हेलो फ्रेंड्स यह लेक्शन में अपने M2 चा यूनिट 6 मदले मल्टीपल इंटेग्राल चा टाइप पाता होत तो आहे मोमेंट आफ इनर्शिया क्वेश्चन पव्या फाइंड द मोमेंट आफ इनर्शिया आफ वन लूप आफ लेमिनिस्केट आर स्क्रीड रिकॉर्ड टू एस क्वेर्स कॉस्ट टू थिटा अबॉट द इनिशनल लाइन शर्ट पहले वाटिस मोमेंट आफ दोनर, am I about x-axis and am I about y-axis? am I about x-axis is rho y-square dx dy and am I about y-axis is rho x-square dx dy जरका x-axis है तो y2 dx dy और y-axis है तो x2 dx dy तो यहां दोन पर हमने अपना formula भागता है और moment of inertia कौना का बात करना है तो यह laminate का बात है r2 is equal to a2 cos2 theta is also known as Bernoulli's laminate यह infinity पर देखता है यह इनफिनिटी लोग लेता है। यह बर्नॉलिज्ज लेमनिस्केट है। यह एक विशेष विशेष विशेष है। यह एक विशेष है। यह एक विशेष है। यह एक विशेष है। यह एक विशेष है। यह एक विशेष है। यह एक विशेष है। यह एक विशेष है। यह एक विशेष है। यह एक विशेष है। यह एक विशेष है। यह एक विशेष है। यह एक विशेष है। यह एक तो यहां लूप चाहिए, हम एक विशेष निर्धा करना चाहिए, अब इनिशियल लाइन का बात करते हैं, तो इनिशियल लाइन का बात करते हैं, तो इनिशियल लाइन का बात करते हैं, तो इनिशियल लाइन का बात करते हैं, तो इनिशियल लाइन का बात करते हैं, तो इनि जर यह कर्ब आल तो यह polar form में है, तो यहाँ पर पोलार में परवार करना चाहिए पोलार में परवार करना चाहिए x एकवाल टू आर्कॉस्थिता y is equal to r sine theta and dx dy is equal to r dr d theta. ये तीन सब प्रशिक्षन अपने लाग करेचा जासता. So, mi is equal to integration rho. रो एज़ डिस वाइज आर साइन थिटा पोल राकेट स्क्वेयर आर साइन थिटा स्क्वेयर डी एक्स डी वाइड आटी आर डी आर डी थिटा स्वत आपले लिमिट्स पूट कराइचे कुछ ले वेरियबल प्रेजेंट है तो वेरियबल है आर आनि थिटा एक line draw केली, एक arrow draw केला है, यह line start होते होते है गुटून, तो यह line start होते है अत्ता 0 पस्तुन, 0 पस्तुन start होते है अपने area मदे, और चल लिया गुटे, तो चल लिया यह laminate skirt कड़े, laminate skirt's equation है r square is equal to a square cos 2 theta, but अपने r होते है, so r का आशनार, तो r square है यह, तो r आशनार यह under root, that is under root of a square cos 2 theta, तो जो लिमिट है? खाली टच करते हैं जीरो और वर्ल टच करते हैं लामिनिस्केट ला अब थीटा नेमिट शुरू करना जीरो क्षम जीरो क्षम जो मैं एंटी क्लॉक वाज गया हूँ तो यह पाई बाई फोर पर जाऊं थांबेल करम बर्नोलिस लामिनिस्केट चा चारिटरिस्टिक्स है कि इत रिमेंज अब टू पाई बाई फोर पाई बाई फोर चा पोड़े ती नसते तो जीरो टू पाई बाई फोर यह चारिम जी निमिट पर जहें बगाया तहां पक्त अपर सर्कल जाने लाए अपर सर्कल लोवर सर्कल लगेने के लिए में इंटू टू करते हैं first quadrant मदला गेतला 0 to pi by 4, और fourth quadrant मदला में 2, 