अस्सलाम वालेकुम वेलकम तू मी चैनल कैसे हैं आप लोग आज की वीडियो में हम बिस्कुट मैथमेटिक्स का टॉपिक मैथमेटिक्स इंडक्शन को हम डिविजिबिलिटी के लिए पढ़ेंगे की कैसे उसे कर सकते हैं ठीक है डिविजिबिलिटी और इनिक्वालिटी से रिलेटेड जो प्रॉब्लम्स होते हैं उनको प्रूफ करने के लिए हम कैसे मैथमेटिकल इंडक्शन का उसे करते हैं पिछले लेक्चर में हमने मैथमेटिकल इंडक्शन के दो स्टेप्स पड़े थे एक हमने बेसिक स्टेप्स पढ़ा था और दूसरा हमने इंडक्टिव स्टेप पढ़ा था ठीक है उन्हें दोनों को कंटिन्यू करेंगे हम यहां पे लेकिन प्रॉब्लम जो है वो थोड़े से डिफरेंट होंगे पीछे की क्वालिटी थी यहां पे इनिक्वालिटीज होगी और कुछ डिविजिबिलिटी की प्रॉब्लम होगी ठीक है तो सबसे पहले हम देखते हैं डिविजिबिलिटी क्या होती है उसके बाद हम इससे रिलेटेड कुछ एग्जांपल्स करेंगे ठीक है यहां पर जो डेफिनेशन के लिए इंपॉर्टेंट है से इसी तरह से स्टेटमेंट ए जाति होती है दी और दी डिवाइड एन रिटर्न डी डिवाइस के पर सम इंतजार के अच्छा इसको मैं एग्जांपल के साथ आपको समझती हूं पर एग्जांपल मेरे पास एक नंबर है लेट से 12 ठीक है और मैं कहती हूं की 12 जो है वो थ्री के टेबल में आता है ना ये तो आप सबको पता है की थ्री जो है वो 12 को डिवाइड करता है ठीक है तो मैं लिखूंगी इसको ये मैं लगाऊंगी इस तरह से एक लाइन इस लाइन का मतलब है डिवाइड 3 डिवाइड 12 या 12 इसे डिविजिबल बाय 3 ठीक है जो पहले नंबर होते हैं ना वो डिवाइड करता है और जो बाद वाला नंबर है ना स्लैश के बाद वाला ठीक है आईटी इस डिविजिबल बाय डी फर्स्ट नंबर ठीक है तो यहां पे जो हमारे पास लिखा हुआ है ना दी स्लैश और इसका मतलब है डिवाइड्स एन या एन इस डिविजिबल में दी तो अब देखिए यहां पे एन की वैल्यू 12 है और दी की वैल्यू क्या है थ्री है ठीक है अब इसको डिवाइड करके आंसर क्या आता है आपके ख्याल में थ्री को अगर सॉरी 12थ को अगर मैं थ्री पे डिवाइड करूं तो फोर आएगा ना ऑब्वियसली 3 * 4 = 12 होता है तो वो जो फोर हमारा आंसर ए रहा है ना यहां पे हम लिख लेते हैं एन हमारा 12 है जो है वो क्या है थ्री है और डिवाइड करके जो आंसर आता है ना उसको हम के का रहे हैं क्योंकि इन दोनों को डिवाइड करके फोर आता है तो मैंने के की वैल्यू यहां पे फोर लिख दिया ठीक है तो अब एक और रिलेशन हमारे पास यहां पे लिखा हुआ है एन = d.a ठीक है और इसे इक्वल तू दी डॉट के यानी आप बी और के को मल्टीप्लाई करो तो दोबारा से एन ही ए जाता है आपके पास ये देखें डी और के की वैल्यू क्या है थ्री और फोर है ना तो 3 4 12 होता है 12 ही आपके पास आंसर ए जाएगा ठीक है तो हो अब आपको ये रिलेशन समझ ए गया होगा डिवाइड्स और एन इस डिविजिबल बाय दी तो यही बात यहां पे लिखी हुई है एन इस डिविजिबल बाय दी और दी डिवाइस एन और उसको हम लिखने हैं इस तरह से और उसका नया रिलेशन इस तरह से भी बनाया जा सकता है एन = क्या है वो आंसर है जो डिवाइड करने के बाद आता है ठीक है इसी तरह से तीन पॉइंट से उसे के लिए याद रखना हैं और इस एन मल्टीपल ऑफ दी और कौन सा नंबर है जो डिवाइड हो रहा है ठीक है यानी जो 12 है आईटी इसे ए मल्टीपल ऑफ थ्री यानी ये थ्री के टेबल में आता है ठीक है तो ये बात तो समझ में ए गई दी इस एन डिवाइजर ऑफ एन यानी जो थ्री है ये 12 का डिवाइस है डिवाइजर का मतलब ये उसको डिवाइड करता है या ये उसका फैक्टर है ठीक है जो नंबर भी 12 को डिवाइड करेगा वो उसका फैक्टर होगा ऑब्वियसली जैसे तू भी इसका फैक्टर है थ्री भी फैक्टर है ये 4k टेबल में आता है ये सिक्स के टेबल में आता है तो ये सारे इसके फैक्टर्स हैं ठीक है तो एन इस मल्टीपल ऑफ दी के एन जो है वो दी के टेबल में आता है और दी जो है वो एन का डिवाइस और भी कहलायेगा और उसका फैक्टर भी कहलायेगा ठीक है ये तीन प्वाइंट्स हो गए आपके उसके बाद हम इसकी जो है वो एग्जांपल कर लेते हैं अच्छा एग्जांपल की स्टेटमेंट क्या कहती है की प्रूफ बाय मैथमेटिकल इंडक्शन यानी मैथमेटिशियन उसे करते हुए आपने ये प्रूफ करना है की ये जो है ना आपके पास एक एक्सप्रेशन n³ - एन आईटी इस डिविजिबल बाय पॉजिटिव इंटिग पॉजिटिव इंतजार यानी ये जीरो से बड़ा होगा ना तो हम एन की वैल्यू लेट से यहां पे वन ले लेने तू ले लेने थ्री ले लेने कोई भी ले सकते हैं ठीक है बस वो पॉजिटिव हनी चाहिए नेगेटिव ना हो अच्छा उसके बाद हम यहां पे अब क्या करेंगे सबसे पहले क्योंकि हमने मैथमेटिक्स इन इलेक्शन उसे करना है तो सबसे पहले तो हमें बेसिस स्टेप करना पड़ेगा ठीक है तो हम हेडिंग देंगे बेसिस स्टेप की और बेसिस स्टेप अगर आपको याद हो जब हमारे पास दो सीड्स होती है ना लेफ्ट हैंड साइड और राइट हैंड साइड तो हम लेफ्ट का आंसर इलेक्शन निकलते हैं राइट का इलेक्शन निकलते हैं लेकिन यहां पे हमारे पास ऐसा नहीं है लेफ्ट हैंड साइड और राइट हैंड साइड नहीं है जबकि सिर्फ एक ही एक्सप्रेशन दिया हुआ है ठीक है तो हम वो लेफ्ट राइट वाली चीज उसे नहीं करेंगे बल्कि इसी के अंदर एन की वैल्यू पट करके देखेंगे की क्या वो थ्री से डिविजिबल है या नहीं है ठीक है अगर तो है तो ये ट्रू हो जाएगा बेसिस टाइप अदर वाइस पे हम उसको कहेंगे ये ट्रू नहीं है ठीक है तो मैं लिख रही हूं n³ - एन और इसमें एन की कोई भी पॉजिटिव इंतजार पट कर देंगे लेट से मैं उसको वन पट कर देती हूं तो वन के माइंस यहां भी एन की जगह वन ए जाएगा सिंपलीफाई करेंगे तो आंसर हमारे पास ए रहा है जब जीरो और जीरो इस क्लीयरली डिविजिबल बाय 30 तो हर नंबर से डिविजिबल होता है ठीक है यानी हम उसको लिख सकते हैं इस तरह से हमने ऊपर एक्सप्रेशन पढ़ना एन = जी डॉट के ठीक है तो एन हमारा क्या है जीरो इस इक्वल तू दी क्या है दी वो होता है जिससे डिविजिबल होता है ना तो थ्री से डिविजिबल है तो दी की जगह पे थ्री ए जाएगा ठीक है डॉट जीरो दोनों को मल्टीप्लाई करें तो आंसर जीरो ही आता है ना ठीक है ये दूसरी लफ्जों में आप ये भी का सकते हैं की जीरो इस डिविजिबल