हेलो बच्चों कैसे हैं आप सब लोग आई होप आप सब के सब बहुत बढ़िया होंगे बहुत मजे में होंगे तो सबसे पहले स्वागत है यार आप सबका आज के सेशन में सो सी आर ऑन डिफरेंशियल इक्वेशन तो आज की क्लास के अंदर हम लोग डिफरेंशियल इक्वेशन स्टार्ट से लेके एंड तक कंप्लीट करने वाले हैं दिस गोइंग तू बी अन क्विक रीकैप सेशन ऑफ डी कंप्लीट चैप्टर सारे इंपॉर्टेंट टॉपिक्स अगर आपको रिवाइज करने हो एक बार रीकैप करना हो तो हमारे साथ करिए यहां पे तो हम लोग स्टार्ट करने वाले हैं ऑर्डर एंड डिग्री ऑफ डिफरेंशियल इक्वेशन के साथ में उसके बाद में फॉर्मेशन ऑफ डिफरेंशियल इक्वेशन दें डिफरेंशियल इक्वेशन सॉल्व करने के अलग अलग मेथड देखेंगे जिसके अंदर सबसे पहला मेथड अपुन वेरिएबल सेपरेबल मेथड देखते हैं बहुत ही इजी था मेथड रहता है उसके अंदर ठीक है उसके बाद में reduceable तू वेरिएबल सेपरेबल फॉर्म इसके अंदर दो-तीन अपने अलग-अलग मस-मस्त मैथर्ड देखेंगे इंपॉर्टेंट है लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन एंड रिड्यूस तू लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन इसके बारे में बाद में चर्चा कारी जाएगी ठीक है ये भी बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट फॉर्मेट है दें एप्लीकेशन ऑफ डर सेशन की तो चलिए बिना किसी देरी के चालू करते हैं आज का सेशन तो ऑर्डर देखो डिफरेंशियल इक्वेशन क्या होती है बेसिकली डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट्स के टर्म्स में क्वेश्चन है ना जैसे दी / डीएक्स d2y/dx² D3 ए / डीएक्स कब तो दी / डीएक्स जो है उसको ऑर्डर वैन है ना इसको अपन ऑर्डर वैन का डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट बोलेंगे d2y/dx² इसका होता है ऑर्डर तू है ना ऑर्डर तू डिफरेंशियल d3y/डीएक्स कब ऑर्डर थ्री डिफरेंशियल तो किसी भी डिफरेंशियल इक्वेशन की ऑर्डर के बारे में पता करना है की भैया इसका ऑर्डर क्या है तो हाईएस्ट ऑर्डर डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट क्या प्रेजेंट है डेट इस गोइंग तू बी ऐड ऑर्डर देखिए की अगर हाईएस्ट ये वाला है तो ऑर्डर तू की हो जाएगी फॉरेन एग्जांपल ठीक है जरा हमारे सामने एक डिफरेंशियल इक्वेशन है इसके ऑर्डर के बारे में पता करना है तो हाईएस्ट ऑर्डर है सेकंड ऑर्डर देखो d2y/डीएक्स स्क्वायर है सेकंड ऑर्डर का हो गया दी / डीएक्स ऑर्डर 1 है ठीक है तो इसका जो हाईएस्ट ऑर्डर है ना हाईएस्ट ऑर्डर डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट जो प्रेजेंट है वो ऑर्डर तू है तो इस दे का ऑर्डर तू हो जाएगा वैसे ही इस डिफरेंशियल इक्वेशन का जो ऑर्डर है जैसे ये देखो ऑर्डर थ्री ये है ऑर्डर वैन ये है ऑर्डर तू का डिफरेंशियल तो इसका ऑर्डर हो जाएगा 3 क्योंकि हाईएस्ट ये है ऑर्डर थ्री का है ठीक है तो ऑर्डर कमेंट करना बहुत ही ज्यादा इजी है बहुत ही ज्यादा रहता ऑर्डर की हाईएस्ट ऑर्डर डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट क्या है वही डिफरेंशियल इक्वेशन का ऑर्डर रह जाता है वहीं पे ही अगर अपन डिग्री के बारे में बात करें तो यहां पे थोड़ा सा polynomeal का ज्ञान लगना जरूरी है डिग्री मतलब पावर एग्री मतलब पावर तो अगर अपन डिग्री ऑफ डिफरेंशियल इक्वेशन के बारे में बात कर रहे हैं तो उसकी डेफिनेशन देखिए इट इस डी डिग्री ऑफ दी हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव डिग्री किसकी दो हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव है ऑर्डर निकलना हम सिख चुके हैं उसके अंदर देखना की हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव कौन सा प्रेजेंट है उसकी पावर ठीक है इट इसे डी डिग्री ऑफ दी हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव akring इन डी डिफरेंशियल इक्वेशन आफ्टर इट हज बिन एक्सप्रेस आज अन पॉलिनॉमियल इन डेरिवेटिव्स अभी अपन डिग्री के बारे में कमेंट कर पाएंगे जब वो आज अन पॉलिनॉमियल प्रेजेंट हु डेरिवेटिव्स के टर्म्स में ठीक है आगे अन पॉलिनॉमियल ठीक है डेट इसे डी पावर ऑफ ऑल दी डेरिवेटिव इंवॉल्वड रूल नंबर्स है ना जितने भी डेरिवेटिव्स इंवॉल्वड है दी / डीएक्स d2y/dx² जितने भी डेरिवेटिव्स प्रेजेंट है इनकी पावर क्या होल नंबर होनी चाहिए तो एक बार अपने पॉलिनॉमियल फॉर्मेट में रिप्रेजेंट कर दिया उसके बाद में अपन डिग्री के बारे में कमेंट कर ठीक है और डिग्री भी इसकी है ना डिग्री इस डी हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव ऑफ उसकी डिग्री ठीक है उसके बारे में बातें चल रही है तो वो डिग्री kahlayegi जैसे की देखो एग्जांपल यहां पे सबसे पहले देखो की क्या ये पॉलिनॉमियल है इन टर्म्स ऑफ डिफरेंशियल डिफरेंशियल मतलब दी / डीएक्स D3 / डीएक्स कब d2y/dx² तो यहां पे ये जितने भी डिफरेंशियल प्रेजेंट है तब की पावर होल नंबर है दिख रहा है ना जितने भी डिफरेंशियल प्रेजेंट है सबकी पावर होल नंबर है तो यस दिस इस डी पॉलिनॉमियल इन टर्म्स ऑफ डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट्स एल्डो ए की पावर वैन बाय तू है बट वही की पावर क्या है डिफरेंशियल इक्वेशन जो है अपन देखेंगे की जो डेरिवेटिव है ना डेरिवेटिव की पावरफुल नंबर होनी चाहिए और डेरिवेटिव जितने भी प्रेजेंट है सबकी पावर होल नंबर है दिस इस अन पॉलिनॉमियल इन टर्म्स ऑफ डेरिवेटिव तो पॉलिनॉमियल फॉर्मेट में रिप्रेजेंटेड है तब जाके अपन इसकी डिग्री के बारे में कमेंट कर सकते हैं और इसकी डिग्री क्या होगी जो हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव देखो कौन सा है ये है हाईएस्ट ऑर्डर दी थ्री ए / dxq ये है हाईएस्ट ऑर्डर तो इसका ऑर्डर तो हो गया थ्री ऑर्डर यहां पे ए गया थ्री एंड डिग्री इसे डी पावर ऑफ हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव तो हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव की पावर तू है तो इसकी डिग्री तू हो जाएगी सिंपल अब यहां पे देखेंगे तो d2y/dx² + ए की पावर में दी / डीएक्स बैठा है तो दिस इस नॉट ए पॉलिनॉमियल इन टर्म्स डेरिवेटिव पॉलिनॉमियल नहीं है डेरिवेटिव के टर्म्स में क्योंकि यह जो डेरिवेटिव है दी / डीएक्स वो कहां पे बैठा है ए की पावर में बैठा है तो अगर दी / डीएक्स जैसे एक ही पावर में फंसा है या फिर सपोज लोग के अंदर फंसा है या उसकी पावर होल नंबर नहीं है तो इन सब केसेस के अंदर ये क्या है की polynomeal ही नहीं है तो दिस इसे नॉट अन polynomeal इन टर्म्स ऑफ डेरिवेटिव तो पॉलिनॉमियल फॉर्मेट में नहीं रिप्रेजेंट कर सकते हैं इसलिए अपन बोलेंगे की इसकी जो डिग्री है वो अन्य डिफाइंड है तो डिग्री के बारे में तभी कमेंट कर पाएंगे जब वो polynomeal फॉर्मेट में रिप्रेजेंटेड हो यही पे अगर मैं थोड़ा सा चेंज करूं की d2y/dx² प्लस आई की पावर में ए = इन टर्म्स ऑफ डेरिवेटिव यस दिस इस अन पॉलिनॉमियल इन टर्म्स ऑफ डेरिवेटिव क्योंकि यहां पे जो डेरिवेटिव है d2y/डीएक्स को इसकी पावर वैन है इसकी पावर होल नंबर है ठीक है ए की पावर में ए फंसा है यहां पे कोई डेरिवेटिव नहीं फंसा है है ना कोई डेरिवेटिव नहीं फसा होना चाहिए तो वो नहीं फसा है यहां