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Black Body Radiation and Planck's Law

प्रस्तुत्र अगर आपको एक चैनल पर ना केवल ग्रेजुएशन फिजिस के टॉपिस की सबसे असान एक्सप्लेनेशन देखने को मिलती है बल्कि आपको साथ के साथ ये भी बताया जाता है कि आपको एक्जाम में क्या और कैसे लिखके आना है इसी कैंटिगरी में आगे बढ़ते हुए आज हम बात करेंगे वीडियो के लिए वीडियो के लिए वीडियो के लिए वीडियो के लिए वीडियो के लिए वीडियो के लिए वीडियो के लिए वीडियो के लिए वीडियो के लिए वीडियो के लिए वीडियो के लिए वीडियो के लिए वीडिय तो शुरूटेंट्स इससे पिछले वीडियो में मैंने डिस्कस करता कि आखिरकार ब्लैक बॉडी क्या होती है और ब्लैक बॉडी रेडियेशन्स क्या होती है देखिए शुरूटेंट्स ऐसी बॉडी जो हर परकार की इलेक्ट्रो मैनेटिक रेडियेशन्स यानि कि हर वेवलेंथ हर फ्रेक्वेंसी की इलेक्ट्रो मैनेटिक रेडियेशन्स को एब्जॉर्व कर सकती है उसको हम बोलते हैं ब्लैक बॉडी और जब हम ब्लैक बॉडी को अलग अलग टेंपरेचर पर जो अनर्जी डिस्ट्रिब्यूशन था ब्लैक बॉडी रेडिएशन्स का वो भी हमने डिस्कस किया था पिछले वीडियो में और हमने वहाँ पर देखा था कि जब ग्राफ प्लोट कर रहे थे इलामदा और लामदा के बीच में तो कुछ इस पर इसका एक एक्सप्रेजनेशन हम दे सकते हैं by using quantum theory. ब्लैक बॉडी के एनर्जी डिस्ट्रिबूशन करव को हम एक्सप्लेन कर सकते हैं बाई यूजिंग प्लैंक्स पॉइंटम थ्यूरी जिसके अगॉर्डिंग रेडियेशन जो है वो टाइनी पैकेट्स आफ एनर्जी से मिला के बनी होती है और हर फोटोन की जो एनर्जी होती है वो एचनी होती है फोटोन जो है वो इंडिस्टिंग्विशेबल होते हैं आइडेंटिकल होते हैं और इनका जो स्पिन एंग्रार मोमेंटम होता है वो इंटीग्रियल मर्टीपल में होता है एच अपॉन टू पाइ के इसका मतलब यह है प्रतियादा की फोटोवांड जो हैं वो इन प्रकार से बहुत आइंस्टाइन स्ट्रैक्टिक्टिक्स को क्योंकि एक black body हर frequency, हर wavelength की radiation को absorb कर सकती है और हम यह मान सकते हैं कि वो radiation जो है वो tiny packets of energy की बनी हुई है और उन tiny packets of energy को हम बोलते हैं photon और हर एक photon की जो energy होती है वो h नहीं होती है photon जो होते हैं identical होते हैं, indistinguishable होते हैं और उनका integral spin angular momentum होता है in units of h upon 2 pi means black body के अंदर जो radiations है, means जो photons है, वो both बोस आइनस्टाइन स्टाइटिस्टिक्स को अभे करेंगे, ब्लैक बॉडी का जो अनर्जी डिस्ट्रिबूशन करव है, जो कुछ इस प्रकार से मिलता है, इसको हम एक्स्प्लेन कर सकते हैं, प्लैंक्स क्वांटम थ्यूरी के अकॉर्डिंग, और प्लैंक्स ने इस करव को According to Bose-Einstein distribution law, the number of photons having energy in the range U and U plus DU are given by... Students, if you want to understand Planck's radiation law, then you must watch the video of Bose-Einstein energy distribution law. इस वीडियो में हमने discuss किया था कि हमने एक isolated gaseous system के अंदर बहुत सारे हमने उसको compartments में divide कर दिया था starting from 1 to K compartments और further compartments को हमने क्या किया था बहुत सारी elementary cells में divide कर दिया था जैसे first compartment को हमने G1 number of cells में divide किया था G2 second compartment को हमने G2 number of elementary cells में divide किया था और Kth compartment को हमने जी के number of elementary cells में divide किया था और 1 और के के बीच में एक i-th compartment भी था और i-th compartment को हमने gi number of elementary cells में divide किया था फिर हमने वहाँ पर एक formula drive किया था जब हमने देखा था कि gi number of elementary cells में नीस i-th compartment में ni नंबर of particles कितने होंगे जिनकी mean energy U होगी उसका expression हमने उस video में drive किया था वो expression हम यहाँ पर direct use करेंगे तो students, बोस आइनस्टेन एनरजी डिस्ट्रिबूशन लॉ में हमने यह formula drive किया था NI is equal to GI divided by E की power alpha plus beta UI minus 1 यह हमें बता रहा है number of particles in the Distributed in the elementary GI number of cells having mean energy Ui In any number of particles mean energy Ui और वहाँ पर हमने यह formula drive किया था इसकी पूरी derivation जो है आप इस video में देख सकते हैं बड़े आसानी से हमने यह derivation की थी इस video का link मैं आपको निश्चन description box में दे दूँगा देखिए students यहाँ पर हमने एक energy range ली है U से लेके U प्रसे DU तक तो number of पर फोटोंस कितने होंगे यहाँ पर इस energy range में इस formula के according हम वो expression जो है यहाँ पर लिख सकते हैं आइए देखते हैं कैसे ही तो students आपको NI की जगह लिखना होगा, NU DU ये आपको देगा number of photons in the energy range U and U plus DU देखें students black body के अंदर photons होते हैं और photons जो हैं वो randomly move करते हैं जैसे कि gas molecules करते हैं किसी भी gaseous system के अंदर क्योंकि black body के अंदर photons का behavior ठीक वैसे ही होता है जैसे gaseous system में किसी gas molecules का होता है इसलिए हम ब्लैक बॉडी के अंदर जो फोटोन्स एन क्लोज होंगे उसको हम बोलेंगे फोटोन गैस तो यहाँ पर बहुत सारे फोटोन्स होंगे और वह नंबर आफ फोटोन्स जिनके नर्जी यू से लेके यू प्लस और डियू की रेंज में होगी इन द अनर्जी रेंज U एंड U प्लेसर डी U तो स्टूडेंट्स आइए देखते हाँगे एस फोटोन्स आप कॉंटिन्यूसली अब्जॉर्ब्ड और अमिटिट बाई द वॉल्स और ब्लैक बॉडी सो द नमबर ओफ फोटोन्स में नॉट बी कॉंस्टेंट वो लगर का रेडिएशन्स को एब्जॉर्ब भी कर रही होती है और एमिट भी कर रही होती है तो इसका मतलब यह है कि जो नंबर और फोटोन्स होंगे ब्लाग बॉडी के अंदर वो कॉंस्टेंट नहीं होंगे इसका मतलब यह है कि अगर हम पूरी ब्लाग बॉडी को अलग-अलग कंपार्टमेंट में डिवाइट कर दे और हम मान लें कि N1 पहले कंपार्टमेंट में फोटोन्स है, M2 दूसरे कंपार्टमेंट में फोटोन्स है, Mk कि अपने पार्टमेंट में फोटोन है हम आनेते हैं कि ब्लैक बॉडी को ने के नंबर ऑफ कंपार्टमेंट में डिवाइड कर दिया तो टोटल नंबर ऑफ फोटोन से आपको कैसे मिलेंगे टोटल नंबर ऑफ फोटोन एंड वीडियो एकवल टू एंड एंड टू एंड तो आई की limits जो लिमिट्स लेंगे वो आई is equal to 1 to k लेंगे ये constant नहीं होगे ये number of photons होगे students अगर हम derivative करें दोनों तरफ summation i is equal to k and i का derivative क्या हो जाएगा d and i क्योंकि ये constant नहीं है ये जो term ये constant नहीं है तो उसका derivative जो है वो zero के बराबर नहीं होगा ये हमारी