हेलो स्टूडेंट क्या हाल-चाल हैं आप लोगों के उम्मीद करता हूं सब बढ़िया होंगे और मजे कर रहे होंगे तो आज के लेक्चर में हम लोग स्टार्ट करने जा रहे हैं एक्सरसाइज 5.1 ऑफ क्लास ट्वेल्थ मैथमेटिक्स चैप्टर नंबर फाइव कंटिन्यूटी और डिफरेंशियल तो इसका इंट्रोडक्शन ऑलरेडी पढ़ा चुका हूं दो लंबे-लंबे पार्ट्स में हमने इंट्रोडक्शन पटाया था सो जितनी भी एंटीरे पॉसिबिलिटीज ऑफ कॉन्सेप्ट हो शक्ति थी वह सभी के सभी कॉन्सेप्ट आपको बताए गए थे उनको अप्लाई भी करके दिखाए गया था मोर थान 10 एग्जांपल्स हमने सॉल्व किया थे फ्रॉम डी एनसीईआरटी तो जो हमने शिखा है वही से चीज हमें अप्लाई करनी है एक्सरसाइज क्वेश्चंस में तो हालांकि एक्सरसाइज क्वेश्चंस हमेशा बच्चों के लिए होती है बट कुछ क्वेश्चन में या तो बच्चों को डिफिकल्टी ए जाति है या फिर ऐसा हो सकता है की वह सॉल्व कर रहे हैं बट उनको वेरीफाई करना है की सही तरीके से भी सॉल्व कर रहे हैं की नहीं कर रहे हैं तो बच्चों की सौलियत के लिए हर क्वेश्चन का जो सॉल्यूशन है वह मैं यहां पर लिखूंगा ठीक है और आपको समझाऊंगा ठीक है तो बस मेरी कोशिश यही रहेगी की आपको बेहतरीन तरीके से हर क्वेश्चन का एक्सप्लेनेशन बताया जाए इसके अलावा स्टूडेंट बस मैं ये कहना चाहूंगा की हर क्वेश्चन को मेरे सॉल्व करने से पहले आप हमेशा वीडियो को पॉज करके खुद से सॉल्व करने की कोशिश जरूर करें तभी कुछ सीखने की एक क्यूरोसिटी पैदा होगी और सीखने में मजा भी आएगा ठीक है स्टूडेंट तो आई बढ़ते हैं एक्सरसाइज की तरफ और स्टार्ट करते हैं अपने एक्सरसाइज सो एक्सरसाइज में डी वेरी फर्स्ट क्वेश्चन जो है वो आपको दिया गया है कृपया एफसी = 5x - 3 इसको मैं प्रूफ करना है ये जो फंक्शन है वह कंटिन्यू है कहां पर यह कंटीन्यूअस है कहां पर फंक्शन को कंटीन्यूअस प्रूफ करने को बोल रहा है सो इस क्वेश्चन को सॉल्व करने के कई मैथर्ड हो सकते हैं ठीक है सबसे पहले तो यह एक पॉलिनोमीयल फंक्शन है और आप सिंपल का सकते हो की भैया ये एक पॉलिनॉमियल फंक्शन है और पॉलिनॉमियल फंक्शन दुनिया में हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं पॉलिनॉमियल फंक्शंस आर कंटीन्यूअस एट अवर कंटीन्यूअस एट जो एक्स बिलॉन्गस तू आर तो जब वो सभी रियल नंबर पे कंटीन्यूअस होते हैं तो जीरो पे भी कंटीन्यूअस होंगे -3 में भी कंटीन्यूअस होगी और एक्स = 5 पे भी कंटीन्यूअस हो गया एक तरीका तो ये है इस क्वेश्चन को सॉल्व करने का दूसरा तरीका क्या है अब दूसरा मेथड क्या कर सकता हूं मैं मैं इसका ग्राफ ऑब्टेन कर सकता हूं ग्राफ देखिए सिंपल है बच्चों नाइंथ क्लास में सीखने हैं स्ट्रेट लाइन का ग्राफ खींचना बच्चों बहुत ध्यान से देखेंगे तो इस तरह की आपको एक स्ट्रेट लाइन मिल जाएगी ना स्ट्रेट लाइन मिल जाएगी और इसको आप एक्सटेंड भी कर सकते हैं इसको आप एक्सटेंड कर सकते अब जब इसको आप स्टैंड कर देंगे [संगीत] तो अब आपको भी पता है ना मां लो ये ग्राफ मैंने ड्रॉ कर दिया ठीक है थोड़ा सा ग्राफ कुछ इस तरीके का है थोड़ा फूल करिए अब बच्चों अगर बहुत ही ध्यान से समझेंगे बच्चों अगर मैंने यह ग्राफ एक्सटेंड कर दिया तो ये इधर भी पॉजिटिव इंफिनिटी तक जाएगा इधर ये नेगेटिव इंफिनिटी तक जाएगा तो अब आप ये समझ सकते हो की यार अगर एक्स = में जीरो पे चेक कर रहा हूं तो भी फंक्शन कंटीन्यूअस भैया फंक्शन एक्स इक्वल तू जीरो पे भी विदाउट लिफ्टिंग डी पेन विदाउट लिफ्टिंग डी पेन ग्राफ चले जा रहा है ना कोई कोई ब्रेक तो है नहीं ठीक है ना और एक्स = -3 पे भी अगर आप देखो तो भी ग्राफ ऐसे चला जा रहा है इधर भी कंटिन्यू है और अगर कल को अगर एक्स = 5 की बात करेंगे तो भी क्या होगा भैया ग्राफ जो है जो ग्राफ है वो तो हमारा कंटिन्यू है ना भाई तो इसका मतलब एक्स = 5 पे भी क्या हो रहा है तो ग्राफिकल हम इसको फूल कर सकते हैं शायद एग्जामिनर को फूल करवा पाएंगे और आपको सॉल्यूशन रतवा डन बट मेरा वो कम नहीं है अब जो भी पढ़ रहे हैं अगर आप बेसिकली पढ़ रहे हैं तो कम से कम उसको तो अच्छे से पढ़ें ठीक है ना तो दूसरा मेथड मतलब ग्राफिकल है बट ग्राफिकल मेथड होता है सूट नहीं करता है ग्राफिकल मेथड से हम लोग खुद तो फूल कर पाते हैं बट एग्जामिनर को ज्यादा अच्छे से फूल नहीं करवा पाते हैं ना तो इसका फिर हम लोग इसकी जगह हम लोग क्या करेंगे यूजिंग डी कॉन्सेप्ट ऑफ लिमिट तो हम लोग अब यूजिंग डी कॉन्सेप्ट ऑफ लिमिट कॉन्सेप्ट ऑफ लिमिट का इस्तेमाल करते हुए इस क्वेश्चन में कंटिन्यूटी को शो करेंगे देखिए बच्चों अगर आप बहुत ही ध्यान से देखें 5x - 3 है ना हर जगह 5x - 3 है फंक्शन की वैल्यू भैया ये फंक्शन की वैल्यू तो किसी भी रियल नंबर ऑफ किसी भी रियल वैल्यू ऑफ एक्स के लिए है ना ये तो किसी भी रियल वैल्यू ऑफ एक्स के लिए मां लो अगर हम लोगों को एक्स = 0 पर कंटिन्यू ही चाहिए तो जीरो पे फंक्शन जीरो के लेफ्ट पे फंक्शन जीरो के राइट पे फंक्शन से ही है ठीक है तो लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन की अगर मैं बात करूं तो भैया एक्स की वैल्यू जब जीरो का अप्रोच कर रही है चल लेफ्ट से करें चाहे राइट से करें फंक्शन क्या है 5x - 3 तो एक्स की वैल्यू जब जीरो पट करोगे तो यहां -3 ए जाएगा फंक्शन की वैल्यू कितनी होगी जीरो रखोगे तो -3 ए जाएगा 5 * 0 - तो हमने देखा की भैया आगे मैं कहूंगा एस एक्स इक्वल तू जीरो लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन इसे इक्वल तू फंक्शन की वैल्यू एट फंक्शन की क्योंकि लिमिटिंग वैल्यू और फंक्शन की वैल्यू दोनों को दिखा दिया तो हमारे साथ क्या हो गया हमने फंक्शन को एक्स = 0 पर कंटीन्यूअस दिखा दिया अब बच्चों अगर मैं एक्स = 0 पर कंटीन्यूअस दिखा सकता हूं तो क्या मैं इसी तरीके से से तरीके से एक्स की अदर वालुज पे भी कंटिन्यूट शो कर सकता हूं क्या एक्स की अदर वैल्यू पर भी कंटिन्यूट शो कर सकता हूं क्या देखेंगे जरा जैसे पर एग्जांपल अगर मैं एट एक्स = -3 की बात कर रहा हूं तो देखिए आप बहुत ध्यान से देखिए बच्चों एक्स = -3 एक्स = -3 फंक्शन हमारा जो 5x - 3 है ना ये जो एक्स वालुज के लिए फंक्शन है ये है ना ये जो अगर नहीं भी दिया हुआ है तो आईटी इस जो एक्स वैल्यू अगर दिया होता या देखो ना अगर कुछ भी मेंशंड नहीं है जब उन्होंने कहा सिर्फ प्रूफ डेट डी फंक्शन इसका मतलब क्या है एक लाइनर फंक्शन है आईटी इस वैलिड पर जो एक्स बिलॉन्गस तू आर ठीक है ना तो अगर कोई कंडीशन होती तो देते कंडीशन नहीं दी है तो हम बाय डिफॉल्ट क्या मानेंगे की भैया सभी रियल वैल्यू वैल्यू -3 के लेफ्ट में फंक्शन की डेफिनेशन राइट में फंक्शन की डेफिनेशन तो हम लोग क्या करेंगे हम लोग लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन निकलेंगे आते माइंस थ्री अब बच्चों बहुत ध्यान से समझो मैं एक्स की वैल्यू -3 को चाहे लेफ्ट से अप्रोच करें चाय राइट से प्रपोज करें ठीक है ना फंक्शन