estudiar álgebra aprender álgebra esto es lo que tienes que hacer cuando ya tienes cierto dominio de la aritmética esto es tienes que desprenderte un poco de los números y centrarte en los símbolos subir un nivel de abstracción tengo aquí una serie de ejercicios preparados y con paciencia pero una sola clase vamos a ir haciendo los oye madre mía cuantas hojas venga vamos a por ello hoy empezamos desde lo más sencillo y vamos subiendo subiendo subiendo hasta llegar al final que vamos a ver cuán pues mira vamos a vamos a familiarizarnos primero con cosas como ésta mira primer ejercicio xx xx xx cual es x es cualquier cosa que te puedas imaginar por ejemplo una salchicha una salchicha más una salchicha dos salchichas aquí hay abstracción podemos hablar de salchichas podemos hablar de chorizos podemos hablar de coches de lo que tú quieras x es algo abstracto tú le das el sentido que quieras o el que corresponde en su caso más más más más más más y qué pasa si tienes 3x qué es esto qué significa 3x 13 que significa x + x + x por cierto debajo del vídeo en la descripción que voy a dejar los ejercicios que estoy haciendo un índice de los ejercicios para que tú le eches un vistazo y vayas allá donde más te interesa este vídeo estamos empezando con lo más básico el tercer ejercicio cuál qué pasa si tenemos por ejemplo 3x menos 10 x c 3 x 10 x en donde x puedes ser lo que quieras seguimos con salchichas salchichas 3 salchichas menos 10 salchichas que pasa juegan imposible si tienes 3 salchichas cómo te van a quitar 10 salchichas pues es posible puedes dejar de ver salchichas mira en concreto debes 7 salchichas en los bancos saben muy bien están estos procedimientos seguimos 44 ejercicio qué pasa si tenemos 15 x 10 x + 3 x menos 6 x hoy qué operación cooperación esto podemos hacerlo de varias formas 15 x 3x y luego menos 10 x 6 x libertad libertad que voy a hacerlo así porque no 15 x 10 x esto es lo mismo que que 5x y 3 x 6 x si tenemos 3 salchichas si nos quitan seis salchichas debemos tres salchichas debemos 3 artistas esto es lo mismo que tener dos salchichas en la mano si es que quiso salchichas y yo estoy escribiendo x como he dicho antes podría escribir a o b o c o cualquier otro símbolo esto está bien juan cinco seis siete ocho está bien venga más ejercicio número cinco oye qué pasa si tenemos x x x x x x que significa x x x pues x x x significa x veces x x veces x y mirad mirad mía que no sabes qué es esto de equis veces x qué es esto es esto esto es 5 veces 5 esto es 5 5 5 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 esto es igual a 25 5 veces 5 es esto 5 por 5 25 eso es podemos hacer también esto 5 elevado a 1 por 5 elevado a 1 esto esto es lo mismo que esto fíjate qué pasa con los exponentes los exponentes se suma uno más uno esto es lo mismo que cinco al cuadrado cinco al cuadrado es 25 5 por 5 25 vamos a hacer aquí lo mismo esto es lo mismo que tener esto el 1 no se pone por vagancia que te parece bueno pues los exponentes se suman tenemos x al cuadrado x x x x al cuadrado qué pasa si tenemos esto ejercicio 6 x x x x bueno pues pues esto es lo mismo que los exponentes se suman aquí es como que tenemos unos pero por vagancia no se suelen escribir esto sería lo mismo que uno más uno más uno más uno es decir que x elevado a 4 va todo bien venga venga ya estamos en el ejercicio número 7 ejercicio número 7 6 x + 5 x vamos apretando y apretando cada vez más claro que sí mira 6 x 5 30 x x x x al cuadrado me sigues 88 88 y apretamos más claro que sí 3 x al cuadrado por 6 por 6 quizás a la 5 venga 6 por 3 18 18 x 5 y 27 y 25 77 vamos con el ejercicio 9 lo que estás viendo lo que estamos haciendo es decir iniciamos en el estudio del álgebra es hacer es estudiar intentar dominar la n con la mala m con la m etcétera etcétera de esta parte de las matemáticas pero no solamente esto sino de la ciencia general por ejemplo de la física si tú sabes álgebra puedes entender muchas leyes físicas sin ningún problema ejercicio 8 ejercicio 9 venga 9 qué pasa con el ejercicio 9 mirad mirad mirad mirad mirad el ejercicio 99 si nosotros tenemos si nosotros tenemos esto 4x menos 10 x cuadrado x cuadrado + 5 x atención porque aquí como ves aparece términos que se están sumando que se están restando pero no podemos operar los todos entre sí cada oveja con su pareja aquí tenemos términos que tienen equis y tenemos aquí términos que tienen x al cuadrado cada oveja con su pareja 4x más 5x esto es lo mismo que 9 x y cada oveja con su pareja menos 10 x cuadrado más x cuadrado esto es lo mismo que menos 9 x al cuadrado eso es eso es eso es esto es como tener salchichas y tomates x salchichas x cuadrado tomates ves esto que estás viendo aquí podría dejarlo más mono aunque claro todavía no te ha hablado de ello hay que se puede hacer aquí una cosa que se llama sacar factor común no lo voy a hacer ahora lo voy a hacer después 9 vamos con el ejercicio número 10 número 10 juan procede número 10 9 10 aquí tengo un número 10.000 menos 6x cuadrado por equis cuadrado menos 3 x más 1 como operamos aquí pues esto multiplica a esto que hay aquí como así menos 6x cuadrado multiplica a x cuadrado menos mirad mirad mirad mirad lo digo aquí tenemos un problema aquí tenemos un problema los signos menos x menos más eso me gusta 6x cuadrado por 3x y ahora menos por más menos menos 6x cuadrado por 1 esto es lo mismo que menos 6 x 4 x cuadrado los exponentes se suman x a la cuarta más 6 x cuadrado x 3 x esto es 18 x menos 6 x al cuadrado ya está y aquí nuevamente igual que ha pasado aquí esto podría escribirlo más monos sacando factor como una operación muy interesante pero todavía no es el momento así que