Traslazioni nel Piano Cartesiano

Introduzione

• Le traslazioni sono una delle trasformazioni più semplici nel piano.
• Comprendere come applicare le traslazioni a punti e curve può essere complicato.

Definizione di Traslazione

1. Esempio di Traslazione:
   • Consideriamo due punti: A e A'.
   • Per passare da A ad A', ci muoviamo:
     • 5 unità a destra ( +5 )
     • 2 unità verso il basso ( -2 )
   • Quindi, il vettore V ha componenti (5, -2).
   • A' è l'immagine di A, e quindi la traslazione è una funzione che associa un punto a un altro.

Traslazione di Figure Geometriche

• Esempio con un Triangolo:
  • Consideriamo un triangolo con vertici A, B, C e trasliamolo con il vettore (5, -2).
  • I nuovi vertici saranno A', B', C', e formano un triangolo congruente al triangolo originale.

Caratteristiche delle Traslazioni

• Congruenza: I triangoli traslati sono congruenti (stesse misure).
• Parallelismo: I lati del triangolo traslato sono paralleli ai lati originali.
  • Esempio:
    • Se A'B' è parallelo ad AB, allora i triangoli corrispondono in una traslazione.

Applicazione delle Traslazioni a Punti

• Traslazione di un Punto:
  • Se P ha coordinate (x, y) e si vuole traslarlo di V = (a, b), allora:
    • x' = x + a
    • y' = y + b
  • Esempio: P(1, 2) traslato dal vettore (4, 3): P' = (5, 5).

Traslazione di Equazioni di Curve

• Quando si tratta di traslare una curva, come una retta, la procedura cambia:
  • Esempio: per la retta y = 3x, se si vuole traslarla del vettore (2, -3):
    • Utilizzare la trasformazione inversa:
      • x = x' - 2
      • y = y' + 3
  • Sostituzione nell'equazione originale per trovare la nuova equazione della retta traslata.

Esempi di Traslazione di Curve

• Curva Esempio: Parabola y = x² - 2x - 1 traslata del vettore (-1, 4).
  • Applicare:
    • x = x' + 1
    • y = y' - 4
  • Sostituzione nell'equazione originale e semplificazione per trovare la nuova equazione della parabola traslata.

Conclusioni

• Le traslazioni sono importanti per comprendere le trasformazioni geometriche.
• La stessa procedura di applicare la trasformazione inversa si applica a tutte le trasformazioni (simmetrie, rotazioni, ecc.).
• Consigliato riascoltare la lezione per chiarire i concetti.