पे तो यस दिस इस अन पॉलिनॉमियल है ना ये पॉलिनॉमियल है डेरिवेटिव्स के टर्म्स में इसका जो ऑर्डर है ऑर्डर तो इसका हो जाएगा तू देखो ऑर्डर तू का डेरिवेटिव प्रेजेंट है यहां पे तो ऑर्डर इसका तू हो गया डिग्री इसे डी पावर ऑफ दिस डिग्री का मतलब क्या होता है बेटा पावर होता है तो इसकी पावर कितनी है वैन है d2y/डीएक्स स्क्वायर की पावर कितनी है वैन है तो इसकी डिग्री 1 के इक्वल हो जाएगी जिससे की क्लेरिटी ए जाए polynomeal इन डी डेरिवेटिव ineword दें इट्स डिग्री इसे अनडिफाइंड अगर पॉलिनॉमियल फॉर्मेट में नहीं रिप्रेजेंट कर सकते तो डिग्री अनडिफाइंड है जैसे की इस सवाल के अंदर देखेंगे सबसे पहले तो पॉलिनॉमियल फॉर्मेट के अंदर नहीं है क्योंकि यहां पे एक डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट फंसा है और इसकी होल पावर 1/4 है ओके तो क्या इसको आज अन पॉलिनॉमियल रिप्रेजेंट कर सकते हैं क्या बिल्कुल किया जा सकता है दोनों साइड अगर मैं रेस तू डी पावर फोर कर डन तो लेफ्ट हैंड साइड में d2y/dx² राइट हैंड साइड में ए + डीएक्स की पावर फोर कर दिया है यहां पर जो ऑर्डर होगा जो हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव तू कहे तो ऑर्डर तू है ऑर्डर तो हमेशा ही डिफाइन होता है ना ऑर्डर तो हमेशा डिफाइंड है डिग्री के लिए देखना पड़ेगा की क्या पॉलिनॉमियल फॉर्मेट में रिप्रेजेंटेड है यस पॉलिनॉमियल फॉर्मेट में रिप्रेजेंटेड हैं की जितने भी डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट से देखो कैसे चेक करना है पॉलिनॉमियल फॉर्मेट में है की नहीं है पहले तो ये चेक करो की जितने भी डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट्स हैं उसकी पावर होल नंबर हो यस है इसकी पावर 4 इसकी पावर 6 तो पावर होल नंबर होनी चाहिए वो है यहां पे और कोई ए में है ना ए की पावर में ना फंसा हो या फिर लॉक के अंदर ना फंसा हो तो ऐसा भी कुछ नहीं होता है ठीक है तो यस दिस इस डी पॉलिनॉमियल एंड इसकी जो डिग्री हो जाएगी डेट इसे डी पावर ऑफ हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव ऑर्डर तू का है और उसकी पावर फोर है तो उसकी डिग्री फोर हो जाएगी ओके एग्जांपल इसके बारे में देखा जाए तो ऑर्डर के बारे में तो कमेंट कर दूंगा मैं फटाफट से की हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव ऑर्डर थ्री का है बॉर्डर थ्री हो जाएगा बट डिग्री के बारे में क्या कमेंट कर पाएंगे क्या डिग्री के बारे में यहां पे कमेंट नहीं कर पाएंगे क्योंकि यहां पे एक डिफरेंशियल कोऑपरेशन जो है वो एक ही पावर में फंसा है तो डिग्री इस अनडिफाइंड डिग्री इस अनडिफाइंड डिग्री अपन पॉलिनॉमियल की डिफाइन करेंगे की अच्छा ये पॉलिनॉमियल फॉर्मेट में एंड पॉलिनॉमियल भी किस्म डिफरेंशियल्स के टर्म्स में ठीक है जैसे ए की पावर में यहां पे ए होता तो कोई फर्क नहीं पड़ता अपने को तब ये पॉलिनॉमियल होता है ना डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट के टर्म्स में बट यहां पे डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट ही की पावर में फंसा है तो नौ दिस इस नॉट अन पॉलिनॉमियल इन टर्म्स ऑफ डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट सो डेट इस वाइस डिग्री इसे अनडिफाइंड यहां पर भी देखा जाए इजीली आप कमेंट कर सकते हो है ना दी / डीएक्स की पावर माइंस वैन है बट यहां पे एलसीएम लिया ठीक है आगे अन पॉलिनॉमियल रिप्रेजेंट कर सकते हैं दोनों साइड दी / डीएक्स multiplaye किया तो लेफ्ट हैंड साइड में दी / डीएक्स की पावर 2 = - ए टाइम्स दी / डीएक्स + 1 नौ दिस इस डी पॉलिनॉमियल फॉर्मेट है ना दी / डीएक्स को मल्टीप्लाई कर दिया तो इसका जो डिग्री है है ना पहले तो ऑर्डर के बारे में कमेंट कर देते ऑर्डर इस हाईएस्ट ऑर्डर डेरिवेटिव तो ऑर्डर वैन का ही प्रेजेंट है हाईएस्ट है ना तो ऑर्डर वैन हो गया डिग्री इसे डी पावर ऑफ इट तो इसकी पावर कितनी है तू है तो डिग्री इस डी पावर ऑफ दिस ठीक है डेट इस तू साइन इन्वर्स ऑफ दी / डीएक्स = एक्स + ए ऑर्डर के बारे में तो कमेंट कर ही सकते हैं की ऑर्डर इस गोइंग तू बी वैन का डिफरेंशियल फिर आप देखिए क्या इसको polynomeal है ना यहां पे क्या है ना की अभी दी / डीएक्स साइन इन्वर्स के अंदर फंसा है इसको यहां से निकल सकते हैं इसको ऐसा लिख सकते हैं की दी / डीएक्स = सिन ऑफ एक्स + ए ऐसा लिखा जा सकता है अब देखो कोई भी डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट है ना इन डूइंग दिस ये करने में किसी भी डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट को एंड हान नुकसान नहीं पहुंचा है ठीक है दी / डीएक्स आजाद हो गया साइन इन्वर्स के अंदर था इसको आजाद कर दिया जब ये आजाद हुआ तो यहां पे कोई डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट फंसा नहीं है है ना तो नौ दिस इस अन पॉलिनॉमियल ये पॉलिनॉमियल है इन टर्म्स ऑफ डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट तो इसकी डिग्री डिफाइंड है तो इसकी डिग्री वैन हो जाएगी अगर यहीं पर यह सवाल कुछ और का होता बचा पार्टी इस सिन इन्वर्स ऑफ दी / डीएक्स और राइट हैंड साइड में एक्स + दी / डीएक्स ऐसा सा कुछ लिखा होता है बट यहां पे डिग्री नहीं डिफाइन होगी क्योंकि यहां पे साइन इन्वर्स से इसको आजाद करोगे तो राइट हैंड साइड वाला फस जाएगा है ना की दी / डीएक्स = सिन ऑफ एक्स + दी / डीएक्स ऐसा सब बन गया इधर से यह jaduga इधर ही फस गया वह साइन के अंदर फसा है दिस इस नॉट अन polynomeal फॉर्मेट ओके तो इसलिए अपन बोलेंगे की भैया इसकी जो डिग्री है वो डिग्री एंड डिफाइन हो जाएगी इस पार्टिकुलर ठीक है तो डिग्री के बारे में कैसे कमेंट करना है आई होप आप लोग समझ चुके हैं ऑर्डर के बारे में कमेंट करना तो बहुत ही इजी नौ फॉर्मेशन ऑफ डिफरेंशियल इक्वेशन ठीक है तो कंसीडर है फैमिली ऑफ फार्मिंग इट्स डिफरेंशियल इक्वेशन सी मिन डेवलपिंग अन रिलेशन बिटवीन एक्स ए एंड डेरिवेटिव ठीक है विच इसे सेटिस्फाइड बाय एवरी मेंबर ऑफ डी गिवन फैमिली ठीक है बनाना बहुत ही इजी डिफरेंशियल इक्वेशन कैसे बनानी है एक फैमिली ऑफ कर्व दे रखा होगा डिफरेंशियल इक्वेशन मतलब हमें इक्वेशन बनानी है इन टर्म्स ऑफ डिफरेंशियल वो अपने इजीली बना सकते हैं देखो कैसे बनाने का है ओके स्टेप्स यहां पर कुछ बता देता हूं डिफरेंटशिएट द गिवन इक्वेशन एंड नंबर ऑफ टाइम्स जितने उसके अंदर आर्बिट्रेरी इंडिपेंडेंट कांस्टेंट है जितने आर्बिट्रेरी इंडिपेंडेंट कांस्टेंट है उतनी बार उसको डिफरेंशिएट कर देंगे तो उतनी ही हमारे सामने इक्वेशंस ए जाएगी उन सारी इक्वेशंस में से जो आर्बिट्रेरी कांस्टेंट्स है उनको हमें रिमूव करना है तो जब वो सारे कांस्टेंट रिमूव हो जाएंगे तो हमारे सामने जो इक्वेशन आएगी वो सिर्फ एक्स ए और डिफरेंशियल कॉएफिशिएंट के टर्म में है ना एक्स ए दी / डीएक्स दी / डीएक्स में हमारे सामने एक एक्शन होगी वही हमारी डिफरेंशियल इक्वेशन हो तो डिफरेंशियल इक्वेशन बनाने के लिए सिंपली हमें डिफरेंशिएट करना है कितनी बार डिफरेंटशिएट करना है कितने उसमें रब ट्रेंडी इंडिपेंडेंट कांस्टेंट हो