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Lecture Notes on Relations and Functions

हेलो एवरीवन क्या हाल चाल कैसे हैं आप सब लोग हां जी तो सबसे पहले चैट में बताइए एम आई क्लीयरली ऑडिबल एंड विजिबल टू ऑल ऑफ यू क्या मैं अच्छे से सुनाई और दिखाई दे रहा हूं आप सबको वेलकम वेलकम वेलकम टू दिस सेशन हम तो जल्दी से बताइए एम आई क्लीयरली ऑडिबल एंड विजिबल टू ऑल ऑफ यू यस ओके स्वागत है आप सबका आज के सेशन में वेलकम वेलकम वेलकम टू ऑल ऑफ यू हम ओके तो यार आज के सेशन के अंदर हम लोग रिलेशंस एंड फंक्शन स्टार्ट करने वाले हैं एकदम बेसिक से एकदम बेसिक से लेकर बिल्कुल हाई लेवल एडवांस लेवल तक अपन रिलेशंस एंड फंक्शंस की बातें कर रहे होंगे आज के सेशन में ठीक है हां हां ऑल गुड ऑल गुड सब बढ़िया सब मजा मछे कैसे हैं आप आप सब लोग कैसी चल रही है आप सबकी पढ़ाई हां जी लेट होपी ओके तो ज्यादातर लोग यहां पर हमारे साथ जुड़ चुके हैं तुम पहले ही जुड़ जाते हो राइट 5 मिनट 10 मिनट पहले ही लोग तो जुड़ ही जाते हैं वेरी गुड बहुत अच्छी है आपकी डेडिकेशन देख के बहुत अच्छा लगा बस यही डेडिकेशन एंड तक दिखाना यार ऐसा नहीं 10 मिनट पहले आ गए पर चार घंटे पहले छोड़ के चले गए यह फिर मजा नहीं आएगा उसमें है ना कि क्लास शुरुआत से तो तुम 10 मिनट पहले आ चुके हो और खत्म होने से दो घंटे पहले ही तुम निकल लिए तो एंड तक पढ़ना एकदम बेसिक से स्टार्ट करेंगे रिलेशंस एंड फंक्शंस ठीक है हम ओके तो ड्यूरेशन ड्यूरेशन देखी जाएगी यार जितनी ड्यूरेशन लगती है बता देता हूं मैं क्या-क्या कवर करेंगे ठीक है कवर क्याक करने वाले हैं इन सबके बारे में मैं आपको आईडिया दे देता हूं कि क्याक अपन लोग कवर करेंगे सबसे पहले तो रिलेशंस क्या होती है और टाइप्स ऑफ रिलेशंस के ऊपर जो सवाल आता है बहुत इंटरेस्टिंग क्वेश्चंस होते हैं टाइप्स ऑफ रिलेशंस के ऊपर तो वो टाइप्स ऑफ रिलेशंस के अपन लोग सवाल क कवर करेंगे उसके बाद में फिर अपन फंक्शंस की शुरुआत करेंगे फिर टाइप्स ऑफ फंक्शंस की तरफ चलेंगे बहुत सारे ढेर सारे पी वाई क्यू हम आज के सेशन में करने वाले हैं तो यह सेशन देखो यार रिलेशंस फंक्शंस बहुत इजी टॉपिक है तो एक बार अगर तुम इन क्वेश्चंस को कर लोगे अच्छे से इस टॉपिक के ऊपर कमांड बना लोगे तो रिलेशंस एंड फंक्शंस आपको बहुत आसान लगेगा आज प बा क करके अलग ही का कॉन्फिडेंस आपका डेवलप हो रहा होगा कि मजा आ गया है ना कॉन्फिडेंस आ गया कि रिलेशंस एंड फंक्शंस के क्वेश्चंस आएंगे तो वो क्वेश्चंस कर लेंगे तो यह चैप्टर वन ऑफ दोस चैप्टर है जो कि आपको कॉन्फिडेंस प्रदान करता है है ना कॉन्फिडेंस देने वाला चैप्टर है यह ठीक है वेटेज अच्छी खासी है पूरे कैलकुलस के अंदर काम आ जाता है रिलेशन फंक्शंस जो अपन ग्राफ सीख रहे होंगे आज के सेशन में कि ग्राफ कैसे बना रहे होते हैं है ना वो जो ग्राफिकल ट्रांसफॉर्मेशन है वो पूरा पूरा आगे जाक कैलकुलस के अंदर काम आ रहा होता है ठीक है सो वेरी इंपोर्टेंट चैप्टर गाइस वेरी इंपोर्टेंट चैप्टर ओके शुरुआत करी जाए रेडी हैं आप सब लोग एप्रोक्सीमेट एप्रोक्सीमेट ड्यूरेशन मेरे ख्याल से 1112 बजे तक चलेगा शायद रात को है ना तो 11:00 बजे तक शायद चलने वाला है है ना ये एप्रोक्सीमेट बता रहा हूं अब 11 से कितना आगे जाता है वो देखेंगे पर सारी चीजें अपन कवर करेंगे तभी जाके है ना आप भी और मैं भी दोनों लोग चैन के सांस लेंगे जब सारी चीजें कवर कर चुके होंगे तो और मस्त होके पढ़ेंगे भाई आराम आराम से मस्त होके पढ़ेंगे मजा मच्छ सब ठीक है तो शुरुआत करते हैं फिर आज के सेशन की हां जी तो सबसे पहले कार्टीजन प्रोडक्ट से हम बातें चालू करेंगे कार्टीजन प्रोडक्ट ऑफ टू सेट यहां से हम लोग चर्चाएं चालू करने वाले हैं क्योंकि रिलेशन समझने के लिए तुम्हें कार्टीजन प्रोडक्ट समझना पड़ेगा है ना रिलेशन समझने के लिए कार्टीजन प्रोडक्ट समझना पड़ेगा प्री रिक्विजिट क्या है बेसिक सा सेट थ्योरी तुमको आता हो यह प्री रिक्विजिट है कि सेट क्या होता है और सेट की अभी अभी एक मंजिल की क्लास हुई थी वो आपने अटेंड करी हो या फिर आपको बेसिक्स भी पता है अगर सेट थ्योरी का तो काम चल जाएगा ठीक है तो द कार्टीजन प्रोडक्ट ऑफ टू सेट ए एंड बी हां जी सेट का भी प्रोडक्ट निकाला जाता है ना मैथ्स के अंदर सबका प्रोडक्ट निकाल लेते हैं अपन लोग नंबर्स का प्रोडक्ट निकाल रहे होते हैं तो वहां भी हमारे सामने एक सेट का प्रोडक्ट होता है इसको अपन बोलते हैं कार्टीजन प्रोडक्ट ऑफ टू सेट क्या चीज को रिप्रेजेंट करता है कि अगर मैं दो सेट का प्रोडक्ट ले रहा हूं ना भाई है ना जैसे एक सेट हो गया जिसके अंदर एलिमेंट्स है ट 3 सेट तुम लोग जानते हो क्या होता है ऐसे कली ब्रैकेट से रिप्रेजेंट करते हैं अपन लोग सेट को राइट सेट को अपन ऐसे कर्ली ब्रैकेट से रिप्रेजेंट कर रहे होते हैं तो एक सेट है जिसके अंदर तीन एलिमेंट्स है टूथ इसका अगर मैं कार्टीजन प्रोडक्ट लेता हूं दूसरे सेट के साथ जिसके अंदर सपोज दो एलिमेंट्स है या तीन एलिमेंट्स है जो भी है ना जैसे एलिमेंट्स इसके अंदर ले लिया मैंने हां जी फोर और फाइव ले लिया ए या बी ले लिया फोर या फ ले लिया क्योंकि सेट क्या होता है सेट इज जस्ट कलेक्शन ऑफ एलिमेंट्स उसके अंदर वो एलिमेंट्स कुछ भी हो सकते हैं ओके तो अगर एक सेट का मैं दूसरे सेट के साथ प्रोडक्ट लेता हूं जिसको अपन बोलते हैं कार्टीजन प्रोडक्ट ऑफ टू सेट ये क्रॉस वाले सिंबल से ऐसे रिप्रेजेंट किया जाता है कार्टीजन प्रोडक्ट ऑफ टू सेट को तो इन दोनों सेट का प्रोडक्ट भी भाई एक सेट ही होता है है ना दो सेट का प्रोडक्ट क्या सेट मिलने वाला है वो सेट किस चीज का मिलेगा वो सेट मिलता है ऑर्डर्स से मैं अर्ज कर रहा हूं वो सेट मिलता है अपने सामने डड पेयर का डर्ड पेयर ए बी ठीक है ऑर्ड पेयर मतलब क्या होता है कि जिसके अंदर ऑर्डर फिक्स होता है जिसके अंदर ऑर्डर है ना फिक्स होने वाला है तो सेट ऑफ ऑर्ड पेयर तो ऑर्ड पेयर यहां पे बनेंगे 1 4 ओके 1 5 है ना ये एक डेड पेयर है जिसके अंदर पहला एलिमेंट पहले वाले सेट से आना चाहिए दूसरा एलिमेंट दूसरे वाले सेट से आना चाहिए जैसे यहां से मैंने वन लिया यहां से फोर ले लिया यहां से वन यहां से फाइव ले लिया ये दो ऑर्ड पेयर तैयार हो गए फिर और ऑर्ड पेयर हो गए 2 4 2 4 अगला ऑर्ड पेयर आ जाएगा अपने पास में 2 5 ओके फिर अगला डर्ड पेयर अपने पास में 3 4 एंड 35 ओके सो दिस इज व्ट दिस इ सेट ऑफ ऑर्ड पेयर एक सेट है बट सेट किसका है ऑर्ड पेयर का है ऑर्ड पेयर आपने पहले भी देखे होंगे जैसे ए बी है ना ऑर्ड पेयर आपने पहले भी देखा होगा जैसा कि एमा बी ओके या फिर एक्सवा आपने देखा है ऑडिट पेर जैसे कोऑर्डिनेट को रिप्रेजेंट कर रहे होते अपन का है ना कोऑर्डिनेट को रिप्रेजेंट करते हैं तो वो डर्ड पेर से ही अपन लोग कोऑर्डिनेट को रिप्रेजेंट कर रहे होते हैं है डड पेयर में ऑर्डर मैटर करता है जैसे अगर 2 3 लिखा है तो वो 3 2 के इक्वल नहीं है सेट के अंदर ऑर्डर मैटर नहीं करता सेट के अंदर ऑर्डर मैटर नहीं करता बट ऑर्ड पेयर के अंदर ऑर्डर मैटर करता है ठीक है अगर सेट लिख रखा है जैसे टूथ और इसके अंदर अगर मैं ऑर्डर बदल दूं पहले टू को लिख दूं बाद में थ्री को लिख दूं बाद में वन को लिख दूं तो ये दोनों सेट आपस में इक्वल है सेट इज जस्ट कलेक्शन ऑफ एलिमेंट्स सेट सिर्फ और सिर्फ एलिमेंट्स का कलेक्शन होता है यहां पर ऑर्डर मैटर नहीं करता है ओके और डर्ड पेयर जो होते हैं जैसे एमा बी ये बीमा ए के इक्वल नहीं होता है और तभी इक्वल होगा जब ए बी के इक्वल हो बी ए के इक्वल हो तभी जाके आपस में इक्वल हो सकता है मतलब 2 3 और 3 2 आपस में इक्वल नहीं होंगे 2 3 इज नॉट इक्वल टू 3 2 वैसे ही ऑर्डर ट्रिपलेट भी आता है जैसे ही ऑर्ड पेयर है वैसे ही ऑर्डर ट्रिपलेट भी आता है जैसे ट्रिपलेट मतलब कि अगर एक्स वाई जड सिस्टम में आप किसी कोऑर्डिनेट का है ना कोई कोऑर्डिनेट रिप्रेजेंट करना चाहते हो जैसे 2 0 4 दिस इज नॉट इक्वल टू लाइक 4 0 2 ये दोनों आपस में इक्वल नहीं है ये दोनों अलग-अलग कोऑर्डिनेट को रिप्रेजेंट कर रहे हैं है ना ये दोनों आपस में इक्वल नहीं है सेट में इक्वल होता है सेट इज जस्ट कलेक्शन ऑफ एलिमेंट्स ठीक है तो ऑडिट पेयर किसको रिप्रेजेंट करता है आई होप आपको ये आईडिया मिल गया हो तो फिर से कार्टीजन प्रोडक्ट की डेफिनेशन के साथ शुरुआत करते हैं द कार्टीजन प्रोडक्ट ऑफ टू सेट ए एंड बी इज नॉन एमटी सेट ऑफ ऑल ऑर्डर पेयर a बी वेयर a बिलोंग टू सेट ए एंड b बिलोंग टू सेट बी ये सिंबल जो है वो बिलोंग टू का सिंबल है है ना कि जहां पे a सेट a से बिलोंग कर रहा है b सेट बी से बिलोंग कर रहा है इट इज डिनोटेड बाय a कार्टीजन प्रोडक्ट b पहला एलिमेंट सेट a से आ रहा है दूसरा एलिमेंट यहां पे सेट बी से आ रहा है ठीक है पहला एलिमेंट सेट a से दूसरा एलिमेंट सेट बी से आ रहा है हां जी क्लियर है इतनी बातें ओके अब वहीं पे अगर मैं थोड़ा सा बदल दूं इसके अंदर जैसे ऐसा कर दिया जाए कि 45 का अपन कार्टीजन प्रोडक्ट ले रहे हैं 1 2 3 के साथ तो इधर चीजें बदल जाएगी बदल क्या जाएगी पहला एलिमेंट इससे आएगा दूसरा एलिमेंट इससे आएगा मतलब अपने पास ऑर्ड पेयर मिलेंगे अब अपने पास 41 4 1 4 2 42 ठीक है 5 1 हैना 4 3 5 1 5 2 एंड 5 3 ये अपने पास में एलिमेंट्स मिलने वाले हैं दीज आर द डर्ड पेयर तो ये दोनों आपस में इक्वल नहीं है मतलब a कार्टीजन प्रोडक्ट b और बी कार्टीजन प्रोडक्ट a आपस में इक्वल नहीं आते हैं गाइस ए कार्टीजन प्रोडक्ट बी इज नॉट इक्वल टू बी कार्टीजन प्रोडक्ट a ठीक है क्योंकि ऑर्ड पेयर यहां पर उल्टे पल्टे रहते हैं ओके तो ये आपस में इक्वल नहीं होते हैं है ना फिर एक इंपॉर्टेंट चीज आती है कि नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन ए कार्टन प्रोडक्ट बी अगर नंबर ऑफ एलिमेंट्स के बारे में बात करें नंबर ऑफ एलिमेंट इन ए कार्टीजन प्रोडक्ट बी बराबर नंबर ऑफ एलिमेंट इन a इनटू नंबर ऑफ एलिमेंट इन ब है ना ये एक रिलेशन आता है नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन a कार्टीजन प्रोडक्ट ब ब नंबर ऑफ एलिमेंट इन a इनटू नंबर ऑफ एलिमेंट इन बी ठीक है जैसे कि हमने यहां पर एग्जांपल में देखा भी था कि यहां पे तीन एलिमेंट्स है यहां पर दो एलिमेंट्स है तो इसके कार्टीजन प्रोडक्ट में कितने एलिमेंट्स आए यहां पर हर एक ऑर्ड पेयर एक एलिमेंट है एक बच्चा है इस सेट का ठीक है हर एक डर्ड पेयर जो है वो इसका क्या एलिमेंट है तो यहां प ट 3 4 5 6 टोटल हमारे सामने छह एलिमेंट्स दिखाई दे रहे हैं तो इधर तीन एलिमेंट्स इधर दो एलिमेंट्स तो कार्टीजन प्रोडक्ट के अंदर टोटल सिक्स एलिमेंट्स आने वाले हैं क्या इतनी बातें क्लियर है हां जी अब एक बहुत फेमस सा सवाल बनता है बहुत फेमस सा सवाल बनता है और वह भी बहुत ज्यादा फ्रिक्वेंटली आस्ड क्वेश्चन है है ना डायरेक्ट में इंपॉर्टेंट बातों के ऊपर बात करने वाला हूं कि इंपॉर्टेंट बात क्या है तो इंपॉर्टेंट बात यह है कि कई बार यह पूछा जाता है नंबर ऑफ एलिमेंट्स कॉमन इन ए कार्टन प्रोडक्ट बी एंड बी कार्टन प्रोडक्ट ए इसके अंदर कितने कॉमन एलिमेंट्स है उसके बारे में कई बार चर्चा करी जाती है ठीक है यार एक का प्रोडक्ट बी हमें निकालना आ गया बी काट प्रोडक्ट ए निकालना आ गया अब इसके अंदर कॉमन एलिमेंट्स कितने आ रहे उसके बारे में चर्चा कर रहे हैं ठीक है तो अगर ए और बी में कुछ भी कॉमन नहीं है तब तो कुछ भी कॉमन नहीं आएंगे देखो एग्जांपल के तौर पर एग्जांपल वन ओके सेट ए मैंने दिया है टूथ सेट बी दिया है मैंने 4 फ 4 फ ठीक है अब यहां पर ए कार्टीजन प्रोडक्ट बी करोगे ना तो ए कार्टन प्रोडक्ट बी के अंदर यहां पर न 4 1 5 2 4 2 5 3 4 3 5 ये छह एलिमेंट्स अपने पास मिलने वाले हैं ये छह डर्ड पेयर मिलेंगे 1 1 5 2 4 25 3 4 35 ये हमारे पास में छह एलिमेंट्स मिलने वाले हैं और ब कार्टीजन प्रोडक्ट a करता हूं तो ठीक इसका उल्टा हो जाएगा 1 की जगह 41 मिलेगा है ना कि 41 42 43 51 52 53 ठीक है तो 41 42 43 51 52 53 अब इसके अंदर अगर मैं पूछू कि ए कार्टीजन प्रोडक्ट बी देखा तुमने बी कार्टन प्रोडक्ट ए देखा तुमने इसमें कुछ कॉमन आ रहा है क्या इसमें कुछ कॉमन आएगा क्या तो इसमें कुछ भी कॉमन नहीं आने वाला है ना नथिंग इ कॉमन तो नंबर ऑफ एलिमेंट्स तो यहां पर नंबर ऑफ एलिमेंट्स ए कार्टन प्रोडक्ट बी और बी कार्टन प्रोडक्ट ए कोई भी ऐसा डड पेयर नहीं है कि जो दोनों के अंदर सेम आ जाए तो कोई भी ऐसा ऑर्ड पेयर नहीं है मतलब नथिंग इज कॉमन यहां पर तो जीरो आ जाएगा क्यों क्योंकि a इंटरसेक्शन बी ही जीरो था क्योंकि ए इंटरसेक्शन बी ही जीरो था ए और बी के अंदर कुछ कॉमन ही नहीं है बट क्या हमेशा ऐसा होगा हां क्या हमेशा ऐसा होगा कि ए कार्टीजन प्रोडक्ट बी और बी कार्टन प्रोडक्ट ए में कुछ भी कॉमन नहीं होगा इज दिस गोइंग टू हैपन एवरी सिंगल टाइम नोप ओके कि अगर ऐसा हुआ एग्जांपल टू कि सेट ए मैंने दिया है 1 2 3 और सेट बी मैंने दिया है 2 3 5 सपोज ये दिया है अपन ने तो ए कार्टीजन प्रोडक्ट बी और बी कार्टीजन प्रोडक्ट ए में कुछ कुछ कॉमन आएंगे कुछ कुछ कॉमन आएंगे वैसे टोटल एलिमेंट्स कितने होंगे अगर a कार्टीजन प्रोडक्ट बी करता हूं तो भी मेरे को टोटल नाइन एलिमेंट्स दिखाई देंगे दिख रहा है ना तुमको कि 12 2 13 1 2 2 23 25 32 33 35 टोटल नाइन एलिमेंट यहां पे दिखेंगे और बी कार्टीजन प्रोडक्ट a में करेंगे तो यहां पे भी टोटल नाइन एलिमेंट्स दिखने वाले हैं बट कुछ एलिमेंट्स कुछ डड पेयर ऐसे मिलेंगे जो कि दोनों के अंदर कॉमन आने वाले हैं है ना वो एलिमेंट्स कौन से होंगे जो कि इनके कॉमन एलिमेंट से बन रहे हैं ये 2 3 और 23 देखो ये कॉमन एलिमेंट्स है तो इनके कॉमन एलिमेंट से बनने वाले जो ऑर्ड पेयर है कौन-कौन से बनेंगे एक कार्टीजन प्रोडक्ट में देखो 2 2 आएगा 2 2 2 3 ओके 3 2 3 3 ओके और भी कुछ-कुछ मसाला फैले का है ना और यहां पे अपने पास में पांच और होने वाले हैं चार तो ये लिख दिया फाइव मोर फाइव मोर टू गो मैं नहीं लिख रहा है ना लिखने का ज्यादा अपने को इच्छा है नहीं फाइव मोर है ना यहां पे पांच ऑर्ड पेयर और मिलने वाले हैं पांच ऑर्ड पेयर और मिलेंगे बट ये चार मैं बोल रहा हूं कि भैया ये जो चार ऑर्ड पेयर है जो कि कॉमन एलिमेंट से बन रहे हैं वो यहां पे भी दिखने वाले हैं अपने पास में क्योंकि यहां पे b कार्टीजन प्रोडक्ट a करोगे तो 2 2 2 3 3 2 33 यही चार इधर भी दिखेंगे समझे क्या लॉजिक समझे क्या तुम लोग हां जी 2 2 23 32 एंड 33 यही चार यहां पे भी पाए जाने वाले हैं तो टोटल कितने कॉमन आए अगर a कार्टीजन प्रोडक्ट b और कई बच्चों ने सही जवाब भी लिखा है कमेंट सेक्शन के अंदर बहुत बढ़िया सो प्राउड ऑफ यू गाइ हां जी ए कार्टीजन प्रोडक्ट b और बी कार्टीजन प्रोडक्ट a के अंदर टोटल एलिमेंट्स कितने कॉमन आ गए 2 * 2 मतलब फोर एलिमेंट्स कॉमन आए तो इसके लिए एक फार्मूला है यार इसके लिए फार्मूला सिंपल सा है कि दैट इज इक्वल टू नंबर ऑफ एलिमेंट इन a इंटरसेक्शन b का स्क्वायर कि a इंटरसेक्शन b में देख लो तुम कितने एलिमेंट्स है a इंटरसेक्शन b के अंदर दो एलिमेंट आ रहे है तो दो का स्क्वायर टोटल चार एलिमेंट्स अपने पास में कॉमन आने वाले हैं तो दिस इज अ वेरी इंपोर्टेंट फॉर्मूला गाइ नंबर ऑफ एलिमेंट इन a कार्टीजन प्रोडक्ट b इंटरसेक्शन बी कार्टीजन प्रोडक्ट a इज इक्वल टू नंबर ऑफ एलिमेंट ओके इज इक्वल टू नंबर ऑफ एलिमेंट इन a इंटरसेक्शन b इसका स्क्वायर क्या क्लियर है बातें हां जी तो दिस इज़ अ वेरी इंपॉर्टेंट फॉर्मूला फॉर दिस और आई होप कि आपको इस फॉर्मूले के पीछे का राज भी समझ में आया हो मीनिंग समझ में आया हो इंक्रीज ब्राइटनेस अब जो है सो है काम चलाओ तुम इसमें ठीक है नखरे एक तो खत्म नहीं होते तुम्हारे आगे बात करते हैं कोई क्लियर है ना कोई क्लियर क्या कोई डाउट हां जी एनी डाउट गाइस एनी डाउट एनी डाउट एनी डाउट वैसे ही यार तीन सेट का भी कार्टीजन प्रोडक्ट होता है ए कार्टन प्रोडक्ट बी कार्टन प्रोडक्ट सी वो भी अपन बात कर सकते हैं पर छोड़िए क्योंकि उससे सवाल नहीं आते तो अपन ज्यादा बातें करेंगे नहीं अपन बातें उसके बारे में करेंगे जहां से सवाल आता है अब यहां से सवाल आ सकता है ये इंपोर्टेंट पॉइंट था कार्टिन प्रोडक्ट में इसको नोट डाउन कर लीजिए और मेरे साथ आगे बढ़ कुछ-कुछ सवाल यहां पे है स्लाइड के अंदर बट आप इसको नोट कर सकते हैं ना मैं थोड़ा आज का सेशन क्या क्रिस्प कराना चाहता हूं क्रिस्प मतलब कि भाई काम की चीजों के ऊपर अपन फोकस करेंगे क्योंकि चैप्टर बहुत लंबा है है ना तो इसलिए आई हैव टू मैनेज एवरीथिंग वेरी प्रॉपर्ली बहुत अच्छे से प्रॉपर्ली मैनेज करना पड़ेगा कि कहां कितना टाइम देना है बहुत ध्यान से सोच समझ के समय को सही उपयोग करते हुए आगे बढ़ना है ओके चलिए लेट द नंबर ऑफ एलिमेंट इन सेट ए एंड बी आर फ एंड टू रिस्पेक्टिवली देन द नंबर ऑफ सबसेट ऑफ ए कार्टन प्रोडक्ट बी ईच हैविंग एटलीस्ट थ्री एंड एट मोस्ट सिक्स एलिमेंट्स आसान सा सवाल है 2023 जेई मेंस में पूछा गया सवाल है डूबल जो सवाल होते हैं ठीक है मेंस बहुत हल्का होता है भाई है ना मेंस इतना भारी नहीं होता बहुत हल्का होता है और यही बहुत हल्का सा सवाल है मेंस के अंदर ओके देखिए इस सवाल को ट्राई कीजिए लेट द नंबर ऑफ एलिमेंट इन सेट ए एंड सेट बी सेट ए के अंदर नंबर ऑफ एलिमेंट्स फाइव दे रखे हैं सेट बी के अंदर नंबर ऑफ एलिमेंट्स थ्री दे रखे हैं है ना टू दे रखे हैं ठीक है देन द नंबर ऑफ सबसेट ऑफ ए कार्ट प्रोडक्ट बी तो ए कार्टीजन प्रोडक्ट बी के अंदर अगर मैं नंबर ऑफ एलिमेंट्स निकालूं इसके अंदर पांच एलिमेंट है इसमें दो एलिमेंट है तो ए कार्टीजन प्रोडक्ट b के अंदर टोटल 10 एलिमेंट होंगे मानोगे मानते हो इस बात को कि टोटल 10 एलिमेंट होने वाले हैं अब इसका हमें सबसेट बनाना है तो सबसेट के ऊपर तुमने थोड़ी सी तो बातें समझी होगी कि अगर 10 एलिमेंट होते हैं तो 2 की पावर 10 सबसेट होते हैं क्योंकि हर एलिमेंट के साथ वहां पर पीएनसी का ना कांसेप्ट लगता है पीएनसी का कांसेप्ट क्या लगता है कि अगर मेरे को किसी सेट के सुनना जरा बात को ध्यान से कि अगर मेरे को किसी सेट के सबसेट निकालने है है ना उसके अंदर सपोज n एलिमेंट है एक सेट के अंदर n एलिमेंट है मेरे को उसके सबसेट निकालना है तो सबसेट मतलब कि उन्हीं n एलिमेंट से बना हुआ सेट को अपन सबसेट कहेंगे तो उन n में से ज़ीरो सेलेक्ट कर सकता हूं उन n में से वन सेलेक्ट कर सकता हूं उन n में से टू सेलेक्ट कर सकता हूं n के n सेलेक्ट कर सकता हूं तो nc0 + nc1 + nc2 अप टू nc1 वह जो सम है बाइन मियल में आपने पढ़ा होगा कि nc0 से nc1 तक का सम 2 रे पावर n होता है तो अग अगर हमें कभी भी सबसेट बनाना होता है तो ये वाला आईडिया अपन यूज करते हैं कि अगर इसके अंदर 10 एलिमेंट्स है तो टोटल सब सबसेट तो 2 रे टू द पावर 10 होंगे बट यहां पे क्या सीन है यहां पे बोला है एटलीस्ट थ्री एंड एट मोस्ट सिक्स एलिमेंट्स इसी के ही सबसेट बनाने हैं एटलीस्ट तीन तो चुनो और ज्यादा से ज्यादा सिक्स ही चुनना है तुम्हें है ना एटलीस्ट तीन ही है ना एटलीस्ट तीन तो चुनो तो अपने पास आंसर आ जाएगा भैया कि ठीक है कम से कम तीन चुनना है तीन चुन लेंगे चार भी चुन सकते हैं पांच भी चुन सकते हैं और ज्यादा से ज्यादा छह ही चुनना है तो इसी का ही सम पूछा गया है बस इतनी सी कैलकुलेशन तुमसे करा रहा है ठीक है हो जाएगा ये सवाल tc3 10c 4 10c 5 10c 6 आई होप आप इन सबकी वैल्यू निकाल सकते हैं है ना तो इधर थोड़ी सी कैलकुलेशन आपको फास्ट करनी है जैसे कि 10 c3 की वैल्यू निकालनी है तो tc3 की वैल्यू के पीछे मैं आईडिया दे देता हूं कि कैसे tc3 की वैल्यू निकाली जाती है इसको ऐसा लिखेंगे 10 फट / 3 फट 7 फ्टो 10 फ्टो से 7 फट काटो ऊपर बचेगा 8 * 9 * 10 और डिनॉमिनेटर में जो 3 फैक्टोरियल है 3 फैक्टोरियल को लिख देंगे 2 * 3 बस इसको कैलकुलेट कर लो ऐसे ही tc4 ऐसे ही tc5 ऐसे ही 10c 6 की वैल्यू निकालनी है सबको ऐड कर देने का है हो जाएगा ये सवाल इसके आगे जल्दी से लिख दो कमेंट सेक्शन में हां सर हो जाएगा तो मैं आगे बढ़ जाऊं चलो तुमने लिखा उससे पहले बढ़ चुका हूं है ना आसान है कर लोगे इसके आगे अब देखो और सवाल करते हैं अपन लेट z बी द सेट ऑफ इंटी जर्स सेट ए इज x बिंग्स टू z x इज एन इंटी जर सच दैट 2 ^ x + 2 * x - 5x + 6 = 1 एंड सेट b जो है उसके अंदर इंटी जर्स इसमें इंक्लूडेड है देन द नंबर ऑफ सबसेट ऑफ़ द सेट a कार्टीजन प्रोडक्ट b इज तो पहले मुझे सेट a निकालना पड़ेगा और सेट b निकालना पड़ेगा फिर बाद में a कार्टीजन प्रोडक्ट b अपन निकाल सकते हैं सेट a के अंदर कितने एलिमेंट्स होंगे सेट a वह है जहां पे इसकी वैल्यू वन के इक्वल है मतलब यह जो पावर है ना पावर ज़ीरो होनी चाहिए ठीक है सवाल देख लो फटाफट सवाल देख लिया 2 रे टू द पावर समथिंग बराबर 1 है ना 2 रे टू पावर x+ 2 इन x स् - 5x प् 6 इ इक्वल टव आना चाहिए x की जिस जिस वैल्यू प ये इक्वल टूव आ रहा है वही सेट ए के एलिमेंट्स है है ना सेट ए इज x बिलोंग टू इंटी जर सच दैट दिस इज इक्वल टूव तो पावर क्या पावर जीरो होनी चाहिए बेसिकली है ना पावर जीरो होनी चाहिए कर लो इस सवाल को फटाफट निपटा कैलकुलेशन स्पीड फास्ट रखो अगर आप समय इन्वेस्ट कर ही रहे हो ठीक है तो टाइम पास ना कीजिए कैलकुलेशन कीजिए मेरे साथ तो पावर को अपन ने इक्वल टू 0 कर दिया यहां पर दो फैक्टर्स बनेंगे एक तो x - 2 का दूसरा x - 3 का इ 0 तो x की जो वैल्यू आई वो आ रही है -2 2 एंड 3 तीन वैल्यूज हमें x की मिली है मतलब सेट ए के अंदर अपने पास में तीन एलिमेंट्स होंगे च इज -2 2 एंड 3 ओके सेट ए के अंदर अपने पास में ये तीन एलिमेंट्स मिलने वाले हैं -2 2 एंड 3 सेट बी के अंदर अगर एलिमेंट देखेंगे तो ये मिल रहा है 2x इ < 2x - 1 इसके बीच में है व ऐड करो 9 में वन ऐड होगा तो 10 -3 में व ऐड होगा तो -2 तो 2x इसके बीच में होगा x हो जाएगा ले 5 ग्र -1 और यहां पे भी क्या x बिंग्स टू z मतलब ऐसे कितने इंटी जर है जो कि -1 से 5 के बीच में होंगे तो वो 0 1 2 3 और 4 ये चार इंटी जर्स होने वाले हैं अब सेट बी के अंदर देखो पांच एलिमेंट है सेट बी में पांच एलिमेंट सेट ए में देखोगे तो भाई तीन एलिमेंट्स इनके कार्टीजन प्रोडक्ट के अंदर 15 एलिमेंट्स हां जी नंबर ऑफ एलिमेंट इन ए कार्टीजन प्रोडक्ट बी इसमें पांच इसमें तीन तो इनके कार्टीजन प्रोडक्ट के अंदर टोटल 15 एलिमेंट्स होंगे टोटल 15 एलिमेंट्स होंगे तो इसके सबसेट हो जाएंगे 2 रे टू द पावर 15 सबसेट्स आर 2 रे टू द पावर 15 ठीक है है ना तो ए कार्टीजन प्रोडक्ट b के सबसेट के बारे में बड़ी चर्चाएं करी जा रही है क्यों क्योंकि अगला टॉपिक उसी पे ही आधारित है कि ए कार्टीजन प्रोडक्ट बी के सबसेट क्या रिप्रेजेंट करते हैं तो लेट्स टॉक अबाउट दैट एंड स्वागत करते हैं हम रिलेशंस का रिलेशंस क्या होती है भैया तो रिलेशंस डिफाइंड फ्रॉम सेट ए टू सेट बी सेट ए से सेट बी के बीच में रिलेशन अपन डिफाइन कर रहे हैं ना यहां पे जैसे समझो दो परिवार है दो परिवार के बीच में रिश्ता बना रहे हैं यहां पे परिवार क्या है सेट है एक सेट है दूसरा सेट है उनके बीच में रिश्ता बनाया जा रहा है दो परिवारों के बीच में रिश्ता दो परिवारों के बीच में रिश्ता मतलब उनके मेंबर्स के बीच में रिश्ता मतलब उनके एलिमेंट्स के बीच में रिश्ता ठीक है तो यहां पे रिलेशंस डिफाइंड फ्रॉम सेट ए टू सेट बी व्हिच इज डिफाइंड लाइक दिस r इज फ्रॉम a टू b इज अ सबसेट ऑफ a कार्टीजन प्रोडक्ट b ठीक है कहने का मतलब यह है बेटा कि a कार्टीजन प्रोडक्ट b के जितने भी सबसेट होंगे वो एक रिलेशन डिफाइन कर रहा है सेट ए से सेट बी के बीच में a कार्टीजन प्रोडक्ट b के जितने भी सबसेट होंगे वो एक रिलेशन डिफाइन कर रहा है सेट से a से सेट b के बीच में ठीक है यह बातें हैं तो रिलेशंस डिफाइंड फ्रॉम सेट a टू सेट b इज़ अ सबसेट ऑफ़ a कार्टीजन प्रोडक्ट b रिलेशंस डिफाइंड फ्रॉम सेट b टू सेट a अगर मैं सेट b से सेट a की तरफ रिलेशंस डिफाइन कर रहा हूं तो वह b क्रॉस a का सबसेट होने वाला है और अगर सेट a से सेट a पे ही रिलेशन डिफाइन करी जा रही है तो वह a क्रॉस a का सबसेट होगा यह वाली टर्म इंपॉर्टेंट है ना डिफाइंड ऑन सेट a रिलेशंस डिफाइंड ऑन सेट a वेरी इंपॉर्टेंट टम कभी भी बोला जाए कि रिलेशन डिफाइंड ऑन सेट ए मतलब वो सेट ए से सेट ए के बीच में ही वो रिलेशन है है ना तो बेसिकली व ए कार्टन प्रोडक्ट ए का सबसेट है ए कार्ट प्रोडक्ट ए का सबसेट है ठीक है क्लियर है सिंपल है फिर डोमेन रेंज कोडोमेन के बारे में भी हम लोग कुछ कुछ बातें करते हैं चलिए एक रिलेशन यहां पर हमारे सामने है इसी से मैं डोमेन और सबकी डेफिनेशन बताऊंगा तो ए इज रिलेटेड टू b एक रिलेशन को इस तरीके से डिफाइन कर रखा है कि a r ब है ना पढ़ना सीखते हैं अपन रिलेशन को एग्जांपल के थ्रू ही पढ़ना सीखेंगे कि एलिमेंट ऑफ सेट a कैपिटल r का मतलब रिलेटेड टू टू द एलिमेंट ऑफ सेट बी सच दैट है ना ये जो डबल एरो है इसका मतलब हो गया सच दैट a + b < और इ 3 होना चाहिए जहां पे a और b दोनों नेचुरल नंबर के सेट से बिलोंग कर रहे हैं a भी कोई नेचुरल नंबर है b भी कोई नेचुरल नंबर है और r इज a बी सच दैट a प् बी लेन और इक्व ू 3 ए बी बोथ बिलोंग टू नेचुरल नंबर दोनों के दोनों नेचुरल नंबर से बिलोंग कर रहे हैं तो यह रिलेशन क्या कहलाए गी क्या है यह रिलेशन तो देखो रिलेशन को रिप्रेजेंट करने के अलग-अलग तरीके रहते हैं ना गाइस अलग-अलग तरीके रहता है जैसे यह सेट बिल्डर फॉर्मेट के अंदर रिलेशन को रिप्रेजेंट कर रखा है इसके अंदर क्या सेट बिल्डर फॉर्मेट के अंदर रिलेशन को रिप्रेजेंट कर रखा है अपन इसको रोस्टर फॉर्म के अंदर रिलेशन को रिप्रेजेंट करते हैं है ना तो a और b दोनों की वैल्यू अगर वनव रख दूं तो इस रिलेशन को सेटिस्फाई कर रहा है नेचुरल नंबर लेना है तो मिनिमम वन तो लेना ही है अपने को तो वव सेटिस्फाई कर रहा है 1 2 सेटिस्फाई कर रहा है 2 1 ये भी चलेगा बस यही तीन एलिमेंट्स आ रहे हैं अपने पास में इसका मतलब हुआ कि वन इज रिलेटेड टू व कि 1 + 1 < और इक्व ू 3 होता है वन इज रिलेटेड टू वन वन इज रिलेटेड टू एंड टू इज आल्सो रिलेटेड टू वन तो ये हमारे पास में रिलेशन होने वाली है जहां पे इसकी डोमेन हो गई डोमेन होता है भैया सेट ऑफ इनपुट्स कि सेट ऑफ इनपुट्स क्या हो गए यहां पे वन वन एंड टू तो डोमेन इज सेट ऑफ इनपुट्स व्हिच इज वन एंड टू ओनली और रेंज हो जाता है सेट ऑफ आउटपुट्स आउटपुट भी यहां पे वन और टू ही है है ना वो रेंज हो जाएगी ओके और रही बात को डोमेन की तो को डोमेन इज सेट ऑफ नेचुरल नंबर ठीक है देखो भाई अगर कभी भी मैं एक सेट ए से दूसरे सेट बी के बीच में रिलेशन डिफाइन कर रहा हूं सेट ए से सेट बी के बीच में रिलेशन डिफाइन करी जा रही है ओके जैसे टूथ एंड सो ऑन सेट ए भी यहां पर नेचुरल नंबर का सेट है सेट बी भी यहां पर नेचुरल नंबर का सेट है है ना पिक्चर ऐसे है डायग्रामेटिक रिप्रेजेंटेशन इसका समझते हैं कि डायग्राम में देखो कैसे अपन समझेंगे इस चीज को ये जो रिलेशन डिफाइन कर रहे हैं अपन नेचुरल नंबर सेट से नेचुरल नंबर सेट के बीच में हीय रिलेशन डिफाइन करी जा रही है ओके तो ये जो एंटा सेट बी जो होता है दैट इज बेसिकली कोडोमेन इसी को ही अपन कोडोमेन बोलते हैं ना एनटायर सेट बी को अपन कोडोमेन कहते हैं ठीक है रेंज क्या होती है रेंज सेट ऑफ आउटपुट्स डोमेन इ सेट ऑफ इनपुट्स यहां पर क्या हो रहा है वन वन से रिलेटेड है नटू से रिलेटेड है और 2 व से रिलेटेड है यही अपने पास बन रहे हैं तो सेट ऑफ इनपुट भी यही दोनों है सेट ऑफ आउटपुट भी यही दोनों है तो सेट ऑफ इनपुट्स को अपन डोमेन कहते हैं हां जी भाई और सेट ऑफ आउटपुट को अपन रेंज कहते हैं इतनी बातें पता है आप सबको जल्दी से बताइए कमेंट सेक्शन में यस सर वी नो दिस ओके है ना इतनी बातें आपको पता होनी चाहिए तो रिलेशन की वही डेफिनेशन रिलेशन की सिंपल सी डेफिनेशन यही है कि ए कार्टीजन प्रोडक्ट बी के जितने भी सबसेट होंगे वो एक रिलेशन डिफाइन करेंगे सेट ए से सेट बी की तरफ ओके दैट इज द सिंपल डेफिनेशन ऑफ रिलेशन है ना चलिए कुछ क्वेश्चन करते हैं एक ये वाला सवाल देखना जेई मेंस 2020 में पूछा गया ये सवाल ओके यहां पे r इवर्स के बारे में भी बात कर रहे हैं तो इवर्स ऑफ ए रिलेशन के बारे में मैं आपको बता देता हूं इवर्स में क्या होता है रिलेशन में रिलेशन के बारे में बात करें या फंक्शंस के बारे में बात करें इवर्स का मतलब होता है कि इनपुट आउटपुट इंटरचेंज कर दे तो उसको अपन कहते हैं इवर्स ऑफ ए रिलेशन ठीक है कि अगर इनपुट और आउटपुट का इंटरचेंज आ जाए तो उसको अपन बोलते हैं इवर्स ऑफ ए है ना उसको अपन बोलते हैं इवर्स ऑफ ए रिलेशन सिंपल सी बात है ओके इनपुट और आउटपुट को इंटरचेंज कर दिया जाए तो उसको अपन इवर्स ऑफ रिलेशन जैसे रिलेशन r मैंने इस टाइप की दे रखी है वन इज रिलेटेड टू 3 फाइ इज रिलेटेड टू टू सेन इज रिलेटेड टू ना सपोज इस टाइप से मैंने कोई रिलेशन r दे दी तो r इवर्स यहां पे क्या हो जाएगा ठीक इसका उल्टा हो जाएगा कि r इवर्स में क्या होगा कि 3 इज रिलेटेड टू वन ू इज रिलेटेड टू फ एंड ना इज रिलेटेड टू 7 ओके तो इनपुट आउटपुट बेसिकली इंटरचेंज हो गए या फिर कहा जाए डोमेन और रेंज भी आपस में इंटरचेंज हो गई कि इसके अंदर जो डोमेन है ना इसके अंदर डोमेन है 157 कि 157 इनपुट है अब वो यहीं पे रेंज हो चुकी है वही अब रेंज के एलिमेंट्स हो गए और इसकी जो रेंज थी 329 और यही 329 यहां पे इनपुट बन चुके हैं तो इनपुट आउटपुट बेसिकली अलग-अलग हो जाते हैं ठीक है हम इनपुट आउटपुट इंटरचेंज हो जाते हैं यह हमारे पास में चीजें रहती है तो इसी के ऊपर बेस्ड एक सवाल देखो बहुत ही आसान सा सवाल है और मस्त सवाल है डूबल क्वेश्चन है लेट मी नो गाइस हां जी अगर आपको कोई डाउट है जेनन डाउट हो तो आप जरूर पूछ सकते हैं मुझे भी अच्छा लगेगा अगर जेनन डाउट आता है तो वैसे डाउट आएंगे नहीं बस सुनते रहो मस्त रहो चिल रहो ओके बस मस्ती से सुनते रहो पेन और कॉपी लेके बैठ जाओ ताकि आप भी सवालों को ट्राई करें और है ना सवाल बनाते रहे बाकी आसान है सारी चीजें क्या बोलते हैं बच्चों हम वेरी गुड तो इस क्वेश्चन को ट्राई करते हैं तो रिलेशन r इज रिलेशन इज द सेट ऑफ डर्ड पेयर यहां पर सेट ऑफ डर्ड पेयर एक्सवा दे रखे हैं जहां पर एक्सवा बोथ बिलोंग टू जड ज इज व्हाट हां जी है ना z इज व्ट ज इज इंटी जर्स z यहां पे सेट ऑफ इंटी जर्स सच दैट x स् प् 3y स् इ लेसन और इक्ट 8 x स् प् 3y स् क्या है लेन और इक्व 8 बताओ यार क्या सोचा इस सवाल के अंदर क्या तुम्हारा आंसर आया व्ट डिड यू थिंक गाइस व्हाट डिड यू थिंक इन दिस क्वेश्चन हां जी x स् + 3y स् ले और इ 8 ये हमारे सामने एक रिलेशन दे रखी है तो हमें रिलेशन r इवर्स के बारे में बताना है और r इवर्स में भी क्या डोमेन बतानी है r इवर्स की r इवर्स की डोमेन बतानी है ठीक है तो यहां पे कोई अपने को रिलेशन r निकालने की जरूरत है नहीं ऐसा नहीं है कि मुझे रिलेशन r निकालनी ही पड़ेगी या फिर रिलेशन r इवर्स निकालना पड़ेगा ऐसा कोई जरूरत जरूरत है नहीं हम कैसे सोचोगे यहां पे अपने को ऐसे सोचने का है इसमें में कि r इवर्स की डोमेन चाहिए ना राइट r इवर्स की डोमेन चाहिए r इवर्स की डोमेन पूछी गई है ना सवाल के अंदर r इवर्स की डोमेन क्या होगी जो कि r की रेंज होगी r इवर्स की डोमेन बराबर r की रेंज हां जी r की रेंज r इवर्स की डोमेन मतलब r की रेंज और रेंज क्या होता है रेंज होता है y की वैल्यूज डोमेन होती है x की वैल्यूज रेंज होता है y की वैल्यूज तो रेंज मतलब क्या हो गया कि वा की वैल्यूज बेसिकली है ना कि r की रेंज मतलब अपने को निकालना है भैया कि y की क्याक वैल्यूज उसको सेटिस्फाई कर रही है यस एवरीवन आ की रेंज मतलब आ में कौन-कौन सी y की वैल्यूज है जो कि इस इक्वेशन को सेटिस्फाई कर रही है इक्वेशन क्या है हमारे सामने इक्वेशन है x स् प् 3y स् इज लेसन इ लेसन और इक्वल टू 8वा की क्या क्या वैल्यूज इस इ को इस रिलेशन को सेटिस्फाई कर रही है वा की क्या क्या वैल्यू इक्वलिटी को सेटिस्फाई करेगी तो यारवा की वैल्यू में जीरो रख सकता हूं है ना वा की वैल्यू जीरो रख सकता हूं तो हमें एक्स की कुछ कुछ वैल्यू मिलेगी वा बराबर 0 पॉसिबल है वा की वैल्यू प्लव पॉसिबल है वा की वैल्यू मानव पॉसिबल है किवा की वैल्यू प्लव रखता हूं फिर एक्स की कई सारी वैल्यू जैसे एक्स की वैल्यू व आ जाएगी एक्स की वैल्यू टू आ जाएगी है नावा की वैल्यू प्व रखने पर तो जीव और मानव यही वा की वलू इस इनिक्वालिटी को सेटिस्फाई करेगी क्वेश्चन आपको कभी भी दिया जाता है तो व हमेशा डूबल होगा तभी आपको वह क्वेश्चन दिया गया है यहां पे देखो उन्होंने x की वैल्यू पूछी ही नहीं है क्योंकि x की वैल्यू कई सारी आती है x की बहुत सारी वैल्यूज आती है ठीक है कि एक बार तुमने y को रो रखा तो x की वैल्यू -2 √2 से 2 √2 के बीच में आ गई y को वन रखा तो x की कुछ-कुछ वैल्यूज मिलेगी y को -1 रखने पे है ना तो x की भी कई सारी वैल्यूज होती वो भी पूछ सकता था आपसे वैसे तो वो भी डूबल है वो भी आसानी से अपन निकाल सकते हैं बट सिंपली हमें y की वैल्यू पूछी गई थी और y की वैल्यूज इतनी ही रख सकते हैं या तो जीरो रख सकता हूं या वन या -1 y की वैल्यू टू नहीं रख पाऊंगा क्योंकि यहां पे टू रखा तो 34 12 बन जाएगा 12 उस साइड जाएगा तो -4 हो जाएगा तो x स् ले और इक्व -4 तो सही है नहीं तो यस ऑप्शन सी इज द राइट आंसर क्या क्लियर है आसान है वेरी इजी पीजी चलिए और आगे बात करते हैं अब अपन बात करेंगे टाइप्स ऑफ रिलेशंस के ऊपर टाइप्स ऑफ रिलेशंस जिसके अंदर सबसे पहले आती है आइडेंटिटी रिलेशंस ठीक है अब हर एक टाइप की अच्छे से डेफिनेशन सुन लेना क्योंकि अगर यहां पे डेफिनेशन में कुछ भी ऊपर नीचे हुई कांसेप्ट यहां पे समझना बहुत जरूरी है हर एक टाइप के ऊपर वो कांसेप्ट अच्छे से क्लियर है डेफिनेशन अच्छे से क्लियर है तो टाइप्स ऑफ रिलेशंस आपका बहुत अच्छा हो जाएगा तो टाइप्स ऑफ रिलेशंस के बारे में अपन समझेंगे और इससे हर साल जरूर सवाल आते हैं और बहुत इंटरेस्टिंग सवाल आते हैं इजी भी क्वेश्चन आते हैं ना कई बार क्रिएटिविटी बहुत लगाता है जेई यह टॉपिक ऐसा है जिसके अंदर जेई मेंस के अंदर बहुत क्रिएटिव क्वेश्चन बनाए जाते हैं ठीक है तो क्रिएटिविटी लगती है तो हेंस इसके अंदर आप देखोगे टाइप्स ऑफ क्वेश्चन बहुत सारे हैं है ना बहुत अलग अलग अलग-अलग टाइप के इसके ऊपर सवाल बन रहे होते हैं ओके तो सबसे पहले तो बेसिक डेफिनेशन सीखना समझना बहुत जरूरी है उसके अलावा तो कोई भी क्वेश्चन करना इंपॉसिबल सा है तो अ रिलेशन ऑन सेट ए इज सेड टू बी आइडेंटिटी रिलेशन एक रिलेशन को आइडेंटिटी रिलेशन कब कहा जाता है जब उसका इनपुट और आउटपुट हूबहू सेम हो ठीक है कि रिलेशन न सेट ए अ रिलेशन ऑन सेट ए ऑन सेट ए का मतलब कि वो सेट ए से सेट ए के बीच में ही वो रिलेशन डिफाइंड है इसको आइडेंटिटी रिलेशन तब बोला जाएगा इफ ईच एंड एवरी एलिमेंट ऑफ सेट ए इज रिलेटेड टू इट सेल्फ एंड ओनली टू इट सेल्फ ठीक है हर एक एलिमेंट सेट ए का खुद के साथ और सिर्फ और सिर्फ खुद के साथ ही रिलेटेड हो तभी उस रिलेशन को आइडेंटिटी रिलेशन कहा जाएगा आइडेंटिटी रिलेशन इज यूनिक है ना आइडेंटिटी रिलेशन इज यूनिक यूनिक मतलब सिर्फ एक सिर्फ एक ही पाई जाएगी आइडेंटिटी रिलेशन जैसे मैंने सेट ए यहां पर दिया है ना टूथ ओके तो अगर मैं रिलेशन यह डिफाइन करता हूं कि वन वन से रिलेटेड है और टू से रिलेटेड है और थ से रिलेटेड है बस दिस इज नोन एज आइडेंटिटी रिलेशन इसको अपन आइडेंटिटी रिलेशन कहेंगे देखो सेट ए से सेट ए के बीच में तो बहुत रिलेशंस है भैया अगर मैं नंबर ऑफ रिलेशंस पूछूं कि सेट ए से सेट ए में टोटल कितनी रिलेशन है तो एक कार्टीजन प्रोडक्ट ए के जितने भी सबसेट आ जाएंगे सेट ए में तीन एलिमेंट्स है सेट ए का कार्टीजन प्रोडक्ट लोगे ए कार्टीजन प्रोडक्ट ए नाइन एलिमेंट्स आएंगे मतलब 2 रे टू द पावर 9 2 रेट पावर 9 टोटल रिलेशंस अगर मैं देखूं टोटल रिले रिलेशंस कितनी मिलेगी टोटल रिलेशंस बहुत सारी मिलेगी 2 रे टू द पावर 9 मिलेगी टू बी एग्जैक्ट 2 रे टू द पावर 9 टोटल रिलेशंस मिलने वाली है क्या यह बात समझते हैं कि a कार्टीजन प्रोडक्ट a के जितने भी सबसेट होंगे वो हर एक सबसेट रिप्रेजेंट कर रहा है अ रिलेशन फ्रॉम सेट a टू सेट a a कार्टीजन प्रोडक्ट a के है ना यही तो रिलेशन की बेसिक डेफिनेशन थी कि अगर हमें सेट ए से सेट बी के बीच में रिलेशन बनानी है तो एक कार्ट प्रोडक्ट बी के सबसेट निकाल लो ए कार्टीजन प्रोडक्ट बी के जितने भी सबसेट होंगे व सारी की सारी रिलेशन है फ्रॉम सेट ए टू सेट बी तो वैसे ही ए कार्टीजन प्रोडक्ट ए के जितने भी सबसेट होने वाले हैं दैट इज द रिलेशन फ्रॉम सेट ए टू सेट तो रेट पावर ना टोटल रिलेशन है बट उनमें से सिर्फ एक है ना रे टू पावर ना में से सिर्फ और सिर्फ एक रिलेशन ऐसी होने वाली है जो कि आइडेंटिटी रिलेशन कहलाए गी है ना ओनली वन रिलेशन ठीक है जैसे मधुमक्खी के है ना उसके अंदर सिर्फ एक ही क्वीन होती है राइट मधुमक्खी के छते में है ना एक ही क्वीन होती है ऐसा बोला जाता है मुझे नहीं पता ठीक है तो वैसे ही इतनी सारी रिलेशंस में से 2 रे टू पावर ना में से एक ही भैया आइडेंटिटी रिलेशन होने वाली है देर इज ओनली वन आइडेंटिटी रिलेशन ठीक है दिस इज आइडेंटिटी रिलेशन बाकी अगर कोई भी है जैसे रिलेशन r2 मैंने डिफाइन करी इस तरीके से नटू के साथ रिलेटेड थ के साथ रिलेटेड यह भी एक रिलेशन है बट य आइडेंटिटी रिलेशन नहीं है यह आइडेंटिटी रिलेशन नहीं है रिलेशन r3 मैंने डिफाइन करी एक नल रिलेशन यह भी एक रिलेशन है नल सेट इज आल्सो अ रिलेशन गाइस है ना ठीक है बट यह आइडेंटिटी रिलेशन नहीं है दिस इज नॉट नॉट एन आइडेंटिटी रिलेशन नॉट एन आइडेंटिटी रिलेशन आइडेंटिटी रिलेशन सिर्फ होने वाली है ठीक है क्लियर है इतनी बातें सुन लेना ध्यान से अब आगे बात चलती है रिफ्लेक्सिवली रिलेशन में अ सेट आर ऑन सेट ए इ सेड टू बी रिफ्लेक्सिवली एलिमेंट ऑफ ए इज रिलेटेड टू इट सेल्फ ट ए का हर एक एलिमेंट खुद के साथ रिलेटेड होना चाहिए बस इतना काफी है तो उसे रिफ्लेक्सिवली हो तो चले मतलब की समझना सेट ए मैंने दिया है टू 3 सेट ए वट 3 एक रिलेशन आरव डिफाइन करता हूं मैं नव है टू है क्या यह रिलेशन रिफ्लेक्सिवली रिलेशन r2 डिफाइन करते रिलेशन r3 मैंने डिफाइन किया यहां पर ट ओके और 31 रिलेशन r4 डिफाइन करता हूं अगर च इज ट हा जी 33 ओनली ओके तो देखो पहली वाली जो रिलेशन है वो रिफ्लेक्सिस इज नॉट रिफ्लेक्सिस इज नॉट रिफ्लेक्सिस क्यों नहीं है वाली रिलेशन क्योंकि यहां पर थ मिसिंग है गाइस यहां पर थ मिसिंग है तो एवरी एलिमेंट ऑफ ए इस ए का हर एक एलिमेंट खुद के साथ रिलेटेड होना चाहिए मतलब इतना सा है क्या ए का हर एक एलिमेंट खुद के साथ रिलेटेड होना ही होना चाहिए इतना अपने को मांगता है बेसिक सी इसकी रिक्वायरमेंट है कि भैया बस इतनी चीजें दे दो कितनी चीजें कि वनव दे दो टू दे दो 33 दे दो ए में तीन एलिमेंट है वो तीनों खुद के साथ रिलेटेड होने चाहिए बस इसके अलावा अगर कुछ एक् भी है जैसे यहां पर 2 व के साथ रिलेटेड है कोई दिक्कत नहीं है रिफ्लेक्सिवली है अब उन चार के अलावा एक्स्ट्रा जितने भी हो कोई फर्क नहीं पड़ता है है ना एक्स्ट्रा चलेगा यहां प एक्स्ट्रा चलेगा तो दिस इज रिफ्लेक्सिस में रिफ्लेक्स आर एफ एल एक्स आईवी रिफ्लेक्सिस है यह वाली जो रिलेशन है यह रिफ्लेक्सिस इ नॉट रिफ्लेक्सिस है नॉट रिफ्लेक्सिवली आइडेंटिटी भी है रिफ्लेक्सिस इज आइडेंटिटी एंड रिफ्लेक्सिस इज आइडेंटिटी आइडेंटिटी तो है ही ये देखो दूसरी वाली आइडेंटिटी रिलेशन नहीं है आइडेंटिटी रिलेशन में ना बस भैया जितना चाहिए उतना ही चाहिए बस कि अगर सपोज तीन एलिमेंट्स है तो तीन ही ऑर्ड पेर मांगता है अपने पास में 1 2 2 33 एक्स्ट्रा नहीं होने चाहिए तो आइडेंटिटी रिलेशन है एंड रिफ्लेक्सिवली दोनों हो चुके है ठीक है है ना आइडेंटिटी रिफ्लेक्सिवली बात के ऊपर एक नोट करके कि एवरी आइडेंटिटी रिलेशन इज अ रिफ्लेक्सिवली है तो वो रिफ्लेक्सिवली बट रिफ्लेक्सिवली हो ऐसा जरूरी नहीं है जैसे ये रिफ्लेक्सिवली नहीं है गाइ ये रिफ्लेक्सिवली बट ये आइडेंटिटी नहीं है तो अगर मैं तुमसे सिंपल सा सवाल पूछूं एक बड़ा ही आसान सा सवाल है ओके सेट ए के अंदर सेट ए में मैंने चार एलिमेंट्स दिए 1 2 3 4 सवाल यह है कि हाउ मेनी हाउ मेनी रिफ्लेक्सिवली रिलेशन रिलेशंस कैन बी फॉर्म ठीक है कि कितनी रिफ्लेक्सिवली बना सकते हो और कितनी आइडेंटिटी रिलेशन बना सकते हो तो यह सवाल है आंसर बताओ तो आइडेंटिटी रिलेशन कितनी होगी पहले तो यह बताए अगर किसी ने इतनी बातें ध्यान से सुनी है तो पहली चीज तो यह चमकेगी कि सर आइडेंटिटी रिलेशन कितनी होने वाली है जल्दी से बताओ आइडेंटिटी रिलेशन कितनी होगी कमेंट सेक्शन भर दे भैया कितनी आइडेंटिटी रिलेशन होने वाली है हाउ मेनी आइडेंटिटी रिलेशन सो देर इज ओनली वन आइडेंटिटी रिलेशन आइडेंटिटी रिलेशन जो है वो सिर्फ और सिर्फ एक ही होगी क्योंकि वो यूनिक होती है है ना आइडेंटिटी रिलेशन के बारे में बात करें तो सिर्फ और सिर्फ एक ही होने वाली है वो होगा 1 22 33 और 44 सिर्फ एक ही आइडेंटिटी रिलेशन पाई जाएगी इसके अलावा और कोई नहीं होगी क्योंकि अगर एक भी ऑर्ड पेयर एक्स्ट्रा हुआ तो व आइडेंटिटी नहीं कहलाए कीी या इसमें से एक भी कम हुआ तो भी वो आइडेंटिटी नहीं कहलाए कीी आइडेंटिटी के लिए फिक्स है भैया कि ये चार मांगता है अपने को एवरी एलिमेंट शुड बी रिलेटेड टू इट सेल्फ एंड इट सेल्फ ओनली हर एक एलिमेंट सिर्फ खुद के साथ और खुद के साथ ही रिलेटेड है है ना तो यह आइडेंटिटी रिलेशन कहलाए कीी रिफ्लेक्सिस ये रिफ्लेक्सिवली भी है तो आइडेंटिटी रिलेशन नंबर ऑफ आइडेंटिटी रिलेशन तो वन ही आएगा नंबर ऑफ आइडेंटिटी रिलेशन इज वन ओनली ठीक है यह बात क्लियर है सबको कि नंबर ऑफ आइडेंटिटी रिलेशन तो वन ही आने वाला है इसमें कोई संदेह नहीं है है ना ठीक है बाजीराव की तलवार की धार और नंबर ऑफ आइडेंटिटी रिलेशन ठीक है समझ गए ना बातो को ओनली ठीक है वन वुमेन मैन है भैया आइडेंटिटी रिलेशन सिर्फ एक ही आती है आइडेंटिटी रिलेशन रिफ्लेक्सिस बहुत सारी आ सकती है रिफ्लेक्स रिलेशन बहुत सारी आ सकती है वो कौन-कौन सी आ सकती है देखो जरा तो रिफ्लेक्स रिलेशन में क्या है ना बेटा हाज रिफ्लेक्स रिलेशन अगर मेरे को बनानी है तो सिंपल सी बात यह है कि भैया इन चार को ले लो इन चार को ले लो कौन-कौन नव 22 33 और 44 इन चार को ले लो ओके फिर मैंने कहा एक्स्ट्रा भी चलेगा इन चार के अलावा एक्स्ट्रा भी चलने वाला है अगर नटू होगा तो वह भी होगा एक्स्ट्रा नहीं होगा तो भी वो रिफ्लेक्सिवली है एक्स्ट्रा कितने डाल सकते हैं भैया एक्स्ट्रा कितने डाले जा सकते है ना वो हमें उसके ऊपर सोचना है दैट इज द ठीक है समझ में आया सोचना किस तरीके से सोचना इस तरीके से कि भैया रिफ्लेक्सिवली हो गई है ना अब कितनी रिफ्लेक्सिस और कितने कितने पॉसिबल है एक्स्ट्रा तुम एक ही डालो या दो डालो या चार डालो और कितने पॉसिबल है उसके ऊपर बात चल रही है ओके तो एक कान प्रोडक्ट ए के ऊपर गौर फरमाइए कि अगर मैं एक कार्टन प्रोडक्ट ए के बारे में बात करूं तो एक कार्टन प्रोडक्ट ए में अगर ए का कार्टन प्रोडक्ट ए के साथ ही लेता हूं तो यह चार तो एलिमेंट्स आएंगे और या फिर नंबर ऑफ एलिमेंट के बारे में बात करूं नंबर ऑफ एलिमेंट इन ए कार्टन प्रोडक्ट ए ठीक है चलो इसको एक काम करते हैं अगले पेज के ऊपर थोड़ी जगह लेकर समझाते हैं आपको सुनो जरा सेट ए मैंने दिया है टूथ 4 ओके अगर मैं तुम से पूछूं कि a कार्टीजन प्रोडक्ट a क्या होगा तो a कार्टीजन प्रोडक्ट a आप बताओगे कि व होगा 2 2 होगा 33 होगा 44 होगा और भी कुछ-कुछ होंगे और भी कुछ-कुछ होंगे है ना और इसके अंदर 1 2 भी हो सकता है ठीक है 1 भी होगा 1 भी होगा है ना a कार्टीजन प्रोडक्ट a के अंदर कितने एलिमेंट्स होंगे इन टोटल सारे लिखने तो पॉसिबल है नहीं बट इतनी बात मैं बता देता हूं कि एक कार्टीजन प्रोडक्ट a के अंदर टोटल 16 एलिमेंट्स होंगे कि नंबर ऑफ एलिमेंट इन a इनटू नंबर ऑफ एलिमेंट इन a टोटल 16 एलिमेंट्स होने वाले हैं ए कार्टन प्रोडक्ट ए में यह बात मानते कि ए कार्टन प्रोडक्ट ए के अंदर टोटल 16 एलिमेंट्स होंगे जिसके अंदर अगर मुझे रिफ्लेक्सिवली है ना गाइस अगर मेरे को रिफ्लेक्सिवली बनाने का है तो इन चार को ले लो कौन चार 1 2 2 33 44 इन चार को ले लो बाकियों पर लगेगी बोली उनको ले कि उनको ना ले यह चार तो फिक्स है भैया यह चार तो खेलेंगे ही खेलेंगे मैच में ठीक है रिफ्लेक्सिवली नहीं रही तो यह चार तो फिक्स्ड है बाकियों के ऊपर अपने पास में बोली लगेगी कि भैया उनको लिया जाए कि उनको ना लिया जाए उनको लिया जाए कि ना लिया जाए बाकी कितने है मैंने कहा इन चार को उठा लो एक कार्टीजन प्रोडक्ट में से इन चार को उठा लो बा इसके अलावा जो बचे क्योंकि टोटल 16 है चार ये हो गए चार के अलावा बाकी कितने बचेंगे 12 एलिमेंट्स 12 ऑर्ड पेयर और बचने वाले हैं समझ रहे हो कि ए कार्टीजन प्रोडक्ट a के अंदर टोटल 16 एलिमेंट है इन चार को छोड़ दो तो बाकी 12 डड पेयर और बचने वाले है अब हर एक डड पेयर के ऊपर बोली लगने वाली है क्या यार टू को लू कि ना लो है ना दो ऑप्शंस नटू को ले तो भी रिफ्लेक्सिवली तो भी रिफ्लेक्सिवली तो इसको ले ना ले दो ऑप्शन इसको ले ना ले दो ऑप्शन इसके लिए भी दो ऑप्शन इसके लिए भी दो ऑप्शन तो बाकी 12 में हर एक के लिए दोदो ऑप्शंस है तो इधर 2 रे टू द पावर 12 ऑप्श 2 रे टू द पावर 12 पॉसिबिलिटीज आ गई समझ रहे बात को 2 रेट पावर 12 पॉसिबिलिटीज आने वाली है है ना 2 रेट पावर 12 टोटल पॉसिबिलिटीज और अपने पास में दिखने वाली है तो इतनी रिफ्लेक्सिस मिल जाएगी यह तो फिक्स्ड है दज फोर फिक्स इनको लेना ही है रिफ्लेक्स बोला है तो इन चार को लेना ही है बाकी हर एक के ऊपर य जो 12 डड पेर बच गए ना हर एक के ऊपर दोदो पॉसिबिलिटी लगी कि इसको ले ना ले इसको ले ना ले इसको ले ना ले है ना तो हर एक के ऊपर 2 * 2 * 2 तो टोटल 2 रेट पावर 12 तो टोटल रे टू पावर 12 हमारे पास रिफ्लेक्सिवली है 2 रे टू द पावर 12 रिफ्लेक्सिवली रिलेशन की फुल फील आ चुकी है क्या सारी चीजें समझ में आ ग आइडेंटिटी रिफ्लेक्सिस के लिए यह बातें समझ में आ गई कि भैया इन चार को तो खिलाना ही पड़ेगा तभी रिफ्लेक्सिवली गी इसमें से एक भी मिस हुआ तो वो रिफ्लेक्सिवली करना है इसी को ही अगर जनरलाइज करना है तो जनरलाइज भी कर देते हैं कि अगर नंबर ऑफ एलिमेंट इन सेट ए प है अगर सेट ए के अंदर प है तो नंबर ऑफ आइडेंटिटी रिलेशन तो वन ही होती है नंबर ऑफ आइडेंटिटी रिलेशन तो एक ही आने वाली है बट नंबर ऑफ रिफ्लेक्सिस के बारे में बात करें ठीक है नंबर ऑफ रिफ्लेक्सिस के बारे बात करें तो कितनी आएगी भैया तो फिर से ऐसे ही सोचना तुम लोग कैसे कि एक कार्टीजन प्रोडक्ट ए में अगर तुम नंबर ऑफ एलिमेंट्स देखोगे तो प स्क्वा आएंगे अगर सेट ए के अंदर प एलिमेंट्स है तो एक कार्टीजन प्रोडक्ट ए में प स्क्वा एलिमेंट्स आएंगे उन p स्क्वायर में से p को तो खिलाना ही है p एलिमेंट्स कौन से जैसे 1 1 2 2 3 3 4 4 उन p को तो खिलाने का ही है है ना उन p स्क्वा में से उन p को तो खिलाना ही है बाकी जो p स्क्वायर को हटाया तो जो बाकी p स्क्वा माइनस p एलिमेंट्स बचेंगे ना सबके लिए बोली लगेगी ठीक है समझो बात को तो 2 रे पावर p स् - p दिस इज द नंबर ऑफ रिफ्लेक्सिवली रिफ्लेक्स रिलेशन आता है हां जी क्या यह बातें समझ में आई ओके कि प को तो खिलाने का ही है रिफ्लेक्सिस बनाना है तो इसके अंदर अगर यह प एलिमेंट है सेट ए के अंदर सेट ए के अंदर प एलिमेंट है टूथ एंड सो ऑन अप टू प तक लेट्स से और यहां पर भी टूथ अप टू प तक तो इन प को खिलाना पड़ेगा कौन से 1 2 2 33 प है ना ठीक है तो इनको अपने को खिलाने का पड़ेगा इन p को खिलाना है उसके अलावा जो एलिमेंट्स बचे हैं p स् - p एलिमेंट्स बचेंगे उसके अलावा p स् माइ p एलिमेंट्स में हर एक एलिमेंट के पास में दो चॉइसेज कि उसको लिया जाए ना लिया जाए लिया जाए ना लिया जाए तो 2 * 2 * 2 ू को मल्टीप्लाई कर रहे हैं p स् - p टाइम्स तो 2 रे टू द पावर p स् - p यस पीयूष ऐसा अपन कह सकते हैं कि आइडेंटिटी रिलेशन इज द सबसेट ऑफ रिफ्लेक्सिवली क्लियर है अब आगे बात करते हैं सिमेट्री रिलेशन के बारे में आइडेंटिटी क्लियर है तो सिमेट्री के बारे में अब बातें करी जाए सिमेट्री के अंदर क्या सीन है ना बेटा सिमेट्री में कॉज एंड इफ़ेक्ट वाला सीन आता है ठीक है सिमेटिक में कैसा सीन होता है देखो नहीं नहीं ओनली 2 रे पा 12 + 1 क्यों भाई वह सारे आ गए ना + 1 क्यों करना है ठीक है सोचो जरा उसके अंदर वो भी इंक्लूडेड है है ना किसी के मन में यह सवाल आया और अच्छा सवाल है मन में आ सकता है कि सर 2 रेट पावर 12 प्व कर दिया मैं समझ पा रहा हूं तुम क्यों प्लव कर रहे हो तुम प्लस व कर रहे हो कि सि सिर्फ यह वाली ये 2 रे टू पावर 12 पॉसिबिलिटी में व भी पॉसिबिलिटी है जब इनमें से सबको रिजेक्ट कर दिया गया कि यहां पर इसके पास दो चॉइस इसके पास दो चॉइस इसके पास दो चॉइस टोटल 12 है 2 रेट पावर 12 चॉइस उसके अंदर एक वो भी केस इंक्लूडेड है कि सबको रिजेक्ट कर दिया मतलब इनमें से किसी को को भी सेलेक्ट नहीं किया वो वाला केस भी आ ही चुका है ये आइडेंटिटी वाला आइडेंटिटी वाला भी इंक्लूडेड है इसमें 2 रे पावर 12 में आइडेंटिटी वाला भी इंक्लूडेड है इस 2 रे टू पावर 12 में ये समझना पड़ेगा तुमको सोचो जरा ठीक है अब चलो सिमेट्री की डेफिनेशन पढ़ते हैं डेफिनेशन सबसे पहले समझेंगे अ रिलेशन डिफाइन ऑन सेट इज सेड टू बी सिमेटिक देखो इफ देन वाला सीन है इफ देन वाला सीन है बेटा इसमें ठीक है कि अगर इफ a बी बिलोंग टू r देन b ए मस्ट बी नेसेसरीली है ना b कमा ए अगर a बी r का पार्ट है बेटा a बी बिलोंग कर रहा है रिलेशन r में है ना सिंपल सी इसकी कंडीशन इतनी सी है इसकी सिंपल सी कंडीशन यह है कि अगर इफ अगर बहुत इंपॉर्टेंट वर्ड है है ना इफ a बी बिलोंग टू r है ना देन बी ए शुड आल्सो बिलोंग टू आर है ना अगर बहुत इंपॉर्टेंट वर्ड है कि अगर एमा बी आ रिलेशन का पार्ट है तो बीमा ए भी रिलेशन का पार्ट होना चाहिए अगर हो रहा है तो यह रिफ्लेक्सिस कंडीशन है इधर समझेंगे इसको डिटेल में मत सम समझ आएगा तुम सुनते रहना बस ध्यान से फॉर एन एग्जांपल अगर सेट ए मैंने दिया है टूथ है ना सेट ए मैंने दिया है टूथ एक रिलेशन आव दिया है मैंने नल रिलेशन एक रिलेशन आ2 दिया है मैंने टूट कव एक रिलेशन r3 दिया है मैंने कि टूव टू थ एक रिलेशन r4 मैंने दिया है कि ट टव टू ठीक है हमारे सामने चार रिलेशन से जो कि मैंने सेट ए के ऊपर डिफाइन करी है ठीक है चार रिलेशन है जो कि मैंने सेट ए के ऊपर डिफाइन करी है मेरा सवाल यह है कि इसमें से रिफ्लेक्स ये सिमेटिक रिलेशन कौन सी है कि चच ऑफ द फॉलोइंग इ सिमेटिक रिलेशन सेट a1 2 3 दे रखा है तो क्या यह नल रिलेशन सिमेटिक है क्या यह वाली रिलेशन सिमेटिक है या फिर यह वाली है कि यह वाली है चारों में से कौन सी रिलेशंस हमारे पास में सिमेट्री है मल्टीपल चॉइस क्वेश्चन है ठीक है कि इनमें से कौन सी रिलेशन सिमेटिक है तो r1 हमारे पास में सिमेट्री है बेटा r2 भी सिमेट्री है बेटा r3 भी सिमेट्री है बट r4 सिमेट्री नहीं है r4 सिमेट्री नहीं है r1 है सिमेट्री ठीक है यहां पे कॉज एंड इफेक्ट वाला सीन है कि अगर ये ऐसा हो रहा है तो ऐसा होगा है ना r1 r2 r3 सिमेटिक रिलेशन है बट r4 यहां पे सिमेटिक रिलेशन नहीं है क्योंकि r4 में दिक्कत हो गई r4 में बोला है कि अगर 3 2 है तो थ होना चाहिए और अगर है है ना वो बातें होती है ना कि अगर तुम मिल जाओ ठीक है तो जमाना उलट पुलट कर देंगे अपन है ना ठीक है कि अगर तुम मिल जाओ तो भैया ठीक है अगर तुम मिल जाओ तो जमाना में फोड़ देंगे है ना सक्सेसफुल हो जाएंगे अगर तुम मिल जाओ नहीं मिले तो भी तो होंगे ना सक्सेसफुल सम ऐसा थोड़ना कि नहीं मिले तो आप सक्सेसफुल नहीं होंगे तो भी होंगे है ना बट प्रॉब्लम यह है कि मिल गए उसके बाद में भी तुम कुछ नहीं कर पाए है ना बातें बड़ी-बड़ी कर दी तुमने ठीक है कि अगर तुम मिल जाओ भैया मैं आईटी निकाल लूंगा ठीक है बातें तुमने बड़ी-बड़ी करी मिल भी गए और आईटी तुम्हारी निकली नहीं तो यह बात है अगर वाली चीज है है ना यहां पर देखो मिला ही नहीं यहां प ऐसा था कि ए बी था ही नहीं एमा बी था नहीं तो b ए की कोई जरूरत ही नहीं है है ना सिमेट्री ही अभी भी है ठीक है सिमेट्री की अभी भी है समझ में आ रही बातें इसने बोला कि भैया अगर तुम मिल जाओ तो भैया आईटी क्लियर कर लेंगे सपोज अगर तुम मिल जाओ तो आईटी क्लियर कर लेंगे अगर मिल गए और आईटी क्लियर कर ली इसके वाला ये सीन है कि ये मिल गया 1 2 2 1 भी रखा ये इफ बहुत इंपॉर्टेंट वर्ड यहां पे प्ले करता है इफ इज वेरी वेरी इंपॉर्टेंट गाइस है ना इफ इज वेरी वेरी इंपोर्टेंट ठीक है समझ रहे हो बात को यहां पे इफ बहुत इंपॉर्टेंट है कि ये ये है सिमेट्री रिलेशन इसके अंदर कोई प्रॉब्लम नहीं है इसने सिमेट्री की कोई कंडीशन वायलेट नहीं करी है सिमेटिक में ये है कि अगर एमा बी रिलेशन का पार्ट है तो बीमा ए भी होना चाहिए यहां पे a बी पार्ट ही नहीं है यहां पे पार्ट था यहां प टू पार्ट था और टव भी इसने रखा है यहां पर टू पार्ट था टव रखा है 3 2 था 2 3 भी लिखा है सारी सारी इसने कंडीशन कि अगर 1 2 मिला तो 2 1 भी रखेंगे अगर 3 2 मिला तो 2 3 भी रखेंगे यहां पे क्या हुआ यहां पे 3 2 तो मिल गया बट इसने 2 3 नहीं रखा तो इसलिए ये सिमेट्री रिलेशन नहीं है समझे क्या बात को सो दैट इज व्हाई दिस इज नॉट सिमेट्री दैट इज व्हाई दिस इज नॉट सिमेट्री हां जी बात क्लियर है सिंपल है ओके तो इधर यह वाला सीन बहुत रहता है कॉज एंड इफेक्ट वाला सीन तो सिमेट्री के लिए य चीज यह कांसेप्ट आप अच्छे से ध्यान रखना यह जो नल रिलेशन है इसको अपन बोलते हैं एमटी रिलेशन इसको अपन क्या बोलते हैं एमटी रिलेशन कि सेट ए का कोई भी एलिमेंट सेट ए के साथ रिलेटेड है ही नहीं इसको अपन एमटी रिलेशन बोलते हैं एमटी रिलेशन इज आल्सो सिमेटिक रिलेशन और इसमें से रिफ्लेक्सिवली कोई भी नहीं है रिफ्लेक्सिवली के लिए तीन चीजों की जरूरत थी वव 2 2 33 है ना ये तीनों होते अगर किसी रिलेशन में ये तीन ऑर्ड पेयर अगर किसी रिलेशन में पाए जाते तो उसको अपन रिफ्लेक्सिवली तो नहीं बोलेंगे आगे चले हां जी क्या क्लियर है ओके हां आगे बढ़ते हैं ठीक है ठीक है ठीक है अब ट्रांसिटिव के बारे में बात करते हैं ट्रांसिटिव की भी डेफिनेशन ध्यान से सुन लेना यहां पर चैट वेट से थोड़ा ध्यान हटाओ और यहां पर ट्रांसिटिव के रिलेशन में इधर आओ ट्रांजिट रिलेशन के बारे में समझते हैं ट्रांजिट रिलेशन में भी यही बोला गया है कि यहां पर भी इफ कंडीशन यही है कि इफ एमा बी बिलोंग टू आर कि अगर एमा बी रिलेशन का पार्ट है एंड बीमा सी भी रिलेशन का पार्ट है कंडीशन यह है कंडीशन क्या है कि अगर ये और यह ए बी ए इज रिलेटेड टू बी और फिर बी सी से रिलेटेड है ए के लिए आउटपुट बी है बी के लिए आउटपुट सी है है ना कि ए इज रिलेटेड टू बी एंड बी इज रिलेटेड टू सी ऐसा टाइप का रिलेशन चल रहा है कि ए बी के साथ रिलेटेड है बी सी के साथ रिलेटेड है तो ए भी सी के साथ रिलेटेड होना चाहिए देन इट इंप्लाइज दैट a कमा सी शुड आल्सो बी अ पार्ट ऑफ दैट रिलेशन तब जाके इसको ट्रांसिटिव बोलेंगे अगर अगर ये कंडीशन नहीं फुलफिल कर रहा है तो ट्रांजिटिंग नहीं कहेंगे ठीक है तो यहां पे भी वही चीज है कि अगर ये ऐसा होता है अगर ये ऐसा होता है तो ऐसा होना चाहिए बात ये है अगर ऐसा हो ही ना तो तो यहां पे भी वही बात है कि एमटी रिलेशन एमटी रिलेशन इज अ ट्रांजिटिंग रिलेशन एमटी रिलेशन होती है ट्रांजिटिंग रिलेशन क्योंकि एमटी रिलेशन में ऐसा कुछ होता ही नहीं है है ना इसने बोला है कि अगर ऐसा कुछ हो तो ऐसा होना चाहिए अगर ए बी से रिलेटेड है b स से रिलेटेड है तो ए से रिलेटेड होना चाहिए एमटी रिलेशन ने ऐसा कोई रिस्क ही नहीं लिया इसने बोला एमटी रिलेशन में तो कुछ भी नहीं होता एमटी रिलेशन तो खाली है ना ए बी से रिलेटेड है ना बी सी से रिलेटेड है तो इसकी तो कोई जरूरत ही नहीं है है ना ना ये इससे रिलेटेड है ना ये इससे रिलेटेड है तो इसकी कोई जरूरत है ही नहीं तो एमटी रिलेशन जो होती है वो ट्रांजिट रिलेशन की कैटेगरी में भी आती है एमटी रिलेशन सिमेटिक रिलेशन भी होती है तो अगर कोई रिलेशन एमटी है तो वो ट्रांजिट सिमेटिक दोनों ही कहलाए आई होप दिस डेफिनेशन इज क्लियर टू ऑल ऑफ यू जैसे यह देखो पहचानो जरा इसमें से 1 21 2211 क्या यह रिलेशन रिफ्लेक्सिवली पर डिफाइन है कौन सी रिफ्लेक्सिवली सिमेट्री है कौन स ट्रांजिटिंग है बातें करनी है इनके बारे में हां जी तो पहली वाली रिलेशन को ध्यान से देखिएगा क्या ये रिफ्लेक्सिवली क्या रिफ्लेक्सिवली नहीं कहलाए गी क्योंकि रिफ्लेक्सिवली 1 1 2 2 33 तीनों होने चाहिए यहां पे 1 1 है 2 2 है बट 33 मिसिंग है तो रिफ्लेक्सिवली है क्या सिमेट्री की कंडीशन निभाई है इसने कि a b है तो b a होना चाहिए 1 2 है है 2 1 है इसने कोई सिमेट्री की कंडीशन तोड़ी नहीं है 2 2 जो है वो 2 2 है तो 2 2 है है ना तो ये सिमेट्री है गाइ ये सिमेट्री है रही बात ट्रांजिटिंग की क्या ये ट्रांजिटिंग है क्या या ये ट्रांजिटिंग है क्या तो ट्रांजिटिंग के लिए चेक करना थोड़ा सा ट्रिकी रहता है ना उसके लिए अपने को देखना ही पड़ेगा कि यार कहीं कोई ट्रांजिटिंग की कंडीशन नहीं वायलेट कर रहा हो कि वट के साथ रिलेटेड 2 1 के साथ रिलेटेड तो वन भी वन के साथ रिलेटेड होना चाहिए वो है पड़ा है अगर यहां पर सपोज वनव नहीं होता ना अगर यहां पर वनव नहीं होता तो ये ट्रांजिटिंग नहीं होती क्योंकि वन इज रिलेटेड टू टू टू रिलेटेड टू वन तो वन भी वन के साथ रिलेटेड होना चाहिए अगर वो यहां पे नहीं होता वनव तो ये ट्रांजिटिंग की कंडीशन कहीं से भी वायलेट कर नहीं रहा है सेकंड वाले के लिए देखा जाए तो रिफ्लेक्सिवली सिमेटिक भी नहीं है क्योंकि थ है तो टू होना चाहिए था टू है नहीं इसके पास तो सिमेटिक नहीं है रही बात ट्रांसिटिव की तो ट्रांसिटिव है ट्रांसिटिव की कंडीशन नहीं वायलेट करी इसने थ है ठीक है अगर ऐसा होता कि ू इ रिलेटेड टू थ और फिर ्र का रिश्ता किसी और के साथ जुड़ता ू इ रिलेटेड टूथ और ्र किसी के साथ रिलेटेड होता सपोज वन के साथ रिलेटेड होता और टव वाला डड पेर नहीं होता तो अपन बोलते हैं ये ट्रांजिटिंग की कोई कंडीशन वायलेट नहीं करी है यह ट्रांजिटिंग है इसमें कोई प्रॉब्लम नहीं है जैसे सपोज अगर रिलेशन r5 ऐसी होती ना भाई रिलेशन r5 ऐसी होती कि 2 3 होता और 3 2 होता लेट्स से 2 3 होता 3 2 होता तो अपन बोलते कि ये नॉट ट्रांसिटिव दिस इज नॉट ट्रांजिट है ना ये ट्रांजिटिंग रिलेटेड था तो ट होना चाहिए था 2 2 नहीं है तो ट्रांसिटिव नहीं है बट अगर सिंपल इतना ही है 23 तो इसने तो कोई ट्रांसिटिविटी की कंडीशन वायलेट ही नहीं करी है है ना तो ये ट्रांसिटिव तो है ही यहां पर देखा जाए 12 2 32 तो रिफ्लेक्सिवली चाहिए नहीं है यहां पे 32 है तो 23 होना चाहिए नहीं है यहां पे तो रिफ्लेक्सिवली तो नहीं है रही बात ट्रांजिटिंग होने वाला है क्या हां जी [संगीत] ट्रांजिटिंग है इसके अंदर ट्रांजिटिंग में कोई प्रॉब्लम नहीं है गाइस दिस इज ट्रांजिट ट्रांजिटिंग है बच्चे कई बार इसके अंदर फालतू में फालतू में कंफ्यूज हो रहे होते हैं कि सर ट है 3 2 है तो 1 3 होना चाहिए कुछ भी अपनी मर्जी से कंडीशन बना देते हैं ट्रांजिटिंग की कंडीशन तुम ढंग से समझना कि यहां पे क्या है कि वन इज रिलेटेड टू टू यहां पे क्या हो रहा है कि वन टू से रिलेटेड है और यहां पे टू से रिलेटेड है ऐसे सीन चल रहा है ट्रांजिटिंग वाला एक्टिव तब होता है जब नटू से रिलेटेड हो और ट किसी और से रिलेटेड होता तब अपन ट्रांसिटिविटी का केस बोलते कि नहीं है भैया यहां पर तो कोई दिक्कत ही नहीं है ना वन ने आउटपुट टू दिया थ ने भी आउटपुट टू दे दिया ठीक है क्या फर्क पड़ता है ट्रांसिटिव है ट्रांसिटिविटी की कंडीशन इसने वायलेट नहीं करी है है ना ट्रांसिटिविटी की कंडीशन इसने वायलेट नहीं करी है जैसे सपोज r6 में रिलेशन देता हूं कि वन इज रिलेटेड टू टू वन इ रिलेटेड टू थ वन इ ट ठीक है वन क्या यह ट्रांसिटिव रिलेशन है जी हां यह ट्रांसिटिव रिलेशन नटू के साथ रिलेटेड है थ के साथ रिलेटेड है ठीक है कोई दिक्कत नहीं है है ना यह ट्रांसिटिव है यह ट्रांसिटिव है ठीक है तो दिस इज अ ट्रांसिटिव रिलेशन इसमें कोई प्रॉब्लम नहीं ओके फिर चौथा वाला देखा जाए नल सेट है सेट रिफ्लेक्सिवली भी होगा ये ट्रांसिटिव भी होगा नल सेट जो एमटी रिलेशन होती है वो दोनों की दोनों ही है बाकी अभी अपन और एग्जांपल्स करेंगे धीरे-धीरे थोड़ी और क्लेरिटी आपको मिलती चली जाएगी कि क्या होता है ट्रांसिटिव क्या चीजें हैं वो धीरे-धीरे और क्लेरिटी आपको मिलती चली जाएगी ठीक है जैसे ये वाला एग्जांपल फटाफट से कर लेते हैं 11 22 वही चीज अपने को दिखाई देनी है कि रिफ्लेक्सिवली नहीं है सिमेट्री है ट्रांजिटिंग तो हो पहली वाली के लिए रिफ्लेक्सिवली के लिए 11 2 2 33 तीनों होने चाहिए थे तो ये रिफ्लेक्सिवली है ट्रांजिटिंग बेटा r2 इज व्हाट आइडेंटिटी रिलेशन और आइडेंटिटी रिलेशन तीनों होती है रिफ्लेक्सिवली के भी गुण है है ना तीनों के तीनों गुण मिल गए इसके रिफ्लेक्सिवली भी सिमेटिक वाले भी ट्रांसिटिव वाले भी ऐसे रिलेशन जो कि तीनों है उसको अपन इक्विवेलेंस रिलेशन बोलते हैं इसको अपन इक्वि वैलेंस रिलेशन बोलते हैं कैसी रिलेशन को जिसमें तीनों गुण मौजूद हो है ना थ्री गुण संपन्न हो अगर कोई रिलेशन है ना तीनों गुण अगर मिल रहे हैं उस रिलेशन के अंदर कौन से तीनों गुण रिफ्लेक्सिवली भी ट्रांसिटिव वाले भी अगर ये तीनों गुण मिल गए तीनों टिक टिक टिक आ गया तो वो इक्विवेलेंस रिलेशन हो होती है या फिर हमेशा ध्यान रखिएगा कि कोई भी आइडेंटिटी रिलेशन होगी ना आइडेंटिटी रिलेशन यूनिक होती है एक ही होती है वही एक है यही वो हमारी क्वीन है इसके अंदर से है ना मधुमक्खियों के छत्ते में यही हमारी वो क्वीन है जो कि अ आइडेंटिटी रिलेशन है यूनिक होती है ना क्वीन ठीक है मधुमक्खी के छते में एक ही क्वीन होती है जहां तक मुझे पता है है ना डोंट कोट मी ऑन दिस ओके तो यह आइडेंटिटी रिलेशन है तो वो तीनों कहलाए गी ना रिफ्लेक्सिवली ट्रांसिटिव उसको अपन क्या बोलते हैं इक्विवेलेंस रिलेशन कहते हैं r3 के बारे में देखा जाए तो 1 है 33 है 22 नहीं है 22 नहीं है तो यह रिफ्लेक्सिवली क्या ये सिमेटिक है क्या क्या ये सिमेटिक है रिफ्लेक्सिवली नहीं है ठीक है ट्रांजिटिंग कैसे हुआ अब सुनो जरा बातों को ध्यान से अब देखते हैं यहां पे सिमेटिक सिमेटिक के बारे में देखेंगे तो 31 है 1 3 है 23 है बट 32 नहीं है 23 है बट 32 नहीं है तो इसलिए ये सिमेटिक भी नहीं होगा इसलिए ये सिमेटिक भी नहीं होगा क्या ये ट्रांजिटिंग होने वाला है क्या गाइस इज इट गोइंग टू बी ट्रांजिटिंग के लिए चेक करना पड़ता है कि कहीं वायलेट तो नहीं हो रहा ट्रांजिटिंग की कंडीशन कि 3 वन के साथ रिलेटेड है फिर 1 3 के साथ रिलेटेड है तो 3 भी थ के साथ रिलेटेड होना चाहिए वो है मौजूद है यहां पे वो मौजूद है 3 1 के साथ 1 3 के साथ तो थ भी थ के साथ रिलेटेड होना चाहिए वो ऑलरेडी है तो अभी तक तो नहीं करी और चेक करो है ना गलतियां ढूंढो बेसिकली कि देखो यार ट्रांजिटिंग की कहीं एक भी अगर केस मिल जाए एक भी इसमें कमी दिख जाए कि भैया ये ट्रांजिटिंग की कमी है यह ट्रांजिटिंग नहीं होगी सोचो जरा ऐसा कोई भी केस मिल रहा है क्या यहां पे कि 2 3 से रिलेटेड है फिर 3 व से रिलेटेड है है ना यहां पर मिल गया अपने पास में इधर क्या हो रहा कि 2 3 है 2 3 एंड 31 रिलेशन का पार्ट है तो देखो थ से रिलेटेड है फिर 3 व से रिलेटेड है तो ू भी वन से रिलेटेड होना चाहिए मतलब 2 1 भी जो है व रिलेशन का पार्ट होना चाहिए क्या है क्या रिलेशन का पार्ट 21 नहीं है भैया 2 व इज नॉट अ पार्ट ऑफ दिस रिलेशन 2 व रिलेशन का पार्ट नहीं है तो इसलिए ये ट्रांजिट भी नहीं कहलाए गी तो ये रिफ्लेक्सिवली ट्रांसिटिव तीनों ही नहीं है इसके लिए देखा जाए तो ये तो मैंने बात करी थी रिफ्लेक्सिवली और ट्रांसिटिव है कोई दिक्कत नहीं है रिफ्लेक्सिवली नहीं है सिमेट्री है ट्रांजिटिंग नहीं वायलेट करी ठीक है और इसके लिए देखा जाए तो ये भी रिफ्लेक्सिवली तो कुछ कुछ चीज अपने पास में थोड़ी बहुत क्लियर हुई होगी इन सवालों से हां जी गाइस टेल मी टेल मी टेल मी अब थोड़े और सवाल करते हैं ठीक है लेट्स डू मोर क्वेश्चन क्योंकि और क्वेश्चंस करेंगे तो क्या होगा और क्लेरिटी मिलेगी यह होगा ठीक है चलिए आइए फटाफट फटाफट और क्वेश्चन की तरफ प्रस्थान करते हैं अपन लोग तो पहली वाली रिलेशन ओनली ट्रांसिटिव है पहली वाली रिलेशन क्या बोल रही है r1 इज द सेट ऑफ ऑर्डर पेयर एक्स कवा सच दैट एक्स इज लेस दनवा एक्सवा से छोटा होना चाहिए एक्स इ लेस दनवा जहां पर एक्स बिलोंग टू नेचुरल नंबर वा बिलोस टू नेचुरल नंबर तो भाई य रिफ्लेक्सिवली रिलेशन रिफ्लेक्सिवली व कमाव इसका पार्ट नहीं होगा क्योंकि वन इज नॉ लेस दन वन टू इस रिलेशन का पार्ट नहीं होगा क्योंकि टू लेसन टू नहीं है बट अगर यहां पर मैं इक्वलिटी लगा देता तो ये रिफ्लेक्सिवली लगी होती तो ठीक है इक्वलिटी लगी होती तो वव 2 2 3 3 ये सारी चीजें आ चुकी होती तो ये रिफ्लेक्टिव हो जाता बट यहां पर इक्वलिटी नहीं लगी तो यह रिफ्लेक्सिवली बात रिफ्लेक्सिवली इज द पार्ट ऑफ दिस रिलेशन तो a सी भी रिलेशन का पार्ट होगा ही होगा कि a अगर बी से छोटा है बी अगर c से छोटा है तो a भी तो c से छोटा होने वाला ही है ना ठीक है इफ a इज लेसन बी बी इज ले c तो ये ओनली ट्रांजिट रिलेशन है देखते ही समझ में आना चाहिए कि भैया ये ट्रांसिटिव रिलेशन है ओके सेकंड वाले में देखा जाए तो यह सिर्फ और सिर्फ सिमेटिक रिलेशन है यह रिफ्लेक्सिवली रिफ्लेक्सिवली है तुम बोलोगे सर 5 5 है ना इसका पार्ट क्योंकि 5 + 5 10 होता है मैंने कहा हां भैया 5 5 है बट क्या वव है क्या 2 2 है क्या 3 3 है क्या सारे डेड पेयर मौजूद होने चाहिए ना यहां पे 1 1 2 2 3 3 सारे के सारे मौजूद होने चाहिए सारे मौजूद यहां पे नहीं है तो ये रिफ्लेक्सिवली हो जाएगा सिमेटिक हो जाएगा सेकंड वाला सिमेट्री हो जाएगा क्योंकि 1 9 इसका पार्ट है तो 9 भी इसका पार्ट है अगर 2 8 इसका पार्ट है तो 8 2 भी इसका पार्ट है क्योंकि अगर 2 प् 8 10 है है ना सिंपल सी बात है इसके लिए इफ एमा बी बिलोंग टू दिस रिलेशन इसका मतलब क्या हुआ कि a प् बी की वैल्यू 10 आ रही होगी अगर ए बी इस रिलेशन का पार्ट है इफ तो बीमा ए भी इस रिलेशन का पार्ट होगा क्योंकि b प् ए की भी तो वैल्यू 10 ही होगी ना यार a प् बी बी प् ए दोनों की वैल्यू सेम होती है तो ये सिमेटिक है रही बात ट्रांसिटिविटी की कि क्या यह ट्रांसिटिव है क्या क्या यह रिलेशन ट्रांसिटिविटी की किसी कंडीशन को वायलेट कर रहा है क्या इसके बारे में बात करते हैं है ना तो अगर मैं देखूं तो 2 8 है ना इज द पार्ट ऑफ दिस रिलेशन एंड 8 ू भी इस रिलेशन का पार्ट है समझ रहे हो बात को कि 2 8 इस रिलेशन का पार्ट है 8 2 भी इस रिलेशन का पार्ट है बट क्या ट इस रिशन का पार्ट है क्या बट टू इज नॉट अ पार्ट ऑफ दिस रिलेशन है ना बट टू इस रिलेशन का पार्ट अपने को नहीं दिख रहा है क्योंकि 2 प् 2 10 नहीं होता है ना 2 प् 8 10 होता है 8 प् 2 10 होता है ब 2 प् इ नॉट 10 तो यस दिस इज नॉट ट्रांसिटिव इसलिए यह ट्रांसिटिव नहीं है हां जी बताइए जरा समझ में आई बात है फिर ये जो है ओनली रिफ्लेक्सिवली क्योंकि यहां पर बोल रखा है कि x बरावा और x माइवा बराबर 1 ठीक है यह रिलेशन यह बात हो रही है r2 के बारे में यह सारी की सारी जो हमने बातें करी है यह r2 के बारे में बात करी है अब अपन r3 के बारे में बात कर लेते हैं ठीक है अब अपन r3 के बारे में बात कर लेते हैं फाइनली 5 फ है बिल्कुल मान दो 5 फ है बट वव नहीं है ना बेटा ट नहीं है ना 3 नहीं है ना सारे होने चाहिए ना तभी तो रिफ्लेक्सिवली वो सारे सारे मौजूद नहीं है वो सारे r3 का पार्ट जरूर है कि a ए इज द पार्ट ऑफ रिलेशन r3 a ए इज द पार्ट ऑफ दिस रिलेशन r3 क्योंकि अगर एकवा के इक्वल है तो वो इस रिलेशन का पार्ट होगा बोल रखा है इन्होंने और का मतलब कि या फिर x - y की वैल्यू वन है तो भी रिलेशन का पार्ट हो जाएगा इस बार उस रिलेशन में क्या कंडीशन लगाई गई है इन्होंने बोला है कि x y के इक्वल आ जाए तो रिलेशन में ले लेना या फिर x - y की वैल्यू वन आ जाए तो भी को रिलेशन में ले लेना तो एक्सवा के इक्वल तो a ए में आ ही रहा है तो रिलेशन का पार्ट है ठीक है तो यहां पर ये दिस इज रिफ्लेक्सिवली रिलेशन ये रिफ्लेक्सिवली a ए इज अ पार्ट ऑफ दिस रिलेशन r3 बट x माइवा की वैल्यू जो वन दे रखी है ना क्या यह सिमेटिक होगी सिमेटिक नहीं होगी सिमेटिक क्यों नहीं होगी क्योंकि 5 फ तो पार्ट है इस रिलेशन का बट 4 फ इज नॉट अ पार्ट ऑफ दिस रिलेशन तो इट इंप्लाइज नॉट सिमेटिक है ना कोई भी एग्जांपल सोच लो कि 5 माइन 4 तोव होता है बट 4 माइन 5 व नहीं होता तो यह सिमेटिक नहीं है और ट्रांसिटिविटी के लिए भी आपको बहुत केसेस मिल जाएंगे है ट्रांजिट के लिए भी अगर अपन देखें तो 5 कमा फ रिलेशन का पार्ट है एंड 43 भी रिलेशन का पार्ट है ठीक है 5 फ इज द पार्ट ऑफ आ3 एंड 4थ इज द पार्ट ऑफ आ3 54 रिलेशन का पार्ट है 4थ रिलेशन का पार्ट है बट बट 53 इज नॉट अ पार्ट ऑफ दिस रिलेशन 5 3 इस रिलेशन का पार्ट नहीं है तो हेंस नॉट ट्रांजिट हेंस नॉट ट्रांजिटिंग को तो सिर्फ और सिर्फ हमें रिफ्लेक्सिवली पे x बरा y वाली कंडीशन पे ठीक है तो ये हमें रिफ्लेक्सिवली x + y = 7 x + y की वैल्यू क्या 7 आनी चाहिए तो यह रिलेशन किस प्रकार की है वो हमें देखनी है तो रिफ्लेक्सिवली रिलेशन राइट रिफ्लेक्सिवली से नहीं है 3+ 37 नहीं होता तो रिफ्लेक्सिवली मेंट्स है रही बात सिमेट्री की अगर इस रिलेशन को लिखना चाहूं तो लिख भी सकता हूं पूरापूरा कि कंडीशन के आधार पे जैसा कि कंडीशन बोल रही है 1 6 इसका पार्ट होगा 6 1 भी इसका पार्ट होगा क्योंकि 1 प् 6 7 6 प् 1 7 ओके और 2 5 इस रिलेशन का पार्ट है 5 2 भी इस रिलेशन का पार्ट है 3 4 इस रिलेशन का पार्ट है 43 भी इस रिलेशन का पार्ट है बस इतने ही डड पेयर आप पाएंगे दिस इज द रिलेशन यह रही हमारे सामने रिलेशन इस रिलेशन में अगर नंबर ऑफ डड पेयर भी पूछे जाए तो दिख जाएंगे टोटल 3 प् 3 टोटल छह ऑर्डर पेयर है अब इनको देख ते हुए यह तो समझ में आ रहा है कि ये रिफ्लेक्सिवली एक बार चेक कर लो ट्रांजिटिंग नहीं है तो दिस इज सिमेट्री बट नीदर रिफ्लेक्सिवली है ना ही ट्रांसिटिव है वेरी गुड बहुत सही बहुत सही यह भी देखो यह भी पवा क है # पवा क श 2022 में पूछा गया सवाल है एक बार देख लीजिए सवाल को तो लेट डब्लू डिनोट द वर्ड इन द इंग्लिश डिक्शनरी डिफाइन द रिलेशन आर बाय एक्सवा बिलंग टू डबल क्रॉस डल इस बार जो सेट है ना सेट के अंदर सारे वर्ड्स आ गए अभी तक सेट के अंदर अपन नंबर्स देख रहे थे जैसा कि मैंने बोला सेट किसी का भी कलेक्शन हो सकता है ना सेट नाम का कलेक्शन हो सकता है सेट सारे डिक्शनरी में जितने भी वर्ड्स है उन सब का कलेक्शन है सेट तो डब्लू क्रॉस डब्लू मतलब इस बार अपने पास में जो रिलेशन डिफाइन कर रहे हैं वो डिक्शनरी से डिक्शनरी के बीच में रिलेशन डिफाइन कर रहा है जैसे राम से किसी और नाम के अंदर है ना राम श्याम के बीच में रिलेशन डिफाइन कर दिया ठीक है तो ऐसे अपन रिलेशंस इस बार डिक्शनरी के वर्ड्स के आधार पर कर रहे हैं ठीक है कि नाइस का रिलेशन मीट के साथ कर दिया है ना कुछ भी ऐसे ओके नाइस टू मीट यू है ना कुछ भी ऐ अपने रिलेशन कर दिया द वर्ड एक्स एंड वा हैव एटलीस्ट वन लेटर इन कॉमन बस कंडीशन यह है कि एक्स और वा में एटलीस्ट एक लेटर कॉमन आना चाहिए कि अगर एटलीस्ट एक लेटर भी कॉमन आया तो वह इस रिलेशन का पार्ट होगा तो मतलब तुम समझ रहे हो कि अगर सारे के सारे लेटर कॉमन आ गए तो तो वो रिलेशन का पार्ट होगा ही है ना कि डल डल डल डल इज द पार्ट ऑफ दिस रिलेशन मतलब मतलब रिफ्लेक्सिवली मतलब रिफ्लेक्सिवली भी प्रॉब्लम नहीं है डल डब्लू इस रिलेशन का पार्ट होगा कैट कॉमा कैट डॉग कॉमा डॉग ठीक है डॉकी कॉमा डोंकी यह सारे इस रिलेशन का पार्ट होने वाले हैं ठीक है कि इनमें सारे ही लेटर कॉमन आ गए इन्होंने बोला एक लेटर भी कॉमन आ जाए तो रिलेशन का पार्ट हो जाएगा तो इसमें तो सारी लेटर कॉमन आ गए तो रिफ्लेक्सिवली कि अगर डव w2 इस रिलेशन का पार्ट है तो यस सी बात है डट डव भी इस रिलेशन का पार्ट होगा ठीक है है ना अगर कैट कॉमा रेट इस रिलेशन का पार्ट है तो रट कमा कैट भी रिलेशन का पार्ट होगा क्योंकि कैट और रट में अगर कोई लेटर कॉमन है तो रट और कैट में भी लेटर कॉमन है ही समझ बात को तो यह रिलेशन का पार्ट होने वाला है ही तो इसके लिए अपन बोल सकते सिमेटिक भी है इसमें भी कोई प्रॉब्लम नहीं है किस सिमेटिक ओके रही बात ट्रांसिटिविटी की क्या ट्रांसिटिव होगा क्या ऐसा होगा कि डव डट में कोई लेटर कॉमन है ट w3 में कोई लेटर कॉमन है तो ड और w3 में भी होगा क्या ऐसा बोल सकते अपन क्या ऐसा बोल सकते क्या शर है ऐसा हा जी बताओ की इफ w1 w2 इज द पार्ट ऑफ दिस रिलेशन मतलब दो वर्ड्स लिए वो इस रिलेशन का पार्ट है मतलब उन दोनों वर्ड्स में कोई एटलीस्ट एक लेटर कॉमन आ रहा है और एंड या फिर अपन डायरेक्ट एग्जांपल लेके देखे ना डायरेक्ट एग्जांपल ही लेके देखते हैं ठीक है कि की की नॉट श्यर जैसे एक लेटर लिया मैंने एक वर्ड लिया मैंने ए बी सी दूसरा लिया मैंने सीडी ठीक है मैंने देखो यह रिलेशन का पार्ट है इन दोनों वर्ड्स के बीच में इन दोनों वर्ड्स के बीच में सी कॉमन आ रहा है इन दोनों वर्ड के बीच में सी कॉमन आ गया तो य रिलेशन का पार्ट है एंड एंड यहां पर मैं सीडी एफ कॉमा एफजी एच यह भी इस रिलेशन का पार्ट है यह दोनों रिलेशन का पार्ट है यह दोनों भी रिलेशन का पार्ट है बट क्या यह दो दोन रिलेशन का पार्ट होंगे क्या ये दोनों रिलेशन का पार्ट नहीं है क्योंकि इन दोनों के बीच में कुछ भी कॉमन नहीं है तो [संगीत] ट्रांजिटिंग है सिमेटिक है बट ट्रांजिटिंग नहीं है ये बात समझ में आ गई इसमें ठीक है ऐसे कई सारे सवाल बनाए जा सकते हैं यह एनसीआरटी बेस्ड एग्जांपल है तो यह मैं तुम्हे डीबी के लिए दे रहा हूं डू इट बाय योरसेल्फ गाइस ठीक है होमवर्क क्वेश्चन है ट्राई करना है एनसीआरटी बेस्ड क्वेश्चन है आपको यह क्वेश्चन करना चाहिए है ना होना चाहिए आपसे य सवाल ठीक है प्रूफ दैट का सवाल है इली हो भी जाएगा ठीक अब इस टाइप के क्वेश्चन बहुत सारे पूछे जाते हैं कि टू और थ रिलेशन का पार्ट है देन मिनिमम नंबर ऑफ डड पेयर्स च वन एडेड टू आर मेक्स एन इक्विवेलेंस रिलेशन कितने मिनिमम डड पेयर ऐड करें कि यह रिफ्लेक्सिवली इक्विवेलेंस रिलेशन बन जाए इक्विवेलेंस का मतलब क्या हुआ कि जिसमें तीन गुण संपन्न थ्री गुण संपन्न है ना वो इक्विवेलेंस रिलेशन हो चुका है तो रिलेशन आ के अंदर अपने पास में है ट एंड थ अगर इक्विवेलेंस रिलेशन बनाना है तो क्या-क्या ऐड करना पड़ेगा सबसे पहले तो रिफ्लेक्स बना लो सबसे आसान है रिफ्लेक्सिवली तुम्हें वनव ऐड करना पड़ेगा ट ऐड करना पड़ेगा 33 ऐड करना पड़ेगा रिफ्लेक्सिवली ये तीन तुम्ह ऐड करने पड़ेंगे अब बात हो रही सिमेटिक की सिमेटिक के लिए टू है तो 21 तुम्ह ऐड करना पड़ेगा ठीक है थ है तो 31 ऐड करना पड़ेगा अभी तक यह बन चुका है रिफ्लेक्सिवली तो वायलेट नहीं हो रही हां जी ट्रांसिटिविटी की कोई कंडीशन तो वायलेट नहीं हो रही 2 व के साथ रिलेटेड है टू के साथ रिलेटेड है तो टू के साथ रिलेटेड होना चाहिए वो है वो टू बैठा है 3 व है थ है तो 3 3 होना चाहिए वो है 3 व है टू है तो टू भी होना चाहिए था टू भी होना चाहिए था तुम समझ पा रहे हो भैया 3 व है ए टू भी है 3 व के साथ रिलेटेड टू के साथ रिलेटेड तो टू होना चाहिए था तो अभी तक य ट्रांसिटिव है नहीं टू मौजूद नहीं है यहां पर तो टू तुम्ह ऐड करना पड़ेगा टू ऐड करना पड़ेगा जैसे ही तुमने टू ऐड किया तो सिमेटिक सिमेटिक इसका बिगड़ गया सिमेट्री बिगड़ चुकी है इसकी कि टू है तो थ होना चाहिए तभी जाक सिमेटिक कहलाएगा तो टू है तो साथ में उसके साथ थ भी आ गया भी आ गया तो अभी तक चलो सिमेटिक है अब फिर से देखो कहीं ट्रांसिटिविटी की कोई कंडीशन वालाइट तो नहीं हो रही है कि 2 3 है 31 हैव होना चाहिए 2 व बैठा है थ है ट है ठीक है ट होना चाहिए तो अब मुझे नहीं लग रहा कोई ट्रांजिट की कोई कंडीशन वायलेट हो रही है थ है 32 है ट होना चाहिए टू बैठा है तो मेरे ख्याल से ट्रांजिट है अब कोई दिक्कत नहीं ट्रांसिटिविटी की कोई कंडीशन वायलेट नहीं कर रखी अपन ने तो रिफ्लेक्सिवली सिमेट्री ट्रांजिटिंग तीनों है कितने ऑर्ड पेयर हमने ऐड किए हैं टोटल सात ऑर्ड पेयर ऐड किए हैं है ना सेवन ऑर्डरर ऐड करने पे यह बन पाया रिफ्लेक्सिवली हां जी हां जी बताओ कोई प्रॉब्लम यह भी एक पवा क क्वेश्चन है प्रीवियस ईयर सवाल है कि एक इज रिलेटेड टू y सच दैट x - y + √2 इज एन इरेशनल नंबर देन द रिलेशन आर इज रिलेशन r किस प्रकार की है रिफ्लेक्सिवली ट्रांसिटिव ठीक है सेवन है ना क्या बात थाला फॉर ए रीजन है ना सही है तुम जे मेंस के पेपर में साथ साथ लगा के आ जाना है ना जहां प भी जो भी आंसर ना आए साथ लगा देना आंसर ठीक है हां बस सिलेक्शन की गारंटी नहीं ले सकते फिर उसके बाद ओके तो अगर यह इरेशनल नंबर है यार तो इरेशनल नंबर अपने को बनाना है एक्स माइवा प् रट को तो सबसे पहले बात कर देते रिफ्लेक्सिवली है ना यही तो बोला गया है कि यह रैशनल नंबर होना चाहिए x - y + √2 एक रैशनल नंबर होना चाहिए क्या a a रिलेशन का पार्ट है मतलब a - a + √2 क्या इरल नंबर है जो कि है सर a से a कट जाएगा सिर्फ √2 बचेगा √2 इज एन रैशनल नंबर तो यस इट इंप्लाइज रिफ्लेक्सिवली है इसमें कोई प्रॉब्लम वाली बात नहीं है है ना रिफ्लेक्सिवली बात नहीं है बट सिमेटिक या ट्रांजिटिंग सिमेटिक या ट्रांसिटिव के बारे में देखा जाए तो सिमेटिक नहीं है सिमेट्री नहीं है क्योंकि अगर मैं देखूं √2 1 वो तो इस रिलेशन का पार्ट है बट 1 √2 इज नॉट अ पार्ट ऑफ दिस रिलेशन दिख रहा है साफसाफ तो एक एग्जांपल सोच लो जनरली जनरली अपन एग्जांपल से जाते हैं इसमें कि √2 1 तो रिलेशन का पार्ट है x की जगह √2 y की जगह 1 रखूं तो √2 -1 + √2 एक इरेशनल नंबर है बट 1 - √2 + √2 एक रैशनल नंबर नहीं आया तो √2 1 रिलेशन का पार्ट है बट 1 √2 रिलेशन का पार्ट नहीं है इट इंप्लाइज नॉट सिमेटिक नॉट सिमेट्री ठीक है हां जी फिर वैसे ही ट्रांजिट के लिए भी कोई एग्जांपल सोच लो ट्रांसिटिविटी के लिए भी कोई एग्जांपल सोच लो की रट रट है ना इज द पार्ट ऑफ दिस रिलेशन यह इस रिलेशन का पार्ट है ठीक है रट रट इस रिलेशन का पट है कोई भी एग्जांपल बता दो कि ट्रांजिट जहां पर फेल हो रही हो तो देखो √2 माइ √2 प् √2 इस रिलेशन का पार्ट होगा इरेशनल नंबर अपने पास बनेगा ओके फिर √2 कमा समथिंग सोचोगे जो भी इस रिलेशन का पार्ट होना चाहिए √2 समथिंग सोचोगे जो भी इस रिलेशन का पार्ट होना चाहिए बट 2 √2 वो चीज इस रिलेशन का पार्ट ना है ऐसा कोई एग्जांपल है क्या तुम कहीं से भी चालू कर सकते हो ठीक है है ना कहीं से भी तुम चालू कर सकते हो 2 √2 √2 से चालू करो या फिर तुम ऐसा सोच लो कि चलो √2 1 से चालू करते हैं कि √2 1 इस रिलेशन का पार्ट है फिर तुम सोचोगे वन कॉमा समथिंग जो इस रिलेशन का पार्ट हो न कमा समथिंग कि नमा रट इस रिलेशन का पार्ट है है ना रिलेशन का पार्ट है एक्स की जगह रटवा की जगह व रख रहा हूं तो अभी रैशनल नंबर बन रहा है एक्स की जगह ववा की जगह रट रख रहा हूं तो इस रिलेशन का पार्ट है बट एकस की जगह रट और वा की जगह रट रखूंगा तो जीरो बन जाएगा बट रट √2 इ नॉट पार्ट ऑफ दिस रिलेशन है ना तोस अपन कहेंगे कि इट पपला नॉट ट्रांसिटिव नॉट ट्रांसिटिव इसलिए ट्रांसिटिव नहीं है ठीक है तो ऐसे कई प्रकार के सवाल बनते हैं इसके ऊपर यह वाला क्वेश्चन यह वाला क्वेश्चन भी बहुत अच्छा सवाल है बहुत प्यारा सवाल है फिर से यह रैशनल रैशनल के ऊपर चर्चा कर रहा है लेट आरव एंड आट बी टू रिलेशन डिफाइंड एस बहुत बहुत सारे क्वेश्चन कर लिए ना अपन ने या आराम दे बाकी के सवाल खुद करोगे तुम क्योंकि क्वेश्चन सभी चार पाच छ और है मेरे पास इसी टॉपिक के ऊपर और क्वेश्चंस यहां पर मिल जाएंगे ठीक है यह वाला सवाल भी है यह सारे इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है ना यह सारे इंपोर्टेंट क्वेश्चन है यह वाला सवाल हो गया यह वाला सवाल भी ट्राई करना 2023 में पूछा गया इजली य क्वेश्चन हो जाएगा क्या करना चाहोगे चलो कर लेते हैं य वाला क् और कर लेते हैं और एक आ जो इसमें टफ है वो अपन कर लेते हैं बाकी तो मैं दे दूंगा मैं होमवर्क के लिए ओके चलो ये वाला क्वेश्चन करते हैं r1 एंड r2 बी टू रिलेशंस डिफाइंड एज फॉलोज a b बिलोंग टू r स् मतलब r क्रॉस r सच दैट a स् + b स् एक रैशनल नंबर है वो रिलेशन r1 हो गया रिलेशन r2 है जब a स् + b स् इज नॉट अ रैशनल नंबर करवाए चलो करते हैं करते करते है ना आ जाओ इन क्वेश्चंस को ट्राई करते हैं आप भी मेरे साथ-साथ इन क्वेश्चंस को करो तो ए स्क्वा प्स बी स्क्वा हमारे पास में रैशनल नंबर आ जाए ठीक है तो एमा बी रिलेशन का पार्ट हो जाएगा ए स्क प्स बी स्क रैशनल नंबर आ जाए तो ए बी रिलेशन का पार्ट हो जाएगा ठीक है जहां पर ए और बी कोई भी रियल नंबर हो सकता है ऐसा नहीं कि ए को इंटी जर रखना है या बी को इंटी जर रखना है जहां पर ए और बी कोई भी है ना ए और बी कोई भी रियल नंबर हो सकता है तो क्या दो रियल नंबर के स्क्वायर का सम हमेशा रैशनल नंबर ही होगा क्या सारे रियल नंबर आ जाएंगे इसके अंदर नहीं मतलब अगर मैं देखूं कि 2 की पावर 1/3 कॉमा 2 की पावर 1/4 है ना इज नॉट अ पार्ट ऑफ दिस रिलेशन नॉट अ पार्ट ऑफ r1 अगर मैं सिर्फ आव के बारे में चर्चा करता हूं r2 के बारे में अपने आप समझ में आ जाएगा तुम r1 के बारे में सोचो ये इस रिलेशन का पार्ट है ही नहीं यहां पर ए और बी कोई भी रियल नंबर हो सकते है देखो ए बी बिलंग टू आ स्क्वायर इसका मतलब क्या हुआ कि ए भी रियल नंबर b भी रियल नंबर इसका मतलब हो रहा है कि a बी बिलोंग टू r क्रॉस r मतलब य a भी कोई रियल नंबर के सेट से आ रहा है b भी कोई रियल नंबर के सेट से आ रहा है और रियल नंबर में ये भी रियल नंबर है 2 की पावर 1/3 इज अ रियल नंबर रैशनल है बट है रियल नंबर 2 की पावर 1/4 रियल नंबर है है ना या फिर 2 की पावर 1/3 2 की पावर 1/3 इज नॉट अ पार्ट ऑफ रिलेशन r1 य पट नहीं है मतलब ए इस रिलेशन का पार्ट है ही नहीं तो हेस नॉट रिफ्लेक्सिस नॉट रिफ्लेक्सिस नहीं हुई क्योंकि य इस रिलेशन का पार्ट है ही नहीं ओके क्या सिमेटिक होगी क्या अगर ए स्क प् बी स्क एक रैशनल नंबर आ गया तो बी स्क प् ए स्क भी रैशनल नंबर होने ही वाला है है ना तो सिमेटिक जरूर होगी ए स्क्वा प्स बी स्क्वा इज अ रैशनल नंबर देन बी स्क्वा प्स ए स्क्वा भी रैशनल नंबर होगा अगर यह रैशनल नंबर है तो यह रैशनल नंबर होगा हेंस r1 इ सिमेटिक पर इन दोनों के बारे में पूछा ही नहीं है अगर ऑप्शन पढ़ोगे तो सिर्फ और ट्रांजिटिंग के बारे में पूछ रहा है है ना सिर्फ और सिर्फ ट्रांसिटिविटी का सवाल खड़ा किया उसने कि ट्रांजिट है कि नहीं है ठीक है ट्रांजिट है कि नहीं है बस उसके बारे में ही सवाल पूछा गया है बाकी इनके बारे में पूछा नहीं गया है तो चलिए ट्रांसिटिविटी के बारे में ही डायरेक्टली बात करते हैं कि मैं ऐसा केस लेना चाहता हूं कि ए बी है ना रिलेशन का पार्ट हो बीमा सी रिलेशन का पार्ट हो बट ए सी इस रिलेशन का पार्ट ना हो ऐसा कोई एग्जांपल गाइस थिंक ऑफ एन एग्जांपल लाइक दैट कैसा कि एमा बी रिलेशन का पार्ट आ जाए एंड बी सी भी रिलेशन का पार्ट आ जाए ठीक है एमा बी आ जाए बीमा सी भी आ जाए बट एमा सी ना हो बट एमा सी इस रिलेशन का पार्ट ना हो क्या ऐसा कोई एग्जांपल आप सोच के बता सकते हैं अगर ऐसा कोई रिलेशन ऐसा कोई एग्जांपल अगर आप सोच के बता सकते हैं ठीक है कि एमा बी रिलेशन का पार्ट हो मतलब a स्क्र प् बी स्क रैशनल आ जाए a स्क प् बी स्क एक रैशनल नंबर आ जाए एंड बी स्क्वा प् सी स्क्वा भी एक रैशनल नंबर आ जाए बट ए स्क्वा प्स सी स्क्वा एक रैशनल नंबर ना आए क्या ऐसा पॉसिबल है क्या ऐसे कोई एग्जांपल्स आप सोच सकते हैं क्या ऐसे कोई एग्जांपल आप सोच पाएंगे [संगीत] रट हा हा जी कोई एग्जांपल बताइए जरा सोचिए जरा न एंड रटू न स्क्वायर चलो न रट से चालू करें तो न रट रिलेशन का पार्ट हो जाए न रट है रिलेशन का पार्ट फिर हां जी फिर अगर मैं रट रट ले लू तो वो इस रिलेशन का पार्ट है है √2 2 रट इस रिलेशन का पार्ट है नहीं बैठ अभी तक ठीक है और बताओ और बताओ और बताओ और बताओ कि रेशनल नंबर आ जाए [संगीत] हम बिल्कुल बिल्कुल बिल्कुल बिल्कुल है ना थोड़ा तो यह वाला क्वेश्चन बहुत सही है यहां प मस्त सोचता है ऐसे तुम सोचोगे तुम्हें कोई मिलेगा ही नहीं तुम सोचोगे हां सर 1 √2 रिलेशन का पार्ट है √2 कमा समथिंग सोचोगे जो भी रिलेशन का पार्ट होना चाहिए तो √2 कॉमा क्या सोचोगे तुम 2 √2 सोच लोगे वन सोच लोगे 3 सोच लोगे फिर यह वाला आ ही जाएगा रिलेशन का पार्ट तो ऐसा सोचने पे तो कुछ भी नहीं आ रहा है थोड़ा क्रिएटिव होके सोचना पड़ेगा इसमें थोड़ा और क्रिएटिव होके सोचना पड़ेगा है ना इसमें तुम ऐसा समझो कि जैसे √2 - 1 √2 + 1 इस रिलेशन का पार्ट है ठीक है r1 का पार्ट है क्योंकि √2 -1 का स् + √2 + 1 का स् इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर ऐड करोगे तो एक रैशनल नंबर मिलेगा है ना इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर ऐड करोगे एक रेशनल नंबर मिलेगा ओके या फिर तुम रट प्व रट माइव कर दो रट