Ciao a tutti, benvenuti in questo nuovo video, come dal titolo farò un riassunto sulla meccanica lagrangiana e hamiltoniana. Prima di tutto, novità, sotto il video, nella descrizione, c'è un link che è la wishlist di Amazon, quindi per chi volesse supportarmi col canale, quindi non solo col soldi, può farlo anche attraverso libri, libri che andrebbero a complementare la mia preparazione già accademica per proporvi dei video di ulteriore qualità. Iniziamo subito, quindi senza troppe dimostrazioni né niente, andiamo a dire che un sistema viene studiato dalle coordinate q e la sua derivata q punto e si dice la grangiana del sistema una funzione L che dipende da q e q punto ed è data dalla differenza dell'energia cinetica che dipende da q e q punto meno il potenziale che dipende solo dalla coordinata q. Q è una coordinata completamente generica. L'equazione del moto di un sistema di particelle soggette a vincoli, le cui soluzioni, le cui forze ammettono un potenziale, sono date da questa seguente formula che viene chiamata equazione di Lagrange.
Ok, attenzione, quello che abbiamo scritto sopra, la Lagrangiana, invece qua abbiamo le equazioni di Lagrange, ovvero che la derivata rispetto al tempo della derivata parziale della Lagrangiana rispetto alla coordinata q, punto, meno la derivata parziale di L rispetto a q, e questa è posto uguale a 0. Questo è molto importante, da qua parte tutto lo studio ovviamente e diciamo che poiché... Noi abbiamo una Lagrangiana che non dipende dal tempo, effettivamente qua notiamo che dipende solo da una coordinata e la sua derivata. Noi diciamo che quindi effettivamente non dipende esplicitamente dal tempo, allora avremo una quantità, ok, che chiamiamo E di Q, che dipende da Q e Q punto, ok, che è conservata lungo tutte le soluzioni dell'equazione di Lagrange.
Lungo soluzioni. Equazione di Lagrange. Nello specifico, questa è una cosa molto importante, se noi chiamiamo L uguale a T meno V e ci troviamo in un sistema lagrangiano, attenzione, naturale, naturale, allora la quantità E di Q che dipende da Q e Q punto coincide con l'energia meccanica, che noi sappiamo che è la somma di energia cinetica più energia potenziale. Fondamentale, perché da questo poi si parte per definire ciò che andremo poi a dire che si chiamerà Hamiltoniana. Ora, uno fa uno studio analitico con le equazioni di Lagrange, tramite la meccanica lagrangiana, e oltre a trovarsi quindi le equazioni del moto di Lagrange, si vanno a vedere i punti di equilibrio.
I punti di equilibrio sono facili da trovare, o meglio, sono punti di equilibrio di un sistema lagrangiano, attenzione, si trova sempre in un sistema lagrangiano naturale, ok? E sono i punti per cui si annulla il gradiente del potenziale, quindi sarà la derivata parziale di V, che dipende da Q, rispetto alle coordinate. Questa deve essere posta uguale a 0. Si dimostra, noi non andremo a vedere, ma trovati quindi i punti di equilibrio, chiamiamolo Q0 punto di equilibrio, ok, di un sistema lagrangiano naturale, allora avremmo una cosiddetta linearizzazione dell'equazione di Lagrange in tal punto e questa è la forma seguente.
Ad 0. di x due punti più b di x uguale a zero, dove attenzione in questo caso x è uguale a q meno q con zero ed indica il discostamento dell'equilibrio. A con zero viene definita una matrice centrata nel punto q zero, questa viene chiamata matrice cinetica, ok? nel punto di equilibrio, ok?
B invece è la cosiddetta matrice essiana, la matrice essiana nel punto di equilibrio, ovviamente, dove B viene definita come le componenti, cioè righe e colonna IJ, dove B e IJ sono la derivata seconda del potenziale rispetto alle due. e coordinate, ovviamente centrate nel punto Q0. Qua servono nozioni di analisi 2. La linealizzazione trovata si fa uno studio, uno studio delle piccole, cosiddette piccole, oscillazioni.