2 केला, तो मले है दोनी ही areas मिला लेले है, so अब माझा final task है, यह equation असर integration solve करेंगे, therefore, हाँ 2 as it is ठवला, और हाँ row बाहर गेतला, अथला sort करुँगे यहाँ, theta is equal to 0 to pi by 4, और r जाता है जिसका रूप में एक रूप है एक रूप में एक रूप है एक रूप में एक रूप है एक रूप में एक रूप है एक रूप में एक रूप है एक रूप में एक रूप है एक रूप में एक रूप है एक रूप में एक रूप r3, then sin2 theta, dr and d theta. So, अब आपको integration कराएँचा है, integrating with respect to आर जा अपन केला, तो थिटा 0 to pi by 4, d थिटा as it is, अता यातला with respect to आर करायाला, sine square थिटा है माझा constant, integration of r cube is r raised to 4 upon 4, 0 to a under root cos 2 थिटा. तो अब हम अपर और लोग लिमिट पूट करना चाहिए, तो यह दो रोग है, इस दो फोर यह हम बाहर करते हैं, तो यह दो रोग बाद फोर है, इस दो फोर का डिनोमिनेटर बाहर कर दे गया है, इस दो फोर का डिनोमिनेटर बाहर कर दे गया है, इस दो फोर का डिनोमिने� sin2 theta as it is, upper limit put कराएं तो a root cos2 theta raise to 4, upper limit raise to 4 हैं लो, minus lower limit हैं लोगा 0, और d theta as it is वर लाएं, so upper limit put के लिए, lower limit put के लिए, next part, 2 by 4, 2 by 4 is 1 by 2 So, भाहर रहेल रो बाई 2 भाहर रहेल है रो बाई 2 Then, next part Limits as it is थिटा is equal to 0 to पाई बाई 4 साइन स्क्वेर थिटा तसाज रहेल है साइन स्क्वेर थिटा Then ए रेस्ट फॉर ए रेस्ट फॉर अनि अंडर रूट मंजे वन बाई टू असताओ अंडर रूट मंजे वन बाई टू हा वन बाई टू इंटू और फॉर केला तटू रेल सो इट वेल बेकम कॉस्ट 2 theta raise to 2 अन्डरूट और फोर cancel के लिए तो उड़ता square and d theta अब यह पार्ट आप लेला उड़ लेला एसवाल कराला अब a raise to 4 is constant अब a raise to 4 बाहर काड़ला अपन 2 तो थिटा जीवन टू पाइ बाइ फूर का उड़ले साइन स्क्वेर थिटा उड़ले आणि कॉस्ट टू थिटा चा स्क्वेर उड़ले दी थिटा सो इत परिंट नूमरिकल सिंप्लिफाइड है अटा है अपने लाइट सॉल करेंज तो ये solve कैसे करना है? त्यासाथी एक important substitution put कराएँचा है अपने लाइक ते substitution है sin2 theta is equal to 1 minus cos2 theta by 2 ये substitution का कराएँचा है अपने लाइक? करने जो observe कराएँचा है तो इथे theta है और इथे 2 theta है ये दोनी angles match करने लाइक है तो ये substitution करना महत्वचा है तो रो ए रेस्ट फोर बाई टू तीटा इस इकॉल्ड जीरो टू पाई बाय फोर साइन स्क्वेर थीटा लाभी ले रहा है वन माइनस कॉस्ट टू थीटा अपन टू और हाँ कॉस्ट टू थीटा जा स्क्वेर आज इट इस और डी थीटा जरका तुम्हाले यह question पुड़े solve करायाचा आसेल, then you must have to convert this two theta's into some single variable. यहें double angle है, double angle ला बन single मदे