んいやーあのね、全身分って言葉にかけて何かボケようと思ったんだけどいかんせん何も動かなくてねまぁ何もってのはさ、最初はなんかまぁいい度夢気分にかけて、いい度全身分と言おうと思ったんだけどもちろんこんなの言うまでもなく、まだ世に出すレベルではなくてちょっと自分の限界を感じてしまったのでここはもう皆さんにお任せします何かね全身分に欠けた面白いボケが浮かんだらねコメントの方に残してみてくださいおいっぱいコメント来てますねぜひ今動画見てる人はねスクロールしてコメント見てみてくださいいっぱい並んでますいやーどれもどれもファボセのボケすんなはいということで今回はね全微分やっていきたいと思いますまず最初に全微分とは何かっていうのを書いちゃうねはいこれfxyっていう変数関数の全微分どういう記号で表すかっていうとdfって書くんだねこいつはこんな風に変微分を使って表されますよって言ってるまず最初にこのDFの定義書いてみるねこれ df の d は微小変化って意味ねその意味の通り fxy 点に変数関数の変数 x と y がちょっとずつ動いたときに f の値がどんだけ変化しますかってのが df だなぜかこれがこんな風に変微分を使って表されるって言ってるんだけどもちろんこの段階では理由も全微分の意味も分かんないと思うんだけどとりあえず今分かるのは何かっていうと全微分の計算は変微分ができる人だったら別に簡単だよねだってこの2つの変微分xで変微分するのとyで変微分することさえできればおまけとしてdxとdyをつければおしまいなんだもんねだからまず最初に計算からやってみようかはいこの2つのね2変数関数を全微分する練習してみましょうまず最初に括弧1番からこいつの全微分考えるdfイコール計算自体はすごく単純でまず最初にこいつをxで変微分したものを書くこれxで変微分するから3が降りてきて3x乗y乗だよねそれにdxっておまけをつけるだけプラス次にこいつをyで変微分するから2が降りてきて2x乗y乗そしてdyっておまけをつけるだけこんな風に変微分の計算さえできればすごく簡単なのが全微分の計算練習としては2番も行こうこいつを全微分したいdfイコールまずはxで変微分するそうすると2が降りてきてこれにdxの分けをつけるxで変微分をしたら dx の負け、そして y で変微分したら dy の負けをつけるからこっち側はプラスのe の2x cos y dy だよね。 これでおしまい。 計算は変微分をするだけ。
ここでは簡単のために2変数関数の全微分しかやっていないけどももちろん3変数関数とか4変数関数とかいっぱい多変数になっても全微分というのは全部の変数がちょっと増えたときにどれだけ変化するのかというのがDFで結局その式というのもこうやって変微分したものの微小層分DX変微分したものの微小層分DY例えばZがあったらラウンドFラウンドZにDZをつけるだけで多変数関数になっても計算方法は同じですなので今回はその中でも一番簡単でイメージがしやすい二変数関数の前備部分の意味について話していきましょうじゃあ意味グラフ書いてみてこんな風に二変数関数fx,yって三次元空間中に書いたら普通はこういう曲面になるんだったねこの三次元空間中のxy平面のx,yって点に注目してみるこういうところねこの点での高さを調べてあげるつまりこうやって曲面とぶつかる場所ねもちろんこの座標はZなんだけどZがXとYを用いてどうやって表されるかっていうのがこのFXかもやらだねだってZ軸の値がこうやってXとYの関数で決まるって言ってるんだからこの点での高さっていうのがFXかもやらそのものでしょちょっと書いておこうかこれが今高さねこの曲面ので今やりたい何かっていうと前身部の定義もう一回確認してみるとはいちょっと雑に書いてあるけどこの次は dxだけずらす dy だけずらした時の高さとの差を見るんでね変化を見たい高さの変化が全理文なんだねこの図で言うとだから今から dx だけずらす dy だけずらした時にできる平行四辺形回転ねこんな風にちょっとわかりやすくするために塗っておこうかこうやってこの部分ちょっと拡大してみましょうここまでついて来なかった人もここで納得してくれればいいなと思います。 今何やったかっていうとx,y って場所からdxだけずらした時にこの曲面高さどういうふうに変化するかってのを結んだのがこの赤い線です。 つまりこういうことね。 だからこの点っていうのはy は固定しているから x プラス dx カンバン y いいでしょうかこっち側は同じように x 固定で y だけ dy らけで済んだときのこの曲面の高さとの差を表しているだから絵で描くとこんな感じねちょっと立体的に難しいかもしれないけどこうやって直角三角形ができていてこの底辺が dyってことねだからここ何かっていうと今、俺らが知りたいのはもう一度確認すると、この点での高さ fとこの dx dy する時のこの場所の高さf y y dy っていうのを高さの差が知りたい。