lo dejamos para para después bien estamos avanzando muy rápido estamos viendo cosas importantísimas la m con la ma la m con la m la m con la y me etcétera etcétera venga ejercicio número 11 después de estar haciendo estas operaciones vamos a ver vamos a ver ecuaciones esto es tal vez lo más importante del álgebra es la parte final de este vídeo a ver cuán 10 vamos con el ejercicio número 11 estamos de lleno en las multiplicaciones 2 x 3 2 x + 3 esto multiplicado por 5 x menos sólo vamos a ver cómo operamos aquí vamos a ver cómo operamos aquí qué es esto juan qué es esto después mira 2x multiplicas tocar aquí más 3 multiplicas tocar aquí es decir esto esto esto esto es 2 x multiplicando a 5 x menos 1 + 3 multiplicando a esto el 5x menos 1 si 5 x menos 1 aquí y aquí y este 2x aquí este 3 allá por supuesto hay otras formas de hacer esto hay muchísimos profesores hacen esto esto por esto esto por esto esto por esto esto por esto y ya está a mí me gusta más así porque no lo sé tal vez porque hay más orden 2x multiplica a lo que hay dentro del paréntesis 2x por 5 x 2 x por 12 x por 1 + 3 multiplicando que hay dentro del paréntesis 3 x 5 x menos esto por esto 3 x 1 y finalmente tenemos esto es 10 x cuadrado menos 2 x esto es 3 x 5 15 + 15 x menos 3 cada oveja con su pareja mira ves aquí hay dos ovejitas pueden amarse el 10 de x cuadrado menos no menos más más más más más 13 x más 13 x menos 3 y ya está ya está venga ejercicio 11 ejercicio número 13 ejercicio número 3 número 12 número 12 vamos a por el ejercicio número 12 voy a ponerlo aquí para que no me olvide número 12 euros 7 x 2 x 7 x + 2 tenemos aquí este producto dos binomios y lo que acabo de escribir es algo especial no es cualquier cosa es algo especial mira voy a aprovechar para escribir otra cosa muy especial 7 x menos 27 x 7 x menos 2 es más voy a escribir otra cosa súper especial 14 7 x 27 x 2 cuando tú tienes dos términos que se están sumando y esto multiplicado por sí mismo podríamos poner aquí esto iguala mira lo pongo esto igual a 7 x + 2 al cuadrado esto se llama binomios suma al cuadrado pues podemos operar como hemos hecho antes es decir 7x multiplica a esto 7x multiplica a esto y 2 multiplica a esto para ver y operar y operar y operar o podemos aprender nos lo siguiente porque es súper útil mira cuando eras pequeñito que aprendiste la tabla de multiplicar y tú sientes ahora que es muy útil te estoy hablando de un caso similar apréndete lo que te voy a decir ahora mismo puedes multiplicar aquí sin ningún problema así que si eres rebelde y lo quieres aprender lo que te digo no hay problema pero viene de perlas aprenderte esto + b al cuadrado esto es igual al cuadrado del primer término más 2 veces el primer término por el segundo término más el segundo término al cuadrado en nuestro caso a es 7x ive es 2 así que aplicando esto religiosamente y ya te digo merece tanto la pena saber esto aplicando esto tendríamos 7 x al cuadrado primer término al cuadrado más 2 veces el primer término por el segundo término más el segundo término al cuadrado ves esto es automático automático aquí no es igual esto al final pues a 7x por 7x mira 7x por 7x que es 7x al cuadrado esto es igual a 7 por 7 49 x al cuadrado si sobre la marcha vamos viendo cosas nuevas esto sería el 49 al cuadrado más 2 por 244 por 728 más 28 x más 4 lo tenemos lo tenemos esto que hay aquí es un caso similar a éste pero ves aquí tenemos en vez de de una suma de dos términos una resta 7x menos 2 elevado al cuadrado bueno pues siempre que tengamos algo de este estilo es decir en plan general escrito como como a menos b al cuadrado automáticamente podemos desarrollar esto como cuadrado del primer término menos dos veces el primer término por el segundo término más el segundo término al cuadrado eres rebelde y no quieres aprender de esto sin ningún problema puedes operar así 7x multiplica a esto 7 x menos 2 - 2 multiplica a esto 7 x menos dos pero ya te digo si aceptas la cultura matemática vas a llegar mucho más lejos que siendo rebelde porque tú sabes las personas más inteligentes del mundo que se han dedicado a esto pues se han dado cuenta que lo mejor es tener esto en las manos estas herramientas todo se agiliza y puedes llegar más lejos más rápido venga vamos a vamos a acatar esta fórmula ya que no es tanto no es tanto claro y esto es igual mirándola fíjate es 7x bs 2 bueno pues venga el cuadrado del primer término menos dos veces el primer término por el segundo término más el segundo término al cuadrado y esto es igual aquí pues esto es igual a 7 x al cuadrado lo que había dicho antes 7x x 7 x es decir 49 x cuadrado menos 2 por 244 por 728 menos 28 x 2 al cuadrado más 4 más 4 ahí está ahí está genial genial y vamos con otro caso otro caso súper importante mira 12 y 13 lo borro 12 y 13 fuera buena y nos quedamos con el 14 mira lo voy a escribir aquí es tan importante este ejercicio 7 x 27 x menos 2 mira la estructura de este vídeo no está hecha así porque si está pensada sigue los ejercicios y cuando termine el vídeo vas a saber tanto de verdad tanto tanto te lo digo de verdad sé qué pasa con esto qué pasa con esto bueno aquí tenemos 7 x y 27 x y 2 pero aquí tenemos una suma y aquí tenemos una resta esto se llama un producto de binomios conjugados son iguales pero aquí una suma ya que una resta binomios conjugados en el poner este número sin ningún problema podemos hacer esto así el 7x multiplica a hace de x menos 2 y el 2 multiplica a 7 x menos dos óperas aquí pispás con las mismas zonas llegarías a buen puerto pero ya te digo la cultura la culturilla está el bagaje matemático pues nos dice que es buenísimo que tú sepas esto a más ve a menos