Binomios y el Teorema Binomial

Potencias de Binomios

• Binomio: Expresión con dos términos (e.g., a + b).
• Potencias Iniciales:
  • (a + b)^0 = 1
  • (a + b)^1 = a + b
• Errores Comunes:
  • (a + b)^2 ≠ a^2 + b^2
  • (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2

Ejemplo a + b al Cubo

1. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
2. (a + b)^3 = (a + b)^2 * (a + b)
3. Expandiendo:

• b * (a^2 + 2ab + b^2) = b^3 + 2ab^2 + a^2b
• a * (a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2

4. Suma de términos:

• a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Teorema Binomial

• Objetivo: Facilitar la expansión de potencias de binomios.
• Fórmula General:
  • (a + b)^n = Σ (de k=0 a n) [C(n, k) * a^(n-k) * b^k]

Coeficientes Binomiales

• C(n, k) = n! / [k! * (n - k)!]
  • Ejemplo:
    • C(4, 0) = 1
    • C(4, 1) = 4
    • C(4, 2) = 6
    • C(4, 3) = 4
    • C(4, 4) = 1

Ejemplo del Teorema Binomial: (a + b)^4

1. Aplicando la fórmula general:

• Σ (de k=0 a 4) [C(4, k) * a^(4-k) * b^k]

2. Expandiendo:

• C(4, 0) * a^4 * b^0 + C(4, 1) * a^3 * b + C(4, 2) * a^2 * b^2 + C(4, 3) * a * b^3 + C(4, 4) * b^4
• a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4

Patrón y Simetría:

• Los coeficientes siguen un patrón simétrico: 1, 4, 6, 4, 1
• Las potencias de a disminuyen de 4 a 0; las de b aumentan de 0 a 4.

Conclusión

• El Teorema Binomial simplifica la expansión de binomios elevados a cualquier potencia.
• Demostraremos más ejemplos y la justificación del teorema en videos futuros.