प्व रट माइव तो इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर एक रेशनल नंबर मिलेगा एंड ठीक है यहां पर पन अलग यूज कर लेते अपन देखो यही आईडिया यही थॉट है कि √2 -1 √2 प् 1 अब इधर ये सोचना ही पड़ेगा इसमें इस रिलेशन का पार्ट है r1 का पार्ट है क्योंकि इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर का सम करोगे तो रेशनल नंबर आ जाता है ठीक है फिर तुम देखोगे कि √2 प् 1 है ना √2 प्व कॉमा कुछ मिल जाए यहां पे किसका स्क्वायर प्लस किसी और का स्क्वायर भी रिलेशन का पार्ट हो जाए है ना या फिर एक काम करो यह ले लो रट प्व रट माइव यह इस रिलेशन का पार्ट है रट माइव क्योंकि इसका स्क्वायर करोगे तो माइन रट आता है माइन रट आता है फिर रट की पावर 1 बाटू मतलब अंडर रूट ऑफ रट यह भी इस रिलेशन का पार्ट है देख रहे इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर भी एक अपने पास कैसा मिल जाता है रेशनल नंबर मिल जाता है इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर भी एक रेशनल नंबर मिल रहा है मिल रहा है ना कि √2 -1 का स्क्वायर करोगे तो यहां से -2 √2 आता है और इसका स्क्वायर करोगे तो वो + 2 √2 हो जाएगा है ना अंडर रूट के अंदर 2 √2 है तो इसका स्क्वायर करोगे तो + 2 √2 कैंसिल आउट हो गया बट क्या ये रिलेशन का पार्ट है क्या क्या इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर एक रैशनल नंबर मिलेगा क्या तो वो नहीं मिलने वाला है ना बट ठीक है बट दिस इज नॉट अ पार्ट ऑफ दिस रिलेशन दिस कॉमा दिस इज नॉट अ पार्ट ऑफ दिस रिलेशन तो हेंस अपन बोलेंगे नॉट ट्रांसिटिव हेंस नॉट ट्रांसिटिव तो इसलिए यह ट्रांजिटिंग नहीं है सेम ऐसा ही r1 और r2 में कोई फर्क नहीं है r1 और r2 बड़े ही हुबहू है और आपने भी कई सारे एग्जांपल दिए हैं बहुत सही ठीक है बिल्कुल एक बच्चे ने और एग्जांपल दिया है कि सर यह वाला एग्जांपल सोच लो रट प्व रट माइव फिर रट माइव रट प्व ठीक है रट माइव रट प्व यह रिलेशन का पार्ट है एंड √2 प्व √2 माइव यह भी रिलेशन का है ना इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर ठीक है एक अपने पास में रेशनल नंबर बन रहा है इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर भी रेशनल नंबर मिल रहा है बट इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर एक रेशनल नंबर नहीं है बट रट माइव रट माइव इज नॉट अ पार्ट ऑफ दिस रिलेशन r1 तो इधर से भी दिख रहा है कि नॉट ट्रांसिटिव नॉट ट्रांसिटिव तो देखो बड़े ही फील बेस सवाल है यह ट्रांसिटिव वाले है ना बड़ी ही फी वाले बेस सवाल है और यह वाला सवाल पर्टिकुलर कि सोचना ही है ऐसे क्वेश्चन छोड़े मत छोड़ो भाई मैं बोलूंगा ना ही छोड़ो आरव के बारे में सूचना था आ2 के बारे में अपने आप फीलिंग आ जाएगी कि जब आरव ट्रांजिट नहीं है तो आ2 भी तो सेम ऐसा ही है बस इसने बोल दिया न नॉट रैशनल नंबर इसने बोल दिया इट शुड बी रेशनल नंबर इसने बोला नॉट रैशनल नंबर तो आट भी सेम ऐसा ही है ठीक है आ टू भी सेम ऐसा सही है तो यहां पर अपने को समझ आ रहे कि भाई नीदर r1 नॉर r2 इ ट्रांसिटिव r2 के लिए चेक करने की जरूरत ही नहीं है r2 के लिए फिर से एग्जांपल सोचने की जरूरत नहीं है ठीक है क्लियर है क्लियर है क्लियर है और बाकी सोचो तो सोच सकते हो r2 के ऊपर भी एग्जांपल हां जी यह वाला क्वेश्चन आसान है ट्राई कीजिएगा यह वाला क्वेश्चन बड़ी इजी है यह वाला क्वेश्चन भी आसान है ट्राई करना यह वाला क्वेश्चन अच्छा है है ना यह वाला क्वेश्चन कर लेते हैं अपन लोग ठीक है 23 में पूछा गया सवाल सेट ए है 10 एलिमेंट है सेट बी है इसके अंदर ये पांच एलिमेंट है देन द नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन द रिलेशन ये रिलेशन पढ़ना जरा ध्यान से स प्लीज एक्सप्लेन r1 अगेन बेटा वो एग्जांपल्स एक बार देख लो है ना अपने आप समझ में आ जाएगा एग्जांपल्स एक बार देखना जरा जो दो एग्जांपल्स दिए दोनों में से कोई भी एग्जांपल देख लो ठीक है कि √2 + 1 √2 -1 रिलेशन का पार्ट है क्योंकि इसका स्क्वायर प्लस इसका स्क्वायर बराबर है रैशनल नंबर a स् + b स् रैशनल आना चाहिए जहां पे मैंने a को लिया √2 -1 बी को ले लिया रट प्व फिर बीमा सी है ना वो भी रिलेशन का पार्ट है ट्रांसिटिव को किसी इक्वेशन जैसा बनाकर सॉल्व करने का मेथड नहीं है क्या कई बार इक्वेशन जैसा बनाकर सॉल्व किया जाता है बट उसके अंदर इक्वेशन जैसा बनाकर सॉल्व करने का कोई मेथड आएगा ही नहीं कोई तरीका आएगा नहीं हमेशा नहीं किया जा सकता उसको उस तरीके से तो ट्रांसिटिव के अंदर अपन कई बार इसी तरीके से जाते हैं चलिए इसके बारे में बात करते हैं गाइस सेट ए के अंदर ये 10 एलिमेंट सेट बी के ये चार एलिमेंट्स क्वेश्चन ध्यान से पढ़ना क्वेश्चन बहुत इजी है ठीक है बहुत आसान है ध्यान से पढ़िए इस सवाल को ठीक है तो सेट ए के अंदर यह 10 एलिमेंट है सेट बी के अंदर ये पांच एलिमेंट है देन द नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन द रिलेशन ए कमा बी रिलेशन कहां से डिफाइन करी जा रही है जनरली यहीं प बच्चे फैल जाएंगे उनको लगेगा रिलेशन ए से बी के बीच में डिफाइन कर रहे हैं नहीं भैया रिलेशन सेट ए से सेट ए के बीच में ही डिफाइन करी जा रही है एक b बिलोंग टू a कार्टीजन प्रोडक्ट a पहली चीज तो इस सवाल के अंदर यही मेरे को प्यारी लगी कि दो सेट दिए a और b बच्चा सोचेगा रिलेशन a से b की तरफ डिफाइंड है बट है ही नहीं ऐसा ठीक है है ना नेचुरल सा अपने दिमाग में आता है कि रिलेशन सेट a से सेट b पे डिफाइन है नहीं नहीं नहीं रिलेशन सेट a से सेट a के बीच में ही डिफाइंड है मतलब ये वाला एलिमेंट भी सेट a से ही आ रहा है यह एलिमेंट भी सेट a से ही आ रहा है इस तरीके से अपन रिलेशन डिफाइन कर रहे हैं ठीक है क्लियर इनी बात सच दैट कंडीशन क्या है सच दैट ू टाइम्स ए माइन बी का स्क्वायर प् 3 टाइम्स ए माइन बी बिलोंग टू द सेट बी यह जो नंबर है ना भैया यह सेट बी का नंबर होना चाहिए कौन सा नंबर ू टाइम्स ए माइन बी का स्क्वा प्स 3 टाइम्स ए माइन बी हां पर ए और बी दोनों ही सेट ए के एलिमेंट्स है जहां पर ए और बी दोनों ही सेट ए के एलिमेंट्स है समझ गए बात को सवाल समझ गए तो जवाब बहुत आसान है सवाल समझ गए तो जवाब बहुत आसान है यहां पर सवाल समझना ही मेजर काम है ठीक है कि भैया यह चीज जो है 2 टाइम्स a - बी का स्क्वायर प्स 3 टाइम्स a- बी बिलोंग टू सेट बी सेट बी क्या है भाई क्या है सेट बी सेट बी है 0 1 2 3 4 मतलब इसकी वैल्यू या तो जीरो आ जाए या वन आ जाए या टू आ जाए या आ जाए या फ आ जाए ठीक है हां पर लेटस से मैंने a माइन बी को कुछ नंबर t ही ले लिया मैंने ए माइन बी को कोई नंबर t ले लिया तो बेसिकली यही तो है कि 2t स्क प् 3t इसकी वैल्यू या तो जीरो आ जाए या वन आ जाए या टू आ जाए या थ आ जाए या फोर आ जाए ऐसा है तो सबसे पहला दिमाग इधर ही चलता है कि हां सर जीरो आ सकती है जीरो कब आ सकती है जब ए और बी दोनों सेम हो जाए जीरो आ सकती है क आ सकती है जब ए और बी दोनों सेम आ जाए ए और बी दोनों सेम मतलब एव बी बीव ए2 बी बीट है तो यहां पर अगर मैं टी स्क्वा प्स 3t की वैल्यू जीरो करता हूं स्क प् 3 की वैल्यू जीरो करू तो डड पेर अपने पास नव मिल जाएंगे ट मिल जाएगा थ मिल जाएगा एंड सो ऑन अप टू 10 10 मिल जाएगा तो यह 10 डड पेर तो मिल ही गए है ना ये अपने पास 10 डेड पेर मिल गया समझ गए बात को अभी और मिलेंगे इसने य बोला है कि इसके अंदर कितने एलिमेंट्स है इस रिलेशन में इस रिलेशन में कितने ऑर्ड पेयर है यह पूछा गया है कि इस रिलेशन के अंदर कितने एलिमेंट्स है मैंने कहा इतने एलिमेंट्स तो दिख रहे कि नव इज द पार्ट ऑफ दिस रिलेशन क्योंकि ए की जगह वन बी की जगह व रखूंगा तो ए माइन बी 0 हो जाएगा है ना ू टाइम 0 प्स 3 टाइम 0 0 आ जाएगा सेट बी का एलिमेंट है जीरो ठीक है फिर मैं देखता हूं कि a माइ बी की और क्याक वैल्यूज हो सकती है a - बी जो है दो एलिमेंट्स का डिफरेंस बेसिकली जीरो हो सकता है न हो सकता है -1 हो सकता है ू हो सकता है -2 हो सकता है 3 हो सकता है -3 हो सकता है है ना 4 हो सकता है -4 हो सकता है बट इसका जो सम है इन्हीं में से किसी एलिमेंट्स के इक्वल आना चाहिए ठीक है तो 10 तो यही आ गया और बाकी a माइ बी की वैल्यू क्या अगर a- बी की वैल्यू वन रखता हूं a- बी की वैल्यू व रखूंगा तो 2 टाइम्स 1 प् 3 टा 1 5 हो जाएगा फ यहां का पार्ट ही नहीं है तो a - b 1 नहीं ले सकते अपन a - b को -1 लूंगा तो भी प्रॉब्लम है a - b को -1 लूंगा तो ये 2 -3 बन जाएगा जो कि -1 -1 भी इस सेट का पार्ट नहीं है तो a - b की और कौन सी वैल्यूज अलाउड है पहले तो मैंने देखा कि a - b की वैल्यू रो अलाउड है है ना कि a - b = 0 या फिर डायरेक्टली तुम सोचो यह हटाओ टीवी हटाओ है ना कि पहली चीज तो कि a - बी बराबर 0 चलेगा ठीक है ये चलेगा a - बी 0 रखा तो ये ू टाइम 0 प् 3 टाइम 0 0 होता है a माइ बीव नहीं हो सकता a माइ बी की वैल्यू व रखूंगा तो ये 2 प् 3 5 हो जाएगा -1 रखूंगा तो 2 -3 -1 हो जाएगा जो भी यहां पर नहीं है 2 रखा अगर ू रखा तो बहुत बड़ा नंबर बन जाएगा 2 टा 2 स्क प् 3 टा 2 -2 रखू तो -2 रखूं तो 2 टाइम्स -2 का स्क्वा है ना अगर a - b बरा -2 चलेगा क्या स सिंपल देखो ये एप्टीट्यूड सवाल है इसको बोलते हैं एप्टीट्यूड की भैया सॉल्विंग पार्ट के ऊपर अपने को फोकस करना है तो दैट इज वई जेई एग्जाम इतना बड़ा एप्टीट्यूड का एग्जाम है और सॉल्विंग पार्ट तभी हो पाता है एप्टीट्यूड इज नॉट लाइक कि आप किसी दुकान से लेकर आ जाओगे किराने की दुकान से जाके एप्टीट्यूड दे दो दो किलो ऐसा नहीं होता है एप्टीट्यूड डेवलप किया जाता है जब आप प्रॉब्लम को सॉल्व करने की तरफ जाओगे ऐसा नहीं होता कि किसी में एप्टीट्यूड है किसी में नहीं है ऐसा कुछ भी नहीं है ठीक है वो चीजें है वो डेवलप करी जा सकती है वो डेवलप कैसे करेंगे व्हेन वी विल ट्राई कि a - बी की वैल्यू -2 अगर मैं रख दूं तो यह बनेगा 2 टाइम्स -2 का स्क्वायर प् 3 टाइम्स -2 च इज इक्वल टू व्ट ये 4 4 दनी 8 8 माइ 6 दो बन रहा है यस च इज द पार्ट ऑफ सेट बी ू इज द पार्ट ऑफ सेट बी a - बी बरा -2 चलेगा ये चलगा भैया तो a - b = -2 कितने डर्ड पेयर और मिल गए अपने को कितने डर्ड पेयर और मिल गए अपने को अपने को मिल जाएगा 13 1 3 आ गया फिर ये 2 4 आ जाएगा है ना a - बी -2 होना चाहिए एंड सो ऑन है ना 3 5 आ जाएगा एंड सो ऑन कहां तक 8 10 तक तो यह कितने डड पेर और आ गए अपने पास में ये एट ऑर्डर पेयर और आ गए ठीक है तो आठ और मिल गए और a - b की कोई और वैल्यू चलेगी क्या क्या a - b को 3 रख सकता हूं 3 तो ऑफकोर्स नहीं रख सकते बहुत बड़ा नंबर हो जाएगा 0 1 2 3 4 में से नहीं आएगा क्या -3 रख सकते हैं क्या -3 रखा तो ये टू टाइम्स -3 का स्क्वायर + 3 टाइम्स -3 बनेगा ये बनेगा 9 9 2 18 18 - 9 9 बन रहा है ना डेफिनेटली इसका पार्ट नहीं है तो -3 भी नहीं चलेगा फिर 4 - 4 के लिए तो चेक करने की जरूरत ही नहीं है तो टोटल अपने पास में 18 आंसर आ जाएगा है ना कि 18 डड पेयर तो यह मस्त क्रिएटिव सवाल था क्रिएटिव में क्या था बस सवाल को समझना ही मेजर काम था इस सवाल में सवाल को समझ गए तो दिखने में बड़ा खतरनाक सा सवाल है बट है उतना ही प्यारा स्वीट और इजी क्वेश्चन यह वाला क्वेश्चन भी आप ट्राई कीजिएगा होमवर्क के लिए दे रहा हूं इस टाइप के क्वेश्चन अपन ने कर रखे हैं तो ट्राई दिस क्वेश्चन और हो जाएगा आपसे अब चलिए शुरुआत करते हैं फंक्शंस की है ना अभी तक रिलेशन ही चल रहा था तो लेट्स गेट स्टार्टेड फॉर फंक्शन गाइस ठीक है तो टाइप्स ऑफ रिलेशंस मजा आया होगा आपको अब फंक्शंस के बारे में बात करते हैं ठीक है तो फंक्शन क्या होता है है ना फंक्शन होता है एक स्पेशल टाइप ऑफ रिलेशन फंक्शंस भी रिलेशन का एक सबसेट है फंक्शन जो होता है वो रिलेशन का सबसेट होता है एक स्पेशल टाइप ऑफ रिलेशन होती है जिसके अंदर हमें दो कंडीशंस को फॉलो करना होता है है ना कि फंक्शंस जिसको अपन भी बोलती है इ रिलेशन डिफाइन फ्रॉम सेट ए टू सेट बी इस तरीके से डिनोट किया जाता है सच दैट ऑल एलिमेंट्स ऑफ सेट ए इज रिलेटेड टू ओनली सिंगल और यूनिक एलिमेंट इन सेट बी य दो कंडीशन है कि ऑल एलिमेंट ऑफ सेट ए उसका एक यूनिक आउटपुट आना चाहिए है ना तो सिंपल सी बात है फंक्शन के लिए कि मल्टीपल आंसर नहीं आने चाहिए फंक्शन में कभी भी मल्टीपल आंसर्स नहीं आ सकते मतलब मैंने एक इनपुट डाला एक से ज्यादा आउटपुट आ जाए तो वो पॉसिबल नहीं है तो फंक्शन में मल्टीपल आउटपुट इज नॉट ठीक है मल्टीपल आउटपुट इज नॉट यू नो अलाउड इन फंक्शन इन फंक्शन मल्टीपल आउटपुट अलाउड नहीं है फंक्शन के अंदर ठीक है तो यह फंक्शन नहीं है बेसिकली या तो कहा जाए डायवर्जन इज नॉट अलाउड या फिर बोला जाए डायवर्जन डायवर्जन इज नॉट अलाउड बट कन्वर्जन अलाउड है कन्वर्जन अलाउड है ऐसा जरूर हो सकता है कि एक फंक्शन अगर मैं सेट ए से सेट बी के बीच में डिफाइन कर रहा हूं सेट ए से सेट बी के बीच में डिफाइन कर रहा हूं तो कन्वर्जन अलाउड है ऐसा हो सकता है कि भैया तीन चार अलग-अलग एलिमेंट सेम आउटपुट दे रहे हो सेम आउटपुट दे रहे हो ऐसा ऐसा अलाउड है और ऐसा अपन देखते भी है कौन से फंक्शंस में कांस्टेंट फंक्शन में जैसे f एक बरा 3 f बरा 4 ये जो कांस्टेंट फंक्शन होते हैं इसके अंदर आप इनपुट कुछ भी रखो आउटपुट फिक्स्ड है तो कई सारे अलग-अलग इनपुट सेम आउटपुट दे यह अलाउड है इसमें कोई प्रॉब्लम नहीं है यह फंक्शन का पार्ट होगा जैसे की कांस्टेंट फंक्शन है ना कि f एक बरा 3 f एक बरा 3 जिसको अपन बोलते हैं कांस्टेंट फंक्शन ठीक है कि x की कोई भी वैल्यू डालो यहां पर f1 की भी वैल्यू थ है f ऑफ 2 की भी वैल्यू थ है f5 की भी वैल्यू थ्री है तो ये सारे क्या है ये कांस्टेंट है ना कि अलग-अलग इनपुट सेम ही आउटपुट ठीक है यह चीज और फिर सेम बात अगली बात यही कि डोमेन के जितने भी एलिमेंट्स हैं व सारे वर्किंग होने चाहिए डोमेन के सारे एलिमेंट्स काम करने चाहिए बस इतनी सी बात है है ना तो फंक्शन में सेट ए ही डोमेन कहलाता है ठीक है यहां पर जितने भी इनपुट है ना सारे इनपुट काम करें मतलब सबका कुछ ना कुछ आउटपुट आ रहा हो सबका कुछ ना कुछ आउटपुट आ रहा हो सारे इनपुट काम करने चाहिए फंक्शन के अंदर ये जरूरी है तो सेट ए इज डोमेन इसी सेट को अपन डोमेन कह देते हैं फंक्शन में रिलेशन में पूरे सेट ए को डोमेन नहीं कहते रिलेशन में डिपेंड करता है पता चले रिलेशन में ये चार इनपुट काम कर रहे है तो रिलेशन इज जस्ट सेट ऑफ इनपुट्स रिलेशन क्या होता है सेट ऑफ इनपुट होता है भैया तो रिलेशन में सेट ए कंप्लीट सेट ए को अपन डोमेन नहीं कह सकते बट फंक्शंस में जरूर कह सकते हैं कि कंप्लीट सेट ए इज डोमेन ओके और यहां पे हो सकता है कि भैया को डोमेन में कुछ एक्स्ट्रा एलिमेंट हो ठीक है तो कंप्लीट सेट बी इज को डोमेन और जो आउटपुट मिल रहे हो वही रेंज है हमारे पास जो सेट ऑफ आउटपुट्स है दैट इज बेसिकली रेंज तो डोमेन और रेंज निकालना हमारा नेक्स्ट काम होने वाला है वह अपन सीखेंगे ग्राफ के लिए मैं आपको बता देता हूं ग्राफ के लिए होता है यहां पर वर्टिकल लाइन टेस्ट वर्टिकल लाइन टेस्ट कि अगर पहचानना कि कोई जो ग्राफ है वह फंक्शन का ग्राफ है कि नहीं है तो वर्टिकल लाइन ड्रा कर दो जैसे कि अगर इस टाइप का ग्राफ है इस टाइप का ग्राफ है तो यह वर्टिकल लाइन टेस्ट को फेल कर जाता है मतलब यहां पर वर्टिकल लाइन ड्र करोगे दो आउटपुट मिल रहे हैं एक इनपुट पर इधर भी देखो x1 वाव है इधर x2 कवाट है है ना सॉरी x12 है क्या प्रॉब्लम है ना इधर कि ये ग्राफ x1 y1 से भी पास कर रहा है ये ग्राफ x1 y2 से भी पास कर रहा है और इस ग्राफ की इक्वेशन बताऊं तो इस ग्राफ की इक्वेशन है y स् = 4ax ये इस ग्राफ की इक्वेशन है राइट वर्ड पैराबोला y स् = 4ax इसके अंदर देखो x की एक वैल्यू पे y की दो अलग-अलग वैल्यूज मिल रही है है ना यहां पे y की वैल्यू देखोगे तो y की वैल्यू प्लस माइनस अंडर रूट 4ax मिलती है x की वैल्यू वन रखूंगा y की दो वैल्यू x की वैल्यू टू रखूं y की दो वैल्यू x की एक वैल्यू परवा की दो अलग-अलग वैल्यूज मिल रही है तो अगर वर्टिकल लाइन कभी भी ग्राफ को एक से ज्यादा जगह पर कट कर रही हो इफ वर्टिकल लाइन कट्स द ग्राफ एट मोर देन वन पॉइंट देन इट इज नॉट अ फंक्शन ठीक है तो वर्टिकल लाइन कोई भी ड्र करोगे ग्राफ को एक से ज्यादा जगह पर कट करी तो वो फंक्शन नहीं है जैसे एक सर्कल का हो गया है ना यह सर्कल है यह फंक्शन नहीं है x स्क प्वा स्क बराबर 4 इज नॉट अ फंक्शन इज नॉट अ फंक्शन यह फंक्शन नहीं है गाइस यह फंक्शन नहीं है क्योंकि यहां पर भी तुम वर्टिकल लाइन ड्र करोगे एक से ज्यादा जगह पर कट करेगी या y की वैल्यू देखोगे y की एक वैल्यू के लिए x की दो वैल्यू आएगी बट अगर यह चीज दे रखी है कि y बरा अर रट 4 - x स् यह फंक्शन है इट इज अ फंक्शन इट इज द फंक्शन ये फंक्शन है यहां पे इसमें कोई दिक्कत नहीं है x की अलग-अलग वैल्यूज पे y की सेम वैल्यू आए इसमें कोई प्रॉब्लम नहीं है x की वैल्यू वन पे और -1 पे y की सेम वैल्यू आ रही है x की वैल्यू 2 रखूं x की वैल्यू -2 रखूं y की सेम वैल्यू आएगी तो वो फंक्शन है ठीक है ये फंक्शन है बट ये फंक्शन नहीं है क्योंकि यहां पे तुम y की वैल्यू देखोगे ना तो y की दो वैल्यू आ रही है + - √ 4 - x स् यहां पे y की दो वैल्यू आएगी तो x की एक वैल्यू पे y की दो वैल्यू मिल रही है जैसे x को मैंने वन रखा तो y की वैल्यू + - √3 मिल रही है x बरा 1 पर y √3 भी हो रहा है y - √3 भी हो रहा है ठीक है दैट इज वई इट इज नॉट अ फंक्शन तो वर्टिकल लाइन टेस्ट अपन यूज करते हैं फंक्शन डिफाइन करने के लिए कि भैया फंक्शन है कि फंक्शन नहीं है इसके लिए अपन वर्टिकल लाइन टेस्ट का सहारा लेते हैं क्लियर है हां जी डोमेन क्या होती है डोमेन या तो अपन सेट ऑफ प्री इमेज बोले वैल्यूज ऑफ एक्स बोले इनपुट बोले या एक्स एक्सिस कवर्ड बाय द ग्राफ य सारी चीजें अपन डोमेन के अंदर यूज करते हैं ठीक है ये सारी चीजें डोमेन हो जाती है भैया कि y स्क्वा बराबर 4 एक् यावा एज अ फंक्शन ऑफ x में वा एज f ऑफ एक यहां पे एकस डोमेन है परमिस बल वैल्यूज ऑफ x बोलते हैं अपन कि x की क्या-क्या वैल्यूज रख सकते हैं वो डोमेन हो जाएगा और y की जो वैल्यूज है उसको अपन रेंज बोलते हैं इसको अपन प्री इमेज बोलते हैं इसको अपन इमेज बोलते हैं ठीक है या फिर इसको अपन इनपुट बोलते हैं इसको अपन आउटपुट बोलते हैं ओके रेंज हो जाएगा सेट ऑफ फंक्शनल इमेज वैल्यू ऑफ वा आउटपुट या फिर वा एक्सिस कवर्ड बाय द ग्राफ ग्राफ से भी हमें डोमेन और रेंज के बारे में आईडिया लगता है कि ग्राफ किस तरीके का है सपोज अगर ऐ ग्राफ जा रहा है हा जी सपोज य ग्राफ है ग्राफ से भी अपने पास में डोमेन और रेंज समझ में आती है ग्राफ अगर इतना है सपोज य एक्स बराबर व है और य लेट्स से x बराबर 5 है तो डोमेन क्या हो गई वन से फ के बीच में हो गई कि मैंने देखा कि एक्स एक्सिस की तरफ कितना फैला हुआ ग्राफ है तो इसकी डोमेन हो जाएगी वन से फ डोमेन टू फ और रेंज के बारे में बात करूं तो रेंज मिनिमम या मैक्सिमम वैल्यू कि सपोज ये मिनिमम वैल्यू है वा एक्सिस प कहां से कहां तक है वा एक्सिस प मिनिमम से मिनिमम किधर तक है मैक्सिमम टू मैक्सिमम कहां तक है वो रेंज कहलाए गी ठीक है तो अगर यहां पर सपोज अपन मिनिमम वैल्यू वन बोला जाए मैक्सिमम वैल्यू यहां पे 10 बोला जाए तो रेंज हो जाएगी वन से लेकर 10 के बीच में ओके तो यह बातें हैं ठीक है चलिए कुछ फंक्शंस के बारे में बात करते हैं टाइप्स ऑफ फंक्शंस में सबसे पहले हमारे पास में एक आते हैं पॉलिनो मियल फंक्शंस है ना पॉलिनो मियल फंक्शंस थोड़े कुछ टाइप्स ऑफ फंक्शंस के बारे में बात करेंगे उनके ग्राफ के बारे में बात करेंगे और फिर बाद में हम रेंज निकालना सीखेंगे रेंज निकालना सीख गए तो फिर अपन सीखेंगे वन वन मेनी वन इनटू इन फंक्शन के बारे में चर्चा करेंगे ठीक है तो यह अपन बात करने वाले हैं अपर फंक्शन इज नॉट नहीं नहीं वो फंक्शन है देखो बेटा वो सिर्फ और सिर्फ फर्स्ट क्वाड्रेंट वाला बता रहा है ठीक है चलिए तो पॉलिनो मियल फंक्शंस क्या होते है पॉलिनो मियल फंक्शन इस प्रकार से होते हैं कि f एक बराबर ए * x की पावर n ् ए - 1 * x की पावर n - 1 एंड सो ऑन अप टू a1x प् एन दिस इज द पॉलिनो ऑफ डिग्री n इसको अपन बोलते हैं डिग्री ए का पॉलिनो यहां पे पावर ऑफ एक्स पावर ऑफ एक्स इज अ नेचुरल नंबर इज अ होल नंबर पॉलिनो में बस यही खासियत है कि जो भी एक की पावर होगी ना वोह होल नंबर होनी चाहिए उसको अपन पॉलिनो बोलते है ठीक है पॉलिनो बोलते हैं जिसके अंदर पावर ऑफ एक्स एक होल नंबर हो है मतलब होल नंबर का मतलब कि भैया नेगेटिव नहीं होनी चाहिए 0 1 2 3 4 इसमें से होना चाहिए फ्रैक्शन नहीं होनी चाहिए पावर ऑफ x ग्राफ ऑफ़ ए पॉलीनोट फंक्शन इज ऑलवेज कंटीन्यूअस कहीं पे भी डिस्कंटीन्यूटी नहीं दिखेगी डिस्कंटीन्यूटी कहीं पे भी नहीं दिखेगी x की कोई भी वैल्यू रख सकते हो तो हमेशा कंटीन्यूअस ग्राफ रहेगा डोमेन इज ऑल रियल नंबर ठीक है ये सेकंड पॉइंट बहुत इंपॉर्टेंट है रेंज ऑफ़ एन ऑड डिग्री पॉलीनोट इज कंपली कंप्लीट रियल नंबर सेट r कभी भी ऑड डिग्री का पॉलिनो मियल तुम्हें दिया जाए ना व्हेन एवर ऑड डिग्री का पॉलिनो मियल हमें दिया जाए ठीक है जैसे कि fx3 + 1 fx5 - 3x + 3x स् + 1 fxxx.pro क्या पॉलिनो बहुत इंपॉर्टेंट पॉइंट है गाइस ध्यान रखिएगा यह तीनों के तीनों और डिग्री पॉलिनो है यह क्यूबिक हो जाएगा यह डिग्री फ का पॉलिनो है यह लीनियर पॉलिनो है इन सबकी जो रेंज के बारे में बात करेंगे तो रेंज ये माइनस इनफिनिटी से इनफिनिटी तक सारी चीजें कवर कर लेता है कि मिनिमम वैल्यू माइनस इनफिनिटी तक भी जा सकता है x को माइनस इनफिनिटी पहुंचा उा ये चीज माइनस इनफिनिटी पर चली जाएगी x को माइनस इनफिनिटी पहुंचा होंगा यह जो हाईएस्ट पावर है ना ये डोमिनेट कर जाएगी कि माइनस इनफिनिटी की पावर ऑड अभी भी वो माइनस इनफिनिटी है जैसे x को मैंने - 10000 करोड़ रखा तो - 10000 करोड़ की पावर क्या है ऑड है तो अभी भी वो नेगेटिव में ही बहुत बड़ा नंबर है तो x को माइनस इनफिनिटी पहुंचाया y भी माइनस इनफिनिटी की तरफ जाएगा x को प्लस इनफिनिटी पहुंचा जाऊंगा y प्लस इनफिनिटी की तरफ जाएगा तो इसकी जो रेंज है ना इन तीनों की जो रेंज है इसकी रेंज ऑल रियल नंबर आती है रेंज इज ऑल रियल नंबर बट कभी भी कोई इवन डिग्री पॉलिनो होता है ना तो उसकी रेंज रियल नंबर नहीं हो सकती अगर कोई इवन डिग्री पॉलिनो मियल है जैसे f एक बराबर x स् प्व f एक बराबर x की पावर 4 माइ एक् क प् 2 है ना f एक बराबर x रेट पावर 6 माइन x रेट पावर 5 प् 1 ये जितने भी पॉलिनो मियल है ये सारे इवन डिग्री पॉलिनो है व्ट आर दज दज आर इवन डिग्री पॉलिनो इवन डिग्री पॉलिनो ठीक है इनकी रेंज ऑल रियल नंबर नहीं होगी इनकी रेंज ऑल रियल नंबर नहीं हो सकती क्योंकि चलो x को इनफिनिटी पहुंचाया तो ये बहुत बड़ा नंबर पहुंच जाएगा है ना x को इनफिनिटी पहुंचा ंगा तो ये भी इनफिनिटी को जाएगा बट अब मैं x को माइनस इनफिनिटी पहुंचा आंगा ना तो ये माइनस इनफिनिटी पे नहीं जाएगा क्यों नहीं जाएगा क्योंकि जो यहां पे डोमिनेटिंग टर्म है ना x की पावर 6 यहां पे डोमिनेटिंग x की पावर 4 यहां पे डोमिनेटिंग टर्म x स् तो x को अगर मैं जैसे - 10000 करोड़ रखा मैंने सपोज ठीक है तो उसकी पावर सिक्स जो होगी उसकी पावर सिक्स जो होगी वो बहुत बड़ा नंबर हो जाएगा है ना बहुत बड़ा नंबर हो जाएगा पॉजिटिव में तो हमेशा इनके ग्राफ क्या होते है पैराबोलिक ग्राफ होते है इनके ग्राफ जो होते हैं हमेशा पैराबोलिक ग्राफ होते हैं ठीक है जैसे क्वाड्रेटिक के भी तुम देखोगे क्वाड्रेटिक का ऐसा ग्राफ रहेगा या फिर इनके ग्राफ इस तरीके से रहने वाला है हमेशा पैराबोलिक ग्राफ रहेंगे या तो अपवर्ड की तरफ या डाउन वर्ड की तरफ अपवर्ड की तरफ है तो इनकी कुछ मिनिमम वैल्यू होगी मैक्सिमम वैल्यू इफिनिटी तक जा रही है डाउन वर्ड की तरफ होंगे तो इसकी मिनिमम वैल्यू माइनस इनफिनिटी मैक्सिमम वैल्यू कुछ होगी तो इनकी रेंज जो होती है कभी भी रियल नंबर नहीं होती है इनकी रेंज कभी भी रियल नंबर नहीं होती है बेटा ध्यान से सुन लेना य इंपोर्टेंट बात है जिसने अगर इन कांसेप्चुअल बातों पर गौर नहीं फरमाया तो फिर क्वेश्चंस में प्रॉब्लम आएगी बता देता हूं मैं पहले ही ठीक है फंक्शनल इक्वेशन बेस्ड सवाल जो आते है फंक्शनल इक्वेशन बे सवाल देख लेना है ना ग्राफ बनाना सिखाओ ग ना हां बिल्कुल सिखाएंगे ना बेटा पर अभी जो आज सिखा रहा हूं वो तुम्हें आता है क्या इफ पॉलिनो मियल फंक्शन सेटिस्फाइंग कभी भी एक पॉलिनो फंक्शन दिया जाए देखो कई बार बच्चे पूछते हैं सर फंक्शनल इक्वेशन के सवाल सर फंक्शनल इक्वेशन के सवाल फंक्शनल इक्वेशन के सवाल फैले हुए होंगे यहां पर एक फंक्शनल इक्वेशन के बारे में आईडिया दे रहा हूं एक्सियल में फिर एक और फंक्शनल इक्वेशन के बारे में आईडिया दे रहा हूंगा मैं ठीक है तो फंक्शनल इक्वेशन के बारे में सवाल फैले हुए आपको मिलेंगे आज के सेशन में अलग-अलग जगह पर अलग-अलग जगह पर ठीक है तो पहले यह फंक्शनल इक्वेशन को पहचानना जरा कभी भी अगर बोला गया है कि f एक पॉलिनो फंक्शन है यह मेंशन कर रखा है कि f एक एक पॉलिनो फंक्शन है और व फंक्शन इस फंक्शनल इक्वेशन को सेटिस्फाई कर रहा है कौन सी फंक्शनल इक्वेशन f एक इन f1 बा एक बराबर f एक प् f1 बा एक अगर इसको यह सेटिस्फाई कर रहा है तो ऐसे हमारे पास चार तरीके के फंक्शन है कौन-कौन से f एक बराबर 2 f एक बराबर 2 एक तो यह हो जाएगा है ना f एक बराबर 0 दो तो ये हो गया कांस्टेंट फंक्शन ये इस फंक्शनल इक्वेशन को सेटिस्फाई कर र करते हुए पाए जाएंगे तुम देख सकते हो क्योंकि अगर fx2 हुआ तो f1 बा x भी 2 होगा कई बार ना बच्चे इतनी बेसिक सी बातों में फैल जाते है कि मैंने कहा fx2 है बताओ f1 बा x कितना होगा बताओ इफ f इ 2 सवाल मेरा इतना सा है कि इफ f एक इट देन f1 बा x इ व्ट इसकी वैल्यू क्या होगी बताओ बच्चे बोल देते बाट है ना क्या यह आप गलती तो नहीं करते f एक को ट दे दिया तो f 1 बा एक 1/2 बोल दोगे नहीं नहीं नहीं बेटा यह कांस्टेंट फंक्शन है ना कांस्टेंट फंक्शन एक से इंडिपेंडेंट फंक्शन है fx2 है तो f1 बा एक भी 2 ही होने वाला है गाइस ठीक है अगर ऐसा होता कि f होता सपोज x क्य अगर सपोज ऐसा होता कि f एकस क है प्सव बा एकस है सपोज f एक ऐसा होता तो अब यहां पर f ऑफव बा एक में बोलता किय हो जाता x की जगह / एक्स रखना है 1 बा एक् क प् x हो जाता तो ऐसा फर्क पड़ता इसमें तो इसमें फर्क पड़ता बट अगर कांस्टेंट फंक्शन है तो fx2 है तो f1 बा एक भी 2 ही होने वाला है यह बातें आपको समझ में आनी चाहिए तो चार प्रकार के फंक्शन इस फंक्शनल इक्वेशन को सेटिस्फाई करते हैं पहला फंक्शन है f एक बराबर 2 क्योंकि 2 * 2 बरा 2 प् 2 ठीक है दूसरा f बरा 0 क्योंकि 0 * 0 बरा 0 प् 0 ओके और तीसरा और चौथा बड़ा इंपॉर्टेंट है तीसरा है f एक बराबर 1 प् x की पावर n और चौथा है f एक बराबर 1 माइ x की पावर n ठीक है यह चार तरीके के फंक्शन जो है वो इस फंक्शनल इक्वेशन को सेटिस्फाई करते हैं ठीक है तुम देख सकते हो कि अगर f की जगह 1 प् x की पावर n लिखोगे f1 / x की जगह 1 + 1 / x की पावर n लिखोगे और दोनों को मल्टीप्लाई करोगे तो इनका जो मल्टीप्लिकेशन है वो fx1 / x के ही इक्वल आएगा तो इसको तुम ट्राई करके देख सकते हो बट एज इट इज तुम्हें अभी रटना है कि यही चार आई होप यू गेट दी आईडिया आई होप तुम्हें आईडिया समझ में आ रहा हो कि कैसे कि सर यहां पे fx1 / x की वैल्यू रख दूं तो लेफ्ट हैंड साइड राइट हैंड साइड सेम आ जाएगी आ जाएगी तुम ट्राई करके देख लो ठीक है तो यही चार फंक्शंस है जो कि इस फंक्शनल इक्वेशन को सेटिस्फाई करते हैं तो इसके ऊपर कई बार फंक्शनल इक्वेशन बेस सवाल बन जाते हैं ठीक है कि इफ f एक इज अ पॉलिनो मियल सेटिस्फाइंग f * f1 / x = f + 1 f1 / x इफ f3 = -8 क्या दे रखा है f3 की वैल्यू -8 दे रखी है और यह फंक्शनल इक्वेशन है तो यहां पर तुम या तो 1 प् x की पावर n मानो या फिर 1 - x की पावर n मानो ठीक है 1 प् x की पावर n कोई 10 डिग्री का पॉलिनो मियल फंक्शन है हां ओनली फोर या फिर या फिर fx1 + x की पावर n ऐसा सा होने वाला है अब अगर f3 की वैल्यू -80 दे रखी है तो x की जगह 3 रखूं तो f3 हो जाएगा 1 - 3 की पावर n और f3 की वैल्यू कितनी -80 -80 = 1 - 3 की पावर n तो इधर से 3 की पावर n की वैल्यू 81 आ जाएगी n की वैल्यू 4 आ जाएगी n की वैल्यू 4 रखोगे तो हमारे पास में वो फंक्शन मिल गया कि fx1 - x की पावर 4 दिस इज आवर फंक्शन यह रहा हमारा वो फंक्शन डिग्री 4 का फंक्शन है ठीक है ऑफकोर्स ये नहीं हो पाएगा दिखाई दे भी रहा है कि ये नहीं हो पाएगा यहां पे अगर x की जगह मैं रख देता हूं 3 f3 = 1 + 3 की पावर n f3 की वैल्यू -8 रख दूं तो -8 = 1 + 3 की पावर n 3 की पावर n की वैल्यू यहां से आ जाएगी ठीक है -81 वच इज नॉ पॉसिबल की कोई भी पावर -81 के इक्वल नहीं आएगी तो फंक्शन हमारे पास मिल गया उसके बाद में f-2 की वैल्यू पूछी गई थी f-2 की वैल्यू हो जाएगी 1 माइन माइट की पावर 4 16 ही होगा माइ 15 आएगी वैल्यू ठीक है हां जी वेरी गुड वेरी गुड वेरी गुड एक इसमें फैक्टराइजेशन है ना फैक्टर थ्योरम बेस क्वेश्च ये पवा क गा प्र प्रीवियस ईयर क्वेश्चन है फैक्टर थ्योरम बेस्ड इक्वेशन है यह तो अगर तुमने फैक्टर थ्योरम पढ़ी है जो कि पॉलिनो मियल में बहुत इंपॉर्टेंट थ्योरम है उसी के ऊपर बेस्ड य डायरेक्ट सवाल है क्या यह सवाल हो जाएगा तुमसे हां जी एक पॉलिनो मियल बोल रखा है डिग्री फ का जीरो पे वैल्यू -1 व पे वैल्यू टू प वैल्यू फोर 3 पे वैल्यू ना फोर पे वैल्यू 16 5 प वैल्यू 25 तो 6 के ऊपर वैल्यू हमसे पूछी गई है तो फैक्टर थ्योरम बहुत इंपोर्टेंट है क्योंकि बहुत फ्रीक्वेंसी के साथ साथ कंबाइन करके फैक्टर थ्योरम के सवाल दे दिए जाते हैं अलग-अलग तरीके से हमारे सामने फैक्टर थ्योरम के सवाल आते हैं तो इट्स अ वेरी वेरी इंपोर्टेंट थ्योरम गाइज ठीक है तो कैसे करोगे इस सवाल को तो इस सवाल के लिए हमें देखना पड़ेगा एक पैटर्न देखना पड़ेगा कि यहां पे एक पैटर्न चल रहा है कि वन पे वैल्यू वन आ रही है टू पे वैल्यू फोर आ रही है थ्री पे वैल्यू नान आ रही है मतलब x पे वैल्यू x स् आ रही है p x x स् के इक्वल है बट हमेशा नहीं p x x स् के इक्वल है मतलब p एक - x स् की वैल्यू 0 है कब कब कब कब भैया कब कब व्हेन जैसा कि पैटर्न देख रहा है वन पे 1 स्क्वा टू पे 2 स्क्वा 3 पे 3 स्क्वा 4 पे 4 स्क्वा 5 पे 5 स्क्वा मतलब p एक की वैल्यू x स् आ रही है कब कब भैया कब फॉर x बराबर 1 2 3 फर एंड 5 बस इन्हीं पांच वैल्यूज प हमेशा नहीं है हमेशा नहीं है बस x = 1 x = 2 2 x = 3 x = 4 x = 5 इसके ऊपर यह कंडीशन हमारे सामने आ रही है कि px2 के इक्वल आ रही है x = 1 2 3 4 5 पे मतलब कि यह हुआ कि px1 स् जो पॉलिनो मियल होगा वो रो हो रहा है px1 स् 0 हो रहा है कब कब x = 1 पे ट पे 3 पे फर पे 5 पे और अपने को ये पता चल जाए कि कोई एक्सप्रेशन कहां कहां जीरो हो रही है तो हमें उसके फैक्टर्स मिल जाते हैं इसी को बोलते हैं फैक्टर थ्योरम इसी को फैक्टर थ्योरम बोलते हैं कि मेरे को p एक px1 स् के फैक्टर्स मिल गए इसके फैक्टर्स क्याक है इसका एक फैक्टर होगा x - 1 एक फैक्टर होगा x - 2 एक फैक्टर होगा x - 3 एक फैक्टर x - 4 एक फैक्टर x -5 ये हमारे पास फैक्टर्स मिलने वाला है इसी को बोलते हैं अपन फैक्टर थ्योरम कि देख पा रहे हैं ना px2 0 हो रहा है कब x = 1 पे x = 1 पे इस चीज पूरी जीरो हो जाएगी x - 1 इसका फैक्टर हुआ x बरा 2 प 0 हो रहा है x बरा 3 प x बरा 4 प x बरा 5 प तो p एक - x स् 0 हो रहा है इन पांच जगह पे पा इन x की वैल्यूज प अब यहां पर कोई लीडिंग कफिट भी हो सकता है यह तो हमारे पास फैक्टर्स आ है यहां पर कोई लीडिंग टर्म a भी हो सकती है यह डिग्री फ का पॉलिनो हमारे पास p एक मिल गया यहां पर सपोज कुछ लीडिंग टर्म a है फिर आगे सवाल खत्म है ठीक है फिर जीरो पर वैल्यू -1 दे रखी है इस इंफॉर्मेशन का यूटिलाइज करूंगा ताकि हमें a की वैल्यू मिल जाए तो x की वैल्यू ज0 पुट करें तो p0 - 0 = a टाइम्स 0 पे यह मिल रहा है -1 * -2 * -3 * -4 * -5 x की जगह 0 रखने पे p 0 की वैल्यू -1 ठीक है 5 4 20 20 * 6 -10 ओके तो a की वैल्यू मिल गई 1 / 120 a की वैल्यू 1 / 120 रखो px4 मिल गया कि p एक माइ एक् स् बराबर 1 अप 120 टाइम्स x-1 इन x-2 तो ऐसे फैक्टराइजेशन बेस सवाल अगर आए जिसके भी हाई चांसेस है ऐसे सवाल कोई ना कोई एक आपके सामने या कहीं ना कहीं किसी ना किसी सवाल में फैक्टर थ्योरम का कांसेप्ट यूज हो रहा हो इसकी बहुत ज्यादा हाई प्रोबेबिलिटी है तो अगर ऐसा आए तो ध्यान रख लेना भैया कैसे इसको सॉल्व करना है ठीक है कूल है कूल है कूल है फिर जो भी वैल्यू पूछी गई है p6 की x की जगह 6 रख दो आंसर आ जाएगा लेट्स मूव अहेड गाइज टू दी एक्सपो शियल फंक्शन एक्सपो शियल फंक्शन और उसका ग्राफ बहुत इंपॉर्टेंट है fxxx.pro e की पावर x f एक बराबर पा की पावर x f एक बराबर मतलब बेस में यहां पर कोई कुछ कांस्टेंट हो बेस में यहां पर कांस्टेंट हो ठीक है बेस में यहां पर कांस्टेंट होना चाहिए है ना जैसे बेस में यह भी हो सकता है 1/2 1/2 पावर अब जरूरी नहीं x हो x स् प् 1 भी हो सकती है पावर में 1/2 की पावर x स् प् 1 ये एक एक्सपो शियल फंक्शन है ठीक है या फिर f एक बरा 0 . 3 0.3 की पावर में x स् - 1 दिस इज एन एक्सपोसिस फंक्शन तो ये सारे फंक्शंस कैसे हैं एक्सपो मेंशियस फंक्शंस के कुछ-कुछ एग्जांपल हैं जहां पे बेस में कांस्टेंट है और पावर यहां पे x के टर्म्स में कुछ वेरिएबल पावर है है ना पावर में x हो सकता है पावर में x स् हो सकता है ऐसा कुछ कुछ हो सकता है ओके तो fxxx.pro बेस वन नहीं होना चाहिए क्योंकि अगर बेस वन हो गया तो एक्सपो रहेगा नहीं क्योंकि वन की पावर एक्स तो वन ही होता है कांस्टेंट बन जाएगा e कांस्टेंट नहीं बेटा तो कांस्टेंट है पाई कांस्टेंट है ठीक है तो ए ग्रेटर जीरो होना चाहिए और ए नॉट इक्व एव के इवल अपने पास नहीं आना चाहिए ओके यह दो कंडीशन ओके ए नेगेटिव भी नहीं हो सकता बेस नेगेटिव नहीं हो सकता क्योंकि बेस नेगेटिव हुआ तो ग्राफ नहीं रहेगा ठीक है तो इसमें दो तरीके के पैटर्न बनते हैं दो तरीके का य पर ग्राफ मिलता है तो अगर एव से बड़ा है ना ए एक्स बराबर ए की पावर एक्स इसके ग्राफ के बारे में अपन चर्चा कर रहे हैं पहला पैटर्न जब एव से बड़ा हो दूसरा जब ए जीरो से वन के बीच में हो ए जीरो से न के बीच में तो अगर एव से बड़ा हो चाहे ए जीरो से वन के बीच में हो इन बोथ केसेस यह पास करेगा किधर से ठीक है क्या आपको पता है इसका ग्राफ नहीं पता तो पता रखना बहुत काम आएगा ओके तो पावर की वैल्यू जब जीरो रखी तो f एक की वैल्यू वन आ रही है मतलब ये रोव से तो पास करेगा ही करेगा 0 व से ये भी पास करेगा 0 व से ये भी पास करेगा बोथ ऑफ दिस ग्राफ पासेस थ्रू द पॉइंट रोव क्योंकि पावर जीरो रखी तो फंक्शन की वैल्यू वन आ गई तो दोनों ग्राफ पास करने वाले हैं अपने पास में 0 पॉइंट से अब अगर बेस वन से बड़ा है तो अपने पास में एक इंक्रीजिंग पैटर्न मिलेगा ठीक है बहुत तेजी से इंक्रीज होगा और बेस वन से छोटा है तो बहुत तेजी से से डिक्रीज होते हुए पैटर्न दिखने वाला है अपने पास में यह दो तरीके के अपने पास में ग्राफ आएंगे समझ में आते है ग्राफ कैसे कि जैसे अगर मेरे को y बराबर 2 की पावर x का ग्राफ बनाना है तो x बराबर 0 पवा की वैल्यू तो वन है एक को इनफिनिटी पंचांगा तो y भी बहुत बड़ा नंबर बन गया और अगर x को नेगेटिव में रखू जैसे x की वैल्यू -1 रखी तो ये y की वैल्यू 1/2 आ जाएगी x की वैल्यू -2 रखू तो y की वैल्यू 1/4 आएगी -3 रखने पे 1/8 बनेगी समझ रहे हो तो x को अगर मैं नेगेटिव में ले जा रहा हूं ना y 0 का अप्रोच कर रहा है है ना इन बोथ द केसेस रेंज इज ऑलवेज फ्रॉम रो टू इनफिनिटी यहां पे अगर मैं इसके डोमेन के बारे में बात करूं तो डोमेन तो ऑल रियल नंबर है डोमेन इज ऑल रियल नंबर बट इसकी रेंज के बारे में बात किया जाए तो रेंज इज ओपन ब्रैकेट जीरो से इनफिनिटी ओपन ब्रैकेट जीरो से इनफिनिटी तक रज है सेम गोज फॉर दिस ओपन ब्रैकेट जीरो से इनफिनिटी जैसे कि अगर मैं यहां पर ग्राफ बनाऊ वा बराब 0.5 की पावर एक्स तो क्या होगा ना भाई कि एक्स की वैल्यू मैं बढ़ा रहा हूं तो वा की वैल्यू अब डिक्रीज होती चली जा रही है है ना एकस की वैल्यू नेगेटिव में रखूंगा तोवा की वैल्यू न से बड़ी है क्या यह बातें समझ में आती है तुम सबको जल्दी से बताए जरा कमेंट सेक्शन में ये दो तरीके के पैटर्न मिलेंगे एक इंक्रीजिंग पैटर्न एक डिक्रीजिंग पैटर्न ठीक है हां जी अविकल रेंज दोनों केसेस में क्या जीरो टू इनफिनिटी आने वाली है रेंज दोनों केसेस में जीरो टू इनफिनिटी आएगी तो अगर मैं तुमसे पूछू भैया इसकी रेंज क्वेश्चन फाइंड रेंज ऑफ फाइंड रेंज ऑफ ठीक है पहला पार्ट f एक बराबर 0.3 की पावर एक्स ठीक है पार्ट टू f एकस बराबर ू की पावर एक् स्क्वायर पार्ट थ्री है ना या 2 की पावर x स्क्वा प्व ठीक है पार्ट थ्री इन तीनों में तुम बताओ रेंज क्या क्या है बहुत बेसिक से सवाल है बहुत बेसिक अंडरस्टैंडिंग है रेंज को लेके एक्सपो फंक्शन को लेके ठीक है f एक बराबर 0.3 की पावर एक्स स्क्वा इन तीनों के अंदर तुम बताओ रेंज कितनी कितनी है कतरी कतरी रेंज है भाई हां तो इधर यहां पर तुम रेंज देखोगे ना तो यहां पर तो रेंज जीरो टू इनफिनिटी है यहां पर रेंज जीरो टू इनफिनिटी ओपन ब्रैकेट जीरो से इनफिनिटी क्यों भाई क्यों भाई क्योंकि अगर एकस को माइनस इनफिनिटी पहुंचाओ तो यह चीज इनफिनिटी को जाएगी और एकस को इनफिनिटी पहुंचाओ तो यह चीज जीरो को जाएगी यहां पर एकस को जैसे जैसे पढ़ाओ ग इसकी रेंज जीरो से इनफिनिटी आती है समझते हैं सब लोग पहले वाले पार्ट के अंदर रेंज जीरो टू इनफिनिटी आने वाली है एवरी बडी अंडरस्टैंड्स दैट बट अगर सेकंड वाले पार्ट के अंदर ऑब्जर्व करूं तो रेंज क्या आएगी यहां पर अ मिनिमम वैल्यू कब होगी जब x स् 0 हो जाए यहां पे क्या है ना ये डिक्रीजिंग फंक्शन है यहां पे x को बढ़ाओ ग y डिक्रीज होता है इसका ग्राफ भी हमें पता है सेकंड वाले के अंदर रेंज के बारे में बात करूं तो इसकी रेंज कहां से कहां तक आने वाली है हां जी मिनिमम वैल्यू तब होगी जब x स् 0 हो जाए x स् 0 हो जाएगा 2 की पावर व मिनिमम वैल्यू है फिर बाकी वैल्यू ज्यादा ही बढ़ेगी x की वैल्यू वन रखोगे 2 की पावर टू रखोगे है ना देख रहे हो वैल्यू बढ़ती जा रही है बढ़ती जा रही है बढ़ती जा रही है मिनिमम जो इसकी वैल्यू रहेगी वो यहां पे की पावर वन रहने वाली है तो रेंज इसकी रहेगी क्लोज ब्रैकेट टू की पावर व टू इनफिनिटी क्लोज ब्रैकेट ू रे टू पावर व टू इनफिनिटी क्लोज ब्रैकेट क्यों क्योंकि यह अची वेबल है एक्स को जीरो रख सकते हैं एक को जीरो रखेंगे तो 2 रे टू पावर 1 हमें मिनिमम वैल्यू मिलेगी तो क्लोज ब्रैकेट ू टू इनफिनिटी हमारे पास इसकी रेंज आएगी और अगर मैं थर्ड पार्ट के बारे में बात करूं तो थर्ड पार्ट के अंदर क्या हो रहा है कि पावर इसकी मैक्सिमम वैल्यू तब आएगी जब x 0 हो जाए थर्ड पार्ट की मैक्सिमम वैल्यू तब आएगी जब पावर जीरो हो जाए पावर जीरो आ जाएगा तो इसकी वैल्यू वन आ जाएगी तो इसकी रेंज रहेगी रो से वन रो पे ओपन वन पे क्लोज रो से वन इसकी रेंज रहेगी यहां पे x कोई भी रियल नंबर हो सकता है x कैन बी एनी रियल नंबर इन दिस और इसकी जो रेंज रहेगी ओपन ब्रैकेट रो से क्लोज ब्रैकेट वन के बीच में रहने वाली है हां जी समझ रहे हो बात को क्या क्या समझ में आई बात कि देखो अगर तुम इसका ग्राफ भी इस तरीके का रहेगा इसका ग्राफ इस तरीके का रहेगा देखो मैं अगरवा बराबर ग्राफ से मैं बताता हूं 0.3 की पावर एक् स्क्वा का ग्राफ बनाना है है ना 0.3 की पावर एक्स स् का ग्राफ बनाना है ग्राफ से मस्त विजुलाइज होती है चीज कि अगर मैंने एक्स की वैल्यू जीरो रखी ना पावर की वैल्यू जीरो रखी तोवा की वैल्यू वन आ गई जीरो वन से पास कर रहा है ये ठीक है सुनना जरा कि पावर जीरो रखी तो y की वैल्यू वन आ गई 0 व फिर जैसे जैसे मैं x को बढ़ाऊ वैल्यू डिक्रीज ही तो होगी ना यार x की वैल्यू वन रखूंगा तो 0.3 मिल जाएगा x की वैल्यू टू रखूंगा तो 0.3 की पावर 4 फिर ये बढ़ती चली जाएगी बढ़ती x को जैसे जैसे बढ़ाऊ वैल्यू कम होती जा रही है और वैल्यू कहां को अप्रोच करेगी जीरो को अप्रोच करेगी नंबर छोटा होते चले जा रहा है ये और जैसा ग्राफ पॉजिटिव एक्स एक्सिस की तरफ है वैसा का वैसा सेम टू सेम ग्राफ अपने को नेगेटिव एक्स एक एक्सिस की तरफ मिलेगा सेम ग्राफ मेरे को यहां पे मिलने वाला है है ना कि ये ग्राफ जो है वो वा एक्सिस के अबाउट सिमेटिक होगा ठीक है तो इसकी रेंज देख सकते हैं इसकी रेंज किसके बीच में है जीरो से वन के बीच में कि मिनिमम वैल्यू जीरो को अप्रोच कर रही है मैक्सिमम वैल्यू यहां पे कितनी वन ही आने वाली है वही मैं बात समझा रहा था कि भैया x को जब जीरो रखोगे ना तब मैक्सिमम वैल्यू मिलेगी चच इज वन और फिर x को बढ़ाओ बढ़ाते चले जाओगे या घटा चले जाओगे जो भी इसकी रेंज जो रहेगी वो जीरो से वन के बीच में रहने वाली है क्या समझे बात को जल्दी से यस सर यस सर कमेंट सेक्शन में कर दीजिए है ना ठीक है ओके देखो बहुत चीजें पढ़नी है इस चैप्टर में बहुत सारी चीजें समझा है बहुत सारे ग्राफ समझाने हैं बहुत सारे कांसेप्ट बताने हैं बहुत सारे प्रीवियस ईयर क्वेश्चन करने हैं बहुत चीजें समझाने है इस चैप्टर में ठीक है तो अगर हमें इतनी सारी चीज अगर समझनी है ना तो तो तो तो कैसे समझा पाएंगे जब भाई तुम लोग पढ़ोगे ध्यान से है ना ध्यान से पढ़ोगे ध्यान से देखते चले जाओगे मस्त होकर पढ़ते चले जाओगे तो ही मजा आएगा आएगा आएगा देखो वैल्यू ऑफ एक्सपो शियल फंक्शन आर ऑलवेज पॉजिटिव हमेशा पॉजिटिव वैल्यू होती है कभी भी एक्सपो शियल फंक्शन की वैल्यू नेगेटिव नहीं हो सकती पहली बात ये दूसरी बात ये कि अगर a की पावर x a की पावर y के बराबर है तो x बराबर y के इक्वल होने वाला है दूसरी बात ये इनिक्वालिटी में ध्यान रखना कि कभी भी a रे टू द पावर x ग्रेटर इक्वल a रेट पावर y है है ना हाउ इज वन अची वेबल रो रख दो x की जगह 0.3 की पावर 0 वन ही होता है बेटा किसी भी नंबर की पावर रो वन ही होता है बेटा ठीक है पता है ना ये बात अगर a रेट पावर x ग्रेटर और इक्व a रेट पावर y है इक्वलिटी के केसेस में ये चीज ध्यान रखिएगा कि अगर बेस वन से बड़ा है तब तो सेम चीज विल फॉलो x भी ग्रेटर दन और इक्वल ट y होने वाला है बट अगर बेस वन से छोटा है जीरो से बड़ा है तो ठीक इसका रिवर्स फॉलो होगा x लेन और इक्वल ट y होगा ठीक है है ना है ना है ना अगर भाई बेस वन से बड़ा है तो तो सेम चीज फॉलो होगी इंक्रीजिंग फंक्शन है बेस अगर वन से छोटा है तो ठीक रिवर्स इसका फॉलो होगा और मोस्ट इंपोर्टेंट प्रॉपर्टी शग अगेन