de esto es lo mismo que al cuadrado menos de color y las aves que sabes qué es lo que pasa con estas con estas fórmulas con estas cosas que se llaman productos notables que pasarle aquí aquí es coser y cantar haces esto pero el problema está cuando tienes esto tienes que pasar aquí es decir ir e ir a la inversa ir a la inversa y así es muy bonito pero pero sí que es como el abecedario desde la zeta hacia atrás me entiendes lo que quiero explicarte mira aprende de esto aprende pero por favor aprende de lo esto entonces automáticamente puede ser escrito como cuadrado del primer término menos cuadrado del segundo término esto es 7 x x 7 x 49 x al cuadrado menos 4 y 2 al cuadrado 4 vamos a seguir vamos a seguir hemos multiplicado hemos sumado hemos estado que toca ahora divisiones vamos a por divisiones 14 15 juan 15 tenga en 12 x cubo dividido entre 6 x cuadrado lo que estás viendo es lo mismo que escribirlo así como 6 x esto es lo mismo que que 2 por 6 claro 12 2 por 6 x cubo y x x x x x dividido entre 6 x cuadrados 6 x cuadrado 6 x x x mirad mirad estas formas esto simplemente simulados 2x claro 2x hay otra forma hay otra forma de llegar a lo mismo y es esto tenemos tenemos 6 x 2 dividido en 36 y mira dos potencias de la misma base que se están dividiendo los exponentes se restan 3 - x perdón que es menos x 3 - 2 43 menos 2 y esto es lo mismo que 2x elevado a 1 es decir 2 x 2 x vamos vamos vamos vamos hemos visto que cuando tenemos potencias de la misma base por ejemplo esto por esto que está multiplicando los exponentes se suman 5 más 35 más 3 pero si tenemos ahora es lo que hemos visto ahora si tenemos dos potencias de la misma base que se están dividiendo x 5 dividido entre x 3 los exponentes se restan 5 menos 3 esto siempre es así vamos vamos cual vamos a borrar 15 vamos a poner ejercicio 16 ejercicio 16 el ejercicio 16 vamos a ver a ver a ver a ver a ver mira 1616 otro más otro más 3 x 5 dividido entre entre 15 entre 15 15 x 7 esto es lo mismo que 3x elevado a 5 dividido entre 15 x elevado a 7 esto es lo mismo que tres por uno si quieres no escribas el uno yo lo escribo y dividido entre 15 es 5 por 3x elevado a 7 el 3 con el 3 se simplifica tenemos entonces un quinto simplemente y equis elevado a 5 dividió entre x elevado 7 podemos multiplicar el x por x x x politice por x aquí abajo xxxxx bogotá char tachán tachán pero también podemos hacer lo siguiente dos potencias de la misma base que se están dividiendo los exponentes se restan así así x elevado a 5 menos 7 x elevado a menos 2 - 2 ya estaría si lo prefieres si lo prefieres podemos dejar esto así porque atención atención mira cuando tenemos una cuando tenemos algo elevado a menos no sé que esto se puede escribir como 1 partido 1 dividido entre entre esa cosa y aquí aquí el exponente quiero decir algo que no lo he dicho lo voy a decir ahora x es cualquier cosa pero con una restricción siempre que lo que escriba tenga sentido en este caso x no puede ser cero en este caso a no puede ser cero porque uno dividido entre cero qué es esto qué es esto bueno pues aplicamos esta propiedad aplicamos esa propiedad aparece muchísimo en la aritmética y ahora estamos en la orden el álgebra esto podemos seguirlo como un quinto por uno dividido entre x al cuadrado esto y esto es lo mismo y ya te digo x es tal que no es cero para que esto tenga sentido venga ejercicio 17 marchando 17 marchando 17 hemos visto dos ejemplos de dividir rápidamente a sacar factor común aquí tenemos por ejemplo x cuadrado más 5 x saca el factor común que es esto que es esto bueno pues es un procedimiento que ya al final sirve para simplificar muchas veces muchísimas cosas tenemos aquí dos términos que se están sumando y atención atención en estos dos términos hay cosas comunes a ambos 15 x + 5x y te das cuenta que en este término y en este x pues voy a sacar el factor común a la x mira x y que me queda pues x + 5 esto es lo mismo que esto situado lo multiplicas x por lo que hay dentro del paréntesis vuelve otra vez a obtener esto que hay aquí es una forma de factorizar expresiones algebraicas esta expresión algebraica esto es un polinomio un binomio esta expresión algebraica golpeada así con un martillo tbs aquí aparece rota los factores que se están multiplicando seguimos 1718 vamos a por el 1818 otro de factor común 3x hubo menos 6x cuadrado esto es lo mismo que 3 xxx menos 2 x 3 66 menos dos por tres xx y esto es igual a fíjate en ambos términos tenemos 3 x x 3 x x pues saquemos factor común 3 x x o 3 x cuadrado sacando factor común no tenemos x menos 2 ya está si nosotros ahora multiplicamos 3 x cuadrado por lo que hay dentro del paréntesis volvemos otra vez a esta expresión esto es sacar factor común hemos escrito esto como un producto de 2 factores en 1919 3x cuadrado menos 6 x dividido entre x2 expresión algebraica queremos simplificar la y para ello vamos a aplicar lo visto hace unos segundos sacar factor común voy a factorizar esto y voy a escribir esto como un producto de dos de los factores esto es lo mismo que quiero decir una cosa ya he comentado esto antes las equis que aparecen aquí son tales que esto esta expresión tiene sentido es decir que no vamos a considerar por ejemplo x igual a todos porque ello haría que el denominador se anulara y esta expresión no tiene sentido para x igualados así que consideramos siempre valores de x que hacen que nuestras expresiones tengan sentido he dicho esto a sacar factor común 3x cuadrado 3 x x menos 6 es 2 x 3 y ahí está x más x menos 2 esto es lo mismo que esto es lo mismo que y tenemos es una resta y en estos dos términos hay cosas comunes mira 3x por aquí 3 x por allá sacamos 3 x factor común