Sinus, Kosinus und Tangens

Einführung

• Sinus, Kosinus und Tangens sind die wichtigsten trigonometrischen Funktionen.
• Sie beschreiben das Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck abhängig von einem der spitzen Winkel.

Definitionen

• Sinus (sin): Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse [ \sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} ]
• Kosinus (cos): Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse [ \cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} ]
• Tangens (tan): Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete [ \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} ]

Wichtige Funktionswerte

• Tabelle für Sinus, Kosinus und Tangens bei spezifischen Winkeln (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).
• Achtung: Tan für 90° ist nicht definiert.

Abhängigkeiten

• Mit einer gegebenen Seite und einem Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks können die restlichen Seiten berechnet werden.

Beispiele

• Hypotenuse gegeben: Berechnung der anderen Seiten mit Sinus und Kosinus.

Beispielrechnung

• Gegeben: Hypotenuse = 4, Winkel = 30°
  • Berechnung:
    • ( b = \cos(30°) \times 4 = 2 \sqrt{3} )
    • ( a = \sin(30°) \times 4 = 2 )

Rechenregeln

• Tangens als Quotient: ( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} )
• Trigonometrischer Pythagoras: ( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 )
• Additionstheoreme: Berechnung von Sinus und Kosinus einer Summe

Weiterführende Themen

• Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen.
• Trigonometrie am Einheitskreis.
• Darstellung der Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Übungsaufgaben

• Beispielaufgaben zur Berechnung von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck.
• Verschiedene Szenarien mit gegebenen Längen und Winkeln.

Resourcen und Weiterführendes

• Weitere Artikel zu verwandten Themen wie Einheitskreis, Sinusfunktion und Kosinusfunktion.
• Plattform Serlo.org als freie Lernressource.