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सर्कुलर मोशन के महत्वपूर्ण बिंदु

एक मोटिवेशनल डोज तो बनता है यानी तीन बेसिक रिक्वायरमेंट्स हैं अल्टीमेटली सर इस तरह का वेक्टर तो होगा ही नहीं आई कैप जे कैप और के कैप ये तीन ऐसे वेक्टर्स हो गए उंगलियों को जब इस रोटेशन की डायरेक्शन में घुमाओ ग तो थंब किधर जा रहा है ये ये इसकी लीनियर वेलोसिटी है और ये इसका सेंट्रिपेटल एक्सीलरेशन है हेलो एवरीवन नमस्कार आदाब सत श्री अकाल एंड केम छो दिस इज शैलेंद्र पांडे वेलकमिंग ऑल ऑफ यू टू योर वंडरफुल प्लेटफॉर्म एनसीआरटी वाला मेरे प्यारे बच्चों आप सभी का बहुत-बहुत स्वागत है आपके अपने इस प्यारे से चैप्टर में पे सीरीज में जहां पर आज हम लोग पढ़ेंगे मोशन इन अ प्लेन यानी कि एक बहुत ही इंटरेस्टिंग बहुत ही तगड़ा सा चैप्टर है जिसमें बहुत सारे बच्चों को बहुत सारी दिक्कतें आती हैं तो आज आपकी वो सारी दिक्कतों का सलूशन लेकर के मैं आ गया हूं शैलेंद्र पांडे आपका अपना फिजिक्स एजुकेटर सबसे पहले आप सभी को नए साल की बहुत-बहुत हार्दिक शुभकामनाएं आपके लिए यह नया नया साल बहुत ही ज्यादा एनर्जेटिक हो आपको बहुत ही हर एक क्षेत्र में आपके जीवन में आपको प्रगति मिले आप सभी लोग अपनी एजुकेशन में बहुत ही ज्यादा एनरिचमेंट फील करें है ना आपका रिजल्ट बहुत अच्छा हो जिन बच्चों का बोर्ड एग्जामिनेशन है भगवान से यही प्रार्थना करता हूं कि वो सारे बच्चे अपने टॉप करें मेहनत करें है ना और ऊपर वाला मेहनत करने की आप सभी के अंदर एक एनर्जी डेवलप करें एक हैबिट डेवलप करें कि भाई रेगुलरली एक कंसिस्टेंटली हम सभी लोग मेहनत करते रहे सो मेरे प्यारे बच्चों पेस्ट सीरीज में आइए स्टार्ट करते हैं अपना आज का सेशन लेकिन स्टार्ट करने से पहले एक मोटिवेशनल डोज तो बनता है यस दोस्त मायूस मत होना जिंदगी से दोस्त मायूस मत होना जिंदगी से किसी भी वक्त तेरा नाम बन सकता है दोस्त मायूस मत होना जिंदगी से किसी भी वक्त तेरा नाम बन सकता है अगर दिल में हो आग अगर दिल में हो आग और हौसले हो बुलंद अगर दिल में हो आग और हौसले हो बुलंद तो अखबार बेचने वाला भी कलाम बन सकता है सो मेरे प्यारे बच्चों आप सभी को बस कंसिस्टेंटली मेहनत करते रहना है कब समय पलट जाएगा कब आपका भाग्य परिवर्तन हो जाएगा कब आपको वोह डिवाइन एनर्जी हेल्प करने लग जाएगी ये कोई नहीं जानता है इसलिए कोशिश करना नहीं छोड़ना है मेहनत करना नहीं छोड़ना है इस लेक्चर को अगर अभी शुरू कर रहे हो तो आखिरी तक अटेंड करना है हर एक कांसेप्ट को समझना है और उसके बाद उसको अप्लाई करने की कोशिश करनी है आपको अपने न्यूमेरिकल क्वेश्चंस में सो आइए अपना आज का सेशन स्टार्ट करते हैं सर आज के टॉपिक्स क्या हैं भैया टॉपिक्स तो कुछ नहीं है बस आज हम लोग डिटेल्स लेक्चर करेंगे मोशन इन अ प्लेन का जिसमें सबसे पहले आइए स्टार्ट करते हैं टाइप्स ऑफ फिजिकल क्वांटिटी से देखो कोई भी ऐसी चीज कोई भी ऐसी क्वांटिटी जिसको हम मेजर कर सकते हैं उसको फिजिकल क्वांटिटी कहा जाता है है ना तो फिजिकल क्वांटिटी के दो टाइप्स आपको मैंने फर्स्ट चैप्टर में बताए भी थे दैट वाज फंडामेंटल क्वांटिटी और दूसरा बताया था डिराइवर की रिक्वायरमेंट है या नहीं है लेकिन अब हम लोग डायरेक्शन के बेसिस पर क्वांटिटीज के टाइप्स की बात करेंगे तो कोई भी फिजिकल क्वांटिटी के तीन बेसिक टाइप्स हो सकते हैं है स्केलर क्वांटिटी वेक्टर क्वांटिटी और टेंसर क्वांटिटी टेंसर क्वांटिटी हमारे सिलेबस में नहीं है इसलिए हम लोग मेन डिस्कशन करेंगे स्केलर क्वांटिटीज और वेक्टर क्वांटिटीज के बारे में तो सबसे पहले आइए डिस्कशन करते हैं सर ये स्केलर क्वांटिटीज क्या होती हैं तो बेटा कोई भी ऐसी क्वांटिटी जिसके पास सिर्फ मैग्नी ूड्स ना हो उसको हम लोग स्केलर क्वांटिटीज कहते हैं स्केलर क्वांटिटीज को ऐड करने के जो रूल्स होते हैं वो वही है जो आप बचपन से सीखते आ रहे हो यानी 2 + 3 ये फाइव होता है यह स्केलर क्वांटिटी को ही ऐड करने का तरीका है यानी सिंपल अलजेब्राइक एडिशन हम लोग स्केलर क्वांटिटीज में कर रहे होते हैं सो द फिजिकल क्वांटिटीज व्हिच हैव ओनली मैग्निटिया स्केलर्स कहा जाता है एग्जांपल के तौर पर मास वॉल्यूम डेंसिटी टाइम टेंपरेचर इलेक्ट्रिक करंट ये सारी क्वांटिटीज स्केलर क्वांटिटीज में कंसीडर की जाती है इसके बाद अगली क्वांटिटीज है बेटा वेक्टर क्वांटिटीज क्या होती है तो भाई साहब कोई भी ऐसी फिजिकल क्वांटिटी जिसके पास मैग्नी ूड्स भी हो और साथ ही साथ वो वेक्टर के एडिशन लॉज को भी फॉलो करें यानी तीन बेसिक रिक्वायरमेंट्स है मैग्निटिया का नाम देते हैं सो द फिजिकल क्वांटिटीज व्हिच हैव बोथ मैग्निटिया होते हैं उन नियमों को भी फॉलो करना चाहिए तभी हम वेक्टर मानेंगे जैसे एग्जांपल के तौर पे डिस्प्लेसमेंट वेलोसिटी एक्सीलरेशन फर्स मोमेंटम ठीक है ऐसी बहुत सारी यहां पर एग्जांपल्स हम लोग लिख सकते हैं वेक्टर क्वांटिटीज के लिए ठीक है अब तीसरी कैटेगरी थी बेटा टेंसर क्वांटिटी टेंसर क्वांटिटीज वो होती हैं जिनके पास मैग्निटिया वेक्टर ए एडिशन रूल्स को वो फॉलो नहीं करते हैं फॉर एग्जांपल इलेक्ट्रिक करंट इलेक्ट्रिक करंट के पास डायरेक्शन होता है इलेक्ट्रॉन के अपोजिट डायरेक्शन में इलेक्ट्रिक करंट फ्लो करता है बट वहां पर ऐड करने में कोई स्पेशल नियम नहीं है 2 एंपियर + 3 एंपियर 5 एंपियर के बराबर ही होता है यानी सिंपल अलजेब्राइक एडिशन ही वहां फॉलो हो रहा है कोई वेक्टर का कोई स्पेशल रूल वहां पर यूज नहीं हो रहा है राइट तो मेरे प्यारे बच्चों जो इलेक्ट्रिक करंट है वो बेसिकली टेंसर क्वांटिटी है बट टेंसर हमारे सिलेबस में नहीं है इसीलिए मैंने आपको इलेक्ट्रिक करंट देखो इलेक्ट्रिक करंट मैंने आपको स्केलर क्वांटिटी में बताया था राइट इसी तरीके की कुछ क्वांटिटीज और भी है जो हम लोग आगे डिस्कशन जिनके बारे में करेंगे और वो क्वांटिटीज हमारी टेंसर क्वांटिटीज हैं बट सिलेबस में ना होने के कारण हम लोग उनको स्केलर क्वांटिटीज में ही रखकर पढ़ाई करेंगे जैसे प्रेशर प्रेशर भी टेंसर क्वांटिटी है ब उसको हम लोग स्केलर ही मानकर चलते हैं खैर एक बड़ा इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है स्केलर और वेक्टर में क्या डिफरेंस होता है तो स्केलर क्वांटिटीज के पास केवल मैग्नी ूडल क्वांटिटीज हैव बोथ मैग्नी ूडल डायरेक्शन स्केलर क्वांटिटीज चेंज इफ देयर मैग्निटिया या दोनों चेंज हो जाए तो वेक्टर क्वांटिटी चेंज हो जाया करती है सो इफ इफ आइर देयर मैग्निटिया अलजेब्राइक एडिशन है ये सिंपली आप उसको ऐड करेंगे दे कैन बी एडेड ओनली बाय यूजिंग स्पेशल लॉज ऑफ वेक्टर एडिशन वेक्टर को ऐड करने के लिए कुछ स्पेशल लॉज हैं हम लोग आज उसका डिस्कशन करेंगे उन सभी लॉज को फॉलो करना पड़ेगा अगर आप वेक्टर्स की बात कर रहे हैं तो बाकी आप कुछ एग्जांपल्स स्केलर के और कुछ एग्जांपल्स आप वेक्टर के भी लिख सकते हो वो भी डिफरेंस में काउंट कर लिया जाता है अब आ जाइए रिप्रेजेंटेशन ऑफ वेक्टर आपको सिखाते हैं कि भाई साहब किसी भी वेक्टर को कैसे रिप्रेजेंट किया जाता है बेटा किसी भी वेक्टर को हमेशा एक एरो से रिप्रेजेंट करते हैं एरो का जो ये वाला पॉइंट है इसको टेल ऑफ वेक्टर कहा जाता है ठीक है ये स्टार्टिंग पॉइंट है और इसको बेटा हेड ऑफ वेक्टर कहा जाता है ये वेक्टर का एंडिंग पॉइंट होता है ये जो एरो है यही वेक्टर को रिप्रेजेंट करता है देखो किसी भी वेक्टर के पास दो चीजें हैं सबसे पहली चीज क्या है इसका मैग्निटिया सर मैग्निटिया ये जो आपने एरो बनाया है इस एरो में मैग्नी ूडल और डायरेक्शन क्या है बेटा मैग्नी ट्यूड का मतलब है इसकी लंबाई ठीक है इस एरो का जो लेंथ होता है वही मैग्नी ट्यूड कहलाता है तो मैग्नी ूडल सकते हो दैट इज बेसिकली लेंथ ऑफ द एरो लेंथ ऑफ द एरो उस एरो की जो लंबाई होती है जो लेंथ होता है वही उसका मैग्नी ट्यूड कहलाता है अगर ये मान लो a वेक्टर है देखो कुछ ना कुछ नाम तो हो ग ही फॉर एग्जांपल a नाम है इसका अगर ये a वेक्टर है तो इसको लिखने का तरीका है इसके ऊपर एक एरो आप बना देंगे ठीक है हमेशा ऊपर वाला एरो राइट साइड में ही होता है यानी कि a वेक्टर लिखने का तरीका यही होगा a लिखो ऊपर एक एरो लगा दो तो ये कहलाएगा a वेक्टर अब बताइए सर सर अगर मैग्निटिया इसकी केवल लंबाई की बात करनी है तो आप उसको रिप्रेजेंट करेंगे या तो मड के अंदर a वेक्टर लिख दो यानी दो पैरेलल लाइंस के बीच में आप a वेक्टर लिख दीजिए या फिर केवल a लिखोगे बेटा तो भी अंडरस्टूड है कि आप उसके मैग्निटिया तो ये होगा या तो उसको लिखने का तरीका ये होगा मड ऑफ a वेक्टर इ इक्वल टू 15 सेंटीमीटर इस तरीके से हम लोग मैग्निटिया डायरेक्शन का मतलब मैं आपको बताऊं डायरेक्शन का मतलब है एंटी क्लॉक वाइज एंगल डायरेक्शन का मतलब है एंटी क्लॉक वाइज एंगल फ्रॉम पॉजिटिव डायरेक्शन ऑफ x एक्सिस ये जो x एक्सिस होती है हमारी देखो ये x एक्सिस का पॉजिटिव डायरेक्शन है इस पॉजिटिव डायरेक्शन से जो एंटीक्लॉक वाइज एंगल बना हुआ है ये जो एंगल थीटा बना हुआ है यही एंगल थीटा इस वेक्टर का डायरेक्शन कहलाता है ठीक है तो डायरेक्शन को आप थीटा से रिप्रेजेंट करते हो और मैग्नी ूडल मोड ऑफ a वेक्टर लिख कर के रिप्रेजेंट कर रहे होते हैं हम लोग राइट तो कभी भी अगर आपसे बोला जाएगा वेक्टर क्वांटिटी है तो आपके पास यह दो चीजों का एक्सप्लेनेशन होना चाहिए कि सर इसका मैग्नी ूडल सर इसकी डायरेक्शन क्या है यानी कि ये x एक्सिस के साथ आखिर कितना एंगल फॉर्म कर रहा है ये दो चीजें बेटा आपको पता होनी चाहिए यही उस वेक्टर का रिप्रेजेंटेशन कहलाता है दैट इज रिप्रेजेंटेशन ऑफ वेक्टर इसके बाद अगली चीज है मॉड्यूस ऑफ वेक्टर क्या है तो मॉडल ऑफ वेक्टर का मतलब हो गया मैग्नी ूडल किसी भी वेक्टर का मैग्नी ूडल था ना दो पैरेलल लाइंस के बीच में आप लिखेंगे चाहे आप इस तरीके से लिखिए चाहे आप इस तरीके से लिखिए ठीक है यही उस वेक्टर का मॉड्यूल अस कहलाता है यही उस वेक्टर की लेंथ कहलाता है सो मॉड्यूस ऑफ द वेक्टर मींस द लेंथ और मैग्निटिया उसका जो मैग्नी ूडल कहलाता है और मॉडल अस कैसी क्वांटिटी है बेटा स्केलर क्वांटिटी क्योंकि यहां पर बात सिर्फ और सिर्फ उसके लेंथ की हो रही है यहां पर उसकी डायरेक्शन से हमको कोई मतलब नहीं है इसके बाद है सर वेक्टर के टाइप्स पर आ जाइए तो मेरे प्यारे बच्चों वेक्टर के बहुत सारे टाइप्स है तो आइए ढेर सारे टाइप्स के बारे में हम लोग बात करते हैं डिटेल में डिस्कशन करते हैं सबसे पहली कैटेगरी है बेटा इक्वल वेक्टर्स सर य इक्वल वेक्टर्स क्या है तो ऐसे वेक्टर्स जिनका मैग्निटिया मैग्निटिया a वेक्टर और एक वेक्टर ये रहा b वेक्टर अब ध्यान से अगर आप इन दोनों वेक्टर्स को देखिए तो इन दोनों वेक्टर्स का जो डायरेक्शन है बेटा वो भी सेम है इन दोनों वेक्टर्स का जो लेंथ है वो भी सेम है तो हम लोग यहां पर लिख सकते हैं कि a वेक्टर जो है वो b वेक्टर के बराबर है तो ऐसे वेक्टर्स इक्वल वेक्टर्स कहलाते हैं जिनका मैग्नी ूडल का डायरेक्शन दोनों सेम हो मैग्नी डायरेक्शन अगर दोनों ही सेम है तो ऐसे वेक्टर्स को बेटा इक्वल वेक्टर्स कहा जाता है डेफिनेशन आप लिख सकते हैं दोज वेक्टर्स व्हिच हैव इक्वल मैग्नी ूडल मैग्निटिया या फिर नेगेटिव ऑफ अ वेक्टर क्या होता है तो देखो अगर एक वेक्टर मान लो यह रहा दिस इज ए वेक्टर और दूसरा वेक्टर बेटा यह रहा दिस इज बी वेक्टर अब यहां पर अगर आप डेफिनेशन ध्यान से समझ रहे हैं तो ये ऐसे वेक्टर्स है जिनका मैग्नी ूडल है लेकिन डायरेक्शन जस्ट अपोजिट है तो जरा पढ़ो नेगेटिव ऑफ अ वेक्टर इज डिफाइंड एज अनदर वेक्टर हैविंग अनदर वेक्टर हैविंग सेम मैग्निटिया मैग्नी ूड्स अपोजिट होगा तो ऐसे केसेस में बेटा हम लोग ये कह सकते हैं कि मड ऑफ a वेक्टर जो है वो मड ऑफ b वेक्टर के बराबर है यानी कि दोनों का मैग्निटिया a वेक्टर इज इक्वल टू नेगेटिव ऑफ b वेक्टर तो कभी भी आपसे ऐसा बोला जाए कि भाई इधर की तरफ a वेक्टर है इसी के जस्ट अपोजिट सेम लेंथ का एक वेक्टर बताओ तो आपको बताना चाहिए दैट इज - ए वेक्टर ठीक इसी को कहा जाता है नेगेटिव वेक्टर राइट नेक्स्ट है इसी को अपोजिट वेक्टर भी कहा जा सकता है बेटा जैसे नेगेटिव वेक्टर है बिल्कुल इसी तरीके से इसका दूसरा नाम भी हो सकता है व्हिच इज अपोजिट वेक्टर दिस इज अपोजिट वेक्टर नेक्स्ट है कोलिनियर वेक्टर क्या होता है व्हाट इज कोलिनियर वेक्टर भाई कोई भी ऐसा वेक्टर जो कि सेम लाइन में है पैरेलल है एक दूसरे के उनको कोलिनियर वेक्टर कहा जाता है सो द वेक्टर व्हिच आइर एक्ट अलोंग द सेम लाइन ऐसे वेक्टर जो कि सेम लाइन पर है और अलोंग पैरेलल लाइंस यानी कि दोनों एक दूसरे के पैरेलल है ऐसे वेक्टर्स को कोलिनियर वेक्टर या पैरेलल वेक्टर्स भी कहा जाता है तो एक वेक्टर यह रहा ठीक है दूसरा वेक्टर ये रहा इस बार देखो ये जो दोनों वेक्टर्स हैं ये दोनों वेक्टर्स पैरेलल वेक्टर्स हैं और दोनों का डायरेक्शन भी सेम है ठीक है इस तरह के पैरेलल वेक्टर्स को लाइक पैरेलल वेक्टर कहा जाता है दे आर लाइक पैरेलल वेक्टर्स ठीक मतलब पैरेलल वेक्टर्स हो डायरेक्शन सेम हो तो उनका नाम क्या है लाइक पैरेलल वेक्टर्स बट अगर एक वेक्टर ऐसा है दूसरा वेक्टर ऐसा है दोनों देखो एक दूसरे के पलल है बट डायरेक्शन जस्ट अपोजिट है तो इस तरह के वेक्टर को बेटा नाम दिया जाता है अनलाइक पैरेलल अनलाइक पैरेलल वेक्टर्स ये अनलाइक पैरेलल वेक्टर्स कहलाते हैं राइट है तो आप देख सकते हैं यहां पर टू कोलिनियर वेक्टर्स हैविंग सेम डायरेक्शन अगर दोनों का डायरेक्शन सेम है ठीक है तो उनको लाइक और पैरेलल वेक्टर्स कहा जाता है राइट तो उनको लाइक या फिर हम लोग पैरेलल वेक्टर्स कहते हैं और यहां पर एंगल कितना है 0° है बट टू कोलिनियर वेक्टर्स हैविंग अपोजिट डायरेक्शन यहां पर डायरेक्शन जस्ट अपोजिट है यानी कि दोनों के बीच का एंगल कितना है बेटा 180° है तो ऐसे में दे आर कॉल्ड अनलाइक और एंटी पैरेलल वेक्टर्स इनको एंटी पैरेलल वेक्टर्स भी कहा जाता है या फिर इनको अनलाइक पैरेलल वेक्टर्स भी आप लोग कह सकते हैं ठीक है देखो पैरेलल ये भी है पैरेलल ये भी है ये लाइक पैरेलल है वो अनलाइक पैरेलल है या एंटी पैरेलल भी आप इसको नाम में दे सकते हो ठीक है चलिए अगला कैटेगरी देखते हैं बेटा नेक्स्ट है को प्लेनर वेक्टर को मतलब सेम प्लेनर मतलब प्लेन यानी कि ऐसे वेक्टर्स जो कि सेम प्लेन में है दोज वेक्टर्स व्हिच आर ऑन सेम प्लेन दे आर नोन एज को प्लेनर वेक्टर्स तो मेरे प्यारे बच्चों यह पूरा का पूरा जो एक बोर्ड है ना यह भी एक प्लेन है अच्छा प्लेन के बारे में मैं आपको एक बात और बताऊं अगर यह हमारा एक्स एक्सिस है यह हमारा वा एक्सिस है और यहीं पर यह हमारा जड एक्सिस है 3d मान लो हम रिप्रेजेंट करें तो बेटा ये जो पूरा प्लेन है ना ये वाला जो पूरा प्लेन होता है ये पूरा प्लेन एक्सवा प्लेन कहलाता है ये पूरा प्लेन क्या कहलाता है दिस इज एक्सवा प्लेन यानी किसी भी एक प्लेन में दो एक्सिस होती है एक प्लेन में दो एक्सिस होती है यानी ये एक्स एक्सिस है ये वा एक्सिस है तो ये जो पूरा प्लेन है ये पूरा प्लेन एक्वा प्लेन है यानी कि ये पूरा डिजिटल बोर्ड किस प्लेन में है बेटा ये एक्सवा प्लेन में है लेकिन अगर मैं अगर मैं आपसे बात करूं इसकी यह देखो यह वा एक्सिस है ये जड एक्सिस है तो यह वाला जो प्लेन हुआ मेरे प्यारे बच्चों यह वाई जड प्लेन हुआ दिस इज वा जड प्लेन बिल्कुल इसी तरीके से अगर आपसे इस प्लेन की बात किया जाए इस प्लेन की मैं बात करूं तो ये देखिए ये रहा एक्स एक्सिस ये रहा जड एक्सिस तो ये बना जाएगा एक्स जड प्लेन या z एक्स प्लेन बात एक ही है जो भी नाम आप लिखना चाहे यानी किसी भी एक प्लेन में कितनी एक्सेस होती है दो एक्सेस मेरे प्यारे बच्चों होती है राइट अब यहां पर जरा आप समझो यानी ये पूरा का पूरा डिजिटल बोर्ड जो है वो एक्सवा प्लेन है आपका मोबाइल जो है वो भी एकवा प्लेन है तो इस बोर्ड पर जितने भी मैं वेक्टर बना पाऊं ये ये कैसा भी ठीक है जैसा भी मैं बना पाऊं ये सारे वेक्टर्स कैसे हैं दे ऑल आर को प्लेनर वेक्टर्स अब मेरी बात आई सर अगर मान लो सर एक वेक्टर ऐसे बनाए सर और एक वेक्टर ऐसे बाहर निकाल दे सर इधर की तरफ बाहर निकाल दे सो सर क्या यह दोनों वेक्टर्स पैरेलल है बिल्कुल सॉरी क्या यह दोनों वेक्टर सर को प्लेनर है बिल्कुल को प्लेनर है कोई भी दो वेक्टर बेटा हमेशा को प्लेनर होते हैं तो यहां पर एक पॉइंट आप लोग को लिख लेना चाहिए अपनी नॉलेज के लिए एनी टू वेक्टर्स एनी टू वेक्टर्स आर ऑलवेज को प्लेनर कोई भी दो वेक्टर्स बेटा हमेशा को पलेन होते हैं सर कैसे पता चलेगा एक वेक्टर मान लो यह वाला है और एक वेक्टर ऐसे बाहर निकला हुआ है तो बेटा इन दोनों से भी तो एक प्लेन पास हो सकता है प्लेन मतलब एक पेपर इस तरह का एक पेपर ले लो ठीक है यह देखो इन दोनों से भी तो एक पेपर ऐसे पास हो सकता है यह देखो कैसे भी कर लो इसको यह देखो ऐसे कैसे भी कर लो तो कहने का मतलब मेरे प्यारे बच्चों यह है कि कोई भी दो वेक्टर्स हमेशा को पलेन होते हैं लेकिन अगर तीन वेक्टर्स हैं तो अब तुम्हें समझना पड़ेगा अब आपको देखना पड़ेगा कि वो को प्लेनर है या नहीं है इसका मतलब मेरे प्यारे बच्चों कोई भी दो वेक्टर्स हमेशा को पलेन होंगे लेकिन अगर तीन वेक्टर्स हैं तब गारंटी नहीं है कि वो कोपलेर है या कोपलेर नहीं है तब आपको चेक करना पड़ेगा कि वो कोपलेर है या नहीं है अगला है बेटा को इनिशियल वेक्टर्स को इनिशियल वेक्टर्स का मतलब ऐसे वेक्टर्स जिनके इनिशियल पॉइंट सेम है यानी कि यह जैसे मान लो पहला वेक्टर है राइट इसी पॉइंट से दूसरा वेक्टर यह रहा ठीक है इसी पॉइंट से तीसरा वेक्टर यह रहा तो ये तीनों वेक्टर्स कैसे हो गए दे आर को इनिशियल वेक्टर्स है ना सो दोज वेक्टर्स व्हिच हैव सेम इनिशियल पॉइंट दे आर को इनिशियल वेक्टर्स अगला है को टर्मिनस वेक्टर्स को टर्मिनस मतलब एक वेक्टर यह रहा दूसरा यह रहा तीसरा वेक्टर यह रहा यानी ऐसे वेक्टर्स जिनके टर्मिनल्स जिनके एंडिंग पॉइंट सेम पॉइंट पर हो यानी दोज वेक्टर्स व्हिच हैव कॉमन टर्मिनल पॉइंट टर्मिनल मतलब एंडिंग पॉइंट यानी सभी के हेड अगर एक ही पॉइंट पर हो तो उसको को टर्मिनस वेक्टर्स कहा जाता है इसके बाद अगला है बेटा जीरो वेक्टर क्या है कोई भी ऐसा वेक्टर जिसके पास जीरो मैग्निटिया हो और आर्बिट्रेरी डायरेक्शन हो सर आर्बिट्रेरी मतलब आर्बिट्रेरी मतलब नॉट फिक्स्ड नॉट फिक्स्ड यानी कोई ऐसा वेक्टर ये देखो अब ये एक पॉइंट है ठीक है इस पॉइंट का मैग्निटिया सर नहीं पता भैया ये पॉइंट है ये पॉइंट किधर जाएगा किसी को क्या पता मैं हाथ किधर ले जाऊंगा आपको क्या पता राइट यानी कि ये ऐसा वेक्टर हो गया जिसका मैग्नी ूड्स डायरेक्शन नहीं है सो इट हैज नो फिक्स्ड डायरेक्शन और इट हैज एन आर्बिट्रेरी डायरेक्शन एंड दिस इज रिप्रेजेंटेड बाय जीरो वेक्टर जीरो लिखो उसके ऊपर वेक्टर बना दो इसको जरो वेक्टर कहते हैं अल्टीमेटली सर इस तरह का वेक्टर तो होगा ही नहीं सही बात है लेकिन सर फिर क्यों पढ़ रहे हैं हम लोग जीरो वेक्टर पढ़ने की जरूरत क्या है देखिए जरा एक चीज सोचो अगर ये a वेक्टर है और ये b वेक्टर है और मान लो दोनों इक्वल वेक्टर्स हैं तो अगर मैं इन दोनों को को सबस्टैक करूंगा अगर मैं इन दोनों को सबट क्ट करूंगा तो मैं क्या लिखूंगा अगर मैं a वेक्टर - b वेक्टर = 0 लिखूं तो एक हिसाब से गलत है क्योंकि हमें लिखना चाहिए a वेक्टर - b वेक्टर बराबर 0 वेक्टर क्योंकि वेक्टर में वेक्टर जोड़ो ग तो वेक्टर आएगा वेक्टर में वेक्टर घटाओ ग तो भी वेक्टर आएगा राइट तो ये वेक्टर आना चाहिए सो इट मस्ट बी जीरो वेक्टर नेक्स्ट है बेटा यूनिट वेक्टर यूनिट वेक्टर क्या है कोई भी ऐसा वेक्टर जिसका मैग्निटिया हो और कोई फिक्स्ड डायरेक्शन सो एनी वेक्टर व्हिच हैज अ मैग्निटिया उस गिवन वेक्टर की डायरेक्शन में हो उसी को यूनिट वेक्टर कहा जाता है जैसे मान लो ये हमारा कोई a वेक्टर है अब इस a वेक्टर का मैग्नी ूडल भी हो सकता है दो यूनिट पांच यूनिट 10 यूनिट है ना इसका लेंथ कुछ भी हो सकता है लेकिन इसी की डायरेक्शन में इसी की डायरेक्शन में अगर एक यूनिट का एक वेक्टर बनाया जाए इसी की डायरेक्शन में केवल वन यूनिट का एक वेक्टर बनाया जाए तो इस वेक्टर का नाम होता है ए कैप रिप्रेजेंटेशन है ए कैप ऊपर टोपी पहना दो ए कैप इसी को यूनिट वेक्टर बोलते हैं और मेरे प्यारे बच्चों यूनिट वेक्टर का फार्मूला क्या है ए वेक्टर में अगर उसी के मैग्नी का डिवाइड कर दिया जाए किसी भी वेक्टर में उसी के मैग्नी का डिवाइड कर दिया जाए तो आखिर मैग्नी ूडल लो मान लो यह जो ए वेक्टर था इसका मैग्निटिया तो मैग्नी कितना बचेगा वन मान