second equation है but in the derivation of equation 1 we have used जब हमने ये वाली derivation की थी equation 1 ही बना चाहिए यहाँ पर equation number equation 1 ही ठीक है यहाँ पर equation thesis भी यह वहने बनाया है जब हमने equation 1 की derivation की थी बहुत साइन स्टाइन उन्हें जिन्हें distribution law वह टॉपिक में तो हमने यह वाली term जो है वो use की थी summation i is equal to 1 to k alpha dn i equal to 0 इसको use करके हमने यह expression जो है वहाँ पर drive किया था कि वहाँ पर हमने इस term को use करके यह expression drive किया था आज हम कह रहे हैं कि डी एन आई नॉट इकवर्ड जीरो है क्योंकि नंबर ऑफ फोटोन्स जो है ब्लैक बॉडी के अंदर वो कॉंस्टेंट नहीं होंगे तो इसका मतलब यह है कि अगर दो चीजों का प्रोडक्ट इकवर्ड जीरो है और समय शामिल डी एन आई इकवर्ड जीरो नहीं है इसका मतलब यह है कि कौन से टाउम जीरो होगी अलफा जीरो होना पड़ेगा तभी यह टाउम जो है वो जीरो होगी बट समिशन आई इक्वल टो वन टो के अलफा डीएन आई इक्वल टो जीरो है जब हम इसके डेरिवेशन की तीज तो मतलब अलफा जीरो हो जाएगा सो अलफा इक्वल टो जीरो यह हमारी फोर्थ एक्वेशन होगी और हमें पता है जब हमने इस इलेक्टर का फर्स्ट यूनिट पड़ा था तो हमने देखा बीटा इस इक्वल्ड होता है वन बाई केटी की हम बोल्ड्स में एक कॉंस्टेंट है की टेंपरेचर है ये हमारी फिट्ट एक्वेशन है तो फोर्थ और फिट्ट एक्वेशन को हम फर्स्ट एक्वेशन में यूज़ करेंगे और फर्दर डेरिवेशन करेंग तो friends last section हम यहाँ तक कर चुके थे, N U D U की value की value निकाल चुके थे, जो की थी G U D U upon E की power alpha plus beta U minus 1, ये थे number of photons having energy in the range of U से लेके U plus D U तक, ये हमारी first equation थी, और हमने देखा था कि alpha photon पर case में यहाँ पर zero होगा photon gas पर case में और beta हमें पता है क्या होता 1 by kt होता है 50 equation थी यह अब हम 4 और 5 को first में use करते हैं तो अब line लिखेंगे using 4 and 5 in one we get nu du is equal to gu du divide by अब देखें शोड़ें alpha की जगह तो zero आ जाएगा इकी पावर जी रो प्लस बीटा यू और बीटा के जगह पूट करेंगे वन बाइट तो यह बन जाएगा जी रो प्लस यू बाइट इस पर हम निश्क्ति आईटी पावर यू बाइट इस एकी पावर अल्फा था, अल्फा के जगह हमने जीरो पूट कर दिया, और बीटा के जगह हमने पूट कर दिया, वन बाई केटी, तो ये बन जाएगा यू बाई केटी, तो ये हो जाएगा एकी पावर यू बाई केटी, एकी पावर यू बाई केटी, माइनस वन, माइनस वन नंबर of photons आ चुकी है in the energy interval U से लेके U plus D U के बीच में photon gas means for the radiations and closed in the black body उसके लिए हमारा expression यह बन जाएगा हमें पता है कि एक photon की energy जो होती है वो H nu होती है so as U is equal to H nu एक photon की energy को हम denote कर रहे हैं U से जो की होती है H nu, nu यहाँ पर frequency of radiation है, H plan constant है so the number of photons having frequency in the range nu and nu plus D nu are यह जो हमें यह जो हमें एक्सप्रेशन मिला है यह मिला है नंबर ऑफ फोटोन से जिनकी एनरजी यू से लेकर यू प्रोसेट डी यू इंटरवल के बीच में है अगर हम इस एक्सप्रेशन को फ्रेक्वेंसी की टर्म्स कन्वर्ट हो जाएगा जहां जहां आपने यू लिखा है वहां आपको न्यू लिखना