8) Plattenkondensator und Elektrostatische Grundlagen

Meine Damen und Herren, noch einmal blüht Ihnen heute der Plattenkondensator. Sie werden sehen, man kann die unglaublichsten Sachen aus diesem einfachen Gerät ableiten. Wir werden heute immerhin über eine wichtige Eigenschaft des elektrischen Feldes sprechen, wo der Plattenkondensator uns interessante Aufschlüsse geben kann. Als Vorbereitung dazu möchte ich zunächst das mit Ihnen im Einzelnen durchführen, was diejenigen unter Ihnen, die bei den experimentellen Methoden anwesend sind, schon im Experiment vorige Woche gesehen haben, nämlich die Kraft zwischen den Kondensatorplatten eines Plattenkondensators. Dass da eine Kraft wirkt, ist verständlich, weil eine Platte ist. positiv geladen, die anderen negativ. Solche Ladungen ziehen einander an, also werden sich also auch diese Platten anziehen. Und das wollen wir uns zunächst einmal etwas genauer anschauen. Aber bevor wir das machen, möchte ich noch diese Formel in den Vordergrund stellen, die Sie jetzt schon gut kennen. Die Kapazität allgemein definiert als Q durch U und speziell für den Plattenkondensator Epsilon 0 mal a durch d. Hier möchte ich noch kurz erwähnen, dass sich diese Formel noch etwas erweitern wird, wenn wir dann zulassen, dass zwischen den Platten etwas anderes als Vakuum ist, nämlich ein Dielektrikum, ein nicht leitender Festkörper. Darüber etwas später. Jetzt reden wir davon noch nicht. Aber wichtig ist, dass man aus dieser Formel sieht, einerseits die Kapazität des Plattenkondensators nimmt mit der Plattenfläche zu. Das ist leicht verständlich. Größere Fläche, mehr Platz für die Ladungen und sie nimmt zu, wenn die Distanz zwischen den Platten abnimmt. Das haben wir bereits ausführlich besprochen. Ich möchte das nur noch illustrieren damit, dass es vor wenigen Jahren eine technische Neuentwicklung gegeben hat, die ich Ihnen nicht vorenthalten möchte, die elektrochemischen Doppelschichtkondensatoren. Und das sind Kondensatoren, die also auch im Prinzip so ähnlich aufgebaut sind wie ein Plattenkondensator. Wo aber die... dass der Abstand zwischen den beiden Elektroden nur wenige Moleküllagen dick ist. Und wenn man also da viele Größenordnungen gewinnt, indem man diesen Abstand sehr klein macht, kann man auch viele Größenordnungen bei der Kapazität gewinnen. Und es zeigt sich, dass man damit Kondensatoren mit Kapazitäten bis zu 5000 Farad erzielen kann. Das ist gewaltig, denn wenn Sie sich überlegen, das bedeutet dann, wenn man eine Spannung von 1 Volt zwischen den Elektroden anlegt, dass man da dann 5000 Coulomb speichern kann. Also gewaltig, können Sie sich vorstellen, was da dann auch für Wechselwirkungskräfte auftreten werden. Aber das geht eben, wenn man sich im molekularen Bereich befindet. Diese... Die elektrochemischen Doppelschichtkondensatoren, die haben eine Spannungsfestigkeit, aus jetzigem Stand der Technik bis zu 2,5 Volt. Also eine sehr beachtliche Möglichkeit, Ladungen zu speichern. Man hat es also sehr weit getrieben, wenn so ein Kondensator aufgeladen ist und man entlädt ihn dann zum Beispiel über eine Glühlampe. kann die ganz schön lang brennen, diese Glühlampe. Also man hat da große Ladungsmengen zur Verfügung. Also das noch um die Bedeutung dieser Beziehungen hier, die ich da in einer gleichen zusammengefasst habe. zu unterstreichen. Wir werden diese Beziehungen jetzt heute noch einmal gut brauchen können und sie sind Ihnen ja in der Zwischenzeit sehr geläufig geworden, davon gehe ich aus. Und wir wollen also jetzt davon ausgehen, die Kraft zwischen den Kondensatorplatten ausrechnen. Und da zeigt sich, dass ein guter Zugang über die Arbeit und über die Spannung geht, wie Sie gleich sehen werden. Wir überlegen uns folgende Situation. Wir betrachten einen Plattenkondensator, zwei Platten, deren Querdimension groß gegen ihren Abstand ist, so wie wir es bisher immer angenommen hatten. Und wir nehmen zunächst einmal an, dieser Kondensator sei ungeladen. Und dann schaufeln wir eine kleine Ladungsmenge Delta Q von der einen zur anderen Platte. Dazu ist keine Arbeit erforderlich, weil der Kondensator ist ja ungeladen, daher ist auch kein Feld, kein elektrisches zwischen den Platten, daher wirkt auch auf diese kleine Ladungsmenge Delta Q keine Kraft. Die kann man einfach da umgeschauter sozusagen hinüberlöffeln. Aber wenn man dann den Kondensator weiter aufladen möchte, dann ist er ja ein bisschen aufgeladen, weil dann ist auf der einen Platte ein Defizit von Minus Delta Q. Und die andere Platte hat eine zusätzliche Ladung plus Delta Q bekommen. Also da ist schon zwar ein kleines, aber doch ein elektrisches Feld vorhanden. Und jetzt setzen wir diese Art des Ladungsvorgangs fort. Jetzt schieben wir, schaufeln wir, löffeln wir das nächste Delta Q hinüber. Na ja, da müssen wir jetzt schon eine gewisse Arbeit verrichten. In dem schon vorhandenen Feld. die nächste Ladung Delta Q hinüberschaufeln. Und mit weiterem Schaufeln, ein Delta Q nach dem anderen, wird dieser Kondensator immer mehr aufgeladen und man muss immer mehr Arbeit verrichten, weil es wird ja auch das Feld zwischen den Platten immer mehr, immer stärker, wenn der Kondensator stärker aufgeladen ist. Daher muss man sich bei jedem Delta Q schon ein bisschen mehr Arbeit hineinstecken. weil ja die Kraftwirkung auf diese kleine Ladung Delta Q, die man da Schritt für Schritt immer wieder die nächste, die nächste, die nächste hinüberschaufelt, die Kraftwirkung wird immer größer, der Weg bleibt gleich, daher wird die Arbeit, die verrichtet wird, immer größer. Man hat also dann die Situation, dass man eben um den Kondensator von anfänglich ungeladenem Zustand auf eine gewisse Ladung Groß Q aufzuladen mit dieser Methode, die wir hier jetzt besprochen haben. Wir haben die Situation, dass da eine gewisse Arbeit investiert werden muss in diesen Kondensator, damit er so aufgeladen werden kann. Sie sehen also, da spielt bereits der Arbeitsbegriff hier eine große Rolle. Diese Arbeit können wir natürlich am besten dadurch uns klar machen, dass wir daran denken, dass die Arbeit und die Spannung, die elektrische Spannung in einem engen Zusammenhang stehen. Wir haben ja die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten in einem elektrischen Feld ja so definiert, dass es die Arbeit pro Ladungseinheit bei der Bewegung von dem einen zum anderen Punkt ist. Wenn es also jetzt darum geht, die Arbeit auszurechnen, die man braucht, um eine gewisse Ladungsmenge Delta Q da hinüber zu löffeln, dann ist die Arbeit, die man da braucht, natürlich die Spannung zwischen den Platten mal dieser Ladung Delta Q. Weil die Spannung ist die Arbeit pro Ladungseinheit, das müssen wir dann mit dem Delta Q multiplizieren. Und dann haben wir die Arbeit, die zu verrichten ist, wenn dieses Delta Q hinübertransportiert wird. Der erste Schritt, wie gesagt, ist zunächst einmal energetisch gesehen arbeitsmäßig gratis, weil im ersten Schritt ist noch gar keine Spannung. Das heißt, die Spannung ist null zwischen den Platten des anfänglich umgeladenen Kondensators. Aber im weiteren nimmt die Spannung zu. während der Kondensator ja aufgeladen wird, Schritt für Schritt, Delta Q für Delta Q, damit steigt also die Spannung und damit steigt auch die Arbeit, die man aufwendet, weil die Arbeit ist eben Spannung mal Delta Q. Und das wollen wir uns jetzt versuchen, etwas ausführlicher aufzuschreiben. Wir wollen sie nennen elektrische Arbeit. Also die Arbeit WE, die Work, Electrical Work, diese Arbeit WE, die wir verrichten müssen bei unserer Ladung, bei unserer Ladungsprozedur, die ergibt sich dadurch, dass wir über alle diese einzelnen Schritte summieren, bzw. wir können das auch als Integral aufschreiben. Integrale sind ja so praktisch. weil sie nichts anderes sind als Summenbildungen, wo man halt dann im Limes auf kleine Schritte übergeht. Also diese Delta Q, sie immer kleiner und kleiner macht, damit immer mehr und mehr Schritte macht, aber das ist ja dann ohne Belang. Also wir schreiben so ein Integral auf. Von der Anfangsladung 0 bis zur Ladung Q, auf die wir diesen Kondensator aufladen wollen. Und da drinnen steht U. dq, denn u ist die Arbeit pro Ladungseinheit zwischen den Platten und wenn man das mit dieser kleinen Ladung Delta q oder bei der Integration dann dq multipliziert, dann ist das gerade der Arbeitsbeitrag, der verrichtet werden muss bei schon vorhandener Spannung u, so im Zuge dieses Ladungsprozesses. wenn da halt so eine Ladung dQ hinübergeschaufelt wird. Und diese Spannung U, das ist wie gerade erwähnt ja nichts anderes als die Arbeit pro Ladungseinheit. Und gemäß der Definition der Kapazität ist dieses U auch Q durch C. Also in dem Fall ist es die Probeladung Q, die da... schon vorhanden ist durch die Kapazität C. Also dieses q, dieses q, ist die jeweils momentane Ladung des Kondensators, wie er da vorliegt, im Zuge des Ladungsvorganges und q durch c ist dann u, braucht man die beiden nur austauschen, q und c und man kriegt damit ja einen Ausdruck für die Spannung. Also das Q ist die momentane Ladung des Kondensators, dQ ist ein Löffelschritt des weiteren Aufladens. Die Kapazität ist eine Konstante für den festgelegten Kondensator, jetzt 1 durch c geht vor das Integral und wir können daher ein Integral von 0 bis Q aufschreiben, QdQ. Das ist natürlich leicht zu integrieren, denn das ist q hoch 1 integriert ist q hoch 2 halbe, q Quadrat halbe in den Grenzen von 0 bis Q. Also was überbleibt ist das 1 durch c und dann kommt q Quadrat halbe. minus 0 Quadrat halbe, f von b minus f von a, Hauptsatz der Differenzialintegralrechnung. Also Sie sehen, diese Arbeit während dieses etwas merkwürdigen mechanischen Löffelvorgangs, so Schritt für Schritt zur Aufladung, lässt sich relativ leicht ausrechnen. Also diese Arbeit muss man investieren, um den Kondensator mit Kapazität c von anfänglicher Ladung 0 auf die Ladung Q aufzuladen. Und das lässt sich jetzt in zwei Weisen umformen, was ich gleich machen werde. Beide dieser Formen werden wir heute noch verwenden, um damit entsprechende Schlussfolgerungen zu ziehen. Das eine ist, wir können also aus dieser Form schreiben, das WE ist ein halb mal. Also q² durch c, das ist dasselbe, was da oben steht. Und wenn man also jetzt dafür das q gleich c mal u einsetzt, wie es sich aus der allgemeinen Definition ergibt, dann haben wir also, das ist 1 halb mal c² u². Durch c, statt q haben wir cu eingesetzt. Da können wir natürlich jetzt einmal durch c kürzen und kriegen ein halb mal c mal u². Das ist eine Form, in die wir diese Arbeit, die da hineingesteckt werden muss, umformen können. Die andere Form schaut... sehr analog aus, aber doch etwas anders. Wir formen das jetzt so um, wieder von hier ausgehen, dass wir wieder anfangen mit einem Halb mal Q mal Q durch C. Das ist wirklich ident. Ein Halb mal Q mal Q durch C. Völlig einfache Umformung. Ja, aber dieses Q durch C, das ist eben Q durch C, die Spannung U. Das ist also ein Halb mal Q mal U. Und das können wir natürlich leicht weiter umformen, weil beim Plattenkondensator haben wir ja gesehen, U ist gleich E mal D. Alle unsere Goodies müssen wir natürlich jetzt einsammeln, die wir da schon haben. Das ist ja auch sinnvoll. Also bleibt da stehen. ein halb mal und dann haben wir Q mal E mal D. Diese beiden Beziehungen werden wir jetzt in weiterer Folge heute verwenden. Zunächst einmal setzen wir bei dieser zweiten Beziehung an. Der Vorteil dieser zweiten Beziehung für jetzt einmal, für die Anwendung zur Berechnung der Kraft zwischen den Kondensatorplatten ist, dass wir aus dieser Beziehung da unten sehen, dass die Arbeit, die wir aufwenden müssen zur Ladung des Kondensators aus anfänglich umgeladener Situation bis auf die Ladung Groß Q, dass die abhängig ist. von der Distanz zwischen den Platten. Jetzt haben wir gesagt, wir lassen den Kondensator wie er ist. Wir halten die Distanz konstant und wir halten die Größe der Platten konstant. Aber jetzt können wir uns doch einmal überlegen, was würde denn passieren, wenn man bei dem Kondensator d mit Abstand d den Abstand um ein kleines Delta d verändern würde. Also... Änderung des Plattenabstandes. Aufgrund dieser Beziehung, die ich hier jetzt gerade gezeigt habe, ergibt sich also eine Veränderung auch des Delta W. Denn wir kriegen dann das Delta W E. Sonst bleibt die Ladung und die Feldstärke konstant. Wir haben dann 1,5 mal Q mal E mal Delta D. Wenn man das d um ein Delta d verändert, wird sich das we um ein Delta we verändern. Also Sie sehen, da steht Delta we ist so ein Vorfaktor mal Delta d. Naja, und jetzt weiß man aber andererseits aus der Definition der Arbeit, und es handelt sich ja um eine Arbeit, dass wir ja haben, wenn wir eine... gewisse Arbeit Delta W hier investieren, wenn die Platten sich um Delta D in ihrem Abstand ändern, dass das die Kraft zwischen den Platten sein muss. Weil Arbeit ist Kraft mal Weg, wenn Kraft und Weg in die gleiche Richtung zeigen. Also dieser Ausdruck hier ist der Betrag des Kraft... zwischen diesen beiden Platten. Man kann dann eben auch schreiben, dieses f, der Betrag von diesem f-Pfeil ist eben d, w, e. nach dd, also das ist das Differenzieren und das ist die Distanz zwischen den Platten, was soll man machen? Man hat halt dann mehrfach so gleichartige Bezeichnungen. Nun, das dwe nach dd, wenn man das hier hernimmt, ist eben einfach ein halb mal q mal e. Und das ist für uns jetzt schon ein wichtiges Zwischenergebnis, weil dadurch kann man also schon sehen, wie man die Kraft zwischen den Kondensatorplatten ausrechnen kann. Und das, was an der Formel vielleicht jetzt für Sie überraschend sein kann, ist der Umstand, wieso da ein Faktor 1,5 drinnen steht. Denn was wir ja schon kennen... Von