लो इसका मैग्नी सात यूनिट अब सात से ही डिवाइड कर देंगे तो कितना बचेगा वन तो कहने का मतलब क्या है किसी भी वेक्टर में उसी के मैग्नी का अगर आप डिवाइड कर दोगे तो क्या बचेगा यूनिट वेक्टर सर यूनिट वेक्टर का काम क्या है यूनिट वेक्टर का काम है टू प्रोवाइड डायरेक्शन टू प्रोवाइड डायरेक्शन मैं आप आपसे बोलूं कि ये a वेक्टर है जिसका मैग्निटिया राइट अब a वेक्टर की ही डायरेक्शन में सात यूनिट का एक वेक्टर बनाइए तो आपको क्या बनाना है आपको बेसिकली बनाना है 7a कैप ध्यान से समझो a वेक्टर की डायरेक्शन में सात यूनिट का वेक्टर बनाओ तो 7a कैप राइट भैया एक कैप का मैग्नी ट्यूड हमेशा कितना होगा वन यूनिट सात का मल्टीप्लाई कर दिया सात यूनिट हो गी मैं कहूं एक की डायरेक्शन में 15 यूनिट का वेक्टर बताओ 15 ए कैप ए वेक्टर के अपोजिट डायरेक्शन में तीन यूनिट का वेक्टर बताओ -3 ए कैप बात समझ में आ रही है लॉजिक समझो बेटा इसका एनी वेक्टर कैन बी एक्सप्रेस्ड एज मैग्निटिया किसी भी वेक्टर को हम लोग इस तरीके से रिप्रेजेंट कर सकते हैं ये यहां इक्वल नहीं है ये यहां मल्टीप्लाई में है ठीक है ये बेसिकली आप ऐसा लिख सकते हो ए वेक्टर इ इक्वल टू मोड ऑफ ए वेक्टर यानी ये इसका क्या है मैग्नेट है मल्टीप्ला बाय इट्स यूनिट वेक्टर ये किसी भी वेक्टर को इस तरीके से लिखा जा सकता है यह कहां से आया यहां से आया भैया ए वेक्टर है क्रॉस मल्टीप्लाई कर दो ठीक है क्रॉस मल्टीप्लाई करो ए वेक्टर बराबर यह क्या चीज है उस वेक्टर का मैग्निटिया का डायरेक्शन तो बेसिकली अगर आप ध्यान से समझ रहे हो तो यूनिट वेक्टर क्या करता है यूनिट वेक्टर डायरेक्शन प्रोवाइड करने का काम करता है राइट नेक्स्ट है सर पोजीशन वेक्टर क्या होता है व्ट इ पोजीशन वेक्टर किसी भी पॉइंट की पोजीशन को दिखाने वाला जो वेक्टर है वही पोजीशन वेक्टर कहलाता है अच्छा यूनिट वेक्टर में थोड़ा सा पहले और डिटेल आपको आइए बता देते हैं यूनिट वेक्टर में ही एक कैटेगरी और होती है जिसका नाम है ऑर्थल ऑर्थोगनाथाउज डायरेक्शन जो सबसे बेस्ट है वो है एक्स डायरेक्शन वा डायरेक्शन और जड डायरेक्शन तो x डायरेक्शन में जो यूनिट वेक्टर है वन यूनिट का x डायरेक्शन में जो वेक्टर है इस वेक्टर का नाम होता है i कैप y डायरेक्शन में जो वेक्टर है इसका नाम होता है j कैप और z डायरेक्शन में जो वेक्टर होता है वन यूनिट का उसका नाम है k कैप तो बेटा i कैप j कैप k कैप यह तीन ऐसे वेक्टर्स हैं जिनका मैग्निटिया मैं आपसे कहूं x डायरेक्शन में पांच यूनिट का एक वेक्टर बताइए तो बोलो वो कुछ इस तरीके का होगा उसका नाम है 5 आ कैप मैं आपसे बोलूं y डायरेक्शन में तीन यूनिट का बेटा वेक्टर बताइए तो ऐसा होगा इसका नाम है 3 ज कैप मैं आपसे बोलूं z डायरेक्शन में दो यूनिट का वेक्टर बताइए कुछ इस तरीके का होगा मतलब बाहर निकला होगा अब बाहर तो निकाल नहीं सकते तो ऐसे बना दिया हमने ठीक है तो ये बेसिकली क्या हो गया दैट इज 2k कैप तो मेरे प्यारे बच्चों i कैप ज कैप और के कैप ये तीन ऐसे वेक्टर्स हो गए जो कि एक्स डायरेक्शन वाई डायरेक्शन और जड डायरेक्शन को रिप्रेजेंट करने का काम करते हैं इन्हीं को ऑर्थोगनेथिक सिस्टम आप सभी को आता है ठीक है किसी पॉइंट को लिखना आप सभी को आता है मान लो ये कोई पॉइंट है 3 4 ठीक है ये पॉइंट है ी 4 तो इस पॉइंट 3 4 को रिप्रेजेंट करने के लिए जो वेक्टर होगा ठीक है यह वाला वेक्टर जो इसको ओरिजिन से जोड़ रहा है ये ओरिजिन है ओरिजिन को उस पॉइंट प से जोड़ने वाला जो वेक्टर है इसी वेक्टर को आप आर वेक्टर लिख सकते हैं इसी आर वेक्टर को पोजीशन वेक्टर कहा जाता है ओरिजिन को पॉइंट से जोड़ने वाला जो वेक्टर है वही क्या कहलाता है पोजीशन वेक्टर कहलाता है ठीक है ओरिजिन को उस पॉइंट से जोड़ने वाला जो वेक्टर है वही पोजीशन वेट कहलाता है और मेरे प्यारे बच्चों पोजीशन वेक्टर अगर मैं यहां लिखूं इस पॉइंट का तो दैट इज वेरी सिंपल यानी 3 आ कैप + 4 ज कैप ये तरीका है अगर पॉइंट का कोऑर्डिनेट है 3 4 तो आपने लिखा है 3 आ कैप + 4 ज कैप अगर इस पॉइंट का कोऑर्डिनेट होता मान लो कोई पॉइंट है q पॉइंट उस q पॉइंट का कोऑर्डिनेट है 1 2 3 तो उस q पॉइंट के करेस्पॉन्डिंग्ली सोचना क्या वो o क वेक्टर होगा अरे यार अगर कोई पॉइंट है q पॉइंट जिसके कोऑर्डिनेट्स है 1 2 3 एक एक्सिस पर वन y एक्सिस पर टू और z एक्सिस पर थ यहां क ही पॉइंट होगा बाहर इस पॉइंट का कोऑर्डिनेट वन 2 3 है राइट तो पोजीशन वेक्टर o क वेक्टर होगा और o क वेक्टर को मैं क्या लिखूंगा i कैप + 2j कैप + 3k कैप राइट है ठीक है अब देखो अगर मैं तुमसे कहूं बेटा इस वेक्टर की लंबाई बता दो व्हाट इज द लेंथ ऑफ दिस वेक्टर तो आप भी यह बात बहुत सिंपली कह सकते हो कि सर यह देखो आप इस तरीके से बहुत सिंपली बोल सकते हैं कि अगर यह 3 4 है तो इसका मतलब यह थ्री यूनिट रहा होगा और यह फोर यूनिट रहा होगा अब अगर मैं तुमसे इसकी लंबाई पूछूं व्हाट इज इट्स लेंथ व्हाट इज इट्स मैग्निटिया मोड ऑफ r वेक्टर इसको केवल r लिखा जा सकता है दैट इज अंडर रूट ऑफ 3 स् + 4 स् सर ये कहां से आया पाइथागोरस थ्योरम ये थ्री है ये फोर है तो ये कितना आएगा अ √3 स् + 4 स् तो मेरे प्यारे बच्चों ये निकल कर आ जाएगा फाइव यूनिट के बराबर कितना आएगा फाइव यूनिट के बराबर यानी कि आपको एक आईडिया यहां से लग रहा होगा मैग्नी ूडल हैं तो अगर मैं तुमसे इसका मैग्नी ूडल ऑफ o क वेक्टर का बोलो इसका मैग्नी ूडल अगर इसका मैग्नी ूडल 3 स् + 4 स् तो बोलो बिल्कुल इसी पैटर्न पर इसका मैग्नी ट्यूड होगा अंडर √1 स् + 2 स् + 3 स् तो ये बन जाएगा 1 + 4 + 9 राइट है यानी कि 9 + 4 13 13 और 1 14 बोलो यार क्या यह बात आपको समझ में आई है क्या यह बात समझ में आई है एक जनरल बात आपसे से कर देते हैं मान लो कोई a वेक्टर है ठीक है और उस a वेक्टर को अब हम लोग इस तरीके से लिख सकते हैं a एक आई कैप प्स एवा ज कैप प्स ए के कैप सर यह कहां से आया सर समझ नहीं आया अरे देखो यार कोई भी वेक्टर है यह एक्स एक्सिस है यह वा एक्सिस है यह मान लो z एक्सिस है कोई भी बेटा अगर वेक्टर आप बनाओगे जरा ध्यान से सोचो कोई भी ऐसा वेक्टर बनाओगे तो ओबवियस है किसी ना किसी पॉइंट का पोजीशन वेक्टर रहा होगा भैया ये ओरिजिन है यह पॉइंट के कोऑर्डिनेट्स कुछ ना कुछ तो रहे होंगे तो मान लो कोऑर्डिनेट्स है a एक्स एवा एड अब अगर ये a वेक्टर है तो आप खुद ही सोच लो ना ये a वेक्टर उस पर्टिकुलर पॉइंट का क्या है पोजीशन वेक्टर है यानी किसी भी वेक्टर को मैं पोजीशन वेक्टर के टर्म्स में लिख सकता हूं तो अगर कोई वेक्टर बेटा इस तरह का वेक्टर लिखा हुआ है तो इस वेक्टर का जो मैग्निटिया क्या यह बात समझ में आ रही है लिख लेना बेटा एक जगह पर ठीक है बहुत सारे बच्चे इसमें कंफ्यूज रहते हैं सर यह क्या चीज़ है यह कहां से आ गया बहुत सिंपलेस्ट वे में आपको मैं समझाने की कोशिश कर रहा हूं यानी किसी भी पॉइंट का पोजीशन वेक्टर अगर मैं इस फॉर्म में लिख दूं तो आप इसका आप इसका मैग्निटिया वो वेक्टर जो किसी पॉइंट का पोजीशन दिखाए यानी ओरिजिन को पॉइंट से मिला दो वही उसका पोजीशन वेक्टर कहलाता है नेक्स्ट है बेटा डिस्प्लेसमेंट वेक्टर सर ये डिस्प्लेसमेंट वेक्टर क्या है डिस्प्लेसमेंट तो सर सुना सुना लग रहा है ये देखो x एक्सिस है ये देखो वा एक्सिस है मान लो कोई एक पॉइंट यहां पर है p पॉइंट और कोई एक पॉइंट यहां पर है q पॉइंट अब अगर मैं आपसे कहूं देखो p पॉइंट का पोजीशन वेक्टर ये रहा q पॉइंट का पोजीशन वेक्टर ये रहा राइट है ये इसका पोजीशन वेक्टर है r प वेक्टर ये इसका पोजीशन वेक्टर है r क वेक्टर अब मेरे प्यारे बच्चों जरा ध्यान से समझना अगर मैं p से q की तरफ मान लो कोई पार्टिकल p से q की तरफ गया है तो ये जो प क वेक्टर है यही प क वेक्टर कहलाता है डिस्प्लेसमेंट वेक्टर दिस p क वेक्टर इज नोन एज डिस्प्लेसमेंट वेक्टर राइट है डिस्प्लेसमेंट वेक्टर ये जो p क वेक्टर है r प क वेक्टर यही क्या कहलाता है डिस्प्लेसमेंट वेक्टर अगर आप p से q गए हैं तो p क वेक्टर अगर q से प गए हैं तो q प वेक्टर दैट इज नोन एज डिस्प्लेसमेंट वेक्टर अभी आगे आप लोग इस चीज को सीख जाएंगे कि अगर आ प क वेक्टर या सिंपल में लिखूं अगर प क वेक्टर आपको लिखना है प क वेक्टर अगर आपको लिखना है तो अभी आप आगे पढ़ेंगे सीखेंगे इसको दैट इज बेसिकली r क वेक्टर माइनस आर प वेक्टर q का पोजीशन वेक्टर माइनस प का पोजीशन वेक्टर यही होता है प क वेक्टर और अगर लिखना है q प वेक्टर तो पहले प का पोजीशन वेक्टर माइनस q का पोजीशन वेक्टर इस तरीके से डिस्प्लेसमेंट वेक्टर्स को लिखा जाता है फाइनल माइनस इनिशियल देखो p क लिख रहे हो तो q फाइनल है ना तो फाइनल पॉइंट का पोजीशन वेक्टर माइनस इनिशियल पॉइंट का पोजीशन वेक्टर q प लिख रहे हो तो p फाइनल है ना तो फाइनल पॉइंट का पोजीशन वेक्टर माइनस इनिशियल पॉइंट का पोजीशन वेक्टर इस तरीके से पोजीशन वेक्टर्स को लिखा जाता है ठीक है तो ये रहा हमारा डिस्प्लेसमेंट वेक्टर ठीक है इट इज दैट वेक्टर व्हिच टेल्स हाउ मच एंड इन व्हिच डायरेक्शन एन ऑब्जेक्ट हैज चेंज इट्स पोजीशन इन द गिवन टाइम इंटरवल अगला है बेटा पोलर वेक्टर्स क्या होते हैं सो दोज वेक्टर्स व्हि हैव अ स्टार्टिंग पॉइंट और अ पॉइंट ऑफ एप्लीकेशन ऐसे वेक्टर्स जिनके पास एक स्टार्टिंग पॉइंट है या एक पॉइंट ऑफ एप्लीकेशन है उनको पोलर वेक्टर्स कहा जाता है जैसे डिस्प्लेसमेंट वेक्टर कि भाई यहां से इधर की तरफ गए तो यह स्टार्टिंग पॉइंट था ना इनिशियल पॉइंट ठीक वेलोसिटी वेक्टर फोर्स वेक्टर यह सभी कैसे वेक्टर्स हो गए दे आर वेक्टर्स इनके पास एक फिक्स्ड स्टार्टिंग पॉइंट है कि भैया इस जगह से डिस्प्लेसमेंट होना शुरू हुआ है इस पॉइंट पर यह फोर्स अप्लाई हुआ है नेक्स्ट है मेरे प्यारे बच्चों एक्सियल वेक्टर्स क्या होते हैं व्हाट आर एक्सियल वेक्टर्स ऐसे वेक्टर्स जो कि एक एक्सिस के अलोंग लगते हैं और रोटेशनल इफेक्ट को रिप्रेजेंट करते हैं उनको एक्सल वेक्टर कहा जाता है सो द वेक्टर्स च रिप्रेजेंट्स रोटेशनल इफेक्ट एंड एक्ट अलोंग द एक्सेस ऑफ रोटेशन अभी एक चैप्टर आ गया आगे हम लोग पढ़ेंगे सिस्टम ऑफ पार्टिकल्स एंड रोटेशनल मोशन वहां पर बहुत सारे एक्सियल वेक्टर्स की बात हम लोग कर लेंगे राइट यानी ऐसे वेक्टर्स जो कि रोटेशनल इफेक्ट को रिप्रेजेंट करते हैं किसी एक एक्सिस ऑफ रोटेशन के अलोंग अप्लाई होते हैं अकॉर्डिंग टू राइट हैंड स्क्रू रूल आर एक्सियल वेक्टर्स उनको एक्सियल वेक्टर्स कहा जाता है एग्जांपल देखो जैसे एंगुलर वेलोसिटी हो गया ठीक है अब कोई ऑब्जेक्ट है वो इस तरीके से घूम रहा है ऐसे घूम रहा है एंटीक्लॉक वाइज ठीक है ऑब्जेक्ट मान लो ऐसे घूम रहा है ऐसे ऐसे ऐसे घूम रहा है ऐसे ऐसे तो इस वेक्टर को रिप्रेजेंट करने के लिए जो डायरेक्शन हम लोग मानेंगे राइट हैंड रूल कहता है कि आप अपनी उंगलियों को घुमाओ उंगलियों को जब इस रोटेशन की डायरेक्शन में घुमाओ ग तो थंब किधर जा रहा है ऊपर तो ये हो गया एक्सियल वेक्टर राइट एक्सियल वेक्टर यानी कि अगर कोई पूछे एंगुलर वेलोसिटी किधर है तो आप बोलेंगे सर अपवर्ड डायरेक्शन में एंगुलर वेलोसिटी है बट बॉडी कैसे घूम रही है तो ऐसे देखने पर बॉडी एंटीक्लॉक वाइज घूम रही है राइट है यहां पर देखो इधर की तरफ है इसका मतलब बॉडी ऐसे घूम रही है इस डायरेक्शन ऐसे बॉडी घूम रही है ऐसे बॉडी ऐसे घूम रही है तो एक्सल वेक्टर किस डायरेक्शन में है डाउन वर्ड डायरेक्शन में है ठीक है तो बेटा एंगुलर वेलोसिटी टॉर्क एंगुलर मोमेंटम ये ऐसी क्वांटिटीज हो गई जो एक्सियल वेक्टर्स कहलाते हैं अब आया फिक्स्ड वेक्टर फिक्स्ड वेक्टर वो होता है दोज वेक्टर्स च हैव अ फिक्स्ड इनिशियल पॉइंट अब इसके पहले भी हम लोग ने पोलर वेक्टर पढ़ा था जिनके पास इनिशियल पॉइंट हो इनके पास इनिश पॉइंट फिक्स्ड है तो उनको फिक्स्ड वेक्टर्स या फिर लोकलाइज्ड वेक्टर भी कहा जाता है फिक्स्ड वेक्टर या फिर लोकलाइज्ड वेक्टर भी कहा जाता है फॉर एग्जांपल पोजीशन वेक्टर ऑफ अ पार्टिकल किसी भी पार्टिकल का जो पोजीशन वेक्टर है दैट इज अ फिक्स्ड वेक्टर क्योंकि इनिशियल पॉइंट हमेशा कौन सा होता है ओरिजिन ठीक है वो फिक्स्ड है ऑलवेज फिक्स्ड है तो वो कैसा वेक्टर कहलाएगा दैट इज फिक्स्ड वेक्टर या लोकलाइज्ड वेक्टर कई बार पूछा जाता है व्हाट इज लोकलाइज्ड वेक्टर तो ऐसा वेक्टर जिसका इनिशियल पॉइंट फिक्स्ड है ठीक है जैसे पोजीशन वेक्टर अगला है फ्री वेक्टर फ्री वेक्टर वो होता है अ वेक्टर हुज इनिशियल पॉइंट इज नॉट फिक्स्ड ठीक है उसको हम लोग फ्री वेक्टर कहते हैं या फिर हम लोग नॉन लोकलाइज्ड वेक्टर भी उसको कह सकते हैं फिक्स्ड वेक्टर या नॉन लोकलाइज्ड वेक्टर भी कह सकते हो फॉर एग्जांपल वेलोसिटी वेक्टर ऑफ अ पार्टिकल मूविंग अलोंग अ स्ट्रेट लाइन अब जो वेलोसिटी वेक्टर है उसका इनिशियल पॉइंट फिक्स नहीं है ठीक है तो वो फ्री वेक्टर कहलाता है भाई कोई पार्टिकल जब यहां था तो उसकी वेलोसिटी इधर थी जब वो यहां पहुंचा हो सकता है इधर की तरफ हो जाए तो ये जो वेलोसिटी वेक्टर है जिसका इनिशियल पॉइंट फिक्स्ड नहीं है कहीं से भी हम इनिशियल पॉइंट उसका बना सकते हैं उसको फ्री वेक्टर कहा जाता है अब आ जाते हैं ये थे वेक्टर के ढेर सारे टाइप्स आई होप 12 10 12 या 13 टाइप्स हम लोग ने वेक्टर के पढ़ लिए होंगे कमेंट करके जरूर बताना वेक्टर के कितने टाइप्स हम लोगों ने पढ़ लिए अभी तक राइट आप लोग तो नोट करते जा रहे होंगे एटलीस्ट टाइप के नाम तो नोट करते जाओ है ना धड़ाधड़ नोट करते जाओ अब अगली चीज हम लोग पढ़ने वाले हैं दैट इज कंपोजिशन ऑफ वेक्टर्स या वी कैन से एडिशन ऑफ वेक्टर्स यानी अगर कुछ वेक्टर क्वांटिटीज गिवन है तो हम कैसे ऐड करेंगे तो पहली बात ये है सर ऐड करेंगे क्यों ऐड इसलिए करेंगे भाई जो काम यह दोनों वेक्टर्स अलग-अलग कर रहे हैं सेम वही काम अगर किसी एक से कराना है तो इन दोनों को जोड़ना पड़ेगा राइट है यानी कि पढ़ो द रिजल्टेंट ऑफ टू और मोर वेक्टर्स रिजल्टेंट क्या होता है रिजल्टेंट इज दैट सिंगल वेक्टर व्हिच प्रोड्यूस द सेम इफेक्ट एज द इंडिविजुअल वेक्टर्स टुगेदर वुड प्रोड्यूस इंडिविजुअल वेक्टर्स मिलकर के जो इफेक्ट प्रोड्यूस करेंगे वो इफेक्ट ये अकेला प्रोड्यूस करता है इसलिए इसको रिजल्टेंट वेक्टर कहा जाता है द प्रोसेस ऑफ डिंग टू और मोर वेक्टर्स इज कॉल्ड कंपोजीशन ऑफ वेक्टर्स इस को कंपोजीशन कहते हैं देखो ऐड करने के बेसिक कौन-कौन से नियम है हमारे पास ट्रायंगल लॉ ऑफ वेक्टर एडिशन पैरेललोग्राम्स लॉ ऑफ वेक्टर एडिशन इसके बाद है पॉलीगों लॉ ऑफ वेक्टर एडिशन इसके बाद एक और है मेथड ऑफ कॉम्पोनेंट इसके बाद एक और है भाई साहब फोर्थ एक और सिखाऊंगा आपको ट इज मेथड ऑफ कंपोनेंट फॉर वेक्टर एडिशन मेथड ऑफ कॉम्पोनेंट्स फॉर वेक्टर एडिशन यह वाला मेथड भी मैं आप सभी को सिखाऊंगा यहां पर सो अब आइए हम लोग ट्रायंगल लॉ ऑफ वेक्टर एडिशन की बात करते हैं यानी वेक्टर्स को ऐड करने के लिए ट्रायंगल का कौन सा लॉ होता है देखो भाई साहब बहुत ही सिंपल सा नियम है अगर ये हमारा सबसे पहला वेक्टर है दिस इज a वेक्टर ठीक और ये हमारा दूसरा वेक्टर है दिस इज b वेक्टर हम लोगों से कहा जाए इन दोनों वेक्टर्स को ऐड कर दो तो आपको क्या करना है आपको b वेक्टर के टेल को a वेक्टर के हेड पर जॉइन करना है आपको बी के टेल को ए के हेड पर जॉइन करना है जैसे ही आप जॉइन करोगे देखो कुछ ऐसा सीन आएगा ये हमारा a वेक्टर है ठीक इससे हमने जॉइन कर दिया ये हमारा b वेक्ट है अब बेटा जो रिजल्टेंट वेक्टर होगा वो ए वेक्टर के टेल को बी के हेड से जॉइन करने पर मिलेगा यही है रिजल्टेंट वेक्टर और इसी रिजल्टेंट वेक्टर को हम लोग बोलते हैं ए वेक्टर प्लस बी वेक्टर राइट सो इफ द टेल ऑफ सेकंड वेक्टर लैंग्वेज लिखिए इफ द इफ द टेल ऑफ सेकंड वेक्टर इज ज टू इ जॉइन टू हेड ऑफ फर्स्ट वेक्टर यानी टेल ऑफ सेकंड वेक्टर जॉइन टू द हेड ऑफ फर्स्ट वेक्टर देन देन वेक्टर जॉइनिंग देन वेक्टर जॉइनिंग टेल ऑफ ए वेक्टर टू हेड ऑफ बी वेक्टर आपने जब इसको इससे जवाइन कर दिया उसके बाद तेल ऑफ ए वेक्टर को हेड ऑफ बी वेक्टर से जॉइन करने वाला जो वेक्टर है है ना विल बी विल बी द रिजल्टेंट वेक्टर विल बी द रिजल्टेंट वेक्टर वही हमारा रिजल्टेंट वे वेटर होगा राइट है तो इसी इन्हीं वेक्टर एडिशन लॉज की बात हम लोग कर रहे थे जब हम लोग टेंसर या वेक्टर की डेफिनेशन लिख रहे थे कि भाई मैग्निटिया मेरे प्यारे बच्चों यानी कि अगर मान लो एक वेक्टर यह रहा दूसरा वेक्टर यह रहा इन दोनों वेक्टर्स को कहा जाए कि ऐड करना है तो एडिशन बहुत ही सिंपल है क्या पहले बी काटेले के हेड पर जुड़ा होना चाहिए तो बिल्कुल ड़ है राइट अब आप a का यानी कि इनिशियल पॉइंट a का टेल और b का हेड यानी फाइनल पॉइंट तो इनिशियल पॉइंट को फाइनल पॉइंट से जोड़ दीजिएगा यही है बेटा रिजल्टेंट वेक्टर यही क्या है हमारा यही है रिजल्टेंट वेक्टर आई होप आपको मेरी बात एकदम चकाचक क्लियर समझ में आ गई होगी राइट है तो ये आप लिख सकते हैं इफ द टेल ऑफ b वेक्टर इज जॉइन टू द हेड ऑफ़ a वेक्टर देन वेक्टर जॉइनिंग टेल ऑफ a वेक्टर टू द हेड ऑफ बी वेक्टर विल बी द रिजल्टेंट वेक्टर दिस इज नोन एज ट्रायंगल लॉ ऑफ फैक्टर एडिशन सर ट्रायंगल लॉ क्यों बोल रहे हैं क्योंकि ट्रायंगल बन रहा है अगर यह ट्रायंगल ना बन रहा होता तो हम भी इसको ट्रायंगल लॉ ना बोल रहे होते क्योंकि ट्रायंगल बन गया है इसलिए हमने इसका नाम रखा ट्रायंगल लॉ नेक्स्ट है पॉलिगंस लॉ ऑफ वेक्टर एडिशन पॉलिगंस लॉ इसी का एक्सटेंडेड वर्जन है मान लो यह हमारा ए वेक्टर है ठीक यह हमारा बी वेक्टर है और ये हमारा सी वेक्टर है हमसे कहा गया इन तीनों वेक्टर्स को ऐड कर डालो तो भैया b का जो टेल है वो ए के हेड पर जाएगा राइट तो कुछ ऐसा सीन बनेगा देखो ये ए वेक्टर यह रहा हमारा बी वेक्टर तो सी का टेल बी के हेड पर जाएगा ऐसा यह रहा सी वेक्टर अब कोई पूछे रिजल्टेंट वेक्टर बता दो तो रिजल्टेंट वेक्टर बेटा ये होगा दिस इज रिजल्टेंट वेक्टर आ वेक्टर और आर वेक्टर का मतलब होता है इन सभी वेक्टर्स का सम यानी ए वेक्टर प् बी वेक्टर प्लस सी वेक्टर दिस इज रिजल्टेंट वेक्टर राइट अब यहां पर एक क्वाड्रीलेटरल बन गया है ना चार साइड क्वाड्रीलेटरल बन गया तोब इसका नाम या तो हम क्वाड्रीलेटरल लॉ रखे इसलिए इन जनरल हमने इसका नाम रखा पॉलीगों लॉ ऑफ वेक्टर एडिशन क्योंकि जरूरी नहीं है तीन ही वेक्टर्स ऐड कर रहा हूं हो सकता है यह पहला वेक्टर है यह देखो यह दूसरा वेक्टर है यह वाला तीसरा वेक्टर है हो सकता है बेटा चौथा वेक्टर भी रहा हो ये देखो चौथा वेक्टर हो गया अब मैं आपसे कहूं रिजल्टेंट बताओ तो बेटा इसको इससे जोड़ देंगे तो यह पेंटागन बन जाएगा है ना यह रिजल्टेंट है हो सकता है एक पांचवां वेक्टर भी रहा हो दिस इज e वेक्टर अब आपको अगर कोई पूछे रिजल्टेंट बता दो तो रिजल्टेंट सिंपल वही है इनिशियल पॉइंट को फाइनल पॉइंट से आप जॉइन कर दीजिए दिस इज रिजल्टेंट राइट ये रिजल्टेंट है और इस r वेक्टर का फिर से मतलब क्या है a वेक्टर + b वेक्टर + c वेक्टर + d वेक्ट + e वेक्टर राइट तो यहां जब वेक्टर सम करते हैं ना तो जरूरी नहीं है कि जो रिजल्टेंट आएगा वह सबसे बड़ा होना चाहिए ऐसा कोई रिक्वायरमेंट नहीं है देख लो जितने बड़े यह हैं उतना ही बड़ा यह वाला भी है राइट ऐसा भी हो सकता है और एक चीज और देखिए यह मानो ए वेक्टर है पहला वेक्टर यह मानो दूसरा वेक्टर है यह बेटा तीसरा वेक्टर है यह बेटा चौथा वेक्टर है यह पांचवा वेक्टर है मान लो एक वेक्टर और है यह हमारा छठवां वेक्टर है जहां से शुरू किया था गुमर हम वहीं आ गए अब अगर कोई आपसे बोले रिजल्टेंट वेक्टर बता दो तो बेटा रिजल्टेंट वेक्टर का मतलब क्या था रिजल्टेंट का मतलब यही तो था इनिशियल पॉइंट को फाइनल पॉइंट से मिलाना है यही इनिशियल पॉइंट है यही फाइनल पॉइंट है तो ऐसे केसेस में मेरे प्यारे बच्चों रिजल्टेंट वेक्टर कितना होता है जीरो वेक्टर ऐसे में रिजल्टेंट कितना होता है भाई साहब जीरो वेक्टर यानी कि अगर वेक्टर्स को जोड़ने पर एक क्लोज्ड लूप बन जाए जहां से शुरू किया है घूम फिर करर हम वहीं पर पहुंच जाएंगे तो रिजल्टेंट वेक्टर कितना हो जाए जीरो वेक्टर हो जाएगा ठीक है यह हमारा पॉलीगों लॉ ऑफ वेक्टर एडिशन कहलाता है तो पॉलीगों लॉ लिखने का तरीका क्या है भाई इफ चलो इसी से लिख देते हैं इफ इफ टेल ऑफ बी वेक्टर इज जॉइड टू इ टेल ऑफ बी वेक्टर की जगह आप सेकंड वेक्टर भी लिख सकते इफ टेल ऑफ सेकंड वेक्टर इज जॉइन टू इज जॉइन टू हेड ऑफ फर्स्ट वेक्टर कॉमा टेल ऑफ थर्ड वेक्टर टेल ऑफ थर्ड वेक्टर इज जॉइड टू टेल ऑफ थर्ड वेक्टर इज जॉइड टू हेड ऑफ सेकंड वेक्टर एंड सो ऑन मतलब यह काम हमें करना है सभी के साथ कि