मंजिले भी जिद्दी है रास्ते भी जिद्दी है देखते हैं कल क्या होगा हौसले भी तो हमारे जिद्दी है हेलो एवरीवन मैं गौरव पांचल आपका स्वागत करता हूं रेजोनेंस के प्लेटफॉर्म पर जैसा कि आपको पता है कि मास्टर सीरीज के इस सेशन में हम आज जो डिस्कस करेंगे चैप्टर नंबर टू डिस्कस करेंगे इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शंस इससे पहले वाले लेक्चर में हम डिस्कस कर चुके इस सीरीज के फर्स्ट वाला चैप्टर रिलेशन और फंक्शन जिसने भी वो वीडियो नहीं देखा है उस वीडियो का लिंक हम डिस्क्रिप्शन बॉक्स में डलवा देंगे प्लीज यदि आपके कांसेप्ट कमजोर हैं या आप बोर्ड के अपीयर हो हो रहे हैं तो आपको ध्यान रखना है उस वीडियो को जरूर देख लेना सय उसमें सारे कांसेप्ट आपके क्लियर हो जाएंगे तो चैप्टर नंबर टू आईटीएफ ये भी एक इंपॉर्टेंट पार्ट है जो फर्स्ट यूनिट से ही रिलेटेड है और ये कितने मार्क्स का होगा जैसा कि आपको पता है जो लेटेस्ट एनसीआरटी पैटर्न पर हम इस पर कवर करने वाले हैं सारी चीज बेसिक से ही मैं इस पे स्टार्ट करूंगा जि जिन बच्चों को कमजोर रह चुका है यह चैप्टर आईटीए जो भी इस वीडियो को देख रहा है प्लीज लास्ट तक जरूर देखिएगा सो दैट आपके कांसेप्ट सारे क्लियर हो जाएंगे इतनी में चैलेंज कर रहा हूं यानी कि हम जो भी आप जो सीबीएससी बोर्ड में अपीयर हो रहे हैं या अदर जो कंपटीशन की तैयारी कर रहे हैं या फिर सीयू एग्जाम में अपीयर होंगे उनके लिए काफी इंपॉर्टेंट यह वीडियो बनने वाला है तो प्लीज लास्ट तक जरूर बने रहेगा तो स्टार्ट करते हैं आईटीएफ क्या चीज है आईटीएफ का मीनिंग क्या है हम क्या-क्या चीज इसमें कवर करने वाले हैं क्योंकि इसमें बेसिक्स ही आपके अ सिलेबस में कवर है आईटीएफ के बारे में हम जानेंगे साथ के साथ इसकी जो प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच है डोमेन को डोमेन क्या है ग्राफ्स हम देखने वाले हैं जितने भी इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शंस है उनके ग्राफ्स क्या होंगे उनके साथ-साथ उनकी जो बेसिक्स प्रॉब्लम है उसके साथ जो प्रॉपर्टी बेस क्वेश्चंस जो पूछे जाने वाले हैं वो भी क्वेश्चंस हम इस वीडियो में सॉल्व करेंगे ठीक है तो सबसे पहले समझते हैं व्हाट इज द इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन तो बच्चों आपको पता है इवर्स फंक्शंस के बारे में यहां पर हम बात करेंगे पहले यहां पर इवर्स फंक्शन क्या है ठीक है इवर्स फंक्शन का मीनिंग क्या है इवर्स फंक्शन तो इवर्स फंक्शन कहां से आया यदि मैं इवर्स फंक्शन की बात करूं सबसे पहले इवर्स फंक्शन अब इवर्स फंक्शन का मीनिंग क्या हुआ किसी फंक्शन का इवर्स फंक्शन कब एजिस्ट करेगा यह बात समझना आपको जरूरी है मान लीजिए लेट सपोज यदि कोई फंक्शन च इज डिफाइंड फ्रॉम ए टू बी अब बच्चों यह फंक्शन जो है ए से बी के अंदर डिफाइंड है यानी कि आपको फंक्शन जो हम पढ़ चुके हैं रिलेशन फंक्शन वाले चैप्टर में फंक्शन का मीनिंग आपको अच्छी तरह से बताया गया था कि यदि फंक्शन ए से बी में डिफाइन है तो यह आपको पता है कि जो ए है ए यहां पर क्या किसका काम करेगा डोमेन का ये इसके लिए किसका काम करेगा डोमेन का अब बच्चों जो बी है वो क्या हो जाएगा इसका कोडोमेन क्या हो जाएगा कोडोमेन दैट मींस डोमेन का मतलब जहां पर हम वैल्यू ऑफ x की असाइन कर रहे हैं इनपुट दे रहे हैं वो सारी वैल्यू यहां से असाइन कर रहे हैं जो आउटपुट मिलेगा कहां से नजर आएगा आपको कोडोमेन में नजर आएगा अब बात करें भाई यदि फंक्शन इनवर्टिबल फंक्शन है इफ इनवर्टिबल एफ इज इनवर्टिबल फंक्शन यदि ये इनवर्टिबल फंक्शन की बात कर दी तो बच्चों आपको पता है इनवर्टिबल है तो कैन आई राइट अनदर फंक्शन जी व्हि इज डिफाइंड फ्रॉम b टू ए यानी कि इसका इवर्स एजिस्ट करेगा ओके यही कहा जाएगा इनवर्टिबल मतलब उल्टा कर दीजिए तो बी से ए में डिफाइन हो जाएगा अब बच्चों यदि ये बी से ए में डिफाइन हो गया तो यहां से गौर से देखो जो बी मतलब जी के लिए यह डोमेन का काम कर रहा है है ना किसके लिए भाई डोमेन बन गया है ये वाला और जो ए है वो किसका काम कर रहा है कोडोमेन किसका जी के लिए और जी क्या है इवर्स ऑफ ए फंक्शन ए का क्या है इवर्स फंक्शन है तो इवर्स हुआ तो आई कैन राइट यहां पर भाई डोमेन ऑफ फंक्शन एफ है ना फंक्शन एफ की बात कर र मतलब एफ का डोमेन जो है ट इ इक्वल ट इज इक्वल अब ए कहां शिफ्ट हो गया था यहां पर इसका मतलब कोडोमेन ऑफ यह कोडोमेन ऑफ जी फंक्शन की बात हो गई देखो ना ये इसका ए है इसका भी ए है ये दोनों इक्वल हो गए साथ के साथ बात करें भाई यहां पर यदि कोड में अब देखो ये वाला पार्ट देखो तो ये दिस इज द कोडोमेन उल्टा हो गया ना कोडोमेन ऑफ f वो किसके इक्वल है बेटा डोमेन ऑफ जी ओके मतलब इंटरचेंज हो ये जरूर ध्यान रखना है अभी आगे आने वाली लाइन पर आपको क्लियर होगा क्यों मैं ऐसा लिख रहा हूं ठीक है मतलब इवर्स फंक्शन में ये उल्टा हो जाता है पूरी तरह से मतलब जो इसका डोमेन है वो इसमें कोडोमेन बन गया है जो इसका को डोमेन था वो इसके लिए डोमेन का काम कर रहा है इज दैट क्लियर डोमेन का काम किया अब बच्चों जब हमने कहानी यूं हुई कि जो फंक्शन f है वो g बन गया था और ये इवर्स फंक्शन बोल रहे थे इवर्स फंक्शन हो गया तो इसका मतलब g किसके बराबर हो जाएगा f इवर्स के होगा नहीं होगा ये बच्चे बच्चों को याद हो गया g = f इवर्स इतनी बात हमें पता लग गई ओके अब नेसेसरी कंडीशंस क्या है नेसेसरी कंडीशंस क्या है भाई जब ये यहां से यहां तक इसने रास्ता जो कवर किया है यानी कि f से जी बनने में किसी इनवर्टिबल फंक्शन होने के लिए फंक्शन का किस टाइप का होना जरूरी है क्या बोला मैंने किस टाइप का होना जरूरी है फंक्शन का किस टाइप का होना जरूरी है यह ध्यान रखना है टाइप्स ऑफ फंक्शन की बात यहां पर आने वाली है और टाइप्स ऑफ फंक्शन हमने फर्स्ट वाले चैप्टर में डिस्कस कर चुके हैं फर्स्ट वाले चैप्टर मतलब रिलेशन टाइप्स में यदि बच्चों ने जिन बच्चों ने वो वीडियो नहीं देखा है प्लीज उस वीडियो को जरूर देखिएगा हमारी रेजोनेंस के पीएस वीडि youtube1 बोर्ड के लिए अच्छा कंटेंट वहां पर मिलने वाला है आप वहां पर एक्सेस कर सकते हो सभी सब्जेक्ट के वीडियो को ओके तो उस वीडियो को मैथमेटिक्स का जरूर देखना है फर्स्ट चैप्टर को वही मैं बात कर रहा हूं यहां पर टाइप्स ऑफ फंक्शन की बात कर रहे हैं f से g कन्वर्ट हुआ और f से g कन्वर्ट होने में फंक्शन का क्या होना जरूरी है फंक्शन का होना जरूरी है मैं यहां पर लिख रहा हूं बच्चों फंक्शन का क्या होना जरूरी है फंक्शन हो फंक्शन मस्ट बी वनव एंड ऑन टू दिस इज द नेसेसरी कंडीशन व्हाट आई एम सेइंग यू दिस इज द नेसेसरी कंडीशन भाई यह बच्च बच्चों को याद होना चाहिए ये कंडीशन जरूर ध्यान रखना है किसी भी फंक्शन का इनवर्टिबल फंक्शन होने के लिए फंक्शन क्या हो फंक्शन मस्ट बी वनव एंड ऑन टू दैट इज कॉल्ड बाइजेस्ट फंक्शन इट इज आल्सो कॉल्ड बाइजेस्ट फंक्शन इसको हम क्या बोलते हैं बाइजेस्ट फंक्शन के नाम से जानते हैं भाई ओके तो बहुत ही सिंपल सी बात समझ पकड़ ली भाई इवर्स फंक्शन के लिए बाइजट होना चाहिए फंक्शन को क्या होना