y nos queda x menos 2 y aquí tenemos x 2 mira qué bonito mira esto es igual a 3 x zas zas 2020 xq más 7 dividido entre 5 x 6 menos 35 no lo más más más 35 x al cubo queremos simplificar esta expresión algebraica esto va a ser igual esto va a ser igual la x va a ser tal que esta expresión algebraica siempre tenga sentido sigo sigo sigo en el numerador no vamos a hacer nada en el denominador pues fíjate tenemos 5x esta x voy a escribir la mía x 6 en vez de escribir a como xxxx etcétera etcétera la voy a escribir como x elevado a 3 x x elevado a 3 estás conmigo de acuerdo x elevado a 3 x x elevado a 3 esto es lo mismo que esto más 35 es 7 por 5 y x elevado a 3 x elevado 3 entonces entonces observa el denominador observa lo tenemos 5 x cubo 5 x cubo como factor común xq 7 saco factor común aquí en el denominador 5x cubo y que nos queda pues xq más 7 voy a voy a multiplicar esto por uno porque es lo mismo cierto mi lavadora simplificó y esto es igual a 1 5 x cubo no me digas que esto no es bonito no me lo digas que te quedas sin recreo como me lo digas hasta 2025 vamos a seguir 21 x + 3 x cuadrado menos 9 mira aquí queremos hacer lo mismo pero vamos a entrar ya en aguas movedizas yo antes te había dicho que cuando tenemos cosas como esta 7 x + 2 7 x 2 esto lo podemos multiplicar fácilmente como 7 x 7 x menos 2 más 2 7 x menos 2 es decir 7 x multiplica esto 2 multiplica esto pero te había advertido no seas cabezota no seas cabezota entiende entiende esto de esta manera a más b por menos de esto es igual a a cuadrado menos b cuadrado entiendo lo así porque a veces hay que pasar de aquí a este otro lado es decir en vez de ir de aquí aquí hay que ir de aquí a allá pues mira estamos en este caso estamos en este caso nos dan esto y si tú estás familiarizado con esta expresión al cuadrado menos b cuadrado en tu cabeza aparece una música que te hace ver esto de esta manera mira tenemos x cuadrado menos 9 es decir x cuadrado menos 3 al cuadrado la música es esta x 3 x 3 escribir esto así si no sabes tú dónde vas dónde vas dónde vas es como que querer leer un libro sin saber leer claro vamos a por ello venga estudiante esto vamos vamos vamos tenemos aquí x + 3 y esto es esto x + 3 x 3 esto lo multiplicó por 1 porque da igual juan x 1 es juan no pasa nada entonces tenemos esto con esto se cancela y mira mira este este monstrenko es este otro normalmente qué belleza de verdad qué belleza qué bonitos esto la vida muchas veces es una basurilla pero mira las matemáticas siempre son tan guapas todo funciona esto es así siempre no hay mentiras en la vida que hay decisiones es el mejor amigo se te va con tu chica etcétera etcétera es todo un caos es todo un caos venga a 21 22 juan 22 vamos a cambiar un poco de escenario mira lo que tenemos por aquí mira mira mira mira vamos a que es una fracción algebraica ahora vamos a hacer sumas y restas con fracciones algebraicas cómo hacemos esto pues igual que en la aritmética si tenemos un medio más tres medios esto es igual a denominador común y 131 más 3 es decir cuatro medios tenemos denominador común x lo mismo lo mismo mirad esto es igual esto es igual a equis y aquí uno más 78 dividió entre x borro y seguimos progresando ejercicio 22 ejercicio 23 3 2 x + 1 de vídeo / x desgraciadamente aquí no tenemos un denominador común pero podemos manipular esto tan fácilmente para tenerlo fíjate aquí tenemos 2x aquí tenemos x que pasa si multiplico esto por 1 nada juegan no pasa nada qué pasa si se uno lo escribo como dos medios nada juana no pasa nada porque los medios es 1 también pero fíjate lo que hemos conseguido 3 2 x + 2 y aquí 2 x 3 hemos conseguido denominador común y ahora conseguí cantar 2x por aquí y aquí tres más dos tres más dos tres más dos es decir tenemos 52 x 24 24 más de lo mismo mira voy a poner aquí 52 x y voy a poner 24 24 el 24 es es esto 1 x cuadrado más 13 x vuelvo a decir otra vez lo podría haber dicho antes no lo digo por no cansarnos la equis es tal que hace que estas expresiones tengan sentido por ejemplo x igual a 0 no hace que esto tenga sentido así que x puede ser cualquier cosa menos 0 no tenemos denominador común de lástima pero podemos hacer que lo tenga multiplicó esto por 1 sigue siendo lo mismo ahora inteligentemente se uno lo escribo de esta manera así que tenemos 1 x cuadrado + 3 x dividido entre x cuadrado ves como un denominador venga venga 13 x se ha terminado el ejercicio esto con esto lo podemos operar no se queda así 24 25 25 juan 25 marchando 1 x x menos uno más no menos menos -1 x más qué pasa con esto pues lo que pasa es que no tenemos como un denominador pero fácilmente podemos hacer que esto tenga común denominador estas dos fracciones algebraicas mirad qué pasa se multiplicó cada una de ellas por 1 pues no pasa nada no pasa nada pero qué pasa si este 1 aquí lo escribo como como x + 1 x + y qué pasa si este uno lo escribo como x 1 x 1 pues venga operamos un poco y esto es igual a aquí en el numerador tenemos x + 1 en el denominador tenemos x menos 1 x 1 - x menos 1 x 1 x menos uno es denominador común esto es lo mismo que x + 1 x menos 1 tal vez vamos a dejar esto más 9 y aquí en el numerador tenemos x más 1 - x menos x menos más más más 1 esto podríamos haberlo puesto así entre paréntesis podemos dejarnos y también no hay equívoco no hay equívoco operamos aquí un poquillo mira x x y tenemos aquí en el numerador un 2 y esto por esto mira tenemos esto a más ve a menos ve automáticamente aunque podrías hacerlo también razonadamente al cuadrado menos b cuadrado es decir x cuadrado menos 1 al cuadrado o x cuadrado menos 1 ahí está 25 26 si estás siguiendo todo lo que estamos viendo significa que vas muy