उतनी बार डिफरेंटशिएट कर दीजिए ठीक है तो ऑर्डर ऑफ डिफरेंशियल इक्वेशन क्या होगा की जितने आर्मी ट्रेनिंग होने वाला है ठीक है तो यही सारी बातें यहां पर लिखी हुई डिफरेंशियल इक्वेशन है ना तो इस फैमिली ऑफ इक्वेशन का हमें यहां पे ऑर्डर बताना है ए = C1 + c2h इन आई की पावर एक्स + C3 इस तरीके से इक्वेशन है तो इसको मैं अगर अंदर मल्टीप्लाई कर डन तो देखो ये क्या बनेगा ए = C1 * ए की पावर एक्स + C3 + C2 * एक्स * ए की पावर एक्स + C3 ऐसा बैठा है आई की पावर एक्स प्लस C3 को ए ^ C3 * ए ^ एक्स ऐसा लिखा जा सकता है वैसे ही C2 * यहां पे भी ए की पावर थ्री इन ए की पावर एक्स एंड एक्स ये चीज लिखी क्लियर है ए की पावर एक्स + C3 को ए की पावर C3 * ए की पावर एक्स लिख दिया है अपन ओके दिस इसे डी इक्वेशन इन फ्रंट ऑफर्स अब इसी को ही अपन एक आर्बिट्रेरी कांस्टेंट k1 नाम दे देंगे ठीक है क्योंकि है तो ये एक ही कांस्टेंट है इसको दो अलग-अलग कांस्टेंट के रूप में नहीं देख रहे देखेंगे ना दिस इस वैन पार्टिकुलर कांस्टेंट विच इसे केवल यहां पर भी अपन इसको एक आर्बिट्रेरी कांस्टेंट K2 का नाम दे देंगे ना ठीक है इसको अपने कांस्टेंट कीटू का नाम दिया तो इक्वेशन बन रही है तो यहां पर कितने आर्बिट्रेरी कांस्टेंट है यहां पे दो ऑर्बिट कांस्टेंट हमें दिखाई दे रहे हैं केवल एंड के तू अब इसकी डिफरेंशियल इक्वेशन बनाने के लिए यहां पे डिफरेंशियल इक्वेशन बनाने के लिए इसको दो बार डिफरेंटशिएट करना पड़ेगा ठीक है दो बार डिफरेंटशिएट करोगे और प्रकट हो जाएगी ठीक है और टोटल को एलिमिनेट करना जो k1 एंड K2 है उसको अपने को एलिमिनेट करना है तो इसका ऑर्डर क्या हो जाएगा इसका ऑर्डर तू ए जाएगा भाई ठीक है रिफाइंड पाउडर ऑफ डी डिफरेंशियल इक्वेशन तू डिफरेंशियल इक्वेशन फाइनली बनेगी उसका ऑर्डर तू हो जाएगा फॉर एन एग्जांपल फोर अस दिस इस डी फैमिली ऑफ पैराबोला इसकी अगर हमें डिफरेंशियल इक्वेशन बनानी हो तो देखो यहां पे आर्बिट्रेरी कांस्टेंट कितना है एक ही है विच इसे ए है ना वही आर्मी ट्रेल कांस्टेंट हो तो एक ही बार डिफरेंटशिएट करने की जरूरत है तो y² का डर हो जाएगा 2y * दी / डीएक्स फॉर ए एक्स में है ना एक्स का डर वैन हो जाएगा तो राइट हैंड साइड में पूरे बचा ठीक है तो इन दोनों इक्वेशन से पहले इक्वेशन नहीं है दूसरी इक्वेशन ये इन दोनों इक्वेशंस में से हमें ए को एलिमिनेट करना है तो एक कम करते हैं सेकंड इक्वेशन से ए की वैल्यू उठाते हैं फर्स्ट इक्वेशन में पुट कर देते ठीक है तो ए की वैल्यू यहां से ए रही है फर्स्ट इक्वेशन में पुट कर देंगे तो यह इक्वेशन बन जाएगी ए स्क्वायर बराबर 4 * ए की वैल्यू वैन बाय तू ठीक है हमारे सामने डिफरेंशियल इक्वेशन ए गई फॉर दिस फैमिली ऑफ पैराबोला तो जितने रब ट्रेंडी कांस्टेंट है आर्बिट्रेरी भी इंडिपेंडेंट कांस्टेंट है उतनी बार अपन डिफरेंशिएट करेंगे इंडिपेंडेंट का मतलब ये हुआ बचा बॉडी की अगर मैं इक्वेशन इस प्रकार से देता हूं y² बराबर 4 * a1 a2x तो A1 A2 यहां पर दो कांस्टेंट नहीं है कांस्टेंट मैन सकते हैं आप यह है तो इन टोटल मोटा-मोटा देखा जाए तो है तो यह एक ही आर्बिट्रेरी कांस्टेंट या फिर फोर को भी मिला ही लो तो ये पूरा एक ही आर्बिट्रेरी कांस्टेंट के मैन लो उसको तो बेसिकली एक्स लिखा है अब इसको एक बार डिफरेंटशिएट करोगे के को एलिमिनेट कर दोगे तो है तो इसमें मोटा-मोटा एक ही आर्बिट्रेरी कांस्टेंट ठीक क्लियर है इतनी बात है चलिए अब सॉल्यूशन के बारे में बात आते हैं तो एक तो होता है जनरल सॉल्यूशन जनरल सॉल्यूशन वो हो गए जिसके अंदर आर्मी ट्रेनिंग कांस्टेंट इन वर्ल्ड हूं फाइनल सॉल्यूशन में ठीक है पार्टिकुलर सॉल्यूशन वो हो गए जिसके अंदर आर्मी ट्रेनिंग कांस्टेंट इन वर्ल्ड ना हो तो पार्टिकुलर सॉल्यूशन निकलने के लिए हमें वो उसे कर्व के बारे में एक और इनफॉरमेशन प्रोवाइड करेगा तभी अपन पार्टिकुलर ए की वैल्यू ये है या एक्स = 0 पे ए की वैल्यू ये है है ना तो कुछ एक एक्स्ट्रा इनफॉरमेशन दे रखा होगा उसे फैमिली ऑफ करके एक पार्टिकुलर सॉल्यूशन नहीं आएंगे ठीक है adervise जनरली अपन जनरल सॉल्यूशन निकलती हैं तो डिफरेंशियल इक्वेशन सॉल्व करने के लिए तीन मैथर्ड आते हैं वेरिएबल शिपेबल रिड्यूस एबल तू वेरिएबल सेपरेबल एंड लास्ट में लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशंस एंड reduable तू लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन तो सबसे पहले बात करते हैं वेरिएबल सेपरेबल तो इफेक्ट डिफरेंशियल इक्वेशन कैन बी एक्सप्रेस इन टर्म्स ऑफ एफसी डीएक्स + डी / दी = 0 तो वेरिएबल सेपरेबल आसान है यहां पे वैरियेबल्स को सेपरेट कर सकते हो डीएक्स के साथ में सारी एक्स वाली टर्म्स ले जाओ दी के साथ में सारी ए वाली टर्म प्लीज जो इंटीग्रेट कर दो सॉल्यूशन में तो ये हो गया वेरिएबल सेपरेबल फॉर्म जो की बहुत ही ज्यादा इजी रहता है जैसे की इस टाइप के सवालों के अंदर आप देख सकते हैं की यहां पे है ना डीएक्स के साथ में सारा एक्स वाला मसाला ले आओ तो एक्स ऑलरेडी बैठा है डीएक्स को भी यहां पे बैठाया x² + 1 को यहां पे लेके ए जाए ठीक है इस इक्वल तू राइट हैंड साइड में देखो माइंस ए टाइम्स दी / है ए स्क्वायर प्लस वैन को राइट हैंड साइड में ले जाए y² + 1 तो देखो एक्स वाला मसाला एक साइड ए गया ए वाला मसाला दूसरी साइड चला गया वेरिएबल सेपरेबल फॉर्म है बहुत इजी है अगर वेरिएबल इतना इजीली सेपरेट हो का रहे हैं तो यह वेरिएबल फॉर्म हो गई इजी थिंग की यहां पे स्क्वायर प्लस वैन को टी मानेंगे तो उसका डर न्यूमैरेटर में लिखा है वैसे ये स्क्वायर प्लस वैन को कुछ मानेंगे तो उसका डिफरेंशियेशन न्यूमैरेटर में देखा है तो डायरेक्टली अपन इसको इंटीग्रेट कर सकते हैं कोई बड़ी बात नहीं है यहां पे इंटीग्रेट करना ठीक है ये तू से मैंने दोनों साइड मल्टीप्लाई कर दिया बचा पार्टी x² + 1 को टी माना तो उसका डर न्यूमैरेटर में लिखा है तो लेफ्ट हैंड साइड ए जाएगा एल एन ऑफ x² + 1 या फिर लोग ऑफ माड्यूल्स ऑफ x² + 1 राइट हैंड साइड में माइंस टाइम्स यह लोग ऑफ माड्यूल्स ऑफ ए स्क्वायर प्लस वैन प्लस कुछ कांस्टेंट आने वाला है वह कांस्टेंट आप चाहो तो लेफ्ट हैंड साइड में ऐड कर दो या राइट हैंड साइड में ऐड कर दो है ना तो कुछ कांस्टेंट आएगा यहां पे एल एन ऑफ सी है ना लोग ऑफ सी कांस्टेंट भी आपने लॉक फॉर्मेट में ऐड कर दिया है तो यहां पे ये डिफरेंशियल इक्वेशन ए रही है अपने पास में की माड्यूल्स ऑफ x² + 1 = y² + 1 ठीक है ये ऐसा सारा और माड्यूल्स ऑफ x² + 1 को अपन x² + 1 लिख सकते हैं है ना ये माइंस वैन को पावर में लेके गए फिर सॉल्व किया समझ में ए रही बात है तो इसको फाइनली अपन ऐसे लिख देंगे की x² + 1 * y² + 1 = सॉल्यूशन और ये जनरल सॉल्यूशन है क्योंकि यहां पे अभी कांस्टेंट है पार्टिकुलर सॉल्यूशन निकलने के लिए एक और इनफॉरमेशन सवाल में देता है है ना की एक्स बराबर जीरो पे ए की वैल्यू ये है तो वहां से अपन ये कांस्टेंट सी की भी वैल्यू निकल लेंगे तो एक पार्टिकुलर सॉल्यूशन में आएगा तो वेरिएबल सेपरेबल फॉर्म इस डेट इसे ये वाला क्वेश्चन मैं आपको होमवर्क के लिए दे रहा हूं