convert करने आईटी मी क्या करता है, two theta ला तात्पुर्थ टी put करते हैं. तात्पुर्थ टी put केले ने क्या है यहें cos t है और यहें cos t है, so double angle जवन अपने ला single angle में. बाकि सगल चेंज देवनारे हैं यहें, two theta जी go to t जाले हैं मुए, derivative of theta 2 will be equal to dt तारे अंतर limits है चेंज़ विति थिटाचे लिमिट्स होते है 0 to पाई बाई 4 जर मैं यहाँ जिरो इथे पुट केला 2 into 0, 0, टी आला जिरो अथा पाई बाई 4 पुट केला इथे जर पाई बाई 4 पुट केला तो टू टूजा 4 विल तो टी उरेल पाई बाई 2 तो यह सगे सब्सक्रिप्ट इशन्स निथे पुट करते हैं हाटू बाहर आला तो विल रो एरेस्ट 4 बाई 4 हाटू बाहर गाडला है त्यान अंतर, theta ला convert केले t मदे, t जे limit साइद 0 to pi by 2, 0 to pi by 2, then 1 minus cos t, 1 minus cos t, and this is cos square t, यह कॉस्ट टू थीटा जाएगा जी कॉस्ट थीटा चा स्क्वेर मोड कॉस्ट क्वेर टी डी थीटा लेंचे अपने लाइट डी थीटा वाइन डी थीटा विल बी इकॉल टू डी टी अपन टू हाट टू थीटा देवन डिवाइड करलें लगें लेंचे अपने लाइट टू थीटा लेंचे अ खूब continue university चा paper मदे repeat होता है तो 6 mark ला, 60 mark ला so dt by 2 है लेबन अता हाँ 2 पराथ भाईर काड़िया तो उरेल अपला row a raise to 4 by 8 2 4 जा 8 आने काई काई उरेल है t is equal to 0 to pi by 2 हाँ कॉस्क्वेर ने वन ला मुल्टिप्लाय केले तो कॉस्क्वेर टीएल माइनस या कॉस्क्वेर ने कॉस्ला मुल्टिप्लाय केले तो कॉस्क्यूब टीएल और बाहर एल डीटी तो अब लिमिट्स है 0 to पाय बाई 2 तो अपन काई वापर सकतो तो अपन काई वापर सकतो तो अपन काई वापर सकतो तो अपन काई reduction चा simplified step शामत है, 8 नोए raise to 4 by 8, अपना अपना अंसर आलेला है cos 2 power गएची, खाली लेची और zigzag एक एक नी कमी करा जाएची 2, 1, संपल और even असेल तलेचा pi by 2, इस degree even उती मणबु मिले ला है, pi by 2 minus, इथे आए 3 हा 3 खाली लेला 2 और जिगजागली कमी करते हैं पर 2 नंतर 1 लिए 1 नंतर 0 चालत नहीं तो 1 नुस्ता लिया और आंसर शोड़ून दिया जर का 6 जाता है तो 6 5 4 3 2 1 और शोटी पाई बाई 2 लिया जाता है तो यह रिडक्शन ऐसा चॉल के लगा जाता है तो रोएश्ट 4 बाई 8 पाई बाई 4 माइनस 2 बाई 3 सो है simplify केले ने तर आंसर एनारे रो ए रेज्ट फोर बाई 96 3π-8 यह cross multiply करों, solve करों बाहर काड़िला, तो तुम्हारा चाहिए answer है MI but, हाँ MI चा answer in terms of rho आलेना है so, असा चालत नहीं, in terms of rho आलेला चालत नहीं, तेला आपले लाग convert करा लगता in terms of M तेला अपले लाग पुर्ची step कराईजा in terms of M अडने अटी M चा formula समझन के आदी M चा formula है rho, dx, dy यातुन अपने रो फाइन करायाचा है और तो रो या MI चा इथे पूट करायाचा है तर आंसर संपना रहे है शेवट ची स्टेप आये यातला रो काड़ायचा और तो इथे पूट करायचा तर संपना रहे है तैयार यहाँ नेकने सेकंड फॉर्मुला