बाय 3 यानी उसको हम यूं भी लिख सकते हैं थ्री डिवाइड्स जीरो ठीक है ये दोनों तरीके ठीक है तो नीचे आपने लिखने हैं सो 0 = 3 डॉट 0 ठीक है ये हमारा बेसिक स्टेप हो गया अब तू से भी चेक कर सकते थे जैसे मैंने यहां पे वन पट किया है ना अब तू कर ले लेट से आप उसको करते हैं 8 में से तू माइंस करें तो 6 आएगा सिक्स इस अलसो डिविजिबल बाय 3 ठीक हूं हमारे पास के की वैल्यू फिर तू हनी चाहिए थी तभी हमारे पास एक आना था और फिर थ्री जो है ये डिवाइस सिक्स हमारा यहां पे सिक्स आंसर है ठीक है तो आप कोई भी एन की वैल्यू पट कर सकते हैं मैंने वन की तू की इसी तरह से आप थ्री और फोर करके भी इसको चेक कर सकते हैं उसके बाद हम चलते हैं इंडक्टिव स्टेप के ऊपर इंडक्टिव स्टेप की पहले तो आपने हैडिंग दे देनी है ठीक है ये फर्स्ट एग्जांपल में मैं दे रही हूं आगे आप लोग खुद समझ जाएगा की आपने सब में देनी होती है ठीक है इंडक्टिव स्टेप की हेडिंग देने के बाद हमने सबसे पहले तो जैसे ऊपर पीएफ और था ना तो हमने पीएफ के लिखना आता है अगर आपने लेक्चर 23 नहीं सुना तो पहले वो समझ लेने फिर ये आपको ये अच्छे से समझ आएगा 24 वाला अच्छा पीएफ के अंदर क्या होगा जब के अंदर ये होगा की जहां जहां हमारे पास यहां पे एन है वहां अपने कैप पट कर देना है तो ये कुछ इस तरह का एक्सप्रेशन बन जाएगा के कब माइंस के ठीक है बाय थ्री अच्छा इसको अगर मैं मैथमेटिकल उसे फॉर्म में लिखना चाहूं तो मैं कैसे लिखूंगी दिस इस डिविजिबल डिविजिबल बाय थ्री ना तो यही हमारा जो एन = d.k वाला कॉन्सेप्ट है तो एन हमारे पास है केक - के = 3 के साथ यहां पर कोई नंबर के मल्टीप्लाई होगा तो ये एन ए जाएगा हमारे पास ठीक है अब वो क्या मल्टीप्लाई होगा हम लेट कर लेते हैं की वो के है ठीक है ये मैंने ये वाली फॉर्म बनाने की कोशिश की है एन = सॉरी और इसे इक्वल तू ठीक है और इसे इक्वल तू एन ये है इस इक्वल तू दी हमारा थ्री है और के आप यहां पे लिख लेने लेकिन के ऑलरेडी था तो मैंने यहां पे के लिख दिया क्योंकि आपकी बुक में भी के उसे हुआ है आप कोई भी यहां पे अल्फाबेट लिख सकते हैं बस के नो ठीक है क्योंकि ऑलरेडी है वो कंफ्यूज करेगा आपको तो ये हमारी बन गई इक्वेशन नंबर वन ठीक है अब इंडक्टिव स्टेप के अंदर दूसरी चीज हमने क्या करनी होती है के + 1 कर देना होता है ना तो यहां के + 1 का कब माइंस के + 1 ए जाएगा के प्लस वन का कब माइंस के जो है वह आपके पास इसको भी आपने प्रूफ करना है की 3 से डिविजिबल है ठीक है इसकी हमारे पास यहां पर राइट हैंड साइड हम नहीं लिखेंगे हमने बस प्रूफ करना है की आईटी इस जैसे हमने ऊपर लिखा था लेटेस्ट डिविजिबल बाय 3 तो इसको भी हमने लिखना है टेस्ट डिविजिबल बाय 3 तो हम इसको थोड़ा सा ओपन कर लेते हैं सिंपलीफाई कर लेते हैं अगर तो ये इस फॉर्म में ए जाता है ना तो फिर ये डिविजिबल होगा ठीक है कैसे यहां पर होल कब का फॉर्मूला खुलेगा a³ + 3 अब स्क्वायर केक प्लस 3 के स्क्वायर करेंगे तो यह हमारे पास ए जाएगा 2k ठीक है बल्कि सिंपलीफाई ना करें आप इसको ऐसे ही रहने दें क्यों रहने देना ये अभी मैं आपको समझती हूं क्योंकि हमने इंडक्टिव स्टेप का जो के प्लस वन वाला स्टेप होता है उसके अंदर के वाली ही वैल्यू उसे करनी होती है ना तो हमें यहां पे वैल्यू दी हुई है केक - के की क्वेश्चन वन के अंदर तो ये केक ऊपर माइंस के हम जो है ना ये कर लेते हैं इकट्ठा ठीक है इससे क्या फायदा होगा की हमें जो है वो इनको हमने जो प्लस नहीं किया ना प्लस माइंस उससे ये फायदा होगा की हमें इसकी वैल्यू मिल जाएगी तो हम केक - के लिख लेंगे और ये जो थ्री वाली दोनों वालुज हैं इनको हम और पे ले जाते हैं ठीक है अब इसकी वैल्यू है ना आपके पास के कब माइंस के की ये इस इक्वल तू है इसकी जगह आप थ्री कब फुट कर दें प्लस थ्री के स्क्वायर प्लस 3 आम ए रहा है सब में से तो थ्री आप आम ले लेने अंदर ए जाएगा के प्लस के स्क्वायर ठीक है एन इसे इक्वल तू यहां पर कुछ मल्टीप्लाई करने से ये चीज ए रही है तो यही शो करता है की आईटी इस डिविजिबल बाय थ्री तो यहां पे आपका प्रूफ हो गया ठीक है ये वाली फॉर्म हमारी बन गई एन = डीटी और इसे इक्वल तू दी और ये के ये पूरा किया की जगह पे ए गया है ठीक है अच्छा इसी तरह की हम सीधे एग्जांपल कर लेते हैं अच्छा नेक्स्ट एग्जांपल के भी से स्टेटमेंट है उसे मैथमेटिक्स इंडक्शन तू प्रूफ डेट दिस इस डिविजिबल बाय 3 और इस ग्रेटर दें इक्वल तू वन तो हमने सबसे पहले तो इसका बेसिक स्टेप करना है बेसिस स्टेप के अंदर वही चीज के हमारे पास लेफ्ट राइट साइड तो है नहीं तो हम इसी के अंदर बस एन की वैल्यू पट करेंगे और चेक करेंगे इधर आईटी इस डिविजिबल बाय 3 और नोट ठीक है तो तू पावर तू एन की जगह पे वन पट करना है तो वो 2 * 1 = 2 हो जाएगा माइंस वन तू पार्ट तू अब क्या होता है फोर होता है 4 - 1 करें तो थ्री थ्री इस क्लीयरली डिविजिबल बाय 3 ठीक है तो हम कहेंगे थ्री डिवाइड थ्री सो दिस स्टेप के ऊपर उसमें हमने क्या करना है की इस एन की जगह पहले के पट कर देना है तू पार्ट तू के ठीक है और माइंस वन अब आईटी इस डिविजिबल बाय 3 ना तो हम इसको इस इक्वल तू थ्री क्यों लिखेंगे जो ये आंसर देगा आपको ठीक है इसको आपने नाम दे देना है क्वेश्चन नंबर वन का इसी तरह से अब आपने k+1 कर देना तू के साथ अंदर जो एन था उसकी जगह पे आपने cap+1 कर दिया ये माइंस वन एक आईटी इस अब ये भी प्रूफ करना है की डिविजिबल बाय थ्री है या नहीं है तो पहले तो तू को अंदर मल्टीप्लाई कर देना तू के प्लस तू और माइंस वन ए जाएगा ठीक है अब देखिए अगर हमारे पास बेसिस से हो और मल्टीप्लाई हो रही हूं तो हम उनकी पावर्स को एड कर देते हैं लेकिन अगर पावर्स एड हो रही हूं तो हम उसको इस तरह से रिवर्स भी ला सकते हैं की हम बेस को दो दफा लिखे हैं और जो दो पावर्स एड हो रही हैं उनको अलग-अलग कर लेने तो से कम हमने यहां पे भी करना है की जो तू एक दफा लिखा हुआ है इसको