der Definition der elektrischen Feldstärke ist, dass die elektrische Feldstärke die Kraft pro Ladungseinheit ist. Also würde man doch sagen, dass die Kraft daher Feldstärke mal Ladung sein muss. Kraft auf die Ladungseinheit mal der Ladung ist die Kraft. Und jetzt ist dieser komische Faktor ein Halb, den wir uns hier bei der Integration QdQ eingezogen haben. Q² halbe, wieso? Das muss ja irgendeine vernünftige physikalische Interpretation haben. Na manchmal liegen die Dinge relativ kompliziert, da hat man dann oft nicht so eine einfache, popularisierfähige Interpretation sozusagen. Aber hier geht das. Und das möchte ich Ihnen möglichst in wenigen Worten klar machen. Wir haben ja bei dem Kondensator die Situation, dass wir die Ladung plus Q auf der einen, die Ladung minus Q auf der anderen Platte haben. Und beide Platten, jede für sich, tragen zu dem elektrischen Feld zwischen den Platten bei. Die Plusplatte, da gehen die Feldstärkevektoren Richtung zu Minus und bei der Minusplatte gehen die Feldstärkevektoren ebenfalls Richtung zu Minus. Das heißt, aus Symmetriegründen liegt auf der Hand, jede dieser beiden Platten trägt jeweils die Hälfte zu dem gesamten elektrischen Feld zwischen den Platten bei. Und außerdem, das haben wir ganz am Anfang schon besprochen, dadurch, dass die sich ladungsmäßig in Summe kompensieren, ist der Außenraum feldfrei. Das ist ja das große Gute bei Kondensatoren, dass der Außenraum feldfrei ist. Also wir haben hier die Situation, dass jede der beiden Platten je eine Hälfte zu dem gesamten Feld E zwischen den Platten beiträgt. Dieses E, was hier drinnen steht und was hier drinnen steht, ist die gesamte Feldstärke des Feldes zwischen den Platten. Wenn ich jetzt an der Kraftwirkung der einen Platte auf die andere interessiert bin, dann ist es natürlich so, dass wir davon ausgehen müssen, die Kraft kommt dadurch zustande, dass eine der beiden Platten sich im Feld der anderen Platte befindet. Und daher aufgrund dessen eine Kraftwirkung erfährt. Aber der Feldanteil, der von ihr selber stammt. der macht ja auf sie keine Kraft, weil die Platte auf sich selbst ja keine Kraft ausübt. Sie befindet sich nur im Feld der anderen Platte. Das eigene Feld, das ja auch die Hälfte zum gesamten Feld beiträgt, das wirkt auf sie ja nicht, weil sie ja auf sich selbst keine Kraft ausübt. Das ist was ähnliches. Das ist auch der Grund, warum ich das vor ein paar Stunden schon gemacht habe. Was ich Ihnen schon erklärt habe, wenn wir eine Ladung als felderzeugende Punktladung ansehen und eine Probeladung in das Feld dieser Punktladung hineinbringen und jetzt sagen, wie groß ist die Kraft. Und da haben wir gesagt, das ist nichts anderes als q mal e. q ist die Größe der Probeladung, klein q mal e. Und e ist das Feld, das von der anderen Ladung kommt. Und da könnte man wieder sagen, ja was kann man doch so nicht sagen, weil diese kleine Probeladung Q macht ja selbst auch ein Feld und man müsste ja das Gesamtfeld beide hernehmen. Muss man nicht, weil diese Probeladung Q ja auf sich selbst keine Kraft ausübt. Deswegen ist es so, dass wir uns da sozusagen die Sache einfach machen können. Wir brauchen nur... das Feld dieser felderzeugenden Punktladung Groß Q hernehmen, schauen nur das an, setzen uns mit der kleinen Probeladung Klein Q dort hinein und die Kraft aus dieser Probeladung ist nichts anderes als die Feldstärke, die nur von der felderzeugenden Ladung herkommt, mal der Ladung dieser kleinen Probeladung. Und das hat uns auch gar nicht sonderlich beunruhigt, das war eigentlich eh klar. Aber hier haben Sie jetzt eine völlig analoge Situation. Nur, dass jetzt die beiden Platten da so gleichberechtigt nebeneinander stehen. Und man würde natürlich ohne Nachdenken einmal sagen, klar ist da F einfach nur gleich Q mal E. Aber das Feld, das maßgeblich ist für die Kraftwirkung der einen Platte auf die andere, ist nur das Feld, das von der anderen Platte herkommt. Und das ist die Hälfte des gesamten Feldes. Das wird multipliziert mit der Ladung der ersten Platte und liefert damit die Kraft, die die eine Platte auf die andere ausübt. Und dann kann man natürlich auch Bäumchen wechseln machen und sich auf den Standpunkt der anderen stellen und das liefert dann entsprechend die andere Wechselwirkungskraft und das passt natürlich Gott sei Dank sehr gut mit Newton 3 zusammen, dass eben Actio est Reactio. dass die Kraft des einen Körpers auf den anderen bei der Wechselwirkung gleich groß ist, aber entgegengesetzt orientiert, so wie es sich für Wechselwirkungskräfte gehört. So, jetzt habe ich lange geredet und jetzt frage ich Sie, ob Ihnen diese Interpretation verständlich erscheint und ob Sie Fragen dazu haben. Na ja gut, dann sehen Sie, das was uns da diese Integration so elegant geliefert hat, hat auch eine vernünftige Interpretation und man kann auf diese Art und Weise die Kraftwirkung sofort ausrechnen. Und das hat einen großen Vorteil, den Sie schon in den Methoden, den experimentellen Methoden vergangene Woche gesehen haben, nämlich man kann sich das jetzt ganz konkret ausrechnen. Nachmessen. Und damit die elektrische Feldkonstante bestimmen. Ganz einfach. Denn in dieser Gleichung können wir ja das Q einmal ersetzen. Das Q ist C mal U. Und dieses c mal u, das c ist y0 a durch d, ist y0 a durch d mal u. Andererseits das e, das hatten wir ja auch schon, das e ist nichts anderes als u durch d. Also wir können sofort einsetzen, das e ist gleich u durch d. Und mit diesen beiden Gleichungen... die alle uns jetzt schon lang bekannt sind, jedenfalls etliche Tage hier, kriegen wir, dass dieses f betragsmäßig gleich ist, das 1,5 bleibt da stehen, das führen wir da hier natürlich mit und dann haben wir also, schreiben wir es einmal langsam auf, y0 mal a durch d mal u und da haben wir dann, äh... Epsilon 0 mal A durch D mal U und dann mal E und E ist U durch D, da haben wir noch ein U und noch ein D und wir sind schon fertig. So einfach lässt sich also die Kraftwirkung zwischen den zwei Platten eines geladenen Plattenkondensators ausrechnen. Und jetzt sehen Sie die Kraft. Die kann man natürlich durch eine geschickte mechanische Anordnung, meistens nimmt man eine Waage dazu und bedient sich der immer vorhandenen Gravitationskraft als entsprechende Hilfe sozusagen, um eine schöne Kraft, eine definierte, zustande zu bringen. Man könnte es auch mit einer Feder machen, aber das geht nicht so gut. Die Waage und die Massenstücke, da kriegt man genauere Messmöglichkeiten. Also das kriegt man in Newton heraus und kann man mechanisch bestimmen. Na gut, die Plattenfläche und die Plattendistanz, das sollte kein Problem sein. Das sind einfach Distanzen und Flächen, die man halt bestimmt. Bleibt nur das u². Und wenn man also da ein geeichtes Voltmeter verwendet hat, hat man das auch. Und was überbleibt hier ist nur das y0. Und dieses y0... kann man dann aus dieser Beziehung rein mechanische Messung und Bestimmung der Spannung zwischen den Platten dann sofort ermitteln. Und man kommt dann natürlich, wenn man es richtig macht, auf die Größe, die auch bereits von vornherein wir uns festgelegt haben, definitorisch festgelegt haben. Ich habe das natürlich nicht auswendig im Kopf. Aber ich schreibe es Ihnen jetzt noch einmal dazu. Das war, wo habe ich es, 8,85 mal 10 der minus 12. Und wenn man sich da den Ausdruck mit der Spannung und so weiter anschaut, was herauskommt, ist Ampersekunden durch Voltmeter. Ampersekunden, das ist die Einheit, die wir auch Coulomb bezeichnen, die Ladungseinheit. Und Voltmeter kommt da entsprechend auch her, aufgrund dieser Gleichung hier kann man sich also sofort herleiten, wie das ausschaut. Also man kann auf diese Art und Weise das Epsilon 0 experimentell bestimmen. Jetzt werden Sie sich vielleicht denken, das ist doch eigentlich ein Unsinn. Wir haben ja dieses Epsilon 0 vorher definitorisch festgelegt und jetzt messen wir es auf einmal. Was also jetzt? Das ist genauso wie mit der Lichtgeschwindigkeit. Ursprünglich hatte man bei der Messung der Lichtgeschwindigkeit natürlich damit begonnen, dass man gesagt hat, man kann also sowohl die Zeit mit einer entsprechenden Basiseinheit der Sekunde und die Länge mit einer unabhängigen absoluten Basiseinheit, dem Meter, meinetwegen auch dem Urmeterstab, festlegen. Dann muss man die Lichtgeschwindigkeit C0 messen. Heute, seit etlichen Jahren, macht man es so, dass man sagt, nein, wir hauen diesen Urmeterstab weg. Wir definieren es so, die Länge eines Meters ist die Distanz, die das Licht im Vakuum in einer bestimmten kurzen Zeit zurücklegt. Damit aber ist die Lichtgeschwindigkeit zu einer Definitionsgröße geworden. Aber die Längeneinheit wird dadurch definiert. Hier ist es so, wenn man das Y0 definitorisch festlegt, dann kriegt man hier die elektrische Größe U in Volt heraus und hat dann die Einheit Volt realisiert und kann damit schauen, ob die Eichung des Voltmeters, was wir da verwendet hatten, korrekt ist. Na, das ist nicht sehr aufregend. Es ist interessanter, davon auszugehen, das Voltmeter zeigt eh das Richtige. Und wir schauen jetzt an, was bei dem Epsilon 0 herauskommt. In völlig analoger Weise wie bei der Drehspiegelmethode für die Lichtgeschwindigkeitsbestimmung, da hätte man ja auch sagen können, wir wissen, was herauskommen muss. Und wir können damit nachschauen, ob unsere Maßstäbe... mit denen wir die Länge des Lichtweges ausgemessen haben, richtig waren. Naja, das ist ja auch nicht gerade etwas, was einem vom Sessel reißt. Nachschauen, ob der Maßstab jetzt richtig war. Da gehen wir davon aus, der stimmt gut genug und messen uns nach, was kommt da für eine Größenordnung für die Lichtgeschwindigkeit heraus. Also, Sie sehen es in dem einen wie im anderen Fall. Eine Frage des Zuganges. Aus heutiger Sicht ist das Epsilon 0 die Definitionsgröße und es kommt dann noch die magnetische Feldkonstante. µ etwas später auch als eine Definitionsgröße hinzu. Und daraus ergeben sich in eindeutiger Weise die wesentlichen Einheiten der Elektrodynamik. Oder wir gehen davon aus, wir können Spannungen messen und dann schauen wir nach, was bei dem Y0 herauskommt. Also hier eben diese Interpretation, um das für Sie klar zu machen. Aber was jetzt noch wesentlich interessanter und wichtiger ist, ist das, was ich jetzt mit Ihnen durchbesprechen möchte. Nämlich, wenn wir also jetzt das einmal gut verstanden haben, dann schauen wir uns also an, wie jetzt wirklich der Energiegehalt des Kondensators ausschaut. Den rechnen wir uns jetzt aus. Und da gehen wir jetzt von der ersten dieser beiden Formeln aus. Das ist hier praktischer. Beide sind gleichermaßen gleichberechtigt. Jetzt haben wir zunächst die verwendet, weil da das D drin steht. Das D interessiert uns jetzt zunächst einmal nicht so ganz so wichtig, daher verwenden wir diese Formel für das WE. Also wir rechnen uns aus die Arbeit noch einmal. die man aufwenden musste, um so mit schrittweisem Löffeln, wie ich Ihnen das schon erklärt hatte, den Kondensator von anfänglicher Ladung 0 auf seine Endladung Q mit Spannung U aufzuladen. Und das ist also nach dem, was da steht, 1,5 mal C mal U². Und diese Arbeit, die man da also in vielen Löffelschritten sozusagen mechanisch hineingesteckt hat, kann man dann sagen, hat man in den Kondensator investiert und das ist jetzt die Energie, die in dem Kondensator drinnen steckt. Die wir eben mechanisch bei diesem Ladevorgang hineingesteckt haben. Also diese Energie... steckt jetzt in dem Kondensator drinnen. Naja, und da wollen wir also jetzt einsetzen für C und für U. Das C, das haben wir ja jetzt schon x-mal gesagt, ist ja nichts anderes als Epsilon 0 mal A durch D. Das U hatten wir auch schon mehrfach. Das U ist nichts anderes als E mal D. Da haben wir E ist U durch D, U ist E mal D. Und mit den beiden können wir also jetzt da oben einsetzen und kriegen damit dieses WE heraus. Also ein ganz analoger Vorgang, den wir jetzt machen. So wie da, da sind wir halt auf die Kraft losgegangen, so machen wir es hier jetzt mit diesem WE. Und was kriegen wir heraus? Das WE ist also gleich ein halbmal. schreiben wir es einfach der Reihe nach auf. Epsilon 0 mal a durch d und dann mal u², das ist mal e², d². Na ja, da geht dieses d gegen das Quadrat da oben weg. Und was bleibt also dann stehen? Wir haben ein halbes Mal. Ein halb mal. Und da steht zunächst, wenn wir das rausnehmen, also schreiben wir zuerst einmal das Epsilon. Nein, zuerst schreiben wir einmal das A mal dem D daher. A mal D. Und dann bleibt uns noch stehen Epsilon 0 mal E². Also das ist wirklich einfachste Arithmetik, was ich da für Sie herschreibe. Ich hoffe, Sie sehen auch, wie gutartig unser guter alter Plattenkondensator ist, weil es uns ermöglicht, mit wenigen einfachen Rechenschritten zu interessanten Ergebnissen zu kommen. Man kann also die Arbeit, die man da hineingesteckt hat, und damit also den Energieinhalt des Kondensators, In der Weise aufschreiben. Da ist also wieder einmal die Methode des kontinuierlichen Anstarrens angesagt. Schauen Sie einmal genau hin. Was fällt Ihnen da auf? Fällt Ihnen was auf? Ist da irgendwas, was einem jetzt durch diese Umordnung, die ich da durchgeführt habe, jetzt sichtbar wird? Schauen Sie einmal hin. Genau. Was hier steht, ist die Plattenfläche mal den Abstand der Platten. Das ist doch super. Das ist einfach das Volumen zwischen den Platten. Also was das ist, ist das Volumen, schreibe ich gleich her, des Feldes. Zwischen den... Platten. Und sonst wo ist kein Feld. Denn außen ist Feld frei und er ist eh unendlich groß. Und wenn er ganz unendlich groß ist, dann sind diese Randerscheinungen da draußen so unwichtig, dass wir das also eben vernachlässigen wollen. Wir wollen eben die Situation so