でも、勘が鋭い人はもう気づいてるかもしれない。 一般にこれ局面上の点がさ、こうやってきれいに4点、同一平面上に乗ることってないよね。 普通例えば9とかでもさ、適当に4点書いたらこれ同一平面に乗るとは言えないよねだって下敷きとか例えば地球儀にプタッとやったら浮いちゃうもんねだからこれ普通はダメなはずなんだ4点が同一平面上に一般的にあるとは言えないからねただこれは今DXもDYも十分小さいからそういう平面が存在するって考えるこういう小さいからこそ曲面がめちゃくちゃ近くで見たら全部同一平面上にあるよねって考えることができるこういうのを関数のこういう場合のこうやって曲線だったら一般的に直線ではないけど近くだけ見たら直線のように見えるっていうのをなんて言ったかって言ったら接線って言ったよねそれと同じ感覚でこれ接平面って言いますこの用語も知っておくと少し便利かなと思いますじゃあねもう少しだけこの図に色々書き加えていきましょうこのこの線の傾きは何かというとy固定でxだけちょっと変化したときの傾きはxの変微分の定義そのものだもんねだからこの線の傾きはラウンドFラウンドxねじゃあこの線の傾きはx固定でyだけちょっとずれたときの変化なんだからこれyの変微分の定義そのものだだから傾きはラウンドFラウンドYいいでしょうかこれで考えるのに必要な材料が揃ったじゃあこっち側で計算しましょうじゃあまず最初にこの点での高さを使ってこの点での高さを表してみようかそれがステップ1この点での高さってのは何かというとこれだよねこれをこの点での高さを使って表すって言ってんだからイコールfxかyこっからどんだけ進んだかっていうのを考えるんだねそれはこの赤色の線が傾きラウンドfラウンドxで微小動物がdxなんだから傾きにこの変化分かけたら高さの変化になるよねだからプラスのラウンドFラウンドXのDXとなると今XかYという点における傾きだからここにちゃんとXかYと書いておいたからねじゃあステップ2に行きましょう今何するかというと今ここまで来た俺らはこっから次ここに進みたいこの点での高さっていうのはこれだよね自分たちのゴールそのものだったdxとdyが進んだ場所の高さこれをこの点での高さを使って表していきたいわけだからイコールこうだねここからどの時に増えたかを考えるプラスのここからスタートするよそしたらこの線の傾きにdyの微小増分をかければいいよね今これ平行四辺形だからこっち側も進む距離はdyと同じねだからこうなるよね少し注意があってこの点は今xプラスdxかもyだからxプラスdxかもyでのy方向の傾きを書く必要があるよねだから今こう新しく書いたんだけども今これ平行四辺形だって言ったからこの場所平行だよそれは片向き同じだよねだからxかyにおけるyの変微分と全く同じなのでこの部分書き直しておきましょうこうやってこれ平行だからやっていいよね平行とじゃあ今これでもう武器は揃いましたここからここに行けたここからここに行けたからこれらはこことここをつなぐだけ丸一丸二よりいいよねこいつをこの右辺をここに代入して整理しますそうするとこうなるよね今この部分書き換えたものを書いたからねここに最初に言ったようにこのdxだけ増えてdyだけ増えたときのこのfの変化っていうのがdfそのものだからよって左辺はdfそして右辺どうなるかっていうと今xかyって別に何の特別な場所でもないからこれを省略した表記にするとこういう風に最初に書いたような全微分の式が現れるということになります少し補足事項を言っておくと今ここまでこうやってたどったけどももちろんこうやってたどっても同じものが得られますいいでしょうかだから自分たちは今これは今回の話をまとめるとこのDxだけ増えたときの関数の変化つまりこの図でいうと高さの変化っていうのは変微分にその方向の微小増分プラス変微分にその方向の微小増分でいいってことが今回の計算から理解できたかなと思いますこれが全微分の意味でしたよく理解できたでしょうかじゃあまた別の授業動画でお会いしましょう今回はこれでおしまいお疲れ様でしたいやー今回もねまた勉強になったなと思った人はねぜひ高評価よろしくお願いしますそしてさらにこのチャンネル応援してやってもいいなとかねまたこういう動画見たいなと思った人はねぜひチャンネル登録をよろしくお願いしますコメントやTwitter、Instagramのフォローも待ってますそれじゃあまた