फंक्शनल इक्वेशन बेस्ड क्वेशन फंक्शनल इक्वेशन बेस्ड सवाल कई सारे पी वाई क्यू मैं आपको इसको दिखा दूंगा हर साल पूछे जाते हैं ठीक है एवरी ईयर जेई का नियम है जेई मेंस का नियम सा समझ लो कि हर साल इससे एक सवाल आता ही है फंक्शन के अंदर पर्टिकुलर इसके ऊपर हमेशा हर साल सवाल पूछा जाएगा 2023 में दिखा दूं 22 में 21 में 20 में 19 में हर साल आप सवाल देख लोगे सिंपल सी इस फंक्शनल इक्वेशन पे क्या है कि अगर कभी भी बोला जाए कि f x + y की वैल्यू fx1 के इक्वल है है ना तो यहां पे एक एक्सपो शियल फंक्शन होगा इसका मतलब जो फंक्शन fxxx.pro एक्सिल फंक्शन की ही प्रॉपर्टी है एक्सपो फंक्शन में ऐसा हो पाएगा कि ए रे टू पावर एक्स को ए रे टू पावर वा से मल्टीप्लाई करें तो ए रेट पावर एक्स प्वा मिल जाए यह प्रॉपर्टी क्या है f एक हो जाएगा ए की पावर एक्सवा हो जाएगा ए की पावर वा है ना यही तो बेटा f एक है ठीक है यही तो बेटा एवा है और यही तो f एकस प्वा है ठीक है यही तो अपने पास f एक प्वा है तो f एक इन एवा f ऑफ एकस प्वा किसके अंदर आता है सिर्फ और सिर्फ एक्सपोसिस फंक्शन में सिर्फ और सिर्फ एक्सपो शियल फंक्शन में क्या बात समझ रहे हो हां जी हां जी हां जी ओके तो चलिए कुछ सवाल देखे जाए तो कुछ सवाल पाच छ सात सवाल अभी बैक टू बैक प्रीवियस ईयर क्वेश्चन है है ना चलिए करते हैं जैसे ये वाला सवाल हो गया भैया कि f एक प्वा बरा f एक न f दे रखा है है ना फिर से एक फंक्शनल इक्वेशन दे रखी है इस फंक्शनल इक्वेशन से पहली बात जैसे ही ये सवाल आया चेहरे पर स्माइल आ जानी चाहिए ओके चेहरे प एकदम ऐसा मस्त नाचना चालू कर देना जैसे जैसे ही ये फंक्शनल इक्वेशन देखो बिल्कुल एकदम यस ऐसे कर देना तुम ठीक है एग्जामिनेशन हॉल में बैठे सब लोग डर जाएंगे आजूबाजू वाले अरे क्या हो गया भैया पेपर इजी आ गया क्या है ना जैसे ही ये फंक्शनल इक्वेशन देखो तुम समझ लो यह सवाल डूबल है करना है फोड़ के आना है इस सवाल को ठीक है तो अगर f एक प्वा f न f है तो अपने पास में फंक्शन f एक हो जाएगा a रे टू पावर x एक एक्सपो शियल फंक्शन एक एक्सपो शियल फंक्शन हमारे पास में मैंने फंक्शन f मान लिया फिर बोला गया है समेशन यह क्या दे रखा है यह दे रखा है समेशन x बराबर 1 से लेके इनफिनिटी तक f एक इसकी वैल्यू ू दे रखी है है ना तो x की वैल्यू वन बोला x की वैल्यू वन रखा तो ये a रे 1 है ना fx2 की पावर x है तो दे रखा है x बराबर 1 से इनफिनिटी समेशन 2 की पावर x = 2 ये दे रखा है x की वैल्यू सॉरी a की पावर x बरा 2 है ना दिस इज गिवन गाइ कि वन से इनफिनिटी तक समेशन a रे टू द पावर x किसके इक्वल टू के इक्वल है x की वैल्यू वन रखा तो बेसिकली a a स् a क a रे टू पावर 4 अप टू इनफिनिटी तक का समेशन ू के इक्वल गिवन है यहां से हमें a की वैल्यू मिल जाएगी a 0 से 1 के बीच का नंबर है तभी तो ऑफकोर्स ठीक है तो fxxx.pro तो इधर से अपने पास में मिलेगा कि a बराबर 2 माइ 2a ओके ए बराबर 2 माइ 2a तो 3a बराब 2 ए बराब 2/3 ए की वैल्यू 2/3 ए की वैल्यू 2/3 मिलते ही फंक्शन मिल जाएगा फंक्शन हो जाएगा 2 बा 3 की पावर एक्स फंक्शन मिल गया 2 बा 3 की पावर एक्स यह रहा हमारा फंक्शन फिर बाद में f4 अप f2 की वैल्यू पूछी गई है ठीक है f4 अप f2 f 4 हो जाएगा ए रे टू पावर 4 एट हो जाएगा ए रे टू पावर 2 बेसिकली a स्क्वा जहां पर a की वैल्यू 2/3 है a की वैल्यू 2/3 2/3 का स्क्वायर 4/9 ओके ऑप्शन बी हमारा सही जवाब हां जी क्लियर है क्लियर है क्लियर है तो यह देखो बैक टू बैक सवाल पूछे गए 19 में देख लो 19 में भीय सेम टू सेम सवाल कि य फंक्शनल इक्वेशन दे दी इस फंक्शनल इक्वेशन को देखते ही तुम पहचान जाना कि ये फंक्शन है f बरा a रेट पावर x फिर जो भी चीज दे रखी है इस बार फिर से समेशन ठीक है इस बार फिर से समेशन समेशन में यहां पर f a + के लिख रखा है कर दोगे इस सवाल को f a + के इस बार एक काम करो a की पावर x ना मान के तुम लोग कुछ लडा की पावर x मान लो ज्यादा बेटर रहेगा क्योंकि ऑलरेडी यहां पे वर्ड ए यूज कर रखा है तो a की पावर x मानोगे तो फिर समझ रहे बिना मतलब फस जाओगे बिना मतलब अटक जाओगे ठीक है तो इस बार फंक्शन f मान लो लड की पावर एक्स या कुछ बी की पावर एकस है ना ऐसा मान लो ठीक तो फंक्शन f अपने पास में लडा की पावर x माना तो ए ए प् के कितना हो जाएगा एफ ए प् के हो जाएगा लडा की पावर ए प् के है ना ए ए प् के अपने पास में आ जाएगा और जहां पर एव की वैल्यू ू दे रखी है एव की वैल्यू टू दे रखी है इसको यूज करो लडा ही निकल जाएगा तो एव एव लडा की पावर व एक की जगह व रख रहे तो एव हो जाएगा लडा की पावर व तो f ऑफव की वैल्यू टू दे रखी है मतलब लडा की वैल्यू ट आ गई मतलब फंक्शन अपने पास में मिल जाएगा f एक बराब 2 की पावर x कर लोगे इसके आ ग ये सवाल जल्दी से बताए कमेंट सेक्शन में कि हां सर यह वाला सवाल हो जाएगा कितने लोगों से हो जाएगा यह सवाल नहीं होगा तो भी बताए कि सर नहीं हो पाएगा सर इतनी देर से सर हम नंबर नंबर मांगने की ट्राई कर रहे थे सर हमसे कैसे हो पाएगा सर यह सवाल ठीक है सर अभी तक तो ं आईडी नहीं मिली सर सवाल कैसे होगा है ना तो बता दो भाई हो जाएगा कि नहीं हो जाएगा और जिनसे हो जाएगा यस सर यस सर लिखिए कमेंट सेक्शन में ठीक है वेरी गुड हो जाएगा कर लेंगे बहुत से तो फंक्शन एफ एक हो जाएगा ू की पावर एक तो ए प् के हो गया 2 की पावर ए प् के समेशन लगा रखा है 2 रेट पावर a + k पे k = 1 से लेके 10 तक यह समेशन है 16 टा 2 की पावर 10 -1 के इक्वल 2 रे टू द पावर a कॉमन ले लेना 2 रे टू पावर a कॉमन लेंगे तो समेशन 2 की पावर k k = 1 से लेकर 10 तक ये 16 टा 2 ^ 10 - 1 यहां पे एक gp1 + 2 रे पावर 2 अप टू 2 रे पावर 10 तक का समेशन है यह gp2 सम का फॉर्मूला लगेगा वह फॉर्मूला लगाना a की वैल्यू आ जाएगी क्लियर है हो जाएगा देखो यह वाला सवाल सेम टू सेम वही फंक्शनल इक्वेशन सेम टू सेम यह वाला सवाल देखो इस सवाल के अंदर थोड़ा सा चेंज नहीं किया थोड़ा भी चेंज नहीं किया है लेट f एक बी अ फंक्शन सच दैट f एक + y = fx1 की वैल्यू 3 है सेम टू सेम फिर वही सवाल दे दिया देख र कितना रिपीटिटिवली कि पहचानना था कि भैया यह फंक्शन जो है एक्सपो शियल फंक्शन है और खत्म है यह वाला सवाल भी है ना कि फंक्शनल इक्वेशन है पहचानना था f1 की वैल्यू 3 दे रखी है तो बेसिकली फंक्शन भी दिख गया अपने पास में कि f एक बराबर 3 की पावर x f बराबर 3 की पावर x खत्म है फिर सवाल हां जी गाइस फिर से यहां पर जीप के सम का फार्मूला लग रहा होगा जीपी के सम का फार्मूला लगाओगे इस सवाल को खत्म कर दोगे आगे बढ़ा जाए आगे बढ़ा जाए हां जी क्रिएटिव यहां दिखाई है इन्होने क्रिएटिविटी बस इधर दिखाई है इसलिए मुझे यह सवाल अच्छा लगा मैंने कहा चलो प्यारा है मैं ज्यादा कुछ क्रिएटिविटी नहीं दिखाई है ब थोड़ी बहुत तो दिखाई इन्होने क्रिएटिविटी ठीक है थोड़ी बहुत क्रिएटिविटी इन्होने दिखाई है इस बार जो फंक्शनल इक्वेशन है ना यहां पर फ भी मल्टीप्लिकेशन में लिख दिया इन्होंने यह सवाल देखना अभी तक जितने भी सवाल थे उसके अंदर बस सिंपल सा ऐसा ही था कि एफ एक्स प्वा बरा f न f f नवा f एक प्वा बराब f एक इन f अभी तक सारे सवाल इतने ही थे तो यहां पर f एक को अपन ने मान लिया करते थे कि f एक a की पावर x हो जाएगा काम हो जाता था अपना इतने से इतने से से अपना काम हो जाता था अब इतने से से काम होगा नहीं ठीक है अब यहां पर क्या कर दिया इन्होंने फ और दे दिया मल्टीप्लिकेशन में कि अब बताओ कौन सा फंक्शन है हां अब क्या आईडिया लगाओगे है ना अगर ये फ नहीं दिया होता तो इतने से से काम हो जाता फंक्शन f एक को मान लेते a रे टू पावर x फंक्शन fx4 दे दिया हम अब फंक्शन कांस्टेंट बनक बरकरार है यार ये बात बड़ी अच्छी लगी मुझे कि बिल्कुल भी ड्रॉप नहीं आया है जितने बच्चों ने जवाइन किया था उतने के उतने बच्चे कांस्टेंट बरकरार है है ना वेरी गुड क्या बात तो इस बार मैं क्या मान रहा हूं ना कि फंक्शनल इक्वेशन को ये ना मान के देखो इस बार ये दे रखा है फंक्शनल इक्वेशन f एक को मैं मान लेता हूं लडा टाइम्स a की पावर x इस बार मैंने ये मान लि लिया मैंने कहा a की पावर x के मल्टीप्लिकेशन में कुछ कांस्टेंट आ जाए लडा टाइम्स a रे टू पावर x इस बार मैंने फंक्शन को यह मान लिया ठीक है सुनना जरा बातों को तो f x + y कितना हो जाएगा f x + y आ जाएगा लडा टाइम्स a की पावर x + y f x कितना आ जाएगा f x तो यही दे रखा है f x ये है तो f y कितना होगा f y हो जाएगा लडा टाइम्स a की पावर y तो जैसा दे रखा है वैसा लगा दो इसमें क्या दे रखा है 5 टाइम्स f एक प्वा 5 टाइम्स f ऑफ एकस प्वा बराबर f एक इनवा यह दे रखा है इस बार मैंने कहा कि भैया ए की a की पावर एकस के मल्टीप्लिकेशन में कुछ कांस्टेंट लडा मान लो मैंने कहा य फ जो भी है ना एडजस्ट हो जाएगा है ना एक की पावर एक् के मल्टीप्लिकेशन में कुछ कांस्टेंट लडा मान लो ये फ एडजस्ट हो जाएगा फिर यहां पर साफसाफ दिख रहा है कि f एक प्वा हो जाएगा लडा टाइम्स a ^ पा x + y f x + y यह हो जाएगा fx8 की पा x और fy1 a ^ पा x * a ^ पा y के प्रोडक्ट से खत्म है ना a ^ पा x + y = a की पा x * a की पा y यहां पे 5 ल = ल स् है ना लडा से भी 1 लडा काट दो तो इधर लडा की वैल्यू आ गई फ ठीक है तो तुम में से कई बच्चों ने सही सोच भी लिया था कि सर इस बार फंक्शन को मान लो 5 टाइम्स a की पावर x यह फंक्शन माना जाएगा इस बार इस बार फंक्शन सिर्फ a की पावर x नहीं है ठीक है है ना इस बार फंक्शन है लडा बराब √5 √5 कैसे आ रहा है बेटा है ना यहां से भी देखो एक लडा कट जाएगा ना एक ही लडा तो बचेगा राइट हैंड साइड में ठीक है तो लडा की वैल्यू किसके इक्वल आ गई फाइव के इक्वल आ गई लडा की वैल्यू फव रखोगे तो फंक्शन fx5 टास a की पा x बस इतना सा फर्क है है ना बोला था ना तुम लोगों ने तुक्का मारा था देखो तुम लोगों ने तुक्का मारा था कि सर इस बार 5 टाइम्स a की पा x मान लो है ना ठीक है बट अपन ने इसको प्रॉपर्ली करके दिखाया कि भैया एक फंक्शन को ऐसे कुछ लैडा टाइम्स a की बार x मान लो तो बस इतनी सी यहां पे क्रिएटिविटी लगाई है f3 की वैल्यू 3 20 दे रखी है f3 निकाल लोगे यहां पे x की जगह 3 रखोगे 5 टाइम्स a की पावर 3 है ना f3 की वैल्यू कितनी 320 तो 320 बरा 5 टाइम्स a की पावर 3 a की वैल्यू मिल जाएगी यहां से ठीक है 5 च 30 5 4 20 a क = 64 a की वैल्यू 4 आ गई a की वैल्यू फर आ गई a की वैल्यू 4 रखोगे तो फंक्शन fxxx.pro ओके कि समेशन ए ए ए हो जाएगा 5 टाइम्स 4 की पावर n n बराबर जीरो से लेकर फ तक का समेशन इस फ को बाहर ले लो तो 5 टाइम्स 4 की पावर 0 प्स 4 की पावर 1 प् 4 की पावर टू एंड सो ऑन अप टू 4 की पावर 5 तक का यह समेशन पूछा गया है यह अपना आंसर हो जाएगा ठीक है क्लियर है कर लोगे इसको कैलकुलेट जीप का फार्मूला लगा देना सम ऑफ जीप का हो जाएगा तो लेट्स मूव अहेड तो ये फंक्शनल इक्वेशन वाले सवाल ध्यान रखिएगा ये फंक्शनल इक्वेशन वाले सवाल हमसे होने चाहिए एक और फंक्शनल इक्वेशन वाला सवाल है फंक्शनल इक्वेशन नहीं है यह भी बहुत फ्रीक्वेंसी सा आईडिया क्या कि पहले वाले और आखरी वाले का सम सेम आएगा यह आईडिया यहां पर काम करता है अगर तुम इसको देखोगे तो अगर यह f एक है अगर यह x है तो यह 1 माइ एक् है यह चीज ऑब्जर्वेशन के ऊपर काम चलेगी कि f एक्स प्स f ऑफव माइन एक इसकी वैल्यू कुछ कांस्टेंट आएगी यह हमें आईडिया लेकर चलना है इस सवाल में कि आएगी इसकी वैल्यू कुछ कांस्टेंट ठीक है इसकी वैल्यू कुछ ना कुछ कांस्टेंट आने वाली है वो कांस्टेंट क्या होगा हमें यह देख है अगर ये f एक है तो ये f 1-x है ओके बहुत देखे ऐसे सवाल वेरी गुड जिन्होंने नहीं देखे वो देख लीजिए है ना कि बहुत आते है ऐसे सवाल कि अगर यह x है तो बेटा यह 1 माइ x है यह ऐसे सवाल है ना कि बहुत डूबल है फ्रीक्वेंसी रखोगे तो यट की पावर जीव बाटू प्व बाटू व आ जाता है है इसकी वैल्यू देखो न आ जाएगी f प् f माइ एक की वैल्यू व आएगी यह डायरेक्टली कैसे पता चल गया सर आपको देखो एक तो होता है डायरेक्टली पता चलना वो डायरेक्टली कैसे पता चला एकस को जीरो रख दिया मैंने एक्स को जीरो रखा एक्स को जीरो रखा तो ट की पावर जीव ठीक है है ना या फिर एक को जीरो रखा तो बेसिकली f0 प् की वैल्यू मैं कैलकुलेट कर रहा हूं मैं f0 प्व f0 की वैल्यू आ जाएगी 1 अपन 1/3 और एव की वैल्यू आ जाएगी 2 अपन 2 स्क्वा मतलब 4 4 अप 2 स्क्वा मतलब 4 प् 2 ठीक है च इज 1/3 प् 4/6 4/6 हो जाएगा 2/3 1/3 प् 2/3 व आ जाती है है ना हां बहुत बार आ है बहुत जगह एडवांस में भी मिला है यह स वाल कई जगह मिला है ये सवाल तो डायरेक्टली समझ में आ गया कि fx1 - x1 के इक्वल है या तो डायरेक्ट समझो नहीं तो प्रॉपर तरीका यही रहता है कि तुम पहले fxxx.pro [संगीत] x मतलब f 0 + f1 की वैल्यू कैलकुलेट की 1 आई वही इसकी वैल्यू आने वाली है नहीं तो इसको मैनुअली ऐसे कैलकुलेट करो कि तुमने fx1 - x की वैल्यू हो जाएगी 2 की पावर 2 - 2x है ना x की जगह 1 - x रखूंगा तो ये बनेगा यहां पे भी डिनॉमिनेटर में 2 की पावर 2 - 2x + 2 बनने वाला है फिर इसको 2 की पावर 2 - 2x को 2 रे पा 2 / 2 पावर 2x और वो सारी चीजें करोगे 2 रे पावर 2 / 2 रे पा 2x ये भी 2 रे टू द पावर 2 अपन 2 की पावर 2x प् 2 है ना एलसीएम एलसीएम लेना भाई थोड़ी बहुत कैलकुलेशन है यहां पे 2 उड़ा दो हर जगह से ठीक है फिर जैसे ही एलसीएम लोगे तो यह अपने पास में बनेगा न्यूमरेशन में 2 स्क्वा उठ गया तो 2 प् 2 की पावर 2x हां जी ओके तो ये बन रहा है 2 प् 2 की पावर 2x और टर मेंटू है ना 2 रेट पावर 2x डिनॉमिनेटर में कैंसिल आउट हो गया तो f1 - x की वैल्यू ये आ गई f x की वैल्यू ये है इन दोनों का सम देखो जरा इन दोनों का सम देखोगे तो दिख रहा है कि fx1 - x है ना दिस प्लस दिस वन आता हुए दिख रहा है डिनो मिनेट दोनों का सेम है न्यूमरेशन ऐड हो जाएंगे न्यूमरेशन ऐड होते न्यूमरेशन और डिनॉमिनेटर दोनों की वैल्यू सेम आ रही है है ना तो इनकी वैल्यू वन आते हुए दिख रही है तो इसमें आईडिया ये लगेगा कि भाई पहली और आखिरी का सम वन आ जाएगा फिर वही सेकंड सेकंड लास्ट का सम भी वन आने वाला है थर्ड थर्ड लास्ट का सम भी वन आने वाला है तो ये वाला अपन आईडिया यूज कर रहे हैं क्या आईडिया क्लियर है हां जी मेरे दोस्तों हां भाई तो यहां पे ये टोटल 2022 टर्म दिखाई दे रही है 1 2 3 टोटल 2022 टर्म जिसके अंदर पहली और आखिरी का सम भी वन सेकंड सेकंड लास्ट का सम भी वन है ना टोटल अपने पास में 2022 टर्म दिखाई दे रही है 2022 टर्म्स तो इसके आधे मतलब 1011 पेयर बन जाएंगे है ना इसका आधा किया 1011 एगजैक्टली पेयर बन जाएंगे हर पेयर की वैल्यू वही है तो 1011 अपना आंसर हो जाएगा है ना कि वही यूज़ करेंगे भैया कि f ऑफ 1 / 223 + f ऑफ 2022 / 2023 जल्दी से बता दो यार कमेंट सेक्शन में कि हां सर क्लियर है ज्यादा एक्सप्लेनेशन की इसमें जरूरत है नहीं कि ठीक है चमकता है नहीं एक्सप्लेन करना और ज्यादा नहीं तो मैं एक्सप्लेन करता चला जाऊंगा अननेसेसरी ठीक है अननेसेसरी एक्सप्लेन क्यों करना है ना तो पहली दूसरी का पहली लास्ट का सम वन है सेकंड सेकंड लास्ट का सम वन है थर्ड थर्ड लास्ट का सम वन है कोई भी ऐसी कोई ऑ टर्म नहीं मिल रही है पहली और आखिरी का सम वन आ रहा है टोटल 2022 टर्म है 2022 टर्म में इसका आधा 1011 पेर बन जाएंगे हर पेर का सम वन है तो हर पेर का सम वन है आंसर 1011 आ जाएगा हा सीक्वेंस ए सीरीज में भी इस टाइप के क्वेश्चन होते हैं वहां पर भी ये आईडिया यूज किया जा सकता है क्लियर क्लियर क्लियर आगे बढ़ा जाए हां जी ओके यह क्वेश्चन देखो यह भी फ्रीक्वेंसी y बराबर 2 इस फंक्शन की डोमेन और रेंज के बारे में कई बार सवाल उठे हैं बहुत बार ठीक है इसको अपन बोलते हैं इंपलीसिट फंक्शन क्या बोलते हैं इंपलीसिट और एक्सप्लिसिट फंक्शन क्या होता है जहां पर y एज अ फंक्शन ऑफ x लिख रखा हो उसे एक्सप्लिसिट फंक्शन बोलते हैं तो डोमेन और रेंज के बारे में यहां पर कमेंट करना है तो डोमेन के बारे में कमेंट करने के लिए इसको वा एज अ फंक्शन ऑफ x रिप्रेजेंट करो टू कमेंट अबाउट डोमेन रिप्रेजेंट वा एज अ फंक्शन ऑफ x डोमेन की लिए कमेंट करने के लिए ऐसे रिप्रेजेंट करना होता है रेंज के लिए कमेंट करने के लिए x एज अ फंक्शन ऑफ y को ऐसे रिप्रेजेंट करना होता है ना टू कमेंट अबाउट रेंज ठीक है तो दो अप्रोच रहती है डोमेन के लिए अप्रोच ये रहती है रेंज के लिए अप्रोच हमारे सामने ये रहती है ठीक है तो y एज अ फंक्शन ऑफ x को रिप्रेजेंट करना है तो 2 रे टू द पावर y को लेफ्ट हैंड साइड में रखा मैंने हां जी 2 रे टू द पावर y को लेफ्ट हैंड साइड में रखा राइट हैंड साइड में 2 - 2 की पावर x पहुंच जाएगा 2 रे टू पावर y को लेफ्ट में रखा बाकी सबको राइट में भेज दिया अब यहां से y की वैल्यू देखूंगा तो लॉग ऑफ दोनों साइड लॉग ले रहा हूं विद बेस टू लेफ्ट हैंड साइड में भी लॉग लिया विद बेस टू लेफ्ट हैंड साइड में अगर लॉग लोगे विद बेस टू तो सिर्फ y बचेगा राइट y बचेगा तो लेफ्ट हैंड साइड में भी लॉग ले लिया विद बेसट राइट हैंड साइड में भी लॉग लिया तो y की वैल्यू ये आ गई लॉग के अंदर फस गया तो जैसे ही तुमने y एज अ फंक्शन ऑफ x रिप्रेजेंट किया तो यहां पे हम बहुत इजली कमेंट कर सकते हैं कि भाई ये लॉग के अंदर की चीज है लॉग के अंदर की चीज है तो ग्रेटर जीरो होनी चाहिए क्योंकि लॉग के बारे में इतनी बातें सब लोग जानते हैं बच्चा बच्चा समझता है है ना यह तो बड़ी फेमस बात है लग के लिए कि लग के अंदर कुछ भी मसाला है तो वो ग्रेटर दन जीरो होना चाहिए 2 माइ 2 की पावर x ग्रेटर दन 0 होना चाहिए मतलब ू शुड बी ग्रेटर दन 2 की पावर x मतलब न शुड बी ग्रेटर दन एकस या फिर एक शुड बी लेसन व एक्व से छोटा नंबर होना चाहिए वन से छोटा कुछ भी हो सकता है माइनस इनफिनिटी तक जा सकता है तो यहां पर x बिलोस टू एक्स बिलोंग टू माइनस इनफिनिटी टूव एक माइनस इनफिनिटी सेव के बीच में कोई भी नंबर हो सकता है ठीक है एजीएम कुछ नहीं भैया एकस हमारे पास में माइनस इनफिनिटी से वन तक कोई भी नंबर हो सकता है एंड सेम गोज फॉर वा क्योंकि चीज सिमेटिक है अब तुम अगर रिप्रेजेंट करते एक एस फंक्शन ऑफ वा तो यहां पर भी वही चीज होती ना कि x की वैल्यू क्या आती लग ऑफ 2 माइट की पावर वा टू द बेसटू एक की वैल्यू य आती जैसे यहां सेवा की वल ये आई वैसे यहां से एकस ए फंक्शन ऑफ y करते तो एक की वैल्यू ये आती और यहां पर भी यही कंडीशन लगाते कि ये चीज ग्रेटर दन जीरो होनी चाहिए मतलब 2 माइ 2 की पावर y ग्रेटर दन 0 होनी चाहिए मतलब y लेव होना चाहिए तो रेंज भी इसकी माइनस इनफिनिटी सेवन तो डोमेन और रेंज दोनों के दोनों यहां पर माइनस इनफिनिटी से वन के बीच में आने वाला है ठीक है तो द डोमेन ऑफ द डेफिनेशन डोमेन ऑफ द डेफिनेशन आ जाएगा माइनस इनफिनिटी से से वन ठीक है यहां पे थोड़ा सा एक चेंजेज है चेंजेज है भैया डोमेन ऑफ द डेफिनेशन ये आएगा माइनस इनफिनिटी से वन पूरा करेक्शन कर रहा हूं ऑप्शन डी के अंदर और फिर ऑप्शन डी को मार्क कर रहा हूं ठीक है रो नहीं माइनस इनफिनिटी से रो नहीं माइनस इनफिनिटी से वन ओके ओके ओके ओके ओके क्लियर है इतनी बात है तो x - इनफिनिटी से 1 और y भी - इनफिनिटी से वन तो आई होप दिस इज क्लियर टू ऑल ऑफ यू के इस फंक्शन की डोमेन और रेंज कई बार पूछी गई है वो हमें निकालनी आनी चाहिए कि डोमेन और रेंज कैसे निकाली जाए इस वाले फंक्शन की बहुत बार पूछी गई है बहुत बार ठीक है रिपीटेड मेनी मेनी टाइम्स ओके एवरीवन फिर मैं यहां पर लगदम का ग्राफ बता रहा हूं लॉग के बारे में तुमने पढ़ा होगा मेरे ख्याल से ऐसा तो नहीं होगा कि किसी को लॉग के बारे में नहीं आईडिया हो है ना लॉग का बेसिक नहीं पता हो या फिर लॉग के मतलब य नो बेसिक आपको पता होगा सबको लॉग का लॉग की प्रॉपर्टीज पता होगी लॉग a + लॉग b = लॉग e है ना ये सारी पता है ना लॉग की प्रॉपर्टी सबको पता है ना भाई ठीक है जैसे इस टाइप के सवाल दिए जाए लोगरिथम के अंदर ठीक है जैसे इस टाइप के सवाल हो गए कर सकते हो मेरे ख्याल से तुम लोग हां जी इजी क्वेश्चन है लॉग के ऊपर तो मैं नहीं जाता लॉग के ऊपर चर्चा करें अपन लोग अपन जो काम की चीजें हैं जो कि लगदम का ग्राफ है लगदम के ग्राफ के बारे में चर्चा करेंगे इस टाइप के क्वेश्चन अगर तुमने लगदम पढ़ा है क्लास 11थ में क्लास 12थ में तो ये सारे क्वेश्चंस तुमने किए होंगे वहां पे तो तुम्हारे सामने है एक बार ताकि तुम प्रैक्टिस कर लो क्लास के बाद में इन क्वेश्चंस की ठीक है है ना यह वाला क्वेश्चन जरूर कर लेते हैं एक बार क्योंकि यह फंक्शन से थोड़ा रिलेटेड सा सवाल है तो यह वाला क्वेश्चन कर सकते हैं इधर इस क्वेश्चन में क्या है ना भाई कि अगर फंक्शन fx1 है तो f 2x / 1 + x स् के बारे में पूछा गया है कि इसकी वैल्यू क्या है ठीक है तो f 2x / 1 + x स् क्या हो जाएगा कि x की जगह बेसिकली मैं यह निकालना चाहता हूं है ना तो यहां पर इस फंक्शन में लग टू द बेस e और जहां जहां एक लिखा है उसकी जगह ये लिख दो 2 एक अपव प् एक्स स् ये 1 माइन एकस अपव प् एकस है तो यह ऐसा सा बन जाएगा ठीक है यह चीज बन गई है ना तो एलसीएम लेंगे तो यह बन रहा है ए ए ऑफ लग टू द बेस e मतलब लग टू द बेस e ही लिख देते चलो कोई नहीं ये न्यूमर में बन रहा है x काल स्क्वा डिनो मिनेट में 1 प् x काल स्क्वा बनते हुए दिखाई देगा एलसीएम लेते ये दिखाई दे रहा है तुमको 1 प् x स् - 2x मतलब न्यूमरेशन में 1 - x काल स्क्वा डिनॉमिनेटर में एलसीएम लेती 1 प् x का स्क्वा बनेगा ठीक है च इज टू टाइम्स लॉग टू द बेस e 1-x अप 1 प् x है ना ये जो पावर टू है पावर टू यहां पर उतार दो कि इसका होल स्क्वायर है बेसिकली है ना 1-x अप 1 प् x का स्क्वा तो टाइम्स दिस तो व्हिच इज बेसिकली 2 टाइम्स fxxx.pro डिफरेंट डिफरेंट पैटर्न ऑब्जर्व करने को मिलेंगे कि अगर एव से बड़ा है यह पास करेगा न जी से ठीक है कि एक्स बराबर व परवा की वैल्यू जीरो है ही तो यह न जीरो से पास करेगा और इसका ग्राफ ऐसा बनेगा ठीक है दिस इ न बेस इ ग्रेटर देन व यह हमारे पास ग्राफ है वा बराबर लग एक्स टू बस ओके और अगर अपन ग्राफ के बारे में चर्चा करें न a इज लेसन व अगर ए हमारे पास वन से छोटा जीरो से बड़ा हो तो इसका ग्राफ एक तरीके से डिक्रीजिंग फंक्शन रहेगा बट य भी पास करेगा 0 से न0 से पास करता हुआ एक डिक्रीजिंग फंक्शन रहने वाला है ठीक है तो इस तरीके के पैटर्न आते है दोनों में देखोगे तो एकस पॉजिटिव है कि ग्राफ में डोमेन और रेंज पता चल जाता है कि डोमेन क्या है एक्स शुड बी ग्रेटर दन जीरो है ना कि डोमेन इज x शुड बी ग्रेटर दन 0 रेंज इज माइ इनफिनिटी टू इनफिनिटी रेंज हमें कि y एक्सिस पे कहां से कहां तक कवर कर रहा है तो y एक्सिस पे देखो माइनस इनफिनिटी तक भी जा रहा है और आगे बढ़ते बढ़ते बढ़ते बढ़ते देखो धीरे-धीरे बढ़ रहा है पर बढ़ता जाएगा x को अगर इनफिनिटी लेके जाऊंगा तो यह लॉग भी इनफिनिटी तक की वैल्यू देगा और यहां पे भी देखेंगे तो इनफिनिटी से माइनस इनफिनिटी तक की सारी चीजें कवर कर रहा है ठीक है तो दो तरीके के पैटर्न मिलते हैं एक तो इंक्रीजिंग पैटर्न मिलता है एक डिक्रीजिंग पैटर्न मिलता है बोलो यस हां जी क्लियर ओके और यह जो ग्राफ होता है व मिरर इमेज होता है अबाउट द लाइन वा बराबर एक्स सस ग्राफ आर मिरर इमेज अबाउट द लाइन वा बराबर एक्स अगर तुम वा बराबर एक्स लाइन को प्लॉट करते हो गाइस दिस इज द लाइन वा बराबर एक्स ठीक है एक्सपो शियल फंक्शन का इवर्स कहलाता है य लगदम फंक्शन जो होता है वो एक्सपो मेंं शियल फंक्शन का इवर्स कहलाता है तुम्हें पता है कि लोगरिथम फंक्शन एक्सपोसिस फंक्शन एक के बाद एक क्यों पढ़ाया जाता है इसको कि पहले एक्सपो शियल फिर हमेशा लोगरिथम पढ़ाया जाता है क्योंकि अगर यह मैं ग्राफ बनाता हूं y बराबर a की पावर x देखो दिस इज द ग्राफ ऑफ y बराबर a की पावर x जो कि पास करेगा 0 व से फॉर बेस ग्रेटर दन व ये दोनों एक दूसरे की मिरर इमेज होते ते हैं हां जी ये दोन एक दूसरे की मिरर इमेज होती है अबाउट द लाइन y = x और सेम गोज फॉर दिस हां जी कि 0 1 से पास करता हुआ y = a की पावर x का ग्राफ रहता है ठीक है अगेन दिस इज द ग्राफ ऑफ y = a रेट पावर x ठीक है दिस इज द ग्राफ ऑफ y = a की पावर x ठीक है और यह ग्राफ है लग एक्स टू द बेस है ना क्लियर है तो दोनों भाई मिरर इमेज होते हैं एक दूसरे की अबाउट द लाइन वा बराबर एकस ठीक है ऑल क्लियर ऑल गुड बताओ यार कोई प्रॉब्लम इधर तक वेरी गुड ठीक है इवर्स फंक्शन होता है ना तो लिख सकते हो यहां पर एक्सपो शियल फंक्शन एंड लोगरिथमिक फंक्शन आर इवर्स फंक्शन ऑफ ईच अदर अबाउट द लाइन y बरा x फिर बाद में वही मॉड्यूस फंक्शन वगैरह के बारे में तुम्हारे सामने बातें करी जा सकती है यह वाला क्वेश्चन है मॉड्यूस फंक्शन का पवा क होमवर्क के लिए मैं तुम्हें दे रहा हूं बेसिक सा क्वेश्चन है मॉड्यूस फंक्शन की अगर अपने को बेसिक है ना बेसिक पता होना चाहिए मॉड्यूस फंक्शन के बारे में तो उसको करते हुए इस क्वेश्चन को कर सकते हैं ये भी मैं तुम्हें होमवर्क के लिए दे रहा हूं दो तरीके से ओपन करेंगे एक बार 2 की पावर x1 से ज्यादा एक बार 2 की पावर x1 से कम है ना तो दोनों के लिए अपन अलग-अलग तरीके से ओपन करते हुए इसको आगे बढ़ रहे होंगे तो यह भी हमें आना चाहिए अब एक बहुत ही फेमस क्वेश्चन है जो बहुत बार रिपीट हुआ है पिछले सालों में जो कि डोमेन के बारे में पूछता है डोमेन ऑफ 1 / रूफ मडल ऑफ x - x व्हिच इज अ वेरी रिपीटेड क्वेश्चन गाइस ठीक है तो बहुत ज्यादा बहुत ज्यादा रिपीटेड सवाल है यहव अपन मॉड्यूस ऑफ एक्स माइन एक् ठीक है इसकी हमें डोमेन के बारे में कमेंट करना है तो डोमेन के बारे में कमेंट करना है तो क्या करेंगे फास्ट तो नहीं हो रहा ठीक है हां जी ओके तो देखो अंडर रूट में कभी भी कोई चीज है वो ग्रेटर दन जीरो होनी चाहिए मतलब मॉड्यूस ऑफ x माइन एक् शुड बी ग्रेटर दन 0 और क्योंकि डिनॉमिनेटर में है तो इक्वल टू जीरो भी नहीं हो सकते डिनॉमिनेटर में है तो ये इक्वल टू जीरो नहीं हो सकती तो मॉड्यूस ऑफ x माइ x हमेशा क्या होना चाहिए ग्रेटर दन 0 है और क्योंकि य डिनॉमिनेटर में ये इक्वल टू जीरो भी नहीं हो सकती है राइट गाइस हां जी हां जी हां जी है ना ओके तो कौन-कौन सी एक की वैल्यूज मैं यहां पर रख सकता हूं क्या x की जगह 2 रख सकता हूं क्या मैं रख सकता हूं क्या x की जगह नहीं रख सकता क्योंकि x की जगह ट रखा तो 2 माइ 2 मॉड्यूस ऑफ 2 2 हो जाता है 2 - 2 0 डिनॉमिनेटर में रो बन गया डिनॉमिनेटर में रो बन गया तो चीजें खत्म हो जाएगी मामला फैल जाएगा डिनॉमिनेटर में रो अलाउड है नहीं ठीक है बट x की जगह मैं नेगेटिव नंबर जरूर रख सकता हूं x की जगह अगर मैं -2 रखता हूं तो मॉड्यूस ऑफ -2 है ना यहां पे x की जगह -2 रखा जा सकता है क्योंकि मॉड्यूस ऑफ -2 तो पॉजिटिव बना देगा और यहां पे माइनस ऑफ -2 फिर पॉजिटिव बन जाएगा मतलब ये 2 + 2 बरा 4 ब बन जाएगा तो इस आईडिया से अपन देख सकते हैं कि x की वैल्यू सिर्फ नेगेटिव वैल्यूज रख सकता हूं यहां पे x शुड बी लेस दन 0 x शुड बी लेस दन 0 मतलब माइनस इनफिनिटी से रो हमारे पास में आंसर हो जाएगा ठीक है क्लियर है नॉट अ बिग डील नॉट अ बिग प्रॉब्लम लेट्स मूव अहेड ठीक है अब इधर भी हमारे सामने मॉड्यूस में कुछ कुछ क्वेश्चंस आते हैं कुछ प्रॉपर्टीज है मॉड्यूस के अंदर नेगेटिव है तो मॉड्यूस नेगेटिव से ओपन होगा एंड पॉजिटिव क्वांटिटी अगर मॉड्यूस के अंदर है तो मॉड्यूस पॉजिटिव से ओपन होगा यह बात पता है तुम्हें अंडर रूट ऑफ x स् हमेशा मॉड्यूस ऑफ x के इक्वल होता है अगर मॉड्यूस ऑफ x अल्फा के इक्वल है तो x की वैल्यू प्लस माइनस अल्फा हो जाती है अगर मॉड्यूस ऑफ x प्वा बराब मॉड्यूस ऑफ x प् मडल ऑफ y के इक्वल दे रखा है तो यहां पर एक्स और वा का प्रोडक्ट ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 होना चाहिए है ना मतलब एक्स और वा दोनों सेम साइन के होने चाहिए और यहां पर देखा जाए तो एक्स और वा का प्रोडक्ट लेसन लेसन और इक्वल टू जीरो होना चाहि इधर यहां पर एक्स और y अपोजिट साइन का होना चाहिए देखो जरा हां जी कि अगर मॉड्यूस ऑफ x प्वा मॉडल x मडुवा के इक्वल है तो यहां प एकस और y सेम साइन के हो मतलब या तो ये भी टू ये 3 2 प् 3 5 5 इज इक्वल टू ठीक है या फिर दोनों अपोजिट साइन क्यों हो इस वाले केस के अंदर यहां पर x पॉजिटिव तो y नेगेटिव होना चाहिए तभी जाके ये इक्वलिटी सेटिस्फाइड है तो इफ दिस इज हैपनिंग तो ये रेश में मिलेगा इ दिस इज हैपनिंग दिस इज द रिलेशन विल बी गेटिंग ठीक है ओके ओके ओके ओके जीरो भी हो सकता है यहां पर जीरो में क्या दिक्कत है एक्स की जगह जीरो यावा की जगह जीरो रखे तो भी इस इक्वलिटी को सेटिस्फाइड है ओके तो चलिए आगे बढ़ते हैं ग्रेटेस्ट इंटी जर फंक्शन फ्रेक्शनल पार्ट फंक्शन के बारे में बात करते हैं ग्रेटेस्ट इंटी जर फंक्शन क्या होता है कि y बराबर ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ एक् या फिर f एक इ ग्रेटेस्ट इटी ऑफ एक इस तरीके का हमारे पास में ग्रेटेस्ट इंटी जर फंक्शन मिल रहा होता है फिफ्थ पॉइंट एक्सप्लेन कर दो वो वही है जस्ट हैव लक एट द कॉप्लेक्स नंबर वहा से य चीज समझ में आ जाएगी अपने सामने ठीक है क्लियर है आगे बढ़ा जाए तो f एक बराबर ग्रेटेस्ट इंजर ऑफ एक्स ग्रेटेस्ट इंजर फंक्शन के बारे में अपन लोग चीज देखते हैं तो यह जो है वह आउटपुट अपने को देता है लेसन और इक्वल टू इनपुट ग्रेटेस्ट इंजर ऑफ एक्स इ इक्वल टू द ग्रेटेस्ट इंटी जर द ग्रेटेस्ट इंटी जर ठीक है लेस देन और इक्वल टू एक्स ग्रेटेस्ट इंजर लेसन और इक्वल टू एक्स दिस इज ग्रेटेस्ट इंजर ऑफ एक्स इसका ग्राफ देखा जाए तो उसका ग्राफ इस तरीके से बनता है कि अगर तुम एकस की वैल्यू जीरो से व के बीच में रख रहे होवा बराबर ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ एक्स का हमें ग्राफ बनाना है अगर अगर तुम x की वैल्यू जीरो से व के बीच में रख रहे हो तो ग्रेटेस्ट इंजर की वैल्यू जीरो आ जाएगी ना रो से वन पे बट वन के ऊपर एगजैक्टली अगर x की वैल्यू रो से वन के बीच में रख रहे हो तो y की वैल्यू रो ही है बट एगजैक्टली वन पे क्या हो रहा है वन के ऊपर इसने जंप मार लिया वन के ऊपर ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ वन वन ही हो जाता है ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ टूटू ही हो जाता है ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ -3 -3 हो जाता है है ना तो वन के ऊपर इसने स्टेप अप किया और वन से टू के बीच में ग्रेटेस्ट इंटी जर की वैल्यू वन ही है जैसे 1.5 का ग्रेटेस्ट इंटी जर पूछा जाए वन मिलेगा है ना ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ 1.5 रा 1 ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ 1.9 = 1 ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ 1.99 दैट इज इक्वल टू 1 ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ 1 इ इक्व ट 1 तो वन से टू के बीच में तुम x की कोई भी वैल्यू रखो y की वैल्यू वन ही आएगी बट एगजैक्टली टू पे क्या हुआ टू पे फिर से हालात बदले जज्बात बदले है ना टू पे फिर से चीजें चेंज हो गई 2 से ्र के बीच में ग्रेटेस्ट इंटी जर फंक्शन की वैल्यू फिर से कांस्टेंट हो गई टू के इक्वल ही आ रही है फिर थ्री से फोर के बीच में ग्रेटेस्ट इंटी जर की वैल्यू कितनी आ जाएगी भैया हां जी थ्री ही आ जाएगी एंड सो ऑन तो ये स्टेप अप फंक्शन अपन इसको बोलते हैं ठीक है अगर ग्रेटेस्ट इंटी जर की वैल्यू 0 से -1 के बीच में रख रहा हूं तो इसकी वैल्यू -1 आएगी और अगर -1 से -2 के बीच में रख रहा हूं तो इसकी वैल्यू -2 आएगी है ना बेसिकली कहना ये चाह रहे हैं अपन कि अगर मैं तुमसे पूछूं कि -0.3 का ग्रेटेस्ट इंटी जर क्या होगा तो तुम -1 बताओगे ना कि जीरो ठीक है हां जी हां जी हां जी माइन 0.3 का ग्रेटेस्ट इंजर मानव बताने वाले ओके कि हमें जो इंजर मिलेगा ना जस्ट लेसन इनपुट मिलेगा इइ 1.1 का ग्रेटेस्ट इंजर माइनस बताने वाले है ठीक है - 1.1 का ग्रेटेस्ट इंजर माइट हो जाएगा एंड सो न इतनी बात तुम्हे पता है ग्रेटेस्ट इंजर का ग्राफ तुम्हे पता है है ना ब्रेक ले लिया जाए क्या बताओ बताओ बताओ हम ठीक है हां जी गाइस ब्रेक ब्रेक ब्रेक चलो बहुत पॉपुलर डिमांड के ऊपर इतनी अगर डिमांड आ ही रही है तो मुझे क्या प्रॉब्लम है है ना ब्रेक चलिए ले ही लेते हैं ब्रेक के दौरान इस वाले सवाल के ऊपर आप ट्राई मारना यह वाला सवाल ट्राई कीजिए ब्रेक के दौरान और मुझे बताइए कि इस क्वेश्चन का आंसर क्या होने वाला है है ना तो लेट मी नो गाइ लेट मी नो द आंसर फॉर दिस क्वेश्चन मिलते हैं आपसे एक क्विक कितने मिनट का ब्रेक 202 मिनट तो बनते हैं देखो ठीक है 20 मिनट्स ले लेते हैं अपन है ना 20 मिनट्स ब्रेक के बाद में आपसे फिर मुलाकात होगी फिर अपन ग्रेटेस्ट इंटी जर के बारे में और बातें करेंगे फ्रेक्शनल पार्ट के बारे में और बातें करेंगे ओके हां जी तो सी यू गाइस आफ्टर क्विक 20 मिनट्स ब्रेक है ना ब ब ब ब ब ब ब ब ब ब ब ब ब ब हेलो हेलो हेलो हेलो हेलो वेलकम बैक वेलकम बैक टू दिस सेशन वापस से स्वागत है आप सबका तो एम आई क्लीयरली ऑडिबल एंड विजिबल टू ऑल ऑफ यू हां जी ओके तो चलिए यह वाला क्वेश्चन आप सबने ट्राई किया होगा है ना यह वाला क्वेश्चन चलो करते हैं अपन सब लोग मिलके तो देखो यार इस टाइप का सीन है कि - 1/3 का ग्रेटेस्ट इंटी जर -1 हो जाता है यार है ना समोसा ओपी ठीक है तो आप लोगों ने भी आई होप खाना खा लिया हो मैंने भी डिनर कर लिया है आप लोगों ने भी डिनर कर लिया होगा तो अब चलते हैं फिर से नई एनर्जी के साथ शुरुआत करते हैं आज के सेशन की है ना और अब कोई ब्रेक नहीं होगा अब ब्रेक के लिए मत बोलना है ना अब डायरेक्ट भाई एंड ही करेंगे अपन सेशन ओके हां जी तो देखो यार ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ - 1/3 -1 के इक्वल होता है है ना - 1/3 - 1/1 उसका भी ग्रेटेस्ट इंटी जर -1 के इक्वल होगा ठीक है तो -1 कब तक चलता रहेगा गाइस जब तक यहां पे -1 के लेफ्ट में चीजें नहीं चलती जा रही है ठीक है -1 के लेफ्ट में जब तक चीजें नहीं जाएगी तब तक ग्रेटेस्ट इंटी जर अपने पास -1 ही आ रहा होगा है ना - 0 से -1 के बीच में जब तक चीजें हैं तब तक ग्रेटेस्ट इंटी जर -1 ही आ रहा होगा ठीक है तो ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ - 1/3 फिर ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ - 1/3 - 1/100 एंड सो ऑन सो ऑन सो ऑन ठीक है -1 ऑलमोस्ट तब अचीव होगा क्योंकि - 1/3 की वैल्यू ऑलमोस्ट हो जाती है - 0 है ना ये 0.33 हो जाएगा 0.33 में 0.67 ऐड होगा तब वो -1 के लेफ्ट में जाएगा है ना - 1/3 -66 बा 100 और फिर अगली टर्म - 1/3 -67 बा 100 एंड सो ऑन और भी आगे आगे चल रहा है मुझे यह बताओ क्या यह वैल्यू माइव के लेफ्ट में है कि माइव के राइट में यह वैल्यू किधर है माइव यहां पे तो अगर ये -1 के जब तक राइट में है ना तब तक तो उसका ग्रेटेस्ट इंजर -1 है जैसे ही वैल्यू -1 के लेफ्ट में आ गई उसका ग्रेटेस्ट इंजर -2 होने लग जाएगा ठीक है तो यह वाली वैल्यू अभी भी -1 के राइट में ही वैल्यू है है ना यह वाली वैल्यू अभी भी -1 के राइट में है -66 बा 100 क्योंकि 1/3 हो जाता है भैया 0.333 0.3333 ठीक है और 66 बा 100 हो जाएगा 0.66 तो अभी भी इन दोनों को ऐड करोगे ना 66 बा 100 इसको भी ऐड करोगे तो अभी भीय माइव के राइट का ही नंबर है ठीक है यह भी अभी माइनस वन के राइट का ही नंबर है है ना तो चलिए फिर यहां तक हर एक टर्म की वैल्यू इसकी भी वैल्यू क्या आ जाएगी -1 ही आ जाएगी इसके ग्रेटेस्ट इंटी जर की वैल्यू भी -1 ही आने वाली है ओके अब यहां पे इसके ग्रेटेस्ट इंटी जर की वैल्यू -2 हो जाएगी और फिर आगे जो ग्रेटेस्ट इंटी जर होगी इसमें -2 -2 -2 लगने वाली होगी वैल्यू ठीक है एंड सो ऑन अप टू - 1/3 - 99/1 ये 0.99 में 0 33 ऐड करेंगे है ना तो - 1/3 - 99/1 इसके भी जो ग्रेटेस्ट इंजर की वैल्यू है इसके ग्रेटेस्ट इंजर की वैल्यू क्या -2 ही आ रही होगी ओके तो टोटल आंसर कितना आ गया -1 यहां से चालू किया इसकी वैल्यू भी -1 इसकी वैल्यू भी -1 तो -1 कितनी बार आ रहा है हां जी यह देखो न से लेकर 66 तक 66 टाइम्स तो इधर ही दिख गया और एक कि और तो 67 टाइम्स तो -1 आ रहा है 67 टाइम्स तो -1 आ रहा है ठीक है फिर 67 से लेकर 99 तक हर एक टर्म की वैल्यू देखो यह -2 ही बन रही है तो यहां से यहां तक कितनी टर्म हो गई देखो 99 - 67 प् 1 99 - 67 प 1 टाइम्स -2 है ना देखो यार यहां से लेके यहां तक कितनी वैल्यू हो गई 99 - 67 और प्व करोगे क्योंकि इन दोनों को भी ऐड करना है अपने ऐसा समझो रोल नंबर 67 से रोल नंबर 99 तक कितने बच्चे हैं रोल नंबर 67 से रूल नंबर 99 तक कितने बच्चे हैं अगर ऐसे मैं बोलू कि रोल नंबर वन से रूल नंबर 10 तक कितने बचे हैं तो तुम क्या करोगे 10 - 1 9 प्व करोगे है ना प्लव भी करना है तो इधर यहां पे 99 - 67 प्व और हर एक टर्म की वैल्यू क्या -2 -2 -2 हर एक टर्म की वैल्यू -2 तो -2 इतनी बार आ जाएगा तो ये बन रहा है माइनस का 67 प्लस ये बन जाएगा 100 100 - 67 100 - 67 33 तो 33 टाइम्स -2 तो -67 - 66 ठीक है ये अपने पास बन जाएगा है ना - 133 दैट विल बी आवर आंसर ठीक है क्लियर क्लियर क्लियर कोई भी प्रॉब्लम यहां पे कोई भी डाउट यहां पे आई होप दिस इज क्लियर टू ऑल ऑफ यू हां जी गाइस ठीक है उसी टाइप का ये भी सवाल है ये भी ट्राई कीजिएगा ये तो मैं होमवर्क के लिए दे रहा हूं सेम टू सेम उसी टाइप का सवाल है कि 1/2 का ग्रेटेस्ट इंटी जर 0 1/2 प् 1000 का ग्रेटेस्ट इंटीरजोन ऑफ 1/2 प्लस ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ 1/2 प् 1000 ओके प्लस ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ 1/2 प् 2000 एंड सो ऑन जब तक 1 बाटू में 1 बाटू ऐड नहीं हो जाता है ना 1/2 प् 500 बा 1000 इसके ग्रेटेस्ट इंटी जर की वैल्यू वन है गाइस है ना यह एगजैक्टली वन बन रहा है एगजैक्टली वन का ग्रेटेस्ट इंटी जर वन हो जाएगा इससे पहले तक जितने भी है इससे पहले तक जितने भी है इन सबके ग्रेटेस्ट इंटी जर की वैल्यू क्या जीरो फिर देखोगे कि जब तक इसके अंदर टू नहीं बन जाता है ना जब तक इसके अंदर टू नहीं बन जाता और टू का बनेगा देखो यह सिलसिला चल रहा है 2946 बा 1000 तक जा रहा है ये सिलसिला है ना 2946 प् 1000 तो यहां से लेके फिर देखो किधर तक जाना है अपने को 1500 बा तक जाओगे आप ठीक है कि अब इधर से लेके जो अपने पास बनेगा 1/2 प्स 1500000 1500 बा 1000 की वैल्यू 3/2 हो गई 1.5 1.5 प् 5 अब इसके ग्रेटेस्ट इंटी जर की वैल्यू टू है इससे पहले वाला जो देखोगे 1499 तक ठीक है 1499 बा 1000 तक ठीक है 1/2 प् 1499 बा 1000 तक इसके भी ग्रेटेस्ट इंटी जर की वैल्यू वन ही है यहां पर वैल्यू टू होना स्टार्ट हुई यहां पर वैल्यू टू होना स्टार्ट हुई ठीक है क्योंकि 1/2 में 1.5 ऐड होगा 0.5 में 1.5 ऐड होगा तब जाके वैल्यू टू मिल रही है अपने पास में है ना क्लियर है फिर यहां से वैल्यू टू मिलना स्टार्ट हुई और टू कब तक वैल्यू मिलती रहेगी ट कब तक वैल्यू मिलती रहेगी आखिरी वाला भी देखोगे तो यह 0.5 प् 2.9 मतलब ये 3 प समथिंग बन रहा है मतलब 3 भी वैल्यू जाएगी यहां पे 3 ब वैल्यू जा आने वाली है और थ वैल्यू कब जाएगी यहां पे कि जब 2500 बा 1000 ऐड हो जाएगा इसके अंदर है ना कि 1/2 में 2.5 ऐड हो जाए मतलब 2500 बा 1000 ऐड हो जाए तब इसकी वैल्यू थ होना स्टार्ट हुई अब ये वैल्यू थ ही चलती रहेगी कहां तक एंड तक है ना 1/2 + 2946 बा 1000 इसकी वैल्यू भी क्या है 3 ही है भाई इसके ग्रेटेस्ट क्योंकि 2.9 प् 5 2.9 + 5 3 प समथिंग पॉइंट समथिंग का ग्रेटेस्ट इंटी जर 3 तो इधर से लेके यहां तक हर एक की वैल्यू 33333 तो अब देखते रहो कितनी बार ऐड कर रहे हैं है ना तो आंसर यहां पे हो जाएगा वैसे तो मैंने होमवर्क दिया था बट चलो कर ही लेते हैं ऑलमोस्ट कंप्लीट होही गया तो 1499 - 500 + 1 है ना कि 500 से लेके 1499 तक कितनी टर्म हो गई ठीक है तो 1499 - 500 + 1 बेसिकली 1000 टर्म्स हो गई तो 1000 बार तो वैल्यू वन आ रही है 1000 टर्म्स की वैल्यू तो वन है ठीक है फिर 1500 से लेके 2499 तक इससे पहले जो 1/2 प् 2499 बा 1000 है इसकी वैल्यू भी गाइस ू के ही इक्वल है तो ट कितनी बार आ रहा है हज बार ू आ गया हज बार ू आ गया 1500 से 2499 तक हज आ गया तो हज बार अपने पास ू मिल रहा है ओके हज बार ू मिल गया फिर देखो ्र कितनी बार मिल रहा है तो 2946 - 2500 प् 1 2946 - 2500 प्व इतनी बार अपने को 3 मिल रहा है ठीक है तो थ इतनी बार मिल गया यह टोटल हम यहां पर ऐसे सम निकाल सकते हैं तो इस टाइप के क्वेश्चन बहुत इजीली आप लोग कर लेंगे है ना आसान है जैसे यह सवाल देखिएगा जे मेंस 2023 में य पूछा गया सवाल है मस्त सवाल है इ द डोमेन ऑफ द फंक्शन f बराबर ग्रेटेस्ट इंजर ऑफ x अपव प् एक स् है ना इ टू 6 के बीच में इसकी डोमेन डिफाइन कर रखी है तो इस फंक्शन की हमसे रेंज पूछी गई है इसकी डोमेन क्या डिफाइन कर रखी है फंक्शन है वा बराबर वा बराबर ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ x अपन 1 प् एक् स् देखने में बड़ा खतरनाक सा सवाल लगता है कि या न्यूमर में ग्रेटेस्ट इंजर x लिखा है और इसकी हमें रेंज हमें यहां पर बतानी है डोमेन बता रखी है ट से सिक्स के बीच में ही है ठीक है तो इधर अपन ग्राफ से चले जाएंगे ग्राफ से जाना बेस्ट रहेगा गाइस इसका ग्राफ बनाइए जरा ओके डोमेन है हमारे सामने टू से लेकर सिक्स तक ट होगा बीच में ्र होगा फोर होगा फ होगा सक्स होगा ू से 6 तक यहां पर अपने पास में डोमेन है तो एगजैक्टली अगर मैं टू के जस्ट राइट में देखूं ू से थ तक ग्रेटेस्ट इंटी जर की वैल्यू टू ही है है ना तो ट के ऊपर इसकी वैल्यू कितनी आ रही है ू के ऊपर अगर इसकी वैल्यू देखोगे x की जगह ट रखा जाए तो 2 अपन 1 प् 2 स् 2 अप 5 2/5 आ रही है इसकी वैल्यू है ना यहां पे 2/5 वैल्यू आ रही है और टू से ्र तक ये डिक्रीज होता चला जाएगा ठीक है कहना क्या चाह रहा हूं मैं सुनना जरा कि 2 से 3 तक तो इस फंक्शन की वैल्यू है 2 अप 1+ x स् ओके है ना चलो एक काम करते हैं इसको अगले पेज प लेके चलते हैं कि y बराबर ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ x अप 1 प् x स् दे रखा है भैया x जो है वो ट से 6 के बीच में है तो मैं यही कहना चाह रहा हूं कि भाई इसको एक्सपेंड करो ना अलग-अलग इसको एक्सपेंड करो y बरा ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ x / 1+ x स् है अगर मैं इसकी वैल्यू देखता हूं 2 से 3 के बीच में 2 से 3 के बीच में वैल्यू देखूं तो ग्रेटेस्ट इंटी जर की वैल्यू टू दे देगा तो 2 / 1+ x स् तो अपने को ग्राफ बनाना है y = 2 / 1 + x स् फिर बाद में अगर मैं इसकी वैल्यू देखूं x बिलोंग टू 3 2 4 के बीच में है ना क्लोज ब्रैकेट 3 से ओपन ब्रैकेट 4 क्लोज ब्रैकेट