सेकंड वेक्टर का जो टेल है व फर्स्ट के हेड पर आए थर्ड का टेल सेकंड के हेड पर आए फोर्थ का जो टेल है वह थर्ड के हेड पर आए फिफ्थ का जो टेल है वह फोर्थ के हेड पर आए सिक्सथ का जो टेल है वह फिफ्थ के हेड पर आए यह काम हमें कंटीन्यूअसली करते रहना है देन देन वेक्टर जॉइनिंग देन वेक्टर जॉइनिंग टेल ऑफ ए वेक्टर टू हेड ऑफ लास्ट वेक्टर यानी टेल ऑफ द फर्स्ट वेक्टर टू द हेड ऑफ द लास्ट वेक्टर देन वेक्टर जॉइनिंग टेल ऑफ फर्स्ट वेक्टर टू द हेड ऑफ लास्ट वेक्टर विल बी द रिजल्टेंट वेक्टर विल बी द रिजल्टेंट वेक्टर ठीक है सो r वेक्टर इ इक्वल ट a वेक्टर ् b वेक्टर प् c वेक्टर + d वेक्टर अब यहां पर क्या है प्स e वेक्टर यहां पर क्या है r वेक्टर जो है वो a वेक्टर प् b वेक्टर प् c वेक्टर + d वेक्टर प् e वेक्टर ् f वेक्टर है बट रिजल्टेंट कितना आ रहा है जीरो निकल कर आ रहा है तो अगर आपने जहां से शुरू किया यहां से शुरू किया ठीक इधर गए यह सेकंड वेक्टर मान लो वापस यहां तक पहुंचे यह सी वेक्टर है क्योंकि जहां से शुरू किया वहीं पर एंड कर रहे हैं तो रिजल्टेंट कितना होगा बेटा जीरो वेक्टर राइट है जीरो वेक्टर तो ए वेक्टर प्लस बी वेक्टर प्लस सी वेक्टर ये रिजल्टेंट कितना निकल कर के आएगा जीरो वेक्टर अब अगला बेटा जो लॉ है हम लोग के पास वह है पैरेललोग्राम्स लॉ ऑफ वेक्टर एडिशन पैरेललोग्राम्स लॉ को ही हम लोग एनालिटिकल लॉ भी कहते हैं राइट दिस इज आल्सो नोन एज एनालिटिकल लॉ सर एनालिटिकल क्यों बोल रहे हैं क्योंकि यह एनालिसिस से आता है ठीक है तो यह वेक्टर्स को ऐड करने के लिए एक ऐसा नियम है जिसमें हमें कुछ एनालिसिस करनी पड़ेगी जिसके थ हमें कुछ फार्मूला मिल जाएगा राइट तो यह वाला लॉ कहता है पैरेललोग्राम्स लॉ कि अगर ये ए वेक्टर है ठीक है और यह बी वेक्टर है और इन दोनों वेक्टर्स के बीच में कुछ एंगल थीटा है तो इन दोनों वेक्टर से से मिलकर बनने वाला जो पैरेललोग्राम है पहले आप वो पैरेललोग्राम बना लो तो पैरेललोग्राम बनाने का तरीका है भैया ए के पैरेलल यहां से एक लाइन खींचो और बी के पैरेलल यहां से एक लाइन खींचो तो ये एक पैरेललोग्राम बन गया है ठीक है अब इस पैरेललोग्राम का जो यह वाला डायगोनल है जो ए और बी के बीच से जाता है पैरेललोग्राम में दो डायगोनल होते हैं एक ये और एक ये यह वाला डायगोनल जो इन दोनों के बीच से जाता है यही डायगोनल रिजल्टेंट कहलाता है एंड दिस रिजल्टेंट आ वेक्टर इ ए वेक्टर प्स बी वेक्टर राइट रिजल्टेंट का पहले वेक्टर के साथ एंगल अगर हम लोग अल्फा मान ले रिजल्टेंट का पहले वेक्टर के साथ अगर एंगल हम लोग अल्फा कंसीडर कर ले तो यह हमारा पैरेललोग्राम्स लॉ कहलाता है इसको हम लोग लिख सकते हैं इफ इफ ए वेक्टर एंड बी वेक्टर [संगीत] आर रिप्रेजेंटेड आर रिप्रेजेंटेड बाय टू एडजेसेंट साइड्स ऑफ अ पैरेललोग्राम देन डायगोनल पासिंग थ्रू देयर देन डायगोनल पासिंग थ्रू देयर इंटरसेक्शन पॉइंट विल बी द रिजल्टेंट वेक्टर जरा पढ़िए इसका स्टेटमेंट पढ़िए क्या लिखा हुआ है पैरेललोग्राम्स लॉ कहता है इफ ए वेक्टर एंड बी वेक्टर आर रिप्रेजेंटेड बाय टू एडजेसेंट साइड्स ऑफ अ पैरेललोग्राम देन डायगोनल पासिंग थ्रू देयर इंटरसेक्शन पॉइंट विल बी द रिजल्टेंट वेक्टर यानी इन दोनों के इंटरसेक्शन पॉइंट से जो डायगोनल जाता है वही डायगोनल हमारा रिजल्टेंट वेक्टर कहलाता है और मेरे प्यारे बच्चों इस पैरेललोग्राम्स लॉ से एनालाइज करके हम लोगों को एक फार्मूला मिलता है कि r स् जो है वो a स् + b स् + 2ab क थीटा के बराबर है जिसमें थीटा दो वेक्टर्स के बीच का एंगल होता है सिमिलरली एक फार्मूला और मिलता है tan3 अपॉन a + b क थीटा राइट ये ये दो फॉर्मूले हम लोग को इस फॉर्मूले से मतलब इस पैरेललोग्राम्स लॉ से मिल जाते हैं अब आइए इन दोनों के डेरिवेशन पार्ट की तरफ चलते हैं लेकिन इन दोनों में ये आपको पता होना चाहिए थीटा क्या है थीटा इज एंगल बिटवीन थीटा इज एंगल बिटवीन a वेक्टर एंड बी वेक्टर एंड अल्फा इज एंड अल्फा इज एंगल बिटवीन रिजल्टेंट वेक्टर एंड ए वेक्टर रिजल्टेंट वेक्टर और पहले वेक्टर रिजल्टेंट और पहले वेक्टर के बीच का एंगल अल्फा होता है जबकि ए वेक्टर और बी वेक्टर के बीच का जो एंगल है बेटा वो थीटा एंगल होता है राइट अब आ जाओ इसके डेरिवेशन पार्ट की तरफ हम लोग बढ़ रहे हैं तो ये जैसे हमारा पहला वेक्टर है ए वेक्टर यह हमारा दूसरा वेक्टर है और इसके पैरेलल हम लोग ये लाइन बनाएंगे ठीक है और और यह रहा हमारा रिजल्टेंट वेक्टर ये रिजल्टेंट वेक्टर को आर वेक्टर लिखा जा सकता है दोनों वेक्टर्स के बीच का एंगल थीटा है रिजल्टेंट और फर्स्ट वेक्टर के बीच का एंगल अल्फा है नाम लिखते हैं ये o है ये ए पॉइंट है ये बी पॉइंट है ये सी पॉइंट लिख देते हैं एक छोटा सा बेटा कंस्ट्रक्शन हम लोग कर रहे हैं कंस्ट्रक्शन सबसे पहला यह है कि इस o ए वाली लाइन को आगे बढ़ाएंगे और सी से एक परपेंडिकुलर हम लोग ड्रॉ करेंगे उस पर और ये जो इंटरसेक्शन पॉइंट मिला है इसको एक नाम दे देंगे दैट इज डी पॉइंट राइट अब जरा ध्यान से देखो जो आपने पीछे फार्मूला ये वाला डिराइवर किया है ये फार्मूला है r स् = a स् + b स् + 2ab है ना तो कहने का मतलब क्या है a स् + b स् आ रहा है इतना ही केवल देख कर के पाइथागोरस थ्योरम याद आ जाता है पाइथागोरस थ्योरम हमेशा राइट एंगल ट्रायंगल में ही अप्लाई होता है इसलिए आइए पाइथागोरस थ्योरम अप्लाई करते हैं दैट मींस इन ट्रायंगल o डी सी ट्रायंगल ओडी स में अप्लाइजर थ्योरम अप्लाइज थ्योरम पाइथागोरस थ्योरम आइए इस पर अप्लाई करते हैं जैसे ही आप पाइथागोरस थ्योरम अप्लाई करेंगे यह बनेगा ओ स्क्वा इइ डी स्क्वा प्स सीडी स्क्वा और बेटा d जो है उसको तो ओ स्क्वा जो है वो r स्क होगा o a स्क्वा का मतलब हो गया a स्क्वा प्स ए स्क्वा अभी हमको नहीं पता मान लो इसको अभी ऐसे रहने देते हैं प्लस ट वाइस o a का मतलब केवल a लिखा जा सकता है मैग्निटिया एडी स भी तो राइट एंगल ट्रायंगल है सो इन ट्रायंगल एडीसी ट्रायंगल एडीसी अगर आप ध्यान से देखो तो यहां भी पाइथागोरस थोरम लगाया जा सकता है और यहां से मिलता है हम लोग को ए स्क्वायर बराबर एडी स्क्वायर प्लस सीडी स्क्वा राइट इक्वेशन नंबर टू है अगर आप ध्यान से देखो तो ए स्क्वायर भी दिख रहा है यह देखो ए स्क्वा भी दिख रहा है बेटा और सीडी स्क्वायर भी दिख रहा है यह देखो इन दोनों को ऐड करके हम लोग ए स्क्वा लिख सकते हैं दैट मींस फ्रॉम इक्वेशन वन एंड टू फ्रॉम इक्वेशन 1 एंड टू इन दोनों इक्वेशन से अगर हम लोग लिखें तो ये बन जाएगा r स् = इक्व टू a स् + ए स् + cd1 इन दोनों की जगह ए स् लिखेंगे और ए स्क्वा क्या है जरा ध्यान से देखो अगर ये b वेक्टर है बेटा तो ये भी b वेक्टर है क्योंकि मैग्निटिया कि और डायरेक्शन भी वही है क्योंकि यह एंगल थीटा है तो भाई साहब यह वाला एंगल भी थीटा है मैग्निटिया इसको भी बी वेक्टर लिखा जा सकता है तो ये बन जाएगा ए स्क्वा यानी कि b स्क्वा प्लस प्लस ट् वाइस a मल्टीप्ला बाय ए अब सिर्फ खेल यह है कि अगर एडी की वैल्यू मिल जाती तो काम हमारा चल जाता तो एडी की वैल्यू निकालने के लिए हम लोग क्या करेंगे ध्यान से देखिएगा इसको मैं बॉक्स बना दे रहा हूं और इसको इक्वेशन नंबर थ्री लिख रहे हैं जरा इसी ट्रायंगल एडीसी में ट्रायंगल एडीसी में है ना ट्रायंगल एडीसी में इन ट्रायंगल एडीसी अगर हम लोग सा थीटा अप्लाई करें बेटा तो सा थीटा क्या होता है परपेंडिकुलर अपॉन हाइपोटेन्यूज b के बराबर है तो सडी की वैल्यू आ जाएगी ना बेटा b सा थीटा यह देखो सडी की वैल्यू आ गई राइट और इसी ट्रायंगल में अगर हम लोग कस थीटा अप्लाई करें तो बेस अपॉन हाइपोटेन्यूज b कॉस थीटा राइट तो अपने पास देखो दोनों चीजों की वैल्यू आ गई हमारे पास सडी की भी वैल्यू है दैट इज b सा थीटा और एडी की भी वैल्यू आ गई है दैट इज b कस थीटा इस वैल्यू को एडी की इस वैल्यू को हम इक्वेशन नंबर थ्री में यूज करेंगे दैट मींस फ्रॉम इक्वेशन थ इक्वेशन नंबर थ्री को अगर हम देखें तो थ्री इक्वेशन से हमें क्या मिलेगा r स् = a स् + b स् + 2a * ए और ए की वैल्यू क्या है b क थीटा तो यही बन जाएगा हमारा r स् = a स् + b स् + 2ab क थीटा राइट है यह फार्मूला एकदम आप लोग याद कर लीजिए एकदम दिमाग में होना चाहिए अब अगला फार्मूला हमें चाहिए इस रिजल्टेंट वेक्टर की डायरेक्शन के लिए बेटा रिजल्टेंट का डायरेक्शन रिप्रेजेंट कर रहा है य अल्फा सो इन ट्रायंगल ट्रायंगल ओडीसी ट्रायंगल ओडीसी में अगर न अल्फा अप्लाई किया जाए तो न अल्फा का फार्मूला क्या है बेटा परपेंडिकुलर सीडी अपॉन डी ओडी को हम लोग लिख सकते हैं + ए है ना तो जरा ध्यान से देखो cd8 वाज b सा थीटा cds1 के बराबर तो ये हमारा फार्मूला निकल आया एक फार्मूला आ गया रिजल्टेंट का और एक आ गया है tan0 a स् + b स् + 2ab कस थीटा कभी भी कोई भी दो वेक्टर्स आपको गिवन हो उनके बीच का एंगल पता हो और आपको उनका रिजल्टेंट निकालना हो तो सबसे बढ़िया मेथड है कि आप उनको पैरेललोग्राम्स लॉ से धड़ाधड़ ऐड कर डालिए राइट सीधे-सीधे आप लोग यह फार्मूला लगाएंगे तो आपको रिजल्टेंट मिल जाएगा उधर वाला लगाए बेटा तो उसका डायरेक्शन भी मिल जाएगा राइट यह पैरेललोग्राम्स लॉ है यह उस लॉ का डेरिवेशन है राइट है अब आ जाओ इस लॉ पर बेस्ड जरा मैं आपको कुछ क्वेश्चंस सिखा दूं ताकि आप लोग को थोड़ा सा कॉन्फिडेंस फील हो जाए सो अ बॉडी इज साइमल नियस गिवन टू वेलोसिटीज 30 मीटर पर सेकंड ड्यू ईस्ट एक ऑब्जेक्ट है जिसको 30 मीटर पर सेकंड की स्पीड दिया गया है वह भी ईस्ट डायरेक्शन में एंड 40 मीटर पर सेकंड ड्यू नॉर्थ 40 मीटर पर सेकंड की स्पीड उसको दी गई है वो भी नॉर्थ डायरेक्शन में एक साथ कह रहे हैं फाइंड रिजल्टेंट वेलोसिटी रिजल्टेंट बता दीजिए देखो एक वेक्टर है ईस्ट डायरेक्शन में एक है नॉर्थ डायरेक्शन में और रिजल्टेंट निकालना है कोई भी दो वेक्टर्स का रिजल्टेंट निकालने के लिए पैरेललोग्राम्स लॉ आपके पास है पैरेललोग्राम्स लॉ कहता है रिजल्टेंट का जो स्क्वायर होगा वो a स् + b स् + 2ab c के बराबर होगा तो बेटा पहला वेक्टर है 30 तो 30 स् प्लस दूसरा है 40 तो 40 स् + 2 टाइम्स 30 * 40 * c दोनों वेक्टर्स के बीच का एंगल कितना है cos3 स् 900 और 40 स् 16 100 होगा 9900 और 1600 का एडिशन करोगे 25500 आएगा ये r स् की वैल्यू है तो r की वैल्यू अंड √ 2500 आ जाएगी तो r की वैल्यू बेटा 50 मीटर पर सेकंड निकल कर आ जाएगी यानी इन दोनों का जो रिजल्टेंट स्पीड आएगा वोह 50 मीटर पर सेकंड आएगा मुद्दा यह है कि सर वो जो 50 मीटर पर सेकंड है सर वो किधर की तरफ आएगा थोड़ा सा डायरेक्शन भी बताओ डायरेक्शन के लिए आपके पास अगला फार्मूला था और वो फार्मूला कहता है कि भैया न अल्फा जो है व बी साइ थीटा अपॉन a प् बी कॉस थीटा के बराबर होता है तो बेटा बी कितने के बराबर था 40 के बराबर सा थीटा यानी सा 90 डिग्री एंगल 90 था अपॉन 30 प् 40 कॉस 90 कॉस 90 जीरो होता है बेटा तो खत्म हो जाएगा ठीक है सा 9व के बराबर है तो 40 डि बा 30 + 0 यानी 40 / 30 यानी कि 4/3 और tan4x 3 के बराबर राइट तो एंगल अल्फा हम लिख सकते हैं tan1 4/3 के बराबर राइट ये अल्फा एंगल आ गया आप में से जो बच्चे सीबीएससी वाले हैं वो अल्फा यहीं त निकाल के छोड़ देंगे बात खत्म जो बच्चे आईएससी बोर्ड वाले हैं क्योंकि आप लोगों में साइंटिफिक कैलकुलेटर अलाउड होता है तो तो आप क्या करेंगे आप न इवर्स 4/3 की वैल्यू निकालिए और उसको डिग्री में कन्वर्ट करिए कमेंट करके भी बताइएगा राइट कि अल्फा की वैल्यू आखिर कितनी निकल कर के आई है बाकी अगर मैं यहां पर इसका डायग्राम बनाऊं पूरा तो देखो ये होगा इसके पैरेलल इसके पैरेलल आप यहां से बनाएंगे और नॉर्थ वाले के पैरेलल ये बनाएंगे रिजल्टेंट जो होगा वो हमारा ये हो जाएगा और इस रिजल्टेंट का जो एंगल है वो कितना है अल्फा ये अल्फा की वैल्यू हम लोग ने निकाल डाली है न इवर्स 4/3 और रिजल्ट ट का जो वैल्यू आया है वो आया है 50 मीटर पर सेकंड तो ये रहा 50 मीटर पर सेकंड ये इसका रिजल्टेंट आ गया राइट नेक्स्ट क्वेश्चन है टू फोर्सेस ऑफ 5 न्यूटन एंड 7 न्यूटन एक्ट ऑन अ पार्टिकल विद एन एंगल ऑफ़ 60° बिटवीन देम ठीक है 60° का एंगल है फाइंड रिजल्टेंट फोर्स बहुत ही सिंपल है भैया r स् = a स् + b स् + 2 ए b कॉस थीटा यानी 60 डिग्री सॉल्व कर डालो बेटा 25 प् 49 प्लस देखो यह 35 * 2 करोगे 70 आएगा 70 न कॉ 6 1/2 होता है 35 बनेगा तो 25 प् 49 प् 35 देखो 5 5 10 और 9 19 19 का 9 एक च च 8 दो 10 109 ये r स्क्वा की वैल्यू तो रिजल्टेंट आ जाएगा अंडर रूट ऑफ 109 न्यूटन ठीक है अब बात आई सर इसका पूरा सॉल्यूशन कितना आएगा तो देखो भैया कितना आएगा 109 का अंडर रूट बेटा निकालो तो रिजल्टेंट आ जाएगा तुम्हारा 10.44 न्यूटन के बराबर 10.44 न्यूटन के बराबर देखो क्वेश्चन में हमसे क्या बोला गया क्वेश्चन में हमसे यह कह रहे हैं कि भाई दो फोर्सेस थे 5 न्यूटन और 7 न्यूटन के उसको 60° का एंगल उनके बीच का था रिजल्टेंट फोर्स पूछा गया तो रिजल्टेंट फोर्स हमारा जो है वो 10.44 न्यूटन के बराबर आएगा कभी भी इस तरह का कोई क्वेश्चन हो ना बेटा तो केवल इतना निकाल कर नहीं छोड़ोगे क्योंकि फोर्स पूछा गया है फोर्स एक वेक्टर क्वांटिटी है जिसके पास मैग्नी ूड्स भी होगा तो तुमने यह तो किया ही है अब डायरेक्शन भी निकालो तो t alpha1 b कितना है 7 तो 7s 60 / / 5 + 7c 60 sin60 जो होता है वह √ 3/2 होता है 5 + 7c 61/2 होता है तो बेटा यह बनेगा 3.5 √3 यह बनेगा 5 + 3 यानी कि 8.5 राइट है आइए इसको भी मैं आपको सिंपलीफाई कर देता हूं आपके लिए य वैल्यू आ जाएगी 35 यह वैल्यू निकालते पहले हम लोग अंडररूट निकालते हैं राइट है मल्टीप्ला बाय करेंगे 35 डिवाइड बाय करेंगे 85 य वैल्यू सॉल्व होकर तुम्हारी आएगी 0713 तो 0713 यह न अल्फ आएगा न अल्फ अगर इतना है तो यहां से आप लोग अल्फा निकालेंगे और अल्फा आप सिंपली लिखेंगे न इवर्स 0.71 के बराबर ये निकाल देंगे हम लोग राइट तो रिजल्टेंट फोर्स आ गया है और उस रिजल्टेंट फोर्स का जो डायरेक्शन है मेरे प्यारे बच्चों वो डायरेक्शन भी हमारे पास आ गया है नेक्स्ट क्वेश्चन है बड़ा ही प्यारा क्वेश्चन है इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है इस क्वेश्चन में हमसे कह रहे हैं टू फोर्सेस इक्वल टू p एंड 2p न्यूटन एक्ट ऑन अ पार्टिकल इफ द फर्स्ट बी डबल्ड एंड सेकंड बी इंक्रीजड बाय 20 न्यूटन डायरेक्शन ऑफ द फोर्स जज अन अल्टर्ड फोर्स का डायरेक्शन चेंज नहीं हुआ है ना तो डायरेक्शन का मतलब क्या होता है अल्फा अल्फा चेंज नहीं हुआ कह रहे फाइंड द वैल्यू ऑफ p तो बेटा इनिशियली जो न अल्फा था वो कितना था दैट वाज देखो b सा थीटा होता है ना b सा थीटा तो पहला फोर्स है p और दूसरा फोर्स है 2p राइट तो इसको आप a मान सकते हैं इसको आप बी मान सकते हैं तो मैं पूरा लिख देता हूं पहले फार्मूला वरना आप कंफ्यूज होंगे b सा थीटा / a + b क थीटा देखो स्कूल में कभी भी लिखोगे ना तो पहले प्रॉपर्ली पूरा फार्मूला लिखोगे उसके बाद उसमें अप्लाई करोगे है ना डायरेक्ट मत करना यार जैसा मैंने प्रीवियस क्वेश्चन में कर दिया तो ये बनेगा बेटा 2p सा थीटा अपॉन p प् 2p क थीटा ये हमारा पहला इक्वेशन है यानी इनिशियली यह कंडीशन थी अब हमसे क्या कहा गया नाउ इफ द फर्स्ट बी डबल्ड पहले को डबल कर दिया गया यानी कि पहले को 2p बना दिया गया एंड सेकंड बी इंक्रीजड बाय 20 न्यूटन तो सेकंड को जो कि पहले से 2p था उसको 20 न्यूटन बढ़ा दिया 20 न्यूटन बढ़ा दिया ठीक है डायरेक्शन ऑफ अल्फा इज अन अल्टर्ड यानी सेकंड केस में भी जो अल्फा है वो सेम ही रहा बेटा तो बी कितना हो गया अब बी हो गया है 2p प् 20 एंगल के बारे में कुछ नहीं कहा तो वो सेम है पहला वेक्टर 2 प हो चुका है और दूसरा हो चुका है 2p प् 20 कॉस थीटा यह सेकंड इक्वेशन है राइट अब इक्वेशन वन और इक्वेशन टू को ध्यान से देखो फ्रॉम इक्वेशन वन एंड टू इन दोनों इक्वेशंस को ध्यान से देखो तो बनेगा 2ps थीटा अपॉन p कॉमन कर लो 1 + 2c थीटा 1 + 2c थीटा इज इक्वल टू यहां से देखो यहां से 2s थीटा तो कॉमन दिख ही रहा है 2s थीटा तो कॉमन दिख ही रहा है बचेगा p + 10 है ना p + 10 डिवाइडेड बाय यहां से देखो क्या कॉमन दिख रहा है 2 पूरे में से ठीक है तो ये बन जाएगा 2p प्लस 2p + 20 क थीटा ये बन रहा है अब देखो कुछ चीजें कैंसिल हो रही है क्या सा थीटा से सा थीटा कैंसिल इस टू से ये टू कैंसिल राइट यह कैंसिल हो रहा है इस वाले p से यह वाला p कैंसिल हो रहा है है ना अब जो बचा है आइए जरा क्रॉस मल्टीप्लाई करते हैं इसको इधर लाते इसको इधर ले जाते यह वाला पूरा टर्म इधर लाओगे इधर तो कुछ बचा नहीं तोय पूरा ए इट इधर आ जाएगा यानी 2p प्लस अब इसको अंदर ले जाते हैं ठीक है 2 प प्स ू प कॉस थीटा प्लस 20 कॉस थीटा ट इ इक्वल टू प प्स 10 में इसका मल्टीप्लाई करना है प प् 10 मल्टीप्ला बा प् कॉस थीटा ठीक है देखो कितना आएगा जब आप मल्टीप्लाई करोगे पहला टर्म आएगा प दूसरा आएगा 2 प कॉस थीटा तीसरा आएगा 10 और आएगा 20 कॉस थीटा राइट च इ इक्वल टू 2 प प्लस 2 प कॉस थीटा प्स 20 कॉस थीटा अब बेटा कई चीज मुझे कैंसिल होती हुई दिख रही है 20 क थीटा से 20 क थीटा कैंसिल 2pc थीटा से 2pc थीटा कैंसिल ये 2p है ये है p + 10 तो p को इधर ले आओ 2p - p करोगे p आएगा p की वैल्यू आ गई बेटा 10 न्यूटन के बराबर पहला फर्स आ गया 10 न्यूटन के बराबर यही पूछ ही रहे थे हमसे कह रहे हैं फाइंड द वैल्यू ऑफ़ p p की वैल्यू बता दो भाई साहब तो p की वैल्यू कितनी आ गई 10 न्यूटन के बराबर क्वेश्चन बहुत ही प्यारा क्वेश्चन है क्वेश्चन में कह रहे थे कि भैया दो फोर्सेस है प और 2p ठीक है कह रहे पहले फोर्स को डबल कर दे और दूसरे में 20 बढ़ा दें तो डायरेक्शन में कोई फर्क नहीं पड़ता तो आपके दिमाग में यह क्लियर होना चाहिए किसी भी वेक्टर के जो रिजल्टेंट का डायरेक्शन होता है वह क्या चीज है रिजल्टेंट का जो डायरेक्शन है वो अल्फा है राइट अल्फा चेंज नहीं हुआ अल्फा का फार्मूला न अल्फा है न अल्फा का फार्मूला दो बार लगाया खटाखट सॉल्व किया क्वेश्चन हमारा सॉल्वड है नेक्स्ट है कंपोनेंट्स और रेजोल्यूशन ऑफ वेक्टर्स अब आ जाओ वेक्टर का मैं आपको कॉम्पोनेंट सिखाता हूं वेक्टर को रिजॉल्व करना सिखाता हूं कैसे रेजोल्यूशन करोगे बेटा देखो अगर मैं आपसे कहूं जैसे मैं आपसे कहूं एक वेक्टर यह है x डायरेक्शन में है इसलिए इसका नाम है fx2 पॉइंट को लास्ट से मिला दो यही है इन दोनों का रिजल्टेंट यानी वेक्टर जो है वो f एक वेक्टर और एवा वेक्टर का सम है यानी एफ वेक्टर इज रिजल्टेंट ऑफ f एक एंड एवा राइट f एक और एवा देखो एक एक्स डायरेक्शन में है और एक वा डायरेक्शन में तो ये परपेंडिकुलर हो गया है राइट है यहां पर इसी f एक को इसी f एक को कहा जाता है एक्स कॉम्पोनेंट इसी को कहा जाता है एक्स कॉम्पोनेंट ऑफ फोर्स एफ एफ वेक्टर का यही क्या है एक्स कॉम्पोनेंट है और यह जो है मेरे प्यारे बच्चों यह क्या है दिस इज वा कॉम्पोनेंट ऑफ एफ वेक्टर ठीक है ना यही फोर्स का यह एक्स कॉम्पोनेंट है और यही फोर्स का वा कॉम्पोनेंट है अगर इस वाले एंगल को अल्फा एंगल मान लिया जाए तो बेटा इसी ट्रायंगल में अगर आप कस अल्फा लगाओगे क अल्फा होता है ना बेस अपॉन हाइपोटेन्यूज f के बराबर तो यहां से fx8 ठीक है fx2 वैल्यू आ गई भैया f क अफ सा अफ आप लगाओगे परपेंडिकुलर अपॉन हाइपोटेन्यूज तो बन जाएगा fy1 f तो f y की बेटा वैल्यू निकल आएगी दैट इज f सा अफ f सा अफ राइट है तो fx8 fy1 अफ यही दोनों इसके के कॉम्पोनेंट्स कहलाते हैं कभी भी वेक्टर के कॉम्पोनेंट्स करना हो तो बहुत सिंपल है एक कॉम्पोनेंट एक्स डायरेक्शन में एक कॉम्पोनेंट वा डायरेक्शन में राइट तो ये रहा वो वेक्टर जिसके कॉम्पोनेंट करने हैं ये वेक्टर है एक एंगल पता होना चाहिए एंगल के साथ वाला कॉम्पोनेंट fx7 अल्फा तो आइए थोड़ा सा इसके बारे में मैं आपको और यहां पर दिखाता हूं जैसे मानो ये एक्स एक्सिस है ये वा एक्सिस है ये कोई एक फोर्स है 10 न्यूटन का बहुत ध्यान से बेटा समझना प्रैक्टिस भी करना साथ में मेरे यह 10 न्यूटन है यह 30° है मैं आपसे कहूं बेटा कॉम्पोनेंट करो बिल्कुल सेम पैटर्न पर यहां बगल में लिखा हुआ है आपके राइट 10 न्यूटन है 30° एंगल के साथ वाला कॉम्पोनेंट हो जाएगा 10c 30° ध्यान से देखो एंगल के साथ वाला कॉम्पोनेंट कितना होता है f क अफ यानी कि 10c 30° और जो बच गया वह यह वाला है उसको यहां भी लिख सकते हैं हम दैट इज़ 10 सा 30 डिग्री बहुत सिंपल है आपको एक वेक्टर पता होगा एंगल पता होगा एंगल के साथ वाला कॉम्पोनेंट क वाला जो बच जाए वो साइन वाला जो बच जाए वह साइन वाला राइट अच्छा देखो देखो यह है 5 न्यूटन राइट यह वाला एंगल मान लो है 45 डिग्री