Multimea numerelor reale

Noțiuni introductive

• Mulțime: colecție de obiecte distincte, notate cu litere mari (ex. A, B). Elemente notate cu litere mici (ex. a, b).
• Mulțimea vidă: nu conține niciun element, notată (\emptyset).

Submulțime și incluziune

• A este submulțime a lui B dacă fiecare element al lui A este și în B.
• Simboluri:
  • (A \subseteq B): A este inclusă în B.
  • (A \not\subseteq B): A nu este inclusă în B.
  • A = B dacă au aceleași elemente.

Operații cu mulțimi

• Reuniune: (A \cup B)
• Intersecție: (A \cap B)
• Diferență: (A \setminus B)
• Complement: (X \setminus A)
• Produs cartezian: (X \times Y)

Funcții

• Definiție: f : X \rightarrow Y asociază fiecărui x din X un y din Y.
• Funcții injective, surjective și bijective:
  • Injectivă: imagini diferite pentru elemente diferite.
  • Surjectivă: orice y din Y este imaginea unui x din X.
  • Bijectivă: injectivă și surjectivă.

Mulțimea numerelor reale (\mathbb{R})

• Modele: Cantor, Dedekind, Weierstrass.
• Axiome:
  • ((\mathbb{R}, +, \cdot, \leq)) este un corp ordonat complet.
  • Completitudine: orice submulțime majorată a lui (\mathbb{R}) are margine superioară.

Proprietăți ale numerelor reale

• Numerelor reale pozitive: (\mathbb{R}^+), negative: (\mathbb{R}^-).
• Teorema: (0 \cdot x = 0), ((x \neq 0) => (xy = 0 => y = 0)).

Șiruri și serii de numere reale

Șiruri

• Definiție: funcție (f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}).
• Monotonie: crescător, descrescător, strict crescător, strict descrescător.

Convergența șirurilor

• Definiție: (x_n \rightarrow L) dacă pentru orice (\epsilon > 0) există (N) astfel încât (|x_n - L| < \epsilon) pentru (n > N).
• Criteriul lui Cauchy: un șir este convergent dacă este Cauchy.

Serii

• Definiție: sumă a unui șir de numere reale.
• Convergența: seria este convergentă dacă șirul sumelor parțiale este convergent.
• Criterii de convergență: raportului, condensării, comparației.

Limite de funcții

Definiții

• Limită în punct: (\lim_{x \to a} f(x) = L) dacă pentru orice (\epsilon > 0) există (\delta > 0) astfel încât (|f(x) - L| < \epsilon) când (|x - a| < \delta).
• Limite laterale: la stânga și la dreapta._

Criterii de existență a limitei

• Trecerea la limită în inegalități: dacă (f(x) \leq g(x)), atunci (\lim_{x \to a} f(x) \leq \lim_{x \to a} g(x)).
• Operatii cu limite: suma, produsul, catul limitelor.

Asimptote

• Orizontale: dacă (\lim_{x \to \infty} f(x) = L).
• Oblice: dacă (\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = m) și (\lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = n)._

Funcții continue

Definiție

• O funcție (f) este continuă în (a) dacă (\lim_{x \to a} f(x) = f(a))._

Proprietăți

• Funcții compuse: continuitatea se păstrează la compunere.
• Operatii algebrice: continuitatea se păstrează la adunare, înmulțire.

Teoreme

• Teorema Weierstrass: un șir de funcții continue și uniform convergent are limită continuă.
• Bolzano-Weierstrass: orice șir limitat are un subșir convergent.