हम दो दफा लिखेंगे और जो दो पावर्स प्लस हो रही थी ना उनको हम अलग-अलग कर ले तू की अलग कर लेने तू अलग कर लेने और ये माइंस वन जो है हमारा साइड पे ए जाएगा अब तू पार्ट तू के और ये है हमारे पास तू का स्क्वायर तू का स्क्वायर क्या होता है फोर होता है और माइंस वन डॉट का मतलब यह मल्टीप्लाई यहां पे जो है वो तू पार्ट तू के साथ -1 ए रहा है तो यहां पे यानी अंदर तू पार्ट तू के साथ हमें वन की फॉर्म में कोई एक्सप्रेशन बनाना है तो फोर को हम 3 + 1 लिख सकते हैं दूसरा थ्री बनाने का मकसद ये है क्योंकि डिविजिबल बाय 3 प्रूफ करना है ना हमने इसको तो यहां पे थ्री भी हमारे पास ए जाएगा जिससे हमारा कम इजी हो जाएगा तो सिंपली फोर को आपने 3 + 1 कर लेना है ठीक है अब तू पार्ट तू के को अंदर दोनों के साथ मल्टीप्लाय कर दो तू पार्ट तू के को थ्री के साथ भी मल्टीप्लाई कर दें और तू पार्ट तू के को हमने वन के साथ भी मल्टीप्लाई कर दिया ठीक है और ये जो माइंस वन है ये साइड पे वैसे ही ए जाएगा अब आप देखिए की तू पार्ट तू के डॉट थ्री आगे आईटी इसे और तू पर तू के माइंस वन जो है इसकी तो वैल्यू है ना आपके पास ऊपर इक्वेशन नंबर वन में थ्री के तो इन दोनों की जगह पे आपने क्या लिख देना है थ्री के अब देखिए इन दोनों एक्सप्रेशंस के अंदर थ्री आम ए रहा है थ्री आप आम निकाल लेने अंदर क्या बचेगा तू पार्ट तू के प्लस के तो इधर हमारे पास एक्सप्रेशन क्या था वो भी हम लिख लेते हैं 2 * 2 के प्लस वन माइंस ठीक है तो यह भी आपका प्रूफ हो गया नेक्स्ट हमारे पास जो एग्जांपल है उसकी स्टेटमेंट ऑफ अन्य तू कंसेक्युटिव पॉजिटिव इंटिगर्स इसे डिविजिबल बाय तू यानी कोई भी दो कंजेक्टिव आपने पॉजिटिव इंटिगर्स ले लेने हैं ठीक है कंसेक्युटिव का मतलब क्या होगा जैसे थ्री और फोर है ना ये कॉन्सेप्ट है दोनों बिल्कुल एक दूसरे के साथ-साथ आते हैं ठीक है इसी तरह से अगर मैं वन और थ्री लिखूं तो ये कौनसे एक्टिव इंटीजर्स नहीं होंगे कॉन्सेप्ट्स का मतलब है वन और तू ये तू और थ्री ये थ्री और फोर यानी जो बिल्कुल साथ-साथ आते हैं तो अब आपको पता ही है की जब हम एक नंबर हमारे पास होता है तो हम उसमें वनप्लस करते हैं तो उसे अगला नंबर आता है ना यानी अगर वन है तो वन में वन प्लस करने से तू आएगा और तू में वन प्लस करने से थ्री आएगा यानी अगर हम लेट करते हैं एक नंबर हमारे पास एन है तो उससे अगला नंबर क्या होगा एन + 1 होगा यानी इस में हम वन एड करेंगे तो हमारे पास नेक्स्ट हमारी वैल्यू ए जाति है और हमने इन दो कॉन्सेप्ट नंबर्स का क्या लेना है प्रोडक्ट लेना है यानी इन दोनों को हमने मल्टीप्लाई करना है आईटी शुड बी डिविजिबल बाय तू तो ये हमारे पास ये तो ए गया एक्सप्रेशन तो ए गया ठीक है अब हम बेसिस स्टेप के अंदर चलते हैं उसमें हमने इस एन की जगह पे कोई भी पॉजिटिव इंटिगर्स क्योंकि इसमें हमें ना उन्होंने एन की वैल्यू नहीं दी ठीक है तो हम कोई भी वैल्यू यहां पे जैसे लेकिन पॉजिटिव इंतजार की कोई भी वैल्यू पट कर लेते हैं जैसे वन पट कर लेते हैं तू कर लेते हैं वो आपकी मर्जी है ठीक है मैं कर लेती हूं यहां पर वन इन वन प्लस वन करेंगे आपकी ठीक है नेक्स्ट स्टेप में क्या होगा की आपने इसकी जगह के कर देने हैं किंतु के प्लस वन और आईटी शुड बी डिविजिबल बाय तू तो हम इसको तू क्यों लिख लेंगे ना और इसे इक्वल तू 2k ठीक है यानी तू के साथ कोई नंबर ऐसा मल्टीप्लाई होगा तो ये चीज ए जाएगी हमारे पास इसी तरह से अब हमने इस पेन की जगह के + 1 कर देना है तो के + 1 * इस एन की जगह भी के + 1 ए जाएगा और ये वाला प्लस वन जो है वो आगे आईटी इसे अब इसको हमने सिंपलीफाई करना है अगर इसमें भी हमारे पास तू के साथ कोई मल्टीप्लाई हुआ नंबर और पे तो ये भी डिविजिबल बाय तू होगा ठीक है तो इसको पहले तो हम खोल लेते हैं की ये प्लस वन इन ये प्लस वन प्लस वन क्या हो जाएगा के + 2 हो जाएगा ठीक है अब इन दोनों ब्रैकेट को देखें तो ये आपस में मल्टीप्लाई हो रही है ठीक है यानी के प्लस वन के साथ भी मल्टीप्लाई होगा और जो वन है वो तू के साथ भी मल्टीप्लाई होगा ठीक है क्या यह हमने के प्लस वन को कैसे भी मल्टीप्लाई करवा कर लिख दिया अब देखो हमारे पास के और के प्लस वन जब मल्टीप्लाई हो तो तू क्यों आता है ये हमारे पास इक्वेशन वन में मौजूद है तो इसकी जगह पर हम लिख देंगे तू के प्लस अब ये जो है इसको हम ओपन कर लेते हैं 2k + 2 * 1 = 2 अब देखिए तीनों में तू आम ए रहा है तू आम ले लेने अंदर क्या बचेगा के + के + 1 तो हमारे पास जो ये एक्सप्रेशन है जो लेफ्ट हैंड साइड थी उसकी राइट हैंड साइड पे तू के साथ हमारे पास एक नंबर मल्टीप्लाई हो रहा है इसका मतलब है आते इस डिविजिबल बाय तू ठीक है अच्छा नेक्स्ट एग्जांपल देखें n³ - एन इस डिविजिबल बाय सिक्स ये इस तरह से है जैसे पीछे आपने थ्री वाली की है तो ये आपको मैंने वैसे खुद ही करने के लिए देनी थी लेकिन और पे ना थोड़ा सा इसमें आपको जो है वो एक्स्ट्रा कम करने इसलिए मैं खुद करवा रही हूं तो स्टार्ट तो इसको हम वैसे करेंगे बेसिस टाइप इसके अंदर आप बन की वैल्यू देखिए ना तू से स्टार्ट हो रही है तो आप 2 पट करके चेक करेंगे तू क्यों माइंस तू इन दोनों और की जगह हमने तू पट कर दिया तो वो 8 - 2 बनेगा 6 और 6 इस डिविजिबल बाय सिक्स ठीक है तो ये ट्रू हो गया हमारा बेस स्टेप तो ट्रू हो गया इंडक्टिव स्टेप के अंदर हमने क्या करना है हमने इसकी जगह पहले तो के कर देना है केक यू - के और आईटी इस डिविजिबल बाय 6 तो यहां पे सिक्स के ए जाएगा इसको हम का देते हैं क्वेश्चन नंबर वन उसके बाद आपने इसकी जगह प्लस वन कर देना यानी के प्लस वन का कब माइंस यहां पे k+1 और इसको अब आपने प्रूफ करना है की ये भी सिक्स से डिवाइड होता है या नहीं होता ठीक है तो इस पे होल कब का फॉर्मूला पहले तो खोल दें पीछे भी मैंने ओपन करवाया था एक कब प्लस बी कब प्लस 3 स्क्वायर बी प्लस बी स्क्वायर और जब आप माइंस खोलेंगे