ouais ouais ouais je te rappelle j'ai une vidéo de merde à faire là ouais ça marche bisous ouais en analyse vous avez deux opérateurs linéaires qui sont omniprésent d'une part vous avez la dérivation pour étudier les variation d'une fonction ses points critiques faire des approximations et cetera et d'autre part vous avez l'intégration car en quelque sorte l'opérateur inverse qui vous permet de calculer des aires des volumes des probas des transformés de Fourier et même de faire des vidéos sur YouTube voilà abonnez-vous un des premiers trucs qu'on peut constater c'est que dérivé une fonction c'est souvent assez sympathique alors certes je dirais pas non plus que c'est les montagnes ruses du fun mais c'est assez rare de passer mauvais moment tandis que calculer des intégrales d'un autre côté ben ça s'apparente trois fois sur 4 à une séance de bondage voilà je l'ai dit parce qu'entre les fonctions qui admettent pas de primitive exprimable simplement les subtilités perverses de rigueur sur les intégrales impropres ou même les techniques de moine chaoline exigé dans certains calculs mais à moins d'être masochiste c'est difficile de prendre son pied bon alors vous me connaissez depuis le temps aujourd'hui ça tombe bien parce qu'on va parler d'un truc complètement lunaire sur lequel je suis tombé il y a quelques temps et j'en suis toujours estomaqué alors souvent quand on parle de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment on pense instinctivement à l'air sous la courbe je dire c'est la définition basique et alors là dans ce cas il est naturel de se dire et on doit ça à Bernard riean tiens bah même en sachant pas la calculer exactement je peux au moins l'approximer en utilisant des rectangles des rectangles qui vont faire la même largeur vous allez subdiviser votre interval et ça c'est une méthode célèbre on appelle ça la méthode des rectangles vous discrétisez uniformément votre intervalle et vous construisez plein de rectangles pour approximer l'air sous la courbe intuitivement on se dit que au plus il y a de rectangle au plus on va gagner en précision et tout ça vous pouvez l'exprimer avec une jolie somme on appelle ça les les sommes de riman voilà j'espère que vous connaissez un petit peu et c'est ce qui permet de formaliser cette fameuse méthode des rectangle et la clé ensuite c'est de faire un pass passage à la limite qui vous permet de passer du discret au continu ce qui se passe c'est que la largeur des rectangles vous la faites tendre vers zéro on dit qu'on fait tendre le pas de la subdivision vers zé et ce qui est joli c'est que vous vous retrouvez exactement avec votre intégrale alors grossièrement on dit qu'on somme des quantités infinitécimales on somme de façon continue les les rectangles limit issus de la méthode et c'est pour ça qu'on parle parfois de l'intégral comme étant une somme continue et c'est aussi pour ça que le symbole associé au calcul intégral c'est un S allongé S pour somme c'est un point de vue tout à fait honorable et justifié et je dirais même séduisant pourqui on s'excite c'est pas la peine alors maintenant question légitime peut-on créer un concept dans lequel cette fois-ci nous n'avons pas une somme continue mais un produit continu sous-entendu peut-on créer une intégrale produit avec cette fois-ci non pas le DX la quantité infinitcimale en facteur mais plutôt en puissance ce fameux DX qui correspond grossièrement à un accroissement infinitécimal lié à votre variable d'intégration cette idée de construire un produit continu elle est assez légitime assez noble he même j'ai envie de dire mais est-ce que ça aurait du sens et quand bienen même ça en aurait quel serait le lien avec l'intégral classique que l'on a la hitude de manipuler pour voir ce lien est passer d'un produit continu à une somme continue on sent que le logarithme va être un petit peu important et ce qui nous conforte dans son utilisation c'est que si vous voulez faire tomber le puissance DX et le transformer en produit bah le log il est quand même vachement bien adapté donc ben on va partir au brouillon dans la joie et la bonne humeur c'est parti comme d'habitude ok donc je rappelle ce qu'on a dit tout à l'heure quand vous avez une fonction continue sur AB que vous souhaitez l'intégrer sur un segment la méthode des rectangle une fois formalisé vous donne une méthode de calcul intéressante avec la subdivision uniforme de l'intervalle qu'on a évoqué plutôt malgré tout c'est assez peu utilisé dans le cadre du calcul d'intégral on a des outils bien plus puissants merci le théorème fondamental et les primitives c'est davantage l'autre sens qu'on utilise pour déterminer des sommes de façon un peu subtile he il y avait un bel exemple dans le concours d'entrée du LIDEX il y a pas longtemps une belle somme infinie qui valait racine de 3 -1 et qui utilisit cette formule big up au Marocain encore une fois c'est absolument pas le sujet on s'écarte trop c'est ma spécialité de façon générale vous avez une formule en fait avec des subdivisions qui sont pas nécessairement uniformes et c'est ce qui va nous permettre de tenter d'introduire la fameuse intégrale produit hein le produit continue qui nous fait temps rêver donc ce que je vais faire c'est d'une part transformer la somme en produit voilà ça me paraît honnête et d'autre part le delta k la distance entre XK et XK -1 mais je vais la bouger en puissance