवर्स इवर्स आपस में खत्म या a इवर्स का डिटरमिनेट जो होता है क्या वो न बाय डिटरमिनेट a होता है क्या कंफर्म करो जरा क्या वाकई a इवर्स का डिटरमिनेट न बा डिटरमिनेट a होता है बोलो शाबाश ऐसा होता है क्या नो सर नो सर नो सर बेड़ा करर को होता है बस थोड़ा टोन चेंज करने की बात थ सारा कॉन्फिडेंस गिर गया सब हालात जज्बात बदल गए होता है a इवर्स का डिटर्मिननेंट वन बाय डिटरमिनेट a ही होता है बेड़ा गर हो गया ए इवर्स ट्रांसपोजर है रिवर्सल लॉ और कभी भी तुम्हें ए पावर माइ n लिखा हुआ मिल जाए डरना मत इससे वह डिनोट करते हैं a इवर्स की पावर n को और पावर n कहीं पर भी अंदर बाहर जा सकती है तो इसी को ऐसे भी लिखा जा सकता है a पा n का इवर्स ओके तो यह सारे इवर्स की प्रॉपर्टीज बी केयरफुल सिस्टम ऑफ लीनियर इक्वेशन आपको टेबल याद होना चाहिए बस दैट्ची सारे के सारे कहां के इधर है यह रहा सारे के सारे ज़ीरो आ गए इस केस में क्या कंक्लूजन बनाते हैं हम इस केस में क्या कंक्लूजन बनता है डेल्टा नॉन डेल्टा 0 आया था हम एक स्टेप आगे गए हमने डेल्टा x डेल्टा y डेल्टा z निकाले तीनों के तीनों ही ज़ीरो आ गए क्या कंक्लूजन बनता है इनफाइनों ज़ीरो आ गया तो नो सॉल्यूशन बहुत ही बढ़िया होमोजीनस सिस्टम का एक सलूशन तो हमेशा ही होता है याद रखना होमोजीनस सिस्टम कभी भी इनकंसिस्टेंट नहीं होता क्योंकि x इवा इ z = 0 हमेशा सेटिस्फाई करता है तो होमोजीनस सिस्टम में दो ही पॉसिबिलिटी होती है या तो यूनिक सॉल्यूशन आएगा जो कि रो जीरो होगा या इनफा मेनी सॉल्यूशन आएंगे जिनमें जी जी तो होगा साथ में और बहुत सारे आ जाएंगे तो याद रखिएगा इस 00 को ही ट्र सलूशन कहा जाता है तो किसी भी होमोजीनस सिस्टम के सवाल में आ जाए नॉन जीरो सॉल्यूशन नॉन टिवि सॉल्यूशन मोर देन वन सॉल्यूशन मोर देन टू सॉल्यूशन इंफाइटिंग इसमें डेल्टा एक् डेल्टा वा डेल्टा ज की बात ही नहीं आती सिर्फ d की बात रहती है तो होमोजीनस सिस्टम में d नॉन जीरो आ जाए तो यूनिक सॉल्यूशन d जीरो आ जाए तो इनफा सॉल्यूशन काम खत्म नो सॉल्यूशन होता ही नहीं है बहुत बढ़िया कैले हैमिल्टन थ्योरम क्या थी सर सबसे पहले तो कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन जर बताइए कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन कैसे निकाली जाती है व्हाट वाज द डेफिनेशन किस चीज के डिटर्मिननेंट की वैल्यू जीरो करते हैं टू फाइंड कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन किस चीज के डिटरमिनेट को जीरो करते हैं टू फाइंड कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन सर a- x आ के डिटरमिनेट को जीरो करते हैं जैसे अगर मुझे इसका कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन पूछा है तो मैं 2310 माइ x आ कर दूंगा पहले तो यह मेरे पास आ जाएगा 2-x 0 1 0 - x अब मैं इसके डिटरमिनेट को जीरो कर दूंगा टू गेट कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन 2 - x0 1 - x का टम इ 0 दिस इज माय कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन नाउ कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन में आय शाबाश कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन में हमें दो रिजल्ट पता होते हैं बहुत ही बढ़िया वो रिजल्ट क्या थे जरा बताइए अच्छा कैले हैमिल्टन थ्योरम तो पता है कि कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन जो बनती है उसको आपका मैट्रिक्स सेटिस्फाई करता है दिस इज कॉल्ड कैले हैमिल्टन थ्योरम x की जगह प a लिख दीजिए सेटिस्फाई करता है बट यह बताइए चाहे आप 2 बाटू मैट्रिक्स से डील कर रहे हैं चाहे 3/3 मैट्रिक्स से डील कर रहे हैं इन कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन ऑफ 2/2 और 3/3 मैट्रिक्स सम ऑफ रूट किसके बराबर होता है आपने ये जो कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन निकाली इसमें जो सम ऑफ रूट है वो किसके बराबर होता है सर सम ऑफ रूट ट्रेस के बराबर होता है ट्रेस ऑफ मैट्रिक्स के और प्रोडक्ट ऑफ रूट किसके बराबर होता है इशल ने आग लगा दी भाई बहुत बढ़िया प्रोडक्ट ऑफ रूट होता है डिटर्मिननेंट ऑफ a के बराबर चाहे तो यहां पे देख लो इसमें सम ऑफ रूट कितना आ रहा है टू आ रहा है देख लो आपका ट्रेस टू के बराबर था इसमें प्रोडक्ट ऑफ रूट क्या आ रहा है -3 देख लो डिटर्मिननेंट -3 के बराबर है ये 2/2 और 3/3 दोनों के लिए होल्ड करता है और काफी इंपोर्टेंट इंफॉर्मेशन है इस पे सवाल भी बनते हैं फंक्शंस का थोड़ा सा हमें पार्ट है रिवाइज कर लेना चाहिए जो कि डायरेक्ट यूज हो जाता है जस्ट अपने आप को कंफर्म कर लेते हैं कि हमें रिजल्ट याद है ना कहीं कंफ्यूजन तो नहीं है सिर्फ स्टैंडर्ड फंक्शन के रिजल्ट्स फटाफट भैया अगर मड fx8 है तो सर प्लस माइनस a इसमें कोई डाउट नहीं मोड f ले इ a है तो यह भी मुझे डाउट नहीं है किसी चीज का मोड अगर लेसन इक्वल ट a है तो वो चीज माइ के बीच में होगी किसी चीज का मोड a से बड़ा है वो भी मुझे डाउट नहीं है f एक - ए से छोटा होगा या ए से बड़ा होगा मुझे इसमें डाउट है इसका जवाब दीजिए अगर f एक का मैग्नी a और बी के बीच में है तो f एक के बारे में क्या कहा जा सकता है यह मुझे बताइए ससी उसकी बात बाद में करेंगे बेटा ओके सर अगर f एक का मैग्नी ड ए और बी के बीच में है ऑफकोर्स हम यहां प पॉजिटिव ए की बात कर रहे हैं पॉजिटिव ए तो सर या तो मेरा f एक ए और बी के बीच में ही होगा या फिर f एक इनके नेगेटिव के बीच में होगा माइ बी से - a या तो ए के बीच में होगा या इसके नेगेटिव के बीच में होगा ये इंपॉर्टेंट है बच्चों ने गलत आंसर दिए हुए हैं तो ये इंपॉर्टेंट रिजल्ट है आपके लिए ए के बीच होगा तो f ए के बीच या उसके नेगेटिव के बीच में होगा अब जरा मुझे जवाब दीजिए मोड x ग्र = 0 तो x के बारे में क्या कह सकते हैं सर x तो रियल सर कुछ भी और क्या बात कर रहे हो सर मड x लेन 0 सर वो तो कभी होता ही नहीं सर बिल्कुल कभी नहीं होता अब आप मुझे जवाब दीजिए मड x अगर ग्रेटर दन जी है तो x के बारे में क्या कह सकते हो अगर मड x ग्रेटर 0 है तो x के बारे में क्या कह सकते हो व्हाट इज द वैल्यू ऑफ x शाबाश नहीं नहीं बेटा कोई मिस्टेक नहीं शाबाश शाबाश कोई मिस्टेक नहीं आ जाओ आ जाओ दिमाग लगाओ अगर मेरा मड x पॉजिटिव है तो x के बारे में क्या कह सकते हो शाबाश शाबाश शाबाश सर ऑल रियल एक्सेप्ट जीरो सर मड एक सिर्फ जीरो प जीरो होता है बाकी जगह तो पॉजिटिव ही होता है है बस x को रो नहीं होना वेरी गुड मड x < इक्व टू 0 तो x के बारे में क्या कह सकते हो आप सॉल्व कर रहे थे बीच में आ गया मड x < = 0 तो x के बारे में क्या कह सकते हो सर जी x = 0 होगा ये चारों इंपॉर्टेंट है छोटे-छोटे बट पेपर में डर लगता है तो इसको अपना क्लियर करना स्ट्रांग करना है नाउ मॉड प्रोडक्ट पे टूटता है डिवीजन पे टूटता है दैट इज फाइन और ट्रायंगल इनिक्वालिटी में प्लस लेस दन इक्वल टू होता है माइनस में ग्रेटर दन इक्वल टू बिल्कुल कांप्लेक्स नंबर की तरह आप मुझे इसका जवाब दीजिए ट्रायंगल इनिक्वालिटी में यहां पे इक्वल कब हो जाता है मड a + b मड a + मड b के इक्वल कब आता है मड a - b इसके इक्वल कब आता है इन ट्रायंगल इन क्वालिटी अंडर व्हाट कंडीशन इक्वलिटी होल्स बताइए इक्वलिटी कब आथ इक्वल कब आ जाते हैं बहुत ही बढ़िया a * b > = 0 सर a और b सेम साइन के हो या फिर जीरो हो आ गलत लिखा तुमने ए पॉजिटिव लिखा गलत ए पॉजिटिव लिखना गलत हो जाएगा बेटा ए ग्र 0 और ए इक्वल टू 0 पूरा कंप्लीट लिखना है ये छोटे-छोटे गैप ही खत्म करने हैं पेपर से पहले क्योंकि यही चीज वहां पे नंबर खराब कर देती है ठीक सो ट्रायंगल इनिक्वालिटी में चीजें इक्वल हो जाती हैं यहां पे इक्वल आ जाता है अगर a * b > = 0 हो जैसे कि मड 2x + 3 = मड x - 1 + मड x प् 4 यह सवाल आ गया और मुझे कहा गया एक् बताइए एक्स बताइए एक्स बताइए तो मैंने कहा तीन मोड बैठे हैं यार तीन मोड तो यहां भी होते थे एक बार चेक करता हूं क्या यह सेम फॉर्मेट में बैठ रहा है हां सर अगर यह और यह देखें इन दोनों का सम यहां लिखा हुआ है सर यह तो इन्होंने मड ऑफ ए प् बी इक्वल टू मड ए प् मड बी लिखा हुआ है सर और सर हमने अभी भी सीखा कि ट्रायंगल इन क्वालिटी में यहां पर इक्वल तब आता है जब ए इन बी ग्र इ जीरो हो तो आप स्ट्रेट अवे लिखेंगे दिस विल हैपन इफ एक् माइव इन एक्स प् 4 ग्र इ 0 और आंसर आपका एक ही लाइन पर आ जाएगा -4 से पीछे और वन से आगे खत्म ऐसे एक ही लाइन में आएगा नाउ इनके ग्राफ भैया इस इसका ग्राफ भी पता होना चाहिए सो जहां तक तो तीन म और सिंपल वन वव कफिट है तो मोड का ग्राफ बहुत ही सिंपल बन जाता है भैया ए बी सी को मेंशन कर दो तीखे से आएगा ऐसे जाएगा ऐसे ऊपर उठेगा ऊपर उठ जाएगा और फिर ऊपर चला जाएगा इंपोर्टेंट इ कि इसको ओपन कैसे करते थे जरा मुझे बताइए यहां पर मोड कैसे ओपन होते थे सबसे पहले में इनकी इक्वेशन इंपोर्टेंट है ग्राफ शक्ल नहीं यहां पर तीनों मोड कैसे ओपन होते थे सर तीनों माइनस से ओपन होते थे यहां वाले में छोटा प्लस से बाकी दो माइनस से यहां पे दोनों छोटे प्लस से बड़े वाला माइनस से और यहां पे तीनों प्लस से राइट अब आती है बात इसकी ये ग्राफ कितनों को आता है अगर अंदर x - a होता x - b होता फिर तो सिंपल होता है ऐसे और जुड़ जाता बट यहां पे कुछ टू आ गया यहां पे भी कुछ आ सकता है तो जब भी दो मोड का सम सम की बात कर रहा हूं डिफरेंस की नहीं जब भी दो मोड का सम आ जाए अंदर लीनियर बैठा हो तो क्या करना है आपने हमेशा दो पॉइंट्स पे वैल्यू को प्लॉट कर लेना है एक वैल्यू जहां पे ये अंदर की टर्म जीरो होती है ये अंदर जीरो होता है 3/2 पे तो 3/2 पे जो वैल्यू आ रही है पूरे की मार्क कर दो और ये कहां जीरो होता है फोर पे फोर पे जो वैल्यू आ रही है मार्क कर दो दैट्ची 2.5 2.5 ओके 4 प वैल्यू क्या बनेगी सर फोर प यह जीरो है सर यह फिर से 8 माइनस 3 5 फ एम आ राइट क्लियर हा जी सर अब ग्राफ कैसा बनेगा मैं थोड़ा इसको नीचे कर लू ऊपर जगह कम पड़ जाएगी मेरे पास तो एक वैल्यू आ गई 2.5 और एक वैल्यू आ गई 5 अब इसके आगे आपने वही काम करना है जो आप पहले करते आ रहे थे भाई मोड ओपन वैसे ही होने हैं 3/2 से पहले दोनों मोड माइनस माइनस से ओपन होंगे जिस करके -2x और - x आएगा तो लाइन नीचे की ओर आएगी ऐसे एक बार जीरो प वैल्यू बनानी बना लो रो प वैल्यू क्या आ रही है थ + 47 ऊपर से आएगा ऐसे ठीक 3/2 और 4 के बीच में छोटे वाला प्लस से और बड़े वाला माइनस से एनीहाउ बननी तो लाइन ही है और अगर मुझे दो पॉइंट पता ही है तो वो लाइन यही होगी यस सर इसके आगे दोनों प्लस से दोनों प्लस से ओपन होंगे तो स्लोप थ्री आएगी फिर से ऊपर चला जाएगा ऐसा ग्राफ बन जाएगा आईडिया क्लियर चमक गया तो हमेशा जब भी ऐसा हो ना तो यह दो पॉइंट पर वैल्यू मार्क कर दो ऐसा ग्राफ बन जाएगा और इनकी इक्वेशन को लिखने का तरीका वही रहेगा इस हिसाब से मोड ओपन करके इक्वेशन लिख देनी है आपने खत्म शाबाश अब चलते हैं आगे नाउ जिफ तो अब जिफ एकस के कितनों को पता है जिफ एकस की इक्वेशन कैसे सॉल्व करते हैं अगर अभी तक अवॉइड करी जा रहे हो पाप लगेगा अगर तो के इंटी जर है और के के बराबर दिया है तो मुझे पता है x जो होता है वो के से के प्व के बीच में लाई करता है पर अगर के इंटी जर नहीं है तो जिफ एकस के के बराबर कभी हो ही नहीं सकता कोई टेंशन नहीं मुद्दा तो इनम है इनम मुझे बस यह बताइए अपने अपने तरीके होते हैं याद करने के इन् मुझे यह बताइए किसम सेम ही आंसर आ जाता है जैसे कि अगर जिफ ग्र इ के हो ना तो x भी ग्रेटर इ के ही होता है सेम ही होता है ग्रेटर दन इक्वल टू के ही होता है और ऐसा किसम होता है इसमें इसमें इसमें किसम ऐसा होता है कि जो यहां पे है वही यहां पर आ जाता है सर फोर्थ वाले में होता है एक जिफ x अगर लेसन के है ना तो x भी लेसन के ही होता है ऐसे एक भी लेसन के ही होता है बहुत बढ़िया अब ये दो याद कर लो तो आसान ही है इन दोनों में अब तुम देख लो अगर तुम बना पाते हो कोई सिस्ट तो बहुत अच्छी बात है वरना फिर नंबर्स में आपको कटौती करनी पड़ेगी k + 1 ऐसे ठीक तो यह हमें दिमाग में रखने हैं इसके तरीके बनाइए याद करने के डायरेक्ट सवाल आएंगे जब भी आएंगे ओ यार ये सबसे इंपॉर्टेंट है बहुत जगह यूज होता है हमें पता है कि अंडर एडिशन जो है कांस्टेंट बाहर आता है जिफ से पर अगर अंदर - एक बैठा है और आप इसको जिफ x में लिखना चाह रहे हो तो कैसे लिखते थे फॉर x नॉट इंजर x नॉट इंटी जर - x के जिफ को x के जिफ में कैसे लिखते थे वेरी वेरी वेरी इंपॉर्टेंट x के जिफ में कैसे लिखते थे सर -1 - g ऑफ x जब भी g ऑफ - x आ जाए उसको g x में लिख दिया जाता है इस हिसाब से लिखते हैं -1 - g x कुछ बच्चे गलत लिख रहे हैं पाप लगेगा इंपॉर्टेंट है ओके मल्टीप्लाई में कांस्टेंट बाहर नहीं आता अब आते हैं फ्रैक्शन पार्ट पे फ्रैक्शन पार्ट इज़ ऑलवेज x माइ जिफ x नाउ x जो होता है वो जिफ और फ्रैक्शन का सम होता है राइट इसे दिमाग में रखिए तो यहां से फ्रैक्शन x की डेफिनेशन आ जाए एंड इट्स नॉट अबाउट फ्रैक्शन किसी भी चीज का फ्रैक्शन पार्ट क्या होता है उस चीज में से उसका जिफ हटा दीजिए बस उसका जिफ हटा दीजिए दैट इज फ्रैक्शन पार्ट काम की बात यहां पे है फ्रैक्शन ऑफ - x को फ्रैक्शन x में कैसे लिखेंगे मैं बात कर रहा ह नॉन इंटी जर की इंटी जर के लिए तो ये जीरो ही बन जाएगा इंटी जर का फ्रैक्शन पार्ट तो जीरो ही होता है यह बताइए फ्रैक्शन ऑफ माइ एक को फ्रैक्शन ऑफ x में कैसे लिखते थे सर 1 माइनस फ्रैक्शन x करके लिखते थे बहुत ही बढ़िया a प एक ऊपर जाता है अगर a1 से ज्यादा है नीचे आता है अगर a1 से कम है और यही से इसकी सॉल्विंग डिसाइड होती है अगर बेस सेम है तो पावर भी सेम होनी चाहिए अगर आप इनिक्वालिटी डील कर रहे हो तो भैया ए सीधे हट जाएगा इंक्रीजिंग फंक्शन सीधे लगाया भी जा सकता है सीधे हटाया भी जा सकता है अगर आपका a वन से ज्यादा है तो a पा x इंक्रीजिंग फंक्शन है तो उसको सीधे हटा दो इनिक्वालिटी में कोई चेंज नहीं होगा बट अगर आपका a लेव है तो a पावर x डिक्रीजिंग फंक्शन है तो अगर a को हटाओ तो इनिक्वालिटी चेंज हो जाएगी इंक्रीजिंग फंक्शन डायरेक्टली अप्लाई होता है डिक्रीजिंग फंक्शन डायरेक्टली अप्लाई करते हैं बट इनिक्वालिटी चेंज हो जाती है ॉ x में भी अगर a1 से ज्यादा है तो ये ऊपर जाएगा a1 से छोटा है तो ये नीचे आएगा आप मुझे ये बताइए पहला मैं बताता हूं पहले मेरे को कोई डाउट नहीं कि तुमको आता है ये बताओ अगर l x2 > l x1 है और हमें पता है कि a1 से ज्यादा है तो यहां से मैं क्या कंक्लूजन से ज्यादा है तो यहां से क्या कंक्लूजन बनाऊंगा सर इन क्वालिटी सेम कंटिन्यू हो जाएगी और अगर a1 से छोटा होता तो लॉग हटाने पर इनिक्वालिटी चेंज हो जाती क्योंकि a < 1 के लिए लॉग डिक्रीजिंग होता है अगर लॉग एक नंबर से कंपेयर हो रहा है तो इनिक्वालिटी इस तरह से हैंडल होती है x ग्रेटर द a प p अगर a1 से ज्यादा है और अगर a1 से छोटा है इनिक्वालिटी चेंज जब भी लॉ के इनक्व या इक्वेशन सॉल्व किए जाते हैं डोमेन का ध्यान अलग से रखना पड़ता है क्योंकि सॉल्व करते समय लॉग तो हट जाता है सिंपल x आ जाते हैं अब इनको थोड़ी पता कि लग को कोई दिक्कत है पीछे तो डोमेन का ध्यान अलग से निकालना पड़ता है सिग्नम भैया पॉजिटिव नंबर का सिग्नम वन होता है नेगेटिव का सिग्नम माइन होता है और जीरो का जीरो होता है आप मुझे ये बताइए सिग्नम ऑफ x स् प् 10 क्या होगा सिगम ऑफ x स् प् 10 क्या होगा सर x स् प् 10 तो पॉजिटिव है वन होगा और सिगम ऑफ फक्शन x-2 क्या होगा सर ल एकस तो वन से आगे नहीं जाता माइट कर दिया नेगेटिव बन गया सर तो सिग्नम तो माइव होगा तो गंदी शकल से डरना नहीं है मेरे को बस ये देखना कि वो पॉजिटिव है या नेगेटिव है पॉजिटिव है तो वैल्यू वन है नेगेटिव है तो -1 है और अगर जीरो होता तो जीरो का सिग्नम जीरो होता है बहुत बढ़िया ग्राफ ट्रांसफॉर्मेशन फटाक से छह की छह ट्रांसफॉर्मेशन अपने दिमाग में छापने शुरू करो सर सबसे पहली में क्या होता था सर ग्राफ ऊपर नीचे होता था इसी तरह से माफ छपना चाहिए सर इसमें ग्राफ राइट लेफ्ट होता है सर इसमें ना वो वैल्यूज बड़ी और छोटी हो जाती है आप ए से मल्टीप्लाई कर रहे हो सर इसमें ना ग्राफ स्ट्रेच या कंप्रेस होता है सर सर इसमें पॉजिटिव वैल्यू पर कोई फर्क नहीं पड़ता नेगेटिव वैल्यू ऊपर आ जाती है सर इसमें ना जो नेगेटिव एक्स नेगेटिव एक्स पर ग्राफ है उसको तो मिटा देते हैं उसका कोई काम नहीं है जो पॉजिटिव प था ना उसी की कॉपी लेफ्ट पर बना देते हैं अगर तुम इस तरह से बोल पा रहे हो मतलब ग्राफ ट्रांसफ मुझे याद है प्लस माइनस ए प्लस ए करेंगे तो आप माइनस ए करेंगे नीचे अंदर प्लस माइ a अंदर - a करेंगे तो राइट पे अंदर प्लस a करेंगे तो लेफ्ट पे शिफ्ट कांस्टेंट से मल्टीप्लाई अगर वन से बड़े नंबर से करोगे तो ग्राफ इन्फ्लेट हो जाएगा वैल्यूज बढ़ जाएंगी और छोटे से करोगे तो ग्राफ डिफ्लेटर छोटी हो जाएंगी और अगर माइनस से मल्टीप्लाई कर दिया तो ग्राफ x एक्सिस के अबाउट रिफ्लेक्ट हो जाएगा पॉजिटिव वाली नेगेटिव हो जाएगी नेगेटिव वाली पॉजिटिव हो जाएगी वैल्यू अगर अंदर a मल्टीप्लाई किया अगर a1 से ज्यादा है तो ग्राफ आपका कंप्रेस हो जाएगा sin2x का पीरियड पा होता है और sinx-cosx तो भैया य कहानी बहुत बड़ी है ऐसा ग्राफ था तो अगर मैं इसमें ए ऑफ मोड एक करता हूं तो यह सेम रहेगा यह हट जाएगा और इसी की कॉपी इधर आ जाएगी याद आ गया सारे के सारे याद बहुत बढ़िया गॉड ब्लेस यू नाउ ओ आजा यार पेन गुस्सा नहीं खाते यार बहुत ही गुस्सा खा गया या हाज इवन ऑड फंक्शन क्या थे फटाफट बोलो सर इवन फंक्शन तो क्या था एफ माइन एक्स f एक के बराबर और ऑड में एफ माइन एक माइन के बराबर आप यह बताओ ग्राफ ऑफ इवन फंक्शन किसके अबाउट सिमिट्रिक होता है ग्राफ ऑफ इवन फंक्शन किसके अबाउट सिमिट्रिक होता है गॉड ब्लेस य शेरा खुश रहो सर वा एक्सिस के अबाउट सिट्रिक होता है क्योंकि जो f ऑफ 2 है वही f ऑफ -2 है जो f ऑफ 3 है वही f ऑफ -3 है और ग्राफ ऑफ ऑड फंक्शन किसके अबाउट सिमिट्रिक होता है सर ऑड फंक्शन ना सर ओरिजिन के अबाउट सिमिट्रिक होता है यानी कि फर्स्ट और थर्ड क्वाड्रेंट सेम दिखते हैं सेकंड और फोर्थ क्वाड्रेंट सेम दिखते हैं पीरियोडिक फंक्शन सर डेफिनेशन तो होती है f x + t = पीरियड का मतलब ना इसे ऐसे दिमाग में रखना अगर मान लो पीरियड t है यानी कि जैसा फंक्शन जीरो से t बनेगा वैसे ही t से 2t बनेगा वैसे ही 2t से 3t बनेगा वैसे ही 3t से 4t बनेगा अब पक्की बात है अगर पीरियड t है तो जैसा फंक्शन रो से 2t बना वैसा ही फंक्शन 2t से 4t बना दोदो वेव आएंगी वैसा ही 40 से 60 बनेगा दोदो वेव आएंगी तो अगर t पीरियड हो तो 2t भी पीरियड है 6 3tb पीरियड है 4tb पीरियड है इसीलिए स्मॉलेट पीरियड को डिफाइन करने के लिए उन्होंने टर्म रखी फंडामेंटल पीरियड तो sinx-cosx सकट कोकें की पावर हो और वो पावर इवन हो तो पीरियड कितना होता है और अगर वह पावर ऑड हो तो पीरियड कितना होता है बताइए अगर साइन कॉस सकट कोकें की इवन पावर है पीरियड कितना होता है शाबाश वेरी गुड सर पाई और अगर पावर ऑड है तो सर 2 पाई न और कोट की कोई भी पावर आ जाए पीरियड पाई रहता है सबका मोड किसी के छ के छ का मोड पीरियड पाई फ्रैक्शन का पीरियड वन अलजेब्राइक फंक्शन पीरियोडिक होते नहीं कांस्टेंट फंक्शन पीरियोडिक तो होता है बट पीरियड डिफाइंड नहीं होता क्योंकि मैं कोई स्मॉलेट नंबर ढूंढ नहीं सकता पीरियोडिक फंक्शन बट पीरियड नॉट डिफाइंड स्मले नंबर नहीं बता सकता जिस पर वो रिपीटेशन शुरू हुआ क्योंकि वो तो सेम ही चलता जा रहा है रुक ही नहीं रहा अब यह आ जाओ अगर एफ का पीरियड t था और आपने एफ में चार चेंजेज किए रार पांच चेंजेज कर ए बी सी चार चेंजेज किए बाहर के मल्टीप्लाई कर दिया अंदर x में a मल्टीप्लाई कर दिया अंदर बी ऐड कर दिया और बाहर सी ऐड कर दिया इनमें से वह कौन सी चीज है जो पीरियड को इफेक्ट करेगी वो कौन सी चीज है जो पीरियड को इफेक्ट करेगी क्या के इफेक्ट करेगा ए इफेक्ट करेगा बी करेगा या सी करेगा कौन सी चीज सर ओनली ए इफेक्ट करेगा इस तरह से t अपन मैग्नी ऑफ a और अगर f का पीरियड t1 का t2 है तो f प्ज का पीरियड t1 t2 का एलसीएम होता है ओके अब आप मुझे बताइए फंडामेंटल पीरियड जो है हाफ ऑफ द पीरियड फाउंड बाय एलसीएम हो जाता है जब क्या होता है देखो यहां पर पीरियड तो मिल जाता है पर ये जो वैल्यू आती है नीड नॉट बी फंडामेंटल पीरियड ओके तो यहां पे एक केस ऐसा जो हम याद रखते हैं क्योंकि वहां पर एलसीएम से जो पीरियड आता है उसका हाफ फंडामेंटल पीरियड होता है वो कौन सा था वेरी गुड सर जब कम्प्लीनोस इवन पावर में ऑफकोर्स हम टू को नहीं लेते क्योंकि ू प वो सान स् प् क स्क्व बन जाता है तो साइन पावर 4x प् क पावर 4x मड सा 2x प्स मोड क 2x मड सकट पावर 5x प्लस मोड कोकें पावर 5x इन सब में आपका एलसीएम से जो आंसर आएगा व पीरियड तो होगा बट फंडामेंटल पीरियड उसका हाफ होगा इवर्स ऑफ अ फंक्शन सर एक्सवा को रिप्लेस कर देते हैं y की वैल्यू निकाल लेते हैं इवर्स को ऐसे निकाला जाता है सर इवर्स में बस ये दो पॉइंट हमें दिमाग में रखने होते हैं कि ग्राफ ऑफ y इ f इवर्स एक रिफ्लेक्शन होता है y इ f एक का अबाउट y इ एक तो अगर मुझे y इक्ट f एक का ग्राफ पता है और मुझे y इ एक् पता है तो मैं y इ f इवर्स इसी के रिफ्लेक्शन से बना सकता हूं इट इ अ रिफ्लेक्शन ऑफ y इ f बिल्कुल एंड देन ये अ ये पॉइंट कितने बच्चे इजली रिलेट कर पाते हैं कि या मैं fx9 x को सॉल्व करूं या f इव x = x को सॉल्व करूं ये दोनों ही सेम सॉल्यूशन देंगे जहां पे fx1 x भी x को काटेगा बहुत बढ़िया फंक्शनल इक्वेशन आ देखते हैं कितनों को रिजल्ट याद है आ जाओ अब शाबाश अगर f एकवा f के बराबर है तो f क्या होगा पहले का आंसर बताइए आप सारे के सारे लिखते रहिए अपने आंसर ठीक है मैं देखता रहूंगा वेरी गुड सर केल x अगर यहां पर f एकवा इ f एकवा हो जाए सर सर x पावर n f एक प्वा f एक इनवा हो जाए सर a पावर एक् f एक प्वा f प्वा हो जाए सर के एक और यह सब से इंपोर्टेंट आ गया बहुत बढ़िया इसमें पॉलीनोट लगता है प्लस माइ x पा n + 1 या तो x पा n + 1 या फिर - x पा n + 1 बहुत बढ़िया छा गए ये सारे के सारे हमें याद होने चाहिए नाउ कम्स आईटीए इवर्स ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शन आईटीए में आ जाओ सबसे पहली बात सा इवर्स x के इनपुट क्या होते हैं मुझे यह बताइए सा इवर्स के इनपुट सोचिए पता है गलती तो नहीं लग रही कहीं उल्टा पुल्टा तो नहीं चल रहे फिर चेक करिए -1 से 1 और - 5/2 से 5/2 आउटपुट होती है शाबाश क इवर्स ओ यार कोई मतलब पिटाई वाले काम करते हैं चलो क इवर्स -1 टू 1 और इधर क्या आता है जीरो से पाई न इवर्स माइनस इनफिनिटी टू इनफिनिटी और इधर क्या आता है माइनस पाई बाटू टू पाई बाटू इनमें क्या फर्क आएगा सर कोक इवर्स में जो साइन इवर्स में था वही रहता है ओनली थिंग इ कि वो जीरो नहीं बन पाता बस जीरो नहीं बन पाता कोक इवर्स कभी जीरो नहीं बनता इसके अंदर कभी जीरो नहीं आ सकता सर आउटपुट सर सिमिलर सी आउटपुट रहती है बस वो - पा बाट से पा बाट बस जीरो नहीं आता सर आउटपुट में इसकी - 5/2 5/2 जीरो नहीं आता बहुत बढ़िया स इवर्स सर ये सेम ही रहता है बट इधर जो है 0 से पाई में पाई बाटू नहीं बन पाता और कोट इवर्स में सर इधर सेम ही रहता है माइनस इनफिनिटी टू इनफिनिटी और इधर सर जीरो से पाई आपने जो पहली चीज दिमाग में रखनी है वो इनके बारे में रखनी है कॉस इवर्स सकट इवर्स कोट इवर्स इनकी याद रखनी है जब भी एक्स नेगेटिव होगा इनकी आउटपुट पाई बाटू से आगे आएगी फॉर नेगेट एक आउटपुट ओ क्या हो गया आउटपुट य दिमाग में छाप लीजिए आउटपुट विल बी मोर देन पाई बाटू बस यह कांसेप्ट दिमाग में रखिएगा यह आपकी काफी गलतिया बचा लेगा ठीक है जहां तक यह बात है यह छोटे-छोटे प्यारे प्यारे साइन इवर्स न इवर्स कोक इवर्स येय तो सबसे सिंपल होते हैं पॉजिटिव प पॉजिटिव आउटपुट देते हैं नेगेटिव पर नेगेटिव आउटपुट देते हैं खत्म बात ओके सर मैं बिगिनिंग में तभी की थी कि यार ये क्या किया इन्होने मलना मैंने इनको एक ऑर्डर दिया था लिखने का टाइप करने का कम भक्तों ने धजिया उड़ा दी उस ऑर्डर की हम नेगेटिव x पर नेगेटिव आउटपुट आता है बस इसे ऐसे याद रखना है नेगेटिव वाला कांसेप्ट दिमाग में रख लोगे तो आपकी टेंशन काफी खत्म हो जाएगी यस ऑफ कोर्स निश यस ऑफ कोर्स ठीक है जी ओके तो सा इवर्स न इवर्स कोक इवर्स एक तरह से बिहेव करेंगे और क इवर्स से इवर्स कट इवर्स एक तरह से बिहेव करेंगे कंपोजीशन की बात करें अगर ट्रिगोनो बाहर है तो कोई टेंशन नहीं लेनी हमेशा x आ जाएगा अगर इवर्स बाहर है तो आपको प्रिंसिपल डोमेन की टेंशन लेनी है प्रिंसिपल डोमेन में है फिर तो ये कट के x बनेगा वरना नहीं बनेगा यहां पे एक चीज जो आपने यहां से दिमाग में रख लेनी है वो यह है कि अगर सा इवर्स x को थीटा कहेंगे तो आप हमेशा x को सा थीटा कह सकते हो सारे के सारे कोट इवर्स x को थीटा कहेंगे तो आप टर से x को कोट थीटा कह सकते हो यह इसका इंटरप्रिटेशन है ओके मतलब इवर्स उधर जाके सिंपल फंक्शन बन जाएगा यह आपको ऐसे दिमाग में रखना है यह इसका मतलब है ओके ओ ममी मम्मी मम्मी याद आ गया पीट हां जी ग्राफ भैया यह आपको छापने ही छापने हैं और छापते समय ना इसका जो मैक्सिमम पॉइंट है और जो मिनिमम पॉइंट है इसको भी दिमाग में रखना है ग्राफ को बिल्कुल भी आपने इसको मिस नहीं करना ठीक है जी यह बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है शाबाश कितनों को ग्राफ सारे याद है बताइए कितनों को ग्राफ याद है सारे के सारे ग्राफ के साथ कोई भी कंप्रोमाइज नहीं करना डेफिनेट इंटीग्रेशन में काम आएंगे नंबर ऑफ़ सॉल्यूशन में काम आएंगे एरिया अंडर कर्व में काम आएंगे सारे के सारी जगह काम आएंगे वेरी गुड इंपॉर्टेंट रिजल्ट की अगर बात करें भैया ये सबसे इंपॉर्टेंट रिजल्ट है क्यों क्योंकि हमें इवर्स ट्रिग्नोमेट्री के अंदर नेगेटिव पसंद नहीं है तुमने जब भी ट्र इवर्स आईटीएफ के सवाल करने ना जब भी अंदर पॉजिटिव नंबर होगा ना खुश रहना क्योंकि तुम जो भी करोगे वो तुम्हें ऑलमोस्ट सही आंसर ही देगा पर अगर अंदर नेगेटिव है ना दैट इज़ अ मोस्ट प्रॉब्लमैटिक सिचुएशन तो माइनस