चाहिए बाइजट होना चाहिए अब बाईसेक्ट हो गया ठीक है इसका मतलब जो फंक्शन यहां पर दिया था बच्चों ये जो फंक्शन था ना ये जो फंक्शन था वो कौन सा फंक्शन है बाइजट इव है यानी कि वन वन एज वेल एज ऑन टू फंक्शन है ओके ये क्लियर रखो बात में आगे ये चीज मैं आपसे पूछूंगा आप मुझे बताओगे वहां पर ये रीजन काम में आएगा ठीक है जरा देखो अब बात करें फंक्शन की बात हुई लेकिन चैप्टर जो है वो इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन पर बेस्ड है यानी कि ट्रिग्नोमेट्री का ज्ञान होना जरूरी है ट्रिग्नोमेट्री का नॉलेज होना जरूरी है सबसे पहले हम बात करें ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन की ठीक है क्या हो गया भाई ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन देखो ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन आपने 11 पर पढ़ा होगा भाई है ना ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन सा एक् को एक तो य सा एक् हो गया यह को एक हो गया t x ओके कोट x से x एंड c x दीज आर द सिक्स ट्रिग्नोमेट्री रेशो अब ये ट्रिग्नोमेट्री रेशो है तो यहां पर जरा ध्यान दो भाई ये है तो भाई ये जो ट्रिग्नोमेट्री रेशो है या फंक्शन है ये इनपुट और आउटपुट तो लेकर चलते हैं अब इसमें इनपुट का मतलब हम डोमेन की चर्चा करने वाले हैं और आउटपुट का मतलब हम रेंज की बात कर रहे हैं आउटपुट मतलब फंशन का आउटपुट दैट इज कॉल्ड रेंज अब यहां पर यदि मैं इन फंक्शंस की बात करूं जिसमें हम बात करें भाई इनका डोमेन और रेंज आपको याद होना चाहिए रेंज आपको याद होना चाहिए और यह आपने बड़ी अच्छी तरह से 11 प पढ़े हो भाई डोमेन सा x की बात करें तो इसका डोमेन डोमेन मतलब वैल्यू ऑफ x वैल्यू ऑफ x इन विच फंक्शन मस्ट बी डिफाइंड भाई x की उन वैल्यूज के लिए फंक्शन क्या हो डिफाइंड होना जरूरी है बस इतने स बात करेंगे तो बेटा यहां पर sinx-cosx यह -5 / 2 है मिलेगा आपको नेगेटिव में मिलते जाएंगे अब बच्चों देखो यह मैक्सिमम वन है और यहां पर कितना हुआ वन और यह कितना हुआ -1 इसका मतलब मैक्सिमम वैल्यू वन जाएगी मिनिमम वैल्यू -1 जाएगी और x की वैल्यूज इसकी डोमेन केह लाएगी ये x एक्सेस पर जितनी भी वैल्यू है वह डोमेन का काम करेगी y एक्सेस पर जो भी है वह रेंज का काम करेगी अब ध्यान से देखो बच्चों जो जो जो वैल्यू चल रही है ना सभी वैल्यूज पर डिफाइन हो रही है मतलब जो x एक्सेस पर जितने भी एंगल्स है सभी पर डिफाइंड है किसी भी वैल्यूज पर नॉट डिफाइन नहीं आ रहा इनफिनिटी नहीं जा रहा नहीं जा रहा ना तो ये रियल नंबर की बात करेंगे मतलब यहां पर क्या आ जाएगा रियल नंबर आ जाएगा सभी वैल्यूज के लिए डिफाइंड है अब रेंज की बात करें तो अकॉर्डिंग टू दिस ग्राफ देखो -1 से + 1 जा रहा है तो इसका कितना हो गया -1 से + 1 इतनी बात समझ में आ गई भाई -1 से + 1 ये चीज समझ में आई ओके सिमिलर c x c x में भी इसका डोमेन क्या हो जाएगा रियल हो जाएगा और यदि मैं रेंज की बात करूं तो रेंज भी इसमें क्या होती है बच्चों -1 से + 1 सेम होगी सिमिलर 10x की बात करें पर 10x का ग्राफ आप दिमाग में सोचो देखो यहां ग्राफ जो काम आएगा मैं इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन के ग्राफ जरूर बताऊंगा जो पूछे जाने की संभावना आपके बोर्ड लेवल पर ठीक है है ना वो आपको ग्राफ का पता होना चाहिए 10x 10x में जो किन वैल्यूज प ये नॉट डिफाइन होता है उनको हटाना है तो क्या करें भाई रियल में से हम क्या हटा दें 2n + 1 पा / 2 जी सर क्यों हटाया अरे पा / 2 के ओड मल्टीपल पर ये फंक्शन नॉट डिफाइन होता है आप देखो t 90° का वैल्यू t पा / 2 का वैल्यू इनफिनिटी होता है t 3 पा / 2 t 5 पा / 2 ये ऐसे वैल्यू ले लो यार वो सब पर नॉट डिफाइन दे रहा तो इन वैल्यूज पर नोट डिफाइन हो रहा है तो हम क्या करें रियल में से उन नंबर्स को उन एंगल्स को हटा दीजिए और हटाने के बाद ये डिफाइंड हो जाएगा मतलब ये इसको सेटिस्फाई कर रहा होगा सभी वैल्यूज के लिए तो ये इसके डोमेन हो गया है अब इसमें रेंज की बात करें भाई 10x का ग्राफ में सभी वैल्यूज कवर होती है तो इसका रेंज रियल नंबर होता है ये रियल है भाई है ना रेंज मत रियल नंबर होगा ओके सिमिलर कोट x की बात करें तो आपको पता है ये किन वैल्यूज पर नॉट डिफाइन उन वैल्यूज को हटाना है तो n पा आ जाएगा n इज द इंटी जर ये ध्यान रखना n क्या है बच्चों यहां पर इंटी जर है इंटी जर वैल्यू कोई भी पुट करो सारी एंगल्स को हटाना है और इसका जो रेंज होगा वो रियल नंबर होगा इस क्योंकि सारी वैल्यूज ये कंटेन करता है सिमिलर भा से x की बात करें तो से x में इनपुट जो डोमेन का काम करेंगे किन वैल्यूज पर से x डिफाइन है भाई से x भी यहां पर क्या हो जाएगा r - n पा लिख दे n पा पर होगा क्या अच्छा अच्छा रुको रुको से x यहां पर जैसे t 90 पा / 2 पर नॉट डिफाइन होगा क्योंकि से x क्या हो गया यहां पर अ 90 वाला बात करें तो यहां पर रो हो जाएगा तो यहां पर भी ओड मल्टीपल पर यह हटा दो भाई 2n + 1 पा बा 2 इज दैट क्लियर क्योंकि देखो से 90 से 35/2 बात करो को से 5 पा / 2 ले लो या नेगेटिव ले लो उन वैल्यूज पर न डिफाइन हो रहा है हो रहा नहीं हो रहा भाई इस डेट के लिए बात समझ में आ रही नहीं आ रही क्योंकि उस पर इनफिनिटी मिल जाएगा ओके [हंसी] cc1 से ऊपर चला जाता है वो -1 से नीचे चला जाता है इसका जो रेंज होगा ना वो हो जाएगा वन से इनफिनिटी यही तो होगा ना ओके कोक कोसेक इसमें क्या हो जाएगा r - n पा कर दीजिए इसके डोमेन n पा पर हटा दो और बेटा इसका सेम होगा अब जरा ध्यान देना यार ये इंपॉर्टेंट चीज इसलिए है क्योंकि आगे हम इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन यानी कि इन्हीं के ट्रिग्नोमेट्री इवर्स की बात करेंगे तब ये इंटरचेंज होने वाले तो आपको यह याद होना चाहिए दिमाग में याद हो तभी जाकर आप इनको बना सकते हो रेंज की बात करें तो देखो दोनों का सेम चल रहा है य दोनों का सेम चल रहा है दोनों का सेम चल रहा है इट क्लियर ये हुआ ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन अब ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन हो गया यदि मैं इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन की बात करू तो इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन में क्या हो जाएगा यार इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन में इतनी सी बात होगी इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन अब इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन ओके इवर्स आटी में तो बच्चों क्या होगा इस तरह से बनने वाला है साइन इवर्स एक्स कोस इवर्स एक्स न इवर्स एक्स कोट इवर्स एक्स सेक इवर्स एक्स ए लास्ट इ कोसेक इन सबके इवर्स लिख दीजिए लेकिन इसमें इंपोर्टेंट चीज भ अब यहां पर थोड़ा सा थोड़ा डिस्कस करें कि सर इनके रेंज और डोमेन में क्या चेंजेज होगा यदि हम इनके डोमेन रेंज की बात करें य मैं डोमेन की बात करू इन फंक्शन की और यहां पर बेटा रेंज की लिखेंगे हम इन फंक्शन की रज तो इतना सा पता है मैंने बताया जब कोई फंक्शन चेंज होता है कोई फंक्शन a से