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मैट्रिस और डिटरमिनेंट्स का ज्ञान

तो चलो भाई आज हम पढ़ेंगे मैट्रिस का पूरे का पूरा डिटेल में एक एक टॉपिक इन मैट्रिस डिटेल वन शॉट डिटरमिनेट हम पहले कर चुके जिसने नहीं किया पहले देख लेना आई विल नॉट से बहुत जगह पर इकी दु की जगह पर डिटरमिनेट की हेल्प होगी मैं उसका रेफरेंस लूंगा इस चैप्टर में हम पढ़ने क्या वाले हैं वेल काफी कुछ पढ़ने वाले हैं करीबन चार घंटे के आसपास सवा घंटे के आसपास टाइम लगेगा एंड नेचर ऑफ चैप्टर की अगर बात करें स्ट्रेट अवे गट अवे क्यों करनी पहले बता द दू नए बच्चे को मेरा नाम अरविंद कालिया सर है बच्चे प्यार से भाई बुलाते हैं बिकॉज दैट द वे आई फील फॉर यू ऑल पीछे ही मैं कुछ कोटा सेंटर गया था वहां बहुत सारे बच्चों से मिला और जब इतने सारे बच्चों ने भाई कके बुलाया भाई रूह खुश हो गई उस दिन एक्चुअली में ना मतलब लगा कि यार एक भैया इस चैप्टर में क्या-क्या होगा कैसे होगा पढ़ने का तरीका क्या होगा और कौन सी जगह जहां पे आपको फोकस थोड़ा ज्यादा रखना होगा पहली बात ये इजी और स्कोरिंग चैप्टर में आता है इसकी वेटेज अच्छी रहती है इजी रहता है और स्कोरिंग रहता है वेल इजी हर जगह नहीं बट मोस्ट ऑफ टाइम इट हैज अ लॉट ऑफ डेफिनेशन तो पहले 510 मिनट में ऐसा लग सकता है कि यह डेफिनेशन चलती जा रही है बट डोंट वरी मैंने उन डेफिनेशन के बीच में ना एक दो बहुत प्यारे सवाल रखे हुए हैं जिनके थ्रू 11थ के कुछ बहुत ही प्यारे कांसेप्ट तुम्हारे रिवाइज हो जाएंगे देन मेजर क्वेश्चंस यू विल फाइंड इजी टू एवरेज इसके मेजॉरिटी ऑफ क्वेश्चन आपको इजी टू एवरेज के बीच में मिलेंगे अबोव एवरेज क्वेश्चन कम मिलेंगे या तो इजी टू एवरेज या बिल्कुल टफ दो कैटेगरी ज्यादा रहती हैं अब बव एवरेज थोड़े कम मिलते हैं रेयरली यू विल फाइंड अबब एवरेज क्वेश्चंस या तो इजी एवरेज या टफ अबब एवरेज थोड़े कम रहते हैं इफ यू वांट टू डू गुड इन चैप्टर अब ये सबसे इंपोर्टेंट पॉइंट है इस चैप्टर में जहां-जहां भी प्रॉपर्टीज आएंगी ना उनको पी जाना मैक्सिमम प्रॉपर्टीज को पढ़ लेते हैं पर उसको दिमाग में नहीं रखते सीधे सवाल करने लग जाते हैं फिर सवालों में कैलकुलेशन हो नहीं पाती क्योंकि वहां पे प्रॉपर्टी यूज हो रही थी तो प्रॉपर्टीज जहां भी आएंगी अच्छे से दिमाग में रखना चाहे तो साथ में रख के सॉल्विंग करना क्योंकि प्रॉपर्टीज का बहुत ज्यादा यूज होने वाला है ठीक है जी यस ऑफ कोर्स आई कैन रीड योर चैट नेक्स्ट चैप्टर आप जो कह रहे हैं वो कर लेंगे यार गॉड ब्लेस यू कोई बात ही नहीं है ठीक है जी तो भैया इसी के साथ वेटेज की बात कर जैसा मैंने कहा वेटेज इसकी अच्छी खासी रहती है अगर देखो हर साल आपको एक साल पक्का मिलेगा सर उतनी भी अच्छी खासी नहीं है पॉइंट की मैट्रिस एंड डिटरमिनेट ये मिला के अच्छा खासा वेटेज आता है अकेला मैट्रिक्स में वेटेज थोड़ा कम दिखता है क्योंकि कहीं ना कहीं डिटर्मिननेंट यूज़ हो जाता है तो वो पार्ट डिटरमिनेट में चला जाता है राइट तो मैट्रिसेज डिटरमिनेट को अगर आप एक यूनिट मान लो तो इस यूनिट की बहुत अच्छी वेटेज है इजी टू डू है एंड अच्छा खासा स्कोर इसमें किया जा सकता है अगेन इसमें डिटरमिनेट और मैट्रिक्स आप दे दोनों में वेटेज आपको दिया हुआ है अगेन यहां पे देखो और यहां पे देखो दोनों को कंबाइन कर दो तो एडवांस्ड में वेटेज देखो 2.5 और 6 3 या 89 पर के आसपास इसकी वेटे चली जाती है व्हिच इज एक्चुअली वेरी गुड समझ रहे हो 10 में से एक क्वेश्चन इसका आ रहा है देन अगर हम बात करें क्या-क्या पढ़ने वाले हैं इस चैप्टर में हम सारे टॉपिक पढ़ेंगे ओबवियसली एक भी टॉपिक नहीं छोड़ेंगे कंप्लीट डिटेल्स है क बार बच्चे पूछते हैं सर इतना डिटेल वन शॉट आप चार सवार घंटे में कैसे करा देते हो बेटा क्योंकि बीच में ना इधर की बात करता हूं ना उधर की बात करता हूं पढ़ाता हूं बीच में अगर आपको लिखना है तो आप पॉज करके लिखते हो मेरा वो टाइम बच जाता है राइट और सवाल मैं पहले से ही सोच के आता हूं कि मुझे कैसे बताना है कि बच्चे को समझ आ जाए तो कहीं पे ओवर एक्सप्लेनेशन होती ही नहीं और बाकी तुम सारे चैंपियन हो यार एक ही बार में समझ जाते हो सब कुछ तो भैया आज चार सवा चार घंटे में मैट्रिसेज का एक-एक पार्ट कवर हो जाएगा इंक्लूडिंग मतलब नंबर ऑफ क्वेश्चंस बहुत सारे क्वेश्चन करेंगे हम आज और हां क्वेश्चन से याद आया एक शीट मैंने डिस्क्रिप्शन में दी है वो आपने अटेंप्ट करनी है सेशन के बाद उसमें कौन से क्वेश्चंस हैं जो लास्ट ईयर वन शॉट में मैंने करवाए थे और इस साल वो चेंज हो चुके हैं भैया अब राद देन कि आप पिछले वन शॉट को दोबारा देखो पूरी सॉल्विंग प्रैक्टिस के लिए उससे अच्छा कि उसके वो सारे क्वेश्चन जो चेंज हो गए वो मैं आपको एक शीट में दे दूं तो वो शीट आपको डिस्क्रिप्शन में मिल जाएगी इसे अटेम्प्ट करने के बाद उसको सॉल्व करना हर एक क्वेश्चन का एक सॉल्यूशन का लिंक भी गिवन है आप उस पर क्लिक करेंगे तो वीडियो सलूशन शुरू हो जाएगा ठीक है तो उसे जरूर अटेंप्ट करिएगा आउट ऑफ दिस टॉपिक ये टॉपिक ऐसा है जो अभी सिलेबस से हट चुका है आपके स्कूल से भी जेई से भी बट हम इसका ना एक छोटा सा कंसेप्ट कांसेप्ट वाला पार्ट होता है उसे जरूर पढ़ेंगे क्योंकि उस कांसेप्ट पे जेई मेन एडवांस में इक्के दुक्के सवाल देखे गए हैं तो वो कांसेप्ट जरूर समझेंगे बाकी तो भैया पूरा पढ़ना है और क्रिटिकल टॉपिक की बात करें अलजेब्रा ऑफ मैट्रिक्स बेटा मैट्रिक्स अब शुरू कर रहे हैं तो भैया दो मैट्रिक्स आपस में भिड़े कैसे हैं सबसे पहले वो इंपॉर्टेंट है देन ट्रांसपोज्ड तो कोई नहीं छोड़नी कोई भी नहीं छोड़नी ट्रांसपोजर कीज क्यों इंपॉर्टेंट है क्योंकि ट्रांसपोजर में आगे बहुत सारी डेफिनेशंस बनती हैं तो उनके सवालों में ट्रांसपोजर होता है तो अगर ट्रांसपोजर कीज नहीं आई तो वहां पे दिक्कत आएगी एंड देन एड जॉइंट ऑफ मैट्रिसेज एड जॉइंट एक ऐसा टॉपिक है कि अगर मैट्रिक्स में बच्चे को बोलना हो कि यार बिल्कुल टाइम नहीं है बहुत कम टाइम बचा है एक ही टॉपिक पढ़ सकते हो तो ये पढ़ लो क्योंकि मेजॉरिटी ऑफ प बा क्यूज यहीं से आते हैं ओके तो दिस यू कैन से दिस इज वन ऑफ द मोस्ट इंपोर्टेंट टॉपिक ऑफ दिस चैप्टर ठीक है आई एम वेरी गुड गॉड ब्लेस यू बेटा खुश रहो आई कैन सी योर चैट अरे क्या बात है मेरा भाई अरे गॉड ब्लेस यू इसलिए मुझे याद आया आप जो गॉड ऑफ मैथ्स कह रहे हो पहली बात तो चलो ठीक है आ आई एम हंबल्ड बाय दैट बट लेट मी टेल यू आप सारे अपने मैथ्स को कैसे इंप्रूव कर सकते हो इसको लेके जितना मैंने आज तक सीखा है उसको मैं एक वीडियो फॉर्म में भी ला रहा हूं तीन से चार दिन में वो वीडियो आपको उसके चैनल प मिलेगी उसे जरूर देखिएगा उसमें आपको बहुत रियलिस्टिक तरीके मिलेंगे अपने मैथ्स को इंप्रूव करने के ठीक है आ जाओ क्या बात है बहुत अच्छा आ जाओ तो भैया हां अगर तुम ड्रॉपर हो हो 2025 के लिए या फिर तुम 12वीं के बच्चे हो और तुम्हें लगता है कि तुम इसी साल में 12वीं और 11वीं दोनों पढ़ना चाहते हो जैसे ड्रॉपर्स पढ़ते हैं और तुम में वो गैस्पिंग पावर है कि तुम वो कर पाओ तो वेल दिस इज अ बैच फॉर यू फीनिक्स मार्स 2.0 बैच जो कि जेई 2025 को टारगेट करेगा इसमें ड्रॉपर और क्लास 12 दोनों बच्चे पार्ट ले सकते हैं करना क्या है आपको सब्सक्रिप्शन ले लेना है वन ईयर आईआईटी का सब्सक्रिप्शन इसका लिंक आपको डिस्क्रिप्शन में मिल जाएगा जस्ट क्लिक इट ले लीजिए प्राइस अगर ज्यादा दिखा रहा हुआ इससे इससे अगर ज्यादा दिखा रहा हुआ तो वहां पर कोड लगा देना नेस ए दिस कोड विल मेक श्यर कि वो प्राइस फॉल होके यहां पे आ जाए ओके एंड देन यू कैन गेट इनटू द बैच बहुत सारे बैचे के ऑप्शन होते हैं बट ये लेटेस्ट बैच शुरू हुआ है तो थोड़ा स्टार्ट से अच्छा मतलब कोई बैकलॉग नहीं रहता तो वो सारे बच्चे जो ये ऑ करना चाहते हैं ऑप्ट टेक सब्सक्रिप्शन एंड स्टार्ट स्टडिंग विद अनअकैडमी तो चलो भैया जुलाई 24 से शुरू होगा वहां भी मिलेंगे क्योंकि इसमें मेरी भी कुछ चैप्टर्स के पार्ट आएंगे जो मैं खुद पढ़ाऊंगा शुरू करें चैप्टर को यस राधे राधे खुश रहो शेरा गॉड ब्लेस यू क्या बात है तो चलो भैया अब हम शुरू करेंगे पढ़ाई चैट में जवाब वहां देना जहां मैं सवाल पूछूंगा और बाकी सारा फोकस यहां पे तो सबसे पहले डिस्क्राइबिंग मैट्रिक्स भैया मैट्रिस दिखते कैसे होता क्या है तो पहली बात तो कुछ नंबर्स को एक ना कुछ रोज और कुछ कॉलम्स में फिट कर दिया साइड प ब्रैकेट सी लगा दी बड़ी सी इसे मैट्रिक्स कहा जाता है जैसे नंबर कैसे दिखते हैं 1 2 1/3 2/4 √3 नंबर ऐसे दिखते हैं ऐसे ही मैट्रिक्स दिखता कैसे है मैट्रिक्स कुछ ऐसा दिखता है नोटेशन वाइज डिटर्मिननेंट जैता रहता है यानी कि ये इसकी रो वन है ये इसकी रो टू है सिमिलरली ये कॉलम वन है ये कॉलम टू है और कोई भी एलिमेंट जो है उसे a आ ज से डिनोट किया जाता है i रिप्रेजेंट कि वो कौन से रो में बैठा है और ये रिप्रेजेंट कि वो कौन से कॉलम में बैठा है स्टैंडर्ड नोटेशन जो आपके डिटरमिनेट में भी होती है बस ब्रैकेट का फर्क है थोड़ा ऐसे लगाते हैं क्लोज्ड टाइप की ब्रैकेट दूसरा इसमें जितने रोज है उसे यहां लिखा जाता है और जितने कॉलम्स है उसे यहां लिखा जाता है m क्रॉस n ओके नाउ टाइप्स ऑफ मैट्रिक्स भैया सबसे पहले तो मैट्रिक्स कैटेगरी हो जाते हैं ऑन द वे ऑफ ऑन द बेसिस ऑफ कि वो दिखता कैसा है ठीक है आ जाओ आ जाओ आ जा दिखता कैसे है भैया देखो अगर आपका मैट्रिक्स ना देखने में ऐसा है कि उसमें बस एक ही रो है रो एक है कॉल जितने मर्जी हो एक हो दो हो तीन हो चार हो जितने मर्जी हो ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है आपका रो मैट्रिक्स यहां पर कुछ नंबर्स बैठे होंगे कुछ एलिमेंट्स बैठे होंगे इसे कहते हैं रो मैट्रिक्स तो मेरे ख्याल से कॉलम मैट्रिक्स तो खुद ही सोच लिया हमने जो देखने में ऐसा हो जिसमें कॉलम एक है कॉलम एक है नंबर ऑफ रोज जितनी मर्जी हो एक हो दो हो तीन हो जितनी मर्जी m क्रॉस इसे कहते हैं कॉलम मैट्रिक्स जैसी शक्ल है उसी से नाम बना दिए गए जीरो और नल मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स जिसके सारे टर्म्स जीरो हैं सारे टर्म्स जीरो हैं उसे जीरो मैट्रिक्स या नल मैट्रिक्स कहते हैं हॉरिजॉन्टल मैट्रिक्स किसको कहते हैं जो देखने में हॉरिजॉन्टल हो जरा एक बात बताओ अब तुम्हारी बारी आ रही है जवाब देने की अब चैट में जवाब देना अगर मैट्रिक्स देखने में लंबी सी है तो उसमें नंबर ऑफ रोज ज्यादा रही होंगी या नंबर ऑफ कॉलम ज्यादा रहे होंगे तुम्हारे मुताबिक क्या लगता है मैट्रिक्स देखने में लंबी है तो नंबर ऑफ रोज ज्यादा है या नंबर ऑफ कॉलम ज्यादा है रोज को ऐसे देखते हैं रो वन रोटू रो थ ऐसे देखा जाता है और कॉलम्स को ऐसे देखा जाता है कॉलम वन कॉलम टू कॉलम थ्री कॉलम फोर कॉलम फाइव सर नंबर ऑफ कॉलम ज्यादा होंगे कुछ बच्चों ने रोज कह दिया गलती लगती है होती है क्योंकि सर रो हॉरिजॉन्टल लंबा है अबे रोज तो कम है कॉलम ज्यादा आ गए यह मत बोलो कि सर रो लंबी है अबे रो लंबी से ब थोड़ी बनता है यार नंबर ऑफ रोज कितनी है सर नंबर ऑफ रोज तो कम है नंबर ऑफ कॉलम्स बहुत ही ज्यादा है n ग्रेटर द m नंबर ऑफ कॉलम ज्यादा तो इससे वर्टिकल मैट्रिक्स तो मेरे हिसाब से आप खुद ही समझ जाओगे जब नंबर ऑफ रोज ज्यादा हो जाएंगी जब नंबर ऑफ रोज ज्यादा हो जाएंगी तो वर्टिकल कॉलम वर्टिकल मैट्रिक्स स्क्वायर मैट्रिक्स जब m और n बराबर हो गए m क m ओए क्या करते हो भैया जी m क्रॉस m नंबर ऑफ रोज नंबर ऑफ कॉलम्स बराबर तो देखने के बेसिस पे यह पांच छह कैटेगरी बन गई पर मैट्रिक्स के टाइप और भी आएंगे जो बेस्ड होंगे उनकी क्वालिटीज पे वो थोड़ी देर बाद आएंगे अभी के लिए स्क्वेयर मैट्रिक्स को थोड़ा सा और पढ़ा जाएगा मैट्रिक्स हम देखेंगे कि जितनी भी डेफिनेशंस आने वाले हैं जितने भी कह लो कि काम आने वाले हैं ना जितने भी काम आएंगे सवाल आएंगे वो स्क्वेयर मैट्रिक्स के ऊपर बनेंगे तो स्क्वेयर मैट्रिक्स थोड़ा सा और चीड़ फाड़ किया जाएगा आ जाओ स्क्वेयर मैट्रिक्स क्या कहता है अब देखने में कुछ ऐसा होता है जितने रोज हैं उतने ही कॉलम्स हैं इसे कहते हैं स्क्वेयर मैट्रिक्स स्क्वेयर मैट्रिक्स से जुड़ी हुई कुछ टर्म्स यह वाले जो नंबर्स हैं यह नंबर से मेरा मतलब क्या है a आ आ a11 a22 a33 इनको कहा जाता है डायगोनल एलिमेंट्स डायगोनल एलिमेंट्स ओके सर दूसरी बात इन्हीं नंबर्स के सम को इन्हीं नंबर्स के सम को कहा जाता है ट्रेस ऑफ मैट्रिक्स तो जरा बताइए इस मैट्रिक्स का ट्रेस कितना है अब तुम्हारी बारी है चैट में जवाब देने की इस मैट्रिक्स का ट्रेस कितना है सर डायगोनल के एलिमेंट्स का सम 1 + 5 + 2 सर ट इज द आंसर राइट एट इज द आंसर एक बच्चे ने 10 बोल दिया ओ इतनी भी जल्दी ना करो यार एट एट इज द आंसर बच्चे ने गलती कि बच्चे ने इसे भी काउंट किया वेल दिस इ नॉट अ डायगोनल डायगोनल का मतलब यह नहीं कि जो डायगोनल पर बैठा हुआ है ओके डायगोनल का मतलब वो नहीं है डायगोनल एलिमेंट की डेफिनेशन है ए आई आई यानी कि a11 a22 a33 ओके जरा देखिए यहां प ए1 a22 सो ऑन टू ये जो एलिमेंट्स है सिर्फ इनको कहा जाता है डायगोनल एलिमेंट्स ओके यस ऑफकोर्स याद है बेटा याद है अभी फोकस यहां करो सारे के सारे सीखने प ओके देन आ गया ए आई आई डायगोनल एलिमेंट इनके सम को कहते हैं ट्रेस पर जो बाकी एलिमेंट है उन्होंने कौन से पाप किए है ना भैया उन्होंने कौन से पाप किए जरा इन एलिमेंट प फोकस करिए यह वाला और यह वाला मैं कह सकता हूं कि यह डायगोनल के अबाउट सिमिट्रिक दिख रहे हैं सिमिट्रिक जैसा ये डायगोनल के नीचे है वैसा ये ऊपर है सिमिलरली जैसा ये नीचे है वैसा ही ये ऊ इसे कहते हैं कंजुन्नी तो क्या है ए आई ज एंड ए ज आई अगर इसकी बात करो यह है a21 और यह है a12 तो एक ए आई ज है एक ए ज आई है पर ऐसे नहीं दिमाग में रखना दिमाग में कैसे रखना है डायगोनल के अबाउट जो सिमिट्रिक एलिमेंट्स है जैसे नीचे वैसा ऊपर जैसा नीचे वैसा ऊपर इनको कहते हैं कॉन्जुलेरे एलिमेंट्स तो भैया ये हो गए आपके बेसिक डेफिनेशंस स्क्वेयर से जुड़े हुए अब क्योंकि स्क्वेयर मैट्रिक्स इंपोर्टेंट बहुत ज्यादा तो इसका और चीट फाड़ करना पड़ता है स्क्वेयर मैट्रिक्स फर्द कुछ टाइप्स में डिवाइड हो जाती है और यहां पे ना आपका विजुलाइजेशन मैटर करेगा मुझे जवाब दीजिएगा सही क्वेश्चन पूछूंगा सही जवाब देना आओ ट्रायंगुलर मैट्रिक्स ट्रायंगुलर मैट्रिक्स क्या होता है एक ऐसा मैट्रिक्स जिसमें डायगोनल के ऊपर कुछ भी नहीं है यानी कि जीरो है डायगोनल के ऊपर सारे जीरो हैं तो देखने में कुछ ये ट्रायंगुलर लुक दे रहा है कि यहां पर सारे जीरो जी है यहां पे कुछ एलिमेंट बैठे हैं हां सर ये ट्रायंगल टाइप का लुक दे रहा है या फिर डायगोनल के नीचे कुछ नहीं है नीचे कुछ नहीं मतलब नीचे जीरो जी जीरो है तो ये भी ट्रायंगल की लुक दे रहा है तो इन दोनों को कहते हैं ट्रायंगुलर मैट्रिक्स एक छोटू सा एग्जांपल मैं यहां बनाऊंगा 102 0 0 1 0 2 तो जरा ध्यान से देखो कि इस मैट्रिक्स में डायगोनल के ऊपर कुछ भी नहीं है कुछ भी नहीं से मेरा मतलब क्या है जीरो अब आपने मुझे यहां पर जवाब देना है जो एलिमेंट्स जीरो है यानी कि डायगोनल के ऊपर के एलिमेंट्स उनमें आई बड़ा है या ज बड़ा है आई बड़ा है या ज बड़ा है सर डायगोनल के ऊपर के एलिमेंट सर एव a12 a13 सर ज बड़ा है ज वेरी गुड इफ ज इज ग्रेटर दन आ तो आओ सबसे पहले इसको डिफाइन करते हैं जब डायगोनल के ऊपर कुछ नहीं होता ऊपर कुछ नहीं होता यानी कि जीरो है उसे कहते हैं लोअर ट्रायंगुलर और इसे डिफाइन कैसे करते हैं कि भैया डायगोनल के ऊपर के एलिमेंट सारे जीरो है इफ ज ग्रेटर दन आ दिस टेल्स डायगोनल के ऊपर के एलिमेंट्स वेरी गुड शबा अब इधर आ जाओ अगर डायगोनल के नीचे कुछ नहीं होता उसे कहते हैं अप्पर ट्रायंगुलर मैट्रिक्स तो भैया डिफाइन कैसे होगा ए आई ज जीरो है अगर आ ज्यादा है यहां पर a21 a31 a32 आ बड़ा रहेगा सो मोटा मोटा अगर इसको दिमाग में पिक्चर बना ले किसी भी मैट्रिक्स में यहां पर आई और ज बराबर होते हैं ट 2 33 एंड सो न नीचे की बात करें तो आ बड़ा होता है और अगर ऊपर की बात करें तो ये बड़ा होता है और ये आपको थरेट एंगल से याद होना चाहिए कई बारी सवाल में थरेट कली चीजों को प्रोवाइड किया जाता है तो वो इंफॉर्मेशन समझ आनी चाहिए ओके सर अब इस डेफिनेशन को थोड़ा सा और क्लियर करना है क्योंकि यहां पर होगा बहुत सारा कंफ्यूजन आ जाओ कहां गया ये रहा ध्यान से सुनना लोर ट्रायंगुलर का मतलब है डायगोनल के ऊपर कुछ नहीं है ना ट्राई टू सी डेफिनेट में कहीं पर भी डायगोनल में क्या है यह नहीं बोला गया डायगोनल के नीचे क्या है यह नहीं बोला गया यानी कि अगर डायगोनल पे भी जीरो होते कोई फर्क नहीं यह अभी भी लो लोअर ट्रायंगुलर है अगर इधर कुछ ज्यादा जीरो होते तो भी यह लोअर ट्रायंगुलर है डेफिनेशन कहती है डायगोनल के ऊपर अगर सारे जीरो है तो उसको लोअर ट्रायंगुलर बोलेंगे डायगोनल पर क्या है डायगोनल के नीचे क्या है ये फर्क नहीं पड़ता सर अगर सारे ही एलिमेंट जीरो हो गए इसको भी लोअर ट्रायंगुलर बोलेंगे या नहीं बोलेंगे 100% बोलेंगे क्योंकि डेफिनेशन कहती है डायगोनल के ऊपर अगर जीरो है तो उसको लोअर ट्रायंगुलर बोला जाएगा बाकी जगह क्या मैटर नहीं करता सर इसका मतलब यह वाला अपर ट्रायंगुलर भी है लोअर ट्रायंगुलर भी है 100% 100% हो गए सारे डाउट क्लियर इस डेफिनेशन को लेके इसके अलावा यहां पर और कोई डाउट नहीं आता तो यह हो गया लोअर ट्रायंगुलर अपर ट्रायंगुलर अब आ जाते हैं डायगोनल मैट्रिक्स पे डायगोनल मैट्रिक्स बोले तो डायगोनल के अलावा सारे जीरो है डायगोनल के अलावा सारे जीरो है यानी कि इसे लिखा कैसे जाएगा ए आई ज जीरो है अगर आपका आई और ज बराबर नहीं है अगर आ और ज बराबर नहीं मतलब आप डायगोनल के अलावा देख रहे हो अब मुझे आपने बात बतानी है इस डेफिनेशन में कहीं पर भी ऐसा लिखा है कि डायगोनल पर क्या होना चाहिए कहीं पर भी ऐसा लिखा है कि डायगोनल पर क्या होना चाहिए नहीं सर इसने तो इतना बोला है कि डायगोनल के इलावा सारे जीरो होने चाहिए यानी कि डायगोनल पर चाहे जीरो एलिमेंट आए चाहे नॉन जीरो एलिमेंट आए डजन मैटर इट विल बी कॉल्ड डायगोनल मैट्रिक्स सर यानी कि अगर यहां पर 0 0 0 होता तो भी यह डायगोनल मैट्रिक्स कहलाता 100% कहलाता सर यानी कि एक नल मैट्रिक्स नल मैट्रिक्स डायगोनल भी है अपर ट्रायंगुलर भी है लोअर ट्रायंगुलर भी है यस 100% यस सो आई सपोज ऑल द डेफिनेशन आर क्लियर डायगोनल में फर्द अगर यहां जो एलिमेंट बैठे हुए हैं वो सेम हो वो सेम हो a a a तो इसको स्केलर मैट्रिक्स कह देते हैं ए ए ए बैठा हो तो स्केलर मैट्रिक्स कह देते हैं और इन पर्टिकुलर ये जो ए ए ए है यहां पर नवव हो नवव कहां गया भैया डायगोनल इज कहां गया भैया हां हैविंग वन एट डायगोनल यानी कि वन वन वन बैठा हो तो उसको आइडेंटिटी मैट्रिक्स कह दिया जाता है अब इसको आइडेंटिटी मैट्रिक्स क्यों कहा जाता है यह हम थोड़ा आगे जाके सीखेंगे अभी 10 15 मिनट में लो जी यह तो हो गी सारी डेफिनेशंस लव यू टू शेरा गॉड ब्लेस यू अर्जुन क्या बात है गॉड ब्लेस यू खुश रहो तो यह हो गई डेफिनेशंस अब जरा मुद्दे की बात करते हैं यहां से वह काम शुरू होगा जो आपको सवालों में काम आने वाला है और इसके बीच में ना बहुत बेसिक बेसिक डेफिनेशंस में मैंने बहुत प्यारे-प्यारे सवाल डाल रखे हैं जिसके थ्रू आपकी बहुत चीजें रिवाइज होने वाली है ध्यान से बस सुनना ध्यान से और दिल करे तो पॉज करके खुद ट्राई करना क्योंकि बेस्ट अप्रोच तो वही है दो मैट्रिक्स बराबर कब कहे जाएंगे दो मैट्रिक्स को ऐड कैसे किया जाएगा मैस को कांस्टेंट से कैसे मल्टीप्लाई करेंगे और दो मैट्रिक्स आपस में कैसे मल्टीप्लाई होंगे सबसे पहले दो मैट्रिक्स को बराबर कब कहा जाएगा जब वो हूबहू सेम होंगे जब वो हूबहू सेम होंगे कोई फर्क ही नहीं है उनको कहेंगे इक्वल मैट्रिक्स जैसे कि यहां बोला गया दिस इज इक्वल टू दिस देन एक्स प्वा जड मतलब एक्स वा जड की वैल्यू बताइए कहता अगर ये दोनों बराबर है तो मैं क्या बोलूंगा अगर यह बराबर है तो यह वाला टर्म इसके बराबर होना चाहिए क्योंकि यह हूबहू सेम होने चाहिए कोई फर्क ही नहीं होना चाहिए तो यहां से x की वैल्यू डायरेक्टली आ जाएगी कितनी भैया -2 ओके और मैं क्या बोलूंगा यह चीज़ इसके बराबर होनी चाहिए हूबहू सेम होने चाहिए इसमें मैं क्या बोल दूंगा 2y + x = 0 तो y = - x / 2 x तो पहले से ही आ चुका है = 1 क्या आगे z w मैं निकाल के दिखाऊं या ठीक है हो गया बोलो शाबाश z डड भी मैं ही निकाल के दिखाऊं या हो गया सर ये चीज ओए होए ये कलर कहां से आ गया सर यह अगर इसके बराबर है तो z की वैल्यू फोर आ जाएगी बहुत बढ़िया और सर अगर यह वैल्यू इसके बराबर है तो डबल की वैल्यू आ जाएगी फोर बिल्कुल फोर आ जाएगी ना बिल्कुल फोर आ जाएगी तो सारे आ गए अब जो पूछा है बता देंगे बहुत ही बढ़िया यह सवाल पहला जहां पर आप एक बहुत अच्छ चीज को 11थ के कांसेप्ट को रिवाइज करने वाले हैं ध्यान से देखना हमें कहा गया x की वैल्यू बताइए ये दोनों बराबर हैं हमने कहा हूबहू सेम होने चाहिए 3 और 3 तो पहले से सेम है तो इन दोनों को सेम होना चाहिए तो हमने कहा x पावर 4 + 3x स् + 2x शुड बी इक्वल टू -2x क - 1 और पहले बता दूं इस सवाल में मैं एक चीज रिवाइज करवाऊंगी फिर अगले सवाल में एक दूसरी चीज रिवाइज करवाऊंगी और तीसरे सवाल में वो दोनों यूज करवाऊंगी और वहां पे एक चौथी रिवाज करवा चौथी नहीं तीसरी चीज रिवाइज करवा अच्छे से रिवाइज करना ध्यान से देखो एक्स निकालना सब कुछ एक साइड पर ले आए एक् पावर 4 2 एक्स क्य 3 एक्स स्क 2 एक्स प्व अब रिवीजन यहां पर क्या हो रही है आपके बेसिक मैथमेटिक्स की जब भी एक 4 डिग्री इक्वेशन आ जाए आपके पास और आपको दिखे एकस कब और एक्स वाले टर्म सिमिलर से है एक्स पावर 4 और कांस्टेंट टर्म सिमिलर सिमिलर मतलब कफिट सिमिलर है तो जब भी ऐसा हो यह दोनों आपस में सेम ये दोनों आपस में सेम तो बीच में बैठा एक स्क उससे डिवाइड कर देते हैं पूरे को पूरे को x स् से डिवाइड कर दो यह क्या बना x स् यह क्या बना 2x यह क्या बना 3 ये क्या