machen, dass diese Situation sich wirklich in guter Näherung als ein dimensionales Problem darstellen lässt. Das ist dann der Fall, wenn die Querdimension der Platten groß gegen ihren Abstand ist. Das haben wir ja von vornherein immer so vorausgesetzt. Weil sonst wird der Plattenkondensator viel komplizierter. Wenn man sich um diesen grauslichen Rand genauer umschauen muss, dann verlieren wir ja unsere ganzen Vorteile, die wir da haben. Also da steht das Volumen des Feldes zwischen den Platten. Und das, meine Damen und Herren, Das veranlasst uns jetzt und hat die Physiker veranlasst, dass man diese Energie, die man da jetzt diesem Plattenkondensator zuschreibt, als hineininvestierte Arbeit, dass man diese Energie nicht zum Beispiel irgendwo auf den Plattenelektroden lokalisiert, gewissermaßen. Weil dann würde man sagen, sie müsste nur proportional zu A sein. Aber es ist proportional zu A mal D. Und daher ist es wohl sinnvoller, diese Energie nicht in Platten oder in Zuleitungen zu lokalisieren, sondern im Feld. Aber das ist natürlich schon eine ausgefallene Geschichte. Weil es ist ja nur Vakuum zwischen den Platten. Und ein Feld, na was ist das schon groß, wir reden immer von Feld, aber eigentlich ist ja das nichts. Das Feld, das sind halt die elektrischen Feldstärkevektoren. Aber hier und jetzt, meine Damen und Herren, kriegt dieses komische Feld eine unmittelbare physikalische Interpretation. Obwohl es eigentlich nichts ist, ist es Träger von Energie, weil eben diese Energie, die man da in diesen Kondensator mechanisch hineingesteckt hat, bei diesem Ladungsvorgang mit diesem Schaufeln da, mit dem Löffeln, weil sich die sichtlich in diesem Volumen oder proportional zu diesem Volumen ist und daher dem Feld zuzurechnen ist. Das ist also eine ganz wesentliche Interpretationssache, die ich Ihnen an der Stelle eben mit Hilfe dieser Proportionalität zu A mal D klar machen möchte. Es sind oft gar nicht nur die kompliziertesten Rechnungen, die dann zu großen Schlussfolgerungen führen. Das war doch wirklich nicht schwer, was wir da gemacht haben. Und führt bereits zu einer so tiefbrechenden... Schlussfolgerung. Das heißt also, wir gehen davon aus, das elektrische Feld ist Träger der Energie und die Energie da ist einfach ein Halb mal Feldvolumen mal E Epsilon Null mal E Quadrat. Dann liegt es aber auf der Hand, dass man das auch noch entsprechend verallgemeinern kann. Dann kann man sie nämlich auf die Volumseinheit beziehen und kann sie ausrechnen. Es ist immer wieder pro irgendwas. Das ist überall in der Physik. Deswegen darf man auf das dann auch nicht vergessen. Pro was ist denn das jetzt? Und jetzt machen wir es pro Volumseinheit. Wir schauen uns damit an, wie groß denn jetzt die Energiedichte des elektrischen Feldes ist. Die Energie pro Volumseinheit. Da dividieren wir durch das Volumen. Die übliche Dreisatzrechnung. Für das Volumen einmal das, die Energie so groß. Für das Volumen 1 ist dadurch einmal d wie in der Volksschule. Es ist sonst nichts. Also kriegen wir damit die Energiedichte, die wir dann mit klein w bezeichnen, weil das eine Punkteigenschaft ist, so eine differenzielle Eigenschaft, sowie Masse und Massendichte. Die Masse ist also ein richtiges gestandenes m und die Dichte, die Massendichte ist also ein kleines Rho. Und da haben wir die entsprechende Situation hier. Also die Energiedichte ist daher 1 halb mal Epsilon 0 mal E². Und das ist bereits eine ganz tiefgehende Grundgleichung der Elektrodynamik. Wir haben hier die elektrische, wir müssen natürlich wieder ein E dazu schreiben, die elektrische Energiedichte des Feldes. Und Sie werden dann sehen, wenn wir über die magnetischen Eigenschaften reden, dann kommt auch eine magnetische, ein magnetischer Anteil. der Energiedichte des ganzen elektromagnetischen Feldes dazu. Und das schaut, Sie werden es jetzt schon erwarten natürlich, weil das ja alles recht schickt aufgebaut ist da, das schaut ähnlich aus. Also ich glaube, Sie können schon sehen, dass insbesondere jetzt auch der Faktor 1,5, auf dem ich da oben so herumgeritten bin, warum denn dieses 1,5, wo man sich denkt, mein Gott, Faktor 1,5, was ist das schon? Na gut, es ist schon was. Ob ich 100.000 Euro oder 200.000 Euro gewinne, ist ja auch nicht dasselbe. Also so ein Faktor 2, das ist schon was. Und gerade wenn es dann um so fundamentale Dinge geht, kann man das nicht einfach wegschmeißen. Man tut zwar hier und da schon was von Nachlässigem in der Physik, aber man muss dann auch die Kirche im Dorf lassen. Gewisse Dinge, die müssen dann schon bieten bleiben richtig, sonst macht man große Fehler. Also das 1,5 ist hier ein wichtiger Faktor zur Beschreibung der Energiedichte. So, das wollte ich Ihnen einmal zu dem Thema sagen. Ich frage Sie jetzt wieder zwischendurch, ob es also irgendwelche Fragen dazu gibt. Ob das für Sie plausibel war oder Ihnen ganz blöd erscheint und warum. Also nachdem ich nicht hoffe, dass Sie jetzt alle nur gar nicht zugehört haben und überhaupt nicht wissen, um was es geht, gehe ich eigentlich positiv und optimistisch denkend davon aus, dass Sie also so im Prinzip verstanden haben, um was es geht. Aber Sie sehen schon, das möchte ich schon betonen, dass man also schon die Vorstellungskraft sehr dehnen muss, stretching your mind, würde ich mal auf Englisch sagen, dass man so etwas akzeptieren kann, dass da so ein leerer Raum... zwischen den Kondensatorplatten, wo halt so was ist, was wir als Feld bezeichnen, dass der auf einmal eine Energie enthält. Das kommt einem ja schon irgendwie ganz komisch vor. Aber vielleicht hilft es auch, dann zu betonen, was ich vielleicht ganz am Anfang schon einmal erwähnt hatte, dass das schon andererseits für uns gar nicht so unvorstellbar ist. Denn wenn man jetzt davon ausgeht, neben dem elektrischen Feld, hat auch das magnetische Feld eine Energiedichte. Die heißt dann Wm. Und da kommt man auf etwas Ähnliches. Da werden Sie schon sehen. Und daher hat das gesamte elektromagnetische Feld die Summe dieser beiden Energiedichten. Und da können Sie sich jetzt schon vorstellen, so ganz dumm und von der Hand zu weisen ist das nicht. Denn... Und es zeigt sich dann in weiterer Folge, und wir kommen dazu, also wenn man nicht in der Zwischenzeit der Schlag trifft, kommen wir sicher dazu in diesem Semester, dass es ja auch die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen gibt. Das zeigt sich dann, dass dieses Phänomen vorhanden ist aufgrund der vier Maxwell-Gleichungen, von denen wir bisher aber erst eine haben. Und das... Das zeigt dann natürlich, wenn sich elektromagnetische Wellenfelder wohin ausbreiten können, dass die dann auch ihre Energie mitnehmen. Die breitet sich dann auch aus, wo zuerst keine war, weil gar kein Feld da war. Und jetzt breitet sich dort eine elektrische, magnetische Welle mit einer gewissen Geschwindigkeit hinaus. Na dann wird natürlich auch sich ein Energiebetrag ausbreiten. Wenn Sie sich denken, na no blöder, was soll das sein? Ein Energiebetrag, der durchs Vakuum geht. Aber bitteschön, wenn Sie vor dem Lagerfeuer sitzen, das was Sie wärmt, das ist nichts anders, als diese elektromagnetische Feldenergie, die von dem strahlenden Feuer her auf Sie zukommt. Deswegen ist ja der Rücken immer kalt und es ist nur vorn warm. Wunderbar. Aber bitteschön, wenn einem das noch nicht genügt, unser großes kosmisches Lagerfeuer, die Sonne, die da in der Mitte steht, die tut uns ja auch so einseitig anleicht. Und deswegen ist es am Tag warm und in der Nacht kalt. Genau dieselbe Situation. Und spätestens jetzt werden Sie erkennen, was für eine wichtige Größe das ist. Denn ohne diesen Energiegehalt des elektromagnetischen Feldes, Das könnten wir ja gar nicht interpretieren, in welcher Weise da von der Sonne so gewaltige Energiemengen auf uns zukommen. Das geht durchs Vakuum. Kurz ein paar Moleküle pro Kubikmeter werden da auch zwischen Sonne und Erde herumfliegen. Aber das ist wesentlich besseres Vakuum, als was wir je auch mit den besten Methoden im Labor herstellen können. Und trotzdem kommt die Energie zu uns. Also so, dass da irgendein Trägermedium wäre, das sich halt so durch Wärmeleitung dann die Energie, das ist ja nicht so, sondern das ist eine Strahlung. Das heißt, da wird Energie mit der sich ausbreitenden elektromagnetischen Welle mitgeführt. Und da haben wir schon den ersten Anteil davon ausgerechnet. Also Sie sehen, dieser gute alte Plattenkondensator, der kann uns doch einiges lehren. Und deswegen haben wir uns also bis jetzt damit auseinandergesetzt. Jetzt werden wir aber dann bald davon abrücken. Wir werden ihn schon noch gelegentlich brauchen. Aber das war jetzt einmal das Wichtigste. Und ich glaube, er hat schon gezeigt, dass er eine gewisse Bedeutung hat. Oder ich habe ihnen halt gezeigt, dass man mit Hilfe dieses Plattenkondensators Zusammenhänge zwischen Feldern und Energien besonders deutlich darstellen kann. Ja, da stelle ich die umgekehrte Frage, warum soll es woanders anders sein? Das ist ja auch nichts außergewöhnliches. Das ist ein elektrisches Feld und woanders kann man halt durch andere Weisen elektrische Felder herstellen. Aber elektrische Felder sind immer dadurch gekennzeichnet, dass wenn man eine Probeladung hineingibt, eine gewisse Kraft auf diese Probeladung ausgeübt wird. Und wenn Sie zwischen die Platten eines Kondensators eine Probeladung hineinstecken, haben Sie dort auch eine Kraftwirkung auf diese Probeladung. Und wenn Sie in der Umgebung einer Punktladung eine Probeladung hineinstellen, haben Sie auch eine Kraftwirkung. Also das ist heute ein besonders einfacher Fall, aber es ist eine durchaus allgemeine Darstellung für das elektrische Feld. Und Sie können das natürlich dann für verschiedene andere Situationen, was dann umständlicher ist, auch durchrechnen. Und Sie werden immer wieder auf diese elektrische Energiedichte kommen. Also ich antworte etwas unfair mit einer Gegenfrage. Warum nicht? Okay. Aber jetzt wollen wir noch ein bisschen was Technisches anschauen, was man auch braucht. Die Parallelschaltung von Kondensatoren. Und im Hinterkopf bleiben natürlich nach wie vor die Plattenkondensatoren. Da haben wir da so eine Spannungsquelle U0 und da schalten wir mehrere Kondensatoren zueinander parallel. Zum Beispiel so drei da. Der hat die Kapazität C1. C2 und C3. Und an all diesen Kondensatoren liegt einheitlich die Spannung U0, die von dieser Spannungsquelle hier bereitgestellt wird. Wie man so eine Spannungsquelle realisiert, darüber wollen wir uns vorher noch nicht den Kopf zerbrechen zunächst, aber man kann also elektrische Spannungen herstellen. Da werden wir uns also jetzt anschauen, wie können wir... für dieses Gesamtsystem aller drei oder dann aller N Kondensatoren, wann N da sind, eine Gesamtkapazität ausrechnen, wann die Einzelkapazitäten das sind, was sie sind. Und das geht relativ gut. Denn man sieht natürlich sofort, die Summe aller Einzelladungen auf jedem dieser Kondensatoren ist gleich der Gesamtladung dieses ganzen Systems. Weil die Ladungen addieren sich ja alle auf den oberen Platten und auf den unteren Platten und damit kriegt man diesen einfachen Zusammenhang. Und jetzt gilt da natürlich... Dass wir einerseits haben, die Qi, die Ladung auf jedem dieser Kondensatoren, ist gemäß der Definition der Kapazität Ci mal der immer konstanten angelegten Spannung U0. Und andererseits wieder aufgrund der Definition der Kapazität wollen wir auch schreiben, die Gesamtladung, also Summe der Ladungen auf allen Kondensatoren, ist dann natürlich entsprechend gleich einer Gesamtkapazität wieder mal U0. Weil an dem gesamten Ding, was ich da eingeringelt habe, liegt ja natürlich wieder diese selbe Spannung U0. Und wenn man das einsetzt in diese Gleichung, dann kriegen wir Summe über Qi, das ist einfach Summe über CiU0. ist gleich Q. Das ist C mal U0. Und das ist leicht. Jetzt brauchen wir da nur das U0 herausheben und kürzen. Und es bleibt sofort stehen, die Gesamtkapazität C des ganzen Systems ist die Summe über I, C, I. Bei Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich deren Kapazitäten. Diejenigen unter Ihnen, die sich noch ein bisschen mehr erinnern, wie das schon war, dann mit den Strömen und mit den Widerständen, werden das komisch finden, weil bei den Widerständen, sage ich jetzt einmal nur zwischendurch, ein bisschen vorausgreifend, ist es so, dass wenn man die Widerstände in Serie schaltet, addieren sich die Widerstände zum Gesamtwiderstand. Aber Widerstände sind keine Kondensatoren. Das ist etwas anderes. Und hier ist es, habe ich mich nicht geirrt, sondern es ist wirklich anders. Es ist so, das heißt nicht, dass ich mich nicht einmal irren könnte, aber jetzt habe ich mich nicht geirrt, dass also die Gesamtkapazität dieser Parallelschaltung gleich ist, ergibt sich als Summe der Kapazitäten der Einzelkondensatoren. Und man kann sich das also dadurch sehr einfach klar machen, dass man sich ja denken kann, diese zusammengeschalteten Platten da oben, das ist ja wie eine breite Platte und da unten wie eine andere breite Platte. Das ist einfach x-mal der Kondensator mit verschiedenen Kapazitäten da halt zusammengeschaltet, aber alles liegt an derselben Spannung U0, daher kommt das so heraus. Bei Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich die Einzelkapazitäten zur Gesamtkapazität dieses Systems. Gut, kein Protest. Gut, dann tun wir als nächstes die Serienschaltung. Das kommt natürlich auch vor bei elektronischen Schaltungen zum Beispiel. Von den Statoren. Das geht ganz analog. Also schalten wir sie in Serie. Was haben wir dann, wenn wir sie in Serie schalten? Da haben wir also eine Spannung U0, wieder da an einer solchen Spannungsquelle. Und da sind sie