pas seulement dans une volonté de ressembler au membbr de gauche mais aussi et surtout que bah si n tend vers l'infini la distance va tendre vers zéro donc je voudrais éviter d'avoir un produit nul sinon bah on va vite s'ennuyer alors que les puissances proche de zéro bah c'est déjà beaucoup plus intéressant alors ici ce qu'on vient de construire on n même pas sûr que ça ait du sens hein pour l'instant on est dans dans la pure analyse dans le purure brouillon donc dans une volonté de consolider tout ça on va essayer de faire un parallèle avec l'intégral classique pour voir quelles hypothèses sont nécessaire pour que cette construction fonctionne alors pour se ramener à une somme à partir d'un produit comme j'ai spoilé tout à l'heure il est judicieux de passer au logarithme donc on va permuter le log et la limite par continuité du log et c'est là qu'on se rend compte que ce qu'on manipule doit impérativement être strictement positif dans le sens où le log il est défini et continu seulement sur R+ étoile alors supposons ça implicitement on s'en occupera plus tard le log du produit c'est la somme des logs ensuite j'utilise le fait que log de a puiss B c'est log de a x B et j'arrive à me ramener à l'intégrale classique sauf qu'ici ben je me retrouve à intégrer le log de ma fonction ce qui renforce l'importance de manipuler des choses uniquement positives alors j'oublie pas bien entendu que j'ai regardé le log de mon produit continu ce qui signifie que mon intégrale produit peut se définir comme étant l'exponentiel de l'intégrale classique mais cette fois-ci vous intégrez le log de la fonction et ça a du sens seulement si ma fonction est positive alors j'insiste lourdement avec cette histoire de positivité mais c'est bien pour vous montrer que l'outil est malheureusement assez contraignant les fonctions positives parmi les fonctions c'est quand même un ensemble assez maigre mais là où c'est fort et que cet opérateur c'est quasiment un rêve éveillé c'est que pour cette intégrale particulière l'intégrale du produit c'est le produit des intégrales l'intégrale du quotient c'est le quotient des intégrales et vous avez même moyen de faire des intégrations par partie vous avez même moyen de construire une relation de Châ et vous avez également la possibilité de construire un théorème fondamental du calcul intégral mais cette fois-ci un petit peu revisité dans le sens où c'est plus la différence de la primitive évaluer en les bandes de l'intervalle mais plutôt le quotient donc l'outil il est remarquable et il est grand temps de le voir en action alors on va regarder ça à travers un exemple trigonométrique he imaginons que je veille calculer l'intégrale de Cos x puissance DX sur 0 pi/ 2 mais ça en vertu de ce qui précède ça revient à calculer exponentielle de J avec J l'intégrale de ln de Cos X et cette intégrale qui fait peur au premier abord on l'a déjà vu donc je vais passer assez rapidement dessus ça va être un speedrun mais rassurez-vous tout sera écrit donc pas la peine de s'en faire vous pourrez faire pause il y a pas de souci déjà la propriété é du roi nous montre que c'est complètement équivalent à calculer l'intégrale de ln de sinus x vidéo à consulé de toute urgence si vous n'avez pas vu c'est un changement de variable qui sauve des vies donc 2j c'est la somme des intégrales la somme des logs c'est le log du produit là on reconnaît une identité trigonométrique célèbre Via les formules de duplication et j'utilise le fait que le log du quotient c'est la différence des logs là j'aimerais me ramener à mon intégrale j de base donc petit changement de variable qui fait plaisir malheureusement les bornes bah c'est pas vraiment ce qu'on veut on exploite alors que l'intégral c'est l'air sous la courbe et le fait que la courbe représentative de la fonction sur 0 pi possède un axe de symétrie verticale en pi/ 2 vous avez en quelque sorte deux fois à l'air sous la courbe de base vous avez ainsi deux fois l'intégrale j de base et si vous tenez à le formaliser sachez que c'est une vraie propriété hein en voici un énoncé c'est pas difficile à démontrer en vertu de la relation de chall et un changement de variable bref vous avez finalement que 2j c'est j- pi N 2/ 2 en outre vous avez la valeur de J mais nous il nous faut exponentiel de J pour avoir le résultat final et donc je conclus en utilisant les belles propriétés du log et je tombe sur un résultat remarquable mon intégrale vaut 1/ √2 puiss pi alors dans la même veine on aurait pu calculer des choses bien plus compliqué par exemple l'intégral produit de la fonction gamma évaluée en X + 1 ou même un cran au-dessus l'intégral produit de ln de tangente x ce qui vous fait un double log itéré quand vous appliquez la définition établie plutôt et pour votre culture ça revient à calculer ce qu'on appelle l'intégrale de Vardi voilà qui est en plus un mathématicien contemporain que vous pouvez trouver sur le plateau de sa clé étant donné qu'il bosse à Polytechnique je crois bref j'attends avec impatience vos intégrales le produit en commentaire construisez-moi des monstres soyez imaginatifs et créons ensemble des cauchemars pour les futurs étudiants alors là vous êtes en droit de me demander mais Axel à quoi ça sert dans la vie parce qu'après tout c'est un outil dont l'utilisation est très restreinte à quoi je vous répondrai c'est très simple ça sert par exemple à