बना 2 बा एक् ये क्या बना / एक् स् अब किसकिस के दिमाग में आ गया किसके आगे क्या करते थे किसकिस के दिमाग में आ गया शाबाश बता दो चैट में जब तक मैं यहां पर छोटू सा हिंट लिख देता हूं आपके लिए हां जी किसकिस के दिमाग में आ गया बढ़िया यस शाबाश सर अब ना हम x स् और / एक् स् को एक साथ लिख देंगे सर सर इनमें से टू कॉमन निकाल के x और 1 बा एक् को एक साथ लिख देंगे और इस तरह से मुझे सर यह दिख रहा है कि अगर मैं इस चीज को t बोल दूं t बोल दूं तो ये क्या बन गया आपका ् 2t प् 3 और इसे यूज करते हुए इसे क्या लिख सकते हैं सर जी वहां से दिख रहा है कि अगर x प्व बा एक t है तो x स् प् 1 बा एक् स् बनेगा t का स्क्वायर -2 t का स्क्वायर -2 बहुत बढ़िया तो ये बना t का स्क्वायर माइ 2 ऐसा करते ही ये इक्वेशन एक प्यारे से क्वाड्रेटिक में बन गई और देखो बहुत ही प्यारी क्वाड्रेटिक है स् प् 2t प्सव यहां से t की वैल्यू आ गई माइव और हमारा t क्या था x प् 1 बा एक्स भूल मत जाना t नहीं निकाल रहे एकस निकाल रहे हैं तो x स् प् x प्व वेल वेल वेल वेल वेल यहां तो एक दिक्कत आई दिक्कत नहीं मतलब आंसर तो आ गया बट ऐसा आंसर आया जो लोगों को खास पसंद नहीं आता उसने बोला था रियल एक्स वेल यहां से रियल एक् तो नहीं मिल रहा यहां से कौन सी दो वैल्यूज मिल रही है किसको याद है बताओ जरा जब तक मैं लिखता हूं नो रियल x यहां से कौन से दो रूट मिल रहे हैं हमको x स् + x + 1 = 0 के रूट्स बहुत अच्छे थे जरा 11थ के और फिरन दोनों को मिलाकर एक बढ़िया सवाल बनेगा वह तुमने करना है आ जाओ फाइंड द रिलेशन बिटवीन प क एंड आर फॉर च दिस अ टू आर इक्वल दस टू आर इक्वल अब प और क बराबर करने थे ट और टू तो बराबर है ही तो बेसिकली यह वाला टर्म शुड बी इक्वल टू ये वाला टर्म प कट क आ प् 2 आ प कुछ देखा देखा लग रहा है सर यहां देख के तो पक्के से लग रहा है p स् q स्क दिल तो कर रहा है ना कि इसको लिख दू 2r का होल स्क्वायर ऐसा दिल क्यों कर रहा है क्योंकि सर ये टर्म जब इधर आएंगी तो p * q तो ठीक है सर इसको मैं चाहूंगा q * 2r लिखना सर इसे मैं चाहूंगा p * 2r लिखना क्योंकि सर ऐसा लिखने पर ना ओए होए होए होए होए बहुत बढ़िया सर ऐसा लिखने पे कुछ ऐसा हो रहा है a स् + b स् + c स् - ए - bc-c अगर जीरो है तो ए ब स बराबर होंगे सर यह दिमाग में कैसे आया दिमाग में कब आता है यह आइडेंटिटी तब लगती है जब आपको तीन स्क्वायर दिखें और तीन प्रोडक्ट दिखे जब भी ऐसा दिखे तो आपके दिमाग में ये आना चाहिए स्क्वायर स्क्वायर स्क्वायर था यहां प्रोडक्ट प्रोडक्ट प्रोडक्ट था तो बस फिर मैंने इसको इसी शक्ल में लिखने की कोशिश की बात बन गई तो यहां से मुझे पता लगा भैया p इक्व क इ 2r होना चाहिए तो दैट इज माय आंसर अब देखो दो चीजें रिवाइज हो गई तुम्हारी ना छोटी-छोटी प्यारी प्यारी अब एक थोड़ी सी डेडी चीज को रिवाइज करते हैं छोटी सी डेडी चीज को रिवाइज करते हैं यहां पे रिकॉल रिकॉल प फोकस करना अभी सवाल रुक जाओ कॉम्प्लेक्टेड भी कर दे मिस कर देते हैं आज देख लो वो आइडेंटिटी कहती है कि अगर आपको a + ब ओमेगा प् c ओमेगा स्क्वा के मैग्निटिया इनमें से कोई भी दोनों बराबर होते हैं तो उसकी वैल्यू होती है a स् + b स् + c स् - ए - bc-c समझ पा रहे हो कि क्यों मैंने यह चीज यहां पर रिवाइज करवाई क्योंकि यार यह पिछले सवाल में देख लिया हमने अब ये इसके बराबर है और देखो ऐसी चीज इस सवाल में मैं आपसे पूछने वाला हूं एक्चुअली तो अब देखो कैसे दो तीन चीजों से मिलकर एक अच्छा सवाल बनता है सॉल्यूशन पिछले दो सवालों का जोड़ा हुआ कुछ नहीं किया लेट x इक्ट अल्फा सेटिस्फाई द फॉलोइंग मैट्रिक्स इक्वेशन हमने अभी अभी पिछले सवाल में इसी को इसके बराबर किया था और वहां से हमारे पास x की वैल्यू क्या आई थी ओमेगा और ओमेगा स्क्वायर तो यह रहा मेरा अल्फा यह है मेरा अल्फा अल्फा इ ओमेगा या ओमेगा स्क्वायर ओके उसके बाद कहता यह वैल्यू बताओ प प् q अल्फ प् 2 आ अल्फ स्क्वा तो हमें क्या पूछा गया है हमें पूछा गया है p प् q ओमेगा प् आ ओमेगा 2 आ ओमेगा स्क्वा यह हमसे पूछा गया है किसकिस की पुरानी यादें ताजा हो रही जरा बताइए या फिर प प्लस क ओमेगा स्क्वायर 2 आर ओमेगा यह हमसे पूछा गया है यह हमसे पूछा गया है तो यार हमें यहां पर अगर यह इसके बराबर पता है तो मुझे क्या पता है हमें पता है सर प स्क प् क स्क प् 2 आ का स्क्वायर माइनस प क माइट क आ माइनस 2 आ प जीरो है तो बताओगे आंसर क्या आ रहा है बोलो बहुत बढ़िया सर हमसे जो पूछा गया था वह यही तो था सर इसकी वैल्यू तो यही होती है प स्क प्स क स्क प् 2 आ का स्क्वायर माइनस प क माइन प इन 2r माइ क इन 2r सर इसकी वैल्यू यही तो होती है आपने अभी अभी बताया और सर वो तो जीरो है तो आंसर क्या आ गया जीरो कितने बच्चों को सवाल का पर्पस समझ आया कितने बच्चों को सवाल का पर्पस समझ आया कई बार एक अच्छा सवाल कुछ और नहीं दो छोटे-छोटे कांसेप्ट से मिलकर एक बढ़िया सी आइडेंटिटी लगाकर हो जाता है तो यह सवाल कतई टफ नहीं है इट इज जस्ट दैट कि वो दो तीन चीजें हमें याद है या नहीं याद है तो ये चीजें छोटी-छोटी अपने पास नोट्स में लिखते रहना चाहिए आपको ठीक ओके बहुत बढ़िया सर एक बार इसको रिपीट भी करेंगे हम वेरी गुड ऐसे क्वेश्चंस को जरूर रिपीट करना चाहिए क्योंकि यही आपकी लर्निंग है यहां पे आ जाओ अब आता है अगला सवाल टू मैट्रिस ऑफ सेम ऑर्डर आर एडेड टर्म बाय टर्म वेरी गुड तो दो मैट्रिस को ऐड कैसे किया जाता है सर एक बार दोबारा बता दोगे बेटा तुम 10 बार तुम्हारे लिए मैं 10 बार दोबारा बताऊंगा वीडियो पॉज करो 2 मिनट पीछे करो फिर से देखो फिर पॉज करो फिर दो मिनट पीछे करो ऐसे करके 10 बार करो मैं तुम्हारे लिए 10 बार रिपीट कर दूंगा सेम एक भी चीज चेंज नहीं होगी आ जाओ सो मैट्रिक्स की एडिशन कैसे होती है सबसे पहली बात दो मैट्रिक्स जो बिल्कुल सेम ऑर्डर के हैं वही आपस में ऐड या सबै किए जा सकते हैं और यह दोनों टर्म बाय टर्म होते हैं 2 फ में ऐड हो जाएगा 3 व में ऐड हो जाएगा तो टर्म बाय टर्म चीजों का एडिशन या सबट क्शन होता है इंपॉर्टेंट इज़ इन दोनों का ऑर्डर सेम होना चाहिए यह अगर 2x 3 है तो यह भी 2x 3 है तभी ऐड या सबट क्ट किए जा सकते हैं यस ऑफकोर्स भौमिक वेरी गुड सर अब आपने भौमिक जी बोला तो हम यहां पे यह रिवाइज करवाना चाहेंगे भौमिक जी कहते हैं सर इसी चीज़ को हम ऐसे भी लिख सकते हैं ना हां जी बेटा बिल्कुल लिख सकते हैं तो देखो तुम्हारे थ्रू बाकियों का भी फायदा हो गया उन्होंने यह भी रिवाइज कर लिया म एटलीस्ट उनके नोट में आ गया बाद में रिवाइज कर लेंगे कि इस चीज को ऐसे भी लिखा जा सकता है आ क्या बात है बहुत बढ़िया अब आ जाओ यहां पे देन कांस्टेंट से मल्टीप्लाई कैसे करते हैं भैया अनलाइक डिटरमिनेट डिटर्मिननेंट में तो किसी एक रो या किसी एक कॉलम में जाता था यहां पर पूरे मैट्रिक्स में मल्टीप्लाई हो जाता है इस के को अगर अंदर लेके जाओगे तो पूरे में मल्टीप्लाई होगा और याद है ना मेंटोस जिंदगी उल्टी होती है अगर किसी मैट्रिक्स से कुछ कॉमन निकालना पड़ा तो पूरे मैट्रिक्स में से कॉमन निकल के बाहर जाएगा दिस इज कांस्टेंट मल्टीप्लिकेशन जैसे कि यहां पे अगर बात की जाए आपको a दे दिया b दे दिया x की वैल्यू पूछी गई है गिवन दिस रिलेशन तो यहां से पहले मैं क्या कह दूंगा कि 3x की वैल्यू इसको उधर ले गए 2b इसको उधर ले गए 3a क्या मैं 2b - 3a निकाल सकता हूं सर मजे से निकाल सकता हूं तो निकाल दो 2 भी कितना बन गया सर 2 मल्टीप्लाई हुआ -8 6 2 - 4 ओके 3a 3 से मल्टीप्लाई करो पूरे में मल्टीप्लाई होगा सर 15 सर -3 9 6 सबै क्शन सबै क्शन कैसे होगी टर्म बाय टर्म सबै क्शन होगी तो 3x की वैल्यू आ गई -8 - 15 6 - -3 9 2 - 9 और -4 -6 पर हमें क्या चाहिए x तो x क्या आ गया 1/3 ऑफ दिस अब इसको अंदर ले जाओ या यहां रख लो वो तुम्हारी मर्जी है गॉड ब्लेस यू शेरा खुश रहो तो बड़ा इजली आराम से कांस्टेंट मल्टीप्लाई होता है चीजों को इधर-उधर आराम से किया जा सकता है इसमें कोई भी डाउट नहीं होना चाहिए वेरी गुड वेरी गुड नो केशव नो वो अलग आइडेंटिटी थी आप कंफ्यूज कर रहे हो वो तो a क + b क + c क माइनस 3abc वाली थी चलो आ जाओ यहां पे मल्टीप्लिकेशन ऑफ टू मैट्रिक्स अब दो मैट्रिक्स को मल्टीप्लाई कैसे करते हैं जैसे दो डिटरमिनेट मल्टीप्लाई होते थे बट डिटरमिनेट में ऑप्शन थी आप रो बाय कॉलम या कॉलम बाय रो जैसे मर्जी कर सकते हैं बट मैट्रिक्स में रो बाय कॉलम होता है तो आइए समझे यह एक मैट्रिक्स है और यह एक मैट्रिक्स है जिसको मल्टीप्लाई करना चाहते हैं दो मैट्रिक्स तभी मल्टीप्लाई हो सकते हैं अगर जो पहले बैठा है मैट्रिक्स उसमें जो नंबर ऑफ कॉलम्स है वह दूसरे के नंबर ऑफ रोज के बराबर हो तो भाई मैटर करता है कि पहले मैट्रिक्स कौन सा है बाद में कौन सा है इसीलिए इसको प्री मल्टीप्लायर बोलते हैं और इसको पोस्ट मल्टीप्लायर बोलते हैं दिस इ फर्स्ट थिंग नंबर टू अब इसमें जो प्रोडक्ट आता है उसका ऑर्डर आपको पहले से दिमाग में रखना है ए क्रॉस प ये आपके आंसर का ऑर्डर आएगा य आपके का ऑर्डर आएगा m क्रॉस p अब बात है कि इनको एग्जांपल में लगाते कैसे हैं आओ देखें यह मैंने बता दिया आपको पहले से टेंशन नहीं लेनी एग्जांपल के थ्रू समझते हैं सबसे पहले यह मल्टीप्लाई करने को बोला गया पहले आप देखेंगे कि क्या मैं य मल्टीप्लाई कर सकता हूं वह तब हो पाएगा अगर जो पहले में कॉलम्स है वह दूसरे के रोज के बराबर है सर बराबर तो है दूसरा स्टेप आप अपने आंसर का ऑर्डर लिखिए आंसर का ऑर्डर आएगा 2 क्रॉस 4 तो आपके आंसर में दो रोज आने वाली है और चार कॉलम आने वाले हैं हमेशा ऑर्डर पहले लिखिए प्रोडक्ट का वरना यहां पर अक्सर गलती हो जाती है अब एक बार याद कर लेते कि करते कैसे थे तो सबसे पहले क्या किया जाता है आप पहली रो को पकड़ लेते हैं याद रखिए जो पहली रो है आपके आंसर के पहले रो को क्रिएट करेगी कैसे इसको इससे मल्टीप्लाई किया 2 प् 6 प् 0 यह पहला टर्म फिर इसको दूसरे से मल्टीप्लाई किया 0 प् 3 प् 4 7 फिर इसको तीसरे से किया 2 प् 3 5 -4 1 फिर इसको चौथे से 4 प् 6 10 प् 12 22 तो आपका जो पहला रो है वो आपके आंसर का पहला रो क्रिएट करेगा इस तरह से दिमाग में रखना है दूसरी बात जो दूसरा रो है वो आपके आंसर का दूसरा रो क्रिएट करेगा इस तरह से आपको दिमाग में रखना है सेम प्रोसेस इसको यहां करिए पहले 1 ् 4 5 0 ् 2 प् 3 1 ् 2 3 - 3 2 प् 4 6 + 9 50 दैट इज योर आंसर एक छोटू सा पॉइंट जो कांसेप्चुअल लेवल पे आपको पता होना चाहिए ऐसे सॉल्विंग में मल्टीप्लाई में आपको कोई जरूरत नहीं पड़ेगी उसकी पर कांसेप्चुअल लेवल पे याद रखिएगा आपका प्रोडक्ट का प्रोडक्ट का जो आई ज एलिमेंट है प्रोडक्ट का आईजे एलिमेंट वो प्री मल्टीप्लायर के आईए रो आईए रो ऑफ प्री मल्टीप्लायर मल्टीप्ला बाय जेथ कॉलम ऑफ पोस्ट मल्टीप्लायर से क्रिएट होता है इसको कांसेप्ट लेवल पर दिमाग में रखेंगे तो कुछ जगह प ना थोड़े थरेट क्वेश्चन आते हैं उनकी स्टेटमेंट में थ्योरी दी होती है तो वो समझने आसान हो जाते हैं ओके जैसे कि अगर मुझसे कोई पूछे कि यह कहां से क्रिएट हुआ होगा तो मैं बोलूंगा यह कौन सा एलिमेंट है यह a23 एलिमेंट है तो इसके सेकंड रो और उसके थर्ड कॉलम के मल्टीप्लाई से आया होगा इस तरह से आपने दिमाग में रखना है यह कांसेप्ट लेवल के लिए इंपॉर्टेंट है सॉल्विंग में आपको काम नहीं आएगा वेरी गुड अब इसको मल्टीप्लाई करना है तो मुझे बताइए पहले प्रोडक्ट का ऑर्डर क्या आने वाला है देखो प्रोडक्ट किया तो जा सकता है वन और वन सेम है प्रोडक्ट का ऑर्डर क्या आएगा सर ऑर्डर आएगा 1 क्रॉस टू यानी कि वेरी गुड मेरे आंसर में एक रो और दो कॉलम आने वाले हैं हमेशा यह पहले लिखना वरना मैट्रिक्स मल्टीप्लिकेशन में अक्सर बच्चे छोटी मोटी गलती कर देते हैं और बाद में बेड़ा गर्क हो जाता है ये लिखा होगा गलती नहीं होगी ठीक है जी अब एक ही रो है तो पहले इसे इससे करिए 1 प् 0 प् 6 7 हो गए प्स 12 19 अब इसके साथ 1 प् 0 प् 0 प् 3 4 जब मुझे पता होता ना कि यही एलिमेंट आने है तो कंफ्यूजन नहीं होता जैसे कि अगर अगला एग्जांपल बताऊं यहां अक्सर बच्चे गलती कर देते हैं इसमें देखो प्रोडक्ट का ऑर्डर ऐसा है कि आपको विश्वास ही नहीं होगा तो अगर आपने ये पहले दिमाग में नहीं रखा हुआ कि प्रोडक्ट का ऑर्डर लिखना है पक्के से गलती हो जाएगी इसमें प्रोडक्ट का ऑर्डर 3 क्रॉस 3 आने वाला है देखने में बिल्कुल नहीं लगता पर है ऐसा ही 3 क्रॉस 3 व नहीं 3 क्रॉस 3 और आएगा कैसे भैया सबसे पहले इसकी फर्स्ट रो उठाओ अकेला एक ही एलिमेंट है रो में वन वन इससे मल्टीप्लाई हुआ तो प एलिमेंट इससे मल्टीप्लाई हुआ तो दूसरा एलिमेंट इससे मल्टीप्लाई हुआ तीसरा अब इसे उठाओ यह आपको दूसरा रो देगा यह इससे मल्टीप्लाई हुआ यह इससे मल्टीप्लाई हुआ यह इससे मल्टीप्लाई हुआ अब तीसरा एलिमेंट ये तीसरी रो देगा यह इससे मल्टीप्लाई अगले से अगले से तो आप जब इसे कॉन्फिडेंटली मल्टीप्लाई कर लेंगे फिर आप समझे कि हां अब मल्टीप्लाई हम कर सकते हैं गलती नहीं होगी यस एटली अंशिका तो मल्टीप्लिकेशन के बारे में एक छोटा सा फैक्ट आपका क्लियर करूं थ्रू दिस क्वेश्चन ये क्वेश्चन क्या कहता है पहली बात ये जो नोटेशन होती है ये कैपिटल पाई बड़ा सा पाई दिखता है यह सिग्मा का भाई होता है जैसे सिग्मा जो होता है वो सम होता है ना यह होता है प्रोडक्ट ठीक है तो के को टूथ 4 पुट करते रहो और बीच में साइन लगाओ प्रोडक्ट का तो के को वन पुट करो वव अब साइन लगाओ प्रोडक्ट का ठीक है जी ये स्टैंड करता है प्रोडक्ट के लिए अब के को टू पुट कर दो 1 301 अब k को 3 पुट कर दो 1501 एंड सो ऑन टू लास्ट में 50 पुट कर दो 19901 तो दिस साइन स्टैंड्स फॉर प्रोडक्ट सिग्मा का भाई है वो एडिशन था यह प्रोडक्ट है अब कहता है इसका प्रोडक्ट अगर इसके बराबर आता है तो r की वैल्यू बताइए अब फैक्ट यह है कि जब मैट्रिक्स मल्टीप्लाई किए जाते हैं तो कभी भी तीन चार मैट्रिक्स एक साथ मल्टीप्लाई नहीं किए जा सकते एट अ टाइम आप दो ही मल्टीप्लाई कर सकते हैं तो डायरेक्ट मेथड नहीं ढूंढना तो यहां पर जब मल्टीप्लाई करना है ना तो इसका डायरेक्ट करने की कोशिश ही नहीं करनी सबसे पहले आप इन दो को मल्टीप्लाई करिए सर ऐसे तो बहुत टाइम लग जाएगा यहां तक जाते जाते यस तो ऐसे सवालों में क्या होता है आप प्रोडक्ट करते रहते हैं और पैटर्न को करते हैं और उस पैटर्न के बेसिस पर आगे आंसर को बताते हैं जैसे कि देखो जब यह दोनों मल्टीप्लाई होंगे तो क्या बनेगा 0 तो यहां पर आ गया न फिर 3 व 4 0 जी 0 व यह बना इनका प्रोडक्ट हां जी सर अब आपने ो यहां पर क्यों लिख रहा हूं आपको आपके लिए य समझा देता हूं अब आप इसे म मल्टीप्लाई करेंगे इसके साथ इसकी वैल्यू आ गई अब इसको इससे मल्टीप्लाई किया क्या बन रहा है प्रोडक्ट सर यह बन रहा है 0 सर 5 + 4 9 0 0 और ये वन कुछ पैटर्न दिख रहा है आपको कुछ पैटर्न आई शाबाश सर जब पहले दो मल्टीप्लाई हुए तो यहां पे ट का स्क्वायर आया जब पहले तीन मल्टीप्लाई हुए तो यहां पे 3 का स्क्वायर आया तो जब पहले 50 मल्टीप्लाई होंगे तो वहां पर क्या आ जाएगा 50 का स्क्वायर 150 का स्क्वायर 01 तो फैक्ट आपने जो समझना है वो यह है बहुत बढ़िया एवरी बडी राइट आंसर कि कभी भी एक साथ नहीं होता दोदो करके मल्टीप्लाई करने पड़ते हैं वहां से पैटर्न ऑब्जर्व किया जाता है और उसी से आंसर लिखा जाता है ओके आगे आ जाइए अब देखो ये सवाल ई में आया था देखने में बहुत डरावना है बहुत ही घटिया सिर्फ रिक्वायर्ड प्योर कॉन्फिडेंस आओ एक बड़ा सा मैट्रिक्स दे दिया ए अच्छा खासा बड़ा मैट्रिक्स है ठीक है फिर बी बोल दिया गया कि कुछ ऐसा मैट्रिक्स है जहां पर b1 b2 b3 जो है वो कॉलम्स है तो मेक सेंस तो क्योंकि ऐसा मैट्रिक्स तो समझ नहीं आ रहा क्या मैट्रिक्स है तो b1 इसका पहला कॉलम है b2 सेकंड कॉलम b3 थर्ड कॉलम है उससे शॉर्ट फॉर्म में लिख दिया आपके लिए ओके फिर उसने ये इंफॉर्मेशन दी आपको कि जब a को b1 से मल्टीप्लाई करो यह बनता है b2 से मल्टीप्लाई करो यह बनता है और b3 से मल्टीप्लाई करके यह बनता है और बाद में बी के बारे में कुछ पूछा है इस बी के बारे में तो सवाल सुनिए ध्यान से ए पता है बी के अंदर बीव बीट बी3 कॉलम्स है उन कॉलम्स में यह खासियत है इसके बेसिस पर आपको b1 b2 बी3 सारे के सारे निकालने हैं यही सवाल है अब यहां पर कॉन्फिडेंस क्यों चाहिए क्योंकि मेरे बहुत सारे अननोन है डू यू अंडरस्टैंड दैट मेरा बी मैट्रिक्स कैसा होगा पहला कॉलम दूसरा कॉलम और तीसरा कॉलम डू यू सी दैट बहुत सारे अननोन्स है टोटल नाइन अननोन्स तो इट रिक्वायर्स कॉन्फिडेंस बट अगर कॉन्फिडेंस है बिल्कुल तो देखो कितना आसान है यह पहली इंफॉर्मेशन क्या कहती है कि जब मैंने a को 2 1 1 0 10 1 a को b b1 से मल्टीप्लाई किया ये रहा मेरा b1 b1 b2 और यह रहा b3 कॉलम्स कॉलम्स को नाम दिए थे तो जब b1 से मल्टीप्लाई किया x1 y1 z1 आओ देखें क्या बना हमें 10 0 तुमको मैट्रिक्स मल्टीप्लाई करने आते हैं आते हैं मल्टीप्लाई करके इक्वेट करना आता है आता है तो देखो क्या बनता है मल्टीप्लाई किया हमने 2x 1 0 + z1 2x 1 + z1 ओके x1 + y1 + 0 x1 + 0 + z1 अब अपने दिल पे हाथ रखो और मुझे बताओ क्या तुम यहां से x1 y1 z1 नहीं निकाल सकते थे सोए सोए भी निकाल सकते थे पहली इक्वेशन क्या बन रही है सर यह चीज वन के बराबर है 2 x1 + z1 1 के बराबर सर ये चीज रो के बराबर है x1 + y1 0 और सर x1 + z1 भी रो के बराबर है तीन इक्वेशन तीन वेरिएबल बहुत ही प्यारे-प्यारे से भई इन दोनों को तो सबट क्ट करके सीधे ही x1 आ गया सबट क्ट कर दो x1 की वैल्यू वन आ गई x1 व आया तो यहां से z1 कितना आ गया -1 x1 अगर वन है तो y1 कितना आ गया -1 तीनों आ गए अब मुझे यह बताओ अगर यहां से x1 y1 z1 आ गए तो यहां से x2 y2 z2 और यहां से x3 y3 z3 निकालने के लिए पड़ोसी बुलाने पड़ेंगे बताओ पड़ोसी बुलाने पड़ेंगे नहीं सर तो जब आपके पास तीनों आ गए तो क्या b लिखने के लिए एफर्ट मारना पड़ेगा नहीं सर आराम से लिख देंगे कोई टेंशन ही नहीं है तो बस यहां पर बी ही पूछा था बेसिकली बी का डिटरमिनेट पूछा था और कुछ नहीं एंड सम ऑफ डायगोनल एलिमेंट पूछा था तो आपने कुछ नहीं किया पहले से आपने ये सारे निकाल लिए x1 y1 z1 x2 y2 z2 एंड x3 y3 z3 तो आपके पास बी आ गया अब इसका डिटरमिनेट निकाल लिया और डायगोनल एलिमेंट का सम निकाल लिया और वही आपसे पूछा गया था बोलो आए नजारे आंसर 28 बिल्कुल सही जवाब दिया आपने तो ऐसे सवाल देख को करना नहीं है स्टार्ट करो स्टार्ट करो पक्के से होगा देन कम्स प्रॉपर्टीज ऑफ मल्टीप्लिकेशन अब मैट्रिक्स मल्टीप्लिकेशन में हमने पहले ही देख लिया प्री मल्टीप्लायर और पोस्ट मल्टीप्लायर की इज्जत है भैया पहले क्या है बाद में क्या है इट इज नॉट कम्यूटर ए बी और ब बराबर हो यह जरूरी नहीं है पहली बता दूं जरूरी नहीं या नहीं कि कभी नहीं आएंगे जरूरी नहीं है एक एग्जांपल देता हूं जहां पे बराबर आते हैं आ जाओ एक मैट्रिक्स ले लो 1 वन इसे मल्टीप्लाई करो इस मैट्रिक्स के साथ इस तरह से मल्टीप्लाई करो और इस तरह से मल्टीप्लाई करो देखो दोनों बराबर आ रहे होंगे दोनों बराबर आ रहे होंगे इसकी वैल्यू आएगी 23 4 1 और इसकी वैल्यू आएगी फिर से 2 3 4 1 सर आपको इतना डायरेक्टली कैसे पता कि वैल्यू यही आएगी बेटा क्योंकि इसे आइडेंटिटी मैट्रिक्स इसीलिए कहा गया था क्योंकि यह मैट्रिक्स से मल्टीप्लाई होने के बाद उसकी वैल्यू को चेंज नहीं करती उसकी वैल्यू को चेंज नहीं करती तो इसे मैंने इससे मल्टीप्लाई किया आंसर यही आएगा चाहे इधर से मल्टीप्लाई करो चाहे इधर से तो ए और बी बराबर हो भी सकते हैं कभी-कभी बट इन जनरल हमेशा हो यह कहना गलत है तो इसीलिए ए नॉट इक्वल टू बी इन जनरल तो यानी कि अगर फ्यूचर में आपको a प् बी का होल स्क्वा ओपन करना हुआ और आपने जोश जोश में ऐसे लिख दिया तो समझ जाइएगा कि आपका माइव हो गया क्योंकि ऐसा करते वक्त आपने बहुत कुछ अजूम कर लिया सर कहां अजूम किया देखो यहीं पर लिख देते हैं a प् बी इन a प् बी यही मतलब होता है स्क्वायर का हां जी सर जरा ब्रैकेट ओपन करिए a स्क्वा ए बी बी स्क्वा अब मुझे बताइए जरा क्या मैं इन दोनों को जोड़कर 2ab लिख सकता हूं जरा बताइए क्या इन दोनों को जोड़कर 2ab लिख सकता हूं बहुत बढ़िया ओझा साहब शाबाश नहीं सर नहीं जोड़ सकता नहीं जोड़ सकता हां अगर a और बी ऐसे मैट्रिक्स होते जो आपस में उल्टे पल्टे सेम वैल्यू दे रहे होते जैसे कि ऐसा कुछ i + a i + a आ स् i a आ प् a स् अगर a और बी ऐसे होते जिनके लिए ए और बी सेम रहते वहां मैं जोड़ सकता था डू यू एग्री इसे मैं जोड़ सकता हूं क्योंकि दोनों एक के बराबर है जोड़ सकता हूं मतलब यहां पे इस पावर को मैं ने सीधे ही ओपन कर दिया होता सीधे ही ओपन कर दिया होता बट ऐसा होता नहीं ना हमेशा ऐसा होता नहीं हमेशा तो ये हैबिट नहीं बनानी तो इन जनरल आप ऐसे ही लिखेंगे बट अगर ए और बी कुछ स्पेशल हुए तो सीधे पावर ओपन कर देंगे यार हमेशा नहीं होता बट जब होता है तब तो फायदा लेना चाहिए ना हां सर तो अगर ऐसे दो मैट्रिक्स पावर के अंदर आ गए जो आपस में कम्यूटर हैं क्यूट का मतलब क्या होता है ऐसे लिखो चाहे ऐसे लिखो बराबर रहते हैं तो वहां पर पावर को सिंपल ओपन करते हैं आम जिंदगी की तरह बिल्कुल आम जिंदगी की तरह आओ इसका एक अच्छा सवाल कराऊंगा पर उससे पहले एक सवाल आपको देखना पड़ेगा ताकि आप उसको अप्रिशिएट कर पाओ कहता ए बी ए के बराबर गिवन है और बी बी के बराबर गिवन है तो कहता b स्क की वैल्यू बताओ हमने कहा ओके हमें b स्क चाहिए था हमने इसे उठाया और दोनों साइड b मल्टीप्लाई कर दिया ऐसे था दोनों साइड b मल्टीप्लाई कर दिया मैंने यहां b मल्टीप्लाई किया यहां b मल्टीप्लाई किया क्यों किया क्योंकि मेरे को b स् चाहिए था अब देखो अब इसे सिंपलीफाई करने की कोशिश करते हैं आपका जो गिवन इंफॉर्मेशन है उसके मुताबिक इसको सिंपलीफाई कर पा रहे हो यस सर सर ए की वैल्यू ए दी हुई है तो अगर मैं इसको छोटा कर दूं तो इसको ए लिख सकता हूं बी इ बी स्क अच्छा जरा ध्यान से देखो आपको बी की वैल्यू भी तो गिवन है तो इसे क्या लिख सकता हूं बी तो आपका बी स्क्वा जो था व बी के बराबर आ गया ज्यादा टेंशन नहीं