बी में डिफाइन है और उसका इनवर्टिबल फंक्शन है तो ववव और नटू होना चाहिए तो इसका g जो फंक्शन बनेगा इवर्स उसमें उसका जो डोमेन कोडोमेन आपस में इंटरचेंज हो जाते हैं तो डेफिनेटली यदि हम बात करें यहां से छोटी सी चीज समझिए क्योंकि अभी हमने sinx-cosx इसके इवर्स फंक्शन की बात करूं और इवर्स फंक्शन यदि sin-1 x लिख रहे हैं इस देत के लिए तो डेफिनेटली ये आपस में क्या होंगे इंटरचेंज होना चाहिए होना चाहिए नहीं होना चाहिए मतलब ये डोमेन है तो ये इसका रेंज बनना चाहिए और जो रेंज है वो इसका डोमेन बनना चाहिए बिल्कुल जी भाई यहां पर तो ये तो इसका डोमेन का काम कर देगा और यहां पर रेंज की बात करें और रेंज यदि मैं r लिख लेता हूं रेंज में यहां पर r लिख लेता हूं तो क्या होगा गलत हो जाएगा गलत क्यों हो जाएगा इसको रॉन्ग क्यों कंसीडर किया इसका कारण है क्या कारण है भाई यदि मैं r मेंशन कर देता हूं तो फंक्शन का इवर्स फंक्शन एजिस्ट नहीं करेगा फंक्शन का इवर्स फंक्शन क्यों एजिस्ट नहीं करेगा क्योंकि सर आपने अभी थोड़ी देर पहले बताया कि फंक्शन का क्या होना जरूरी है बाइजेस्ट फंक्शन होना जरूरी और किसी फंक्शन का बाइजट तभी पॉसिबल जो व व और नटू हो तो देखिए यदि आपने रियल नंबर ही सेम एजट उठाकर रख दिया है तो उस केस में फंक्शन वन वन बिल्कुल नहीं बनेगा आप दिमाग में सोचो वव कैसे बनेगा यदि आपने पूरा रियल ले लिया तो उसमें फंक्शन यदि आप हॉरिजॉन्टल लाइन ड्रॉ करोगे sinx-cosx कितना होता है वन होता है सा 90 के मल्टीपल ले लो ठीक है तो उस पर वैल्यू क्या देगा हमेशा ये वन देगा नहीं देगा भाई सा 90 का सा टू वापस से रिपीट हो रही है ना वैल्यू क्योंकि आपको सा x का ग्राफ पता है बच्चों ये पूरे रियल में बात कर रहा हूं अभी पूरे पूरे रियल में पूरे रियल में बात कर रहे हैं तो देखो यार यदि मैं यहां पर हॉरिजॉन्टल लाइन ड्र करूं इस तरह से तो आपको यहां इंडिकेट हो रहा है कि इस पॉइंट पर इस पॉइंट पर इस पॉइंट पर इस फट तो ये तो देखो इनपुट देखो अलग-अलग है लेकिन आउटपुट तो हमेशा कितना आ रहा है यहां पर जो भी वैल्यू होगी वो दे देगा इज दैट क्लियर तो ये मेनी वन हो रहा है अब लेकिन हमें तो इवर्स फंक्शन चाहिए और इवर्स फंक्शन बनाने के लिए कुछ रिस्ट्रिक्शन कुछ लिमिट लगा दी लिमिट का मतलब यानी कि इसको वव और टू दिखाने के लिए हमने क्या किया हमने एक ऐसा रियल में से रियल के सब इंटरवल में ब्रेक कर दिया और उसमें से एक इंटरवल ऐसा लिया जिसमें ये सारी वैल्यू कंटेन कर ले तो भाई मैं यहां से यहां तक की बात करूं मैं यहां से यहां तक की बात करूं ये होता है पा / 2 माइनस का ये होता है प्लस का 5/2 अब ये जो बीच वाला चीज लिया ना बेटा ये वाली कौन सी वैल्यू यहां से यहां तक चल रहे है और इसमें इस sinx-cosx क्यों रखें और भी तो हो सकती है बिल्कुल सही बोले हो आप भाई क्यों पा / 2 से 3 पा / 2 भी तो हो सकता है जी बिल्कुल जी हो सकता है यदि यहां से बात करें यहां से यहां तक उसमें भी ये 1 ऑट है यस और नो 1 ऑट है तो ये वाले इंटरवल भी अपन कंसीडर कर सकते हैं इसी तरह से बहुत सारे इंटरवल्स यहां पर क्रिएट हो गए ये जरूर समझना है कि - पा / 2 से पा / 2 पा / 3 पा / 2 3 पा / 2 से 5 पा / 2 इज दैट क्लियर लेकिन हम जो बात करते हैं ना प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच की बात की जाएगी और किसी भी इवर्स फंक्शन ट्रिग्नोमेट्री इवर्स फंक्शन के लिए जो भी हम यहां लिखेंगे वो बेटा प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच होगी एक बेसिक इंटरवल होगा जिसकी हम जिसके अंदर ही इन फंक्शन का आउटपुट लेकर आएंगे अब यह - 5/2 से + 5/2 हो जाएगा इट मींस यहां पर रेंज हमें समझ में आ गई क्लोज इंटरवल के अंदर - पा / 2 से + पा / 2 लिखा जाएगा यहां पर r क्यों नहीं लिखा ये रीजन मैं बता चुका हूं आई होप आपको समझ में आ चुका होगा ठीक है बट यहां पर ये डोमेन क्या हो जाएगा बच्चों -1 से प्व ये तो इंटरचेंज हो जाएगा इसमें कोई दिक्कत ही नहीं ओके तो सान इवर्स का डोमेन हो गया -1 सेव और रेंज क्या हो गई या प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच जिसे बोले तो - 5/2 से ् 5/2 ये चीज एक समझना जरूरी है ये समझ में आ जाता है तो डेफिनेटली बाकी के जो पांच बचे हैं ना इनकी आप डोमेन और रेंज बता सकते हो इजली इज दैट क्लियर अब समझो को इवर्स की बात करें तो को इवर्स को को थीटा से रिलेट करो ज क थीटा था तो उसमें आपको डोमेन और रेंज पता रही होगी डोमेन रियल नंबर था अभी मैंने जस्ट बताया आपको पता है ना यह वाली चीज ये वाली चीज इसलिए मैंने यहां डिस्कस किया ये पहले मैं बता चुका हूं ठीक है तो इसमें को x रियल है इसका मतलब ये जब इवर्स बनेगा तो बच्चों इसको यहां रख दो और r को यहां रखना पड़ेगा लेकिन r में नहीं रख सकता रीजन क्यों क्योंकि फंक्शन का वव और ऑट होना जरूरी है इसलिए हम क्या करेंगे रियल को छोटे-छोटे इंटरवल में बांट देंगे ताकि उस इंटरवल के अंदर c x क्या हो जाए बाइजेस्ट हो जाए तो इस वाले केस में यहां पर मैं लिख दूं भाई यहां पर इतनी बात समझ में आती है ये तो -1 से वन होगा अब यहां पर चेंज होगा तो बेटा क्लोज इंटरवल के अंदर 0 से पाई एक ऐसा इंटरवल होगा क इवर्स के लिए जो रेंज का काम करेगा या प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच के लिए बन जाएगा रो से पाई 0 से 180 के बीच में हम बात कर रहे हैं अब 0 से 180 के बीच में बात कर रहे हैं तो इसी के बीच में इसका आउटपुट मिल जाएगा ओके नेक्स्ट इज t इवर्स की बात करो भाई t इवर्स की t थीटा को रिलेट करो अब t थीटा क्या था ये देखिए भाई t ये ये इसका मतलब ये यहां बनेगा और यहां बनना चाहिए बट रियल तो यहां आ जाएगा कोई दिक्कत नहीं जैसे कि हम एज से रख रहे थे अब बेटा यहां पर जो इसका आउटपुट बनेगा ना वो क्या बने बनेगा वो आउटपुट क्या होगा जिसके अंदर ये बाइजेस्ट हो तो बेटा यहां पर तो रियल आ जाएगा ठीक है लेकिन यहां पर ओपन इंटरवल में - 5/2 से + पा / 2 आपको ध्यान रखना है माइनस ओपन इंटरवल में - पा / 2 से पा / 2 हमने ऐसा इंटरवल लिया जिसके अंदर t थ सारी वैल्यू आ चुकी है और सारी वैल्यू आ गई ना तो इसके अंदर ये वन वन है ऐसे और भी इंटरवल बनेंगे लेकिन हम इसको प्रायोरिटी देखें ये है प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच ओके ओपन इंटरवल में सिमिलर कोट इवर्स इसका रियल हो जाएगा वो बैठ जाएगा बेटा इसको करना है ओपन इंटरवल में रो से पाई 0 से पाई ठीक है सिमिलर से इवर्स x की बात करें तो से इवर्स में जो होगा देखो से इवर्स का कंपेयर करो यहां से है इसको उठा कर इन दोनों को उठा कर यहां रख देंगे और ये चेंज होगा लेकिन ये ऐसे नहीं बैठेंगे इसको अ बदलना है क्या बदलना है भाई ये हो गया माइनस इनफिनिटी से -1 यूनियन वन से इनफिनिटी हो गया इसका भी सेम ही हो जाएगा ये लिख दीजिए इतनी बात समझ अब बच्चों यहां पर बात करें से इवर्स का रेंज क्या होगा प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच क्या होगा वह होगा क्लोज़ इंटरवल में ज़ीरो से पा बट हम यहां पर पा / 2 रिमूव करेंगे इसके अंदर से रीज़न दैट क्योंकि पा / 2 पर यह