मैं तुमसे कहूं बेटा कंपोनेंट करो सिंपल 5 है 45 डिग्री है इधर की तरफ हो गया 5c 45 डिग्री और जो बच गया वो वाला है 5s 45 डिग्री एकदम सिंपल है ऐसे ही करना है कंपोनेंट राइट और देखो कोई ऐसा मैं इधर वेक्टर दूंगा 15 न्यूटन का यह वाला एंगल दे दूंगा 60 डिग्री अब आपसे बोले बेटा कंपोनेंट करो धड़ाधड़ कॉम्पोनेंट करना है एकदम सिंपली ठीक है ये 15 न्यूटन है ये 60 डिग्री है एंगल के साथ वाला कंपोनेंट हमेशा कॉस वाला होता है सो दिस इ 15 कॉस 60 डिग्री और जो बच गया बेटा वो 15 साइन 60 डिग्री राइट है एकदम सिंपली एंगल के साथ वाला कॉस जो बच गया वो साइन एंगल के साथ वाला कॉस जो बच गया वह साइन एकदम सिंपल अगला देखो मान लो कोई यह वाला एक इधर इस डायरेक्शन में कोई एक वेक्टर है यह वेक्टर है पा यूनिट का और इस वेक्टर का एक्स डायरेक्शन से एंगल हमें पता है 30° ये ऐसा कॉम्पोनेंट करना है करो भैया क्या दिक्कत है एंगल के साथ वाला कॉम्पोनेंट एक इधर की तरफ आएगा दैट इज 5 क 6 क 30 डिग्री एंगल 30 है एक इधर की तरफ आएगा दैट इज 5 सा 30 डिगी तो मेरे प्यारे बच्चों कई सारे कॉम्पोनेंट्स मैं आपको करके दिखा चुका हूं इस तरह के ढेर सारी प्रैक्टिस आप कर सकते हैं ताकि आपके दिमाग में कांसेप्ट एकदम इसके क्लियर हो जाए कंपोनेंट रेजोल्यूशन करना एकदम आपके दिमाग में एकदम बस जाए है ना वेक्टर पता होगा एंगल पता होगा एंगल के साथ वाला कॉज जो बच जाए वो सा इस तरीके से कॉम्पोनेंट किया जाता है क्वेश्चन देखो कह रहे एन एरोप्लेन टेक्स ऑफ एट एन एंगल ऑफ 30 डिग्री टू द हॉरिजॉन्टल इफ कॉम्पोनेंट ऑफ इट्स वेलोसिटी अलोंग हॉरिजॉन्टल इज 250 एरोप्लेन इधर की तरफ गया होगा मेकिंग एन एंगल ऑफ 30° कुछ स्पीड रही होगी कह रहे हैं हॉरिजॉन्टल डायरेक्शन में जो इसका कॉम्पोनेंट है वह 250 किलोमीटर पर आर के बराबर है व्हाट इज इट्स एक्चुअल वेलोसिटी एक्चुअल वेलोसिटी कितनी है v आल्सो वर्टिकल कंपोनेंट क्या है तो वर्टिकल कॉम्पोनेंट इधर की तरफ रहा होगा वो भी पूछ रहे हैं कि वर्टिकल कंपोनेंट क्या है ठीक है अब देखो बेटा अगर यह v था ये एंगल 30 था तो एंगल के साथ वाला कॉम्पोनेंट क्या होता है एंगल के साथ वाला जो कॉम्पोनेंट हटल कपोट हमें गिवन है य एक्चुअलिटी में क्या होना चाहिए दिस 250 इ बेसिकली v कॉस 30 अरे यार लगाओ लगाओ दिमाग लगाओ v कॉस 30 ट इ 250 है ना भाई एंगल के साथ वाला कंपोनेंट कॉस तो कस 30 है बेटा 250 तो की वैल्यू कितनी आएगी 250 ब कॉस 30 क 30 कितना है र बा ऊपर जाएगा स्पीड कितनी आ गई 250 * 2 500 500 / √3 किमी पर आर ये आना चाहिए अब आपका मन है आप मैथमेटिक्स के अगर स्टूडेंट है भैया रेशन आइज भी कर लीजिए तो 500 √3 / 3 आ जाएगा वो भी सही है राइट कह रहे हैं वर्टिकल कंपोनेंट बता दो देखो ये हॉरिजॉन्टल कॉम्पोनेंट है जिसको v एक बोलते हैं हम लोग राइट वर्टिकल कंपोनेंट कोवा बोला जाता है फिजिक्स की लैंग्वेज में अब अगर देखो यह v कॉस 30 है तो ये v सा 30 होगा तोवा जो है ट मस्ट बी साइ 30 है ना v की वैल्यू आप निकाल चुके हो ट इ 500 अप अंड √3 सा 30 भैया 1/2 होता है काट पट डालो 250 अप √3 आ जाएगा बेटा किलोमीटर पर आर लोवा आ गया इस तरीके से करना है कॉम्पोनेंट्स ठीक है धड़ाधड़ कॉम्पोनेंट्स कर सकते हैं अच्छा क्वेश्चन है नेक्स्ट है मेथड ऑफ कंपोनेंट सर क्या होता है वेक्टर्स को ऐड करने के लिए व्हाट इज मेथड ऑफ कंपोनेंट मेथड ऑफ कंपोनेंट देखो सबसे पहली बात कब अप्लाई करते हैं हम लोग मेथड ऑफ कंपोनेंट तब करोगे जब दो या दो से ज्यादा वेक्टर्स गिवन हो ऐड करने के लिए ठीक है तो मैं तुम्हारे सामने एक क्वेश्चन रख रहा हूं मान लो यह तो भैया जानते हो ना ये एक्सवा डायरेक्शन है यह सब एक्सवा डायरेक्शन है यह एक्स है यह वा है यह भी एक्स है यह वा है है ना यह मान लो बेटा 10 न्यूटन है कोई फोर्स है 30 डिग्री पर है इधर कोई फोर्स है 20 न्यूटन है ठीक है यह 45 डिग्री पर है इधर की तरफ यह कोई एक फोर्स है 30 न्यूटन का है यह वाला मान लो एंगल गिवन है 60 डिग्री और एक कोई ये भी है भैया 40 न्यूटन का है और इसका यह वाला एंगल जो है ये भी मान लो 60 डिग्री राइट अब हमसे कहा गया कि भैया ये चार वेक्टर्स है एक दो तीन चार इन चारों का रिजल्टेंट बताइए देखो कभी भी दो तीन वेक्टर चार वेक्टर को ऐड करने को दिया जाए पाच 10 वेक्टर्स ऐड करने को दिया जाए तो हमेशा वहां कॉम्पोनेंट वाला मेथड ही लगाना है क्योंकि ये मेथड सबसे इफेक्टिव है सबसे आसान है ठीक है पैरेललोग्राम्स लॉ भी हमारे पास है बट उससे बहुत ज्यादा कठिन हो जाएगा आप ट्राई करके देख सकते हो अच्छे से करोगे तो सॉल्व होगा उससे भी बट बहुत ज्यादा टफ हो जाएगा यह मेथड सिंपल है ये मेथड क्या कहता है सबसे पहले धड़ाधड़ सारे जो वेक्टर्स है उनके कॉम्पोनेंट करो सबके कॉम्पोनेंट करो करो भैया ये 10 है ये 30 है तो बनेगा 10 कॉस 30 इधर की तरफ 10 साइन 30 सही है 20 न्यूटन है 45 डिग्री है एंगल के साथ वाला कंपोनेंट बेटा क्या होता है कॉस तो 20 कॉस 45 इधर की तरफ वाला कॉम्पोनेंट 20 साइन 45 डिग्री राइट 30 न्यूटन है 60 डिग्री है एंगल के साथ वाला कॉम्पोनेंट क्या होता है कॉस 30 कॉस 60 जो बच गया वो इधर की तरफ है ट इ 30 सा 60 राइट देखो 40 न्यूटन है 60 डिग्री है एंगल के साथ वाला कॉम्पोनेंट कॉस 40 कॉस 60 जो बच गया वो 40 साइ 60 राइट चार फोर्सेस हमारे पास थे हमने चारों के क्या किए धड़ाधड़ कंपोनेंट कर डाले अब जब बेटा कॉम्पोनेंट कर डाला है तो आपको अगला स्टेप क्या करना है सबसे पहले आप लोग निकालेंगे सिगमा f एक सिगमा f का मतलब है सम ऑफ ऑल द फोर्सेस इन x डायरेक्शन अलोंग x डायरेक्शन x डायरेक्शन में कौन-कौन है ये ये ये और ये जो राइट में है वो पॉजिटिव जो लेफ्ट में है वो नेगेटिव तो पहले सिगमा fx3 + 40 क 60 राइट माइनस 30 क 60 माइनस 20 सा 45 डिग राइट है इस तरीके से हम लोग सॉल्व करेंगे और इसको पूरा सॉल्व करके वैल्यू को निकाल लेंगे देखो 10 कॉस 30 होता है अंडर 3/2 प् 40 कॉस 60 होता है भैया 1/2 माइनस 30 कॉस 6 1/2 माइ 20 साइन 45 होता है 1 बा अंडर रट के बराबर ठीक है तो ये तुम्हारा बन जाएगा 5 अंडर रट 3 के बराबर प्स 20-50 यानी कि 5 है ना 20 माइ 15 5 - 20 अपन अंडर रट यह आ गया सिगमा f एक थोड़ा सा कैलकुलेटर का यूज कर लेंगे इस पर्टिकुलर क्वेश्चन में तो यह सिंपलीफाई हो कर के एक स्पेसिफिक वैल्यू आ जाएगी सॉल्व हो कर के तो देखो तीन का अंडर रूट हमने निकाला उसम मल्टीप्लाई किया पाच का राइट उसमें जोड़ दिया क्या पाच ठीक है और माइनस 20 अपन रट करना है 20 अपन √2 है ना तो चलो मैं यहां थोड़ा सा एक्स्ट्रा मेहनत कर ले रहा हूं 1366 1366 माइन 20 अपन अंडर 2 तो देखो सबसे पहले रट निकालते हैं उसका वन अपॉन कर लेते हैं ठीक है और जो भी आया है उसमें 20 मल्टीप्लाई कर लेते हैं तो ये आ गया बेटा 20 अपन अरर यानी कि 14 14 2 ठीक है जो भी आया उसमें से मैं 1366 को मल्टीप्लाई कर दे रहा हूं सॉरी हां सबकट कर रहा हूं अब क्योंकि छोटे में से बड़े को घटा रहे हैं हम लोग तो यहां पर माइनस का साइन आएगा माइनस का पॉइंट 48 माइनस का 4821 तो फिलहाल माइनस का 48 लिख देते हैं यह बेटा एक्स डायरेक्शन का हमारा कॉम्पोनेंट आ गया राइट सिमिलर काम करना है सिगमा fyf.com धड़ाधड़ इसको सॉल्व करेंगे 10 * sin3 1/2 होता है + 20 क 45 1/2 होता है - 30 sin60 है अ √ 3/2 होता है -40 सा 60 है अगेन √ 3/2 हो जाएगा तो यह तुम्हारा आ जाएगा देखो 5 + 20 / √2 - 15 √3 - 20 √3 15 और 20 कितना हो गया 35 √3 इसमें भी थोड़ा सा थोड़ा क्या मतलब कैलकुलेटर यूज करना ही पड़ेगा हम तो जरा सबसे पहले हम लोग √2 निकालेंगे ठीक √2 उसका रेसिप प्रोकल करेंगे उसमें 20 मल्टीप्लाई करेंगे जो आएगा उसमें फ जोड़ देंगे राइट तोय 19 प 19.14 आया है माइनस माइनस 35 √3 पहले √3 निकालो * 35 करो 60 6.62 ठीक है माइनस 19.14 तो छोटे में से फिर से हम बड़ा घटा रहे हैं बेटा माइनस का 4148 न्यूटन निकल आया एक्चुअलिटी में देखो मैंने क्या किया मैंने सबसे पहले कॉम्पोनेंट किए कॉम्पोनेंट करने के बाद सगमा fx5 निकाला सिमा f f और सिगमा एवा निकालकर बेसिकली हमने यह किया है कि हमने इन सारे जो चार फोर्सेस थे चार फोर्सेस के जब कॉम्पोनेंट मैंने किए हैं तो आठ हो गए कॉम्पोनेंट्स राइट लेकिन हमने उन सब का रिजल्टेंट निकाल कर के अब सिर्फ दो वेक्टर्स में इने कन्वर्ट कर लिया है एक वेक्टर एक्स डायरेक्शन में एक वेक्टर वा डायरेक्शन में है जो एक्स डायरेक्शन में वेक्टर है वो नेगेटिव है नेगेटिव होने का मतलब है उसका डायरेक्शन इधर की तरफ है दैट इज सिगमा f एक राइट जो वेक्टर हम वा डायरेक्शन में है वो भी नेगेटिव था सो दैट इज सिगमा एवा है ना देखो यह भी नेगेटिव आया था हमारा यह भी नेगेटिव आया जब दोनों नेगेटिव आए तो हमने इसको भी लेफ्ट में बनाया इसको नीचे की तरफ बनाया अगर पॉजिटिव आता तो इसको इधर बनाते उसको ऊपर बनाते राइट एक पॉजिटिव एक नेगेटिव आता तो भी डायरेक्शन के हिसाब से बना देते फिलहाल दोनों नेगेटिव आया तो दोनों की नेगेटिव डायरेक्शन मैंने बनाई है अब मेरे प्यारे बच्चों अगर मैं तुमसे इनका रिजल्टेंट पूछूंगा तो रिजल्टेंट बड़ा सिंपल है भैया देखो पैरेललोग्राम बन गया रिजल्टेंट क्या आता है इन दोनों के बीच से जाने वाला डायनल यही है रिजल्टेंट तो इन दोनों का रिजल्टेंट कुछ ऐसा आएगा और इस रिजल्टेंट का एक्स एक्सिस के साथ एंगल कितना होता है अल्फा राइट आ जाओ पहले रिजल्टेंट की वैल्यू बताते हैं रिजल्टेंट की वैल्यू तो तुम सीधे-सीधे लगा सकते हो सिगमा ए एक का स्क्वायर प्लस सिगमा एवा का होल स्क्वायर प्लस सिगमा f सिगमा एवा इन कॉस 90 बेटा एक एक्स डायरेक्शन में है एक वा डायरेक्शन में है तो इनके बीच का एंगल हमेशा 90 होगा ठीक है बाकी तुम पाइथागोरस थ्योरम से भी लगा सकते हो तो अंडररूट f स् प् f स्क्वा ही आएगा हमेशा तो यह वाला फार्मूला तुमको हमेशा यूज करना होगा अगर मेथड ऑफ कंपोनेंट यूज कर रहे हो तो तो आएगा अंडर रूट के अंदर -48 -48 का स्क्वायर प्लस प्लस माइनस 41.4 का होल स्क्वायर राइट आ जाओ भैया 48 0.48 का स्क्वायर डायरेक्ट स्क्वायर का कोई तरीका नहीं है यहां पर 0.48 तो स्क्वायर जब हमने किया इनका तो आया अंडर रूट के अंदर 0.23 4 प् 41.4 8 41.4 का स्क्वायर करो 41.4 ठीक है तो यह आया 1720 5904 इसमें हम ऐड कर देंगे क्या 0.23 4 ठीक है तो यह 17208 204 आया इसका लेंगे अंडर रूट तो ये आ गया 41.4 277 तो 483 लिख सकते हो तुम इतने न्यूटन के बराबर ये हमारा रिजल्टेंट फोर्स आया ठीक है रिजल्टेंट फोर्स की बेटा मैंने एग्जैक्ट वैल्यू तुम्हारे सामने निकाल दिए का काफी मतलब कठिन क्वेश्चन मैंने ले लिया आपके लिए लेकिन ठीक है पूरा पूरा इसीलिए मैं सॉल्व करके दिखा रहा हूं ताकि तुम्हें फील आ जाए फिर इसके बाद अगला फार्मूला होता है न अल्फा वाला है ना न अल्फा क्या होगा अगर यहां पे तुम लगाओगे इस वाले ट्र में तो परपेंडिकुलर अपन हाइपोटेन्यूज है तो यह वाला फार्मूला तुम हमेशा अप्लाई बेटा करोगे राइट तो न अ अ की वैल्यू माइनस माइनस एवा कितना था माइनस का 41.4 माइनस का 48 तो भाई साहब यह माइनस माइनस कट जाएगा 41.4 डिवाइडेड बाय 0.48 ये वैल्यू आ गई तुम्हारी न अल्फ की 86 पट राउंड ऑफ करके 42 तो अल्फा आया न इवर्स 86.4 2 के बराबर यह वैल्यू बेटा आ गई अल्फा की और अल्फा ये एंगल है तुम्हारे सामने है साइंटिफिक कैलकुलेटर अगर होता तो मैं इसकी भी वैल्यू तुम्हें डिग्री में निकाल के दे देता और उसको यूज कर लेते हम लोग राइट तो कुछ इस तरीके से आप पैरेललोग्राम्स लॉ को यूज करेंगे ध्यान रखिएगा पैरेललोग्राम लॉ में तुम्हें सबसे पहले क्या करना है देखो बहुत सिंपल है बहुत सिंपल है सबसे पहले आपको सिमा fx8 करना है ठीक है सबसे पहले आप समा fx8 करेंगे फिर आप समा fy2 ि fx5 का स्क्वा फिर आप डायरेक्शन निकालेंगे t अ = स f / स fx4 वेक्टर्स ले लिए चारों के अलग-अलग एंगल्स ले लिए बट जनरली ऐसा क्वेश्चन नहीं आपसे बनेगा यह भी आ सकता है अगर लॉन्ग क्वेश्चन में पूछेंगे थोड़ा कैलकुलेटिव आपसे करवाना होगा तो यह भी पूछ सकते हैं अदर वाइज इस तरह का नहीं आता है मतलब थोड़ा आसान बनता है जिसका कैलकुलेशन इजी रहेगा राइट और आप आराम से सॉल्व कर पाओगे आई होप यह मेथड आपको पूरा अच्छे से एकदम क्रिस्टल क्लियर हो गया होगा ठीक है सो यह है मेथड ऑफ कंपोनेंट्स फॉर द वेक्टर एडिशन वेक्टर एडिशन के लिए मेथड ऑफ कॉम्पोनेंट मैं आपको बता चुका हूं तो ये स्लाइड में हटा दे रहा हूं ठीक है जी अब आ जाइए कुछ क्वेश्चंस की बात हम लोग कर लेते हैं कुछ क्वेश्चंस की बेटा बात करते हैं आपसे क्वेश्चन देखो क्या है फाइंड यूनिट वेक्टर पैरेलल टू द रिजल्टेंट ऑफ दिस वेक्टर एंड दिस वेक्टर ठीक है तो सबसे पहली बात इन दोनों वेक्टर्स का रिजल्टेंट बताओ दोनों वेक्टर्स का रिजल्टेंट हो जाएगा बेटा a वेक्टर ् b वेक्टर है ना a वेक्टर और b वेक्टर का रिजल्टेंट देखो कैसे आएगा a वेक्टर है i कैप प्लस 4 ज कैप माइ 2k कैप प्लस बी वेक्टर है 3 आ कैप - 5 ज कैप प्लस के कैप ध्यान से देखते रहना भाई आ वाला टर्म आ से जुड़ेगा तो 4 आ कैप जे वाला जे से जुड़ेगा माइनस ज कैप के वाला के से जुड़ेगा माइनस के कैप ये बेटा आया रिजल्टेंट वेक्टर लेकिन हमसे क्या बोला गया यूनिट वेक्टर बताना है अलोंग रिजल्टेंट वेक्टर यूनिट वेक्टर वे इस वेक्टर की डायरेक्शन में यूनिट वेक्टर चाहिए यूनिट वेक्टर क्या होता है बेटा यूनिट वेक्टर होता है आ कैप व्हिच इज रिजल्टेंट वेक्टर डिवाइडेड बाय मॉडल ऑफ रिजल्टेंट वेक्टर ठीक है रिजल्टेंट वेक्टर डिवाइडेड बाय मॉड्यूस ऑफ रिजल्टेंट वेक्टर अब सबसे पहली बात तो यह है कि सर मॉडल की वैल्यू कितनी है इस रिजल्टेंट वेक्टर के मॉड्यूस की वैल्यू कितनी है मैंने आपको सिखाया था क्या देखो रिजल्टेंट वेक्टर हमारा कितना है 4i कैप माइनस ज कैप माइनस के कैप डिवाइडेड बाय इट्स मॉडल मॉडल की वैल्यू निकालना मैं सिखा चुका हूं अगर ए एक्स आई कैप प् एवा ज कैप प्स ए के कैप वेक्टर था याद करो याद करो मॉडल कैसे निकाला था मैं आपको याद [संगीत] दिला यह देखिए यह देखिए इसका मॉड्यूस कैसे निकाला था अंडर रूट के अंदर ए एक्स का स्क्वायर प्स एवा का स्क्वायर प् ए का स्क्वायर ठीक है यही काम बेटा करना होगा यही काम करना होगा यहां पर क्या अंडर रूट के अंदर 4 का स्क्वायर प्लस -1 का स्क्वायर करोगे एक ही बात है -1 का स्क्वायर करोगे राइट तो यह तुम्हारा बन जाएगा 16 17 और एक 18 यानी 1 अपन अंडर रट 18 टाइम्स 4 आ कैप माइनस ज कैप माइनस के कैप आपका मन है इसको आप थोड़ा सा और सॉल्व कर सकते हो भाई अंडर रूट 18 है तो उसको 3 अंड √2 लिखा जा सकता है वो आपके ऊपर है थोड़ा मुड़ा आप और चाहो तो कर सकते हो दैट इज आर कैप यही है वो यूनिट वेक्टर इस यूनिट वेक्टर का मैग्नी ूडल ना तो हमेशा वन ही आएगा हालाकि निकालने की जरूरत नहीं है बट फिर भी वो वन ही आएगा ये हमारा आंसर हो गया राइट नेक्स्ट क्वेश्चन देखो कह रहे हैं इफ ए वेक्टर एंड बी वेक्टर इज दिस फाइंड अ वेक्टर हैविंग सेम [संगीत] मैग्निटिया यानी डायरेक्शन ए वेक्टर की होनी चाहिए मैग्निटिया मैग्नी ूड्स की चाहिए एक की डायरेक्शन को कौन रिप्रेजेंट करता है यूनिट वेक्टर तो तुम को यही तो पूछ रहे हैं यार यही तो पूछ रहे हैं भैया बी वेक्टर का मैग्निटिया कैसे मिलेगा अंडर रूट के अंदर 7 का स्क्वायर प् 24 का स्क्वायर अरे यार ध्यान से समझो अंडर √7 स् प् 24 स् और a कैप कैसे मिलता है सर a कैप मिलता है 3 आ कैप प् 4 ज कैप डिवाइडेड बाय इट्स मैग्निटिया भाई साहब भाई साहब देखो सा का स्क्वायर 49 होता है 24 का स्क्वायर हम कर ले रहे हैं भैया 24 गु 24 576 576 में हम 49 जोड़ लेंगे 625 625 का अंडररूट 25 होता है तो ये आ गया बेटा 25 इनटू 3 आई कैप प्स 4 ज कैप डिवाइडेड बाय देखो 9 प् 16 25 25 का अंडर रूट पा होता है पा से 25 कट जाएगा आएगा तो फव का इधर मल्टीप्लाई करोगे तो कितना आएगा 15 आ कैप प्लस 20 ज कैप यह हमारा रिक्वायर्ड आंसर है जो हमसे क्वेश्चन में पूछा जा रहा है क्वेश्चन में यही कह रहे हैं फाइंड अ वेक्टर हैविंग सेम मैग्नी एज बी अब इस वेक्टर का अगर तुम मैग्नी निकाल के देखोगे ना तो जो बी का मैग्नी ूड्स ए वेक्टर का डायरेक्शन हमने इसको दे रखा है ठीक है वह आप लोग निकाल कर देख भी सकते हो चलो जी आगे की बात कर लेते हैं थोड़ा सा आगे बढ़ते हैं नेक्स्ट अगला है प्रोडक्ट ऑफ वेक्टर्स अब वेक्टर के प्रोडक्ट्स की बात करते हैं वेक्टर्स को सर मल्टीप्लाई कैसे करेंगे देखो वेक्टर को ऐड करना मैंने सिखा दिया है अब कुछ बच्चों के मन में आएगा सर एक बार वेक्टर का सबक्स भी सिखा दो सर कैसे घटाए सर वेक्टर्स को है ना चलो पहले वह सिखा देते हैं तुम्हें हम सबक्स ऑफ वेक्टर वेक्टर्स को सर कैसे हम लोग सबै क्ट करेंगे सबक्स ऑफ वेक्टर्स वेक्टर को सबस्टैक करने का कोई नियम नहीं है ठीक है जुगाड़ चलता है क्या है जुगाड़ ए वेक्टर में बी वेक्टर घटाना है तो ए वेक्टर में माइनस बी वेक्टर जोड़ दो एक ही बात है ये देखो ये ए वेक्टर है ये मान लो बी वेक्टर है ये बी वेक्टर है हमसे कहा गया ए वेक्टर में बी वेक्टर घटा लो तो हमने क्या कहा हम कलाकार आदमी हमने कहा घटाना तो आता नहीं है लेकिन जुगाड़ू तो है हम क्यक इंजीनियर ठहरे तो हमने कहा बेटा माइनस बी वेक्टर बना लो इसी का लेंथ होगा डायरेक्शन अपोजिट होगा तो माइनस बी वेक्टर हो गया अब ए वेक्टर में माइनस बी वेक्टर को हम लोग जोड़ देंगे यह रहा देखिए वेक्टर और इसमें हम लोग जोड़ देंगे माइनस बी वेक्टर को ठीक है तो यह आएगा रिजल्टेंट भाई साहब य आएगा रिजल्टेंट यह दिस इज आर वेक्टर और यही है ए वेक्टर प्लस माइनस बी वेक्टर यही है सबक्स ऑफ वेक्टर्स ठीक है वेक्टर्स का सबक्स यही है है ना कभी भी निकालने को आ जाए आप फटाफट निकाल सकते हैं यह तो कौन से नियम से मैंने लिखा है ट्रायंगल लॉ से लिखा है अगर पैरेललोग्राम लॉ से लिखना हो तब देखो देखो ट्रायंगल लॉ में क्या होता है बी का टेल ए के हेड पर जुड़ता है बट पैरेललोग्राम्स लॉ में क्या होता है दोनों के टेल जुड़ते हैं है ना तो यह रहा देखिए ए वेक्टर और यह रहा देखिए माइनस बी वेक्टर ये देखो माइनस बी इधर था तो इसको उठा के हमने टेल टेल जोड़ दिए दोनों के अब पैरेललोग्राम बनाओ यही तो है रिजल्टेंट यही रिजल्टेंट ने यहां बनाया था वही रिजल्टेंट य है य देखिए यह है आर वेक्टर ठीक है ठीक है भाई और एक चीज और समझो यहां पर ए वेक्टर और बी वेक्टर के बीच में मान लो कुछ एंगल दे देगा थीटा एंगल कुछ ना कुछ एंगल देगा ए और बी के बीच का तो वो ध्यान रहे वो यह वाला एंगल है a ये है बी ये है ये एंगल है वो बट यहां पर वो एंगल कितना बन गया दैट इज 180 माइ थीटा 180 - थीटा तो अगर तुम यहां पर पैरेललोग्राम्स लॉ लगाना चाहते हो तो आपको लिखना चाहिए r स् = a स् + b स् + 2a * b * क 180 - थीटा क 180 - थीटा - क थीटा होता है तो फार्मूला बनेगा r स् = a स् + स्क्वा - 2ab क थीटा के बराबर तो आपको कभी भी दो वेक्टर्स गिवन हो उनके बीच का एंगल पता हो तो आप उनका जो डिफरेंस है उनका जो सबक्स है वो आप कर सकते हैं यूजिंग दिस फार्मूला उसके बाद रिजल्टेंट का पहले वेक्टर के साथ अगर मैं एंगल अल्फा मान लूं है ना तो t अल्फा भी हमारे पास है वो भी हम लोग निकाल सकते हैं कैसे tan1 थीटा तो b सा 180 माइन थीटा हो जाएगा डिवाइडेड बाय a प् बी कॉस 180 माइन थीटा देखिए जी साइ 180 माइनस थीटा सा थीटा ही होता है ठीक है बी साइन थीटा अपन a - बी कॉस थीटा निकल कर आएगा च इज न अल्फा तो मेरे प्यारे बच्चों ये दो फार्मूले आ जाते हैं डिफरेंस ऑफ वेक्टर निकालना होगा कभी भी तो आप इस तरीके से निकालेंगे यह बात ध्यान रखिएगा ट्रायंगल लॉ भी मैंने बता दिया है पैरेललोग्राम्स लॉ भी बता दिया है दोनों फॉर्मूले भी मैंने आपको बता दिए हैं यह दोनों फार्मूले को आप लोग यूज कर सकते हो इसके बाद आ जाइए वेक्टर के प्रोडक्ट की बात करते हैं देखो कभी भी वेक्टर में वेक्टर को जोड़ते हैं हमेशा वेक्टर आता है वेक्टर में वेक्टर सबस्टैक करते हैं हमेशा वेक्टर आता है लेकिन जब वेक्टर्स को मल्टीप्लाई किया जाता है तब भाई साहब जरूरी नहीं है कि वेक्टर ही आए वेक्टर वेक्टर मल्टीप्लाई करने पर वेक्टर भी आ सकता है और स्केलर भी आ सकता है यही कारण है यही कारण है कि वेक्टर का जो प्रोडक्ट है वह दो तरीके का होता है सबसे पहला है बेटा डॉट प्रोडक्ट जिसको स्केलर प्रोडक्ट भी कहा जाता है ठीक है स्केलर प्रोडक्ट ऑफ वेक्टर्स और अगला है क्रॉस प्रोडक्ट अगला है क्रॉस प्रोडक्ट जिसको आप वेक्टर प्रोडक्ट भी कह सकते हो स्केलर प्रोडक्ट और क्रॉस प्रोडक्ट दो तरीके के प्रोडक्ट होते हैं ठीक है स्केलर प्रोडक्ट लिखने का तरीका है एड बी क्रॉस प्रोडक्ट लिखने का तरीका है a क्रॉस