बाहर निकालना है तो इन तीनों में माइनस सीधे बाहर आ जाता है और इन तीनों में जो अगले तीन है इसमें कैसे बाहर आता है क इवर्स से इवर्स कट इवर्स इनमें जब माइनस बाहर निकालते हैं तो कैसे आता था पा माइनस करके सर पा - क इवर्स x पा - से इव x और पा - cot-1 x अच्छा कॉम्प्लीयंट सबसे इंपोर्टेंट प्रॉपर्टी क्योंकि बहुत हमेशा हमेशा ऑल यहां पे फॉर ल x बिलंग टू डोमेन जो भी डोमेन है आपकी प्रिंसिपल डोमेन नहीं कह रहा ओके डोमेन मल जहां भी डिफाइंड है पा बा 2 ही रहेगा जहां भी डिफाइंड है हम हमेशा ही लगा दो मतलब हां यहां पे अब आपने मुझे जवाब देना है यहां पे मैक्सिमम बच्चे गलती करते हैं tan1 1 / x तो बच्चे आराम से लिखते हैं कट इव x और उनको पता है कि ये x पॉजिटिव के लिए होता है बट अगर x नेगेटिव हो तो क्या होता है और यह जवाब देने के साथ-साथ दिमाग में मेरा इसका भी जवाब सोच लेना अगर cot-1 1 / x होता तो पॉजिटिव के लिए तो tan1 x कह देते मुझे पता है तुम नहीं डरते पर नेगेटिव के लिए यहां पे क्या कहते साथ-साथ में यह सोच लेना सर जब भी यह 1 बा x है c इवर x तो लिख दो सर वह तो आना है साथ में एडजस्टमेंट की बारी है सर सर x नेगेटिव है ना सर तो यह वैल्यू पा बा 2 से बड़ी है और सर यह तो माइ नेगेटिव है एक् नेगेटिव पे ये नेगेटिव है ये नेगेटिव ये पाई बाटू से बड़ा तो ये इसके बराबर तब होगा जब कुछ सबै हो जाएगा अब यहां बताओ इसमें क्या करूं न इवर्स x के साथ क्या करूं सर सेम लॉजिक सर नेगेटिव x था तो ये ठहरी नेगेटिव वैल्यू और ये ठहरा पा बाटू से बड़ा सर अगर इसको इसके बराबर लाना है इक्वल करना है तो कुछ ऐड करना पड़ेगा वेरी गुड प्वा काफी बच्चों ने इस कांसेप्ट को अपना कर लिया है बहुत बढ़िया देन कम्स एक आईटीएफ को बाकियों में लिखना है उसके हम ट्रायंगल यूज करते हैं जैसे सान इवर्स x है और मैं इसको लिखना चाहता हूं से क इवर्स x में न इवर्स x में तो हम अपना एक ट्रायंगल बना लेते हैं ऐसे जिसमें अंदर ये x जो है य परपेंडिकुलर बाय हाइपोटेन्यूज की तरह बिहेव करता है x बन गया सान थीटा तो परपेंडिकुलर बाय हाइपोटेन्यूज तो ये आपने निकाल लिया तो अगर मैं कॉस इवर्स में लिखना चाहता हूं तो अंदर आ जाएगा बे अपन हाइपोटेन्यूज अगर मैं न इवर्स में लिखना चाहता हूं तो अंदर आगा परपेंडिकुलर बाय बेस एंड सो ऑन यह सब करते समय एक चीज जो सबसे इंपॉर्टेंट होती है वह होती है यूज कैसे आएगा इसका यूज ऐसे आएगा कि बाहर जो ट्रिगोनो बैठा होगा और अंदर जो इवर्स बैठा हुआ होगा वह अलग अलग होंगे से न ऑफ साइन इवर्स एक्स ऐसा आ गया तो भया इसम क्या करेंगे इसमें यह वाले इवर्स को इसमें लेकर जाएंगे न इवर्स में तो वो हमने अभी देखा कि साइन इवर्स को न इवर्स में कैसे लिखते हैं x अप √1 माइ x स् और जब भी ट्रिगोनो बाहर होता है वो तो कट जाता है तो आंसर आ गया x अप 1 माइ x स् का रूट डायरेक्ट अब इसमें यह वाली वैल्यू मुझे बताओ क्योंकि यह ऐसी वैल्यू है जो हमेशा होल्ड करती है हमेशा सर दिस इज रव माइ एकस स् ये हमेशा होल्ड करती है भैया जहां भी आ जाए इसको छोड़ना मत कॉस ऑफ साइन इवर्स या साइन ऑफ कॉ मैक्सिमम यही यूज करवाते है यह रव माइ एक् स् होती है ठीक है ट्रायंगल से बनाया और कुछ नहीं पर याद कर लेना है और मैं कहा हमेशा हमेशा वेरी इंपोर्टेंट वर्ड हमेशा होल्ड करती है राट हमें जो कन्वर्ट कर रहे हैं यहां पर हम x को पॉजिटिव लेकर कन्वर्ट कर रहे तभी तो मैं एक्स को य लेंथ ले पा रहा हूं राइट यह मैं कह रहा हूं हमेशा यह हमेशा होल्ड करता है ओके सम एंड डिफरेंस में मुझे यह बताइए फॉर्मूले तो मैंने लिख दिए कंडीशन मुझे आपने बतानी है चलो पहली कंडीशन मैं बता देता हूं अगर मेरा x * y लेव हो तो तो फार्मूला सीधे लखता है दूसरे केस में कंडीशन क्या थी चलो इतना बता देता हूं कि एकवा ग्रेटर 1 था तो दूसरी कंडीशन लगती है साथ में x और y पे क्या कंडीशन थी कि फॉर्मूले में प्लस पा करना पड़ जाए फार्मूले में प् पा कब करना पड़ जाता है जब एक्स और वा कैसे हो सर जब एक्स और वा दोनों ही पॉजिटिव हो और सर अगर एक्सवा दोनों ही नेगेटिव हो तो माइनस पा याद करने का तरीका भी य लेसन जीरो मतलब नेगेटिव नेगेटिव मतलब माइनस माइनस मतलब माइनस पाई ग्रेटर दन 0 मतलब पॉजिटिव पॉजिटिव मतलब प्लस मतलब प्लस पाई ऐसे याद कर सकते हो नाउ 2tan इवर्स x को न इवर्स 2x अप 1 स् कब लिख सकते हैं बताइए मतलब इसको ऐसे या इसको ऐसे कब लिख सकते हैं व्हाट इज द कंडीशन फॉर इट सर अगर हमारा मड x < 1 हो सर ये फार्मूला यही तो है x और यहां पे y की जगह पे x और x दो बार आ गया तो कंडीशन बन गई x स् < 1 यानी कि मड x < 1 उसमें ये डायरेक्टली यूज़ किया जाएगा वरना एडजस्टमेंट होंगी हां जी सा इवर्स के फॉर्मूले क इवर्स के फॉर्मूले सम और डिफरेंस वाले कितनों को इस तरह से करना आता है जरा बताइए साइन इवर्स यह बेसिकली एंगल ए है यह एंगल बी है तो आपने साइन ऑफ ए प्स बी लिखना है अंदर बस यहां पर लिखो साइन ऑफ ए कॉस ऑफ बी प्लस कॉस ऑफ ए सान ऑफ बी ऐसे लिखना सबको आता है अगर आता है मतलब आपने को अच्छे से याद किया हु फिर से देखो ये एंगल ए है ये एंगल बी है दिस इ a माइ बी आपने अंदर लिख देना है सान ऑफ ए माइन बी सा ए कॉस बी माइनस कॉस ए सा बी खत्म यस सर आता है वेरी गुड तो ऐसे ही ये एंगल ए है ये एंगल बी है क इवर्स क ऑफ ए प् बी लिख दो क ए क b माइनस सा a सा बी सिमिलरली ये भी इस तरह से लिखोगे तो कोई गलती नहीं होगी और सही लिखा जाएगा और पेपर में कॉन्फिडेंट रहोगे ये 10 शक्ल ऐसी है चाहे तो पॉज करके देख लो या बाद में आपने एक बार चेक करना अपने आपको को ये 10 की 10 शक्ल आपको मतलब पटाक से याद होनी चाहिए मतलब एक साइड लिखी तो आपको पता हो दूसरी साइड क्या है अगर ये लिखा है तो आपको पता होना चाहिए कि मैं इसको ऐसे भी लिख सकता हूं ये लिखा तो पता होना चाहिए कि मैं इसको ऐसे लिख सकता हूं सेम सारे के सारे यह सारे के सारे बोथ साइड पता होने चाहिए यह आपके आईटीएफ में बहुत जगह पर बिल्कुल हेल्प करते हैं यह 10 शक्ल हैं जो ट्रिग्नोमेट्री और आईटीएफ दोनों में बहुत जगह पर यूज होते हैं शाबाश देन कम्स लिमिट्स लिमिट का सबसे पहला सबसे बेसिक कांसेप्ट तो यही है कि अगर एक ए बाजी टाइप का एक्सप्रेशन है और हमें दिख रहा है कि यह लिमिट एजिस्ट करती है बताया गया इफ लिमिट ए बाजी एसिस्ट और हमें बता दिया गया कि जी तो जीरो बन रहा है तो आप f के बारे में क्या कह सकते हैं बताइए f बाज की लिमिट एजिस्ट करती है g 0 बनता है तो आप f के बारे में क्या कह सकते हैं सर f को जीरो बनना पड़ेगा अगर f नॉन जीरो होता तो नॉन जीरो बा 0 तो एजिस्ट कर ही ना पाता इंफाइटिंग सेप्ट आता है देन आते है मेथड सबसे पहले अगर बात करें एल हॉपिटल रूल f बाज की जो लिमिट होती है f जीड की सेम ही लिमिट होती है एल होपिटल का मेजर पॉइंट क्या था इट कैन बी यूज्ड इन सम पार्ट ऑफ कंप्लीट एक्सप्रेशन प्राइमर वेयर वी आर गेटिंग गेटिंग जीरो बाय जीरो फॉर्म या इनफिनिटी बाय इनफिनिटी फॉर्म यस और नो सबको याद है दिस इनटू दिस इनटू दिस डिवाइड बा दिस इनटू दिस इनटू दिस अगर यह दो टर्म्स प्रॉब्लम क्रिएट नहीं कर रही यानी कि कुछ नॉन जीरो नंबर बन रहे हैं यह बीच वाली प्रॉब्लम क्रिएट कर रही है तो पूरे पेल हॉपिटल मत लगाइए छोटे से हिस्से पर लगा दीजिए काम खत्म बिल्कुल लिमिट टेंडिंग टू इनफिनिटी य मैं लिख देता हूं मान लीजिए ये जीरो को टेंड कर रहा है ये जीरो को टेंड कर रहा है और ये नॉन जीरो को टेंड कर रहे हैं ऐसे तो भैया आप बिना किसी डर के इतने से पार्ट पे अलग से एल हॉपिटल लगा सकते हो पूरे पर मत लगाइए क्योंकि पूरे का डेरिवेटिव बहुत बड़ा हो जाएगा पूरे का डेरिवेटिव जो है ऊपर और नीचे बहुत बड़े-बड़े हो जाएंगे शाबाश लिमिट स्टेंडिंग टू इंफिनिटी में एक ही कांसेप्ट होता है क्या सर सबसे बड़ी पावर ओनली बिगेस्ट पावर कंट्रीब्यूट यस और नो और कोई कंट्रीब्यूट करता ही नहीं ओनली बिगेस्ट पावर कंट्रीब्यूट छोटे टर्म्स कंट्रीब्यूट ही नहीं करते बहुत बढ़िया सा ऑफ 0 बा 0 व था t ऑफ 0 सेम रो वन था मुझे एक चीज बता दीजिए पहले इससे पहले कि मैं ये देखूं sinx-cosx बा x का जिफ लिमिट x टेंड टू 0 क्या होता है लिमिट x टेंड टू 0 sinx-cosx सर दूसरे में वन क्योंकि सर आपने पहले लिमिट निकाल ली लिमिट तो वन आ गई अब वन का जिफ पूछ रहे हो तो लिमिट का जिफ तो वन ही रहेगा बहुत बढ़िया नाउ जब भी लिमिट के सवाल आते हैं फर्स्ट वी ऑब्जर्व नंबर ऑफ जीरोज इन डैश एंड देन वी मेक अरेंजमेंट टू सेलेक्ट सेटल देम इन डैश बताइए पहले में क्या आएगा दूसरे में क्या आएगा जब भी हम लिमिट के सवाल करते हैं समथिंग बाय समथिंग है ना समथिंग बाय समथिंग के सवाल होते हैं तो पहले हम देखते हैं कि कितने जीरो बैठे हैं यहां पे और फिर उतने की जगह बनाते हैं वहां पे तो ये यहां और वहां फटाफट बताइए क्या आएगा डैश में वेरी गुड सर सबसे पहले देखा जाता है कि डिनॉमिनेटर में कितने जीरो बैठे हुए हैं क्योंकि वो सारे के सारे जीरो मुझे ऊपर एडजस्ट करने हैं तो अगर नीचे x स् है तो मुझे ऊपर 2x की जगह बनानी है नीचे x क्यूब है तो ऊपर मुझे 3x की जगह बनानी है तो अरेंजमेंट कहां करते हैं न्यूमरेशन में बहुत बढ़िया नाउ लन भैया यह तो मुझे पता है लन ऑफ 1 प् 0 सेम 0 व होता है e पावर 0 -1 बा सेम 0 व होता है मुझे इसकी वैल्यू बताइए अगर यहां बेस a आ गया तो वैल्यू क्या होती है अभी भी वन रहेगी या कुछ और आएगी इस केस में वैल्यू क्या होती है तोलो इतना बता दो वन के नीचे क्या आता है इतना बता दो चलो क्या खुश रहोगे तुम लोग लॉग ऑफ 1+ x / x है x 0 है और यहां बेस a है सर नीचे आएगा लॉग a बेस e लॉग a बेस e वेरी गुड नाउ इसमें आ जा a पा x - 1 / x इसकी लिमिट क्या होती है अगर e की जगह a आ जाए कोई जनरल नंबर 2 3 4 5 6 तो यह क्या बनता है सर यह बन जाता है लन a बहुत बढ़िया बहुत बढ़िया नाउ 1 पावर इनफिनिटी फॉर्मेट 1 + 0 पावर इनफिनिटी फॉर्मेट होता है e लिमिट जीरो इन इनफिनिटी ए नजी बिलक यह बेसिक आ गया अब एक्सपेंशन की बात करते हैं सारे के सारे टूथ फर फ स छ के छ एक्सपेंशन देखो क्या आप छ के छ एक्सपेंशन जानते हो बिना अटके सारे के सारे लिख पा रहे हो शाबाश देखो मतलब मे को नहीं देखना खुद लिखना है उसके बाद मैच चाहे कर लेना पॉज करके आराम से इवन पावर्स ऑड पावर्स e पा एक्स में सारी की सारी पावर्स लोन 1 प्स एक्स में अल्टरनेट पावर चलेंगी एक्स माइनस एक्स स् बाटू और इसमें फैक्टोरियल नहीं आता अगर लन 1 - x हो तो सारी की सारी टर्म्स नेगेटिव होती हैं तो माइनस को बाहर लिखा जाता है और अंदर सारे प्लस रख देते हैं और यह आ गया बानो मियल फॉर एनी इंडेक्स 1 + nxnn.com एक के लिए लगाए जाते हैं मोड एकस लेव के लिए राट बाकी सारे एक्सपेंशन हमेशा लगाए जा सकते हैं पटाक से ठीक है जी ओके तो आ जा ये ओके फाइन अब आता ये फॉर्मेट 0 इनटू इनफिनिटी इनफिनिटी प 0 0 प 0 इसमें से जो जीरो इनटू इनफिनिटी है वो मेन फॉर्मेट है अगर ये आता है तो अगले दो में कुछ नहीं होता जब भी जीरो इन इनफिनिटी फॉर्म आ हम क्या करते हैं बताइए फटाफट क्या करते हैं लिमिट x टेंड्स टू 0 एक इन लन x अब सोचिए क्या करते हैं भैया जब x 0 है यह जीरो बन रहा है ये इनफा बन रहा है इसमें क्या करते हैं इसको किस फॉर्म में कन्वर्ट करते थे सोचो फटाफट सर 0 इन इनफिनिटी फॉर्म में क्या करते थे सर इसको कन्वर्ट कर देते हैं या तो 0 बाय 0 में या इनफिनिटी बाय इनफिनिटी में कैसे इनमें से किसी एक टर्म को न नेटर में रेसिप कल बना के लिख दो जैसे कि ऊपर जो एक् बैठा था उसको नीचे में न बा एक्स बना के लिख देता हूं बहुत बढ़िया सर एकस जीरो है अब सर यह भी इनफिनिटी और नीचे भी इनफिनिटी एंड हेंस अब मैं एल हॉपिटल लगा के इसको खत्म कर दूंगा बहुत बढ़िया अगर आ गया इनफिनिटी पावर जीरो या फिर जीरो पावर जी इसमें क्या करते हैं ऐसे फॉर्मेट में जैसे कि लिमिट x टेंड्स टू 0 sinx-cosx यस और नो sinx-cosx है बीच में रुकना अलाउड है तो जस्ट इंक्रीजिंग रुकना अलाउड नहीं है तो स्ट्रिक्टली क्र उल्टा एक्शन हो गया सिर्फ ऊपर जा रहा है स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग बीच में रुकना अलाउड हो गया तो जस्ट इंक्रीजिंग सीधा नीचे ही जा रहा है स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग रुकना अलाउड हो गया तो जस्ट डिक्रीजिंग मोनोटोनिक मतलब सिंगल बिहेवियर सिंगल मतलब स्ट्रिक्ट इंक्रीजिंग होना चाहिए या स्ट्रिक्ट डिक्रीजिंग ट्स इट वो अपना बिहेवियर चेंज नहीं कर सकता कांस्टेंट भी नहीं हो सकता और उल्टा तो बिल्कुल नहीं हो सकता वेरी गुड इंटरवल्स ऑफ इंक्रीज एंड डिक्रीज भैया हम नॉर्मली इंटरवल इंक्रीज डिक्रीज सवाल करते हैं हमको पता है पॉजिटिव नेगेटिव एंड ऑल इसमें मेरी एक ही सलाह है अगर तो चारों ऑप्शन ओपन है तो कोई कंफ्यूजन नहीं बट अगर ओपन और क्लोज दोनों है तो कृपया क्लोज को मार्क करिएगा एक्चुअल आंसर क्लोज्ड होता है चाहे वो आप इंक्रीजिंग का सवाल हो चाहे स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग का सवाल हो चाहे डिक्रीजिंग का हो चाहे स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग हो एक्चुअल हम एड को ग्रेटर दन इक्वल टू 0 या लेसन इक्वल टू 0 करते हैं हमेशा स्ट्रिक्ट के लिए भी ओके तो एक्चुअल आंसर क्लोज इंटरवल ही होता है लद दे अवॉइड दिस कंफ्यूजन इन पेपर एंड गिव ल द ऑप्शन इन ओपन इंटरवल तो अगर ओपन है तो कोई दिक्कत नहीं है बट अगर ओपन क्लोज दोनों है तो यह दोनों सही है बट यह वाला ज्यादा कंप्लीट है गट इट ओके यहां पर लिखा भी हुआ है अब आता है कंपैरिजन यूजिंग कैलकुलस कैलकुलस के चलते रहते मुझे आप इसका जवाब दीजिए आप पढ़िए सवाल क्या लिखा है आपके लिए गॉड ब्लेस यू शेरा खुश रहो वेरी गुड सर एफ ए अगर जीरो दिया हुआ है ए प वैल्यू जीरो दी हुई है देन हाउ वैल्यू ऑफ एड फॉर एक् ग्रेटर दन यानी कि इसके आगे डेरिवेटिव अगर पता है उसे मैं एफ के पॉजिटिव या नेगेटिव होने पर कैसे कमेंट कर सकता हूं अटक रहे बच्चे कुछ तो देखो अगर मुझे एफ ए0 पता है तो मैं यह तो मार्क कर चुका था हां जी सर अब इसके आगे अगर मुझे एफ ड पता है एड पता है मतलब मुझे पता है कि एड पॉजिटिव है या ने अगर एफ ड पॉजिटिव दिया हुआ है तो मैं कह सकता हूं कि इसके आगे फंक्शन इंक्रीज कर जाएगा इंक्रीज कर जाएगा तो फंक्शन ऊपर की ओर जाएगा ऊपर की ओर गया तो मेरे वैल्यूज जो थे एक्स एक्सिस के ऊपर चले गए तो भैया जी मेरे फंक्शन की वैल्यूज पॉजिटिव आएंगी मेरे फंक्शन की वैल्यू पॉजिटिव आएंगी आ गया समझ सिमिलरली अगर मैंने एफ ड जो मुझे पता है वो लेसन जीरो दिया हुआ है तो यानी कि फंक्शन शुरू यहां से हो रहा है और नीचे की ओर जा रहा है अब नीचे की ओर गया तो भाई मेरा ग्राफ एक्स एक्सिस के नीचे है तो फंक्शन की वैल्यूज नेगेटिव होंगी यहां पर कितने बच्चे समझ पा रहे हैं सबसे ज्यादा क्रिटिकल रोल ग्रीन पॉइंट का है स्टार्ट कहां से किया अगर ए पर वैल्यू होती और मेरा एफ ड पॉजिटिव होता तो फंक्शन ऊपर की ओर जाता पर क्या मेरा फंक्शन पॉजिटिव बन गया नहीं बना अभी भी नेगेटिव है तो यहां पर एफ ड के पॉजिटिव होने से सिंगल हैंडेडली यह नहीं आ गया पॉइंट है कि स्टार्ट आप जीरो से कर रहे थे और आप ऊपर उठ गए यह दोनों मिलके आपको बताते हैं कि वैल्यू पॉजिटिव हो गई समझ गए तो दोनों का सिग्निफिकेंट है तो कभी भी हमें चेक करना होता कि फंक्शन नेगेटिव पॉजिटिव है तो स्टार्टिंग पॉइंट प उन्होंने ज़ीरो दिया होता है हमें ओके स्टार्टिंग पॉइंट पे बस आगे का डेरिवेटिव दे के हम f पे कमेंट करते हैं ओके अब यह देखते कितनों को याद है और कितने कंफ्यूज हो जाते हैं sinx-cosx फ सेकंड्स 1 2 3 4 5 शाबाश अब मैच करिए सर सा x बा x डिक्रीजिंग t x बा x इंक्रीजिंग x बा सा x इंक्रीजिंग x बा t x डिक्रीजिंग यही लिखा है यस बहुत बढ़िया बहुत ही बढ़िया देखो मोटा-मोटा गलती कभी नहीं लगती पर कभी लग जाए ना तो यह ग्राफ दिमाग में रख लेना कि आपका x जो होता है सा x थोड़ा उससे नीचे की ओर रहता है और t x उससे थोड़ा ऊपर की ओर रहता है तो इससे ना दिमाग में रहता है सा x बा x यार न्यूमेट छोटा है तो फीलिंग आ जाती कि शायद नीचे जा रहा होगा t x बा x यार न्यूमेट बड़ा है तो फीलिंग आती कि ऊपर ग्राफ ऊपर की ओर जा रहा होगा ऑफकोर्स हम यह बात कर रहे हैं x बिलोंग टू फर्स्ट क्वाड्रेंट की ओके तो ये सब चीजें क्लियर हो गई पटा शाबाश अच्छा एक बात बताओ अगर मुझे f का बिहेवियर पता है तो क्या मैं / f पे डायरेक्टली बोल सकता हूं कि उल्टा बिहेवियर होगा सोचो अगर f का बिहेवियर इंक्रीजिंग है तो क्या मैं बोल सकता हूं कि / f पक्के से डिक्रीजिंग होगा हां जी सर बोल सकते हैं -1 बा f स् * f ' डेरिवेटिव से देख सकते हैं - f ' से मल्टीप्लाई हो जाएगा सर f स् तो पॉजिटिव है तो -1 / f स् में f स् तो रोल नहीं प्ले कर रहा माइनस रोल प्ले कर रहा है जो कि f ' से मल्टीप्लाई होगा वेरी गुड इट इज अ कलेक्शन ऑफ पॉइंट क्रिटिकल पॉइंट पे आ चुके जहां पे f ड रो या अनडिफाइंड हो जाते हैं क्रिटिकल पॉइंट पे एक ही चीज ध्यान रखी जाती है कि जिस इंटरवल में क्रिटिकल पॉइंट निकाल रहे हैं उस इंटरवल के बाउंड्री पॉइंट कभी भी क्रिटिकल पॉइंट नहीं लिए जाते जहां पे f ' 0 हो जाता है उसको स्टेशनरी पॉइंट भी कह देते हैं अब यह बताइए व्हाट इज द प्रोसीजर टू फाइंड मैक्सिमम एंड मिनिमम यूजिंग फर्स्ट डेरिवेटिव मैक्सिमम नहीं मैक्सिमा लिखिए अभी मैक्सिमा और मिनीमा पढ़ रहे हैं मैक्सिमम कहां से आ गया मैक्सिमा मिनीमा हां जी आप क्या प्रोसीजर फॉलो करते हैं आपके आगे सवाल आया आपने मैक्सिम मिमा निकालने थे लोकल आपने डेरिवेटिव को यूज करने का डिसाइड किया तो आपने फिर क्या किया कैसे करते हो आप सबसे पहले अपने स्टेप सोच लीजिए फिर मैच करिए सबसे पहली बात फाइंड एड एक्स एंड चेक इट्स साइन साइन स्कीम कहते हैं साइन स्कीम मतलब डेरिवेटिव कहां पर नेगेटिव हो रहा है कहां पर पॉजिटिव हो रहा है लाइक अगर अलजेब्राइक है तो आप यूजिंग वेवी कर्व चेक कर लेंगे कि कहां पर नेगेटिव पॉजिटिव है राइट दूसरा स्टेप क्या होता है ये सबसे इंपोर्टेंट स्टेप है आपने सबसे अब मैक्सिमम मिनिमम निकालना था सबसे पहले एड देख लिया अब देख लिया एड कहां प पॉजिटिव है कहां प नेगेटिव है अब क्या करोगे प्लीज ऐसे मत करना कि एड सर्फ जहां पॉजिटिव से नेगेटिव हुआ वहां पर मैक्सिमा ज नेगेटिव से पॉजिटिव व मिनीमा बिल्कुल मत करना रिया ने बिल्कुल सही बोला मेक रफ ग्राफ बेसिकली ग्राफ ही होता है रफ तो क्या ही होता है ऑफ y इ fx9 है कहां पे मिनिम आन है f ' पॉजिटिव सा ग्राफ ऊपर बनाते रहो f ' नेगेटिव हो गया नीचे चला गया f ' पॉजिटिव हो गया ऊपर चला गया f ' नेगेटिव हो गया नीचे चला गया पहाड़ सा बन जाएगा पता लग जाएगा कहां पे मैक्सिमा आ रहे हैं कहां पे मिनिम आ रहे हैं नाउ कंडीशन फॉर अ क्यूबिक टू हैव थ्री डिस्टिंक्ट रूट आओ बताओ एनालिसिस ऑफ क्यूबिक अगर एक क्यूबिक दे दूं बीच में कोई अननोन छोड़ दूं और बोलूं कि अननोन बताओ ताकि इस क्यूबिक के तीन डिस्टिंक्ट रूट आ जाए क्या कंडीशन होती है सोचो पता है क्या सोचने के बाद मैच करो कंडीशन होती है कि मैक्सिमा और मिनीमा जो है वो अपोजिट साइन के होने चाहिए मैक्सिमा और मिनिम ऑपोजिट साइन के यानी कि उस क्यूबिक को लिखो उसका डेरिवेटिव ज़ीरो कर दो डेरिवेटिव ज़ीरो करते ही आपके पास दोनों क्रिटिकल पॉइंट आ जाएंगे हां जी अब इनमें से एक पे मैक्सिमा आना है एक पे मिनिम दोनों निकाल लो मैक्सिमा वैल्यू निकाल लो मिनिम वैल्यू निकाल लो यह दोनों अपोजिट साइन के होने चाहिए यह मिनिम यह मैक्सिमा अगर यह अपोजिट साइन के होंगे तभी x एक्सिस बीच में से निकलेगा और आपके पास तीन रूट आ जाएंगे ओके एक बच्चे ने बड़ा सही जवाब दिया मैंने बोला तीन रूट की कंडीशन बताओ बच्चे ने लिख दिया इट शुड कट एक्स एक्सस थ टाइम्स बेटा वो तो है ही है मैं ड़ पूछ रहा हूं ओके हा जी इ लीडिंग कफिट इज पॉजिटिव क्यूबिक की बात हो रही है लीडिंग कोट पॉजिटिव वा इ ए एक्स क बी एक्स स्क प् सी एक प् यानी कि आपको ए पॉजिटिव दिया हुआ है देन मैक्सिमम नहीं यार मैक्सिमा देन मैक्सिमा अकर्स एट डैश क्रिटिकल पॉइंट जवाब दीजिए अगर आपका लीडिंग कफिट पॉजिटिव है क्यूबिक का तो आपका मैक्सिमा जो आता है व कौन से क्रिटिकल पॉइंट पर आता है क्या सीधे बताना जानते हो आप नील नहीं बेटा मैक्स मेन की बात करें तो मतलब अगर मैक्सिमम ऑफ क्यूबिक बोले तो एक इंटरवल में पूछ सकते हैं ओवरऑल मैक्सिमम तो इनफा चली जाएगी बहुत बढ़िया सर अगर य लीडिंग कोट पॉजिटिव है तो क्यूबिक का ग्राफ इस तरह का दिखता है और यह रहा छोटा वाला क्रिटिकल पॉइंट यह रहा बड़े वाला क्रिटिकल पॉइंट एफ ड के दो रूट अल्फा और बीटा आएंगे अब बोला क्या गया है मैक्सिमा मैक्सिमा किस पर आ रहा है छोटे क्रिटिकल पॉइंट प एट स्मॉलर क्रिटिकल पॉइंट बहुत बढ़िया इसे कहते ग्राफ का अंडरस्टैंडिंग हो ग्राफ पता है तो हम काफी इली चल सकते हैं सिमिलरली 4 डिग्री का ग्राफ हमें पता होना चाहिए क्या हम 4 डिग्री का ग्राफ जानते हैं सारे अपने आपको पूछो क्या हमें 4 डिग्री ग्राफ के बेसिक अंडरस्टैंडिंग है नहीं है तो भैया अभी के अभी देख लो अगर ए पॉजिटिव है तो 4 डिग्री का ग्राफ सिर्फ दो ही पॉसिबिलिटी बनती है या तो एक ड टाइप की शेप बनेगी या एक य बनेगा डिपेंडिंग अपन इसका जो डेरिवेटिव आया था जो कि क्यूबिक है पहला क्रिटिकल पॉट या एक रियल और दो नन [संगीत] रियल इसत को ठीक करते ठीक करते [संगीत] [संगीत] [प्रशंसा] [संगीत] मिट अभी आवाज ठीक हुई या नहीं हुई अभी प्रम अभी प्रॉब्लम आ रही है ओ तेरी एलियन वॉइस ओके पा सेकंड का लैग आएगा बियर कर लेना पा सेकंड का लैग आएगा हां जी जरा बताइए अभी आवाज ठीक हुई हां जी चेक करिए अब बताइए अभी ठीक है फाइन सर पता नहीं बीच में क्या हो जाता है इसको यार कुछ तो उसको याद आ जाता है अपना कुछ ठीक है ओके चलो कंटिन्यू करें आवाज खराब हो गई थी यार होगी ठीक चलो आ जाओ तो आ जा भाई 4 डिग्री ग्राफ जो होता है व या तो डब्लू टाइप बनता है या फिर य टाइप का इसका डेरिवेटिव क्यूबिक होगा क्यूबिक किया तो तीनों रूट रियल होंगे तो आपको तीन क्रिटिकल पॉइंट मिलेंगे और अगर एक रूट रेल होगा तो एक क्रिटिकल पॉइंट मिलेगा क्यूबिक में इसका डेरिवेटिव क्यूबिक है क्यूबिक में ऐसा नहीं हो सकता कि दो रूट रियल और एक नॉन रियल हो जाए यह नहीं हो सकता राइट तो इस करके दो पॉसिबिलिटी और अगर ए नेगेटिव हो तो इसी का उल्टा या तो व ऐसा डब्लू टाइप का कुछ होगा या फिर ऐसा होगा तो 4 डिग्री पॉलिनो के यही पॉसिबिलिटी होते हैं और यह पॉसिबिलिटी बहुत हेल्प करती है हमें सवालों में एनाला करने के लिए ओके ओके डबल डेरिवेटिव टेस्ट तो पता है कि जिस क्रिटिकल पॉइंट पर डबल डेरिवेटिव पॉजिटिव आ जाए उस परे मिनिमाप डबल डेरिवेटिव नेगेटिव आ जाए मैक्सिमा अगर डेरिवेटिव जीरो आ जाए डबल डेरिवेटिव तो भैया कुछ फायदा नहीं होता इन कंक्लूजन डेरिवेटिव जीरो आ गया पता ही नहीं लग रहा क्या हो रहा है मैक्सिम आ रहा है मिनिम आ रहा है तो जब डबल डेरिवेटिव जीरो आ जाए तो हम यूज करते हैं एथ डेरिवेटिव एक छोटू सा एग्जांपल लेता हूं y = x पा 4 का हमने एड को जीरो किया तो 4x क 0 आ गया तो क्रिटिकल पॉइंट जीरो आया अब मैंने कहा चेक करता हूं कि इसम मैक्सिमा या मिनिमाप तो जीरो आ गई यानी कि डबल डेरिवेटिव क मैं नहीं बता पा रहा कि क्या हो रहा है फर ट्रिपल डेरिवेटिव निकालिए रुकिए मत तो जब डबल डेरिवेटिव फेल हो जाए ना आप ट्रिपल डेरिवेटिव निकालिए 36 24x उसको चेक करिए ओके सर सर वो भी जीरो आ रहा है ओके रुकिए मत आगे चलिए कभी ना कभी तो नॉन जीरो आएगा हां सर फोर्थ डेरिवेटिव नॉन जीरो आ रहा है तो जब डबल डेरिवेटिव फेल हो जाए कीप ऑन फाइंडिंग डेरिवेटिव एंड चेक वैल्यू एट क्रिटिकल पॉइंट जब वो नॉन जीरो बन जाए वहां जाके रुकिए अगर तो वह जो रुका है वह इवन डेरिवेटिव पर रुका है तो भाई मैक्सिमा मिनिम आएंगे और उसी तरह से आएंगे जैसे डबल में आते थे यह पॉजिटिव है तो मिनीमा अगर यह नेगेटिव होता तो मैक्सिमा ठीक है जी सर पर अगर हम ऑड पर रुकते फिर अगर जहां जाकर हम रुक रहे हैं वह ए ऑड होता फिर अगर ए ऑड हो गया तो कुछ नहीं आएगा इफ ए इज ऑड देन वी हैव पॉइंट ऑफ इफ्लेक्शन पॉइंट ऑफ इफ्लेक्शन मतलब नो मैक्सिमा और मिनीमा तो एन डेरिवेटिव टेस्ट बस इतना सा कहता है कि अगर डबल डेरिवेटिव से बात नहीं बन रही डबल डेरिवेटिव जीरो आ गया तो ट्रिपल निकालिए फोर्थ निकालिए फिफ्थ निकाल लिए तब तक निकालते जाइए जब तक जीरो ना आ जाए स नॉन जीरो ना आ जाए जैसे ही नॉन जीरो आए वहां रुकिए वो वाला डेरिवेटिव अगर तो इवन है फिर तो सिंपल वही मैक्सिमा मिनिमाप से बट अगर वो डेरिवेटिव ऑड वाला है तो आप कहेंगे कि मैक्सिम मिनिम आ ही नहीं रहा ओके अब यह बताइए ग्लोबल एक्सट्रीम वैल्यू में ग्लोबल एक्सट्रीम हम पता है कि बहुत आसान होता है सिर्फ क्रिटिकल पॉइंट और बाउंड्री पॉइंट ही होते हैं जहां से आंसर निकाला जाता है मुझे यह बताइए इन च केस मैक्सिमम और मिनिमम वैल्यू डज नॉट एक्सिस्ट अपने आप को पूछिए कि अगर एक ग्लोबल मैक्सिमा का सवाल आया मैक्सिमम वैल्यू निकालने का तो वो कौन सा केस था जिस केस में मैक्सिमम वैल्यू डज नॉट एजिस्ट आ जाता है और व कौन सा केस था जिसमें मिनिमम वल डज नॉट एजिस्ट आ जाता है डज नॉट एजिस्ट ग्लोबल में तब आता है जब जिस पॉइंट पर वो वैल्यू आ रही है वह पॉइंट इंटरवल में नहीं है जैसे कि ये इसमें आपका ग्लोबल एक्सट्रीम इस पॉइंट पर आना था बट यह ओपन है यानी कि इस पे ये पॉइंट इंक्लूडेड ही नहीं है तो इस केस में कहते हैं ग्लोबल मैक्सिमम वैल्यू डज नॉट एक्जिस्ट आप बच्चे गलती क्या करते हैं बच्चे कहते हैं सर यह रहा ग्लोबल मैक्सिमा अरे नहीं अगला छोटा नहीं पकड़ना जहां पे आ रहा था वो पॉइंट मेरे इंटरवल में नहीं था तो मैं कहूंगा डज नॉट एक्जिस्ट सेम यहां पे जिस पॉइंट पर ग्लोबल मिनीमा आ रहा था व पॉइंट मेरे इंटरवल में नहीं था तो हम कहेंगे कि ग्लोबल मिनीमा डज नॉट एक्सिस्ट समझ आ गया सबको ग्लोबल मिनीमा डज नॉट एक्जिस्ट यह दो केस में हमें पता होना चाहिए ओके देन कम्स इंटीग्रेशन ओ बस करो दित इंटीग्रेशन लो भैया अब इंटीग्रेशन शुरू की जाए छोटू सा ब्रेक ले ले हम यहां पर एक है ना मैं थोड़ा अपनी पीठ को बचा के रखना चाह रहा हूं पीठ के बाजे बजे