全微分についての講義ノート

開始の挨拶

• 講義の開始
• 面白いボケのアイデアが出ない
• 視聴者に面白いボケのコメントを促す

全微分とは

• 変数関数 f(x,y) の全微分は df で表される
• df は微小変化を表す記号
  • 変数 x と y が少し変化したときの f の変化量を示す

DFの計算方法

• 変微分ができると計算は簡単
• 計算方法:
  • x で変微分したものに dx をつける
  • y で変微分したものに dy をつける

計算の例

例1: 二変数関数の全微分

1. f(x,y) = 3x^2y + 2xy^2 の全微分を計算する
   • x で変微分: 3x^2y の微分 = 3x^2y dx
   • y で変微分: 2xy^2 の微分 = 2xy^2 dy
   • よって、df = 3x^2y dx + 2xy^2 dy

例2: 別の二変数関数の全微分

2. g(x,y) = e^(2x) * cos(y) の全微分を計算する
   • x で変微分: 2e^(2x) * cos(y) dx
   • y で変微分: -e^(2x) * sin(y) dy
   • よって、dg = 2e^(2x) * cos(y) dx - e^(2x) * sin(y) dy*

全微分の意味

• 二変数関数を三次元空間で考えると曲面になる
• xy 平面の特定の点での高さ (z) を調べる
• 高さの変化を全微分で求める

グラフによる説明

• 曲面とxy平面の交点で高さの変化を視覚的に示す
• dx と dy を使い高さの変化を表現
  • dx だけ動かしたときの変化と dy だけ動かしたときの変化を比べる

接平面の概念

• 微小変化において曲面が接する平面を考える
• dxもdyも非常に小さいとき、接平面が存在すると考える
• 接線と類似の概念で「接平面」と呼ぶ

傾きの計算

• x固定でyだけ変化したときの傾きは y の変微分
• x と y の変微分を用いて全微分の計算を整理

まとめ

• 全微分の計算方法とその意味を理解
• 微小変化に対する関数の変化を表すことができた

終了の挨拶

• 高評価とチャンネル登録を促す
• コメントやSNSフォローの案内
• 次回の授業動画への期待を述べる