pero que muy muy muy bien el aprendizaje está siendo muy bueno este vídeo fabuloso para ti lo cual pues me estimula muchísimo debajo del vídeo la zona de comentarios bueno dice se para para que me sienta así un poco el chachi piruli venga 25 26 26 26 el 26 nos dice esto x x cuadrado más más x x x + 1 hoy hoy hoy aquí hay algún cambio aquí cambios chicos tenemos aquí algunos cambios interesantes esto esto es un producto de dos fracciones algebraicas entonces entonces esto podemos escribir como x que multiplica a x + 1 y yo entre entre x x cuadrado más x que multiplica a x inmediatamente podemos aquí simplificar que bien y esto es lo mismo que x + 1 y aquí x cuadrado x cuadrado más x fíjate podemos sacar factor común a la x si esta x la multiplicó por uno puedes no hacer esto esto es algo personal tenemos x + 1 fíjate xx más x por 1 factor común x esto es x + 1 x 1 x + 1 nuevamente esto lo hago porque es una manía personal rastas esto es esto simplificado 27 vamos avanzando más y más y más 27 x cuadrado más 12 x más 1 dividido entre x por 1 x más 1 vamos a recordar algo que hemos visto hace unos minutos casi casi al principio casi casi al principio habíamos visto lo siguiente a más b al cuadrado es igual a al cuadrado más 2 sabe más b cuadrado siempre que tengamos algo así podemos operarlo parsimoniosamente como a que multiplica a más vez más b que multiplica a más veo rápidamente de esta forma y la ventaja de de de usar esta fórmula ya es que pasar de aquí aquí es sencillo pero pasar de aquí aquí no lo es si tienes esto en tu mente pasar de aquí aquí puede ser sencillo aunque requiere entrenamiento mira nosotros tenemos aquí este trinomio y de verdad tiene esta forma mira este trinomio está escrito de esta forma el x cuadrado más 2 x + 1 esto es lo mismo que que esto x cuadrado más 2 veces x x 1 más 1 al cuadrado fíjate a es x b es uno entonces puedo ir hacia atrás y escribir esto como x + 1 al cuadrado por esta fórmula luego bueno aquí arriba pongan mis office suelos y contento contento veo que este numerador puedo escribirlo cómo pues como x más 1 x 1 x + 1 al cuadrado dividió entre x por unos x más 1 y esto es lo mismo que x no es 1 x 1 aquí x que multiplica a x + 1 y simplificó fast as esto es igual a x + 1 / / x 27 precioso precioso precioso 28 x cuando menos 12 x + 1 x cuadrado menos 1 por x más 1 volvemos otra vez a estar en el comienzo casi en este vídeo a menos ve a menos ve al cuadrado o a menos de x a menos de esto puede ser escrito como al cuadrado menos 2 sabe más de cuadrado puedes multiplicarla por esto de por esto tal y cual tal y cual y obtienes esto pero más fácilmente puedes familiarizarte con esto y ya está pasar de aquí aquí es una tontería pero pasar de aquí aquí no y eso que tenemos que hacer aquí en este ejercicio nosotros tenemos x cuadrado menos 2 x más 1 o lo que es lo mismo tenemos x cuadrado menos 2 x x 1 más 1 al cuadrado en donde aquí vale x y b vale 1 luego podemos escribir esto de esta manera x menos 1 al cuadrado o x menos 1 por x menos 1 y más cosas en el denominador en el denominador hay algo parecido a esto al cuadrado menos b cuadrado y esto es lo mismo que a más b a menos de pasar de aquí aquí es una tontería pero pasa en aquí aquí no lo es y es nuestro caso es nuestro caso nosotros tenemos x cuadrado menos 1 o x cuadrado menos 1 al cuadrado esto en virtud de esta fórmula ya es x más 1 x menos 1 llevemos esto y esto a nuestra expresión que se trata de un producto tenemos un producto esto es lo mismo esto es lo mismo que esto es esto x menos 1 x menos 1 dividido entre esto es esto x más 1 x menos 1 x x 1 x + 1 perdón x menos 1 x 1 x menos 29 29 marchando 29 hemos estado multiplicando veces hemos multiplicado esto por esto dos expresiones algebraicas multiplicándose ha llegado la hora de dividir expresiones algebraicas 28-29 4 / x dividido entre 2 x esto esto así esto así hay muchas formas de hacer esto una de ellas es esto damos la vuelta y aquí en vez de dividir multiplicamos esta es una forma 4 por 5 20 aquí tenemos x xxx cuadrado y aquí tenemos juntos pero vamos a ver el 20 podríamos haberlo escrito como como 10 por 2 luego esto es lo mismo que y 10 x al cuadrado también está como se hace en casi todas partes multiplicamos en cruz 20 dividido entre x por 2x y lo mismo otra forma otra forma y tal vez la más provechosa y también la que más odian los estudiantes pero la que más recorrido tiene y la que te hace entender las cosas de verdad sabes pues es proceder de esta manera yo puedo escribir esto de esta manera y esto es lo mismo que esto pero sé uno puedo describirlo como 5 dividido entre 2 x 5 dividió entre 2x y ahora multiplicando tenemos pues se mira 4 por 5 20 x 2 x 2 x cuadrados y aquí que tenemos pues tenemos y en lo que tenemos uno es decir de entre 2 x al cuadrado es decir 10 x cuadrado venga otro otro ejercicio otro ejercicio x 1 x 1 / / x 2 - 1 x menos 1 estoy viendo que aquí podemos simplificar esta esta fracción puede ser simplificada podríamos simplificar después pero por qué no hacerlo antes x cuadrado menos 1 x menos 1 te recuerdo que x cuadrado menos 1 es lo mismo que x cuadrado me lo sumo el cuadrado y tú sabes una y otra vez venimos diciendo que esto que hay aquí puede ser escrito de esta manera así que esto que hay aquí puede ser escrito como x más 1 x 1 aprender de esto aprende de lo line con la mala m con la m esto es lo mismo lo mismo bueno pues he llevado esto aquí tenemos x1x menos uno dividido entre x menos uno plantas estas pastas luego esto que hay aquí es x1 simplemente pues venga a juan tenemos que esto es x 1 x menos uno dividido entre x más 1 x + 1 pues pues bien esto esto esto es lo mismo