हुए आजकल छोटू सा ब्रेक लेंगे ज्यादा नहीं लेंगे 515 से 525 कल यार ज्यादा ही मैं एक्सरसाइज कर रहा था जिम में एक एक्सज थी बड़ी मतलब मेरे को पता था इस एक् ज्यादा फायदा भी नहीं है पर पता नहीं जोश आ गया एक् करके देखते हैं यह वाली ओ भाई क्या क एक् एकदम से पीठी हट गई मेरी चलो मिलते हैं 10 मिनट में ठीक है ओके लो भाई बढ़ा जाए आगे ओके सिमरन आ लुक इनटू इट और लग जा भाई चलो सर बाइसेप्स फिर से दिखा दो ओ बस हो गया एक बारी और तुम कौन सा आगे पीछे करके नहीं देख सते वीडियो को देख लो यार व तो थोड़ा मजाक वाले मूड में आ गया था मैं ऐसी बात नहीं तो भाई को अंडरस्टीमेट ना किया करो भाई तुम्हारा एक्सेस करता है ऑलमोस्ट डेली देखो तो बिल्कुल फ्लैट कर रखी भाई ने रे बिल्कुल नॉर्मल है ये सांस नहीं छोड़ा लिए दबाया नहीं हुआ सांस ऐसे ही है अंडर एस्टिमेटर को ओके मलब अभी भी मैं लिख के दे सकता हूं कि तुम में से यहां पर जितने भी लड़के बैठे हैं इस समय उन सबसे ज्यादा पुशअप मार लूंगा मैं सही कह रहा हूं वो भी डायमंड पुशअप नॉर्मल नहीं चलो आ जाओ ये तो पीठ जो है ना पीठ धोखा दे जाती है भाई मजाक नहीं कर रहा मैं पीठ जो है ना पीठ वो धोखा देती है अली आई हैड सम इंजरी अबाउट सिक्स सेन इयर्स पहले मेरी बैक में एक इंजरी आ गई थी उस इंजरी को करीबन तीन से चार साल लग गए थे ठीक होने में उस इंजरी ने ना ऐसा बेड़ा गर्क किया हुआ है बैक का कि थोड़ी भी अगर कुछ एकदम लोड आ जाए लोअर बैक पे अगले दो तीन दिन मेरे फिर खराब हो जाते हैं भाई ल दो मैं काफी केयरफुल रहता हूं बट पता नहीं कल जिम में कैसे मैंने उस एक्सरसाइज को अंडरस्टीमेट कर दिया चलो चलो चलो चलो आ जाओ आ जा शुरू करते हैं हां इंटीग्रेशन तो इंटीग्रेशन में पहले इनफिट ओए अब सारे फोकस यहां पे करो बातें खत्म और हां जो बच्चे बाद में आए हैं जो लिंक इस लिंक चैट में पिंड है ऊपर सबसे ऊपर उसे क्लिक करके नोटिफाई मी और लाइक कर दो काफी इंपॉर्टेंट सेशन है काफी इंपोर्टेंट वीडियो है जो कि सेवंथ को आएगी और वो सबने मतलब आप सबके काम कि है बेसिकली आई एम टेलिंग यू इट इज लाइक अ नाउ अनअकैडमी विल बी अवेलेबल टू ऑल मतलब अनअकैडमी सबके लिए अब होने वाला है लाइक वी हैव डन सम मेजर चेंजेज तो वो चेंजेज सारे अनाउंस होने वाले हैं वहां पे तो बता रहा हूं इट्स गो बी वेरी इंपोर्टेंट सेशन ठीक आ जा इनफिट इंटीग्रेशन तो सबसे पहले यहां पर जो स्टैंडर्ड इंटीग्रल है वह हमें याद होने चाहिए उसका कोई भी वह नहीं है इसमें मुझे यह वाली शक्ल तो मे को पता है और आई एम प्रिटी श्यर कि तुमको भी पता होगी मुझे दूसरी शकल बताओ दोनों की आई मीन अपने आप को बताओ मतलब चेक करो कि क्या याद है या नहीं याद है ल स एक्स के इंटीग्रल की दूसरी शक्ल क्या थी लन ऑफ न ऑफ पाई बा फ प्स एक् बाट कुछ ऐसी थी और कोक x के इंटीग्रल का लोन न x बाटू कुछ ऐसी क्या मैंने सही लिखा है शाबाश क्या मैंने सही लिखा है बोल दो फटाफट माइक जाने वाला है फिर से ऐसा ना करो यार यस सर माइक इशू फिर से आ रहा है यस यह माइक ने तंग किया हुआ मैंने माइक को ना क्या करें माइक का अभी ठीक है चलो अभी ठीक है ठीक है अगर लगा कि ज्यादा को प्रॉब्लम आ रही मुझे बता देना ठीक है देखते हैं माइका क्या कर सकते हैं कुछ तो डिस्टरबेंस आ रही है ओके आगे देखो तो ये सारे इंटीग्रल आ गए इंटीग्रल में कोई आपके ऑप्शन नहीं वो आपको तैयार करने ही पड़ेंगे राइट अब मुद्दा शुरू होता है एक्चुअल टॉपिक का सब्सीट्यूशन सबसे पहली बात अगर fxxx.pro और a से डिवाइड हो जाता है दिस इज़ द ओनली एंड ओनली एंड ओनली जनरलाइजेशन जो आप इंटीग्रेशन में कर सकते हो ओके इसके अलावा बिल्कुल भी कोई जनरलाइजेशन नहीं करना देयर इज़ नो चेन रूल इन इंटीग्रेशन ओके बस यह छोटू सी आप जनरलाइज कर सकते हैं आगे कि आपको अगर sinx-cosx तो जनरलाइज नहीं करना बैठ जाना बस वो ध्यान रखना है तो आप मुझे ये बताइए अगर आप f ' बा f का इंटीग्रल मैं आपसे पूछूं और f ' बा √ f का इंटीग्रल पूछूं तो क्या आप जानते हैं शाबाश चेक कर लीजिए सर ये होते हैं इनके इंटीग्रल 2 √ fx3 नाउ सम स्टैंडर्ड अलजेब्राइक फॉर्मेट हम वन बा क्वाड्रेटिक 1 बा रूट क्वाड्रेटिक में क्या करते थे सर स्क्वायर कंप्लीट करते थे हम लीनियर बाय क्वाड्रेटिक लीनियर बाय रूट क्वाड्रेटिक में क्या करते थे सर हम ऊपर वाले लीनियर को ना नीचे वाले के डेरिवेटिव और कांस्टेंट में रिप्रेजेंट करते थे यस सर सर हम लिखते थे अपने p एक + q को लडा टाइम डेरिवेटिव ऑफ डिनॉमिनेटर जो क्वाड्रेटिक बैठा है प्लस एक म ऐसे रिप्रेजेंट करते थे वेरी गुड अगर ऊपर वाले की डिग्री डिनॉमिनेटर से ज्यादा आ जाए जरूरी नहीं नीचे क्वाड्रेटिक हो ये जरूरी नहीं है अ पॉलिनो बाय पॉलिनो और ऊपर की डिग्री ज्यादा है या बराबर है ज्यादा है या बराबर है तो क्या करते थे सर हम यहां पे सर अ डिवीज़न एल्गोरिथम लगाते थे सर सर हम न्यूमरेशन को डिवाइड कर लेते थे डिनॉमिनेटर से और उसके टर्म्स में लिख लेते थे क्श प्लस रिमाइंडर बस सर ऐसे लिख के आगे प्रोसीड करते थे यह सारे के सारे अपने आप को देखते रहो ईवन पावर की जो जो मेंटोस जिंदगी थी जो जो मेथड थे अपने आप को याद करवाओ देखो क्या तुम सोच पा रहे हो फटाफट इवन इवन पावर में क्या-क्या करते थे इवन पावर में सर इवन पावर में हम ऊपर नीचे x स् से डिवाइड करते थे दैट इज ओके बट मेन स्टेप क्या यूज करते थे सर मेन तो यही यूज करते थे कि डेरिवेटिव ऑफ x + 1 बा x यह सबको पता है 1 - 1 बा x स् होता है बट इस चीज को ऐसे देखना यह यूज होता है सिमिलरली डेरिवेटिव ऑफ x माइव बा एक्स 1 प्व बा एक स् होता है पता है पर इसको ऐसे लिखना सर यह यूज होता है और दूसरा क्या था सर जरूरत पड़ने पर x स् प्व बा एकस स् को हमें x प्व बा एक् और x माइव बा एक् दोनों में लिखना आना चाहिए सर अगर यह दो चीज पता है तो हमें इसका सवाल करने से कोई नहीं रोक सकता ऐसे वेरी गुड ऊपर नीचे x स्क से डिवाइड करिए प्रोसीड करिए सवाल खत्म इसकी सब्सीट्यूशन किसको पता है यह सवाल जब आएगा ना जेई में डायरेक्ट इंडिपेंडेंट आएगा पूरे का पूरा तो बताइए आई मीन अपने आप पूछिए क्या आपको पहले में दूसरे में तीसरे में सब्सीट्यूशन पता है पता है तो मैच करिए पहले में पहला मतलब जब रूट के अंदर लीनियर है तो उस लीनियर को t स्क्र पुट करिए दूसरा जब रूट के अंदर क्वाड्रेटिक है तो बाहर वाले लीनियर को 1 बाटी पुट करिए तीसरा अगर अंदर और बाहर रूट के दोनों जगह प्योर क्वाड्रेटिक है तो x को 1 बाटी पुट करिए रूट के अंदर लीनियर तो उसको t स् पुट करिए रूट के अंदर क्वाड्रेटिक तो बाहर वाले लीनियर को 1 बाटी पुट करिए और अगर प्योर क्वाड्रेटिक प्योर क्वाड्रेटिक है तो x को 1 बाटी पुट करिए पार्शियल फ्रैक्शन में तोड़ना अब आता है अच्छे से वो दिक्कत नहीं बाय पार्ट्स की बात करते हैं बाय पार्ट में हम जो फार्मूला लगाते हैं उसमें आईलेट और लाट दोनों चल जाते हैं दोनों में कोई दिक्कत नहीं है और आपका दिल करे इसको ब्रेक करने का ब्रेक कर सकते हैं य कोई कंपल्शन नहीं होती ये तो एक तरीका है देखने का कि ज्यादा डिफिकल्ट टू इंटीग्रेट कौन सा है जो इसमें बाद में आता है ज्यादा इजी टू इंटीग्रेट है जो पहले आता है ज्यादा डिफिकल्ट टू इंटीग्रेट है बस ये तरीका होता है इसके लिए यह मुझे आपने बताना है यह मैंने बता दिया e पा f प् f ' e पा x f एक के बराबर ये बताइए इसका जनरल फॉर्मेट देखिए आपको याद है या नहीं याद जिसका आंसर यह था अगर याद है तो मैच करिए e पावर g एक जीड एक इन fxxx.pro किसी एक को टी पुट करना होता है या सान को टी पुट कर लो या को को ऐसा नहीं कि दोनों से हो जाएगा किसी एक से होगा दूसरे से गंदगी आएगी जिससे गंदगी आ रही उसे ना करो दूसरे को टी पुट करो बस यही कांसेप्ट है पुट आइर साइन और क इक्व 2 जिससे गंदगी ना आए सेम न सेकंड में अगर नीचे लीनियर आ जाए सान कस में क्या करते थे बताओ अपने आप को सर जब भी नीचे लाइन साइन कॉस में लीनियर आ जाए हम इसको न में तोड़ देते थे हाफ एंगल में ऐसा करते ही सर पूरे का पूरा डिनॉमिनेटर t x बा 2 में आ जाता था और न्यूमरेशन में स स्क x बा 2 आ जाता है और हम t x बा 2 को t पुट कर देते हैं अपने आपको को बताते रहो सारे फॉर्मेट इनफिट इ ल अबाउट रिमेंबरिंग स्टैंडर्ड फॉर्मेट डेफिनेट में यूज आएंगे बट इनफ मोर अब रिमेंबरिंग फॉर्मेट भैया ऊपर नीचे साइन कॉस में लीनियर है पर कांस्टेंट है नहीं और दूसरे में कांस्टेंट है तो क्या करते हैं सर अगर कोई कांस्टेंट नहीं है तो हम न्यूमरेशन को लडा टाइम डिनॉमिनेटर प्लस म टाइम डेरिवेटिव ऑफ डिनॉमिनेटर लिख देते हैं और सर अगर साथ में कांस्टेंट आ जाए तो यह तो लिखते ही हैं साथ में एक और गामा लगाया जाता है इसमें यह तो नहीं आएगा पर पहले वाला फॉर्म आ सकता है यह बहुत ही गंदा लग रहा था मैं दोबारा लिखना चाहूंगा ऐसा नहीं कि मेरी राइटिंग बहुत सुंदर है बट इतनी बुरी भी ना लगे कि देखने का मन ही ना करे राइट वेरी गुड अगर सा क की इवन पावर आ जाए आई विल से इवन क्योंकि जरूरी नहीं कि टू ही आए फोर तक भी जा सकती है ओके यहां पर पावर्स जो है तो बस जितनी हाईएस्ट पावर आ गई है ऊपर नीचे कॉस की उस पावर से डिवाइड कर देते हैं डिवाइड न्यूमर एंड डिनॉमिनेटर बाय कॉस स्क्वायर लिख रहा हूं क्योंकि यहां पर पावर ट दिख रही है यहां पे कॉस पावर 4 भी हो सकता है अगर यहां पावर फोर आ जाती ठीक है उसके बाद t x को t पुट करिए एंड सवाल खत्म बहुत बढ़िया डेफिनेट इंटीग्रेशन भाई सबसे पहली बात मुझे यह बताओ यह जो हम लिखते हैं f का इंटीग्रल a टू ब f-f कितने बच्चों को इसकी जनरल फॉर्म याद है जनरल फॉर्म जनरल बोले तो जब मैं कैपिटल बी नहीं रख पा रहा जैसे लॉग x और मुझे 0 रखना है मैं नहीं रख पाऊंगा लॉग 0 अनडिफाइंड हो जाता है तो जब मैं ऐसे नहीं रख पा रहा ए तो जनरल फॉर्म सर लिमिट से होती है लिमिट एक्सटेंडिंग टू b नेगेटिव क f याद करने का तरीका क्या था सर बी के ऊपर तो जा नहीं सकते बी के नीचे रहेंगे तो बी नेगेटिव सर ए के नीचे तो जा नहीं सकते ए के ऊपर जाना है तो ए पॉजिटिव और अगर मेरा इंटीग्रेंट ए के बीच में कहीं पर टूट रहा है तो मुझे उस पॉइंट के अबाउट पूरा ब्रेक करना पड़ता है यह मैंडेटरी है ऑप्शन नहीं है आ जाओ ज्योमेटिक क्या थी इंटरप्रिटेशन फटाफट देखो अगर आपका कर्व ऐसा है जहां पर एरियाज मेंशन है तो इंटीग्रल ऑफ fx8 से b क्या होता है फटाफट सोचो मैच करो मैं फिर कह दूं बार-बार वहां पे इशारा नहीं कर रहा पर आपको मैं पहले बता चुका हूं कि पहले जहां भी वो स्लाइड में लिखा होगा आपको पॉज करके पहले खुद सोचना है और जो खाली जगह है उसको भरना है और फिर आपको मैच करना है और देखना कि आपने सही किया गलत किया या भूल गए थे ठीक है तो जहां भी ऊपर आता है वो प्लस एरिया जहां भी नीचे आता है माइनस एरिया डेफिनेट इंटीग्रल एरिया के बराबर नहीं होता डेफिनेट इंटीग्रल एरिया के बराबर तब होता है अगर कर्व x एक्सिस के ऊपर हो जहां-जहां कर्व नीचे जाएगा डेफिनेट इंटीग्रल माइनस ऑफ एरिया के बराबर आ जाएगा बहुत बढ़िया प्रॉपर्टीज की बात करें पहली तीन प्रॉपर्टीज बेसिक थी वेरिएबल के नाम से फर्क नहीं पड़ेगा जब तक लिमिट सेम है वे लिमिट उल्टा कर दोगे तो माइनस आ जाएगा और लिमिट को किसी स के अबाउट तोड़ना चाहते हो तो कभी भी तोड़ सकते हो ऑप्शन हमेशा रहेगी यह आ गई मेन प्रॉपर्टी किंग रूल किंग रूल कब-कब लगता है फटाफट अपने को बताओ किंग रूल कब-कब लगता था सर किंग रूल लगता था एक तो अनवांटेड एक्स को हटाने के लिए एक सर जब एक्सपो एं शियल आगे मैंने ऐड किया है हां लिखा हुआ आगे सॉरी मैं कहा कहां पे गया ओके रुको अगले स्लाइड पे देखते हैं किंग रूल ये इवन ऑड और ये क्वीन रूल इन दोनों में किंग और क्वीन काफी इंपॉर्टेंट रोल प्ले करते हैं वहीं पे अक्सर कंफ्यूजन भी होता है ये तो इजी रहता है इवन ऑड पता है तो मैं आराम से लिख देता हूं किंग और क्वीन को आओ देखते हैं सबसे पहले तो किंग का मेजर यूज क्या था सर मेजर यूज क्या था पता नहीं पर इतना पता कि किंग अक्सर जो रंग दिखाता है वह एडिशन से दिखाता है आई है किंग रूल लगा के दूसरा आई मिलता है इन दोनों को ऐड करके असली रंग दिखता है एडिशन इज द मोस्ट इंपोर्टेंट स्टेप ओके दूसरा किंग में फायदे कब कब होते हैं सर एक तो य अनवांटेड एक्स को रिमूव कर देता है रिमूव अनवांटेड एक्स एक्स बैठा मुझे नहीं चाहिए बाकी चीज बढ़िया थी यार हटा देता है अगला सर मेरे ना डिनॉमिनेटर में एक्सपो बैठा है एक्सपो शियल इन नोमिन ू पा एक्स 3 पा एक्सट पा साइन एक्स पर क एक्स ऐसे बैठे एंड किंग रूल से उसकी पावर नेगेटिव बन रही है उसकी पावर नेगेटिव हो रही है किंग रू लगाते ही उसकी पावर नेगेटिव हो रही है तो भैया किंग रू लगाते ही जैसे ही ऐड करोगे उसकी वह पूरी एक्सपो शिल टर्म खत्म हो जाती है किंग रूल उस पूरे डिनॉमिनेटर को खत्म कर देगा हां जी आया याद बहुत बढ़िया अगला क्या था सर अगला था अगर टर्म्स साइक्लिक ऑर्डर में चल रही हो सा अपन साइन प्स कस है लिमिट जीरो से पा बाटू है लगाते ही टर्म्स घूम गई साइक्लिक ऑन किंग रूल किंग रूल लगाते ही साइक्लिक है तो वहां पर किंग रूल लगा के ऐड करते सब कट के वन बन जाता