Oscillazioni. Importanti perché da questo si va a risolvere un sistema... di questo tipo, meglio non un sistema, un'equazione agli autovalori, ovviamente vi allego nel link in descrizione anche degli esempi dei video concreti cui si risolve con la Lagrangiana e la Miltoniana, ovviamente non entriamo nei dettagli ma ci fermiamo da un punto di vista puramente teorico.
Tutto ciò che noi abbiamo detto nel corso meccanica analitica vengono esposti due... e grandi studi, ovvero il problema di Keplero, che non andremo a farlo adesso, ho già fatto i video inerenti a quello descrivendo le orbite dei pianeti, sempre il link sotto in descrizione, e si va a vedere lo scattering, o meglio, la diffusione delle particelle con l'esperimento di Rutherford per capire il modello atomico. O meglio, lui voleva verificare, stava scoprendo il suo modello. planetario del sistema atomico microscopico.
Ora, adesso dobbiamo fare il passaggio da Lagrange a Hamilton. Allora, quindi se si vuole quantizzare un sistema si deve prima passare per la funzione hamiltoniana. Lo vedete nei video in cui faccio i riassuntoni delle questioni di Shedring o altro, c'è sempre la hamiltoniana di mezzo, è una funzione. a cui si applica un algoritmo, quello che viene chiamato effettivamente quantizzazione, che permette di descrivere poi l'equazione di Schroedringer.
L'equazione di Hamilton, in questo caso, partono effettivamente prima da un concetto, ovvero dai cosiddetti momenti coniugati. I momenti coniugati sono estrettamente legati all'Hamiltoniana, quindi lo non... può elaborare solo con la meccanica miltoniana senza passare per quella lagrangiana. Un momento coniugato pj qualunque viene definito come la derivata parziale della lagrangiana rispetto alla coordinata q punto e j esima. Ovviamente la nostra lagrangiana dipende da q e da q punto.
Questi sono i momenti coniugati delle variabili qj. Ora 3 al voler quantizzare un sistema fondamentale quindi per la meccanica quantistica L dipende da Q e Q'. Diciamo che questa velocità non è sempre detta tra la sua derivata, non vogliamo. Vogliamo semplificarci un attimo in un sistema dinamico dove in questo caso abbiamo una funzione che noi chiameremo H che dipende dalla coordinata quindi una coordinata qualunque che noi chiamiamo Q, e dal momento coniugato, quindi la quantità di moto.
Effettivamente questo ci aiuterà tantissimo perché, sempre nei video in cui faccio il momento angolare quantistico, eccetera, ci permette di trovare gli operatori. Questo è fondamentale. E da cui noi abbiamo quindi sia una lagrangiana L, ok?
dove si assuma che sia possibile calcolare una Q, Q punto, in funzione di P, appunto proprio dei momenti coniugati, si indica una funzione H, che dipende da P e da Q, che viene definita in questo modo, somma dei Q punto K, P, K, meno L di Q, Q punto. Questa è la definizione di... a miltoniana dove q punto è uguale a 1 a q punto che dipende da p e q, dalle coordinate. Questa si dice funzione a miltoniana o a miltoniana del sistema Lagrangiano.
Per stare lì a basarci sui conti, se pensiamo a un sistema Lagrangiano naturale, avremmo che la miltoniana, la funzione miltoniana che dipende da p e da q, non è nient'altro che l'energia cinetica più L'energia potenziale, ovvero questo coincide con, la Miltoniana coincide con l'energia totale, questo è Effettivamente un concetto molto, molto importante. Ora, noi abbiamo un'Hamiltoniana H. Adesso dobbiamo trovare le equazioni di Hamilton. Attenzione, i momenti coniugati ci servono per ricondurci alla funzione Hamiltoniana, che, attenzione, deve dipendere da P e da Q.
Quindi ecco perché... e diciamo la Q punto non ci deve essere, dobbiamo utilizzare i momenti coniugati. Però abbiamo anche l'equazione di Hamilton.
