Geometrické posloupnosti

Úvod

• Dnes se zaměříme na geometrickou posloupnost.
• Minule jsme se zabývali aritmetickou posloupností.

Hlavní rozdíly

• Aritmetická posloupnost: Každý člen se získává přičtením konstantní diference.
• Geometrická posloupnost: Následující člen se získává vynásobením předchozího členu konstantním kvocientem.

Příklad geometrické posloupnosti

• První člen (A1) = 1, kvocient (q) = 2.
• Členy: 1, 2, 4, 8, 16...
• Obecný vzorec: (A_{n+1} = A_n \cdot q)_

Vztah mezi členy

• Třetí člen: (A_3 = A_1 \cdot q^2)
• Obecně: (A_r = A_s \cdot q^{r-s})
• Můžeme spočítat i (A_3) jestliže známe (A_{10}): (A_3 = A_{10} \cdot q^{3-10} = A_{10} \cdot q^{-7})_

Poznání geometrické posloupnosti

• Následující člen musí být získán tím, že vynásobíme předchozí člen konstantním kvocientem.
• Každý kvocient musí být stejný pro libovolné dva členy.
• Pokud např. (A_2 = A_1 \cdot 2) a (A_3 = A_2 \cdot 3), tak to není geometrická posloupnost.

Součet členů geometrické posloupnosti

Konečný součet prvních n členů

• Vzorec pro součet prvních n členů: (S_n = A_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q})
• Příklad: (A_1 = 2, q = 3, n = 5)
• Výpočet součtu: (S = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3})

Nekonečný součet

• Nekonečný součet existuje, pokud je (|q| < 1).
• Vzorec: (S = \frac{A_1}{1 - q})
• Příklad: První člen = 1/2, kvocient = 1/2.

Příklad rozdělení čtverce

• Obsah čtverce s hranou délky 1 je 1.
• Pokud dělíme čtverec na menší části, nikdy nezmizí zcela a součet členů se blíží obsahu čtverce.

Závěr

• Součet členů s kvocientem větším nebo rovný 1 nebo menší nebo roven -1 neexistuje.
• Geometrická posloupnost se pozná podle konstantního kvocientu a vztahů mezi členy.
• V příštím videu se zaměříme na řešení příkladů.