que hay otras formas de hacerlo hay otras formas de hacerlo no hay ningún problema esto es lo mismo que x más uno dividido entre x menos uno dividido todo esto entre x más uno esto es esto y qué pasa si multiplicó por uno no hay ningún problema y qué pasa si se uno lo escribo como como esto pues lo que pasa son cosas buenísimas pasa lo siguiente x + 1 x 1 pero lo el numerador de x + 1 x menos 1 y aquí x + 1 x 1 / / x + 1 x + uno mira minucias esto se convierte en un 1 y aquí el numerador se simplifica y que tenemos que tenemos pues esto esto 1 / / x menos 1 eso es lo que tenemos esto 31 entramos en el fascinante mundo de las ecuaciones en concreto ecuaciones de primer grado claro paso a paso ecuaciones de primer grado esto es una ecuación porque aparece un signo igual y además aparece pues algo que no sabemos cuánto vale y ese algo está elevado a 1 una ecuación de primer grado esta ecuación es sencilla muy sencilla y a simple vista podemos resolverla fíjate 5 + 5 es igual a 10 pero aquí más que resolver ecuaciones nos interesa el método para resolver ecuaciones y yo te lo voy a enseñar entiende esto como una balanza esto es igual a esto si nosotros cogemos una piedra y ponemos en la piedra aquí qué pasa con la ecuación pues a esto pero si en ambos miembros ponemos una piedra del mismo tamaño mira voy a decir de la misma masa en la balanza se mantiene bueno pues entiende piedras con cantidades si nosotros estamos en ambos miembros esta cantidad lo que hagamos en un miembro lo hacemos en el otro miembro la ecuación no cambia pero las cosas se simplifican muchísimo porque el 5 y el menos 5 se simplifica y que tenemos pues tenemos que x es igual a 10 menos 5 5 ecuación resuelta como lo veis venga otra 32-32 tenemos 2 x menos 3 igual a 6 esto es como una balanza si ponemos la misma cantidad la misma piedra en ambos lados no pasa nada todo está en equilibrio quiero que la equis esté sola mira voy a voy a sumar la cantidad 3 en ambos en ambos miembros tocan un miembro a otro miembro haciendo esto tenemos 2 x igual a 9 no ha pasado nada malo todo esto sigue en equilibrio quiero que la x esté sola mira voy a dividir ambos miembros por esta cantidad por 2 x es igual a 9 medios no voy a hacer la prueba podríamos llevar esto aquí mis personas ya están más más x medios más x iguala pero está aquí es aquí igual a un cuarto aquí tenemos un problema importante y es que aparecen fracciones si yo consigo que las fracciones tengan el mismo denominador buenas noticias podría manejar esto mucho mejor venga vamos a hacer que las fracciones tengan el mismo denominador escribo todo como está multiplicó por 1 cada uno de estos términos en ambos miembros y ahora de forma inteligente voy a escribir estos unos mira este 1 lo voy a escribir como dos medios 18 nada malo este 1 lo voy a escribir como cuatro cuartos y este uno lo voy a dejar como esta mira lo que tengo ahora tengo 2x cuartos + 4 x cuartos más un cuarto el mismo denominador en todas partes y ahora y ahora pongo la misma piedra en ambos miembros la piedra va a ser 4 multiplicó por 4 ambos miembros lo dejan miembros lo hago en el otro miembro propia de la igualdad y que nos pasa haciendo esto pues cosas buenísimas mira 4 x 2 x dividido entre 4 más en cuatro multiplica lo que dentro del paréntesis 44 x igual a 1 es y tenemos tenemos al final permíteme mira tenemos 2 x + 4 x 2 x + 4 x igual a 1 2 x + 4x dos salchichas más cuatro salchichas seis salchichas y si yo divido ambos miembros por la misma cantidad x es igual a un sexto lo tenemos lo tenemos tenga 34 marchando 34 marchando el x al cuadrado más 3 x menos 4 igual a 0 esto que aquí ya no es una ecuación de primer grado es una ecuación hay un signo igual hay incógnitas x en nuestro caso pero en la incógnita que está llevada al exponente más grande es 12 ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática y hay muchas formas de resolver esto bueno muchas hay varias formas la más famosa de todas es utilizar una fórmula mira cuando podemos escribir una ecuación de segundo grado de esta forma que es como aparece la nuestra para hallar la x se puede utilizar esta fórmula menos b más menos b cuadrado menos 4 hace pidió entre 2 a que estos son los coeficientes de la ecuación del segundo grado en nuestro caso cuánto vale a cuánto vale ve cuánto vale c pues mira aquí no hay ningún número pero por vagancia no se escribe el 1 aquí realmente hay un 1 pero por vagancia nos escribe 11 en nuestro caso en nuestro caso es igual a 1 b es igual a 3 dice es igual a menos 4 pues venga vamos a meter estos coeficientes en esta fórmula y haciéndolo haciéndolo obtenemos esto lo escribo aquí abajo en nuestro caso tenemos x es igual voy a dejar unos bocadillos - aquí podría haber menos de más menos b cuadrado menos 4 a c / / 2a venga a meter coeficientes de aquí de aquí y aquí a aquí también y de aquí se vale menos 4 menos 4 operamos operamos tenemos menos tres menos 3 más menos raíz cuadrada 3 al cuadrado 3 x 39 y ahora mira menos por menos más 4 x 4 16 16 dividido entre 2 16 9 es 25 25 pues raíz cuadrada de 25 raíz cuadrada de 25 raíz ahora de 25 raíz cuadrada de 25 5 luego tenemos menos 3 más menos 5 menos 35 menos 3 más menos 5 esto es vez esté más o menos esto es una forma compacta de escribir esto menos tres más 5 dividió entre 2 y menos 3 menos 5 divide entre 2 esto es lo mismo que esto más menos más menos 5 - 3 22 entre 21 aquí tenemos una solución y aquí fíjate -8 divido entre dos esto es -4 esto es igual a menos 4 x igual a 1 x igual a menos 4 x igual a 1 x igual a menos 4 podemos llevar el 1 aquí y aquí y veremos que esto es cierto podemos llevar el -4 aquí aquí y veremos que esto es