व्याख्यान नोट्स: अनुमानों में मोमेंट्स की विधि

पिछले व्याख्यान की पुनरावृत्ति

• अनुमानों की विशेषताओं पर चर्चा की:
  • बायस
  • विचलन
  • वर्ग त्रुटि जोखिम (माध्य वर्ग त्रुटि)
• संभाव्यता और IID नमूनों के गुणों का उपयोग कर इन्हें कैसे गणना किया जाए, इसका अन्वेषण किया।

अनुमानों की डिज़ाइन का परिचय

• मोमेंट्स की विधि का उपयोग कर अनुमानों की डिज़ाइन पर ध्यान केंद्रित।

पैरामीटर और मोमेंट्स को समझना

• यदि एक यादृच्छिक चर X एक फ़ंक्शन (pdf/pmf) के अनुसार वितरित है, तो पैरामीटर (जैसे, θ₁, θ₂) अज्ञात हैं।
• वितरण से मोमेंट्स की गणना की जाती है:
  • प्रत्याशित मान (E[X]), E[X²], आदि।
• वितरण और उनके मोमेंट्स के उदाहरण:
  • बर्नौली(p): E[X] = p
  • पॉइसन(λ): E[X] = λ
  • घातांकीय(λ): E[X] = 1/λ
  • सामान्य(μ, σ²): E[X] = μ, E[X²] = μ² + σ²
  • गामा(α, β): E[X] = α/β, E[X²] = α²/β² + α/β²

नमूना मोमेंट्स

• दिए गए n IID नमूनों के लिए, नमूना मोमेंट Mₖ है:
  • Mₖ = (1/n) Σ(Xᵢᵏ) for k = 1, 2, ...
• नमूना मोमेंट्स यादृच्छिक चर होते हैं और विभिन्न नमूनों के साथ भिन्न होते हैं।
• केंद्रीय सीमा प्रमेय और बड़े संख्याओं का कमजोर नियम नमूना मोमेंट्स और वितरण मोमेंट्स के बीच समानता को उचित ठहराते हैं।

मोमेंट्स की विधि की प्रक्रिया

• नमूना मोमेंट्स को वितरण मोमेंट्स के साथ बराबरी करें:
  • अज्ञात पैरामीटर के लिए हल करें।
  • आमतौर पर, एक अज्ञात पैरामीटर के लिए एक मोमेंट ही पर्याप्त होता है।
  • यदि मोमेंट पैरामीटर का एक फलन नहीं है, तो दूसरा मोमेंट ढूंढें।

मोमेंट्स की विधि के उदाहरण

1. बर्नौली वितरण (p):

   • E[X] = p, इस प्रकार p = M₁।
   • अनुमानक: p̂ = M₁ (नमूना माध्य)।

2. पॉइसन वितरण (λ):

   • E[X] = λ, इस प्रकार λ = M₁।
   • अनुमानक: λ̂ = M₁ (नमूना माध्य)।

3. घातांकीय वितरण (λ):

   • E[X] = 1/λ, इस प्रकार 1/λ = M₁ → λ = 1/M₁।
   • अनुमानक: λ̂ = 1/M₁।

4. सामान्य वितरण (μ, σ²):

   • E[X] = μ, E[X²] = μ² + σ²।
   • समीकरण प्रणाली:
     • μ = M₁
     • σ² = M₂ - M₁²।
   • अनुमानक: μ̂ = M₁, σ̂ = √(M₂ - M₁²)।

5. गामा वितरण (α, β):

   • E[X] = α/β, E[X²] = α²/β² + α/β²।
   • समीकरण:
     • α/β = M₁
     • α²/β² + α/β = M₂।
   • α और β के लिए हल करें:
     • α के संदर्भ में β व्यक्त करें और प्रतिस्थापित करें।
   • अनुमानक: α̂ = (M₁²)/(M₂ - M₁²), β̂ = (M₁)/(M₂ - M₁²)।

6. बाइनोमियल वितरण (n, p):

   • E[X] = np, E[X²] = n²p² + np(1 - p)।
   • नमूना मोमेंट्स M₁ और M₂ का उपयोग कर n और p के लिए हल करें।

व्यावहारिक अनुप्रयोग

• नमूनों से अनुमानकों की गणना:
  • बर्नौली के लिए उदाहरण: नमूना में सफलताओं की गिनती।
  • पॉइसन के लिए उदाहरण: अंतरालों पर घटनाओं की गिनती।
  • सामान्य के लिए उदाहरण: नमूनों से माध्य और विचलन की गणना।

निष्कर्ष

• मोमेंट्स की विधि नमूना डेटा का उपयोग कर पैरामीटर का अनुमान करने का एक सरल तरीका है।
• अगला व्याख्यान अधिकतम संभावना अनुमान पर कवर होगा।