नॉट डिफाइंड कैटेगरी में जा रहा है यानी कि इसके अंदर यह डिफाइन नहीं हो रहा है से 90 का वैल्यू नॉट डिफाइन है इसलिए हम हटा रहे हैं ठीक है इसी तरह से cc-1 की बात करें तो क्लोज़ इंटरवल में -5 / 2 से + पा / 2 चलने वाला है लेकिन इसके अंदर 0 डिग्री आ रहा होगा उसे हटा दीजिए इज दैट क्लियर ये पॉइंट क्लियर हो गया होगा हमने जीरो को हटाया क्यों हटाया आपको इसका रीजन पता होना चाहिए ठीक है ना ये एक जो टेबल जो आपको दिखाई दे रही है ना ये काफी इंपॉर्टेंट है यार इस चैप्टर के लिए आप इस चैप्टर से कहीं इस इस इस टेबल से इस चैप्टर के जो इंपोर्टेंट सवाल है ना जो वैल्यू और डोमेन कोडोमेन और रेंज से रिलेटेड है ना वो फटाक से सॉल्व कर सकते हो ये चीजें आपको याद होनी चाहिए है ना कैसे मैं आपको बता चुका हूं किस तरह से लिखना है है ना ये चीज देखो कुछ सिमिलरिटी चल रही है इसके अंदर क्या चल रही है सिमिलरिटी भाई ये चीजें तो आपको पता है ये क्लोज में है तो t इवर्स का देखो यहां पर ये ओपन में कर दो ये बेटा ये आपको क्लोज में है तो से ये कर दीजिए है ना कोट इवर्स में ओपन में लिख दिया है से इवर्स में ब को का ही लिखा होगा लेकिन इसमें से ये हटाना था ठीक है इसी तरह से c इवर्स में से सा का लिखा है सा इवर्स लेकिन उसमें से जीरो हटाना है इतना सा आपको ध्यान रखना है दैट मींस कहने का मेरा यह मतलब है कि जो भी आउटपुट आएगा हम इन्हीं इंटरवल्स के अंदर लेकर आएंगे नहीं आता है तो ट्रिग्नोमेट्री का कुछ कांसेप्ट हम यूज करेंगे क्वाड्रेंट वाला कांसेप्ट हम यूज करेंगे और उसके अंदर बनाकर इसमें रेंज के अंदर लेकर आ जाएंगे ठीक है आई होप यहां तक आपको बिल्कुल अच्छी तरह से समझ में आ चुका होगा यह टेबल मैं बार-बार बोल रहा हूं यहां से आपके दो से तीन नंबर बन जाएंगे ठीक है इसके बाद ये चीज आपको समझ में आ गई तो हम इनके ग्राफ की बात भी कर लेते हैं सा इवर्स कोस इवर्स मेजर जो पार्ट होता है सा इवर्स कोस इवर्स का ग्राफ कैसे बनाया जाता है ठीक है तो बेटा देखो ग्राफ क्या चीज है इसकी ग्राफ्स अब ग्राफ्स क्या होगा इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शंस के ग्राफ की बात कर रहे हैं सबसे पहले यहां पर हम बात करेंगे sin-1 x का ग्राफ अब सा इवर्स x का ग्राफ के लिए आपको sinx-cosx पहले एंगल हम एक्स एक्सिस पर लिख रहे थे बेटा ठीक है वो एंगल कहां चल जाएंगे वा एक्सिस के ऊपर तो यहां पर आप क्या लिख दो पाई बाटू ठीक है यह लिख दिया आपने पाई आगे भी चलेगा यह आपने माइनस पाई बाटू लिखा य आपने माइनस पाई लिखा ओके ठीक है आगे भी होगा लेकिन हम यहां से आईडिया लगा लेंगे किस तरह से ग्राफ में चलने वाला बेटा ये जीरो है तो आपको पता है भाई पा बाट सा x वाला याद रखो ठीक है सा तो सा पा बाट का वैल्यू कितना होता है भाई सा पा बाट का वैल्यू कितना होता है सा पा बाट वो वन होगा 90 डिग्री पर ठीक है इसका मतलब जीरो पर तो जीरो मिलेगा तो ग्राफ यूं कहां से जाएगा जैसे य ग्राफ जाएगा ऐसे चलने वाला है मैक्सिमम कितना आ गया इधर से वन आ गया सब इधर से कितना जाएगा यहां पर माइनस व चलेगा इधर से य माइनस व आ गया य ओके अब आगे बढ़ाएंगे तो य शेप में चलने वाला है जीरो हो जाएगा फिर आगे बढ़ाएंगे बटा इसको यू कर दीजिए जीरो हो गया इसी तरह से यू चलने वाला है और आगे बनाओगे तो इस तरह चलने वाला है तो काम क्या हुआ जब हमारे पास सान एक का ग्राफ था सान एक् का ग्राफ क्या चल रहाय सान एक् का ग्राफ है सा इस तरह चल रहा था और य ल था बेटा पा बाट ये रो था ये - पा बा 2 ठीक है ये वन था और ये -1 था तो आपने क्या किया इसको घुमाकर इसको उठाकर यूं कर दिया अरे यूं ही तो गया ना तो वैल्यू इस तरह से बन जाएगा आपको ओके तो ये ध्यान रखना है इस तरह से इसका ग्राफ बनेगा सा इवर्स x इज इट क्लियर अब यहां पर क्वेश्चन पूछा जा सकता है भाई इस इस इस वैल्यूज के बीच में यहां की यहां की वैल्यूज के बीच में इसकी रेंज बता दीजिए कोई वैल्यू दी जा सकती है हम रख देंगे फंक्शन के ठीक है ग्राफ पूछा गया तो यहां पर इसका वन मार्क होगा इसके साथ इसकी रेंज पूछी जाए मतलब किसी पर्टिकुलर इंटरवल्स के अंदर वो भी हम दिखा सकते हैं बहुत ही सिंपल है ठीक है सा इवर्स x का हो गया इसी तरह से आपको कोस इवर्स x का ग्राफ बनाना है तो कोस का भी इसी तरह से बना सकते हो कक को x का आप जानते हो भा को x का ग्राफ क्या होगा को x का ग्रफ यहां पर देखो को x में यूं चलता है अब यहां से ये वन ले लिया है तो अल्टरनेट वे शप में चलेगा यूं चलने वाला है यह कितना हो गया वन हो गया यह वैल्यूज कितनी हो गई पाई बाटू हो गई यह पाई हो गई यह माइनस पा बाटू आपको मिलेगा य माइनस का पाई मिलेगा अब हमें क्या करना है जो एक्स और वा एक्सिस हो गया इसको उठाकर यूं करना है है ना ताकि वो सेम बन जाए तो इस तरह की नजर आए आपको इसका ग्राफ कोस इवर्स एक्स की तो कोस इवर्स x में क्या हो जाएगा यदि यहां लिखे इस तरह से बनाए बेटा यह वन लिख दीजिएगा यह माइनस व कर दीजिएगा और यहां पर इस स्प में चलने वाला यह पाई बाटू ले लेते हैं पहले यह पाई ले लेते हैं और आगे चलेगा माइनस पाई बाटू हो गया जी माइनस पाई हो चुका है और आपको पता है यहां जीरो होता है कोस 0 का वैल्यू वन होता है तो डेफिनेटली य वन से स्टार्ट होने वाला है वन से स्टार्ट होगा तो यूं जाएगा और यूं चलने वाला है और यूं चलने वाला है समझ में आ रही है गाड़ी भाई क्लियर देखो 0 और व होता है क 0 व तो यूं चले 5/2 0 हो गया तो यहां पर आ गया फिर से यूं चलेगा यूं चलेगा है ना इस तरह से बन जाएगा बहुत आसान है जब आप कॉपी और पेन लेकर इस चीज को बनाओगे तो काफी आसानी से आप बना सकते हो इस चीज को को इवर्स सा इवर x को ओके इसी तरह से t इव x का अग्राफ देखें t इव x में क्या बनेगा तो भैया t इव x में य चलने वाला है यार बेटा ये वैल्यूज रख दो ये जीरो था अब ये x एक्सिस यहां पर वैल्यूज आ जाएगी पा बा 2 आ जाएगा ये पाई आ जाएगा बच्चों ये - पा / 2 होगा यह माइनस पाई होगा इस तरह सीरीज चलने वाली है अब आपको यह भी पता है भाई यहां पर मैं बात करूं जो पाई बाटू पर है उस पर यह नॉट डिफाइन देता है यस और नो है कि नहीं पा बा परन डिफाइन होगा इसी तरह से आगे भी चलेगा अब यहां से मैं एंगल देख जीरो 0 का वल जीरो होगा पा बाटू पर यूं चलने वाला है इस तरह से शेप में बना दीजिएगा क्योंकि बाटू रखेंगे तो ये इनफिनिटी पर पहुंचने वाला है क्योंकि जो न थीटा का ग्राफ था वो यूं वर्टिकल चलता था यूं बनाते थे ग्राफ अपन बनाते थे बना उसी तरह से उसको चेंज करना है इसी तरह से आगे बात करें तो आगे भी कुछ ना कुछ वैल्यू चलती रहेगी 3 पा बाट पर है ना और यहां से यूं जाने वाला है मान लीजिए 3 पा बाट उधर चल रहा याय पाई बाट ले लिया तो वैल्यू तो यूं चलेगी ना इससे य यूं चलने वाली है ओके इसी तरह से यहां से बना दीजिए कोई वैल्यू आएगी तो यूं चलने वाली है ये t इव x का ग्राफ होता है ए सिमिलर कोस कोट इवर्स x का भी इसी तरह बनाया जा सकता है उसमें सिमेटिक स कैसे चले सिमेटिक इस तरह से चलने वाला है यहां से य बना दीजिए यू बना दीजिए ठीक है उस रूप में बन जाएगा इट क्लियर पॉइंट क्लियर है आई होप समझ में आ गया होगा भाय चीज भी है ना कोट इवर्स एकस का देखो किस तरह से है ग्राफ इस तरह से इसी तरह से बनेगा लेकिन उसमें जो निकलने वाली है ना बेटा आपको ध्यान रखना है ये देखो ये पाई बाटू लिया ये पाई लिया है ये माइनस पाई बाट य माइनस पा ठीक है अब वैल्यूज कहां से न डालनी है आपको क्योंकि यहां से अब पॉइंट आउट यहां कर दीजिए कक इस पर नॉट डिफाइन होता है जीरो पर नॉट डिफाइन हो सॉरी जीरो पर नॉट डिफाइन होगा है ना अब वैल्यू जो जाने वाली है वो यूं जाने वाली है यदि यहां पर बात करें ये जीरो था य ऐसे से चलेगी ऐसे सिमेटिक शप में चलेगा ऐसे चलेगा भाई ऐसे चलने वाला है मत यय य चल रहा था और ऐसे चलने वाला है तो दिस इ द कोट इवर्स एक्स और दिस इ द न इवर्स एक् ओके इट क्लियर सिमिलर सेक इवर्स और कोसेक इवर्स मैं सेक इवर्स का बनाकर दिखा रहा हूं कोसेक इवर्स का आप सेल्फ बना सकते हो भा यहां पर हम से इवर्स एकस की बात करें अब से इवर्स x का ग्राफ क्या होगा क्योंकि आपने इस तरह का बनाया था से थीटा ग्राफ आपको पता है तो आप बना सकते हो देखो यह वैल्यूज हम ले लेते हैं भाई यहां पर पाई बाटू यह पाई ले लो यह 3 पाई बाटू हो गया यह माइनस पाई बाटू य माइ पाई एंड -3 पा बच्चों वैल्यू हमने तो ले ली क्या यहां पर वन होगा बिल्कुल जी क्या यहां पर माइव होगा बिल्कुल जी अब देखो वैल्यूज कहां से कहां तक चलने वाली क्योंकि यहां पर यदि हम जीरो रखे बेटा तो से 0 का वैल्यू कितना होता है वन होगा तो डेफिनेटली यहां से होगा और पाई बाटू माइनस पा बाटू पर फंक्शन क्या होगा नॉट डिफाइन होगा मतलब इनफिनिटी पर जा रहा होगा ट मीस यहां से हम एक लाइन ड्र कर दें क्योंकि यह इनफिनिटी पर पहुचने वाला है पा बा 2 वाले पर इसी तरह 3/2 पर इनफिनिटी पर पहुंचने वाला है और यहां पर भी क्या होगा इंफिनिटी पर बिल्कुल पहुंच जाएगा इसका ग्राफ हम इजीली बना सकते हैं इस तरह से बना सकते हैं इजली भाई यहां से यूं घूम जाएगा इसका ग्राफ यार इधर घुमा दो है कि नहीं इसी तरह से अब यूं घुमा है तो इसका ग्राफ यहां से -1 तक चलेगा और यूं घूम जाएगा ओके सिमेट्रिसिटी समझना है यहां इधर घुमाए तो फिर अल्टरनेट इधर टर्न करेगा ये इधर हुआ तो इसका टर्न यहां पर चलेगा भाई य घुमा दीजिए यह सेक इवर्स में बनेगा क्योंकि बेटा इस पर क्या होगा माइव और डेफिनेटली भाई 3 पा बा पा बाट पर नॉ डिफाइन है तो नॉट डिफाइन पर जा रहा है इफिनिटी ब जा रहा है यही तो काम करना है ठीक है बाकी वैल्यू के लिए अपना कंसीडर हो जाएगा ओके तो दिस इ द से इवर्स य से इवर्स का है भाई ये ध्यान रखना है से इवर्स का हो आप इसी तरह से कोसेक इवर्स का ग्राफ बना सकते हो तो ग्राफिकल अप्रोच भी आपको थोड़ी सी समझनी पड़ेगी आपको ग्राफ भी पता होना चाहिए इसके लिए ओके आई होप यह ग्राफ बनाना आपको आ गया होगा इसकी और प्रैक्टिस आपको बुक में करनी है ठीक है नोटबुक में आपको बनाकर देखना है ओके नेक्स्ट बात करें अब इसकी कुछ बेसिस प्रॉपर्टी पर जो प्रॉपर्टी इंपोर्टेंट है इसकी कुछ आईटीएफ की कुछ अच्छी खासी प्रॉपर्टी आपको मिलने वाली है भाई कौन-कौन सी प्रॉपर्टी हम डिस्कस करेंगे प्रॉपर्टीज ऑफ इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन आईटीएफ इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन अब टाइप फर्स्ट वाली प्रॉपर्टी देखो इसकी भाई टाइप फर्स्ट तो बस हम कैटेगरी दे रहे अदर वाइज देरी की जरूरत नहीं है बस आपको थोड़ा सा याद सिंपल टाइप के हम यहां पर लिख रहे हैं यहां पर लिख रहे हैं साइन इवर्स और साइन एक्स की बात करें तो बच्चों य वैल्यू जो होगी वो ऑलवेज बराबर होगी x के किसके बराबर होगी x के ठीक है अब x के इक्वल है तो x के इक्वल क्यों किया रीजन हम बताएंगे अभी इसमें सान इवर्स और सा x नजर आ जाए इवर्स मतलब भैया जो अंदर दुपक के जो चुपके से बैठा हुआ है उसका उल्टा आदमी बाहर बैठा हुआ है जो अंदर बैठा हुआ है उसका उल्टा आदमी बाहर बैठा हुआ है तो ऐसी कंडीशन में अब यहां से x बचेगा लेकिन कंडीशंस और भी लगेगी शर्तें यहां पर लागू है क्या शर्तें है भाई x जो होगा वो इन्हीं की प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच के अंदर आना चाहिए किसके अंदर आना चाहिए प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच के अंदर आना चाहिए क्योंकि भाई x बिलोंग टू x बिलोंग टू प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच तो व्हाट इज द प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच वी हैव डिस्कस रिसेंटली - 5/2 + पा / 2 यही तो होगा ना sin-1 x का प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच क्या होती है ये क्या होगी इसकी प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच यही तो है ना बच्चों और इसके अंदर होना मतलब एक जो वैल्यू होगी ना बेटा इसके अंदर नजर आनी चाहिए है ना यदि इसके आउट में आ जाती है पाई बाटू से ज्यादा आ जाए माइनस पा बाटू से कम आ जाए तो उस केस में x नहीं बचेगा यानी कि यह दोनों नहीं भागेंगे ये दोनों कहीं भी नहीं भागेंगे भाई ये कंडीशन है कंडीशन तभी होगी ये दोनों आपस में कब भाग जाएंगे जब x इनकी प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच में आ जाए ठीक है ये क्लियर हो चुका होगा फर्स्ट वाला आई होप सिमिलरली हम दूसरे की बात करें बेटा अब ये रूल जो है ना सभी में अप्लाई होगा सभी में यह देखो सेम सेम होना चाहिए एक दूसरे की इवर्स होता भी जाकर होगा यहां पर को इवर्स तो अंदर इसका इवर्स को ठीक है और x कहां बिलोंग करेगा इसकी रेंज के अंदर तो x बच जाएगा और x बिलोंग टू बिलोंग टू 0 टू पा इट एज वेल एज भाई 10 इवर्स की बात करें न इवर्स x t एक तो इसमें भी x आप लिख दीजिए और एक्स बिलोंग टू एक्स कहां से बिलोंग करेगा इसके प्रिंसिपल वैल्यू ब्रांच माइनस पा बाट से पाई बाटू के बीच में आना चाहिए ओके एंड नेक्स्ट इ भाई कोट इवर्स और कोट x नजर आए तो बे यह भी x होगा और एकस बिलोंग टू ओपन इंटरवल जीरो से है ना आप भाई से इवर्स की बात करो तो से इवर्स और से एक ये जरूर गौर से देखते रहो भाई इसको आप ध्यान से देखना है है ना इसको स्किप मत करना लास्ट तक देखो से इन तो से x इसकी रेंज इसकी रज क्या थी क्लोज इंटरवल में जीरो से पाई लेकिन हम पा बाटू नहीं रखते इसके अंदर सिमिलरली भाई हम बात करें कोक इवर्स और कोसेक एकस होगा भाई यहां से भी तो एक ही बचेगा ना और एक्स बिलोंग टू इसकी रेंज में हो जाएगा तो ओपन क्लोज इंटरवल इसमें से जीरो हटा दीजिएगा है ना यह ध्यान रखना अभी इस पर हम एग्जांपल डिस्कस करेंगे उन इलस्ट्रेशन से आप क्लियर समझ जाओगे किस तरह से हम अप्लाई करना है तो ये कहानी क्या होगी इवर्स चल रहे होंगे अंदर इनके sinx-cosx और सा इवर्स x अंदर आ जाए दिस इज द sin-1 x राइट वहां पर क्या था भाई सा इवर्स बाहर था और यहां सा इवर्स अंदर कर दिया है तो इस केस में भी हम डिस्कस करें भाई तभी भी x ही बचेगा क्या बचेगा x बचेगा बट कंडीशंस क्या है कंडीशंस तो वही है ना भाई कंडीशन ध्यान रखना है या कंडीशंस अप्लाइड होगी कि जब इस तरह की सिचुएशन हो तो हम क्या अप्लाई कर देंगे अ x कहां से इसके डोमेन के अंदर लाई करेगा ये