cierto también venga ejercicio 35 he dejado la misma ecuación porque la voy a resolver de otra forma diferente de esta en concreto como los coeficientes 13 menos 4 responda y como dentro de una especie de caja y me fijo en este número menos 4 me pregunto qué números dividen al menos 4 de forma exacta es decir números que he puesto aquí hacen que esta división sea exacta pues todos estos mirar más menos uno más menos dos más menos más menos más menos 4 bueno pues por ego pruebo fortuna por ejemplo con el número 1 este número que aquí lo pongo aquí y ahora hago esta multiplicación uno por uno y el resultado lo pongo aquí esto lo operó los 13 y 14 uno multiplica 4 lo pongo aquí esto lo sumo menos 440 que números de forma exacta divide al 4 pues los mismos de antes como uno de ellos probando fortuna por ejemplo el menos cuatro menos 44 éste no lo pongo aquí multiplico menos cuatro por uno menos cuatro sumo esto 4 más menos 40 significado de esto las soluciones son 1 y menos 41 y menos 4 este método que acabas de ver es el método de ruffin in situ y va a ser uno aquí verás que esto es cierto si tú llevas el -4 aquí verás que esto es cierto y vamos a poner ejercicio 36 el siguiente ejercicio el mismo ejercicio porque vamos a utilizar otro método el método de sacar factor común vamos a intentar arreglar este miembro y vamos a ver lo que conseguimos vamos a ver lo que conseguimos a ver esto esto es lo mismo que esto verdad y esto es lo mismo que esto cree que es lo mismo que 4x x claro claro que sí claro que sí voy voy a sacar factor común voy a sacar factor común a quejó pues mira espera momento mira esto lo voy a escribir así que es lo mismo es lo mismo mira - x más 4 x lo mismo puede sacar factor común aquí al 4 y aquí a la equis sacando aquí factor común a la equis tengo sacando aquí factor como el 4 tengo pero aquí puedo sacar factor como una x1 venga x1 y me queda x y 4 x + 4 igual a 0 atención atención cuando yo tengo un producto que es nulo puedo decir que esto se cumple si ya es igual a cero o si b es igual a cero en nuestro caso esto se cumple si x menos 1 es igual a 0 o si x más 4 es igual a 0 la ecuación tenemos aquí inmediato x igual a 1 mira qué ecuación tenemos aquí inmediato decir que x es igual a menos 4 366 bis ecuaciones de segundo grado o cuadráticas vamos a por otra cosa 37 marchando bien esto ya no es una ecuación del segundo grado esto ya no es una ecuación de primer grado esto es una ecuación relacional la incógnita aparece en el denominador de una fracción hay que tener cuidado con estas ecuaciones a simple vista vemos que de ninguna manera x es igual a 1 x no puede ser igual a 1 porque si x fuera igual aún no tendríamos 1 dividido entre 0 y eso no puede ser bien esto en la mente lo digo porque podemos operar y al final podríamos obtener que x es igual a 1 esto sería una falsa solución cuidado con las ecuaciones racionales analicemos siempre qué pasa con los denominadores y las x bien he dicho esto dicho esto y teniendo en cuenta que x no no puede ser igual a 1 esto no puede ser no puede ser no puede ser esto no puede ser bueno pues teniendo teniendo en cuenta teniendo en cuenta esta restricción y cómo resolvemos esto pues pues mirad mirad mirad mirad hay muchas formas en la mayoría de los lugares dicen multiplicamos en cruz tres por uno esto por esto es decir el 31 x menos 1 y opera si se acabó esto esto es una receta que no se espera se multiplicación cruz y porque no lo sé multiplicar saltando a la comba vamos a razonar un poco vuelvo a escribir otra vez lo mismo y ahora voy a multiplicar ambos miembros por algo inteligente pues x menos otro por aquí x menos uno por allá x no es 1 es decir no estoy multiplicando por 0 ambos miembros sabes bueno pues haciendo esto haciendo esto que tenemos pues tenemos que nuestra ecuación se transforma en una equivalente a esta otra x menos 1 por un tercio si ahora multiplicamos por 3 ambos miembros pues tenemos tres igual a x menos 1 si ahora sumamos ambos miembros por la cantidad 1 tenemos que x es igual a 4 para x es igual a 4 x es igual a 4 pues aquí estaría aquí estaría nuestra solución x igual a 1 x es igual a 4 luego no cometemos una merluza da diciendo que x es igual a 4 mira en este en este caso es inmediato hacer la prueba 1 dividido entre 4 menos uno es un tercio un tercio es igual a un tercio si lo tenemos venga otro otro 37-38 vamos a poner 38 treinta y ocho marchando 5 x 7 5 x 7 dividido entre 2 x 3 esto igual a 0 otra vez una ecuación racional cuidado con el denominador no puede ser cero es decir 2 x 3 no puede ser cero esto no puede ser cero o lo que es lo mismo la x no puede valer tres medios no puede valer x no puede valer tres medios esto haría que esta ecuación no tuviera sentido alguno bueno pues teniendo en cuenta que esto no puede ser cero o que x no puede ser tres medios mira voy a escribir no puede ser no puede ser esto no puede ser teniendo en cuenta que sólo puede ser yo voy a manipular esta ecuación de esta manera 5 x 7 2 x menos 3 esto igual al cero multiplicó ambos miembros por 2 x 3 2 x 3 por aquí por 2 x 3 por allá lo que haga no miembro lo hago en otro miembro y 2 x 3 he dicho que no es cero no estoy x 0 ambos miembros 5 x 7 igual a 0 si sumo 7 en ambos miembros lo que hagan un miembro laboral otro miembro propia de la igualdad y tenemos tenemos que tenemos 5x igual a 7 y si yo ahora vivido ambos miembros entre 5 tengo finalmente que x es igual a siete quintos siete quintos es esto no puedes hacer la prueba puedes sustituir la equis por siete quintos y verás que esto es igual a cero vamos a por otro ejercicio hemos visto ecuaciones racionales ahora vamos a ver ecuaciones irracionales