क्या है 5x - 3 मतलब -3 पंजे 15 - का अब देखो यहां पे कितना हो जाएगा 5 * -3 डायरेक्ट सब्सीट्यूशन से माइंस 15 और माइंस तीन माइंस का 18 अब अगर फंक्शन की वैल्यू मैं निकालना चाहूंगा कहां पर बच्चों आते एक्स = -3 तो एक्स = -3 पट कर देंगे भैया तो 5 * -3 -3 डेट मिंस ये कितना हो गया माइंस का 15 - 3 - 18 ठीक है बच्चों क्लियर है सो दिस इसे डी फंक्शन वैल्यू अब क्योंकि लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन एस एस लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन की वैल्यू एट -3 ठीक है ना तो हम लोग क्या का सकते हैं कंटिन्यू सेट एक्स इक्वल तू -3 पर कंटिन्यूटी दिखाई पर हम लोग कंटिन्यूटी दिखा सकते हैं ठीक है तो एक्स = 5 पर भी आप कंटिन्यूटी दिखा दीजिए ना तो मैं फोर यहां लिख दे रहा हूं 4x = 5 है ना डू योरसेल्फ अपने आप आप करके दिखाएंगे बिल्कुल सिमिलरली है ना सिमिलरली सी मेथड से तो फटाफट से स्टूडेंट वीडियो को पॉज करेंगे और नोट करेंगे ठीक है तो ग्रैजुअली वन बाय वन एक के बाद एक क्वेश्चंस देखेंगे फूल करेंगे सॉल्व करने की कोशिश करेंगे नहीं होगा तो समझना की कोशिश करेंगे नहीं ठीक है ना रतन नहीं है मेरे भाई ठीक है चले आगे चले बहुत बढ़िया बात है ओके अब स्टूडेंट मैं एक से अधिक मेथड से क्वेश्चन आपको मैं बता दूंगा बट सॉल्व हम लोग कोशिश करेंगे की मेथड से करें क्योंकि क्योंकि फिर एक्सरसाइज खत्म नहीं हो पाएगी क्योंकि 30 क्वेश्चन है एक्सरसाइज के अंदर और इसको दो पार्ट में रिकॉर्ड करना पड़ेगा 30 के 30 क्वेश्चन अगर हम सॉल्व करने लगे और उन्होंने एवरेज दो से तीन घंटे की एक्सरसाइज लेक्चर बन जाएगा ये है ना सो का रहा है एग्जामिन डी कंटिन्यूटी ऑफ डी फंक्शन अब ये फंक्शन है देखो सबसे पहले तो आप देख के समझ में समझ गए होंगे इट्स एन क्वाड्रेटिक फंक्शन ये क्वाड्रेटिक फंक्शन है और क्वाड्रेटिक फंक्शन को हम लोग क्वाड्रेटिक फंक्शन किस कैटिगरी में आता है पॉलिनॉमियल की कैटिगरी में ये पॉलिनोमीयल का कौन सा टाइप है क्वाड्रेटिक टाइप है आईटी इसे डी क्वाड्रेटिक फंक्शन हर जगह कंटिन्यू होता है है ना देखिए जिन बच्चों ने कॉन्सेप्ट नहीं देखा जो डायरेक्ट लेक्चर के जो सॉल्यूशन रतन छह रहे हैं उनको कुछ समझ में नहीं आएगा इसलिए मैं आपको बार-बार कहूंगा की प्लीज जाकर लेक्चर का इंट्रोडक्शन जरूर देखें तो प्रॉब्लम फंक्शन करेंगे [प्रशंसा] तो हंस कंटीन्यूअस होगा कहां पे भी कंटीन्यूअस आते एक्स = 3 तो आप का सकते हो ठीक है बट अगर आपको यूजिंग डी कॉन्सेप्ट ऑफ लिमिट इसको शो कर रहा है है ना तो यूजिंग डी कॉन्सेप्ट ऑफ लिमिट आपको अगर आपको यूजिंग डी कॉन्सेप्ट ऑफ लिमिट आपको अगर इसको शो करना है की भैया कंटिन्यूटी आप शो करिए तो हम लोग इसको मेथड तू भी करवा दे रहे हैं देखिए एक्स = 3 पे और उसके लेफ्ट में और उसके कर राइट में फंक्शन क्या है हमारा आईटी इस 2 * x² - 1 अब बच्चों बहुत ही ध्यान से देखिएगा मैं का रहा हूं यहां पर देखिएगा यह पे भी देख लीजिएगा लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन एक्स की वैल्यू 18 में से एक गया 17 तो लिमिटिंग वैल्यू 17 हो गई ठीक है क्लियर है भैया लिमिटिंग वैल्यू कितनी हो गई अब स्टूडेंट बहुत ही ध्यान से देखेंगे फंक्शन की वैल्यू आते थ्री कितनी होगी तो एक्स की जगह थ्री रख दो भैया तो 2 * 3² - 1 सो 3 * 3 = 9 दुनी 18 में से 11 17 सो अगर आप देख रहे हैं की भैया लिमिटेड वैल्यू ऑफ डी फंक्शन और फंक्शन की वैल्यू आते एक्स = 3 दोनों इक्वल है तो हम लोग क्या बोलेंगे बच्चों क्या बोलेंगे बच्चों जल्दी बोलो हम लोग बोलेंगे की एस लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन आते एक्स इक्वल तू जीरो सॉरी एट एक्स इक्वल तू थ्री लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन आते एक्स = 3 और फंक्शन का वैल्यू ठीक है क्लियर है क्या सिंपल है यह फंक्शन है वह का रहा है इसको कंटिन्यूटी के लिए एग्जामिन करो हम कहते हैं की सबसे पहले बात तो यह एक लाइनर फंक्शन है लाइनर फंक्शन कैसे होते हैं पॉलिनॉमियल फंक्शन जो की हर जगह कंटीन्यूअस होता है जो एक्स बिलॉन्गस तू आर ग्राफिकल मेथड से आप इस ग्राफ को बना भी सकते हो एफ = 0 पर एक्स = 0 पर क्या हो जाएगा -5 1 2 3 4 5 ठीक है सो बेसिकली एक पॉइंट तो हमें यहां मिल जाएगा और व्हेन ए = 0 एक्स = 5 1 2 3 4 5 है ना अब स्टूडेंट बहुत ही ध्यान से देखेंगे तो खाने का मतलब हमको स्ट्रेट लाइन मिल गई कैसे स्ट्रेट लाइन मिल गई भैया बहुत ध्यान से देखेंगे एस स्ट्रेट लाइन मिल गई अब आपको भी पता है की यार इसको आप कितना भी एक्सटेंड कर दो ये तो इसका मतलब हर जगह कंटिन्यू होगी ना भैया इधर ये मां के चलिए इधर ये मां के चलिए पॉजिटिव इंफिनिटी तक चला जाएगा लेकिन ये ग्राफ कहानी पे भी ब्रेक थोड़ी हो रहा है कंटिन्यू ग्राफिकल आईटी इस कंटीन्यूअस ग्राफिकल टिप्स बच्चों बहुत ही ध्यान से देखिएगा बच्चों अब एफसी = एक्स - 5 है मैं कहता हूं की कोई भी रियल नंबर ले लो 4 अन्य रियल नंबर ए किसी भी रियल नंबर एक ही बात कर रहा हूं मैं ए पे ए के लेफ्ट में ए के राइट में तो फंक्शन यही रहेगा यही रहेगा तो इसका मतलब हम लोग क्या कहेंगे बच्चों हम लोग कहेंगे भाई किसी भी रियल नंबर ए पे बात कर रहे हैं तो अब ए पे क्या होगा लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन लिमिटेड = फंक्शन की वैल्यू आते यानी की किसी भी रियल नंबर पर यह फंक्शन कंटीन्यूअस होगा मतलब यानी की इसका मतलब कंटीन्यूअस एफसी इस कंटीन्यूअस एट अन्य ए बिलॉन्गस तू आर यानी की किसी भी रियल नंबर पे कंटीन्यूअस तो हमने तीनों मेथड से इस फंक्शन को कंटीन्यूअस दिखा दिया है ठीक है तो मैं बार-बार ये डिफरेंट डिफरेंट मैथर्ड पे इसलिए कम कर रहा हूं क्योंकि जैसी जरूर अगर एक नंबर का क्वेश्चन है ऑब्जेक्टिव टाइप है तो आपने डायरेक्ट आंसर लगा दिया डिस्क्रिप्शन में दिखाना है तो आप ऐसे दिखाएंगे ठीक है ना तो इसलिए आपको पता होना चाहिए है ना डिफरेंट मेथाडोलॉजी पता होना चाहिए फिर बाकी हम लोग रिपीट नहीं करेंगे सिमिलर क्वेश्चंस में ऐसा नहीं है ठीक है स्टूडेंट फटाफट से प्लीज इसको नोट करेंगे पॉज डी वीडियो तू नोट आईटी डॉ ठीक है बच्चों चलेंगे हम इसका ग्राफ नहीं बना पाएंगे डी फॉलोइंग फंक्शन पर कंटिन्यूटी ठीक है अब देखिए बच्चों बहुत ही ध्यान से देखिएगा यह फंक्शन है ना सब लोग नाइंथ क्लास पास है ना चलिए फंक्शन एक कांस्टेंट पॉलिनॉमियल है अरे कांस्टेंट पॉलिनॉमियल है तो पॉलिनॉमियल फंक्शन हुआ कांस्टेंट पॉलिनॉमियल हुआ ये भी एक कांस्टेंट यह लाइनर पॉलिनॉमियल है तो यानी की ये फंक्शन क्या हो गया बच्चों हमारा राशनल हो गया अब राशन फंक्शन में हमने क्या बताया था आपको की राशनल फंक्शन हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं एक्सेप्ट जहां पर उनका डिनॉमिनेटर जीरो हो जाए लिमिट से भी करने