पड़ेगा तो यह बन जाएगा एन यू एन न्यू डी न्यू इस एकवल टू जी न्यू यहां पर आ जाएगा डी उपी जगह डी न्यू यू की जगह आपने हर जगह न्यू पूट कर देना बस एक ही पावर यू की जगह आपने ही न्यू पूट कर देना है इस एक पावर ऐच माइनस वन तो सुडेंट्स यहां तक कर चुके हैं हम उसके आगे देखते हैं इसको हम देखते हैं सिक्स डिप्रेशन देखेंगे सुडेंट्स एक फॉर्मुला होता है बहुत ही जेनल फॉर्मुला है बहुत सारे टॉपिक्स में जूट होता है अगर आप नंबर और फेस प अगर आपने unit 3 को अच्छा से करना है तो students यह expression तो आप यादी कर लीजिये क्योंकि यह expression जो है बहुत सारे topics में use होने वाला है और हुआ भी है पिछले topics में भी हमने एक दो बार use किया है इसको तो number of face space cells इस momentum interval में p से लेकर p पे और dp की range में कितने होते है number of face space cells जिनको we denote करते हैं gp dp से यह एक बार तो होता है 4 pi वी पी स्क्वेर बाई एच क्यूब बीटी यहाँ पर वी वॉल्यूम है सिस्टम का एच क्यूब यहाँ पर एक फेस पेस ताइल का वॉल्यूम है और पी मॉमेंटम है तो सुडेंट्स से क्या फोटोन्स के लिए भी यह एक्सप्रेशन जो है यही लेगा नहीं सुडेंट्स फोटोन्स के लिए हमें यहाँ पर थोड़ा सा चेंज करना पड़ेगा इसकी राइट एंड साइड में तो कि फोटोन्स के पाद दो तरह की पॉलरिजेशन होती है ला बाकी की derivation भी हम देखेंगे आने वाले sections के अंदर respond देते हैं 7th equation तो students last section में हम यहाँ तक कर चुके थे NU, DNU की value निकार चुके थे जो की थे number of photons in the frequency range NU से लेके DNU तक और वोसकी value थी GNU, DNU, divide by E power HNU by KT-1 ये sixth equation थी और number of phase space cells momentum interval P से लेके P plus Dp के बीच में कितनी होती है जो आपको याद रखना expression वो था GP Dp is equal to 4 pi V P square by H cube Dp ये वाइस seventh equation थी तो students ये तो था general formula but photons के लिए इस formula थोड़ी सी modification करनी पड़ेगी क्योंकि photons के पास left handed and right handed polarization दोनों होती हैं तो अब ये मान सकते हैं कि ये पूरा system जो है पूरा सिस्टम जो है इसमें फोटोन गैस भरी हुई है ये दो सब सिस्टम से मिलाके बना है ये एक पूरा सिस्टम है ये दो सब सिस्टम से मिलाके बना है इस सब सिस्टम का वॉल्यूम भी वी है और इस सब सिस्टम का वॉल्यूम भी वी है तो टोटल वॉल्यूम कितना हो गया फोटोन से केस में टू वी हो गया हमें क्या करना है फोटोन के लिए यहाँ पर थोड़ी स तो फोटोन्स के पास right-handed and left-handed polarization दोनों होती है तो पूरे system को मान सकते हैं कि वो दो sub-systems है बनाए और हर एक sub-system का volume वी है तो total volume जो होगा वी plus वी that is 2V तो पहले आप line लिखेंगे due to left-handed and right-handed polarization of photons the system may be considered to be made up of two sub-systems each having volume V and total volume is taken as 2V so from equation number 7 क्योंकि photons के पास left handed and right handed polarization दोनों होती है तो आप मानते है कि यह पूरा system जो है वो 2 sub system से मिला के बना हुआ है और हर एक sub system का volume वी है तो total volume आपको वी नहीं लेना वो लेना है वी plus वी तो वी लेना