ट्राई करिएगा बहुत इजीली वेरिएबल सेपरेट हो जाएंगे इस वाले क्वेश्चन के अंदर हमें पार्टिकुलर सॉल्यूशन निकलना है ये भी बहुत इजी है वाइड दश मतलब दी / डीएक्स फाइव वाला एक साइड लेके जाओ एक्स वाला दूसरी साइड लेके जाओ इंटीग्रेट कर दो फिर कुछ कांस्टेंट आएगा उसे कांस्टेंट की वैल्यू निकलने तू पे ए की वैल्यू ए है पार्टिकुलर सॉल्यूशन यहां से निकल है ना कांस्टेंट की वैल्यू निकल गई तो ठीक है तो सॉल्व दी फॉलोइंग डिफरेंशियल इक्वेशन यू कैन इजीली डू दिस क्वेश्चन यहां पे भी वेरिएबल इजीली सेपरेट हो रहा है ठीक है की एलन को उसे साइड भेजा तो लेफ्ट हैंड साइड में दी / डीएक्स राइट हैंड साइड में ए की पावर एक्स + बी ए बनेगा ठीक है तो जिसको अपन लिख सकते हैं ए की पावर एक्स * ए की पावर b1 अब एक्स वाली टर्म को एक्स के साथ ले जाओ ए की पावर बी / कोड दी के पास लेके आओ तो दी / ए ^ बी / ये लेफ्ट हैंड साइड में ए गया और आई रीच तू डी पावर एक्स को राइट हैंड साइड में रखा डीएक्स भी यहां पे मल्टीप्लिकेशन किया ठीक है अब दोनों साइड इंटीग्रेट करो सिंपल है वेरिएबल सेपरेबल फॉर्म है कल लोग इसके आगे आप ओके फॉर्म दी / डीएक्स = एफ + बी/सी है ना दिस इसे डी फर्स्ट फॉर्मेट इसके अंदर हमें क्या करना होता है की देखो है ना दी / डीएक्स आगे अन फंक्शन ऑफ एक्स + बी / सी इस टाइप के सवालों के अंदर हमें सिंपली एक्स + बी ए + सी को टी ले लेते हैं और हमारा कम हो जाता अब ये डिफरेंशियल इक्वेशन जो है वो पूरा डीटी / डीएक्स के टर्म्स में हम लोग बना लेंगे तो बहुत इजीली टाइप के कोई फल हो जाता है यूजिंग पोलर कोऑर्डिनेट्स तू मेक इक्वेशन वेरिएबल सेपरेबल बहुत इंपॉर्टेंट फॉर्मेट है पोलर कोऑर्डिनेट्स को उसे करके दिखाऊंगा मैं कैसे करना होता है फिर आती है होमो जीनियस डिफरेंशियल इक्वेशन तो ये होता है रिडक्सिबल तू वेरिएबल सेपरेबल फॉर्म ये वेरिएबल सेपरेबल फॉर्म होता नहीं है बट उसमें कन्वर्ट कर सकते हैं कुछ मेथड से हमारे सामने जिससे की अपन डिफरेंशियल इक्वेशन को वेरिएबल फॉर्म में कन्वर्ट कर सकते हैं ठीक है इस टाइप के एग्जांपल में देखा जाए ठीक है यहां पर देखो एक्स + ए का होल स्क्वायर इन दी / डीएक्स = a² इस टाइप का है तो यहां पे एक्स + ए को एक्स + ए को अपन लोग ए ले लेंगे दोनों साइड डिफरेंटशिएट किया विथ रिस्पेक्ट तू एक्स का डर वैन हो जाएगा ए का डिफरेंशियेशन दी / डीएक्स एंड टी का डर डीटी / डीएक्स ठीक है तो इधर से दी / डीएक्स की वैल्यू ए गई बचलो ए / डीएक्स = डीटी / डीएक्स - 1 ये वैल्यूज दी / डीएक्स की यहां पे पुट कर देंगे एक्स + ए की जगह पे टी रख रहे हैं तो ये बन जाएगा t² मल्टीप्लाई बाय दी / डीएक्स की वैल्यू है डीटी / डीएक्स -1 = a² अब यह वेरिएबल सेपरेबल फॉर्म बन चुका है डीएक्स = t² + a² उसे साइड जा के + t² बन जाएगा तो t² वाले पार्ट को एक साइड लेके आया है t² डीटी / t² + a² = राइट हैंड साइड में डीएक्स बन गया अब ये पूरा इंटीग्रेशन का सवाल है इंटीग्रेट कर देंगे लास्ट में टी की वैल्यू जरूर रख दें टी की वैल्यू जो भी एक्सप्रेस ए है फाइनली सिंपल है इजी है यहां पर 2X + 3 लेकर चालू करिएगा और देखेगा यह सवाल आपसे इजीली बन जाएगा ठीक है एक्स + बी वे प्लस सी फॉर्मेट यहां पर 2X + ए को टी ले लो या 2X + 3 / -1 को टी ले लो जैसी आपकी मर्जी है वो x+3y -1 को टी ले लीजिएगा डिनॉमिनेटर में भी 2X + 3 / -1 का फॉर्मेट बनेगा उसके बाद में ये क्वेश्चन बहुत इजीली फॉल हो जाएगा ठीक है नौ अब पोलर कोऑर्डिनेट्स को अपन उसे करके कैसे करते हैं तो पोलर कोऑर्डिनेट्स एक्स बराबर आर कोस थीटा ए बराबर साइन थीटा हम पुट करते हैं जहां पर भी एक्सप्रेशन में x² + y² हो देखो कहां उसे करना है जहां भी एक्सप्रेशन में x² + y² इस टाइप की चीज आप अगर देखें कहीं पे भी सवालों में इसी सवाल में अगर इस टाइप की चीज देखने को मिले हैं तो वहां पे एक्स को आर कोस्थेटा ए को आर सिन थीटा पुट करने का ये ख्याल आना चाहिए तो इसके रिलेटेड डायरेक्टली रिजल्ट है की अपन x² + y² को तो अपन r² लिख सकते हैं ठीक है स्क्वायर प्लस ए स्क्वायर कोस थीटा ए को आर सिन थीटा में कन्वर्ट करना है ताकि पुरी जो डिफरेंशियल इक्वेशन है वो आर और थीटा के टर्म्स में ठीक है रोट थीटा के लिए तो x² + y² की वैल्यू तो r² हो जाएगी वो समझ में ए ही रहा है ऐसा क्यों है ना और कोस थीटा का स्क्वायर प्लस रस साइन थीटा का स्क्वायर डेट विल बी इक्वल तू आर स्क्वायर आर स्क्वायर कोस स्क्वायर थीटा प्लस आर स्क्वायर साइन स्क्वायर थीटा डेट विल बी आर स्क्वायर फिर यहां से दूसरा रिजल्ट आता है एक्स दी + एक्स डीएक्स + ए डी ए की वैल्यू आर दी आर के इक्वल वो बड़ी इजीली ए जाता है क्योंकि देखो फर्स्ट पार्ट को प्रूफ करने के लिए हमें पता है की स्क्वायर प्लस ए स्क्वायर डिफरेंटशिएट करेंगे x² का डर 2X डीएक्स Y2 का डर 2 / दी आर स्क्वायर का डर 2 आर डी ठीक है तो एक्स डीएक्स + ए दी ए = आरडीआर ए जाएगा सर ये ऐसे कैसे डिफरेंशिएट किया आपने ये जो नॉर्मली अपन डिफरेंशिएट करते हैं ना भैया ऐसा समझो की मैंने किया तो एक्स के टर्म्स में डिफरेंस शीट एक्स स्क्वायर का डर 2X ए जाता है y² का डर 2y * दी / डीएक्स आता है डिनॉमिनेटर में डीएक्स था ना उसको मल्टीप्लाई कर दिया तो ये ऐसा सवाल ठीक है और यह रिजल्ट याद करना बहुत ही सिंपल है क्योंकि यह चीज आपको साफ-साफ पता होगी और आपको याद रहेगा की इसको डिफरेंशिएट करती है ये बन जाएगा ठीक है ये याद रखना है ना यहां पे हो क्या रहा है एक्स के साथ में दी है माइंस ए के साथ में डीएक्स है ना एक्स के साथ दी के साथ में डीएक्स बीच में ऐसा माइंस कर सकता है तो एक्स दी - टीडीएक्स इसकी वैल्यू होती है r² देखो यहां पे क्या है आर * डी आर है है ना आर के साथ दी अब अगर एक्स के साथ दी / ए के साथ डीएक्स ले लिया तो आर हो गया नाराज आर का हो गया r² है और आर स्क्वायर के साथ में आर बोलेगा मैं भी डी थीटा के साथ रहूंगा तो ऐसे आपको बस दिमाग में रखना है ना ठीक है याद रखने की चीज बाकी इसका एक्सप्लेनेशन समझो बेटा इसका एक्सप्लेनेशन समझो बहुत इंपॉर्टेंट है की उनकी यहां पे ए / एक्स की वैल्यू निकलूंगा मैं ठीक है ये अपने को पता है ए / एक्स आर सिन थीटा को rcostheta से डिवाइड किया तो यहां पे ये तन थीटा बन जाएगा सही बात अब दोनों साइड में डिफरेंटशिएट कर दे रहा हूं ठीक है दोनों साइड डिफरेंटशिएट किया जाए विद रिस्पेक्ट तू एक्स डिफरेंटशिएट करो है ना कैसे भी करो तो लेफ्ट हैंड साइड में यहां पर डर डिनॉमिनेटर में एक्स का स्क्वायर न्यूमैरेटर में पहले एक्स को आज इट इस ए का डर माइनस फिर ए को एस इट इस एक्स का डर ठीक है तो एक्स - टीडीएक्स और राइट हैंड साइड में तन थीटा का डर बनता है sec² थीटा डिनॉमिनेटर में एक्स का स्क्वायर न्यूमैरेटर में न्यूमैरेटर का डिफरेंशियेशन लिखेंगे ए का डिफरेंशियेशन दी एक्स को माइंस ए को एस इट इसे एक्स का डर डीएक्स ठीक है और राइट हैंड साइड में तन थीटा का डर sec² थीटा डी थीटा अब x² जब sec² थीटा से मल्टीप्लाई होगा तो ये क्या बनेगा ठीक है तो ये राइट हैंड साइड में बन रहा है x² x² थीटा डी थीटा ये बन रहा है x² से एक्स