की जरूर नहीं है एग्जामिन करने को बोला भाई जांच करने के लिए बोला हमने जांच कर दी तो देखो यहां पे अगर देखेंगे आंसर आप तो आंसर में बोलेगा वो अच्छा आंसर नहीं दे रखा है क्या ठीक है हम बता रहे हैं आपको की भैया पॉलिनोमीयल अपन पॉलिनॉमियल है तो राशनल फंक्शन हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं एक्सेप्ट जहां पर उनका डिनॉमिनेटर 0 हो रहा हो वहां छोड़ के तो यानी की डिनॉमिनेटर कहां जीरो हो रहा था पांच पे जीरो हो रहा था तो पांच को छोड़ के ये फंक्शन हर जगह कंटीन्यूअस होगा क्लियर है फटाफट से स्टूडेंट करेंगे फटाफट से नोट करेंगे स्टूडेंट ठीक है भैया चले आगे चले आगे चले आगे ओके से कहानी है राशनल फंक्शन की कहानी है से कहानी है रिस्टोर फंक्शन की कहानी है देखिए भैया बहुत ध्यान से देखेंगे बहुत ध्यान से देखेंगे बच्चों फंक्शन हमारे पास x² - 25 / एक्स + 5 ठीक है यह भी पॉलिनॉमियल फंक्शन है हमने आपको क्या बताया था की यह फंक्शन एफसी क्या हो जाएगा एक्सेप्ट जहां पर उनका डिनॉमिनेटर जीरो हो रहा जहां पर उनका डिनॉमिनेटर - 5 तो -5 को छोड़कर यह फंक्शन हर जगह कंटीन्यूअस होगा तो ऐसे कुछ फंक्शन को हम लोग अलजेब्रा ऑफ कंटिन्यूटी से भी सॉल्व कर देते हैं या डेफिनेशन ऑफ डी फंक्शन से भी सॉल्व कर देते हैं ठीक है क्लियर है क्या समझ में ए रही है आपको साड़ी बातें जल्दी से बताओ [संगीत] यह कुछ क्वेश्चंस ऐसे जो पिछले 10 सालों में बोर्ड्स में नहीं आए हैं यह सिर्फ बच्चों के कॉन्सेप्ट डेवलप करने के लिए स्टार्टिंग के जो कर पांच क्वेश्चंस हैं वो सिर्फ बच्चों के कॉन्सेप्ट डेवलप करने के लिए कभी बोर्ड्स में आए नहीं है ना पूछेंगे भी तो एक नंबर में भी नहीं पूछ सकते क्या डेफिनेशन ये हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं इसके अलावा इसके अलावा अगर देखो मॉडल्स फंक्शन का ग्राफ हर बच्चे को आना भी चाहिए तो ग्राफ ड्रॉ कर सकते हो आप एफसी = माड्यूल्स एक्स - 5 बच्चों बहुत ध्यान से समझेंगे अगर अंदर की क्वांटिटी यह अगर आपकी जीरो या जीरो से बड़ी नहीं यानी की >= 0 नहीं तो मॉडल्स का कोई कम नहीं है भैया और अगर अंदर की क्वांटिटी नेगेटिव रही यानी की एक्स - 5s ली दें जीरो ठीक है तो फाइनली आपका जो फंक्शन है वो कैसा ए जाएगा ठीक है फंक्शन का ग्राफ देखें तो 5 पर यानी की बहुत ही ध्यान से देखेंगे सर मामला कहां चेंज हो रहा है 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 सो सर मामला कहां पे चेंज हो रहा है भैया एक्स = 5 पे पांच और पांच के राइट में फंक्शन की डेफिनेशन है एक्स - 5 तो अगर आप बहुत ध्यान से देखो तो हमने ग्राफ बना दिया कैसा अगर आप छह लोग तो 1 आएगा 7 लोग तो दो आएगा आठ लोग तो तीन आएगा है ना लेफ्ट में फंक्शन के डेफिनेशन कितनी है आईटी इसे एक्स माइंस देखो तो अगर आप कर लोग तो यहां पे एक आएगा तीन लोग तो दो आएगा ऐसे अब आपको दिखे रहा है यह ऐसे जाता रहेगा इधर भी ऐसे जाता रहेगा यहां पर लिखेंगे हम लोग क्लीयरली बाय इंस्पेक्शन ऑफ ग्राफ क्लीयरली बाय इंस्पेक्शन ऑफ ग्राफ इंस्पेक्शन ऑफ ग्राफ इफैक्ट्स इक्वल्स तू माड्यूल्स एक्स - 5 इस कंटीन्यूअस एट जो एक्स बिलॉन्गस तू आर तो बाय इंस्पेक्शन ऑफ ग्राफ से भी आप इसको हर जगह कंटीन्यूअस दिखा सकते हो भैया इधर ये पॉजिटिव इंफिनिटी तक जाएगा इधर भी पॉजिटिव इंफिनिटी जाएगा और हर जगह फंक्शन कई ब्रेक नहीं हो रहा है ठीक है अच्छा अब स्टूडेंट कुछ बच्चे यहां पर का सकते हैं की सर हमें तो लिमिट से भी बताओ लिमिट से भी बताओ [संगीत] मेरे को बता दीजिएगा तो मैं सारे सॉल्यूशन शॉर्ट में लिख दूंगा ठीक है अब स्टूडेंट अगर हमें इसको यूजिंग डी कॉन्सेप्ट मां लो अगर वह यहां पर क्वेश्चन को लिख दे देखो बोर्ड से कुछ पता नहीं चला मां लो वो आपके मजे लेने के लिए क्या का दे इसी क्वेश्चन को यूजिंग डी कॉन्सेप्ट ऑफ लिमिट कंटीन्यूअस प्रूफ करो क्वेश्चन को कॉन्सेप्ट ऑफ लिमिट से कंटीन्यूअस प्रूफ करने के लिए आप क्या करोगे देखो भाई पांच और पांच के राइट में फंक्शन कैसा है एक्स - 5 है भैया पांच और पांच के राइट में फंक्शन कैसा है एक्स - 5 के लेफ्ट में फंक्शन कैसा है माइंस एक्स प्लस फाइव है अब देखो हम कहेंगे हम यहां पर तीन बातें लिखेंगे हम कहेंगे ठीक है यह फंक्शन fx=x-5 है और यह भी पॉलिनॉमियल फंक्शन और पॉलिनॉमियल फंक्शन दुनिया में हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं तो इसका मतलब एक्स ग्रेटर दें फाइव पे भी कंटीन्यूअस रहेंगे बात आई है एक्स = 5 तो देखो अब पांच के लेफ्ट में अलग डेफिनेशन ऑफ फंक्शन है पांच के राइट में अलग डेफिनेशन ऑफ फंक्शन है तो हम लोग लेफ्ट हैंड लिमिट राइट हैंड लिमिट और फंक्शन की वैल्यू निकलेंगे तो देखिए पांच पे लेफ्ट हैंड लिमिट कैसी आएगी बच्चों पांच पर लेफ्ट हैंड लिमिट कैसी आएगी देखिए जब आपका एक्स का वैल्यू पांच को लेफ्ट साइड से अप्रोच कर रहा है तो फंक्शन क्या है - एक्स + 5 अब आप एक्स की जगह पांच रख दिए तो माइंस पांच प्लस पांच जीरो ए जाएगा फिर लिमिट एक्स टेंड्स तू फाइव पॉजिटिव इफैक्ट्स यानी की राइट हैंड लिमिट निकलते हैं तो फंक्शन क्या है एक्स - 5 अब आप एक्स की वैल्यू और फंक्शन की वैल्यू क्योंकि लेफ्ट हैंड लिमिट राइट हैंड लिमिट और फंक्शन की वैल्यू देखो फंक्शन 5 से छोटे पर भी कंटीन्यूअस ठीक है तो कोई क्वांटिटी अगर 5 से छोटे पर कंटीन्यूअस पांच से बड़े पे कंटीन्यूअस पांच पे कंटिन्यू तो इसका मतलब क्या है वो फिर हर जगह कंटीन्यूअस है तो इसका मतलब आईटी इंप्लाइज एफसी = माड्यूल्स यह वाली लाइन आप बाद में लिखेंगे यहां पे लिखेंगे मॉडल एसएस-5 इस कंटीन्यूअस फोर जो एक्स बिलॉन्गस तू आर तो अभी जो स्टार्टिंग के अंदर में क्वेश्चंस कर रहा हूं आपको ये सब क्यों बना रहा हूं इस तरीके से क्यों बना रहा हूं की आप हर क्वेश्चन को ना डिफरेंट डिफरेंट एंगल से देख के कॉन्फिडेंट फूल हो सके की अरे हां यार मेरे को इस क्वेश्चन को करना आता है कई तरीके हैं कोई दिक्कत नहीं है बाबा ठीक है क्लियर है क्या जल्दी बोल दो चले आगे चले चले चले स्टूडेंट बहुत ही ध्यान से देखेंगे आगे बढ़ते हैं फंक्शन फोर्थ क्वेश्चन डिग्री स आते एक्स = एन वेयर एन वेयर एन क्या है बच्चों स पॉजिटिव क्या एक बात तो मैं का सकता हूं की भैया दिस इस एन पॉलिनोमीयल फंक्शन या एन डिग्री पॉलिनॉमियल है ना ये और डिग्री पॉलिनॉमियल है और पॉलिनॉमियल फंक्शन हर जगह कंटीन्यूअस हो जाए कंटीन्यूअस पर जो एक्स बिलॉन्गस अब जब पॉलिनॉमियल फंक्शन सभी रियल नंबर्स पर कंटीन्यूअस होते हैं तो स प्लस तो बच्चा है उसका भाई रियल नंबर्स का तो बच्चा ही है ना पॉजिटिव इंतजार इस के अंदर से निकाला सो पॉलिनॉमियल फंक्शन कंटीन्यूअस पर जो एक्स बिलॉन्गस तू आर हंस हंस कंटीन्यूअस पर स पॉजिटिव इंटिगर्स और पे और के लेफ्ट पर फंक्शन ही रहेगा यानी की जब एक्स की वैल्यू एन को अप्रोच कर रही है