बी लाइक दिस वेक्टर वेक्टर मल्टीप्लाई करो स्केलर आ जाए तो एड बी लिखना वेक्टर वेक्टर मल्टीप्लाई करो और वेक्टर आ जाए तो a क्रॉस बी वहां पर लिखना ठीक है अब देख देखो एडॉट बी को हम लोग ने डिफाइन ही किया है ए कॉस थीटा से एड बी इज सिंपली डिफाइंड एज ए कॉस थीटा एड बी इज डिफाइंड एज ए कॉस थीटा बट a क्रॉस बी इज डिफाइंड एज ए सान थीटा n कैप सर इसमें यह सब नाटक क्यों देखो यहां पर सिर्फ वेक्टर वेक्टर मल्टीप्लाई करना था और स्केलर आना था तो ए ब कॉस थीटा सब स्केलर क डायरेक्शन की कोई बात नहीं है यहां पर ए साइन थ स्केलर है लेकिन एन कैप क्या करेगा एन कैप उसको एक डायरेक्शन प्रोवाइड करेगा सर य ए कैप क्या है एन कैप इ यूनिट वेक्टर ए कैप इ यूनिट वेक्टर परपेंडिकुलर टू प्लेन कंटेनिंग ए वेक्टर एंड बी वेक्टर ए कैप क्या है ए कैप एक यूनिट वेक्टर है च इज परपेंडिकुलर टू द प्लेन कंटेनिंग ए वेक्टर एंड बी वेक्टर ए वेक्टर और बी वेक्टर जिस प्लेन में है उस प्लेन के परपेंडिकुलर डायरेक्शन में होता है यह ए कैप देखो कोई भी दो वेक्टर्स हमेशा एक प्लेन में होते हैं सिखा चुका हूं तुम्हें पहले कोई भी दो वेक्टर्स एक प्लेन में होते हैं तो ए वेक्टर और b वेक्टर प्लेनर वेक्टर्स हैं जिस प्लेन में है उसके परपेंडिकुलर डायरेक्शन में जो यूनिट वेक्टर है दैट इज n कैप राइट तो इसका मतलब एक चीज और हो गया कभी भी आपसे बोला जाए कि दो वेक्टर्स हैं इनके परपेंडिकुलर कोई वेक्टर बताओ दैट इज a क्रॉस b a क्रॉस b a और b दोनों के परपेंडिकुलर होता है सर a ब की वैल्यू ए कस थीटा क्यों है भैया डिफाइंड ही ऐसे किया गया है डिफाइंड ही ऐसे है राइट सो दैट इज ए क थीटा और ये ए सा थीटा राइट है थोड़ा सा आओ डेप्थ में चलते हैं डॉट प्रोडक्ट की बात करते हैं जिसको स्केलर प्रोडक्ट भी कहा जाता है सर ये डॉट प्रोडक्ट क्या है देखो ये मान लो a वेक्टर है ये मान लो b वेक्टर है दोनों के बीच में एंगल कितना है थीटा राइट ठीक है तो अगर मैं लिख रहा हूं a वेक्टर डॉट बी वेक्टर तो इसका मतलब क्या है समझो a वेक्टर डॉट बी वेक्टर का मतलब है a वेक्टर का मैग्निटिया कॉम्पोनेंट सिखाया था b कस थीटा b सा थीटा राइट ये जो b कस थीटा है एक ही डायरेक्शन में है सो प्रोडक्ट ऑफ a एंड b क थीटा इज डिफाइंड एज डॉट प्रोडक्ट मतलब इट इज डिफाइंड एस द प्रोडक्ट ऑफ मैग्निटिया दूसरे वेक्टर के कॉम्पोनेंट का ना ना ना दूसरे वेक्टर के मैग्निटिया है कि भैया a * b * क थीटा के प्रोडक्ट को ही a बी कहा जाता है या जो मैं बता रहा हूं वो भी लिख सकते हो कि इट इज डिफाइंड एज द प्रोडक्ट ऑफ मैग्निटिया a ब और लिखा b a दोनों की वैल्यू बराबर है a b मतलब ए क थीटा b a b क थीटा थीटा तो सेम ही है ए और b बराबर ही होता है मतलब 3 * 4 लिखो या 4 * 3 लिखो आएगा तो 12 भी इसका मतलब ए ब बराबर है इसका मतलब a b और b a दोनों बराबर है इसका मतलब डॉट प्रोडक्ट कैसा होता है कम्यूटर होता है अगला है डॉट प्रोडक्ट डिस्ट्रीब्यूटर भी होता है डॉट प्रोडक्ट इज डिस्ट्रीब्यूटर आल्सो डिस्ट्रीब्यूटर मतलब इसको अंदर ले जा सकते हैं अगर लिखा है a वेक्ट डॉट b + c तो इसको अंदर ले जाओ a b + a.c. बी मतलब क्या होता है ए क थीटा तो ए क 90 क 90 0 होता है तो उनका डॉट प्रोडक्ट जरो हो जाएगा दिस प्रॉपर्टी इज वेरी इंपॉर्टेंट कभी भी तुमसे कहा जाए दो वेक्टर्स परपेंडिकुलर है खर्च से दिमाग में आना चाहिए a b कितना होगा रो दो वेक्टर्स परपेंडिकुलर है a डॉ बी कितना होगा जीरो तुरंत दिमाग में आना चाहिए इस पर न्यूमेरिकल पूछे जाते हैं अगला है दो वेक्टर्स अगर कभी भी पैरेलल हो जाए अगर कोई भी दो वेक्टर्स हैं बेटा पैरेलल वेक्टर्स हैं पैरेलल वेक्टर्स के बीच का जो एंगल होता है ना दैट एंगल इज 0 डिग्री अगर लाइक पैरेलल है अनलाइक पैरेलल है तो 180° हो जाएगा राइट तो अगर लाइक पैरेलल है दोनों वेक्टर्स इस तरीके के हैं देखो सेम डायरेक्शन में तो इनके बीच का एंगल जीरो हो जाएगा एंगल जीरो होगा तो a ड बी जो है है वो ए के बराबर होता है लेकिन अगर वो अनलाइक पैरेलल है एंटी पैरेलल कह लो इस तरीके के अगर एंगल 180 है तो ऐसे में अगर आप एडॉट बी निकालो ग तो आएगा ए क 180 क 180 -1 होता है तो यह - ए के बराबर हो जाएगा ठीक है ऐसा भी हो सकता है नेक्स्ट है a वेक्टर और दो वेक्टर अब देखो ये वही वाला पॉइंट आ गया कि अगर एटी पैरेलल है भाई साहब तो - ए हो जाए नेक्स्ट ये प्रॉपर्टी जो है यह सेल्फ प्रोडक्ट कहलाता है यानी कि एक प्रोडक्ट का सॉरी एक वेक्टर का उसके खुद के साथ डॉट प्रोडक्ट ले लो a वेक्टर डॉट ए वेक्टर अगर आप करना चाहते हो तो बनेगा a * a देखो दो सेम वेक्टर्स हैं तो उनके बीच का एंगल कितना होता है जीरो दो सेम वेक्टर्स हैं तो उनके बीच का एंगल कितना होता है जीरो ठीक है तो a * a क 0 क 0 1 होता है तो a * a कितना होगा a स् ठीक है तो ये हमारा बन जाएगा बेसिकली a डॉट ए सेल्फ प्रोडक्ट है ठीक है दैट इज इक्वल टू a स्क्वा दो वेक्टर्स का सेल्फ प्रोडक्ट अगर कर दिया जाएगा तो वैल्यू कितनी निकल आएगी दैट इज a स्क्वायर a ड ए की वैल्यू कितनी आती है a स्क्वायर राइट मैग्निटिया डायरेक्शन ठीक है j क्या है यूनिट वेक्टर अलोंग y डायरेक्शन तो भैया i ड i इसका मैग्नी ूड्स वेक्टर्स हैं तो इनके बीच का एंगल रो क 0 भी वन होता है सो i i की वैल्यू वन हो जाएगी बिल्कुल इसी तरीके से j j k k ये सब की वैल्यू कितनी होगी बेटा वन हो जाएगी राइट अब अलग-अलग ले लो अगर i ड j कहेंगे तो i का मैग्नी ट्यूड वन j का मैग्नी ट्यूड वन लेकिन दोनों के बीच का एंगल 90 क 90 0 होता है इसलिए i j j k k i ये हमेशा बेटा कितना होगा रो के बराबर i.j. j k.k. j j.k. i हमेशा रो के बराबर होता है ठीक है तो i . j भी 0 है j i भी 0 है j k 0 है k j भी रो है ऐसे ही i k भी 0 के बराबर होगा ये बात ध्यान रखिएगा नेक्स्ट है नेक्स्ट है अगर दो वेक्टर्स हैं a वेक्टर और b वेक्टर इनका प्रोडक्ट करना है तो इनका प्रोडक्ट बहुत ही सिंपल होता है देखिए मैं करके दिखा रहा हूं मान लो ए वेक्टर और बी वेक्टर का मेरे को डॉट प्रोडक्ट करना है तो ए वेक्टर क्या था हमारा ए एक्स आई कैप प्लस एवा ज कैप प्लस एड के कैप देखो किसी भी वेक्टर को इस फॉर्म में लिखा जा सकता है ऐसे ही बी वेक्टर क्या है बी एक्स आई कैप प्लस बीवा ज कैप प्स बी ज के कैप फटाफट ऐसे लिख सकते हो राइट अब अगर डॉट प्रोडक्ट करना है तो डॉट प्रोडक्ट डिस्ट्रीब्यूटर ले जा सकते हैं ले जाओ पहला टर्म देखो a एक् बी एक a एक्स बी एक आड आ राइट नेक्स्ट अंदर ले जाओ ए एक्स बीवा आईड ज देखो सेम का जब मल्टीप्लाई किया जाता है तो वन आता है आईड आईव होता है बट आड ज तो जीरो होगा बेटा वो टर्म जीरो हो गया ए एक्स बी ज आड के0 बी एक्स जड आई जी एवा बीवा जड ज एवा बीवा जडॉट ज मैं सेम वाले लिख रहा हूं बाकी तो वैसे जीरो है एवा बी जड जड के जी ए जड बी एक्स केड आई जी ए जड बीवा केड ज0 ए ज बी जड के डॉट के तो मेरे प्यारे बच्चों आड आ जड ज केड के सबकी वैल्यू वन होती है इसलिए एड बी का फार्मूला देखो क्या आया a एक् b एक ् एवा बीवा ् ए ये फॉर्मूला आता है मतलब आ वाला टर्म आ से मल्टीप्लाई करो ज वाला टर्म ज से मल्टीप्लाई करो के वाला टर्म के वाले से मल्टीप्लाई कर दो फटाफट और आंसर निकाल दो है ना नेक्स्ट देखो कभी भी दो वेक्टर्स के बीच का एंगल निकालना हो तो सबसे बढ़िया प्रॉपर्टी होती है दोनों का डॉट प्रोडक्ट क्योंकि डॉ प्रोडक्ट निकालना बहुत ही ज्यादा आसान होता है बेटा तो आप लिखोगे ना जैसे एड बी होता है ना ए बी कॉस थीटा तो कॉस थीटा की वैल्यू कितनी आ जाएगी कॉस थीटा कितना आएगा भाई कॉस थीटा आ जाएगा हमारा एड बी डिवाइडेड बाय ए एड बी डिवाइडेड बाय ए यह हमारा कॉस थीटा आ जाएगा जैसे क्वेश्चन देखो क्वेश्चन में कह रहे फाइंड एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स ए वेक्टर एंड बी वेक्टर एंगल बताओ तरीका सिंपल है ए वेक्टर डॉट बी वेक्टर बराबर मैंने क्या सिखाया abc3 लगाओ फटाफट a b निकालना बहुत ही ज्यादा आसान है i वाले का टर्म क्या है वन ठीक है उधर वाले i का टर्म क्या है -1 j वाले का टर्म क्या है ू उधर j वाले का टर्म क्या है व k वाले के टर्म क्या है -1 उधर k वाले का क्या है -2 बस हो गया मल्टीप्लाई लो a b a क्या है इसका मैग्निटिया ठीक है भाई बी बी क्या इसका मैग्निटिया तो कॉस थीटा की वैल्यू आई 3/6 यानी 1/2 कॉस थीटा अगर 1/2 है तो यह क 60 के बराबर है इसका मतलब एंगल थीटा कितना आ गया बेटा 60 डिग्री के बराबर थीटा एंगल कितना आ गया 60 डिग्री के बराबर फटाफट इस तरीके से हम एंगल निकाल सकते हैं दिस इज वन ऑफ द इंपोर्टेंट क्वेश्चन आपको आना चाहिए इस तरह के क्वेश्चन सॉल्व करना आपको आना चाहिए राइट नेक्स्ट फाइंड द वैल्यू ऑफ़ लडा सो दैट वेक्टर दिस एंड दिस आर परपेंडिकुलर टू ईच अदर अगर दो वेक्टर्स परपेंडिकुलर है तो उनका डॉट प्रोडक्ट रो होना चाहिए ठीक है यह प्रॉपर्टी तुम्हारे दिमाग में सेट होनी चाहिए कि a b कितना होगा भैया 0 a b निकालना सिखा चुके हैं इधर देखो i वाले का टर्म ू उधर देखो i वाले का टर्म 4 प्लस इधर j वाले का टर्म देखो लडा इधर ज वाले का टर्म देखो -2 इधर k वाले का टर्म देखो 1 उधर k वाले का टर्म देखो -2 राइट दिस इज इक्वल टू 0 तो बेटा 8 -2 ल -2 = 0 8 - 2 6 - 2 लड = 0 6 = 2 लड लडा = 6/2 6/2 मतलब 3 तो लडा की वैल्यू भाई साहब कितनी आ गई 3 फटाफट सॉल्व कर सकते हैं नेक्स्ट अगर मड ऑफ a + b मड ऑफ a - b के बराबर है तो भाई साहब a और b के बीच का एंगल बता दीजिए अब इस तरह के क्वेश्चंस में आप वेक्टर सॉरी डॉट प्रोडक्ट की प्रॉपर्टीज का यूज करेंगे आप यहां पर कहेंगे टेकिंग सेल्फ प्रोडक्ट है ना या वो भी छोड़ो तुम आपको यह पता है ना मड ऑफ ए प् बी बराबर मोड ऑफ ए माइ बी यह पता है दोनों द्रव होल स्क्वायर करो राइट है अभी मैंने एक प्रॉपर्टी आपको पढ़ाया था कि a वेक्टर डॉट ए वेक्टर कितना होता है मड ऑफ ए वेक्टर का होल स्क्वायर होता है पढ़ाया था वही तो है ये मड ऑफ ए प् बी का होल स्क्वायर इसका मतलब क्या है भैया इसका मतलब है ए वेक्टर प्स बी वेक्टर डॉट a वेक्टर प्स बी वेक्टर यही तो है इसका मतलब क्या है ए वेक्टर माइनस बी वेक्टर डॉट ए वेक्टर माइनस बी वेक्टर करो मल्टीप्लाई एडॉट ए प्लस एडॉट बी प्लस बीड ए प्लस बीड बी बराबर एडॉट ए माइनस एडॉट बी माइनस बी डट ए प्लस बीड बी राइट अब देखिए a ए से a ए कैंसिल b ब से b ब कैंसिल a ब बीड ए दोनों ऐड हो जाएगा 2 टाइम्स एड बी बराबर -2 टाइम्स एड बी इसको इधर ले आओ 4 टाइम्स एड बी बराबर 0 a बी = 0 a बी 0 कब हो सकता है जब दोनों वेक्टर्स के बीच का एंगल भाई साहब 90 डिग्री हो राइट a बी 0 होने का मतलब ए कस थीटा 0 है ए कस थीटा 0 होने का मतलब कस थीटा 0 है कस थीटा 0 तभी संभव है जब दोनों वेक्टर्स कैसे हो भाई साहब परपेंडिकुलर राइट है अगला आ जाओ हां जी तो ये थे हमारे डॉट प्रोडक्ट डॉट प्रोडक्ट पर बेस्ड कुछ क्वेश्चन देखो जितने क्वेश्चन लाए हैं सब कुछ कांसेप्ट पर बेस्ड है वो कांसेप्ट सीख जाओगे तो इसके बेसिस पर पर और भी बहुत सारे क्वेश्चंस को आप लोग अच्छे से बढ़िया से सॉल्व कर सकते हो नेक्स्ट है बेटा वेक्टर या फिर क्रॉस प्रोडक्ट क्या होता है वेक्टर प्रोडक्ट का फार्मूला मैं आपको सिखा चुका हूं दैट इज abs2 थीटा तो सिंपल बात है n कैप क्या चीज है n कैप एक यूनिट वेक्टर है जो कि a वेक्टर और b वेक्टर दोनों के प्लेन के परपेंडिकुलर है और एक यूनिट वेक्टर है राइट पढ़ो वेक्टर और क्रॉस प्रोडक्ट वेक्टर और क्रॉस प्रोडक्ट ऑफ़ द टू वेक्टर इज डिफाइंड एज द वेक्टर हुज मैग्निटिया इ इक्वल टू प्रोडक्ट ऑफ़ मैग्नी ूडल टू वेक्टर्स ठीक है साइन ऑफ़ द एंगल बिटवीन देम एंड हुज डायरेक्शन इज डायरेक्शन इज परपेंडिकुलर टू द प्लेन ऑफ़ द टू वेक्टर्स दोनों वेक्टर्स जिस प्लेन में है उसके परपेंडिकुलर डायरेक्शन में है ना ये a क्रॉस b होता है अब एक चीज़ सोचो अगर ये हमारा a वेक्टर है बेटा और यह हमारा b वेक्टर है हमें निकालना है a क्रॉस b इनके बीच का एंगल है थीटा तो a क्रॉस b निकालने के लिए हमारे पास राइट हैंड रूल है देखो नाम पढ़ो राइट हैंड रूल ठीक है राइट हैंड ये राइट हैंड सब लोग निकालो अपना a वेक्टर की तरफ करो राइट हैंड को फिंगर्स को b की तरफ घुमाओ b की तरफ घुमा अब थंब जिधर जा रहा है थंब जो डायरेक्शन दिखा रहा है वही a क्रॉस b का डायरेक्शन है a क्रॉस बी करो थंब किधर है आउट वर्ड्स तो a क्रॉस b का डायरेक्शन किधर हुआ आउटवर्क्स बी का डायरेक्शन a क्रॉस बी का डायरेक्शन किधर हुआ आउटवर्क अगर मैं तुमसे कहूं बेटा ये तो a क्रॉस b का डायरेक्शन है लेकिन अगर मैं तुमसे कहूं b क्रॉस है वैल्यू कितनी होगी b सा थीटा * n कैप सही है लेकिन इसका n कैप किधर की तरफ होगा तो उसके लिए तरीका क्या है b की तरफ उंगलियों को करेंगे a की तरफ घुमाएंगे अब उल्टा तो घूम नहीं पाएंगी उंगलियां टूट जाएंगी भाई अरे भाई ये उंगलियां उल्टी तो घूम नहीं पाएंगी टूट जाएंगी उंगली थोड़ी ना तोड़ना है हाथ घुमा लो बी की तरफ किया बी की तरफ उंगली किया ए की तरफ घुमाया अब तम किधर है अंदर तो बी क्रॉस ए का डायरेक्शन किधर हुआ इनवर्ट्स किधर की तरफ है इनवर्ट्स बेटा ए क्रॉस बी बाहर की तरफ है बी क्रॉस ए अंदर की तरफ है मैग्निटिया मैग्निटिया दे आर नेगेटिव वेक्टर्स दे आर अपोजिट वेक्टर्स कैसे वेक्टर्स है दोनों दे आर अपोजिट वेक्टर्स ए क्रॉस बी और बी क्रॉस ए दोनों ही बेटा अपोजिट वेक्टर्स होते हैं नेक्स्ट है रूल्स फॉर डिटरमाइंड स्क्रू रूल क्या होता भैया सिंपल है सिंपल है एक वेक्टर मानो इधर की तरफ है दूसरा वेक्टर मानो इधर की तरफ यह बेटा मानो ए वेक्टर है यह मानो बी वेक्टर है तुमको निकालना है एक क्रस बी का डायरेक्शन क्या है मैं सिंपल राइट हैंड रूल तुम्हे सिखा रहा हूं ए की तरफ करो उंगलियों को बी की तरफ घुमाओ थ किधर आउटवर्क्स बी किधर आएगा आउटवर्क्स बी किधर आएगा आउटवर्क दम सिंपल आउट वर्ड्स राइट इसी में यह भी है ये ए है मैं तुमसे कहूं बेटा बी क्रॉस ए बताओ b क्रॉस ए बताओ तो आप b की तरफ उंगलियों को करेंगे a की तरफ घुमाएंगे किधर जाएगा थंब इनवर्ट्स तो b क्रॉस a किधर हुआ इनवर्ट्स इस तरीके से सिंपली बेटा हम लोग हमेशा यूज करेंगे ठीक है ऑलवेज सिंपल ठीक है कुछ टफ नहीं है इसमें प्रॉपर्टीज पर आ जाओ क्रॉस प्रोडक्ट की प्रॉपर्टीज पर आओ a क्रॉस b जो है वो - ब क्रॉस a के बराबर है इसीलिए ये कैसा होता है इट इज नॉट कम्यूटर यू कैन राइट इट इज एंटी कम्यूटर क्रॉस प्रोडक्ट एटी कम्यूटर होता है डिस्ट्रीब्यूटर यह भी होता है कि a क्रॉस b + c लिखा है तो इसको a क्रॉस b + a क्रॉस c ऐसा लिख सकते हैं a क्रॉस b + a क्रॉस c ध्यान रखना a क्रॉस b c क्रॉस a मत लिख देना a क्रॉस b + a क्रॉस c अंदर ले जा सकते हो डिस्ट्रीब्यूटर सकते हो ठीक है अगर दो पैरेलल वेक्टर्स हैं बेटा पैरेलल या एंटी पैरेलल यानी एंगल जीरो हो या 180 हो दोनों ही केसेस में a क्रॉस b जो होता है वो ए सा थीटा है अब ए सा 0 लिखो या ए sin18 लिखो दोनों की वैल्यू रो होती है sin50 सा 180 दोनों ही रो होता है इसलिए इसकी वैल्यू रो वेक्टर के बराबर होगी तो a क्रॉस b जो है दैट इज ऑलवेज इक्वल टू 0 वेक्टर नेक्स्ट है बेटा अगर सेम वेक्टर का क्रॉस प्रोडक्ट किया जाए सेल्फ प्रोडक्ट a क्रॉस a सेम वेक्टर्स है बीच का एंगल ज़ीरो होगा सा 0 0 होता है तो दैट इज आल्सो रो वेक्टर ठीक है दो वेक्टर्स परपेंडिकुलर हैं तो a कस b की जो वैल्यू है वो ए सा 90n कैप होती है दैट इज इक्वल टू ए यानी इनका जो मैग्निटिया ए सा थीटा n कैप राइट सा 90 भीव होता है 1 * 1 * 1 यानी 1 तो अल्टीमेटली ये n कैप के बराबर आया n कैप एक यूनिट वेक्टर है अब ध्यान से दिमाग लगाओ ये यूनिट वेक्टर किस डायरेक्शन में है बेटा i कैप तुम्हारा x डायरेक्शन में है और j कैप तुम्हारा y डायरेक्शन में है जब आप लगाओगे इसके लिए तो ये किधर आएगा आउटवर्क्स आउटवर्ल्ड कौन सा वेक्टर होता है z वेक्टर है ना z डायरेक्शन यानी कि k कैप तो बेटा i क्रॉस j हमेशा किसके बराबर है k कैप के बराबर अगला देखो ज क्रॉस के है ना ज क्रॉस के अब इमेजिन करो ज किधर की तरफ है वा डायरेक्शन में के किधर की तरफ है बाहर की तरफ राइट लगाओ लगाओ लगा लगाओ लगाओ वा ऊपर की तरफ ज बाहर की तरफ वा ऊपर ज बाहर की तरफ देखो थम किधर आया राइट साइड में अरे यार हम किधर आया देखो वा ऊपर की तरफ ज बाहर की की तरफ थंब किधर आया राइट साइड में राइट साइड मतलब कौन सा यूनिट वेक्टर आ कैप ठीक है k क्रॉस आ के किधर की तरफ बाहर की तरफ आई किधर राइट साइड में बाहर राइट किधर आया y डायरेक्शन में यानी कि जे कैप देखो एक चीज आपको समझ में आ गई होगी क्या किन्हीं दो यूनिट वेक्टर्स को मल्टीप्लाई करेंगे तो तीसरा आएगा आ डॉट आ क्रॉस ज करेंगे तो के आएगा j क्रॉस के करेंगे तो आ आए और और के क्रॉस आई करेंगे तो ज आएगा यानी दो का मल्टीप्लाई करेंगे तो तीसरा आएगा लेकिन अगर उल्टा किया जाए बेटा यानी कि ज क्रॉस आई किया जाए तो माइनस के कैप आता है यह बात ध्यान रखना के क्रॉस ज करें के क्रॉस ज करेंगे तो माइनस आई कैप आएगा आई क्रॉस के करेंगे आई क्रॉस के करेंगे तो माइनस ज कैप आ जाएगा ठीक है इसका मतलब क्या हुआ इसका मतलब यह हुआ इसके लिए मैं तुमको एक छोटा सा मेथड भी बता सकता हूं व मेथड यह कि एक सर्किल बनाना और क्लॉक वाइज आई कैप जे कैप के कैप लिख लेना ठीक है क्लॉक वाइज अगर आई क्रॉस ज करेंगे आई क्रॉस ज करेंगे तो क्या आएगा के कैप क्लॉक वाइज चलोगे तो पॉजिटिव क्लॉक वाइज चलोगे तो पॉजिटिव एंटी क्लॉक वाइज चलोगे तो नेगेटिव बस ये ध्यान रखना अगर i क्रॉस ज किया तो k आएगा j क्रॉस k किया तो i आएगा k क्रॉस आ किया तो j आएगा क्लॉक वाइज उल्टा चलोगे जैसे j क्रॉस आ तो - के कैप ठीक है i क्रॉस k - ज कैप k क्रॉस ज - आ कैप क्लॉक वाइज चलोगे पॉजिटिव एंटी क्लॉक वाइज चलोगे तो बेटा नेगेटिव वैल्यूज आएंगी ठीक है थोड़ा सा इस चीज का प्रैक्टिस करके देख लो क्योंकि बहुत सारे बच्चे मतलब मैक्सिमम बच्चे ये आई क्रॉस जे जे क्रॉस के इन सब चीजों में थोड़ा सा कंफ्यूज रहते हैं थोड़ा सा इस समय वीडियो को पॉज करो ठीक इसको एक बार अच्छे से प्रैक्टिस करो यह सर्किल वाले मेथड को देखो आपको आता है कि नहीं आता यह सारे समझ में आए कि नहीं आए ठीक है फटाफट एक बार जल्दी से पा मिनट में प्रैक्टिस कर लो ठीक है प्रैक्टिस करने के बाद कमेंट अभी तुरंत करोगे कि हां सर एकदम बढ़िया से सर क्रॉस प्रोडक्ट समझ में आ गया है राइट फिर आगे बढ़ो ठीक है मैं चेक करूंगा आप सभी के कमेंट्स ठीक है तो इसकी प्रॉपर्टीज पर अगर हम लोग आ जाए तो आप लोग प्रॉपर्टीज देख सकते हो i क्रॉस j जो है वो हमारा किसके बराबर है k कैप के बराबर i क्रॉस j k है j क्रॉस k i है k क्रॉस आ मतलब ये सारे वो फॉर्मूले लिखे हुए हैं जो मैंने पिछली स्लाइड प बताए थे और अगर सेम वेक्टर्स का कर रहे हो बेटा तो रो आएगा i क्रॉस आ j क्रॉस j k क्रॉस k क्योंकि सेम वेक्टर्स है तो इनके बीच का एंगल रो होगा सा 0 0 होता है तो ये वैल्यू जी जीरो वेक्टर के बराबर आ जाएगी राइट है तो ये जीरो आ जाएगा आ क्रॉस आ ज क्रॉस ज के क्रॉस के यह सब जीरो के बराबर होगा दैट इज प्रॉपर्टीज ऑफ वेक्टर प्रोडक्ट वेक्टर प्रोडक्ट के थ्रू अगर आपको कभी एंगल निकालना हो तो भी आप सा थीटा निकाल सकते हो लेकिन मैं मतलब कहूंगा कि मत निकालना क्योंकि ये कंपैरेटिव टफ होता है सा थीटा आएगा मड ऑफ a क्रॉस बी अपन मड ऑफ a * मड ऑफ बी यानी कि पहले a क्रॉस बी निकालो ग फिर a क्रॉस बी का मॉडल निकालो ग ए और बी का तो निकालो ही निकालो मतलब अंडर रूट के टर्म्स इतने ज्यादा होंगे कि आपको बड़ा कठिन लगेगा तो यह मैं प्रेफर नहीं करता बाकी प्रॉपर्टीज के लिए आप पढ़ लो अच्छी बात है यहां पर कह रहे हैं कोई एक ऐसा यूनिट वेक्टर है जो कि a वेक्टर और b वेक्टर दोनों के परपेंडिकुलर है तो वो वेक्टर कौन होता है n कैप कभी भी तुमको बोले दो वेक्टर्स गिवन है कहेंगे इन दोनों के परपेंडिकुलर एक यूनिट वेक्टर बताओ तो आपको क्या निकालना है n कैप निकालना है और n कैप का मेथड क्या है भैया a क्रॉस b निकालो ठीक है भाई a क्रॉस b एक ऐसा वेक्टर होता है जो a और b दोनों परपेंडिकुलर लेकिन हमसे तो यूनिट वेक्टर पूछा गया तो उस a क्रॉस बी में आप उसी के मैग्नी ूड्स बी में उसी के मैग्निटिया ऑफ अ पैरेललोग्राम हुज एडजेसेंट साइड्स आर फॉर्म्ड बाय वेक्टर दिस एंड दिस इन दोनों वेक्टर से जिनका एडजेसेंट साइड फॉर्म हुआ है उस का आप एरिया बता दो एक चीज समझो एक चीज समझो किसी भी पैरेललोग्राम के मैं एरिया का तुम्हें पहले तो फार्मूला बता दूं एरिया ऑफ एनी पैरेललोग्राम पैरेललोग्राम का एरिया होता है मोड ऑफ ए क्रॉस बी ठीक है हमेशा ध्यान