स्क्वायर थीटा ठीक है तो एक्स एसईसी थीटा की वैल्यू आर है यहां से दिखाई दे रही है एक्स एसईसी थीटा = आर ये ऐसे कम करो की एक्स की वैल्यू रख दो एक्स की वैल्यू रखोगे r² cos² थीटा तो कोस स्क्वायर थीटा से स्क्वायर थीटा कैंसिल आउट हो गया वैन बना देगा और ये बन जाएगा r² डीटी तो ये चीज ध्यान रखें एक्स दी - टीडीएक्स = r² डीटी तो ये दोनों इंपॉर्टेंट रिजल्ट एस इट इस हमें याद होने चाहिए इसी के रिलेटेड जब भी सवाल के अंदर अगर x² - ए स्क्वायर थीटा एंड ए को आर्ट तन थीटा पुट कर तो यहां से भी दो इंपॉर्टेंट रिजल्ट आते हैं पहला रिजल्ट की एक्स डीएक्स - ए डी ए बराबर आरडीआर जो की प्रूफ करना बहुत इजी क्योंकि अगर एक्स को आर sectheta ए को आर टेन थीटा बोले है तो x² - y² की वैल्यू r² आएगी देख का रहे हैं डेट विल बी इक्वल तू आर स्क्वायर दोनों साइड डिफरेंटशिएट किया x² और आर स्क्वायर करेंगे तो दूसरा वाला रिजल्ट हमें देखो जैसा पिछला रिजल्ट था वैसे ही था की एक्स के साथ में दी है माइंस भाई के साथ में क्या है तो इसकी जो वैल्यू होती है r² के साथ में डी थीटा आएगा बस यहां पे एक एक्सट्रैक्ट देता और ए रहा है ठीक है पिछले वाले में क्या था पिछले वाले में r² डी थीटा ही था यहां पर क्या है आर स्क्वायर ध्यान रखना और उसको प्रूफ करना बहुत सिंपल है देखो ए / एक्स की फिर से अपन वैल्यू निकल लेंगे कोस थीटा डी थीटा ना तो x² की वैल्यू हो जाएगी r² sec² थीटा तो आर स्क्वायर रूट साइड जाएगा तो स्क्वायर थीटा कोस थीटा से मल्टीप्लाई होगा तो एसईसी थीटा बच जाएगा तो इस तरीके से एग्जामिनेशन में फटाफट प्रूफ करना चाहो तो प्रूफ कर लो नहीं तो याद रख लो जैसे की इस टाइप के सवालों में ये चीज अपन अप्लाई करके भी देखेंगे की यहां पे देखिए एक्स दी है ना न्यूमैरेटर में देखेंगे तो एक्स डीएक्स + ए डी ए में देखा जाए तो एक्स दी - टीडीएक्स है और राइट हैंड साइड में अंडर रूट ऑफ वैन माइंस एक्स स्क्वायर अपॉन एक्स स्क्वायर ऐसा बैठा है तो यहां पे समझ में ए रहा है की एक्स को आर कोस थीटा ए को आर साइन थीटा लेना है समझ में ए गई बात है एक्स = आर कोस थीटा ए = आर सिन थीटा तो एक्स स्क्वायर प्लस ए स्क्वायर की जगह पता है एक्स डीएक्स + ए दी ए इसको आरडीआर रख देंगे और एक्स दी - टीडीएक्स इसको r² डी थीटा रख देंगे तो ये बन गया देखो आर और आर ऊपर नीचे कैंसिल आउट हो गया आरडीआर / r² राइट एंड साइड में अंडर रूट में 1 - r² फिर हम उल्टन में अंडर रूट ऑफ आर स्क्वायर जिसको अपन आर बोल दिया अब वेरिएबल को सेपरेट कर दो ठीक है वेरिएबल सेपरेबल फॉर्म बन गए ना आर से ये कट गया चार कट गया डॉ के नीचे ये आर के नीचे अंडर रूट ऑफ 1 - r² को लेके ए जाएंगे और डी थीटा को राइट हैंड साइड में भेजेंगे दोनों साइड इंटीग्रेट कर देंगे ठीक है अब अंडर रूट ऑफ 1 / √1 - r² स्टैंडर्ड इंटीग्रेशन है डेट इसे इक्वल तू सिन इन्वर्स ऑफ अवर साइन इन्वर्स ऑफर राइट हैंड साइड में थीटा का इंटीग्रेशन थीटा बन जाएगा तो थीटा बराबर तन इन्वर्स ए / एक्स तो थीटा की वैल्यू यहां से पुट कर देंगे अपने पास आंसर ए जाएगा ठीक है सिंपल है तो इस तरीके से अपने को सॉल्व करना है सो व्हेनेवर सी हैव टर्म्स लाइक दिस मैंने बताई थी आपको ये सारी चीज इसी टाइप का ये सवाल है इसको भी आप ट्राई करिएगा आप लोग इजीली कर सकते हो यहां पे एक्स को आर sectheta हमें पुट करना है और अपना कम बन जाएगा तो बढ़िया रहेगा की ठीक है तो यह स्टैंडर्ड इंटीग्रल है वो ध्यान रखें जैसे दी ऑफ एक्स / ए डिनॉमिनेटर लिखेंगे न्यूमैरेटर में अपन है ना पहले एक्स का डर डीएक्स ए को आज इट इस रखा जाएगा है ना पहले न्यूमैरेटर का डर फिर अब डिनॉमिनेटर का डिफरेंस ये चीज ध्यान रखें है ना बेसिकली अपने को इधर से इधर का ध्यान रखना है तो से इधर तक का ध्यान रहेगा तो इधर से इधर तक आप ऑटोमेटेकली आप याद रखोगे अगर दी ऑफ ए / एक्स लिखा है तो पहले डिनॉमिनेटर का स्क्वायर एक्स स्क्वायर न्यूमैरेटर का डिफरेंशियेशन - ए * डीएक्स ठीक है तो ये कुछ स्टैंडर्ड से इंटीग्रेशन हो गए है ना जैसे दी ऑफ एलएन ऑफ एक्स + ए इसका भी डर ध्यान रखें है ना की डेट इस इक्वल तू वैन अपॉन एक्स + ए एंड डीएक्स + दी तो अगर ये वाला फॉर्मेट भी लिखा है डीएक्स + दी / एक्स + ए तो इसको आप इस तरीके से ध्यान रखेंगे दिस इस डर ऑफ दी ऑफ एल ऑफ एक्स + वाईसी चीज को प्लॉट में दी ऑफ एलेन ऑफ एक्स + ए ऐसा सा याद रखेंगे ठीक है इंपॉर्टेंट चीज है बच्चा पार्टी ये सारी ना इंपॉर्टेंट इंटीग्रेशन है है ना इसी तरीके से याद क्या रखना बेसिकली समझना है की डर ऑफ एलेन ऑफ एक्स ए लिखा है तो इसको भी ऐसे ध्यान रखेंगे की इसका डर क्या होगा एलेन ऑफ एक्स वे का डर 1 / एक्स ए फिर न्यूमैरेटर में एक्सी का डर करोगे तो अपन वो लिखेंगे एसडी + टीडीएक्स चेन रूट एक्सी का डिफरेंशियेशन एक्स को आगे इट इसे पहले ए का डर + ए = एक्स का डर तो ये कुछ स्टैंडर्ड चीज है जो हमें ध्यान में रखनी है जो हमें याद रखनी है नौ रिडक्सिबल तू वेरिएबल शिपेबल फॉर्म में नेक्स्ट फॉर्म में आता है होमोजेनियस इक्वेशन कुछ इस प्रकार की होती है एफ ऑफ एक्स कमा ए इस सेट तू बी होमोजेनियस एक्सप्रेशन ऑफ डिग्री एन इन डी वैरियेबल्स एक्स एंड ए इफ एफ टक्स टी ए = टी रेश्यो डी पावर एन टाइम सैफ ऑफ एक्स कमा बाई देखो होमोजेनियस का मतलब होता है की हर एक टर्म की डिग्री सेल्सियस इक्वेशन राइट तो होमोजेनियस इक्वेशन मतलब सबकी डिग्री से हो पहचान का तरीका ये रहेगा की अगर हमारे सामने एक इक्वेशन है एफ ऑफ एक्स कमा ए है ना एक्स और ए के टर्म्स में एक एक्सप्रेशन है तो वहां पे अगर मैं एक्स को टी एक्स और ए को टी ए से रिप्लेस कर डन तो टी रेश्यो डी पावर एन एस इट इस कॉमन ए जाएगा एंड डेट कैन बी एक्सप्रेस टी रेश्यो डी पावर एन टाइम्स ऑफ एक्स ए तो दिस इसे डी होम्यो जीनियस इक्वेशन ठीक है ये होमोजेनियस सीक्वेंस ए जाएगी ओके फॉर एन एग्जांपल देखो ये x² - 2xy या तो डायरेक्टली पहचान लो की x² पहली वाली टर्म भी डिग्री तू की क्योंकि दो वेरिएबल है एक्स * एक्स * ए यहां पे भी दो वेरिएबल मल्टीप्लिकेशन में है तो ये भी क्या हो गई डिग्री तू की होमोजेनियस इक्वेशन है बिकॉज बोथ डी टर्म्स आर ऑफ डिग्री तू ओके सो दिस इस अन होमोजेनियस एक्सप्रेशन ऑफ डिग्री तू यहां पे अगर मैं एक्स को टी एक्स ए को टी ए से रिप्लेस करूं अगर ऐसा लिख रहा हूं ऐप ऑफ टेक्स्ट बाय टी स्क्वायर एक्स स्क्वायर बन जाएगा देख का रहे हो और यहां पर भी एक्स को टक्स ए को टी ए से रिप्लेस करेंगे तो -2xy बन जाएगा एक बार ए रहा है एक्स की जगह टक्स रखा ए की जगह टी ए रखा तो टी दो बार आया तो t² ठीक है t² कॉमन लिया तो x² - 2X t²xy एफ ऑफ टक्स कमा टी ए = 2t² टाइम्स एफसी तो दिस इसे अन होमो जीनियस पेशेंट होमोजेनियस एक्सप्रेशन ऑफ डिग्री तू वैसे ये होम्यो जीनियस एक्सप्रेशन हो गई डिग्री थ्री की हर एक टर्म अपन देख का रहे हैं डिग्री थ्री कम है ठीक है यहां पे भी देखेंगे तो ये जो है डिग्री जीरो है क्योंकि देखो न्यूमैरेटर में डिग्री तू है डिनॉमिनेटर में भी डिग्री तू है ना डिग्री तू को डिग्री तू से डिवाइड किया डिग्री जीरो ये भी देखा जाए वाई-भाई एक्स