madre mía ecuaciones y nacionales a por ello 39 raíz cuadrada de x menos 1 igual a 6 esto es una ecuación irracional la equis está ahí dentro del radicando estamos trabajando con números reales es decir todos los que viven en esta recta correcta de los números reales te lo digo porque a veces las ecuaciones pueden solucionarse dentro de los números complejos es decir en números racionales más imaginarios no no en nuestro caso es soluciones reales soluciones reales como quitamos esa raíz de ahí está molesta pues nos elevamos al cuadrado ambos miembros lo que hagamos en un miembro lo hacemos en el otro miembro y entonces hasta us x menos 1 esto es igual a 6 por 6 36 36 tenga sumo 1 en ambos miembros lo que hagan un miembro luego el otro miembro y tengo al final que x es igual a 37 se ha terminado el ejercicio mirad raíz cuadrada de 37 menos 1 es raíz cuadrada franz cuadrada de 36 y estás igual a 6 simplemente 40 raíz cuadrada de x 36 igual a 2 + raíz cuadrada de x aquí tenemos una ecuación irracional la x está dentro de raíces antes una raíz ahora dos raíces madre mía volvemos a aplicar la técnica de antes raíz cuadrada llevamos al cuadrado ambos miembros x más 36 2 más esto elevó al cuadrado ambos miembros no quedan un miembro de nuestro miembro y que qué pasa pues tenemos x 36 igual a esto al cuadrado podría hacer esta multiplicación 2 + raíz de x por 2 + raíz de x el 2 multiplicados más raíz de x patata pero vuelvo otra vez a recomendarte tener esto en tu mente además b al cuadrado igual a al cuadrado más 2 sabe más b cuadrado entonces esto es igual a 2 al cuadrado más 2 veces 2 x raid x marrai de x al cuadrado pero recomiendo todo el tiempo te lo recomiendo operando operando x 36 igual a 4 más más más que más después 24 raíz de x más bastas x vamos a restar vamos a restar la cantidad x en ambos miembros lo que hagamos en un miembro lo hacemos en el otro miembro mira lo que pasa zas zas y que nos queda pues que 36 es igual a 4 más cuatro ryder x qué bonito qué bonito el resto 4 en ambos miembros y tenemos 32 igual a 4 raíz de x 32 esto lo borro el nuestro y es 6 veces miami había 32 igual a 4 raíz de x ahora dividido entre 4 ambos miembros y tengo pues 8 por 432 aquí un 8 y wright x elevó al cuadrado ambos miembros finalmente esto es lo mismo que equis miradas x 8 864 x es igual a 64 puedes ir aquí meter aquí 64 aquí 64 y esto se verifica + + 4112 ^ x igual a 16 otro tipo de ecuación otro tipo de ecuación esto se llama una ecuación exponencial porque la incógnita forma parte del exponente de una potencia de la estela 12 ^ x igual a 16 que número que no me lo puesto ahí esto es igual a 16 qué número fíjate 2 al cuadrado esto es igual a 42 al cubo esto es igual a 8 y 2 a la 4 esto es igual a 2 por 2 x 2 por 2 16 x es igual a 42 elevado a 416 sí pero como podemos razonar esto de una política de una forma un poco más como decir elegante tal vez menos intuitiva pues pues mira 1616 es dos por dos por dos por dos para que esto sea cierto no hay más remedio que x4 así se hace así se hace esto lo reescribimos como una potencia 2 elevado no sé qué y salta a la vista salta a la vista otro ejercicio 42 vamos a poner 42 3 x 2 ^ x menos 2 elevado al x igual a 1 madre mira qué es esto que es esto tenemos imagínate que esto es una salchicha tenemos 3 salchichas menos una salchicha dos salchichas one y esto igual a 1 voy a dividir ambos miembros por x por esta cantidad tengo entonces 2 ^ x igual a esto voy a recordarte una propiedad que antes ya te hablé de ella antes había escrito que ha elevado a menos b se puede escribir así en nuestro caso en nuestro caso de ese 1 tenemos esto un medio entonces un medio entonces puede ser escrito como como esto luego 2 x igual a menos 1 lo tenemos lo tenemos puedes ver que si llevas aquí menos 1 - 1 este es un auto venga venga al juan vamos oye no te lo vas a creer pero vamos a por los dos últimos ejercicios ecuaciones exponenciales y por supuesto ecuaciones logarítmicas 143 un logaritmo de 16 en base 2 igual a equis ecuación logarítmica las ecuaciones logarítmicas están relacionadas con las ecuaciones exponenciales y resuelvo esta resuelvo otra y se habrá terminado este vídeo este vídeo de álgebra una clase cero pega juan qué es esto qué es esto por favor logaritmos mira esto que hay aquí es un exponente el logaritmo de algo en cierta base es un exponente 7 elevado a 9 que es el 9 el 9 es un exponente pues esto es un exponente x x y queremos saber cuánto vale esa equis esto es en concreto el exponente al que hay que elevar 2 que hemos dicho que es equis para que esto es igual a 16 esta ecuación la ecuación que tenemos que resolver es una ecuación exponencial que hemos resuelto hace unos minutos 16 habíamos visto que era 2 al cuadrado a la cuarta perdón 2 a la cuarta x es igual a 4 se ha terminado nuestro ejercicio el fíjate 4 es el exponente acá al que hay que elevar 2 4 es el exponente al que hay que elevar 2 para obtener 16 cierto esto lo que significa esto vale aquí último ejercicio 44 el 44 dice que logaritmo de 15 en base 7 esto es igual a igual a 222 textos y nuestra última ecuación ecuación logarítmica que es esto fue que es esto esto es un exponente un exponente 2 y el exponente de quien pues es el exponente de 7 esto es el exponente al que hay que elevar 7 nos dicen que es 2 para que esto sea igual a equis vale x pues x es igual a 7 al cuadrado 49 tenemos lo tenemos vamos a hacer la prueba el logaritmo logaritmo de 49 base 7 15 esto fue antes esto pues esto es esto es el exponente al que hay que elevar 7 para tener 49 7 al cuadrado 49 62 funciona por favor comentarios debajo del vídeo en la zona de comentarios nos vemos pronto