रखना मोड ऑफ ए क्रॉस बी अगर आपको उसकी दोनों साइड्स पता है तो उस पैरेललोग्राम का एरिया होता है मड ऑफ ए क्रॉस बी तो पहले ए क्रॉस बी निकालो उसका मोड कर लो राइट a क्रस b निकालने का तरीका तुम्हें सिखाऊं a क्रॉस b निकालने का तरीका चलो पहले तुम्हें a क्रॉस b का तरीका सिखा दूं फिर उस क्वेश्चन पे तुम्हें लेकर के आएंगे ठीक है देखो यह रहा a वेक्टर जिसको हम लोग लिख सकते हैं a एक आ कैप प् एवा ज कैप प्स ए के कैप सिमिलरली b वेक्टर है दैट इज b एक ए वा बी एक्स आई कैप बीवा ज कैप बी जड के कैप आपसे बेटा कभी भी a क्रॉस बी पूछा जाए तरीका क्या होगा डिटर्मिननेंट वाला मेथड यूज करेंगे मैथमेटिक्स में आई होप आप लोगों ने डिटरमिनेट अभी तक पढ़ा होगा ठीक है नहीं भी पढ़ा है तो मैं इतना सिखा दे रहा हूं जितना फिजिक्स में रिक्वायर्ड है a क्रॉस बी निकालने के लिए आप एक डिटरमिनेट बनाएंगे उस डिटर्मिननेंट में हमेशा पहली रो हमेशा यही होगी क्या आ कैप जे कैप के कैप ऑलवेज आई कैप जे कैप के कैप हमेशा यही होगा ठीक है अब सेकंड रो में आप पहले वेक्टर का डाटा रखेंगे पहला वेक्टर क्या है ए वेक्टर तो इसकी वैल्यूज रख दो भैया ए एक्स एवा एड दूसरे थर्ड रो में आप अपना बी की वैल्यूज रख दो काम खत्म यह डिटरमिनेट को एक्सपेंड करेंगे हमारा आंसर आएगा टर्मिनेट सर एक्सपेंड करने का तरीका सबसे पहला जो पहला वाला एलिमेंट है वो लिखेंगे आ कैप लिखेंगे सबसे पहले आई कैप लिखने के बाद का काम देखो क्या है आई कैप जिस रो में है और जिस कॉलम में है उसको छिपा लो जिस रो और जिस कॉलम में छिपा जो बचे यह बचेगा रख दो एवा एड बीवा बी जड मैंने क्या बोला ध्यान से सुनो सबसे पहले आई कैप लिखोगे जो पहला एलिमेंट होगा वो लिखोगे हमेशा आई कैप होगा तो वो लिखेंगे हम ठीक है यह जिस रो में है जिस कॉलम में उसको छिपाए जो बचेगा यही वाला ब बचेगा इसको पूरा पूरा हमने रख दिया ठीक है फिर सेकंड एलिमेंट जो कि ज कैप है हमेशा नेगेटिव साइन के साथ ठीक है बेटा पॉजिटिव नेगेटिव पॉजिटिव अल्टरनेट प्लस माइनस प्लस तो प्लस ले चुके फिर माइनस लेंगे माइनस ज कैप सेम काम ज कैप के साथ करो जिस कॉलम में है जिस रो में है छिपा लो क्या बचेगा दिस दिस दिस दिस रखो उठाकर a एक् ब z एवा बी ज राइट प्लस k कैप k कैप जिस कॉलम में है जिस रो में है छिपा लो क्या बचेगा a एक a है ना b एक ब हमेशा ध्यान रखना प्लस माइनस प्लस इसको सॉल्व करने का सर तरीका क्या है इसको सॉल्व करने का तरीका सिंपल है इसमें इसको मल्टीप्लाई करोगे a बी ज ठीक है माइनस माइनस ए वा माइनस ज कैप इसको इसम मल्टीप्लाई करोगे ए एक्स बी जड माइनस एवा बी कुछ गलत लिखा है क्या मैंने कुछ तो गड़बड़ है ज कैप मैंने किया ए एक्स एड बी एक्स बी जड ओ हो हो गलत लिख दिया इधर मैंने ए एक्स ए ए एक्स ए जड ए एक्स ए जड बी एक्स बी जड यहां पर था बी एक्स यहां पर था बी जड ठीक है यह तुम्हारा बनेगा ए एक्स बी जड माइनस एड बी एक्स प्लस ए एक्स एवा बी एक्स बीवा हा व सही लिखा है प्लस के कैप इसको इससे मल्टीप्लाई करेंगे ए एक्स बीवा मा इ एवा बी एक्स सिंपली राइट अब यह वैल्यू हमारी निकल करके आ गई है बेटा किसकी ए क्रॉस बी दिस इज द वैल्यू ऑफ ए क्रस बी तो इस फार्मूले को याद कर पाना यार कठिन है इसलिए मैंने तुमको क्या सिखाया यह सिखाया कभी भी ए क्रॉस बी निकालना हो यह करेंगे आप हमेशा राइट इसको एक्सपेंड करने का तरीका तुमको मैंने पूरा सिखा दिया है इसको लिखोगे इसको और इसको छुपाओ एवा ए जड बीवा बी जड ठीक फिर माइनस ज कैप लिखोगे इसको और इसको छुपाओ ए एक्स एड बी एक्स बी जड के कैप लिखोगे इसको और इसको छि पाओगे ए एक्स एवा बी एक्स बीवा व लिखा है राइट एक्सपेंड कर डालोगे आंसर आएगा अब यहां पर हमें मोड ऑफ ए क्रॉस बी करना था तो पहले आ जाओ ए क्रॉस बी करते हैं पहले आ जाओ ए क्रॉस बी करते हैं ए क्रॉस बी तरीका क्या था आई कैप ज कैप के कैप ठीक ए वाला डाटा यह रहा 3 फ तो ी रखेंगे फोर रखेंगे सर जड वाला नहीं है जीरो रखेंगे यहां देखो माइनस 3 रखेंगे से रखेंगे जीरो रखेंगे एक्सपेंड करने का तरीका पहले आई कैप लिखेंगे इसको इसको और इसको छिपाए यह बचेगा तो लिखेंगे 4070 माइनस ज कैप लिखेंगे माइनस का ज कैप इसको छि पाएंगे इसको क्या बचेगा 30 3 माइन 3 प्लस के कैप लिखेंगे यह ठीक है इसको और इसको छि पाएंगे 3 4 3 4 माइनस 37 इसको एक्सपेंड करेंगे आई कैप टाइम्स दिस इनटू दिस जीरो दिस इनटू दिस जीरो माइनस ज कप दिस इनटू दिस जीरो दिस इनटू दिस जी प्लस के कैप दिस इन दिस 7 * 3 21 माइनस दिस इनटू दिस -1 ये जीरो ये जीरो खत्म कितना बचा बेटा 21 और 12 21 और 12 33 के कैप 33 के कैप यही हमारा आएगा 33 के कैप यही हमारा आएगा a क्रॉस अच्छा एक चीज और देखो a क्रॉस बी जो आया है वो 33 के कैप आया है यानी कि उसका मैग्नी तो 33 यूनिट है डायरेक्शन z डायरेक्शन है क्यों ऐसा क्योंकि 3i + 4j - 3i + 7j केवल आ और ज है यानी कि यह भी एक्सवा प्लेन में है यह भी एक्सवा प्लेन में है a और बी दोनों एक्सवा प्लेन में है तो a क्रॉस बी उसके परपेंडिकुलर एक्सवा प्लेन के परपेंडिकुलर कौन होता है जड एक्सिस तो जड डायरेक्शन में होगा यह क्वेश्चन सॉल्व करने के पहले भी मुझे पता था बट सॉल्व करने के बाद फील ज्यादा आता है है ना सो 33 के कैप आ गया है फि फिलहाल इसका अगर मोड निकाले मैग्निटिया भैया मैग्नी ूडल तो आप भी लिखोगे एरिया कितना है 33 स्क्वायर यूनिट एरिया कितना भैया 33 स्क्वायर यूनिट इस तरह के छोटे मोटे क्वेश्चंस आपसे पूछे जा सकते हैं कह रहे डिटरमाइंड अ यूनिट वेक्टर परपेंडिकुलर टू बोथ वेक्टर्स इन दोनों वेक्टर के परपेंडिकुलर एक यूनिट वेक्टर बताओ तो सबसे पहले इन दोनों के परपेंडिकुलर एक वेक्टर बताओ तो इन दोनों के परपेंडिकुलर वेक्टर होता है ए क्रॉस बी ए क्रॉस बी लिखने का तरीका क्या था आई ज के ठीक आई का डाटा रखो 2 1 माइव 2 एक्सपेंड करो आई कैप ठीक एक्सपेंड करो आई कैप यह छिपा यह छिपा क्या बचा वव माइव माइनस ज कैप ठीक है ये ये छि पाओ 2 प्लस के कैप ध्यान से देखना के कपव माइनस देखना बेटा कहीं गलती नहीं होनी चाहिए नट 2 माइनस माइनस तो प्व हो जाएगा माइनस ज कैप नट 4 मानव प्लस के कैप माइनस ू माइनस तो य आएगा 3 आई कैप माइनस 3 ज कैप -3 के कैप दिस इज वैल्यू ऑफ a क्रॉस बी a क्रॉस बी एक ऐसा वेक्टर है जो ए और बी दोनों के परपेंडिकुलर है लेकिन हमसे बोला यूनिट वेक्टर बताओ जो परपेंडिकुलर हो तो यूनिट वेक्टर क्या होगा इसी a क्रॉस बी का यूनिट वेक्टर निकालेंगे तो हमको निकालना है यूनिट वेक्टर च इज बेसिकली a क्रॉस बी डिवाइडेड बाय इट्स मैग्नीस ऑफ a क्रॉस बी तो हम लोग भी क्या करेंगे या हम लोग भी करेंगे 3i कैप - 3j कैप - 3k कैप डिवाइडेड बाय अंडर √3 स् + 3 स् + 3 स् राइट सो 1 / √9 9 9 27 अ √ 27 मतलब 3 √3 होता है आई थिंक है ना 27 मतलब 9 गु 3 9 को बाहर निकाल लेंगे और 3i कैप - 3j कैप -3 के कैप ये वाला जो थ्री है अंदर वाले थ्री को कॉमन करके उड़ा देगा 1 बा √3 टाइम्स आ कैप माइनस ज कैप माइनस के कैप ये एक ऐसा यूनिट वेक्टर बन जाएगा जो कि ए वेक्टर और बी वेक्टर दोनों के परपेंडिकुलर डायरेक्शन में मेरे प्यारे बच्चों होगा राइट है ये एक बहुत ही प्यारा बहुत ही इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है आपको आना चाहिए पूछा जा सकता है इस तरह का क्वेश्चन राइट सो अगला जो टॉपिक हमारा है वह है प्रोजेक्टाइल मोशन देखो बेटा होता क्या है कि अगर कोई ऑब्जेक्ट इस डायरेक्शन में उसके पास इनिशियल स्पीड है और हम लोग एक्सीलरेशन भी सेम डायरेक्शन में दे दें यानी कि इनिशियल स्पीड और एक्सीलरेशन का डायरेक्शन अगर सेम हो जाए तो ऐसे कंडीशंस में ऑब्जेक्ट की जो स्पीड है वह कंटीन्यूअसली बढ़ रही होती है लेकिन उसका जो मोशन होता है वह होता है स्ट्रेट लाइन मोशन है यानी कि अगर इनिशियल स्पीड और इनिशियल एक्सीलरेशन जो है दोनों सेम डायरेक्शन में है तो ऑब्जेक्ट स्ट्रेट लाइन मोशन में होगा और स्पीड कंटीन्यूअसली बढ़ रही होगी लेकिन अगर ऑब्जेक्ट की इनिशियल स्पीड किसी एक डायरेक्शन में है और एक्सीलरेशन जस्ट अपोजिट डायरेक्शन में दे दिया जाए तो ऐसे में स्पीड उसकी कंटीन्यूअसली घट रही होती है ये रिटर्न होता है लेकिन मोशन अभी भी स्ट्रेट लाइन मोशन ही यहां पर भी है ठीक है यानी कि स्ट्रेट लाइन मोशन इन दोनों केसेस में है बट थर्ड केस यह हो सकता है कि ऑब्जेक्ट की इ इनिशियल स्पीड किसी एक डायरेक्शन में है और उस ऑब्जेक्ट का जो एक्सीलरेशन है वह किसी और डायरेक्शन में है इनिशियल स्पीड और एक्सीलरेशन में अगर कुछ एंगल है इनिशियल स्पीड और एक्सीलरेशन में अगर कुछ एंगल है तो ऐसे में जो ऑब्जेक्ट है वो एक कर्वड पाथ पर मूव करता है यही कर्वड पाथ वाला जो मोशन है मेरे प्यारे बच्चों वो आपका प्रोजेक्टाइल मोशन कहलाता है राइट प्रोजेक्टाइल मोशन देखो मैक्सिमम बच्चे यह तो जानते हैं कि प्रोजेक्टाइल मोशन का फार्मूला क्या है टाइम पीरियड रेंज यह सब पता है उनको लेकिन वो यही नहीं जानते कि प्रोजेक्टाइल मोशन होता कब है प्रोजेक्टाइल मोशन तब पॉसिबल है जब ऑब्जेक्ट की इनिशियल स्पीड और उसके एक्सीलरेशन के बीच में कुछ एंगल हो वो एंगल जीरो नहीं होना चाहिए क्योंकि जीरो एंगल होगा तो यह केस होगा वो एंगल 180 नहीं होना चाहिए 0 180 के अलावा अगर उनके बीच में कुछ भी एंगल है वो एंगल 90 हो सकता है कुछ भी हो सकता है 0 180 नहीं होना चाहिए बस इन दो के अलावा कोई भी एंगल थीटा अगर है तो बेटा वहां पर वह कर्वड पाथ पर ऑब्जेक्ट मूव करेगा मोशन प्रोजेक्टाइल मोशन होगा और य जो पाथ है यह पाथ पैराबोलिक पाथ होता है यह जो पाथ है मेरे प्यारे बच्चों यह कैसा पाथ है यह पैराबोलिक पाथ होता है अभी आगे हम लोग इस चीज को डिराइवर भी करने वाले हैं अब किसी भी प्रोजेक्टाइल मोशन में सबसे पहली चीज जो हम लोग को पता होनी चाहिए वो है सर टाइम ऑफ फ्लाइट क्या होता है देखो अगर कोई ऑब्जेक्ट को यहां से किसी एक स्पीड य से फेंका जाए मेकिंग एन एंगल थीटा य स्पीड से आप फेंको तो ऑब्जेक्ट कुछ इस तरीके से आक के गिर रहा होगा ठीक है यहां से फेंको ऑब्जेक्ट ऐसे आकर के गिर रहा होगा यह उस ऑब्जेक्ट की यह उस पाथ का टॉप मोस्ट पॉइंट है यह उसका टॉप मोस्ट पॉइंट है तो टॉप मोस्ट पॉइंट जो है व एच के बराबर है यह उसका रेंज है दिस इज रेंज राइट तो यह स्टार्टिंग पॉइंट है है ना ये टॉप मोस्ट पॉइंट है यह उसका रेंज कहलाता है टाइम ऑफ फ्लाइट का मतलब यहां से फेंका और यहां तक पहुंचा है तो इतने में टोटल जो टाइम लगा है वही टाइम ऑफ फ्लाइट कहलाता है ठीक है तो ये पूरा मोशन कंप्लीट होने में जो टाइम लगा है वही टाइम हमारा टाइम ऑफ फ्लाइट कहलाता है अब आप बेटा यहां पर ध्यान से देखो ठीक है ऑब्जेक्ट की इनिशियल स्पीड य है एंगल थीटा है तो उसकी स्पीड के दो कॉम्पोनेंट हो जाएंगे है ना u कस थीटा और एक इधर की तरफ हो जाएगा दैट इज य सा थीटा आप ध्यान से देखो ये जो u थीटा है ये हॉरिजॉन्टल डायरेक्शन में है और हॉरिजॉन्टल डायरेक्शन में एक्सीलरेशन की वैल्यू कितनी है जीरो क्योंकि यहां कोई ऐसा फर्स नहीं है जो x डायरेक्शन में हो इस ऑब्जेक्ट पर एक ही फर्स लग रहा है वो है ऑब्जेक्ट का वेट जो कि डाउन वर्ड डायरेक्शन में है वर्टिकल डायरेक्शन में है यानी कि जो भी एक्सीलरेशन यहां पर है वो y डायरेक्शन में है लेकिन x डायरेक्शन में कोई फर्स नहीं है कोई भी एक्सीलरेशन नहीं है यानी कि अगर मैं यहां पर आपको बताऊ तो अलोंग एक्स डायरेक्शन या अलोंग हॉरिजॉन्टल आप ऐसा लिखो अलोंग हॉरिजॉन्टल हॉरिजॉन्टल के अलोंग अगर देखा जाए तो एक्सीलरेशन की वैल्यू बेटा जीरो है यानी हॉरिजॉन्टल डायरेक्शन में मोशन कैसा है यूनिफॉर्म मोशन है हॉरिजॉन्टल डायरेक्शन में बेटा मोशन कैसा है यूनिफॉर्म मोशन है अलोंग हॉरिजॉन्टल बट अलोंग वर्टिकल डायरेक्शन अगर मैं आपको बताऊं अलोंग वर्टिकल डायरेक्शन वर्टिकल डायरेक्शन में अगर आप देखेंगे तो एक्सीलरेशन है वो भी किधर की तरफ आप फेंक रहे हो ऊपर की तरफ अर्थ खींच रहा है नीचे की तरफ तो वो एक्सीलरेशन है माइनस जीी के बराबर ठीक है माइनस जीी के बराबर यानी कि यानी कि नॉन नॉन यूनिफॉर्म मोशन है उस ऑब्जेक्ट का अलोंग वा डायरेक्शन वाई डायरेक्शन में नॉन यूनिफॉर्म मोशन है ऑब्जेक्ट का टाइम ऑफ फ्लाइट क्या होता है कि भैया कुछ टाइम लगेगा यहां से यहां तक आने में कुछ टाइम लगेगा नीचे तक आने में इसको ओ पॉइंट बोलते हैं इसको मान लो ए पॉइंट में बोल रहा हूं इसको बी में बोल रहा हूं ओ से ए तक आने में कुछ टी टाइम लगा होगा ए से बी तक जाने में भी कुछ टी टाइम लगा होगा तो टाइम ऑफ फ्लाइट जिसको कैपिटल टी से डिनोट करते हैं वो 2t के बराबर होता है राइट अब देखो जब ऑब्जेक्ट ओ से ए तक गया है यानी कि फॉर मोशन टू ए फॉर मोशन ओ टू ए ओ से ए तक जब ऑब्जेक्ट को आप लेकर के जा रहे हो तो ओ से ए तक ले जाने में जरा एक चीज बहुत ध्यान से समझिए ऑब्जेक्ट जब ओ से ए तक गया है तो ऑब्जेक्ट की इनिशियल स्पीड वाई डायरेक्शन में जरा चेक करो कितनी है इनिशियल स्पीड वा डायरेक्शन में चेक करो कितनी है य साइन थीटा बट टॉप मोस्ट पॉइंट पर जो फाइनल स्पीड होती है वो हमेशा जीरो है टॉप मोस्ट पॉइंट पर देखो a पॉइंट पर जो भी स्पीड है वो सिर्फ और सिर्फ हॉरिजॉन्टल है जो उसको आगे लेकर के जाएगी क्योंकि हॉरिजॉन्टल डायरेक्शन में एक्सीलरेशन कितना है बेटा एक्सीलरेशन जीरो है एक्सीलरेशन जीरो होने का मतलब हॉरिजॉन्टल वेलोसिटी उसकी कैसी है कांस्टेंट है यानी कि मोशन जब तक प्रोजेक्टाइल होता रहेगा हॉरिजॉन्टल वेलोसिटी u कस थीटा यहां भी है यहां भी है यहां भी है यहां भी है यहां भी है य कॉस थीटा लगातार मेरे प्यारे बच्चों कांस्टेंट बनी रहेगी यानी हॉरिजॉन्टल वेलोसिटी तो हमेशा य कॉस थीटा ही रहेगी प्रोजेक्टाइल मोशन ये इसकी ब्यूटी है राइट फिलहाल वर्टिकल वेलोसिटी वाई डायरेक्शन में जो अपवर्ड वेलोसिटी है वो जीरो है क्योंकि अगर वर्टिकल वेलोसिटी कुछ भी होती तो थोड़ा सा और ऊपर चला जाता राइट तो ये तो जीरो है एक्सीलरेशन वाई डायरेक्शन में देखा जाए तो माइज के बराबर है तो आ जाइए जरा हम लोग अप्लाइक वेशन ऑफ मोशन अप्लाइड इक्वेशन ऑफ मोशन पहली इक्वेशन ऑफ मोशन आइए हम लोग अप्लाई करते हैं पहली इक्वेशन ऑफ मोशन क्या है v बराबर u प् ए v कितना है रो य कितना है य साइन थीटा एक्सीलरेशन कितना है माइनस जीी और टाइम कितना है t के बराबर तो t की वैल्यू कितनी आ गई है भैया य साइ थीटा डिवाइडेड बाय के बराबर य साइन थीटा डिवाइडेड बायजी के बराबर राइट ये एक तरफ का टाइम है यानी कि टाइम ऑफ एसेंट है ऊपर जाने का टाइम है टाइम ऑफ डिसेंट भी उतना ही होता है राइट सो टाइम ऑफ फ्लाइट अगर मैं लिखू टाइम ऑफ फ्लाइट अगर मैं लिखूं तो टाइम ऑफ फ्लाइट बेटा टी के बराबर है सो कैपिटल टी आ जाएगा य साइन थीटा अपॉन जीी के बराबर ठीक है तो अगर ऑब्जेक्ट मान लो प्रोजेक्टाइल मोशन में है ठीक है ग्राउंड से ग्राउंड आपने ऑब्जेक्ट को फेंका है ग्राउंड से ग्राउंड की तरफ राइट तो ऐसे में जो टाइम पीरियड निकल कर के आएगा दैट इज ऑलवेज 2 य सा थीटा अपन g है ना इस वाले टाइम का डबल टाइम ऑफ फ्लाइट हमेशा होता है नेक्स्ट है बेटा मैक्सिमम हाइट कितनी है व्हाट इज द मैक्सिमम हाइट कवर्ड बाय द ऑब्जेक्ट तो देखो इनिशियल स्पीड जो थी वो u साइ थी मैंने लिखा था ठीक है फाइनल स्पीड अगर मैं लिखू ववा में लिखू जीरो है एक्सीलरेशन वा डायरेक्शन में लिखे जीरो है डिस्प्लेसमेंट जो उसने किया वा डायरेक्शन में जो डिस्प्लेसमेंट किया वह एच है है ना डिस्प्लेसमेंट एच के बराबर है सो अप्लाइड थर्ड इक्वेशन ऑफ मोशन थर्ड इक्वेशन ऑफ मोशन अगर हम लोग अप्लाई करें बेटा डायग्राम वही पीछे वाला चल रहा है ठीक है तोवा स्क्वा बराबर यवा स्क्वा प् 2 एवा इन एवा होगा v स्क बराब य स्क प् 2as तो यह तो जीरो है यह य साइन थीटा है ठीक है य साइन थीटा का होल स्क्वायर एक्सीलरेशन नेगेटिव था सो माइनस का 2जी ए यहां से मेरे प्यारे बच्चों h की वैल्यू आएगी य स्क्वायर सा स्क्वायर थीटा डिवाइडेड बाय 2g u स् सा स्क्वा थीटा डिवाइडेड बा 2g u स् सा स्क्वा थीटा डिवाइड बा 2g ये हाइट का फार्मूला निकल कर आया बिल्कुल इसी तरीके से हॉरिजॉन्टल रेंज की अगर मैं आपसे बात करूं रेंज क्या था रेंज वाज द हॉरिजॉन्टल डिस्टेंस कवर्ड ड्यूरिंग टाइम ऑफ फ्लाइट टाइम ऑफ फ्लाइट यानी यहां से यहां तक आने में जितना वो आगे बढ़ गया इसी को रेंज बोलते हैं तो भैया रेंज की वैल्यू कैसे आएगी रेंज की वैल्यू कैसे आएगी रेंज की वैल्यू आएगी रेंज की वैल्यू आएगी वेलोसिटी का एक्स कॉम्पोनेंट मल्टीप्ला बाय टाइम ऑफ फ्लाइट क्योंकि एक्स डायरेक्शन में अगर मैं आपको बताऊ हॉरिजॉन्टल डायरेक्शन में मैं आपको बताऊं तो मोशन कैसा है यूनिफॉर्म और यूनिफॉर्म मोशन में भैया एक ही फॉर्मूला है स्पीड बराबर डिस्टेंस अपॉन टाइम तो डिस्टेंस बराबर स्पीड इनटू टाइम है ना डिस्टेंस वो कितना चल गया रेंज के बराबर स्पीड कितनी है v एक के बराबर कांस्टेंट है टाइम पीरियड t के बराबर है v एक कितना है भाई साहब हम लोग देख चुके हैं u कस थीटा के बराबर तो u कस थीटा मल्टीप्ला बाय टाइम पीरियड टाइम पीरियड कितना है बेटा 2 य सा थीटा / g के बराबर देखो u * u करोगे u स्क्वायर आएगा 2 सा थीटा क थीटा जो है वो sin2 थीटा होता है मेरे प्यारे बच्चों तो u स्क sin2 थीटा बाज दिस इज द फार्मूला ऑफ रेंज ये रेंज का फार्मूला है राइट तो आपके पास देखो एक फार्मूला आ गया रेंज का एक फार्मूला हाइट का एक फार्मूला टाइम पीरियड का ठीक है रेंज में एक पॉइंट और ध्यान रखना यानी कि फॉर एंगल ऑफ प्रोजेक्शन फॉर एंगल ऑफ प्रोजेक्शन थीटा अगर आपने किसी ऑब्जेक्ट को थीटा एंगल पर फेंका एंगल ऑफ प्रोजेक्शन क्या होता है यह होता है एंगल ऑफ प्रोजेक्शन ये अगर आपने थीटा एंगल पर फेंक रखा है किसी ऑब्जेक्ट को तो उसका जो रेंज है वह य स्क्वा साइ 2 थीटा अपन g के बराबर होता है है ना अभी हमने डिराइवर एंगल ऑफ प्रोजेक्शन उसी ऑब्जेक्ट को अगर मैं 90 माइ थीटा एंगल पर फेंक दूं बेटा तो जैसे अगर आपने यहां 30 एंगल पर 30 डिग्री पर फेंका था इस बार मैं 90 - 30 यानी 60° पे अगर फेंकू तो क्या होगा चेक करो अगर हम 90 - थीटा पर फेंकते हैं तो ये बनेगा u स् sin2 टाइम्स 90 - थीटा डिवाइड बा g सो दैट विल बी u स् sin2 को अंदर ले जाओ बेटा 180 - 2 थीटा डिवाइडेड बा g देखो सा 180 - थीटा भी सा थीटा होता है तो ये u स् sin2 थीटा / g यही बन जाएगा च वाज रेंज फॉर एंगल थीटा यानी रेंज फॉर 90 माइनस थीटा इज इक्वल टू रेंज फॉर थ यानी कि किसी ऑब्जेक्ट को 15 डिग्री पर हमने फेंका है जितनी दूर पर गिरेगा सेम ऑब्जेक्ट को सेम स्पीड से अगर मैं 90 माइन 15 यानी कि 75 डिग्री पर अगर मैं फेंकू तो भी वहीं पर जाकर के गिरेगा क्लियर है क्या देख लो यानी कि यानी कि ऑब्जेक्ट को मैंने यहां पर फेंका एंगल कितना है थीटा सेम ऑब्जेक्ट को मैं 90 माइनस थीटा से फेंकू तो भी वहीं पर जाके गिरेगा ये वाला एंगल कितना हो गया यह वाला हो गया 90 माइन थ क्लियर है चलो रेंज में एक पॉइंट और देखो फॉर मैक्सिमम रेंज अगर हमें रेंज को मैक्सिमम करना है देखो रेंज होता कितना है य स्क्वायर साइन 2 थीटा अप g ठीक है अगर यह रेंज मैक्सिमम है मैक्सिमम रेंज लाना है तो बेटा sin2 थीटा शुड बी मैक्सिमम तो sin2 थीटा कितना होना चाहिए + 1 के बराबर sin2 थीटा + 1 तभी पॉसिबल है जब वो सा 90 के बराबर होगा यानी कि बेटा यह जो 2 थीटा एंगल है यह 90 के बराबर होना चाहिए यानी थीटा एंगल 90/2 यानी 45 डिग्री के बराबर होना चाहिए यानी अगर किसी भी ऑब्जेक्ट को ग्राउंड से 45 डिग्री के एंगल पर फेंको ग तो वो सबसे ज्यादा दूरी पर जाकर के गिरेगा और उसका रेंज मैक्सिमम हो जाएगा मैक्सिमम रेंज की वैल्यू अगर मैं आपको बता दूं आर मैक्स की वैल्यू अगर मैं आपको बता दूं तो दैट विल बी u स्क्वा अप g दिस इज मैक्सिमम रेंज ठीक है यह भी कब मिलेगा एट 45 डिग्री एंगल ऑफ प्रोजेक्शन 45 डिग्री पर फेंको ग रेंज मैक्सिमम होएगी और वो मैक्सिमम रेंज की वैल्यू यह होती है राइट है अब वेलोसिटी ऑफ अ पार्टिकल एट एनी इंस्टेंट किसी भी इंस्टेंट ऑफ टाइम पर की वेलोसिटी देखो कितनी हो सकती है यहां से फेंका मैंने यह इसकी इनिशियल स्पीड थी ऑब्जेक्ट ऐसे जाकर के गिर रहा है ठीक है और यह हमने किसी थीटा एंगल पर फेंका था तो इसके ऑब्जेक्ट की जो वेलोसिटी है व कुछ ऐसी हो गई इधर की तरफ य कस थीटा और वर्टिकल डायरेक्शन में ट इ य साइन थीटा अब इमेजिन करो ऑब्जेक्ट यहां से कुछ यहां कहीं पहुंच गया ऑब्जेक्ट यहां कहीं पर बेटा पहुंच गया ठीक है एक्स डायरेक्शन में वेलोसिटी v एक् है वा डायरेक्शन में वेलोसिटी ववा है और इसकी रिजल्टेंट वेलोसिटी v के बराबर है हमको यही तो निकालना है वेलोसिटी ऑफ द पार्टिकल एट एनी इंस्टेंट