लेनी ऐसे सवाल हमने बहुत सारे करने आईम जस्ट टेलिंग यू जो चीज चाहिए शुरू किया गव को यूज किया सिंपलीफाई किया और कुछ नहीं नाउ कुछ ना सवाल ऐसे होते हैं जिनको अगर हम याद रख ले व अगले सवालों में बहुत काम आते हैं और यह उन्हीं में से एक है रिमेंबर इफ ए इ इक्वल टू ए एंड बी इ इक्व ट बी देन बी स्क इट बी एंड a स्क उल्टा लिख दूं ज्यादा सुंदर लगेगा a स् की वैल्यू a के बराबर आती है बिल्कुल सेम प्रूफ रहता है और b स् की वैल्यू b के बराबर आती है वो हमने प्रूफ किया हुआ है इसे हमने याद रखना है एज अ रिजल्ट ये वो सवाल है जो एज अ रिजल्ट हमें याद रखना है ठीक है जी अगर मैं इसको एज अ रिजल्ट याद रखता हूं तो मुझे कैसे सवालों में फायदा होने वाला है कुछ ऐसे सवाल आओ कहता a एंड b आर टू स्क्वायर मैट्रिक्स ऑफ ऑर्डर 3 क्रॉस 3 वि सेटिस्फाई दिस भैया इसके आगे मैं गया ही नहीं जैसे मैंने यह पढ़ा ना मेरे दिमाग में रिजल्ट आ गया यार इनडायरेक्टली यह मुझे बताना चाह रहा है कि a स्क्वा ए के बराबर है और बी स्क बी के बराबर है ये इनडायरेक्टली यही बताना चाह रहा है मेरे को अब पूछा क्या है सर इसने पूछा है a प् बी पावर 7 पूछा है हमने कहा ठीक है क्या मैं a प् बी की पावर 7 डायरेक्टली निकाल सकता हूं बताओ डायरेक्टली डायरेक्टली निकाल सकता हूं नहीं सर हमारे पास डायरेक्ट तरीका नहीं होता हमें दो दो दो दो करके चलना पड़ता है पहले स्क्वायर निकलेगा फिर क्यूब निकलेगा फ पावर फोर निकलेगी हम सीधे नहीं मल्टीप्लाई कर सकते सर तो पहले हम निकाल लेते हैं a प् बी का स्क्वायर तो भैया क्या बना ये a + बी * a + बी क्या सवाल में कहीं पे गिवन है कि ए और ब बराबर है कहीं पर गिवन है नहीं सर राद क्लियर गिवन है कि अलग-अलग है तो बेटा जी फिर तो जिंदगी में आपको केयरफुल रहना पड़ेगा यानी कि इसको a स्क्वा ए बी बी स्क ऐसे कायदे से लिखना पड़ेगा कायदे से लिखना पड़ेगा अब कायदे से लिखा है तो वैल्यू क्या बनी इसकी सर व मुझे बता रहा है कि ए स्क्वा जो है ए के बराबर है ए ए के बराबर है बी बी के बराबर है और बी स्क्वा बी के बराबर है तो यानी कि इसकी वैल्यू आ गई टू टाइम प् बी अब अगर मेरे को ए प्स बी का होल क्यूब निकालना है तो मैं क्या करूंगा मैं ए प्स बी होल स्क्वायर को यानी कि इसको मल्टीप्लाई करूंगा ए प् बी के साथ डू यू रिलाइज दिस फैक्ट क्यूब कैसे आएगा स्क्वायर की वैल्यू को एक और से मल्टीप्लाई करो ऐसे स्टेप बाय स्टेप ही आप आगे जा सकते हो और कोई तरीका ही नहीं है बहुत ही बढ़िया तो फिर से मल्टीप्लाई किया ू तो बाहर था बट ये तो ऐसा ही नहीं बन गया a प् बी a + बी इसकी वैल्यू तो यही आई थी तो फिर से टू टाइम a प् बी तो ये आ गया 4 टाइम a ् बी तो तुम देख पा रहे हो पैटर्न क्या बन रहा है हमने जब स्क्वायर किया तो यह बना 2 टाइम a प् बी जब क्यूब किया तो यहां पे एक और टू मल्टीप्लाई हो गया जब पावर फोर करेंगे यहां पे एक और टू मल्टीप्लाई हो जाएगा तो करते करते जब सेवन टाइम होगा तो 2 सस बार मल्टीप्लाई हो चुका होगा सिक्स बार बोले तो 64 सी ऑप्शन इज द राइट आंसर बच्चों ने डी बोल दिया गलती कर दी क्योंकि आप सात बार ले गए टू को स्क्वायर में एक टू आया था क्यूब में दो बार टू आया है फोर में थ्री बार टू आएगा फाइव में चार बार टू आएगा एक एक कम आ रहा था पैटर्न को सही ऑब्जर्व करो यार ऐसा ना करो तो इस तरह से कुछ चीजों का याद होना हेल्प करता है मैट्रिक्स में जहां भी ऐसी चीज आएगी मैं आपको पहले से बताता जाऊंगा और जहां भी ऐसा लिखूंगा उसको एज अ रिजल्ट याद रख लेना कि है तो सवाल बट इसका याद होना मेरे को और बहुत सवालों में मदद करता है आ जाओ अब आता है अगला सवाल अब यहां पर हम खेलेंगे मेंटोस जिंदगी के साथ कहता है a स् a के बराबर है i - a की पावर 5 बताओ क्या मैं i - a की पावर 5 को डायरेक्टली ओपन कर सकता हूं या फिर दोदो करके करूं पहले स्क्वायर निकालू फिर एक और मल्टीप्लाई करके क्यूब निकालूं फिर एक और मल्टीप्लाई करके 4 पावर निकालू ऐसे करूं या सीधे ओपन कर दूं सर इस बार ना ये जो दो मैट्रिक्स बैठे हैं ये आपस में क्यूट करते हैं i * ए लिख दो या a इन आ लिख दो बराबर तो जब चीजें ए और बी बराबर रहती है ना तो वहां पर सीधे ओपन कर देते हैं सर पावर फ कैसे ओपन करेंगे बानो मियल से 5 स0 आ पावर 5 - 5 स1 आ पावर 4 a + 5c 2a स् बोला i लिख लो चलो i से फर्क नहीं पड़ेगा डेंटिली ही है i का क्यूब a स् 5 स3 आ स् a क्यूब कितने बच्चे अप्रिशिएट कर पा रहे हैं कि इस फैक्ट का पता होना कि अगर यह ए बी बराबर है तो जिंदगी में बहुत पीस आ जाता है इससे बड़ा फायदा होता है बोलो कितने बच्चे अप्रिशिएट कर पा रहे हैं अब मैं इसको क्या लिखने वाला हूं आ माइनस 5 टाइम ए प्स 10 टाइम ए स्क्वा आ को जिससे म मर्जी मल्टीप्लाई करो वैल्यू चेंज होनी नहीं है बहुत बढ़िया आंसर सी कह रहे बच्चे आओ देखते हैं 10 टाइम ए क्यूब प्स 5 टाइम ए4 माइनस ए पार 5 अब सवाल में गिवन है कि a स्क ए के बराबर है कितने बच्चे एग्री करते हैं कि अगर ए स्क्वा ए के बराबर है तो ए क्यूब भी ए के बराबर होगा कितने बच्चे एग्री करते हैं अगर ए स्क के बराबर है तो ए क्यूब भी ए के बराबर होगा सर अगर ए स्क्वा ए के बराबर है हमें ए क्यूब निकालना था दोनों साइड एक एक ए मल्टीप्लाई कर दिया सर यह बना ए स्क्वा तो सर ए स् तो ए के बराबर ही है हां सर बिल्कुल सही ए के बराबर ही है ए पावर फो भी ए के बराबर आएगा यस और नो हां सर एक एक ए और मल्टीप्लाई कर दो वह फिर से ए आ जाएगा तो बात क्या है कि अगर ए का स्क्वायर ए के बराबर हो तो उसकी कोई भी बड़ी पावर जो है वह भी ए ही रहती है इफ ए स्क्वा इज ए देन ए की कोई भी बड़ी पावर ए ग्रेटर इक्ट वो भी ए के बराबर ही रहती है तो बेटा जी फिर तो आंसर आ गया आ - 5a प् 10 ए माइ 10 ए प् 5a माइ ए कट कट 5a कट गया आंसर आ गया आ माइ ए बिल्कुल सही जवाब दिया था आपने ऑप्शन सी इज द करेक्ट आंसर छा गए जवानों छा गए बहुत बढ़िया बहुत बढ़िया बहुत ही बढ़िया अब आपको य पे नेक्स्ट लेवल सीखना है ऑफ द फैक्ट कि आपको यह पता है अब इसका नेक्स्ट लेवल क्या बनता है यह सुनिए अगर एक मैट्रिक्स है जिसकी आप बहुत बड़ी पावर निकालना चाहते हैं 2022 पावर निकालना चाहते हैं एडवांस का सवाल है एक तरीका तो क्या है इसका स्क्वायर निकालो क्यूब निकालो फोर्थ पावर निकालो फिफ्थ पावर निकालो पैटर्न को ऑब्जर्व करते जाओ उस पैटर्न के बेस पर जनरलाइज करके बता दो एक तरीका यह है पर इसका एक तरीका और होता है जो कि सिखाने जा रहा हूं जोक यहां पर आपको लगेगा सर आपको नहीं लगता कि आपने जो किया वो कुछ ज्यादा शॉर्टकट तो नहीं बना सिमिलर सा ही बना बिल्कुल बट अगले सवाल में जब यह मैट्रिक्स 3 बाथ हो जाएगी और ऐसी पावर में आपको पैटर्न देखना पड़ेगा तब आपको इस मेथड की बहुत याद आने वाली है क्योंकि 3 बाथ में प्रोडक्ट में बहुत टाइम लग जाता है आ जाओ तो आओ सीखो जब भी किसी मैट्रिक्स की बड़ी पावर निकालनी हो तो उसका एक तरीका यह भी होता है उस मैट्रिक्स को उठाओ और उसमें से दो हिस्से बना दो उसमें से दो हिस्से बना दो यानी कि इसको तोड़कर दो में लिखो पहला क्या होगा आइडेंटिटी 00 और बचे हुए को कुछ नाम दे दो इसको कुछ ए कह देंगे तो जरा बताओ यहां पर क्या आएगा यहां पर क्या आएगा यहां पर क्या आएगा यहां पर क्या आएगा यू नो द लेफ्ट हैंड साइड यू नो दिस मैट्रिक्स तो तुम्ह यह पता है कि क्या आएगा बताओ क्या आएगा सबसे पहले क्या आएगा सर दिस प्व शुड बी 5/2 दिस शुड बी 3/2 बहुत बढ़िया दिस प्लस 0 शुड बी 3/2 तो ये क्या होना चाहिए 3/2 यस वेरी गुड अब यहां पे क्या आएगा दिस प्लस 0 शुड बी - 3/2 तो माइ 3/2 1 प्लस दिस शुड बी माइ हाफ तो ये भी - 3/2 तो ये कैसे लिखे पता लग गया हां सर यह पता है यह पता है तो ये निकाल ही लेंगे तो मैंने क्या किया जिस मैट्रिक्स की बड़ी पावर मुझे निकालनी है उसमें से आइडेंटिटी को तोड़ा और बचा हुआ यहां लिख दिया तो ये मेरा m था जिसे मैंने लिख दिया आइडेंटिटी ् a थोड़ा-थोड़ा डायरेक्शन आपको मिल रही होगी मैं किधर जा रहा हूं आइडेंटिटी प् a तो अगर मुझे m की पावर 2022 चाहिए उसको मैं i + a की पावर 2022 कह सकता हूं हां सर कह सकते हो इसको मैं सिंपल बानो मियल से ओपन कर सकता हूं हां सर कर सकते हो i और a सर i * a a * i सेम होता है सर अगर उल्टा पुल्टा सेम है तो सर ओपन करो आराम से और पिछले सवाल में हमने देखा था कि अक्सर चीजें सुंदर बन जाती हैं तो एक बार यहां पे भी a की जो पावर्स आने वाली है चेक कर ले रफ में जरा जरा देखो यहां पे a का स्क्वायर क्या बनता है a का क्यूब क्या बनता है जरा चेक करिए जरा बताइए आप जब एक स् को चेक करेंगे a स् 3/2 3/2 - 3/2 - 3/2 मल्टीप्ला बाय 3/2 3/2 - 3/2 - 3/2 सर जी यह बन गया 9/4 - 9/4 9/4 - 9/4 ओ हो हो - 9/4 + 9/4 सर जी 00 बले जीरो मैट्रिक्स कितने के मन में लड्डू फूट चुका है बता दो मेरे को कितनों के मन में लड्डू फूट चुका है अब अगर ए पावर ू जीरो आ चुका है तो भैया ए की कोई भी बड़ी पावर करते रहो वह जीरो ही रहेगी यस और नो तो बेटा जी जब मैं इसको ओपन करूंगा मैं पहली टर्म लिखूंगा शानो शौकत से बहुत अच्छे से मैं दूसरी टर्म भी लिखूंगा शानू शौकत से शान नहीं शानू तो कोई और है शानो शौकत से और इसके आगे मैं कुछ नहीं लिखूंगा क्योंकि इसके आगे ए की सारी पावर्स जीरो बनने वाली है आगे a स्क्वा a क्यूब a4 वो सारे क्या आएंगे जीरो जी तो बेटा जी आंसर आ गया मेरा आंसर क्या आया यह वन है यह आइडेंटिटी है प्लस 2022 टाइम्स ए मेरे ख्याल से a को आप आराम से यहां वैल्यू डाल के आंसर अब लिख सकते हैं 1001 यह आपकी आइडेंटिटी थी आपने ऐड किया 2022 टाइम ए ए आपका यह रहा यस और नो इसके आगे आंसर आप निकाल सकते हैं आराम से अब यस सर बल्ले बल्ले तो एक तरफ इसको मल्टीप्लाई करते चार पांच बार पैटर्न देखते दूसरी तरफ इसको ऐसे तोड़ा और यह कर दिया स्टिल आप कहोगे सबर बराबर सा ही है अगर यही सवाल 3 बाथ में होता वो वहां पर आएंगे असली नजारे अगर ये 3 बाथ होती मैट्रिक्स तो क्या करते एडवांस काही एक और सवाल देखिए प दिया था 3 बाथ q कुछ मैट्रिक्स था जो ऐसा था प पावर 50 माइन क इ आ और q के तीन एलिमेंट्स के बारे में आपको पूछा गया था बेसिकली आपको क्य बताना था बस क्यू मैट्रिक्स बताना था सवाल देखिए आराम से p पावर 50 - q = आ आपको p पता है q पूछा गया है समझ गए बेसिकली p की 50 पावर को पढ़ने को बोला गया है आपको p की 50 पावर को पढ़ने के लिए बोला गया कि भैया बताइए p की 50 पावर क्या है मैं ऐसा क्यों कह रहा हूं क्योंकि p की पावर 50 क्या बन गया i प् q तो अगर q बताना है तो मुझे यह चाहिए होगा यस और नो फटाफट बताइए अगर मुझे q चाहिए तो मुझे p पावर 50 चाहिए और किसी भी मैट्रिक्स की अगर एक बड़ी पावर निकालनी है अभी अभी मैंने एक नया तरीका सीखा है उस मैट्रिक्स को उठाइए हैं जी डिटेल में लिख लेते हैं p क्या था आपका 14 16 01 4 01 उसमें से क्या करिए आइडेंटिटी को अलग कर दीजिए वन 00 01001 और बचा हुआ पार्ट यहां रख दीजिए बचा हुआ पार्ट आराम से लिख सकते हैं हां जी सर 1 प्लस दिस शुड बी वन तो ये 0 0 प्स दिस शुड बी 0 0 प्लस दिस शुड बी 0 लो जी अब दूसरे पे आ जाओ फोर सॉरी 0 प्लस दिस शुड बी फोर तो ये फोर है 1 प्लस दिस शुड बी वन तो ये रो है 0 प्लस दिस शुड बी जीरो तो जीरो है ऐसे करके सारे एलिमेंट निकाल दूं तो यहां पे आ गया 16 यहां पे आ गया फर यहां पे तो तुम्हें नहीं लगता कि सवाल तो सेम बन गया आपका p आ गया i प् a के बराबर इस चीज को मैंने a बोला तो p की पावर 50 क्या बनी i ् a की पावर 50 जिसको कि मैं बानो मियल से ओपन कर दूंगा पक्की बात है a स् या a क्यूब जैसी चीजें जीरो बन रही होंगी यस और नो पटाक से बताइए पक्की बात है a स् या a क जैसी चीजें ज़ीरो बन रही होंगी तो a छोटू सा है आप a स् a क चेक करेंगे यहां पे a क 0 आ जाएगा a क 0 आ जाएगा तो आप कहेंगे 50 c0 i पा 50 + 50 c1 i पा 49 * a 50 c2 i पावर 48 * a स् उसके आगे जीरो a क्यूब इ 0 तो सवाल जहां पर इसकी 50 पावर करने के लिए आपको इसको चार पांच बार मल्टीप्लाई करके पैटर्न देखना पड़ता जोक बहुत टाइम कंजूमिंग होता आपको यहां पर ए स्क्र के आगे जाना ही नहीं था सवाल खत्म हो गया तो बेटा जी कहां पर लिख दे आगे लिख दे हम तो आ प्लस तो प पावर 50 की वैल्यू आ गई आ प्लस 50 सीव इन आई इन ए प्लस 50 सी2 इन ए स्क्वा और जरा ध्यान से देखो प पावर 50 को आ प्स क लिखने के बाद आपको क्य पूछा गया था तो तुम्हे नहीं दिख रहा कि यह रहा मेरा क्य खत्म यही आपका आंसर है बोलो बल्ले बल्ले हो नजारे आ गए आंसर बी बिल्कुल सही 103 इज द राइट आंसर तो बस a को रख दीजिए a हमें पता है ये रहा हमारा ए कहां गया a ये रहा हमारा a वो भी बहुत प्यारा सा है मैक्सिमम तो जीरो ही है इस a की वैल्यू को यहां पे और यहां पे रख दीजिए आपको पूरा क्यू मिल गया सवाल खत्म हो गया शाबाश तो a और a स् रख दिया सवाल खत्म तो यहां पे आपने सीखा क्या कि किसी मैट्रिक्स की अगर बड़ी पावर निकालनी हो तो उसका एक तरीका ये भी होता है आइडेंटिटी को तोड़ दीजिए बाकी को ए बोल दीजिए और i प् ए की पावर लगाइए आराम से हो जाएगा अब आ जाइए थोड़ा और डिफरेंट वरायटी देखते हैं सवाल में बोला गया सपोज अ स्क्वेयर मैट्रिक्स ए सेटिस्फाई दिस कि a जो है इस चीज को सेटिस्फाई करता है a स् = 5a - 7i और कहता हमें a पावर 4 को अगर ऐसे लिखा जाए तोल ए और की वैल्यू बताइए तो पहले a पावर 4 निकाल ले है ना a पावर 4 ही तो बोला गया है तो a पावर 4 के लिए मैंने स्क्वायर कर दिया यह बन गया a पावर 4 5 ए7 आ का स्क्वायर a और आ तो बहुत अच्छे हैं दोनों आपस में उल्टे पल्टे जैसे मर्जी जोड़ो तो मैंने सिंपल ओपन किया जब भी दोनों आपस में क्यूट करेंगे सिंपल पावर को ओपन कर देना है 49 आ स् आ स्क तो आ बन गया - 2ab 14 इन 5 कितना हो गया भैया 70 70 यह आ गया एक ही प्रॉब्लम आ रही है मुझे इसको लिखना था कैपिटल ए और आई के टर्म में यह तो खुश है यह भी खुश है इसका क्या करूं जरा बताओ इसका क्या करू इसको कैसे खुश करूं मेरे को राइट हैंड साइड पर ए स्क्वा नहीं चाहिए मेरे को कैपिटल ए और आई बस यही चाहिए स्क्वेयर को कैसे हटाऊ स्क्वेयर को कैसे हटाऊ शाबाश आय हाय हाय दिल खुश कर दिया सर जी a स्क्वा को दोबारा से ए में लिखने का तरीका पता है लिख दीजिए 5a - 7i अब आपकी राइट हैंड साइड पूरी की पूरी कैपिटल ए और आ में आ गई बस काम खत्म हो गया तो यह आ गया स्मल ए ये आ गया बी सवाल खत्म तो छोटी पावर मिलाना इतना मुश्किल भी नहीं होता तो क्यों ना इसका थोड़ा बड़ा भाई सॉल्व करें सिमिलर सवाल थोड़ा बड़ा भाई कहता अ मैट्रिक्स m सेटिस्फाई m स्क = आ - m तो m स्क जो था वो i- m के बराबर दिया था कहता अगर m की पावर n इसके बराबर है 13 आ - 21 ए के तो ये पावर बताओ कितनी है तो अब मुद्दा क्या है कि मुझे राइट हैंड साइड दे दी गई है लेफ्ट के बारे में पूछा गया है तो इसकी पावर को बढ़ाना शुरू करते हैं और देखते हैं कब जाकर 13 आ और 21m क्रिएट हो जाता है तो मैंने स्क्वायरिंग कर दी m पावर 4 i स् + m स् - 2i * m पर मेरे को राइट हैंड साइड पे स्क्वायर मेंटेन नहीं करना सिर्फ i और m मेंटेन करना है एंड नाउ आई नो कि वो कैसे होगा इसकी वैल्यू डाल देंगे i - m तो m पावर 4 कितना आ गया i स् आ बना एक एक आ ये भी था माइ ए -2 -3 क्या मेरी डिजायर्ड वैल्यूज क्रिएट हो चुकी है आ और m के साथ नहीं और पावर बढ़ाते हैं मैंने की स्क्वायरिंग यह बना m पावर 8 4 आ स्क 9m स् माइ 12 ए फिर से मुझे m स्क नहीं चाहिए इसको फिर से छोटा कर लेते हैं i - m क्या अब मेरी डिजायर्ड वैल्यूज बन गई है सर 4i + 9i 13 आ मन में लड्डू तो फूटा माइनस ओहो मन में दूसरा लड्डू भी फूटा तो भैया आपका जो स्ल n है उसकी वैल्यू आई 8 इधर आओ सर आपको कैसे पता कि स्क्वायर स्क्वायर करके आंसर आना था क्या पता m की पावर 5 या m की पावर 6 से आंसर आ रहा होता यस और नो मेरे को कैसे पता एक बच्चा यही डिसाइड करी जा रहा है कि रिकॉर्डेड है या लाइव है प्राइस मिलेगा सेशन के एंड प अगर तूने सही पता लगा लिया हां जी इधर आओ बेटा मेरे को नहीं पता था नहीं पता था अगर m पावर 8 करने पर यहां पर यह नंबर 13 से बड़ा आ जाता यहां पे ये नंबर 21 से बड़ा आ जाता तो मैं समझ जाता कि यार m पावर 8 प नहीं जाना था फिर मैं यहां से ना धीरे-धीरे चलता इसकी दोनों साइड ए एम मल्टीप्लाई करता दोनों साइड m स् m स् मल्टीप्लाई करता जाता बीच में बट पहले मैंने जंप्स लेना प्रेफर किया कि पास तो पहुंच जाऊं अब पास पहुंचते पहुंचते सीधे ही पहुंच गए तो बहुत अच्छी बात है राइट सीधे पहुंच गए ट्स इट जो आपको पता होना चाहिए यहां पे अब आ जाओ प्रॉपर्टीज ऑफ मल्टीप्लिकेशन प आगे पहला प्रॉपर्टी क्यूट नहीं होता बट अगर जिस केस में है वहां पर पावर को मजे से ओपन कर देना है एसोसिएटिव भैया हां ए क्रॉस बी क्रॉस स कर दो या ए क्रॉस बी क्रॉस c यानी कि ब्रैकेट कहां पे लगी ये मैटर नहीं करता आपने पहले इन दो को मल्टीप्लाई करके फिर से किया या पहले इन दो को मल्टीप्लाई करके फिर से किया ये फर्क नहीं पड़ता ऑर्डर इंपॉर्टेंट है ऑर्डर बोले तो कि पहले क्या है बाद में क्या है उसके बाद में क्या है ये इंपॉर्टेंट है अगेन ब्रैकेट ओपन हो जाती है b + c को अगर a से मल्टीप्लाई करते हो ओ सॉरी ओ माय बैड माय बैड हां बिल्कुल ठीक है हां ब्रैकेट में ओपन कर दिया जाता है बट ऑर्डर इंपॉर्टेंट ए और ए बनेगा इधर बी और सी बनेगा ऑर्डर इंपॉर्टेंट है किस साइड पे क्या बैठा हुआ है इस पे आपने ध्यान रखना है बाकी टेंशन नहीं लेनी ठीक है बहुत बढ़िया सर प्लीज रिप्लाई हां जी बेटा रिप्ला बेटा रिप्ला बहुत बढ़िया मल्टीप्लिकेटिव आइडेंटिटी यानी कि यार वो आइडेंटिटी मैट्रिक्स जो है ना उसको मल्टीप्लिकेटिव आइडेंटिटी कहते हैं रीजन बीइंग उसको जिससे मर्जी मल्टीप्लाई कर दो वो वैल्यू को चेंज नहीं करता वो सेम आंसर दे देता है जैसे अगर नंबर्स में बोलू आइडेंटिटी क्या है नंबर्स में आइडेंटिटी मल्टीप्लिकेटिव आइडेंटिटी वन है जिसे मर्जी मल्टीप्लाई कर दो वैल्यू चेंज नहीं होगी तो सेम ओके अब आ जाओ एनी मैट्रिक्स मल्टीप्ला विद जीरो मैट्रिक्स भैया वो उसका आंसर जीरो मैट्रिक्स ही आएगा जीरो मैट्रिक्स से मल्टीप्लाई कर रहे तो आंसर जीरो मैट्रिक्स ही आएगा अब यह पकड़ लो ध्यान से यह बहुत सारे बच्चे गलती करते हैं आगे जाके इफ a क्रॉस बी इज नल मैट्रिक्स देन इट इज नॉट सरी दैट a और बी विल बी नल भैया अगर दो मैट्रिक्स का प्रोडक्ट जीरो है जीरो मतलब जीरो मैट्रिक्स है तो यहां से यह नहीं कहा जा सकता कि या तो a जीरो होगा या फिर बी जीरो होगा ऐसे दो मैट्रिक्स आराम से हो सकते हैं जो नॉन जीरो है पर उनका प्रोडक्ट जीरो आ रहा है 1 0 इन दोनों को मल्टीप्लाई कर 0 0 माय बैड वेट अ मिनट इसको उल्टा कर देंगे यहां पे 0 व हां जी तो 0 0 तो ये आप 0 0 बिल्कुल 0 0 0 तो आप देखो यहां पे ये क्या हो गया ओ हो वेट अ मिनट हम फॉर एग्जांपल 1 मल्टीप्ला बा 001 ये दोनों ही नॉन जीरो मैट्रिस है पर इनका प्रोडक्ट जो आ रहा है जीरो मैट्रिक्स आ रहा है यानी कि दो नॉन जीरो मैट्रिक्स का प्रोडक्ट भी जीरो मैट्रिक्स आ सकता है तो कभी भी ऐसा नहीं कहना कि अगर ए 0 हो गया तो या a 0 या b0 ऐसा मैट्रिक्स में नहीं होता ओके अब आ जाओ मेन मुद्दे पे अब तक जितना आपने पढ़ा है सारे आपके बेसिस थे मैट्रिक्स के कैसे देखते हैं मल्टीप्लाई एडिशन फलाना डिकाना सब कुछ वही था अब एप्लीकेशन शुरू होंगी धीरे-धीरे इन डेफिनेशंस की और सबसे पहला क्या है मैट्रिस और डिटर्मिननेंट्स का आपसी रिश्ता क्या होता है आ वी फाइंड डिटरमिनेट ऑफ अ स्क्वेयर मैट्रिक्स भैया याद करो डिटरमिनेट क्या था जितने रो उतने कॉलम है ना तो डिटर्मिननेंट जो होता है ना इट्स एन ऑपरेशन ऑन स्क्वेयर मैट्रिक्स एक स्क्वेयर मैट्रिक्स का डिटर्मिननेंट निकाला जाता है नंबर वन नंबर टू अगर ए और बी स्क्वेयर मैट्रिक्स है तो आपका जो डिटर्मिननेंट है वो टूट जाता है प्रोडक्ट पे आपने दो मैट्रिक्स को मल्टीप्लाई कर दिया उसके बाद डिटर्मिननेंट लिया या फिर पहले उनका डिटरमिनेट लिया था और फिर मल्टीप्लाई किया था वैल्यू सेम रहती है और यह बहुत इंपॉर्टेंट है डिटर्मिननेंट प्रोडक्ट पर टूट जाता है यही से एक बड़ी इंपॉर्टेंट ऑब्जर्वेशन बनती जो आगे बहुत काम आती है वो है कि पावर जो है वो डिटरमिनेट के अंदर बाहर चली जाती है पावर जो है वो ट के अंदर बाहर चली जाती है इसका छोटू सा प्रूफ समझ पा रहे हो आप जैसे कि a पावर 3 का डिटरमिनेट पूछा जाए तो आप कह सकते हो a * a * ए हां जी सर कह सकते हैं पर डिटरमिनेट तो प्रोडक्ट पर टूट जाता है डिटरमिनेट ए डिटरमिनेट ए डिटर्मिननेंट ए यह क्या बन गया तीन बार मल्टीप्लाई हो रहा है क्यूब तो इस हिसाब से इसको आराम से देखा जा सकता है राट पर याद कैसे रखना है पावर डिटरमिनेट के अंदर बाहर चली जाती है ओके अगला पॉइंट इफ ए इज अ स्क्वेयर मैट्रिक्स ऑफ ऑर्डर ए एंड के इज अ कांस्टेंट भाई मैं पहले बता रहा हूं यह वह चीज है जो मैक्सिमम बच्चे गलत करते हैं बाद में मैक्सिमम स्टूडेंट्स कमिट मिस्टेक इन दिस तो पहले बता दूं बहुत इंपॉर्टेंट है बहुत सवालों में यूज होना है बहुत ज्यादा मिस्टेक इन इट अगर a एक n क्रॉस n मैट्रिक्स है और वो k से मल्टीप्लाई हो रही है और फिर डिटरमिनेट लिया गया है और आप इस k को बाहर फेंकना चाह रहे हैं तो k की पावर n बाहर आएगी अकेला k नहीं बाहर आएगा जैसे कि फॉर एग्जांपल 2 * a3x 3 और मैं यहां से टू को बाहर फेंकना चाह रहा हूं तो टू अकेला बाहर नहीं आएगा ना 2 की पावर 3 बाहर आएगी मैं इसका रीजन भी बता देता हूं एग्जांपल के थ्रू यहां पे देखिए मान लो ये मैट्रिक्स था 3 क्रॉस 3 आपने इसको k से मल्टीप्लाई किया तो k कहां-कहां मल्टीप्लाई हुआ पूरी जगह पे मल्टीप्लाई हो गया अब आप इसका डिटरमिनेट देखना चाहते थे तो जब डिटरमिनेट लिखा तो यह बना अब आप डिटरमिनेट में से k को बाहर निकालना चाह रहे हो डिटर्मिननेंट में तो एक रो या एक कॉलम से बाहर आता है तो एक के यहां से बाहर एक यहां से बाहर एक यहां से बाहर कितने बाहर आए तीन के बाहर आए एक नहीं तीन के बाहर आए लव यू टू शेरा खुश रहो शाश्वत बहुत बढ़िया आ लव यू टू बेटा गॉड ब्लेस यू खुश