इंपॉर्टेंट कंडीशंस है यार टाइप फर्स्ट में क्या था भाई या सा इवर्स जैसे हमने देखा भाई साइन अंदर था सान इवर्स बाहर था तोब वो उसके रेंज के अंदर डिफाइंड होना चाहिए था सिमिलर अब सब में ये यूज होने वाला है या को कोस इवर्स x यहां पर लिखा हो तो ये x हो जाएगा तो बच्चों इसका डोमेन क्या था इसका डोमेन है सिमिलर -1 से वन ही इसका डोमेन बना हुआ है इज इट क्लियर इसी तरह से बाकी समय यही रूल अप्लाई [संगीत] होगा यहां लिख देते हैं t इवर्स दैट इ x एंड x बिलोंग टू x बिलोंग टू रियल नंबर ये डोमेन है डोमेन डोमेन की बात हो रही है किसकी बात हो रही है डोमेन की ठीक है सिमिलर कोट कोट इवर्स x दैट इज x ये x हो गया तो यहां पर भी x बिलोंग टू डोमेन की बात यहां पर हम करेंगे ठीक है ये तभी हटेंगे जब ये डोमेन के अंदर डि फंड हो इसी तरह से से से इवर्स x हो तो दिस इज द x और x बिलोंग टू डोमेन डोमेन क्या था भाई इसका माइनस इनफिनिटी से -1 यूनिनव से इनफिनिटी इस तरह से बनने वाला है एंड लास्ट इज कोक एंड कोक इवर्स x आ जाए तभी भी हम x बोलेंगे और x बिलोंग टू सेम यह कहानी डोमेन के अंदर चलने वाली है तो आपको थोड़ा आईडिया ध्यान रखना है क्या आईडिया ये ध्यान रखना है भाई इस तरह के फंक्शन दिए गए हो तो किन वैल्यूज के अंदर डिफाइंड है आगे मैं इस पर बेस्ड सवाल जरूर कराऊंगा ताकि आपको ये एग्जांपल से क्लियर हो जाएगा कि इनको हम कहां पर यूज करने वाले हैं आई होप ये समझ में आ गया होगा ये टाइप सेकंड की प्रॉपर्टी थी टाइप थर्ड की प्रॉपर्टी में हम देखें तो इस तरह से भी होगा यदि आपको बेटा साइ इवर्स और - x लिखा हो sin-1 - x तो sin-1 - x का मतलब हो गया ये माइनस बाहर आ जाएगा बिकॉज़ इसका पूरा प्रूफ है एक्सप्लेनेशन है बिकॉज़ आपने ट्रिग्नोमेट्री अच्छी खासी पढ़ी होगी ट्रिग्नोमेट्री फंक्शंस वाला जो 11थ वाला चैप्टर था तो वहां से भी आपने क्लियर खा हो सा - थीटा सिंस सा - थीटा ये आपको पता है सा - थीटा दैट इज - सा थीटा होता है इनी के थ्रू यह प्रूफ हो चुके हैं तो सिर्फ आपको ध्यान रखना है कि माइनस हम बाहर कब लेंगे तो यहां पर माइनस बाहर आ गया यदि बच्चों यहां पर इस तरह से लिखा हो न इवर्स माइन एक लिखा हो न इवर्स माइन x तभी भी हम माइनस को बाहर ले देंगे न इवर्स x इसको लिख डालेंगे ओके एंड कोसेक इवर्स माइ एक हो तो माइनस कोसेक इवर्स x हो जाएगा इतने से आप इजली अपने दिमाग में ये ध्यान रख सकते हो कि माइनस यहां पर डायरेक्ट बाहर आ जाता है अब सर माइनस स्किन में बाहर नहीं आएगा या फिर आपके लिए इस तरह की सिचुएशन आ जाए कि इस तरह की आपको दे दे इस तरह से कोस इवर्स माइन एक अब कोस इवर्स - एक् की बात कर रहे हैं तो ये होता है पा माइनस कोस इवर्स x इसमें डायरेक्ट माइनस बाहर नहीं आया ओके को इवर्स माइनस को हम प्रूव भी कर सकते हैं इसको y कंसीडर कर लो वहां से पा - को इवर्स y की फॉर्म में लिखेंगे तो यह वाली फॉर्म जरूर वहां क्रिएट होगी ठीक है नेक्स्ट यदि इस तरह से लिखा हो कोट इवर्स - x तो बच्चों पा माइनस इसको कोट इवर्स x लिखा जाएगा एंड यदि से इवर्स - x लिखा हो पा - से इव x लिखेंगे इन पर सवाल हम देखने वाले हैं थोड़ी देर बाद ठीक है मैं अभी सिर्फ प्रॉपर्टी आईटीएफ से रिलेटेड कौन-कौन सी प्रॉपर्टीज यूज होने वाली है वो सारी चीज इसमें बताने वाला हूं ठीक है तो ये इंपोर्टेंट चीज है आपको ये ध्यान में रखना है इन प्रॉपर्टीज को कहां पर माइनस डायरेक्ट बाहर आएगा कहां पर माइनस नहीं आएगा पाई में से माइनस होगा ठीक है प्रॉपर्टी हुआ नेक्स्ट इज हम बात करें इस तरह के कुछ बेसिक क्वे प्रॉपर्टी वाले यदि ये वाली प्रॉपर्टी फोर्थ वा अब प्रॉपर्टी फोर में क्या है यदि t सा इवर्स x प्स क इवर्स x दैट इज इक्वल पा बा 2 ये किसके इक्वल है बच्चों पा बाट के बराबर होता है ठीक है यहां पर दो वैल्यूज निकल कर आ सकती है कौन-कौन सी दो वैल्यू निकल कर आ सकती है यदि आपको दिया जाए भाई सा इवर्स x क्या सा इवर्स x को पा बा 2 माइ कोस इवर्स x के नाम से जान सकते हैं बिल्कुल जी लिख सकते हैं क्योंकि यह वाली प्रॉपर्टी याद होती है लेकिन जब सा इवर्स x की जगह रखना हो तो हम 5/2 माइ कोस इवर्स x रख सकते हैं या कोस इवर्स x की जगह पा बा 2 माइ सा इवर्स x रखा जा सकता है ओके यह जरूर ध्यान रखना खना है नेक्स्ट यदि t इवर्स x प्लस कोट इवर्स x लिखा हो तो बच्चों यह पाई बाटू के इक्वल होता है दोनों का सम पा बाट के बराबर होगा और यह सब वैल्यू अपने ही डोमेन के अंदर डिफाइंड होगी इनका जो डोमेन है बा x बिलोस टू -1 सेव इनका जो डोमेन है वो रियल नंबर है रियल नंबर के अंदर डिफाइंड होगा एंड लास्ट इज यदि कोट इवर्स स से इवर्स एंड कोसेक इवर्स का दिया हो तभी भी इसका सम पाई बाटू मिलेगा पाई बाटू मिलेगा ओके तो यह अपने डोमेन के अंदर सारी की सारी वैल्यूज अपने डोमेन के अंदर डिफाइन है ना यह सब डोमेन के अंदर है यहां पर जो भी है यह अपने डोमेन के अंदर डिफाइंड होगी डोमेन एक्स बिलोंग टू इन इट्स डोमेन इनके डोमेन के अंदर डिफाइंड होगी ठीक है यह सब चीजें अभी कुछ देर का कुछ अब 10 मिनट्स का वेट करो उसके बाद मैं एग्जांपल के थ्रू यूज करना सिखाऊंगा कहां पर यह प्रॉपर्टीज यूज होने वाली है ओके तो बच्चों ये ध्यान रखना है नेक्स्ट में बात करें इस तरह के बेसिक फॉर्मूले जो काम में आने आने वाले हैं आपके कौन-कौन से t इवर्स x प् t इवर्स y इ t इवर्स x + x+ y अप 1 - x इस तरह के फॉर्मूले आपको देखने को मिलने वाले हैं यदि इस तरह से हो t इवर्स x प्स तो बच्चों ये होता है t इवर्स x + y / 1 - एकवा कर दोगे ओके यहां पर प्लस आ रहा है तो ऊपर प्लस नीचे माइनस आएगा सिंगल न इवर्स में बदलना हो और t इवर्स - t इवर्स y हो तो बच्चों सिंगल t इवर्स से हम बोल सकते हैं भाई t इवर्स यहां पर x - y और 1 + एकवा इसको लिखा जाएगा ठीक है सिंगल न इवर्स जो यहां पर हम क्लेरिफाई कर सकते हैं यह दोनों चीजें यहां लिखी हुई है ठीक है यह इंपॉर्टेंट चीज है इन दोनों का प्रोडक्ट लेस दन व हो तो यह यूज़ करेंगे और -1 से ग्रेटर दन हो तो यह यूज कर लेंगे भाई 2 tan-1 x 2 tan-1 2 tan-1 ये इंपॉर्टेंट चीज है भाई 2 tan-1 x को सिंगल सा इवर्स में बदल ना हूं सिंगल सा इवर्स बदलना हो भाई 2tan इवर x को सिंगल में बदलना हो sin-1 तो यह फॉर्मूला भी बड़ा ही प्यारा होता है भाई यह जो फॉर्मूला है ना यह प्रूफ हो चुके हैं ऑलरेडी ट्रिग्नोमेट्री वाले से क्योंकि आपको भाई सा 2 थीटा का फार्मूला पता होना t क्योंकि यहां पर आप x की जगह क्या पुट कर दो t थीटा पुट कर दो और x की जगह t थीटा पुट कर देंगे ना बच्चों तो यहां रखो देखो सा सा बकेट 2tan थीटा देखो गौर से भाई 2tan थीटा 1+ t स्क्वा थीटा मैं यहां पर करूंगा और आपको पता है जो अंदर वाली चीज है ये किसके इक्वल होती है sin2 थीटा के तो दिस इज द सा एंड साट थीटा और सा साइ ये हट गया ठीक ठीक है अच्छा अच्छा रुको रुको किसके इक्वल है यहां पर सा हां ये सा इवर्स चल रहा है ना भाई ये सा इवर्स से साइन हटा दीजिए तो व्हाट वी हैव 2 थीटा और 2 थीटा बा 2 थीटा यहां से और थीटा की जगह आप ये वैल्यू यहां से निकाल लो और 2 t इवर्स मेरे को मिल जाएगा व्हिच इज इक्वल