थ से ओपन ब्रैकेट 4 तक तो क्लोज ब्रैकेट 3 से ओपन ब्रैकेट 4 तक ग्रेटेस्ट इंटी जर की वैल्यू थ ही आने वाली है तो ये हो जाएगा 3 अप 1+ x स् ओके अगर मैं इसकी वैल्यू देखूं कि क्लोज ब्रैकेट फोर से ओपन ब्रैकेट 5 तक तो क्लोज ब्रैकेट 4 से ओपन ब्रैकेट 5 तक इसकी वैल्यू फोर ही आएगी तो 4 अप 1+ x स् बनेगा अगर इसकी वैल्यू देखी जाए x बिंग्स टू क्लोज ब्रैकेट 5 टू ओपन बकेट 6 तक तो यहां पे इसकी वैल्यू 5 अप 1+ x स् आ जाएगी तो ये हमारे पास ऐसा सा ग्राफ बनने वाला है ठीक है तो शुरुआत कहां से हुई देखो शुरुआत इधर से हुई है अब इसका एक अपने को ना रफ ग्राफ बनाना पड़ेगा रफ ग्राफ बनाएंगे तभी जाके आईडिया लगेगा कि भैया इसकी रेंज क्या है है ना तो लेट्स कैलकुलेट दिस गाइ तो अगर मैं इसकी वैल्यू टू के ऊपर देखूं ना टू से थ्री के बीच में है ना डिक्रीजिंग फंक्शन है कि अगर टू के ऊपर इसकी वैल्यू देखूंगा एगजैक्टली एट टू बताओ कितनी वैल्यू है तो x की जगह टू रखा तो यहां पे 1 + 4 2/5 वैल्यू आएगी एगजैक्टली टू पे तो एगजैक्टली टू के ऊपर देखी जाए इसकी वैल्यू ठीक है एगजैक्टली टू पे देखी जाए इसकी वैल्यू तो कुछ 2/5 आ रही है है ना 2/5 जिस पे ओपन रहेगा 2/5 प ओपन रहेगा क्योंकि एग्जैक्ट टू अपन रख नहीं सकते यहां पे फिर ू से लेकर 3 तक ये फंक्शन ये है 2 अप 1 प् x स् तो 2 से 3 तक ये फंक्शन क्या रिड्यूस हो रहा है ना रिड्यूस हो रहा है ठीक है क्योंकि जैसे जैसे x को बढ़ाओ 2 अप 1+ x स् रिड्यूस होगा और तुम देख भी सकते हो थ पेस की वैल्यू कितनी रहेगी x की जगह थी रखोगे तो थ्री के ऊपर इसकी वैल्यू रहने वाली है 3 * 3 9 9 और एक 10 ठीक है तो 2/10 यहां पे वैल्यू आएगी थ्री पे इसकी वैल्यू 2/10 आ रही है पर थ्री पे कैसा है ओपन ब्रैकेट है फिर थ्री क्लोज के ऊपर एगजैक्टली थ्री के ऊपर कितनी वैल्यूज है तो यहां पे थ्री रखो जरा यहां पे थ्री रखोगे तो ये बन रहा है 3 / 10 3/10 है वैल्यू है ना एगजैक्टली थी के ऊपर वैल्यू देखी जाए तो एगजैक्टली थ के ऊपर इसकी वैल्यू 3/10 है मतलब इससे जस्ट ज्यादा है यहां पे है इसकी वैल्यू 3/10 ठीक है एगजैक्टली थ के ऊपर इसकी वैल्यू जो है वो 3/1 है बेटा ठीक है दिस वैल्यू इज 3/10 ओके फिर डिक्रीज होना चालू हुई फिर जैसे जैसे थ्र से फोर के बीच में ये डिक्रीज होती चली जाएगी ठीक है थ्री से फोर के बीच में फिर ये डिक्रीज होते चली गई फिर फोर के ऊपर कुछ वैल्यू मिलेगी फोर यहां पे रखोगे तो फोर पे कुछ वैल्यू मिलेगी बट यहां पे फोर पे ओपन ब्रैकेट रहने वाला फ के ऊपर एग्जैक्ट वैल्यू चाहिए तो फर यहां पर रखो तो 4 बाय कितना आ रहा है यहां पर तो देखो जो वैल्यू मिलेगी 3 बा 1 मिल रहा है यहां पर वैल्यू 3/1 मिल रही है ठीक है दिस वैल्यू इज 3/1 एटली 4 के ऊपर क्या वैल्यू मिल रही है 4/1 वैल्यू मिल रही है है ना एटली 4 के ऊपर 4/1 मतलब इससे जस्ट ज्यादा वैल्यू मिल रही है फिर फो से फ के बीच में फिर डिक्रीज होना चालू हुआ ग्राफ ऐसा सा बनेगा है ना फ से 5 के बीच में फिर डिक्रीज होना चालू हुआ ठीक है फ अप्रोचिंग पर जो ग्राफ होगा वो 4 अप 5 स्क 25 25 प् 1 26 4/26 वैल्यू मिल रही है बट एगजैक्टली 5 के ऊपर वैल्यू देखोगे तो 5 अप 1 प् 5 स् है ना 25 25 प् 1 26 5 बा 26 एटली फ के ऊपर वैल्यू मिलेगी तो एजेक्ट 5 के ऊपर 5 बा 26 फिर डिक्रीज होना चालू हो गया ठीक है और सिक्स प क्या रखना है अपने को ओपन रखना है तो सिक्स प ओपन र हु जो वैल्यू आएगी एक् की जगह य पर 6 रखोगे तो 5 अप 36 प् 17 यह जो वैल्यू है वो 5 बा 37 आ रही है तो बहुत आसान और कॉमन सेंस वाला यह सवाल है तो अगर रेंज देखी जाए तो रेंज में देखो मैक्सिमम वैल्यू कितनी आ रही है यहां से यहां तक इसने कवर किया है ग्राफ फिर इधर से इधर तक कवर किया है फिर इधर से इधर तक कवर किया है फिर यहां से यहां तक कवर किया है तो जो मिनिमम वैल्यू है मिनिमम वैल्यू यहां पर 5/7 आ रही है ना मिनिमम वैल्यू इज 5 बा 37 और मैक्सिमम वैल्यू कितनी 2/5 और उसके बीच के सारे वैल्यूज कवर्ड है उसमें कोई भी वैल्यू छोड़ी नहीं है है ना उसके बीच की सारी वैल्यूज कवर्ड है कि यहां से यहां तक ये कवर कर रखा है यहां पर होलो है तो इसने यह वैल्यू इधर कवर कर ली ठीक है देखा जाए तो मेनी वन फंक्शन है ये इसकी जो मिनिमम वैल्यू है वो 5 बा 37 मैक्सिमम वैल्यू 2/5 इसकी रेंज जो होगी रेंज होने वाली है 5/7 से 2 बा फ तक फॉर ओपन बकेट टू टू ओपन बकेट स ओपन बकेट टू से ओपन बकेट स के बीच में य अपने पास में रेंज रहने वाली है 5 बा 37 से बा फ मतलब ऑप्शन डी यह वाला अपना आंसर हो गया ठीक हा जी बचा क्लियर है सारी बातें कोई भी प्रॉब्लम सवाल में तो दिस वा अगेन वन ऑफ दोस इजी काइंड ऑफ क्वेश्चन ठीक है जल्दी से बताओ कमेंट सेक्शन में इजी था कॉमन सेंस बेस सवाल था ग्राफ यहां पर बनाने की जरूरत पड़ रही थी ग्राफ बना लेते काम हो जाता इस सवाल में पूरा ठीक है बढ़िया बधिया बधिया बधिया ओके लेट्स मूव अहेड आगे बढ़ा जाए ठीक है अब चलिए फ्रैक्शन पार्ट ऑफ एक्स के बारे में बात कर ही लेते हैं फक्शन पार्ट ऑफ एक्स क्या होता है कि अगर मैंने किसी भी नंबर x को लिखा है तो किसी भी नंबर x को दो पार्ट्स में ब्रेक किया जा सकता है उसका कुछ फ्रैक्शन पार्ट होगा उसका कुछ इंटीग्रल पार्ट होगा ओके तो किसी भी नंबर को अपन दो पार्ट्स में ब्रेक कर सकते हैं उसका कुछ फ्रैक्शन पार्ट होने वाला है उसका कुछ इंटीग्रल पार्ट होने वाला है है ना तो जैसे अगर 5.3 है तो उसको मैं 5 प् 0.3 में ब्रेक कर सकता हूं जहां पर फ हो जाता है उसका ग्रेटेस्ट इंटी जर है ना और 0.3 हो जाता है उसका फ्रैक्शन पर्ट ठीक है बट अगर लिखा हुआ है हमारे पास में - 5.3 तो उसको मैं ब्रेक करूंगा -6 प् 0.7 में इसको -6 प् 0.7 में ब्रेक किया जाएगा हमेशा ध्यान रखिएगा हमेशा फ्रेक्शनल पार्ट पॉजिटिव वैल्यू होती है ठीक है यह इसका इंटीग्रल पार्ट हो गया 5.3 का इंटीग्रल पार्ट कितना हो गया - 5.3 का इंटीग्रल पार्ट -6 है ग्राफ के बिना नहीं कर सकते पिछले सम को है ना ग्राफिकल आईडिया चाहिए होता है ठीक है ग्राफ के बिना अपन नहीं थोड़ा जा सकते मतलब पूरी फील नहीं आती ग्राफ से पूरी पूरी फील आएगी ओके वा 2/5 इन क्लोज 2/5 क्लोज प दे रखा है रुको रुको रुको रुको रुको रुको 2 बा फ प क्लोज तभी हो सकता है जब यहां पर टू प भी क्लोज दे रखा हो तभी 2 बा फ प क्लोज होगा अदर वाइज यहां पर ओपन है ठीक है ओपन है भाई 2/5 प अगर यहां पर टू पर ओपन दे रखा है तो 2/5 पर भी ओपन ही है है ना देख पा रहे हो ू प अगर ओपन दे रखा है तो 2 बा फ प भी ओपन हैट प क्लोज दे रखा होता तो 2 बा फ पर क्लोज हो जाता क्लियर है हां जी बट अगर सपोज सिक्स प क्लोज दे देता हा सिक्स प क्लोज देता तो भी कोई फर्क नहीं पड़ता सक्स पर अगर क्लोज दे देता तो एक और केस बन जाता एटली ् बराबर 6 तो अप 1 प् x स् वैल्यू आती बट उससे कोई फर्क नहीं पड़ता ठीक है चलिए और आगे बात करते हैं फ्रेक्शनल पार्ट फंक्शन के बारे में बात कर रहे थे अपन तो फ्रेक्शनल पार्ट के अंदर क्या होता है ना बच्चा पाटी कि फ्रेक्शनल पार्ट ऑफ x को अपन लिख सकते हैं फ्रैक्शन पार्ट ऑफ एनी नंबर इज इक्वल टू दैट नंबर माइनस द ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ दैट नंबर नंबर किसी भी नंबर का जो फ्रैक्शन पार्ट होता है दैट इज इक्वल टू दैट नंबर माइनस द ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ दैट नंबर ऐसे अपन किसी भी नंबर के फ्रैक्शन पार्ट को रिप्रेजेंट कर रहे होते हैं और हमेशा ध्यान रखिएगा कि अगर नंबर इंटी जर हुआ फ्रेक्शनल पार्ट ऑफ इंटी जर हमेशा जीरो होता है फ्रेक्शनल पार्ट ऑफ इंटी जर जीरो क्यों होता है क्योंकि यहां पर अगर x की जगह इंटी जर रखोगे तो 5 माइनस ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ फ है ना फ और ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ फ सेम होता है तो फ्रैक्शन पार्ट ऑफ इंटी जर इज ऑलवेज इक्वल टू 0 फ्रैक्शन पार्ट हमेशा रो से वन के बीच का नंबर होता है फ्रैक्शन पार्ट इज ऑलवेज ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 लेसन 1 किसी भी नंबर का फ्रैक्शन पार्ट जो होगा बहुत इंपॉर्टेंट बात है यह ठीक है आई होप आपको यह बात समझ में आती है किसी भी नंबर का फ्रैक्शन पार्ट जो होगा वो हमेशा रो से वन के बीच में होगा जैसे कि अगर मैं कोई नेगेटिव नंबर भी ले लेता हूं - 5.3 तो - 5.3 का फ्रैक्शन पार्ट 0.7 होगा ना ये 0.7 इज द फ्रैक्शन पार्ट ऑफ - 5.3 ठीक है ओके तो इधर से एक दूसरी इंपॉर्टेंट चीज आती है कि फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x + फ्रैक्शन पार्ट ऑफ़ - x अगर एक नंबर दे रखा है और नेगेटिव दे रखा है उस नंबर का जैसे फ्रैक्शन पार्ट ऑफ 5.3 फ्रैक्शन पार्ट ऑफ़ 5.3 तो 0.3 होता है बट फ्रैक्शन पार्ट ऑफ - 5.3 कितना होता है 0.7 होता है तो इन दोनों को ऐड किया जाए तो 0.3 + 0.7 हमेशा किसके इक्वल 1 के इक्वल आ जाएगा वन एक्स इज नॉट एन इंटी जर जब एकस इंटी जर नहीं हो तब अगर x इंटी जर हुआ एक इंटी जर हुआ तो तो यह वैल्यू जीरो ही हो जाएगी ठीक है क्योंकि अगर x इंटी जर हुआ तो फ्रैक्शन पार्ट ऑफ इंटी जर ये भी चीज जीरो यह भी चीज जीरो 0 प् 0 हमेशा किसके इक्वल रो के इक्वल आएगी तो क्या यह बात है फ्रैक्शन पार्ट के बारे में पता है आप सबको है ना बहुत बेसिक है फ्रैक्शन पार्ट फंक्शन कई बार आपने पढ़ा भी होगा फ्रैक्शन पार्ट ऑफ -1 5.3 निकालना हो 0.7 आता है कोई प्रॉब्लम तो नहीं कि सर कैसे आता है हां जी आई होप यू गाइस डोंट हैव एनी प्रॉब्लम इन दिस ठीक है क्लियर है चलिए तो एक सवाल देखिए जरा यह वाला सवाल भी जेई मेंस 2023 में पूछा गया है ऑ सिटिंग एट x बराबर 0 द इक्वेशन डिनोट्स द ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ x हैज एगजैक्टली टू सॉल्यूशन बेसिकली इस इक्वेशन के नंबर ऑफ सॉल्यूशन हमसे पूछे गए हैं कि इस इक्वेशन के नंबर ऑफ सॉल्यूशंस कितने हैं ओके तो यहां पर चलो x स् - 4x प् 3 और बाकी इस ग्रेटेस्ट इंटी जर वाले पार्ट को राइट हैंड साइड में भेजू तो राइट हैंड साइड में x टाइम्स ग्रेटेस्ट इंजर ऑफ x माइव यह बन जाएगा राइट हैंड साइड ओके तो लेफ्ट हैंड साइड के गाइस दो फैक्टर्स बन रहे हैं एक फैक्टर है x-3 का दूसरा फैक्टर है x-1 का राइट हैंड साइड में देखोगे अच्छा यह ऐसा बन रहा है ठीक है ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ एकस माइनस ये एक्स टाइम्स ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ x माइनस ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ एक्स राइट हैंड साइड में बैठा है तो राइट हैंड साइड में ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ एक् कॉमन लिया तो यहां पर x-1 का फैक्टर बनेगा ठीक है तो इधर देखो यार x-1 का फैक्टर लेफ्ट हैंड साइड में भी है राइट हैंड साइड में भी है दोनों साइड में है तो कभी भी कोई कॉमन फैक्टर आया तो उसको उड़ा दो कैंसिल कर दो कोई दिक्कत वाली बात नहीं है बट यहां से सॉल्यूशन आएगा सॉल्यूशन क्या आ रहा है कि x - 1 बरा 0 x-1 बरा 0 मतलब ये चीज जीरो हो ना किसी कॉमन फैक्टर को काटा है तो वहां से सॉल्यूशन मिलेगा तो x - 1 = 0 इज द सॉल्यूशन और x - 3 ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ x के इक्वल आ जाए इसको काटा तो पीछे बचा x - 3 बराबर ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ x मतलब यहां से x माइनस ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ x की वैल्यू 3 के इक्वल आ रही है क्या यह पॉसिबल है क्या क्या फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x क्योंकि x में से ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ x सबस्टैक करते हैं तो वो फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x आता है तो फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x की वैल्यू थ आ जाए वच इज नॉट पॉसिबल व्हि इज नॉट पॉसिबल जो कि बिल्कुल भी पॉसिबल नहीं है है ना तो x बरा 1 इज द ओनली सॉल्यूशन द ओनली सॉल्यूशन तो यही हमारे पास एक सॉल्यूशन आया x = 1 तो अ यूनिक सॉल्यूशन अ यूनिक सॉल्यूशन इन माइनस इनफिनिटी टू इनफिनिटी है ना माइनस इनफिनिटी से इनफिनिटी के बीच में एक ही यूनिक सॉल्यूशन हमें यहां पे मिलता हुआ दिखाई दे रहा ठीक है क्लियर है अब चलिए फ्रैक्शन पार्ट ऑफ एक्स के ग्राफ के बारे में अपन चर्चा कर लेते हैं कि फ्रैक्शन पार्ट ऑफ एक् का ग्राफ किस तरीके से होगा क्योंकि ग्राफ की फील आ गई मतलब पूरे फंक्शन की फील आ गई f बराबर फ्रेक्शनल पार्ट ऑफ एक का ग्राफ कि अगर एक जीरो से व के बीच में है ना जैसे देखो रिपिटेटिव इसका ग्राफ रहता है पीरियोडिक फंक्शन कहलाता है ये ओके x बराबर 0 प फ्रैक्शन पार्ट जीरो ही रहेगा ठीक है 0.5 का फ्रैक्शन पार्ट 0.5 ही रहेगा मतलब जीरो से वन के बीच में अपने पास में y बराबर x लाइन मिलती है 0 से वन के बीच में अपने पास में y बराबर x लाइन मिलती है ठीक है मतलब कि क्या कि देखो जीरो का फ्रैक्शन पार्ट तो जीरो ही होने वाला है अगर मैंने 5 लिया तो फ का फ्रैक्शन पार्ट 5 ही होगा 9 का फ्रैक्शन पार्ट 9 ही होगा 99 का फ्रैक्शन पार्ट 99 ही होगा फिर जैसे ही वन रखा तो वन का फ्रैक्शन पार्ट जीरो हो जाएगा वन इज एन इंटी जर तो वापस से यहां पे आ चुका है यह वन का फ्रैक्शन पार्ट रो हो जाएगा फिर वापस से इंक्रीज होना चालू हुआ वन से लेकर टू के बीच में फिर से यही सेम रिपिटेटिव ग्राफ रहेगा अपने पास में मतलब कि क्या हुआ कि अगर मैं 1.1 का फ्रैक्शन पार्ट देखूं तो 0.1 आएगा 1.2 का 0.2 आएगा 1.9 का 0.9 आएगा 1.9 का फ्रैक्शन पार्ट 0.9 आएगा फिर जैसे ही टू रखा वापस से यह धड़ल्ले से गिर चुका है है ना गिरता है उठता है वापस बढ़ता है फिर जैसे इंटी जर आया वापस से गिर गया तो इस तरीके से देखो यह एक रिपीटिटिवली है ठीक है सेम टू सेम चीज यहां पर भी रिपीट होने वाली है कि -1 का तो जीरो होता है फ्रैक्शन पार्ट क्योंकि इंटी जर है -1 -1 का फ्रैक्शन पार्ट जीरो है फिर यहां से इंक्रीज होना चालू हुआ ठीक है फिर जीरो प वापस से धड़ से गिर गया फिर -2 का फ्रैक्शन पार्ट तो जीरो ही होता है क्योंकि इंटी जर है फिर इंक्रीज होना चालू हुआ वन तक अप्रोच करता है वन एगजैक्टली पहुंच नहीं पाता है ना एक चींटी की तरह फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x बढ़ता है बढ़ता है बढ़ता है बढ़ता है बढ़ता बढ़ता है एगजैक्टली वन नहीं हो सकता ना फ्रैक्शन पार्ट किसी भी नंबर का फ्रैक्शन पार्ट इक्वल टू वन नहीं हो सकता हमेशा जीरो से वन के बीच का नंबर रहेगा तो यहां से ग्राफ से भी रेंज समझ में आ रही है कि रेंज जो है उसकी जीरो से वन के बीच में डोमेन ऑल रियल नंबर है बट इसकी रेंज हमेशा किसके बीच में जीरो से वन के बीच में इसकी रेंज रहने वाली है तो ग्राफ से भी ये बातें समझ में आ रही है जल्दी से मुझे कमेंट सेक्शन में बताइए कि हां सर फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x का ग्राफ क्लियर है क्योंकि इंपॉर्टेंट ग्राफ है और बहुत ही बेसिक सी बातें है यह सारी तो आई होप यू गाइस नो दिस हां जी अब कुछ इंपॉर्टेंट क्वेश्चन होते डोमेन के ऊपर इनमें से ज्यादातर सवाल जो है वह स्टैंडर्ड सवाल है डोमेन को लेके तो सी क्यों नहीं होगा क्योंकि वन प ओपन ब्रैकेट है ना बेटा एक बार ध्यान से देखो एक्स बराव इ द सॉल्यूशन न प ओपन ब्रैकेट था इसलिए उस क्वेश्चन में सी नहीं होगा ओके नाउ डोमेन हमें बतानी है 1 / ग्रेटेस्ट इंटी ऑफ x की बात ये है डिनॉमिनेटर में कभी भी कोई चीज ज़ीरो नहीं हो सकती है तो ग्रेटेस्ट इंटीरजू नहीं हो सकता है तो ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ़ x 0 कब होता है जब x के अंदर ज़ीरो से वन के बीच की वैल्यूज रखी जाए मतलब x कैन नॉट बी इक्वल टू ठीक है x डज नॉट बिलोंग टू क्लोज ब्रैकेट 0 से ओपन ब्रैकेट 1 इसके बीच का नंबर नहीं रख सकते अपन क्योंकि क्लोज ब्रैकेट ज़ीरो से ओपन ब्रैकेट व के बीच का नंबर रखोगे तो उसका ग्रेटेस्ट इंटी जर उसको ज़ीरो ही कर देगा ग्रेटेस्ट इंटी जर अपना काम करेगा वो जीरो कर देगा तो x की वैल्यू ये नहीं रख सकते तो इसकी डोमेन आ गई कि x कैन बी एनी रियल नंबर एक्सेप्ट कोई भी रियल नंबर ले लो कोई भी रियल नंबर ले लो एक्सेप्ट दिस इंटरवल इस इंटरवल का नंबर नहीं लेना x को इस इंटरवल का नंबर लिया क्लोज ब्रैकेट जीरो से ओपन ब्रैकेट व के बीच में तो प्रॉब्लम आ जाएगी ठीक है ठीक है ठीक है हां जी क्लियर है यह वाला क्वेश्चन हमने देखा ही था मॉड्यूस ऑफ x - x ठीक है यह वाला अभी अभी हमने क्वेश्चन देखा था तो क्लियर है ये वाला सवाल कोई बड़ी बात नहीं है इस टाइप के सवाल हो गए कि अंडर रूट के अंदर ऐसी चीजें लिख रखी है तो हमेशा बस इसके अंदर वही कंडीशन हमें लगानी है कि x - 2 / x + 2 ग्रे और इक्वल ट 0 होना चाहिए एंड साथ के साथ 1 - x / 1 + x वो भी क्या ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 होना चाहिए ठीक है एंड मतलब इंटरसेक्शन कि अंडर रूट के अंदर ये वाला मसाला है ये भी ग्रेटर दन और इक्वल ू 0 और यहां पे भी अंडर रूट के अंदर ये मसाला बैठा है ये ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 होना चाहिए तो यहां से तुम x की वैल्यू निकालो यहां से तुम x की वैल्यूज निकालो कहां से कहां तक आएगी भाई कि क्रिटिकल पॉइंट इसका -2 और + 2 हो गया एक्सट्रीम राइट में पॉजिटिव फिर नेगेटिव फिर पॉजिटिव अपने को ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 चाहिए मतलब टू या टू के राइट में या फिर -2 के लेफ्ट में -2 को इंक्लूड नहीं करेंगे तो यहां पे आंसर आएगा x बिलोस टू माइनस इनफिनिटी टू -2 है ना चलो बाद में लिख देंगे फिर यहां पे अपन देखें तो 1 - x / 1+ x ग्रेटर और इक्ट 0 इसी को ही मैं ऐसा लिख सकता हूं x - 1 x + 1 < और इ 0 बेसिकली 1 - x को मैंने x - 1 बनाया तो इसके लिए -1 से मल्टीप्लाई किया इन इक्वलिटी चेंज हो गई ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 की बजाय लेस दन और इक्वल टू 0 हो गई फिर इसको भी अपन वेवी कर्व मेथड से करेंगे कि न्यूमरेशन में एक फैक्टर बैठा है जिसका क्रिटिकल पॉइंट वन है डिनॉमिनेटर में एक फैक्टर है जिसका क्रिटिकल पॉइंट -1 है फिर से पॉजिटिव नेगेटिव पॉजिटिव हां जी लेस दन और इक्वल ट 0 चाहिए मतलब -1 से 1 के बीच की चीजें चाहिए नेगेटिव चाहिए ना -1 सेव के बीच की चीजें ठीक जहां पर माइव पर ओपन है वन के ऊपर क्लोज रहेगा माइव को नहीं इंक्लूड कर सकते वन को अपन इंक्लूड कर सकते हैं तो माइव टूव ओपन ब्रैकेट आ रहा है अपने पास में तो इन दोनों का क्या करना है इंटरसेक्शन लेना अपने को इंटरसेक्शन लेना है यह बोल रहा मानव सेव के बीच में रखो यह बोल रहा है टू के राइट में या माइनस इनफिनिटी से माइट के बीच में रखो तो दोनों का इंटरसेक्शन कुछ भी नहीं आ रहा है इनका इंटरसेक्शन आ जाएगा एक्स बिलंग टू फ ठीक है देर इ नो कॉमन सॉल्यूशन है ना तो डोमेन में हमेशा इस तरीके से इंटरसेक्शन अपन ले रहे होते हैं आई होप यू आल्सो गेट द रीजन कि वई वी आर डूइंग सो है ना ऐसे इंटरसेक्शन अपन क्यों ले रहे हैं ठीक है तो इसके पीछे का आपको रीजन भी समझ में आ रहा होगा ओके डोमेन रेंज यह सारी चीज अपन सीखेंगे अभी एक या रेंज का सवाल था यह रहा ठीक है रेंज ऑफ द फंक्शन f एक बराबर ये पवा क 2023 में भी पूछा गया है रिपीटेड क्वेश्चन है # रिपीटेड एंड इजी क्वेश्चन रिपीटेड और इजी क्वेश्चन है बहुत ज्यादा बार इस क्वेश्चन को रिपीट किया गया है तो इस क्वेश्चन को आप ध्यान से देख लीजिए कि कैसे अपन इस सवाल को करेंगे कि दो अंडर रूट का सम दे रखा है ना अ रूट 4 - x स् + √ x स् - 1 है ना कुछ इस टाइप का पैटर्न आपको दिखाई देगा अंडर रूट a - x प् रट b माइ है ना x - b ठीक है तो जब भी अपने को दो अंडर रूट का सम और वो भी पैटर्न इस टाइप का दिखाई दे अर माइ एक प् अंडर रट एक् माइ बी इस टाइप का पैटर्न दिखाई दे तो आप क्या करो दोनों साइड स्क्वायरिंग कर लो ठीक है तोवा बराबर ऐसे तो अपन स्क्वायरिंग अवॉइड करते हैं यहां पर वही करना पड़ेगा ठीक है रेंज निकालनी है मतलब वा की वैल्यू निकालनी किवा कहां से कहां तक है डोमेन नहीं पूछा डोमेन पूछा होता तो थोड़ा और आसान होता कि एक स्क्व से बड़ा होना चाहिए फो से छोटा होना चाहिए है ना तो x स्व से बड़ा होना चाहिए 4 से छोटा होना चाहिए ठीक है तो डोमेन पूछा होता तो और ज्यादा इजी सवाल होता है यहां पे रेंज पूछी गई है मतलब y की वैल्यूज पूछी है तो दोनों साइड स्क्वायरिंग करो y स् की वैल्यू हो जाएगी a स् + b स् a स् मतलब 4 - x स् b स् मतलब इस वाले अंडर रूट का स्क्वायर + 2ab + 2 * √ 4 - x स् * x स् - 1 है ना कि a + b का स्क्वा जैसे ओपन करते हैं कि a स् + b स् + 2 * a * b इस तरीके से अपन ने ओपन कर दिया तो इधर क्या हुआ - x स् + x स् कटा ये 5 + 2 टाइम्स अंड रूफ 4 - x स् * x स् -1 ये बन रहा है ठीक है ये y स् बन गया अब y स् की अगर मिनिमम वैल्यू देखूं ना गाइ y स् मिनिमम वो तो 5 ही आ जाएगा कि जब ये वाला पार्ट रो हो जाए बेसिकली है तो अंडर रूट में ही ना अगर ये वाला पार्ट ज जीरो हुआ जैसे x की वैल्यू वन रख दूं वन पे ये चीज रो हो गई तो y स् की मिनिमम वैल्यू आ गई मतलब y मिनिमम यहां पर √5 आ जाएगा पॉजिटिव वैल्यू ही आएगी y की क्योंकि देख पा रहे हैं y पॉजिटिव नंबर है y नेगेटिव नंबर हो ही नहीं सकता ऐसा नहीं कि यहां पर प्लस माइनस √5 क्यों नहीं रखा माइनस √5 अपन कंसीडर ही नहीं करेंगे क्योंकि y नेगेटिव हो ही नहीं सकता है ना कॉमन सेंस ओके तो y मिनिमम √5 आ गया अगर मेरे को y की वैल्यू मैक्सिमम करनी है ना तो 5 प् 2 टाइम्स y की वैल्यू मैक्सिमम करने के लिए यह जो x स् की वैल्यू है ना बेटा वो और वन का मिड पॉइंट रख दो फ और वन का मिड पॉइंट रख दो ठीक है फोर और वन का मिड पॉइंट य पर रख देंगे है ना तोवा की मिनिमम वैल्यू ठीक है सही तो अच्छा 4 माइनस एक्स स्क्वा ठीक है ठीक है गट इट दिख गया मेरे को अपनी मिस्टेक यहां पर प्सव की जगह माइनस व है एक्स स्क माइव हो जाएगा ना इसका स्क्वायर 4 माइन एक्स स् इसका स्क्वा एक स् माइव 4 माइव की वैल्यू य पर हो जाएगी ठीक है ओके तोवा जो मिनिमम आएगा वा स्क्वा की मिनिमम वैल्यू वो तो ी आ जाएगी जब यह वाला पार्ट जीरो हो गया तो मिनिमम वैल्यू तो इसकी थ है तोवा मिनिमम हो जाएगा र के इक्वल ओके अगर वा को मेरे को मैक्सिमाइज करना है गाइस ओके वा को मेरे को मैक्सिमाइज करना है तो एक्स स्क्वा की वैल्यू रख दो न और फोर का मिड पॉइंट व और फ का मिड पॉइंट कितना हो जाएगा 5/2 2.5 या तो देखा जाए है ना तो एक रखो 5/2 तब जाके ये मैक्सिमाइज होगा ठीक है तब जाके ये मैक्सिमाइज होगा क्यों तो हमेशा इस चीज में ध्यान रखें कि कभी भी a - t a - t * t - बी लिखा हो ठीक है इसकी जो मैक्सिमम वैल्यू होगी वो ए और बी के मिड पॉइंट पर अकर करेगी जब यह वाली चीज ये वाली चीज सेम हो जाए या फिर एमजीएम से जा सकते हैं कैसे भी जा सकते हो बट डायरेक्टली यहां पे ऑब्जेक्टिव अप्रोच हमें सोचनी है तो ऑब्जेक्टिव अप्रोच ये रहेगी कि भैया x स् की वैल्यू 4 और वन का मिड पॉइंट है ना तो इट्स मैक्सिमम वैल्यू मैक्सिमम वैल्यू अकर्स एट t = a + b / 2 जब t जो है वो a और b का मिड पॉइंट होगा तो ये वाला फैक्टर यह वाला फैक्टर सेम हो जाएगा उस चीज में उस केस में हमें पास मैक्सिमम वैल्यू मिल रही होगी ठीक है तो ये बनेगा 3 प्लसटू टाइम्स अंडर रूट ऑफ ये 8 माइन 5 8 माइ 5 3 बाटू और यह भी देखो 3 बाट ही बन रहा है है ना यह वाला फैक्टर भी 3 बाट यह वाला फैक्टर भी 3 बाट बन रहा है यहां पर हमारे पासवा की मैक्सिमम वैल्यू आएगी ठीक है या फिर क्वाड्रेटिक से देख सकते हो यह एक डाउन वर्ड पैराबोला है जिसके रूट्स ए और बी पर है मैक्सिमाइज कर करेगा बिटवीन द रूट्स एकली बिटवीन द रूट्स है ना बताओ यार क्लियर है यह सवाल तो बहुत फ्रीक्वेंसी [संगीत] वैल्यू है ना वा स्क्वायर की मैक्सिमम वैल्यू वा स्क्वायर की मैक्सिमम वैल्यू स आ रही है तो वा मैक्सिमम रट स आ जाएगा वा मैक्सिमम बराबर र इसकी जो रेंज आ गई वो आ गई √3 से लेके र के बीच में मतलब कि ऑप्शन डी ठीक है यार यहां पर इस सवाल में ना उधर से मत जाना कि तुम भैया इसको डिफरेंशियल में वैसा नहीं जाने का है ठीक है इस सवाल में बिल्कुल वैसा नहीं जाना है क्लियर है वन पे फोर पे मैक्सिमम है ना तो 5/2 अगर रखूं मैं यहां पे 5/2 ठीक नहीं तो इस सवाल के अंदर ग्राफ से भी जा सकते हो अगर मैं ग्राफ भी देखू वा बराबर अंडर रूट ऑफ ए माइनस एक्स प्लस अंडर रूट ऑफ एक्स माइनस बी अगर इसका ग्राफ देखा जाए ना तो उसके ग्राफ से भी जाया जा सकता है कि इसका ग्राफ जो होगा वह सिर्फ ए से बी के बीच में होगा है ना इसका ग्राफ गा ए से लेकर बी के बीच में होने वाला है a के ऊपर रखोगे अगर वैल्यू है ना ठीक है अंडर रूट x a- x प् अंड रट x माइ बी तो बात यह है कि a- एक तो बी से a के बीच में होगा ना यहां प बी बड़ा है इसका ग्राफ जो होगा वो बी से ए के बीच में हो जाएगा या तो ऐसा देखा जाए कि x जो है वो बी से बड़ा होना चाहिए ए से छोटा होना चाहिए है ना तो इसका ग्राफ बी से ए के बीच में होने वाला है क्योंकि x शुड बी ग्रेटर दन बी एंड लेसन a a से छोटा होना चाहिए से बड़ा होना चाहिए तो उसका ग्राफ बी से ए के बीच में होने वाला है अब x की वैल्यू बी रखो चाहे और चाहे ए रखो मैं पूछ रहा हूं कि x की वैल्यू बी प वैल्यू कितनी है x बराबर बी रखोगे तो अंडर रूट a माइ बी ठीक है एक की जगह प अगर मैं a रखता हूं ए रखने प ये वाला पार्ट जीरो हो गया अभी भी वैल्यू अंडर रूट a माइ बी तो एंड पॉइंट्स के ऊपर वैल्यू सेम है बी पे ब और ए पे ब जो वैल्यू है वो है अंडर रूट ए - बी ठीक है ए बड़ा है बी छोटा है इधर ओके तो बी और ए दोनों के ऊपर वैल्यू सेम है इसके बीच में ग्राफ जो रहेगा वो पैराबोलिक रहने वाला है और जो मैक्सिमम वैल्यू अकर करेगी वो एटली इनके मिड पॉइंट पर अकर करेगी a प् बी बाट a प् बी बाट के पर अपने पास में मैक्सिमम वैल्यू दिखाई देगी इधर है ना a प् बी बाट प मैक्सिमम वैल्यू दिखाई देगी इस तरीके का ग्राफ रहेगा जैसे कि अपने पास में अभी अभी ग्राफ देखा था जो वो अंडर रूट ऑफ किसका था भाई एक बार ग्राफ देख लेते उसका 4 माइ एक स् प्स अंडर रट x स् - 1 तो अगर मैं इसका ग्राफ बनाऊ तो गाइस इसका ग्राफ जो रहेगा वो सिर्फ ठीक है या फिर एक काम करो x स् को t मान लो एक् स् को एक काम करो t मान लो ठीक है थोड़ा और सिंपल लगेगा थोड़ा और गुड लुकिंग लगेगा ग्राफ है ना तो x स् को अगर मैं t मानता हूं तो बेसिकली लिखा है y बराबर र 4 माइ t प्स अंडर रूट t-1 ठीक है तो इधर भी हमें समझ में आ रही है कि t की वैल्यू जो है वो न से फोर के बीच में रहनी चाहिए t की वैल्यू जो है वो वन से लेके फोर के बीच में रहनी चाहिए अब t बराबर 1 रख दूं अगर तो भी वैल्यू √3 आ रही है t बराबर 1 प भी वैल्यू √3 आ रही है और t बरा 4 प भी वैल्यू √3 ही आ रही है ठीक है t की जगह वन रख दूंगा तो भी वैल्यू √3 आ रही है ये वाला पार्ट जीरो हो जाएगा वैल्यू √3 आ जाएगी और की जगह प अगर फोर रख दूं तो ये वाला पार्ट जीरो अंड रूट 4 -1 वैल्यू अभी भी √3 आ रही है और इसके बीच में ग्राफ इस तरीके से पैराबोलिक बनने वाला है ठीक है ये इसका ग्राफ रहेगा है ना ये t और ये है y तो y जो मैक्सिमम होगा वो एगजैक्टली मिडल पे अक करेगा तो मिनिमम वैल्यू √3 दिखाई दे रही है y की मैक्सिमम वैल्यू वन और फोर का मिड पॉइंट 5/2 पे 5/2 पे अपने पास में y की मैक्सिमम वैल्यू दिखाई देगी तो t की वैल्यू 5/2 रख के देख लो है ना तो वा मैक्सिमम हो जाएगा अपने पास में अंडर रूट ऑफ 4 माइ 5/2 प् अंडर रूट 5/2 -1 ठीक है तो अंडर रूट 3/2 हा जी प्लस अंडर रट 3/2 ओके च इज 2 टाइम अंडर 3/2 च इज इक्वल टू र स तो र स हमारे पास में मैक्सिमम वैल्यू दिखाई देगी तो इस टाइप के क्वेश्चंस अपन डायरेक्टली ऐसे भी कर सकते हैं है ना कि वन और फोर दोनों के ऊपर वैल्यू सेम है ठीक है वन रखो फोर रखो दोनों के ऊपर वैल्यू सेम है बीच में ग्राफ इस तरीके से पैराबोलिक रहेगा ग्राफ इतना साही इसका रहने वाला है हां जी गाइस क्लियर है क्लियर है क्लियर है ओके आगे बढ़ा जाए तो और कुछ क्वेश्चंस के ऊपर अपन गौर फरमा लेते हैं हम तोय डोमेन वाले कुछ कुछ सवाल थे डोमेन वाले क्वेश्चन इज कर लोगे रेंज के ऊपर चलिए बात करते हैं कि रेंज के क्वेश्च के साथ हमें कैसे खेलना है रेंज के क्वेश्च को कैसे अपने को टैकल करना है तो कभी भी अगर लीनियर अपॉन लीनियर टाइप की रेंज दे रखी हो तो उसके अंदर तो एक्स जज अ फंक्शन ऑफ वा जैसे इसके अंदर डोमेन पूछा जाए तो डोमेन इज नॉट अ बिग डील कि डोमेन के बारे में हम बता सकते हैं कि x नॉट इक्वल टव या फिर अपन बोल सकते हैं एकस कैन बी एनी रियल नंबर एक्सेप्ट व एक्व के इक्वल नहीं हो सकता है या फिर कहा जाए x कोई भी रियल नंबर हो सकता है x1 नहीं हो सकता ठीक है क्योंकि y एज अ फंक्शन ऑफ x ऑलरेडी रिप्रेजेंटेड है y अगर x के फंक्शन में रिप्रेजेंटेड है तो अपन डोमेन के बारे में कमेंट कर सकते हैं वहीं पे अगर हमें रेंज के बारे में कमेंट करना हो तो x एज अ फंक्शन ऑफ y रिप्रेजेंट करो है ना x की वैल्यू निकालो तो यहां पे ये फंक्शन लिख रखा है y = 2x - 3 / x - 1 अभी हमारे सामने जो फंक्शन है व y एज अ फंक्शन ऑफ x है इधर हमारे पास में डोमेन पता चल जाएगा रूल्स थ्योरम लगा सकते हो बेटा पैराबोलिक होने का रीजन रूल्स थ्योरम दो पॉइंट्स के ऊपर सेम वैल्यू आ रही है तो बीच में कहीं ना कहीं वा बाडी एक 0 हुआ होगा वही चीज है ठीक है तोवा की वैल्यू ये हो गई 2x माइ 3 अप x-1 ओके अब यहां पर एक काम करो एकस ए अ फंक्शन ऑफ y रिप्रेजेंट कर लो क्रॉस मल्टीप्लाई कर दो मतलब एकवा माइवा बराबर 2x - 3 मतलब एकवा - 2x बरावा - 3 मतलब x की वैल्यू आ गई यहां पे y - 3 अप y - 2 तो x एज अ फंक्शन ऑफ y रिप्रेजेंट करती है हमें समझ में आ जाता है कि भैया यहां पे y2 नहीं हो सकता यहां पे y कैन नॉट बी इक्वल टू 2 ठीक है तो y की वैल्यूज ही रेंज कहलाती है ना तो y कैन बी एनी रियल नंबर एक्सेप्ट टू यहां पे y को कोई भी रियल नंबर रख दो बट टू नहीं रख सकते हैं ठीक है सो दिस इज द रेंज यह हमारे पास आ ग डायरेक्ट ट्रिक समझ लेना कि द ट्रिक इज लीनियर बाय लीनियर के लिए एक ट्रिक है ठीक है अगर लिख रखा है y बराबर ए एक् प् बी अपन सी एक प् d तो यहां परवा कैन बी एनी रियल नंबर एक्सेप्ट ए बा सी यह डायरेक्ट ट्रिक रहती है लीनियर बाय लीनियर के लिए है ना किवा यहां पर कोई भी रियल नंबर हो सकता है बस a अप c नहीं हो सकता ना कोंट ऑफ x अपन को एफिशिएंट ऑफ x वो वाला पार्ट कैंसिल आउट कर देंगे तो y कैन बी एनी रियल नंबर एक्सेप्ट a / c दिस इज द ट्रिक दिस इज हाउ वी फाइंड यू नो रेंज डायरेक्टली बट अगेन ये ट्रिक नहीं काम करेगी बहुत सारे सवालों में है ना कई प्रकार के सवाल होते हैं जिसके अंदर ये ट्रिक नहीं काम करेगी जैसे ये वाला सवाल हो गया गाइस अब यहां पे ये है भी थोड़ा लीनियर बाय लीनियर टाइप का ही है बट इधर ये ट्रिक काम नहीं करने वाली है इधर अपने को बेसिक से ही जाना पड़ेगा पहली बात है इसके डोमेन के बारे में बात कर लेते हैं तो डोमेन तो इधर डिनॉमिनेटर जीरो नहीं होना चाहिए बस इतनी सी बात है डिनॉमिनेटर क्या है डिनॉमिनेटर है e रेट पावर x प् e रे टू पावर - x ये जीरो के इक्वल वैसे भी नहीं होता है एक्सपो शियल फंक्शन है हमेशा जीरो से बड़ा ये भी हमेशा जीरो से बड़ा तो यहां पे डोमेन के अंदर तो आ जाएगा x कैन बी एनी रियल नंबर x को कोई भी रियल नंबर रखो कोई प्रॉब्लम नहीं है रेंज निकालने के लिए क्या करोगे इसको थोड़ा सिंपलीफाई करो y बरा e की पावर x - 1 अप e की पावर x डिवाइड बा e की पावर x + 1 / e की पावर x ये फंक्शन है हमारे पास हां जी गाइ दिस इज द फंक्शन इन फ्रंट ऑफ अस e की पावर x - e की पावर - x हो जाता है 1 / e की पावर x इधर भी e की पावर x + 1 / e की पावर x एलसीएम लेंगे तो ये मिलेगा e ^ पावर 2x - 1 / e ^ पावर 2x + 1 एलसीएम लेने के बाद में हमारे पास ये बनेगा y एज अ फंक्शन ऑफ x रिप्रेजेंट करने के लिए क्रॉस मल्टीप्लाई कर दो या फिर कंपोनेंट और डिविडेंड होगा सारा ले लो दोनों से इक्वली यनो तो कंपोनेंट डिविडेंडो के साथ कंफर्टेबल मत हो तो छोड़ो डायरेक्टली क्रॉस मल्टीप्लाई करो तो y डिनॉमिनेटर के साथ मल्टीप्लाई होगा तो y टाइम c की पावर 2x प्वा बराबर e रेट पावर 2x - 1 ऐसा सा बनेगा है ना ये y जो है इस डिनॉमिनेटर से मल्टीप्लाई होगा तो y टाइम e की पावर 2x प्वा बराबर दिस यहां से x की वैल्यू निकालो बेसिकली इन टर्म्स ऑफ y ना तो -1 को इस साइड भेज दो तो y + 1 राइट हैंड साइड में e ^ 2x - y टा e ^ 2x तो e ^ पा 2x कॉमन लिया तो इधर यह 1 - y बचेगा ठीक है तो e ^ पा 2x की वैल्यू आई है अपने पास में y + 1 / 1 - y यह e ^ पा 2x आ गया तो यहां पे अगर मैं x एज अ फंक्शन ऑफ़ y रिप्रेजेंट करूंगा तो दोनों साइड लॉग लेना पड़ेगा दोनों साइड लॉ लेंगे तो यहां पे 2x की वैल्यू आ गई ln1 / 1 - y यह एकस की वैल्यू आ रही है एक् की वैल्यू य अपने पास आ रही है तो लग के अंदर जो भी चीज है वो हमेशा पॉजिटिव होनी चाहिए मतलब y प् 1 अपन 1 माइवा ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 होना चाहिए ये अपन इक्वल टू भी नहीं ग्रेटर देन जीरो कि लॉग के अंदर ये चीज है तो ये ग्रेटर दन जीरो होनी चाहिए तोवा प्व अपव माइवा शुड बी ग्रेटर दन 0 ओके मतलब कि y प्व अपवा -1 ले 0 होना चाहिए 1 - y को y -1 बनाओगे तो इन इक्वलिटी पलट जाएगी तो इधर से हमारे पास में y की जो वैल्यूज आ रही है रेंज अपने पास मिलेगी -1 से लेके वन के बीच में ओपन ब्रैकेट तो दिस इज द रेंज ऑफ दिस फंक्शन समझे क्या बात को तो हमेशा रेंज निकालने के लिए यह अप्रोच बहुत तगड़ी अप्रोच है कि रेंज हमें कभी भी डील करना हो x एज अ फंक्शन ऑफ y रिप्रेजेंट करो अब ऑफकोर्स अलग-अलग सवालों में अलग-अलग तरीके से रेंज निकाली जाती है जैसे इसके अंदर भी अगर हमें रेंज निकालनी है काम यही करना है कि पहले इसको ऐसा देखो वा बराबर मडल ऑफ सा एक् माइव अपन मडल ऑफ सा एक् प्व अब क्रॉस मल्टीप्लाई करके मॉड्यूस सा एक की वैल्यू निकालो इन टर्म्स ऑफ y है ना तो यह बनेगा देखो y टाइम मडल ऑफ साइ एक प्वा बराबर मडल ऑफ साइ एक माइव ठीक है तोवा प्व बराबर मडल सा एक - y टाइम्स मड sinx-cosx उसके बाद में सिंपली हमें इतना सा करना है कि मॉड्यूस sinx-cosx इधर से हमारे पास में रेंज आ जाएगी तो ऐसे डील करना है ना रेंज के सवालों के साथ में डबल इक्वलिटी य पर सॉल्व करनी है पहले हमें यह वाला पार्ट सॉल्व करने का फिर अपने को यह वाला पार्ट सॉल्व करने का है और दोनों का क्या करेंगे इंटरसेक्शन लेंगे इसको पार्ट वन बोल दो इसको पार्ट टू बोल दो वेवी कर् मेथड से यहां पर दो इक्वलिटी बनेगी दोनों को हमें सॉल्व करना है नहीं कोई ब्रेक करने की जरूरत नहीं है सिंपल सी बात है x जज अ फंक्शन ऑफ़ y आ गया तो मॉड्यूस ऑफ़ sinx-cosx y ग्रेटर और इ 0 जिसको कि अपन लिख सकते हैं y प् 1 अपवा - 1 लेसन और इक्ट 0 तो यहां से y की जो रेंज आएगी वो आ जाएगी माइव पे तो क्लोज और वन पे ओपन ठीक है तो पार्ट वन का आंसर ये आया अपने पास हां जी नहीं कोई ब्रेक करने की जरूरत नहीं है सा x को आगे मॉड्यूस को हटाने की कोई जरूरत नहीं है ठीक है फिर वैसे ही पार्ट टू के लिए सॉल्व कर लो पार्ट टू के लिए अगर सॉल्व करेंगे तो पार्ट ू च इज y प् 1 अपव माइवा लेन इक्व व को इस साइड लेके आओ एलसीएम लो तो y प् 1 अपव माइवा -1 ले इ 0 तो एलसीएम यहां पे ले तोवा प् 1 -1 प्वा ठीक है ऐसा बन रहा है तो च इज 2y अपव माइवा ले इ 0 या फिर अपन लिख सकते हैं इसको 2y / y - 1 > = 0 ये इनिक्वालिटी बनी है यहां पे ठीक है हां जी गाइज तो इस इन इक्वलिटी को भी अपन वेवी कर्व मेथड से इजली सॉल्व कर सकते हैं इसका जो क्रिटिकल पॉइंट है इसका क्रिटिकल पॉइंट 0 और वन आ गया y = 0 एंड y = 1 क्रिटिकल पॉइंट है एक्सट्रीम राइट में पॉजिटिव नेगेटिव पॉजिटिव ठीक है रो के इक्वल तो हो सकता है रो के इक्वल हो सकता है बट वन के इक्वल नहीं हो सकता तो या तो वन या वन के राइट या जीरो या जीरो के लेफ्ट अब इन दोनों का इंटरसेक्शन लेना है ना इन दोनों का इंटरसेक्शन लेना है यह बोल रहा है मानव सेव के बीच में तो माइव कहीं इधर कहीं पड़ेगा माइव कहीं इधर पड़ेगा ठीक है और वन तो यह रहा ही है तो माइव क्लोज से न ओपन के बीच में य बोल रहा है इन दोनों का इंटरसेक्शन लेंगे तो माइव से जीरो आ रहा है इन दोन दोनों का इंटरसेक्शन कॉमन वाला पोर्शन कौन सा आ गया इनका इंटरसेक्शन आ जाएगा कॉमन वाला पोर्शन माइव से लेके जीरो के बीच में तो वा बिलोंग टू वा बिलोस टू क्लोज ब्रैकेट माइव टू क्लोज ब्रैकेट 0 ये हमारे पास इसकी रेंज आ गई हां जी बताओ बताओ बताओ बताओ बताओ जल्दी बताओ क्लियर है सबको आसान है आसान है आसान है रेंज के ऊपर अपन अभी बहुत चर्चाएं करने वाले हैं तुम जितने बोलोगे उतने क्वेश्चन मैं डिस्कस कर लू रेंज के ऊपर बहुत सारे सवाल है ठीक है तो रेंज के परर सारे सवाल अब इसी सवाल को देखो ट्रांसफॉर्म करके फ्रैक्शन पार्ट की टर्म से बना सकते हैं इक्वेशन ऐसा बना दिया y बराबर फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x माइव अपट टाइम्स फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x प् 3 इस टाइप का सवाल बना दिया फिर से पूछ ली फाइंड रेंज तो अब समझ में आ गया ना तुम्हें कैसे करना है यह मैंने रैंडम क्वेश्चन खुद अभी अभी बनाया ठीक है ओके इसको गल गल करने का कोई फायदा नहीं होएगा बस इसके ऊपर तुम आईडिया समझना कि यहां पे तुम इसको क्रॉस मल्टीप्लाई करके रिप्रेजेंट करोगे फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x एज अ फंक्शन ऑफ y एज अ फंक्शन ऑफ y ये रिप्रेजेंट करने वाला हो क्रॉस मल्टीप्लाई करके फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x को एज अ फंक्शन ऑफ y के टर्म्स में रिप्रेजेंट करना है फिर तुम्हें पता है कि फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 लेन 1 होता है तो इसके ऊपर भी सेम कंडीशन लगाओगे कि जो फंक्शन ऑफ y होगा वो ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 लेस दन व आएगा तो कुछ y के टर्म्स में फंक्शन होने वा वो ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 लेसन व करना है और वहां से फिर से डबल इक्वलिटी के साथ खेलना है और ये क्वेश्चन इजीली हो जाएगा क्या बोलते हैं गाइस हां जी क्लियर है आसान है इजी पीजी अब देखते हैं रेंज ऑफ क्वाड्रेटिक अपॉन क्वाड्रेटिक तो कभी भी अगर क्वाड्रेटिक अपॉन क्वाड्रेटिक के बारे में दे रखा हो जैसे कि x स् - 5x + 4 अप x स् + 2x - 3 तो रेंज ऑफ क्वाड्रेटिक अपॉन क्वाड्रेटिक के लिए हम लोग क्या चीज अपनाते हैं ठीक है कुछ स्टैंडर्ड क्वेश्चन है च इज वा बराबर एक् स्क माइन एक्स प्व अपन x स् प् एक् प्व फाइंड रेंज ठीक है फाइंड रेंज है ना यह सवाल है अब यहां पर देखो एक् को एस टर्म्स ऑफ वा लिखना तो इजी नहीं है ठीक है हां जी हां जी हां जी यहां पर लीनियर बाय लीनियर होता तो तो x को एज अ फंक्शन ऑफ y लिख देते बट यहां पे लीनियर बाय लीनियर नहीं है यहां पर क्वाड्रेटिक बाय क्वाड्रेटिक है तो इसके लिए तरीका यह रहता है कि सबसे पहले पहला स्टेप क्रॉस मल्टीप्लाई क्रॉस मल्टीप्लाई एंड मेक क्वाड्रेटिक इन एक क्रॉस मल्टीप्लाई करो और एक्सप्रेस करो इसे एज अ क्वाड्रेटिक इन एकस तो क्रॉस मल्टीप्लाई किया तो ये बन रहा है देखो x स् टास y y -1 ् x टाइम्स y + 1 प्वा - 1 = 0 इसी को हमने इस तरीके से एक्सप्रेस किया है इसी को हमने इस तरीके से एक्सप्रेस किया है पहला स्टेप तो यह है गाइस देखो जरा हां जी क्या समझ में आ रहा है कॉमन फैक्टर ना हो तो यह तरीका अपनाना है कॉमन फैक्टर होते हैं तो फिर उसके लिए मैं तरीका बताऊंगा बट अगर कॉमन फैक्टर नहीं है न्यूमरेशन और डिनॉमिनेटर में कोई भी फैक्टर अगर कॉमन नहीं आ रहा है तो पहला स्टेप यही है कि क्रॉस मल्टीप्लाई करो और एक्सप्रेस करो इसको एज a एक स् + bx3 फॉर्मेट में डायरेक्ट कैलकुलेशन करो देखो x स् का कफिट यहां से y है यहां से x स् का कफिट -1 आएगा तो x स् का कफिट आ गया y -1 यहां पे x का को एफिशिएंट + y - x इस साइड आएगा तो + x x कॉमन लोगे तो y + 1 उसके अलावा जो x से इंडिपेंडेंट टर्म है वो है y -1 ठीक है फिर अगर तुम इसमें x एज अ फंक्शन ऑफ y रिप्रेजेंट करना चाहोगे x एज अ फंक्शन ऑफ y y तो x की वैल्यू क्या आएगी - b + - √ d / 2a यह x की वैल्यू आएगी ना x जज अ फंक्शन ऑफ़ y रिप्रेजेंट करोगे तो x की वैल्यू ये आएगी - b + - √ d / 2a तो x जज अ फंक्शन ऑफ़ y रिप्रेजेंट करेंगे तो यहां पे यही समझ में आ रही है कि जो d है डिस्क्रिमिनेंट वो ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 होना चाहिए यही सेकंड स्टेप है गाइ है ना दिस इज़ द स्टेप टू ऑफ दिस टाइप ऑफ क्वेश्चन कि स्टेप टू इज़ पुट डिस्क्रिमिनेंट ग्रेटर दन और इक्व ट 0 डिस्क्रिमिनेंट ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 नहीं नहीं नहीं डिनॉमिनेटर में क्वाड्रेटिक से मैक्सिमम और मिनिमम पॉइंट नहीं नहीं क्वाड्रेटिक के वो ऐसा नहीं कि भैया सर न्यूमरेशन वाली क्वाड्रेटिक के मिनिमम मैक्सिमम वैल्यू डिनॉमिनेटर वाली क्वाड्रेटिक के मिनिमम मैक्सिमम वैल्यू निकाल ले तो उससे आ जाएगा क्या आंसर नहीं आएगा यह दोनों डिपेंडेंट है ना एक दूसरे पर वैसे नहीं होगा ठीक है इस क्वेश्चन को ऐसे ही अपन करेंगे तो इसके ऊपर क्या डिस्क्रिमिनेंट ग्रेटर दन और इक्वल टू जीरो की कंडीशन लगानी है डिस्क्रिमिनेंट इसका कितना हो जाएगा b स् b ये रहा गाइस ये b है ये a है ये c है ठीक है तो b स् मतलब y + 1 का स्क्वायर - 4 * a a की वैल्यू y - 1 c c की वैल्यू y -1 b स् - 4ac > इ 0 यहां पे कंडीशन लगाएंगे ठीक है अब यहां पे तुम या तो a स् - b स् का फैक्टर बना लो क्योंकि ये चीज क्या लिखी है ये चीज लिखी है y + 1 का स्क्वा - 2 टाइम्स y - 1 का होल स्क्वायर तो फैक्टराइजेशन करना है फैक्टराइजेशन या तो अपन डायरेक्टली देखो इसको स्क्वायर को ओपन करेंगे स्क्वायर को ओपन करके कर सकते हैं नहीं तो ऐसा देखो ये a स् - b स् टाइप की चीज लिखी है है ना a स् - b स् टाइप की चीज लिखी है नहीं डेरिवेटिव करके भी नहीं कर सकते देखो बेटा रेंज में ना अलग-अलग टाइप के क्वेश्चंस में अलग-अलग तरीके की अप्रोच लगती है कुछ क्वेश्चंस होते हैं जिसको डेरिवेटिव करके ग्राफ बना के ही रेंज निकाला जा सकता है कुछ ये स्टैंडर्ड फॉर्मेट है जिसके अंदर यही तरीका अपन अमाए किसी और तरीके से जाओगे बहुत लेंथी जाने वाला हैय सवाल ठीक है तो दिस इज द वे गाइस है ना यह तरीका है यहां पे तो y + 1 का स्क्वा - 2 टाइम्स y - 1 का स्क्वा a स् - b स् है तो इधर a - b * a + b