jetzt alle. Der eine, der zweite, der dritte und so weiter hängen da so zusammen. Da haben wir C1, schreibe ich da besser da herinnen her. C1, C2, C3. Und an diesen Kondensatoren fallen da Spannungen ab. Da haben wir ein U1, ein U2 und ein U3. Allgemein ein UI. Nun, jetzt aber muss man sich im Klaren sein, was denn da eigentlich passiert in dem System. Da müssen wir uns jetzt wieder zurückerinnern an die Influenz. Wenn Sie sich zum Beispiel das hier jetzt so rot eingerindelte Stück von der ganzen Schaltung anschauen. Das hängt ja da frei in der Luft. Das ist nirgends elektrisch angeschlossen in dem Sinn. Das ist einfach etwas, was zunächst so ein Stück Leiter ist, mit zwei Platten dran. Und wenn man da jetzt eine Spannung anlegt, dann ist da eine Plusladung und da unten eine Minusladung. Und durch Influenz verschieben sich in diesem Teil jetzt die Ladungen so. dass da so Minusladungen nach oben und Plusladungen in gleicher Anzahl nach unten gehen. Also da sind so Minusladungen, da sind Plusladungen. Und das heißt, dass die Ladung auf der Platte gleich der Ladung auf der sein muss. Was soll es denn sonst sein? Ursprünglich war das Ganze ja ungeladen, bevor ich die Spannung anlege. Daher können die nur gleich sein. Und das geht da so quasi mit vollständiger Induktion weiter. Das heißt, die tragen alle die gleiche Ladung. Was sollen denn die Dinger sonst machen? Also während bei der Parallelschaltung die Spannung an allen das gleiche war, also das U0 ist konstant, was ich habe ich am besten geschrieben, gleiches U0, so. Gleiches U0 an allen Ci. Haben wir hier gleiche Ladung aller Ci. Gleiche Ladung Q in allen Ci. C, I. Ja? Ich glaube, das ist in beiden Fällen unmittelbar ersichtlich. Also was haben wir? Wir haben hier die Summe über alle Ui, ist gleich der Gesamtplatz Spannung U0. U1 plus U2 plus U3 und so weiter, liefert in Summe diese Spannung U0. Weil die eben hintereinander aufgebaut sind. Und es geht ja um eine Arbeit. Spannung ist Arbeit pro Ladungseinheit. Also hier haben wir Summe über i ist ui ist gleich u0. So wie wir hier diese Summe über qi ist q gehabt haben. So haben wir Summe über ui ist u0. Und jetzt gilt wieder was. Es gilt in dem Fall jetzt, dass das ui gleich ist q durch ci. Jetzt nützen wir, dass die gleiche Ladung Q auf jedem dieser Kondensatoren ist. Und entsprechend der Definition der Kapazität ist jetzt die I der Spannung Ui gleich Q durch Ci, wenn das C die entsprechende Kapazität des jeweiligen Kondensators ist. Wir machen nur Definitionen, die wir ausnutzen. Ich stäniere mich fast dafür, wie einfach das alles ist. Aber es ist halt so. Und ich bin ja froh, dass es nicht komplizierter ist, dass man die Dinge einigermaßen leicht akzeptieren kann. Es wird schon komplizierter, warten Sie nur ab. Das ist das eine. Und das andere ist, wir können jetzt natürlich auch wieder... das Gesamtsystem von den ganzen in Serie geschalteten Kondensatoren anschauen und dann ist dieses U natürlich gleich nach Definition Q durch C, wobei C jetzt die Gesamtkapazität ist und Q wieder die Ladung in dem ganzen System. Es ist immer wieder dieselbe Ladung Q. Und daher kriegen wir jetzt ganz analog aus der Gleichung jetzt Da haben wir hier diese beiden. Kriegen wir heraus, Summe über Ui. Da haben wir also Summe über Ui. Das ist aber Q durch Ci ist gleich das U0. Und das ist Q durch C. Na ja, und da sehen Sie jetzt, hier können wir das Q herausheben und dann durch Q kürzen. Und was kriegen wir damit? Sofort als Ergebnis, dass 1 durch C gleich ist Summe über I, 1 durch CI. Also bei der Parallelserien-Schaltung von Kondensatoren ist es so, dass hier sich die Reziprok-Werte der Kapazitäten zur Gesamtkapazität zusammenfügen. Das ist jetzt das, was diejenigen unter Ihnen, die das schon wissen, bei den Widerständen und dem Ohmschen Gesetz da, man für die Parallelschaltung von Widerständen kennt. Also die Kondensatoren haben da ein etwas anderes Verhalten und ich glaube, ich konnte Ihnen zeigen, wieso das so ist. Na ja, und jetzt... Jetzt möchte ich für heute noch zum Abschluss, morgen setzen wir das fort, eine Vorbereitung beginnen dafür, dass wir uns dann in weiterer Folge über die materiellen Eigenschaften von die Elektriker in einem Feld auseinandersetzen damit. Also nicht mehr nur Vakuum, sondern wir schauen uns an, was passiert, wenn in einem elektrischen Feld... Und da kommt jetzt noch einmal der Plattenkondensator dann. Also zum Beispiel zwischen den Kondensatorplatten eines Plattenkondensators, wenn man ein Medium dazwischen schaltet, was passiert? Kann uns das vielleicht sogar dienlich sein? Und Sie werden sehen, es kann sogar die Kapazität vergrößern. Sehr gut, denn das will man ja. Also schauen wir uns das an. Wir schauen uns also an, ob jetzt die elektrischen... Eigenschaften der Materie. und betrachten insbesondere die Elektriker. Das sind materielle Körper, meist Festkörper, manchmal auch Flüssigkeiten, vielleicht auch Gase. Die Elektriker sind Körper, die praktisch keine elektrische Leitfähigkeit haben, so wie ein Stück Holz oder ein Stück Porzellan oder ein Stück Glas oder so etwas. aber deren Anwesenheit das vorher vorhandene Feld in einer gewissen Weise verändern. Und wie sie das tun, das werde ich Ihnen heute und morgen näher auseinandersetzen. Insbesondere ist es wichtig, dass man sich darüber klar ist, dass da dann die molekularen Eigenschaften dieses jeweiligen Dienstes, dieses Dielektrikums, eine Rolle spielen. Und wiederum was an diesen Eigenschaften? Vor allem die Eigenschaft, dass Moleküle sogenannte Dipole sein können. Und wir wollen daher als erstes über elektrische Dipole sprechen. Was versteht man unter einem elektrischen Dipol? Das bringen wir heute schon unter. Sie sind ja jung und konzentrationsfähig, Sie können das noch. Bei so einem elektrischen Dipol betrachten wir eine negative und eine positive Ladung, die sich in einem gewissen Abstand d befinden. Und wir schauen uns den Vektor d-Pfeil an, der von minus q nach plus q gerichtet ist. Minus q nach plus q, da zeigt dieser Abstandsvektor d. Außerdem legen wir da gleich... Eine Z-Achse hinein in diesen Dipol. Und dazwischen drin machen wir den Ursprung unseres Koordinatensystems. Und jetzt wollen wir irgendeinen Punkt anschauen, der da herüben vielleicht wo ist. Ein Punkt, wo ein Beobachter sitzt. Den interessiert, was dieser Dipol hier für ein Feld erzeugt. Na, wie wird denn so ein Feld ausschauen? Das habe ich Ihnen mitgebracht, zum zweiten Mal schon. Ich habe es Ihnen schon einmal gezeigt. Heute zeige ich es Ihnen ein zweites Mal. So schaut es jetzt aus. Unten haben wir das Minus, oben haben wir das Plus. Minus Q bis Plus Q. Dazwischen hier ist dieser Vektor D-Pfeil, der hier so nicht eingezeichnet ist. Macht ja nichts. Und Sie sehen, dass sich da rundherum ein doch relativ kompliziertes elektrisches Feld ausbildet. Also das ist jetzt schon ein bisschen was anderes als diese einfachen Felder rund um eine Ladung. Das ist hier ein elektrisches Dipolfeld. Sie sehen da vom Plus geht das da so herunter nach Minus, beziehungsweise dann so herum, auf der anderen Seite auch. Aber innen gehen die Feldlinien in der Gegenrichtung. Das habe ich da blöderweise jetzt so nicht eingezeichnet. die gehen da in der Gegenrichtung hier. Aber das ist ja konsistent mit dem, was da sonst eingezeichnet ist. Also außen dann geht das Feld so herunter und hier auch so herunter. Aber innen geht es also so, dass es da rauf und da runter geht. Und da geht es hier so von Plus nach Minus. Also Sie sehen, ja eigentlich kann man sagen, es geht in der gleichen Richtung. wie das Feld außen herum. Aber zunächst einmal gehst du da entgegenweg und schließt sich dann herunten so zusammen. Also ich lasse das Feld da liegen. Es schadet ja nichts, wenn wir das da liegen haben. So als Hintergrund für die letzten drei Minuten. Na ja, und jetzt wollen wir uns halt überlegen, wie kann man so ein Feld beschreiben? Na und da muss man natürlich, um das genauer zu machen, da die Ortsvektoren betrachten von den jeweiligen Felderzeugenden Ladungen. Der Groß-R, das ist der Ortsvektor vom Ursprung zwischen, in der Mitte zwischen den Ladungen. Und dann haben wir hier einen Vektor R1-Pfeil, der von der positiven Ladung zu dem Aufpunkt hin zeigt. Das ist R-Pfeil minus. d-Pfeil halbe, wie man sich leicht überlegen kann, weil da hier ist d-Pfeil halbe. Und andererseits gibt es da unten noch einmal so einen Vektor r2-Pfeil. Die unterscheiden sich nicht viel, weil der Punkt soll recht weit weg sein im Verhältnis zu diesem Vektor d hier. Das r2-Pfeil ist jetzt... R-Pfeil plus dieses D-Pfeil halbe. Aber das D soll wie gesagt klein sein, geht hingegen die Distanz dahin zu diesem Beobachtungspunkt. Und um sich da jetzt ein Bild zu verschaffen, wie dieses Feld jetzt konkret quantitativ ausschaut, wollen wir hier versuchen, das jetzt auszurechnen durch Überlagerung des Feldes von der Ladung und des Feldes von der Ladung. Dazu verwenden wir eine wichtige Definition. Diese Definition ist... das ist die Definition des elektrischen Dipolmoments. Merken Sie sich die. Sie ist wichtig. Sie ist einfach gleich Q, dieser Ladung, die da plus Q und da minus Q ist, mal den Vektor D-Pfeil. Das heißt, dieses elektrische Dipolmoment ist gleich gerichtet mit dem Vektor D. Das ist das PE-Pfeil und ist also ein Vielfaches von dem D-Pfeil. Und das Vielfache ist eben die Größe der Ladung. Das versteht man unter dem Dipolmoment. Und jetzt können wir uns relativ einfach zunächst einmal das Potential ausrechnen. An diesem Punkt mit dem Ortsvektor R-Pfeil. Beim Punkt P. Das ist ein Phi. Abhängig. Vom Ortsvektor R-Pfeil. Das ist ganz einfach. Da haben wir natürlich das übliche Q durch 4PiE0. Und dann haben wir 1 durch R. Aber jetzt haben wir zwei verschiedene 1 durch R. Einmal haben wir das und einmal haben wir das. Das unterscheidet sich ein bisschen. Also kriegen wir da 1 durch einmal dieses R-D halbe und den Betrag davon. und dann minus, weil da ist jetzt die negative Ladung, minus, da bleibt aber plus Q, aber da haben wir das Minus, 1 durch Absolut von R-Pfeil plus B-Pfeil halbe. Und das habe ich mir vorgenommen, Ihnen nicht im Einzelnen vorzurechnen. Mit wenigen einfachen Schritten, die Sie aus unserem Buch zum Beispiel und auch von schier anderen Quellen sich nachrechnen können, kriegen Sie für den Fall, dass absolut Erbfeil sehr groß ist. gegen dieses absolut D-Pfeil. Wie gesagt, wir sind weit weg im Verhältnis zur Größe dieses Dipols. Können wir eine Reihenentwicklung machen? Und abbrechen nach dem ersten Glied. Das ist wirklich nichts Kompliziertes. Was herauskommt ist, dass dieses Phi von R-Pfeil das wir da oben hier aufgeschrieben haben, sich darstellen lässt. Jetzt aber ungefähr, weil wir da nach dem ersten Glied der Reihenentwicklung abbrechen. q durch 4pi y0 und die Klammer, das ist es ja, mit zwei ungefähr gleich großen Termen, die man in einer Reihe entwickeln kann. Und da kommt heraus, d-Pfeil, r-Pfeil durch r der dritten. Die Speil, Erbspeil. durch R der Dritten. So kann man das also näherungsweise ausrechnen. Und damit kommen wir schon zum Ende. Das habe ich Ihnen jetzt nicht bewiesen. Ich sage das ausdrücklich, dass Sie sich jetzt nicht nachher beim Durchlesen schauen, wie ist er denn auf das gekommen. Das habe ich Ihnen jetzt nicht im Einzelnen vorgeführt. Aber das können Sie sich in meinem Buch oder sonst wo genauer anschauen. Das ist keine Hexerei. Und das lässt sich also umformen, dieses Pi von R. Lässt sich also dann schreiben, wenn man dieses d skalar mit r dann sich überlegt, da haben wir da ist d, da ist r, da ist der eingeschlossene Winkel Theta zwischen d und r, je nachdem wo ich sitze da bei diesem Aufpunkt. Das lässt sich daher schreiben, wenn Sie berücksichtigen, dass das p e gleich q mal d ist. q mal d ist das PE, das ist kriegen PE-Pfeil, Skalar mit R-Pfeil und dann steht also unten 4PiE0 mal und dann haben Sie ein R der Dritten von da, schreibe ich nur ab. Aber dieses PE-Skalare mit R, das lässt sich jetzt leicht aufschreiben als den Betrag von PE mal den Betrag von R mal den Kosinus dieses Winkels Theta. Einer Betrag mal anderer Betrag mal Kosinus des eingeschlossenen Winkels. Und da wieder dividiert durch 4Pi Epsilon 0 R der Dritten. Und jetzt, jetzt habe ich heute vier Minuten in einem Schock gestohlen. Ich schande über mein Haupt. Wir werden es wieder einbringen. Geht dieses R weg gegen das und da bleibt ein Quadrat stehen. Meine Damen und Herren, wir kriegen hier... etwas ganz Neues, ein Potenzial, ein elektrisches, das nicht mit 1 durch R geht, wie bei der Punktladung, sondern mit 1 durch R². Das nimmt stärker ab. Das ist kein Wunder, weil die beiden Ladungen kompensieren einander ja teilweise. Das kann nicht so gut gehen, wie wenn man nur eine hätte. Und natürlich können Sie jetzt auch wieder nützen, dass E-Pfeil gleich Minusgradient von Vies. Und wenn man da also noch R ableitet, kommt also heraus... dass der Betrag des elektrischen Feldes, der Feldstärke proportional ist, wenn das schon 1 durch r² ist, zu 1 durch r³. Das wollte ich heute noch zu Ihnen hinüberbringen mit fünf überzähligen Minuten. Also das Feld in der Umgebung eines elektrischen Dipols fällt stärker ab als das Feld einer Punktlautung. Die Feldstärke geht nicht mit 1 durch r², sondern mit 1 durch r³. Das Potenzial geht nicht mit 1 durch r, sondern mit 1 durch r². Und es hängt außerdem da noch mit dem Kosinus zusammen. Und damit sehen Sie also schon im Wesentlichen, was diese Dipole so an sich haben. Morgen werden wir darüber sprechen, wie sich diese Dipole in einem äußeren Feld verhalten werden und dann gleich die Anwendung auf die Eigenschaften von die elektrischen Medien durchführen. Danke. Vielen Dank.