चल लेफ्ट से करें चल राइट से करें फंक्शन क्या है एक्स पावर है अब आप एक्स की जगह एन रख दो तो एन पावर एन ए जाएगा अच्छा फंक्शन की वैल्यू एट एन कितना हो जाएगा इक्वल हो गई तो हम लोग क्या बोल सकते हैं की एस हम लोग हम लोग क्या बोल सकते हैं भैया लिमिटिंग वैल्यू ऑफ फंक्शन आते एन इस इक्वल तू फंक्शन का वैल्यू आते एन ठीक है ठीक है आगे लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन आते एन इस इक्वल तू फंक्शन का वैल्यू इंट्रोडक्शन ठीक है क्लियर यही कुछ तो देना ही है ना तो एटलिस्ट मतलब 12वीं लेवल पे इतना तो पढ़ लो ना 12वीं लेवल पर इतना तो पढ़ लो की सो डेट आगे जाके कुछ तो समझ पाव भले ही आप कॉमर्स वाले हो है ना तो कम से कम किटी तो दे पाव ठीक है तो आपको इसीलिए पटाया जा रहा है इसी तरीके से ठीक है भैया क्लियर है क्या आगे चले क्या जल्दी से बोलो आगे चले क्या जल्दी से बोलो चलिए अब ठीक है भैया कोई ऐसा प्राणी तो नहीं है जिसको जिसको कोई दिक्कत हो यह हमने दो रीजंस बताए हैं या तो आप ऊपर वाला रीजन भी लिख सकते हो और या फिर आप नीचे वाला रीजन भी लिख सकते मतलब दो तरह के सॉल्यूशन बता दिए है ना तो एक तो वन लाइनर सॉल्यूशन हो गया डेफिनेशन वाला और एक यूजिंग डी कॉन्सेप्ट ऑफ लिमिट हमने फंक्शन को कंटीन्यूअस दिखा दिया इसको क्योंकि जो बात बता रहा हूं लेकिन पीस वाइस डिफाइन फंक्शन यानी की फंक्शन है वन के राइट में किसी तरीके से डिफाइन है तो जो क्वेश्चन ए रहे हैं ये बेसिकली बोट में पूछते हैं छकवा है ना ये बोट में बहुत अच्छे से पूछा जाता है ठीक है तो इसीलिए इस इन बटन का ध्यान रखना है ठीक है ना कैसे कर रहे हैं भैया का रहा इस डा फंक्शन एफ डिफाइंड बाय तो ये जो बातें ऐसे बोलते हैं ना मैं इसको एक नंबर लाइन पे या एक्स एक्सिस पे लिख देता हूं भैया एक्स की वैल्यू वन और वन पे और वन के लेफ्ट पे फंक्शन क्या दे रखा है एफसी = एक्स और वन के राइट पे फंक्शन दे रखा है एफसी = 5 ठीक है तो फंक्शन पर क्वेश्चन है की क्या यह कंटीन्यूअस है आते एक्स इक्वल तू जीरो इसकी कंटिन्यूटी चेक करनी है कर देंगे भाई तीन जगह कर देंगे कोई दिक्कत थोड़ी है मां लो जीरो यहां जीरो पर जीरो के लेफ्ट पर जीरो के राइट पर फंक्शन क्या है एफसी इक्वल तू एक्स इक्वल तू जीरो अगर हम लोग कंटिन्यूटी चेक कर रहे हैं तो लिमिट देखिएगा लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन आते जीरो ठीक है अच्छा कुछ लोग मेथड ऑफ हा उसे करते हैं वो रोड शर्मा में मेथड दे रखा होता है देखिए जो सिंपल अलजेब्रा एक फंक्शन जरा उनके अंदर डायरेक्ट लिमिट निकाल सकते हैं हम लोग हैं ना जैसे मैं बता रहा हूं आपको मैं इसकी जरूर पड़ती है एक्स्पोनेंशियल में लोग रत्न के कुछ कुछ ट्रिग्नोमेट्री फंक्शंस के केसेस में अगर उधर की कंटिन्यूटी हम लोग चेक कर रहे हैं अभी जब तक हम एंटी ड्यूटी के अंदर जो वो ज्यादातर है ना जब कभी हमें कोई लेट से अगर हम लोग कोई प्रीवियस एयर क्वेश्चन करेंगे या कोई होता क्वेश्चन करेंगे एग्जांपल क्वेश्चन करेंगे जहां पर एक्स्पोनेंशियल लॉक्स इन वर्ल्ड है जहां पे ट्रिगोनोमेट्री का कुछ ऐसा कैसे जहां मैं थोड़ा सा लगाना जरूरी है तो वहां पर हम लोग मैं थोड़ा फैसला लगाएंगे ठीक है तो बाकी जैसा मैं बता रहा हूं आप डायरेक्ट भी निकाल सकते हो तो लिमिट एक्स टेंड्स तू जीरो लिमिटिंग वैल्यू ऑफ एक्स लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन एक्स की वैल्यू जब जीरो को लेफ्ट साइड से अप्रोच करें चाहे राइट साइड पे फंक्शन क्या है फंक्शन की वैल्यू तो एक्स है तो यानी की एक्स की वैल्यू जीरो रखोगे तो लिमिटिंग वैल्यू क्या होती है जीरो ए गई फिर आप क्या करोगे फंक्शन की वैल्यू एट जीरो निकाल लो तो एक्स की वैल्यू जीरो रखोगे तो जीरो ए गया क्योंकि एस लिमिटेड वैल्यू ऑफ दी फंक्शन आते जीरो इस इक्वल तू फंक्शन का वैल्यू आते जीरो ठीक है तो आईटी इंप्लाइज आईटी इंप्लाइज आईटी इंप्लाइज की फंक्शन इस कंटीन्यूअस एट एक्स इक्वल तू जीरो एट एक्स = 0 ठीक है आईटी इंप्लाइज फंक्शन इस कंटीन्यूअस एट एक्स इक्वल तू जीरो से अटैक्स इक्वल तू जीरो अच्छा है तो फंक्शन अलग अलग है तो हम लोग लेफ्ट हैंड लिमिट अलग निकलेंगे और राइट हैंड लिमिट हम लोग फंक्शन की अलग निकलेंगे यहां पे जीरो के लेफ्ट राइट फंक्शन की से डेफिनेशन दी इसलिए मैंने डायरेक्ट लिमिट निकाल दी ठीक है ओके लेफ्ट में यानी की जब एक्स की वैल्यू वन को लेफ्ट साइड से अप्रोच करेगी तो फंक्शन है एक्स एक्स की वैल्यू वन रखेंगे तो यहां वन ए जाएगा अब स्टूडेंट बहुत ही ध्यान से देखेंगे जब एक्स की वैल्यू वन को राइट साइड से अप्रोच कर रही है तो फंक्शन है आपका 5 अब एक्स दुनिया में कहानी भी जाता रहे फाइव तो फाइव ही रहेगा भाई ठीक है फाइव तो फाइव ही रहेगा तो यहां पे क्लीयरली बच्चों है ना अच्छा फंक्शन की वैल्यू कितनी है वन पे फंक्शन की वैल्यू कितनी है वन पे वन पे वैल्यू वन पे वैल्यू कितनी है एक्स की वैल्यू वन रखोगे तो फंक्शन की वैल्यू वन पे वन अब स्टूडेंट यहां पर साफ-साफ देखने की चीज है क्या देखने की चीज है भैया यहां पर साफ-साफ देखने की चीज है बच्चों की हम लोग बोलेंगे की क्लीयरली क्लीयरली लेफ्ट हैंड लिमिट ऑफ डी फंक्शन लिमिट ऑफ डी फंक्शन की वैल्यू फंक्शन इस नोट कंटीन्यूअस अटैक्स इक्वल तू वन क्लियर है बच्चों जल्दी से बताइएगा क्लियर है क्या अरे जल्दी बोल दो पढ़ने वालों क्लियर है क्या वेरी गुड अब स्टूडेंट वन पर भी चेक कर लिया फंक्शन क्या है लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन आते तू इसे इक्वल तू फंक्शन इसे कंटीन्यूअस आते एक्स इस इक्वल्स तू तू ठीक है बच्चों ये दोनों इक्वल है ना लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन ऑफ फंक्शन की वैल्यू लिमिटिंग वैल्यू ऑफ डी फंक्शन आते एक्स = 2 और फंक्शन की वैल्यू दोनों इक्वल हैं इसलिए फंक्शन क्या रहेगा एक्स = 2 पे कंटिन्यू हो सर रहेगा क्लियर है मेरे भाई हैं है ना बच्चों बहुत ध्यान से क्वेश्चन को पढ़ेंगे क्वेश्चन की भावना को समझेंगे का रहा फाइंड जो प्वाइंट्स ऑफ डिस्कंटीनेंट कुछ लोगों को लगता है की जहां पे फंक्शन की डेफिनेशन ब्रेक है है ना पहले मुझे भी लगता है की सिर्फ वही कंटिन्यूटी चेक कर रही है लेकिन सभी प्वाइंट्स ऑफ दिस कंटिन्यूटी निकालनी है क्या निकालना है बच्चों डिस्क कंटिन्यूटी जो प्वाइंट्स ऑफ डिस्को अब स्टूडेंट बहुत ही ध्यान से समझेंगे इस फंक्शन की पुरी रूपरेखा तैयार कर लेते हैं देखिए दो और दो के लेफ्ट में फंक्शन क्या है 2x + 3 2 और 2 के लेफ्ट में फंक्शन क्या है 2x + 3 है बहुत ही ज्यादा ध्यान से देखेंगे तो सबसे पहले रियल नंबर पर चेक कर दूंगा सबसे पहले पर एक्स < 2 एक्स की वैल्यू जब दो से छोटी है फंक्शन क्या है 2x + 3 पॉलिनॉमियल फंक्शन पॉलिनॉमियल फंक्शन हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं तो इसका मतलब 4x < 2 के लिए भी क्या होंगे कंटीन्यूअस तो यानी की ये फंक्शन दो से छोटी क्वांटिटी इस पर कंटीन्यूअस है फिर दो से बड़ी क्वांटिटी की बात करते हैं दो से बड़ी क्वांटिटी पे फंक्शन क्या है दो एक्स - 3 है यह भी एक पॉलिनॉमियल फंक्शन और ये हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं तो दो से बड़े पे भी कंटिन्यू हो सकते अब प्रॉब्लम क्या है इस फंक्शन को हमने दो से छोटे रियल नंबर्स पे दो से बड़े रियल नंबर्स पे चेक कर लिया बट दो पे चेक नहीं किया अब हम इसको दो पे चेक करेंगे तो इसलिए हमने सभी प्वाइंट्स ऑफ कंटिन्यूटी चेक करने की कोशिश कारी दो छोटे नंबर पे दो से बड़े नंबर पे अब दो पे चेक कर रहे हैं भैया अब देखिएगा 2 पे चेक कर रहे हैं तो देखिए दो के लेफ्ट में फंक्शन की डिफरेंट डेफिनेशन है तो फंक्शन कितना है हमारे पास 2x + 3 अब एक्स की वैल्यू कितना है भैया एक्स की वैल्यू 2 है तो दो को अगर लेफ्ट साइड से अप्रोच करें तो फंक्शन की वैल्यू कितनी है 2x + 3 तो यहां पे एक्स की जगह दो रखेंगे कर और तीन साथ ठीक है अब बच्चों बहुत ही ध्यान से देखेंगे बहुत ही ध्यान से देखेंगे तो मैं यहां पे क्या करूंगा मुझे राइट हैंड लिमिट निकाल लिया ना राइट हैंड लिमिट निकालना हैं सो राइट हैंड लिमिट लिमिट एक्स टेंड्स तू पॉजिटिव एफसी आईटी इस लिमिट एक्स टेंड्स अब दो को अगर मैं राइट साइड से अप्रोच करता हूं तो फंक्शन कितना है 2x - 3 देखिए ये पॉजिटिव साइन हटा के हम क्या करते हैं दो के राइट साइड वाला फंक्शन लिखने हैं तो अब बच्चों बहुत ही ध्यान से देखिएगा 2 * 2 4 में से तीन गया एक तो ये लेफ्ट हैंड लिमिट है और ये राइट हैंड लिमिट है बच्चों ठीक है और मैं यहां पर कम करता हूं मैं यहां पर फंक्शन की वैल्यू निकाल देता हूं देखिए दो पे फंक्शन की वैल्यू कितनी होगी यह वाली डेफिनेशन दो इन दो प्लस 3 बच्चों में यहां पर क्या लिख सकता हूं मैं लिख सकता हूं की भैया क्लीयरली क्लीयरली लेफ्ट हैंड लिमिट ठीक नहीं है भैया फंक्शन की लेफ्ट हैंड लिमिट और राइट हैंड लिमिट इक्वल नहीं है फंक्शन इस नोट कंटीन्यूअस एड एक्स = 2 अब कुछ बच्चे कहेंगे की सर हमने ना पूरा क्वेश्चन तो समझ में ए गया बट ये दोनों लाइन लखनी जरूरी है क्या आंसर ठीक होगा लेकिन सॉल्यूशन गलत होगा प्लीज फास्ट डी वीडियो ऑफ एफ वेयर एफ इसे डिफाइंड बाय तो बच्चों जैसे की हम लोग सभी क्वेश्चंस करते ए रहे हैं ना वैसे ही बहुत ही सिंपली हमें क्या करना है हमें एक-एक्सिस पे या नंबर लाइन पे इस फंक्शन को डिफाइन कर देना तो कहते हैं -3 एक्स की वैल्यू -3 और -3 से छोटी वैल्यू पे फंक्शन आपका कैसा है मॉडल्स एक्स + 3 है ना फंक्शन आपका कैसा है फॉरेक्स < जो प्वाइंट्स ऑफ डिस्कंटीन्यूटी बताइए जो प्वाइंट्स ऑफ डिस्टेंस अब बच्चों बहुत ही ध्यान से समझेंगे जो प्वाइंट्स ऑफ दिस कंटिन्यूटी मतलब बहुत ही ध्यान से समझेंगे क्या अगर स्टूडेंट बहुत ही ध्यान से देखेंगे सॉरी मैं का रहा हूं की पर एक्स < ये अंदर की क्वांटिटी - 3 से छोटी है यानी की नेगेटिव है तो मॉडल्स क्या करेगा भाई अगर अंदर की क्वांटिटी एक्स - 3 से छोटी है तो इसका मतलब क्या करेगा एक नेगेटिव और देगा तू मेक आईटी पॉजिटिव नहीं है ये बात समझो फिर से देखते हैं फिर से देखते हैं फिर से देखते हैं फिर से देखते हैं फिर से देखते हैं फिर से देखो ये जो अंदर की क्वांटिटी है वो क्या है नेगेटिव क्लियर है अब स्टूडेंट बहुत ही ध्यान से देखिएगा इस फंक्शन को ऐसे लिख दिया मेरे पास फंक्शन क्या है बच्चों मेरे पास आईटी इस - एक्स + 3 जो की एक लाइनर फंक्शन है या इसको मैं पॉलिनॉमियल फंक्शन का देता हूं और पॉलिनॉमियल फंक्शन दुनिया में हर जगह कंटिन्यू होते हैं तो एक्स ली दें -3 के लिए भी कंटिन्यू होगा जो प्वाइंट्स ऑफ कंटिन्यूटी चेक करो दूसरे नंबर पर एक्स > - 3 पर एक्स ग्रेटर दें -3 और ली दें प्लस थ्री फंक्शन क्या है फिर हम का रहे हैं की भैया थ्री के बाद फंक्शन क्या है 6x + 2 यह भी एक पाल में मेरे फंक्शन है तो कंटीन्यूअस होगा अगर मैं आपसे पूछूं की आपने फंक्शन की कंटिन्यूटी कहां-कहां चेक नहीं कारी तो आप कहेंगे की सर देखो माइंस थ्री के लेफ्ट में चेक कर लीजिए -3 से राइट में और थ्री के लेफ्ट में चेक कर ली थ्री के राइट में चेक कर ली सिर्फ हमने माइंस थ्री पे चेक नहीं कारी कंटिन्यूटी और हमने कहां चेक नहीं कारी एक्स = 3 पे दो जगह छोड़ के बाकी सब रियल नंबर्स पे कंटिन्यूटी चेक हो चुकी दो रियल नंबर्स को छोड़ के बाकी सब जगह कंटिन्यूटी चेक हो चुकी है क्या करूंगा इन दो रियल नंबर्स पे चेक करूंगा इन दो रियल नंबर्स पर मैं चेक करूंगा यानी की मैं आते एक्स = -3 पे चेक करूंगा तो देखो -3 के लेफ्ट में और राइट में डिफरेंस फंक्शन है तो लेफ्ट हैंड लिमिट निकलेंगे और राइट हैंड लिमिट निकलेंगे भैया बहुत ध्यान से देखो मैं क्या कर रहा हूं मैं फंक्शन की लिमिट -3 के लेफ्ट पर -3 के राइट पे यानी की मैं लेफ्ट हैंड लिमिट और राइट हैंड लिमिट निकाल रहा हूं बच्चों प्लस थ्री अब एक्स की जगह पे -3 रखूंगा तो ये 3 + 3 = 6 हो जाएगा डी लिमिट एक्स टेंड्स तू -3 पॉजिटिव -3 के राइट साइड वाला फंक्शन रखूंगा यानी की माइंस का 2x अब एक्स की जगह -3 रखेंगे तो -3 * -2 - प्लस सिक्स है ना एक्स की जगह -3 रखेंगे ना तो प्लस का सिक्स आपको बात समझ में ए रही है बिल्कुल वही कम कर रहा है अच्छा फंक्शन की वैल्यू एट -3 कितनी हो जाएगी फंक्शन की वैल्यू एट -3 तो -3 पे फंक्शन कैसा है आपका एक्स है जहां पर एक्स है वहां पे -3 रख डन तो ये हो गया हमारे पास 6 तो क्योंकि आते एक्स = -3 एस टैक्स इक्वल तू माइंस थ्री लेफ्ट हैंड लिमिट लेफ्ट हैंड लिमिट राइट हैंड लिमिट और फंक्शन की वैल्यू फंक्शन इसे कंटीन्यूअस आते एक्स = -3 ठीक है बेटा क्लियर है जल्दी से बताओ ये क्लियर है भैया सभी को जल्दी से बताइएगा क्लियर है फटाफट से इसको नोट करेगा अच्छा अभी हम लोगों ने सारे रियल नंबर्स पर चेक कर लिया -3 पे भी चेक कर लिया अभी यहां र गया है ना एक्स = 3 पे तो एक्स = 3 पे भी चेक करेंगे बट बिफोर था फ्रेंड्स प्लीज पॉज डी वीडियो नोट आईटी डॉ चलिए तो अब हम लोग इस डाटा को हटाकर ठीक है तो देखिएगा बच्चों ठीक है लेफ्ट में फंक्शन की डिफरेंट डेफिनेशन राइट में डिफरेंस है तो लेफ्ट हैंड लिमिट निकाल लूंगा मैं लेफ्ट और लिमिट थ्री यानी की थ्री पे लेफ्ट हैंड लिमिट जब मैं निकलेगा तो थ्री के लेफ्ट वाला फंक्शन रखूंगा यानी की अब अबाउट ध्यान से देखिएगा बच्चों एक्स की जगह थ्री रखूंगा तो कितना हो जाएगा आईटी इस -6 एक्स की जगह थ्री रखूंगा तो माइंस का सिक्स राइट हैंड लिमिट निकलता हूं थ्री पॉजिटिव एफसी इसे इक्वल्स तू लिमिट एक्स टेंड्स तू थ्री ठीक है और थ्री के राइट साइड वाला फंक्शन यानी 6x + 2 यानी की अब बहुत ध्यान से देखेंगे मैं अब क्या करने वाला हूं एक्स की जगह थ्री रखना