एलएचएस तो ये प्रूफ है सिर्फ आपको डायरेक्ट याद रखना है दिमाग में और इन फॉर्मूला को इन प्रॉपर्टी को आप लिख लिख कर याद कर सकते हो बहुत इजी है ठीक है जब आप इन पर बेस सवाल कर लोगे ना तो डेफिनेटली ये सारी चीजें आपको याद अपना आप हो जाएगी ठीक है तो बच्चों आपको 2tan इव को सा इवर्स में कन्वर्ट करना तो ये यूज करना है ओके 2tan इवर्स को को इव 1 - x स् / 1+ x स् लिखते हैं जी समझ में आती है बात 2tan इन t इव 2x / 1 - x स् ये भी बात समझ में आती है सेम नेक्स्ट है भाई 3s इवर x अब 3s -1 x का मतलब हुआ 3 sin-1 x का मतलब हुआ आपको 3 sin-1 x दैट इज इक्वल सिंगल सा इवर्स में बच्चों ये होता है 3x - 4x क ओके अब यहां प्रूफ कर सकते हैं x की जगह सा थीटा करके हम ये बना सकते हैं ठीक है इसी तरह 3c इव x आ जाए ये वाला नेक्स्ट वाला तो को इवर्स 4x क - x 3x हो जाए यहां पर 3x - 4x क यहां 4x क - 3x है ठीक है एंड आल्सो 3 t इव x = t इव 3x - x क / 1 - 3x स् होता है जो tan3 थीटा वाले फॉर्मूले से क्रिएट हुआ है ठीक है तो यह ध्यान रखना है और सिंगल यदि आपके पास यह आ जाए 2 2s -1 x अब 2s -1 x को बदलना है तो इसको लिखा जाएगा sin-1 2x √1 - x स् ये बड़ा प्यारा फार्मूला होता है क्योंकि हमें कुछ जगह डायरेक्ट यूज़ करना होगा हमें कोई यहां पर इसका प्रूफ करके पहले हम प्रूफ करें दैट इज रॉन्ग हमें डायरेक्ट यूज़ करना है कि 2s इव को को सा इवर्स में कन्वर्ट कीजिए तो sin-1 2x / 2x √1 - x स् हो जाएगा तो दीज आर द इंपोर्टेंट फॉर्मूला इंपोर्टेंट प्रॉपर्टीज जो काफी यूज होने वाली है इस चैप्टर के अंदर आईटीएफ जो एक एक इंपोर्टेंट और बहुत ही छोटा टॉपिक है जिसके अंदर कहां-कहां से क्वेश्चंस पूछे जाने की संभावना है वो सिर्फ आपके डोमेन पूछा जा सकता है रेंज पूछी जा सकती है इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शंस की ग्राफिकल अप्रोच हो सकता है ग्राफ आपको याद होने चाहिए किसी वैल्यूज के बीच में डोमेन को दे दिया उन डोमेन के अंतर्गत उसकी रेंज पूछी जा सकती है ठीक है और साथ के साथ जो बेसिस प्रॉपर्टी बताई ना यह वाली और उससे पहले वाली ठीक है यह भी आपको याद में होना चाहिए अब इन प्रॉपर्टी का किस तरह से हम यूज़ करने वाले हैं किस तरह से यूज़ करने वाले हैं वह देखो हम हम इसके इस चैप्टर से रिलेटेड सवाल करने वाले हैं जो काफ़ी इंपॉर्टेंट होंगे आपके अदर कंपटिंग और बोर्ड लेवल पर आप जिस बोर्ड में अपीयर हो रहे हो वहां पर किस तरह तरह के सवाल पूछे जाने वाले हैं तो भाई फर्स्ट वाला सवाल देखिए इसका वैल्यू हमें पता करना है क्या वैल्यू होगा फाइंड द डोमेन ऑफ sin-1 2x अब sin-1 2x का डोमेन पूछा है आपको ये देखना है क्योंकि यहां पर जो दिया हुआ है ना sin-1 2x दिया हुआ है क्योंकि sin-1 जो 2x है ये भाई किस फैमिली से बिलोंग कर रहा है बच्चों ये sin-1 x वाले रूप को बिलोंग कर रहा है अब sin-1 x से क्योंकि सा इवर्स x का डोमेन क्या था x बिलोंग टू -1 सेव था तो इसका डोमेन क्या हो जाएगा जो 2x होगा ना ये 2x कैटेगरी कहां लाई कर दीजिए -1 से + 1 के बीच में और ये इन क्लिटी होती है हमें x के लिए सॉल्व करना है फॉर वैल्यू ऑफ x तो टू से हम डिवाइड कर देंगे प्रत्येक टर्म को तो हमारे पास यह वैल्यू मिल जाएगी और बच्चों यह बड़ी से प्यारी वैल्यू हो गई देखो तो एक्स का वैल्यू कहां से कहां तक लाई कर रहा है एकस का वैल्यू लाई कर रहा है माइनस हाफ से प्लस हाफ च इ लाइक बिटवीन दिस देखो कंपेयर देखो यार गौर से मतलब हम यह जान सकते हैं भाई इस फंक्शन के लिए डोमेन का काम यह कर रहा है इस फंक्शन का डोमेन यह नहीं होता सा इवर्स x का डोमेन तो होता है माइव सेव लेकिन साइन इवर्स के आगे कुछ और वैल्यू दे दी तो उसके डोमेन हम निकाल लेंगे क्योंकि इसी फैमिली से ये बिलोंग कर है है ना यह कंपेयर करके हम पता कर सकते हैं आ होप ये समझ में आया होगा नेक्स्ट सवाल किस तरह का पूछा जा सकता है व्हाट इज द वैल्यू ऑफ़ सा 2s -1 0.6 अब बच्चों भाई इसकी वैल्यू हमें निकालनी है यदि चार ऑप्शन हो तो क्या आंसर होगा किस तरह से हम इसको एलेट कर सकते हैं क्योंकि भाई हमारे पास हमें पता है ये चीज भाई अंदर 2s इवर्स आ रहा है सिंस हम जानते हैं कि सर सा और सा इवर्स x होता है तब आप x लिखते थे बिल्कुल सही लिखते थे क्योंकि यहां पर देखो x उसके डोमेन के अंदर होगा तब जाकर हम लिख देंगे अब इस क्वेश्चन में भाई ये टू है ना दिक्कत कर रहा है ू क्या कर रहा है दिक्कत कर रहा है अब इस टू को हम कैसे हटाए देखो क्या मैंने आपको इसका अभी एक फार्मूला बताया था यह था क्या 2 साइन इवर्स को सिंगल साइन इवर्स बदल सकते हैं जी बदल सकते हैं वेर इज x 0 तो ब यहां पर लिख दो साइन इवर्स 2 इन 0.6 अंडररूट 1 माइ 0.6 का होल स्क्वायर कन आ राट अब यहां पर साइन इवर्स 2 यह कितना हो गया 1.2 हो गया है इनटू अंडर रव माइन अंडररूट 1 माइ 0.36 हो गया है और 1 माइ 0.36 को माइनस कर दीजिए तो यहां बेटा 0.64 होगा उसका 0.8 हो जाएगा स्क्वायर रूट ये दोनों मल्टीप्लाई कर दीजिए सान इवर्स अच्छा साइन साइन चल रहा है ना ओके इसका वैल्यू कितना आ गया भाई ये हो गया 0.96 तो बच्चों अंदर वाला 2 साइ इवर्स दिस इक्वल सा इवर्स 0.96 और बाहर हमें पता चल रहा है बाहर साइन था और इसको हमने सिंगल साइन इवर्स इसमें कन्वर्ट कर लिया इज दैट क्लियर य लिखेंगे अब देखिए यार ये 0.96 क्या इसके डोमेन में अंदर आ रहा है 0.96 -1 से + 1 चले तो उसके बीच में कोई ना कोई वैल्यू होगी जो 0 पॉइंट उसके अंदर लाई करेगी ठीक है और इस केस में यह दोनों हटा दीजिए और हमारा आंसर कितना मिलेगा ये आंसर हो गया ओके तो इन फॉर्मूला को हम इस तरह से यूज करने वाले हैं आई होप ये क्लियर हो चुका होगा नेक्स्ट देखिए इस तरह के क्वेश्चंस भी हो सकते हैं बहुत ही प्यारे से सवाल है तो आप किस तरह से सॉल्व करोगे इसे क्योंकि यहां पर दिया हुआ है भाई साइन पा / 3 - सा इवर्स - 1/2 इज दैट क्लियर और बच्चों क्या हम सा और पा / 3 अब ये माइनस तो बाहर आ जाता है सा इवर्स - x याद करो अभी जस्ट फार्मूला बताया और यहां बच्चों भाई सा इवर्स और हाफ लिखेंगे और सा इवर्स 1/2 1/2 कौन सा एंगल ये एंगल को इंडिकेट करता है किसको बताएगा एक एंगल को इंडिकेट करेगा है ना एंगल ही तो है ना ये और कौन सा एंगल होगा सा इवर्स आप थ डिग्री है तो हम इसको रेडियन की फॉर्म में लिख लेंगे पा बा 3 और दिस इज द पा बा 6 ओके दोनों को ऐड कर लो 1/3 पा बा 3 और पा बा 6 दैट इज पा बाट हो जाएगा आ है ना ये कितना हो गया पाई बा 2 और बच्चों सा पा बा 2 दैट इज 1 सा 90 दिस विल बी आंसर मतलब इस एक्सप्रेशन का वैल्यू कितना होगा वन होगा ओके मतलब इस तरह से आपको ट्रिगोनोमेट्रिक टेबल एंगल टेबल आपको याद होना चाहिए वो तो यूज होगी सही इसमें ठीक है आप 11थ की वो पुरानी याद कर लीजिएगा वही यहां पर वो कांसेप्ट यूज होने वाला है वही यूज वैल्यूज काम में आने वाली है नेक्स्ट इज अब ये देखो ये ऐसा सवाल है यदि मैंने यहां पर ऑप्शन नहीं लिखे तो सॉल्व करके देखना पड़ेगा हो सकता है यदि ऑप्शन दिए जाए तो ऑप्शन की हेल्प से भी हम चेक कर सकते हैं उसको पुट किया जा सकता है वन बाय वन और जो