है और बताओ और क्या था और किंग रूल का कोई यूज याद आ रहा है सर इसके बाद एक ही यूज बचा है कि जो आप अक्सर कहते भी हो कि अगर लिमिट जीरो से ए है और कोई चीज काम नहीं आ रही एक बार किंग रू लगा के देख लेना किस्मत अच्छी हुई तो चीजें निपट जाएंगी ओके अब आता है क्वीन रूल नाउ हाउ डू वी डिसाइड बिटवीन किंग एंड क्वीन रूल दैट इज द होल आईडिया कि किंग लगाए या क्वीन लगाए कैसे डिसाइड करते हैं हमेशा जीरो से कुछ लिमिट होगी ऊपर बैठी हुई ऊपर वाली लिमिट को ए या 2a मत पढ़ो इसको अपर लिमिट कह दो ओके नाउ आप चेक करो f ऑफ अपर लिमिट - x इसकी वैल्यू चेक करनी है आपने जैसे कि अगर यहां सा है और यहां 0 से 2p है तो ये बन गया सा ऑफ 2p - x यहां पे tan0 से 10 पा है तो ये बन गया t ऑफ 10 पा - x f ऑफ अपर लिमिट - x चेक करो अगर तो ये f या - f आ गया f या - f देन यूज क्वीन और सवाल खत्म क्योंकि क्वीन तभी काम आती है जब एफ ऑफ अपर लिमिट माइनस एक्स माइनस f या फिर ए एक हो तभी क्वीन कुछ आपको कंक्लूजन देती है बाकी केसेस में नहीं समथिंग एल्स कुछ और ही आ गया हमने ए अपर लिमिट माइन एक चेक किया वैल्यू कुछ और ही जी गंदी सी बन गई इन ट केस देन प्रेफर किंग तो किंग आपको काम देगा दैट इज हाउ यू डू डिस्टिंक्शन बिटवीन कि मैं क्वीन लगाने वाला हूं या किंग लगाने वाला हूं ओके 0 से एटी f एक क्या होता है n टाइम 0 से t ओके यह मुझे कोई दिक्कत नहीं है एमटी से एटी भी मुझे दिक्कत नहीं है n - m 0 से t पीरियोडिक को लेके हमने जो चीज दिमाग में रखी वो यही रखी हुई कि अगर एक फंक्शन का पीरियड t है तो किसी भी t लेंथ के इंटर वल में उसका इंटीग्रल निकालिए वैल्यू सेम रहेगी जरूरी नहीं कि 0 से t में ही 0 से t 1 से t + 1 2 से t + 2 2.5 से t + 2.5 3 से t + 3 कोई भी t लेंथ का इंटरवल इंटीग्रेट करिए वैल्यू सेम रहेगी यह अगर आप समझ लेते हैं तो हमें दिक्कत कभी नहीं आती a से a + n आपने बस यह देखना कि यहां से यहां जाते समय कितने t के मल्टीपल आ गए कितने साइकिल आए सर a से शुरू हुए a + n तक गए सर t के n साइकिल आए हैं तो आप इसे लिख सकते हो n टाइम कोई भी 1 t का साइकिल अब सबसे आसान 0 से t लगता है तो आप 0 से t लिख दीजिए आपको 1 से t + 1 लिखना है 1 से t + 1 लिखिए 2 से t + 2 लिखना है वो लिखिए कोई भी एक t लिखना है अब सबसे आसान 0 से t लगता है तो 0 से t लिखा a + n से b + n यहां पे तो t कवर ही नहीं हुआ n n सेम ही है इसे उल्टा पढ़िए n + ए से n + b यह तो a से b ही हो गया ना t का तो कोई रोल ही नहीं है राइट दैट इज हाउ यू डू पीरियोडिक वाले कांसेप्ट दिमाग में इंटीग्रल ओवर एनी इंटरवल ऑफ लेंथ t इज सेम इसे दिमाग में रखना है बच्चों के दिमाग में जीरो से t ही रहता है जीरो से t नहीं कोई भी t का लेंथ का इंटरवल उठा लो वैल्यू सेम आने वाली है बाउंड्स में य ही सबसे इंपॉर्टेंट बाउंड था सबको पता है ना a से बी इंटरवल में अगर f बड़ा है तो f का इंटीग्रल भी बड़ा होगा खत्म बात भैया सोचना है कुछ नहीं बस यही आपके सारे सवाल करेगा आपने मुझे जो जवाब देना है वो ये देना है दूसरे वाले में जब हम ऐसे लिखते हैं इसमें इक्वल कब आता है इक्वलिटी होल्ड्स इफ मतलब स्ल ए इन बी माइ ए इक्वल टू दिस इक्वल टू कैपिटल ए न बी माइ ए इक्वल कब आता है क्या कंडीशन होती है जिसके लिए वो इक्वल आ जाए सोचो फटाफट अपने को सोचो एंड देन मैच करो भैया इक्वल तब आता है जब फंक्शन कांस्टेंट होता है इज अ कांस्टेंट फंक्शन ये सारी चीजें ऐसी है जो आप के दिमाग में वॉइड नहीं होने चाहिए यही वो चीज है जिस करके पेपर में दिमाग सुन पड़ जाता है एकदम से रुक जाता है कंफ्यूजन आ जाता है हाथ आपका चल नहीं पाता डर होता है मन में कि ऐसे था या नहीं था क्या था ये सारी चीजें आपकी खत्म कर आज आज पूरी की पूरी क्लियर करो ओके इन दोनों में डी वाला बहुत रेयर पूछा जाता है ब य नहीं कि पूछ नहीं सकते यह कब यूज होता है इट्स यूज्ड व्हेन एफ एंड जी इवॉल्व स्क्वायर रूट स्क्वायर रूट बहुत ऑब् वियस सा रीजन है इसका 0 से 1 √1 + x √1 + x क अगर इसका अपर बाउंड मुझसे पूछा गया है तो मैं ये लगाना चाहूंगा क्योंकि जब भी f और g आते हैं विद रूट ये जो है f स् कर देता है f स्क मतलब रूट हट जाता है तो 1+ x का इंटीग्रल ये तो मैं वैसे ही इंटीग्रल ही निकाल दूंगा मुझे 1+ x का इंटीग्रल आता है दूसरा भैया f और जी अलग-अलग हो जाते हैं इसका इंटीग्रल अलग इसका इंटीग्रल अलग 0 से 1 1 प् x कज स्क तो यह सबसे देखने में बदसूरत लगता है सबसे आसान होता है इसे तब यूज करते जब ए और जी अंदर जो बैठे जिसका बाउंड निकाल रहे हो इंटीग्रल का वहां पर ए और जी में स्क्वायर रूट है यह लगाओ f स्कज स्क के इंटीग्रल होंगे रूट हट जाएगा आराम से इंटीग्रेट हो जाएगा बहुत बढ़िया व्हाट इज द बेसिक अप्रोच इन दिस क्वेश्चन बताइए डेफिनेट इंटीग्रल में सबसे बेसिक अप्रोच क्या होती है मतलब हम सवाल से करते हैं व्हाट इज द फर्स्ट स्टेप व्हाट इज द सेकंड स्टेप व्हाट इज द थर्ड स्टेप हाउ डू वी गेट आंसर एक डेफिनेट इंटीग्रल में इक्वेशन आ गई आप क्या करना चाहेंगे सर सबसे पहले तो डिफरेंशिएबल करने के बाद क्या होगा सर दो पॉसिबिलिटी बनेगी आपके पास हमेशा सर या तो डायरेक्टली f आ जाएगा यू गेट या तो डायरेक्टली f आ जाएगा या फिर क्या होगा आपको f एक नहीं मिलेगा यू विल गेट डिफरेंशियल इक्वेशन क्योंकि आपने डिफरेंशियल इक्वेशन आ गई सॉल्व कर लो यार आपको डिफरेंशियल इक्वेशन आती है सॉल्व इट टू गेट f एक खत्म तो यह य पे दो कांसेप्ट थे हमेशा ओके नाउ वल इज फार्मूला यह मेरे ख्याल से आप सबको आता है साइन और कॉस की पावर्स आ जाए प्रोडक्ट में लिमिट जीरो से पाई बाटू है तो दैट इज हाउ वी राइट द डायरेक्ट फार्मूला फॉर वैल्यू इसमें मे को डाउट नहीं आपको आता होगा अब आता है वेक्टर्स वेक्टर वेक्टर वेक्टर वेक्टर वेक्टर वेक्टर वेक्टर वेक्टर आ गया इंपोर्टेंट टॉपिक आ गया पानी खत्म हो गया मेरा ओ हो हो चलो चलो चलो चलो कोई बात नहीं ओके तो वेक्टर्स की बात करते हैं अब ओके नाउ वेक्टर में सबसे पहले आता है सेक्शन फार्मूला आप मुझे यह बताइए अगर a और b पॉइंट है c इसको डिवाइड करता है m n में और आप p स को लिखना चाहते हैं तो p स को कैसे लिखा जाएगा पहले यह बताइए p स को कैसे लिखा जाएगा सर अगर c ए को डिवाइड करता है m n में तो लिखेंगे तो वैसे ही m * b + n * a अप m + n लिखना तो वैसे ही जैसे पहले लिखते थे द ओनली थिंग इज आप पसी लिखना चाहते हैं तो a और बी भी आपको p से लिखने होंगे बस इतना ही है सर कांसेप्ट और कुछ नहीं है सर वेरी गुड तो अगर ये ट्रायंगल है जहां पे d मिड पॉइंट है और आप एडी वेक्टर को लिखना चाहते हैं भाई लिखना आपडी को चाहते हैं समझना ये आप एडी को नहीं लिख रहे आप d को ही लिख रहे हैं और d तो b + c बा 2 ही है b+ c बा 2 ही है द ओनली थिंग इज आप एडी लिखना चाहते हैं तो b और c को आप a से लिखेंगे बस इतना ही कसेट है अब इसको पढ़िए 5 सेकंड का ब्रेक लीजिए और सोचिए इसका जवाब क्या आएगा व्हेन व्यू वेक्टर्स आर एडेड इन द एक्सप्रेशन एंड वी वांट टू सिंपलीफाई दैट एक्सप्रेशन देन व्हिच वेक्टर वी कंबाइन किन वेक्टर्स को कंबाइन किया जाता है ए + ए + d + df4 पांच वेक्टर लिखे हुए हैं अब मैं उनको जोड़ूं कुछ आपस में सिंपलीफाई करूंगा व्हिच हैव सेम स्टार्टिंग पॉइंट क्योंकि भैया मेरे को सेक्शन फॉर्मूले से जोड़ने हैं तो भैया स्टार्टिंग पॉइंट अगर सेम होगा पीबी प तभी तो सेक्शन से जोड़कर पीसी बना पाऊंगा दैट इज द पॉइंट वेरी गुड तो स्टार्टिंग पॉइंट जिनका सेम होगा उनको जोड़ा जाता है देन अगर आप बात करें इस ट्रायंगल की और सेंट्रोइड्स बीटा प् गामा बा 3 जैसा आप वहां पढ़ते हैं कोऑर्डिनेट में सेम सम ऑफ वर्टिस बाय थ इन सेंटर भी सेम सर ए इनटू दिस बी इनटू दिस सी इनटू दिस सर कोई फर्क ही नहीं है सर बिल्कुल सेम आपने मुझे जवाब देना है इस क्वेश्चन का कि अगर मैं आपसे पूछता यह जी सेंट्रोइड्स [संगीत] जीब वेक्टर g स वेक्टर इसकी वैल्यू क्या है तो आपके दिमाग में क्या आता है बहुत बढ़िया सर आपने लिखा g + g ब + g स सर जी तो गया भार में बेसिकली आप पूछ रहे हो a + b+ c ऐसे सोचना है पूछ तो आप a + b + c रहे हो सर अगर a प् b+ c की बात कर रहे हो तो सेंट्र ऑइड तो दिमाग में आना ही चाहिए तो सर मैं इसको थ्री से मल्टीप्लाई डिवाइड कर देता हूं तो सर यह बन गया थ्री टाइम सेंट्रोइड्स सेंट्रोइड्स पर कहां से मिलेगा सर जी से ही मिलेगा आपका स्टार्टिंग पॉइंट जी ही था और जीजी वेक्टर तो जीरो होता है तो जीजी वेक्टर जीरो तो आंसर आ गया जीरो अगर आप यह समझ लेते हैं मतलब आपको यह वाला कांसेप्ट समझ चुका है फिर आपको कोई दिक्कत नहीं है बहुत ही बढ़िया ननान अब आती है इंटरनल एंगल एंड एक्सटर्नल इसका सवाल 2022 में आया था जहां उने दो वेक्टर देके उनके इंटरनल एंगल मतलब आई विल नॉट यूज इंटरनल दो वेक्टर देके उनके एंगल बाईसेक्टर के बारे में कुछ पूछा था तो अगर मुझे दो वेक्टर पता है एक मान लो इधर है ए वेक्टर एक है ए वेक्टर और आप इसके इंटरनल एंगल बाईसेक्टर में कोई एक वेक्टर लिखना चाहते हैं तो क्या आप ऐसा वेक्टर जानते हैं बताइए ये इंटरनल एंगल बाईसेक्टर वाला वेक्टर आप मुझे बता सकते हैं कैसा दिखता है सर वेरी गुड सर हम ना दोनों के यूनिट बना देते हैं और उनको ऐड कर देते हैं दो वेक्टर के एंगल बाईसेक्टर में अगर वेक्टर ढूंढना हो तो उन दोनों का उन दोनों का यूनिट बना के ऐड कर दो आपको एक वेक्टर मिल जाएगा जो इंटरनल एंगल बाईसेक्टर में होगा उसके बाद उसकी लेंथ चेंज करनी है लेंथ के लिए आप लडा लगा लो लेंथ को मैनिपुलेट करते रहो जो लेंथ देनी है उसने वेरी गुड बट यह हुआ इंटरनल एंगल बाइस सेक्टर व्हाट इफ उन्होंने हमें एक्सटर्नल पूछा है तो एक्सटर्नल में दो आते हैं एक दिस माइनस दिस एक इसी का नेगेटिव ठीक है तो इसको आप लडा से मल्टीप्लाई कर सकते हो दोनों केस पकड़ने के लिए या फिर आप समझ लीजिए ऐसे क्योंकि एक इधर से इधर बनेगा एक्सटर्नल और एक एक नीचे बनेगा एक्सटर्नल एक्सटर्नल दो बाते हैं ओके नाउ अगर तो पेपर में मेंशन है इंटरनल एंगल बाय सेक्टर या एक्सटर्नल तो अकॉर्डिंग करो अब 2021 या 22 की बात है हुआ क्या था उन्होंने लिखा एंगल बाईसेक्टर तो हर एक बच्चे ने इससे किया और ऑप्शन ही मैच नहीं की और समझ नहीं आया बच को क्या हुआ उन्होंने एंगल बाईसेक्टर कहा था उन्होंने इंटरनल मेंशन नहीं किया तो जो बच्चा तो समझ गया कि अगर इंटरनल से नहीं आ रहा मैं एक बार एक्सटर्नल से करके देख लेता वो तो प् 4 ले गया बाकी रह गए गॉट इट तो एंगल बाईसेक्टर अगर मेंशन है और इंटरनल एक्सटर्नल नहीं मेंशन आपको दोनों पॉसिबिलिटी दिमाग में रखनी पड़ेंगी ठीक और ये अब लास्ट आ गया कि अगर ट्रायंगल में बात चल रही है इंटरनल एंगल बाईसेक्टर की यह तो खुले केस है ना एक वेक्टर एक वेक्टर बीच ला बाईसेक्टर है ये है ट्रायंगल ट्रायंगल में आप हमेशा रेशो यूज करेंगे और सेक्शन फॉर्मूले से एडी वेक्टर बता देंगे ठीक है ट्रायंगल में हमेशा आप रेशो यूज करेंगे बहुत बढ़िया कोलिनियर ऑफ वेक्टर भैया तीन पॉइंट कोलिनियर होते हैं अगर उनसे बने दो वेक्टर पैरेलल हो जाए दो वेक्टर पैरेलल मतलब व दोनों वेक्टर आपस में प्रोपोर्शनल है फंडामेंटल थ्योरम ऑफ 2d अब आप मुझे सवाल का जवाब दीजिए अगर मैं ऐसे लिखता हूं तो आप यहां पे x1 x2 और y1 y2 को कंपेयर कब कर पाएंगे x1 x2 और y1 y2 को कंपेयर कब कर पाएंगे आपका कब कह पाएंगे कि x1 x2 के बराबर है y1 y2 के बराबर है कब कह पाएंगे हर बार कह पाएंगे या अंडर सम कंडीशन कह पाएंगे ये आपने मुझे बताना है सर सिर्फ एक सिनेरियो में कह पाएंगे ओनली व्हेन a एंड b आर नॉन पैरेलल अगर दो-दो वेक्टर दोनों साइड पे है आप कोफिपोसा तभी कंपेयर कर सकते हैं और तीन में कंपैरिजन तभी किया जा सकता है कंपैरिजन चलो ऐसे लिख देते हैं एक्सव ए वाव बी जव सी और इधर भी एक्स टू ए वा टू बी जटू सी तीन में कंपैरिजन कब कर सकते हैं वेल तीन में आप कंपैरिजन तभी कर पाएंगे अगर व तीन वेक्टर जो है वो नॉन को प्लेनर हो ओनली इ ए बी एंड सी आर नॉन को प्लेनर आप आई ज के में तभी कंपेयर कर पाते हैं क्योंकि आई ज के नॉन को प्लेनर होते हैं इसी करके कफिट कंपेयर कर पाते हो ना कंपेयर नहीं कर सकते ओके अब आप मुझे यह बताइए एक चीज अच्छा आगे व आगे आएगी एक मिनट यार डॉट प्रोडक्ट ऑफ टू वेक्टर हमें पता है डॉट होता है ए कस थीटा या फिर a1 b1 प् a2 a1 b1 प् a2 b2 प् a3 b3 और हमें पता है कि क थीटा को हम ऐसे भी निकालते हैं यह फार्मूला हमें एंगल निकालने के काम भी आता है एड बी और बीड ए बराबर होते हैं हां जी सर क्या मैं डॉट को ब्रैकेट प ओपन कर सकता हूं बताइए क्या मैं डॉट को ब्रैकेट प ओपन कर सकता हूं a b+ c को क्या मैं ओपन करके लिख सकता हूं यस सर लिख सकते हैं एड बी प् एड सी कांस्टेंट को बाहर निकाल सकता हूं ऐसे यह लिखना ठीक होगा क्या बताइए क्या एड ए बी को ए ए टाइम एड बी लिख सकते हैं 100% लिख सकते हैं सर कॉन्फिडेंटली एड ए तो मोड स्क्वा नो दिक्कत मड ए प् बी का स्क्वा भी नो दिक्कत ए स्क प् बी स्क प् 2 एड बी पर मुझे यह बताइए अगर ए प् ए क्रस बी का मोड का स्क्वायर पूछूं तो