Lezione sui Logaritmi

Definizione di Logaritmo

• Logaritmo in base a di b: Indicato come ( \log_a(b) ), è l'esponente che bisogna dare alla base ( a ) per ottenere il risultato ( b ).
• Condizioni per i logaritmi:
  • L'argomento ( b ) deve essere positivo (( b > 0 )).
  • La base ( a ) deve essere positiva e diversa da uno (( a > 0 ) e ( a \neq 1 )).

Risoluzione di Equazioni con Logaritmi

• Esempio: ( \log_7(49) = 2 ) perché ( 49 = 7^2 ).
• Esempio: ( \log_2\left(\frac{1}{2}\right) = -1 ) perché ( \frac{1}{2} = 2^{-1} ).
• Esempio: ( \log_2\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right) = -\frac{3}{2} ) perché ( \frac{1}{\sqrt{8}} = 2^{-\frac{3}{2}} ).

Logaritmi e Numeri Irrazionali

• Se ( b ) non è una potenza di ( a ), il logaritmo ( \log_a(b) ) risulta un numero irrazionale.
  • Esempio: ( \log_2(3) ) non può essere espresso come una frazione.

Grafico delle Funzioni Logaritmiche

• Definizione: Una funzione logaritmica associa a ogni numero reale ( x ) il valore ( \log_a(x) ).
• Condizioni: ( a > 0 ) e ( a \neq 1 ).

Due Casi Principali

1. Base ( a > 1 ):

   • Grafico strettamente crescente.
   • Passa per il punto (1,0).

2. Base ( 0 < a < 1 ):

   • Grafico strettamente decrescente.
   • Passa per il punto (1,0).

Caratteristiche Comuni e Differenze

• I grafici sono definiti solo per valori positivi di ( x ).
• I logaritmi con base maggiore di 1 hanno grafici che salgono, mentre quelli con base tra 0 e 1 scendono.
• I grafici delle funzioni ( \log_a(x) ) e ( \log_{1/a}(x) ) sono simmetrici rispetto all'asse delle ascisse._

Conclusione e Considerazioni Future

• I logaritmi giocano un ruolo fondamentale nella risoluzione di equazioni esponenziali e nella comprensione di grafici.
• Il prossimo argomento sarà sulle proprietà dei logaritmi.
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