है ना ए बाई एक्स डिक्रीज जीरो और इधर देख ले की अगर एक्स को टक्स ए को टी ए से रिप्लेस कर दो है ना दिमाग नहीं करके देखो तो यहां पे t² t² न्यूमैरेटर डिनॉमिनेटर में कट गया यहां पे भी ए / एक्स में ट न्यूमैरेटर डिनॉमिनेटर में कट जाएगा एक्स को टीसी को टी ए समझ में ए रही बात तो टी की पावर जीरो ही कॉमन आया तो दिस इसे डी homojinius एक्सप्रेशन ऑफ डिग्री जीरो ठीक है सो डिफरेंशियल इक्वेशन होमोजेनियस डिफरेंशियल इक्वेशन क्या होती है अगर इस फॉर्मेट में डिफरेंशियल इक्वेशन है दी / डीएक्स बराबर एफ ऑफ एक्स ए / जिओ ऑफ एक्स कॉम ए इस टाइप से एक्सप्रेशन है वेयर एफ एंड gromogenius एक्सप्रेशन ऑफ डी से डिग्री यहां पे ये दोनों होमो जीनियस एक्सप्रेशन है से ही डिग्री की होमोजेनियस एक्सप्रेशन है तो इसको होमोजेनियस डिफरेंशियल इक्वेशन बोला जाएगा इसको सॉल्व करने के पीछे तरीका ये रहेगा की पहले तो इस इक्वेशन को इस टाइप से प्रेजेंट कर देंगे एंड दें सी विल पुट ए बराबर रिस्पेक्ट तू एक्स विल बी डी / डीएक्स ठीक है ए को वीएक्स रिप्लेस करेंगे दोनों साइड डिफरेंटशिएट करते हैं तो अपने को समझ में आता है की दी / डीएक्स = वी + एक्स टाइम्स डी / डीएक्स तो दी / डीएक्स को अपन इस से रिप्लेस तो जो पुरी डिफरेंशियल इक्वेशन है वो हमारे सामने सी एक्स और डीबी / डीएक्स के टर्म्स में ए जाएगी तू इजीली ए गया सॉल्व हो जाएगी ओके तो इसके ऊपर चलिए सवाल करते हैं तो एक्स टाइम्स दी / डीएक्स = √x² - y² + ए अच्छा ये प्लस ए ना अंडर रूट के बाहर है सवाल बेसिकली यह है एक्स टाइम्स दी / डीएक्स = एक्स के फॉर्मेट में रिप्रेजेंट कर सकता हूं क्या बड़ा ही इजीली की एक्स को यहां पे डिवाइड किया एक्स को राइट हैंड साइड में भेजा तो लेफ्ट हैंड साइड में दी / डीएक्स बच गया राइट हैंड साइड में अंडर रूट में 1 - ए / एक्स का स्क्वायर बनेगा प्लस ए / एक्स ठीक है एक्स से मैंने वहां पे डिवाइड किया तो x√ में जाके एक्स स्क्वायर बनेगा x² x² से डिवाइड हो के वैन बन जाएगा तो 1 - ए / एक्स का स्क्वायर + ए / एक्स ये राइट हैंड साइड में बन रहा होगा अब अपन वाई-भाई एक्स को वी लिख देंगे बाय बाय एक्स को भी लिख तो बस होमो जीनियस में यही चीज है आप रिप्रेजेंट कर का रहे हो तो आप बाय बाय एक्स को वी रख दीजिए या ए = वीएक्स = वी रख देंगे दी / डीएक्स की वैल्यू निकलेंगे तो इसको डिफरेंशिएट किया अगर ए को वीएक्स मैन रहा हूं तो दी / डीएक्स = एक्स का डिफरेंटशिएट वैन हो जाएगा तो 1 * वी + एक्स * ए का डर विथ रिस्पेक्ट तू एक्स विल बी दी / डीएक्स तो दी / डीएक्स की वैल्यू यहां पे रख देते हैं पी + पी + एक्स / डीएक्स पी प्लस सेक्स अब आप देख सकते हो सी वाले टर्म को सेपरेट कर दो वेरिएबल फॉर्म बन गई लास्ट में वी की वैल्यू जरूर रख देना है ना वी की वैल्यू लास्ट में रख देंगे ए / एक्स इसको सिगरेट कर सिंपल है इसके आगे ले जाओगे इस सवाल को वैसे ही एक सिमिलर टाइप का सवाल ये है हमारे सामने दिख रहा है फिर से ये देखो ये एक्स / ए के टर्म्स में ना यहां पे ये कम करना की एक्स / ए को वी लेना है तो मतलब डीएक्स / दी की वैल्यू रिप्लेस कर रहे हो राइट हैंड साइड में पहले ए का डर करूं ए के ही रिस्पेक्ट में तो वो वैन बन जाएगा भाई दी की वैल्यू रख दो है ना डिवाइस से डिवाइड कर दो और डीएक्स/दी ठीक है तो फिर हमारे सामने क्वेश्चन बहुत इजी रहेगा की 1 + 2 * ए की पावर सी और डीएक्स / दी जो है डीएक्स / दी की वैल्यू अपन ये रख देंगे तो पुरी जो डिफरेंशियल इक्वेशन है वो ए एंड टीवी / डायनेमो है ना ए एंड डी / दी के टर्म से पुरी डिफरेंशियल इक्वेशन बन जाएगी बहुत ही इजीली आप इसको फिर वेरिएबल सेपरेबल फॉर्म में ले जाकर सॉल्व लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन का फॉर्मेट किस प्रकार से होता है की देखो दो प्रकार की लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन आती है एक तो लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन इन टर्म्स ऑफ एक्स दूसरी इन टर्म्स ऑफ ए तो ए के टर्म्स में जो लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन आएगी वो कुछ इस प्रकार के फॉर्मेट में आएगी की दी / डीएक्स = राइट हैंड साइड में कुछ-कुछ होता है है ना एक्स के टर्म्स में कोई भी एक्सप्रेशन हो सकता है ठीक है जैसे यहां पर एक्स कब हो यहां पर एक्स की कोई चीज हो यहां पर कांस्टेंट या एक्स के टर्म्स में कुछ भी हो वो चलेगा तो दिस इस लीनियर इन टर्म्स ऑफ वही ठीक है डिफरेंशियल इक्वेशन बनती है एक्स के टर्म्स में जिसके अंदर डीएक्स / दी होगा प्लस एक्स वाली टर्म होगी यहां पे कुछ मल्टीप्लिकेशन में कुछ-कुछ मसाला हो सकता है और ये जो मसाला होगा वो ए के टर्म्स में होने वाला है या कांस्टेंट होने वाला है ठीक है सो दिस इस डी लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन इन टर्म्स ऑफ एक्स एंड डीएक्स / दी तो दो प्रकार के लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन हमारे सामने आती है दोनों को सॉल्व करने का तरीका है ना की अगर लीनियर है हमारे पास में ए एंड दी / डीएक्स के टर्म्स में तो वो कुछ इस प्रकार से लीनियर होगी एक ही दी / डीएक्स होगा और ए होगा देखो इन दोनों के टर्म्स में लीनियर हो गए तो इसको सबसे पहले इस फॉर्मेट में रिप्रेजेंट करो की दी / डीएक्स का कॉएफिशिएंट वैन बना दो दी / डीएक्स का कॉएफिशिएंट वैन बना दो और कुछ इस फॉर्मेट में रिप्रेजेंटेड होगी दी / डीएक्स + ए * सैम एक्सप्रेशन पी ये जो एक्सप्रेशन पी है वेयर पी एंड के आर फंक्शंस ऑफ एक्स के टर्म्स में हो सकता है या कांस्टेंट हो सकता है जो भी है तो पी एंड के आर फंक्शन ऑफ एक्स है ना इस फॉर्मेट के अंदर पहले अपन रिप्रेजेंट कर देंगे ठीक है तो पहले तो इस फॉर्मेट में रिप्रेजेंटेड हूं उसके बाद में इसको सॉल्व करने के लिए अपन लोग दोनों साइड इंटीग्रेटिंग फैक्टर से मल्टीप्लाई करते हैं इंटीग्रेटिंग फैक्टर यहां पे ये रहता है की ए की पावर इंटीग्रेशन पीडीएफ है ना एक्स का इंटीग्रेशन करेंगे तो हमारे सामने इंटीग्रेटिंग फैक्टर आता है दोनों साइड अपन इंटीग्रेटिंग फैक्टर से मल्टीप्लाई करेंगे इंटीग्रेटिंग फैक्टर निकलेंगे दोनों साइड अपन इंटीग्रेटिंग फैक्टर से मल्टीप्लाई करेंगे तो हमारे सामने इसका जो सॉल्यूशन आएगा वो इस प्रकार से आएगा लेफ्ट हैंड साइड ए * इंटीग्रेटिंग फैक्टर राइट हैंड साइड ये जो के है इसको इंटीग्रेटिंग फैक्टर से मल्टीप्लाई किया और इसका इंटीग्रेशन कर दिया कांस्टेंट ठीक है यह इधर से इधर तक प्रक्रिया पहुंचे कैसे एक एग्जांपल के थ्रू बता भी दूंगा या फिर एक्स और डीएक्स / दी के टर्म्स में लड़े हो लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन हो तो यहां पे भी अपने को यही करना है इंटीग्रेटिंग फैक्टर से दोनों साइड मल्टीप्लाई करना है इंटीग्रेटिंग फैक्टर यहां पे जो पी है डेट इस एन एक्सप्रेशन इन टर्म्स ऑफ ए तो ए राइस तू डी पावर इंटीग्रेशन पी डी ए डेट इसे डी इंटीग्रेटिंग फैक्टर इस से दोनों साइड मल्टीप्लाई कर देंगे लेफ्ट हैंड साइड में लिखेंगे अपुन एक्स * इंटीग्रेटिंग फैक्टर राइट हैंड साइड में