कितने बच्चे समझ पाते हैं कि इसकी वैल्यू क्या होगी फटाफट सोचिए a + a क्रॉस b मोड का स्क्वायर इसकी वैल्यू क्या बनेगी इसकी वैल्यू में दो ही टर्म्स आएंगी क्या आप सोच पा रहे हैं a स् + a क्रस b मोड का स्क्वायर बस तीसरी टर्म नहीं आएगी क्योंकि 2a बी 0 हो गया इन दोनों का डॉट तो जीरो आएगा तो जब भी यहां वेक्टर ऐसे हो जो परपेंडिकुलर हो इसमें तीसरी टर्म नहीं आती और यह बहुत अच्छा सिचुएशन होता है यह आ गया सबसे इंपॉर्टेंट भाई क्योंकि इसके तो इंडिपेंडेंट सवाल भी देखे जाते हैं पूरे का पूरा सवाल इसी पर आ गया इसके बारे में हमें क्या पता होना चाहिए आई मीन आपको पता है बस यह बता दीजिए सर एड बी प् बीड सी प् सीड ए सर सबसे पहली बात तो किसी भी सवाल में यह देकर कुछ और पूछा है या कुछ और देकर यह पूछा है तो यह आइडेंटिटी यूज होती है नंबर वन सर नंबर टू में यह पता होना चाहिए कि इसकी मिन वैल्यू माइनस 3 बाटू होती है अगर ए बी सी यूनिट वेक्टर है फॉर ए कैप बी कैप सी कैप और यह मिनिमम वैल्यू कब आती है एंड दिस वैल्यू इज अटें - 3/2 कब बनता है जब इनका सम जीरो होता है इफ a कैप प् बी कैप प् सी कैप इज 0 तो अगर ए बी सी यूनिट वेक्टर हो तो इसकी मिन वैल्यू - 3/2 आती हैय तब आती है जब a प् बी प् c 0 होता है बड़ा ही इंपॉर्टेंट रिजल्ट है ये प्रोजेक्शन प्रोजेक्शन ऑफ ए ऑन बी क्या था फार्मूला देखिए अपने जरा टट लिए सर जिसके ऊपर प्रोजेक्शन लेते हैं उसके ऊपर कैप लगानी होती है प्रोजेक्शन ऑफ बी ऑन ए सर जिसके ऊपर प्रोजेक्शन ले रहे हैं उसके ऊपर प्रोजेक्शन लगानी कैप लगाना होता है और सर गलती से अगर उसने प्रोजेक्शन के साथ वेक्टर लिखा है प्रोजेक्शन वेक्टर तो सर इसको ना यह जो कैप है उसी से टाइम कर देते हैं दिस टाइम्स बी कैप तो अगर मुझे बोला जाए प्रोजेक्शन वेक्टर ऑफ ए ऑन बी दिस टाइम्स बी कैप प्रोजेक्शन ऑफ बी ऑन ए दिस टाइम्स a कैप जो कैप है ना उसी से टाइम कर देते मल्टीप्लाई बहुत बढ़िया अब ये आप मुझे बताइए क्या आपको इसका तरीका आता है देखो भैया हम स्पेस में हमारे पास तीन नॉन को पलेन वेक्टर है तो हम गॉड है तुम किसी भी वेक्टर को उनकी टर्म्स में लिख सकते हो पर लिखना आता नहीं है हां लिख सकते हो यह पता है गारंटीड है बट एक सिनेरियो ऐसा होता है जब हमें लिखना भी आता है एंड दैट इज जब वो तीन अवेलेबल वेक्टर आपस में म्यूचुअल परपेंडिकुलर हो जैसे कि आप आ ज के में लिखते हो आई ज के म्यूचुअल परपेंडिकुलर होते हैं और आप इजली लिख पाते हो तरीका क्या होता है इफ p q एंड r आर एनी थ्री म्यूचुअल परपेंडिकुलर वेक्टर्स आप किसी भी a को कैसे लिखते हो a का प्रोजेक्शन ऑन p टाइम्स p कैप a का प्रोजेक्शन ऑन q टाइम्स q कैप a का प्रोजेक्शन ऑन r टाइम्स r कैप दैट्ची का ध्यान रखना होता है सर कर सकते हैं और ऑर्डर का ध्यान रखना होता है उल्टा पुल्टा नहीं लिखना इसको सी क्रॉस ए नहीं लिख सकते ए क्रॉस सी ही रहेगा सर कांस्टेंट की कोई दिक्कत नहीं उसको अंदर बाहर आप जहां मर्जी रख सकते हैं बहुत बढ़िया हां जी लग्र आइडेंटिटी क्या थी लग्र आइडेंटिटी क्या थी सर लग्र आइडेंटिटी कहता है कि ए क्रॉस बी आप खुद लिख के देखिए देख के तो अच्छी लगेगी खुद लिख के देखिए और a b के मोड का स्क्वायर a स् b स् होता है अब आइए इस मुद्दे पे क्योंकि यही मैक्सिमम टाइम आजकल पूछा जाता है आपके जेई मेन में ऐसी कुछ इंफॉर्मेशन दे देते हैं म इस तरह की इस तरह से मेरा मतलब क्या है एक वेक्टर यहां होगा एक यहां होगा और यहां पे क्रॉस होगा और इस क्रॉस में एक टर्म यही वाली होगी एक टर्म यही वाली इसको किस-किस तरह से यूज करते हैं हमें यह पता होना चाहिए वेरी गुड सर इसमें से आप दो-तीन इंफॉर्मेशन डिराइवर कर सकते हो सर सबसे पहली होती है दोनों साइड मोड ले लो तो a स् इ b स् + b क c स् सर ये पहला यहां से आप निकाल सकते हो सर दूसरा इस पूरे को b से डॉट कर दो a b = b स् क्योंकि b से डॉट करने पे ये तो रो बनेगा सर इस पूरे को c से डॉट कर दो c से वेरी गुड a.c. स दैट्ची जाता है वेक्टर्स में वेक्टर में भैया क्रॉस प्रोडक्ट से एरिया मिलता है और अगर आप a क्रॉस b की बात करो अकेला a क्रॉस b इसको कई बारी वेक्टर एरिया भी लिख देते हैं तो कभी वहां पे नोटेशन आ जाए फाइंड द वेक्टर एरिया तो भैया वहां पर ना ए क्रॉस बी का मोड मत निकाल देना वेक्टर एरिया बोला गया एरिया नहीं बोला गया वेक्टर एरिया मतलब ए क्रस बी अकेला एरिया मतलब मोड ऑफ ए क्रस बी तो बेसिकली क्रॉस प्रोडक्ट को वेक्टर एरिया भी बोल देते हैं बट यह तो पैरेललोग्राम था अगर पैरेललोग्राम नहीं है कुछ टेढ़ा मेढा सा क्वाड्रीलेटरल है इसमें क्या करेंगे मुझे इसका एरिया चाहिए एरिया ऑफ क्वाड्रीलेटरल कैसे निकाला जाता था अगेन एक और सोचिए सर अरे निशि बेटा आसान है ऐसे मत करो यार सम आपको पता है पैरेललोग्राम में डायगोनल क्या रिप्रेजेंट करता है यू नो दैट उसी को यूज करिए सम ऑफ साइड्स होता है ना वो तो सम ऑफ एडजेसेंट साइड्स वेरी गुड सर इसमें डायगोनल वेक्टर्स को यूज किया जाता है हाफ ऑफ d1 क्रॉस d2 ट्स इट बहुत बढ़िया हाफ ऑफव कस d21 कस नहीं बोलना हाफ ऑफव कस देन कम्स डी जमेट्री कितने बच्चे ऐसे जिन्होंने पूरे वेक्टर के सेशन में वेक्टर में लेंथ मैनिपुलेशन को मिस किया यस सर आपने व बात तो बताई नहीं वेक्टर की लेंथ को मैनिपुलेट सर उसके बिना आपने वेक्टर खत्म कैसे कर दिया वेक्टर की तो शुरुआत ही वहां से होनी चाहिए थी वेरी गुड भैया सबसे इंपॉर्टेंट फैक्टर होता है लेंथ मैनिपुलेशन ऑफ वेक्टर अगर एक वेक्टर है जिसकी लेंथ आपको पता थी मान लो लेंथ थी इसकी कुछ 10 यूनिट आपको ना वेक्टर की डायरेक्शन नहीं चेंज करनी बट मैग्नी को चेंज करना है जैसे ए और बी के परपेंडिकुलर वेक्टर बताओ जिसकी लेंथ 100 हो अब मैं ए क्रॉस बी से ए और बी के परपेंडिकुलर तो चला गया अब उसकी लेंथ को 100 कैसे बनाऊ तो लेंथ मैनिपुलेशन ऐसे की जाती है पहले यूनिट बना दीजिए फिर जितनी लेंथ चाहिए उसे मल्टीप्लाई कर दीजिए डिजायर्ड लेंथ जैसे कि अगर मैं आपसे पूछता यहां पर वेक्टर परपेंडिकुलर टू ए एंड बी एंड हैविंग लेंथ यूनिट्स कैसे लिखते बोलो हैविंग लेंथ 10 बोलो नहीं अपने आप को चेक कर लो a और b के परपेंडिकुलर वेक्टर जिसकी लेंथ 10 यूनिट्स हो कैसे लिखेंगे सर लेंथ इज लास्ट कंसर्न लेंथ तो बना दूंगा कोई एक वेक्टर ढूंढना है जो a और b के परपेंडिकुलर हो सर ढूंढना क्या वो तो मुझे पता ही है ऐसा एक वेक्टर मुझे ये पता है ये एक वेक्टर है जो a और b के परपेंडिकुलर होता है अब इसकी लेंथ वन बनानी है ना सर बड़ा आसान है लेंथ को मैनिपुलेट कर दो सर पहले इसको यूनिट बना दो इसकी मोड से डिवाइड करके और फिर जितनी लेंथ चाहिए उस से मल्टीप्लाई कर दो और क्योंकि यहां पे ए और बी के परपेंडिकुलर दो होते हैं एक ऊपर की ओर एक नीचे की और ये ए और बी है ये ऊपर की र परपेंडिकुलर ये नीचे की ओर तो बाहर प्लस माइनस यस एटली तो इसे कहते हैं लेंथ मैनिपुलेशन नाउ कम् 3डी ज्योमेट्री 3डी जमेट्री बोले तो डायरेक्शन को साइन डायरेक्शन रेशो सबसे पहली बात 3d में लाइन की डायरेक्शन डायरेक्शन को साइन या डायरेक्शन रेशो से दी जाती है दोनों ही वेक्टर होते हैं अगर यूनिट से लो तो डायरेक्शन को साइन कह देते हैं कोई भी वेक्टर है चाहे यूनिट चाहे नॉन यूनिट तो डायरेक्शन रेशो कह देते हैं तो डायरेक्शन रेश डायरेक्शन को साइन के मल्टीपल होते हैं और कुछ नहीं डायरेक्शन को साइन का एक मीनिंग होता है एक समझने का तरीका होता है मीनिंग तो आपने पढ़ा हुआ कॉस अल्फा कॉस बीटा कॉस गामा समझने का तरीका क्या है कि अगर ला है जिसके पैरेलल तुमको एक यूनिट वेक्टर पता है इस यूनिट वेक्टर में आई ज के के साथ जो बैठे होते हैं वही मेरे डायरेक्शन को साइन होते हैं काम खत्म आई ज के के साथ जो बैठे होते हैं वही मेरे डायरेक्शन को साइन होते हैं और इसीलिए ए स्क प् ए स् प् ए स्व मैग्नी वन है ना यार तो ए स् प् ए स् प् ए स्व होता है खत्म बात और अगर आप यूनिट के अलावा यूनिट या कोई और ले लो तो ए बी सी डायरेक्शन रेशो है मतलब यूनिट का कंपल्शन नहीं जैसा मर्जी वेक्टर ले लो पैरेलल अब ए बी सी मेरे डायरेक्शन रेशो है चलो मुद्दा शुरू होता है स्ट्रेट लाइन से सबसे पहली बात यहां पर आता है गिवन पॉइंट यहां पर डायरेक्शन कोई डाउट नहीं हमें यह याद है सबसे पहला जो इंपॉर्टेंट पॉइंट है वह है यह वाला जनरल पॉइंट ऑन दिस लाइन इ अजूम एस लाइन प हमें कभी पॉइंट अजूम करना पड़ जाए तो कैसे अजूम करते थे हाउ डू वी अजूम पॉइंट ऑन द लाइन सर x1 प् लडा ए पॉइंट ब याद करने का तरीका क्या था गिवन पॉइंट प्लस लडा टाइम डायरेक्शन गिवन पॉइंट प्लस लडा टाइम डायरेक्शन गिवन पॉइंट प्लस लडा टाइम डायरेक्शन गिवन पॉइंट प्लस लडा टाइम डायरेक्शन तो इस तरह से पॉइंट को एज्यूम किया जाता था बहुत बढ़िया अब मुझे यह बताइए तो पॉइंट अजूम करेंगे कब व्हेन डू वी एज्यूम अ पॉइंट ऑन अ लाइन सवाल में ऐसा क्या होगा क्या लिखा होगा कि हमें लाइन प पॉइंट एज्यूम की जरूरत पड़ जाएगी सोचो ऐसा क्या होगा यही चीज आप सोचेंगे ना तो आपका कांसेप्ट 360 डिग्री स्ट्रंग होगा तो पेपर में कोई डाउट ही नहीं आएगा हाथ रुकेगा नहीं आपको पता होगा यही करना है सर जब भी हमें लाइन के ऊपर एक ऐसा पॉइंट चाहिए जिसमें कोई खूबी हो यस और नो अ पॉइंट ऑन लाइन अ पॉइंट ऑन लाइन च है सम क्वालिटी वो पॉइंट चाहिए अब वो क्वालिटी कुछ भी हो सकती है आगे डिस्कस करेंगे एक पॉइंट है लाइन केप जिसके पीछ क्वालिटी होनी चाहिए तो बस उस पॉइंट को अजूम कर लेते हैं क्वालिटी लगाकर पॉइंट मिल जाता है वेरी गुड नजारे दार पॉइंट के लिए हमें पॉइंट अजूम करना पड़ता है आओ यह मेन मेन कंडीशन देख लेते हैं हाउ ड व फाइंड फुट ऑफ परपेंडिकुलर फम पॉइंट न लाइन सोचिए क्या आप पूरा प्रोसीजर दिमाग में बना पा रहे हैं सर फुट ऑफ परपेंडिकुलर ढूंढने के लिए क्या प्रोसीजर लगाया जाता है यह पता है यह पूछा गया है लाइन पता है सर पहले खुद सोचना है ठीक है और फिर मेरे से मैच करना है सर सबसे पहले q जो है इस लाइन के ऊपर पॉइंट है इसे अजूम करेंगे क्यों मुझ इस लाइन का वो पॉइंट चाहिए जो फुट ऑफ परपेंडिकुलर है क्वालिटी है उसमें अजूम कर लिया सर अब सर क्वालिटी क्या है कि प क इस लाइन के परपेंडिकुलर है तो प क की डॉट लाइन की डायरेक्शन के साथ जीरो कर देंगे तो लडा मिला लडा मिला सवाल खत्म हो गया अच्छा हाउ ड व फाइंड लाइन थ्रू गिवन पॉइंट एंड परपेंडिकुलर टू गिवन लाइन कहता प आपको पता है एक लाइन आपको पता है यह लाइन आपको ढूंढनी है कैसे ढूंढ हाउ विल वी फाइंड दिस लाइन अ लाइन पासिंग थ्रू अ पॉइंट परपेंडिकुलर टू गिवन लाइन सर हम एक लाइन के परपेंडिकुलर डायरेक्शन तो नहीं ढूंढ सकते क्योंकि एक लाइन के परपेंडिकुलर बहुत सारी डायरेक्शन होती है सर फुट ऑफ परपेंडिकुलर से कर लो फुट ऑफ परपेंडिकुलर सेही कर लो सर प का फुट ऑफ परपेंडिकुलर निकाल लो तो प और q मिल गए तो पूरी लाइन की इक्वेशन मिल गई यस और नो राइट यूजिंग फुट ऑफ परपेंडिकुलर अच्छा अब जरा तीसरे का जवाब दो तीसरा अच्छा सवाल है तीसरे का जवाब दो आई मीन अपने आप सोचो फिर मैं दूंगा फ मैच करेंगे हाउ ड व फाइंड लाइन हैविंग गिवन डायरेक्शन एंड कटिंग टू गिवन लाइनस यह लाइन गिवन है यह लाइन गिवन है एक पॉइंट गिवन नहीं पॉइंट नहीं गिवन सॉरी एक तीसरी लाइन है जिसकी डायरेक्शन गिवन है यह गिवन है इसकी इक्वेशन पूछी गई है यह कैसे निकालेंगे सोचिए अ लाइन हैविंग गिवन डायरेक्शन एंड कटिंग ए1 एंड l2 बोथ ये लाइन कैसे निकाली जाती है अगर आप सोच पा रहे हो मतलब 3d अच्छे से रिवाइज है नहीं सोच पा रहे तो ये वाले सवाल आपको दोबारा करने पड़ेंगे एक बार इंपॉर्टेंट सवाल है सारे के सारे ऐसा चाहते हैं और जो मैंने क्लास 12थ की रिवीजन ली थी उसमें ये सब कुछ कराया था थ्योरी के साथ एग्जांपल के साथ तो आपको पता है कि जहां पे वो मिसिंग है वो पार्ट आपको कवर कर लेना है आज देखो अकलमंद बच्चा वही है जो आप यहां पे अपनी कमियों को निकाल के बाद में पूरा कर देगा बाकी तो फिर मजे ले रहे हैं हां ब चल रहा है मूवी चल रही है बहुत बढ़िया सर सबसे पहले हम इन दो पॉइंट को अज्यू कर लेंगे सर प एव के ऊपर है लडा की टर्म्स में अजूम कर लेते हैं q ए2 के ऊपर है म की टर्म्स में अजूम कर लेते हैं सर सर दो अननोन आ गए लडा म सर अब जो प क की डायरेक्शन है ना सर उसको इसके पैरेलल कर दो इसके पैरेलल दो वेक्टर जब पैरेलल किए जाएंगे भाई मेरे पास बहुत सारी इक्वेशंस आने वाली हैं यस और नो दो वेक्टर पैरेलल मतलब उनके आई के कफिट उनके जे के कफिट के के के को एफिशिएंट का रेशो आपस में बराबर है गॉड ब्लेस यू कार्तिक खुश रहो सेम टू यू शेरा अब तुमने हैंडसम कह दिया हमको तो फिर सेम टू यू तो हम कह ही देंगे ना यार राइट तो यहां से फिर आपके लैडा म आ जाएंगे और देख पा रहे हो फोर्थ भी इसी का भाई बहन है हाउ डू वी फाइंड अ लाइन थ्रू अ पॉइंट एंड कटिंग टू गिवन लाइंस अब उसने क्या किया उसने डायरेक्शन नहीं दी उसने पॉइंट दे दिया a कह देते यह दे दिया अब आप क्या करेंगे अच्छा सर पासिंग थ्रू ए एंड कटिंग दीज टू लाइंस अब सोचते हैं सर सर ए से पास करता है और प और q प कट करता है सर