तो अंदर जो साइंस है वो चेंज हो जाएंगे यानी इसका के का और वन का दोनों का नेगेटिव साइन हो जाएगा ठीक है अब आपके पास जो वैल्यू है वो देखेंगे केक - के किया है तो ये केक और के जो है ये हम कठे कर लेते हैं प्लस वन माइंस वन तो कैंसिल हो गया इन दोनों को कमेंट पर ले जाते हैं 3 के स्क्वायर प्लस 3 के को अब इन दोनों की जगह आपने क्या पट कर देना है सिक्स कब पट कर देना है प्लस 3 के स्क्वायर प्लस ठीक है अंदर क्या बचेगा के स्क्वायर प्लस के अब हमें तो प्रूफ करना है की आईटी इस डिविजिबल बाय सिक्स ना ये वाला जो एक्सप्रेशन है लेकिन इनमें से सिक्स आम ए नहीं रहा यानी हम सिक्स शुरू में लिख नहीं सकते थोड़ा सा हमें जो है वो एक्स्ट्रा कम करना है हम तो हम यहां पे क्या करते हैं देखें ये जो थ्री के साथ अंदर दो के ए रहे हैं इनमें से के भी तो आम ले सकते हैं ना हम अगर हम कब आम लेते हैं तो अंदर के + 1 ए जाएगा अब हमने पीछे पढ़ा है की ऊपर वाली ही एग्जांपल में हमने किया है की प्रोडक्ट अगर दो कंसेक्युटिव पॉजिटिव इंटिगर्स को तो वो तू से डिवाइड हो रहा होता है यानी ये दोनों कॉन्सेप्ट है ना के और के + 1 जैसे मैंने कहा था एन और एन + 1 होते हैं तो इन दोनों को मल्टीप्लाई करके जो भी आंसर आएगा वो तू से डिवाइड हो रहा होगा ठीक है तो यानी स्त्री के अंदर इसकी जगह पे मैं तू के ना लिखे कोई नया नंबर लिख लेने क्योंकि क्यों हमने ऑलरेडी लिखा हुआ है ठीक है ये हमने ऊपर भी लिखा था के * के + 1 किसकी इक्वल होता है 2k के पिछले एग्जांपल में वही से कॉन्सेप्ट है यहां पे की के * के + 1 2 के के इक्वल होता है तो के की जगह मैंने आर इसलिए लिख दिया क्योंकि के हमारा एक ऑलरेडी इस क्वेश्चन के अंदर मौजूद है अब आप देखिए ये 3 * 2 = 6 हो जाएगा सिक्स कब प्लस सिक्स आर अब 6 आप आम ले सकते हैं अंदर बचेगा के + आर तो अब ये जो हमारी लेफ्ट हैंड साइड है ये इक्वल ए गई 6 * के ना ठीक है तो हम का सकते हैं की आईटी इस डिविजिबल बाय इस एग्जांपल में भी आपने मैथमेटिकल इंडक्शन उसे करते हुए प्रूफ करना है की दिस इस डिविजिबल बाय एक्स-य और एन >= 1 तो सबसे पहले हम इसका बेसिस टाइप करेंगे बेसिस स्टेप के अंदर हमने इन दोनों और की जगह पे एन की वैल्यू पट कर देनी है जो की वन है तो एक्सपर्ट वन माइंस फाइव पार्ट वन तो वो एक्स - ए ही ए जाएगा ना ठीक है तो आईटी इस डिविजिबल बाय एक्स - ए क्योंकि दोनों डिवाइड हो सकते हैं आपस में तो ये तो हमारा ट्रू हो गया उसके बाद हमने इंडक्टिव स्टेप करना है इंडक्टिव स्टेप के अंदर हम इन दोनों एंड्स की जगह पे एक्स पार्ट के - ए पार्ट के कर देंगे और आईटी इस डिविजिबल में एक्स - ए तो हम लिखेंगे की एक्स - 5 और इसके साथ यहां पे के जैसे डिविजिबल बाय थ्री होता था ना तो हम थ्री के साथ के लिख देते थे तू होता था तो तू के साथ के लिख देते थे इसी तरह से अगर हम इससे डिवाइड कर रहे हैं तो इसके साथ हमने के मल्टीप्लाई कर देना है इसको नाम दे दें क्वेश्चन नंबर वन का उसके बाद केक की जगह पर सॉरी प्रूफ करना है की ये हमारा एक्स - ए से डिवाइड होता है तो उसके लिए हमें थोड़ा सा यहां पे एक्स्ट्रा कम करना पड़ेगा की एक्स पार्ट के प्लस वन के बाद ना खुद से हमने एक चीज प्लस भी करवानी है और उसको माइंस भी करवाना है एक्स ए पावर के ठीक है इसको हम यहां पे माइंस भी करवा रहे हैं और एक्स ए पर के को हम प्लस में क्योंकि जब भी खुद से हम कुछ माइंस करवाते हैं तो उसको प्लस भी करते हैं ये खुद से प्लस करते हैं तो उसको हम माइंस भी करते हैं ठीक है क्यों करवा रहे हैं क्योंकि ताकि हम उसमें से आम ले के ये एक्स - ए का एक्सप्रेशन बना सके ठीक है ये जो और पेन है ए पर के प्लस वन रहेगा देखो पहले दोनों में से क्या आम ए रहा है एक्स आम ले सकते हैं जाएगा हमारे पास हमारे पास बचेगा जब आम ले लिया तो अंदर ए की पावर वन र जाएगी ठीक है अब आप देखिए हमारे पास जो इसका एक क्वेश्चन नंबर वन थी उसमें अंदर एक्सपर्ट-ए पर के की वैल्यू मौजूद है तो वो इस एक्स पर के - ए पर के ए की जगह आपने पट कर देनी है बाहर एक्स आज आईटी इस इसकी जगह पे आप ये वैल्यू पट कर देंगे एक्स - y³ + आगे वाला एक्सप्रेशन आगे आईटी इसे अब इस एक्सप्रेशन में देखें एक्स - ए आम ए रहा है तो आप एक्स - ए आम निकाल लेने अंदर क्या बचेगा यहां पर x³ बचेगा प्लस यहां पर बाय पार्ट के बचेगा ठीक है तो देखिए हमारे पास एक्स - ए के साथ कुछ मल्टीप्लाई हो रहा है ना यहां पे यानी हमारे पास वो जो हमारे पास फॉर्म होती है ना एन = डीटी ये वाली फॉर्म बन रही है और इसे इक्वल तू ये दी क्योंकि इसी से डिविजिबल प्रूफ करना था ना हमने ठीक है तो ये दी हो गया और अंदर एक फॉर्म में कोई वैल्यू मल्टीप्लाई हो रही है ठीक है तो इससे प्रूफ हो गया की ये जो एक्सप्रेशन है आईटी इस डिविजिबल बाय एक्स - ए ठीक है जैसे हम पीछे 6 आम लेते थे और पे इसी तरह से थ्री आम लिया था इसी तरह से यहां पे हमने क्योंकि एक्स - ए से भी विजिबल प्रूफ करना था तो हमने एक्स - ए जो है यहां पे आम ले लिया तो इससे ये प्रूफ हो गया की डिविजिबल है डिविजिबिलिटी की हमारी एग्जांपल जो है वो खत्म हो चुकी है अब नेक्स्ट हमारी जो चार-पांच एग्जांपल्स हैं वो रिलेटेड हैं इससे इनिक्वालिटी से ठीक है बेसिकली दो अन्य क्वालिटी की है आगे हम चलेंगे तो वो सीक्वेंस की तीन कर ए जाति है एग्जांपल तो अन्य क्वालिटी दो एग्जांपल्स करते हैं इसके अंदर क्वालिटी बेसिकली होती क्या है वो एक्सप्रेशन जिसके अंदर साइन ऑफ इक्वलिटी ना हो बल्कि उसकी जगह पे ली दें ग्रेटर दें ली दें इक्वल तू ग्रेटर डेन इक्वल तू या नोट इक्वल तू का साइन हो उसे हम क्या कहते हैं इनिक्वालिटी जैसे इसमें देखें लेस थान का साइन है ना तो ये इनिक्वालिटी है ठीक है इसमें भी स्टेप्स इस तरह से होंगे सबसे पहले हमने करना है बेसिस स्टेप और उसके बाद हमने करना होता है इंडक्टिव स्टेप तो बेसिक स्टेप के अंदर इसमें हमारे