है तो हमें यहाँ पर इस expression में इस seventh equation में वी की जगह 2 वी लिखना है 4 to the 8 हो जाएगा तो next section में आप लिखेंगे next line में लिखेंगे आप GP DP is equal to 8 pi V P square DP by HQ को फिर ये तो आगे number of face space cells in the momentum interval P to P plus DP range अब हमें क्या करना है इस expression को frequency की terms में convert करना है तो उसके लिए हम क्या use करेंगे हमें पता है as momentum of photon is P is equal to h nu by c एक photon का जो momentum होता है वो होता है P is equal to h nu by c यह होता है momentum और इसका फॉर्मुला होता है hνु by c तो students यहाँ से अगर हम दोनों तरफ differentiate करें तो क्या जाएगा dp is equal to h constant है c constant है h by c और नुवा डिल्लूटिव क्या हो जाएगा d nu हो जाएगा तो p की जगह हम यहाँ पर इस p की जगह हम put करेंगे h nu by c और dp की जगह हम put करेंगे h d nu by c इस पी की ज़िए आपको पूट करना है ह्यू बाई सी तो आप बन जाएगा ह्यू बाई सी का स्क्वेर तो आपको पर स्क्वेर भी है डी पी की वाल्यू पूट करनी है आपको यहाँ पर डी पी की वाल्यू कितनी है ह्यू बाई सी है और नीचे यहाँ पर ह्यू बाई सी है तो यहाँ पर आपको जी नू डी नू लिखना है तो सुबह यहाँ भी हमारे पास नंबर ऑफ फेस पेस सेल्स इन द फ्रेक्वेंसी रेंज नू से लेकर डी नू के बीच में इतनी फेस पेस सेल्स हम इसको थोड़ सॉल्व कर लेते हैं दिखित शुरू हैंच का स्क्वेर और एच एच स्क्वेर और एच मुल्टिप्लाई होकर एच क्यूब बन जाएगा एच और क्यूब से एच क्यूब कर देगा हमारा और हमारे प एक बार भी न्यू का स्क्वेर बचेगा, न्यू का स्क्वेर बचेगा, डी न्यू बचेगा, और नीचे सी का स्क्वेर, मल्टिप्लाई सी, मिनट सी क्यू बचेगा, तो यह हमारी एड़ रिक्वेशन होगी, तो सोडरेंट्स, यह होगी, नंबर और फेस फेस तैल्स, इन यूजिंग एट इन सिक्स वी गेट इस पर हम एट एक विशेष को सिक्स एकवेशन में यूज करेंगे तो आपको मिलेगा एन यू एन नी एन नी डी न्यू एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी एन नी minus 1 जो आप ब्राइटेट में लिख सकते हैं तो students इसके आगे की derivation हम करेंगे next section के अंदर इसको मैं देता हूँ ninth equation तो students last section में हम ninth equation निकाल चुके थे जो थी n nu d nu is equal to a pi v nu square d nu by c cube e to the power h nu by kt minus 1 ये ninth equation थी ये थे number of photons in the frequency range nu से लेके nu plus d nu भी तक देखिए स्प्रेंट्स अगर आप अनर्जी ऑफ रेडिएशन लिखाना चाहते हैं इस फ्रेक्वेंसी रेंज में मींस न्यू से लेकर कर दें तो आपको अनर्जी ऑफ रेडिएशन मिल जाएगा इन द फ्रेक्वेंसी रेंज न्यू से लेकर न्यू प्लस डे न्यू तक तो number of photons इतने है इस frequency range में और एक photon की energy होती है h nu तो अगर हम दोनों तरफ h nu से multiply कर दें तो आपको क्या मिल जाएगा energy मिल जाएगी radiations की इस frequency range में तो हम क्या करेंगे n nu d nu को लूँ multiply करेंगे h nu से और इधर भी h nu से multiply करेंगे तो मैं पहली h nu देता हूँ multiply a pi b nu square by c cube और यहाँ पर है d न्यू और नीचे है ए की पावर ह न्यू बाइ केटी माइनस वन तो शुरूट्स न्यू इंटू न्यूज पर क्या हो जाएगा न्यू क्लिब हो जाएगा यहां मैं न्यू क्योंकि कर रहे तो और इसे आज को