लिखेंगे अपुन के है ना के ऑलरेडी था राइट हैंड साइड में उसको इंटीग्रेटिंग फैक्टर से मल्टीप्लाई किया प्लस सैम कांस्टेंट आने वाला है तो इस तरीके से अपन लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशंस को सॉल्व कर रहे होते जैसे की हमारे सामने लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन देके तो दी / डीएक्स + पी * ए ये पी दिखाई दे रहा है ये कुछ हो गया हमारे पास राइट हैंड साइड में कुछ एक्सप्रेशन तो दिस इसे डी लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन इन टर्म्स ऑफ वही इंटीग्रेटिंग फैक्टर यहां पे हमारे सामने हो जाएगा पहले इंटीग्रेटिंग फैक्टर निकल के रख लो डी पावर इंटीग्रेशन पीडीएस डेट इंडिकेटिंग फैक्टर क्या है यहां पर 2X / वनप्लस एक्स स्क्वायर डर लिखा है तो डीटी / टी फॉर्मेट लिखा है विच इस एलेन ऑफ टी विच इस एलेन ऑफ टी जिसमें से मैंने 1 + x² को लिया था 1+x² को टी लेंगे तो न्यूमैरेटर में डीटी लिखा है तो डी पावर एन ऑफ 1 + x² यहां पे ये दोनों प्लेसिस इंटरचेंज करके इसको अपन वनप्लस एक्स स्क्वायर भी लिख सकते हैं तो ये हमारे पास इंटीग्रेटिंग फैक्टर ए गया 1 + एक्स तो इस इंटीग्रेटिंग फैक्टर से दोनों साइड मल्टीप्लाई करें देखो या तो फाइनली लिख डन डायरेक्टली डायरेक्टली यहां पे लिख दो की ए * इंटीग्रेटिंग फैक्टर पाई मल्टीप्लाई बाय इंटीग्रेटिंग फैक्टर डेट इसे डी लेफ्ट हैंड साइड ठीक है लेफ्ट हैंड साइड में क्या लिखेंगे ए * इंटीग्रेटिंग फैक्टर और राइट हैंड साइड में जो भी मसाला लिखा है 1 / 1 + x² का स्क्वायर ये राइट हैंड साइड में लिखा है इसको इंटीग्रेटिंग फैक्टर से मल्टीप्लाई करेंगे इंटीग्रेटिंग फैक्टर हो गया 1 + x² इससे मल्टीप्लाई किया और इसका इंटीग्रेशन तो और + कुछ कांस्टेंट आएगा इस इंट्री कॉल करना है ये हमने लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व कर डाला ठीक है लेफ्ट हैंड साइड में डायरेक्ट ए * इंटीग्रेटिंग फैक्टर लिख दिया अब यहां से यहां पर पहुंचने का प्रक्रिया क्या है देखो हो क्या रहा है की अपन दोनों साइड इंटीग्रेटिंग फैक्टर से मल्टीप्लाई कर रहा है तो लेफ्ट हैंड साइड में क्या बनेगा अगर वैन प्लस एक्स स्क्वायर से दोनों साइड मल्टीप्लाई किया तो लेफ्ट हैंड साइड में बनेगा 1+x² * / डीएक्स + ये वनप्लस एक्स स्क्वायर से मल्टीप्लाई होगा तो ये 2X बना देगा है ना 1 + x² कैंसिल आउट हो गया तो 2X * ए और राइट हैंड साइड में वैन अपॉन वनप्लस एक्स स्क्वायर का स्क्वायर से मल्टीप्लाई मैं प्रक्रिया बता रहा हूं यहां से यहां तक का गैप फिल कर रहा हूं कैसे इसके पीछे की अंडरस्टैंडिंग डिवेलप करवा रहा हूं बस और कुछ नहीं तो दोनों साइड अपन ने क्या किया है इंटीग्रेटिंग फैक्टर से मल्टीप्लाई किया है लेफ्ट हैंड साइड में 1 + x² दी / डीएक्स से मल्टीप्लाई होगा वनप्लस x² से मल्टीप्लाई हुआ तो यह बनेगा अब आप ऑब्जर्व करना की हम लेफ्ट हैंड साइड जो है डेट इसे डर ऑफ प्रोडक्ट रूल साइड में प्रोडक्ट रूल का एक्सपेंशन लिखा है ए * 1 + x² का डर बाय 1 + x² का लेफ्ट हैंड साइड ये अब आपको हान ये राइट हैंड साइड में जो लिखा है वो आज इट इस तो लेफ्ट हैंड साइड इस डी डर ऑफ ए * 1 + x² क्योंकि इसी का डर नहीं होगा ना पहले ए का डिफरेंशियेशन कर दिया दी / डीएक्स 1 + x² को आज इट इस रखा फिर देखो ए को आज इट इस रखा 1 + x² का डिफरेंशियेशन अपन 2X लिख देंगे है ना तो दिस इसे इट एक्सपेंशन इसी कोई अपन ने डायरेक्टली लिख दिया था ए * 18 ठीक है फिर डीएक्स को अपन उसे साइड मल्टीप्लाई करते हैं इसको इंटीग्रेट करते यही तो कम और दी ऑफ ए * 1 + x² को अपन ए * 1 + x² लिख देंगे तो ये स्टेप करना चाहो तो कर लो नहीं तो आप डायरेक्टली यहां से यहां पहुंच जाओ की इंटीग्रेटिंग फैक्टर आपने निकाला फिर लेफ्ट हैंड साइड में ए * इंटीग्रेटिंग फैक्टर राइट हैंड साइड में भी उसी इंटीग्रेटिंग फैक्टर को मल्टीप्लाई करके इंटीग्रेट कर दो ठीक है तो इस तरीके से अपन लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन सॉल्व करते हैं इसी प्रकार से ये वाली भी आप बहुत इजीली कर लोग ठीक है गिविंग दिस तू आगे अन होमवर्क नौ इक्वेशन तू लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन हमारे सामने इस टाइप से गिवन है दोनों साइड डिफरेंटशिएट किया फिर डीटी / डीएक्स लिख देंगे तो ये जो चीज है + पी टाइम्स फी को ही अपन ने टी लिया था = के तो नौ दिस इस ए एल दी ए इन टर्म्स ऑफ टी लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन लड़े ये डिफरेंशियल इक्वेशन इन टर्म्स ऑफ टी हमारे सामने अपनी ठीक है तो अब इसको दोनों साइड इंटीग्रेटिंग फैक्टर से मल्टीप्लाई करेंगे डायरेक्टली अपन लिख देते हैं की भैया लेफ्ट हैंड साइड में बनेगा टी * इंटीग्रेटिंग फैक्टर राइट हैंड साइड में अपने पास बनेगा के * इंटीग्रेटिंग फैक्टर का इंटीग्रेशन ठीक है डिफरेंशियल इक्वेशन है ना तो यहां पर देखो टर्न ऑफ फाइल लिखा है ठीक है ये बन जाएगा डीटी / डीएक्स अब अपने सामने एलईडी बन चुकी है डीटी / डीएक्स 2X टाइम्स टी बराबर इन इंटीग्रेटिंग फैक्टर का इंटीग्रेशन फैक्टर और इंटीग्रेटिंग फैक्टर है क्या यहां पे इंटीग्रेटिंग फैक्टर ए रहा है ए की पावर में इंटीग्रेशन पीडीएस है ना तो पी है तू एक्स तू एक्स डीएक्स का इंटीग्रेशन ठीक है अब इसका इंटीग्रेशन ऑफ इजीली लिख सकते इसका इंटीग्रेशन लिखते हमारे सामने जो लीनियर डिफरेंशियल की वैल्यू जरूर रख देना है डिफरेंशियल इक्वेशन है इसी के अंदर एक स्पेशल केस आता है ठीक है ये कुछ इस प्रकार से लिखी होती है दी / डीएक्स + पी ऑफ ए = राइट हैंड साइड में ए की पावर एन लिखा है तो अभी ये लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन है नहीं क्योंकि ए की पावर में एन है बट इसको कन्वर्ट कर सकते हैं लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन के टर्म्स में कैसे की ए की पावर एन से डिवाइड कर दो लेफ्ट हैंड साइड में लेफ्ट हैंड साइड में ए की पावर एन से डिवाइड कर दो तो इधर ये बनेगा वैन अपॉन ए की पावर एन या फिर ए की पावर -एन * दी / डीएक्स 10 पी टाइम किया जाए तो 1 - तन -1 ठीक है विथ रिस्पेक्ट तू एक्स है ना करेंगे तो यहां पे आएगा डीटी / डीएक्स वैन माइंस एन मल्टीप्लिकेशन में आएगा ठीक है दोनों साइड डिफरेंटशिएट करेंगे लेफ्ट हैंड साइड में डीटी / डीएक्स यहां पे ये 1 - एन मल्टीप्लिकेशन में आया पावर में से एक सब्सट्रैक्ट हुआ ठीक है इन दी / डीएक्स ऐसा बन रहा है तो इसकी वैल्यू अपन रख देंगे ए की पावर -एन * दी / डीएक्स की वैल्यू यहां पे रख देंगे तो इसकी वैल्यू क्या ए रही है डीटी / डीएक्स / 1 - एन तो इक्वेशन बन गई 1 / 1 - एन * डीटी / डीएक्स 10 पी * टी = के तो नौ दिस इसे डी लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन इन टर्म्स ऑफ टी ठीक है एक एग्जांपल में इसके ऊपर आपको बता देता हूं कंपनी टाइप के क्वेश्चंस को हैंडल कर सकते हैं ओके लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन इन टर्म्स ऑफ टी ए गई तो दिस इसे डी स्पेशल केस और नॉलेज क्वेश्चन बहुत इजी रहती है ओके नौ फाइनली एप्लीकेशन ऑफ डिफरेंशियल इक्वेशन फाइंडिंग डी इक्वेशंस कंडीशन होती है वहां से इक्वेशन ऑफ कर निकल सकते एप्लीकेशन रहती है प्रॉब्लम्स यहां पर डिफरेंशियल इक्वेशन बहुत कम की होती है आपने काइनेटिक्स के अंदर देखा भी होगा है ना निकल केमिस्ट्री में इस टॉपिक सेकंड वाला जो टॉपिक है फिजिकल केमिस्ट्री में आपने इसकी एप्लीकेशन देखी भी हो फाइंडिंग डी ऑर्थोंगोनल ट्रांजैक्ट्री ऑफ फैमिली ऑफ गर्ल्स इसके बारे में भी हम लोग बात करने वाले हैं ठीक है तो देख सकते हैं भैया इस टाइप का क्वेश्चन है ना ये वाला क्वेश्चन मैं आपको होमवर्क के लिए दे रहा हूं लेंथ ऑफ डी नॉर्मल है ना लेंथ ऑफ डी नॉर्मल कंडीशन है वो सेटिस्फाई करके यह क्वेश्चन मैं आपको यहां पर करवाना चाहता हूं सपोज डी ग्रोथ ऑफ पापुलेशन इस प्रोपोर्शनल तू डी नंबर ऑफ इंडिविजुअल्स प्रेजेंट मतलब जो डीपी / डीएक्स डीपी / डीटी है पापुलेशन तो ग्रोथ ऑफ पापुलेशन चेंज ऑफ पापुलेशन विथ रिस्पेक्ट तू टाइम इस प्रोपोर्शनल तू डी पापुलेशन इट सेल्फ है ना डीपी/डीटी इस प्रोपोर्शनल तू पी ओनली ये बात बोल रखा है यहां पे मैं डीपी / डीटी को ओके टाइम स्पीड लिख सकता हूं तो हमारे सामने एक डिफरेंशियल इक्वेशन साइड में राइट हैंड साइड में के टाइम डीटी दोनों साइड इंटीग्रेट कर दिया बचा पार्टी इंटीग्रेशन करेंगे तो ये एल एन ऑफ पी बन जाएगा राइट हैंड साइड में 80 + सी बन जाएगा है ना 80 + सी तो इधर से पी की वैल्यू ए रही है टी = ए की पावर में ए की पावर में केटी + सी इसको मैं ऐसा लिख सकता हूं प्लीज एकल तू ए की पावर सी * ए की पावर 80 प्लस सी को ही आप कोई आर्बिट्रेरी कांस्टेंट लामबीडीए ले लो भाई ठीक है तो ये इक्वेशन ऐसी थी ये पी = लामबीडीए टाइम सी पावर के तो ये हमारे सामने इक्वेशन ए चुकी है पापुलेशन और टाइम के बीच में रिश्ता ए चुका है तो जब भी ऐसा बोला जाए ना की पापुलेशन इस प्रोपोर्शनल डी रेट ऑफ चेंज ऑफ पापुलेशन इस प्रोपोर्शनल तू डी पापुलेशन इट सेल्फ तो हमारा जो पापुलेशन होगा वो एक एक्स्पोनेंशियल फंक्शन डेट ऑफ चेंज ऑफ पापुलेशन जो है वो एक्सप्लोर नहीं बढ़ रही है तो देखो क्या दे रखा है की टी = 0 पे पापुलेशन ऑफ कॉलोनी डबल्स इन 50 मंथ 50 महीने में पापुलेशन डबल हो चुकी है तो अगर टी = 0 पर पापुलेशन लेस से पी नोट है तो टी इस इक्वल तू 50 पापुलेशन जो है वो तू पिनो हो चुकी है कहने का मतलब ये हुआ है इट इसे इक्वल तू जीरो पे पापुलेशन पे नॉट है तो टी = 50 पे पापुलेशन की मदद से है ना पहले टी की वैल्यू जीरो रखो पी की वैल्यू तीन और टी की वैल्यू जीरो हमारे सामने इक्वेशन क्या बन गई p0 = लामबीडीए टाइम्स ए की पावर जीरो पी की जगह पे नॉट रख दिया है ना टी की जगह पर 50 रखोगे तो पापुलेशन दिनो रख दें या तो पापुलेशन अपुन ने रख दी नोट इस इक्वल तू पी नोट टाइम्स ए की पावर के टाइम्स ठीक है टी = 50 पर पापुलेशन तू कैंसिल आउट हो गया आंसर तू बराबर 50 के ए की वैल्यू मिल गई यहां से 1 / 50 टाइम्स साइलेंट तू ठीक है इधर से अपने पास के की वैल्यू तो इक्वेशन हमारे सामने है पी = p0 * ए की पावर मुझे ये देखना है की पापुलेशन ट्रिपल कब होगी तो पी की जगह पे 3p नॉट रख दो है ना पापुलेशन ट्रिपल करनी है तो पी की जगह पर 3p नॉट रखेंगे तो ये बनेगा थ्री पी नॉट = p0 टाइम सी की पावर केटी ऐसा तो बन रहा है ठीक है पी नोट से पी नोट कट गया तो यहां से केटी की वैल्यू ए रही है ln3 के इक्वल ए की वैल्यू हमारे पास ऑलरेडी है 1 / 50 टाइम्स 72 के की वैल्यू यहां पे रख देंगे अपन है ना तो टी की वैल्यू ए रही है एल एन थ्री अपॉन के है ना ये हमारे पास टी की वैल्यू ए रही है तू ln3 / के की वैल्यू यहां पर रख दो 1 / 50 टाइम्स साइलेंट तू टाइम मिल गया टाइम निकलना था की पापुलेशन ट्रिपल कब हो जाएगी तो दिस इसे हो सी डू डीज टाइप ऑफ क्वेश्चन ओके सिंपल है ओके औरतों के ट्रांजैक्ट्री ऑफ गिवन फैमिली ऑफ गर्ल्स एच मेंबर ऑफ विच कट एच मेंबर ऑफ डी गिवन फैमिली ऑफ कर्व्स ऑर्थोगोनली तो अगर हमें orthogonals फैमिली ऑफ कर्व निकलना हो जैसे हमारे पास एक फैमिली ऑफ कर्व की डिफरेंशियल इक्वेशन है ना डिफरेंशियल इक्वेशन ये हो गई एक्स ए एंड ए' के टर्म्स में एक हमारे सामने डिफरेंशियल इक्वेशन है जो की एक्स ए और ए दश के टर्म्स में है इसकी औरतों को नल फैमिली ऑफ कर्ज निकलना हो तो इट्स ऑर्थोंगोनल फैमिली ऑफ कब निकलने के लिए आप एक्स और ए में तो कोई चेंज ना करिए बस जो व्हाइट दश है वाइड को माइंस वैन बाय दश से रिप्लेस फैमिली ऑफ इंडिया है तो यहां पर माइंस वैन बाय दश होगी प्रोडक्ट ऑफ स्लोप इसे इक्वल तू माइंस वैन उसी आईडी से अपन ने की है जैसे की हमें इसकी orthoonal ट्रांजैक्ट्री निकालनी है दोनों साइड डिफरेंटशिएट किया तो 2yडैश इसे इक्वल तू 4 ए बन रहा है पहली बात तो ये डिफरेंशियल इक्वेशन तीन राखी पहली बात इसको डिफरेंशियल इक्वेशन बनाओ फिर बाद में इसकी ऑर्थो को उन है ना ट्रांजैक्ट्री अपन निकलेंगे तो डिफरेंशियल इक्वेशन बनाने के लिए एक बार डिफरेंटशिएट किया तो 2 / ए दश इस इक्वल तू फोर ए ए की वैल्यू आई जो यहां पे है ना जो पूरे की वैल्यू आई है वो अगर अपन यहां पे रख देते हैं तो अपने सामने बनेगा ए स्क्वायर बराबर ब्रा की वैल्यू है ए = 2 एक्स की जो औरतों को फैमिली ऑफ क्या करेंगे तो ये बनेगा ए = 2X * -1 / ए दश मतलब जहां पे दी/डी है ठीक है ये बन रहा है देखो ए ए दश है ना ए * ए / डीएक्स ए इधर मल्टीप्लाई किया इस इक्वल तू माइंस 2X तो ए डी ए इस इक्वल तो - 2X डीएक्स दोनों साइड अपन इंटीग्रेशन कर देंगे बचा पार्टी कैंसिल आउट हो गया माइंस का स्क्वायर माइंस साइन बचाइए यहां पे तो ये हमारे पास इसकी orthoonal ट्रांजैक्ट्री है तो इसी के साथ हमने डिफरेंशियल इक्वेशन पूरा स्टार्ट से लिख एंड डी कंप्लीट करता है सारे इंपॉर्टेंट टॉपिक्स हमने टच किए ठीक है सबसे पहले हमने वेरिएबल फॉर्म देखी रिड्यूस तू वेरिएबल सेपरेबल देखिए जिसके अंदर भी हमने तीन अलग-अलग तरीके देखे तो ए जाता है की एक्स + बी / सी फॉर्मेट में हो तो वहां पर टी ले लेते हैं अपन ठीक है तो वेरिएबल फॉर्म में बन जाती है है ना दूसरा अपने पास उसके अंदर आता है की पोलर कोऑर्डिनेट्स करके दो इंपॉर्टेंट रिजल्ट ए जाते हैं वहां से की अगर कोस थीटा प्लस साइन थीटा और वहीं पर अगर अपन एक्स को 8 तन थीटा लेते हैं तो वहां पर भी दो इंपॉर्टेंट रिजल्ट अपन ने देखे द ठीक है यह एसडीएक्स - ए डी ए बराबर आर दी आर और दूसरा रिजल्ट आता था एसडी - टीडीएक्स = r² एसईसी थीटा या तो एक्स / ए के फॉर्मेट में बनाओ की एक्स / ए एंड डीएक्स / दी के फॉर्मेट में पुरी डिफरेंशियल आपके सामने हो तो एक्स / ए को अपन वी ले लेंगे या फिर ए एक्स एंड दी / डीएक्स के टर्म्स में हमारे सामने पुरीफिकेशन हो तो ए / एक्स को अपन वी ले लेते हैं इस फॉर्मेट को अपन ने देख फिर लास्ट में लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन ए गई बहुत इजी है ना तो डिफरेंशियल इक्वेशन बहुत ही इजी चैप्टर है छोटा सा चैप्टर है तो अच्छे से करके जाइए कुछ और सवाल प्रैक्टिस कर लीजिए प्रैक्टिस कर लीजिए कॉन्सेप्ट टॉपिक्स हमने सारा कवर कर लिया है जितने मिनिमम टाइम में कर सकते द