वाला हूं 20 और फंक्शन की वैल्यू 18 प्लस 2 पीस किया है यहां पर हमने क्या नोटिस किया है बच्चों वे हैव नोटिसड हर की भैया लेफ्ट हैंड लिमिट क्या नोटिस किया है भैया की यार साफ-साफ हम देख का रहे हैं की एस लेफ्ट हैंड लिमिट ऑफ डी फंक्शन राइट है इसे नोट इक्वल्स तू राइट हैंड लिमिट ऑफ डी फंक्शन लिमिटेड के इक्वल नहीं है ठीक है ना तो हंस फंक्शन इस नोट कंटिन्यू हंस फंक्शन इस नोट कंटीन्यूअस इसे दिस कंटीन्यूअस एट एक्स इक्वल तू थ्री एक्स सो फटाफट से इसको नोट करेंगे नेक्स्ट तू डी नेक्स्ट इन डी नेक्स्ट क्वेश्चन फटाफट से आगे बढ़ते हैं स्टूडेंट बहुत ही ध्यान से देखेंगे क्वेश्चन नंबर क्वेश्चन नंबर 8 थोड़ा सा आपको ग रहा है की सिग्नल फंक्शन है और हमने आपको बता भी रखा है की सिग्नल फंक्शन एक्स = 0 पर कंटीन्यूअस नहीं होगा बट वगैरा फाइन जो प्वाइंट्स ऑफ दिस कंटिन्यूटी ठीक है भैया वही दिक्कत नहीं है फंक्शन को पहले रिजॉल्व करेंगे तो फंक्शन के आंसर दे रहा है जीरो आंसर दे रहा है ये बात तो समझ में आई है तो एक्स क्या होगा या तो जीरो से बड़ा होगा या जीरो से छोटा होगा जब एक्स जीरो से छोटा नेगेटिव है माड्यूल्स नेगेटिव क्वांटिटी को एक नेगेटिव और देगा तू मेक आईटी पॉजिटिव और यहां पर यह माइंस वन ए जाएगा तो खाने का मतलब जो फंक्शन है वो ओवरऑल आपको क्या मिल गया बच्चों फंक्शन आपको कैसा मिल गया फॉरेक्स > 0 के लिए आपको वैल्यू वन मिल गई फोर एक्स इक्वल तू जीरो के लिए आपको वैल्यू जीरो मिल गई और पर एक्स < 0 के लिए आपको वैल्यू माइंस का 1 मिल गई ठीक है सो ये बच्चों ये वालुज आपको मिल गई है मिल गई है मिल गई है मिल गई है ठीक है अगर जीरो पे फंक्शन की वैल्यू जीरो बेसिकली जीरो ठीक है कांस्टेंट फंक्शन यानी की कांस्टेंट पॉलिनोमीयल फंक्शन दुनिया में हर जगह होते हैं हर जगह कंटिन्यू होते हैं तो फिर इसका मतलब क्या है एक्स < 0 के लिए भी कंटीन्यूअस होंगे फॉरेक्स ग्रेटर डेन जीरो वे हैव फंक्शन इसे इक्वल तू वन ये भी कांस्टेंट पॉलिनॉमियल फंक्शन है और ये दुनिया में हर जगह ग्रेटर दें जीरो के लिए भी कंटिन्यू तो जीरो से बड़े रियल नंबर पर जीरो से छोटे रियल नंबर पे फंक्शन कंटीन्यूअस जीरो से बड़े रियल नंबर पे फंक्शन करना है तो नो वे आर चेकिंग एक्स इक्वल तू जीरो जब एक्स = 0 पर चेक करेंगे तो लेफ्ट हैंड लिमिट निकलेंगे भैया फंक्शन लिमिट निकलेंगे चेक कर लो सो जीरो पे लेफ्ट हैंड लिमिट जब फंक्शन की वैल्यू तो मैं राइट हैंड लिमिट निकलता हूं राइट और लिमिट निकाल देता हूं जीरो पॉजिटिव इफैक्ट्स यानी की जब एक्स की वैल्यू को राइट साइड से अप्रोच करें बच्चों बहुत ध्यान से देखेंगे क्लीयरली आते एक्स = 0 लेफ्ट हैंड लिमिट इस नोट इक्वल्स तू राइट और लिमिट इस नोट इक्वल तू राइट हैंड लिमिट हंस फंक्शन इसे नोट कंटीन्यूअस 8 एक्स = 0 जो बात हमें पता भी थी पहले उसको हमने यूजिंग लिमिट्स शो कर दिया की भैया फंक्शन एक्स इक्वल तू जीरो पे कंटिन्यू ठीक है जल्दी से बताइएगा जल्दी से बताइए [संगीत] ग ठीक है मेरे भाई ठीक है ठीक है वेरी गुड वेरी वेरी गुड वेरी वेरी गुड वेरी गुड चलिए तो नेक्स्ट क्वेश्चन पर चलते नेक्स्ट क्वेश्चन पर चलते हैं तो यानी की माड्यूल्स के अंदर की क्वांटिटी नेगेटिव तो मॉडल्स क्या करेगा अंदर की क्वांटिटी नेगेटिव जीरो है ना तो पॉजिटिव बनाने के लिए एक नेगेटिव और देगा ठीक है बहुत ध्यान से देखेंगे अंदर की क्वांटिटी नेगेटिव थी माड्यूल्स क्या करता है उसको पॉजिटिव बनाता तो 4x < 0 एक्स / - एक्स यानी की माइंस वन इक्वल तू जीरो पे फंक्शन कितना है -1 सो टेक्निकल अगर आप देखो तो भैया यह फंक्शन क्या हो गया जीरो से छोटे पे भी माइंस वन जीरो पे भी माइंस वन और जीरो से बड़े पे भी माइंस वन तो फंक्शन आपका क्या हो गया बच्चों आईटी इस इक्वल तू -14 कोई भी रियल नंबर के लिए तो ये तो बड़ा आसन हो गया भैया सिंपल है ना यार सिंपल है एफसी = -1 कांस्टेंट पॉलिनॉमियल फंक्शन कांस्टेंट पॉलिनॉमियल फंक्शन और हंस कंटीन्यूअस एवरीवन दुनिया में हर रियल नंबर पे कंटीन्यूअस है ठीक है ना हर रियल वैल्यू ऑफ एक्स पे कंटिन्यू तो नो पॉइंट ऑफ दिस कंटिन्यूटी है ना नो पॉइंट ऑफ दिस कंटिन्यू नो क्वांटम डिस्काउंट ठीक है अरे इसका तो ग्राफ देख लो ना भैया ग्राफिक कैसा होगा इसका आप एक्स की कुछ भी वैल्यू लेते रहो एफसी हमेशा -1 रहेगा एफसी हमेशा माइंस वन रहेगा बताओ कहां से कंटिन्यू हो सकता है ये हमें ऐसा ही कंटीन्यूअस होगा ठीक है [हंसी] [हंसी] उसका आप अमिताभ बच्चन है यार उसको कुछ करने की जरूर नहीं है जैसा आप में से बहुत सारे आपके दोस्त ऐसे होंगे जिनके पापा बहुत पैसे वाले हैं उनको पढ़ने की जरूर नहीं है ना अमीरी तो उनकी गरीबी में झलकती है मेरे पास तो सिर्फ बहुत ही टाइट चल रहा है सिर्फ ₹500 सिर्फ ₹500 नहीं होते भाई फंक्शन क्या है हम लोग फिर भी कहेंगे हम लोग फिर भी कहेंगे [प्रशंसा] है और पॉलिनॉमियल फंक्शन इस दुनिया में हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं तो जी भी इनटीआरएल की आप बात कर रहे हो एक्स < 1 के लिए उसके लिए भी कंटीन्यूअस होगा ऐसी पर एक्स ग्रेटर दें वन फंक्शन एक्स प्लस वन है यह फंक्शन है यानी की यह फंक्शन वन से छोटे सभी रियल नंबर पर कंटीन्यूअस वन से बड़े सभी रियल नंबर पे कंटिन्यू तो इसका मतलब कहां र गया सिर्फ वन पे चेक करना र गया तो अब हम लोग चेक करेंगे आते वन पे सो आते एक्स = 1 आते एक्स = 1 मंदिर में यार घंटी बाज रही है ना क्या टाइम हो रहा है प्रसाद बांटने का टाइम हो गया होगा देखो मंदिर कभी जो ना जो प्रसाद के टाइम पर जरूर जाना चाहिए नवरात्रों में जन्माष्टमी में है शनिवार को जाना चाहिए सच्ची सच्ची बताना ऐसा कौन कौन करता है गलत बात कभी तुम भी लेकर जय करो कुछ मंदिर में चलो डी प्लास्टिक [संगीत] [हंसी] सो दिस वन स्क्वायर प्लस वन यानी की तू ओके दें राइट और लिमिट निकलेंगे तो फंक्शन क्या है एक्स + 1 है ना जब x1 को लेफ्ट साइड से अप्रोच कर रहा था तो फंक्शन क्या लिया था हमने x² + 1 तो इससे भी कम करते हुए 10 वन क्वेश्चन ए गया तो अब तो तुम पता चल ही गया होगा तो 1 + 1 2 है ना ओ मी गॉड है फंक्शन की वैल्यू भी देख लो भैया फंक्शन फंक्शन की वैल्यू वन पर कितनी है तो यहां पर वन रखेंगे वन प्लस वन तू यस क्लीयरली की भैया कंटीन्यूअस फंक्शन इस कंटीन्यूअस आते एक्स = 1 अब देखो वन से छोटे पे भी कंटीन्यूअस वन से बड़े पे भी कंटीन्यूअस और वन पे भी कंटीन्यूअस तो कोई पॉइंट ऑफ डिस्कंटीन्यूटी मिला हमें नहीं तो आंसर क्या होगा नो पॉइंट ऑफ दिस कंटिन्यूटी भैया एक भी पॉइंट ऑफ दिस कंटिन्यूटी से छोटे पे भी कंटीन्यूअस वन से बड़े पे भी कंटीन्यूअस वन पे भी कंटीन्यूअस सो वो वे कैन से और इंडियन नो पॉइंट ऑफ दिस कंटिन्यू नो पॉइंट ऑफ दिस कंट्री क्वेश्चन थोड़ा सा बड़ा हो गया हमारा स्टीव जॉब्स की वजह से [संगीत] चलिए दो और दो से छोटे