पास लेफ्ट राइट साइड होगी ठीक है ये जो लेसन का साइन है ना इससे पहले वाली को हम लेफ्ट हैंड साइड कंसीडर कर लेते हैं और इसके बाद वाली को हम राइट हैंड साइड कंसीडर कर लेंगे ठीक है तो लेफ्ट हैंड साइड है तू और प्लस वन राइट हैंड साइड है तू पार्ट और और इसमें एन की वैल्यू हमने क्या पट करनी है थ्री तो यहां पे 2 * 3 + 1 तो देखिए 3 * 2 = 6 + 1 क्या ए जाएगा 7 ए जाएगा और यहां पे तू पार्ट थ्री जब हम करेंगे तो वो 8 ए जाएगा इक्वल तो वैसे भी नहीं हमने लाना था ना ये नहीं सोचना की इक्वल नहीं आया तो अब क्या करें इक्वल तो हमने लाना ही नहीं था हमने लेफ्ट हैंड साइड कहना था की शुड बी ली दें राइट हैंड साइड तो देखिए जो लेफ्ट हैंड साइड आंसर आया है सेवन आईटी इस ली दें राइट हैंड साइड डेट इस 8 ठीक है तो ये हमारी ट्रू हो गई ये स्टेप तू होगा बेसिक स्टेप ठीक है क्योंकि लेफ्ट हैंड साइड का आंसर < ही है ग्रेटर दें आ सॉरी राइट हैंड साइड से ठीक है उसके बाद हम चलते हैं नेक्स्ट स्टेप में हमने क्या करना है दोनों अनस की जगह पे हमने क्या कर देना है 2k+1 ली दें 2 पावर के इसका नाम दे देना है क्वेश्चन नंबर वन का और फिर इस एन की जगह हमने करना है के + 1 बाहर वाला प्लस वन वैसे ही ली दें 2 की पावर में भी आपने k+1 कर देना है ठीक है अब आपने इसकी लेफ्ट हैंड साइड लेनी है ओपन करना है और आंसर आपका इसकी राइट हैंड साइड के इन पार्ट ए प्लस वन के इक्वल आना चाहिए ठीक है उसको आप कैसे सॉल्व करेंगे देखिए मैं सिर्फ अभी इसकी लेफ्ट हैंड साइड ले रही हूं ठीक है वह है तू इन के प्लस वन प्लस वन को प्लस नहीं करना क्योंकि क्वेश्चन अलग कर लेना है और जो प्लस तू है इसको हम और पे ले जाते हैं अब तू ए प्लस वन की वैल्यू क्या है ली दें 2 पार्ट के यानी इसके साथ अब हम इक्वल नहीं लगाएंगे अब हम यहां पे लगाएंगे ली दें 2 पार्ट के यानी इसकी जगह पे हमने इसकी जो वैल्यू थी वो पट कर दी अब यहां पे अगर लेसन लगाया है तो दूसरा ऑप्शन नहीं होता की आप तू को आगे आईटी इसे लिख ले लेकिन आगे आईटी इसे लिखने से हमें ना रिक्वायर्ड रिजल्ट नहीं मिलेगा तो हम इधर भी कुछ ट्रेनिंग करेंगे क्या करेंगे तो हम तू की जगह भी कोई ऐसा नंबर लिख सकते हैं की तू ली दें डेट नंबर हो ठीक है पर एग्जांपल आपके पास देखें एन की वैल्यू क्या है कर लेते हैं ना जो इनकी वैल्यू होती है तो के भी जो है वो थ्री से स्टार्ट करना है तो अगर मैं यहां पे तू पावर थ्री लूप या थ्री से बड़ी वालुज भी हो शक्ति है ना थ्री और थ्री से बड़ी वालुज लेनी है यानी 4 5 6 भी ले सकते हैं तो 2/4 नहीं 2 पर 5 लेने तो वो जितने भी आंसर्स आएंगे इसका एट आएगा आते तू जो है आईटी इसे ली दें 8 या इसका आंसर आएगा 16 तू इस ली दें 16 यानी 2 की पावर जो मर्जी ले लेने 3 और 3 से बड़ी जो मर्जी पावर ले लेने तू इस ऑलवेज ली दें डेट पावर ठीक है तो इसकी जगह हमने ये लिख दिया क्योंकि हमने लेसन का यहां पे एक्सप्रेशन उसे किया था अब इन दोनों को एड करेंगे कल भी मैंने जैसे आपको बताया था पिछले लेक्चर के अंदर के जब एक्स में एक्स एड करते हैं तो वो क्या हो जाता है 2x हो जाता है क्यों क्योंकि ये जो वेरिएबल होता है वो हम एक दफा लिख लेते हैं और इसको तू से मल्टीप्लाई कर देते हैं उसको डबल कर देते हैं तो इसी तरह से ये दोनों जब प्लस होंगे ना तो ये वेरिएबल की तरह एक्ट करेगा तू पर के इसको हम एक दफा लिख लेंगे और इसको डबल कर देंगे इसको तू से मल्टीप्लाई कर देंगे तो अब बेसिस से है और मल्टीप्लाई हो रही है तो पावर हमने एड कर देनी है इसकी कोई पावर नहीं है तो वन होगी ना तो वन और केक को एड कर देना है तो ये हमारा रिक्वायर्ड रिजल्ट ए गया लेफ्ट हैंड साइड हमने ली आसंर हमारा इसकी राइट हैंड साइड के इक्वल ए गया इसको इस तरह से प्रूफ करना है आपने ओके मजीद एक और इनिक्वालिटी की एग्जांपल है इसमें हमारे पास ही जीवन प्लस एनएक्स ली डेन इक्वल तू वनप्लस एक्स होल पावर एन तो एन की वैल्यू दी हुई है और साथ में एक उन्होंने हमें वैसे बता दिया की एक्स जो है ना वो माइंस वन से बड़ा है माइंस वन से बड़ा होने का मतलब है की वो जीरो और वन तू थ्री की तरफ जाएगा यानी सारे पॉजिटिव इंटीरियर्स होंगे नेगेटिव नहीं आएगा इसके अंदर ठीक है तो हमने तो बेसिकली वैसे सिर्फ एन की वैल्यू उसे करनी होती है ना तो हम वही करेंगे बेसिस स्टेप के अंदर हमने लेफ्ट हैंड साइड और राइट हैंड साइड अलग-अलग कैलकुलेट करनी है दोनों का आंसर से आना चाहिए सॉरी इसको करना चाहिए या तो से भी हो सकता है क्योंकि नीचे इक्वल ए रहा है ना इसलिए जो एग्जांपल थी अगर मैं उसमें आपको दिखाऊं तो उसमें नीचे इक्वल नहीं था तो हमें ली दें ही प्रूफ करना था तो हमारा लेफ्ट हैंड साइड का लेसन ही आया था ग्रेट इससे राइट हैंड साइड से लेकिन यहां पर लेसन भी ए सकता है और इक्वल भी ए सकता है सम पर सम वैल्यू ठीक है क्योंकि नीचे इक्वल का भी साइन ए रहा है तो अगर इक्वल ए जाता है तो वे नो इशू और अगर लेफ्ट हैंड साइड का आंसर छोटा और राइट का बड़ा ए जाता है तो भी कोई मसाला नहीं है ठीक है तो हम यहां पे एन की जगह क्या पट कर देते हैं तू पट कर देते हैं तो वन प्लस यहां पर ए जाएगा तू तो वन प्लस तू एक्स हो जाएगा वनप्लस 2 एक्स यहां पर लिखने हैं a² + 2ab + b² तो ये देखिए 1 + 2x है और ये भी 1 + 2x है और इसमें कुछ एड हो रहा है यानी राइट हैंड साइड बड़ी है किस लेफ्ट हैंड साइड से तो लेफ्ट हैंड साइड देखें ना छोटी थी राइट हैंड से तो राइट हैंड बड़ी ही हुई ना जिसकी तरफ ये ओपन होता है ना वो बड़ा होता है राइट हैंड साइड तो राइट हैंड साइड का हमारा आंसर बड़ा ही आया है ठीक है क्योंकि इतना तो से है ना पर एग्जांपल मैं आपको कहती हूं जैसे एक हमारे पास है थ्री और एक साइड पर लिखा हुआ है 3 + 1 यानी थ्री में कुछ एड हो रहा है अब वो वन एड हो रहा है तू एड हो रहा है थ्री हो रहा है फोर हो रहा है जो भी है इस साइड में बड़ा ही