इस तरीके से दो फैक्टर्स बनेंगे इधर तो एक फैक्टर तो बना देखो y + 1 - 2 टास y - 1 यह बन जाएगा a - b का फैक्टर दूसरा फैक्टर हो जाएगा y+ 1 प् 2 टाइम्स y - 1 ग्रेटर और इक्व ट 0 इधर से y - 2y मतलब - y और ये + 2 + 1 + 3 और इधर ये बन रहा है 3y -1 ग्र और इ 0 - y + 3 को तुम y - 3 बना लो ठीक है 3y - 1 एज इट इज है इनिक्वालिटी पलट जाएगी तो इधर से अपने पास में रेंज आ गई y बिलोस टू 1/3 2 3 y बिलोस टू 1/3 23 यह अपने पास में इसकी रेंज आ गई ठीक है क्लियर है बहुत स्टैंडर्ड क्वेशन है यह हमारे पास इसकी रेंज आती है र्स एक और स्टेप आता है फाइनल चेकिंग स्टेप फाइनल स्टेप चेकिंग स्टेप ठीक है चेकिंग स्टेप मतलब चेक करना है कि जब यह क्वाड्रेटिक रहे ही ना चेक एट ए बराबर जीरो है ना चेक कर है ना किस पर चेक करना है चेक एट वा माइव बराब 0 इसके ऊपर चेक कर कि जब ये कफिट ऑफ x स् 0 हो जाए तब कोई प्रॉब्लम तो नहीं है ना तब कुछ नॉनसेंस चीज तो नहीं बन रही है ना तो y - 1 बरा 0 मतलब y बराब 1 y बराबर 1 पर देख लो एक की कुछ कुछ वैल्यू आनी चाहिए y बराबर 1 पर चेक करोगे तो y बराबर 1 पर भैया ये चीज जीरो हो गई y बराब 1 प ये चीज आ रही है x टा 2 प् 0 बरा 0 मतलब x की वैल्यू जीरो आ गई ठीक है चलेगा या फिर y बराव प इधर चेक कर लो कि अगर मैं y को वन रख रहा तो एक् की कुछ कुछ वैल्यू आ जाए कुछ नॉनसेंस ना बन रहा हो बेसिकली फाइनल स्टेप यही है कि हमें चेक करना पड़ता है कि जहां पर को फिट ऑफिशिएंट ऑफ x स् जीरो हो जाए उस पॉइंट के ऊपर अपने को चेक करना है तो कोंट ऑफ x स् है y माइव वो जीरो हो जाए मतलब y जब वन हो जाए वा को वन या तो यहां पर रख दो और देख लो इस पर कोई प्रॉब्लम तो नहीं है फाइनल स्टेप का महत्व आपको इस वाले एग्जांपल से समझ में आएगा देखो ये वाला एग्जांपल देखो जरा ये भी कुछ इसी तरीके का एग्जांपल है y बरा x स् प् x प् 2 अपन x स् प् x+ 1 क्रॉस मल्टीप्लाई किया क्वाड्रेटिक इ x बनाई तो x स् टास y - 1 प् x टा y -1 प्वा - 2 = 0 ये क्वाड्रेटिक इन x बन गई डिस्क्रिमिनेंट ग्रेटर दन और इक्वल ट 0 किया डिस्क्रिमिनेंट आ जाएगा y - 1 का होल स्क्वा - 4 नवा -1 नवा -2 ठीक है ग्रेटर दन और इक्व 0 y -1 का फैक्टर मैंने यहां पर कॉमन लिया तो ये बन रहा है y -1 टाइम्स इन 4 टाम वा माइन 2 ठीक है क्लियर है कोई प्रॉब्लम नहीं बी स्क माइन 4ac चीज लगा रहे अब यहां पर देखे अगर तोवा माइव टाइम्स यह बन रहा है वा माइन फवा मतलब माइन 3 वा माइव प् 8 माइव प् 8 मतलब प् से ठीक है तो माइवा प् 7 ग्रेटर इ 0 ओके जिसको की फदर मैं लिख सकता हूं वा माइव और 3y प् 7 को लिख दिया 3y - 7 और इनिक्वालिटी चेंज कर दी लेसन और इक्वल टू 0 तो यहां से गाइस y की रेंज आ रही है 1 टू 7/3 न से लेके 7/3 के बीच में रेंज आ रही है ठीक है इतनी बात है क्लियर अभी फाइनल स्टेप बाकी है है ना पिक्चर अभी बाकी है मेरे दोस्त फाइनल स्टेप चेक एट चेक एट y - 1 बरा 0 कि जब कफिट ऑफ x स् जीरो हो जाए जब ये क्वाड्रेटिक रहे ही ना उस पॉइंट के ऊपर चेक करना है है हमें बस ठीक है तो y - 1 = 0 मतलब मतलब y = 1 y = 1 पे चेक करना है मैंने देखा कि y को वन रखता हूं तो क्या बनता है y को अगर मैंने वन रखा तो 1 = x स् + x + 2 / x स् + x + 1 या तो y को व यहां पे रख दो या y को वन यहां पे रख दो बात बराबर है y को इधर वन रखा तो ये चीज रो ये चीज रो और यहां पे ये -1 बरा 0 आ रहा है व्हिच इज अ नॉनसेंस दिख रहा है इधर भी देखा जाए तो y को वन रखा तो ये दोनों चीजें क्रॉस मल्टीप्लाई करोगे तो x स् ् x कट जाएगा 2 बराबर 1 आ जाएगा 1 बरा 2 आ जाएगा समझो बात को 1 बराबर 2 आ जाएगा वच इज अ नॉनसेंस मतलब y बराबर 1 पे नहीं काम करेगा ठीक है हां जी व्च इज अ नॉनसेंस तो y बराबर 1 पे नहीं काम करेगा तो रिमूव करना है y बराबर व तो फाइनल जो हमारा आंसर आया वो आएगा y बिलोंग टू ओपन ब्रैकेट 1 टू क्लोज बकेट 7/3 यहां पर हमें रिमूव करना पड़ा इसको चेक क्यों करते हैं क्योंकि अभी तक देखो यार क्वाड्रेटिक का फार्मूला लगाते हैं ना - बी प् माइन अंडर रट d डिवा बा 2a तो डिनॉमिनेटर में ये आता है है ना उसके पर चेक करना पड़ेगा कि अगर ये क्वाड्रेटिक रही ना तो ठीक है कि कोफिया अभी तक अपन क्वाड्रेटिक मान के डिस्क्रिमिनेंट ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 कर रहे थे बट अगर ये क्वाड्रेटिक ना रही अगर y की वैल्यू वन आ गई x के टर्म में क्वाड्रेटिक बनी ही बची ही ना एक्स के टम क्वाड्रेटिक तो कोई दिक्कत तो नहीं है बेसिकली वहां पर हमें इधर चेक करना पड़ेगा ब्लर आ रहा है क्या ओके ऑटो फोकस तो नहीं है गाइस तो ब्लर तो नहीं होना चाहिए ठीक है समझ गए बात को तो इसलिए उस पॉइंट के ऊपर अपने को चेक करना पड़ता है तो क्वाड्रेटिक बाय क्वाड्रेटिक इतनी बात क्लियर है फिर क्वाड्रेटिक बाय क्वाड्रेटिक के अंदर एक तरीका आता है यह वाला क्वेश्चन देख लो x - 4 इन x-1 न्यूमरेशन में दो फैक्टर्स x - 4 इन x-1 डिनॉमिनेटर के फैक्टर्स देखोगे तो x प् 3 इन x-1 यस तो यह वाला वो क्वेश्चन हो गया जिसके अंदर कॉमन फैक्टर्स आ गए ठीक है यह वाला वोह क्वेश्चन हो गया जिसके अंदर कॉमन फैक्टर्स हमारे पास आ रहे हैं अगर फैक्टर्स कॉमन आ गए ना कॉमन फैक्टर्स आ गए तो क्या करना है काट दो अदर वाइज क्वाड्रेटिक अपन क्वाड्रेटिक रहेगी अगर फैक्टर्स कॉमन आ जाते तभी प्रॉब्लम रहती है न्यूमेट के ये दो फैक्टर्स डिनॉमिनेटर के फैक्टर्स ये बने फैक्टर यहां पर कॉमन आ गया कॉमन फैक्टर आ गया तो उसको कैंसिल आउट कर दो ठीक है कैंसिल आउट करोगे तो लीनियर बाय लीनियर बन जाएगी कि y बरा x - 4 अप x+ 3 और लीनियर बाय लीनियर के लिए तुम समझते हो कि y नॉ इ a बा स ना कोफ ऑफ x अपन कोंट ऑफ x वो मैंने ट्रिक बताई थी अभी अभी कि लीनियर बाय लीनियर है कि a एक + बप c एक + d तो y की जो होती है ना a बा स नहीं हो सकता ई है ना ली बाय लीनियर के लिए ट्रिक अपन यूज करेंगे तोवा नॉ इ ए बा सी ए यहां पर कितना है वन है स भी कितना है वन है कोंट ऑफ एक् अपन कफिट ऑफ एक् तो y नॉट इक्वल टव तो आ गया इस लीनियर बाय लीनियर को मध्य नजर रखते हुए वाव के इक्वल तो नहीं हो सकता बट साथ के साथ है ना जो शहीद हुए हैं उनकी जरा याद करो कुर्बानी हां जी तो जिस फैक्टर को तुमने शहीद किया है ना जिस फैक्टर को काटा है उसकी कुर्बानी मत भूलना कि यहां पे y जो है वो x - 4 / x + 3 तो आ गया अब x अगर वन नहीं हो सकता तो y भी y भी कुछ नहीं हो सकता क्या नहीं हो सकता कि x नॉट इक्व ट 1 x1 के इक्वल नहीं हो सकता क्योंकि ओरिजिनल अगर इक्वेशन में देखोगे तो x1 रख ही नहीं सकते 0 बा 0 बन जाएगा एग्जैक्ट 0 अप एग्जैक्ट 0 व्हिच इज नॉट अलाउड तो x अगर व नहीं हो सकता तो y कैन नॉट बी इक्वल टू 1 - 4 / 1 + 3 y की वैल्यू नहीं हो पाएगी तो 1 - 4 चच इज -3 - 3/4 वा ये नहीं हो सकता तो y की दो वैल्यूज हमें यहां पे हटानी है कि y कैन नॉट बी इक्वल टू एक तो लीनियर बाय लीनियर को मध्य नजर रखते हुए y की वैल्यू वन नहीं हो सकती और जो शहीद हुए उनकी जरा याद करो कुर्बानी है ना x1 नहीं हो सकता तो y ये नहीं हो सकता तो y की वैल्यू - 3/4 नहीं हो सकती ओके तो इसकी जो रेंज आ गई रेंज आ गई y कैन बी एनी रियल एक्सेप्ट न एंड माइनस 3/4 और कोई भी रियल नंबर वा को रख लीजिए क्या क्लियर है हां जी गाइस ठीक ठीक है ठीक है ठीक है हां क्लियर है क्लियर है क्लियर है बताए वेरी गुड वेरी गुड वेरी गुड वेरी गुड चलिए और आगे बातें करते हैं अपन देख लो यार यह वाला सवाल जेई मेंस 2023 में पूछा गया लीनियर बाय लीनियर आपके सामने है इस क्वेश्चन को आप खुद से कर लेंगे कहीं कोई प्रॉब्लम आएगी नहीं कोई फैक्टर कैंसिल आउट नहीं हो रहा है सिंपली इसको क्रॉस मल्टीप्लाई करके y = x स् + 2x + 1 अपॉन मैं तो बोलूं अभी की अभी फटाफट कर लो थोड़ी बहुत कैलकुलेशन लगेगी पर तुम खुद करना मैं नहीं करवा रहा क्योंकि समय नहीं है अभी बहुत सारी चीजें पढ़नी है अपने को तो क्रॉस मल्टीप्लाई करना क्रॉस मल्टीप्लाई करके डिस्क्रिमिनेंट ग्रेटर दन और इक्वल ट 0 वही तरीका अपने आजमाना हो जाएगा हो जाएगा ठीक है और चेक कहां पर करना है वह भी तुम्हें पता ही है चेक करोगे तो देख लेना तो इजीली य क्वेश्चन तुम लोग हैंडल कर लोगे तो तुम्हारे ऊपर छोड़ रहा हूं मैं यह वाला सवाल हां जी गाइस क्लियर है क्लियर है क्लियर है आई होप यू गाइस डोंट हैव एनी प्रॉब्लम इन दिस ठीक है अब देखो कुछ सवाल और अपन देख सकते हैं यहां पर ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शन की रेंज वो सारे सवाल देख सकते हैं जैसे कॉस ऑफ 2 सा एक है ना इस टाइप के सवाल हो गए वा नॉ इक्व वा देखो नावा को वन रखते नॉनसेंस अगर बन रहा हो और वन नहीं मतलब यह बात है कि कोंट ऑफ एक स्क्वा जहां पर जीरो हो रहा हो उस वैल्यू ऑफ वा पर चेक करना है अपने को है ना बस चेक कर ठीक है चेक कर लो उसके ऊपर फिर अपने आप समझ में आ जाएगा देखो अब अगर इस टाइप के सवाल हुए ना cos2 sinx-cosx -2 से 2 के बीच का इनपुट दे रहे हैं c x का ग्राफ बना लो फिर यहां पे है ना कि c x का तुमने ग्राफ बना लिया ओके गाइस तुम सिंपल c x का ग्राफ बना दो कि c x का ग्राफ इतना रहता है ऐसा सा रहता है c x का ग्राफ है ना आई होप ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन का ग्राफ आप सब लोग जानते हैं क x का सा x का t x का ये सब ट्रिग्नोमेट्री में हम लोग पढ़ते हैं तो ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन आपने पढ़ा होगा तो ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन का ग्राफ वगैरह सारी चीज देखी होगी बस कुछ इस टाइप के सवाल और देख लेते हैं यहां पे कि यहां प कस को जो इनपुट है वो -2 सेट के बीच में दिया जा रहा है ये हो गया बेटा पाई बाटू पाई बाटू ये हो गया माइनस पा बाटू ू कहां पर पड़ेगा अपने पास में ू थोड़ा और राइट में पड़ेगा ना है ना पाई से जस्ट पहले यह पाई हो जाएगा ट यहां पर कहीं पड़ेगा ू और माइट यहां पर कहीं पड़ेगा तो क को जो इनपुट है ना वो -2 सेट के बीच में दिया जा रहा है मतलब ग्राफ इतना सा ही बनेगा ग्राफ जो है वह सिर्फ इतना सा बनेगा दिस इज द ग्राफ इनपुट पर ही आउटपुट डिपेंड करता है है ना तो मैक्सिमम वैल्यू तो वन तक जा रही है मैक्सिमम वैल्यू तो वन तक जा रही है बट मिनिमम वैल्यू देखी जाए तो मिनिमम वैल्यू कितनी आ रही है भाई क्या मिनिमम वैल्यू माइनस व तक अचीव कर पा रहा है क्या मानव तक नहीं जा पा रहा माइव तक तब जा पाता जब ये पाई तक वैल्यू जा पा तो माइव तक नहीं जा पा रहा मिनिमम वैल्यू जो है वो कटू आ रही है मिनिमम वैल्यू कितनी कॉट है ना कॉस के अंदर जब इनपुट टू डालेंगे तो ू होता है सेकंड क्वाड्रेंट का है ना टू इन रेडियन रेडियन के अंदर अगर टू है तो वो सेकंड क्वाड्रेंट का एंगल है सेकंड क्वाड्रेंट में कॉस नेगेटिव वैल्यू दे रहा होता है हां भाई बताइए जरा तो इसकी रेंज कितनी आ गई इसकी रेंज आ जाएगी अपने पास में क्लोज ब्रैकेट कॉस्ट क्लोज बकेट व ये इसकी रेंज आ जाएगी वही पर अगर मैं सवाल बदलू सवाल अगर मैं दू कि f एक बराबर कॉस ऑफ 4 साइन एक यह मैंने सवाल दिया अब अगर मैं इसकी रेंज पूछू बताओ अब इसकी रेंज कितनी आ जाएगी तो अब तुम समझना कि कॉस को इनपुट माइनस फ से फ के बीच में दे रहे हैं कस के अंदर जो इनपुट जा रहा है ना तो कॉस का ग्राफ देखना कस के ग्राफ में देखना कि इनपुट अगर -4 से 4 तक दिया जा रहा है तो पूरा ये भी मतलब पूरा इंक्लूड हो जाएगा ना फोर तो यहां तक चला जाएगा पाई के राइट में मतलब पूरा देखो मतलब इसने मिनिमम वैल्यू भी अचीव कर ली मैक्सिमम वैल्यू भी अचीव कर ली तो अब इसकी जो रेंज होगी व -1 से वन के बीच में होगी क्या इस टाइप के सवाल भी आप इजली हैंडल कर लेंगे क्या आईडिया क्लियर है आईडिया क्लियर है इस टाइप के सवालों में हां जी वेरी गुड चलिए लेट्स मूव अहेड है ना इस टाइप के सवाल हो गए रेंज निकालना है कर लोगे तुम लोग है ना निकाल लोगे ना भाई इसकी रेंज कैन यू फाइंड द रेंज ऑफ दिस फंक्शन यस एवरीवन सान की पावर 4 प्स कॉस की पावर 4 नोमिन में लिखा है ट्राई करना ट्राई करना ट्राई करना ट्राई करना ठीक है सिंपल सी बात है इसको ऐसा लिख देना 1 माइ 2 साइ स् एक क स् एक या फिर 1 - 1/4 टाइम सा 2x काल स्क्वा ठीक है ऐसा लिख देना ठीक है 1 माइ 1/2 है ना 1 माइ 1/2 टाइम सा 2x काल स्क्वा ये अपने पास में y आ जाएगा फिर एक बार इसको ऐसे सिंपलीफाई करती अब मिनिमम मैक्सिमम वैल्यू आ जाएगी पता है ना तुमको ट्रिग्नोमेट्री बेसिक कि s4 प् c4 होता है 1 - 2s स् c स् ड यू गाइस नो दिस फिर यहां पे सा * क इसको तु sin2x में कन्वर्ट करोगे तो ऐसा सा बन जाएगा फिर यहां पर मैक्सिमम मिनिमम वैल्यू समझ में आ रही है ठीक है हां जी 0 और वन के ऊपर देख लो कि जब sin2x को 0 रखा तो y की वैल्यू 1 अप 1 - 0 और sin2x को जब व रखोगे तो y की वैल्यू 1 अप 1 - 1/2 ये तो मैक्सिमम वैल्यू हो गई और ये मिनिमम वैल्यू हो गई sin2x का जो स्क्वायर होता है ना sin2x का स्क्वायर sin2x के स्क्वायर की वैल्यू जीरो से वन के बीच में रहती है तो जब इसकी वैल्यू जीरो रखी तो जीरो हो गया जब इसकी वैल्यू वन रखी तो यहां पर 1 बाटू बनेगा तो मैक्सिमम वैल्यू y की आ जाएगी अपने पास में वन के इक्वल और सॉरी मिनिमम वैल्यू आ जाएगी वन के इक्वल और मैक्सिमम वैल्यू देखा जाए तो टू के इक्वल बताए बताए बताए बताए वन से टू के बीच में यस गाइस यू नो दिस फिर इस टाइप के सवाल हो गए इसके अंदर रेंज निकालनी है इजली तुम लोग निकाल लोगे इस टाइप के सवाल हो गए ये पवा क है पवा क इसके अंदर हमें रेंज बतानी है तो दोनों तरीके से जा सकते हैं दोनों तरीके से जा सकते हैं एक तो यह भी तरीका अपना सकते हैं y = x अप 1 प् x स् लीनियर अपॉन क्वाड्रेटिक क्रॉस मल्टीप्लाई x स्वा - x प्वा ग्रेटर = 0 x के टर्म्स में क्वाड्रेटिक का रूप बनाओ डिस्क्रिमिनेंट ग्रेटर दन और इक्वल ट 0 रखो डिस्क्रिमिनेंट हो जाएगा 1 - 4y स् ग्रेटर और इ 0 तो 4 स् माइव लेन इ 0 यहां सेवा की रेंज आ जाएगी माइव बाटू सेव बाटू ठीक है तो यह अपने पास आंसर हो जाएगा ऑप्शन बी तो ऐसे सवाल जो हो गए य पवा सवाल है ऐसे खत्म करोगे 303 सेकंड में क्या समझ में आ रही बात है पुट एकस बराबर न थीटा अरे ना भाई ना लीनियर अपॉन क्वाड्रेटिक है वैसे ले जाओ या फिर इसको ऐसे भी ले जाया जा सकता है किवा बराबर इसको 1 अपन 1 बा एक्स प् एकस यह मेथड टू है इस सवाल को करने का गाइस यह है मेथड वन इस सवाल को करने का इसको ऐसे ले जाए या फिर मेथड टू से देखो x से डिवाइड कर दिया तो y बराबर यू नो 1 अप 1 बा x प् x ऐसा भी लिया जा सकता है इसको ठीक है यस यस यस बताइए तो / x प् x एक नंबर और उसका रेसिप प्रोकल जो है वो या तो टू या टू से बड़ा रहेगा तो अगर टू या टू से बड़ा है तो ये चीज 1 बाटू से छोटी रहने वाली है या माइट से छोटा रहेगा मतलब -1 बाट से 1 बाटू के बीच में य चीज रहेगी दिख रहा है तो य तो वैसे ले जाया जा सकता है ठीक है इसको ऐसा ले जाकर फिर ऑब्जर्व कर सकते हैं तो बोथ द वेज आर राइट यह वाला सवाल देखो डोमेन पूछी गई 2023 में तो वेरी इजी क्वेश्चन फंक्शन का अगर सवाल आया तो मतलब ऐसा समझो कि भाई तुम्हें फ्री के नंबर देना चाह रहे तुम उठा लो फ्री के नंबर क्या उठा लेंगे नंबर फ्री के हां जी इस दुनिया में कोई भी कभी कुछ फ्री में नहीं मिल रहा होता है पर फंक्शंस के नंबर फ्री में ही मिल रहे होते हैं थोड़ा बहुत पढ़ लो अच्छे से तो फंक्शंस के क्वेश्चंस इतने ही आसानी से हो रहे होते हैं ठीक है कि यहां पे डोमेन पूछी गई है तो x2 से बड़ा होना चाहिए और x + 1 > 0 है ना कंडीशन क्या लगाओगे कि x - 2 > 0 x + 1 > 0 एंड x + 1 नॉ = 1 यह तीनों कंडीशन लगाओगे ठीक है कि x - 2 > 0 x + 1 > 0 है ना बेस भी पॉजिटिव होना चाहिए नंबर भी पॉजिटिव होना चाहिए बेस वन के इक्वल नहीं होना चाहिए या फिर तीनों का सार बोले तो x शुड बी ग्रेटर दन 2 तीनों का सार यही समझ में आ रहा है कि x2 से बड़ा हो गया तो यह भी ठीक है यह भी सेटिस्फाइड है है ना तो यहां से हमें ये समझ में आई बात है फिर डिनॉमिनेटर को यहां पे देखोगे तो डिनॉमिनेटर इधर बन रहा है कि e की पावर में 2 टाइम्स l x - 2x - 3 दिस इज द डिनॉमिनेटर गाइज इंटरचेंज मार दो तो ये बनेगा x स् - 2x - 3 ऐसी सी चीज बैठी है च शुड नॉट बी इक्वल टू 0 डिनो मिनेट नॉट इक्वल टू 0 करना है ठीक है तो x - 3 इन x प्व शुड नॉट बी इक्वल टू 0 मतलब x -1 और 3 के इक्वल नहीं हो सकता तो टू से बड़ा लेना है बट ी नहीं लेना है तो 2 टू इनफिनिटी एक्सेप्ट 3 ऑप्शन बी हमारा सही जवाब बहुत आसान सवाल यस बताइए एनी प्रॉब्लम गाइस ठीक है समझ में आ रही है कोई भी प्रॉब्लम यहां पर हां जी कमेंट में क्या चल रहा है तुम्हारे कमेंट में कुछ भी चल रहा होता नहीं कुछ कुछ बच्चे पढ़ रहे हैं वह रिस्पांस देते रहते हैं यस सर यस सर यस सर ओके बहुत सही चलिए और आगे बढ़ा जाए अब फंक्शंस की अंडरस्टैंडिंग के लिए एक बहुत इंपॉर्टेंट चीज है चच इज आइडेंट कल फंक्शन इक्वल और आइडेंट कल फंक्शन दो फंक्शंस को इक्वल या आइडेंट कल तब बोला जाएगा जब उसकी डोमेन सेम हो उसकी रेंज सेम हो वो फंक्शन सेम हो है ना दो फंक्शंस को आइडेंट कल तब कहा जाएगा जब उनका ग्राफ हूबहू कॉपी कर रखा हो है ना मतलब उसकी डोमेन भी सेम होनी चाहिए उसकी रेंज भी सेम होनी चाहिए सब कुछ सेम होना चाहिए तब उनको अपन आइडेंट कल फंक्शन बोलेंगे है ना दो फंक्शंस को अपन आइडेंट तब बोलते हैं जब उसका सब कुछ सेम हो डोमेन रेंज वगैरह वगैरह सब कुछ सेम हो ग्राफ सेम हो एगजैक्टली हर चीजें सेम हो तब अपन उन दो फंक्शंस को अपन आइडेंट फंक्शन बोल रहे होते हैं जैसे कि इन दोनों फंक्शंस को देखो है ना कुछ एग्जांपल l n x स् और 2 टाइम्स ln2 ये दोनों फंक्शंस आइडेंट कल फंक्शन नहीं है ये जानना बहुत जरूरी है ताकि हमारी कांसेप्चुअल अंडरस्टैंडिंग बने फंक्शंस को लेके इनके ग्राफ्स को लेके यहां पे देखो अगर मैं टू यहां पे लेके भी आता हूं ना तो यह फंक्शन होता है टू टाइम दिस इ टू टाइम्स एल ऑफ मॉडल ऑफ एक्स यह हमारे सामने फंक्शन आता है f बराबर टू टाम ए ऑफ मडल ऑफ एक्स आता है और यह 2 लिख रखा है यह दोनों फंक्शन कैसे होंगे नॉट आइडेंट कल ए यह दोनों फंक्शन नॉट आइडेंट कल है क्योंकि डोमेन भी दिखाई दे रही है डोमेन अलग अलग है यहां पर एकस पॉजिटिव होना चाहिए यहां पर एक्स पॉजिटिव होना जरूरी नहीं है नेगेटिव भी हो सकता है एक् की वैल्यू -1 भी हो सकती है इर -2 भी हो सकती है ठीक है तो ये दोनों फंक्शंस नॉट आइडेंट कल है अगर मैं ccs.in x डोमेन मैच कर गई डोमेन मैच कर गई ठीक है क्लियर है तो cc2 ठीक है यहां प t x की डोमेन में x कोई भी रियल नंबर हो सकता है बट ऑड मल्टीपल ऑफ पा बाट नहीं हो सकता कॉर्टेक्स में देखा जाए तो कोटेक्स की डोमेन के साथ ही कंडीशन आती है कि कोटेक्स में x जो है वो n पाई नहीं हो सकता है ना क कोट x की डोमेन के साथ वो कंडीशन आती है कट होता है कॉ अपन सा है ना तो कट x के अंदर x n पा तो हो नहीं सकता साथ के साथ क्योंकि कोट डिनॉमिनेटर में बैठा है और हमें पता है कि कोट ऑफ पा बाट जीरो होता है कोट पा बाट डिफाइन है कोट 3/2 डिफाइन है उनकी वैल्यू जीरो होती है तो यहां पे कट वो वैल्यूज नहीं ले पाएगा ना कट यहां पे ऑड मल्टीपल ऑफ पा / 2 नहीं हो पाएगा ना समझ रहे हो बात को तो अब इन दोनों की डोमेन ही मैच नहीं करी डोमेन ही नहीं मैच करी तो क्या हो गया यह नॉट आइडेंट हो जाएगा नॉट आइडेंट कल हो जाएगा यहां पे से x और 1 अप c x को देखा जाए है ना तो देखना जरा लिख रखा है आइडेंट कल है है ना ये सारी बातें ठीक है देखो यह वाला एग्जांपल पे गौर फरमाना यह वाला एग्जांपल से स् एक माइ t स् ए g बरा 1 यह दोनों फंक्शन नॉट आइडेंट फंक्शन है गाइस ये दोनों फंक्शन आइडेंट नहीं है क्योंकि से स् एक माइन स् एक् की वैल्यू वन तो होती है बट कब जब एक ऑड मल्टीपल ऑफ पा बाटू ना हो इसकी डोमेन में ना ऑड मल्टीपल ऑफ पा बाटू है नहीं ठीक है अगर मैं ग्राफ बनाऊ ना बेटा अगर मैं तुम्ह बोलू कि f एक बराबर या फिर y बराबर से स्क्वा एक्स माइनस 10 स्क्वा एक्स अगर मैं तुम्हें बोलू कि इसका ग्राफ बनाओ तुम तो इसका ग्राफ कैसा बनेगा y बराबर वन लाइन तो बनेगी वा बराबर वन लाइन बनेगी बट उस लाइन में गड्ढे बड़े होंगे ठीक है कहां कहां प भैया पाई बाटू प कि पाई बाटू के ऊपर हमें होलो सर्कल मिलेगा पाई बाटू पर कोई वैल्यू नहीं होगी पाई बाटू प ये चीज डिफाइंड ही नहीं होगी 3 पाई बाटू प हमें है ना तो बीच-बीच में से गड्डे मिलेंगे ये एगजैक्टली y बराबर वन लाइन है नहीं है ना तो दिस इज नॉट आइडेंट कल विद y = 1 लाइन यह जो फंक्शन है दिस इज नॉट आइडेंट कल विद y = 1 लाइन ठीक है क्लियर है आइडेंट कल फंक्शन की डेफिनेशन क्लियर है कि फंक्शन सेम होना चाहिए हुबहू होना चाहिए तब जाके आईडेंटिकल बोलेंगे ठीक है जैसे कि भाई fxxx.pro [संगीत] 1 अपन कोसेक x g एक बराब 1 अपन कोसेक x ये दोनों फंक्शन आईडेंटिकल नहीं है यह दोनों फंक्शन नॉट आईडेंटिकल फंक्शन है यह दोनों आईडेंटिकल नहीं है क्यों नहीं आईडेंटिकल क्योंकि भैया इसकी डोमेन तो हर रियल नंबर है सा में x की वैल्यू कोई भी रियल नंबर रख सकता हूं कोक x में ना रख सकते कोई भी रियल नंबर ठीक है कोसेक x में कोई भी रियल नंबर थोड़ रख सकते समझो बात को कोक x में यहां x की वैल्यू नहीं रख सकता कोसेक डिफाइंड ही नहीं है बट सर सा एक तो बोलते हैं 1 अपन कोसेक एक् के इक्वल क्या वो बात गलत कही गई है क्या हमारे बड़े बुजुर्गों ने जो 10थ क्लास में हमने पढ़ाया था कि सा एक बराबर 1 अपन कोसेक एक्स क्या यह गलत है सर क्या यह गलत है सर मैंने कहा हां है गलत अरे यह क्या बात बोल द है ना अभी मैं 10 की एनसीआरटी लाके दिखाता हूं आपको साव अप कोसेक एक्स लिख दिया यह गलत है ये कैसी बात कर दी अभी 10थ की एनसीआरटी में अपन बोलते हैं मैं कहा ये गलत है गलत क्यों है यहां पे एक चीज और मेंशन करो यहां पे एक चीज और मेंशन करो वेयर x नॉट इक्वल टू n पा यहां पे x n पा नहीं रख सकते हो क्योंकि सा 0 को 1 / cc0 नहीं लिख सकते सा पा को 1 / cc5 नहीं लिख सकते तो sinx-cosx नॉट आइडेंट कल फंक्शन परितोष जल्दी से निकलो यहां से कब तक चलेगा यह सेशन जल्दी से निकलो कल आना देख लेना पता चल जाएगा तुम्हें कल तक है ना पहली फुर्सत में निकल लो यहां से हां कल तक तुम्हें अपना पता चल जाएगा कब तक चला था सेशन अभी मत पूछो भविष्यवाणी मत करो तुम ओके चलिए आगे बढ़ते हैं और आगे अपन और क्वेश्चन करते हैं तो अब यहां पर ट्रांसफॉर्मेशन ऑफ ग्राफ के बारे में हम लोग चर्चा करने वाले हैं ग्राफ के साथ अपन जो खेला खेलते हैं ट्रांसफॉर्मेशन करते हैं उसके बारे में हम लोग यहां पर डिटेल में चर्चा करेंगे ठीक है तो ट्रांसफॉर्मेशन ऑफ ग्राफ लेट्स टॉक अबाउट दिस तो अगर हमारे पास में फंक्शन f एक का ग्राफ गिवन है माइनस टाइम्स f का ग्राफ अगर बनाना है ठीक है अगर अपने को माइनस टाइम्स f का ग्राफ बनाना है तो फंक्शन f एक का ग्राफ बनाओ उसकी मिरर इमेज निकाल लो वो हमारे पास माइ f का ग्राफ बन जाएगा ठीक है कि अगर फंक्शन f ग्राफ इस तरीके से है ना अगर मैं fx2 ् 1 का ग्राफ इ दिस इज द ग्राफ ऑफ y = x स् तो y बरा - x स् का ग्राफ ऐसा हो जाएगा ठीक इसका उल्टा समझते हो यह बात है दिस इज द ग्राफ ऑफ y बरा - x स् मुझे नहीं लगता इसमें किसी को भी कोई प्रॉब्लम होगी हां जी तो जब भी - f का ग्राफ बनाना हो सिंपली इनवर्ट कर दो है ना सिंपली उस ग्राफ को उल्टा कर दो यह अपने पास में मिल जाएंगे ठीक है फिर अगर मुझे f ऑफ - x का ग्राफ बनाना है तो ड्रॉ द ग्राफ ऑफ fxxx.pro सेकंड f एक बराबर माइन ए एक थर्ड एफ एक बराबर एल ए ऑफ माइन एक्स क्या इन तीनों का ग्राफ बनाना आता है तुम लोग को हा जी गाइस य तीनों का ग्राफ बनाना आपको आ जाएगा हां हां अरे डेविल गेमर बेटा कुछ कर लो जिंदगी में क्यों टाइम पास कर रहे हो यहां पर भाई साहब क्या पागल जनता है यार कई बार तो लगता है इनके इनको पढ़ा रहे हैं अपन हां जब से सेशन चालू हुआ है बिल्कुल एक लड़की के पीछे ही पढ़ा है बिल्कुल हेलो प्लीज रिप्लाई दे दो प्लीज रिप्लाई दे दो पीछे पड़ा है एक लड़की के पता नहीं कौन क्या ऐसे लोगों के लिए हम लोग भैया पानी सेव कर रहे हैं यह कर रहे हैं है ना पढ़ा रहे हैं यहां पर सेशंस ले रहे हैं ऐसे लोगों के लिए व्हाई आर वी डूइंग दिस बिल्कुल स्टॉकर बना बैठा है यह लड़का बिल्कुल स्टॉकर चलो ठीक है यार नहीं रिप्लाई दे रही वो तुम्हें नहीं रिप्लाई दे रही है उसका उसकी तरफ से कोई रिस्पांस नहीं आ रहा है तो थोड़ी तो अपनी सेल्फ रिस्पेक्ट इज्जत कि चलो मैं चलता हूं चलो छोड़ो इन सब चीजों को लगे पड़ा है कंसिस्टेंटली मैं देखे जा रहा हूं इतनी देर से उसका मैसेज आए जा रहा है आए जा रहा है अलग-अलग तरीके से कि बस इस पर रिप्लाई दे दे काश मैं ये लिख दूं इसके ऊपर रिप्लाई दे दे ये लिख देता हूं इसके ऊपर रिप्लाई दे दे लगे पड़ा है तब से बिल्कुल एकदम कंसिस्टेंटली लगे पड़ा है भाई जा भी नहीं रहा ऐसे नहीं कि चलो चले जाता हूं यार रिस्पांस आ नहीं रहा है पढ़ने का वैसे ही इच्छा नहीं है हमारी पढ़ने तो हम वैसे ही नहीं आए थे है ना तो निकल लेता हूं मैं इग्नोर ही कर रहा था यार लोग बोल रहे इग्नोर मैं इतनी देर से मैं इग्नोर ही करे जा रहा था मैंने कहा चलो इग्नोर करते हैं इग्नोर करते हैं इग्नोर करते हैं भाई वो बंदा रुक ही नहीं रहा है पिछले एक घंटे से एक ही लड़की का नाम लिखे जा रहा है उसके पीछे पड़े जा रहा है रुकी रहा बंदा मैं क्या करूं इसमें मेरी क्या गलती हां तो थोड़ा तो मैं इस चीज को एड्रेस करूंगा ना मैंने कहा हो क्या रहा है यह चल क्या रहा है भाई हां मेरे ख्याल से चार घंटे और सेशन चलता यह सेशन खत्म हो जाता वह लड़का नहीं रुकता चलो तो f एक बराब एन एक f एक बराब माइन एक और l माइ एक इन तीनों का हमें यहां पर ग्राफ बनाना है ठीक है तो इन तीनों को अपने को ग्राफ बनाना है अगर मैं l x का ग्राफ बनाऊंगा तो l x का ग्राफ इस तरीके से बनेगा दिस इज द ग्राफ ऑफ y बराबर l x ठीक है ये हमारे पास l ए एक का ग्राफ बनेगा अगर y बरा - l एक का ग्राफ बनाना है ना गाइस तो रिफ्लेक्ट कर दो किसके अबाउट x एक्सिस के अबाउट मतलब जो वैल्यूज पॉजिटिव थी वो नेगेटिव बन गई जो नेगेटिव थी वो पॉजिटिव बन गई दिस इज द ग्राफ ऑफ y = - l x है ना यह जो ग्राफ है यह अपने पास ग्राफ आएगा y बरा - ए एक समझ रहे हो बात को हां जी ठीक है ड यू गेट इट ड यू गेट इट डू यू गेट इट हां जी भाई जो वैल्यू यहां पे समझो टू पे आ रही थी है ना समझो पूरा रिफ्लेक्ट हो जाएगा ग्राफ ओके तो अगर ये l ए एक का ग्राफ है तो यह वाला ग्राफ अपने पास में माइनस ए का ग्राफ बनने वाला है है ना रिफ्लेक्ट हो जाएगा अबाउट द एक्स एक्सिस और अगर मेरे को l ऑफ - x का ग्राफ बनाना है ना गाइस तो देखो यहां पे x नेगेटिव होना चाहिए ए एक् के अंदर एकस पॉजिटिव होता है बट यहां पर क्या एक्स नेगेटिव होगा है ना एक्स नेगेटिव होगा ठीक है ठीक ठीक तो माइनस ए ऑफ माइन एक् का ग्राफ अपने पास में ए बनने वाला है दिस इज द ग्राफ ऑफ ए ऑफ माइन एक यह हमारे पास ग्राफ रहेगा वा बराबर ए ए ऑफ माइन एक्स ठीक है यह अपने पास में इसका ग्राफ रहने वाला है क्या समझ रहे हैं बातो को हां जी गाइस ओके ठीक है तो रिफ्लेक्ट हो रहा है अबाउट व्हाट रिफ्लेक्ट अपन y एक्सिस का अबाउट करेंगे इस बार है ना तो जस्ट सिंपली रिफ्लेक्ट बाय y एक्सिस दिस इज द ग्राफ ऑफ y = l ए ऑफ - x ये हमारे पास इसका ग्राफ रहेगा y एक्सिस के अबाउट रिफ्लेक्ट करेंगे ये सिर्फ पॉजिटिव x के लिए था तो ये सिर्फ और सिर्फ नेगेटिव x के लिए इसका ग्राफ पाया जाएगा ठीक है तो इसके अंदर मिरर इमेज ले रहे हैं अबाउट y एक्सिस तो यही चीज है कि अगर मेरे को f - x का ग्राफ बनाना होता होता है तो fx8 आई होप दिस इज़ क्लियर टू ऑल ऑफ़ यू ठीक है फिर अगर मॉड्यूस का ग्राफ बनाना है कि मॉड्यूस ऑफ़ fxxx.pro मतलब जो नेगेटिव का पोर्शन है उसको पॉजिटिव बना दो क्योंकि यही काम मॉड्यूस करता है ठीक है जैसे कि अगर मैं ग्राफ बनाऊं y = x स् + 3x + 2 तो ये एक पैराबोला है जिसके रूट्स -2 और -1 है तो यह पैराबोला एसासा बनेगा एक्स एक्सिस को -2 और -1 के ऊपर कट करता हुआ एसासा पैराबोला बनने वाला है बट अगर मेरे को इसके मॉड्यूस का ग्राफ बनाना है तो क्या होगा कि जो नेगेटिव वाला पोर्शन है वो पॉजिटिव में रिफ्लेक्ट हो जाएगा नेगेटिव वाला पोर्शन है वो पॉजिटिव में रिफ्लेक्ट हो जाएगा ठीक है दिस इज द ग्राफ ऑफ ठीक है यह नेगेटिव वाला पोर्शन हट जाएगा तो यह हमारे पास ग्राफ आ गया मॉड्यूस इसके मॉड्यूस का ठीक है तो सिंपल सा काम जो मॉडल करता है वही काम यहां पर कर रहे हैं तो ये मॉड्यूस ऑफ f एक है फिर तुम देखना ए ऑफ मॉड्यूस ऑफ x ठीक है ओके ओके तो फिर अपन ग्राफ देख रहे हैं f ऑफ मॉड्यूस ऑफ x का जिसके अंदर हमें fx3 और इक्वल ट 0 देन रिफ्लेक्ट दिस पोर्शन विद रिस्पेक्ट टू y एक्सिस y एक्सिस के अबाउट रिफ्लेक्ट करना है ठीक है तो ओनली हम ग्राफ बना रहे हैं यहां पे x ग्रेटर और इक्वल टू 0 का फिर रिफ्लेक्ट कर दे रहे हैं अबाउट द y एक्सिस देखिएगा एक मस्त एग्जांपल इसके ऊपर कि अगर हमें ग्राफ ड्रॉ करना हो वा बराबर मॉड्यूस ऑफ e की पावर एक्स एंड वा बराबर e की पावर मडल ऑफ एक्स ठीक है इन दोनों का ग्राफ देखते हैं इन दोनों के ग्राफ के अंदर फर्क देखना क्या फर्क पड़ रहा है ओके मॉड्यूस ऑफ e की पावर एक्स का ग्राफ पहले तुम e रे टू पावर एकस का ग्राफ बनाओ कि दिस इज द ग्राफ ऑफ वा इ e रेट पावर एक्स ये हमारे पास e रे पावर एक् का ग्राफ रहता है मॉडल क्या काम करता है मॉड्यूस क्या काम करता है कि जो नेगेटिव का पोर्शन है उसको पॉजिटिव बना दे e की पावर x ऑलरेडी हमेशा पॉजिटिव है e रेट पावर x ऑलरेडी ग्रेटर दन 0 है यहां पे नेगेटिव में तो जा ही नहीं रहा ना ग्राफ नेगेटिव में ग्राफ जाता तो उसको पॉजिटिव कर देता अब नेगेटिव में कुछ है ही नहीं तो यही मॉड्यूस ऑफ e की पावर x का ग्राफ है सेम है भैया मॉड्यूस ऑफ e की पावर x लिखो कि e की पावर x लिखो बात बराबर है क्योंकि अगर मॉड्यूस के अंदर कोई चीज पॉजिटिव है तो वो एज इट इज वैसे ही बाहर निकलने वाली है ठीक है e की पावर x के बाहर मॉड्यूस लगाने का कोई सेंस बनता भी नहीं है मॉड्यूस ऑफ e रे टू पावर x इ e रेट पावर x ओनली बट इधर देखना तुम e रे टू पावर मॉड्यूस ऑफ x का हमें यहां पर ग्राफ बनाने का है तो इधर क्या करने का है इधर क्या करने का है कॉमन सेंस लगाना जरा कि ग्राफ जो होगा व सिमेटिक होगा वा एक्सिस के अबाउट x बरा 2 प जो वैल्यू आएगी वही x बरा -2 प आएगी तो इसके अंदर तरीका ये रहता है कि सिर्फ तु पॉजिटिव एक्स एक्सिस की तरफ वाला ग्राफ बनाओ कि e रेट पावर x का ग्राफ बनाया जीरो पर ये वैल्यू वन आती है एक बराबर 0 प इसकी वैल्यू बनाती है फिर बाकी ऐसे इंक्रीजिंग रहता है दिस इज द ग्राफ ऑफ बराबर e की पावर एक सेम ग्राफ को इधर छाप दो नेगेटिव एक्स एक्सिस के साइड में ग्राफ बनाने का ही नहीं है ठीक है इस साइड में ग्राफ बनाएंगे नहीं सिर्फ पॉजिटिव एक्स एक्सिस की तरफ ग्राफ बनाओ जो इधर ग्राफ है वही सेम टू सेम इधर छाप दो क्यों छापना है सेम टू सेम क्योंकि इट मेक्स सेंस क्या सेंस बनाता है कि जो वैल्यू टू पे आ रही है ना यहां पे x = 2 पे e की पावर 2 मिल रही है x = -2 पे भी सेम ही वैल्यू मिलने वाली है तो यह सिमेट्री रहेगा अबाउट y एक्सिस है ना सिमेट्री अबाउट y एक्सिस तो कभी भी अगर f ऑफ मस ऑफ x का ग्राफ होगा ना f ऑफ मडल ऑफ x का ग्राफ वह सिमेटिक होगा हमेशा y एक्सिस के अबाउट क्या क्लियर है इतनी बात है f ऑफ मॉड्यूस ऑफ x का ग्राफ हमेशा सिमेटिक होगा वा एक्सिस के अबाउट फिर अगर f एक प् a का ग्राफ बनाना है हां ये ट्रांसफॉर्मेशन ऑफ ग्राफ चल रहा है ठीक है अगर हमें f एक प् ए का ग्राफ बनाना है तो फंक्शन को a यूनिट से ऊपर या नीचे कर दो है ना जैसे x स् का ग्राफ पता है x स् + 2 का ग्राफ बनाना है तो ू यूनिट से ऊपर फेंक दो x स् -2 का ग्राफ बनाना है ू यूनिट से नीचे ले जाओ तो अगर किसी फंक्शन में कोई कांस्टेंट ऐड या सबट क्ट कर दूंगा तो फंक्शन का ग्राफ का यू नो मैग्निटिया उसके ना रेंज में परिवर्तन आएगा बट अगर fxxx.pro एक् स्क्वायर का ग्राफ पता है तुम्हें क्या f एक बराबर x प् 2 के स्क्वायर का ग्राफ सोच सकते हो और क्या f एक बराबर एक्स माइन 2 के होल स्क्वायर का ग्राफ सोच सकते हो है ना f एक बराब एक्स स् का ग्राफ पता है तुम्हें इन दोनों के ग्राफ के बारे में सोचने का है ठीक है सोच लेंगे भाई तो f एक बराब एक् स् का ग्राफ ऐसा रहता है ना यार दिस इज द ग्राफ ऑफ f एक बराब एक्स स् यावा बराब एक्स स् राइट है ना यह हमारे पास y = x स् का ग्राफ रहता है अगर y = x + 2 के स् का ग्राफ बनाना है तो x = -2 पे ये चीजें रो हो रही है x = -2 पे ये चीजें रो हो रही है ठीक है तो इसका जो ग्राफ है ना वह टू यूनिट से लेफ्ट में शिफ्ट हो जाएगा दिस इज द ग्राफ ऑफ y बरा x + 2 स् देखो भाई x = -2 पे यह चीज रो हो रही है x स् एकस बराबर 0 पर जी हो रहा था अब ये नट पर जीरो हुई तो x प् 2 का ग्राफ क्या हुआ ू यूनिट से लेफ्ट में शिफ्ट हो गया वही पर f बरा एक्स माइ 2 के स्क्वा का ग्राफ बनाना है तो राइट में शिफ्ट हो जाएगा ट यूनिट से राइट में शिफ्ट हो जाएगा ू यूनिट से ठीक है तो ऐसे अपन ग्राफ बनाएंगे f बराब एक्स माइन 2 के स्क्वा का समझे बात को दिस इज द ग्राफ ऑफ वा बराबर x-2 स् तो x की जगह पर x+ a या फिर x - a लिखते हैं तो ग्राफ लेफ्ट राइट में शिफ्ट हो रेला है इधर समझ में आई बातें ग्राफ या तो लेफ्ट या फिर राइट में यहां पे शिफ्ट हो रहा है तो यह चीजें चल रही है इधर तो ये यही बात है कि अगर f x + a का ग्राफ बनाना है हमें तो ड्रॉ द एनटायर ग्राफ ऑफ f एकन बाय कीपिंग कोऑर्डिनेट एक्सेस फिक्स शिफ्ट द ग्राफ बाय a यूनिट लेफ्टवर्ड अलोंग द एक् एक्सिस इफ a ग्रेटर दन 0 है ना जैसे x+ 2 का ग्राफ बनाना है तो लेफ्टवर्ड शिफ्ट करना है अब इसको रटने नहीं है ना कि लेफ्टवर्ड शिफ्ट करना है राइट वर्ड शिफ्ट करना है वो अपने को ऑब्जर्व होगा वो अपने को अपने आप दिखाई देगा कि किधर को शिफ्ट करने का है वो अपने आप दिखाई देगा ठीक है ऐसा नहीं कि रटना है अपने को यहां प अपना आप दिख रहा है ना मैंने कुछ रटवा थोड़ना सिंपल ऑब्जर्वेशन थी किय x बराबर 0 प जीरो हो रहा था तो अब ये माइट प जीरो हो रहा है यह वाला पॉइंट जो है वो इधर शिफ्ट हो गया तो ग्राफ क्या हो रहा है ना लेफ्टवर्ड शिफ्ट हो रहा है पूरा पूरा है ना तो रटने का नहीं है समझने का है जैसे कि अगर मैं तुम से पूछू y बराबर ए एफ एकस प् 2 का ग्राफ बनाओ तो तुम समझ रहे हो ना कि ए एक का ग्राफ हमें पता है यह ए एक का ग्राफ है दिस इज द ग्राफ ऑफ y बराबर ए एक यहां पे जीरो प ये माइनस इनफिनिटी जा रहा है l एक् प् 2 का ग्राफ बनाऊंगा तो यह -2 तक x जा सकता है l ऑफ एक प् 2 का ग्राफ ऐसा बनेगा गा है ना यह जहां पर ए के ग्राफ में x = 1 पे 0 आ रहा था x = 1 पे 0 अब यहां पे -1 पे y की वैल्यू ़ आएगी है ना इसका ग्राफ ऐसा बन जाएगा दिस इज़ द ग्राफ ऑफ़ y = ln1 + 2 टू यूनिट से लेफ्ट में शिफ्ट हुआ है हां जी और वहीं पे मैं ln1 - 2 का ग्राफ बोलता तो टू यूनिट से राइट में शिफ्ट हो जाता सिंपल है आसान है तो यह थोड़ा शिफ्टिंग और ट्रांसफॉर्मेशन ऑफ़ ग्राफ के बेसिक बेसिक से कांसेप्ट है आई होप ऑल ऑफ यू कैन अंडरस्टैंड ऑल दीज कॉन्सेप्ट्स है ना चलिए कुछ क्वेश्चन करें क्या जैसे कि जैसे कि जैसे की जैसे की यह वाला क्वेश्चन देख लो मॉड्यूस ऑफ वा बराबर दिस इसके बारे में भी अपन चर्चा कर सकते हैं देखो एक फाइनल मैं आपको ट्रांसफॉर्मेशन आपको बता देता हूं मॉड्यूस ऑफ y बराबर f एक वाला ग्राफ कभी भी अगर ऐसा है कि मॉड्यूस ऑफ y = f एक का हमें ग्राफ बनाना है मॉड्यूस ऑफ y बराबर f एक का अगर अपने को ग्राफ बनाने का है गाइस मॉड्यूस ऑफ y बराबर f एक का तो अगर इसका ग्राफ बनाना है सबसे पहले तो f एक पॉजिटिव होना चाहिए सबसे पहले तो ये जो फंक्शन f एक है वो ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 होना चाहिए क्योंकि लेफ्ट हैंड साइड में मॉडल है किसी चीज का तो मॉड्यूस किसी भी चीज का होता है वो ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 ही होने वाला है पहली चीज तो कि f एक यहां पर ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 होना चाहिए मतलब अगर ये कभी भी नेगेटिव है तो उस वाले पोर्शन को मार दो डिलीट है ना तो वही पहला स्टेप है रिमूव ऑल दोज ब्रांचेस व्हिच आर बिलो दी एक्स एक्सिस वो सारी ब्रांचेस रिमूव कर दो जो कि x एक्सिस के नीचे हैं फिर रिफ्लेक्ट ऑल दोज ब्रांचेस विद रिस्पेक्ट टू x एक्सिस व्हिच आर अबोव दी एक्स एक्सिस है ना क्योंकि अब यहां पे जैसे सपोज मॉड्यूस ऑफ y की वैल्यू टू आ गई तो तुम समझो ना y की वैल्यू प्लस -2 आएगी ठीक है तो जो अबोव दी x एक्सिस है उसको रिफ्लेक्ट कर देने का है जैसे कि अगर मुझे ग्राफ बनाना है कि मॉड्यूस ऑफ y बराबर सा एक का ग्राफ बनाना है ठीक है इसका ग्राफ बनाना है सबसे पहले तो वो सारी ब्रांचेस रिमूव कर दूंगा जहां जहां पर सा एक नेगेटिव होएगा मैंने का ओ सा एक सुनना जरा उसने कहा बोलो तो मैंने कहा मैंने क्या कहा सा एक को मैंने कहा भाई तू मॉड्यूस ऑफ वा के इक्वल है तो उसने कहा हां तो तो मैंने कहा भैया तू मॉड्यूस ऑफ y के इक्वल है तो तू नेगेटिव नहीं हो सकता सा x यहां पर नेगेटिव नहीं हो सकता है मतलब यह जो एकस एक्सिस के नीचे वाला पोर्शन है ये हट जाएगा पहले तो सा x की कराई कटिंग है ना ट्रिम किया सा x को यह पाई ये 2 पाई यह 3 पाई है ना ग्रूमिंग करी पहले सा x की ना ग्रूमिंग ठीक है ग्रूमिंग सेशन चला सा x का मैंने कहा कि भैया जो जो नीचे पोर्शन है एक्स एक्सिस के वो हटा दे क्यों क्योंकि मॉड्यूस ऑफ y के इक्वल है तो एक्स एक्सिस के नीचे वाला जितना भी पोर्शन है वह सारा हटा दिया हमने कि यह वाला पोर्शन डिलीट सता इसके इक्वल यह वाला पोर्शन डिलीट समझ बात को तो एक्स एक्सिस के नीचे का पोर्शन अपन ने हटा दिया तो सिर्फ य ऊपर ऊपर का पोर्शन बचा ठीक है तो पहला स्टेप तो यही है ठीक है एक्स एक्सिस के नीचे का पोर्शन हटाया तो सिर्फ ऊपर वाला पोर्शन बचा तो मडल ऑफ बराब सा एक् ठीक है फिर बाद में जो ऊपर वाला पोशन है उसको नीचे रिफ्लेक्ट कर देंगे ऐसा सा ग्राफ बन जाएगा ऐसा सा ग्राफ बन जाएगा ठीक है ऐसा ग्रफ बनेगा ये 4 पाई से 5 पाई ठीक है इस तरीके का अपने पास में ग्राफ बनता हुआ दिखाई देगा मडल ऑफ वा बराब सा एक यहां परवा नेगेटिव हो सकता है बेटा देखो वा नेगेटिव हो भी रहा है वा नेगेटिव हो रहा है है ना जब सा एक्व होगा तो मडल ऑफ बराबर ववा की वैल्यू प्व माइव दोनों आएगी यह फंक्शन नहीं है यह फंक्शन नहीं रिलेशन है बेटा ठीक है यह रिलेशन है नहीं ऑफकोर्स नॉट कोई बोल रहा है कि y बराबर मॉड्यूस ऑफ fxxx.pro ये जीरो हो गया य पाई हो गया य पाई हो गया य 3 पाई हो गया एंड सो ऑन यह माइनस पाई हो गया य माइनस पाई हो गया एंड सो न तो यहवा बराबर मॉड्यूस ऑफ सा का ग्राफ ऐसा सा रहेगा बट य वाला ग्राफ जो है व मडल ऑफ बराब सा है और सची बताऊ तो मैं है ना सची बताऊ तो कोई पूछता भी नहीं है यह वाला यह पर्टिकुलर कोई पूछता भी नहीं है बस बताने को बता दिया तुम्हे ठीक है चलिए आगे बढ़ा जाए अगर हमें ए टाइम्स f का ग्राफ बनाना है और f a का ग्राफ बनाना है देखो अगर मैंने थ्री टाइम्स sinx-cosx -3 तक भी जा सकती है ना हाइट बढ़ जाएगी इसकी ऊंचाइयां गहराइयां चेंज हो जाएगी समझ रहे हो बात को कि मैक्सिमम वैल्यू अब पा / 2 के ऊपर 5/2 पे मैक्सिमम वैल्यू 3 तक जा रही है और यहां पे ये -3 तक भी जा रही है तो इसकी जो रेंज है वो -3 से 3 के बीच में हो जाएगी है ना ठीक है ठीक है तो इसकी रेंज जो है वो -3 से 3 के बीच में होने वाली है पर अगर मैं तुम्हें sin3x की रेंज पूछूं या सा ऑफ x / 2 की रेंज पूछूं इसकी जो रेंज होगी ना बेटा रेंज सेम है सा 3x को तुम सा थीटा की नजरों से देखो सा थीटा -1 सेव के बीच में ही रहता है तो रेंज में कोई परिवर्तन नहीं आता है तो अगर f एक का ग्राफ बनाना है f का ग्राफ बनाना है तो ग्राफ शिंक या फिर फैल जाता है है ना या तो सकड़ जाता है या फैल जाता है ग्राफ ऐसा एक्स एक्सिस के अबाउट चेंजेज आएंगे ग्राफ में ठीक है एक्स एक्सिस के अबाउट यहां पर चेंजेज आने वाला है ग्राफ के अंदर ये वाला चीज होगा ओके हां जी जी तो sinx-cosx जीरो हुआ बट सा 3x का ग्राफ कैसा होगा ना यह पा बा 3 पर ही जीरो हो जाएगा पहली बार कंटक्ट हो जाएगा इसका ग्राफ है ना कि इसने भैया पहले ही य अचीव कर लिया भैया पा बा 3 प ही जीरो हो गया पाई बा स पर तो मैक्सिमम वैल्यू अचीव कर चुका है यह पा बा 3 पर जीरो हो गया पा बा 3 पर तो दूसरी बार जीरो हो जाएगा समझ बात को और पाई पय तीसरी बार जीरो हो जाएगा पा बा 3 पर जीरो हुआ फिर 2 पाई बा 3 पर जीरो हुआ और फिर पाई पर तो ये तीसरी बार जीरो हो जाएगा कांट्रैक्ट हो गया ग्राफ ठीक है समझ रहे हो बात को कि पहली बार य जीरो होगा पाई बा 3 प x की जगह पा बा 3 रखा तो साइन के अंदर पाई बन रहा है जीरो हो जाएगा फिर दूसरी बार ये जीरो हुआ 2 पा बा 3 प x की जगह 2/3 रखा तो सान ऑफ 2 पा अगेन जीरो हो गया तो इस तरीके से कांट्रैक्ट होता हु चला जाएगा और वहीं पर सा ऑफ x बा 2 का ग्राफ बनाऊ तो वो एक्सपेंड हो जाएगा ठीक है सा ऑफ x बा 2 का ग्राफ एक्सपेंड होने वाला है तो ये कुछ बातें रही ठीक है जे बात है गाइस ये वाला क्वेश्चन ट्राई कीजिएगा होमवर्क क्वेश्चन है तुम्हारा ग्राफिकल बेस सवाल है e रे टू द पावर माइनस टाइम्स मॉड्यूस ऑफ x चलो ये क्वेश्चन कर ही लेते हैं यार या तो है ना अगर मैं ग्राफ बनाऊ ना e रे टू द पावर माइनस टाइम्स मॉड्यूस ऑफ x ग्राफ बनाना चाह रहे हैं e रे टू द पावर माइनस टाइम्स मॉड्यूस तो मैं फिर से ये बोल रहा हूं कि बस राइट हैंड साइड का ग्राफ बनाओ पॉजिटिव एक्स एक्सिस की तरफ वाला बस पॉजिटिव एक्स एक्सिस की तरफ वाला ग्राफ बनाओ सेम टू सेम ग्राफ नेगेटिव एक्स एक्सिस की तरफ भी छाप देना ठीक है सो सिंपली ड्र द ग्राफ टुवर्ड्स द पॉजिटिव एक्स एक्सिस तो पॉजिटिव एक्स एक्सिस की तरफ का अगर अपन ग्राफ बनाए गाइस ठीक है हा जी एक बराबर 0 प इसकी वैल्यू वन है जीरो पर इसकी वैल्यू वन है एक को जैसे जैसे बढ़ाओ ग यह वैल्यू क होती चली जाएगी x को इनफिनिटी लेके जाओगे ये वैल्यू रो को चली जाएगी तो ऐसा इसका ग्राफ बन रहा है पॉजिटिव x एक्सिस की तरफ सेम टू सेम ग्राफ यहां पे भी बनेगा तो दिस इज द ग्राफ ऑफ y = e की पावर - मडल ऑफ x रा k -1 दे रखा है ठीक है तो अगर हमें जीरो सॉल्यूशंस चाहिए वन सॉल्यूशन चाहिए टू सॉल्यूशन चाहिए क्या-क्या वैल्यूज आने वाली है इसके बारे में हमें यहां पे बताना है ओके चलो यार 1015 मिनट का और देख लेते हैं क्योंकि आगे अभी बहुत सारी चीजें बाकी है अब मैं बता दूं आखरी हमारा जो पोर्शन बाकी