positiv geladen, die anderen negativ. Solche Ladungen ziehen einander an, also werden sich also auch diese Platten anziehen. Und das wollen wir uns zunächst einmal etwas genauer anschauen. Aber bevor wir das machen, möchte ich noch diese Formel in den Vordergrund stellen, die Sie jetzt schon gut kennen.

Die Kapazität allgemein definiert als Q durch U und speziell für den Plattenkondensator Epsilon 0 mal a durch d. Hier möchte ich noch kurz erwähnen, dass sich diese Formel noch etwas erweitern wird, wenn wir dann zulassen, dass zwischen den Platten etwas anderes als Vakuum ist, nämlich ein Dielektrikum, ein nicht leitender Festkörper. Darüber etwas später. Jetzt reden wir davon noch nicht.

Aber wichtig ist, dass man aus dieser Formel sieht, einerseits die Kapazität des Plattenkondensators nimmt mit der Plattenfläche zu. Das ist leicht verständlich. Größere Fläche, mehr Platz für die Ladungen und sie nimmt zu, wenn die Distanz zwischen den Platten abnimmt. Das haben wir bereits ausführlich besprochen.

Ich möchte das nur noch illustrieren damit, dass es vor wenigen Jahren eine technische Neuentwicklung gegeben hat, die ich Ihnen nicht vorenthalten möchte, die elektrochemischen Doppelschichtkondensatoren. Und das sind Kondensatoren, die also auch im Prinzip so ähnlich aufgebaut sind wie ein Plattenkondensator. Wo aber die...

dass der Abstand zwischen den beiden Elektroden nur wenige Moleküllagen dick ist. Und wenn man also da viele Größenordnungen gewinnt, indem man diesen Abstand sehr klein macht, kann man auch viele Größenordnungen bei der Kapazität gewinnen. Und es zeigt sich, dass man damit Kondensatoren mit Kapazitäten bis zu 5000 Farad erzielen kann.

Das ist gewaltig, denn wenn Sie sich überlegen, das bedeutet dann, wenn man eine Spannung von 1 Volt zwischen den Elektroden anlegt, dass man da dann 5000 Coulomb speichern kann. Also gewaltig, können Sie sich vorstellen, was da dann auch für Wechselwirkungskräfte auftreten werden. Aber das geht eben, wenn man sich im molekularen Bereich befindet. Diese...

Die elektrochemischen Doppelschichtkondensatoren, die haben eine Spannungsfestigkeit, aus jetzigem Stand der Technik bis zu 2,5 Volt. Also eine sehr beachtliche Möglichkeit, Ladungen zu speichern. Man hat es also sehr weit getrieben, wenn so ein Kondensator aufgeladen ist und man entlädt ihn dann zum Beispiel über eine Glühlampe.

kann die ganz schön lang brennen, diese Glühlampe. Also man hat da große Ladungsmengen zur Verfügung. Also das noch um die Bedeutung dieser Beziehungen hier, die ich da in einer gleichen zusammengefasst habe.

zu unterstreichen. Wir werden diese Beziehungen jetzt heute noch einmal gut brauchen können und sie sind Ihnen ja in der Zwischenzeit sehr geläufig geworden, davon gehe ich aus. Und wir wollen also jetzt davon ausgehen, die Kraft zwischen den Kondensatorplatten ausrechnen.

Und da zeigt sich, dass ein guter Zugang über die Arbeit und über die Spannung geht, wie Sie gleich sehen werden. Wir überlegen uns folgende Situation. Wir betrachten einen Plattenkondensator, zwei Platten, deren Querdimension groß gegen ihren Abstand ist, so wie wir es bisher immer angenommen hatten.

Und wir nehmen zunächst einmal an, dieser Kondensator sei ungeladen. Und dann schaufeln wir eine kleine Ladungsmenge Delta Q von der einen zur anderen Platte. Dazu ist keine Arbeit erforderlich, weil der Kondensator ist ja ungeladen, daher ist auch kein Feld, kein elektrisches zwischen den Platten, daher wirkt auch auf diese kleine Ladungsmenge Delta Q keine Kraft. Die kann man einfach da umgeschauter sozusagen hinüberlöffeln. Aber wenn man dann den Kondensator weiter aufladen möchte, dann ist er ja ein bisschen aufgeladen, weil dann ist auf der einen Platte ein Defizit von Minus Delta Q. Und die andere Platte hat eine zusätzliche Ladung plus Delta Q bekommen.

Also da ist schon zwar ein kleines, aber doch ein elektrisches Feld vorhanden. Und jetzt setzen wir diese Art des Ladungsvorgangs fort. Jetzt schieben wir, schaufeln wir, löffeln wir das nächste Delta Q hinüber.

Na ja, da müssen wir jetzt schon eine gewisse Arbeit verrichten. In dem schon vorhandenen Feld. die nächste Ladung Delta Q hinüberschaufeln.

Und mit weiterem Schaufeln, ein Delta Q nach dem anderen, wird dieser Kondensator immer mehr aufgeladen und man muss immer mehr Arbeit verrichten, weil es wird ja auch das Feld zwischen den Platten immer mehr, immer stärker, wenn der Kondensator stärker aufgeladen ist. Daher muss man sich bei jedem Delta Q schon ein bisschen mehr Arbeit hineinstecken. weil ja die Kraftwirkung auf diese kleine Ladung Delta Q, die man da Schritt für Schritt immer wieder die nächste, die nächste, die nächste hinüberschaufelt, die Kraftwirkung wird immer größer, der Weg bleibt gleich, daher wird die Arbeit, die verrichtet wird, immer größer. Man hat also dann die Situation, dass man eben um den Kondensator von anfänglich ungeladenem Zustand auf eine gewisse Ladung Groß Q aufzuladen mit dieser Methode, die wir hier jetzt besprochen haben. Wir haben die Situation, dass da eine gewisse Arbeit investiert werden muss in diesen Kondensator, damit er so aufgeladen werden kann.

Sie sehen also, da spielt bereits der Arbeitsbegriff hier eine große Rolle. Diese Arbeit können wir natürlich am besten dadurch uns klar machen, dass wir daran denken, dass die Arbeit und die Spannung, die elektrische Spannung in einem engen Zusammenhang stehen. Wir haben ja die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten in einem elektrischen Feld ja so definiert, dass es die Arbeit pro Ladungseinheit bei der Bewegung von dem einen zum anderen Punkt ist.

Wenn es also jetzt darum geht, die Arbeit auszurechnen, die man braucht, um eine gewisse Ladungsmenge Delta Q da hinüber zu löffeln, dann ist die Arbeit, die man da braucht, natürlich die Spannung zwischen den Platten mal dieser Ladung Delta Q. Weil die Spannung ist die Arbeit pro Ladungseinheit, das müssen wir dann mit dem Delta Q multiplizieren. Und dann haben wir die Arbeit, die zu verrichten ist, wenn dieses Delta Q hinübertransportiert wird. Der erste Schritt, wie gesagt, ist zunächst einmal energetisch gesehen arbeitsmäßig gratis, weil im ersten Schritt ist noch gar keine Spannung.

Das heißt, die Spannung ist null zwischen den Platten des anfänglich umgeladenen Kondensators. Aber im weiteren nimmt die Spannung zu. während der Kondensator ja aufgeladen wird, Schritt für Schritt, Delta Q für Delta Q, damit steigt also die Spannung und damit steigt auch die Arbeit, die man aufwendet, weil die Arbeit ist eben Spannung mal Delta Q. Und das wollen wir uns jetzt versuchen, etwas ausführlicher aufzuschreiben.

Wir wollen sie nennen elektrische Arbeit. Also die Arbeit WE, die Work, Electrical Work, diese Arbeit WE, die wir verrichten müssen bei unserer Ladung, bei unserer Ladungsprozedur, die ergibt sich dadurch, dass wir über alle diese einzelnen Schritte summieren, bzw. wir können das auch als Integral aufschreiben.

Integrale sind ja so praktisch. weil sie nichts anderes sind als Summenbildungen, wo man halt dann im Limes auf kleine Schritte übergeht. Also diese Delta Q, sie immer kleiner und kleiner macht, damit immer mehr und mehr Schritte macht, aber das ist ja dann ohne Belang.

Also wir schreiben so ein Integral auf. Von der Anfangsladung 0 bis zur Ladung Q, auf die wir diesen Kondensator aufladen wollen. Und da drinnen steht U.

dq, denn u ist die Arbeit pro Ladungseinheit zwischen den Platten und wenn man das mit dieser kleinen Ladung Delta q oder bei der Integration dann dq multipliziert, dann ist das gerade der Arbeitsbeitrag, der verrichtet werden muss bei schon vorhandener Spannung u, so im Zuge dieses Ladungsprozesses. wenn da halt so eine Ladung dQ hinübergeschaufelt wird. Und diese Spannung U, das ist wie gerade erwähnt ja nichts anderes als die Arbeit pro Ladungseinheit. Und gemäß der Definition der Kapazität ist dieses U auch Q durch C.

Also in dem Fall ist es die Probeladung Q, die da... schon vorhanden ist durch die Kapazität C. Also dieses q, dieses q, ist die jeweils momentane Ladung des Kondensators, wie er da vorliegt, im Zuge des Ladungsvorganges und q durch c ist dann u, braucht man die beiden nur austauschen, q und c und man kriegt damit ja einen Ausdruck für die Spannung. Also das Q ist die momentane Ladung des Kondensators, dQ ist ein Löffelschritt des weiteren Aufladens. Die Kapazität ist eine Konstante für den festgelegten Kondensator, jetzt 1 durch c geht vor das Integral und wir können daher ein Integral von 0 bis Q aufschreiben, QdQ. Das ist natürlich leicht zu integrieren, denn das ist q hoch 1 integriert ist q hoch 2 halbe, q Quadrat halbe in den Grenzen von 0 bis Q.

Also was überbleibt ist das 1 durch c und dann kommt q Quadrat halbe. minus 0 Quadrat halbe, f von b minus f von a, Hauptsatz der Differenzialintegralrechnung. Also Sie sehen, diese Arbeit während dieses etwas merkwürdigen mechanischen Löffelvorgangs, so Schritt für Schritt zur Aufladung, lässt sich relativ leicht ausrechnen. Also diese Arbeit muss man investieren, um den Kondensator mit Kapazität c von anfänglicher Ladung 0 auf die Ladung Q aufzuladen.

Und das lässt sich jetzt in zwei Weisen umformen, was ich gleich machen werde. Beide dieser Formen werden wir heute noch verwenden, um damit entsprechende Schlussfolgerungen zu ziehen. Das eine ist, wir können also aus dieser Form schreiben, das WE ist ein halb mal.

Also q² durch c, das ist dasselbe, was da oben steht. Und wenn man also jetzt dafür das q gleich c mal u einsetzt, wie es sich aus der allgemeinen Definition ergibt, dann haben wir also, das ist 1 halb mal c² u². Durch c, statt q haben wir cu eingesetzt.

Da können wir natürlich jetzt einmal durch c kürzen und kriegen ein halb mal c mal u². Das ist eine Form, in die wir diese Arbeit, die da hineingesteckt werden muss, umformen können. Die andere Form schaut... sehr analog aus, aber doch etwas anders.

Wir formen das jetzt so um, wieder von hier ausgehen, dass wir wieder anfangen mit einem Halb mal Q mal Q durch C. Das ist wirklich ident. Ein Halb mal Q mal Q durch C. Völlig einfache Umformung.

Ja, aber dieses Q durch C, das ist eben Q durch C, die Spannung U. Das ist also ein Halb mal Q mal U. Und das können wir natürlich leicht weiter umformen, weil beim Plattenkondensator haben wir ja gesehen, U ist gleich E mal D. Alle unsere Goodies müssen wir natürlich jetzt einsammeln, die wir da schon haben.

Das ist ja auch sinnvoll. Also bleibt da stehen. ein halb mal und dann haben wir Q mal E mal D. Diese beiden Beziehungen werden wir jetzt in weiterer Folge heute verwenden.

Zunächst einmal setzen wir bei dieser zweiten Beziehung an. Der Vorteil dieser zweiten Beziehung für jetzt einmal, für die Anwendung zur Berechnung der Kraft zwischen den Kondensatorplatten ist, dass wir aus dieser Beziehung da unten sehen, dass die Arbeit, die wir aufwenden müssen zur Ladung des Kondensators aus anfänglich umgeladener Situation bis auf die Ladung Groß Q, dass die abhängig ist. von der Distanz zwischen den Platten. Jetzt haben wir gesagt, wir lassen den Kondensator wie er ist.

Wir halten die Distanz konstant und wir halten die Größe der Platten konstant. Aber jetzt können wir uns doch einmal überlegen, was würde denn passieren, wenn man bei dem Kondensator d mit Abstand d den Abstand um ein kleines Delta d verändern würde. Also...

Änderung des Plattenabstandes. Aufgrund dieser Beziehung, die ich hier jetzt gerade gezeigt habe, ergibt sich also eine Veränderung auch des Delta W. Denn wir kriegen dann das Delta W E. Sonst bleibt die Ladung und die Feldstärke konstant. Wir haben dann 1,5 mal Q mal E mal Delta D. Wenn man das d um ein Delta d verändert, wird sich das we um ein Delta we verändern. Also Sie sehen, da steht Delta we ist so ein Vorfaktor mal Delta d.

Naja, und jetzt weiß man aber andererseits aus der Definition der Arbeit, und es handelt sich ja um eine Arbeit, dass wir ja haben, wenn wir eine... gewisse Arbeit Delta W hier investieren, wenn die Platten sich um Delta D in ihrem Abstand ändern, dass das die Kraft zwischen den Platten sein muss. Weil Arbeit ist Kraft mal Weg, wenn Kraft und Weg in die gleiche Richtung zeigen.

Also dieser Ausdruck hier ist der Betrag des Kraft... zwischen diesen beiden Platten. Man kann dann eben auch schreiben, dieses f, der Betrag von diesem f-Pfeil ist eben d, w, e.

nach dd, also das ist das Differenzieren und das ist die Distanz zwischen den Platten, was soll man machen? Man hat halt dann mehrfach so gleichartige Bezeichnungen. Nun, das dwe nach dd, wenn man das hier hernimmt, ist eben einfach ein halb mal q mal e. Und das ist für uns jetzt schon ein wichtiges Zwischenergebnis, weil dadurch kann man also schon sehen, wie man die Kraft zwischen den Kondensatorplatten ausrechnen kann. Und das, was an der Formel vielleicht jetzt für Sie überraschend sein kann, ist der Umstand, wieso da ein Faktor 1,5 drinnen steht.

Denn was wir ja schon kennen... Von der Definition der elektrischen Feldstärke ist, dass die elektrische Feldstärke die Kraft pro Ladungseinheit ist. Also würde man doch sagen, dass die Kraft daher Feldstärke mal Ladung sein muss. Kraft auf die Ladungseinheit mal der Ladung ist die Kraft.

Und jetzt ist dieser komische Faktor ein Halb, den wir uns hier bei der Integration QdQ eingezogen haben. Q² halbe, wieso? Das muss ja irgendeine vernünftige physikalische Interpretation haben. Na manchmal liegen die Dinge relativ kompliziert, da hat man dann oft nicht so eine einfache, popularisierfähige Interpretation sozusagen. Aber hier geht das.