रहो तैयारी करते रहो बढ़िया से ठीक है जी तो के आ गया पावर थ्र के साथ बाहर बहुत इंपॉर्टेंट है एक्सट्रीमली इंपोर्टेंट जैसे कि इसका एक छोटा सा एप्लीकेशन छोटा सा एप्लीकेशन दिखाता हूं बाद बहुत एप्लीकेशन आना है कहता ए एक ऐसा मैट्रिक्स है तो डिटरमिनेट ऑफ दिस बताओ टर्मिनेट ऑफ a पावर 2016 टू टाइम ऐसा और फिर a पावर ऐसा अब इसका पहला आम जिंदगी का तरीका क्या है a स्क a क्यूब a पावर 4 a पावर 5 निकालिए वहां से पैटर्न को ऑब्जर्व करिए पैटर्न को ऑब्जर्व करके इसकी वैल्यू लिखिए इसकी वैल्यू लिखिए इसकी वैल्यू लिखिए फिर कैलकुलेट करके उसके बाद डिटर्मिननेंट लीजिए ये आम जिंदगी खास जिंदगी क्या है पूरे में से a पावर 2014 को कॉमन निकालिए a स् - 2a - i ऐसे हां जी सर डिटरमिनेट प्रोडक्ट पे टूट जाता है हां जी तो इसका डिटरमिनेट अलग हो गया और इसका अलग हो गया प्रॉपर्टीज बहुत इंपॉर्टेंट है अब यह सवाल उसके लिए बहुत मुश्किल जिसके लिए डिटरमिनेट का ये फैक्ट कि वो प्रोडक्ट प टूट जाता है नहीं पता उसके लिए बहुत मुश्किल जिसको ये पता है उसके लिए बहुत ही घटिया वो तोड़ेगा इसको आराम से नाउ पावर अंदर बाहर चली जाती है डिटरमिनेट के तो जरा ध्यान से देख के बताओ क्या आपको वाकई ही a स् a कू a पावर 4 देखकर पैटर्न को ऑब्जर्व करने की जरूरत थी नहीं आपको a स् के आगे जाना ही नहीं था ये तो डिटरमिनेट ऑफ a है कितना है -4 + 3 -1 की पावर 2014 आपको बस a स् - 2a - आई इतना निकालना था बस ट्स इट इसके ऊपर आपको कुछ निकालना ही नहीं था बस यही निकालना था तो कहां पर इतनी बड़ी पावर स्टडी करनी थी कहां पर छोटू सा a स् - 2a - आ स्टडी करना था आईडिया समझ आ गया सवाल का इस सवाल से सीखा क्या इस सवाल से यह बताना चाह रहा हूं कि भाई छोटी-छोटी प्रॉपर्टीज ही आपकी सॉल्विंग को अच्छा बनाएंगी तो अगर ऐसी चीजें जब आती है यह वाली चीजें अट मोस्ट इंपोर्टेंट है अट मोस्ट इंपोर्टेंट इसको लिख लो छाप लो दिमाग में बार-बार पढ़ो ओके नाइस अगला सवाल एक दो बच्चे मुझे पूछ रहे हैं इसका प्राइस उसका प्राइस बेटा ये प्राइस की बात सेशन के लास्ट में करें है ना अभी तो यहां फोकस करेंगे यार बिगिनिंग या लास्ट में आप क्वेरीज क्लियर करिए आई विल डू दैट अभी तो पढ़ने प फोकस करेंगे क्या कहते हो सारे है ना पढ़ने प फोकस करेंगे आ जाओ इफ ए एंड बी आर स्क्वेयर मैट्रिस सच दैट a पावर 2000 6 इज नल एंड चलो दोनों इंफॉर्मेशन लिख लेते हैं एक इंफॉर्मेशन यह पता है मेरे को जो कहती है कि a की पावर 2006 नल मैट्रिक्स है ओके जी दूसरा ये पता है मेरे को ab1 + b ये दो इंफॉर्मेशन दे दी गई अब मुझे कहा गया डिटरमिनेट ऑफ b बताइए अब देखो जो जो तुम्हारे दिमाग में आएगा मैं वो यहां पे करूंगा और सिखाना क्या चाहूंगा कि कॉन्फिडेंस लूज होने नहीं देना जस्ट कीप थिंक ऐसे नहीं बना तो कैसे बनेगा क्योंकि मुझे डिटरमिनेट बी चाहिए था सबसे पहला ऑप्शन भैया मैंने दोनों साइड पर डिटरमिनेट ले लिया डिटरमिनेट बी कहां से आएगा डिटरमिनेट अप्लाई करोगे अप्लाई कर दिया लेफ्ट हैंड साइड पर डिटर्मिननेंट बी क्रिएट भी हो गया टूट जाता है बट राइट हैंड साइड ने धोखा दे दिया डू यू एग्री एडिशन पे कुछ नहीं होता नॉट इक्वल टू डिटरमिनेट a प्स डिटरमिनेट b एडिशन पे डिटरमिनेट नहीं टूटता वेरी इंपॉर्टेंट और यह पता लग गया कि इसके आगे हम नहीं जा पा रहे अब पूरे सवाल में देखो आपको a और b की वैल्यू नहीं पता है आपको a और b की वैल्यू नहीं पता है कहीं नहीं पता तो इसके आगे तो नहीं जा पाएंगे अब दूसरा ऑप्शन सोचा हमने सोचा एक काम करते हैं b को ना कॉमन निकाल लेते हैं यहां पे दिक्कत ये नहीं कि अलग बैठा है तो वो एडिशन में आ रहा है b को इसके साथ रख के कॉमन निकाल लेते हैं ए - बी = ए ऐसे कर लिया बी को कॉमन निकाल लिया तो a - आ बी इ a और अब दोनों साइड पर डिटरमिनेट लिया क्योंकि मुझे फाइनली डिटरमिनेट ही क्रिएट करना था डिटर्मिननेंट ऑफ a माइ आ डिटरमिनेट ऑफ बी इक्वल टू टर्मिनेट ऑफ a अब सारा दारम दार इस पे है अगर इसकी वैल्यू आएगी तो उसके बारे में कुछ कह पाऊंगा इसकी वैल्यू कुछ आएगी तो इसके बारे में कुछ कह पाऊंगा क्या मैं ट के बारे में कुछ कह पा रहा हूं सर अगर डिटरमिनेट ए चाहिए तो दोनों साइड डिटरमिनेट अप्लाई कर दो सुनने में कितना आसान लग रहा है बट बहुत इंपॉर्टेंट है मुझे ए का डिटरमिनेट चाहिए तो डिटरमिनेट अप्लाई कर दो आ जाएगा डिटर्मिननेंट ऑफ दिस इ इक्वल टू डिटरमिनेट ऑफ नल पावर चली गई बाहर इक्वल टू इसका टट जीरो तो डिटरमिनेट ए आ गया जीरो तो अगर ये जीरो है ओए होए होए होए होए होए अभी भी आंसर नहीं आया बीइंग वेरी फ्रैंक तुम में से कुछ बच्चों ने आंसर बना दिया आंसर नहीं आया अगर दो चीजों का प्रोडक्ट जीरो है तो क्या जरूरी है कि ये भी जीरो हो यह भी जीरो हो मुझे तो नहीं लगता यार अभी तो मुझे यह पता लगा कि या तो यह जीरो होगा या फिर यह जीरो होगा बस इतना पता लगा अभी ये नहीं पता लगा कि पक्के से डिटरमिनेट बी जीरो है या नहीं मुझे तो पता नहीं लगा तुम्हें पता नहीं कैसे पता लग गया यार इतने इंटेलिजेंट नहीं बनते होते ध्यान दो जरा फस ग अभी तक आंसर नहीं आया यानी कि इसके आगे भी कुछ बात नहीं बन पा रही हिम्मत नहीं हारी कॉन्फिडेंस रखा यहां से रिलाइज किया कि प्रॉब्लम य आ रही थी कि इधर जीरो आया था पर इधर दो चीजों का प्रोडक्ट आ गया था जिसकी वजह से कहना पड़ रहा था कि या तो यह जीरो या यह जीरो इस बारना कुछ अलग तरीके से कॉमन लेते इस बार मैं ए को इधर लेकर गया ए माइनस ए इ बी कितने बच्चे समझ पा रहे हैं अब बात बन गई ए बी माइन आ इ बी नाउ यू टेक डिटरमिनेट एंड नाउ यू रिलाइज की लेफ्ट हैंड साइड पूरी ही जीरो हो गई जीरो क्योंकि डिटरमिनेट a मेरा जीरो था अब मैं कह सकता हूं कि पक्के से बी का डिटर्मिननेंट जीरो आएगा कितने बच्चे एक्चुअल लर्निंग ले पा रहे इस सवाल से एक्चुअल लर्निंग भैया बात नहीं बनी भैया बात बनती बनती रह गई रुको मत और पंगे लो बात बन जाएगी एफर्ट मार दिया आ शाबाश बहुत बढ़िया तो बनना यही है कि टर्ट अप्लाई करना है पर आप हिम्मत ना हारो देखो कहां से बन रहा है कहां से बन रहा है एंड दैट इट आ जाओ अब आता है अगला ट्रांसपोजर भैया ट्रांसपोजिंग में बताया क्रिटिकल टॉपिक ऑफ दिस चैप्टर है प्रॉपर्टीज ऑफ ट्रांसपोजर को आराम से देखिए है वही जो डिटरमिनेट पढ़ा था आपने ट्रांसपोजर कॉलम इंटरचेंज सेम ट्रांसपोजर है कि a12 जो है वो a21 बन जाएगा a13 जो है a31 बन जाएगा कॉलम जो था वो रो बन जाती है ट्स इट रो कॉलम इंटरचेंज राइट बट इंपॉर्टेंट है इसकी प्रॉपर्टीज ट्रांसपोजिंग मुड़के वही पहुंच जाओगे एडिशन पर ट्रांसपोजर जाता है सबै पर ट्रांसपोजर जाता है कांस्टेंट बाहर आ जाता है और यहां पर रिवर्सल लॉ लगता है प्रोडक्ट पर रिवर्सल लॉ नाउ ध्यान से देखना इसी का कि अगर पावर होती तो पावर फिर से बाहर चली जाती आप इसको ऐसे याद कर लो कि पावर जो है ना वो हर जगह अंदर बाहर चली जाती है डिटरमिनेट में अंदर बाहर चली जाती है ट्रांसपोजर बाहर चली जाती है आगे कुछ और आएंगे उनमें भी अंदर बाहर चली जाती है इसको तो पी जाओ पावर हर जगह अंदर बाहर चली जाती है ठीक आ जाओ और ये जो रिवर्सल लॉ है यह बता दिया गया कि अगर ज्यादा हो तो भी लगेगा तीन का प्रोडक्ट था तो तीनों उल्टे हो जाएंगे फिर ट्रांसपोजर ट्रांसपोजर इसे कहते हैं रिवर्सल लॉ उल्टी हो जाती है तो प्रोडक्ट में ट्रांसपोजर रिवर्सल लॉ होता है सम स्पेशल टाइप ऑफ मैट्रिस सुनिए ट्रांसपोजिंग हैं राइट और यहां पे कुछ छोटे-छोटे प्रॉपर्टीज ट्रांसपोजर होते रहेंगे तो जरा ध्यान रखिएगा सबसे पहली बात सिमिट्रिक मैट्रिक्स जब ए ट्रांसपोजर आ जाए उसे कहते हैं सिमिट्रिक मैट्रिक्स देखने में ये कैसा होता है कि डायगोनल के अबाउट जो a12 और a21 है वो सेम होते हैं a13 और a31 सेम होते हैं a32 सॉरी 23 और 32 बराबर यानी कि कॉन्जुलेरे याद रखिएगा स्क्यू सिमेट्री की डेफिनेशन सिर्फ यहां से याद नहीं रखनी उसको यहां से भी याद रखना है स्क्यू सिमिट्रिक मैट्रिक्स क्या होता है जब डायगोनल पे जीरो होता है एंड कॉन्जुलेरे टू तो इधर -2 इधर फोर तो इधर -4 इधर -3 तो इधर थ तो कंजुल जीरो है ये बड़े इंपोर्टेंट है डायगोनल जीरो है नाउ स्क्यू सिमिट्रिक मैट्रिक्स की एक छोटी सी प्रॉपर्टी होती है जो हमने डिटरमिनेट में पढ़ी थी और आज समय आ गया कि उसको प्रूफ कर लिया जाए डिटरमिनेट ऑफ स्क्यू सिमिट्रिक मैट्रिक्स ऑफ ऑड ऑर्डर इज 0 मैं 3 क्रॉस थ के लिए प्रूफ कर देता हूं सेम फॉर एनी ए ऑड प्रूफ किया जा सकता है तो लेट a 3 कस 3 बी स्क्यू सिमिट्रिक मैट्रिक्स स्क्यू सिमिट्रिक अब यहां पे एक स्टेप आप मुझे बताएंगे जिससे मुझे पता लगेगा कि आप अंडरस्टैंडिंग में कितना ठीक सोच रहे हैं अ देर फोर ए का ट्रांस्पोज इक्वल टू माइन ए ठीक है तो ए एक्यूमेट्रिक मैट्रिक्स है उसका ऑर्डर थ्री है अब आप मुझे बताइए अगर इसके डिटर्मिननेंट पर मैं कमेंट करना चाहता हूं तो मुझे इसके बाद क्या करना चाहिए मैंने स्क्यू मटिक मैट्रिक्स थी डेफिनेशन लिख दी है और अब मुझे इसके डिटरमिनेट पर कमेंट करना है अब क्या करूं सर डिटरमिनेट क्रिएट कर दो कैसे कट ट करूं सर डिटरमिनेट अप्लाई कर दो अगर ये दो मैट्रिक्स बराबर थे तो इनके डिटरमिनेट भी बराबर होंगे यस और नो डिटरमिनेट भी बराबर होंगे दैट्ची -1 इन a3 क्रॉस 3 का डिटर्मिननेंट जब यहां से -1 बाहर आएगा कितनी पावर के साथ बाहर आएगा जरा बताइए कितनी पावर के साथ बाहर आएगा सर जब भी बहुत बढ़िया सर जब भी हां कांस्टेंट बाहर आता है डिटरमिनेट में से तो पावर ए के साथ बाहर आता है जो कि यहां पे थ है तो माइनस डिटरमिनेट ए तो ये बन गया टू टाइम डिटरमिनेट a इ 0 तो डिटरमिनेट a 0 इस तरह से इसको प्रूफ कर सकते हैं आराम से बहुत बढ़िया प्रखर मधु एवरी बडी अंशिका शाबाश क्या बात आईटी 2025 एक दो पहले छोटे से प्यारे सवाल देखेंगे फिर इनके थोड़े सुपर डडी देखेंगे ओके छोटा सवाल है कहता है a स्क्वा मैट्रिक्स है प्रूव करिए कि ये जो मैट्रिक्स लिखा गया वो सिमिट्रिक मैट्रिक्स है सबसे पहले तो अपने आप को बताइए कि ये जो पूरी चीज है एक मैट्रिक्स है सर ए कहां पे है एक कहां पे है दो दो मैट्रिक्स है जब दो मैट्रिक्स ऐड होते हैं तो तो एक बन जाता है हां किसी नंबर से मल्टीप्लाई डिवाइड करते हैं तो एक ही रहता है हां सर तो पहले अपने आप को ये विजुलाइज करवा दीजिए कि ये पूरे का पूरा एक मैट्रिक्स है इसे दो या तीन ऐसे मत देखिए ये एक मैट्रिक्स है और मुझे प्रूफ करना है कि ये सिमिट्रिक है किसी भी मैट्रिक्स को अगर आपने सिमिट्रिक प्रूफ करना है और आपको देखने में बड़ा सा लग रहा है तो पहले उसकी वैल्यू को कुछ नाम दे दो कुछ इसको c कह दो 1/2 ऑफ a + a ट्रांस्पोज इसको नाम दे दो इसकी कुछ तो वैल्यू आएगी ना उसको नाम दे दो अब कोई भी मैट्रिक्स सिमिट्रिक कब होता है जब उसका ट्रांसपोजर आ जाए तो ठीक है c का ट्रांसपोजर लो अगर c का ट्रांसपोजर हो गया तो मैंने c का ट्रांसपोज्ड सपोज पूरे का ट्रांसपोजर पे कितने प्यार से छोटी प्रॉपर्टीज काम आई पहली प्रॉपर्टी कांस्टेंट ट्रांसपोजर चला जाता है दूसरी प्रॉपर्टी एडिशन पे ट्रांसपोजर जाता है तो ये एक ऊपर भी आ गया और ये इसके ऊपर भी आ गया फिर a ट्रांसपोजर ट्रांसपोजर हो जाता है तो ध्यान से देखो आपने छोटी-छोटी प्रॉपर्टीज लगाई तो c जो था उसका ट्रांसपोजर आ गया तो अगर c का ट्रांसपोजर आ गया तो c क्या होगा सिमिट्रिक होगा सिमिलरली मैं कह सकता हूं कि अगर ऐसा कोई भी सवाल आ जाए तो ऐसे नाम देक मैं प्रोसीड करता रहूंगा हां सर तो क्या इसके लिए मुझे पड़ोसी चाहिए होंगे इस बड़ी सी चीज को स्ट्रिक प्रूफ करना था इस बड़ी सी चीज को नाम दे दिया मैंने सी लेट लिख लो अगर ज्यादा ही दिल कर रहा है नाम दे दिया सी अब दोनों साइड पर ट्रांसपोजर हिसाब से अब मैं सीधे एक लाइन में लिख सकता हूं हाफ बाहर आएगा ए का ट्रांसपोजिंग प्रॉपर्टी लगती जा रही है यह बहुत इंपॉर्टेंट है जब तक आपकी टिप्स प नहीं होंगी ना आप अगले सवाल में फस जाएंगे ओके तो एक बार प्रॉपर्टीज दोबारा दिखा देता हूं अगले सवाल पर जाने से पहले ट्रांसपोट खत्म हो जाता है एडिशन और सबक्स पर टूट जाता है कांस्टेंट बाहर आ जाता है प्रोडक्ट में रिवर्सल लॉ लगता है और पावर अंदर बाहर चली जाती है एक एक प्रॉपर्टी इंपॉर्टेंट है अब ये जो दो छोटे छोटे किए ना इससे एक छोटा सा रिजल्ट बनता जो कि स्कूल में काम आ जाता है या कंपटीशन में स्टेटमेंट में काम आता है क्वेश्चन में दिया होता है तो क्वेश्चन समझने में काम आता है एक्चुअली है क्या अगर मैं आपसे बोलू अभी हमने इसे क्या प्रूफ किया था सिमिट्रिक और अभी हमने इसे क्या प्रूफ किया था स्क्यू स्ट्रिक राट ये एक स्ट्रिक मैट्रिक्स हैय एक्यूमेट्रिक मैट्रिक्स है जरा ध्यान से देखो इन दोनों का एडिशन किसके बराबर आ रहा है अगर मैं दोनों को ऐड कर दूं तो क्या वैल्यू आ रही है सर माइनस हाफ ए ट्रांस्पोज प्लस हाफ ए ट्रांसपोट गया सरय तो ए के बराबर आ रही है यस और नो सर ए के बराबर आ रही है तो यानी कि मैं किसी भी मैट्रिक्स ए को अगर चाहूं तो एक सिमिट्रिक मैट्रिक्स और एक्स क्यू सिमिट्रिक मैट्रिक्स के एडिशन में रिप्रेजेंट कर सकता हूं ये हो गया आपके स्कूल का सवाल वो आपको स्कूल में एक मैट्रिक्स दे देंगे a प्रॉपर और कहेंगे रिप्रेजेंट इट एज अ सम ऑफ सिमिट्रिक एंड क्यू सिमिट्रिक मैट्रिक्स तो आप कह देंगे यह वैल्यू निकाल लेंगे यह वैल्यू निकाल लेंगे और लिख देंगे a इक्व टू दिस प्लस दिस वेयर दिस इमेट्रिक पार्ट एंड दिस इज क्यू सिमिट्रिक पार्ट और ये जो मैंने पार्ट वर्ड यूज किया ना ये तुम्हारे जेई में काम आएगा जेई में क्या करेंगे सवाल दे देंगे और लिख देंगे सिमिट्रिक पार्ट ऑफ ए आगे कुछ कुछ लिख देंगे नाउ व्हेन दे से सिमिट्रिक पार्ट ऑफ दे आर रेफरिंग टू दिस सिमिट्रिक पार्ट ऑफ ए अगर आपको यह पता ही नहीं है कि इसे कहते हैट्रिक पार्ट ऑफ ए तो आपको व सवाल का स्टेटमेंट समझ नहीं आएगा समझ रहे हो साउंड में कोई प्रॉब्लम है क्या जरा फट बताइए आवाज में कोई दिक्कत आ रही है फ बताइ आवाज में कोई दिक्कत आ रही है कि एक दो बच्चे कह रहे आवाज में थोड़ी दिक्कत हो रही है शाबाश फटाफट बताइए सर बीच में वॉइस थोड़ी कट रही है ओके छोटू सा पा सेकंड का लैग आएगा जरा एडजस्ट करिएगा नाउ एवरीथिंग शुड बी फाइन कई बार एक छोटा सा एरर आ जाता होता है तो अभी वो एरर ठीक हो जाएगा आ जा ओके लो जी माइक भी हमने थोड़ा सा सेट कर लिया है एक मिनट एक मिनट लो जी तो इसे कहते हैं सिमिट्रिक पार्ट ऑफ a और इसे कहते हैं क्यू सिमिट्रिक पार्ट ऑफ a तो कभी अगर सवाल की स्टेटमेंट में लिखा हो ना सिमिट्रिक पार्ट ऑफ a वो अंग्रेजी में लिखेंगे तो आपको पता होना चाहिए कि वह इसकी बात कर रहे हैं सिमिट्रिक पार्ट ऑफ a और अगर सवाल में लिखा है स्क्यू सिमिट्रिक पार्ट तो यानी कि वो इसकी बात कर रहे हैं क्यू सिमिट्रिक पार्ट ऑफ a बस ये आपको रोटेशन पता होनी चाहिए ठीक है जी ओके अब आ जाइए एक दो सवाल और देखते हैं सिमट्रिक्स क्यू सिमिट्रिक ही प्रूफ करने प एक दो सवाल देखेंगे फिर थोड़ा अच्छे लेवल का सवाल देखेंगे ए एंड बी आर सिमिट्रिक मैट्रिस उसने सवाल में दे दिया ओके ए एंड बी जो है सिमिट्रिक है ए ट्रांस्पोज ए के बराबर है बी ट्रांस्पोज बी के बराबर है ऑफ सेम ऑर्डर यानी कि ऑर्डर अच्छा है बढ़िया देन प्रूव दैट ए - बी इज स्क्यू सिमिट्रिक ओ टू प्रूव ए - बी इज क्यू सिमिट्रिक तो सुनिए जरा ध्यान से मेरी बात ये जो बड़ी सी चीज है इसे स् क्यूस मेंट्रिक प्रूफ करना है बड़ी सी चीज को नाम दे दो क्योंकि जैसे ही मैं इसको एक छोटा सा नाम देता हूं देखना आसान लगता है फाइनली ये कट पिट के बनेगा तो एक मैट्रिक्स ही ना उसको c कह देता हूं तो मुझे बोला गया प्रूफ करिए कि सी जो है चलो आ जाओ जवानो आ जाओ खुश रहो सो हां जी तो हमने ए - बी को नाम c दे दिया अब c को चेक करना है कि इस क्यूस में ट्रिक मतलब बन जाए बेसिकली जिसके लिए हम इसका c ट्रांसपोजर करेंगे और कोशिश करेंगे कि - सी के बराबर आ जाए बस अब देखो यहां पे स्टेप बाय स्टेप प्रॉपर्टीज कैसे यूज होंगी यह ट्रांसपोजर इसके ऊपर आया यहां मैं स्टेप बाय स्टेप लगा रहा हूं धीरे-धीरे फिर दो दो स्टेप एक में लगाएंगे ठीक है जी ट्रांसपोजर एडिशन प अब यहां पर लगा रिवर्सल लॉ बी ट्रांसपोजर यहां फिर से लगा रिवर्सल लॉ ए ट्रांस्पोज बी ट्रांसपोट हो गया अब ए और बी तो मुझे पता सिमिट्रिक है तो यह बन गया बी माइन ए तुम्हें नहीं लगता यह मेरे सी के नेगेटिव के बराबर आ गया तो हेस सी आपका स्क्यू मैट्रिक है लव यू टू शेरा खुश रहो ठीक है तो इस तरह से आप आराम से प्रूफ कर सकते हैं सिट्रिक डिफिकल्टी करने के लिए वो यहां पर कुछ पावर्स इंक्लूड कर देगा शक्ल गंदी बना देगा कुछ इस तरह की ओके तो देखो यहां पर एक सवाल अब थोड़ा सा तेजी से करना सीखते हैं आपको एक्सवा जो है स्ट्रिक दिए हुए हैं गिव मी अ मिनट इस माइक में ज्यादा ही आवाज आ रही है थोड़ा इसको पहले हल्का सा शांत करना पड़ेगा लो जी यहां पर ठीक होना चाहिए लो जी बल्ले बल्ले अब ठीक होनी चाहिए बास चेक चेक बल्ले बल्ले बल्ले बल्ले हां जी अब आवाज ठीक होनी चाहिए बिल्कुल जरा सर देख के बताइए आवाज ठीक आ रही है हां जी अब ठीक है वेरी गुड आ जाओ आज तो आवाज ने बहुत तं कर दिया तो एक् और y जो है वो नॉन जीरो क्यू सिमेटिक है तो हमें पता है कि आपका x का ट्रांस्पोज - एक के बराबर है वा का ट्रांसपोजर है और वहीं पे जो जड है वो सिमिट्रिक है यानी कि z का ट्रांसपोज्ड के बराबर है तो ये इंफॉर्मेशन उसे पहले दे दी और अब बो क्या है प्रूफ करिए कि यह चीज सिमिट्रिक है यह बड़ी सी चीज क्या है भैया y क्यूब z पावर 4 माइ ज पावर फवा क इस पूरे को सिमिट्रिक प्रूफ करना है अब बड़ी सी चीज है पहले इसको एक छोटा सा नाम दे दो इसे कह दो कुछ भी नाम दे दो सी कह देता हूं लेट सी बी इक्वल टू दिस अगर मुझे प्रूफ करना है कि सी जो है वो सिमिट्रिक है तो मुझे उसका ट्रांसपोजिंग से पहला स्टेप होता है खुद से ट्रांसपोजर तो देखेंगे कि वो c के बराबर आ रहा है या - स के तो आपने ट्रांसपोजर लगाएंगे स्टेप दो दो एक में अब अपने जरा चक्षु खोल लीजिए दिमाग के सबसे पहले ये ट्रांसपोजर पे टूटा और प्रोडक्ट पे लगा रिवर्सल लॉ तो ये टर्म पे जब ट्रांसपोजर तो z पावर 4 का ट्रांसपोजर पोज बाद में रिवर्सल लॉ जब इस पे ट्रांसपोजिंग रिवर्सल लॉ वा क्यूब का ट्रांसपोजर फो का ट्रांसपोजर जो है वो ट्रांसपोजर बाहर जा सकती है तो जड ट्रांस्पोज पावर फोर वा ट्रांस्पोज पावर थ माइनस ऐसे ही यहां पर भी पावर बाहर ले गए पावर को बाहर क्यों लेकर गए और भाई मुझे इस ग्रीन इंफॉर्मेशन को यूज भी तो करना है तो करिए जड ट्रांसपोजर पोज क्या है माइनस पावर ऑड है तो माइनस बाहर आ गया वा क्या था माइनस वा तो माइनस वा थी पावर और थी माइनस बाहर आ गया माइनस माइनस प्लस बन गया और ज ट्रांस्पोज क्या था जड तो ज पावर 4 तो अगर ध्यान से देखें तो यह मुड़कर आपका सी ही आ गया माइन ज फवा क्यूब प्वा कू z4 ये सी के बराबर ही आ गया हेंस दिस इज सिमिट्रिक आईडिया क्लियर हो गया इस हिसाब से आप इसके टैकल कर पाए उसके लिए प्रॉपर्टी आना जरूरी है ट्रांसपोजिंग ये बन जाएगा इसको और तेजी से करेंगे आ जाओ भैया सेम सवाल है बस इसको प्रूव करना है स्क्यू सिमिट्रिक हमने सी बोला इस पूरे को एक्स पावर 4 जड क्यूब जड कूब एक्स पावर 4 सी का ट्रांस्पोज लिया एक्स पावर 4 ज क्य माइन ज क्य एक्स पावर 4 का ट्रांसपोजर वर्सल लॉ लगा और पावर चली गई बाहर इस पे लगा पावर चली गई बाहर अब एक स्टेप और खा गए यहां पे इस आया ट्रांसपोजर वर्सल लॉ तो पहले इस पर लगा पर पावर चली गई बाहर और इस पर लगा पावर चली गई बाहर हां जी सबको आईडिया क्लियर है स्पीड ये आपको बनानी है यहां पे जैसे प्रॉपर्टीज क्लियर होती जाएगी ना आपकी स्पीड बढ़ती जाएगी अब ज ट्रांस्पोज तो जड ही था एक्स ट्रांस्पोज क्या था - एक् तो जैसे ही - एक लिखा पावर क्या है फोर तो माइनस खत्म हो गया सेम इसे - एक लिखा पावर फोर है तो माइनस खत्म हो गया तो यह जो है ध्यान से देखो नेगेटिव के बराबर आया जो इसमें प्लस था वो इधर माइनस बन चुका है जो इधर माइनस था वो इधर प्लस बन चुका है तो माइनस ऑफ c हेंस ये स्क्यू उसम ट्रिक है तो बेटा जी इतनी स्पीड से कब कर पाएंगे जब हमारी ट्रांसपोजर कीज बहुत अच्छे से चमकी हुई है तो वो आपने पाछ 10 सवाल कर करके अपने आप को अच्छा बना लेना है फिर एक डेफिनेशन है हर्मिस एंड स्क्यू हर्मिस ये एसे सिलेबस में मेंशन नहीं है एडवांस में की तो की बार थोड़ा बहुत आ चुका है इसका बस डेफिनेशन पता होनी चाहिए इस सवाल आपको लगाने की जरूरत नहीं है जैसे हम ट्रांसपोजर ऐसे ही कॉन्जुलेरे ये एक मैट्रिक्स है राइट और आपको बोला जाए कि इस मैट्रिक्स का कंजुल होता है कि जो कॉम्प्लेक्टेड माइनस इसका कॉन्जुलेरे बन गया - आ 02 जो सेकंड कॉलम था व सेकंड रो बन गया और जो थर्ड कॉलम था वह थर्ड रो बन गया यह जो मैट्रिक्स बना उसे कहा जाता है कंजुन्नी क्यू हरम ना सिमट्रिक्स क्यू सिमिट्रिक के बड़े भाई है कॉम्प्लेक्शन मैट्रिक्स क्या होता है जब एक कंजुन्नी मैट्रिक्स में जो डायगोनल एलिमेंट होते हैं वो पोरली रियल होते हैं भाई ट्रांसपोजर डायगोनल एलिमेंट्स को फर्क नहीं पड़ता तो अगर इन दोनों के डायगोनल एलिमेंट कंपेयर करेंगे तो भैया कंजुल टू अ नंबर और ऐसा तो रियल नंबर्स के लिए होता है तो आपको हर्मिन मैट्रिक्स के बारे में दो चीजें पता होनी चाहिए पहली डेफिनेशन कॉन्ज ट्रांस्पोज सेम रहता है और उसकी खासियत इसमें जो डायगोनल एलिमेंट होते हैं वो पोरली रियल होते हैं ऐसे स् क्यूट्री का बड़ा भाई स्क्यू हर्मिन अगर कजुट ट्रांसपोजर आ जाए अब एग्जांपल कहां गया ये रहा ये रहा एक कंजुल कंपेयर करो ट्रांसपोजर को चेंज नहीं करता तो कॉन्जुलेरे छोटी सी डेफिनेशन आपको क्लियर होनी चाहिए ठीक है गॉड ब्लेस यू आयुष खुश रहो बेटा यहां पे एक एग्जांपल भी दिया गया है आराम से इसका कंजुल मैट्रिक्स अगर टाइप ऑफ मैट्रिक्स की बात करो सही बताऊं प्राइमर दो ही इंपॉर्टेंट है एक सिमिट्रिक क्यू सिमिट्रिक और एक ऑर्थोग्राफिक हैं आपके इस चैप्टर में इसको सेटिस्फाई करता है तो उसे कहते हैं थल मैट्रिक्स a इन ए ट्रांसपोट