है ना ओके 10 मिनट के ब्रेक के बाद में अपन वापस चालू करेंगे क्योंकि बहुत सारी चीजें मुझे यहां पर बतानी है पीरियोडिक फंक्शन ऑड इवन फंक्शन टाइप्स ऑफ फंक्शंस एक मेजर पोर्शन हमारा बाकी है व्हिच इज टाइप्स ऑफ फंक्शंस जहां पर मेनी वन वन वन ऑन टू और इनटू इसके बारे में अपन लोग चर्चा करेंगे तो मैं भी थोड़ा सा ब्रेक ले लेता हूं ताकि मेरे भी गले को थोड़ा आराम मिले और आप भी कुछ खाना पीना चाहते हो तो खा पी के आओ 15 मिनट ब्रेक इस क्वेश्चन के ऊपर अपन एक छोटा सा ब्रेक लेते हैं और यहीं पे ही ट्रांसफॉर्मेशन ऑफ ग्राफ हमारा खत्म हो जाएगा और फिर अपन टाइप्स ऑफ फंक्शन की शुरुआत करेंगे इसी सवाल के बाद ठीक है तो मिलते हैं 15 मिनट बाद में गाइस और एगजैक्टली 15 मिनट बाद में मैं यहां पर मिल जाऊंगा आपको तो सी यू ऑल इन 15 मिनट्स ओके बाय बाय ब ब ब ब ब ब ब ब ब ब ब हां जी हेलो एवरीवन क्या हाल चाल कैसे हैं आप सब लोग तो वेलकम बैक वेलकम बैक वेलकम बैक फिर से अपन शुरुआत करते हैं फिर अपन आगे पढ़ते हैं हां जी और बताओ तो अभी तक की सारी चीजें आई होप आपको समझ में आ रही है अभी तक तो कोई दिक्कत नहीं है राइट अब आगे इंपॉर्टेंट चीज थोड़ी स्टार्ट होगी जस्ट अ सेकंड गाइ हम ओके ब्रेक डन क्या किया आप लोगों ने ब्रेक में समझ नहीं आया य क्वेश्चन ठीक है तो ग्राफिकल बेस्ड क्वेश्चन था ग्राफिकली अपने को इस क्वेश्चन को सॉल्व करना था लेट्स डू लेट्स ट्राई दिस वन तो देखो यार हमने e रेट पावर माइन का ग्राफ बना लिया ठीक है e रे टू पावर माइनस मडल ऑफ एक्स इ के माइव इस इक्वेशन को हमने को सॉल्व करना है ठीक है तो अगर मुझे एटली वन सॉल्यूशन चाहिए ना तो एटली वन सॉल्यूशन इसके साथ मिलेगा वा बराबर व लाइन के साथ ठीक है यह जोवा बराबर न लाइन है ना वा बराबर व लाइन के साथ एटली एक ही सॉल्यूशन मिलेगा तो जब के माइव की वैल्यू वन है तो एटली वन सॉल्यूशन मिलेगा तो के बराबर 2 पे ओनली वन सॉल्यूशन ठीक है और अगर इस के माइव की वैल्यू जीरो से वन के बीच में है तो हमें दो सॉल्यूशन मिलेगा है ना के माइव की वैल्यू अगर जीरो से व के बीच में रहेगा तो यह ग्राफ जो है व दो जगह पर कट करता हुआ पाया जाएगा ठीक है तो अपने पास में दो सॉल्यूशन मिलने वाला है तो यहां पर बेसिकली के की वैल्यू अगर जीरो से टू के बीच में है तो हमारे सामने यहां पर दो सॉल्यूशन मिलने वाला है ठीक है क्लियर है इतनी बात अभी फिर बाद में नो सॉल्यूशन हमें कब मिलेगा नो सॉल्यूशन तब मिलेगा जब इस के -1 की वैल्यू जीरो या जीरो से छोटी हो या फिर वन या वन से बड़ी हो है ना फॉर जीरो सॉल्यूशन फॉर जीरो सॉल्यूशन के -1 के माइव इज इदर लेसन और इक्वल टू 0 और के -1 ग्रेटर दन 1 तो इसके ऊपर हमें नो सॉल्यूशन मिल ने वाला है ठीक है तो मतलब के लेसन और इक्वल टूव और के ग्रेटर दन ू तो फॉर जीरो सॉल्यूशन यह वाली वैल्यू रहेगी फॉर वन सॉल्यूशन के बराबर ू के बराबर ू पवन सॉल्यूशन और अगर टू सॉल्यूशन चाहिए तो के माइव की वैल्यू जीरो सेव के बीच में होनी चाहिए तोब हमें दो सॉल्यूशन यहां पर मिल रहे होंगे तो वैसे य बहुत आसान सा सवाल है ओके ग्राफिकल बेस्ड क्वेश्चन है चलिए अब आगे बात करते क्लासिफिकेशन ऑफ फंक्शन के बारे में ठीक है तो सबसे पहले जो क्लासिफिकेशन है व है वन वन और मेनी वन का वन वन फंक्शन को अपन इंजेक्टिव फंक्शन भी बोलते हैं है ना इंजेक्टिव याद रखना वन वन मतलब की वन टू वन फंक्शन है ना वन वन मतलब की वन टू वन फंक्शन ऐसा नहीं हो रहा है कि देखो मेनी वन क्या होता है इस टाइप के फंक्शन वन वन कहलाएंगे और इस टाइप के फंक्शन मेनी वन कहलाएंगे ये कैसे फंक्शन हो गए मेनी टू वन है दिस इज मेनी टू वन फंक्शन जहां पे अपने को कन्वर्जन होता हुआ दिखाई दे रहा है ना हां पे ऐसा हो रहा है कि भैया अलग-अलग इनपुट्स पे अपने को सेम आउटपुट मिल रहा है अलग-अलग इनपुट्स पे अगर हमें सेम आउटपुट मिल रहा है तो उसको अपन मेन टू वन फंक्शंस कहेंगे ठीक है और अदर वाइज वो फंक्शन क्या वन वन कहलाएगा है ना तो अदर वाइज वो फंक्शन वन वन कहलाने वाला है तो वनव को इंजेक्टिव मैपिंग भी बोलते हैं ऐसे ध्यान रखना ये नाम ध्यान रखना है इंजेक्टिव वन वन और इंजेक्टिव नाम ध्यान रखना है क्योंकि हो सकता है कि क्वेश्चन के अंदर वन वन की जगह इंजेक्टिव मैपिंग यूज कर रहे हो वर्ड ठीक है क्लियर है ऐसे ध्यान रखो कि भाई इंजेक्शन कैसे लगता है वन टू वन लगता है ना एक इंसान दूसरे इंसान केसे इंजेक्शन लगा रहा हो वन टू वन इंजेक्टिव मैपिंग ठीक है बहुत सिली चीज है बट याद रखने के लिए ठीक है तो इंजेक्टिव मैपिंग को वन वन फंक्शन बोलते हैं मेनी वन फंक्शन को अपन नॉट इंजेक्टिव फंक्शन बोलते हैं ना तो वन वन है कि मेनी वन है इसके लिए अपन हॉरिजॉन्टल लाइन टेस्ट परफॉर्म करते हैं ठीक है तो इफ ए लाइन पैरेलल टू एक्स एक्सिस कट द ग्राफ ऑफ द फं एट मोस्ट एट वन पॉइंट देन द फंक्शन इ वनव इसको अपन बोलते हैं हॉरिजॉन्टल लाइन टेस्ट है ना इसको अपन क्या लते हॉरिजॉन्टल लाइन टेस्ट ठीक है जैसे वा बराबर एक्स स्क्वा वाला ग्राफ हो गया यह मेनी टू वन फंक्शन है की जितने भी क्वाड्रेटिक हो गए जितने भी क्वाड्रेटिक पैराबोलिक ग्राफ है जितने भी पैराबोलिक ग्राफ है वो मेनी टू वन फंक्शन ही होने वाला है क्योंकि वहां पर तुम लाइन ड्र करोगे तो हॉरिजॉन्टल लाइन अपने पास में दो जगह पर कट करते हुए पाई जाएगी ना एक देखो यहां पर कट कर रही है एक पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन यह रहेगा तो बेसिकली हो क्या रहा है कि दो एक्स की वैल्यू के लिए यहां पर x1 है कुछ यहां पर x2 है दो एक्स की वैल्यू के लिए y की एक ही वैल्यू आ रही है तो इसलिए इसको मेनी टू वन फंक्शन कहा जाता है कि x1 और x2 दो अलग-अलग एक्स की वैल्यू के लिए वा की अगर हमारे पास में ए की वैल्यू मिले तो इसलिए इसको टूव फंक्शन कहेंगे तो जितने भी पैराबोलिक फंक्शन है जितने भी इवन डिग्री पॉलिनो मियल है इवन डिग्री पॉलिनो मियल जितने भी है वो सारे मेनी टू वन फंक्शन होंगे क्योंकि उनका ग्राफ पैराबोलिक होगा इसका मतलब यह नहीं कि ऑ डिग्री पॉलीनोट वन वन ही होंगे वो डिपेंड करता है ऑ डिग्री पॉलीनोट में अपने को उसकी स्लोप चेक करना पड़ेगा dydekop.org बारे में अपन लोग पता लगा रहे होते हैं तो इफ एनी लाइन पैरेलल टू x एक्सिस कट्स द ग्राफ ऑफ़ द फंक्शन एटलीस्ट एट टू पॉइंट्स देन f इज़ मेनी वन ओके इफ कंटीन्यूअस फंक्शन है ना फंक्शन कंटीन्यूअस है और वह हमेशा इंक्रीजिंग या हमेशा डिक्रीजिंग है तो इसको वन वन कहा जाएगा कंटीन्यूअस फंक्शन अगर हमेशा इंक्रीजिंग या हमेशा डिक्रीजिंग है तो भी उस फंक्शन को अपन वनव फंक्शन बोलते हैं ऑल लीनियर फंक्शंस आर वव है ना कि fxxx.pro ये एक वन टू वन फंक्शन है गाइ क्योंकि एक स्ट्रेट लाइन है इंक्लाइंड एट सम एंगल कांस्टेंट फंक्शन के बारे में बात नहीं कर रहे कांस्टेंट फंक्शन मेनी टू वन फंक्शन होंगे क्योंकि कांस्टेंट फंक्शन में अलग-अलग इनपुट पे सेम ही आउटपुट मिल रहे हैं तो वो मेनी टू वन फंक्शन है बट जितनी भी हमारे पास में स्ट्रेट लाइन होगी जैसे y = 2x + 3 y = x y = x - 4 जितनी भी स्ट्रेट लाइन है वो एक तरीके से वन वन फंक्शन है बेसिकली एक स्ट्रेट लाइन है हॉरिजॉन्टल लाइन ड्रा करोगे तो एक ही जगह पे कट करेगी मैक्स टू मैक्स तो हमेशा इंक्रीजिंग या हमेशा डिक्रीजिंग होती है ना स्ट्रेट लाइन तो ये चीजें हैं ठीक है ऑल ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन इन देयर डोमेन आर मेनी वन जितने भी ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शंस होते हैं वो रिपीटिटिवली फंक्शन है तो वो हॉरिजॉन्टल लाइन टेस्ट को फेल करेंगे एक बार नहीं दो बार नहीं हजार बार बहुत बार हॉरिजॉन्टल लाइन टेस्ट को फेल कर रहे होंगे तो जितने भी अपने पास में ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन है वो मेनी टू वन फंक्शंस होंगे ऑल इवन डिग्री पॉलिनो मिल्स आर मेनी वन समझते हैं इन बात को लीनियर बाय लीनियर विद नो कॉमन फैक्टर इज वव अगर लीनियर बाय लीनियर है जिसका कोई कॉमन फैक्टर नहीं है वह हमेशा वनव फंक्शन होने वाला है है ना जैसे f बराबर x - 3 अप x - 4 ये कैसा फंक्शन है वनव फंक्शन है लीनियर अपॉन लीनियर है अगर अपन इसका ग्राफ बनाया तो ग्राफ भी बड़ी इजली बना सकते है देखो इसका ग्राफ इस तरीके से बनेगा गाइस इसका ग्राफ ऐसा बनेगा कि फो की फोर के ऊपर ये डिफाइंड नहीं है ना तो x बराबर 4 लाइन बनाना x बराबर 4 लाइन बनाना 4 के ऊपर डिफाइंड है नहीं ठीक है ्र पे ये चीज जीरो हो जा रही है फोर के लेफ्ट में ये माइनस इनफिनिटी को जाएगा फोर के राइट में ये प्लस इनफिनिटी को चल जाने वाला है है ना फोर के लेफ्ट में ये माइनस इनफिनिटी फोर के राइट में प्लस इनफिनिटी x को इनफिनिटी भेजोगे तो ये चीज वन को अप्रोच करेगी x इनफिनिटी पे ये y बरा 1 लाइन को अप्रोच करेगी इनफिनिटी बाय इनफिनिटी टाइप ऑफ लिमिट देखना जरा कि लिमिट x अप्रोचिंग टुवर्ड्स इनफिनिटी x - 3 / x - 4 तो x ऊपर से और नीचे से कॉमन लोगे तो लिमिट x अप्रोचिंग टुवर्ड्स इनफिनिटी ये बन रहा है 1 - 3 / x / 1 - 4 / x x इनफिनिटी को जाएगा तो ये चीज देखो रो को चली जाएगी और ये भी चीज देखो रो को चली जाएगी मतलब ये चीज कहां को वन को अप्रोच करेगी ठीक है तो फोर के राइट में ये देखो प्लस इनफिनिटी से ग्राफ होते हुए आ रहा है और वन को अप्रोच कर रहा है फोर के लेफ्ट में ये माइनस इनफिनिटी से ग्राफ होते हुए ये भी वन को अप्रोच कर रहा है तो ये इसका ग्राफ रहने वाला है गाइस जो कि अपने को दिख रहा है कैसा फंक्शन है वन टू वन फंक्शन अपने पास में फील आ रही है पूरी पूरी कि y बराबर 1 इसकी रेंज में नहीं है इसकी रेंज क्या है y कैन बी ऑल रियल नंबर एक्सेप्ट वन वो हमें पता है कि वन के अलावा जितने भी अरे बताओ भाई कमेंट सेक्शन में जल्दी से क्या इसके ग्राफ की फील आ रही है y = x - 3 अप x - 4 इसका ग्राफ बनाना हो ऐसा सा ग्राफ रहेगा इसका हां जी कि y = 1 पे y बराव अचीव नहीं कर पाएगा क्योंकि जब x इनफिनिटी जाएगा तब ये जाके वन को अप्रोच करेगा x इनफिनिटी जा रहा है देखो वन को अप्रोच कर रहा है x माइ इनफिनिटी जा रहा है देखो वन को अप्रोच कर रहा है फोर के ऊपर ये चीज डिफाइंड नहीं है फोर के ऊपर ये चीज डिफाइन नहीं है फोर के राइट में प्लस इनफिनिटी से आएगा तो फोर के लेफ्ट में माइनस इनफिनिटी से ग्राफ होता हुआ आएगा और देख पा रहे हैं ये वन टू वन फंक्शन है ठीक है मेनी वन फंक्शन नहीं है ये ओके क्वाड्रेटिक बाय क्वाड्रेटिक विद नो कॉमन फैक्टर इज मेनी वन क्वाड्रेटिक बाय क्वाड्रेटिक हो गए जिसके अगर कॉमन फैक्टर नहीं है तो डायरेक्टली उसके लिए बता देना कि वो फंक्शन मेनी वन फंक्शन हो वाला हां जी आर वी क्लियर और आर वी क्लियर ओके कुछ एग्जांपल और देख लेते हैं वनव फंक्शन के जैसे f एक बराब एक क प्व यह एक वनव फंक्शन है क्यूबिक है भले है ना बट यह वाला क्यूबिक वन वन है बेटा अब क्यूबिक में भी अलग अलग होता है जैसे ना अगर क्यूबिक इस टाइप का है f एक बराब एकस क क्यूबिक में अगर f एक बराबर एक् क्यू है ठीक है तो ये वन वन फ फक्शन है क्योंकि यहां पे अगर तुम इसका f ' एक चेक करोगे तो f ' एक की वैल्यू 3x स् व्हिच इज ऑलवेज ग्रेटर देन और इक्वल टू 0 है ना क्योंकि x स् हमेशा ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 रहता है तो ये हमेशा इंक्रीजिंग फंक्शन है और fx3 का अगर ग्राफ बनाऊं तो y = x क का ग्राफ ऐसा ऐसा बनता है दिस इज द ग्राफ ऑफ y = x क तो हॉरिजॉन्टल लाइन टेस्ट में आप देख पा रहे हो कि हॉरिजॉन्टल लाइन टेस्ट के अंदर ये बिल्कुल अच्छे से पास हो रहा है तो दिस इज अ वनव फंक्शन बट वही अगर मैं क्यूबिक एसीसी दे रहा हूं ना तुम्हें देखो अगर y बराबर x-1 न x-2 इन x-3 यह भी तो एक क्यूबिक है बेटा बट इस क्यूबिक में क्या हो रहा है ना कि तीन रूट्स है रूट्स है अलग-अलग है ना इसका ग्राफ कुछ इस प्रकार से रहेगा ना इस वाले क्यूबिक का ग्राफ ऐसा सा ग्राफ रहेगा इसका एक्स एक्सिस को वन पर भी कट कर रही है टू प भी कट कर रही है थ प भी कट कर रही है तीन जगह प एक्स एक्सिस को कट करते हुए दिखाई दे रही है ठीक है तो इसका d वा बा d एक जो है वो हमेशा पॉजिटिव नहीं है बा dx1 है तो ऑड डिग्री पॉलीनोट मेनी वन होंगे कि वनव होंगे वो उसका dydekop.org कि भैया उसके रूट्स है जैसे इसमें पता चल रहा है साफसाफ की रूट्स है तो मैंने d बा d एक निकालने की मेहनत करी नहीं ठीक है मेरे को पता था इसके रूट्स है तो भैया इतनी इनी जगह पर कट करेगा घूमना पड़ेगा ग्राफ को तो यह मेनी टू वन फंक्शन है मेनी वन फंक्शन है और यह वाला क्या वन वन मतलब इंजेक्टिव ठीक है क्लियर है इतनी बातें हां जी फिर बाद में बात करते हैं ऑन टू और इनटू फंक्शन के लिए ऑन टू फंक्शन को अपन बोलते हैं सर्जे क्टिन सर्जे क्टिंग नटू फंक्शन वो फंक्शंस होते हैं जिसमें कोडोमेन और रेंज आपस में सेम आ जाए देखो को डोमेन क्या होती है कि जैसे एक फंक्शन है सेट ए से सेट बी के बीच में डिफाइंड है तो एंटायस सेट बी को को डोमेन कहा जाता है ठीक है और रेंज में कौन-कौन से एलिमेंट्स आ गए जो कि अचीव हो पा रहे हैं है ना जैसे सपोज ये कोई एलिमेंट था ये कोई एलिमेंट था ये कोई एलिमेंट था तीन एलिमेंट थे तो अभी तो अपने को दिखाई दे रहा है कि रेंज में भी यही तीन एलिमेंट को डोमेन में भी यही तीन एलिमेंट बट यहां पे एक और सपोज एमेंट आ जाता है तो समझ में आ रही है कोडोमेन में एलिमेंट ज्यादा है रेंज के अंदर कम है तो बेसिकली अगर कोडोमेन और रेंज आपस में सेम ना आए तो उस फंक्शन को अपन इनटू बोलते हैं और अगर कोडोमेन और रेंज आपस में सेम आ जाए तो ऐसे फंक्शन को अपन ऑन टू फंक्शन बोलते हैं कैसे फंक्शन को जिसके अंदर कोडोमेन और रेंज सेम आ जाए अब कोडोमेन कैसे पता चलेगा सर रेंज तो चलो हमें निकालने का तरीका पता है कोडोमेन कैसे निकाला जाएगा को डोमेन सवाल में दिया जाता है को डोमेन हमेशा क्वेश्चन के अंदर दिया जाता है कि दिस इज द कोडोमेन ऑफ दिस फंक्शन फॉर एन एग्जांपल जैसे की देखें तो इसको ऑन टू बोला जाएगा अदर वाइज कोडोमेन और रेंज आपस में इक्वल नहीं है तो उनको इनटू फंक्शन कहते हैं है ना कि अगर मैंने एक फंक्शन को इस तरीके से डिफाइन कर रखा है ना कि एफ इ फ्रॉम ऑल रियल नंबर टू ऑल रियल नंबर f एक बराब सा एक् तो अभी यह फंक्शन कैसा है अभी ये मेन वन भी है मेनी वन है एंड इनटू है क्योंकि इसकी रेंज तो -1 से व के बीच में रहती है मेनी वन समझ में आ रहा है क्योंकि रिपीटिटिवली यह होती है को डोमेन कि कहां से कहां तक डिफाइन कर रखा है तो दिस इज द को डोमेन तो कोडोमेन इसकी ऑल रियल नंबर है है ना मतलब इसके अरमान थे ऑल रियल नंबर अचीव करने के बट ऑल रियल नंबर अचीव नहीं कर पा रहा है सपोज है ना नहीं कर पा रहा sinx-cosx डोमेन यह रही को डोमेन भाई है ना तो को डोमेन इसकी -1 से वन के बीच में और रेंज भी हमें पता है इसकी माइनस व से वन के बीच में ही होंगे तो जितने अरमान है उतनी ही उसकी रेंज है है ना को डोमेन ऐसा समझो कि जैसे तुम्हें बोला जाए कि तुम जिंदगी में क्या-क्या कर सकते हो है ना तुम भाई इंजीनियरिंग कर सकते हो तुम आईडीएन बन सकते हो तुम ये कर सकते हो तुम वो कर सकते हो है ना बहुत सारी चीजें तुम अचीव कर सकते हो तो बेसिकली जो जो अची वेबल है तुम्हारी जिंदगी में है ना को डोमेन वो चीज हो गई और जितना तुम अचीव करते हो वह रेंज है तुम्हारी है ना कि जो जो अची वेबल है जिंदगी में वह सारी को डोमेन होगी और जितना तुम एक्चुअली अचीव करते हो वह तुम्हारी रेंज हो गई तो अगर कोडोमेन और रेंज आपस में इक्वल आ गए तब तो उसको बोला जाएगा सर रिक्टिग सर लग जाएगा सब्जेक्टिव फंक्शन बन जाओगे तुम ऑन टू फंक्शन बन जाओगे तुम ठीक है तो जैसे ये सक्टिम्स्ट है ना दिस इज सर्जे क्टिन ठीक है यह भैया सर्जे क्टिंग फंक्शन हो गया इसके आगे सर लग चुका है क्यों क्योंकि इसकी कोडोमेन भी -1 से व के बीच में रेंज भी इसमें -1 से व के बीच में यहां पे नहीं है यहां पे कोडोमेन ऑल रियल नंबर थी बट रेंज इसकी -1 से व के बीच में ही है कोडोमेन है ना बहुत बड़ी रेंज बड़ी छोटी तो इसलिए इसको अपन सर्जे क्टिंग फंक्शन नहीं कहेंगे ठीक है तो बेसिकली रेंज के ऊपर यह बातें चल रही होती है है ना तो सर्जे क्टिन मतलब ऑन टू फंक्शन यह वाला फंक्शन ऑन टू है है ये अभी भी मेनी वन मेनी वन है क्योंकि रिपीटिटिवली को थोड़ा और बदल दूं कि f इज डिफाइंड फ्रॉम - पा बा 2 टू पा बा 2 ू -1 टू 1 f = सा x इसी फंक्शन की डेफिनेशन को थोड़ा और बदल दिया गया तो अब ये वनव भी हो गया एंड ऑन टू भी हो गया वनव भी हो गया एंड ऑन टू भी हो गया क्योंकि सिर्फ - पा बाट से पा बाट के बीच में अगर मैं सा x का ग्राफ देखूं तो वनव ग्राफ हो गया ना रिपीट होना स्टार्ट ही नहीं हुआ वनव ग्राफ हो गया ये यह पा बाट ये - पा बाट ठीक है स नाउ दिस ग्राफ इज व टूव ठीक है तो ये वनव भी हो गया और ऑन टू तो है ही क्योंकि को डोमेन ये रही रेंज भी इस कितनी है तो वनव एंड नन टू फंक्शन को अपन बाइजेस्ट फंक्शन का नाम देते हैं क्या नाम देते हैं बाइजेस्ट फंक्शन का कि जो फंक्शन वन वन भी हो जाए और ऑन टू भी हो जाए ऐसे फंक्शन को अपन बाइजेस्ट फंक्शन बोलते हैं ठीक क्लियर इतनी बात है कुछ बातें ध्यान रखना अ पॉलिनो मियल ऑफ डिग्री इवन डिफाइंड फ्रॉम ऑल रियल नंबर टू ऑल रियल नंबर विल ऑलवेज बी इनटू क्योंकि इवन डिग्री पॉलिनो मियल कभी भी ऑल रियल नंबर अचीव ही नहीं कर पाएगा इवन डिग्री पॉलिनो मियल जितने भी होंगे जैसे क्वाड्रेटिक हो गया क्वाड्रेटिक का कुछ मिनिमम वैल्यू होगी कुछ मैक्सिमम वैल्यू इंफिनिटी तक जा रही है सपोज तो मिनिमम वैल्यू तो फिक्स है ना पैराबोलिक है ना पैराबोलिक ठीक है ऐसा तो है नहीं कि वो माइनस इंफिनिटी तक चला जाए तो इवन डिग्री पॉलीनोट जितने भी होते हैं वो हमेशा इंटू होते हैं और ऑड डिग्री पॉलीनोट जितने भी होते हैं वो हमेशा कैसे होते हैं ऑन टू फंक्शंस होते हैं क्योंकि ऑड डिग्री पॉलीनोट माइनस इनफिनिटी से प्लस इनफिनिटी तक की सारी वैल्यूज कवर कर लेते हैं तो फंक्शन को अपन चार पार्ट में क्लासिफाई करते हैं वनव नटू जिसको कि बाइजेस्ट फंक्शन बोलते हैं वव इनटू हो सकता है मेनी वन ऑन टू हो सकता है मेनी वन इनटू हो सकता है है ना तो फंक्शन में यहां पर यह चार टाइप्स निकल के आते हैं कि इन चारों में से कुछ भी हो सकता है ठीक है तो अब कुछ क्वेश्चंस करते हैं गाइस है ना जैसे यह वाला फंक्शन देखना ये वाला फंक्शन हमें देखना है किस टाइप का है ओके तो फंक्शन डिफाइन फ्रॉम ऑल रियल नंबर टू माइव बाटू टूव बाटू है ना पवा क दिस इज पवा क तो सबसे पहले तो देखो लीनियर अपॉन क्वाड्रेटिक लिखा है है ना लीनियर अपन क्वाड्रेटिक दे रखा है तो होगा तो यह मेनी वन डायरेक्टली बोल सकते हो कि य मेनी वन फंक्शन होने वाला है ठीक है डायरेक्टली कह सकते हो किय मेनिम फंक्शन होगा मेनी वन फंक्शन होगा लीनियर अपॉन क्वाड्रेटिक दे रखा है दिस इज गोइंग टू बी अ मेनी वन ठीक है है ना क्लियर इतनी बात है तो मेनी वन तो होगा ही होगा ये फंक्शन नहीं तो इसका dydekop.org बट मैं बोल रहा हूं कि अगर कभी भी जैसे लीनियर अपॉन क्वाड्रेटिक हो जाए क्वाड्रेटिक अपॉन क्वाड्रेटिक हो जाए तो इस टाइप के फंक्शन जो होता है वो मेनी वन होता है वो पॉइंट लिख रखा है है ना कि मेनी वन होने वाला है रही बात ऑन टू या इनटू की तो ये रही इसकी को डोमेन क्या इसकी रेंज भी यही है क्या इसकी रेंज भी यही है तो इसकी रेंज हमने निकाली थी आज ही के सेशन में कि इसकी जो रेंज आती है ना बेटा हां जी इसकी जो रेंज रहती है रेंज इसकी - 1/2 से 1/2 के बीच में रहती है आज ही के सेशन में हमने यह वाला क्वेश्चन किया था ठीक है तो रेंज -1 बाट से 1/2 के बीच में रहने वाली है तो यह रही रेंज ये रही कोडोमेन मैच कर गया मैच कर गया तो यह फंक्शन ऑन टू फंक्शन हो गया तो कैसा है मेनी वन एंड ऑन टू मेनी वन मतलब नॉट इंजेक्टिव मेनी वन का मतलब नॉट इंजेक्टिव ऑन टू का मतलब सर्जे क्टिस जेक्ट बट नॉट इंजेक्टिव सजे क्टिन इंजेक्टिव ऐसा साय फंक्शन र वाला है ठीक है क्लियर इतनी बातें हां जी जैसे यह वाला क्वेश्चन देखो लेट अ फंक्शन डिफाइन फ्रॉम ए0 टू इनफिनिटी टू 0 टू इनफिनिटी f एक बराबर 1 माइव बा एक्स का होल मॉड्यूस तो फंक्शन एफ के बारे में बताना है किय कैसा फंक्शन है इंजेक्टिव है नहीं है मेनी वन है ऑन टू है तो कई बार कई बार अपन फंक्शन को अप्रोच करते हैं क्वेश्चन को अप्रोच कर करते ग्राफिकल मेथड से ग्राफ बना के भी इस क्वेश्चन को अप्रोच किया जा सकता है है ना # पवा क अगेन यह सारे सवाल कैसे हैं प्रीवियस ईयर के क्वेश्चन है ठीक है तो चाहो तो इस क्वेश्चन को ग्राफ से अप्रोच कर सकते हो ठीक है चाहो इस क्वेशन को डायरेक्टली अप्रोच कर सकते हो डायरेक्टली कॉमन सेंस के थ्रू ग्राफ से अगर डायरेक्टली अप्रोच करना है तो डायरेक्टली ऐसे देख सकते हो ना कि मॉड्यूस है भाई मॉडल है मॉड्यूस है तो ये मेनी वन होगा जरूर ऐसा होने वाला है कि एक् की दो वैल्यू परवा की वल मिल जा रही है जरूर ऐसा होगा कहीं ना कहीं तो ऐसा जरूर होगा ठीक है अगर सपोज इसकी वैल्यू टू के इक्वल ही कर देते हो तो उसमें भी समझ में आ रहा है कि 1 माइव बा एक्स येट कब कब आ सकता है 1 माइव बा एक् प्लस माइनस 2 के इक्वल हो गया तो / एक्सव प्स माइट बराबर 1 बा एक्स तो मतलब यह आ रहा है 3 पे और वन पे ठीक है 1 प् 2 3 3 मतलब x बराबर 1/3 और x बराबर माइव हा तो वही बात है कि देखो एक की वैल्यू माइव रख देता हूं तो भी इसकी वैल्यू ट आ जा रही है है ना ए ऑफ माइव इसकी वैल्यू भी ू ही आ रही है f ऑफव बा 3 इसकी वैल्यू भी ू ही आ रही है तो दिख रहा हैवन फंक्शन है कि दो अलग अलग एक्स की वैल्यू पर अच्छा बट एक जीरो से इनफिनिटी के बीच में है है ना तो एक काम कर इसको मेनी वन है कि वनव है यह जज करने के लिए बेस्ट तरीका यही रहेगा कि ग्राफ बना लो ग्राफ बना लो ग्राफ से अपने को डायरेक्टली पता चलेगा कि सबसे पहले तुम y = 1 बा x का ग्राफ बनाओ दिस इज द ग्राफ ऑफ y = 1 बा x गाइस फॉर x ग्रेटर 0 ओनली है ना सिर्फ x ग्रेटर 0 के लिए बनाना है तो यह हमारे पास रहता है ग्राफ y = 1 बा x का मानते इस बात को कि दिस इज द ग्राफ ऑफ y = 1 बा एक x ग्र 0 के लिए ठीक है एक रेक्ट हाइपरबोला बनता है फिर मेरे को -1 बा एक् का ग्राफ बनाना है तो इसी ग्राफ को इनवर्ट कर दो रिवर्स कर दो तो दिस इज द ग्राफ ऑफ वा बराबर माइव बा एक्स ठीक है फिर इसमें वन ऐड करना है इसमें न ऐड करूंगा तो न यूनिट से ऊपर खच खिसक जाएगा तो वन ऐड करते य अपने पास ग्राफ बनेगा न यूनिट से ऊपर खिसका दो अब ये जीरो को अप्रोच कर रहाय वन को अप्रोच करेगा तो दिस इज द ग्राफ ऑफ वा बराव माइव बा एक्स इनी बातें भी क्लियर है है ना ये हमारे पास 1-1 बा एक का ग्राफ हो गया फिर अब इसके बाहर मॉड्यूस लगाना है इसके बाहर मॉड्यूस लगा दोगे तो जो यह ग्राफ नेगेटिव में जा रहा है यह पॉजिटिव वाला तो पॉजिटिव में रहेगा पॉजिटिव वाला तो पॉजिटिव में रहेगा और ये जो नेगेटिव में जा रहा है यह पॉजिटिव में शिफ्ट हो जाएगा तो ये जो लास्ट में ये जो ग्राफ आया अपने पास ये हरे वाला ग्राफ ठीक है दिस इज द ग्राफ ऑफ y बराबर मॉड्यूस ऑफव माइन बा एक् हां जी गाइस एक बराबर व पर ये चीज जीरो हो रही है एक्स बराबर व पर ये चीज जीरो हो रही है बाकी ऐसा ग्राफ रहेगा हमेशा पॉजिटिव है तो इसकी रेंज देखी जाए तो रेंज जीरो से इनफिनिटी तक है मिनिमम वैल्यू जीरो आ रही है मैक्सिमम वैल्यू इनफिनिटी तक जा रही है तो इसकी रेंज यही आ रहा है जीरो टू इनफिनिटी रेंज फ्रॉम क्लोज बकेट जीरो टू ओपन ब्रैकेट इनफिनिटी ठीक है अच्छा यहां पर क्लोज ब्रैकेट है ना सवाल के अंदर य क् ब्रैकेट है तो रेंज ये है को डोमेन भी यही है रेंज और को डोमेन सेम हो गई तो ये फंक्शन ऑन टू तो हो ही जाएगा ऑन टू फंक्शन ये बन जाएगा अब क्या वन वन है कि मेनी वन है यह वाला फंक्शन मेनी वन हो जाएगा क्योंकि अगर तुम हॉरिजॉन्टल लाइन ड्र करते हो तो दिख रहा है हॉरिजॉन्टल लाइन दो जगह पर कट कर रहा है हेंस दिस इज मेनी वन फंक्शन तो हॉरिजॉन्टल लाइन टेस्ट से अपने को आईडिया लग जाता है कि फंक्शन किस टाइप का है तो मेन वन एंड ऑन टू ठीक है नॉट इंजेक्टिव बट इट इज सर्जे नॉट इंजेक्टिव बट इट इ रिजेक्ट बताओ डू यू एग्री क्लियर है यह बातें सबको एग्री करते हुए इस बात से जैसे इस टाइप का सवाल हो गया # पवा क अगेन यह भी प्रीवियस ईयर सवाल है एक फंक्शन है 0 टू 3 से 1 टू 29 एक क्यूबिक हमारे सामने दे रखा है क्यूबिक हमारे पास सामने दे रखा है तो अपने को सबसे पहले एड एक् निकाल लो इस क्यूबिक का ग्राफ बनाएंगे अपन तो f एक् की वैल्यू निकालू सो f ' x की वैल्यू आ गई 6 6x स् - 30x + 36 व्हिच इज 6 टाइम्स x स् - 5x + 6 ये अपने पास में f ' एक नजर आ रहा है ठीक है दिस इज आवर f ' एक जिसके दो फैक्टर्स हो गए एक फैक्टर है x - 2 का दूसरा फैक्टर है x - 3 का तो मेरे को एक ओवरऑल इसका ग्राफ समझ में आ रहा है कि इसका ग्राफ क्यूबिक का इस तरीके से बनेगा कि टू तक तो इंक्रीजिंग टू से थ्री के बीच में डिक्रीजिंग फिर वापस इंक्रीजिंग ऐसा सा इसका ऑन एन एवरेज ग्राफ बनने वाला है ये x बरा 2 तक तो इंक्रीजिंग है टू से थ के बीच में ये डिक्रीजिंग है क्योंकि x की वैल्यू टू से 3 रखोगे तो f ' एक की वैल्यू नेगेटिव आ रही है है ना ये f ' एक की वैल्यू है f ' एक की वैल्यू नेगेटिव आ रही है टू से थ के बीच में फिर थ्री के बाद में वापस इंक्रीज होना चालू हो गया तो एक मैंने इसका रफ ग्राफ बना दिया है ना कि मैंने कहा कि ये देखो अगर कभी भी क्यूबिक फंक्शन का ग्राफ बनाना हो तो कोफिया सबसे पहले तो कोफिरेक्स है तो वो भैया माइनस इनफिनिटी से लेके प्लस इनफिनिटी के बीच तक का ग्राफ रहेगा है ना शुरुआत जमीन से करेगा है ना पाताल से करेगा खत्म आसमान में होगा है ना तो पाताल से आसमान तक का सफर रहेगा इसका वहीं प अगर कफिट ऑफ x कब नेगेटिव हो जाता है तो आसमान से पाताल तक का सफर रहने वाला है उसका ठीक है तो ये दो बातें अपने को ध्यान में रखनी है है ना तो कफिट ऑफ x क पॉजिटिव है और वैसे अपने पास में एड एक् सेही पता चल रहा है कि टू से पहले पहले तक तो इंक्रीजिंग है टू से थ के बीच में डिक्रीजिंग है फिर वापस ये इंक्रीजिंग होना चालू हो गया ओके क्लियर अब देखो जरा अब हमें इसका ग्राफ बनाना है सिर्फ और सिर्फ जीरो से थ के बीच में x बरा 0 से x बरा 3 तो टू के लेफ्ट में कहीं पर x 0 भी हो रहा है ू के लेफ्ट में कहीं पर x जीरो भी हो रहा है और जीरो से लेकर थ के बीच में बस इतना सा ग्राफ चाहिए अपने को सिर्फ इतने से ग्राफ के बाद अपने को बताने का है सिर्फ इतने से ग्राफ के बारे में बताना है ठीक है तो इतने से ग्राफ के अंदर हमें पता चल रहा है कि अगर मैं हॉरिजॉन्टल लाइन बनाता हूं तो दो जगह पर कट कर रही है मतलब मेनी वन तो होने वाला है हॉरिजॉन्टल लाइन टेस्ट को फेल कर गया दो जगह पर कट कर रही है मतलब ये मेनी वन तो होने वाला है ठीक है अब ऑन टू होगा कि इनटू होगा वो इसकी रेंज के ऊपर डिपेंड करेगा इसकी रेंज कहां से कहां तक है तो मिनिमम वैल्यू क्या है तो मिनिमम वैल्यू या तो जीरो पे भी आ सकती है थ्र पे भी आ सकती है हमको नहीं पता किधर आएगी क्योंकि सिर्फ जीरो से थ के बीच में चाहिए जीरो के ऊपर इसकी वैल्यू देखूं तो वन आ रही है x बरा 0 प वैल्यू वन है 3 पे वैल्यू बताना जरा कितनी आ रही है ्र के ऊपर वैल्यू बताना जरा कितनी आ रही है 3 के ऊपर कुछ कुछ आएगी 2 टाइम्स 3 क चलो छोड़ो कैलकुलेट करना मिनिमम वैल्यू मेरे को वन दिखाई दे रही है मैंने कहा देखो यह रही मिनिमम वैल्यू और मैक्सिमम वैल्यू टू के ऊपर आएगी तो f2 की वैल्यू निकाल लो तो 2 टाइम्स 2 क्यू मतलब 16 - 15 टास 2 स् 15 4 प् 36 72 प्व तो मैक्सिमम वैल्यू देखे तो शायद 29 ही आ रही देखो जरा के ऊपर वैल्यू 29 आ रही है इसकी रेंज दिखाई दे रही है रेंज न से 29 के बीच में है इसकी रेंज फ्रॉम 1 टू 29 तो ग्राफिकल एक अच्छी अंडरस्टैंडिंग होनी चाहिए तो डोमेन रेंज के सवाल बहुत इजी हो जाते है तो से 29 के बीच में रेंज है वही कोडोमेन है तो कैसा हो गया ऑन टू फंक्शन हो चुका है ऑन टू एंड मेनी वन ठीक है नटू बट नॉट वनव है ना ऑप्शन बी हमारा सही जवाब ऑन टू है बट वनव नहीं है ओके क्लियर है क्लियर है क्लियर है हां जी जैसे कि ये वाला सवाल देखो मस्त क्वेश्चन है बहुत इंपोर्टेंट सवाल है 2023 में ये पूछा गया सवाल है लेट f2r बी अ फंक्शन सच दैट fxxx.pro कि ये फंक्शन कैसा है मेनी वन है वनव है ऑन टू है कि इनटू है ठीक है और वो भी इंटरवल में कि माइनस इनफिनिटी से माइनस व वन से इनफिनिटी में मेनी वन है इस इंटरवल में ऐसा है उस इंटरवल में ऐसा है तो ओवरऑल नहीं डिपेंड करना है है ना इसके अंदर भी इंटरवल के अंदर ही हमें बताने का है तो इसके अंदर ग्राफ ही बनाना पड़ेगा इस सवाल को करने का बेस्ट तरीका है कि हमें ग्राफ से ही जाना पड़ेगा ग्राफिकल अंडरस्टैंडिंग अपनी बनानी पड़ेगी ग्राफ से कैसे जाया जाए बड़ा आसान है ग्राफ इज जस्ट अबाउट ऑब्जर्वेशन ग्राफ या तो किसी के लिए बहुत बत आसान गेम है या फिर ग्राफ किसी के लिए बहुत मुश्किल गेम है डिपेंड करता है कि आपकी ऑब्जर्वेशन स्किल्स कैसी है और ऑब्जर्वेशन स्किल्स कैसे बढ़ाई जाए फोकस करके है ना फोकस करोगे बढ़ जाएगी ऑब्जर्वेशन स्किल तो न्यूमरेशन में ये चीज लिखा है x + 1 काल स्क्वा डिनॉमिनेटर में लिखा है x स् + 1 राइट न्यूमरेशन में यही चीज लिखा है x + 1 काल स्क्वा डिनॉमिनेटर में यही चीज लिखा है x स् + 1 तो -1 पे मेरे को पता है ये जीरो आ रही है -1 पे ये चीज जीरो आ रही है ठीक है ग्राफ बनाना है मुझे fx2 + 2x + 1 / x स् + 1 इसका ग्राफ बनाना है ठीक है अगर x को इनफिनिटी भेजूं x को इनफिनिटी भेजूं या x को माइनस इनफिनिटी भेजूं तो ये चीज वन को अप्रोच कर रही है यहां पे मैं यूज कर रहा हूं इनफिनिटी बाय इनफिनिटी लिमिट कि x को अगर इनफिनिटी भेजूंगा x स् को कॉमन लिया न्यूमरेशन से डिनॉमिनेटर से ये चीज 1 अपव ठीक है वन को अप्रोच करेगी है ना माइनस इनफिनिटी और इनफिनिटी पे दोनों पे वन पे वन को अप्रोच करेगी ओके और इसका जो ग्राफ रहने वाला है ठीक है मैक्सिमम और मिनिमम वैल्यू किधर रहेगी इसकी तो इसको ऐसा ऑब्जर्व किया जा सकता है इसके बारे में ऐसा सोचा जा सकता है कि 1 + 2x / 1+ x स् इस टाइप का इसका ग्राफ रहेगा है ना कि 1+ x स् वाले पार्ट को अलग ले जाओ तो 1+ x स् / 1+ x स् तो व हो जाएगा तो ये 1 प् 2 अपव प् एक् स् है ना ऐसा लिखा हैय दिख रहा है ना तुमको ऐसे स्प्लिट कर दिया मैंने स्प्लिट कर दिया या फिर इसी को मैं ऐसा लिख सकता हूं 1 प् 2 अपव बा एकस प् x ऐसा लिखा जा सकता है तो इधर भी कुछ आईडिया लग रहा है मैक्सिमम मिनिमम वैल्यू पर कि एकस बराबर 1 प यह जो चीज है वह हमेशा ू या टू से बड़ी है तो एकस बराबर 1 के ऊपर यह मिनिमम मैक्सिमम वैल्यू दे रहा होगा x बराव प x बराव के ऊपर इसकी वैल्यू कितनी आ रही है डिनॉमिनेटर भी टू बन जा रहा है 2 अप 2 1 हो जा रहा है 1 प्व इतना ू हो जा रहा है तो मैक्सिमम वैल्यू इसकी ू तक जा रही है कहां पे x बराबर 1 पे x बराबर 1 के ऊपर अपने पास मैक्सिमम वैल्यू टू तक जा रही है है ना x बरा -1 प तो ये चीज जीरो हो जा रही है x को -1 रखते ही तो ये चीज जीरो हो जाएगी ओके और x इनफिनिटी पर जाएगा तो ये चीज y को अप्रोच होगी वन को अप्रोच होगी है ना तो इसका ग्राफ और एक्स बराबर जीरो के ऊपर इसकी वैल्यू न आ रही है तो इसका ग्राफ कुछ इस तरीके से बनेगा गा दिस इज द ग्राफ ऑफ दिस फंक्शन ओके कभी नेगेटिव हो पाएगी क्या य चीज नेगेटिव नहीं हो पाएगी ना नेगेटिव नहीं हो पाएगी एक्स बराबर माइव पर यज जीरो हो जा रही है है ना तो कुछ ऐसा सा इसका ग्राफ रहेगा दिस इज द ग्राफ ऑफ दिस फंक्शन है ना कुछ इस टाइप से अपने पास में इसका ग्राफ मिलने वाला है x बराबर इनफिनिटी पर भी प्व को जा रहा है x बराबर माइनस इनफिनिटी पर भी ये वन को जा रहा है ठीक है और बाकी अगर तुम और डिटेल में जाना चाहते हो इसके ग्राफ में तो dy1 का होल स्क्वायर न्यूमरेशन में पहले न्यूमरेशन का डिफरेंशिएबल माइनस फिर डिनॉमिनेटर का डिफरेंशियल तो ऐसे करके भी तुम देख सकते हो कि f एक् कहां कहां जीरो हो रहा है तो f एक -1 और व के ऊपर जीरो होता हुआ आपको दिखाई देगा मैंने बस यहां पर ऑब्जर्वेशन लगाई है मोस्टली मैंने कहा कि इसको ऐसा ऐसा लिखा जा सकता है तो थोड़ा ऑब्जर्वेशन बेस्ड में गेम लेके गया हूं यहां पर f एक् कैलकुलेट नहीं किया बाकी यस ऑफकोर्स f एक् कैलकुलेट करके भी अपन जा सकते हैं ठीक है तो अब इस ग्राफ को देखते हुए दिख जाएगा कि f एक इ मेनी इन माइनस इनफिनिटी टू -1 माइनस इनफिनिटी से -1 के बीच में ये वनव है f एक इज मेनी वन इन व टू इनफिनिटी वन से इनफिनिटी के बीच में भी ये वन वन फंक्शन है ठीक है fx1 टू इनफिनिटी बट नॉट इन माइनस इनफिनिटी टू इनफिनिटी यस ये सही है वन से इनफिनिटी के बीच में तो वनव है बट अगर मैं माइनस इनफिनिटी से इनफिनिटी के बीच में देखूं तो ये मेनी वन है है ना क्योंकि यहां पे अगर मैं हॉरिजॉन्टल लाइन ड्रॉ कर रहा हूं तो हॉरिजॉन्टल लाइन एक से ज्यादा जगह पे कट करते हुए दिखाई दे रही है तो हॉरिजॉन्ट लान क्योंकि एक से ज्यादा जगह पर कट कर रही है तो माइनस इनफिनिटी से इनफिनिटी में ये वन वन नहीं है ठीक है माइनस इनफिनिटी से इनफिनिटी में यह मेनी वन है ठीक है हां जी जैसे कि देखो इसका ग्राफ देखना अगर मैं सिर्फ इसका ग्राफ पूछू f एक बराब 2 एक् अपव प् एक्स स् तुम इसके ग्राफ के ऊपर प्रैक्टिस करो जरा मैंने जैसे कि बोला था इंपॉर्टेंट ग्राफ इंपॉर्टेंट ग्राफ आएगा है ना वो अगर इसका ग्राफ समझ ले तो पिछले वाले का ग्राफ अपने आप समझ में आ जाएगा इसका ग्राफ समझ लो जरा पिछले वाले में यही तो था 1+ 2x अप 1 प् x स् था बस पिछले वाले में इतना सा फर्क था कि इसमें वन और ऐड कर दिया मैं बोल रहा हूं तुम इसके ग्राफ के ऊपर फोकस करो जरा ठीक है अगर पिछले वाले में किसी को भी कोई प्रॉब्लम आई है तो यहां से एक फ्रेश स्टार्ट दो और इसके ग्राफ के ऊपर फोकस करो इसको जो है इसी फंक्शन को मैं ऐसा लिख सकता हूं 2 अप 1 बा एक प् x है ना इसी फंक्शन को ऐसा लिखा जा सकता है यहां प मल्टीप्लिकेशन में x है उसको डिनॉमिनेटर में ले जाओ तो डिनॉमिनेटर में / एक् प् एक्स बन जाएगा ठीक है जीरो प ये वैल्यू जीरो ही दे रहा है एक बराबर 0 पय वैल्यू जीरो दे रहा है जीरो से पास कर रहा है एक्स को अगर मैं वन रखता हूं ना तो अपने पास में मैक्सिमम वैल्यू मिलेगी च इटू एक बराबर 1 रखने पर अपने पास मैक्सिमम वैल्यू मिलने वाली है फिर अगर एकस को इनफिनिटी लेके गया हं एक् को सपोज इनफिनिटी लेकर जाऊंगा तो ये चीज जीरो को अप्रोच करेगी सॉरी टू नहीं वन आ रही है ना मैक्सिमम वैल्यू ववव जो कि मिल रही है x = 1 पे x = 1 के ऊपर अपने पास मैक्सिमम वैल्यू इसकी मिलने वाली है तुम बस इसके ग्राफ के ऊपर फोकस करो गाइस जस्ट फोकस ऑन दिस ग्राफ कि रो पे तो वैल्यू रो है x रा 0 पे तो वैल्यू रो है x की वैल्यू वन रखी वन रखने पे y की वैल्यू भी वन आ रही है फिर अगर x को इनफिनिटी अप्रोच कर रहा हूं x को इनफिनिटी अप्रोच करूंगा तो डिनॉमिनेटर में क्वाड्रेटिक न्यूमरेशन में लीनियर लीनियर अपॉन क्वाड्रेटिक तो ये चीज जीरो को अप्रोच हो जाएगी ठीक है और सेम टू सेम ग्राफ हमें मतलब ऐसा ही ऑड फंक्शन है यह इसी टाइप का ग्राफ अपने को नेगेटिव एक्स एक्सिस के साइड भी देखने को मिलेगा x बरा -1 पे वैल्यू -1 मिलेगी तो दिस इज द ग्राफ ऑफ f = 2x अप 1 प x स् ऑड फंक्शन है बिल्कुल सही बात है जिसको ऑड और इवन के बारे में आईडिया है वो समझ पाएगा कि ये फंक्शन ऑड फंक्शन है ठीक है तो इसका ग्राफ पता है तो पिछले वाले का ग्राफ आ ही जाएगा उसके अंदर वन ऐड करना है वन यूनिट से ऊपर खिसक जाएगा पिछले वाले का ग्राफ अपने को खटक से आ चुका है ठीक क्लियर इतनी बात है हां जी तो आई होप दिस इज ऑल क्लियर टू ऑल ऑफ यू इतनी बातें आप सबको क्लियर है जैसे ये वाला क्वेश्चन देखो यह भी 2022 का सवाल है ओके मस्त क्वेश्चन है यह भी ठीक है अब इसके अंदर कुछ ग्राफ राफ नहीं लगा इसके अंदर कॉमन सेंस लगेगा है ना नेगेटिव साइड पे क्यों देखो ना यार कि अगर मैं fxxx.pro कि ये इंपोर्टेंट ग्राफ है इसके ऊपर फोकस करना जरा और इसका ग्राफ बनाना सीखना और ग्राफ मैंने बना के रख रखा है तुम्हारे सामने जस्ट यू कैन टेक हेल्प फ्रॉम दैट ग्राफ एंड यू कैन डू दैट ओके तो लेटफ फंक्शन एक फंक्शन है जो कि नेचुरल नंबर से नेचुरल फंक्शन के ब नंबर के बीच में डिफाइंड है fn2 n फॉर n बराबर दिस n - 1 फॉर n बराबर दिस n + 1/2 फॉर n बराबर दिस ठीक है तो इस फंक्शन के बारे में हमें बताना है कि मेनी वन है वव है ऑन टू है इनटू है किस टाइप का फंक्शन है है ना तो अब यहां पे देखो ग्राफ का कोई सीन बचा नहीं क्योंकि यहां पे सारी बातें नेचुरल नंबर्स के टर्म्स में हो रही है यहां पे ग्राफ राफ का कोई यहां पे रूल रहेगा नहीं भाई ठीक है तो बस मैं यही देखना चाहता हूं कि फंक्शन fx2 पे ये वैल्यू फोर दे देगा n = 4 रखूंगा तो ये वैल्यू 8 दे देगा n = 6 रखूंगा तो ये वैल्यू 12 दे देगा n = 8 रखूंगा तो ये वैल्यू 16 दे देगा देगा एंड सो ऑन चारचार के डिफरेंस में वैल्यूज आ रही है ठीक है फिर अगर मैं इधर देखूं कि n = 3 रखूंगा तो 3 - 1 वैल्यू 2 आ गई n = 7 रखूंगा तो 7 - 1 वैल्यू 6 आ जाएगी 11 रखूंगा तो 11 - 1 वैल्यू 10 आ जाएगी 15 रखूंगा तो 15 - 1 वैल्यू 14 आ जाएगी एंड सो ऑन ये वैल्यूज मिल रहा है यहां पे भी चारचार के डिफरेंस में वैल्यूज मिल रही है चारचार के डिफरेंस में इधर भी वैल्यूज मिल रही है कुछ कॉमन आ रहा है क्या रिपीट हो रहा है क्या कुछ रिपीट हो रही है वैल्यूज अगर फोर यहां पे भी मिल जाता तो अपन बोल देते कि मेनी वन हो गया रिपीट तो हो नहीं रहा अभी तक अब यहां प देखो n की वैल्यू अगर मैं वन रखता हूं तो 1 प् 1/2 है ना मतलब वैल्यू वन आ रही है फ रखने के ऊपर वैल्यू थ्र आ रही है नान रखने के ऊपर वैल्यू फ आ रही है 13 रखने पर वैल्यू सेन आ रही है यह भी देखो चार चार के डिफरेंस में चीजें चल रही है यह भी चार चार के डिफरेंस में चीजें चल रही है ओके तो रिपीट तो मुझे कहीं पर भी होते हुए दिख नहीं रहा यहां पर जो नंबर्स है यहां पर जो नंबर्स है यहां पे जो नंबर्स हैं नहीं ये दो दो के डिफरेंस में चल रहा है ना दो दो के न डिफरेंस पे और यहां पे सारे ऑड नंबर्स आ गए ये सारे के सारे ऑड नंबर्स दिख गए इधर 1 3 5 7 ऑल ऑड नंबर्स सारे के सारे ऑड नंबर्स इधर दिख गए इवन नंबर्स इधर दिख जाएंगे देखो 2 6 10 14 और 4 8 12 16 ये सारे इवन नंबर्स आ गए क्या कुछ भी रिपिटेटिव दिख रहा है अपने सामने रिपिटेटिव कहीं नहीं दिख रहा है है ना और सारे नेचुरल नंबर कवर कर दे रहा है इसकी रेंज देखोगे तो सारे ऑड नंबर्स भी दिख गए सारे इवन नंबर्स भी दिख गए तो ये कैसा है वन व एंड ऑन टू है ना वन व एंड ऑन टू फंक्शन दिख रहा है अपने पास में सारे नेचुरल नंबर्स कवर कर रहा है है ना नेचुरल नंबर से नेचुरल नंबर के बीच में है इसकी कोडो में नेचुरल नंबर है और सारे के सारे नेचुरल नंबर कवर होते हुए अपने को दिख रहा है तो ये कैसा फंक्शन हो गया वन व एंड ऑन टू फंक्शन हो गया क्या क्लियर है आसान है तो सिंपल लॉजिक ऑब्जर्वेशन दैट्ची फंक्शनल इक्वेशन के ऊपर बेस्ड कि ये भी बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है है ना # अगेन p क तो एक फंक्शन है ऑल रियल नंबर टू ऑल रियल नंबर f 3x - f x = x के इक्वल दे रखा है इफ f8 = 7 तो f 14 की वैल्यू हमें बतानी है किसके इक्वल है ठीक है तो इस क्वेश्चन को करने के दो मेथड हो सकता है एक मेथड है थोड़ा ऑब्जर्वेशन बेस्ड दूसरा मेथड है थोड़ा फंक्शनल इक्वेशन से जाने का तो एक मेथड तो यह है कि मैं x को x बा 3 से रिप्लेस कर दूं इस क्वेश्चन में रिप्लेस कर दू एक् को x बा 3 से x को x बा 3 से रिप्लेस किया जाए तो यही अपने पास बन जाएगा f एक माइन f एक बा 3 बराबर व्ट x बा 3 राइट फिर x को x बा 3 से फिर से रिप्लेस कर दो x को x बा 3 से रिप्लेस करूंगा तो ये f एक बा 3 माइ f एक बा 3 स् बन जाएगा इ इक्वल टू राइट हैंड साइड में भी x बा 3 स् बन जाएगा फिर x को x बा 3 से फिर से रिप्लेस कर दूं तो ये f ऑफ एक्स बा 3 स् माइनस f ऑफ एक बा 3 क्य बराबर एकस बा 3 क आ जाएगा समझ बात को यह सिलसिला मैं करता चला जाऊ फिर से x को x बा 3 फिर से x को x बा 3 और यह काम मैं करता चले जाऊ इफिनिटी तक तो देखो क्या होगा ना चीज कैंसिल आउट होना स्टार्ट हो गई देखो ये कैंसिल आउट हो गया यह कैंसिल आउट हो गया ऐड कर रहा हूं है ना ऐसा अपन ऐड किए जा रहे किए जा रहे कि जा रहे ठीक है लास्ट में देखो यहां पर कुछ x बा 3 की पावर ए आ जाएगा कुछ है ना एक्स बाय 3 की पावर कुछ इनफिनिटी टाइप का सीन आ जाएगा इनफिनिटी तक की सीरीज चली गई है ठीक है तो यहां पर अगर थ की पावर इनफिनिटी तक जा रही है डिनॉमिनेटर में बेसिकली f0 अपने पास बन रहा होगा तो इन सबको ऐड किया तो बन रहा है f एक माइनस f0 है ना ये कैंसिल आउट होता चला गया इस तरीके से ऐसे कैंसिल आउट होता चला गया ये f एक और ये - f0 बराबर राइट हैंड साइड में देखोगे तो राइट हैंड साइड में x बा 3 ् x बा 3 स् + x बा 3 क्यूब एंड सो ऑन अप टू इनफिनिटी तक का सम दे रखा है अब ये इनफा जीप हो गई f ऑफ 0 की वैल्यू हमें नहीं पता बट कुछ कांस्टेंट c मान लो इसकी वैल्यू कुछ c मान लेते हैं f0 की वैल्यू तो अपने पास में इक्वेशन बनी है f एक माइनस f0 बराबर व्ट इनफा जीप है फर्स्ट टर्म है x बा 3 कॉमन रेशो है 1/3 ठीक है तो a अपव माइन आ फर्स्ट टम x बा 3 कॉमन रेश 1/3 तो यह बन रहा है f एक माइ स बराबर x बा 2 यह अपने पास इक्वेशन बन गई च इ f एक बराबर x बाट प् सी दिस इज द इक्वेशन गाइस यहां से अपन सी की वैल्यू निकाल सकते हैं क्योंकि एफ 8 की वैल्यू सेन दे रखी है तो एक्स की जगह 8 रख दो एक् की जगह 8 रख दो तो f8 बराबर 4 प् सी दैट इ इक्वल टू 7 स की वैल्यू अपने पास थ आ गई फंक्शन मिल गया एक लीनियर फंक्शन मिला फंक्शन किस टाइप का मिला एक लीनियर फंक्शन हमारे पास मिलता हुआ दिखाई दे रहा है अब दूसरा मैंने जो ऑब्जर्वेशन बेस्ड मेथड समझा बताया था तुम्हें तुम्हें क्या समझ में आया क्या ऑब्जर्वेशन बेस्ड मेथड कैसे लगाएंगे अपन यहां पे हां जी क्या ऑब्जर्वेशन बेस्ड मेथड भी आपको समझ में आ गया कि किस तरीके से लगाने का है हां जी बच्चा पाटी तो ऑब्जर्वेशन बेस्ड मेथड में य है कि डायरेक्टली तुम अगर ऑब्जर्व कर लेते कि इनका सबक्स एक लीनियर फंक्शन आ गया तो f एक कोई लीनियर फंक्शन ही होने वाला है f एक कोई लीनियर फंक्शन ही होगा कोई क्वाड्रेटिक नहीं हो सकता क्योंकि अगर क्वाड्रेटिक होता या क्यूबिक होता ऐसा कोई फंक्शन हो नहीं सकता कोई लीनियर फंक्शन ही होगा जैसे क्वाड्रेटिक होता है ना कि सपोज f एक बराबर एक्स स् होता तो f 3x