Und das möchte ich Ihnen möglichst in wenigen Worten klar machen. Wir haben ja bei dem Kondensator die Situation, dass wir die Ladung plus Q auf der einen, die Ladung minus Q auf der anderen Platte haben. Und beide Platten, jede für sich, tragen zu dem elektrischen Feld zwischen den Platten bei.

Die Plusplatte, da gehen die Feldstärkevektoren Richtung zu Minus und bei der Minusplatte gehen die Feldstärkevektoren ebenfalls Richtung zu Minus. Das heißt, aus Symmetriegründen liegt auf der Hand, jede dieser beiden Platten trägt jeweils die Hälfte zu dem gesamten elektrischen Feld zwischen den Platten bei. Und außerdem, das haben wir ganz am Anfang schon besprochen, dadurch, dass die sich ladungsmäßig in Summe kompensieren, ist der Außenraum feldfrei. Das ist ja das große Gute bei Kondensatoren, dass der Außenraum feldfrei ist. Also wir haben hier die Situation, dass jede der beiden Platten je eine Hälfte zu dem gesamten Feld E zwischen den Platten beiträgt.

Dieses E, was hier drinnen steht und was hier drinnen steht, ist die gesamte Feldstärke des Feldes zwischen den Platten. Wenn ich jetzt an der Kraftwirkung der einen Platte auf die andere interessiert bin, dann ist es natürlich so, dass wir davon ausgehen müssen, die Kraft kommt dadurch zustande, dass eine der beiden Platten sich im Feld der anderen Platte befindet. Und daher aufgrund dessen eine Kraftwirkung erfährt. Aber der Feldanteil, der von ihr selber stammt.

der macht ja auf sie keine Kraft, weil die Platte auf sich selbst ja keine Kraft ausübt. Sie befindet sich nur im Feld der anderen Platte. Das eigene Feld, das ja auch die Hälfte zum gesamten Feld beiträgt, das wirkt auf sie ja nicht, weil sie ja auf sich selbst keine Kraft ausübt. Das ist was ähnliches.

Das ist auch der Grund, warum ich das vor ein paar Stunden schon gemacht habe. Was ich Ihnen schon erklärt habe, wenn wir eine Ladung als felderzeugende Punktladung ansehen und eine Probeladung in das Feld dieser Punktladung hineinbringen und jetzt sagen, wie groß ist die Kraft. Und da haben wir gesagt, das ist nichts anderes als q mal e.

q ist die Größe der Probeladung, klein q mal e. Und e ist das Feld, das von der anderen Ladung kommt. Und da könnte man wieder sagen, ja was kann man doch so nicht sagen, weil diese kleine Probeladung Q macht ja selbst auch ein Feld und man müsste ja das Gesamtfeld beide hernehmen. Muss man nicht, weil diese Probeladung Q ja auf sich selbst keine Kraft ausübt. Deswegen ist es so, dass wir uns da sozusagen die Sache einfach machen können.

Wir brauchen nur... das Feld dieser felderzeugenden Punktladung Groß Q hernehmen, schauen nur das an, setzen uns mit der kleinen Probeladung Klein Q dort hinein und die Kraft aus dieser Probeladung ist nichts anderes als die Feldstärke, die nur von der felderzeugenden Ladung herkommt, mal der Ladung dieser kleinen Probeladung. Und das hat uns auch gar nicht sonderlich beunruhigt, das war eigentlich eh klar.

Aber hier haben Sie jetzt eine völlig analoge Situation. Nur, dass jetzt die beiden Platten da so gleichberechtigt nebeneinander stehen. Und man würde natürlich ohne Nachdenken einmal sagen, klar ist da F einfach nur gleich Q mal E.

Aber das Feld, das maßgeblich ist für die Kraftwirkung der einen Platte auf die andere, ist nur das Feld, das von der anderen Platte herkommt. Und das ist die Hälfte des gesamten Feldes. Das wird multipliziert mit der Ladung der ersten Platte und liefert damit die Kraft, die die eine Platte auf die andere ausübt.

Und dann kann man natürlich auch Bäumchen wechseln machen und sich auf den Standpunkt der anderen stellen und das liefert dann entsprechend die andere Wechselwirkungskraft und das passt natürlich Gott sei Dank sehr gut mit Newton 3 zusammen, dass eben Actio est Reactio. dass die Kraft des einen Körpers auf den anderen bei der Wechselwirkung gleich groß ist, aber entgegengesetzt orientiert, so wie es sich für Wechselwirkungskräfte gehört. So, jetzt habe ich lange geredet und jetzt frage ich Sie, ob Ihnen diese Interpretation verständlich erscheint und ob Sie Fragen dazu haben.

Na ja gut, dann sehen Sie, das was uns da diese Integration so elegant geliefert hat, hat auch eine vernünftige Interpretation und man kann auf diese Art und Weise die Kraftwirkung sofort ausrechnen. Und das hat einen großen Vorteil, den Sie schon in den Methoden, den experimentellen Methoden vergangene Woche gesehen haben, nämlich man kann sich das jetzt ganz konkret ausrechnen. Nachmessen. Und damit die elektrische Feldkonstante bestimmen. Ganz einfach.

Denn in dieser Gleichung können wir ja das Q einmal ersetzen. Das Q ist C mal U. Und dieses c mal u, das c ist y0 a durch d, ist y0 a durch d mal u. Andererseits das e, das hatten wir ja auch schon, das e ist nichts anderes als u durch d.

Also wir können sofort einsetzen, das e ist gleich u durch d. Und mit diesen beiden Gleichungen... die alle uns jetzt schon lang bekannt sind, jedenfalls etliche Tage hier, kriegen wir, dass dieses f betragsmäßig gleich ist, das 1,5 bleibt da stehen, das führen wir da hier natürlich mit und dann haben wir also, schreiben wir es einmal langsam auf, y0 mal a durch d mal u und da haben wir dann, äh... Epsilon 0 mal A durch D mal U und dann mal E und E ist U durch D, da haben wir noch ein U und noch ein D und wir sind schon fertig.

So einfach lässt sich also die Kraftwirkung zwischen den zwei Platten eines geladenen Plattenkondensators ausrechnen. Und jetzt sehen Sie die Kraft. Die kann man natürlich durch eine geschickte mechanische Anordnung, meistens nimmt man eine Waage dazu und bedient sich der immer vorhandenen Gravitationskraft als entsprechende Hilfe sozusagen, um eine schöne Kraft, eine definierte, zustande zu bringen.

Man könnte es auch mit einer Feder machen, aber das geht nicht so gut. Die Waage und die Massenstücke, da kriegt man genauere Messmöglichkeiten. Also das kriegt man in Newton heraus und kann man mechanisch bestimmen.

Na gut, die Plattenfläche und die Plattendistanz, das sollte kein Problem sein. Das sind einfach Distanzen und Flächen, die man halt bestimmt. Bleibt nur das u². Und wenn man also da ein geeichtes Voltmeter verwendet hat, hat man das auch. Und was überbleibt hier ist nur das y0.

Und dieses y0... kann man dann aus dieser Beziehung rein mechanische Messung und Bestimmung der Spannung zwischen den Platten dann sofort ermitteln. Und man kommt dann natürlich, wenn man es richtig macht, auf die Größe, die auch bereits von vornherein wir uns festgelegt haben, definitorisch festgelegt haben.

Ich habe das natürlich nicht auswendig im Kopf. Aber ich schreibe es Ihnen jetzt noch einmal dazu. Das war, wo habe ich es, 8,85 mal 10 der minus 12. Und wenn man sich da den Ausdruck mit der Spannung und so weiter anschaut, was herauskommt, ist Ampersekunden durch Voltmeter.

Ampersekunden, das ist die Einheit, die wir auch Coulomb bezeichnen, die Ladungseinheit. Und Voltmeter kommt da entsprechend auch her, aufgrund dieser Gleichung hier kann man sich also sofort herleiten, wie das ausschaut. Also man kann auf diese Art und Weise das Epsilon 0 experimentell bestimmen. Jetzt werden Sie sich vielleicht denken, das ist doch eigentlich ein Unsinn. Wir haben ja dieses Epsilon 0 vorher definitorisch festgelegt und jetzt messen wir es auf einmal.

Was also jetzt? Das ist genauso wie mit der Lichtgeschwindigkeit. Ursprünglich hatte man bei der Messung der Lichtgeschwindigkeit natürlich damit begonnen, dass man gesagt hat, man kann also sowohl die Zeit mit einer entsprechenden Basiseinheit der Sekunde und die Länge mit einer unabhängigen absoluten Basiseinheit, dem Meter, meinetwegen auch dem Urmeterstab, festlegen. Dann muss man die Lichtgeschwindigkeit C0 messen. Heute, seit etlichen Jahren, macht man es so, dass man sagt, nein, wir hauen diesen Urmeterstab weg.

Wir definieren es so, die Länge eines Meters ist die Distanz, die das Licht im Vakuum in einer bestimmten kurzen Zeit zurücklegt. Damit aber ist die Lichtgeschwindigkeit zu einer Definitionsgröße geworden. Aber die Längeneinheit wird dadurch definiert.

Hier ist es so, wenn man das Y0 definitorisch festlegt, dann kriegt man hier die elektrische Größe U in Volt heraus und hat dann die Einheit Volt realisiert und kann damit schauen, ob die Eichung des Voltmeters, was wir da verwendet hatten, korrekt ist. Na, das ist nicht sehr aufregend. Es ist interessanter, davon auszugehen, das Voltmeter zeigt eh das Richtige.

Und wir schauen jetzt an, was bei dem Epsilon 0 herauskommt. In völlig analoger Weise wie bei der Drehspiegelmethode für die Lichtgeschwindigkeitsbestimmung, da hätte man ja auch sagen können, wir wissen, was herauskommen muss. Und wir können damit nachschauen, ob unsere Maßstäbe... mit denen wir die Länge des Lichtweges ausgemessen haben, richtig waren.

Naja, das ist ja auch nicht gerade etwas, was einem vom Sessel reißt. Nachschauen, ob der Maßstab jetzt richtig war. Da gehen wir davon aus, der stimmt gut genug und messen uns nach, was kommt da für eine Größenordnung für die Lichtgeschwindigkeit heraus.

Also, Sie sehen es in dem einen wie im anderen Fall. Eine Frage des Zuganges. Aus heutiger Sicht ist das Epsilon 0 die Definitionsgröße und es kommt dann noch die magnetische Feldkonstante. µ etwas später auch als eine Definitionsgröße hinzu. Und daraus ergeben sich in eindeutiger Weise die wesentlichen Einheiten der Elektrodynamik.

Oder wir gehen davon aus, wir können Spannungen messen und dann schauen wir nach, was bei dem Y0 herauskommt. Also hier eben diese Interpretation, um das für Sie klar zu machen. Aber was jetzt noch wesentlich interessanter und wichtiger ist, ist das, was ich jetzt mit Ihnen durchbesprechen möchte.

Nämlich, wenn wir also jetzt das einmal gut verstanden haben, dann schauen wir uns also an, wie jetzt wirklich der Energiegehalt des Kondensators ausschaut. Den rechnen wir uns jetzt aus. Und da gehen wir jetzt von der ersten dieser beiden Formeln aus.

Das ist hier praktischer. Beide sind gleichermaßen gleichberechtigt. Jetzt haben wir zunächst die verwendet, weil da das D drin steht.

Das D interessiert uns jetzt zunächst einmal nicht so ganz so wichtig, daher verwenden wir diese Formel für das WE. Also wir rechnen uns aus die Arbeit noch einmal. die man aufwenden musste, um so mit schrittweisem Löffeln, wie ich Ihnen das schon erklärt hatte, den Kondensator von anfänglicher Ladung 0 auf seine Endladung Q mit Spannung U aufzuladen.

Und das ist also nach dem, was da steht, 1,5 mal C mal U². Und diese Arbeit, die man da also in vielen Löffelschritten sozusagen mechanisch hineingesteckt hat, kann man dann sagen, hat man in den Kondensator investiert und das ist jetzt die Energie, die in dem Kondensator drinnen steckt. Die wir eben mechanisch bei diesem Ladevorgang hineingesteckt haben. Also diese Energie...

steckt jetzt in dem Kondensator drinnen. Naja, und da wollen wir also jetzt einsetzen für C und für U. Das C, das haben wir ja jetzt schon x-mal gesagt, ist ja nichts anderes als Epsilon 0 mal A durch D.

Das U hatten wir auch schon mehrfach. Das U ist nichts anderes als E mal D. Da haben wir E ist U durch D, U ist E mal D. Und mit den beiden können wir also jetzt da oben einsetzen und kriegen damit dieses WE heraus. Also ein ganz analoger Vorgang, den wir jetzt machen.

So wie da, da sind wir halt auf die Kraft losgegangen, so machen wir es hier jetzt mit diesem WE. Und was kriegen wir heraus? Das WE ist also gleich ein halbmal.

schreiben wir es einfach der Reihe nach auf. Epsilon 0 mal a durch d und dann mal u², das ist mal e², d². Na ja, da geht dieses d gegen das Quadrat da oben weg. Und was bleibt also dann stehen? Wir haben ein halbes Mal.

Ein halb mal. Und da steht zunächst, wenn wir das rausnehmen, also schreiben wir zuerst einmal das Epsilon. Nein, zuerst schreiben wir einmal das A mal dem D daher.

A mal D. Und dann bleibt uns noch stehen Epsilon 0 mal E². Also das ist wirklich einfachste Arithmetik, was ich da für Sie herschreibe.

Ich hoffe, Sie sehen auch, wie gutartig unser guter alter Plattenkondensator ist, weil es uns ermöglicht, mit wenigen einfachen Rechenschritten zu interessanten Ergebnissen zu kommen. Man kann also die Arbeit, die man da hineingesteckt hat, und damit also den Energieinhalt des Kondensators, In der Weise aufschreiben. Da ist also wieder einmal die Methode des kontinuierlichen Anstarrens angesagt.

Schauen Sie einmal genau hin. Was fällt Ihnen da auf? Fällt Ihnen was auf? Ist da irgendwas, was einem jetzt durch diese Umordnung, die ich da durchgeführt habe, jetzt sichtbar wird?

Schauen Sie einmal hin. Genau. Was hier steht, ist die Plattenfläche mal den Abstand der Platten. Das ist doch super.

Das ist einfach das Volumen zwischen den Platten. Also was das ist, ist das Volumen, schreibe ich gleich her, des Feldes. Zwischen den...

Platten. Und sonst wo ist kein Feld. Denn außen ist Feld frei und er ist eh unendlich groß. Und wenn er ganz unendlich groß ist, dann sind diese Randerscheinungen da draußen so unwichtig, dass wir das also eben vernachlässigen wollen. Wir wollen eben die Situation so machen, dass diese Situation sich wirklich in guter Näherung als ein dimensionales Problem darstellen lässt.

Das ist dann der Fall, wenn die Querdimension der Platten groß gegen ihren Abstand ist. Das haben wir ja von vornherein immer so vorausgesetzt. Weil sonst wird der Plattenkondensator viel komplizierter.