रहना है क्योंकि इतना तो दोनों का से है तो जिधर हम कुछ एड करेंगे वो साइड बड़ी हो जाएगी तो इसी तरह से यहां पे इतना तो से है ना दोनों के अंदर तो इसमें कुछ एड हो रहा है साथ में तो ये साइड जो है राइट हैंड साइड वो बड़ी हो जाएगी किस लेफ्ट हैंड साइड से तो यही हमने प्रूफ करना था तो हमारा बेसिक स्टेप तो ट्रू हो गया उसके बाद हम चलते हैं अपने इंडक्टिव स्टेप के ऊपर इंडक्टिव स्टेप के अंदर आपने सबसे पहले तो वन प्लस और नेक्स्ट को वनप्लस के एक्स कर देना है लेस डेन इक्वल तू वन प्लस एक्स होल पर एन है उसको होल पार्ट के कर दें इसको कहते हैं क्वेश्चन नंबर वन और फिर इस एन की जगह आपने के + 1 कर देना है के + 1 / एक्स आगे आईटी इसे ली डेन इक्वल तू वन प्लस एक्स होल पार्ट जो एन थी उसकी जगह अब आपने k+1 कर देना है ठीक है इसमें भी हम लेफ्ट हैंड साइड लेंगे तो राइट हैंड की इक्वल प्रूफ करना है या राइट हैंड ले लेने और लेफ्ट हैंड के इक्वल प्रूफ कर लेने ठीक है वो आपकी मर्जी है तो ज्यादा कन्वेनिएंट इसमें ये रहेगा की हम ये वाली चीज ले लेने क्योंकि इस जैसा से हमें ऊपर भी नजर ए रहा है ना तो इसकी वैल्यू पट करना ज्यादा आसन होगा बच्चा इसके तो हम इसकी ले लेते हैं राइट हैंड साइड ठीक है राइट हैंड साइड वन प्लस एक्स होल पार्ट के प्लस वन वही कॉन्सेप्ट जो मैं पीछे भी आपको एग्जांपल में बता चुकी हूं की जब हमारे पास दो से बेसिस मल्टीप्लाई हो रही होती है तो हम उनकी पावर्स को कर देते हैं प्लस और अगर दो पावर प्लस हो रही हूं तो हम उसको रिवर्स भी ला सकते हैं इस तरह की उसे बेस को दो दफा लिख लेने और पावर से अलग-अलग कर लेने इसी तरह से इसमें पावर दो एड हो रही है ना तो हम क्या करेंगे ये जो बेस है ना 1 + एक्स इसको हम लिख लेंगे दो दफा और पावर जो है वह हमने अलग-अलग कर लेनी है की यह अलग कर लेना है और जो पावर बैंड है वो अलग कर लेनी है इसके ऊपर वाले इसके ऊपर के लिख लेने उसका कोई मसाला नहीं है अब देखिए वन प्लस एक्स होल पर के की वैल्यू हमारे पास मौजूद है ठीक है और उसमें हमने क्या करना है ली दें इक्वल तू का साइन लगाने हैं ठीक है इसकी तो वैल्यू नहीं है ना तो ये हम वैसे ही रखेंगे 1 + एक्स जो है वो हमने वैसे ही रखना है और इसकी वैल्यू पट कर देनी है हमने इसकी वैल्यू हमारे पास है 1 + क 1 प्लस ठीक है साथ में ए रहा है की एक्स का स्क्वायर प्लस वन वाली चीज थी वो से बन गई है लेकिन ये चीज एक्स्ट्रा है इसका क्या करना है हमने देखिए वन प्लस एक्स होल पर के प्लस वन ये वाली साइड ए गई ठीक है और इधर हमारे पास ए गया 1 + के + 1 * एक्स अच्छा ये मैंने सॉरी लेसन लगा दिया है इसको हम अपोजिट साइड पर लगाएंगे क्योंकि जब हमने यह वनप्लस की एक्सपोर्ट किया तो वनप्लस एक्स की तरफ यह क्लोज था ना ठीक है तो जब हमने यहां पर एक्सप्रेशन इसकी तरफ क्लोज होगा ये सिंबल ठीक है इसकी तरफ क्लोज करना है तो दूसरी तरफ इसको ओपन करेंगे तो ये जरा करेक्ट कर लीजिएगा अच्छा बाकी तो हो गया से लेकिन इसका क्या करें इसका क्या करें तो देखो वही कॉन्सेप्ट है जो मैंने अभी ऊपर भी बताया आपको इसके बेसिक स्टेप के अंदर के तो देखें ये एक्सप्रेशन इससे बड़ा है ना यानी ये वाली साइड ग्रेटर है और ये वाली साइड स्मॉल है तो इसमें से अगर मैं कुछ और निकाल भी देती हूं तो भी ये स्मॉलर ही रहेगी ये इसमें कोई चेंज नहीं आएगा इसके लिए एक छोटी सी एग्जांपल मैं आपको देती हूं जैसे अगर देखें इधर हमारे पास आते लिखा हुआ है और इधर हमारे पास लिखा हुआ है पर एग्जांपल सिक्स प्लस वन ठीक है तो सिक्स प्लस वन सेवन होता है तो 8 इस ऑब्वियसली > 7 ठीक है तो 87 से बड़ा है लेकिन अगर मैं ये वन यहां से हटा भी देती हूं तो भी ये ट्रू है यानी 8 इस ग्रेटर डेन 6 क्योंकि ये ऑलरेडी बड़ा था तो अगर मैं दूसरी साइड जो छोटी साइड है उधर से कुछ निकाल भी डन फिर भी ये बड़ा ही रहेगा तो से कॉन्सेप्ट आपने यहां पे भी उसे कर लेना है की हमारे पास ये साइड पहले बड़ी है और ये साइड छोटी है तो छोटी साइड में से कुछ और निकाल दें फिर भी वो छोटी ही रहेगी ना इसके मुकाबला में बड़ी तो नहीं हो जाएगी ठीक है तो इसको इग्नोर कर सकते हैं आप तो इगनोरिंग देश हमारे पास ये एक्सप्रेशन र सकता है र जाएगा दिस इसे वन प्लस के प्लस वन इन एक्स ठीक है तो यही हमने प्रूफ करना था जो की हमारा प्रूफ हो चुका है उसके बाद अब हम नेक्स्ट चलते हैं सीक्वेंस की एग्जांपल्स के ऊपर इसकी भी हमारे पास में तीन कर एग्जांपल हैं यहां पर उनको सॉल्व कर लेते हैं अच्छा स्टेटमेंट जरा मैं आपके सामने रीड कर देती हूं आप भी अपने हैड्यूत से देख लीजिएगा की हमारे पास एक सीक्वेंस है जिसमें a1 a2 a3 a4 वालुज धीमी है उसमें a1 की वैल्यू हमें दे दी है और कोई भी कैप टर्म हमें दे दिए ठीक है और केक के लिए जो वैल्यू है वो ग्रेटर दें इक्वल तू तू है और वो कहते हैं की ये जो सीक्वेंस है ना आपने इसको प्रूफ करना है मैथमेटिकल इंडक्शन को उसे करते हुए की ये जो सीक्वेंस है इट्स सेटिस्फाई इसे डी फॉर्मूला दिस इस फॉर्मूला को ये सीक्वेंस सेटिस्फाई करती है और एन ग्रेटर डेन इक्वल तू वन ठीक है तो हम पहले बेसिक स्टेप करेंगे बेसिक स्टेप के अंदर हमने यही जो हमारे पास है फॉर्मूला इसके अंदर यानी की वैल्यू पट करनी है तो देखना है की क्या हमारे पास रिजल्ट तू आता है या नहीं आता तो इस एन की जगह वन पट करें तो a1 = 2 डॉट 5 बार यहां पे वन माइंस वन ए जाएगा ठीक है तो 1 - 1 करें तो 5 की पावर जीरो र जाएगी और किसी भी नंबर की जब पावर जीरो होती है तो वो वन के ही इक्वल होता है ठीक है कोई भी नंबर है अगर उसकी पावर में जीरो ए गया ना तो वन की इक्वल होगा और 2 वन सर क्या होगा तू तो देखिए a1 इसकी इक्वल ए गया तू के और हमें भी यही दिया हुआ था ना एवं इसे इक्वल तू तू ये तो ट्रू हो गया हमारा बेस उसके बाद हम इंडक्टिव स्टेप में क्या करेंगे हम इसी फॉर्मूला के अंदर एन की जगह पे के कर