कितना हो जाता f 3x 9x स् हो जाता सबकट करते तो एक क्वाड्रेटिक मिलती समझ हो बात को है ना कि अगर f कोई क्वाड्रेटिक होता तो f 3x 9x स् हो जाता सबकट करता तो x स् की टर्म दिखती या क्यूबिक होता तो कुछ क्यूबिक टर्म दिखती तो दूसरा तरीका इसी चीज को डायरेक्ट ऑब्जर्व करने का है कि f इ गोइंग टू बी लीनियर फंक्शन अगर मैं डायरेक्टली य चीज ऑब्जर्व कर लूं तो आई कैन यूटिलाइज दिस थिंग डायरेक्टली कि fxxx.pro तो यहां से x से x कटा और m की वैल्यू 1/2 आ गई m की वैल्यू 1/2 यहां पर रखी तो अपने पास में फंक्शन fx2 एक + c दिस इज आवर फंक्शन कंपोजिट निकालना हो कंपोजिट फंक्शन का मतलब हो गया कि एक फ फंक्शन के अंदर दूसरा फंक्शन f f या f ऑफ f f है ना इस टाइप की चीज ठीक है तो कंपोजिट फंक्शन में अगर सपोज हमें f f निकालना है तो सिंपल सी बात है कि इस फंक्शन में x की जगह f एक रख दो तो f f एक बराबर f एक अपव माइ f दिस इ बेसिकली इट ठीक है यही है सारी चीज कि फंक्शन f में एक की जगह f रख दो एक की जगह f रखा तो f अपव माइ f हो जाएगा जहां पर f की वैल्यू क्या है जहां पर f की वैल्यू है x अपव माइ एक है ना तो इसकी वैल्यू रख दो f की वैल्यू रख दो x अपव माइ एक यहां पर भी डिनॉमिनेटर में इसकी वैल्यू रख देंगे x अपव माइ एक तो ये बन रहा है x अपव माइ एक डिवाइड बाय 1 माइ एक् अपव माइ एक ठीक है तो यह बन जाएगा x अपन 1-2 एकस गा f f समझ गए बात को यह हमारे पास में f f आ जाएगा समझे क्या बात को क्या यह बातें समझ में आई हमें अच्छे से कि f f का मतलब क्या हुआ कि फंक्शन x फंक्शन f में इनपुट f ही डाल दिया अपन ने जैसे अगर सपोज f एक होता सा x g एक होता सा x एक बेसिक सा एग्जांपल इस पहले मैं करवा देता हूं कि सपोज fxxx.pro यह चीज ध्यान रखिएगा है ना इसको अपन फॉग बोलेंगे इसको अपन गॉफ बोलेंगे ठीक है सिंपल तो f g एक का मतलब क्या हुआ कि फंक्शन f में x की जगह पर g एक रख दो तो फंक्शन f में x की जगह g एक रखूं तो f g एक हो जाएगा सा ऑफ g एक सा ऑफ g एक है ना कि फंक्शन f में x की जगह प g एक रख दो तो f हो जाएगा सा ऑफ g एक सा g ठीक है अब g एक की वैल्यू रख दो भाई g एक की वैल्यू रख दो x क तोय बनेगा सा ऑफ x क सा ऑफ x क है ना ये f g एक हो जाएगा जबकि अगर मैं ऑफ f निकालूं तो फंक्शन g में x की जगह f रखो तो g f हो जाएगा fx9 f एक का क्यूब है ना g एक है x का क्यूब इनपुट अगर f डालोगे तो f का क्यूब हो जाएगा f एक का क्यूब तो ये हो जाएगा सा क x क्या इतनी बातें क्लियर है सबको ये बेसिक सी बातें है कंपोजिट फंक्शन के बारे में आ होप दिस इज क्लियर टू ऑल ऑफ यू ठीक है है ना तो कंपोजिट फंक्शन में कोई बड़ी बात नहीं है यहां पर जैसे देखो f f पूछा था हो सकता है वह आपसे पूछ ले फिर इसके बाद में अगला ही स्टेप में आपसे पूछ ले कि बताओ f ऑफ f ऑफ f कितना होगा यह भी पूछा जा सकता है इसमें क्या इसके बारे में बता देंगे कि तुमने f f निकाल दिया अब f ऑफ f f बताना है तो यहां पे अब x की जगह फिर से f डालो x की जगह फिर से यहां पे f डाल दो है ना तो अगर f f fxxx.pro 2 टाइम्स x / 1 - x तो इसको कैलकुलेट किया तो x / 1 - 3x आ गया है ना ये अपने पास इसको f3 x भी कहते हैं कई बार इसको f3 x की तरह डिफाइन होगा कि f में f f में f वैसे ही यहां पे कई बार fn1 पूछ लिया जाता है इस टाइप के क्वेश्चंस बड़े ही कॉमन है कि fxxx.pro र् करते हुए अपन बोल सकते हैं कि x अपव माइ n एक होने वाला है क्या यह बातें आप सबको क्लियर है बच्चा पाटी हां जी है ना ऐसे सवाल बनाए जाते हैं यार और इजली कर सकते है ठीक है और ऐसे सवाल प्रीवियस ईयर में बहुत दिखा दूंगा तुमने किए भी होंगे तुमने देखा भी होगा प्रीवियस ईयर में ऐसे कई सारे सवाल है है ना ओके ठीक है हम चलो अब यह देखो इस टाइप के क्वेश्चंस देखना जहां पे ऐसे डिफाइंड है फंक्शन ना इस तरीके से डिफाइंड है फिर हमें इनका कंपोजिट निकालना होता है तो इस टाइप के क्वेश्चंस के साथ कैसे डील करना है एक क्वेश्चन यह मैं तुम्हें दूंगा और यह वाला क्वेश्चन मैं करूंगा ठीक है कि फंक्शन fxxx.pro तो g ऑफ fxxx.pro और f एक + 1 की पावर 1/2 वन f एक इज ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 तो fx3 दन और इक्वल टू 0 है तो इस फंक्शन की वैल्यू ये है हमें ऑफ f की वैल्यू बतानी है तो बेसिकली अब हमें ये देखना पड़ेगा ना कि fxxx.pro तो इसको अपन ग्राफिकली लेके जाते हैं इस टाइप के सवालों को है ना ग्राफिकली लेके जाना बहुत इजी रहता है कि fxxx.pro इसका ग्राफ बनेगा y बराब एक्स स् माइव का जो कि एक्स एक्सिस को वन पर काटती है 0 के परर कट करेगी तो ये हमारे पास एक स् मानव का ग्राफ है ठीक है और एक्स लेसन 0 के लिए 1 प् एक्स क का ग्राफ बनाना है ठीक है एकस बराबर 0 प इसकी वैल्यू न है माइव प जीरो हो रहा है तो 1 प् एक्स क का ग्राफ बनाओगे तो 1 प् एक्स क का ग्राफ ऐसा बनेगा ठीक है ये वन है यह 1 प् एक्स क का ग्राफ बन जाएगा ठीक है x बरा -1 पे कट कर रहा है x एक्सिस को ठीक है क्या क्लियर है इतनी बातें दिस इज द ग्राफ ऑफ y = 1+ x क आर वी क्लियर और आर वी क्लियर जल्दी से बताएंगे क्या हम क्लियर है फॉर x ग्र और इ 0 x स् - 1 देखो ये टफ पोशन है ये ट्रिकी पोशन है है ना टफ है ग्राफिकल अंडरस्टैंडिंग जरूरत होती है ध्यान से देखोगे तभी जाके चीजें समझ में आएगी क्योंकि ऑलरेडी टफ पार्ट है लिटरली ये टफ पार्ट है इजी नहीं है समझना यह चीज ठी मैं पहले ही बता देता हूं बिल्कुल इजी नहीं है य चीज समझना वही बच्चा इस चीज को समझ पाएगा जो कि भैया बहुत ध्यान से सुनेगा बहुत अच्छे से खुद भी ट्राई कर रहा होगा खुद भी सोच रहा होगा तभी जाके उसको चीजें समझ में आएगी और साथ-साथ सुन बहुत अच्छे से रहा होगा है ना क्योंकि वो बहुत जरूरी है खाली तुम सोचो इससे कुछ नहीं होगा तुम्हें सुनना पड़ेगा मुझे ध्यान से ओके तो f एक लेसन 0 कब है यह मेरे को साफसाफ ग्राफ से दिख रहा है f एक लेसन 0 है एक तो इस वाले पोर्शन में यहां पर f एक लेसन 0 है मतलब -1 के लेफ्ट में और कब और कब रो से वन के बीच में जब x 0 से वन के बीच में है तो f ले 0 है ठीक है है ना क्योंकि वही देखना है ना कि f लेन 0 कब है कैसे पता चलेगा ग्राफ से डायरेक्टली पता चलता है f लेन 0 कब है है ना तो ग्राफ से डायरेक्टली पता चलेगा अपने को तो यहां पे f एक < 0 अपने पास मिलेगा ठीक है तो दो तो इसको कॉपी करना पड़ेगा यार इसको चलो मैं कॉपी कर देता हूं यहां पर जी ऑफ f एक या फिर क्या इसको रिसाइट किया जा सकता है चलिए कुछ ट्राई करते हैं अपन चीज है ना अगर मैं इनको सेलेक्ट करूं नहीं सेलेक्ट नहीं हो रहा सेलेक्ट कैसे करें सेलेक्ट करके इसको रि साइज कर सकता हूं क्या मैं गाइस डू यू नो दिस क्योंकि ऐसे तो नहीं हो रहा यह वाला तरीका नहीं है आपने पास दे नो टूल इन दिस राइट इसके अंदर ऐसा कोई टूल है क्या इसके अंदर भी ऐसा कोई टूल नहीं है ठीक है एरो वाले एरो से कर रहा हू ना तो एरो से देखो यह सेलेक्ट नहीं हो रहा य पूरा ही हिल जा रहा हैरो से एरो से य पूरी पूरी चीज हिल जा रही है स्लाइड ल जा रही हैरो से माउस पॉइंटर इससे भी यही हो रहा है एरो से भी यही हो रहा है एक काम करते हैं रि साइज का तरीका छोड़ते हैं क्योंकि मेरे को यहां पर और चीज लिखनी थी मैं सो यही लिख देते काम करता इसको थोड़ा सा शॉर्ट में लिखता हूं ना प थोड़े छोटे कर देते तो ऑफ मैंने लिखा था तो देखो ऑफ य आया था बेटा ऑफ एकस बराबर ए एकस माइव ए एकस माइव की पावर व बाथ न f एक्स लेसन जी ठीक और ए एकस प् 1 की पावर 1/2 वन f एक इज ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 ठीक है ये चीज आई थी अपने पास है ना पहले बैकग्राउंड स्लाइड सेलेक्ट करो राइट कॉर्नर पे लॉक बटन आएगा छोड़ो ना यार छोड़ो अब गिव अप कर दिया मैंने ठीक है जैसे तुम लोगों ने जेई मेंस प करके यहां पे तुम बातें कर रहे हो वैसे ही मैंने इस चीज पे गिव अप कर दिया छोड़ो वापस से लिख लेते हैं अपन ओके चलिए कोई बात नहीं तो सबसे पहले तो देखो मैंने यार g ऑफ fxxx.pro दिव्य शक्तियां कहां से आएगी ग्राफ से ग्राफ हमें कुछ दिव्य शक्तियां दे रहा होगा देखो जरा है ना वो तुम्हें देखना पड़ेगा ध्यान से कि f एक लेसन 0 कब है f एक लेसन 0 कब है यह वाला जो पोर्शन है ये f एक लेसन 0 है है ना यहां पे f लेसन 0 दिखाई दिया ये देखो चमक रहा है ये हां ये f लेसन 0 है कब -1 के लेफ्ट में और भी मिल रहा है यहां प भी मिल रहा है इसके बारे में बात करेंगे पर अभी तो हम बात कर रहे के लेफ्ट में मैंने कहा जब x -1 के लेफ्ट में हुआ ना यार मैंने कहा जब x -1 के लेफ्ट में हुआ तो f एक लेन 0 है तो जब f एक -1 के लेफ्ट में है तो f एक की वैल्यू रख दो f एक की वैल्यू क्या है यहां पर f एक की वैल्यू है 1 प् एक क f एक की वैल्यू है यहां पर 1 प् एक क तो यहां पर f की वैल्यू रख रहा हूं 1 प् एक् क तो 1 प् एक क माइव की होल पावर 1/3 है ठीक है 1 प् एक्स क माइव की पावर 1/3 च इज व्ट च इज इक्वल टू एक् ओनली कब जब एक्स लेसन माइव हो f एक लेसन 0 कब जब एक्स लेन माइव हो और f एक लेसन 0 कब आएगा और यहां पर भी मिल रहा है देखो इधर इधर इधर इधर देखो इधर भी f एक लेसन जीरो है ये देखो ये चमक रहा है ना इधर हाय चमक रहा है यहां पे यहां पे भी fxxx.pro होल पावर 1/3 बन रहा है कब जब x है ज़ीरो से लेके व के बीच में है ना ग्र और = 0 < 1 ठीक है यहां पे x 0 से 1 यहां पे x < -1 तो देखो fx-100ms लेस दन जीरो चाहिए ना तो इसलिए वन के ऊपर ओपन रखा है वन के ऊपर ही एगजैक्टली जीरो हो जा रहा है फिर अब मैं ये वाला पार्ट सॉल्व कर रहा हूं ठीक है अभी तक तो अपन ने सिर्फ और सिर्फ इस वाले पार्ट के ऊपर गौर फरमाया है कि fxxx.pro है ना तो f एक ग्रेटर और इक्व ट 0 मेरे को दिखाई दे रहा है एक तो इस पोर्शन में कौन से वाले में कहां गया ये रहा पन इस वाले पोर्शन में f ग्रेटर और इक्व ट 0 है ठीक है तो पहले तो इस वाले पोर्शन के बारे में बात करूंगा यहां पर x किसके बीच में है x -1 से 0 के ऊपर है जीरो प ओपन है x-1 से 0 के बीच में है तो जब x -1 से जी0 के बीच में हो तो इस फंक्शन f एक की वैल्यू क्या है 1 प् एक क तो यहां पर f की जगह 1 + x क रखूंगा तो 1 + x क + 1 कील पावर 1/2 fx1 + x क रखा है ना और कब जब x है -1 से 0 के बीच में है ना व्हेन x इज ग्रेटर और इ -1 < 0 ठीक है तो मतलब ये बन रहा है 2 + x क की पावर 1/2 फिर फाइनली और fx3 और इ 0 कब है वन के राइट में वन के राइट में है ना तो जब x > और इ 1 हो x > = 1 हो तब fx2 - 1 fx2 - 1 रखूंगा तो x स् - 1 + 1 की होल पावर 1/2 व्हिच इज इक्वल टू व्हाट व्हिच इज x ओनली ठीक है तो ये हमारे पास g fxxx.pro x > = 1 के लिए x ठीक है तो है यार थोड़ा ट्रिकी पोर्शन है यह है ना जनरली बच्चों को इसमें बहुत दिक्कत आती है इसके बारे में भी मैं फटाफट से आपको आईडिया दे देता हूं कि अगर f fxxx.pro कर सकते हो एक बार बट खुद से जरूर ट्राई करना खुद से जरूर थॉट लगाना ग्राफिकल तरीके से ही जाना ग्राफिकल तरीके से जाओगे बहुत इजली समझ में आएगा तो सबसे पहले f fxxx.pro तो f एक का ग्राफ बनाना और उससे आप रेफरेंस मानोगे ठीक है तो ग्राफिकल तरीके से जाना बेस्ट रहता है और भी तरीके होते हैं बट ग्राफिकल इज द बेस्ट वन ओके तो यह हमें कंपोजिट फंक्शन के बारे में बात समझनी है फिर चलिए बात करते हैं ऑड फंक्शन और इवन फंक्शन के बारे में कंपोजिट के ऊपर देख लेता हूं मैं कुछ अच्छे सवाल हो तो एकद अच्छे सवाल है व चलिए एंड में करते हैं उन सवालों को ठीक है कंपोजिट के ऊपर चलिए तो ऑड एंड इवन फंक्शन के बारे में अपन लोग ग्राफ करते हैं ऑड एंड इवन फंक्शंस ऑड फंक्शंस क्या होते हैं जहां पे अगर f - x fx1 फंक्शन ऐसे फंक्शन को अपन इवन बोलेंगे जहां पे f - x और fx5 को अपन ऑड बोलेंगे जहां पे f - x = - टाइम्स fx9 फॉर इंफॉर्मेशन यस सिग्नम फंक्शन सिग्नम फंक्शन के बारे में नहीं बताया ना बता देता है तो ऐसे फंक्शन को अपन ऑड फंक्शन बोलेंगे जहां पर नेगेटिव बाहर फेंक दे जैसे इवन फंक्शन के एग्जांपल c x x स् प् 3 यह एक इवन फंक्शन है यह एक भै साहब इवन फंक्शन है क्योंकि यहां पर अगर x की जगह - एक् रख दूं कोई फर्क नहीं पड़ने वाला यहां पर x की जगह - x रख दूं कोई फर्क नहीं पड़ेगा ये एक ऑड फंक्शन है यहां पर x की जगह - एक रखूंगा माइनस बाहर फेंक देगा इधर x की जगह - x रखा तो यह - एक क - एक बन जाएगा यह एक ऑड फंक्शन है ठीक है और एक फंक्शन होता है नीनो फंक्शन नीदर इवन नॉर ऑड नीदर इवन नॉर ऑड नीनो फंक्शन नीनो फंक्शन कौन से होते हैं जो कि ना ही इवन हो ना ही ऑड हो जैसे f एक बराबर f एक = x क प् x स् ये ना ही इवन फंक्शन की कैटेगरी में आएगा ना ही ऑड फंक्शन की कैटेगरी में आएगा क्यों क्योंकि अगर यहां पर तुम f - एक देखोगे ना तो f - x आ जाएगा - x क + x स् ये f - एक है तो ना ही f एक और f - एक एक दूसरे के इक्वल है ना ही एक दूसरे के नेगेटिव है या फिर ऐसे समझो फॉर एन इवन फंक्शन इवन फंक्शन में f एक और f ऑफ - एक इसको सबै करने पर वैल्यू जीरो आ जाती है यह इवन फंक्शन की खासियत है कि f एक और f - एक इनको सबै किया जाए तो वैल्यू जीरो आ जाएगी क्योंकि f एक और f - एक हूबहू सेम है ठीक है और ऑड फंक्शन क्या हो जाएंगे ऑड फंक्शन वो हो जाएंगे जहां पे f एक और f ऑफ माइ एक को ऐड किया जाए तो वैल्यू जीरो आ जाए इस टाइप के फंक्शन को अपन ऑड फंक्शन बोलेंगे इस टाइप के फंक्शन को अपन ववन फंक्शन बोलेंगे ठीक है क्लियर है तो अब यहां पर इन दोनों को ना ही ऐड करने पर वैल्यू जीरो आ रही है ना ही इन दोनों को सबकट करने पर वैल्यू जीरो आ रही है तो ना ही ये इवन है ना ही ऑड है तो दिस टाइप ऑफ फंक्शन इ नीदर इवन नॉर ऑड फंक्शन या फिर हमेशा ध्यान रखिएगा कि कभी भी एक इवन फंक्शन और एक ड फंक्शन को मैं ऐड कर दूं ना एक इवन फंक्शन और एक ऑड फंक्शन को अगर मैं ऐड कर दूं तो जो रिजल्टिंग फंक्शन होगा वो नीदर इवन नॉर ऑड फंक्शन होने वाला है ठीक है कभी भी एक इवन और ऑड को ऐड कर दिया जाए तो जो रिजल्टिंग फंक्शन होगा ठीक है तो वो ना ही इवन होगा ना ही ऑड फंक्शन होगा ओके तो यह चीज भी ध्यान रखना तो ये कुछ पॉइंटर है पॉइंट्स ध्यान रखिएगा अ फंक्शन मे बी नीदर इवन नॉर ऑड नीनो फंक्शन ना ही इवन हो ना ही ऑड हो ठीक है एवरी नॉन जीरो कांस्टेंट फंक्शन इज एन इवन फंक्शन नॉन जीरो कांस्टेंट फंक्शन इवन फंक्शन होते हैं ठीक है कि fx3 ये नॉन जीरो है और ये कांस्टेंट फंक्शन है इस फंक्शन को अपन क्या इवन फंक्शन का नाम देंगे fx8 द सेम टाइम इस फंक्शन को इवन भी बोला जा सकता है भी बोला जा सकता है ना चलो इंपोर्टेंट पॉइंट नहीं है ये वैसे ठीक है एवरी इवन फंक्शन इज सिमेट्री अबाउट द वा एक्सिस एंड एवरी ऑड फंक्शन इज सिमेटिक अबाउट द ओरिजिन जितने भी इवन फंक्शन है वो वा एक्सिस के अबाउट सिमेटिक रहते हैं जितने भी ऑड फंक्शन है वो ओरिजिन के अबाउट सिमेटिक रहते हैं इफ f एक इज ऑड फंक्शन एंड डिफाइंड ट x बरा 0 तो f ऑफ 0 की वैल्यू रो ही होगी अगर f एक ऑड फंक्शन है और डिफाइंड है x = 0 पे तो f 0 की वैल्यू अपने पास में 0 ही आने वाली है ठीक है क्लियर है जैसे यहां पे देखो कुछ ऑड फंक्शन के एग्जांपल देख लो बड़े बड़े इंपॉर्टेंट एग्जांपल है ऑड फंक्शन के l n x + √ 1 + x स् ये ऑड फंक्शन है क्योंकि अगर इसको x की जगह - x और अंडर रूट में ये 1 प् x स् ही रहेगा तो अगर ये f एक है तो f - एक ही होगा और तुम इन दोनों को ऐड करके देखो जरा अगर तुम इन दोनों को ऐड करोगे ना बेटा अगर इन दोनों को ऐड करोगे मतलब f x प् f - x करोगे ऐड करोगे तो उसकी वैल्यू लॉग ऑफ 1 आ जाएगी देखो दो लॉग को ऐड किया तो लॉग के अंदर की चीजें मल्टीप्लाई हो जाएगी a- b * a + b a स् मा b स् लॉग ऑफ 1 बन रहा है लॉग ऑफ 1 की वैल्यू क्या रो होने वाली है ठीक है तो यहां पे एक ववन इन ऑड बराबर ऑड फंक्शन ठीक है और न इन इवन बराबर इवन फंक्शन ठीक है ऑड इन ऑड बराबर ऑड फंक्शन ऑड इनटू ऑड बराबर ववन फंक्शन अगेन ठीक है तो अगर ऑड फंक्शन को ऑड फंक्शन से मल्टीप्लाई करू तो अपने पास में इवन फंक्शन मिलेगा यह नंबर्स के बारे में नहीं फंक्शन के बारे में चर्चा हो रही है कि ऑड फंक्शन क्या होता है नेगेटिव दे देता है तो इसने भी नेगेटिव बार फेंक दिया इसने भी नेगेटिव बार फेंक दिया नेगेटिव इनटू नेगेटिव वापस से क्या पॉजिटिव हो जाएगा फॉर एन एग्जांपल fxxx.pro तो है ना ये कुछ एग्जांपल है एक बार चेक कर लीजिएगा आप लोग य सारे एग्जांपल कैसे है ऑड फंक्शन के एग्जांपल है ठीक है यह सारे एग्जांपल देखोगे तो यह सारे एग्जांपल कैसे है ववन फंक्शन के एग्जांपल है क्लियर है आसान है तो इवन ऑड में कोई प्रॉब्लम वाली बात ऐसी है नहीं है ना क्लियर क्लियर क्लियर फिर बात करते हैं पीरियोडिक फंक्शन के बारे में पीरियोडिक फंक्शन वो फंक्शन होते हैं कि रिपीट करते हैं आफ्टर एन इंटरवल उस टाइप के फंक्शंस को अपन पीरियोडिक फंक्शन बोलते हैं जैसे sinx-cosx चाहे t x की पावर ऑड हो इसका पीरियड पाई रहने वाला है क्योंकि पाई इंटरवल के बाद ही रिपीट करते हैं t में थीटा लिखा हो या पाई प्स थीटा लिखा हो बात बराबर है t और कट के अंदर ही ये खास बात है कि t ऑफ पा प् थीटा बराबर t थीटा ही हो जाता है क्योंकि थर्ड क्वाड्रेंट में t पॉजिटिव होता है सान में ये चीज नहीं होती है सा ऑफ पा प् थीटा माइ सा थीटा हो जाती है ना वो सा थीटा के इक्वल नहीं आती वो - सा थीटा हो जाती है सा ऑफ पा + थीटा समझ में आ रही है बातें ओके और अगर मैं इवन पावर ले लू जैसे सा स्क x क स् x से स् x तो अब वो हो गया उसका पीरियड पाई हो जाएगा जैसे कि fxxx.pro तो x की जगह पे p + x रख दूंगा तो sin-x स् है ना बेसिकली तो sina-sinb ओके फिर एक इंपॉर्टेंट चीज़ है कि अगर fxxx.pro है ना f एक का पीरियड t है तो अगर मैं कोफिपोसा फ हो जाएगा इसका पीरियड 2 पा बा 5 हो जाएगा ठीक है हां जी हां जी हां जी आवाज आ रही है सबको अच्छे से क्लियर ली लेट मी चेंज द बैटरीज ऑफ आवर माइक क्योंकि हो सकता है कभी भी आवाज गायब हो जाए बैटरीज खत्म होने वाली है ऑलमोस्ट है ना तो कफिट ऑफ x से डिपेंड करेगा कफिट ऑफ x यहां पर देखो अगर x की जगह में x प् 2 पा बा 5 रखता हूं जैसे इसको अगर f एक बोला जाए तो f ऑफ x प् 2 पाई बा 5 सेम फंक्शन मिल जाएगा अपने पास में है ना कि साइन ऑफ फ टाइम्स x प् 2 पा बा 5 बन रहा है ये ठीक है च इज सा 5x प् 2 पा सा ऑफ 5x प् 2 पा या सा ऑफ 2 पा प् 5x च इ सा 5x ओनली समझ रहे हो यहां प x को x प् 2 पा बा 5 से रिप्लेस करूंगा तो ही हमारा पीरियड रिपीट हो जाएगा ठीक है तो यह बातें है तो को फिट ऑफ x से डिवाइड किया जाता है ना अब तो इसका पीरियड कितना हो जाएगा इसका पीरियड हो जाएगा क का पीरियड 2 होता है बट कोफ ऑफ x 1/5 है तो 2 पाई को 1/5 से डिवाइड करेंगे तो इसका पीरियड अपने पास में 10 पाई आ जाएगा तो पीरियड के बारे में यह बात अपन ध्यान रखेंगे ठीक है पीरियोडिक फंक्शन के बारे में यह बातें ध्यान रखेंगे फिर अपन कई बार एलसीएम वाला रूल भी इस्तेमाल कर रहे होते हैं है ना कि अगर दो फंक्शन यहां पर एडिशन और सबट में है f एक प् माइन g एक f * g एक f - g एक तो यहां पर अगर ऐसा सिनेरियो है तो अपन एलसीएम लेते हैं ना कि अगर fx1 है g एक का पीरियड t2 है ठीक है fxxx.pro ल है तो फिर उसका एलसीएम नहीं डिफाइंड है एलसीएम क्या होता है मल्टीपल होता है ना रैशनल नंबर के मल्टीपल रैशनल होंगे रैशनल मल्टीप इरल नंबर के मल्टीपल इरल होंगे जैसे पाई के मल्टीपल बोलू तो पाई खुद इरल नंबर है 2 पा भी इरेशनल है 3 पा भी रैशनल है ठीक है तो अगर मैं एलसीएम इनका लू ना एलसीएम ऑफ पा एंड 3 पा तो तो वो डिफाइंड है वो तो 3 पाई हो जाएगा कि पाई का भी थर्ड मल्टीपल 3 पाई का फर्स्ट मल्टीपल बट अगर मैं एलसीएम ऑफ वन और पाई लेता हूं तो दैट इज नॉट डिफाइंड गाइस यह हमारे सामने डिफाइंड नहीं है क्योंकि वन के मल्टीपल रैशनल नंबर है रैशनल नंबर के मल्टीपल रैशनल होंगे पाई के मल्टीपल जितने भी होंगे वो रैशनल होंगे कोई भी इनका कॉमन मल्टीपल नहीं होगा तो वन और पाई का एलसीएम यहां पर डिफाइन नहीं होने वाला है ठीक है और अगर एलसीएम ऑफ हमें किसी रैशनल का ए बा बी और p बा क का एलसीएम लेना हो तो न्यूमर का एलसीएम डिनॉमिनेटर का एचसीएफ जैसे कि अगर मैं तुमसे पूछूं कि एलसीएम ऑफ हां जी 2/3 एंड एंड एंड एंड एंड कितना 12 बाय ना इनका एलसीएम पूछूं तो तुम क्या करना न्यूमरेशन का तो लेना एलसीएम 2 और 12 का एलसीएम 12 हो जाएगा और 3 और ना का एचसीएफ लोगे है ना इनका लेना हाईएस्ट कॉमन फैक्टर तो डिनॉमिनेटर का एचसीएफ न्यूमेट का एलसीएम ठीक है क्लियर है तो 12/3 12/3 हो जाएगी वैल्यू मतलब फोर आ जाएगा इनका एलसीएम इनका एलसीएम फोर आ जाएगा हां जी हां जी हां जी ठीक है तो न्यूमरेशन का एलसीएम डिनॉमिनेटर का एचसीएफ इस तरीके से अपन एलसीएम लेते हैं जैसे कि अगर मैं देखूं इसका पीरियड तो इसका पीरियड अगर t1 देखा जाए तो क का पीरियड 2 पा होता है बट क्योंकि इसका कोफ ऑफ x क x का पीरियड 2 पाई होता है यहां पर क ऑफ 2x बा 3 है तो 2 पा को अपन 2/3 से डिवाइड करेंगे तो इसका यू नो पीरियड आ रहा है अपने पास में कितना आ जाएगा भैया 3 पाई आ जाएगा इसका पीरियड राइट इसका पीरियड 3 पा आ जाएगा इसका पीरियड देखा जाए तो सा का पीरियड 2 पाई होता है 2 पाई को 4/5 से डिवाइड करूं 2 पाई को 4/5 से डिवाइड करूं तो ये आ जाएगा भैया 2 द 4 5 पा बा 2 इसका पीरियड 5 पा बा 2 आ गया ठीक है हां जी हां जी हां जी क्लियर तो इसका पीरियड 3 पाई इसका पीरियड 5 पा / 2 एलसीएम ले लेना एलसीएम ऑफ 3 पा एंड 5 पा बा 2 इसका एलसीएम क्या होगा कि डिनॉमिनेटर में तो हाईएस्ट कॉमन फैक्टर डिनॉमिनेटर का हाईएस्ट कॉमन फैक्टर वन है 3 पा और 5 पा का एलसीएम 15 पा है तो दिस इज आवर आंसर 15 पा इज आवर आंसर ठीक है 15 बा अपना आंसर हो जाएगा ओके फिर कई जगह पे एलसीएम रूल फेल भी हो जाता है है ना फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x के बारे में ध्यान रखना फ्रैक्शन पार्ट ऑफ़ x का पीरियड कितना होता है वन होता है भाई कि फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x इसका पीरियड वन होता है ठीक है इसका पीरियड के बारे में बात करें तो वन होता है फ्रैक्शन पार्ट ऑफ 5x कर दिया जाए तो इसका पीरियड 1/5 हो जाएगा फ्रैक्शन पार्ट ऑफ 3x / 2 कर दिया जाए तो इसका पीरियड यू नो ठीक है 1 डिवाइड बा 3/2 मतलब 2/3 हो जाएगा इसका पीरियड समझ गए बात को तो ये चीजें समझ में आनी चाहिए फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x जो है वो वन के यू नो वन के बाद में रिपीट करने लग जाता है ना फ्रैक्शन पार्ट ऑफ x का पीरियड वन होता है फ्रैक्शन पार्ट ऑफ 5x का पीरियड 1/5 हो जाएगा वन को को एफिशिएंट ऑफ x से डिवाइड करना है सिंपली और यहां पर भी वन को को एफिशिएंट ऑफ x जो है 3/2 से डिवाइड करना है तो इसका पीरियड कितना 2/3 आ जाएगा क्लियर है सिंपल है कई जगह पर एलसीएम रूल फेल करता है एलसीएम रूल कहां-कहां पे फेल करता है है ना एलसीएम रूल यहां पे ऐसी जगह पे फेल कर जाएगा गाइज कि fx4 x + क की पावर 4x अब होता तो सा की पावर 4x का पीरियड भी पा इसका भी पीरियड पा तो एलसीएम तो इनका पा और पा का एलसीएम पा आना चाहिए बट इसका पीरियड पा / 2 होता है इसका कितना पीरियड रहता है पाई बाटू का पीरियड रहता है क्योंकि अब य पा बाटू के बाद ही रिपीट करेगा अगर f एक में x को पा बाटू प् x से रिप्लेस करूंगा तो यही सेम फंक्शन मिल जाएगा f ऑफ पा बाटू प् x करोगे तो यह सान कॉस में कन्वर्ट हो जाएगा पावर इवन है तो नेगेटिव का कोई टेंशन वाली बात नहीं है यहां पर क ऑफ पा बा 2 प् x माइ सा x होता है बट क्योंकि पावर इवन है तो नेगेटिव खा जाएगा तो f 5/2 प् x अपने पास में सेम मिलने वाला है तो ये बातें है ठीक है आसान है क्लियर है तो इसमें कोई बड़ी बात नहीं है फिर फाइनली अपन बात कर लेते हैं इवर्स ऑफ फंक्शन के बारे में इवर्स में क्या होता है कि इनपुट आउटपुट फिर से वही इंटरचेंज हो जाते हैं कभी भी अगर हमें हां हिटन ट्रायल से करेंगे ऐसे सवालों में बिल्कुल तो कभी भी हमें अगर इवर्स निकालना होता ना किसी भी फंक्शन का तो इवर्स निकालने के लिए अपन क्या करेंगे कि एक्स को वा से इंटरचेंज कर देंगे बस ट्स इट इवर्स आ जाएगा इवर्स के बारे में एक इंपोर्टेंट प्रॉपर्टी है कि y और एक के अबाउट y बरा x के अबाउट सिमेट्री रहते हैं इवर्स फंक्शन ठीक है इवर्स फंक्शन आर सिमेटिक अबाउट y = x और उसी फंक्शन का इवर्स निकालना पॉसिबल है जो फंक्शन बाइजेस्ट होते है ये बहुत महत्त्वपूर्ण बात है जो कि इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन में इस बात का बहुत ज्यादा यूज होता है कि उसी फंक्शन का इवर्स निकाल सकते हैं जो फंक्शन बाइजेस्ट फंक्शन होते हैं मतलब वनव एंड ऑन टू तभी जाके अपन उसका इवर्स निकाल पाएंगे क्योंकि देखो यार अगर फंक्शन मेनी वन हुआ ना अगर फंक्शन मेनी वन हुआ तो तो यह तो चलो फंक्शन हुआ बट यह तो फंक्शन ही नहीं हुआ ना बेटा यह तो फंक्शन ही नहीं हुआ क्योंकि यहां पर तो कन्वर्जन हो रहा है बट यहां पर डायवर्जन हो रहा है डायवर्जन इज नॉट अलाउड इन फंक्शन है ना डायवर्जन अलाउड नहीं है तो यहां पर ए इवर्स जो है वो एजिस्ट ही नहीं करेगा तो ओनली ठीक है है ना बिल्कुल बाइजेन वर्स कि लेट एफ बी वव एंड नॉन टू फंक्शन देन देर एसिस्ट यूनिक फंक्शन अगर फंक्शन ए से बी के बीच में डिफाइन है तो जी बी से ए के बीच में डिफाइन होगा फंक्शन बाइजेन व एंड नन टू होना चाहिए तभी जाके उसका इवर्स एजिस्ट करेगा कुछ इंपोर्टेंट एग्जांपल देख लेते हैं फंक्शन का इवर्स निकालने के लिए है ना जैसे की कुछ फंक्शनल इवर्स के बारे में कुछ इंपोर्टेंट एग्जांपल अपन देख लेते हैं ना कि कैसे इवर्स निकालना है तो देखो यह वाला एग्जांपल देखो यह तुम कर लेना यह वाला एग्जांपल तुम कर सकते हो यह एग्जांपल मैं आपको करवा देता हूं ठीक है कैसे इसमें इवर्स निकालने का है गाइस तो फंक्शन है वा बराबर रेट पावर एक्स अपव प् रे पावर एकस यस वव एंड नटू फंक्शन होगा तभी जाकर उसका इवर्स पूछा जाएगा अगर फंक्शन वव एंड नटू नहीं है तो उसका इवर्स पूछेंगे ही नहीं ठीक है फंक्शन वनव एंड नटू होगा तभी जाकर उसका इवर्स पूछा जाएगा तो यहां पर आप एक्स और वा को इंटरचेंज कर दो y की जगह x रख दो x की जगह y रख दो बस सिंपल है इवर्स निकल गया बस निकल गया पहला स्टेप में कर दो एक् और y को आपस में इंटरचेंज कर दो एक और y को आपस में इंटरचेंज कर दो यह पहले स्टेप में कर दो उसके बाद में इजली अपन इवर्स निकाल सकते हैं नहीं तो फाइनल स्टेप में भी किया जाता है यह काम आप स्टार्टिंग स्टेप में यह काम कर सकते हो अब यहां पर y के लिए सॉल्व करो y के लिए सॉल्व करने के लिए दोनों साइड क्रॉस मल्टीप्लाई करो तो x प् x टाम 2 रे टू पावर y बराबर 2 रे टू पावर y तो x बराबर पावा कॉमन लिया तो 1 माइनस एक्स तो यहां से गा रेट पावर वा की वैल्यू आ गई एक अपव माइन एकस रे पावा बराबर एक्स अपव माइन एक्स तो इधर से अपने पास में वा की वैल्यू आ जाएगी वा बराबर लग टू द बेसटू एक्स अपव माइन एक्स ये अपने पास में ए इवर्स एक्स आ गया बस सिंपल है ठीक है इवर्स निकालने के लिए एक्स और को इंटरचेंज करो और खतम है ठीक है इवर्स के अंदर इतनी सी बात है कि एक्स और वा को इंटरचेंज करो फिरवा के लिए सॉल्व कर लो तो ये इवर्स आ गया और ओयस स बात है ये एक्सपो फंक्शन था तो इसका इवर्स जो होगा एक लोगरिथमिक फंक्शन टाइप का आने वाला है और यह फंक्शन लोगरिथमिक फंक्शन हमें दिख रहा है ठीक है क्लियर ओके एक एग्जांपल देखना जरा यह जेई मेंस में पूछा गया एग्जांपल f एक बरा एक -3 है और g एक हमारे पास दे रखा है यहां पर एक हल्का सा करेक्शन ये x की पावर ब प् c g एक हमारे पास दे रखा है g एक हमारे पास दे रखा है x की पावर बी प् सी f एक ये दे रखा है a एक - 3x दे रखा है x की पावर बी x की पावर बी प् c ठीक है बहुत आसान सवाल है बहुत इजी क्वेश्चन है इफ फॉग इवर्स x f ऑज इवर्स x बरा x - 7/2 की पावर 1/3 देन फॉग ऑफ ए प् गॉफ ऑफ ब इ इक्वल टू व्ट ये हमें यहां पे बातें पूछी गई है है ना f ऑफ g एक के इवर्स के बारे में बात कर रखी है f ऑफ g एक के इवर्स के बारे में बात कर रखी है तो यहां पे आप सिंपली जा सकते हो कि यार f g एक कितना होगा f g एक क्या होगा भैया कि फंक्शन f में x की जगह प g एक रख दोगे तो a टा g एक -3 है ना एज से मैं शुरुआत कर रहा हूं कि एफज एक जो होगा a की जगह पर एक रख दो तो ए टाम g एक माइ 3 जहां पर एक की वैल्यू कितनी है एक् की वैल्यू है x की पावर बी प् सी यह एक की वैल्यू है तो ये बन रहा है a टाइम एक की पावर बी प्स ए माइ 3 यह अपने पास f एक है ठीक है अब इसका भी हमें क्या इवर्स निकालना है है ना इसका भी क्या इसका इवर्स निकालने का है इसका इवर्स दे रखा है अपने पास में कि इसका इवर्स ये है तो मेरे को इसका इवर्स निकालने का है तो एक काम करता हूं इसको इ y मान लेता हूं फिर x और y को इंटरचेंज कर देता हूं x और y को इंटरचेंज कर देता हूं मतलब y की जगह प यहां प x रख देता हूं और x की जगह प यहां प y रख देता हूं a टाइम्स y की पावर ब प् ए - 3 और यहां से y की वैल्यू निकालता हूं मैं ठीक है तो x - ए प् 3 एक्स माइनस ए प् 3 बराबर ए टाइम्स वा की पावर बी बन रहा है तो यहां से गाइस वा की पावर बी की वैल्यू किसके इक्वल आ गई यह कलर य पेन क्लीयरली विजिबल है आप सबको विबल है तो यहां से वा की पावर बी की वैल्यू आ गई एक्स माइनस ए प् 3 होल डिवाइडेड बाय ए मतलब इधर सेवा की वैल्यू आ जाएगी y बराबर x माइन ए प्स 3 होल डिवाइडेड बाय ए इसकी होल पावर 1 बा बी यही तो हमारे पास एफजी इवर्स है देखो क्या किया मैंने मैंने एफज एक की वैल्यू निकाली f ऑज एक की वैल्यू आ गई ये आ रही है अपने पास एज एक की वैल्यू अब इसका इवर्स निकालना है इसका इवर्स निकाल रहे है ना इसका इवर्स निकाल रहे हैं तो इसका इवर्स निकालने के लिए y की जगह प x रखा एक्स की जगह प y रखा एक की जगह प y रखा दिया y की जगह x x की जगह y और y के लिए सॉल्व कर रहा हूं y के लिए सॉल्व किया तो y की वैल्यू ये आई यही तो हमारे पास f ऑफ g इवर्स है f ऑफ g इवर्स है ये तो ठीक है f ऑज इवर्स है जो कि किसके इक्वल दे रखा है x - 7 बा 2 की होल पावर 1/3 जो कि इक्वल टू दे रखा है x - 7/2 की होल पावर 1/3 के इक्वल दे रखा है तो यार यहां पर चीजें समझ में आ गई कि b की वैल्यू थ हो जाएगी दोनों साइड कंपैरिजन करते समझ में आ रहा कि बी बराब 3 होने वाला है और a बराबर 2 हो जाएगा ठीक है डिनॉमिनेटर डिनॉमिनेटर सेम a बराबर 2 1/3 1 बा बी बी की वैल्यू 3 हो गई और यह - ए प् 3 इसकी वैल्यू -7 के इक्वल ठीक है य - ए प् 3 इसकी वैल्यू -7 के इक्वल - ए प् 3 बराब -7 जहां पर a की वैल्यू ट है a की जगह परट रख दो तो - 2c प् 3 बरा -7 मतलब 2c की वैल्यू 10 आ गई और c की वैल्यू फ आ गई तो a मिल गया b मिल गया c मिल गया ए बी c सब मिलते ही हमारे पास में सारी चीजें मिल गई fxxx.pro है आप इस सवाल को भी करके देख लीजिएगा आसान सा सवाल है ठीक है एक फंक्शनल इक्वेशन दे रखी है कि fx1 / 1 - x = 1+ x ये अपने पास में फंक्शनल इक्वेशन दे रखी है बहुत कॉमन है इस टाइप की फंक्शनल इक्वेशन ठीक है तो पहला यहां पे रिप्लेसमेंट आपको करना है कि x को 1 - x से x को 1/1 - x से रिप्लेस करने का है तो ये बन जाएगा देखो f 1/1 - x प्लस 1 अपव माइव अपव माइन एक्स बराबर 1 प्व अपव माइन एक् क्या रिप्लेसमेंट कर रहे हैं एक्स को 1 अपव माइन एक्स से रिप्लेसमेंट कर रहे हैं है ना रिप्लेसमेंट लगा रहे य ठीक है अब इधर भी क्या यह अच्छे सवालों में से आता है जनरली अपन एक बार रिप्लेसमेंट लगाते काम हो जाता है य पर दो बार रिप्लेसमेंट लगाना पड़ेगा ठीक है ये बन गया देखो एव अपव माइ एक बराबर इधर एलसी लिया है ना प्लस प्लस यहां पर एलसीएम लोगे तो न्यूमरेशन में तो 1 माइ एक पहुंच गया और डिनो मिनेट में क्या बैठ रहा है यह 1 माइ एक -1 है ना 1 माइ एक् -1 मतलब नोमिन में माइन एक् बैठ रहा है और राइट हैंड साइड में क्या बनेगा राइट हैंड साइड में 2 माइ एक अपन 1 माइ एक तो यह अपने पास में दूसरी फंक्शनल इक्वेशन तैयार हुई एक फंक्शनल इक्वेशन दे रखी थी x को 1 अप 1 - x से रिप्लेस किया दूसरी फंक्शनल इक्वेशन तैयार हुई अब एक बार और यहां पे अपने पास में लगाना पड़ेगा रिप्लेसमेंट कि x को फिर से 1 / 1 - x से रिप्लेस करने का है ठीक है तो वो तीन फंक्शनल इक्वेशन तैयार हो जाएगी तीनों से अपने पास में fxxx.pro f3 - x = x स् है ना इस टाइप के सवाल बड़े कॉमन है तो पूछ लिया फाइंड fx3 - x से रिप्लेस करोगे तो यहां पे 3 - x बन जाएगा प्लस 5 टाइम्स ये f x बन जाएगा और राइट हैंड साइड में 3 - x का स्क्वा बन जाएगा बस एक ही बार रिप्लेसमेंट करना है इसमें है x को 3 - x से रिप्लेस करोगे तो ये 3 - x बन जाएगा बट ये f एक बन जाएगा x की जगह प 3 - x रखोगे तो ये f एक बन जाएगा अब इन दोनों इक्वेशन को सॉल्व कर लो सॉल्व करने का मतलब कि भाई यह वाली टर्म काटना है तुमको यह वाली टर्म काटना है तो दूसरी इक्वेशन को फाइव से मल्टीप्लाई करो फाइव से मल्टीप्लाई करके सबै कर दो ठीक है तो इसमें एक बार में काम हो जाता है बट ऐसी वाली फंक्शनल इक्वेशन में दिस इज अ गुड क्वेश्चन क्योंकि यहां पर अपने पास में दो बार रिप्लेसमेंट करना पड़ेगा एक और बार रिप्लेसमेंट करोगे आपको आंसर दिख जाएगा ठीक है तो बस बस हो गया आज के लिए इतना ही है ठीक है ट्स इट फॉर टुडे सेशन बहुत सारी स्लाइड्स हमने कवर करी है ऑलमोस्ट हमने 250 स्लाइड्स आज के सेशन में कवर करी 250 स्लाइड्स के साथ हम आज अलविदा लेते हैं ठीक है कई लोग बिल्कुल साथ बरकरार रहे यार कांस्टेंट रही स्ट्रेंथ तो मजा आ गया कि आप लोग कंसिस्टेंट बने रहे बने रहे तो दैट इज रियली ग्रेट यार अभी तक जुड़े हो आप सब लोग सिग्नम फंक्शन सिग्नम फंक्शन पता है यार बच्चा बच्चा जानता है जीरो पे वैल्यू जीरो होती है पॉजिटिव पे वैल्यू वन होती है नेगेटिव प वैल्यू -1 हो जाती है ना तो सिग्नम फंक्शन के बारे में क्या ही बताऊ ठीक है सिग्नम ऑफ x तीन ही तरीके के आउटपुट रहते है जीरो पे वैल्यू रो ग्रेटर दन 0 पे वैल्यू व लेस दन 0 पे वैल्यू -1 एवरी बडी नोज सिग्नम फंक्शन स आई डोंट थिंक देर नीड टू बी यू नो टॉक अबाउट सिग्नम फंक्शन ठीक है बताऊं क्या बताऊ सिगन फंक्शन के बारे में चलो बता देते हैं आ जाओ य देखो तो एफ एक बराबर एज ए एक सिग्नम ऑफ x इस तरीके से डिफाइंड है फंक्शन इस तरीके से डिफाइंड है कि x बराबर 0 प तो आउटपुट जीरो जाता है अगर x ग्रेटर दन 0 है तो आउटपुट वन आ जाता है x अगर लेसन 0 है तो आउटपुट -1 आ जाता है तीन ही तरीके के आउटपुट रहते हैं ठीक है तीन ही तरीके के आउटपुट रहते हैं यही तीन तरीके के आउटपुट है जीरो पर वैल्यू जीरो है गाइस ओके ग्रेटर दन 0 पे इसकी वैल्यू वन है y बराबर व लाइन बनेगी और लेस दन 0 पे इसकी वैल्यू ठीक है y बरा -1 लाइन बनने वाली है तो ट्स इट दिस इज ऑल अबाउट सिग्नम फंक्शन ठीक है तो प्रैक्टिस कीजिए फंक्शंस के ऊपर है ना और बाकी आप अच्छे से फंक्शंस के ऊपर प्रैक्टिस कीजिए जैसे कि मेनी वन वन व ऑन टू इनटू ग्राफ के ऊपर और अच्छे से कमांड बनाइए कई सारे हमने आज के सेशन के अंदर इंपॉर्टेंट ग्राफ देखे थे तो ग्राफ के ऊपर थोड़ी और तुम कमांड बना सकते हो इंटरेस्टिंग लगते हैं इस टाइप के सवाल मेनी वन वव ऑन टू इनटू है ना टाइप्स ऑफ फंक्शन के क्वेश्चंस बहुत इंटरेस्टिंग रहते हैं तो टाइप्स ऑफ फंक्शन के क्वेश्चंस के ऊपर आप कमांड बना सकते हो रेंज के क्वेश्चन के ऊपर थोड़ी और कमांड बना सकते हो आप लोग है ना प्रैक्टिस कर सकते हो बाकी आज के सेशन में जितना हमने किया है वो इनफ है फॉर जेई मेंस जेई मेंस में तुम इतना ही करके चले जाओ फंक्शन का क्वेश्चन फोड़ दोगे ठीक है फंक्शन का क्वेश्चन फोड़ दोगे इतना अच्छे से करके चले जाओ जेई मेंस के लिए ओके तो ट्स इट फॉर टुडेज सेशन काफी है आज के लिए इतना बहुत बढ़िया यार अच्छे से आप लोग पढ़ाई कर रहे हो और हौसला बनाए रखना इसी तरीके से कंसिस्टेंटली पढ़ते रहना है ना और पॉजिटिव माइंडसेट के साथ पढ़ना यह बहुत जरूरी है कि माइंड सेट माइंड सेट अपना बहुत ज्यादा पॉजिटिव रहे ठीक है क्योंकि अल्टीमेटली एग्जामिनेशन हॉल में बैठे हो तो वही चीज काम आने वाली है ठीक है आपको जितना भी नॉलेज है आपको कितना आता है कितना नहीं आता है है ना कितने टॉपिक्स कर रखे हैं कितने टॉपिक्स नहीं कर रखे वो नहीं मैटर करेगा जब आप एग्जामिनेशन हॉल के अंदर एंटर हो जाओगे आपके सामने यू नो पेपर आ जाएगा उसके बाद में आपका फोकस मैटर करने वाला है उसके बाद में आपकी स्पीड मैटर करने वाली है उसके बाद में आपका हौसला आपका करेज वो सारी चीजें बहुत मैटर करेगा ठीक है तो इट्स आल्सो यू नो हाउ वेल कैन यू हैंडल द प्रेशर यह जो पेपर है ना ठीक है यह भी मैटर करता है कंपटिंग एग्जामिनेशन इज जस्ट लाइक अ मैच ऑफ यू नो क्रिकेट क्रिकेट मैच की तरह है या फिर कोई भी एक हाई प्रेशर सिचुएशन जो रहती है हाई प्रेशर मैचेस जो रहते हैं आप बहुत ही अच्छे बैट्समैन हो पर अगर आप एक इंपॉर्टेंट गेम के अंदर वोह हाई प्रेशर अच्छे से मेंटेन नहीं कर पा रहे हो तो ओबवियस सी बात है जल्दी आउट हो जाओगे तुम लोग है ना उत तना अच्छा परफॉर्म नहीं कर पाओगे जितना अच्छा तुम कर सकते थे जितनी तुम्हारी स्किल्स है तुम अपनी स्किल्स को अच्छे से यूटिलाइज नहीं कर पाओगे सवालों में ओके तो इसलिए बहुत जरूरी है कि यार एग्जाम के टाइम पर अपना फोकस बरकरार रखें ठीक है बहुत बहुत ज्यादा जरूरी हैय चीज अपना फोकस बरकरार रखे पॉजिटिव माइंड सेट के साथ चले ठीक है टेंशन ना ले मस्त होके पेपर दे जितना मस्त होगे पेपर दोगे उतना ज्यादा बढ़िया रहने वाला है है ना क्लियर है जैसे मैं अपनी स्टोरी बताऊं ना तो मैंने मैं बेसिकली ड्रॉपर हूं है ना मैंने ड्रॉप ईयर के अंदर जेई निकाला था अगर नॉलेज के मामले में देखा जाए तो मेरा 12थ में जितना नॉलेज था ड्रॉप ईयर में जितना नॉलेज था ऑलमोस्ट दैट वाज सेम कोई चेंजेज नहीं रहा 12थ में भी मेरे को उतनी चीजें आती थी जितनी मेरे को ड्रॉप यर में आती थी है ना 12थ में मैंने अच्छे से पढ़ाई करी थी सारे टॉपिक्स कवर किए थे फिजिक्स केमिस्ट्री मैथ्स एवरीथिंग वाज गुड ठीक है पर मेरा ड्रॉप ईयर में सिलेक्शन हुआ था मेरा यू नो 12थ के साथ आईआईटी में सिलेक्शन नहीं हुआ था ड्रॉप ईयर में मैं आईआईटी बीएचयू में मैं चला गया था ड्रॉप ईयर में सिलेक्शन ठीक है ड्रॉप ईयर में जब मैंने पेपर दिया था मैं बहुत ही चिल होके गया था पेपर देने के लिए मस्त होके गया था बिल्कुल फुल कॉन्फिडेंस क्वेश्चन नहीं भी बन रहे ना तो एग्जामिनेशन हॉल के बाहर आ रहा हूं मैं इतने कॉन्फिडेंस के साथ कि अगर मुझसे नहीं बने तो किसी से भी नहीं बने होंगे ठीक है इतने कॉन्फिडेंस के साथ मैं एग्जाम के बाहर आ रहा हूं ओके तो वही रीजन था कि मेरा ड्रॉप ईयर में सिलेक्शन हो गया बट जब मैं 12थ के साथ पेपर दे रहा था 12थ के साथ मैं एकदम डरा हुआ सहमा हुआ टेंशन से भरा हुआ बच्चा था ठीक है जब 12थ के साथ मैंने पेपर दिया था मैंने क्या किया मतलब एक तो एग्जामिनेशन सेंटर जो हमारा आया था आपकी स्कूलों के अंदर आएगा अलग-अलग स्कूल के अंदर तो जिस स्कूल के अंदर एक तो एक रात पहले नींद नहीं आई अगले दिन पेपर जेई एडवांस का पेपर जेई एडवांस का पेपर नेक्स्ट डे तो सुबह 9:00 बजे से पेपर था दो पेपर होते हैं 9:00 से 12 2 से 5:00 का पेपर था ठीक है तो पूरी रात मेरे को बिल्कुल नींद नहीं आई मैंने बहुत कोशिश करी सोने की कि मैं सो जाऊं सो जाऊं सो जाऊं नींद ही नहीं आई बिल्कुल नींद नहीं आई दिमाग में कुछ ना कुछ चले जा रहा फिर दो घंटे सो रहा हूं फिर उठ रहा हूं कुछ रिवीजन कर रहा हूं है ना ऐसे ही चल रहा था तो सुबह-सुबह वैसे ही सरदर्द हो रहा फिर जो एग्जामिनेशन सेंटर था एग्जामिनेशन सेंटर में मेरी सीट ऐसी जगह थी कि वहां से डायरेक्टली धूप आ रही है मेरे सर के ऊपर तो सर के ऊपर धूप आ रही दूसरी ये कि सर दर्द वैसे ही हो रहा है सर के ऊपर धूप और आ रही है फिर वहां पे दो इनविजीलेटर थी तो वो मैम थी दो इनविजिलेट इनविजीलेटर मैम वो आपस में बातें और कर रही बहुत ज्यादा ठीक है क्या टिफिन में क्या लेके आया ये लेके आया वो गॉसिप कर रही है गॉसिप और एडवांस के पेपर के अंदर ना माहौल इस तरीके का रहता है कि सभी बच्चे बहुत चिल होते हैं क्योंकि एडवांस में ज्यादातर बच्चे सीरियस होते नहीं है बहुत कम बच्चे होते हैं जो एडवांस के लिए बहुत सीरियसली प्रिपरेशन कर रहे होते और उस टाइम पे तो जेई एडवांस का पेपर कोई भी दे सकता था अभी तो स्क्रूटनी है ना कि पहले जेई मेंस फिर जेई एडवांस उस टाइम पे जेई एडवांस का पेपर कोई भी दे सकता था ठीक है तो वहां प इनविजिलेट बातें और कर रहे हो मैंने तो उसी टाइम सोच लिया था आधे एक घंटे में फिर स्टार्टिंग के आधे घंटे में कुछ क्वेश्चंस मेरे से हुए नहीं थे मैंने कहा मेरा तो नहीं हो रहा सिलेक्शन है ना पेपर स्टार्ट हुए एक घंटा नहीं हुआ था और मेरे को ड्रॉप यर के सपने आना चालू हो गया था वहीं से ही कि अब तो ड्रॉप लेना ही पड़ेगा ठीक है जबक ऐसा कुछ भी नहीं था यार उसी टाइम पर थोड़ा हौसले के साथ पेपर दे देता उसी टाइम प कॉन्फिडेंस के साथ पेपर दे देता तो शायद ये मेरा एक साल वेस्ट नहीं होता शायद मैं बहुत इजली मैं निकाल चुका होता वो पेपर समझ रहे हो बात को तो मेरी स्टोरी से तुम्हें क्या सीखने को मिला यही सीखने को मिला कि भाई सिचुएशन कैसी भी हो सकती है उस टाइम पे ठीक है हो सकता है वहां पे दो इंज लेटर आपस में बात कर रहे हो आप उनको मना भी कर दोगे तो भी वो आपस कंटिन्यूएशन में बात कर ही रहे होंगे अगर उस सिचुएशन में आप फ्रस्ट्रेट हो रहे हो आप परेशान हो रहे हो तो फिर नुकसान आपका है और किसी का भी नुकसान नहीं है तो अप्रोच यही रहनी चाहिए एग्जामिनेशन सेंटर में कि बहुत चिल होके जा रहे हो देखी जाएगी जो होगा हो जाएगा तो ठीक है नहीं होगा तो कोई बात नहीं है ना इस अगर कॉन्फिडेंस के साथ तुम पेपर देने जा रहे हो डोंट टेक इट टू सीरियसली बेसिकली पढ़ाई बहुत सीरियसली करो बट एग्जाम जब आप दे रहे होंगे ना तब इतना सीरियस मत होके जाओ यार एग्जाम से एक दो दिन पहले सनेस हटा ही दो तुम जीवन से है ना एग्जाम से दो दिन पहले तुम वेकेशन मोड में चले जाओ कि अब तो हमारी छुट्टिया स्टार्ट हो गई ठीक एग्जाम से एक दो दिन पहले ही पूरा वेकेशन मोड में चले जाओ कि ठीक है अब जो होगा देखी जाएगी ओके और बाकी इंजीनियरिंग आपको सब सिखा देता है इंजीनियरिंग के बाद में मैंने जितने भी पेपर दिए हैं इंजीनियरिंग कॉलेज के अंदर जितने भी पेपर दिए थे बहुत थे है ना उसके अंदर हमें वो जो टेंशन है वो प्रेशर है कभी फील ही नहीं किया ठीक है बस ये 12थ तक ड्रॉप तक प्रॉब्लम थी ओके तो ठीक है बस आज के लिए इतनी कहानी काफी है मिलते हैं गाइस अगले सेशन में तब तक के लिए टेक केयर बाय बाय गुड नाइट