नोट्स: निरंतरता और भिन्नकरण (Continuity and Differentiability)

उद्देश्यों

• समझें कि निरंतरता और भिन्नकरण की विशेषताएं क्या हैं।
• निरंतरता और भिन्नकरण के बीच का संबंध।

परिचय

• स्वागत है सभी छात्रों का इस अद्भुत सत्र में।
• आज हम निरंतरता और भिन्नकरण की चर्चा करेंगे, और इससे संबंधित समस्या समाधान करेंगे।

निरंतरता (Continuity)

• निरंतरता का मतलब है कि किसी बिंदु पर ग्राफ का टूटना नहीं चाहिए।
• अगर किसी फंक्शन की लेफ्ट लिमिट, राइट लिमिट और फंक्शन की वैल्यू समान हैं, तो वह निरंतर है।

निरंतरता की तकनीकी परिभाषा

• निरंतर फंक्शन: यदि
  • [ \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) ]
  • [ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) ]
• भिन्नकरण के लिए तीनों वैल्यू समान होनी चाहिए।

भिन्नकरण (Differentiability)

• भिन्नकरण का मतलब है कि एक फंक्शन अलग-अलग बिंदुओं पर भिन्नकरण किया जा सकता है।
• भिन्नकरण करने के लिए लेफ्ट और राइट डेरिवेटिव्स की वैल्यूज़ को चेक करें।

भिन्नकरण की तकनीकी परिभाषा

• भिन्नकरण की स्थिति:
  • अगर [ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]
  • अगर यह लिमिट समान है, तो वह बिंदु डिफरेंटियाबल है।

नियम

• समय नियम (Rule of Time):
  • [ f'(x) + g'(x)] के लिए फंक्शन के वैरिएबल्स का जोड़ना।
  • [ f(x) imes g(x)] के लिए फंक्शन के वैरिएबल्स का गुणा करना।
  • [ f(x) / g(x)] के लिए फंक्शन के वैरिएबल्स का भाग देना।

महत्वपूर्ण बिंदु

-( f(x)) निरंतर है परंतु डिफरेंटिएबल नहीं हो सकता।

• निरंतरता और भिन्नकरण के बीच संबंध समझें।
• यदि डेरिवेटिव्स अलग हैं तो वह बिंदु डिफरेंटियाबल नहीं है।

समापन

• क्लास के अंत में समुद्री परीक्षा और समस्या समाधान का पुनरावलोकन करें।
• सभी छात्रों का धन्यवाद।
• दुआएँ और शुभकामनाएँ।

होमवर्क

• निरंतरता और भिन्नकरण पर अभ्यास करना।
• प्रश्न पत्र पर समाधान करना।

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