आइडेंटिटी यानी कि ए को ए के ट्रांसपोर से मल्टीप्लाई किया तो आइडेंटिटी मिल गया ओके इससे पहले की इसकी खासियत पढ़े अगर मैं आपसे पूछता कि डिटर्मिननेंट ऑफ ऑर्थोगनेथिक a * ए ट्रांस्पोज ना आ के बराबर है ये मैंने बता दिया और मैं आपको पूछ रहा हूं कि मुझे ना a के डिटर्मिननेंट के बारे में कुछ बताइए तो क्या करोगे सबसे पहले तो यह बोलना है सर अगर मेरे पास ये बैठा है और मैं a का डिटरमिनेट निकालना चाहता हूं तो मैं डिटरमिनेट अप्लाई कर दूंगा हाउ टू क्रिएट डिटरमिनेट अप्लाई डिटर्मिननेंट अगर ये बराबर है तो इनके डिटरमिनेट भी बराबर होंगे जैसे ही आप ने ये लिखा आपके पास a का डिटरमिनेट क्रिएट हो गया क्रिएट हो गया तो भैया वैल्यू आने के चांसेस बन गए a ट्रांस्पोज का डिटरमिनेट तो a का डिटरमिनेट ही होता है तो ये बना स्क्वायर इक्वल ट 1 और यहां से आपने कमेंट किया कि अगर एक मैट्रिक्स ऑर्थोगनेथिक क्लूड करिएगा यहां से ये मत कर दीजिएगा कन्वर्स नहीं ट्रू किसी भी मैट्रिक्स का डिटरमिनेट अगर वन या माइनस व है तो वो ऑर्थोग्राफी आने का रास्ता नहीं है हमारे पास ओके तो इंपॉर्टेंट इ डिटरमिनेट अप्लाई कर दो तो डिटरमिनेट वैल्यू आ जाएगी आपके पास अब देखो यार अगर ए बड़ा मैट्रिक्स हुआ तो यहां पर चेक करने में कि ऑर्थो है या नहीं टाइम लग जाएगा आप ए लिखोगे ए ट्रांसपोजिंग मल्टीप्लाई करोगे देखोगे आइडेंटिटी बना नहीं बना थोड़ा टाइम लगता है मोर ओवर आपको शक्ल देख के नहीं पता लगेगा कि यार ये ऑर्थोगनाथाउज अ i + 2j + 3k एक वेक्टर है हां जी अगर इस वेक्टर का मैं आपसे मैग्नी ूड्स हैं कितना होगा हां सर रूट ऑफव का स्क्वायर 2 का स्क्वायर 9 3 का स्क्वा सो √1 √1 वेरी गुड अगर मैं आपसे 3i + 4j का मैग्नी ड पूछूं बता सकते हो हां सर कोई प्रॉब्लम नहीं 3 का स्क्वायर 4 का स्क्वायर रूट के अंदर तो 5 ओके अब ना अगर मैं तुम्हें कहूं कि यार एक वेक्टर है जिसमें ना आ के साथ वन बैठा है जे के साथ टू बैठा है और के के साथ ्र बैठा है क्या तुम मुझे उस वेक्टर का मैग्निटिया बता दोगे हां सर वही तो बताया है बस इसी बात को दिमाग में रखना ठीक है जी आ जाओ यह एक मैट्रिक्स है हां जी एक काम करो यहां पर यह जो तीन नंबर है ना यह सोच लो कि आई ज के के नंबर्स है यह भी आई ज के के नंबर्स है और यह भी आई ज के के नंबर्स है जैसे मैंने एग्जांपल दिया तो जरा बताओ इसका मैग्नी क्या है पहले कॉलम का मैग्नी क्या है लव यू टू बेटा गॉड ब्लेस यू शेरा खुश रहो क्या बात है सर यूनिट है सर वन मैग्नी ूड्स लो ये आ का को एफिशिएंट ये जे का को एफिशिएंट ये के का कफिट तो मैग्नी ूडल 3/4 1/4 रफव सर वन है अच्छा इसका मैग्नी सर ये तो क्लियर वन है तो यानी कि मैं कह सकता हूं कि यहां पे जो कॉलम्स है अगर वो आ ज के के कफिट होते तो यूनिट वेक्टर बनाते यूनिट वेक्टर बनाते ओके अब मुझे एक बात बताओ अगर य एक वेक्टर है य एक वेक्टर है इन दोनों वेक्टर का डॉट कितना है तुम्ह डॉट करना आता है है ना दो वेक्टर का डॉट करना आई आई वाला मल्टीप्लाई हो जाता है जे जे वाला हो जाता है के के वाला हो जाता है तो इन दो वेक्टर्स का डॉट बताओ मेरे को जरा सर माइनस रथ बा फ प्स रथ बा फ 0 सर जीरो है यस अच्छा सिमिलरली मुझे बतान का डॉट कितना है इन दोनों का डॉट कितना है सर जीरो जी जी तो जब भी किसी मैट्रिक्स के कॉलम्स यूनिट वेक्टर हो और उसके सारे के सारे कॉलम आपस में परपेंडिकुलर हो डॉट क्या होता है जीरो डॉट जीरो मतलब वेक्टर परपेंडिकुलर तो उस मैट्रिक्स को ऑर्थो कहते हैं इफ कॉलम्स ऑफ योर मैट्रिक्स आर यूनिट वेक्टर एंड आर परपेंडिकुलर वह मैट्रिक्स ऑर्थोगनेथिक वेक्टर यूनिट वेक्टर यूनिट वेक्टर इन दोनों का डॉट जीरो इन दोनों का डॉट जीरो इन दोनों का डॉट जीरो देख पा रहे हैं यस ओके अब जरा यहां बताइए क्या देख पा रहे हो कि ऑर्थोनोवा में रखते हैं तो आप मैट्रिक्स को देखते ही ऑब्जर्व कर लेते हैं अभी सवाल करेंगे आगे जहां पर देखते आपको दिख जाएगा आपको चेक नहीं करना पड़ेगा सरय तो थोल है सारे यूनिट वेक्टर है उनके आपस में डॉट जीरो है सर तो इस तरीके से हम सीधे ही बता देते ऑर्थोलॉजी रो के लिए भी कॉलम्स आर परपेंडिकुलर यूनिट वेक्टर्स बस यह होती है आपके ऑर्थोगनेथिक ए ए ट्रांसपोजर दिया यानी उसने बता दिया कि ऑर्थोनोवा करोगे आई से कंपेयर करोगे वहां से कुछ प की वैल्यू निकालो ये आम जिंदगी तुमने क्या करनी है तुमने करनी है मेंटोस जिंदगी अब मेंटोस जिंदगी क्या है सर मेंटोस जिंदगी यह कहती है कि हमारी जो मैट्रिक्स होती है उसमें सारे कॉलम यूनिट होते हैं पहली बात तो तो सर अगर ये यूनिट वेक्टर है तो रूट 0 प् p स् प् p स्क्व होना चाहिए तो रट 2p स्क्व होना चाहिए रट p का मैग्नी स्क्वायर का रूट लेते हैं मैग्नी बनता है रूट ऑफ p2 इन p मैग्नी 1 तो p का मैग्निटिया बोलो आया म सो खत्म यहां तो यह भी यूज करना नहीं पड़ा कि परपेंडिकुलर है सिर्फ यूनिट यूज करके ही बात बन गई सिर्फ यूनिट यूज करके बात बन गई बहुत बढ़िया अच्छा थोड़ा सा एक सवाल देखो और जो देखने में खतरनाक लग रहा है बट अगर आपको ऑर्थो मैट्रिक्स का एक्चुअल मीनिंग पता है डायरेक्ट शॉर्टकट तो य ओरली कर सकते हो ओरली कहता इसका डिटरमिनेट बताइए ठीक है जी अब इनके बारे में क्या इंफॉर्मेशन दी गई है जरा यहां से शुरू करिए ये इंफॉर्मेशन क्या बताती है सिगमा ए स्व है सिगमा ब स्व है सिगमा c स्व है डू यू एग्री वो इनडायरेक्टली बता रहा है कि ये यूनिट वेक्टर है ये यूनिट वेक्टर है ये यूनिट वेक्टर है इनडायरेक्टली यही बता रहा है दूसरा सिगमा ए bi0 यानी कि इनका डॉट 0 सिगमा बी स0 यानी कि इनका डॉट 0 सिगमा ए सी0 यानी कि इंका डॉट 0 यह क्या बता रहा है कि आपस में परपेंडिकुलर है तो इनडायरेक्टली मुझे सब कुछ बता चुका है कि इट्स अ डिटर्मिननेंट ऑफ ऑर्थोगनेथिक का डिटर्मिननेंट क्या होता है यह मुझे स्क्रीन पर भी दिख जाना चाहिए बी ऑप्शन डी ऑप्शन डी ऑप्शन बी ऑप्शन डी हां डी सर प्लस माइव हमने अभी देखा था थो गोनल मैट्रिक्स का डिटरमिनेट वन या माइनस व होता है तो ये ब ओरली किया जा सकता था देखने में शायद खतरनाक लग रहा हो ओके अब आ जा ये सवाल आ गया पहली बात स्टैंडर्ड सवाल है ओके मैं इसका तरीका बताऊंगा शॉर्टकट पर पहले मुझे यह बताओ जब सवाल को पढ़ोगे इस ए को देखकर थोड़ी बहुत ऑर्थोगनेथिक सर आ तो सकती है इसका मैग्निटिया वैसे भी क्यों आनी चाहिए थी यह बताता हूं नाउ दिस इज वन ऑफ द स्टैंडर्ड वरायटी जो आपको याद रखनी है वो आपको एक उसके बाद एक दूसरा मैट्रिक्स देंगे इसमें कोई बहुत बड़ी खूबी नहीं होगी बस एक अलग मैट्रिक्स होगा फिर एक मैट्रिक्स डिफाइन करेंगे a ट्रांस्पोज बी ए ये मेरा ए है और ये दूसरा है वो बी है ओके हमेशा ऐसे ही डिफाइन करेंगे और फिर इस m की एक बड़ी सी पावर ए और ए ट्रांस्पोज के बीच में रख देंगे और इसकी वैल्यू पूछेंगे ए ए 2023 ए ट्रांस्पोज ये स्टैंडर्ड फॉर्मेट है एक दो बार करके इसको याद रखना है आपने सबसे पहले तो रिजल्ट से इसको सॉल्व करूंगा फिर बताऊंगा कि प्रूफ क्या है या कैसे स्टेप बाय स्टेप कर सकते हो रिजल्ट ये इसमें ब रिजल्ट नहीं इसमें हमेशा ऐसा ही होगा इसकी जो वैल्यू है ना वह हमेशा क्या आएगी इस पावर को इस पावर को लगा दीजिए ये जो बीच में बैठा है ना उसके ऊपर दैट इज योर आंसर अब b की पावर 2023 के लिए b स् b क निकालिए और पैटर्न को ऑब्जर्व कर लीजिए b स्क निकाला b क्यूब निकाला वहां से पैटर्न को ऑब्जर्व किया और ये आपका आंसर आ गया बस खत्म यही आपका आंसर है ओके आंसर अब बात है कि सर ऐसा क्यों हो रहा है ऐसा हो क्यों रहा है तो सुनिए यह मैं आपको छोटे से वैल्यू के लिए बताता हूं मान लीजिए यहां के m की पावर थ होती छोटी पावर लेके बता रहा हूं a ट्रांस्पोज ठीक है ओके m की वैल्यू ये यहां पे डाल दीजिए ए ए की वैल्यू डालिए ए ट्रांस्पोज बी ए का क्यूब ए ट्रांस्पोज ठीक है जी m की पावर 3 थी m की वैल्यू डाल दी अब भैया क्यूब है तो तीन बार लिखना है गलती से भी ना ए के स्क्वायर को a स्क बी स्क्र नहीं कह देना इट इज ए इन ए ऑर्डर मैटर करता है मैट्रिस है तो यहां पर इसको तीन बार लिखेंगे ए ट्रांस्पोज बी ए ट्रांस ए ट्रांस्पोज बी तीन बार लिख दिया एक बार दो बार तीन बार बिल्कुल और लास्ट में आ गया य नाउ जैसे ही तुम ऑर्थोनोवा टर्म क्या बन गई आपकी यह बन गया आई इन बी यह वाला क्या बन गया बी यह क्या बन गया आ उसके बाद बी और यह क्या बन गया आ तो ध्यान से देखो आई आई आई तो फर्क नहीं क्रिएट करेंगे तो क्या आ गया बी कूब तो जितनी पावर आपकी ए के ऊपर होगी ना फाइनली इसकी वैल्यू वही पावर बी के ऊपर आ जाएगी तो इसको एज रिजल्ट याद करके आपने इस सवाल को हमेशा करना है ये स्टैंडर्ड वैरायटी है एक ऑर्थो मैट्रिक्स एक कोई और मैट्रिक्स फिर यहां पर इस तरह का कॉमिनेशन डिफाइन करेंगे हमेशा ऐसा ही करेंगे और फिर इसकी बड़ी पावर को a और ए ट्रांसपोजर बीच में रखेंगे इसका आंसर हमेशा क्या आएगा ये बड़ी पावर b के ऊपर लगा दो वही आपका आंसर है फिनिश्ड डायरेक्ट हमेशा ओके आ जा अब आती है यूनिटरी मैट्रिक्स अगेन छोटी सी डेफिनेशन है काम ज्यादा है नहीं a * a कॉन्जुलेरे मैट्रिक्स कहते हैं इसका कोई लिवेंस ज्यादा आता नहीं क्योंकि कॉन्जुलेरे पोटेंट मैट्रिक्स अगर a का स्क्वायर a आ जाए उसे क इंपोर्टेंट मैट्रिक्स और हमने आज बिगिनिंग में देखा था कि अगर a स् a आ चुका है तो उसकी कोई भी बड़ी पावर कर दो वो भी a ही रहेगी और यहां पे हमने बिगिनिंग में एक सवाल प्रूफ किया था जिसको एज अ रिजल्ट याद करने को बोला था और यहां पे मैं उसको एडम पोटेंट का नाम दे रहा हूं क्योंकि तब हमें नाम नहीं पता था कुछ याद आ रहा है सेशन का बिगिनिंग अगर ए a के बराबर हो एंड ब b के बराबर हो तो हमने आज बिगिनिंग में प्रूफ किया था कि a स्क्वा जो है वो ए के बराबर होगा बी स्क्वा जो है वो बी के बराबर होगा और मैंने कहा था ए रिजल्ट याद रख लो बहुत बढ़िया तो मैं कह सकता हूं ए जो है वो अडम पोटेंट होगा बी जो है वो अडम पोटेंट होगा तो यहां बस टर्म यूज कर ली और कुछ नहीं और उसको याद रखना ए रिजल्ट ओके अब आता है इवोल्यूट मैट्रिक्स अगर a स्क आइडेंटिटी बन जाए उसे कहते इवोल्यूट मैट्रिक्स a स्क इज आइडेंटिटी ये छोटी डेफिनेशन है बस इनके डेफिनेशन ही याद होनी चाहिए कि सवाल के बीच में लिख देते हैं वेयर ए इज इवोल्यूट अब अगर मुझे डेफिनेशन नहीं याद तो मैं यूज ही नहीं कर पाऊंगा कि मीनिंग था कि a स् = i बस ये डेफिनेशन याद रखने है लास्ट इज निल पोटेंट मैट्रिक्स अगर a की कोई पावर नल मैट्रिक्स बन जाए जैसे a स् रो मैट्रिक्स बन जाए या a क्यूब रो मैट्रिक्स बन जाए तो हम कहते हैं कि वो निल पोटेंट मैट्रिक्स है पावर m जो है जीरो मैट्रिक्स बन गई तो उसे कहते हैं निल पोटेंट मैट्रिक्स ठीक है और जो सबसे छोटी पावर जीरो बनती है उसे कह देते हैं ऑर्डर ऑफ ल पोटेंट मैट्रिक्स कि सबसे छोटी पावर ये है जिसके लिए वो जीरो बना अब यहां पर ये चीज पहले दिमाग में रख लो ऐसा चेक करने का कोई डायरेक्ट तरीका नहीं है कि क्या कोई पावर जीरो बनेगी जरूरी तो नहीं है कि कोई पावर जीरो बने ही बने मैट्रिक्स की हो सकता है a स्क a क a पावर 4 निकालते जा रहे हो कुछ बन ही नहीं रहा जीरो मैट्रिक्स कुछ कुछ बनता जा रहा है बिल्कुल कोई डायरेक्ट तरीका नहीं होता तो अगर कभी चेक करना कि एक मैट्रिक्स ल पोटेंट है या नहीं आपको एक्चुअली पहले a स्क्वा निकालना है फिर a क्यूब निकालना है फिर a परवर फो निकालना है फिर उसका पैटर्न ऑब्जर्व करना है वो पैटर्न अगर बता रहा है कि आगे जीरो बन रहा है तो आप कहेंगे नेल पोटेंट वो पैटर्न बता रहा है कि जीरो कभी नहीं बनेगा तो कहेंगे नॉट ल पोटेंट डायरेक्टली पावर निकालने का कोई तरीका नहीं है कि सर ये पावर जीरो बनेगी ऐसे डायरेक्ट तरीका कोई नहीं होता ओके बता भी य लिख दिया देन सिंगुलर नॉन सिंगुलर अगर मैट्रिक्स का डिटर्मिननेंट जीरो है उसे कहते हैं सिंगुलर मैट्रिक्स और और अगर डिटरमिनेट नॉन जीरो है तो उसे कहते हैं नॉन सिंगुलर मैट्रिक्स अब आता है द मोस्ट इंपोर्टेंट टॉपिक ऑफ द चैप्टर एट जॉइंट मैट्रिक्स एड जॉइंट ऑफ मैट्रिक्स दिस इज द मोस्ट इंपोर्टेंट पार्ट ऑफ दिस चैप्टर मैक्सिमम क्वेश्चन यही से आते हैं राइट और वो भी इसकी प्रॉपर्टीज से आते हैं तो एड जॉइंट ऑफ मैट्रिक्स पहले होता क्या है भैया अगर एक मैट्रिक्स है फॉर एनी स्क्वेयर मैट्रिक्स इट्स एड जॉइंट इज डिफाइंड एज ट्रांस ऑफ को फैक्टर मैट्रिक्स को फैक्टर मैट्रिक्स लिखिए उसका ट्रांसपोजिंग जैसे कि अगर यह मैट्रिक्स है और मुझे इसका एड जॉइंट लिखना है तो भैया मेरा पहला स्टेप क्या होगा मैं इसका को फैक्टर मैट्रिक्स लिखूंगा ू का को फैक्टर क्या है सर फ ्र का को फैक्टर क्या है -4 फर का को फैक्टर क्या है -3 5 का को फैक्टर क्या है ू ये बना को फैक्टर मैट्रिक्स फिर मैं लिखूंगा एड जॉइंट एड जॉइंट क्या होता है का ट्रांसपोजर 2 ट्स इट तो सबसे पहले आपको को फैक्टर निकाल के को फैक्टर मैट्रिक्स लिखना है फिर उसका ट्रांसपोले है दैट इज योर एड जॉइंट बहुत बढ़िया नाउ सिमिलरली अगर 3/3 का निकालना है एक्चुअली आपको पहले सारे एलिमेंट्स के को फैक्टर लिखने पड़ेंगे सारे एलिमेंट्स के को फैक्टर लिखने पड़ेंगे और वहां से बनेगा को फैक्टर मैट्रिक्स और इसका जब [संगीत] तो दैट इज हाउ को फैक्टर मैट्रिक्स एंड देन एड जॉइंट अब एक रिजल्ट जो आपको एड जॉइंट में दिमाग में रखना होता है व है यह वेरी वेरी वेरी इंपॉर्टेंट रिजल्ट क्योंकि जितनी प्रॉपर्टीज है मैक्सिमम यहीं से प्रूव होती है और इसी से आगे जाके इवर्स ऑफ मैट्रिक्स मतलब क्रिएट होता है या डिफाइन होता है या फार्मूला बनता है अब मैट इसे याद मैं लिखता हूं ऐसे लिख इसको याद ऐसे करना है अ मैट्रिक्स मल्टीप्ला इसे ऐसे याद करना है मल्टीप्ला बाय इट्स एड जॉइंट इ इक्वल टू डिटरमिनेट ऑफ मैट्रिक्स टाइम्स आइडेंटिटी ऐसे याद करना है ठीक है ए इन एड जॉइंट या एड जॉइंट नय दोनों बराबर होते है टर्मिनेट न अच्छा यहां पर एक बात नोट कर पा रहे हो भाई इन दोनों की वैल्यू सेम आ रही है नोट करिए a एंड एड जॉइंट a आपस में कम्यूटर हैं आपस में कम्यूटर हैं और जिन्होंने सेशन की बिगिनिंग लगाई है वो इसकी इंपॉर्टेंस समझ रहे हैं कम्यूटर का फायदा क्या है कि अगर मुझे कभी a प्स एड जॉइंट a की कोई पावर करनी पड़ गई तो मैं उसको सीधे ओपन कर दूंगा बानो मियल से पटाक से राइट ओके नाउ प्रॉपर्टीज ऑफ एड जॉइंट एड जॉइंट की प्रॉपर्टी जो है वो बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट होती है बहुत ज्यादा ही इंपॉर्टेंट होती है आओ एकएक करके प्रॉपर्टी को देखते हैं अभी तो आपको चाहो तो लिख लो पॉज करके क्योंकि अभी आपको मैं अप्लाई करना सिखाऊंगा बट आपको बाद में बहुत सवालो में लगा लगा के याद होंगी एड जॉइंट ए का डिटर्मिननेंट होता है टर्मिनेट a पावर ए माव दो एड जॉइंट है डिटरमिनेट नहीं लगा हुआ डिटरमिनेट a पावर n-2 * ए बट अगर यहां पे दो एड जॉइंट होते और आपको डिटरमिनेट पूछा होता तो पहले तो समझो ये अलग है ये अलग है ये एड जॉइंट ऑफ एड जॉइंट a था डिटर्मिननेंट नहीं था ओके हां जी सर तो इसकी वैल्यू क्या होती तो ये पैटर्न यहां से याद करना है सिंगल एड जॉइंट का डिटरमिनेट डिटरमिनेट a पावर n - 1 दो एड जॉइंट आ गए तो पावर में n - 1 का स्क्वायर अगर तीन एड जॉइंट आ गए तीन एडजोइंग आ गए और आपको डिटर्मिननेंट निकालना है तो डिटर्मिननेंट a की पावर n - 1 का क्यूब एंड द पैटर्न कंटिन्यूज एंड द पैटर्न कंटिन्यूज ओके ये आ गई पहली प्रॉपर्टी ना ठीक है ये मैंने बता दिया आपको वहीं पे एक एड जॉइंट दो एड जॉइंट तीन एड जॉइंट एंड सो ऑन ओके अगला ट्रांसपोजर बाहर चला जाता है प्रॉब्लम नहीं है कांस्टेंट अब ये इंपॉर्टेंट है क्योंकि ये बहुत अलग हो गया पहले से एड जॉइंट में से अगर कांस्टेंट बाहर निकालना चाहते हो तो पावर ए माइव से बाहर आएगा डिटर्मिननेंट से जब कांस्टेंट बाहर आता था आई मीन डिटर्मिननेंट ऑफ के टाइम ए से जब के को बाहर निकालते थे तो पावर ए बाहर आती थी और यह चीज अब सवालों में बहुत यूज होने वाली है यह और यह यह सवालों में बहुत यूज होगा जब ऐसे के को बाहर निकाला जाता है तो उसकी पावर ए बाहर जाती है और जब एड जॉइंट में से के को बाहर निकाला जाता है तो पावर n माइव बाहर जाती है ओके ये ये पावर हर जगह देखो पावर ऐसी चीज है जो ट्रांसपोजर जॉइंट डिटरमिनेट हर जगह अंदर बाहर जाती है तो एड जॉइंट ऑफ ए पावर m है तो इस m को अगर बाहर लिखना चाहो तो लिख सकते हो पूरे की पावर m पावर हर जगह अंदर बाहर जाती है हर इसको तो याद ऐसे कर लो पावर हर जगह अंदर बाहर जा सकती है ट्रांसपोज्ड इवर्स डिटरमिनेट जितनी भी चीजें है पावर हर जगह अंदर बाहर जाती है रिवर्सल लॉ ए का एड जॉइंट बी एड जॉइंट ए बन जाएगा तो यहां पर भी रिवर्सल लॉ अप्लाई होता है आ जाओ पहले चार आसान सवाल करवाऊंगी सर इनके प्रूफ नहीं करने डोंट वरी इनमें से एक दो के प्रूफ करवाऊंगी मैं जहां से कुछ लर्निंग हो सकती है पर पहले प्रॉपर्टी को लगाना सीख ले फिर इसके प्रूफ भी करा दूंगा टेंशन नहीं लेनी आओ आराम से एक एक करके करते हैं ठीक है जी डिटरमिनेट ए मुझे टू दिया गया था अब यह पूछा गया तो मैंने डायरेक्टली बोला पावर n - 1 अब a का ऑर्डर कितना है ऑर्डर है थ्री तो पावर आ गई टू तो आंसर आ गया 2 का स्क्वायर दैट इज 4 अगर दो एड जॉइंट लगे और डिटरमिनेट पूछा है तो डिटरमिनेट a पावर n - 1 का स्क्वायर तो ये आ गया 2 की पावर 4 दैट इज 16 इज आंसर वेरी गुड अगला देखो ट्रांसपोजर एड जॉइंट से बाहर चला जाता है तो भाई ये क्या बन गया एड जॉइंट a पूरे का ट्रांसपोजर के साथ कोई इज्जत होती है नहीं खत्म हो जाता है फर्क ही नहीं पड़ता डिटरमिनेट को ऐसे तो यह फिर से बन गया पावर टू दैट इज टू का स्क्वायर अब यह कांस्टेंट है ध्यान से देखिएगा अब इसको करने तरीके मैं दोनों यहां लिख रहा हूं जो तुम्हें पसंद आए वो करो अपनी पसंद में तुमको बता दूंगा देखो पहला मेथड कहता है ये जो भी है एक मैट्रिक्स है ध्यान से देखो जो भी है एक मैट्रिक्स है हां जी सर इस मैट्रिक्स के एड जॉइंट का डिटर्मिननेंट क्या होगा पावर n-1 यस और नो 5a एक मैट्रिक्स है इसे मैट्रिक्स छोड़ो तो इसके एड जॉइंट का टर्मिनेट क्या होगा इसका डिटरमिनेट पावर n-1 हां जी सर तो यह बन गया 5a पावर 2 अब मेरे को फ निकालना है बाहर जरा सोच के बताइएगा जब फाइव डिटर्मिननेंट से बाहर आएगा तो फाइव की कितनी पावर बाहर आएगी फाइव की कितनी पावर बाहर आएगी सर जब भी डिटरमिनेट से बाहर निकालते हैं पावर n बाहर आती है और a मेरा थ्री ऑर्डर का है तो 5 पावर 3 बाहर आई बहुत बढ़िया और ये क्या बैठा है स्क्वायर तो ये बना 5 पा 3 और यहां स्क्वायर था तो 5 पा 6 डिटरमिनेट a का स्क्वायर तो आंसर आ गया 5 पावर 6 * 2 का स्क्वा ये पहला मेथड दूसरा मेथड सर कहां गया भैया हा सर मा 5 को एड जॉइंट से बाहर निकालना चाहता हूं निकाल लो इस फ को एड जॉइंट से बाहर जब भी एड जॉइंट से फ बाहर जाएगा पावर कितनी आएगी बाहर n माइव ये लो फर्क समझ आ गया इसमें अब मैं फाइ को पहले एड जॉइंट के बाहर निकाल रहा हूं तो यह बना 5 स्क्वा एट जॉइंट ए डिटरमिनेट अब ये 5 स् जो है मैं डिटर्मिननेंट से बाहर निकाल रहा हूं तो जब ये कांस्टेंट बाहर आएगा कितनी पावर से बाहर आएगा सर थ्री पावर से बाहर आएगा तो फिर से ये बन गया 5 पावर 6 और ये बन गया 2 पावर 2 डिटरमिनेट a का स्क्वायर सो दैट इज हाउ यू कैन डू बोथ वेज या तो पहले एडजोइंग से बाहर निकाल लो या फिर उसको अंदर ही सेटल कर लो ये चार सवाल जब तुम ओरली कर पाओगे उसके बाद फिर हम इन सवालों पे कूदना चाहिए हमको आओ तीन-चार सवालों से इसकी वेरियस जो वेरिएशन बनती उनको समझते हैं एक 3 क्रॉस 3 मैट्रिक्स है इनवर्टिबल की टेंशन मत लीजिए बस मतलब है कि डिटरमिनेट नॉन जीरो है डिटरमिनेट का प्रॉब्लम नहीं है उसका कोई भी तो डिटरमिनेट ए का स्क्वायर पूछा गया आपसे यह हमें गिवन है क्या गिवन है एड जॉइंट ऑफ 24a इज इक्वल टू एड जॉइंट ्र टाइम एड जॉइंट 2a ऐसे नाउ मेरा जो प्रेफर्ड मेथड र नॉर्मली मैं इसको एक मैट्रिक्स मान के करना प्रेफर करता हूं राइट यानी कि मेरा प्रेफर्ड ये रहता है आपका प्रेफर्ड वो भी हो सकता है दिक्कत कोई नहीं है तो मैंने क्या देखा भैया इसके एड जॉइंट का डिटरमिनेट पूछा है तो मैंने कहा इसके डिटरमिनेट की पावर n - 1 24 बाहर निकला पावर थ्र के साथ ऊपर स्क्वायर लगा था तो 24 की पावर 6 आ गई तो लेफ्ट हैंड साइड पे ये आ चुका है मेरे पास लेफ्ट हैंड साइड प ये आ चुका है अब इधर आ जाओ अब यहां पे ना ये थ्री ना होता मैं बहुत खुश था फिर मैं को एक मैट्रिक्स मान के खत्म करता तो ये थ्री तंग कर रहा है तो पहले थ को बाहर फेंका इस थ्री को जब यहां पे लेके आए तो कितनी पावर आई n - 1 एड जॉइंट से बाहर निकाल रहे हो पावर आएगी n - 1 3 का स्क्वायर एड जॉइंट ऑफ एड जॉइंट 2a ऐसे अब इस 3 स्क्वा को डिटर्मिननेंट से बाहर फेंक रहे हैं तो इसकी कितनी पावर बाहर आएगी 3 एड जॉइंट ऑफ एड जॉइंट ऑफ 2a अब इस पे मैं वही लगाऊंगा जो मैं आपको यहां भी सिखा रहा हूं यार ये एक मैट्रिक्स ही तो है 2a उस पे दो एड जॉइंट लगा के डिटरमिनेट पूछा है तो ये क्या बनेगा इस मैट्रिक्स के डिटरमिनेट की पावर n - 1 का स्क्वायर n - 1 का स्क्वायर तो दो एड जॉइंट तो का स्क्वायर हो गया तीन होते तो क्यूब हो जाता स्क्वायर तो 2 का स्क्वायर 4 तो लेफ्ट हैंड साइड पे आ गया 24 पा 6 डिटरमिनेट a स् राइट हैंड साइड पे आया 3 पावर 6 मुझे बताओ टू की नेट कितनी पावर बाहर आएगी टू की नेट कितनी पावर बाहर आएगी यहां से टू की नेट कितनी पावर बाहर आएगी टोटल बोलो बोलो शाबाश गॉड ब्लेस यू शेरा खुश रहो 12 सर वेरी गुड देखो पहले ये डिटरमिनेट से बाहर आया तो पावर थ्री बाहर आई बट ओवरऑल पावर फोर भी लगी हुई है तो 2 पावर 3 बाहर आया बट बाहर फोर भी लगा था तो 2 पावर 3 * 4 2 पावर 12 अब मेरे हिसाब से आप इसको यहां से काट के डिटरमिनेट a स्क की वैल्यू बता सकते हैं ऐसे दो तीन सल और करते हैं थोड़ा और कंफर्ट बिठाते हैं इन चीजों के साथ अगला सवाल बहुत सारे एड जॉइंट लगा दिए लेट ए बी 3 कॉस 3 रियल मैट्रिक्स ये बड़ी सी चीज लिख दिए क्या लिखा है डिटरमिनेट ऑफ टू टाइम एड जॉइंट फिर टू टाइम एड जॉइंट