देंगे ए के इस इक्वल तू तू फाइव पार्ट के माइंस में इसको नाम दे दें क्वेश्चन नंबर वन का उसके बाद हमने क्या करना है के + 1 कर देना है इसी फॉर्मूला के अंदर एन की जगह पे तू पार्ट ये प्लस वन और ये जो माइंस वन है ये साथ में वैसे ही ए जाएगा अब इसको सिंपलीफाई करना है ठीक है ये देखिए कैंसिल हो जाएगा ना तो तू डॉट फाइव पार्ट ये ए जाएगा एक ए प्लस वन अब ये चीज हमने प्रूफ करनी है इसकी लेफ्ट हैंड साइड लेंगे और राइट हैंड साइड बनाएंगे तो लेफ्ट हैंड साइड जो हम लेंगे ना एक के प्लस वन वह हम लेंगे विद डी हेल्प ऑफ दिस कैसे टर्म ठीक है जितनी भी आपको एग्जांपल्स दी गई है ना आगे उसमें वाला स्टेप करना है तो उसमें आपने किया हा टर्म वाला फॉर्मूला उसे करना है ठीक है अब कैसे स्टंप हमारे पास क्या थी एक ए = 5a माइंस वन तो मैंने इस किया की जगह अच्छी के + 1 उसे करना है ना तो इस केक की जगह भी के + 1 ए जाएगा तो वो बन जाएगा फाइव ए के प्लस वन साइड वाला माइंस ठीक है अब इसको हमने सिंपलीफाई करना है ना ये बुक में उन्होंने पहले ऊपर लिखा हुआ है लेकिन बाद में नीचे तो ये नीचे क्वेश्चन के अंदर ठीक है यह कलेक्शन कर लीजिएगा ये केक के साथ माइंस वन हो रहा है यहां पे तो यहां पर हमने पट किया इस के साथ माइंस वन करना है तो यहां पे ये तो हो जाएगा ना कैंसिल [संगीत] पट कर देंगे एक ही एक एक ही जगह पे के माइंस वन ठीक है अब देखें साड़ी मल्टीप्लाई हो रहा है ना आपस में तो तू हम यहां लिख लेते हैं और 5 और 5 जब मल्टीप्लाई होंगे तो देखें से है तो पावर्स हम एड कर देंगे ना तो फाइव की पावर के माइंस वन में इसकी पावर प्लस वन एड हो जाएगी अगेन ये कैंसिल हो जाएगा तो हमारे पास ए जाएगा 2.5 पावर के a++ ठीक है तो यही तो हमने प्रूफ करना था तो वो हमारा प्रूफ हो गया तो इंडक्टिव स्टेप बी दान ठीक है उसके बाद नेक्स्ट एग्जांपल देख लेने अच्छा ये भी सीक्वेंस से रिलेटेड है इसमें भी जैसे पीछे a1 दिया हुआ था इसमें दी 1 दिया हुआ है खेत टर्म दे दी है और डीएनए एक फॉर्मूला दे दिया है तो कहते हैं मैथमेटिक इंडक्शन उसे करते हुए प्रूफ करेंगे ये जो सीक्वेंस सतीश दिस फॉर्मूला पर एन इसे ग्रेटर दें इक्वल तू वन तो हम इसके बेसिस स्टेप में क्या करेंगे बेसिस स्टेप में हम एन की जगह पर ये वैल्यू पट करेंगे ना वन तो दी वन इसे इक्वल तू 2 ओवर वन का फैक्टोरियल ए जाएगा फैक्टोरियल मैंने कल के लेक्चर में भी एक्सप्लेन किया था लेक्चर 23 के अंदर क्या होता है तो 15 तो 1 होता है तो तू ओवर वन क्या हो जाएगा तू लेकिन दी वन तू ए गया और यही तो हमें दिया हुआ था यह तो ट्रू हो गया स्टेप हमारा अभी नेगेटिव स्टेप कर लेते हैं और एक्टिव स्टेप के अंदर हमने पहले दी यानी की जगह पे दी के कर देना तू ओवर के फैक्टोरियल ए जाएगा और इसको का देना है क्वेश्चन नंबर वन फिर हमने इसको दी के प्लस वन कर देना है 2 ओवर के प्लस वन परफेक्ट और ए जाएगा अब हमने इसको प्रूफ करना है ठीक है तो मैंने कहा था की जब सीक्वेंस के अंदर हमने ये चीज प्रूफ करनी होती है तो हम किसकी हेल्प से करते हैं केज टर्म की हेल्प से करते हैं तो कैच हम हमारे पास है जी आ दी के माइंस वन ओवर के [प्रशंसा] थ्री के इस इक्वल तू में हम इसके की जगह के + 1 करेंगे इधर भी केक की जगह के + 1 करेंगे साथ में माइंस वन भी है ओवर की जगह के + 1 अब ये तो हो गया ना कैंसिल तो ये दी के प्लस वन जो है ये हमारा इसकी इक्वल ए गया ठीक है और इसको मैं वन ओवर के प्लस वन कर लेती हूं वैसे तो दी के अगर के प्लस वन भी कर सकते हैं लेकिन दी के की जब हमने वैल्यू पट करनी है ना तो इसलिए मैंने इसको थोड़ा सा अलग कर लिया तो दे के की वैल्यू हमारे पास जो इक्वेशन वन में हमने अभी अच्छी थी वो हमने यहां पे पट कर देनी है इसलिए मैंने उसको अलग कर लिया था अच्छा अब देखें 210 में अब ये कल भी मैंने आपको कॉन्सेप्ट समझाया था 23 लेक्चर के अंदर जब हम फैक्टोरियल का टॉपिक कर रहे थे की आपके पास जब इस तरह लिखा हुआ है ना बड़ी वैल्यू और उससे बिल्कुल नेक्स्ट वैल्यू दी हुई है आपको और उसके साथ विक्टोरियन लगा दिया है तो आप इस बड़ी वैल्यू का फैक्टोरियल भी लिख सकते हैं ठीक है अगर आपको याद हो मैंने 10.9 फैक्टोरियल वाले एग्जांपल दी थी तो आप इसको 10 फैक्टोरियल भी लिख सकते हो इगनोरिंग डी स्मालेस्ट स्मॉलर वैल्यू ठीक है क्योंकि पेट्रोल का मतलब है की इसमें 9876 सारे ए रहे हैं तो 10 से 1 तक सारे हैं तो उसको हम 10 फैक्टोरियल भी तो लिख सकते हैं ना इसी तरह से यहां पे हमने केक इग्नोर करके के प्लस वन का फैक्टोरियल लिख लेना है और यही हमारी प्लस वन की वैल्यू हमें चाहिए थी तो ये प्रूफ हो गया लास्ट एग्जांपल है हमारी 1+1/9/11 स्क्वायर ली दें ये दोबारा से इनिक्वालिटी ये ए गई है ठीक है सीक्वेंस की नहीं है ये अन्य क्वालिटी की ए गई है इसमें हमने अब बेसिक स्टेप के क्या करने लगता हैं राइट हैंड साइड जो है वो अलग से निकालनी है लेकिन लेफ्ट हैंड साइड में देखिए सारे प्लस हो रहे हैं ना तो जब इस तरह से प्लस फॉर्म में आते हैं तो हम सिर्फ उसकी पहले वैल्यू लेते होते हैं ठीक है और इधर इनकी वैल्यू पट करते हैं दोनों का आंसर से आना चाहिए तो बेसिस टाइप के अंदर लेफ्ट हैंड साइड पर हमारे पास जो पहले नंबर है वो क्या है वन है ना तो वो तो वन ए गया और राइट हैंड साइड पे हम क्या करेंगे राइट हैंड साइड पे हम एन की वैल्यू पट कर देंगे तो 2 - 1 ओवर अन्य वैल्यू क्या है एन इस पॉजिटिव इंतजार ग्रेटर दें वन यानी एन जो है वो ग्रेटर दें मैन इस तरह लेकिन ये जो इक्वल तू नहीं लगा हुआ है इसलिए हम वन खुद इसके अंदर पट नहीं कर सकते अगर तो यहां पे होता है ना और इसे ग्रेटर दें इक्वल तू वन फिर हम वन पट कर लेते हैं लेकिन यहां इक्वल तू नहीं है सिर्फ ग्रेटर डेन वन है तो यानी वन से बड़ी वैल्यू जो की तू होगी ना तो हम एन की वैल्यू यहां पे क्या लेंगे तू लेंगे ठीक है अब इसको सिंपलीफाई करले वन