पहले तो प को लडा में मान लो और म को q को म में मान लो सर अगर य कट कर रहा है तो ए और a क आपस में पैरेलल होंगे तो सर ए और a क को प्रोपोर्शनल करके फिर से तीन इक्वेशंस बन जाएंगी लडा म आ जाएगा बोलो आए नजारे शाबाश तो ये चार वैरायटी हैं जो बच्चा जैसे हमने बोल बोल के किया वो कर पा रहा है मतलब 3d में आप अटकने वाले नहीं हो अगर आप इसको ऐसे ओरली नहीं समझ पा रहे जैसे एक बच्चा है जो समझ नहीं पा रहा है तो भैया ये आपको मार्क करना है और आज की आज जो मैंने अभी तीन चार दिन पहले 12थ का रिवीजन कराया था उसमें 3डी जमेट्री का भी रिवीजन है पूरा 12थ का रिवीजन करवाया था उसमें जाके यह पार्ट निपटा देना है ठीक है वेरी गुड नाउ इफ वी नो फुट ऑफ परपेंडिकुलर वहीं से हम इमेज भी निकाल सकते हैं सेक्शन फर्मूला लगाकर एंड यूजिंग फुट ऑफ परपेंडिकुलर हम डिस्टेंस भी निकाल सकते हैं बिल्कुल अब आता है डिस्टेंस बिटवीन टू लाइन इसका फार्मूला मेरे हिसाब से अब तक तो तुम्हारे तनमन में बस चुका होगा इस बार फर्स्ट अटेंप्ट में इतना नहीं आया बट लास्ट यर तो भर भर के आया था अगर स्क्यू लाइंस है डिस्टेंस फर्मूला खुद से लिखो और देखो अटक तो नहीं रहे डाउट तो नहीं हो रहा डाउट हो तो मार्क कर लो इसको दोबारा देखना है एक बार दोबारा लगा के देखना है ओके तो फार्मूला वाज जो गिवन पॉइंट्स है लाइन के ऊपर उनका डिफरेंस डॉट विद जो लाइंस की डायरेक्शन है उनका क्रॉस तो बेसिकली न्यूमरेशन में आपका ट्रिपल प्रोडक्ट आ रहा है डिनॉमिनेटर में लाइंस की डायरेक्शन के क्रॉस का मैग्निटिया जाता है सॉरी a2 - a1 एज सच रहता है b1 क्रॉस b2 की जगह पर सिंपल बी आ जाता है अब डायरेक्शन ही एक है तो डॉट विद बी डिवाइड बाय बी का मैग्निटिया है सर पटाक है सर ठीक है बिल्कुल ठीक है बिल्कुल ठीक क्रॉस था अरे नहीं यार क्रॉस नहीं डॉट था यार ऐसे ना बोलो यार क्रॉस था क्रॉस था हैं जी पक्का चलो कह रहे हो तो मान लेता हूं यार अब तुम इतना कह रहे हो अपने आप को हम यहां से एक बरी ना पेपर में कभी बहुत कंफ्यूजन हो ही जाए तो एक बार कंफर्म भी कर लेंगे सर सर a2 माइ a1 सर ये वाला वेक्टर है सर सर न्यूमरेशन बन रहा है मड a2 माइ ए1 मड बी कस थ नीचे बैठा मड बी सर मड बी कट जाएगा तो सर a2 माइ ए1 यानी कि यह वाला वेक्टर कस थीटा तो सर यह तो मेरे पास बेस आ जाएगा सर सर मुझे तो हाइट चाहिए थी सर सर हाइट आएगी अगर यहां पर क्रॉस होगा यानी कि a2 माइ ए1 मोड इन साइन थीटा होगा चमक गया तो हम क्रॉस लेना चाहिए था सर बहुत बढ़िया देन कम्स प्रोबेबिलिटी भैया कंडीशनल प्रोब इंडिपेंडेंट सबसे पहले ए गिवन बी जब भी निकालना होता है नो डाउट मैक्सिमम बच्चे यहां से ऐसे निकालते हैं प्रोबेबिलिटी के टर्म्स में पर काफी बड़ी प्रोबेबिलिटी की टर्म में नहीं गिवन होता तो फेवरेबल या टोटल से निकाला जाता है एलिमेंट से और n लगाना है n ऑफ ए इंटरसेक्शन ब अप n ऑफ ब भैया कंडीशनल प्रोबेबिलिटी है क्या a गिवन बी ए गिवन बी मतलब बस यही मेरा सैंपल स्पेस है इसी में बताओ a की प्रोबेबिलिटी क्या है तो अगर यही मेरा सैंपल स्पेस है तो टोटल एलिमेंट b प् c बन गया मेरा सैंपल स्पेस b प् सी का है और मेरे सैंपल स्पेस में ए के फेवरेबल कितने हैं सर ए के फेवरेबल तो c ही है सर तो c अप बी प् सी यह वन डायग्राम से करना जरूरी है क्योंकि वन डायग्राम से अगर वो गंदे गंदे सवाल पूछ ले a यूनियन बी कॉम्प्लीयंट मस पूछ ले तो वहां प फर्मूला लगाना मुश्किल होता है और वन डायग्राम से बहुत आसानी से दिख जाता है तो हमेशा वन डायग्राम से करना है इसको ठीक है जब भी आप इली नहीं बना पा रहे हो ओके मल्टीप्लिकेशन थ्योरम क्या था और यह कब लगाया जाता था फटाफट सोचिए मल्टीप्लिकेशन थ्योरम क्या था और य कब लगाया जाता था सर मल्टीप्लिकेशन थ्योरम था कि दो चीजों के होने की प्रोबेबिलिटी इज इक्वल टू की पहली हो जाए इनटू दूसरी हो गिवन पहली हो चुकी है नाउ मल्टीप्लिकेशन थ्योरम कब लगाया जाता है जब ऑर्डर मैटर करता है पहला और दूसरे का बात हो रही है पहली चीज दूसरी चीज तब ये लगाया जाता है इज कॉल्ड मल्टीप्लिकेशन थ्योरम पहला ये हो जाए फिर ये जैसे कि अ कुछ आई पड़े हैं कुछ टी पड़े हैं मैंने अ तीन लेटर निकाले अब एक सिनेरियो है यार दो आ और एक t आ जाए दूसरा सिनेरियो है पहला आ आए दूसरा आ आए तीसरा टी आए यहां पे ऑर्डर है तो ऑर्डर में ये लगाया जाता है तो जब भी आपको कुछ चीजों को ऑर्डर में करवाना होता है तो मल्टीप्लिकेशन थ्योरम लगाते हैं ऑर्डर ना लगाना हो जैसे मर्जी बस आ जाए तो एनसीआर लगाते हैं टेंशन नहीं लेते दो हो तीन हो जितने मर्जी हो पहला हो जाए फिर दूसरा हो जाए गिवन पहला हो चुका है फिर तीसरा हो जाए गिवन पहले दो हो चुके हैं ओके अब यह मुझे बताइए ड्राइंग आर कार्ड्स वन बाय वन विदाउट रिप्लेसमेंट एंड ड्रॉइंग आर कार्ड्स रैंडम रैंडम होता है ऐसे मुट्ठी भर के निकाल लेना आर इक्विवेलेंट इफ बेसिकली मेरे पास पा आ है मेरे पास पांच आ है डिस्टिंक्ट i1 आ2 सोटू i5 और पांच मेरे पास t है ओके जी पाटी पड़े हैं मैं एक एक करके लेटर निकाल रहा हूं पहला लेटर निकाला अंदर नहीं डाला मुड़ के फिर दूसरा निकाला फिर तीसरा निकाला ऐसे या फिर मैंने इकट्ठे तीन निकाल लिए इन दोनों में फर्क आता है नहीं आता है नहीं आता तो कब आता है आता है तो कब आता है सवाल समझ गए सारे के सारे यही चीज तंग करती है पेपर में वन बाय वन विदाउट रिप्लेसमेंट है या रैंडम रैंडम मुट्ठी भर के निकाल लिए तीन पत्ते सो आर इक्विवेलेंट इफ ऑर्डर डजन मैटर अगर आपको बोला गया है भैया तीन पत्ते निकालिए उसमें दोवा और एकटी होने चाहिए ध्यान सुनना तीन पत्ते निकालिए उसमें दोवा और t होना चाहिए एक अब इस स्टेटमेंट को चाहे तो ऐसे बोल दे वन बाय वन विदाउट रिप्लेसमेंट थ्री लेटर्स आर टेकन आउट व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट 2 आ एंड टी इज सिलेक्टेड या ऐसे बोल दे रैंडम थ्री लेटर्स आर सिलेक्टेड व्ट इज द प्रोबेबिलिटी 2y एंड टी इज देयर ये दोनों सेम होते हैं इन दोनों में आंसर में फर्क नहीं आता सिचुएशन अलग-अलग है ओबवियसली एकएक करके निकालना इकट्ठे निकालना अलग-अलग है बट आंसर में फर्क नहीं आता इसमें सो तो कभी ऐसे लिखा हो ना वन बाय वन विदाउट रिप्लेसमेंट लर्निंग क्या अब वन बाय वन विदाउट रिप्लेसमेंट लिखा है ना तो सिंपल जैसे मुट्ठी नहीं भरते एनसीआर लगाओ 5 स2 * 5 स1 अप 10 स3 सिंपल एनसीआर लगा के आंसर निकाल दीजिए नाउ ए इंडिपेंडेंट इवेंट इंडिपेंडेंट कब होते हैं ये तो पता है इंटरसेक्शन प्रोडक्ट में टूट जाता है यह मैं आप पे डाउट नहीं कर सकता हां यह आप मुझे बताइए अगर ए और बी इंडिपेंडेंट है तो आप उनके कॉम्प्लीयंट के बारे में क्या कह सकते हो बताइए अगर ए और बी इंडिपेंडेंट है तो उनके कॉम्प्लीयंट सिंपल और दूसरे का कम्प्लीनोस सोचिए और आंसर इज विल बी इंडिपेंडेंट अगर ए ब इंडिपेंडेंट है तो उनके कॉम्प्लीयंट होंगे एक दूसरे के कॉम्प्लीयंट पेंडेंट होगा ये भी इंडिपेंडेंट होंगे ये भी इंडिपेंडेंट होंगे व्हेन वी डू अप्लाई टोटल प्रोबेबिलिटी लॉ एंड बेस थ्योरम हां भाई टोटल प्रोबेबिलिटी लॉ और बेस थोरम कब यूज करते थे सोचो फटाफट यही क्लेरिटी लेके आओ दिमाग में फाइलिंग बनाओ ओके पॉस करो सोचो टोटल प्रोबेबिलिटी लॉ बेस थ्योरम कब लगाए जाते थे तो टोटल प्रोबेबिलिटी लॉ भैया एक आउटकम है उसे a कह देता हूं वो तीन रास्तों से हो सकती थी मैं रास्तों को e1 e2 और e3 कह देता हूं सिंपल एग्जांपल कैन बी कुछ खट्टी मीठी गोलियां कुछ खट्टी मीठी गोलियां कुछ खट्टी मीठी गोलियां ऐसे ब ऐसे निकाली मीठी गोली आ गई खट्टी गोली आ गई दिस इज आउट कम ठीक है जी तो एक आउटकम थी जो तीन जगह से हो सकती थी तो टोटल प्रोबेबिलिटी लॉ टोटल प्रोबेबिलिटी लॉ कब लगता है जब आपको ऐसे आउटकम की प्रोबेबिलिटी पूछी जाए जब भी आपका आउटकम दो-तीन जगह से हो सकता है और आपको उस आउटकम की प्रोबेबिलिटी पूछी जा रही है तो हम लोग कहते हैं टोटल प्रोबेबिलिटी लॉ टोटल क्यों क्योंकि यहां से यहां से यहां से हर तरफ से हो सकता था तो सबको टोटल करना पड़ेगा ठीक है तो फार्मूला क्या होता था आपके आउटकम की प्रोबेबिलिटी होती है भैया या तो यह वाला रास्ता सेलेक्ट किया जाएगा और वहां से आपकी आउटकम हो जाएगी ए गिवन ववन या फिर दूसरा वाला रास्ता सेलेक्ट किया गया होगा और वहां से आपकी आउटकम हुई होगी और या फिर तीसरे वाला रास्ता सेलेक्ट किया होगा और वहां से आपकी आउटकम हुई होगी टोटल प्रोबेबिलिटी लॉ p ऑफ e1 p ऑफ e2 p ऑफ e3 बहुत इंपॉर्टेंट है बच्चे अक्सर इसको भूल जाते हैं सीधे दिस प्लस दिस प्लस दिस कर देते हैं ना पहले e1 की प्रोबेबिलिटी मल्टीप्ला बाय यहां से a आया फिर e2 की प्रोबेबिलिटी मल्टीप्ला यहां से a आया एंड सो ऑन ग इट दिस इज कॉल्ड टोटल प्रोबेबिलिटी लॉ अब आता है बेस थ्योरम बेस थ्योरम कब लगता है बेस थ्योरम पूरे प्रोबेबिलिटी का इकलौता टॉपिक है जहां पर कभी भी आपको आउटकम की प्रोबेबिलिटी नहीं पूछी जाती पूरे प्रोबेबिलिटी में हमेशा आउटकम की ही प्रोबेबिलिटी पूछी जाती है यह किया गया यह किया गया अब प्रोबेबिलिटी बताओ कि यह हो जाएगा व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी ऑफ दिस आउटकम हमेशा ऐसे होता है बेस थ्योरम उल्टा होता है बेस थ्योरम आपको आउटकम दे देता है आउटकम गिवन वो आउटकम तो बता ही देता है प्रोबेबिलिटी नहीं पूछता बता देता है ठीक हां और पूछेगा क्या प्रोबेबिलिटी दैट इट हैपन फ्रॉम सम पर्टिकुलर पाथ भैया इधर से हुआ है यह बताओ तो आपको बेस थ्योरम में आउटकम गिवन होती है यह निशानी होती है और पूछा जाता है कि ये यहां से होगा यहां से हुआ यह बताओ तो इसका फार्मूला देखने में कैसा होता है प्रोबेबिलिटी ऑफ e गिवन a a गिवन होता है और e1 की प्रोबेबिलिटी पूछी जाती है मोटा-मोटा जो आउटकम होता है उसको a बोल देते हैं और जिस रास्ते की प्रोबेबिलिटी पूछी है उसको e1 कह देते हैं बस फार्मूला क्या था इसको उल्टा कर देते थे पहले a गिवन e1 इंटू प्रोबेबिलिटी ऑफ e1 और नीचे इसके यह तो रखना ही है साथ में जितने इसके से और टर्म्स है तीनों लिख देने हैं यस नाउ बेस थ्योरम का फॉर्मूला मैंने बता ही दिया आपको अब आता है रैंडम वेरिएबल एंड प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन दिस इज द सिंपलेस्ट टॉपिक ऑफ ऑल इसी को कहते हैं प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन x की पॉसिबल वैल्यू और उनकी प्रोबेबिलिटीज डिस्ट्रीब्यूशन में दो ही चीजें बनती हैं एक मीन या एक्सपेक्टेशन या एक्सपेक्टेड वैल्यू तीनों का सेम मीनिंग होता है या फिर वेरियंस ऑफ x ठीक है एक्सपेक्टेशन ऑफ x वेरियंस ऑफ x एक्सपेक्टेशन में मेरे को डाउट नहीं तुम पे तो एक्सपेक्टेशन मैं लिख देता हूं सिगमा एक्स आ प वेरियंस का फार्मूला याद करो क्या तुम्हें वेरियंस का फर्मूला अच्छे से पता है बोलो शाबाश वेरियंस फर्मूला सारा क्लियर है वेरियंस फार्मूला यस सर सर वेरियंस होता है एक्सपेक्टेशन ऑफ x स् माइनस एक्सपेक्टेशन ऑफ x का होल स्क्वायर मैं ऐसे याद रखता हूं ओके तो पहले x स्क्वा का एक्सपेक्टेशन x आ स्क इन प माइनस एक्सपेक्टेशन पूरे का स्क्वायर सिगमा एक्स आ प होल स्क्वायर लो भैया दैट इज वेरियंस एंड एक्सपेक्टेशन सो विद दैट आज का सेशन होता है खत्म फिनिश्ड आई होप अगर आपने सेशन को नियत से अच्छे से देखा पूरा फॉलो किया तो आपको इंटेंट समझ आ गया होगा जितनी भी थ्योरी कांसेप्ट और अप्रोचेबल से दे के राइट पूछना कभी राइट से देके लेफ्ट पूछना कभी उसको ओरली सोचने की क्षमता रखना वह सारी चीजें आपसे करवाई गई हैं हर एक स्लाइड पर आपको सोचना पड़ा वहीं से आपको पता लगा कि क्या मुझे आता है और क्या नहीं आता है और जो नहीं आता है उसको आप या तो जो मैंने पहले कंप्लीट क्लास 11 कंप्लीट क्लास 12 के रिवीजन ऑलरेडी करा दिए आपको मिल ही जाएंगे youtube4 से कर लेना है ठीक है बट यस यू विल बी एगजैक्टली नोइंग कि एगजैक्टली मैं कहां बैठा हूं ठीक है सो दैट इज ग्रेट विश्रुत सो जस्ट की वर्किंग हार्ड मजे करते रहो बहुत ज्यादा तैयारी करो एक और बेस्ट दे दो अपना और जितने भी डाउट ले सक डाउट लो इस समय तो क्योंकि जितने आप सॉल्विंग करोगे ना मिक्स किसी के भी डाउट किसी भी टॉपिक के आ रहे आप ले रहे हो डाउट दैट इज गोइंग टू इंप्रूव यू टू द बेस्ट ठीक है तो डाउट लो सबके और जितना हेल्प कर स हेल्प करो क्या बात है गॉड ब्लेस यू यस इसके पीडीएफ में दोनों डाल दूंगा एक विद एनोट एक विदाउट एनोट ताकि आप सोचना चाहो तो विदाउट एनोट वाला पकड़ लो और विद ए नटेशन के हेल्प के लिए चाहिए तो वो ले लो आप ठीक है दोनों मैं डाल दूंगा अभी बा बाय टेक केयर और सारे के सारे बच्चे अभी जो चैट में लिंक पिंड है उसको क्लिक करके सारे के सारे फटाफट उसको नोटिफाई मी और लाइक दबा दो जभी जो चैट में लिंक पिंड है वो बहुत इंपॉर्टेंट है बहुत एफर्ट लगाया बहुत अच्छी-अच्छी चीजें हो रही है अभी जिसके चलते रहते हैं मतलब यू विल बी अप्रिशिएटिड दैट आई एम हियर टुडे इन फ्रंट ऑफ यू ऑन दिस चैनल यू विल बी एप्रिशिया है है तो वो और भी ज्यादा अप्रिशिएट कर पाएंगे ठीक है चलो दैट्ची गॉड ब्लेस यू खुश रहो