L'equazione di Hamilton sono Q punto K, sarà la derivata parziale della miltoniana rispetto al momento P K e poi avremmo P punto K che è uguale a meno la derivata parziale della miltoniana rispetto alla coordinata Q K. Un altro argomento molto importante sono, nello specifico, le parentesi di Poisson, fondamentali perché poi vanno ad essere l'alter ego della meccanica quantistica e dei commutatori, e quindi poi del formalismo, del formalismo vero e proprio, anche assiomatico della meccanica quantistica. Allora, in questo caso consideriamo una Hamiltoniana, P e Q, ok? e consideriamo anche le equazioni di Hamilton, ok? E P di t e Q di t soluzioni dell'equazione di Hamilton.
Data una seconda funzione che noi chiameremo F sullo spazio delle fasi, ok? Si consideri quindi una funzione che dipende da P, da t e Q di t. E adesso andiamo a calcolare la sua derivata temporale. Adesso non sto a fare tutti i passaggi, ripeto, questo è un riassunto, per chi volesse invece posso parlare più nello specifico delle parentesi di Poisson, ma questo sarà effettivamente a sommatori che vada da k, che parte da 1 ad n, di cosa?
Della derivata parziale rispetto ad f di pk meno la derivata di h rispetto a n. cioè della miltoniana rispetto a qk, più la derivata di f rispetto a qk per la derivata parziale della miltoniana rispetto a pk. Questo è fondamentale, si tratta di un'espressione che presenta una simmetria molto notevole tra il ruolo della funzione h e quello della funzione f, quindi esiste simmetria tra h ed f. Effettivamente andremmo a definire parentesi graffa f ed h, queste vengono chiamate parentesi di Poisson di f ed h, come effettivamente la somma di k che va da 1 a n di cosa? Della derivata di f rispetto a q prodotto derivata di h rispetto a pk meno derivata di f rispetto a pk derivata di h rispetto a qk.
Queste sono le parentesi di Poisson. Se consideriamo una funzione f qualunque, quindi f è una funzione conservata lungo la dinamica hamiltoniana, scusate sto scrivendo male, lungo la... dinamica hamiltoniana e questo vale se e solo se le parentesi di poisson di f ed h sono proprio pari a 0 ok poi un'altra proprietà delle parentesi di poisson è che sono antisimmetriche ovvero parentesi poisson di f ed h è uguale a meno parentesi poisson di h ed f poi abbiamo Se abbiamo delle funzioni F1, F2 ed F3 vale l'identità di Giacobi.
Giacobi è identità. Identità di Giacobi. Ovvero parentesi passone di F1, a sua volta dentro parentesi passone di F2 e F3, più F2 e F3. F1 più F3, F1 F2, questo è uguale a 0, ovvero le parentesi Poisson sono lineari in ciascuno dei due argomenti. Lo specifico ci restituisce, allora scriviamo che quindi le parentesi di Poisson sono lineari in ciascuno dei due argomenti.
Quindi abbiamo C1 F1 più C2 F2, F3, questo uguale a C1, parentesi posson di F1 con F3, più C2, parentesi posson F2 con F3. Infine vale la proprietà di Leibniz, ovvero parentesi posson di F1 F2. F3 è uguale a F1, che moltiplica parentesi possone F2 e F3, più parentesi possone F1 e F3 per F2.
Attenzione, se valgono tutte queste proprietà si dice che ci troviamo nell'algebra, algebra di Li. Per concludere tutto questo bel riassuntone valgono alcune proprietà con le parentesi di Poisson, ovvero che parentesi di Poisson di QH e QK sono uguali a 0, parentesi di Poisson di PH con PK, quindi sono due momenti coniugati diversi, si intende questo, sono uguali a 0, e invece le parentesi di Poisson di QH con PK sono uguali alla delta di Kronecker, e che quando i pedici sono uguali o uguali a 1, altrimenti 0. Queste vengono chiamate le parentesi Poisson fondamentali. L'analogia è enorme poi coi commutatori in meccanica quantistica.
Coi commutatori si vede effettivamente come sia. È importante questa analogia. In un prossimo video, per chi fosse interessato e chi fosse arrivato a questo punto, posso parlare della miltoniana relativistica e della lagrangiana relativistica, sempre facendo un mini rassunto per spiegare un po'anche le implicazioni relativistiche. Per qualsiasi curiosità, qualsiasi dubbio, fatelo sapere nei commenti. Grazie a tutti.