फिर एड जॉइंट अंदर 2a ऐसे इक्वल टू 2 पावर 41 और फाइनली मुझे डिटरमिनेट ऑफ ए स्क्वा पूछा गया है डिटरमिनेट ऑफ ए स्क्वा पूछा गया है डिटरमिनेट ए निकालना स्क्वायर तो बन जाएगा देखो भाई मानो ना मानो यह वाले दो जो है ये ये तंग कर रहे हैं मुझे यह ना होते फिर मैं एड जॉइंट एड जॉइंट एड जॉइंट का डायरेक्ट रिजल्ट लगाता तो पहले इनको बाहर फेंकते हैं मैंने इसको फेंका इधर ये टू इस सेट जॉइंट से जब बाहर आएगा तो कितनी पावर से आएगा n माइव अब ये चीजें सुंदर दिख रही है इस तरह से ये बना 2 क्यूब ये जब बाहर जाएगा तो कितनी पावर से जाएगा सर थ्री पावर से जाएगा एड जॉइंट एड जॉइंट एड जॉइंट ऐसे अब तुम मुझने अब आपने मुझे ये बताना ये तो बन गया 2 पावर 3 * 3 9 यहां बताइए 2a की डिटरमिनेट की पावर कितनी आएगी यहां पे कितना आएगा 2a के डिटर्मिननेंट की पावर कितनी आएगी जरा बताइए जरा ट पावर 3 ओ अच्छ ू पावर बिल्कुल सही बिल्कुल सही सर पावर में आएगा तीन है तो ए माइव का क्यूब ए माइनस व है ू तो ू का क्यूब यानी की 8 बहुत बढ़िया छा गए यार तुम लोग तो बस ट पा ना अब ये टू जब डिटरमिनेट से निकलेगा पावर थ्री से निकलेगा ब उस पूरे की पावर बाहर आठ भी लगी हुई है तो यह बन गया 2 पा 3 इन 8 2 पा 24 मेरे को ओट यही मेरे को सबसे बुरा लगता है जब मुझसे इरेज ऑल का बटर दब जाता है चलो एनी डोंट वरी हम यहां तक पहुंच चुके थे तो यहां से अब आप डिटरमिनेट ए को आराम से निकाल सकते हैं कोई दिक्कत नहीं आएगी राइट डिटरमिनेट ए स्क्वा विल बी फ ओके बटन मुझसे दबता गलत वाला बड़ा गंदा लगता है थ एक दो स्टेप जरूर लिख देता हूं ताकि बाद में थोड़ा सा आपको यहां पर नोट्स में बेटर वर्जन मिल जाए ू पर 41 यह टू इधर जाएगा तो ू पटू बन जाएगा फिर य क्यूब जब बाहर आएगा तो पावर ्र के साथ आएगा अंदर बन जाएंगे तीन एड जॉइंट ऑफ 2 तो यह बन गया ू पावर ना और यहां पर की पावर आ गई 8 और यहां पर जब ू बाहर आया तो 24 बाहर आया 8 इसके आगे आप इसकी वैल्यू निकाल लेंगे ठीक है जी अब ठीक है अगेन अगला सवाल देखो अब यहां पर नंबर की बजाय कुछ ऐसा घुसा दिया है 3 क्रॉस मैट्रिक्स डिटरमिनेट पता है यह वैल्यू मुझसे पूछी गई है थ्र टाइम एट जॉइंट ऑफ 3a का डिटरमिनेट ए स् अब इसको करने के लिए एक छोटू सा मुझे आपसे पहले खेलना पड़ेगा छोटू सा छोटू सा ज्यादा नहीं हमने देखा कांस्टेंट को जब एक मैट्रिक्स से मल्टीप्लाई करते हैं और कांस्टेंट को बाहर निकालते हैं तो उसकी बाहर आती है हाज सर देखा हमने अगर यह कांस्टेंट देखने में कुछ ऐसा है ऐसा य हैव य काट नंबर टम ऑ सम वैल्यू ओके अब जब डिटरमिनेट को बाहर फेंकू तो कितनी पावर से बाहर आना चाहिए सर पावर ए से बाहर आना चाहिए कांस्टेंट है वैल्यू है टर्मिनेट ओके अंदर क्या बचना चाहिए सर अंदर ट ए बचना चाहिए तो फली वैल्यू क्या बन गई डिटरमिनेट ए पा ए प्व मैं ये नहीं क की याद करलो कि ये इसके बराबर है मैं यह कह रहा हूं कि यह भी कांस्टेंट है तो जब यह बाहर आएगा पावर ए से बाहर आएगा इसे दिमाग में रखिए ट इ इंपोर्टेंट तो यहां पर ध्यान से देखो य एक कांस्टेंट है हा सर टेकन केर ऑ तो सबसे पहले तो को पहले बाहर फेंक रहा हूं तो ी का क्यूब आ गया एट जॉइंट ऑफ दिस ऐसे नाउ यह जो भी है एक मैट्रिक्स है इस मैट्रिक्स के एड जॉइंट का डिटरमिनेट बोला गया है तो ये जो मैट्रिक्स है यह वाला इसकी पावर ए माइव ऐसे अब तुम्हारा काम यह है कि जब मैं इसे बाहर निकालू तो नेट पावर इसकी क्या बाहर आएगी यह मुझे बताइए यहां पर क्या आएगा जब मैं इस कांस्टेंट को बाहर निका लूंगा तो इसकी नेट पावर कितनी बाहर आएगी ए है 3 क्रॉस 3 तो ए स्क्वा भी 3 कस मैट्रिक्स ही होगा बिल्कुल सही बोल रहे हो शाबाश सि सर सर पहले जब यह डिटरमिनेट से बाहर निकला पावर थ बाहर आई पर स्क्वेयर भी लगा हुआ है तो 3 6 हो गया सर क्या बात है जवानों छा गए तुम लोग या तो 3 क अब ये थ इस डिटरमिनेट से बाहर आएगा ऐसे पावर थ्री बाहर आएगी पर सिक्स बैठा हुआ है तो 3 पावर 18 स्क्वायर बाहर चला गया फोर पावर हर जगह अंदर बाहर जाती है और आंसर आ गया आपका 3 पावर 21 डिटरमिनेट a पा 10 अब जो पूछा है बता देंगे बस ये टू दिया हुआ है यहां पे टू डाल दीजिए यू गेट द आंसर इस तरह से आपने इन सवालों को करना है चार पांच सवाल और करिए ताकि प्रॉपर्टीज याद हो जाए उसका एक ही तरीका पर सवाल करिए तभी याद होगी और धीरे-धीरे कंफर्ट बिठा लेना है ओके तो ये रहा इस प्रॉपर्टी का आखिरी सवाल इसमें थोड़ा सा मैं आपसे डिटरमिनेट का ऑब्जर्वेशन यूज करवाना चाहता हूं सबसे पहले मुझे यह बताइए सवाल को करने से पहले अगर मुझे डिटर्मिननेंट a पता है और मुझे a * बी पता है तो क्या मैं बी के डिटर्मिननेंट पर कमेंट कर सकता हूं मुझे ये पता है 1/8 और मुझे पता है कि a न b आइडेंटिटी है और मैं आपसे b का डिटरमिनेट चाहता हूं तो क्या मैं निकाल सकता हूं बी का डिटरमिनेट b का डिटरमिनेट बहुत बढ़िया सर अगर b का अल्टरनेट चाहिए तो सर पहले वहां ना इधर ब का अल्टरनेट क्रिएट कर लो और हमें आता है क्रिएट करना अप्लाई डिटरमिनेट अप्लाई डिटरमिनेट सर सर डिटरमिनेट ए डिटरमिनेट b इ 1 सो सर यहां से इसकी वैल्यू 1 बाय डिटरमिनेट a आ गई तो यहां से वो ए बन गया य जो मैं कह रहा हूं ना अप्लाई डिटरमिनेट अप्लाई डिटरमिनेट इसे दिमाग में रखिए बड़ा इंपॉर्टेंट है किसी चीज का टमेंट चाहिए तो अप्लाई कर दीजिए आ जाएगा बच्चे अप्लाई नहीं करते बस य ये स्टेप जो है ना ये बड़ा इंपॉर्टेंट है ओके और पूछा क्या था एक घटिया सवाल पूछा था यार यह तो क्या ही है एड जॉइंट ऑफ एक मैट्रिक्स मल्टीप्ला बाय एड जॉइंट ऑफ 2a ओ ये थोड़ा कन्फ्यूजिंग कर दिया ओके ऐसा कुछ ये पूछा हमसे अब यहां पे b जो है बी केयरफुल b एक मैट्रिक्स है कांस्टेंट नहीं है तो इसको ना एड जॉइंट से बाहर मत निकालने लग जाना बी केयरफुल ठीक है सर नो टेंशंस सर मैंने तो क्या करना है यह पूरा जो है एक बड़ा सा मैट्रिक्स है यह पूरा सा एक बड़ा सा मैट्रिक्स है दो चीजों दो मैट्रिक्स का प्रोडक्ट भी एक मैट्रिक्स ही होता है तो एक बड़ा सा मैट्रिक्स है और इसी बड़े मैट्रिक्स के एड जॉइंट का डिटरमिनेट पूछ पूछा हुआ है अब इसके एड जॉइंट का डिटरमिनेट क्या होगा इसकी पावर n - 1 2 ओ सर अब तो आसान हो गया अब तो ये पहला मैट्रिक्स ये दूसरा मैट्रिक्स तो मैं डिटरमिनेट टूट गया टूट गया बाहर स्क्वायर था तो स्क्वायर स्क्वायर मेरे हिसाब से अब ये आपको कोई दिक्कत आनी नहीं चाहिए ये बन गया 2a की पावर n -1 बना 2 और पूरे की पावर टू सो आपका आंसर आ गया डिटरमिनेट b स्क्वा इन 2a की पावर 4 और अब आपको पता हैट जब बाहर जाएगा जैसे आपने जवाब पहले दिए हैं तोम क्लियर कि आप जानते कि पहले ट की पावर थ जाएगी ओवरल पावर फोर है तो 12 हो जाएगा पटाक तो आंसर आएगा इसका ऑप्शन सी ऐसे सवाल जितने कर सको करो क्योंकि ऐसे सवाल जेई में काफी आते हैं ठीक है ओके नाउ एक दो प्रूफ मैं करवा देता हूं ताकि आपको थोड़ा यहां पे इट्स नॉट की प्रूफ इंपॉर्टेंट है स्कूल में भी नहीं आएगा प्रूफ तो बट वो जिस तरह से किया जाएगा वो स्किल जो है ना वो इंपॉर्टेंट है तो कहते है प्रूफ करो एड जॉइंट ए का डिटरमिनेट इसके बराबर होता है सबसे इंपॉर्टेंट जो मैंने कहा था रिजल्ट a इन एड जॉइंट a इक्वल टू डिटरमिनेट a * आ ये रिजल्ट होता है हां जी मेरा इंटरेस्ट किसम है इस चीज के डिटरमिनेट में मैं क्या करूंगा फटाफट बोल दो सर डिटरमिनेट अप्लाई कर देंगे आपको एक चीज का डिटरमिनेट चाहिए और वह चीज एक जगह बैठी हुई है तो आप डिटरमिनेट अप्लाई कर देंगे अप्लाई डिटरमिनेट ए का डिटरमिनेट हो गया एड जॉइंट ए का डिटरमिनेट हो गया डिटर्मिननेंट ऑफ कांस्टेंट टाइम आ हो गया कांस्टेंट टाइम आई है तो जब यहां से यह कांस्टेंट बा निकलेगा कितनी पावर से बाहर आएगा n पावर के साथ बचेगा क्या सर बचेगा आ का डिटरमिनेट सर यह इससे कटेगा और बचेगा पावर n-1 एंड हेंस एड जॉइंट ऑफ ए का डिटरमिनेट इज डिटरमिनेट a पावर n माइव एज सिंपल एजट बस ये बेसिक रिजल्ट से आपने शुरू किया इंपॉर्टेंट क्या है मुझे एड जॉइंट का डिटरमिनेट चाहिए था और मुझे एक रिजल्ट पता है जहां पे एड जॉइंट बैठा होता है बस वो लिख के डिटरमिनेट अप्लाई कर देंगे डिटरमिनेट अप्लाई कर देंगे ये चीज आप खा जाओ ऐसे ही अगर मैं पास दो एड जॉइंट होते तो मैं क्या करता ये दूसरा पार्ट है डिटरमिनेट वाला नहीं दूसरे वाला एड जॉइंट इनटू एड जॉइंट ए इसके बराबर होता है बी केयरफुल यहां पे डिटरमिनेट नहीं लगा हुआ ये प्रॉपर्टी इसे कैसे प्रूव करेंगे अ क्या मुझे कोई ऐसी चीज पता है जहां पे दो एड जॉइंट आ जाए नहीं पता मुझे तो ऐसी चीज पता है जिसमें एक एड जॉइंट होता है अ मैट्रिक्स मल्टीप्ला बाय एड जॉइंट इज डिटरमिनेट a इन आ इसे मैंने कैसे याद करने को बोला था मैट्रिक्स मल्टीप्लायड बाय इट्स एड जॉइंट इट्स एड जॉइंट इज इक्वल टू डिटर्मिननेंट ऑफ मैट्रिक्स टाइम्स i ऐसे बोला याद करने को हां जी सर तो अगर मैं एड जॉइंट ऑफ एड जॉइंट क्रिएट करना चाहता हूं जरा शब्दों पे ध्यान देना शब्दों पे अ मैट्रिक्स ये एक मैट्रिक्स है यस सर मल्टीप्ला बाय इट्स एड जॉइंट इसका एड जॉइंट क्या होगा एड जॉइंट ऑफ एडज जॉइंट इज इक्वल टू डिटरमिनेट ऑफ दैट मैट्रिक्स टाइम्स मैट्रिक्स सरी पावर ए माइट है ना पावर ए माइनस सॉरी हाय टाइम्स आइडेंटिटी यह देखो यहां पर वह चीज क्रिएट होगी जो आप ढूंढ रहे थे एड जॉइंट ऑफ ए एड जॉइंट अब आएगा अगला पॉइंट जो आपको और बड़े सवालों में यूज होने वाला है इसकी वैल्यू मेरे को पता है डिटरमिनेट a पावर n-2 इन आइडेंटिटी सब बन देर इ ओनली वन टर्म जो प्रॉब्लम क्रिएट कर रही है वो है यह अगर यह यहां से हट जाए भाई अपनी जिंदगी पीसफुल है लव यू टू शेरा खुश रहो अर्णव यह हट जाए ना जिंदगी पीसफुल है याद रखना किसी भी सवाल में एक एड जॉइंट बैठा है व तुम्हें तंग कर रहा है और तुम उसको हटाना चाह रहे हो द सिंपलेस्ट वे इज कहां गया ये कि अगर एड जॉइंट ए को ए से मल्टीप्लाई कर दो तो बहुत प्यारी चीज बनती है यही करो दोनों साइड a से मल्टीप्लाई कर दो एट जॉइंट a दोनों साइड प्री मल्टीप्लाई कर दो a के साथ a * i डिटरमिनेट a पावर n - 2 नाउ a * एड जॉइंट a क्या बन गया सर यह बन गया डिटरमिनेट ए इन आ देख पा रहे हो प्रूव हो गया एड जॉइंट ऑफ एड जॉइंट ए ओ यहां पर ए माइट को लिखा मैंने किसीने बताया क्यों नहीं ए माइव आएगा किसी ने बताया था क्या नहीं बताया पिटाई होगी बी केयरफुल र एड जॉइंट का डिटरमिनेट पावर ए माइव ओके हाज तो यह ब गया a a नवा तो a बन गया इनटू डिटरमिनेट a पावर n-1 अब यह वाला जॉइंट डिटरमिनेट इससे कैंसिल होके डिटरमिनेट a की पावर n-2 बचा तो एड जॉइंट ऑफ एड जॉइंट a इज a * डिटरमिनेट पावर n-2 एड जॉइंट ऑफ एड जॉइंट a इज a * डिटरमिनेट पावर n-2 इस चीज को इस वाले प्रूफ को जरूर रिपीट करना वेरी इंपॉर्टेंट फॉर योर कांसेप्चुअल अंडरस्टैंडिंग एंड टेकिंग केयर ऑफ टू थिंग्स एक तो ये रिजल्ट इंपॉर्टेंट था दूसरा अगर एड जॉइंट दुखी करे उसको ए से मल्टीप्लाई कर दो व खत्म होके छोटू सा बन जाता है यह दो पॉइंट इसमें बहुत इंपॉर्टेंट है ओके अब आता है इवर्स ऑफ मैट्रिक्स ये बहुत छोटू सा टॉपिक है स्कूल में इसके डायरेक्ट सब्जेक्टिव सवाल आते हैं कंपटीशन में इके दुक्के थोड़े प्रॉपर्टी बेस सवाल टाइप आ जाते हैं या ऑब्जर्वेशन बेस क्वेश्चन आते हैं इवर्स होता क्या है भैया ऐसे डिनोट किया जाता है राइट a की पावर में -1 लिख देते हैं ऐसे डिनोट करते हैं पढ़ते क्या है a इवर्स a इवर्स क्या होता है भैया एक ऐसा मैट्रिक्स जिसको अगर a से मल्टीप्लाई करो तो आइडेंटिटी बन जाए अगर a * बी और b * a दोनों आइडेंटिटी बने तो बी को a का इवर्स कहा जाता है यहां से एक चीज पता लग रही है a एंड a इवर्स को विद ईच अदर यस और नो नोट कर पा रहे हो देखो जहां भी क्यूट करती है चीजें उसे दिमाग में रखो क्योंकि बाद में पावर ओपन करनी आसान हो जाती है तो अगर a प् a इवर्स की पावर 3 ओपन करनी है तो सीधे ओपन कर दूंगा मैं मैं उसको तीन बार लिख के मल्टीप्लाई नहीं करूंगा क्योंकि a और a इवर्स तो क्यूट करते हैं आपस में ओके अब आती है बात क्यूट तो हो गया इवर्स का फार्मूला एड जॉइंट a व बा डिटरमिनेट a ये कहां से निकाला गया है अरे वहीं से निकाला गया है a * एड जॉइंट a इक्ट डिटरमिनेट ए टाइम्स आ अगर इस डिटरमिनेट ए को मैं क्रॉस मल्टीप्लाई करके नीचे ले जाऊ तो क्या दिखेगा सर यह दिखेगा a नव बाय डिटरमिनेट ए एट जॉइंट ए इक्वा तो भाई यह एक ऐसा मैट्रिक्स है जिसे जब मैं ए से मल्टीप्लाई करता हूं तो आइडेंटिटी बन जाता है दिस मस्ट बी ए इवर्स एक ऐसा मैट्रिक्स जिसको ए से मल्टीप्लाई करने पर आइडेंटिटी बन जाए उसे कहते हैं इवर्स ऑफ मैट्रिक्स और याद रखना बोथ वे बनना चाहिए बोथ वे ए और बी दोनों बनने चाहिए आइडेंटिटी ठीक ओके नाउ क्लीयरली अगर डिटरमिनेट ए जीरो हो गया तो ए इवर्स नहीं निकाल सकते डिफाइंड ही नहीं होगा तो मैट्रिक्स इज इनवर्टिबल इनवर्टिबल मतलब a इवर्स निकाल पाओगे अगर वो मैट्रिक्स नॉन सिंग यानी कि यह चीज नॉन जीरो है तभी a इवर्स निकलेगा वरना नहीं निकलेगा ओके आओ इकी दु के सवाल पहले बेसिक से देख लेते हैं यहां प ज्यादा कैलकुलेशन में टाइम नहीं लगाएंगे सीध आपको दिखा दूंगा अगर 2 बाटू का इवर्स निकालना है आपको ओके सबसे आसान तो यही है तो ये तो फट निकाल लेंगे हम a इवर्स 1 बाय डिटरमिनेट a इन एड जॉइंट ऑफ ए 1 बाय डिटरमिनेट भैया 10 - 12 1 बा -2 और याद रखना जो भी 2 बाटू मैट्रिक्स होता है उसका एड जॉइंट जो होता है बहुत डायरेक्टली लिखा जा सकता है सबको पता है ना 2/2 का ये दोनों आपस में इंटरचेंज हो जाते हैं 5 2 और इन दोनों के साइन चेंज हो जाते हैं -3 -4 तो ये एड जॉइंट डायरेक्टली लिखा जा सकता है ये इंटरचेंज और इनके साइन चेंज ओके बस यही इवर्स है ऐसे अगर आपको 3/3 का इवर्स निकालना है 3/3 का इवर्स भैया आपको एक्चुअली इसका डिटर्मिननेंट और इसका एड जॉइंट निकालना पड़ेगा डिटर्मिननेंट निकाला वैल्यू आई - 26 फिर आपने इसका एड जॉइंट लिखा एंड देन फार्मूले में बिठा दिया तो दिस इज द a इवर्स स्कूल में अगर a इवर्स आएगा आपको ऐसे ही प्रॉपर्ली निकालना पड़ेगा सचिन बेटा वो कवर हो चुका है रिवाइंड करिए पीछे जाके देखिए सब मिलेगा आपको ठीक है सो वन बा टर्मिनेट एड जॉइंट ऐसे फार्मूला लगा के आपने निकाल देना है स्कूल में ऐसा ही आएगा कंपटीशन में इसकी जरूरत कम पड़ती है कंपटीशन में कैसे सवाल बनते हैं अ सबसे आसान सवाल तो ये बनता है कंपटीशन का जिसको कि घुमा के पूछा जाता है कि मैट्रिक्स इनवर्टिबल है बताइए क्या होगा इनवर्टिबल जहां भी आएगा मैट्रिक्स इसका मतलब कि उसका इवर्स निकाला जा सकता है मैट्रिक्स का इवर्स कब निकाला जा सकता है जब उसका डिटर्मिननेंट नॉन जीरो है ट्स इट तो बस डिटरमिनेट को नॉन जीरो कर दीजिए जैसे ही डिटरमिनेट को आपने नॉन जीरो किया आपका आंसर आ गया ए सिंपल एट इनवर्टिबल मतलब डिटरमिनेट नॉन जीरो बस ऐसे दिमाग में रख लेना है आपने अब ये थोड़े अच्छे सवाल बनने शुरू होंगे देखो जेई में आपसे इवर्स तो निकालने को नहीं बोलेंगे ना जेई में इवर्स निकालने को नहीं बोलेंगे कुछ टेढ़े मेढे सवाल पूछेंगे तो आओ अब दो तीन थोड़े टेढ़े मेढे सवाल देखते पे कांसेप्चुअल अंडरस्टैंडिंग चाहिए कहता है ए एंड बी आर एनी टू डिफरेंट स्क्वेयर मैट्रिक्स ओके ऑर्डर n है भैया ये चीज बड़ी इंपॉर्टेंट दी है a - बी इज नॉन सिंगुलर अब सुनो मेरी बात जब भी ऐसी चीज सवाल में दी होती है कि समथिंग इज नॉन सिंगुलर आपने इसके दो मीनिंग लिख लेने अपने पास यह दो ही तरीके इसको यूज करने के है तो दोनों सेम ही बस तरीके अलग अलग है पहला भैया ए माइनस बी का डिटर्मिननेंट नॉन जीरो है यह तो य खुद ही कह रहा नॉन सिंगुलर है है ना दूसरी बात यू कैन मल्टीप्लाई बाय a - b का इवर्स पॉइंट इज अगर ये नॉन सिंगुलर है तो इसका इवर्स एजिस्ट करता होगा हां जी यानी कि अगर मुझे कहीं जरूरत पड़ी तो मैं इवर्स को यूज कर सकता हूं अब देखा ये गया है कि 999 प्र टाइम इवर्स से मल्टीप्लाई करने के ही फायदा होता है मल्टीप्लाई करके ही फायदा होता है ठीक है जी तो जब भी ऐसी कोई चीज कोई भी चीज नॉन सिंगुलर दी हो ये दो चीजें लिख लेनी है एक उसका डिटरमिनेट जरो दूसरा वीी कैन मल्टीप्लाई विद इट्स इवर्स आ जा सॉल्व करते हैं सॉल्यूशन में हमें एक बताया है कि a क्य बी क्यू के बराबर है और एक बताया है a स्क बी बी स्क ए के बराबर है और हमसे अच्छा ऑप्शन पूछी गई है कौन सा ऑप्शन करेक्ट है इसमें पहले मैं सॉल्यूशन सॉल्व कर रहा हूं पहले नहीं समझ आएगा किय मैंने क्यों किया यह वाला स्टेप क्यों किया बट डोंट वरी पेशेंस रखो ध्यान से सुनो हमें चेक करना है कि इनमें से कौन सी चीज सही है ओके इन दोनों को सबै कर दो माइनस कर दो इधर से a स् कॉमन आया अंदर बचा a - b इधर से b स् कॉमन आया अंदर बचा b - a यस हां जी अब इसको इधर ले आए a स् a - इधर क्यों लाए क्योंकि कॉमन आ जाएगा है ना इधर आ गया - b स् b - a यहां से माइनस कॉमन निकाल के प्लस कर देता हूं प् a - b पूरे में से a - बी कॉमन आ रहा है बट बी केयरफुल कॉमन राइट साइड से निकालना साइड बहुत मैटर करती है a स् ् b स् इधर से a - बी कॉमन आएगा बहुत मैटर करती है साइड इक्वल टू नल मैट्रिक्स अगर दो मैट्रिक्स का प्रोडक्ट नल है तो क्या जरूरी है कि आइर दिस इज जीरो और दैट इज रो अगर x * y दो x और y मैट्रिस है x * y नल मैट्रिक्स है तो क्या जरूरी है कि आइर एक्स जीरो और वा जीरो नहीं दो मैट्रिक्स का प्रोडक्ट जीरो है तो हो सकता है मैट्रिक्स जीरो हो नॉन जीरो हो कुछ भी हो सकता है वेरी गुड तो यहां पर इसके आगे अभी मैं यह तो नहीं कह पाऊंगा कि आइर दिस इ जीरो और दिस इ जीरो नहीं कह सकता बट क्योंकि मुझे यह पता है कि ए माइनस बी के इवर्स से मल्टीप्लाई कर सकता हूं मैंने दोनों साइड पर ए बी का इवर्स मल्टीप्लाई किया टू बी प्रोसाइज पोस्ट मल्टीप्लाई किया इधर मल्टीप्लाई करूंगा फायदा नहीं है इससे मल्टीप्लाई होना चाहिए ना तो इधर मल्टीप्लाई किया साइड का ध्यान रखना है आपने ओके यह चीज अगर आपने यहां मल्टीप्लाई की होती तो कुछ नहीं फायदा होता यहां पर की तो फायदा हुआ ऐसा करते ही यह चीज क्या बन गई आइडेंटिटी ये चीज क्या बन गई नल तो आपके पास क्या आ गया a स् + b स् नल मैट्रिक्स है सो आईडिया वाज कि सवाल में ना हमें a स् + b स् टाइप चीजों को स्टडी करना था अब यहां पे अगर मुझे a स् + b स् क्रिएट करना है तो यहां पे एडिशन या सबट क्शन आपके दिमाग में आनी चाहिए कब आएगी जब आप ऐसे सवाल जब देखेंगे जब भी दो इक्वेशंस दी होती हैं और आप देखेंगे कि यार मोस्ट ऑफ टाइम या तो इनको ऐड करते हैं या सबै करते हैं तो अगली बार जब आप सॉल्व करेंगे आपके दिमाग में भी यही आएगा और मेरे दिमाग में इसीलिए इनको सबकट करना आया क्योंकि मैंने सेसे सवाल देखे बहुत सारे कि जब भी दो इक्वेशन दी होती ना या तो ऐड कर देते हैं या सबै कर देते हैं यानी कि इसको अपने पास लिख के रख लेना चाहिए मैट्रिक्स के सवालों में जब भी दो इक्वेशन दी होती है उनको एडिशन या सबक्स करके फायदा होता है यह आप बहुत ज्यादा सॉल्विंग करके सीखते मैं डायरेक्टली बता रहा हूं यूज करना ओके नाउ अगला सवाल कहता है ए एंड बी नॉन जीरो मैट्रिस है ओके a नॉन जीरो मैट्रिक्स बी भी नॉन जीरो मैट्रिक्स उनका प्रोडक्ट जीरो मैट्रिक्स है ओके प्रोडक्ट जीरो मैट्रिक्स है तो बताइए कि इनमें से क्या होगा सबसे पहले ऑप्शन को ध्यान से पढ़िए और यह देखिए कि वो यह नहीं पूछ रहा कि a 0 है या बी 0 है वो सिंगुलर नॉन सिंगुलर यानी कि वो पूछ रहा है डिटर्मिननेंट ए जीरो है या नहीं डिटर्मिननेंट बी जीरो है या नहीं वो यह पूछ रहा है और अगर मुझे यहां पर डिटर्मिननेंट पर कमेंट करना है तो मेरा पहला स्टेप होगा अप्लाई डिटरमिनेट बहुत बढ़िया तीन चार बच्चे बड़ा प्यारा जवाब दे रहे हैं आईम सो हैप्पी विद दैट तो मैंने यहां पर टम अप्लाई कर दिया तो यहां से आ गया डिटरमिनेट a इन डिटरमिनेट बी इ 0 तो अगर दो चीजों का जी होता है तो हम कहते आदर डिटर्मिननेंट ए जीरो और डिटरमिनेट बी जीरो अब याद रखना एक बात बड़ी इंपॉर्टेंट जब भी मैं कहता हूं आदर मान लो कुछ कह दो आइर स्टार और शश मतलब यह पहली स्टेटमेंट दूसरी स्टेटमेंट है स्टेटमेंट तो आइर दिस और दिस इसका मतलब क्या होता है इसका मतलब होता है या तो यह होगा या यह होगा थोड़ा और एलेबोरेट करो सर इसका मतलब होता है कि या तो स्टार हो जाएगा और हैशटैग नहीं होगा सर दूसरा इसका मतलब होता है कि या स्टार नहीं होगा पर हैशटैग हो जाएगा आदर दिस और दिस या तो यह हो जाएगा या यह हो जाएगा पर इसका तीसरा भी मीनिंग होता है इसी के अंदर तीसरा यह भी होगा एंड यह भी होगा याद रखना जब भी आप कहते हैं आइर दिस और दिस तो इसके अंदर तीन पॉसिबिलिटीज आती हैं पहला हो रहा है दूसरा नहीं हो रहा दूसरा हो रहा है पहला नहीं हो रहा दोनों हो रहे हैं तो जब मैं यहां पे पहुंचा मेरा सीधे हाथ गया इसकी ओर मार्क करने के लिए कि आइर डिटरमिनेट a 0 और b0 पर इससे पहले कि मैं मार्क करता मुझे यह दिख गया नाउ दिस इज वन ऑफ द केस ऑफ दिस यस नो अब उसने अगर यह ऑप्शन दे दी तो अब मुझे थोड़ा और चेक करना पड़ेगा आईडिया समझ आ गया इसलिए मैं यहां पर ऑप्शन ए को अगर मार्क कर देता हूं तो गलत अगर यह ऑप्शन आना होती तो पक्के से ए को मार्क कर देता बट कमबखत ने यह दे दिया बोथ पॉसिबिलिटीज तो यानी कि मुझे चेक करना पड़ेगा यार सिमिलरली ओनली ए यह भी वन ऑफ द केस है इसका ओनली बी ये भी वन ऑफ द केस है इसका तो हो सकता है कि वो जो तीन पॉसिबिलिटी बनती है उनमें से एक सही आ रही हो और दो गलत आ रही हो यस और नो तो भैया मुझे ज्यादा प्रिसा इज बताना पड़ेगा एंड दैट पुशेज मी टू चेक फर्द कि क्या पॉसिबिलिटी बनती है तो मैंने पहला केस चेक किया मैंने मान लिया डिटर्मिननेंट a 0 है और b 0 नहीं है मैंने ये माना पहली केस चेक कर रहा हूं क्योंकि तीन केस है इसके अंदर पहला केस चेक करर हेयर मैंने थोड़ी देर पहले बताया था कोई भी मैट्रिक्स अगर नॉन सिंगुलर है तो आपने कैसे यूज करना है कोई भी मैट्रिक्स अगर नॉन सिंगुलर है तो कैसे यूज करना है सर एक उसका डिटरमिनेट नॉन जीरो होगा एक आप उसके इवर्स से मल्टीप्लाई कर सकते हैं तो यहां पे अगर डिटरमिनेट बी नॉन जीरो