नंबर तू का मतलब होता है 0.5 तो जब आप इसका आंसर निकलेंगे तो वो ए जाएगा 1.5 तो हमारे पास देखें लेफ्ट हैंड साइड जो है वन आईटी इसे ली दें 1.5 1.5 ओबवियसली बड़ा है और वन छोटा है तो ये देखिए लेफ्ट हैंड साइड हमारी लेफ्ट हैंड ही हनी चाहिए थी ना इससे तो प्रूफ हो गया के वन इस ली दें 1.5 तो बेसिक स्टेप तो हमारा ट्रू है उसके बाद हम इंडक्टिव स्टेप कर लेते हैं [प्रशंसा] इसमें हमने पहले तो के लिख लेना है क्वेश्चन नंबर वन फिर इसी में हमने वन ओवर पहले तो सर से चलेगा यहां पे अब कैप प्लस वन कर देंगे 2 - 1 यहां पे भी हम के + 1 कर देंगे ठीक है अब इसकी हमने लेफ्ट हैंड साइड लेनी है आंसर ये आना चाहिए ये अगर नहीं भी इसमें आता ना क्योंकि एग्जांपल थोड़ी सी ना इस तरह से है की लेफ्ट हैंड साइड लेक हमारा राइट हैंड साइड की इक्वल आंसर नहीं ए रहा तो हम दोनों सीड्स को साथ साथ ही लेकर चलेंगे और उसको करेंगे ठीक है तो इसमें क्या होगा की हम क्या करते थे जब हमारे पास इस तरह से प्लस फॉर्म में वैल्यू होती है इससे पिछली वैल्यू ढूंढते थे कौन सी है यहां पे कौन सी वैल्यू आएगी जिसके बाद ये वन ओवर के प्लस वन का होल स्क्वायर ठीक है तो यहां पर क्या आएगा यह देखना के हमने के प्लस वन से पीछे वाली जो वैल्यू होगी वो ऑब्वियसली वन ओवर के का स्क्वायर होगी ठीक है क्योंकि देखें यह थ्री का स्क्वायर है और ये किसका स्क्वायर है तू का स्क्वायर है और इसके नीचे कुछ नहीं है तो यानी वो वन होगा तो वन वन का स्क्वायर होता है तो यानी एक-एक कम करना है हमने ठीक है इस तरह से k+1 का स्क्वायर है तो उससे पीछे वाला के का स्क्वायर होगा तो ये जो है पूरा इस पूरे की वैल्यू क्वेश्चन वन में हमारे पास पड़ी हुई है जो की क्या है 2 - 1 ओवर के तो अभी हम सॉरी इसकी सिर्फ लेफ्ट हैंड साइड लिख रहे हैं और इसकी जगह अब हम पहले यहां पे इक्वल लगेगा लेकिन बाद में हम उसको फिर लिख देंगे ली दें क्योंकि इसकी वैल्यू है ना ली दें 2 - 1 नंबर के तो ये ए जाएगा ठीक है अब क्या करना है अब हमने इसको अगर मैं यहां से माइंस आम ले के इनको एक ब्रैकेट में करना चाहूं तो वन के और अंदर माइंस हो जाएगा ना क्योंकि जो माइंस आम लेते हैं तो अंदर साइन चेंज हो जाता है जो हमें चाहिए था ना तू माइंस के तो एलसीएम वगैरा लेक भी देखा है मैंने तो वो नहीं आता तो हमें फिर वो बुक वाला रूल ही फॉलो करना पड़ेगा जैसे उन्होंने किया है की इसको इस तरह से लिख लेना है की हमने प्रूफ करना है की यह जो साइड है आईटी शुड बी ली दें दिस ना तो ये जो हमारा आया है यहां पे आंसर 2 - 1 ओवर के माइंस वन ओवर के प्लस वन होल स्क्वायर आईटी शुड बी ली दें 2 - 1 ओवर के प्लस वन जो चीज हमें प्रूफ करनी थी वो हमने यहां पे लिख ली ठीक है प्रूफ हमें ये करना था की इस साइड का आंसर < 2 - 1 ओवर के + 1 होना चाहिए तो हमने लेसन 2-11 के + 1 लिख लिया अब देखें ये प्लस तू है तो वो उधर जाएगा -2 होगा तो ये दोनों कैंसिल हो जाएंगे ठीक है अब इधर माइंस र गया और इधर भी माइंस र गया आपने क्या करना है इसके साथ इक्वल भी है सॉरी आपने क्या करना है की ये माइंस जो है वो खत्म करना है दोनों साइड से और आपको पता होना चाहिए की इनिक्वालिटी में माइंस खत्म करने के लिए हम उसको माइंस वन से मल्टीप्लाई करते हैं ऑन एच साइड तो माइंस वन से जब मल्टीप्लाई करेंगे तो इनिक्वालिटी का साइन चेंज हो जाएगा ठीक है रिमेंबर दिस ये आई थिंक मैंने मिड में भी ये चीज एक्सप्लेन की थी की जब आपने साइन चेंज करना होता है ना तो हम दरमियां वाला भी फिर चेंज कर देते हैं और फ्लिप हो जाता है ठीक है लेस थान है तो वो ग्रेटर दें हो जाएगा अब इसको हम थोड़ा सा सिंपलीफाई करेंगे कैसे ये जो माइंस हो रही है ना इसको आप उठा के ले जैन दूसरी साइड पे उधर जा के ये हो जाएगी प्लस है और इधर यह जो चीज है इसको इधर लाकर माइंस करते हैं ठीक है स्क्वायर वाली टर्म उधर ले जाए यह वाली इधर ले आएं इन दोनों का आपस में आप एलसीएम ले लेने तो इसका एलसीएम ए जाएगा के * के + 1 ऊपर ए जाएगा के प्लस वन माइंस के अब ये के और ये के हो जाएंगे कैंसिल तो र गया वन ओवर के इन के प्लस वन ग्रेटर डेन वन ओवर के + 1 का होल स्क्वायर ठीक है तो अब वो कहते हैं की ये ट्रू है कैसे ट्रू है इसको आप प्रूफ बल्कि इसको मस्जिद सिंपलीफाई कर लेते हैं ताकि इजीली आपको समझ ए जाए देखिए यहां भी के + 1 है और यहां के प्लस वन का होल स्क्वायर है तो अगर मैं चाहूं तो ये जो यहां पे डिवाइड हो रहा है इसको वहां ले जाकर मल्टीप्लाई करूं तो एक कैंसिल हो जाएगा ना इसके साथ तो यहां पे र जाएगा वन ओवर के और यहां पे र जाएगा वन ओवर के प्लस वन ठीक है तो अब आप इसको ट्रू कर दें इस एक स्टेप से ये आसानी हो जाएगी की देखिए यहां पे ये है और ये के प्लस वन है वैसे तो देखें तो ये छोटा है के + 1 ऑब्वियसली बड़ा होगा यानी अगर ये थ्री है तो थ्री में प्लस वन कर देना अपने तो ये बड़ा हो जाएगा लेकिन जब ओवर के नीचे बड़ी वैल्यू आई है तो इसका आंसर छोटा आता है और इसका आंसर बड़ा आएगा यानी दिस इसे ग्रेटर दें दिस पर एग्जांपल अगर मैं कहती हूं की जैसे इधर वन शब्द एन लेट से तू है और इधर वन ओवर 0.25 तो देखिए 0.5 इस ग्रेटर डेन 0.2 ठीक है क्योंकि ये 505 बन जाता है ना तो पॉइंट के बाद हमने एक-एक वैल्यू देखनी होती है इसी तरह से अगर मैं वन ओवर तू और वन ओवर थ्री का करके देखूं तो ये 0.5 आंसर दे अगर 0.3 आंसर देगा ठीक है तो ओवर के नीचे अगर नंबर बड़ा है तो उसका आंसर छोटा आएगा और ओवर के नीचे आंसर छोटा है तो उसका आंसर बड़ा आएगा ठीक है तो इस तरह से आप का सकते हैं की ये रिलेशन जो है वो ट्रू है ठीक है जी तो उम्मीद है आप लोगों को समझ ए गई होगी साड़ी एग्जांपल्स फिर भी अगर कोई कन्फ्यूजन है तो आप लोग कमेंट क्षेत्र में पूछ सकते हैं और वीडियो पसंद आई हो तो लाइक करें शेर करें चैनल को जरूर सब्सक्राइब कीजिएगा और एक प्यार सा कमेंट करके जाएगा थैंक यू