Wenn man sich um diesen grauslichen Rand genauer umschauen muss, dann verlieren wir ja unsere ganzen Vorteile, die wir da haben. Also da steht das Volumen des Feldes zwischen den Platten. Und das, meine Damen und Herren, Das veranlasst uns jetzt und hat die Physiker veranlasst, dass man diese Energie, die man da jetzt diesem Plattenkondensator zuschreibt, als hineininvestierte Arbeit, dass man diese Energie nicht zum Beispiel irgendwo auf den Plattenelektroden lokalisiert, gewissermaßen.

Weil dann würde man sagen, sie müsste nur proportional zu A sein. Aber es ist proportional zu A mal D. Und daher ist es wohl sinnvoller, diese Energie nicht in Platten oder in Zuleitungen zu lokalisieren, sondern im Feld. Aber das ist natürlich schon eine ausgefallene Geschichte.

Weil es ist ja nur Vakuum zwischen den Platten. Und ein Feld, na was ist das schon groß, wir reden immer von Feld, aber eigentlich ist ja das nichts. Das Feld, das sind halt die elektrischen Feldstärkevektoren. Aber hier und jetzt, meine Damen und Herren, kriegt dieses komische Feld eine unmittelbare physikalische Interpretation. Obwohl es eigentlich nichts ist, ist es Träger von Energie, weil eben diese Energie, die man da in diesen Kondensator mechanisch hineingesteckt hat, bei diesem Ladungsvorgang mit diesem Schaufeln da, mit dem Löffeln, weil sich die sichtlich in diesem Volumen oder proportional zu diesem Volumen ist und daher dem Feld zuzurechnen ist.

Das ist also eine ganz wesentliche Interpretationssache, die ich Ihnen an der Stelle eben mit Hilfe dieser Proportionalität zu A mal D klar machen möchte. Es sind oft gar nicht nur die kompliziertesten Rechnungen, die dann zu großen Schlussfolgerungen führen. Das war doch wirklich nicht schwer, was wir da gemacht haben. Und führt bereits zu einer so tiefbrechenden... Schlussfolgerung.

Das heißt also, wir gehen davon aus, das elektrische Feld ist Träger der Energie und die Energie da ist einfach ein Halb mal Feldvolumen mal E Epsilon Null mal E Quadrat. Dann liegt es aber auf der Hand, dass man das auch noch entsprechend verallgemeinern kann. Dann kann man sie nämlich auf die Volumseinheit beziehen und kann sie ausrechnen. Es ist immer wieder pro irgendwas.

Das ist überall in der Physik. Deswegen darf man auf das dann auch nicht vergessen. Pro was ist denn das jetzt? Und jetzt machen wir es pro Volumseinheit. Wir schauen uns damit an, wie groß denn jetzt die Energiedichte des elektrischen Feldes ist.

Die Energie pro Volumseinheit. Da dividieren wir durch das Volumen. Die übliche Dreisatzrechnung. Für das Volumen einmal das, die Energie so groß.

Für das Volumen 1 ist dadurch einmal d wie in der Volksschule. Es ist sonst nichts. Also kriegen wir damit die Energiedichte, die wir dann mit klein w bezeichnen, weil das eine Punkteigenschaft ist, so eine differenzielle Eigenschaft, sowie Masse und Massendichte.

Die Masse ist also ein richtiges gestandenes m und die Dichte, die Massendichte ist also ein kleines Rho. Und da haben wir die entsprechende Situation hier. Also die Energiedichte ist daher 1 halb mal Epsilon 0 mal E².

Und das ist bereits eine ganz tiefgehende Grundgleichung der Elektrodynamik. Wir haben hier die elektrische, wir müssen natürlich wieder ein E dazu schreiben, die elektrische Energiedichte des Feldes. Und Sie werden dann sehen, wenn wir über die magnetischen Eigenschaften reden, dann kommt auch eine magnetische, ein magnetischer Anteil.

der Energiedichte des ganzen elektromagnetischen Feldes dazu. Und das schaut, Sie werden es jetzt schon erwarten natürlich, weil das ja alles recht schickt aufgebaut ist da, das schaut ähnlich aus. Also ich glaube, Sie können schon sehen, dass insbesondere jetzt auch der Faktor 1,5, auf dem ich da oben so herumgeritten bin, warum denn dieses 1,5, wo man sich denkt, mein Gott, Faktor 1,5, was ist das schon? Na gut, es ist schon was. Ob ich 100.000 Euro oder 200.000 Euro gewinne, ist ja auch nicht dasselbe.

Also so ein Faktor 2, das ist schon was. Und gerade wenn es dann um so fundamentale Dinge geht, kann man das nicht einfach wegschmeißen. Man tut zwar hier und da schon was von Nachlässigem in der Physik, aber man muss dann auch die Kirche im Dorf lassen. Gewisse Dinge, die müssen dann schon bieten bleiben richtig, sonst macht man große Fehler.

Also das 1,5 ist hier ein wichtiger Faktor zur Beschreibung der Energiedichte. So, das wollte ich Ihnen einmal zu dem Thema sagen. Ich frage Sie jetzt wieder zwischendurch, ob es also irgendwelche Fragen dazu gibt. Ob das für Sie plausibel war oder Ihnen ganz blöd erscheint und warum. Also nachdem ich nicht hoffe, dass Sie jetzt alle nur gar nicht zugehört haben und überhaupt nicht wissen, um was es geht, gehe ich eigentlich positiv und optimistisch denkend davon aus, dass Sie also so im Prinzip verstanden haben, um was es geht.

Aber Sie sehen schon, das möchte ich schon betonen, dass man also schon die Vorstellungskraft sehr dehnen muss, stretching your mind, würde ich mal auf Englisch sagen, dass man so etwas akzeptieren kann, dass da so ein leerer Raum... zwischen den Kondensatorplatten, wo halt so was ist, was wir als Feld bezeichnen, dass der auf einmal eine Energie enthält. Das kommt einem ja schon irgendwie ganz komisch vor.

Aber vielleicht hilft es auch, dann zu betonen, was ich vielleicht ganz am Anfang schon einmal erwähnt hatte, dass das schon andererseits für uns gar nicht so unvorstellbar ist. Denn wenn man jetzt davon ausgeht, neben dem elektrischen Feld, hat auch das magnetische Feld eine Energiedichte. Die heißt dann Wm.

Und da kommt man auf etwas Ähnliches. Da werden Sie schon sehen. Und daher hat das gesamte elektromagnetische Feld die Summe dieser beiden Energiedichten. Und da können Sie sich jetzt schon vorstellen, so ganz dumm und von der Hand zu weisen ist das nicht. Denn...

Und es zeigt sich dann in weiterer Folge, und wir kommen dazu, also wenn man nicht in der Zwischenzeit der Schlag trifft, kommen wir sicher dazu in diesem Semester, dass es ja auch die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen gibt. Das zeigt sich dann, dass dieses Phänomen vorhanden ist aufgrund der vier Maxwell-Gleichungen, von denen wir bisher aber erst eine haben. Und das...

Das zeigt dann natürlich, wenn sich elektromagnetische Wellenfelder wohin ausbreiten können, dass die dann auch ihre Energie mitnehmen. Die breitet sich dann auch aus, wo zuerst keine war, weil gar kein Feld da war. Und jetzt breitet sich dort eine elektrische, magnetische Welle mit einer gewissen Geschwindigkeit hinaus.

Na dann wird natürlich auch sich ein Energiebetrag ausbreiten. Wenn Sie sich denken, na no blöder, was soll das sein? Ein Energiebetrag, der durchs Vakuum geht.

Aber bitteschön, wenn Sie vor dem Lagerfeuer sitzen, das was Sie wärmt, das ist nichts anders, als diese elektromagnetische Feldenergie, die von dem strahlenden Feuer her auf Sie zukommt. Deswegen ist ja der Rücken immer kalt und es ist nur vorn warm. Wunderbar.

Aber bitteschön, wenn einem das noch nicht genügt, unser großes kosmisches Lagerfeuer, die Sonne, die da in der Mitte steht, die tut uns ja auch so einseitig anleicht. Und deswegen ist es am Tag warm und in der Nacht kalt. Genau dieselbe Situation. Und spätestens jetzt werden Sie erkennen, was für eine wichtige Größe das ist.

Denn ohne diesen Energiegehalt des elektromagnetischen Feldes, Das könnten wir ja gar nicht interpretieren, in welcher Weise da von der Sonne so gewaltige Energiemengen auf uns zukommen. Das geht durchs Vakuum. Kurz ein paar Moleküle pro Kubikmeter werden da auch zwischen Sonne und Erde herumfliegen. Aber das ist wesentlich besseres Vakuum, als was wir je auch mit den besten Methoden im Labor herstellen können. Und trotzdem kommt die Energie zu uns.

Also so, dass da irgendein Trägermedium wäre, das sich halt so durch Wärmeleitung dann die Energie, das ist ja nicht so, sondern das ist eine Strahlung. Das heißt, da wird Energie mit der sich ausbreitenden elektromagnetischen Welle mitgeführt. Und da haben wir schon den ersten Anteil davon ausgerechnet. Also Sie sehen, dieser gute alte Plattenkondensator, der kann uns doch einiges lehren.

Und deswegen haben wir uns also bis jetzt damit auseinandergesetzt. Jetzt werden wir aber dann bald davon abrücken. Wir werden ihn schon noch gelegentlich brauchen.

Aber das war jetzt einmal das Wichtigste. Und ich glaube, er hat schon gezeigt, dass er eine gewisse Bedeutung hat. Oder ich habe ihnen halt gezeigt, dass man mit Hilfe dieses Plattenkondensators Zusammenhänge zwischen Feldern und Energien besonders deutlich darstellen kann.

Ja, da stelle ich die umgekehrte Frage, warum soll es woanders anders sein? Das ist ja auch nichts außergewöhnliches. Das ist ein elektrisches Feld und woanders kann man halt durch andere Weisen elektrische Felder herstellen. Aber elektrische Felder sind immer dadurch gekennzeichnet, dass wenn man eine Probeladung hineingibt, eine gewisse Kraft auf diese Probeladung ausgeübt wird.

Und wenn Sie zwischen die Platten eines Kondensators eine Probeladung hineinstecken, haben Sie dort auch eine Kraftwirkung auf diese Probeladung. Und wenn Sie in der Umgebung einer Punktladung eine Probeladung hineinstellen, haben Sie auch eine Kraftwirkung. Also das ist heute ein besonders einfacher Fall, aber es ist eine durchaus allgemeine Darstellung für das elektrische Feld.

Und Sie können das natürlich dann für verschiedene andere Situationen, was dann umständlicher ist, auch durchrechnen. Und Sie werden immer wieder auf diese elektrische Energiedichte kommen. Also ich antworte etwas unfair mit einer Gegenfrage.

Warum nicht? Okay. Aber jetzt wollen wir noch ein bisschen was Technisches anschauen, was man auch braucht. Die Parallelschaltung von Kondensatoren. Und im Hinterkopf bleiben natürlich nach wie vor die Plattenkondensatoren.

Da haben wir da so eine Spannungsquelle U0 und da schalten wir mehrere Kondensatoren zueinander parallel. Zum Beispiel so drei da. Der hat die Kapazität C1. C2 und C3.

Und an all diesen Kondensatoren liegt einheitlich die Spannung U0, die von dieser Spannungsquelle hier bereitgestellt wird. Wie man so eine Spannungsquelle realisiert, darüber wollen wir uns vorher noch nicht den Kopf zerbrechen zunächst, aber man kann also elektrische Spannungen herstellen. Da werden wir uns also jetzt anschauen, wie können wir... für dieses Gesamtsystem aller drei oder dann aller N Kondensatoren, wann N da sind, eine Gesamtkapazität ausrechnen, wann die Einzelkapazitäten das sind, was sie sind. Und das geht relativ gut.

Denn man sieht natürlich sofort, die Summe aller Einzelladungen auf jedem dieser Kondensatoren ist gleich der Gesamtladung dieses ganzen Systems. Weil die Ladungen addieren sich ja alle auf den oberen Platten und auf den unteren Platten und damit kriegt man diesen einfachen Zusammenhang. Und jetzt gilt da natürlich...

Dass wir einerseits haben, die Qi, die Ladung auf jedem dieser Kondensatoren, ist gemäß der Definition der Kapazität Ci mal der immer konstanten angelegten Spannung U0. Und andererseits wieder aufgrund der Definition der Kapazität wollen wir auch schreiben, die Gesamtladung, also Summe der Ladungen auf allen Kondensatoren, ist dann natürlich entsprechend gleich einer Gesamtkapazität wieder mal U0. Weil an dem gesamten Ding, was ich da eingeringelt habe, liegt ja natürlich wieder diese selbe Spannung U0. Und wenn man das einsetzt in diese Gleichung, dann kriegen wir Summe über Qi, das ist einfach Summe über CiU0.

ist gleich Q. Das ist C mal U0. Und das ist leicht.

Jetzt brauchen wir da nur das U0 herausheben und kürzen. Und es bleibt sofort stehen, die Gesamtkapazität C des ganzen Systems ist die Summe über I, C, I. Bei Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich deren Kapazitäten. Diejenigen unter Ihnen, die sich noch ein bisschen mehr erinnern, wie das schon war, dann mit den Strömen und mit den Widerständen, werden das komisch finden, weil bei den Widerständen, sage ich jetzt einmal nur zwischendurch, ein bisschen vorausgreifend, ist es so, dass wenn man die Widerstände in Serie schaltet, addieren sich die Widerstände zum Gesamtwiderstand.

Aber Widerstände sind keine Kondensatoren. Das ist etwas anderes. Und hier ist es, habe ich mich nicht geirrt, sondern es ist wirklich anders.

Es ist so, das heißt nicht, dass ich mich nicht einmal irren könnte, aber jetzt habe ich mich nicht geirrt, dass also die Gesamtkapazität dieser Parallelschaltung gleich ist, ergibt sich als Summe der Kapazitäten der Einzelkondensatoren. Und man kann sich das also dadurch sehr einfach klar machen, dass man sich ja denken kann, diese zusammengeschalteten Platten da oben, das ist ja wie eine breite Platte und da unten wie eine andere breite Platte. Das ist einfach x-mal der Kondensator mit verschiedenen Kapazitäten da halt zusammengeschaltet, aber alles liegt an derselben Spannung U0, daher kommt das so heraus.

Bei Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich die Einzelkapazitäten zur Gesamtkapazität dieses Systems. Gut, kein Protest. Gut, dann tun wir als nächstes die Serienschaltung.

Das kommt natürlich auch vor bei elektronischen Schaltungen zum Beispiel. Von den Statoren. Das geht ganz analog.

Also schalten wir sie in Serie. Was haben wir dann, wenn wir sie in Serie schalten? Da haben wir also eine Spannung U0, wieder da an einer solchen Spannungsquelle. Und da sind sie jetzt alle.

Der eine, der zweite, der dritte und so weiter hängen da so zusammen. Da haben wir C1, schreibe ich da besser da herinnen her. C1, C2, C3. Und an diesen Kondensatoren fallen da Spannungen ab. Da haben wir ein U1, ein U2 und ein U3.

Allgemein ein UI. Nun, jetzt aber muss man sich im Klaren sein, was denn da eigentlich passiert in dem System. Da müssen wir uns jetzt wieder zurückerinnern an die Influenz.