आप पड़ता है में इकॉल टो डबल इंटीग्रेशन रो डी ए यह दबल इंटेग्रेशन करें रोब, दिए दिए लेनारे में आर, दिआर और दी थिटा अब आर चे लिमिट्स और थिटा चे लिमिट्स आर चे लिमिट्स ते चे रहा रहे हैं, आर जीकॉल टू जीरो टू ए अंडरूट कॉस्ट टू थिटा थिटा चे लिमिट्स आजनारे जीरो टू पाई बाई फोर इंटू टू, इंटू टू आपन क्या केले है, बिकॉस हे दोन अपलेल एरियाव है तो वर्षिकाल चे, मुणे इंटू आपन टू केले तो आपको इस बारे में एक बार बाहर करें। m वाले 2 रोग बाहर निगाल है। तीटा वाले 0 तीटा पाई बाई 4 जैसे है। और डी तीटा जैसे है। अब आपको र का इंटेग्रेशन खाना चाहिए। र फक्त यही है। र का इंटेग्रेशन है। र का इंटेग्रेशन है र स्क्रूप बाई लिमिट 0 तीटा पाई अंडरूट पाई तीटा पाई। तीटा पाई। तीटा पाई। 2 रोग बाई theta is equal to 0 to pi by 4 m काड़ने simple है as compared to mi काड़ेला यहाँ तू बाहर काड़ ले ले हैं अपन तो इते बकता r square रूल है that is a under root cos 2 theta square minus lower limit 0 and d theta so 2 2 cancel उरला पकता row theta is equal to 0 to pi by 4, a-chā square, a-square, और root और square गया है, तो फक्त और ले, cos 2 theta, d theta, अब हम इथे reduction लाओ शकत नहीं, कार reduction सेटी limits पाएगे, 0 to 5 by 4, but cos आपने integration माहिति आए, row a-square, theta is equal to 0 to pi by 4 cos2 theta d theta मी का केले high square बाहर काडले so अता cos2 theta चे integration what is integration of cos2 theta integration of cos is sin2 theta divided by 2 cos2 theta चे integration असत sin2 theta divided by 2 and limit is 0 to pi by 4 so answer तो शेवट चा पाट ले लाए हा रो एस्क्वेर बाय 2 भाईर काटते हैं अपर लिमिट है साइन 2 पाई बाई 4 माइनस लोगर लिमिट है साइन 2 इंटू जीरो सो अपर लिमिट पूट केले लोगर लिमिट पूट केले रो एस्क्वेर बाई 2 साइन 2 पाई बाई 4 ताइज पाई बाई 2 साइन पाई बाई 2 इस 1 और साइन 0 इस 0 सो अपला M ताइज मास चा अंसर आ लिला है रो एस्क्वेर बाई 2 तो मैं सांगीत ले प्रमाने इतना row अपने ले इथे substitute कराएचा है इतना row काड़ने सटी बाकी सगाय गोष्टी m कड़े पाठवाएचा है तो row इस इकोल टू काई है तो 2 into m divided by यह a square यहाँ आला माझा row और यहाँ row substitute in mi तो mi चा formula लून गेते हैं यह mi काया होता so mi words रो एरेस्ट फोर बाय नाइंटी सिक्स री पाइ माइनस एड आप ला रोज सॉरी एमाइंड सॉएड में अधिमिन रोप पूट करते हैं एमाइंड बिल एकवार्ड टो रोड टू एम बाय इसको एरेस्ट फोर बाय 96 अ 3π-8 So, मी रोची मेलू पुट केले और ज़रे अपन सॉल केला तो फाइनल अंसर विल बे एकवल टू मा इस एकवल टू 3π-8 अज़ इट इस मा स्क्वेर अपन 48 48 इस विल बे माय final mi answer so आपने चाहत काई केले सगयात पहले mi find केला mi नंतर m find केला m मन रो काडला और ती रोची value परत mi मदे substitute केली तर मला mi चा final answer मिलता