मैं उठाकर यहां ले रहता हूं बीच में तो यह आपके पास एनर्जी ऑफ रेडिएशन इन द फ्रेक्वेंसी रेंज न्यू से वॉल्यूम से डिवाइड कर देंगे तो आपको अनर्जी डेंसिटी मिल जाएगी तो आप नहीं लिखेंगे अनर्जी डेंसिटी विच इद अमांट ऑफ अनर्जी पर यूनिट वॉल्यूम इस गिवन बाई तो इस एक्सप्रेशन को जो आप वी से डिवाइड करेंगे तो यह क्यूब है इसको मैं अच्छे डाल देता हूं दी न्यू डिवाइड बाई सी क्यूब एक ही पावर एक्शनी बाई केटी वॉल्यूम से डिवाइड करना तो वॉल्यूम में वी यहाँ ले जाता हूं और वी से वी कट जाएगा तो वी यहाँ से गायब हो जाएगा तो आपके पास यह आगी है एनर्जी डेंसिटी इन दाउ फ्रेक्वेंसी डेंस न्यू से लेके न्यू लेस्ट दी न्यू कट तो शुरूप सीहाब का प्लैंक्स लॉफ और ब्लैज बॉडी रेडियेशन इन तरम्स फ्रेक्वेंसी के तरम्स में बट इन फ्रेक्वेंसी इंटरवल न्यू से लेकर न्यू क्लॉस तक अगर आप इस एक्सप्रेशन को वेवलेंथ के तरम्स में निकालना चाहते हैं वो भी आप कर सकते हैं आ� तो students ये था हमारा plans radiation law in terms of frequency अब इसी expression को हम wavelength के terms में लिखेंगे हम जानते है frequency और wavelength में क्या relation होता है as nu is equal to c by lambda so अगर आप दोनों तरफ differentiation करेंगे तो nu का derivative क्या हो जाएगा d nu is equal to c constant है और 1 by lambda का differentiation क्या होता है minus 1 upon lambda square और lambda का differentiation क्या हो जाएगा d lambda तो students d nu की value आ जाएगी minus c by lambda square d lambda तो आपको न्यू की जगह यहाँ पर इस न्यू की जगह आपको put करना है C by लामदा और इस D न्यू की जगह put करना है आपको minus C by लामदा square D लामदा और इस न्यू की जगह भी आपको put करना है C by लामदा put करना है तो आपका expression जो है वो wavelength के terms में आ जाएगा आपको यहाँ भी न्यू की जगह wavelength लिखना होगा तो आपको क्या लिखना पड़ेगा यहाँ पर stop D लामदा D लामदा D लामदा तो अब हम wavelength की terms में निकाल रहे हैं सब कुछ तो आपको इस new की जगह जो है lambda ही लिखना पड़ेगा is equal to 8 pi h new cube है new cube मतलब c by lambda का cube आगे है d new d new की value यह है minus c by lambda square d lambda और नीचे क्या है आपके पास नीचे है आपके पास c cube तो इसमें चौच सॉल्व करते हैं इसको तो क्या बनेगा ई लैमडा डी लामदा is equal to एप पाई हेच एप पाई हेच लेकिन शोरेंट्स यहाँ पर सी का क्यूब है यहाँ पर सी का क्यूब है तो इस सी क्यूब से यह वाला सी क्यूब पड़ जाएगा यह वाला सी हम यहाँ लेते हैं और साथ में लामदा की पावर क्यूब और लामदा स्पेड क और minus sign students हम यहाँ पर neglect करेंगे क्योंकि हम यहाँ पर इसके magnitude की बात करते हैं energy density को भी negative नहीं होती है तो minus sign हम neglect कर देते हैं तो यहाँ ले जाते हैं d lambda और नीचे ले जाते हैं हम यहाँ पर vc power hc by lambda kt minus 1 तो students यह है आपका planck's radiation law in terms of wavelength तो आप नीचे line लिखेंगे which is the required प्लांक्स वेडियेशन लॉग एंड टरंस आफ वेवलेंथ इन वेवलेंथ रेंज लाम्बा पूर्व लाम्बा प्लस ली लाम्बा इस तो नेट्स यहां तक करके आना एक्जाम में बहुत ही इंपोर्टेंट कोशिश नाइस इक्समार्ट सिक्टीगिरी में तो आप यहां तक इसकी डेरिवेशन करके आएंगे तब जाकर आपको पूरे मार्क्स