यानी कि कुछ यहां से यहां तक जाने में कुछ टी टाइम लगा होगा t टाइम के बाद ऑब्जेक्ट की वेलोसिटी v है हमको यही वेलोसिटी v निकालनी है ठीक कैसे मिलेगी देखो अगर मैं हॉरिजॉन्टल डायरेक्शन में आपको बताऊ यानी कि अगर मैं लिखूं अलोंग हॉरिजॉन्टल तो आप सबको यह बात पहले ही मैं बता चुका हूं हॉरिजॉन्टल डायरेक्शन में एक्सीलरेशन जो है वो जीरो होता है यानी कि हॉरिजॉन्टल जो वेलोसिटी है वह कांस्टेंट होती है और हॉरिजॉन्टल वेलोसिटी वही है जो इनिशियल थी कितनी थी u थीटा के बराबर यानी कि v एक तो हमेशा कितना होगा u थीटा के बराबर दैट इज अवर इक्वेशन नंबर वन ये हमेशा u थीटा के बराबर ही होगा ठीक है नाउ अलोंग वर्टिकल देखो अलोंग वर्टिकल देखिए वर्टिकल डायरेक्शन की अगर मैं बात करूं तो उसका एक्सीलरेशन है माइनस जीी के बराबर ऑब्जेक्ट फेंक रहे हो ऊपर एक्सीलरेशन लग रहा है नीचे इसलिए नेगेटिव है रिटर्न की तरह बिहेव कर रहा है ठीक है अब बेटा यहां पर इक्वेशन ऑफ मोशन लग सकती है सो अपला सेकंड इक्वेशन ऑफ मोशन यानी कि s इक्वल टू यटी प्लस हाफ ए स्क्वा तो जरा जरा चेक कर लीजिएगा नहीं लेकिन हमको तो वेलोसिटी चाहिए ना तो हम सेकंड इक्वेशन क्यों लगाएंगे भाई वेलोसिटी चाहिए तो एक काम करो फर्स्ट इक्वेशन लगाओ बराबर य प् ए तो वा डायरेक्शन की फाइनल वेलोसिटी भाई यहां पर वा डायरेक्शन की वेलोसिटी हमें निकालना है ववा इनिशियल वेलोसिटी थी बेटा य साइन थीटा के बराबर एक्सीलरेशन माइनस जीी के बराबर टाइम कितना हैटी के बराबर ठीक है तो आपको देखो फाइनल वेलोसिटी वा डायरेक्शन में भी है फाइनल वेलोसिटी एक्स डायरेक्शन में पता है हमेशा य कॉस थीटा होगा फाइनल वेलोसिटी वा डायरेक्शन में है वो य साइन थीटा माइनस जीटी के बराबर है अब बेटा अगर इस व को निकालना है अगर आपको इसवी को निकालना है देखो वेक्टर फॉर्म में लिखोगे तो v बराबर क्या है v एक्स आई कैप प्लस ववा ज कैप ध्यान से देखो ये एक्स डायरेक्शन में है यह वा डायरेक्शन में तो v एक्स आ का प्वा ज का एक् कितना था य कॉस थीटा तो य थीटा आ कैप प्लस ये कितना है य साइन थीटा माइन जीटी तो य साइन थीटा माइजीटी टाइम्स ज कैप यह बेटा वेलोसिटी वेक्टर फॉर्म में है ठीक है यह ऑब्जेक्ट की वेलोसिटी है किसी भी इंस्टेंट पर इन वेक्टर फॉर्म वेक्टर फॉर्म में कभी पूछा जाएगा कुछ इस तरीके से आप लोग लिख डालेंगे ठीक है लेकिन अगर जनरल फॉर्म में तुमसे पूछेगा यानी कि इन जनरल जनरल फॉर्म में कभी ऐसे तुमसे पूछे नहीं नहीं हमें वेक्टर नहीं चाहिए हमें वैल्यू बता दो बस तो आपको इसका [संगीत] मैग्निटिया थ इसको ओपन करोगे बेटा u स्क्वा सा स्क्वा थीटा प् g स् t स् - 2t सा थीटा ध्यान से देख लेना a - b का होल स्क्वायर मैंने अप्लाई किया तो ये तुम्हारा देखो बनेगा u स्क्वा क स्क्वा थीटा u स्क्वा सा स्क्वा थीटा कॉमन करोगे u स्क्वा सा स्क्वा प् क स्क्वा थीटा बेटा वन होता है ् g स् t स् है तो यह वन हटा ही दे यहां से काहे को लगाए है ना प्लस g स्क्वा t स्क्वा - 2 यजीटी इन साइ थीटा यह फॉर्म आ जाएगा वेलोसिटी का दिस इज द वेलोसिटी वैल्यू ऑफ द वेलोसिटी एट एनी टाइम t किसी टाइम t पर वेलोसिटी की वैल्यू अब एक बार बच्चों ने अभी शायद फर्स्ट वाले नहीं प्रीवियस लेक्चर में कुछ बच्चों ने कहा सर इंस्टंटे नियस वेलोसिटी क्या है बेटा इंस्टंटे नियस वेलोसिटी का सिंपल मतलब है वेलोसिटी एट एनी इंस्टेंट ऑफ टाइम भाई किसी भी टाइम t पर वेलोसिटी की जो वैल्यू है वही इंस्टंटे नियस वेलोसिटी है तो ये जो वेलोसिटी मैंने निकाला ये इंस्टंटे नियस वेलोसिटी ही निकाली है इंस्टंटे नियस वेलोसिटी इंस्टंटे नियस वेलोसिटी का मतलब वैल्यू ऑफ़ द वेलोसिटी एट अ पर्टिकुलर टाइम मैं आपसे बोलूं इनिशियली वेलोसिटी कितनी थी तुम t की जगह रो रख देना रो रखो रो रखो वैल्यू कितनी आएगी अर √ u स् मतलब य इनिशियल वेलोसिटी य थी सर मैं बोलू बेटा एक सेकंड के बाद वेलोसिटी कितनी थी तुम की जगह वन रख दो खट से आ जाएगी वेलोसिटी क्लियर है तो ये बेसिकली मैग्नी ऑफ वेलोसिटी है है ना ये वेक्टर फॉर्म में वेलोसिटी है अच्छा मैं आपसे बोलू कि जो फाइनल वेलोसिटी है भैया यह फाइनल वेलोसिटी कितने एंगल पर है ये एंगल कितना है बहुत सिंपली निकाल सकते हैं कैसे न अल्फा लगा देंगे हम न अल्फा बेटा कितना आएगा v अप v एक v वा कितना है u सा थीटा - gt1 कितना है य कस थीटा सिंपल ये आ गया न अल्फा अल्फा की वैल्यू आ जाएगी सॉल्व करके है ना तो इनिशियल वेलोसिटी फाइनल वेलोसिटी कितनी है फाइनल वेलोसिटी की वैल्यू कितनी है ठीक है वेक्टर फॉर्म में क्या है जनरल फॉर्म में क्या है उसका एंगल क्या है सारी चीजें आपके सामने अब इस पर कोई भी न्यूमेरिकल पूछे यार घुमा फिरा के देखो अगर कांसेप्ट में क्लेरिटी है तो न्यूमेरिकल करना आसान हो जाता है अगर यह पता है कि यह क्या चीज है तो डाटा तो हम रख ही देंगे उठाकर अगर हमें कोई क्वेश्चन देगा य दे देगा दे देगा एंगल दे देगा देंगे उठा के आ जाएगी वल क्लियर कांसेप्ट में क्लेरिटी लाओ अगर फिजिक्स में आपको महारथी बनना है अगर फिजिक्स को अपनी ताकत बनानी है अच्छा फिजिक्स सब्जेक्ट भी एक ऐसा सब्जेक्ट है ना जिसमें कभी भी मतलब तो यही कहता हूं परफेक्शन नहीं आता कोई ये सोचे कि हम परफेक्ट हो जाएंगे हमसे हमेशा सब सही हो जाएगा नहीं हो पाता बेटा नहीं हो पाता अच्छे अच्छों को देखा है नहीं हो पाता टीचर मतलब बच्चों की बात नहीं कर रहा हूं टीचर्स की बात कर रहा हूं परफेक्शन नहीं आता कभी लेकिन कोशिश करते रहो करते रहो करते क्यों ऐसा भैया ये स्टडी ऑफ नेचर है नेचर किसने बनाया ऊपर वाले ने जिस चीज को खुद ऊपर वाले ने बनाया है जिसको डिजाइन उसने किया है उस परे परफेक्शन हम कैसे ला सकते हैं हम तो नॉर्मल इंसान है तो फिजिक्स में कभी डिमोला इज नहीं होने का क्योंकि 100% किसी को नहीं आती है एच सी वर्मा सर जिसकी बुक हम लोग पढ़ते हैं कांसेप्ट ऑफ फिजिक्स आईटी कानपुर के प्रोफेसर मैं आईटी मतलब मैं यही कानपुर का ही रहने वाला हूं तो मैं बहुत बार पर्सनली भी मिला हूं मेरे स्कूल में भी आया करते थे वैसे भी मैं मिला हूं तो वो खुद कहते हैं मेरे को फिजिक्स नहीं आती अब जब उनको नहीं आती तो फिर सोच लो किसको आती है क्योंकि सारे टीचर तो उन्हीं की किताब से पढ़ के पढ़ा रहे हैं जब उन्हीं को नहीं आती तो फिर किसको आती है तो अल्टीमेटली ये सब्जेक्ट ही ऐसा है परफेक्शन किसी को नहीं आता लेकिन कांसेप्ट में अगर क्लेरिटी इसीलिए उन्होंने किताब का नाम क्या रखा कंसेप्ट ऑफ फिजिक्स चाहते तो न्यूमेरिकल्स ऑफ फिजिक्स रख देते जबकि उस किताब में न्यूमेरिकल्स बहुत अच्छे-अच्छे हैं चाहते तो रखते हैं ना न्यूमेरिकल्स ऑफ फिजिक्स नहीं रखा उन्होंने कांसेप्ट ऑफ फिजिक्स रखा क्यों क्योंकि फिजिक्स है ही कांसेप्ट का कांसेप्ट आता है फिजिक्स आती है कांसेप्ट नहीं आता फिजिक्स नहीं आती क्योंकि न्यूमेरिकल तो तुम 1000 न्यूमेरिकल कर लो 1000 न्यूमेरिकल कर डालो क्या पता जो एग्जाम में आए वो 1000 एकवा न्यूमेरिकल है जो तुमने नहीं किया कैसे बनेगा कंसेप्ट से बनेगा कांसेप्ट आता होगा तो वो 100 एकवा भी बनने के चांसेस हैं इसीलिए क्वांटिटी ऑफ न्यूमेरिकल्स की वजह क्वालिटी ऑफ न्यूमेरिकल्स पर फोकस करिए अच्छे-अच्छे न्यूमेरिकल्स करने की कोशिश मेरे प्यारे बच्चों करिए राइट चलो जी एग्जाम इक्वेशंस ऑफ ट्रेजे क्ट्री क्या है सर ट्रेजे क्ट्री ट्रेजे क्ट्री का मतलब होता है बेटा पाथ कि ऑब्जेक्ट जिस पाथ पर मूव कर रहा है जिस पैराबोलिक पाथ पर मूव कर रहा है सर उसकी इक्वेशन निकालनी है कैसे निकालो देख ऑब्जेक्ट को मैंने ऐसे फेंका प्रोजेक्टाइल पाथ पर यहां से फेंका था यह इसकी इनिशियल स्पीड है मेकिंग एन एंगल थीटा उस स्पीड के दो कॉम्पोनेंट्स भी है एक कॉम्पोनेंट इधर की तरफ है भाई साहब य कॉस थीटा एक कॉम्पोनेंट इधर की तरफ है य साइन थीटा ठीक है अब यह ऑब्जेक्ट मान लो मूव करता करता कुछ यहां कहीं पर पहुंचा ठीक है यहां पर पहुंचा एक्स डायरेक्शन में ऑब्जेक्ट एक्स चल चुका है वा डायरेक्शन में ऑब्जेक्ट वा डिस्प्लेसमेंट चल चुका है बेटा ट्रेजे जो होता है ना जो पाथ होता है ना दैट इज ऑलवेज अ रिलेशन बिटवीन एक्स एंडवा कभी भी ट्रेजे क्ट्री आपसे पूछा जाए तो पार्टिकल जो एक्स डायरेक्शन में मूव कर रहा है वा डायरेक्शन में मूव कर रहा है तो एक्स डायरेक्शन का डिस्प्लेसमेंट वा डायरेक्शन का जो डिस्प्लेसमेंट उसके बीच में क्या रिलेशन है एक्स और वा के बीच का जो रिलेशन है वही ट्रेजे क्ट्री को रिप्रेजेंट करता है ठीक है ये कांसेप्ट है अब कैसे निकालेंगे सर कैसे निकालेंगे देखो अलोंग हॉरिजॉन्टल अगर आप लोग ध्यान दे रहे हो तो प्रोजेक्टाइल मोशन को हमेशा मैं दो डायरेक्शंस में बांट करके सॉल्व कर रहा हूं हॉरिजॉन्टल वर्टिकल अगर मान लो यहां से यहां मान लो ये ओ पॉइंट है और ओ से ए तक आने में बेटा मान लो कुछ t टाइम लग गया अगर यहां से यहां तक आने में t टाइम लगा है तो आप कहोगे ना भाई हॉरिजॉन्टल डायरेक्शन में कोई एक्सीलरेशन नहीं है मोशन यूनिफॉर्म है फार्मूला एक ही है स्पीड बराबर डिस्टेंस अन टाइम तो डिस्टेंस बराबर स्पीड इनटू टाइम राइट तो x बराबर कितना हो गया u कॉस थीटा मल्टीप्ला बाय t य कस थीटा मल्टीप्ला बा t दैट इज अवर इक्वेशन नंबर वन x डायरेक्शन में जो डिस्टेंस उसने ट्रेवल किया दैट इज u कस थीटा * t बट अलोंग वर्टिकल यानी कि अलोंग वा डायरेक्शन अगर मैं आपसे पूछूं वा डायरेक्शन में क्या हुआ तो वा डायरेक्शन में सेकंड इक्वेशन ऑफ मोशन हम लोग लगाएंगे यानी s = य प् 1/2 ए स्क्वा तो आप यहां एवा = यवा एटी स्क्वा ऐसे करके लिख सकते हो ठीक है तो भैया वा डायरेक्शन में वोवा के बराबर चला है इनिशियल स्पीड उसकी कितनी थी वा डायरेक्शन में u सान थीटा के बराबर टाइम कितना है के बराबर एक्सीलरेशन माइनस जीी के बराबर है सर माइनस क्यों है क्योंकि मैं फेंक रहा हूं ऊपर की तरफ अर्थ खींच रही नीचे की तरफ तो मैं एक्सीलरेशन नेगेटिव ले रहा हूं राइट दिस इज अवर इक्वेशन नंबर टू तो वा डायरेक्शन में जो डिस्प्लेसमेंट है पार्टिकल का वो कुछ इस तरीके से निकलेगा बट सर यह ट्रेजे क्ट्री क्या है दैट इज द रिलेशन बिटवीन एक्स एंडवा यह क्या है रिलेशन बिटवीन एक्स एंड टाइम यह क्या है रिलेशन बिटवीन वा एंड टाइम तो कबाब में हड्डी कौन है टाइम टाइम को निकालो भैया टाइम से निकालो उसम उठा के रख दो तो फ्रॉम इक्वेशन वन फ्रॉम इक्वेशन वन टाइम की वैल्यू बेटा कितनी आएगी ट इज एकस अपन य कॉस थीटा टाइम की वैल्यू कितनी आई एक्स अपन य कॉस थीटा एक्स अपन य कॉस थीटा ये टाइम की वैल्यू उठाकर यहां रख दो है ना इक्वेशन नंबर टू में सो फ्रॉम इक्वेशन ट इक्वेशन नंबर टू में मेरे प्यारे लाल बाल गोपाल y की वैल्यू देखो कितनी आएगी दैट इज u सा थीटा मल्टीप्ला बाय टाइम कितना है x / u थीटा - 1/2 g * टाइम टाइम कितना है x / u क थीटा का होल स्क्वायर सिंपलीफाई करो y = x देखो u से u कट गया सा ब क t हो जाएगा y = x t थीटा माइनस हाफ g एक स्क्वा बटे य स्क्वा कॉस स्क्वायर थीटा यह देख लीजिए आप सभी लोग दिस इज द इक्वेशन ऑफ अ पार्टिकल मूविंग इन प्रोजेक्टाइल मोशन y बरा x t थीटा - 1/2 g एक स्क्वा अपन य स्क कॉस स्क्वा थीटा ठीक है तो ये उस पार्टिकल की ट्रेजे क्ट्री हो गई ये उसकी इक्वेशन हो गई क्योंकि इसकी इक्वेशन में x पर स्क्वायर है और y पर स्क्वायर नहीं है इसलिए ये इक्वेशन एक पैराबोलिक पाथ को रिप्रेजेंट करती है किसी भी पैराबोलिक पाथ की इक्वेशन देखो स्टैंडर्ड फॉर्म क्या है मैथ्स में शायद आपने पढ़ लिया हो y स् = 4ax या x स् = 4ay तो यहां देखो x पर स्क्वायर है y पर स्क्वायर नहीं है तो ये कैसी इक्वेशन हो गई बेटा ये प्रोजेक्टाइल इक्वेशन हो गई राइट है ये किसी भी प्रोजेक्टाइल पाथ है ना या उसकी ट्रेजे क्ट्री का इक्वेशन हो गया राइट तो इक्वेशन ऑफ ट्रेजे क्ट्री मैंने आपको बता ही दिया है इसको यहां से हम लोग हटा देते हैं दिस इज इक्वेशन ऑफ ट्रेजे क्ट्री हां जी अब आपके इस चैप्टर मोशन इन प्लेन के आखिरी पार्ट पर आते हैं देखो सबसे पहले इसमें हम लोग ने वेक्टर्स पढ़ा डिटेल में खूब वेक्टर्स पढ़ा फिर हम लोग ने प्रोजेक्टाइल मोशन पढ़ लिया प्रोजेक्टाइल मोशन में हर एक डेरिवेशन मैंने आपको करके बता दिया है बहुत ही क्रिस्प फॉर्म में हर एक चीज डिटेल में बता दिया है ठीक है अब आ जाओ सर्कुलर मोशन का हर एक कांसेप्ट आपको सिखा देते हैं फिर आपका काम क्या होगा इन पर बेस्ड ढेर सारे न्यूमेरिकल क्वेश्चंस को अटेंप्ट करना ऑलरेडी लेक्चर ढाई घंटे के आसपास का हो चुका है है ना तो आइए कोशिश करते हैं है ना बहुत लंबा नहीं करेंगे आप लोग बहुत लंबा नहीं चाहते हो है ना इसलिए मैं आपको हर कांसेप्चुअल पार्ट सिखा दे रहा हूं लेकिन प्रॉमिस करिए कि आप लोग ज्यादा से ज्यादा न्यूमेरिकल्स करेंगे मेरे प्यारे बच्चों अगर मैं यहां पर वन शॉर्ट लेक्चर में मैक्सिमम न्यूमेरिकल्स क करूंगा जैसा कि मेरी आदत में है ठीक है तो यह लेक्चर कम से कम पाच से छ घंटे का जाएगा ही जाएगा मिनिमम है इससे कम नहीं जाएगा जब पहला चैप्टर साढ़े घंटे का चला गया था यह सब चैप्टर पाच से छ घंटे से कम में बेटा नहीं जाएंगे अगर इसमें ढेर सारे न्यूमेरिकल्स करवाए जाएंगे तो इसलिए अभी मैं न्यूमेरिकल बहुत ज्यादा नहीं करा रहा हूं लेकिन वो सारे करा रहा हूं जो इंपॉर्टेंट है जो आपके फंडामेंटल को स्ट्रांग कर देगा वो करा रहा हूं ठीक है तो आप लोग की ये ड्यूटी है कि आप रेगुलरली 10 से 15 न्यूमेरिकल रोज सॉल्व करें जबकि एग्जाम टाइम है तो आपको 20 न्यूमेरिकल पर डे करना चाहिए फिर जब आप लोग क्लास 12थ में आ जाओगे तो मैं आपसे कहूंगा 10 न्यूमेरिकल्स पर डे ज्यादा नहीं 10 न्यूमेरिकल्स पर डे जब आप क्लास 12थ में आओगे तो पूरे साल में यह प्रॉमिस आपसे लूंगा है ना लेकिन अभी आपको क्योंकि एग्जाम टाइम है आखिरी में पढ़ ही रहे हो वन शॉट आखिरी में आ रहे हैं साल भर ज्यादा पढ़ा नहीं है तो अभी थोड़ा पेनल्टी है है ना 20 न्यूमेरिकल्स पर डे आप लोग को सॉल्व करने हैं अभी जब तक 11थ का एग्जाम नहीं हो जाता 12थ में जब आओगे तो 10 न्यूमेरिकल प डे हो जाएगा साल भर अब वही चलेगा 10 न्यूमेरिकल पर डे बस ज्यादा नहीं करना है बहुत ज्यादा फिजिक्स नहीं पढ़ना है ना सर्कुलर मोशन क्या है सर सर्कुलर मोशन बड़ा सिंपल है भैया कोई भी ऑब्जेक्ट अगर सर्कुलर पाथ पर मूव कर रहा है कोई भी ऑब्जेक्ट अगर सर्कुलर पाथ पर मूव कर रहा है तो उस ऑब्जेक्ट का ये जो मोशन है वो सर्कुलर मोशन कहलाता है ऑब्जेक्ट सर्कुलर पाथ पर जब होता है कुछ ना कुछ उसकी स्पीड होती है उस पाथ का कुछ ना कुछ रेडियस होता है पाथ का कुछ ना कुछ कोई ना कोई सेंटर होता है ये पार्टिकल है पार्टिकल का कुछ ना कुछ मास रहा होगा पार्टिकल ऐसे-ऐसे घूम रहा है ठीक है सर्कुलर मोशन भी दो तरीके का होता है भैया यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन नॉन यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन अगर इस ऑब्जेक्ट की स्पीड कांस्टेंट है देखो बेटा ऑब्जेक्ट की स्पीड अगर कांस्टेंट है v क्या है यहां पर स्पीड है अगर ऑब्जेक्ट की स्पीड कांस्टेंट है मतलब जब ऑब्जेक्ट यहां पे था तो भी स्पीड v जब ऑब्जेक्ट यहां पर पहुंचा तो भी स्पीड v है जब वो यहां पहुंचेगा तो भी स्पीड v है मतलब अगर 2 मीटर पर सेकंड था दो मीटर पर सेकंड 2 मीटर पर सेकंड 2 मीटर पर सेकंड 2 मीटर पर सेकंड यानी ऑब्जेक्ट की स्पीड में अगर कोई चेंज नहीं आ रहा है स्पीड फिक्स है तो वह यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन कहलाता है दैट इज यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन लेकिन अगर ऑब्जेक्ट की स्पीड कांस्टेंट ना हो ठीक है ना स्पीड की मैं बात कर रहा हूं स्पीड ना कांस्टेंट हो य यहां पे दो मीटर पर सेकंड फिर बढ़ गई 3 मीटर पर सेकंड 4 मीटर पर सेकंड 5 मीटर पर सेकंड 6 मीटर पर सेकंड 7 मीटर पर सेकंड स्पीड अगर चेंज हो रही है तो उसको नॉन यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन कहा जाता है तो सर्कुलर मोशन के कितने टाइप हो गए बेटा दो ठीक है स्पीड कांस्टेंट है यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन स्पीड कांस्टेंट नहीं है नॉन यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन अब अगले पॉइंट को सुनो स्पीड भले कांस्टेंट हो जाए क्योंकि हम लोग के सिलेबस में ना 11थ में केवल यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन है नॉन यम सर्कुलर मोशन तुम्हारे सिलेबस में ही नहीं है 11 में है ही नहीं ठीक है यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन है तुम्हारे सिलेबस में अगर यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन है स्पीड कांस्टेंट है दो मीटर पर सेकंड दो मीटर पर सेकंड दो मीटर पर सेकंड लेकिन डायरेक्शन तो भाई साब चेंज हो रही है स्पीड भले कांस्टेंट हो जाए डायरेक्शन कभी कांस्टेंट बेटा सर्कुलर मोशन में नहीं हो सकती स्पीड कांस्टेंट है ठीक बट डायरेक्शन नेवर कांस्टेंट डायरेक्शन सर्कुलर मोशन में कांस्टेंट कभी हो ही नहीं सकती क्योंकि जब यहां है तो इधर डायरेक्शन जब यहां है इधर डायरेक्शन यहां है इधर डायरेक्शन यहां है नीचे डायरेक्शन यहां है इधर डायरेक्शन डायरेक्शन हमेशा चेंज होगा इसका मतलब सर्कुलर मोशन में है ना वेलोसिटी कभी भी कांस्टेंट नहीं होती है वेलोसिटी इज नेवर कांस्टेंट इन सर्कुलर मोशन चाहे यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन हो नॉन यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन राइट अगर यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन है तो भी मैं लिख रहा हूं देखो तो भी मैं लिख रहा हूं वेलोसिटी इज नॉट कांस्टेंट है ना नॉन यूनिफॉर्म में भी वेलोसिटी कांस्टेंट नहीं है यहां भी मैं लिख रहा हूं वेलोसिटी इज नॉट कांस्टेंट इसका मतलब मेरे प्यारे बच्चों मन के सच्चो जरा ध्यान से मेरी बात को सुनो ऑब्जेक्ट यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन में है मतलब स्पीड कांस्टेंट है लेकिन डायरेक्शन कभी कांस्टेंट हो नहीं सकती वेलोसिटी कभी भी कांस्टेंट हो नहीं सकती राइट तो स्पीड कांस्टेंट हो सकती है डायरेक्शन वेलोसिटी कभी भी कांस्टेंट नहीं हो सकती है यह यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन की पूरी कहानी है राइट दिस इज ऑल अबाउट यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन राइट अब अगला देखो नेक्स्ट के देखो नेक्स्ट केस देखो स्पीड कांस्टेंट नहीं है स्पीड कांस्टेंट नहीं है है ना डायरेक्शन तो वैसे भी कांस्टेंट नहीं होती है ठीक है वेलोसिटी तो फिर दूर दूर तक कांस्टेंट होने की कोई गुंजाइश भी नहीं है है ना जब स्पीड है कांस्टेंट नहीं है तो वेलोसिटी तो भूल ही जाओ वैसे भी वेलोसिटी कांस्टेंट नहीं होती है सर्कुलर मोशन लेकिन इस तरह का जो सर्कुलर मोशन होता है वह तुम्हारा नॉन यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन कहलाता है दिस इज नॉन यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन राइट है चलो जी यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन क्या है मैं आपको बता चुका हूं डिटेल में बता चुका हूं लिख लेना अपने हिसाब से यूसीएम इज एन एक्सीलरेटेड मोशन यह भी मैं आपको डिटेल में बता चुका हूं यूनिफॉर्म सर्क मोशन होगा स्पीड कांस्टेंट है बट डायरेक्शन कांस्टेंट नहीं हो सकता इसलिए वेलोसिटी कांस्टेंट नहीं है अब अगर वेलोसिटी कांस्टेंट नहीं है तो देर मस्ट बी एन एक्सीलरेशन फॉर दिस ऑब्जेक्ट जब भी बेटा सर्कुलर मोशन में होता है है ना जब भी सर्कुलर मोशन में होता है देयर मस्ट बी एन एक्सीलरेशन देखो मान लो ऑब्जेक्ट यहां पर है स्पीड इधर की तरफ है राइट अभी आगे जाओगे स्पीड चेंज होगी देर मस्ट बी एन एक एक्सीलरेशन टुवर्ड्स द सेंटर ऑफ द पाथ यह उस पाथ का सेंटर है एक एक्सीलरेशन होना चाहिए सेंटर की तरफ उस एक्सीलरेशन का नाम है सेंट्री पिटल एक्सीलरेशन उस एक्सीलरेशन का बेटा नाम क्या है सेंट्री पिटल एक्सीलरेशन ऑब्जेक्ट अगर सर्कुलर मोशन में है तो देयर मस्ट बी एन एक्सीलरेशन टुवर्ड्स द सेंटर ऑफ द पाथ हुज वैल्यू इज v स्क्वा अप आ सेंट्री पिडल एक्सीलरेशन होना चाहिए हमेशा सेंटर की तरफ होना चाहिए उसकी वैल्यू v स् / r के बराबर होती है ठीक है यही सेंट्रिपेटल एक्सीलरेशन है व्हिच इज रिस्पांसिबल फॉर चेंज इन डायरेक्शन व्हिच इज रिस्पांसिबल फॉर चेंज इन डायरेक्शन व्हिच इज रिस्पांसिबल फॉर चेंज इन डायरेक्शन ऑफ वेलोसिटी ये जो वेलोसिटी में कंटीन्यूअसली डायरेक्शन में चेंज आ रहा है ना उस चेंज के लिए जो रिस्पांसिबल एक्सीलरेशन है वो सेंट्रिपेटल एक्सीलरेशन होता