पे फंक्शन का वैल्यू है ठीक है मेरे भाई देखो फंक्शन आपका पॉलिनॉमियल फंक्शन है फंक्शन आपका पॉलिनॉमियल फंक्शन है तो यह कंटीन्यूअस है तो इसका मतलब हर जगह कंटिन्यू होगा ठीक है तो एक्स की वैल्यू दो रखेंगे दो दुनी कर दुनी आठ में से 3 गया पांच ठीक है सो दिस इस योर लेफ्ट हैंड लिमिट ठीक है दिस इस योर लेफ्ट हैंड लिमिट सॉरी क्या करेंगे भैया राइट हैंड लिमिट निकलेंगे सो राइट हैंड लिमिट निकलेंगे जब एक्स की वैल्यू दो को राइट साइड से अप्रोच कर रही है फंक्शन क्या है भैया x² + 1 एक्स की वैल्यू दो रखेंगे दो दुनी कर प्लस एक पांच ओ लेफ्ट हैंड लिमिट राइट और लिमिट इक्वल ए गया है फंक्शन की वैल्यू आते तू कितना हो जाएगा बच्चों देखो दो पे फंक्शन की वैल्यू कितनी हो जाएगी आईटी इस दो दो कर दुनी आठ में से तीन गया पांच तो इसका मतलब बच्चों इसका मतलब एट एक्स = 2 लेफ्ट हैंड लिमिट राइट हैंड लिमिट है दो के लेफ्ट पर कंटीन्यूअस दो के राइट पे भी कंटीन्यूअस और दो पे भी कंटीन्यूअस तो कोई रियल नंबर बच्चा दुनिया के सारे रियल नंबर या तो दो तो छोटे होंगे दो से बड़े होंगे या दो होगा ठीक है ना तो इसका मतलब कोई पॉइंट ऑफ डिस्कंटीन्यूटी नहीं मिली नो पॉइंट ऑफ डिस्काउंट ऑफ दिस कंटिन्यूटी हमें नहीं मिला है चेक कर लो ठीक है फटाफट से नोट करेंगे स्टूडेंट फटाफट से नोट करेंगे चलें आगे भैया अरे चले आगे चलिए अब बच्चों बहुत ही ध्यान से देखो वन के लेफ्ट पर वन के राइट पे अब हम लोग क्या लिखेंगे पर एक्स < 1 यह क्या है भैया एक पॉलिनॉमियल फंक्शन नहीं पता है हमने कॉन्सेप्ट में इंट्रोडक्शन में बहुत ही गहनता के साथ पटाया है तो पॉलिनॉमियल फंक्शन क्या होते हैं दुनिया में हर जगह कंटिन्यू होते हैं तो जाहिर सी बात है एक्स < 1 पे भी कंटीन्यूअस होगा पर एक्स > 1 यह एफसी क्या है एक्स स्क्वायर है यह भी पॉलिनॉमियल फंक्शन दुनिया में हर जगह कंटिन्यू होता है तो एक्स ग्रेटर दें वन के लिए भी कंटीन्यूअस होगा अब यानी की मुझे कंटिन्यूटी कहां चेक करनी है वन पे यानी की वन पे मैं लेफ्ट हैंड लिमिट निकाल के देखूंगा भैया वन पे लेफ्ट हैंड लिमिट निकाल के देखूंगा भैया तो वन पर लेफ्ट हैंड लिमिट वन को जब एक्स की वैल्यू निकलेंगे यानी की जब एक्स की वैल्यू वन को राइट साइड से अप्रोच करेगी तो फंक्शन क्या है x² है एक्स की जगह वन रखेंगे तो 1² 1 ए जाएगा क्लीयरली क्लीयरली क्लीयरली क्लीयरली आते एक्स = 1 लेफ्ट हैंड लिमिट इस नोट इसे इक्वल तू राइट हैंड लिमिट आगे तो हम बात ही क्या करें आगे तो हम बात ही क्या करें हंस फंक्शन इसे दिस कंटीन्यूअस एट एक्स इस इक्वल्स तू वंश के लेफ्ट है मेरे भाई चलें आगे इतने बदतमीज बदतमीज जो है क्वेश्चन ए रहे हैं अब हमारे पास कंटीन्यूअस फंक्शन तो इसका पूछने का मतलब क्या है कंटीन्यूअस फंक्शन किस कहते हैं खुशी को पता है कंटीन्यूअस फंक्शन किस कहते हैं कंटीन्यूअस फंक्शन किस कहते हैं किसी को पता है फंक्शंस विच आर कंटीन्यूअस इन डी डोमेन यानी की वो फंक्शन जो अपनी डोमेन में यानी की जहां जहां वो डिफाइंड है वहां वहां कंटिन्यू है फंक्शन विच आर कंटीन्यूअस इन डियर डोमेन इन देवर डोमेन चॉकलेट यहां पे बेसिकली इस क्वेश्चन में अगर वो कंटीन्यूअस फंक्शन पूछ रहा है तो इस फंक्शन की डोमेन क्या है भैया ये वन और वन के लेफ्ट में भी डिफाइंड है फंक्शन देखेंगे अब 4x ग्रेटर दें वन फंक्शन हमारा एक्स - 5 है तो भैया पॉलिनॉमियल फंक्शन है यह भी हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं तो एक्स > 1 पे भी कंटीन्यूअस होगा अब आते एक्स = 1 चाहिए हमें तो भैया लेफ्ट हैंड लिमिट राइट हैंड लिमिट निकाल के देखेंगे देखिए लेफ्ट हैंड लिमिट आते वन कितना हो जाएगा यानी की जब फंक्शन की वैल्यू वन को लेफ्ट साइड से अप्रोच कर रही है तो फंक्शन है एक्स + 5 टेक्स्ट की वैल्यू वन रखेंगे तो 5 और 1 6 हो जाएगा लिमिट एक्स टेंड्स तू वन पॉजिटिव यानी की वन पे राइट हैंड लिमिट निकलेंगे अब बच्चों बहुत ही ध्यान से समझिए जब वन को राइट साइड से अप्रोच कर रहा है तो फंक्शन क्या है एक्स - 5 है तो हमको क्या समझ में आया भैया हमको यह समझ में आया की आते एक्स = 1 लेफ्ट हैंड लिमिट और राइट हैंड लिमिट ऑफ डी फंक्शन दोनों इक्वल नहीं है तो इसका मतलब क्या हुआ यह फंक्शन इसकी डोमेन क्या थी इस फंक्शन की डोमेन क्या थी भैया यह डिफाइन कहां है यह जो रियल नंबर्स में वन के लेफ्ट पे वन पे वन के राइट पे सब जगह डिफाइंड है तो इसकी डोमेन रियल नंबर्स थी लेकिन ये एक्स = 1 पे है ना दिस फंक्शन इसे नोट कंटीन्यूअस नोट कंटीन्यूअस एट एक्स = 1 और अगर ये अपनी डोमेन में किसी भी जगह पे कंटीन्यूअस नहीं हुआ अगर ये अपने डोमेन में किसी भी जगह पे दिस कंटीन्यूअस हो गया तो हम लोग ओवल फंक्शन को क्या का सकते हैं की एफसी इसे नोट एन कंटीन्यूअस फंक्शन यह अपने एंटायर डोमेन में कंटीन्यूअस नहीं है ना वो तो आईटी इसे नोट एन कंटीन्यूअस फंक्शन आईटी इसे नोट कॉन्टिनस आते एक्स इक्वल तू वन ठीक है क्लियर है बच्चों जल्दी से बताइएगा फटाफट से वीडियो को पॉज करके नोट करेगा आ स्टूडेंट 14th क्वेश्चन देखेंगे तब तक करते जा रहे हैं कोई वेरिएशन आएगा तो फिर वे बिल डू इन डी नेक्स्ट लेक्चर है ना क्योंकि ज्यादा हो जाएगा फिर वो लंबा लेक्चर बन जाएगा फंक्शन डिस्कस डी कंटिन्यूटी ऑफ डी फंक्शन अब देखिए बहुत ध्यान से देखेंगे जीरो से फंक्शन स्टार्ट हो रहा है और जीरो से जीरो और जीरो के राइट पे है ना बहुत ध्यान से देखेंगे जीरो और जीरो के राइट पे और वन और वन के लेफ्ट जीरो जीरो के राइट पे वन और वन के लेफ्ट पे फंक्शन है हमारा और फोर यहां पर 10 पर बाजी खत्म हो जा रही है यानी की थ्री और थ्री के राइट पे और 10 और 10 के लेफ्ट पे फंक्शन है हमारा डिस्कस डी कंटिन्यूटी ऑफ डी फंक्शन बहुत ध्यान से देखिएगा जो राइट आंसर है वो क्या है की सबसे पहले हम लोग बात करेंगे ग्रेटर दें और इक्वल तू जीरो और ली दें वन यह फंक्शन एक कांस्टेंट पॉलिनॉमियल फंक्शन है क्या है यह कांस्टेंट पॉलिनॉमियल फंक्शन है और वह हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं तो जायद सी बात है वो हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं तो जीरो से वन पे भी कंटीन्यूअस होंगे अच्छा पर एक्स 1 और ली दें 3 फंक्शन हमारा कर है एफसी = 4 है ये भी कांस्टेंट वॉल्यूम फंक्शन है कांस्टेंट पॉलिनॉमियल फंक्शन हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं तो एक से तीन के बीच में भी कंटेनर्स होंगे फिर हम अगर देखें स्टूडेंट तो पर एक्स >= 3 और ली दें और इक्वल तू 10 फंक्शन हमारा पांच है और ये भी कांस्टेंट मतलब पॉलिनॉमियल फंक्शन है और कॉन्सेप्ट पॉलिनॉमियल फंक्शन है ठीक है और इसलिए जब ये क्वेश्चन है तो इसका मतलब क्या है की ये हर जगह कंटिन्यू होते हैं हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं तो इसका