Wenn Sie sich zum Beispiel das hier jetzt so rot eingerindelte Stück von der ganzen Schaltung anschauen. Das hängt ja da frei in der Luft. Das ist nirgends elektrisch angeschlossen in dem Sinn. Das ist einfach etwas, was zunächst so ein Stück Leiter ist, mit zwei Platten dran.

Und wenn man da jetzt eine Spannung anlegt, dann ist da eine Plusladung und da unten eine Minusladung. Und durch Influenz verschieben sich in diesem Teil jetzt die Ladungen so. dass da so Minusladungen nach oben und Plusladungen in gleicher Anzahl nach unten gehen.

Also da sind so Minusladungen, da sind Plusladungen. Und das heißt, dass die Ladung auf der Platte gleich der Ladung auf der sein muss. Was soll es denn sonst sein? Ursprünglich war das Ganze ja ungeladen, bevor ich die Spannung anlege. Daher können die nur gleich sein.

Und das geht da so quasi mit vollständiger Induktion weiter. Das heißt, die tragen alle die gleiche Ladung. Was sollen denn die Dinger sonst machen? Also während bei der Parallelschaltung die Spannung an allen das gleiche war, also das U0 ist konstant, was ich habe ich am besten geschrieben, gleiches U0, so.

Gleiches U0 an allen Ci. Haben wir hier gleiche Ladung aller Ci. Gleiche Ladung Q in allen Ci.

C, I. Ja? Ich glaube, das ist in beiden Fällen unmittelbar ersichtlich. Also was haben wir?

Wir haben hier die Summe über alle Ui, ist gleich der Gesamtplatz Spannung U0. U1 plus U2 plus U3 und so weiter, liefert in Summe diese Spannung U0. Weil die eben hintereinander aufgebaut sind. Und es geht ja um eine Arbeit. Spannung ist Arbeit pro Ladungseinheit.

Also hier haben wir Summe über i ist ui ist gleich u0. So wie wir hier diese Summe über qi ist q gehabt haben. So haben wir Summe über ui ist u0.

Und jetzt gilt wieder was. Es gilt in dem Fall jetzt, dass das ui gleich ist q durch ci. Jetzt nützen wir, dass die gleiche Ladung Q auf jedem dieser Kondensatoren ist. Und entsprechend der Definition der Kapazität ist jetzt die I der Spannung Ui gleich Q durch Ci, wenn das C die entsprechende Kapazität des jeweiligen Kondensators ist.

Wir machen nur Definitionen, die wir ausnutzen. Ich stäniere mich fast dafür, wie einfach das alles ist. Aber es ist halt so. Und ich bin ja froh, dass es nicht komplizierter ist, dass man die Dinge einigermaßen leicht akzeptieren kann.

Es wird schon komplizierter, warten Sie nur ab. Das ist das eine. Und das andere ist, wir können jetzt natürlich auch wieder...

das Gesamtsystem von den ganzen in Serie geschalteten Kondensatoren anschauen und dann ist dieses U natürlich gleich nach Definition Q durch C, wobei C jetzt die Gesamtkapazität ist und Q wieder die Ladung in dem ganzen System. Es ist immer wieder dieselbe Ladung Q. Und daher kriegen wir jetzt ganz analog aus der Gleichung jetzt Da haben wir hier diese beiden. Kriegen wir heraus, Summe über Ui. Da haben wir also Summe über Ui. Das ist aber Q durch Ci ist gleich das U0.

Und das ist Q durch C. Na ja, und da sehen Sie jetzt, hier können wir das Q herausheben und dann durch Q kürzen. Und was kriegen wir damit? Sofort als Ergebnis, dass 1 durch C gleich ist Summe über I, 1 durch CI.

Also bei der Parallelserien-Schaltung von Kondensatoren ist es so, dass hier sich die Reziprok-Werte der Kapazitäten zur Gesamtkapazität zusammenfügen. Das ist jetzt das, was diejenigen unter Ihnen, die das schon wissen, bei den Widerständen und dem Ohmschen Gesetz da, man für die Parallelschaltung von Widerständen kennt. Also die Kondensatoren haben da ein etwas anderes Verhalten und ich glaube, ich konnte Ihnen zeigen, wieso das so ist. Na ja, und jetzt...

Jetzt möchte ich für heute noch zum Abschluss, morgen setzen wir das fort, eine Vorbereitung beginnen dafür, dass wir uns dann in weiterer Folge über die materiellen Eigenschaften von die Elektriker in einem Feld auseinandersetzen damit. Also nicht mehr nur Vakuum, sondern wir schauen uns an, was passiert, wenn in einem elektrischen Feld... Und da kommt jetzt noch einmal der Plattenkondensator dann.

Also zum Beispiel zwischen den Kondensatorplatten eines Plattenkondensators, wenn man ein Medium dazwischen schaltet, was passiert? Kann uns das vielleicht sogar dienlich sein? Und Sie werden sehen, es kann sogar die Kapazität vergrößern.

Sehr gut, denn das will man ja. Also schauen wir uns das an. Wir schauen uns also an, ob jetzt die elektrischen... Eigenschaften der Materie. und betrachten insbesondere die Elektriker.

Das sind materielle Körper, meist Festkörper, manchmal auch Flüssigkeiten, vielleicht auch Gase. Die Elektriker sind Körper, die praktisch keine elektrische Leitfähigkeit haben, so wie ein Stück Holz oder ein Stück Porzellan oder ein Stück Glas oder so etwas. aber deren Anwesenheit das vorher vorhandene Feld in einer gewissen Weise verändern. Und wie sie das tun, das werde ich Ihnen heute und morgen näher auseinandersetzen.

Insbesondere ist es wichtig, dass man sich darüber klar ist, dass da dann die molekularen Eigenschaften dieses jeweiligen Dienstes, dieses Dielektrikums, eine Rolle spielen. Und wiederum was an diesen Eigenschaften? Vor allem die Eigenschaft, dass Moleküle sogenannte Dipole sein können.

Und wir wollen daher als erstes über elektrische Dipole sprechen. Was versteht man unter einem elektrischen Dipol? Das bringen wir heute schon unter. Sie sind ja jung und konzentrationsfähig, Sie können das noch. Bei so einem elektrischen Dipol betrachten wir eine negative und eine positive Ladung, die sich in einem gewissen Abstand d befinden.

Und wir schauen uns den Vektor d-Pfeil an, der von minus q nach plus q gerichtet ist. Minus q nach plus q, da zeigt dieser Abstandsvektor d. Außerdem legen wir da gleich...

Eine Z-Achse hinein in diesen Dipol. Und dazwischen drin machen wir den Ursprung unseres Koordinatensystems. Und jetzt wollen wir irgendeinen Punkt anschauen, der da herüben vielleicht wo ist. Ein Punkt, wo ein Beobachter sitzt. Den interessiert, was dieser Dipol hier für ein Feld erzeugt.

Na, wie wird denn so ein Feld ausschauen? Das habe ich Ihnen mitgebracht, zum zweiten Mal schon. Ich habe es Ihnen schon einmal gezeigt. Heute zeige ich es Ihnen ein zweites Mal.

So schaut es jetzt aus. Unten haben wir das Minus, oben haben wir das Plus. Minus Q bis Plus Q. Dazwischen hier ist dieser Vektor D-Pfeil, der hier so nicht eingezeichnet ist.

Macht ja nichts. Und Sie sehen, dass sich da rundherum ein doch relativ kompliziertes elektrisches Feld ausbildet. Also das ist jetzt schon ein bisschen was anderes als diese einfachen Felder rund um eine Ladung.

Das ist hier ein elektrisches Dipolfeld. Sie sehen da vom Plus geht das da so herunter nach Minus, beziehungsweise dann so herum, auf der anderen Seite auch. Aber innen gehen die Feldlinien in der Gegenrichtung. Das habe ich da blöderweise jetzt so nicht eingezeichnet.

die gehen da in der Gegenrichtung hier. Aber das ist ja konsistent mit dem, was da sonst eingezeichnet ist. Also außen dann geht das Feld so herunter und hier auch so herunter. Aber innen geht es also so, dass es da rauf und da runter geht. Und da geht es hier so von Plus nach Minus.

Also Sie sehen, ja eigentlich kann man sagen, es geht in der gleichen Richtung. wie das Feld außen herum. Aber zunächst einmal gehst du da entgegenweg und schließt sich dann herunten so zusammen. Also ich lasse das Feld da liegen.

Es schadet ja nichts, wenn wir das da liegen haben. So als Hintergrund für die letzten drei Minuten. Na ja, und jetzt wollen wir uns halt überlegen, wie kann man so ein Feld beschreiben? Na und da muss man natürlich, um das genauer zu machen, da die Ortsvektoren betrachten von den jeweiligen Felderzeugenden Ladungen.

Der Groß-R, das ist der Ortsvektor vom Ursprung zwischen, in der Mitte zwischen den Ladungen. Und dann haben wir hier einen Vektor R1-Pfeil, der von der positiven Ladung zu dem Aufpunkt hin zeigt. Das ist R-Pfeil minus.

d-Pfeil halbe, wie man sich leicht überlegen kann, weil da hier ist d-Pfeil halbe. Und andererseits gibt es da unten noch einmal so einen Vektor r2-Pfeil. Die unterscheiden sich nicht viel, weil der Punkt soll recht weit weg sein im Verhältnis zu diesem Vektor d hier. Das r2-Pfeil ist jetzt... R-Pfeil plus dieses D-Pfeil halbe.

Aber das D soll wie gesagt klein sein, geht hingegen die Distanz dahin zu diesem Beobachtungspunkt. Und um sich da jetzt ein Bild zu verschaffen, wie dieses Feld jetzt konkret quantitativ ausschaut, wollen wir hier versuchen, das jetzt auszurechnen durch Überlagerung des Feldes von der Ladung und des Feldes von der Ladung. Dazu verwenden wir eine wichtige Definition.

Diese Definition ist... das ist die Definition des elektrischen Dipolmoments. Merken Sie sich die.

Sie ist wichtig. Sie ist einfach gleich Q, dieser Ladung, die da plus Q und da minus Q ist, mal den Vektor D-Pfeil. Das heißt, dieses elektrische Dipolmoment ist gleich gerichtet mit dem Vektor D. Das ist das PE-Pfeil und ist also ein Vielfaches von dem D-Pfeil. Und das Vielfache ist eben die Größe der Ladung. Das versteht man unter dem Dipolmoment.

Und jetzt können wir uns relativ einfach zunächst einmal das Potential ausrechnen. An diesem Punkt mit dem Ortsvektor R-Pfeil. Beim Punkt P. Das ist ein Phi.

Abhängig. Vom Ortsvektor R-Pfeil. Das ist ganz einfach.

Da haben wir natürlich das übliche Q durch 4PiE0. Und dann haben wir 1 durch R. Aber jetzt haben wir zwei verschiedene 1 durch R. Einmal haben wir das und einmal haben wir das.

Das unterscheidet sich ein bisschen. Also kriegen wir da 1 durch einmal dieses R-D halbe und den Betrag davon. und dann minus, weil da ist jetzt die negative Ladung, minus, da bleibt aber plus Q, aber da haben wir das Minus, 1 durch Absolut von R-Pfeil plus B-Pfeil halbe.

Und das habe ich mir vorgenommen, Ihnen nicht im Einzelnen vorzurechnen. Mit wenigen einfachen Schritten, die Sie aus unserem Buch zum Beispiel und auch von schier anderen Quellen sich nachrechnen können, kriegen Sie für den Fall, dass absolut Erbfeil sehr groß ist. gegen dieses absolut D-Pfeil.

Wie gesagt, wir sind weit weg im Verhältnis zur Größe dieses Dipols. Können wir eine Reihenentwicklung machen? Und abbrechen nach dem ersten Glied. Das ist wirklich nichts Kompliziertes.

Was herauskommt ist, dass dieses Phi von R-Pfeil das wir da oben hier aufgeschrieben haben, sich darstellen lässt. Jetzt aber ungefähr, weil wir da nach dem ersten Glied der Reihenentwicklung abbrechen. q durch 4pi y0 und die Klammer, das ist es ja, mit zwei ungefähr gleich großen Termen, die man in einer Reihe entwickeln kann.

Und da kommt heraus, d-Pfeil, r-Pfeil durch r der dritten. Die Speil, Erbspeil. durch R der Dritten. So kann man das also näherungsweise ausrechnen. Und damit kommen wir schon zum Ende.

Das habe ich Ihnen jetzt nicht bewiesen. Ich sage das ausdrücklich, dass Sie sich jetzt nicht nachher beim Durchlesen schauen, wie ist er denn auf das gekommen. Das habe ich Ihnen jetzt nicht im Einzelnen vorgeführt. Aber das können Sie sich in meinem Buch oder sonst wo genauer anschauen. Das ist keine Hexerei.

Und das lässt sich also umformen, dieses Pi von R. Lässt sich also dann schreiben, wenn man dieses d skalar mit r dann sich überlegt, da haben wir da ist d, da ist r, da ist der eingeschlossene Winkel Theta zwischen d und r, je nachdem wo ich sitze da bei diesem Aufpunkt. Das lässt sich daher schreiben, wenn Sie berücksichtigen, dass das p e gleich q mal d ist.

q mal d ist das PE, das ist kriegen PE-Pfeil, Skalar mit R-Pfeil und dann steht also unten 4PiE0 mal und dann haben Sie ein R der Dritten von da, schreibe ich nur ab. Aber dieses PE-Skalare mit R, das lässt sich jetzt leicht aufschreiben als den Betrag von PE mal den Betrag von R mal den Kosinus dieses Winkels Theta. Einer Betrag mal anderer Betrag mal Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

Und da wieder dividiert durch 4Pi Epsilon 0 R der Dritten. Und jetzt, jetzt habe ich heute vier Minuten in einem Schock gestohlen. Ich schande über mein Haupt.

Wir werden es wieder einbringen. Geht dieses R weg gegen das und da bleibt ein Quadrat stehen. Meine Damen und Herren, wir kriegen hier...

etwas ganz Neues, ein Potenzial, ein elektrisches, das nicht mit 1 durch R geht, wie bei der Punktladung, sondern mit 1 durch R². Das nimmt stärker ab. Das ist kein Wunder, weil die beiden Ladungen kompensieren einander ja teilweise. Das kann nicht so gut gehen, wie wenn man nur eine hätte. Und natürlich können Sie jetzt auch wieder nützen, dass E-Pfeil gleich Minusgradient von Vies.

Und wenn man da also noch R ableitet, kommt also heraus... dass der Betrag des elektrischen Feldes, der Feldstärke proportional ist, wenn das schon 1 durch r² ist, zu 1 durch r³. Das wollte ich heute noch zu Ihnen hinüberbringen mit fünf überzähligen Minuten.

Also das Feld in der Umgebung eines elektrischen Dipols fällt stärker ab als das Feld einer Punktlautung. Die Feldstärke geht nicht mit 1 durch r², sondern mit 1 durch r³. Das Potenzial geht nicht mit 1 durch r, sondern mit 1 durch r².

Und es hängt außerdem da noch mit dem Kosinus zusammen. Und damit sehen Sie also schon im Wesentlichen, was diese Dipole so an sich haben. Morgen werden wir darüber sprechen, wie sich diese Dipole in einem äußeren Feld verhalten werden und dann gleich die Anwendung auf die Eigenschaften von die elektrischen Medien durchführen. Danke. Vielen Dank.

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8) Plattenkondensator und Elektrostatische Grundlagen