है ठीक है सेंट्रिपेटल एक्सीलरेशन नेक्स्ट है बेटा अब कुछ बेसिक बेसिक छोटी-छोटी डेफिनेशंस है कि सर ये एंगुलर डिस्प्लेसमेंट क्या है जैसे मान लो ऑब्जेक्ट सर्कुलर पाथ में घूम रहा है ठीक ऑब्जेक्ट पहले यहां पर था यहां से वो यहां पहुंच गया तो उसने कितना एंगल कवर कर लिया उसी एंगल को एंगुलर डिस्प्लेसमेंट कहा जाता है ठीक है ना व्हाट इज एंगुलर डिस्प्लेसमेंट इट इज द एंगल कवर्ड इट इज एंगल कवर्ड एट द सेंटर व्हेन द पार्टिकल मूव फ्रॉम पॉइंट a टू बी पार्टिकल a से b गया है ना a से b गया तो यह जो ए आर्क है ये जो ए आर्क है वो डिस्टेंस ट्रैवल्ड है एंगल है ना एंगुलर डिस्प्लेसमेंट को थीटा से डिनोट करते हैं डेल्टा थीटा भी लिख सकते हो तुम और थीटा बराबर आर्क अपॉन रेडियस होता है सिंपल लिखते हैं थीटा जो है वह आर्क अपॉन रेडियस के बराबर होता है तो ध्यान रखना यह वाला फार्मूला ठीक है ना थीटा बराबर आर्क अपॉन रेडियस एंगुलर डिस्प्लेसमेंट थीटा जो है वो आर्क अपॉन रेडियस के बराबर है सो लीनियर डिस्टेंस ट्रैवल्ड बाय द ऑब्जेक्ट इन सर्कुलर पाथ लीनियर डिस्टेंस आर्क ए है ना वच इज इक्वल टू थीटा मल्टीप्ला बाय रेडियस हमेशा याद रखना कभी भी कभी भी डिस्टेंस की बात किया जाए सर्कुलर मोशन में भैया यहां से यहां गया कितना डिस्टेंस ट्रेवल किया दैट इज थीटा * रेडियस एंगल इनटू रेडियस राइट नेक्स्ट है बेटा एंगुलर वेलोसिटी क्या होती है ऑब्जेक्ट जब सर्कुलर पाथ में होता है जब वो ए से बी जा रहा है तो उसका डिस्प्लेसमेंट देखो कुछ ना कुछ कु एंगल हो गया डेल्टा थीटा के बराबर यह सेंटर है ठीक है यह इसका रेडियस है तो यहां पर एक एंगुलर वेलोसिटी डिफाइन किया जाता है जिसको हम लोग ओमेगा से रिप्रेजेंट करते हैं एंड दैट इज अ वेरी सिंपल रेट ऑफ चेंज ऑफ एंगुलर डिस्प्लेसमेंट व्हाट इज एंगुलर वेलोसिटी एंगुलर वेलोसिटी इज डिफाइंड एज रेट ऑफ चेंज ऑफ रेट ऑफ चेंज ऑफ एंगुलर डिस्प्लेसमेंट रेट ऑफ चेंज ऑफ एंगुलर डिस्प्लेसमेंट इज कॉल्ड रेट ऑफ चेंज ऑफ एंगुलर डिस्प्लेसमेंट इज कॉल्ड एंगुलर वेलोसिटी रेट ऑफ चेंज ऑफ एंगुलर डिस्प्लेसमेंट इज कॉल्ड एंगुलर वेलोसिटी एंगुलर वेलोसिटी को ओमेगा से डिनोट करते हैं दैट इज डेल्टा थीटा अपन डेल्टा t है ना यानी कि एंगुलर डिस्प्लेसमेंट एंगल कवर्ड अपॉन टाइम टेकन थीटा अपॉन डेल्टा t राइट रेट ऑफ चेंज ऑफ एंगुलर वेलोसिटी अच्छा एक चीज और देखो ये जो एंगल होता है ना इस एंगल का यूनिट हमेशा रेडियन होता है एंगल का यूनिट रेडियन ये हम लोग पहले चैप्टर में पढ़ चुके यूनिट्स एंड मेजरमेंट में यहां पर एंगुलर वेलोसिटी के अगर मैं यूनिट की बात करूं तो एंगुलर वेलोसिटी का यूनिट होता है रेडियन पर सेकंड रेडियन पर सेकंड राइट रेडियन पर सेकंड यह इसका यूनिट होता है नेक्स्ट है बेटा टाइम पीरियड क्या है भैया तो एक पूरा सर्किल कंप्लीट करने में लगा हुआ टाइम यह सर्कुलर पाथ का सेंटर है भैया यहां से ऑब्जेक्ट ने चलना शुरू किया एक पूरा चक्कर लगाने में जो टाइम लगा वही टाइम पीरियड कहलाता है तो बेटा अगर मैं यहां पर आपको बताऊ तो एक पूरा चक्कर अगर इसकी स्पीड कुछ व मान ले तो एक पूरा चक्कर कंप्लीट करने में डिस्टेंस वो चलता है 2 पा आ के बराबर खुद ही सोचो ना एक पूरा च चलने में सरकम फरेंस के अरा डिस्टेंस चलता है जो टाइम लगा वही टाइम पीरियड है तो टाइम पीरियड टी का फार्मूला आ गया हमारे पास डिस्टेंस अपॉन स्पीड यानी कि 2 पाई आ अपन v यह बेसिक चीज है अपने दिमाग में रखिएगा नेक्स्ट है फ्रीक्वेंसी क्या होती है फ्रीक्वेंसी का मतलब है नंबर ऑफ रेवोल्यूशन रेवोल्यूशन मतलब कितने चक्कर वो लगा रहा है नंबर ऑफ रेवोल्यूशन इन वन सेकंड एक सेकंड में कितनी बार घूम जा रहा है उसको फ्रीक्वेंसी कहते फ्रीक्वेंसी जो है मेरे प्यारे बच्चों वो रेसिप प्रोकल ऑफ टाइम पीरियड होता है फ्रीक्वेंसी जो है वो वन अपॉन टाइम पीरियड होती है और फ्रीक्वेंसी का जो यूनिट है दैट इज हर्ट्ज ये आप सब जानते हो नाइ से पढ़ रहे हो फ्रीक्वेंसी का यूनिट हर्ट्ज होता है राइट अच्छा एक चीज और देखो ओमेगा का मतलब क्या हो गया टोटल एंगल कवर्ड अपॉन टाइम टेकन है ना एंगल कवर्ड अपॉन टाइम टेकन एक पूरे चक्कर में फॉर वन रेवोल्यूशन फॉर वन रेवोल्यूशन एक पूरा चक्कर कंप्लीट हो जाने में एंगल बन गया 2 पाई के बराबर टाइम पीरियड t के बराबर और वन अपॉन टाइम पीरियड फ्रीक्वेंसी होता है तो ओमेगा 2 पाई अपन t भी है ओमेगा 2 पाई f के बराबर भी होता है राइट यह भी हमारे पास है अगला रिलेशन बिटवीन एटी एंड ओमेगा तो मैंने आई थिंक पहले ही निकाल दिया ए एफ और t का रिलेशन ये है और ओमेगा के साथ रिलेशन यह है तो उसको हम लोग यहां पर डायरेक्ट लिख रहे हैं कि भैया ओमेगा जो है वो 2 पाई f के बराबर है उसी को 2 पाई अपन t भी लिखा जा सकता है कहां से आया है यहां से भाई व्हाट इज एंगुलर वेलोसिटी दैट इज रेट ऑफ चेंज ऑफ एंगुलर डिस्प्लेसमेंट यानी डेल्टा थीटा अपन डेल्टा t फटाफट इसी में बस वैल्यू रखो पूरे रेवोल्यूशन में कितना एंगल कवर करेगा भैया 2 पाई के बराबर एक पूरा चक्कर बेटा जब लगता है एक पूरा चक्कर जब यहां से यहां तक लगता है तो कितना एंगल कवर हो जाएगा 2 पाई के बराबर ठीक 360 डिग्री के बराबर वही उठा के रख देंगे काम बन जाएगा अगला है रिलेशन बिटवीन लीनियर वेलोसिटी एंड एंगुलर वेलोसिटी लीनियर वेलोसिटी और एंगुलर वेलोसिटी में क्या रिलेशन है अच्छा जी तो फ्रॉम फ्रॉम डेफिनेशन ऑफ फ्रॉम डेफिनिशन ऑफ एंगुलर [संगीत] डिस्प्लेसमेंट तो हम सबने क्या पढ़ा कि भैया थीटा जो है वह आर्क अपॉन रेडियस है है ना जी तो ऐसा लिख सकते हैं एंगल इ इक्वल टू आर्क को एस से दिखा दो रेडियस को आर से दिखा दो ऑब्जेक्ट अगर मान लो सर्कुलर पाथ में घूम रहा है लाइक दिस ठीक है ये उसका सेंटर है ए पॉइंट से वो ऑब्जेक्ट बी तक चला गया यह रेडियस है आ के बराबर यह भी रेडियस आ के बराबर डिस्टेंस उसने कवर किया एस के बराबर दैट इज आर्क लेंथ है ना डिस्टेंस ए के बराबर है तो यहां से बेटा हम लोग ने ए निकाल लिया ट इज आ इन डेल्टा थीटा तुम चाहो तो डेल्टा ए लिख लो डेल्टा एस लिख लो है ना डेल्टा का मतलब क्या हो गया डिस्टेंस ट्रैवल्ड राइट तो डिस्टेंस ट्रैवल्ड जो है वो r इन डेल्टा थीटा के बराबर है यानी रेडियस इनटू एंगुलर डिस्प्लेसमेंट तो मेरे प्यारे बच्चों जरा ध्यान से समझिए अगर डिस्टेंस ये है तो यहां से हम लोग क्या निकाल सकते हैं यहां से हम स्पीड या वेलोसिटी निकाल सकते हैं नाउ फॉर फॉर लीनियर स्पीड तो भैया स्पीड क्या होती है डिस्टेंस अपॉन टाइम टेकन है ना तो डेल्टा ए अपन डेल्टा t यानी r डेल्टा थीटा अपॉन टाइम टेकन स्पीड बराबर डिस्टेंस अपॉन टाइम डिस्टेंस निकाल चुके हो तुम डिस्टेंस आपने निकाल लिया है ये डेल्टा ए क्या है डिस्टेंस ही तो है डिस्टेंस ही तो है डिस्टेंस है अब आप देखो v बराबर r टाइम्स डेल्टा थीटा अपन डेल्टा t ओमेगा होता है तो हमारे पास एक रिलेशन आ गया v बराबर r ओमेगा v क्या है लीनियर स्पीड r क्या है रेडियस ओमेगा क्या है स्पीड ऑब्जेक्ट जब सर्कुलर पाथ पर होता है तो उस ऑब्जेक्ट की एक लीनियर स्पीड है यानी ऑब्जेक्ट की स्पीड ऑब्जेक्ट की स्पीड v और सेंटर पर जो उसकी स्पीड बन रही है दैट इज नोन एज ओमेगा उसी को एंगुलर स्पीड कहा जाता है तो बेटा v और ओमेगा के बीच का जो रिलेशन है दैट इज v बराबर r ओमेगा ये एक ऐसा इंपॉर्टेंट रिलेशन है जो सर्कुलर मोशन और लीनियर मोशन को रिलेट करता है कभी भी सर्कुलर मोशन लीनियर मोशन में कुछ कोई न्यूमेरिकल सॉल्व कर दोनों पर बेस्ड है तो v बराबर आर ओमेगा हम लोगों को यूज करना पड़ेगा इसके बाद है जी एंगुलर एक्सीलरेशन क्या है एंगुलर एक्सीलरेशन का मतलब सिंपल है रेट ऑफ चेंज ऑफ रेट ऑफ चेंज ऑफ एंगुलर वेलोसिटी रेट ऑफ चेंज ऑफ एंगुलर वेलोसिटी रेट ऑफ चेंज ऑफ एंगुलर वेलोसिटी इज कॉल्ड एंगुलर इज कॉल्ड एंगुलर एक्सीलरेशन रेट ऑफ चेंज ऑफ एंगुलर वेलोसिटी इज कॉल्ड एंगुलर एक्सीलरेशन इसको अल्फा से डिनोट करते हैं च इज डेल्टा ओमेगा अपॉन डेल्टा t अल्फा से डिनोट करते हैं बेटा दैट इज डेल्टा ओमेगा अप डेल्टा t जैसे नॉर्मली होता है ना एक्सीलरेशन डेल्टा v अप डेल्टा t तो यहां पर एंगुलर वेलोसिटी अपन एंगुलर टाइम हो जाएगा ठीक है ना सो दैट मींस अल्फा इक्ट डेल्टा ओमेगा अप डेल्टा t ये इसका अगर मैं यूनिट की बात करूं तो एंगल का यूनिट होता है रेडियन पर सेकंड तो इसका हो जाएगा रेडियन पर सेकंड स्क्वायर रेडियन पर सेकंड स्क्वायर डेल्टा ओमेगा अपॉन डेल्टा रिलेशन अगर यहां पर आपको बता दिया जाए जैसे हम लोग ने पढ़ रखा है भैया व बराबर आर ओमेगा होता है है ना डिवाइडिंग बोथ साइड या डिफरेंट बोथ साइड विद रिस्पेक्ट टू टाइम न चलो डिफरेंस के बेसिस पर बता दे ऑन डिफरेंशिएबल विद रिस्पेक्ट टू टाइम टाइम के रिस्पेक्ट में अगर डिफरेंशिएबल का dv1 dtv.in कभी भी सर्कुलर मोशन से लीनियर मोशन लीनियर मोशन से सर्कुलर मोशन पर आना जाना हो है ना या फिर आपको कोई ऐसा क्वेश्चन पूछा गया है लीनियर स्पीड बताओ एंगुलर स्पीड बताओ लीनियर एक्सीलरेशन बताओ एंगुलर एक्सीलरेशन बताओ तो यही दो फार्मूले हैं जो आपके बार-बार वहां पर यूज हो रहे होंगे क्लियर है आई होप आपको हर एक बात समझ में मेरे प्यारे बच्चों आ रही होगी अब हम लोग पढ़ने चल रहे हैं बेटा सेंट्रिपेटल एक्सीलरेशन के बारे में सेंट्रिपेटल एक्सीलरेशन क्या है व तो मैं बता चुका हूं लेकिन उसकी वैल्यू कैसे आई है v स्क्वा बाय आ आइए उस चीज का डेरिवेशन करना हम लोग स्टार्ट करते हैं तो अगर कोई भी ऑब्जेक्ट सर्कुलर पाथ पर है ठीक है कोई भी ऑब्जेक्ट मान लो सर्कुलर पाथ पर है व ऑब्जेक्ट यहां था राइट और ऑब्जेक्ट यहां से कुछ यहां तक पहुंच गया ठीक है मान लो यहां पर उसकी स्पीड कुछ v1 के बराबर है जब वो यहां पर पहुंच गया तो मान लीजिए उसकी स्पीड में v2 के बराबर दिखा रहा हूं यहां पर ये भी रेडियस है और ये भी हमारा रेडियस है ये a पॉइंट है ये हमारा ब पॉइंट है राइट सो लेट अस सपोज उसने एंगुलर डिस्प्लेसमेंट बेटा डेल्टा थीटा के बराबर कवर कर रखा है अब देखो ये डायरेक्शन में v1 है और ये ये डायरेक्शन में v2 एक काम करते हैं इसके डायग्राम को थोड़ा ऐसा बनाते हैं जो आप लोगों को इजली समझ में आए तो एक यहां पर रखते हैं ठीक है पार्टिकल यहां से यहां तक मूव करके गया है a से बी यहां पर उसकी वेलोसिटी कुछ इस डायरेक्शन में है v1 जब वो यहां पर पहुंचा है बेटा तब वेलोसिटी कुछ v2 हो गई है रेडियस वही है यह आप देख सकते हैं यह ओ पॉइंट है r रेडियस यहां पर भी है r रेडियस यहां भी है और एंगल उसने जो कवर कर लिया वो डेल्टा थीटा के बराबर है सो इट इज एंगुलर डिस्प्लेसमेंट अब मुद्दा यह है कि सर यहां पर देखो ये जो v1 है और ये जो v2 है अगर मैं इसको इधर ले आऊ अलग से एक बात समझना ये v1 है राइट और ये जो v2 है उसको हम लोग यहां पे ऐसे ले आए है ना तो सबसे पहली बात v1 और v2 के बीच का एंगल कितना है उसके लिए क्या करो इसको आगे बढ़ाओ इसको आप पीछे की तरफ लेकर के आओ देखो ये अगर डेल्टा थीटा है तो ये 180 माइन डेल्टा थीटा होगा तो ये वाला भी डेल्टा थीटा हो जाएगा या वव और ट के बीच का एंगल बेटा डेल्टा थीटा है यानी कि यह एंगल भी डेल्टा थीटा ही होगा बहुत ध्यान से समझना एक एक चीज बेटा डिटेल में समझा रहा हूं राइट अब अगर आप समझ रहे हो यह वव है यह ट है तो मेरे प्यारे बच्चों यह जो होगा ट विल बी डेल्टा व है यही डेल्टा हैट चेंज इन वेलोसिटी राइट य है चेंज इन वेलोसिटी अगर ऑब्जर्व किया जाए यह वाले ट्रायंगल और यह वाले ट्रायंगल को इसका भी चलो कुछ नाम रख देते हैं इसको मैं नाम दे रहा हूं प क आर इन ट्रायंगल इन ट्रायंगल एओ बी एंड ट्रायंगल प क आर इन दोनों ट्रायंगल को अगर बेटा ध्यान से देखा जाए तो एओ a o / b यह रेशो बेटा वन के बराबर है क्योंकि दोनों ही रेडियस हैं राइट बिलकुल इसी तरीके से यहां पे अगर हम लोग देखेंगे तो वी कैन राइट हियर मतलब दोनों की स्पीड तो सेम है ना स्पीड को मैं v ही मान के चल रहा हूं क्योंकि सारा डेरिवेशन में कर तो यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन के लिए ही रहा हूं ना क्योंकि हमारे सिलेबस में तो यूसीएम ही है राइट तो यूसीएम के लिए जब हमने डिराइवर किया तो पता चला कि भैया इसकी स्पीड और इसकी स्पीड दोनों का जो रेशो है यह तो वेक्टर है यह भी वेक्टर है लेकिन इन दोनों का जो रेशो है मैग्निटिया दोनों एंगल्स भी सेम है सो एंगल एओ इज इक्वल टू एंगल q प व इज इक्वल टू डेल्टा थीटा ठीक है सो बाय एस एस बाय एस ए ए सिमिलरिटी ये जो दोनों ट्रायंगल है यानी एओ इज सिमिलर टू ट्रायंगल प क आ दोनों ट्रायंगल बेटा सिमिलर हो गए अगर दोनों ट्रायंगल सिमिलर है तो इनकी करेस्पॉन्डिंग्ली सेम होना चाहिए हेंस हेंस रेशो ऑफ रेशो ऑफ करेस्पॉन्डिंग्ली [संगीत] वो मिलेगा अपने को एओ अपॉन एओ अपन ए और यहां पर मिलेगा प क अपॉन कू आ तो बेटा एओ जो है वो आ के बराबर है ए को हम लोग यहां पर डेल्टा एस लिख दे रहे हैं यानी कि डिस्प्लेसमेंट मैं लिख दे रहा हूं च इज इक्वल टू प क प क क्या है हमारा स्पीड है और क्यू आर जो है दैट इज डेल्टा व चेंज इन वेलो राइट यहां से हम लोग बेटा डेल्टा व को निकाल सकते हैं डेल्टा व की जो वैल्यू आएगी ट विल बीवी अपॉन आर इन डेल्टा एस चेंज इन वेलोसिटी आया निकलकर v अपन आ इन डेल्टा एस नाउ डिवाइडिंग बोथ साइड डिवाइडिंग बोथ साइड बाय टाइम इंटरवल है ना डिवाइडिंग डिवाइडिंग बोथ साइड बाय डेल्टा दोनों तरफ अगर हम लोग डेल्टा t से डिवाइड करेंगे तो क्या बनेगा जरा देखो दिस इज डेल्टा v अपन डेल्टा t च इज इक्वल टू v अप r डेल्टा ए अप डेल्टा t डेल्टा v अप डेल्टा t रेट ऑफ चेंज ऑफ वेलोसिटी है बेटा एक्सीलरेशन होता है v बा आ डेल्टा ए अप डेल्टा t यानी डिस्प्लेसमेंट अपॉन टाइम जो है दैट इज अगेन वेलोसिटी तो एक्सीलरेशन की वैल्यू देखो निकल कर आ गई v स्क्वा अ r v स्क्वा अप r राइट है v स्क्वा अप r और अगर यहीं पर हम लोग v बरा r ओमेगा यूज कर ले एज वी नो v = r ओमेगा तो यही एक्सीलरेशन r ओमेगा का होल स्क्वायर डिवाइडेड बाय r बनेगा व्हिच इज r ओमेगा स्क्वायर तो सेंट्रिपेटल एक्सीलरेशन के दो फार्मूले आपके पास बेटा आ गए सबसे पहला फार्मूला है v स् / r और दूसरा फार्मूला है r ओमेगा स्क्वा सेंटी पडल एक्सीलरेशन कभी भी निकालना हो तो आप इस तरीके से बहुत ही सिंपली बहुत ही इजली सेंट्रिपेटल एक्सीलरेशन को निकाल सकते हो दैट इज ऑलवेज टुवर्ड्स द सेंटर ऑफ द पाथ है ना हमेशा सेंटर की तरफ होगा इधर भी इधर भी ऑलवेज टुवर्ड्स द सेंटर वैल्यू आपके सामने है सिमिलरिटी ऑफ ट्रायंगल वाली प्रॉपर्टी यूज करके हम लोगों ने इसको डिराइवर कर लिया है इसके बाद बेटा एक आउट ऑफ द सिलेबस हम लोग बात करने चल रहे हैं और वह यह है कि सर सर्कुलर मोशन विद वेरिएबल स्पीड भी हल्का सा बता दीजिए तो देखो भैया अगर कोई ऑब्जेक्ट मान लो यहां पर है सबसे नीचे यहां पर ऑब्जेक्ट है और ऑब्जेक्ट की स्पीड v1 है राइट जब यही ऑब्जेक्ट आपका यहां पर पहुंचे तो उसकी स्पीड कुछ v2 हो जाए है ना अब एक्सीलरेशन तो सेंटर की तरफ तो रहेगा ही रहेगा लेकिन अगर स्पीड चेंज हो रही है तो देयर मस्ट बी देयर मस्ट बी एन एक्सीलरेशन इन दिस डायरेक्शन आल्सो उस डायरेक्शन को टेंज शियल एक्सीलरेशन कहा जाता है अगर स्पीड बढ़ रही है देखो टेंज शियल एक्सीलरेशन अगर v1 के डायरेक्शन में है तो स्पीड को बढ़ाएगा ठीक है अगर ये अपोजिट डायरेक्शन में है तो स्पीड को घटाए जस्ट लाइक एक्सीलरेशन एंड रिटर्न राइट तो यहां पर जो पार्टिकल है उसका जो नेट एक्सीलरेशन बेटा होगा दैट नेट एक्सीलरेशन इज अंडर रूट ए स् प् ए स्क्वा ए क्या है टेंज शियल एक्सीलरेशन है ना ये जो टेंज एक्सीलरेशन है वो बेसिकली आपका d बा ऑफ़ वेलोसिटी वेलोसिटी की डायरेक्शन को चेंज करना इसका काम है और ए क्या है at0 इज़ टू चेंज टू चेंज स्पीड स्पीड को चेंज करने का काम है at8 का है ना यह टेंज शियल एक्सीलरेशन क्या करेगा यह स्पीड को चेंज करेगा बाकी इससे ज़्यादा तुम्हें नहीं पढ़ना है है ना आपसे वह पूछा जाने वाला नहीं है व्हिच इज़ ग्रेटर एंगुलर वेलोसिटी ऑफ़ r हैंड ऑफ़ अ वॉच और एंगुलर वेलोसिटी ऑफ अर्थ अराउंड इट्स ओन एक्सिस गिव देयर रेशो बेटा अगर हम लोग ओमेगा निकाल रहे हैं मान लो वॉच के लिए तो उसको ओमेगा व अगर मैं बोलूं तो दैट इज बेसिकली 2 पा अपि t होता है अगर घंटे वाली सुई है तो वह 12 घंटे में एक पूरा चक्कर लगाती है 12 आवर्स में एक पूरा चक्कर वह कंप्लीट करती है तो उसका टाइम पीरियड में 12 है ओमेगा 2 की मैं बात करूं तो वो 2 पाप t2 हो जाएगा है ना और यह हम हम लोग लिख रहे हैं किसके लिए ये हम लोग अर्थ के लिए लिख रहे हैं अर्थ अपने एक्सिस के अराउंड बेटा 24 घंटे में एक रोटेशन पूरा करती है राइट तो इसको आप इक्वेशन वन बोल सकते हो इसको आप इक्वेशन टू बोल सकते हो अगर रेशो चाहिए भैया तो ओमेगा 1 / ओमेगा 2 करना पड़ेगा यानी 2p / 12 / 2p / 24 तो 2p से 2p कट जाएगा ये वैल्यू आ जाएगी कितना 24 आएगा ऊपर 12 जाएगा नीचे तो वैल्यू बेटा दो के बराबर आ जाएगी राइट सो एंगुलर स्पीड्स का जो रेशो है एंगुलर वेलोसिटी का जो रेशो है वह 2:1 का आ जाएगा सिंपल क्वेश्चन है नेक्स्ट है अ बॉडी ऑफ मास 10 केजी एक बॉडी है बेटा जिसका मास 10 केजी के बराबर है दैट रिवॉल्व इन अ सर्कल ऑफ डायमीटर डायमीटर 0.40 मीटर मेकिंग है ना मेकिंग 1000 रेवोल्यूशन पर मिनट तो फ्रीक्वेंसी अगर यहां से मैं देखूं तो 100 नहीं 1000 रेवोल्यूशन पर मिनट है तो आपको क्या करना पड़ेगा 1000 अप 60 करना पड़ेगा तो इतने रेवोल्यूशन पर सेकंड आएगा है ना यही फ्रीक्वेंसी होता है हमसे कह रहे हैं लीनियर वेलोसिटी बता दो भैया व्हाट इज लीनियर वेलोसिटी देखो लीनियर वेलोसिटी v जो है वो r ओमेगा के बराबर है सो r टाइम्स ओमेगा क्या है 2pf के बराबर होता है रेडियस कितना है 0.40 तो डायमीटर है बाटू करोगे रेडियस आएगा * 2 पा है ना इनटू फ्रीक्वेंसी फ्रीक्वेंसी कितनी है बेटा 1000 डिवाइडेड बाय 60 राइट इसको हम लोग सिंपलीफाई करेंगे तो बेटा हम लोग को स्पीड मिल जाएगी देखो यह कितना आएगा भैया पॉइंट 0.20 है ना 0.20 मल्टीप्लायड बाय 2 मल्टीप्ला बाय 3.14 मल्टी 1000 डिवाइड बाय 60 तो यह वैल्यू आ गई हमारी स्पीड की कितनी ट इ 2093 2093 मीटर पर सेकंड है ना यह इसकी लीनियर वेलोसिटी आ गई और सेंट्री पडल एक्सीलरेशन अगर आप पूछ रहे हो तो ट इज आर ओमेगा स्क्वायर आ की वैल्यू 0.20 है ओमेगा हमारा है वही 2 पाई ए का होल स्क्वायर तो फ्रीक्वेंसी कितनी है 2 पाई अपन 60 का होल स्क्वायर है ना सिंपलीफाई कर लेंगे बेटा देखो यह वैल्यू कितनी है 2 इन 3.14 इन 1000 डिवाइडेड बाय 60 ठीक है यह 104 प 67 आ गया है मल्टीप्ला बा 104.6 ऐसे करके करेंगे तो 10000 समथिंग आएगा मल्टीप्ला बाय 0.20 तो ये वैल्यू भैया 2191 प2 राइट मीटर पर सेकंड स्क्वायर आ जाएगी राइट ये ये इसकी लीनियर वेलोसिटी है और ये इसका सेंट्रिपेटल एक्सीलरेशन है सेंट्रिपेटल एक्सीलरेशन का एक बार बेटा कैलकुलेशन और चेक कर लेना वैल्यू तो सही है फार्मूला मतलब सही है ठीक है एक बार कैलकुलेशन और चेक कर लेना भाई उम्मीद करता हूं कैलकुलेशन सही होगा बट गलत भी हो सकता है है ना लेकिन एक बार चेक कर लेना कि सेंडल एक्सीलरेशन v स्क्वा अप r होता है r ओमेगा स्क्वा होता है ओमेगा की वैल्यू सही रखी है 2 पा f सिंपलीफाई करेंगे तो कुछ इस तरीके का आ जाएगा काफी बड़ा एक्सीलरेशन आ रहा है इसलिए मन में डाउट आ रहा है बट आप लोग इसको एक बार क्रॉस चेक करेंगे तो आपको पता चल जाएगा सही है या गलत है राइट चलो जी सो यह था हमारा पूरा का पूरा वन शॉर्ट लेक्चर सर आज के लेक्चर का होमवर्क क्या है आज के लेक्चर का होमवर्क आपका फिर से यही है रेगुलरली प्रैक्टिस हां प्रैक्टिस 20 न्यूमेरिकल्स पर डे 20 न्यूमेरिकल्स पर डे आपको करने ही करने हैं काहे के प्रीवियस चैप्टर्स जितने पढ़ लिए आपने अभी तक तीन चैप्टर्स हो गया तीसरा चैप्टर हो गया आपका है ना तो चैप्टर वन टू और थ्री इन तीनों चैप्टर से मिलाजुला करर 20 क्वेश्चंस 20 क्वेश्चंस मेरे प्यारे बच्चों पर डे आप सभी लोगों को करना है आप सभी प्यारे-प्यारे बच्चों का बहुत-बहुत धन्यवाद है आपने इतने पेशेंस के साथ पूरे लेक्चर को अटेंड किया है उम्मीद करता हूं हर एक टॉपिक आपको एकदम मस्ती से समझ में आया होगा है ना आप सभी लोग लेक्चर को बहुत पसंद कर रहे हैं तो खूब दबाकर कमेंट करिएगा आपके कमेंट्स पढ़ते हैं तो मेरी भी एनर्जी बढ़ जाती है है ना और अगले वाले लेक्चर में और ज्यादा मेहनत करने का मन करता है सो मेरे प्यारे लाल बाल गोपाल मिलते हैं अपने अगले सेशन में अपने अगले लेक्चर में परसों आएगा है ना तब तक के लिए गुड बाय टेक केयर लव यू ऑल खूब मेहनत करते रहो कमेंट्स करके जरूर बताना कैसा लगा