मतलब 310 के बीच में भी कंटीन्यूअस होंगे अब स्टूडेंट एक प्रॉब्लम है यहां पर मुझे एक्स ग्रेटर दें और इक्वल तू नहीं लगाना अगर आप एक चीज एक लोग फंक्शन की डेफिनेशन अलग-अलग होती है तो मुझे वन पर डाउट राहत है तीन के लेफ्ट में और तीन के राइट पे फंक्शन के डेफिनेशन अलग-अलग है तो मुझे तीन पे डाउट राहत है इसलिए आप देखो ना तो मैंने 1 इंक्लूड किया है ना 3 इंक्लूड किया है और आप जितने भी क्वेश्चंस देखेंगे जितने भी क्वेश्चंस मैंने सॉल्व किया हैं तो वन के लेफ्ट में वन के राइट पे कंटिन्यू तू डिस्कस कर ली फिर वन पे चेक किया मैंने क्योंकि वन के लेफ्ट में फंक्शन अलग है वन के रेट में फंक्शन अलग है तो मेरे को कंटिन्यू पे डाउट है तो अब मेरे को कहां-कहां डाउट है भैया मेरे को डाउट डाउट है एक्स = 14 एक्स = 3 पे तो मैं एक्स = 1 पर और एक्स = 3 पर कंटिन्यू तू चेक करूंगा ठीक है चलिए बच्चों अब कंटिन्यूटी चेक करेंगे बच्चों बहुत ही ध्यान से देखेंगे बहुत ही ध्यान से देखेंगे वन एक्स की वैल्यू जब वन को लेफ्ट साइड से अप्रोच करेगी लेफ्ट साइड से अप्रोच करेगी तो फंक्शन कितना लिमिट की बात कर रहा हूं मैं तो जब x1 को राइट साइड से अप्रोच कर रहा है तो फंक्शन कितना है तो एक्स कहानी भी जाता रहे कर कर ही रहेगा ठीक है ना क्लियर है और क्लीयरली मेरे को देख रहा है दिखे रहा है की यार ये दोनों वैल्यू तो इसका मतलब मैं क्या कहूंगा क्लीयरली लिमिट एक्स टेंड्स तू वन नेगेटिव एफसी और लिमिट एक्स टेंड्स तू वन पॉजिटिव मुझे दूसरा पॉइंट जहां चेक करना है वह कहां है दूसरा पॉइंट कहां है भैया जहां मुझे चेक करना है जल्दी से बोलो दूसरा पॉइंट कहां है जहां पर मैं चेक करना है तो दूसरा पॉइंट है यानी की एक्स की वैल्यू थ्री को जब लेफ्ट साइड से अप्रोच कर रहा है तो फंक्शन कर है कर तो कर ही रहेगा ऐसे लिमिट एक्स टेंड्स तू थ्री पॉजिटिव यानी की एक्स की वैल्यू थ्री को जब राइट साइड से अप्रोच कर रही है तो फंक्शन कितना है पांच अब एक्स कहानी भी जाता है की भैया फंक्शन इस नोट कंटिन्यू सेट एक्स = 3 तो ये फंक्शन कहां कहां कंटीन्यूअस नहीं रहा बच्चों एड एक्स = 1 पर कंटीन्यूअस नहीं रहा और आते एक्स = 3 पे कंडीशन तो इस तरीके से आप देखिए क्या ये तीनों स्टेप लिखने जरूरी है बिल्कुल जरूरी है नंबर कट जाएंगे एग्जाम में ठीक है क्योंकि उसने कहा डिस्कस डी कंटिन्यूटी अब इसका मतलब ये थोड़ी है की आप वन और थ्री पे चेक करेंगे कुछ लोग क्या करते हैं सिर्फ वन और थ्री पे चेक करते हैं के बाय अदर जगह फंक्शन डिफाइन नहीं है क्या जीरो से वन के बीच में डिफाइंड नहीं है क्या 1 से 3 के बीच में डिफाइंड नहीं है थ्री से 10 के बीच में डिफाइंड नहीं है तो फंक्शन की कंटिन्यूटी कायदे में तो हमें जीरो से 10 तक हर नंबर पे चेक करनी है तो हमने जीरो से 10 तक हर नंबर पे चेक किया और दें फाइनली व्हाट वे हैव फाउंड की एक्स = 1 / एक्स = 3 पे फंक्शन दिस कंटीन्यूअस है फटाफट से स्टूडेंट पॉज डी वीडियो नोट आईटी डॉ चलिए तो आई स्टूडेंट और लेट जस्ट प्रोसीड तू लेट जस्ट प्रोसीड तू डी नेक्स्ट क्वेश्चन इससे अगला क्वेश्चन भी ऑलमोस्ट से है ऑलमोस्ट से है देखिए बहुत ध्यान से देखिएगा तो सॉरी सॉरी सॉरी सॉरी और जीरो के राइट पर फंक्शन की वैल्यू जीरो है जीरो के लेफ्ट पर फंक्शन की वैल्यू 2x है 0 तो कोई दिक्कत ही नहीं है यह फंक्शन कैसा है आईटी इस एन कांस्टेंट पॉलिनॉमियल कांस्टेंट पॉलिनॉमियल फंक्शन इस दुनिया में हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं तो भैया जीरो से छोटे नंबर पे भी कंटीन्यूअस होंगे फिर मैं कहूंगा की पर एक्स जीरो से बड़ा और ली दें वन ये फंक्शन क्या है बच्चों यह जीरो हुआ है क्लियर है अब बच्चों बहुत ध्यान से देखेंगे तो जीरो पे और वन पर हम लोग क्या करेंगे जीरो पर वन पर हम लोग कंटिन्यूटी चेक करेंगे सो आते एक्स = 0 और एक्स = 1 और डायरेक्ट एक्ट और एक्ट एक्स = 1 वे बिल चेक डी कंट्री वे बिल चेक डी कंटिन्यूटी ठीक है सो अब स्टूडेंट बहुत ही ध्यान से देखेंगे बच्चों बहुत ही ध्यान से देखेंगे इक्वल तू 0 नेक्स्ट इक्वल तू वन तो यहां पे हम लोग कंटिन्यूटी चेक करेंगे आते एक्स = 0 नेट एक्स = 1 [संगीत] नो नो देखेंगे पर जीरो पे फंक्शन की हम लोग क्या निकलेंगे राइट हैंड लिमिट यानी की लिमिट एक्स टेंड्स तू जीरो अब जीरो को फंक्शन एक्स की वैल्यू जीरो को राइट साइड से अप्रोच कर रही है तो फंक्शन कितना है जीरो अब एक्स की वैल्यू कहानी भी जाति रहे जीरो तो जीरो ही रहेगा भाई तो ये दोनों क्वांटिटी इक्वल है अच्छा फंक्शन की वैल्यू आते जीरो कितनी हो जाएगी फंक्शन की वैल्यू जीरो पे भी कितनी है जीरो पे भी कितनी है जीरो ही है तो फंक्शन की वैल्यू एट जीरो पे भी जीरो ही है सो क्लीयरली डीज थ्री वालुज आर इक्वल क्लीयरली लेफ्ट हैंड लिमिट लेफ्ट हैंड लिमिट जीरो राइट हैंड लिमिट आते जीरो और फंक्शन की वैल्यू एट जीरो तीनों इक्वल है हंस वे कैन से एफसी इसे कंटीन्यूअसत जीरो क्या बात है यहां पे प्रूफ कर दी है सबसे पहले देखने की बात है हमने क्या क्या बात है यहां पर प्रूफ कर दिए हमने जीरो से लेफ्ट पर जीरो के राइट पे वन के लेफ्ट पे वन के राइट पे कंटीन्यूअस प्रूफ कर दिया अब हमें एक्स = 1 पर कंटिन्यू तू चेक करनी है तो एड एक्स इक्वल तू वन पे जैसे कंटिन्यूटी चेक कर लेंगे तो लेफ्ट हैंड लिमिट कितना हो जाएगा बच्चों वन पर लेफ्ट हैंड लिमिट तो लिमिट एक्स टेंड्स तू वन वन एक्स की वैल्यू जब वन को लेफ्ट साइड से अप्रोच करेगी तो क्या है जीरो तो जीरो रहेगा अच्छा इसकी वैल्यू वन को जब राइट साइड से अप्रोच करेगी यानी की वन पे राइट हैंड लिमिट ऑफ डी फंक्शन तो स्टूडेंट वन पर राइट हैंड से राइट हैंड से अगर अप्रोच कर रही है है ना एक्स की वैल्यू तो कितना हो जाएगा फंक्शन कितना है 4x सो बच्चों एक्स की वैल्यू कितनी रख देंगे हम लोग वन रख देंगे तो इसका मतलब ये फोर हो गया और क्लीयरली दिस क्वांटिटी आर नोट इक्वल सो क्योंकि लेफ्ट हैंड लिमिट और राइट और लिमिट आर नोट इक्वल वे कैन से फंक्शन इसे नोट कंटीन्यूअस हर तो फंक्शन नोट कंटिन्यू सेट एक्स इक्वल तू वन फंक्शन नोट कंटीन्यूअस एट एक्स इक्वल तू वन पर कंटीन्यूअस एक्सरसाइज वे आर दान विद डी 15 क्वेश्चंस ठीक है नेक्स्ट पार्ट ऑफ डी लेक्चर वे बिल स्टार्ट फ्रॉम डी 16थ क्वेश्चन और 16 से लेकर 30 तक बी एबल तू सॉल्व डी क्वेश्चंस है ना और देखें क्या देखते देख लेते हैं की देखिए सिमिलर क्वेश्चन है ठीक है ना तो एक सिमिलर क्वेश्चन नेक्स्ट पार्ट में भी डिस्कस कर लेंगे ना सो डेट पिछली एक्सरसाइज का पिछले पार्ट का सब कुछ कर हो जाएगा और दें वे हैव डी डिफरेंट टाइप ऑफ क्वेश्चंस स्टार्टिंग फ्रॉम 17th क्वेश्चन तो ठीक है 16 क्वेश्चन से फिर हम लोग नेक्स्ट एक्सरसाइज में डिस्कस करेंगे थैंक यू वेरी मैच स्टूडेंट लव यू जो और बाय बाय सी यू इन डी नेक्स्ट लेक्चर