है तो कैसे यूज होगा वी कैन मल्टीप्लाई बाय इट्स इवर्स बाय बी इवर्स भैया इसे लिख लो ऐसे ही यूज होना सवाल में यही दिमाग में नहीं आता कि यूज कैसे करना है अब इस नॉन जीरो को लेके करू क्या तो आपको पता होना चाहिए डिटरमिनेट नॉन जीरो तो इसका एक यूज यह बनता है कि मैं इसके इवर्स से मल्टीप्लाई कर सकता हूं लिख लो अपने पास तो मैंने दोनों साइड बी इवर्स से मल्टीप्लाई किया इधर करू या इधर करू हा जी सर इधर करो तभी तो बी कटेगा अगर इधर करते तो यह इसको मिल ही ना पाता इधर नहीं करना सर ओके इधर किया तो यहां से क्या आ गया ए इन आ इ नल पर क्या ए मेरा नल मैट्रिक्स है नो सर ए मेरा नल मैट्रिक्स नहीं है कंट्रक्शन यानी कि यह पॉसिबिलिटी नहीं हो सकती यानी कि यह पक्का गलत है तो ऑप्शन सी इज रंग ओनली ए इज सिंग गलत सिमिलरली आप इसे प्रूव कर देंगे अगर यह नॉन जीरो होता और यह जीरो होता सिमिलरली गलत तो ऑप्शन बी भी कट गया तो फिर आपने कहा अच्छा जी बोथ आर सिंगुलर ट इज ओनली पॉसिबिलिटी लेफ्ट आईडिया समझ आया बहुत प्यारा सवाल है और ये थोड़ा टेढ़ा मेढ़ा सा है अक्सर कंफ्यूजन होता है तो इसे आपने रिपीट करना है लव यू टू अरे क्या बात है विशाल खुश रहो बेटा तो इसे ऐसे यूज करना है आपने गॉड ब्लेस यू अच्छा अब आता है इवर्स की प्रॉपर्टीज पहली बात तो इवर्स का इवर्स करोगे तो खत्म हो जाएगा ए ही आ जाएगा इवर्स का डिटरमिनेट एक्चुअली वन बाय डिटरमिनेट a होता है इसका दिमाग में कुछ प्रूफ आता है अगर मैं कहूं कि इस चीज को प्रूफ कर दो ऐसे फटाफट आता है दिमाग में कुछ सोचो जरा म ऑफकोर्स पॉज करके सोचो मैं तो भी कराऊंगा तो पॉज करने के बाद मैच करिए मेरे को ए इवर्स के डिटरमिनेट पर कमेंट करना है और थोड़ी देर पहले ही तुम्हारे भाई ने सिखाया तुमको कि अगर किसी के डिटरमिनेट प कमेंट करना हो तो उसके बारे में जो पता है लिखा पहले हमें इवर्स के बारे में क्या पता होता है सर हमें a इवर्स की डेफिनेशन पता है कि वो यह होता है तो बस फिर डिटरमिनेट अप्लाई कर दो तो यहां से डिटरमिनेट ऑफ ए इवर्स क्या आ गया न बाय डिटरमिनेट ए किसी चीज के डिटरमिनेट पर कमेंट करना है और आपको उस चीज के बारे में कुछ पता है तो लिखिए और डिटरमिनेट अप्लाई कर दीजिए काम खत्म ओके ट्रांसपोजर ब देखो एक पावर हो गई एक ट्रांसपोजर जगह अंदर बाहर जाते हैं टेंशन नहीं लेनी ठीक है जी सो ट्रांस्पोज इवर्स आपस में अंदर बाहर चले जाते हैं अगेन प्रोडक्ट पे रिवर्सल लॉ लगता है प्रोडक्ट प रिवर्सल लॉ लगता है और यहां पर ऐड कर दू आगे ऐड है क्या आगे ऐड नहीं है कई बार आपको ऐसी चीज मिलेगी देखने को ऐसी ठीक है तो जैसे मैंने कहा था पावर हर जगह अंदर बार जाती है तो मैं इसको ऐसे लिख सकता हूं पावर अंदर बाहर और याद रखना कई बार इसी को शॉर्ट में ए पावर माइन ए लिख देते हैं तो ए पावर माइनस ए को देख के डर मत जाना इट्स जस्ट अ नोटेशन फॉर ए इवर्स की पावर ए उसी को शॉर्ट में ऐसे लिख देते हैं ओके अब देखो सवाल इसका कहता ए इज एनी थ क्रॉस थ नॉन सिंगुलर मैट्रिक्स यानी कि मैं ए इवर्स की बात कर सकता हूं वो शद इसने इसलिए दिया क्योंकि आगे ए इवर्स को यूज कर रहा है पर मुद्दा कि मैं चाहूं तो ए इवर्स से मल्टीप्लाई कर सकता हूं मैं चाहूं तो वी कैन मल्टीप्लाई बाय ए इवर्स मैं तोय अपने पास लिख लूंगा हो सकता है यूज हो यूज ना हो कई बार कुछ और यूज भी हो सकता है पर मैं लिख लूंगा अपने पास दूसरा मुझे यह पता है a स् माइ 5a - 8a प् 15 आ इ नल ओके और एक ये चीज बता दी गई है अल्फा ए प् बीटा ए इवर्स इ 4 आ और आ को क्लियर लिखना चाहिए था ओए 41 ज्यादा लग रहा है ये 4 आ ओके देन अल्फ प् ओके तो बेसिकली वह सवाल में कहना चाह रहा है कि अगर आपका जो a और a इव है वह इसको सेटिस्फाई करता है अल्फा a बी a इव = 4i तो आप अल्फा बीटा के बारे में कमेंट करिए तो मैं ऐसी एक चीज को क्रिएट करना चाहूंगा यहां से और बेटा जी अगर मुझे a इवर क्रिएट करना है और मेरे को पता है कि मैं a इवर्स से मल्टीप्लाई कर सकता हूं पूरे को a इवर्स से मल्टीप्लाई करूंगा मैं तो मल्टीप्लाई बा a -1 a स् * a -1 a * a -1 i * a -1 बोलो आ नजारे एंड ट्राई टू सी क्वेश्चन इज़ डन क्वेश्चन इज़ डन इस फॉर्म में लिख लीजिए बस तो पहले a की टर्म लिख लो फिर a इवर की टर्म लिख लो और इसको उधर ले जाओ 8i अभी कंपेयर करना ठीक नहीं होगा क्योंकि 4i 8i अलग-अलग है तो पूरे को टू से डिवाइड कर दो डिवाइड बा 2 कर दो 1 बाट 15/2 डिवाइड बाटू अब कंपेयर कर दीजिए तो अल्फा आ गया हाफ और बीटा आ गया 15/2 और तुम्हारा आंसर भी आ गया क्लेरिटी समझ आ रही है क्लेरिटी समझ आ रही है सर हम ऐसे भी तो कर सकते थे अल्टरनेट सर यहां पहुच यहां ये पता थाना सर सर पूरे को ए से मल्टीप्लाई कर देते अल्फा ए स्क्वा प्स बीटा इ 4a और फिर इससे कंपेयर कर देते कर सकते थे कोई दिक्कत नहीं 100% कर सकते थे बहुत बढ़िया आ जा अगले सवाल प आहा बहुत प्यारा सवाल हैय बहुत प्यारा लेट ए बी 3 क्रॉस इनवर्टिबल मैट्रिक्स ओके जी विद रियल एंट्रीज और ठीक है जी यह रहा सवाल ओके हमें इंफॉर्मेशन दी गई है यह वाली ऐसी इंफॉर्मेशन कहती है कि ए इवर्स थोड़ा इधर लिख जरा साइड पे m इवर्स जो है वो एड जॉइंट ऑफ एड जॉइंट m के बराबर दिया हुआ है हमें सवाल में दिया हुआ है और पूछा जा रहा है एड जॉइंट ऑफ m स्क पहले तो मुझे यह पता कि मैं चाहूं तो इसको एड जॉइंट m पूरे का स्क्वायर भी लिख सकता हूं तो सॉल्व करते समय या तो m स्क का एड जॉइंट मिल जाए या एड जॉइंट ऑफ m मिल जाए मैं दोनों में खुश हूं आओ देखें क्या कर सकते हैं इससे ओके तो भाई पहली बात तो मेरे को ए इवर्स का फार्मूला पता है उसम भी कुछ एड जॉइंट ग होते हैं लिख लेते हैं शायद काम आए न बाय डिटर्मिननेंट ए एड जॉइंट ऑफ ए ओके जी दूसरा मुझे सही बताऊ तो इसका फार्मूला भी पता है इसका होता है डिटरमिनेट ए पावर ए माइट जो कि न है इन ए दोनों के फार्मूले पता है मैंने दोनों के लिख दिए कुछ पता लग रहा है यहां से सर जी हमें यहां से एक एड ट सर जी एम एक तरीका और दिमाग में बड़ा प्यारा आ रहा है बट यहां से बनाऊ मुझे 10 सेकंड तो मुझे लग यहां से बन जाएगा ना एक तरीका और बड़ा प्यारा दिमाग में आ रहा है जस्ट गिव मी वन मिनट ओके मतलब यहां से भी हो रहा है पर रुको ऐसे करते हैं इसे ना इसको मैंने यह लिख लिया तो ए इवर्स जो होगा वह डिटरमिनेट ए इन ए होगा ऐसे लिख सकता हूं यहां से पता क्य चल क रहा हूं मुझे यहां पर डिटरमिनेट ए की वैल्यू निकलती दिख रही है बड़े प्यार से लग र शायद काम ही आ जाए तो यहां से ट की वैल्यू निकाल लेते तो पहले तो यह क्या बन गया दोनों साइड ए से मल्टीप्लाई कर दिया ऐसे और अब डिटर्मिननेंट ले लिया ऐसे तो यह वन बन गया इसे बाहर निकालेंगे पावर थ आएगी और यह स्क्वेयर बैठा है पावर फ तो मेरे पास डिटरमिनेट ए की वैल्यू वन आ गई और बड़ी प्यारी वैल्यू आई है जिसके चलते रहते मैं इस वैल्यू को ए कह सकता हूं ए नाइस ओ जरा यहां पर देखो इसी की एक वैल्यू कलर दूसरा यूज कर लेते हैं इसी की वैल्यू क्या लिखी थी न बाय डिटरमिनेट ए एट जॉइंट ऐसे लिखा था मैंने बिल्कुल सर ओ बेटा जी मैं कहता तो बहुत ही आसान हो गया ओ रुको रुको जरूरत ही नहीं पड़ी बेटा जी ओ बेटा जी देखो ओ यह तो वन ही आ गया देर फोर ए ए इवर्स की वैल्यू ए इवर्स की वैल्यू तो ए के बराबर आ गई ए इवर्स इ ए देरर ए स्क तो आ ही आ गया तो जॉइंट ऑफ m स्क्वा तो एड जॉइंट ऑफ आ आ गया आ का एड जॉइंट आ ही होता है ये तो बहुत ही प्यारा बन गया सी जवाब नहीं है पुत्र बी जवाब है क्या कर रहे हो माधवी बहुत अच्छे बेटे हां ये तो ऑप्शन बी बन गया कितना प्यारा सवाल था देखो एड जॉइंट प फोकस था पर क्योंकि डिटरमिनेट टाम बड़े आराम से निकलता दिख रहा था मैंने वही निकाल ली पहले वो कमबखत इतना सुंदर आ गया कि यहां से m स्क क्रिएट हो गया और आंसर ये आ गया वाओ ब्यूटीफुल क्वेश्चन आ हा हा अच्छा ये सवाल पहले बता दूं ये सवाल सिर्फ मैंने इस ऑप्शन के लिए रखा है ओके ये मल्टीपल करेक्ट है बाकियों के हिंट दे दूंगा कोई पंगा नहीं है पर मेरे को इसमें एक चीज सिखानी है इसके लिए मैंने सवाल रखा है तो जो सिखाऊंगा उस पर फोकस करना तो ये मल्टीपल करेक्ट क्वेश्चन है एडवांस में आया था आपको ई पूरा दे दिया गया प पूरा दे दिया गया एफ पूरा दे दिया गया आगे जो पूछा बाद में बताता हूं पर पहले यह देखो कि ऑप्शन ए मैं आराम से चेक कर सकता हूं ए जो है p इन e इन प के बराबर है चेक कर लूंगा मुझे प पता है e पता है तो यह वैल्यू निकाल सकता हूं हां जी उसको देख सकता हूं कि f के बराबर है या नहीं हां जी सर अच्छा क्या मैं प का स्क्वायर निकाल सकता हूं हां जी सर तो मैं इसको तो डायरेक्टली चेक कर सकता हूं वेल आप जब चेक करेंगे यह सही आ जाएगा ठीक है जी तो इसमें कोई एफर्ट नहीं है एफर्ट यहां पे है बी ऑप्शन को पकड़िए जरा अब मुझे ना यहां पे आम जिंदगी की बात करूं तो बहुत ज्यादा बच्चे के मन में आएगा ओए डिटरमिनेट ब्रेक कर दो यस और नो डिटरमिनेट ब्रेक कर दो सर सर तोड़ा ही तो हुआ है क्या मैं एडिशन में डिटरमिनेट ब्रेक कर सकता हूं नहीं मैं सिर्फ प्रोडक्ट में कर सकता हूं तो जब ये सवाल आएगा ना आपने अपने थॉट को इस डायरेक्शन में लेके ही नहीं जाना कि मैं एडिशन पे डिटरमिनेट को ब्रेक कैसे करूं वो हम कर ही नहीं सकते तो आपको कुछ और सोचना है पहले तो ये अपने आपको को बता दीजिए ठीक है तो सोचो कि यार मतलब सोचना क्या है यार ये इसके बराबर है या नहीं चेक करना है अच्छा एडिशन का तो कोई काम नहीं क्योंकि तो ऐसी प्रॉपर्टी होती नहीं है क्या मैं उसको सिंपलीफाई कर सकता हूं और यहां तक पहुंच सकता हूं ये सोचता हूं अ सर अगर सिंपलीफाई की बात करें ये मेरा लेफ्ट हैंड साइड है हां जी लेफ्ट हैंड साइड है क्या ये सिंपलीफाई हो सकता है सर अगर मैंने मल्टीपल करेक्ट क्वेश्चंस की सॉल्विंग की है तो सर मुझे पता है कि मल्टीपल करेक्ट क्वेश्चन में ना अक्सर ऐसा होता है कि ऑप्शन बी में ना ऑप्शन ए का यूज हो रहा होता है लिख लीजिए अगर पहली बार कर रहे हैं सेम चीज पैसेजेस में होती है दूसरे क्वेश्चन में पहले क्वेश्चन का यूज हो रहा होता है सेम मल्टीपल करेक्ट में भी होता है इसमें इसका यूज हो सकता है आपने अभी अभी देखा कि f की वैल्यू p * e * p है f की वैल्यू डाल के देखो तो आपने यहां पर f की वैल्यू को डाला p इन e इन सवाल का पर्पस समझ आ रहा सवाल मैंने क्यों उठाया इसमें सिखा क्या रहा हूं कि एक ऑप्शन दूसरे में काम आती है नंबर वन दूसरा कांसेप्ट को गलत नहीं होने देना मुझे पता है एडिशन पर नहीं टूटता तो उस डायरेक्शन में सोचना ही नहीं है आओ अब यह बन गया प स्क्वा मुझे पता है प स्क्र की वैल्यू तो आइडेंटिटी के बराबर आई थी तो यह तो आइडेंटिटी बन गया तो प्लस e प क इवर्स पूरे में से e कॉमन आता दिख रहा है आता दिख रहा है सर तो यह बन गया प कनव क्या मुझे e की वैल्यू पता है e की वैल्यू हा सर पता है तो क्या मैं का डिटरमिनेट निकाल सकता हूं निकाल सकता हूं जैसे तुम e का टम निकालो उसकी वैल्यू जीरो आ रही है एंड ट इ वेयर इसको करने की जरूरत ही नहीं थी और सही बताऊ तुम कर सकते भी नहीं थे क्योंकि तुमको q तो पता ही नहीं है तो तुम q के साथ क्यों खेल रहे हो q की तो वैल्यू नहीं पता e की वैल्यू पता है निकालो अच्छी आ गई बन गया तो लेफ्ट हैंड साइड तो पक्के से जीरो है जरा राइट हैंड साइड देखें अब राइट हैंड साइड यही देख लेते हैं राइट हैंड साइड ये टर्म तो पक्के से जीरो है डिटरमिनेट e इन डिटरमिनेट q अगर इसकी बात करें ये है डिटरमिनेट p डिटरमिनेट f डिटरमिनेट q इवर्स क्या मैं डिटरमिनेट p निकाल सकता हूं हां सर आराम से निकाल सकता हूं अगर जीरो आ गई तो बात बन गई 0 प् 0 0 हो गया लेफ्ट हैंड साइड भी जीरो था बराबर आ गए अच्छा अगर ये जीरो नहीं है तो डिटरमिनेट f निकाल सकता हूं हां सर अगर ये जीरो आ गया तो 0 प् 0 0 हो गया यह भी जीरो था और अगर यह दोनों नॉन जीरो आ गए तो बेटा जी यह पूरा ही नॉन जीरो होगा क्योंकि डिटरमिनेट ऑफ q इवर्स तो जीरो कभी आ नहीं सकता तो नॉन जीरो प् 0 जीरो के बराबर आएगा नहीं तो ये सवाल था सिर्फ ऑप्शन में ये चीजों को चेक करने का वेल इस केस में आप जब चेक करेंगे तो इसमें f का डिटरमिनेट जीरो आ जाता है मैं लिख देता हूं f का डिटरमिनेट जीरो आ जाता है तो ये भी करेक्ट है अच्छा कितने बच्चे देख पा रहे हैं ओरली सी पक्के से गलत है सी पक्के से गलत है वो भाई यहां पे भी डिटरमिनेट e का क्यूब बनेगा तो वैल्यू जीरो आ जाएगी यहां इंटरमट e का स्क्वायर बनेगा वैल्यू जीरो आ जाएगी क्या रो ग्रेटर दन 0 होता है नहीं होता तो यह पक्के से गलत है तो अब आपने डी ऑप्शन को खुद चेक करना है अगेन वो भी यही करना है बस वैल्यू डाल के चेक करना है अब यह आपने खुद करना मेरा मेन परपस यह सिखाना था ओके यह आप आराम से कर लेना कोई दिक्कत नहीं आएगी मजे से हो जाएगा ओके नाउ आता है एलिमेंटरी ट्रांसफॉर्मेशन जो कि आपके स्कूल के सिलेबस से कट गया है जेई के सिलेबस से भी कट गया है मेन से पर एडवांस में ना इसका एक छोटा सा कांसेप्ट काम आता है वो कांसेप्ट सिखाना है फिर अगला टॉपिक पढ़ेंगे वेल एलिमेंट्री ऑपरेशन होते क्या थे एलिमेंट्री ऑपरेशन होते थे कि कोई दो रो इंटरचेंज कर देना कोई दो कॉलम इंटरचेंज कर देना किसी रो को कांस्टेंट से मल्टीप्लाई कर देना सेम कॉलम या किसी रो में दूसरे रो का मल्टीपल ऐड कर देना इन तीन ऑपरेशंस को हम एलिमेंट्री ऑपरेशन कहते थे ओबवियसली अगर एक मैट्रिक्स है और आपने उस परे एलिमेंट्री ऑपरेशन लगाया तो एक नया मैट्रिक्स बनेगा जिसका कि इससे कोई लेण देनन नहीं होगा भैया आपने रो वन को से के से मल्टीप्लाई कर दिया तो ये मैट्रिक्स चेंज हो गया एक नया मैट्रिक्स बन गया इसका पिछले मैट्रिक्स से कोई लेना देना नहीं है पहले तो ये दिमाग में रखो ओके सर सर फिर ये एलिमेंटरी ऑपरेशन लगा क्यों रहे हैं अगर मैट्रिक्स चेंज ही हो गया सर डिटर्मिननेंट में प्रॉपर्टी लगाते थे वैल्यू सेम रहती थी सर तो समझ आता है प्रॉपर्टी सर यहां पे आप कह रहे हो कि एलिमेंटरी ऑपरेशन लगाया तो मैट्रिक्स कोई नया ही बन गया तो लगा क्यों रहे हैं बताता हूं ओके वेल टू मैट्रिक्स आर सेड टू बी इक्विवेलेंट इफ वन इज ऑब्टेंड फ्रॉम अदर यूजिंग एलिमेंट्री न तो ठीक है भैया इस पर एक एलिमेंट्री पशन लगाया एक नई मैट्रिक्स बन गई कंपलीटली नई मैट्रिक्स तो इसको इसके इक्विवेलेंट कह देते हैं सेम तो कह नहीं सकते क्योंकि चेंज ही होगी सारी पर इक्विवेलेंट कह देते हैं नाम देने के लिए ओके एक छोटू सा थ्योरम है और यही थ्योरम मैं आपको सिखाना चाहता हूं एक एग्जांपल के थ्रू क्योंकि यह कांसेप्ट प एडवांस में सवाल बन जाता है तो आओ यहां पर सिखाता हूं मान लीजिए एक मैट्रिक्स है तुम्हारा कोई भी मैट्रिक्स ले लो थ एक काम करते हैं सिंपलीसिटी के लिए आइडेंटिटी ले ले आसान हो जाएगा चलो कोई भी लेलो 2 3 फव ठीक है जी एक मैट्रिक्स है और यहां पर ये किसी मैट्रिक्स से मल्टीप्लाई हो रहा है इसको मैं डिफरेंट कलर से लिखता हूं कोई भी मैट्रिक्स है ट माइव 3 मल्टीप्लाई हो रहा है क्या मैं मल्टीप्लाई कर सकता हूं हा सर आराम से कर सकता हूं 2 प् 8 10 3 प् 2 5 -2 प् 12 -3 + 3 आराम से मल्टीप्लाई हो गया अब यहां पे एक बहुत प्यारी ऑब्जर्वेशन देखना मैंने इसमें एक एलिमेंट्री रो ऑपरेशन लगाया कोई भी लगाओ तीन है तुम्हारे पास तीन है तुम्हारे पास कोई भी लगा दो सेम मैंने इसके रोज इंटरचेंज कर दिए r1 r2 इंटरचेंज कर दिए तो क्या बन गया ऊपर -1 3 नीचे 1 2 ठीक है इस पे रो ट्रांस लगाया अब ये एक नया मैट्रिक्स बन गया अब मैं इसे मल्टीप्लाई करता हूं इसके साथ देखते हैं क्या बनता है चलो मल्टीप्लाई करो -2 प् 12 -3 प् 3 2 प् 8 3 प् 2 तुम एक चीज ऑब्जर्व कर पा रहे हो जो एलिमेंट्री रो ऑपरेशन तुमने यहां लगाया वही एस सच कॉपी हो गया इसके ऊपर देखो सेम इसके ऊपर हो गया और यह आपके एलिमेंटरी रो ट्रांसफॉर्मेशन की खासियत होती है जब भी आप प्री मल्टीप्लायर पे कोई भी एलिमेंट्री रो ऑपरेशन लगाते हैं तो आपके प्रोडक्ट में सेम चीज रिफ्लेक्ट होती है सेम चीज रिफ्लेक्ट होती है यह है सिग्निफिकेंट ऑपरेशंस का लेट c इ ए क्रॉस बी बी अ प्रोडक्ट ऑफ टू मैट्रिस एनी एलिमेंट्री रो ट्रांसफॉर्मेशन ऑफ सी कैन बी ऑब्टेंड बाय अपलाइट रो ऑपरेशन ऑन ए समझ आ गया और सेम अगर आप इसमें कुछ पोस्ट मल्टीप्लायर में कॉलम को चेंज करते तो प्रोडक्ट में वही चेंज आपको दिख जाता तो एक स्टेटमेंट बोलूंगा आखिर में जो अंग्रेजी में हां लिखा है उसको इंग्लिश में हिंदी में बोल रहा हूं प्री मल्टीप्लायर का एलिमेंट्री रो ऑपरेशन प्रोडक्ट में सेम रिफ्लेक्ट होता है पोस्ट मल्टीप्लायर का कॉलम एलिमेंट्री ट्रांसफॉर्मेशन प्रोडक्ट में सेम रिफ्लेक्ट होता है तो एक छोटा सा ऑब्जर्वेशन इसको अपने पास लिख के रख लीजिएगा इसके ऊपर के ब कांसेप्चुअल लेवल पर सवाल पूछा जा सकता है अदर वाइज ये सिलेबस में नहीं है अब आता है आज का सेकंड लास्ट टॉपिक इससे मुझे याद आया ये तो किया नहीं मैंने भूल जाता हूं उम्र हो रही है मेरी आई आई आ जाओ ठीक है ठीक है चल रहा है सब कुछ आ जाओ सो सॉल्विंग सिस्टम ऑफ लीनियर इक्वेशन यूजिंग मैट्रिस वेल अगेन आपको अगर जेई में सवाल आएगा तो ये तो बोलेंगे नहीं कि मैट्रिक्स से सॉल्व करिए या डिटर्मिननेंट से आप तो किसी से भी करेंगे और डिटरमिनेट मेथड ज्यादा फास्ट और ज्यादा एफिशिएंट होता है तो वही करना है तो इसका बस एक सवाल देखेंगे कि मीनिंग क्या है भैया तो ये एक लीनियर सिस्टम ऑफ इक्वेशन था हां जी आप एक मैट्रिक्स बनाइए जिसमें सिर्फ कफिट लिख दीजिए पहले x के कफिट फिर y के कफिट और फिर z के कफिट सिर्फ कफिट लिख दीजिए ओके एक दूसरा मैट्रिक्स बनाइए जिसमें आप राइट हैंड साइड सॉरी कहते वेरिएबल को लिख दीजिए दूसरा मैट्रिक्स बनाइए जिसमें वेरिएबल को लिख दीजिए x वा ज कॉलम में और एक तीसरा मैट्रिक्स बनाइए जिस पे आप राइट हैंड साइड लिख दीजिए नॉर्मली कॉलम जो वेरिएबल वाला होता है उसको कैपिटल x से डिनोट करते हैं और राइट हैंड साइड को b से डिनोट करते हैं d1 d2 d3 अगर आप a और x को मल्टीप्लाई करें तो जरा मुझे बताइए आपका सबसे पहला एलिमेंट क्या बनेगा सर a1x + b1 वा + c1 ज देख पा रहे हो एगजैक्टली ये बना है हां जी सर और इसको इक्वेट करते हो अगर b के तो किसके बराबर हो गया d1 के देख रहे हो पहली इक्वेशन बन गई दूसरा एलिमेंट क्या बनेगा a2x + b2y + c2 z वो किसके इक्वेट हुआ d2 के देखो दूसरी इक्वेशन बन गई सिमिलरली आप तीसरा एलिमेंट कंपेयर करेंगे तीसरी इक्वेशन बन जाएगी तो आइडिया इज कि आप अपने इस बड़े से सिस्टम को इस छोटे से फॉर्म में लिख सकते हो वयर a इज कॉफिश एंट मैट्रिक्स x इज वेरिएबल कॉलम एंड b इज राइट हैंड साइड कॉलम और अगर यहां से मुझे x निकालना है आई विल प्री मल्टीप्लाई बाय a इवर्स प्री मल्टीप्लाई इधर a इवर्स करोगे तभी ये खत्म होगा तो x = a इवर b दैट इज हाउ योर मैट्रिक्स इज हेल्प यू टू फाइंड सॉल्यूशन ठीक है सो x = a इवर b a इवर्स का फार्मूला डाल दिया एंड यू गेट वैल्यू ऑफ x इसे कहते हैं सॉल्विंग सिस्टम बाय मैट्रिस एक सवाल सॉल्यूशन के थ्रू बस देख लीजिए जैसे कि सवाल गया ये पहली इक्वेशन दूसरी इक्वेशन तीसरी इक्वेशन आपने लिखा ए ए क्या है कफिट का मैट्रिक्स पहले एक्स के फिरवा के फिर ज के फिर लिखा वेरिएबल और फिर लिखा राइट हैंड साइड तो a एक इ ब तो x की वैल्यू आई a इवर्स बी राइट तो आपने निकाला a इवर्स एड जॉइंट निकाला वहां से a इवर्स निकाला तो यह आ गया a इवर्स तो आपका x क्या है a इवर्स बी तो a इवर्स को बी से मल्टीप्लाई किया यह वैल्यू जो भी आ गई दैट इज योर x तो स्मल x बन गया 36/1 y बन गया 18/1 z बन गया 54/1 आईडिया क्लियर तो ये स्कूल के लिए बेसिक सा मेथड है बस पता होना चाहिए इससे ज्यादा इसका कोई रेफरेंस है नहीं क्योंकि जेई में हम कुछ करेंगे नहीं इसके सवाल का कुछ यूज नहीं होगा और स्कूल में एक फार्मूला पता है तो आपका सवाल खत्म हो जाएगा यस ऑफ कोर्स तो इवन आई प्रेफर डिटरमिनेट ठीक है तो इस सवाल को अगर जेई में करेंगे तो डिटरमिनेट से ही करेंगे अगर ऐसा कुछ आता है ओके नंबर ऑफ सॉल्यूशन अगेन आपके पास डिटर्मिननेंट में बहुत अच्छा मेथड होता है नंबर ऑफ सॉल्यूशन को निकालने का पर इसका भी मेथड पता होना चाहिए चॉइस है तुम्हारी आई माइसेल्फ प्रेफर डिटरमिनेट तो इसका भी मेथड वही होता है अगर तो नॉन जीरो है तो यूनिक सॉल्यूशन अगर जीरो है तो एक लेवल आगे जाना पड़ेगा और आगे जाना क्या पड़ेगा आपका जो x का वैल्यू था एट जॉइंट a अपॉन डिटरमिनेट a * b राइट अगर यह चीज ऊपर की देखो ऊपर अगर ये चीज नॉन जीरो है तो नो सॉल्यूशन अगर यह नॉन जीरो है तो नो सॉल्यूशन और अगर यह जीरो है तो यहां पे इनफा मेन स्शन सेम डिटरमिनेट उसमें भी d एक बा d dydekop.org ओके तो यह इसका टेबल है ज्यादा सिग्निफिकेंट हा छोट सा दिमाग में रख सकते हो अब आता है सब काफी इंटरेस्टिंग टॉपिक और आज का आखरी टॉपिक कैले हैमिल्टन थ्योरम भाई देखो यह ना लेटली पिछले चार तीन चार सालो में काफी पूछा जाने लग पड़ा है जेई मेन में भी और बहुत इंटरेस्टिंग होता है मैं पहले बता दूं इसका यूज कब होगा मैं यही पर लिख देता हूं जब भी ए की पावर्स में रिलेशन चाहिए देन यह लगाओ ठीक है जी यह मैंने पहले बता दिया लगाना कब है अब देखते हैं होता क्या है पहले तो आ जा तो सबसे पहले छोटी चीज होती है कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन कोई भी अगर मैट्रिक्स है तो इसे कहते हैं उसका कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन a माइ एक् आ का डिटरमिनेट जीरो पुट कर दीजिए जैसे कि अगर ये मैट्रिक्स है और आपको कहा गया कि इसका कैरेक्टरिस्टिक क्वेशन बताइए तो पहले आप a - x * i की वैल्यू निकालेंगे यह क्या बन गया a - x * i x x तो इसकी वैल्यू आ गई आपके पास 2 - x 3 - 0 1 - 0 0 - x ये आ गया आपका a - यसे मल्टीप्लाई हुआ x स् माइ 2x - 3 = 0 तो ये जो इक्वेशन बनी इसे कहते हैं कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन खत्म तो ए माइ एक्स इ डिटरमिनेट इ 0 इज कॉल्ड कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन ऑफ ए ओके ओके सर तो कोई भी मैट्रिक्स दे दो ए माइ एक्स लिख लो डिटरमिनेट जीरो कर दो इक्वेशन तो बन गई ओके सर पॉइंट टेकन अब एवरी मैट्रिक्स सेटिस्फाई इट्स कस्टिक इक्वेशन अब ये क्या लिखा है ऊपर आओ अगर यहां पर मैं एक की जगह पर कैपिटल ए रख दूं डू यू एग्री सेटिस्फाई हो रहा है डू यू एग्री सेटिस्फाई हो रहा है अगर मैं एकस की जगह पर कैपिटल ए रख दूं सेटिस्फाई हो रहा है हां जी सर इसका मतलब आपने जिस मैट्रिक्स की कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन लिखी है उसमें अगर आप x की जगह पर ए डाल देते हैं अब ओबवियसली यहां पर मैट्रिक्स है मैट्रिक्स है तो थ को अकेला नहीं लिखेंगे ओके 3 आ लिखेंगे आइडेंटिटी थ को नंबर को मैट्रिक्स में नहीं जोड़ सकते ना तो इक्वल टू ये यह सेटिस्फाई होगा यहां से क्लियर दिख रहा है सर बात तो सही है तो सबसे पहला कांसेप्ट आया कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन का फिर आया कैले हैमिल्टन थ्योरम जिसने यह कहा कि अगर कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन में x की जगह पर ए रख दिया जाए तो वो इक्वेशन होल्ड करती है कले हैमिल्टन थ्योरम एवरी मैट्रिक्स सेटिस्फाई इट्स कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन अब आपने अगर नोट किया हो जैसे ही मैंने यहां पे a सेटिस्फाई करवाया था मुझे a की पावर्स में एक रिलेशन मिला था मुझे a की पावर्स में एक रिलेशन मिला था मिला था आओ एक सवाल में हल्का सा छोटू सा फायदा दिखाता हूं फिर इसके अच्छे फायदे देखेंगे a इक्वल टू दिस देन इसकी वैल्यू पूछी गई है अब एक है आम जिंदगी a स् निकालो यहां पे रखो फिर a क्यूब निकालो उसे यहां पे रखो फिर इस सबकी वैल्यू निकालो और फिर आंसर आएगा बहुत लंबा काम ऑन द अदर हैंड मैंने देखा यार मुझे एक ही पावर्स में एक रिलेशन पूछा गया है यार ये तो कैले हैमिल्टन थ्योरम दे देती है मैंने फटाफट a - xi6 इक्वेशन निकाल ली सीधे लिख लू हमें लिखनी आती है - x हो जाएगा डिटर्मिननेंट निकाल के रो कर देंगे तो वो इक्वेशन आपके पास आ गई ऐसे a - तो एक क्यूबिक इक्वेशन आ गई एकस क माइ 6 एक्स स् प् 11 एक माइन स यह आ गई आपकी कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन अब कटन थोरम कहता है कि ए इसको सेटिस्फाई करता है कैले हैमिल्टन थ्योरम सेज ए सेटिस्फाई ऐसा करते ही तुम्हारे पास अपने आप इसकी सिक्स को अकेला मत लिखना ओके नंबर हैय इसको आइडेंटिटी की पावर्स में रिलेशन आ गया वेरी गुड क्या बात है क्रोमा सो रिलेशन आ गया आप आंसर बता दो सर 6 आ इज द आंसर तो जब भी एक ही पावर्स में रिलेशन चाहिए हो तो आप कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन से करिए काम खत्म सर पर अगर यहां पे फोर पावर या फाइव पावर में रिलेशन पूछा होता फिर क्या करते सर ये तो 3 बाथ मैट्रिक्स थी ओबवियस सी बात है 3/3 मैट्रिक्स में जब x एक्स एक्स करेंगे डिटरमिनेट जीरो करेंगे तो क्यूबिक से बड़ा तो आ नहीं सकता क्यूबिक से बड़ा आ ही नहीं सकता तो 3/3 मैट्रिक्स की तो करेक्ट िक इक्वेशन क्यूबिक ही बनेगी पर अगर यहां प 4 डिग्री 5 डिग्री पूछा होता फिर क्या करते बेटा कुछ ना करते इस पूरे को सॉरी इस पूरे को ए से मल्टीप्लाई कर देते तो फोर्थ पावर में रिलेशन आ जाता a स्क्वा से मल्टीप्लाई करते फिफ्थ पावर में रिलेशन आ जाता गेटिंग इट सो वो टेंशन नहीं लेनी आपको एक की पावर में रिलेशन चाहिए वो यहां से बनेगा काम खत्म अब आ जाओ ये कुछ डायरेक्ट रिजल्ट होते जो पता होने चाहिए कोई भी जो 2 क्रॉस टू मैट्रिक्स की कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन जब लिखी जाती है वो हमेशा देखने में ऐसी आती है x स् - ट्रेस ऑफ a एक प् डिटर्मिननेंट a यह मैं आपको यहां पे महसूस करवाता हूं इधर आइए x स् - ट्रेस ऑफ a x प्लस डिटरमिनेट ऑफ a कोई भी जो टू क्रॉस टू मैट्रिक्स होती है उसकी कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन हमेशा यही बनती है जैसे कि अगर इसकी कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन बनानी है तो आई विल नॉट वेस्ट माय टाइम मैं इसकी इक्वेशन डायरेक्टली लिखूंगा ट्रेस कितना है टू डिटर्मिननेंट कितना है 0 -3 देखो यही आई थी x स् - 2x - 3 राइट तो हमें टाइम सेव करने के लिए इसको याद रखना होता है और उससे भी ज्यादा जरूरी क्या बताता हूं तो पहली बात तो 2 क्रॉस 2 की ये बनती है 3 क्रस की यह बनती है वेल 3 क्रस की यहां से बहुत टाइम लगता है तो यहां से नहीं निकालते 3 क्रॉस 3 की ऐसे ही निकालनी है आपने ओके पर स बता क्यों रहे हो एक बहुत इंपॉर्टेंट ऑब्जर्वेशन होता है उसके लिए बता रहा हूं चाहे ट क्रॉस टू हो चाहे 3 क्रॉस 3 हो दोनों में सम ऑफ रूट्स दोनों में सम ऑफ रूट्स जो होता है कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन में वो ट्रेस के बराबर आता है देखो दोनों में ट्रेस के बराबर है और दोनों ही इक्वेशन में जो प्रोडक्ट ऑफ रूट्स है प्रोडक्ट ऑफ रूट्स ऑफ कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन इसमें प्रोडक्ट ऑफ रूट क्या आ रहा है डिटरमिनेट a अपव इसमें क्या आ रहा है फिर से डिटरमिनेट a अपव इज डिटर्मिननेंट a तो याद रखिए चाहे 2 बाट मैट्रिक्स हो चाहे 3 बाथ मैट्रिक्स हो सम ऑफ रूट हमेशा ट्रेस ऑफ ए के बराबर आएगा प्रोडक्ट ऑफ रूट हमेशा डिटरमिनेट के बराबर आएगा और यह बहुत यूजफुल होता है यह सवाल देखो कहता है ए इसके बराबर है और यह होल्ड करता है अल्फा और बीटा के बारे में कुछ बता दिया गया और यह वैल्यू पूछ भी गई तो सबसे पहले हमने देखा ये क्या लिखा हुआ है अब मेरी बात ध्यान से सुनना यहां पे टाइम कैसे बचाते हैं अब एक तरीका क्या है पुराना आम जिंदगी वाला आप a इवर्स निकालिए उसे यहां रखिए इधर अल्फा ए प् बीटा आ लिखिए फिर कंपेयर करिए वहां से इक्वेशंस बनाइए और प्रोसीड करिए यह पहला तरीका भैया पहली बात 2/2 में तो शायद फिर भी थोड़ा सोच लेता 3/3 में बिल्कुल ना सोचता 2 बाटू में भी मजा नहीं आएगा क्योंकि अल्फा बीटा गामा पता नहीं क्याक आ जाएंगे अब आता है बढ़िया केस पूरे को a से मल्टीप्लाई करिए आइडेंटिटी अल्फा a स् प् बीटा ए तो ये क्या बन गया अल्फा a स् प् बी ए माइन आ इ 0 डू यू एग्री यहां पर आपको पता लग रहा है ट इज ए सेटिस्फाई सेटिस्फाई अल्फ एक्स स्क्वा प्स बीटा एक्स माइव इ 0 डू यू एग्री यह पता लग रहा है य पर ए इसी को सेटिस्फाई कर रहा है अब ए ठहरा ू क्रॉस टू मैट्रिक्स और ू क्रॉस टू मैट्रिक्स का कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन आता 2 डिग्री का दिस है टू बी कस्टिक इक्वेशन बिकॉज दैट इज अ प्रॉपर्टी a सेटिस्फाई इट्स कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन तो दिस हैज टू बी कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन इफ इट इज तो इसमें जो सम ऑफ रूट है माइनस बीटा बा अल्फा जो सम ऑफ रूट है वो किसके बराबर होगा ट्रेस के ट्रेस कितना है 11 जो प्रोडक्ट ऑफ रूट है -1 बा अल्फा वो किसके बराबर होगा डिटर्मिननेंट के 10 - 5 ल पहला इक्वेशन दूसरा इक्वेशन और तीसरा उसने दिया हुआ है अल्फा प् बीटा = -2 अल्फा आ गया बीटा आ गया लडा आ गया चको 14 आंसर आ रहा है ओके आईडिया क्लियर हुआ तो ये जब मुझे पता ना ट्रेस प्रोडक्ट है ट्रेस इसके बराबर है डिटरमिनेट इसके बराबर है तो बहुत फास्ट हो जाता है अदर वाइज टाइम बहुत लगेगा आओ ऐसे ही चार तीन चार सवाल और देखते हैं इसमें क्या-क्या वेरिएशन बन सकता है आओ लेट ए बी अ 3 कथ मैट्रिक्स सच दैट a स्क्वा आ हा देखो ये कितना इंटरेस्टिंग सवाल है कहता है जी 3 क्रॉस थ मैट्रिक्स है ठीक है जी और उसने ये रिलेशन दिया पहले तो मन में लड्डू फूटा और रिलेशन दे दिया मिल गई कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन बाद में दिल टूट गया क्यों ये 3 क्रॉस 3 थी इसकी तो करेक्ट इसिक इक्वेशन 3 डिग्री की बननी थी कम बक्त ने 2 डिग्री दी है आओ a स् - 5a + 6i चलो देखते हैं आगे क्या पूछा है डिटरमिनेट a दिया हुआ है 30 ओके ये 30 दिया हुआ है एंड ट्रेस ऑफ 7a पूछा है पहली बात तो 7a में क्या होगा हर एक एलिमेंट सेवन से मल्टीप्लाई हुआ होगा हां जी तो डायगोनल भी सेवन से मल्टीप्लाई होगा हां जी तो बेटा जी ट्रेस ऑफ 7a इज नथिंग बट सेवन टाइम ट्रेस ऑफ a ठीक है ना 1 2 3 बैठे थे अब आपने सेवन से मल्टीप्लाई कर दिया 7 14 21 तो जब ऐड करोगे पूरे में सेवन कॉमन निकल जाएगा तो ट्रेस में कांस्टेंट बाहर आ जाता है तो मुझे फाइनल ट्रेस ऑफ ए चाहिए था अगर मुझे ए की करेक्ट इक्वेशन पता होती मजा आ जाता चलो देखते हैं ट इज ए सेटिस्फाई दिस एक्स स्क माइन 5 एक्स प् 6 बट आई नो वेरी वेल की यह कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन तो नहीं है यह कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन तो नहीं है अब क्या करें तो सुनिए अगर मैट्रिक्स एक इक्वेशन को सेटिस्फाई कर रहा है तो उसे कहते हैं मैट्रिक्स इक्वेशन इ मैट्रिक्स सेटिस्फाई एन इक्वेशन देन ट इक्वेशन इ कॉल्ड मैट्रिक्स इक्वेशन य टर्म होती है इसे फॉर्मली नहीं पढ़ा जाता इतना पर टर्म होती है मैट्रिक्स इक्वेशन कि मैट्रिक्स देखो भाई सीधी सी बात है एक बात बताओ x-2 एक - 3 इसके रूट है ट और 3 पर क्या अकेली यही इक्वेशन जिसके टू औरथ रूट है नहीं ऐसी और भी इक्वेशन हो सकती है जिसके टू और थ रूट होंगे यस और नो तो ऐसा थोड़ी कि मैट्रिक्स ए जो है किसी एक इक्वेशन को ही सेटिस्फाई कर सकता है पर हां अगर ट और थ 2 डिग्री इक्वेशन को सेटिस्फाई कर रहे हैं तो वो ऐसी ही होगी इसलिए कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन यूनिक है अगर एक 3 डिग्री की कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन है और ए उसको सेटिस्फाई मतलब a अगर 3/3 है और वो 3 डिग्री इक्वेशन को सेटिस्फाई कर रहा है तो वो पक्के से कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन ही होगी कुछ और नहीं होगा बट ए किसी और इक्वेशन को भी सेटिस्फाई कर सकता है जैसे कि यहां पर ए छोटी डिग्री की इक्वेशन को सेटिस्फाई कर रहा है तो यहां पे याद रखिएगा मैट्रिक्स इक्वेशन इज फैक्टर ऑफ कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन तो यहां पे जो आपकी कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन है ना ये उसका वन ऑफ द फैक्टर है ये पता लगा हमें तो देयर फोर कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन जो रही होगी वो क्या होगी x स् - 5x प् 6 इनटू समथिंग लीनियर भैया इसकी कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन 3 डिग्री की बननी थी 2 डिग्री यहां पर आ चुका है तो लीनियर बचा होगा x माइ अल्फ = 0 अब ये क्या आ गया x-2 x-3 एक - अल्फा इ 0 इसके रूट क्या है ट है 3 है अल्फा है तुम्हें नहीं लगता कि मूमेंट उसने आपको डिटर्मिननेंट बता दिया तो उसने आपको कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन का प्रोडक्ट ऑफ रूट बता दिया एज अल्फा * 2 * 3 प्रोडक्ट ऑफ रूट प्रोडक्ट ऑफ रूट इज इक्वल टू डिटरमिनेट तो आपके पास अल्फा की वैल्यू आ गई फाइव तो आपकी जो कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन है वो है x - 2 x - 3 x - 5 अब उसने पूछा था ये तो आपका आंसर आ गया सेवन टाइम सम ऑफ रूट सम ऑफ रूट होता है ट्रेस के बराबर तो 2 + 3 + 5 70 इज द राइट आंसर 70 इज द राइट आंसर बहुत बढ़िया शाबाश तो यह सवाल थोड़ा सा मतलब मुश्किल नहीं कहूंगा बट छोटू सा कांसेप्ट यूज हुआ यहां पे कि यह इक्वेशन आपके कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन की बीच में बैठी होगी छोटी सी ठीक है जी तो 70 इज द राइट आंसर आओ एक सवाल और देखो यहां पे लेट ए बी अटू क्रॉस टू रियल मैट्रिक्स एंड आ बी आइडेंटिटी मैट्रिस आ हा हा देखो पहले तो यहां देखो कितने प्यार से उसने सब कुछ दे दिया कहता है a जो है 2 क्रॉस टू मैट्रिक्स है ओके वेरी गुड इफ द रूट्स ऑफ कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन उसने यही था तो कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन नहीं बोला ऐसे लिख दिया b -1 एंड 3 तो बेटा जी मुझे ये तो पता लग गया कि x + 1 * x - 3 = 0 इज कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन ऑफ a क्योंकि a भी 2 कॉस 2 ही था ना तो वहां पे दोनों रूट बता दिए उसने वेरी गुड देन सम ऑफ डायगोनल एलिमेंट्स ऑफ ए स्क्वा ओ हो हो अगर उसने डायगोनल एलिमेंट ऑफ ए पूछे होते ना तो डायरेक्ट सम ऑफ रूट होता यस और नो ट्रेस ऑफ ए तो सिंपल आपका यह आ जाता ू एग्रीड क्योंकि हमें पता है कि ट्रेस ऑफ ए तो सम ऑफ रूट होता है वहा तो कोई टाइम लगना नहीं था कमबखत ने ए स्क्वा कर दिया यहां पर इसका क्या करें इसके बेटा दो मेथड है एक है लंबा मेथड और एक है शॉर्टकट मेथड कौन सा सीखना चाहोगे सर दोनों ही सिखा दो आओ दोनों सीखो मेथड वन आम जिंदगी वाला मेथड जो हर कोई कराएगा आपको हर जगह मिलेगा वो बुक्स में मिलेगा हर कोई कराएगा आम जिंदगी क्या है भैया a देखने में कुछ ऐसी होगी ू बाटू मैट्रिक्स है हां जी सर इट शोज कि a स्क्वा देखने में कैसा होगा भैया ए क्रॉस देखने में कुछ ऐसा होगा यह बन गया a स् प् बीसी ए प् बीडी ए ए प् सीडी बी स प् d स्क जहां इस मेथड में अभी मैंने आधा भी सवाल नहीं हुआ दूसरे मेथड में इतने में आंसर आ जाएगा एक लाइन में पर देखो दोनों सीखने जरूरी है पहले यह आएगा उसी के बाद तो मेंटोस जिंदगी को अप्रिशिएट कर पाओगे उसी के बाद तो अप्रिशिएट करोगे ना तो आओ a स् आ गया अब उसने पूछा था सम ऑफ डायगोनल एलिमेंट ऑफ a स्क तो मैंने कहा ट्रेस ऑफ a स् आ गया a स् प् bc-c 2bc ् d स् ये आ गया अब मुझे क्या पता है भैया मुझे यह पता था कि आपकी कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन के रूट है -1 और 3 तो मुझे यहां पे ना जो ट्रेस ऑफ a है दैट इज a प् d उसकी वैल्यू पता थी -1 + 3 और जो डिटरमिनेट a है ए - बी स उसकी वैल्यू पता थी प्रोडक्ट ऑफ रूट -3 मुझे ये दो वैल्यूज पता थी क्या मैं इन दोनों से यह निकाल सकता हूं आओ देखते हैं भैया मुझे a प् d पता है तो मैं इन दोनों को जोड़ना चाहूंगा a प् d स्क्वा - 2ad यस और नो इन दोनों को जोड़ के a प् d बना दिया और लकिली जो बचा वो बहुत अच्छा बचा वो वही बचा जो मुझे यहां पर पता था ए - bc-2 कॉमन निकाल लो ए - bc2 और ये बन गया -3 के साथ ये तो आंसर आ गया आपका 10 ये था मेथड वन प्रॉपर थरेट मेथड ठीक है जी आपने a को एज्यूम किया उसके बारे में जो पता था लिख लिया फिर a स्क्वा निकाला उसका ट्रेस लिखा उसको इसकी टर्म में रिप्रेजेंट किया अब आती है मेंटोस जिंदगी मेंटोस लव यू जिंदगी जो एक लाइन एक लाइन भी नहीं आधी लाइन में आंसर दे देगा और वो बेस्ड है एक प्यारे से रिजल्ट पे जो कि नॉर्मली बुक्स में दिया नहीं होता देते नहीं नॉर्मली बात नहीं करते तुम दिमाग में रखो रूट्स ऑफ कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन ऑफ a स्क्वा अगर मुझे ए स्क्वा की जो कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन थी उसके रूट मिल जाते तो आंसर आ जाता सीधे सम ऑफ रूट यस और नो आंसर सीधे आता सम ऑफ रूट पंगा था कि मुझे ए स्क्वा की करेक्ट इक्वेशन पता ही नहीं थी और ना उसके रूट पता थे मेरे को सिर्फ एक ही पता थी तो इंटरेस्टिंग पॉइंट इ रूट्स ऑफ कक्ट इक्वेशन ऑफ ए स्क्वा आर स्क्वायर ऑफ रूट्स मैं ऐसे क्यों लिख रहा हूं इतने बड़े करके क्यों लिख रहा हूं छोटे में लिखता हूं इफ रूट्स ऑफ कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन ऑफ a आर अल्फा बीटा देन रूट्स ऑफ कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन ऑफ a स् आर अल्फा स्क्वा एंड बीटा स्क्वा यानी कि अगर ए की जो कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन थी कैरेक्टरिस्टिक उसके रूट माइनस और 3 थे तो जो मेरी ए स्क्वा थी उसके जो कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन के रूट आने थे वो डायरेक्टली लिखे जा सकते थे रूट्स ऑफ कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन ऑफ ए स्क्वा आर मानव का स्क्वायर एंड ी का स्क्वायर और मेरे को लगता है अब तो आंसर आ गया देयर फोर ट्रेस ऑफ ए स्क्वा इक्व 1 प् 9 इ 10 सर क्या यह सिर्फ 2 बाटू के लिए ट्रू है और क्या पावर टू के लिए ट्रू है नहीं इट इ ट्रू इन जनरल आल्सो ट्रू फॉर एनी ऑर्डर एंड एनी पावर तो यह 3 बाथ के लिए भी काम करेगा 4 बा फ के लिए भी काम करेगा पावर थ पावर फो सबके लिए काम करेगा आए नजारे लो जी तो यहां पर अगर रूट्स ऑफ कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन ऑफ ए आर अल्फा बीटा गामा देन रूट्स ऑफ कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन ऑफ ए पावर फो विल बी अल्फा पावर फ बीटा पावर फ गामा पावर फ सेम तो यह रही आपकी मेंटस जिंदगी यह रहा आज का आखिरी सवाल एडवांस में आया था देखने में भयंकर लग रहा है यह मैं आधा कराऊंगा बाकी आधा तुमने करना क्योंकि उसमें हल्का सा ट्रिगो और क्वाड्रेटिक का यूज होना है तो वो तुमने रिवाइज करके सॉल्व करके कमेंट में लिखना है डन एंड डस्टेड ओके पर सवाल बड़ा प्यारा है आसान सा है देखो कहता है ए इसके बराबर है और ये इसके बराबर है तो पहली बात यह दोनों बराबर है हां जी सर m इ अल्फा आई मैं इनको बराबर लिखने में बहुत इंटरेस्टेड हूं ना यार मैं ए से मल्टीप्लाई करके प्यारी सी इक्वेशन बनाऊंगा ऐसे ओके और ए क्योंकि 2 डिग्री का है तो भैया मुझे तो करेक्ट इक्वेशन मिल गई ऑफ ए 2 डिग्री का ए तो उसकी कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन डिग्री की ही आनी थी तो यह बन गया आपका कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन ऑफ ए आगे क्या बोला है अल्फा जो है व थीटा का फंक्शन है बीटा थीटा का फंक्शन है समझ आता है भैया अल्फा बीटा थीटा की टर्म्स में आएंगे पूछा क्या है इफ अल्फा स्टार इज मिनिमम वैल्यू ऑफ अल्फा थीटा तो पहले आपको अल्फा निकालना है और फिर अल्फा की मिनिमम वैल्यू निकालनी है ओके सेम बीटा स्टार वो बीटा की मिनिमम वैल्यू तो मुझे अल्फा और बीटा निकाल के उनको मिनिमाइज करना है बेसिकली ये है यार अल्फा निकालना मुश्किल है कोई डायरेक्टली सम ऑफ रूट ही तो है अल्फा क्या है सम ऑफ रूट वो किसके बराबर होता है ट्रेस के साइन पावर 4 थीटा प्स कॉस पावर 4 थीटा अब इसको मिनिमाइज करना तुम्हारा काम है थोड़ा ट्रिग नो थोड़ा क्वाड्रेटिक रिवाइज करो बीटा ओ भैया बीटा क्या है सर माइनस बीटा प्रोडक्ट ऑफ रूट है माइनस बीटा प्रोडक्ट ऑफ रूट तो वो क्या होगा डिटरमिनेट साइन पावर 4 थीटा कॉस पावर फो थीटा माइनस दिस तोव प्स साइन स्क्वायर थीटा इन 1 प्स कॉस स्क्वायर थीटा तो साइन 4 कॉस 4 तो कट ही जाएगा मानव आ जाएगा माइनस साइन स्क्वायर माइव माइनस साइन स्क्वा थीटा माइनस कोस स्क्वा थीटा यही बनाना दिस माइनस दिस तो व प्लस हो गया ओ प्लस प्लस प्लस प्लस प्लस प्लस प्लस माइनस निक था बाहर प्लस हो गया ना हां जी ओ हो हो वेट वेट वेट वेट वेट वेट कटा नहीं ना वो प्लस था सॉरी तो माइनस बीटा की वैल्यू आ गई ू टाइम साइन पावर 4 थीटा कॉस पावर 4 थीटा प्लस दिस तो माइनस को उधर ले गए तो अल्फा आ गया बीटा आ गया इसको मिनिमाइज करना तुम्हारा काम है अब और सॉल्यूशन को देखे बिना करना सॉल्यूशन को देखे बिना करना वेल बीटा तो बहुत ही आसान है यार वैसे बीटा तो क्या ही आ गया माइनस को उधर ले गए -2 साइन पावर 4 कॉस पावर 4 और ये तो था ही वन राइट नहीं थोड़ा बहुत दिमाग आपका लगेगा ट्रिगो में यहां पे सा पावर 4 कस पावर 4 की मीन वल क्या होती है सोचो हिंट दे देता हूं साइनट थीटा क्रिएट करना हिट देता हूं साइनट थीटा क्रिएट कर लेना तो आएगी इसकी मन वैल्यू तो एनीहाउ अब यहां पर अल्फा और बीटा को मिनिमाइज करके आपने आंसर निकालना आंसर ऑफकोर्स ऑप्शन डी है इसका एक बच्चे सही जवाब दे भी रहे बहुत बढ़िया पर यह आपने बाद में प्रॉपर्ली डिटेल में करके कमेंट में जरूर लिखना है सर व लास्ट वाला क्वेश्चन डन एंड डस्टेड ठीक है जी इसलिए थोड़ी सी क्वाड्रेटिक थोड़ी ट्रिगो रिवाइज करनी पड़ेगी आपको तो यहां पे आज का सेशन खत्म होता है आई सपोज आपको कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन की इंपॉर्टेंस समझ आ गई होगी मैंने तभी दो तीन बीच में पी बा क करवा दिया एडवांस और मेन के कि ऐसे सवाल आकल जेई में आते हैं जहां पे कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन काफी ज्यादा यूजफुल रहती है ठीक सो विद दैट आज का सेशन खत्म होता है गॉड ब्लेस यू ऑल मजे करते रहो नजारे लेते रहो एंड मैट्रिक्स खत्म हो गया है अ अगला चैप्टर हम जो तुम कहोगे वो कर देंगे तो कमेंट्स में वो लिख देना कि आप कौन सा चैप्टर करना चाहते हो ठीक है सर कल का सेशन कितने बजे होगा कल मेरा सेशन है कोई कल नहीं है यार कोई सेशन ऐसा मत बोलो परसों है मेरा अब तो परसों आएगा इंग्लिश चैनल पर आएगा ठीक है अब तो अगले हफ्ते सीक्वेंस सीरीज होगा 11थ क्लास के बच्चों के लिए अगले हफ्ते सीक्वेंस सीरीज है 11 क्लास के बच्चों के लिए सर टेस्ट प्राइस सीरीज टेस्ट सीरीज का प्राइस कितना है बेटा अगर व केली मेन वाली लेनी है तो वह हज के अराउंड है हज टाइप्स और जो जेई मेन एंड एडवांस की लेनी है तो व करीबन 2000 के अराउंड है ठीक है और उसका लिंक आपको मेरे पिछले सेशन में मैंने टेस्ट सीरीज लच की थी दो तीन तीन चर दिन पहले उसकी डिस्क्रिप्शन में आपको लिंक मिल जाएगा सर आपका क्लास कब कब होता है बेटा वो अल्टरनेट वीक चलते एक हफ 12थ का क्लास आता है मेरा एक हफ्ते 11थ का क्लास आता है ऐसे रहता है जैसे इस वीक अगर 12थ का चैप्टर हुआ है तो अगले हफ्ते 11थ का होगा फिर उसके अगले हफ्ते 12थ का होगा फिर उसके अगले हफ्ते 11थ का होगा इस तरह से ठीक संजय आप कमेंट में बता देना हो सके तो मैं कम्युनिटी प पूछ लूंगा एक बार पर आप कमेंट में लिख देना तो चलो विद दैट इस टाइम से गुड बाय गॉड ब्लेस यू ऑल लव यू वेरी मच खूब तैयारी करते रहो मजे करते रहो तैयारी में और अगर तैयारी करते करते किसी की हेल्प कर पाओ विन योर कैपेसिटी एटलीस्ट जरूर करो ब हो बेटा ठीक है बा बाय जिंदगी में कभी मिलेंगे जब फिर डाल के मिलना बा बाय ठीक है खुश रहो