इसको सेटिस्फाई कर देगा वो इसका आंसर होगा सिमिलर हम यहां चेक कर सकते क्या चेक करेंगे बच्चों देखो हम वैल्यू निकालेंगे यार 6 अब य साइन इवर्स x स् 6x प् 88.5 और यह पाई चल रहा है भाई 6 को इधर भेज दीजिए ठीक है ना 6 को इधर भगाओ तो पाई बा 6 होगा नहीं होगा फय साइन इवर्स आपको लिखे x स्क्वा 6x प् 8.5 और यह पाई बा स नजर आएगा अब आपको क्या करना है साइन इवर्स को इधर भेज दि सा इनर्स को भेज दिया तो बच्चों आपको क्या मिला है x स् 6x + 88.5 और sin5x 6 होगा और sin5x 6 का वैल्यू 1/2 आता है कितना आता है 1/2 और 1/2 कितना होता है भाई 0.5 होगा कितना होगा 0.5 होगा इज़ दैट क्लियर ये पॉइंट ध्यान रखना भाई ओके तो 0.5 है तो हम क्या करेंगे 0 1/2 को कितना लिख लोगे भाई 0.5 लिख लोगे 0.25 को इधर लेकर आ जाइए इसमें से माइनस करेंगे तो व्हाट इज़ द एट ये ये एट ही होगा ना भा क्या इक्वेशन को ऐसा लिख क्योंकि 1/2 क्या है 1/2 क्या है 0.5 के बराबर है ना तो बच्चों x स् - 6x + 8 = 0 है तो इसको ये क्वाड्रेटिक है इसको सॉल्व करेंगे तो x की वैल्यू मुझे 4 और 2 मिलेगी जो इसको सेटिस्फाई कर रही होगी तो इसका x का वैल्यू कितना हो गया 42 हो गया ओके आई होप ये क्लियर हो चुका होगा इस तरह के क्वेश्चंस की आप लॉट ऑफ प्रैक्टिस करोगे बच्चों तो आपके अंदर वो एक कॉन्फिडेंस डेवलप होगा और आप अपने जितने ज्यादा सवाल सॉल्व करोगे तो आपको प्रॉपर्टी भी आसानी से याद हो जाएगी क्योंकि वो प्रॉपर्टी और वो फार्मूले इन सवालों के बीच में यूज हो रहे होंगे ठीक है अब देखो यह वाला क्वेश्चन देखो अब यहां गिवन है सा इव सा 3 पा / 4 + को इवर्स को 3 पा / 4 + t इवर्स 1 लिखा हुआ है अब बच्चों सा इवर्स सा यदि ये दोनों हट सकते थे यदि ये इस की रेंज के अंदर आ जाए किसकी रेंज के अंदर साइन की रेंज के अंदर ओके सिमिलर वही कांसेप्ट यहां यूज करने वाले हैं ये कोस की रेंज के अंदर है कि नहीं वो हमें देखना होगा और इसका वैल्यू हम जानते हैं t इवर्स 1 का भाई या 3 पा बा 4 जो 135 होगा 135 डिग्री तो ये तो गलत है ये तो 90 डिग्री से ज्यादा हो गया तो बच्चों ये इसके रेंज के अंदर नहीं आ रहा सिंस भाई 3 पा बा 4 है ना व्हिच इज नॉट बिलोंग टू - पा बाट से पा बा 2 ओके तो हम इसके बीच में लेकर आएंगे तभी जाकर तो हटेगा ना ऐसा नहीं कि इनको हटा दो 3 पा दैट इ रंग अब बच्चों क्या मैं इसका क्वाड्रेंट का यूज कर लू भाई पाई माइनस पाई माइनस पाई बा फ लिखा जा सकता है इसको भाई है ना प्लस यह 3 पाई बा 4 भाई जीरो से पाई के बीच में आता है क्योंकि को x जो को x की रेंज होगी ना रेंज को x की रेंज जो है को x की जो रेंज होगी ना वो जीरो से पाई है कोस वाले की जो इसके बीच में आता ही और इसके बीच में आता है तो डेफिनेटली ये दोनों भाग जाएंगे और 35/4 छोड़ कर जाएंगे और बच्चों ये एंगल तो बहुत सिंपल है ये पा / 4 लिख दीजिए इसे ओके tan-1 1 तो यहां से सा और सा इवर्स ये हो जाएगा sin54 इज दैट क्लियर क्योंकि ये पा - पा / 4 वाला है + 3p / 4 ये दोनों ऐड हो जाएंगे अब ये देखो पा / 4 इसकी रेंज के अंदर आता है भाई - 5/2 से + 5/2 इसके बीच में आ रहा है तो ये दोनों भगा जाए तो यहां से हो गए पा बा फ 3 पाई बा फ एंड पाई बा फ तो 3 4 5 पाई बा फ बड़ा ही प्यारा आंसर आया भाई है ना यह इसका उत्तर हो गया जी हुआ कि हु देखो इस तरह से आपको यूज तो करना पड़ेगा है ना यह चीज यूज आपको पता हो अब य चेंज भी कर सकता है ठीक है उसके अकॉर्डिंग कांसेप्ट आपको क्लियर हो गया होगा इतनी बात समझ में आ गई होगी आगे चले अब देखिए यह बड़ा अच्छा सवाल है य सवाल क्या है इसमें यह क्वेश्चन में देखो आप भाई द वैल्यू ऑफ़ sin-1 को 13 पा / 5 लिखा हुआ है अब 13 पा / 5 का मतलब हुआ भाई यहां पर अब ये चैलेंज करना क्या ये दोनों हट जाएंगे क्या क्या ये दोनों हट सकते हैं क्या नहीं हटेंगे क्योंकि दोनों ही अलग-अलग है डिफरेंट डिफरेंट है अब बच्चों 13 पा / फ है तो हमें तो यह काम करना है या तो अंदर सा आ जाए या तो अंदर साइन आ जाए और उसकी रेंज के अंदर देखें तो वो हट जाएगा या फिर हम चेंज करें भाई इसको हमारे पास दो फॉर्मूले हैं हमारे पास दो फॉर्मूले भाई सिंस बिकॉज सा इवर्स x प्स कोस इवर्स x दैट इज पा बाटू किसके इक्वल है पा बाटू के सा इवर्स x प् को इवर्स x इक्व सॉरी पा बा 4 क्यों लिख दिया अरे पाई बाटू होगा ना ओके किसके इक्वल है पाई बाटू अब यहां पर क्या मैं इसको ऐसे लिख सकता हूं क्या बच्चों क्या पाई बाटू माइनस सा इवर्स x लिखा जा सकता है जरा चेक करो इसको लिख रहा हूं अब ये वाला फार्मूला यहां पर यूज करना है कैन आई राइट को इसको पा / 2 - को इवर्स वाला है ना सा इवर्स सा इवर्स अच्छा रुको रुको यहां पर हम क्या करें इसको कोस में बदल लो ठीक है यहां सा इवर्स को ऐसे लिखो क्योंकि उसको तो भगाना है पा / 2 - cos-1 x लिखो क्योंकि को इवर x और x का वैल्यू कितना है अंदर जो बैठा हुआ है को 13 पा / 5 ये है ना तो यहां पर क्या आ जाएगा को इवर्स ब्रैकेट में cos1 पा / तभी तो हटेगा याद करो भाई है ना तो ये यूज कर दो ये वाला तो यहां आ जाएगा पा बाटू और सिंपल कोस इवर्स और ब्रैकेट कोस 13 पा बा 5 कैन आई राइट लिखा जा सकता है बिल्कुल जी सर अब बच्चों यदि ये दोनों भगाने हैं ये दोनों तभी भागेंगे जब ये चीज कोस की रेंज के अंदर आ जाए किसके अंदर रेंज के अंदर जीरो से पाई के बीच और आप जब चेक करोगे 13 पा बा 5 आपने बदला तो क्या जीरो से 180 के बीच में आ रहा है कि नहीं आ रहा चेक कर सकते हो और ये आगे जा रहा है है ना ये तो कितना जा रहा है यहां से हम बात करें भाई 10 2 10 2 पाई से भी एक्सीड हो रहा है है ना तो इसको आगे हम लेकर आएंगे इसकी रेंज के अंदर क्या इसकी रेंज के अंदर यूं लिखा जा सकता है 2 पाई प्लस क्यों 10 हो गया और 3 पाई बा 5 लिख सकते हैं इसको ऐसा लिखा जा सकता है 2 पाई से ज्यादा एंगल है अब 2 पाई प् 3 पा बा कोस नो चेंज तो पा बाट माइनस को इवर्स ये नो चेंज हो गया इज दैट क्लियर भाई को का को हो जाएगा फर्स्ट क्वाड्रेंट में जा रहा है तो सारे पॉजिटिव है कोई दिक्कत है ही नहीं अब बच्चों ये देखो जो आ गया ना ये इसकी रेंज के अंदर आ गया बिलोंग टू 0 टू पा आ गया ना भाई ये रेंज के अंदर रेंज के अंदर हटा दीजिए तो पा बा 2 - 3 पा बा 5 और यहां पर एलसीएम ले लीजिए 10 और ये कितना हो गया 5 पा - 6 पा - पा बा 10 दिस इज द आंसर तो आंसर ऐसा ऑप्शन भी दिया हुआ है बी ऑप्शन यहां पर करेक्ट हो जाएगा ओके तो आपको थोड़ा कंफ्यूज करने के लिए इस तरह का सवाल भी पूछा जा सकता है साइन इवर्स अंदर कोस है 13 पाई बा 5 है तो आपको सेम करना था इसलिए हमने यह प्रॉपर्टी यूज की और इस प्रॉपर्टी के अकॉर्डिंग हम चले और य हमने आंसर मिला ओके नेक्स्ट बच्चों ड्र द ग्राफ ऑफ f एक सा इवर्स x और व्हेन x बिलोंग टू जो मैंने बात की है भाई ग्राफ से रिलेटेड जो सवाल हो सकते हैं इस तरह के सवाल पूछे जा सकते हैं आल्सो राइट इट्स रेंज और रेंज भी पूछी जा सकती है sin-1 x x बिलोंग टू -1 / √2 से + 1 / √2 की बात हो रही है और इसके अंतर्गत हमें रेंज भी इसकी बतानी होगी अब कैसे करेंगे काम इसका सबसे पहले हम बनाते हैं ग्राफ भाई sin-1 x का ग्राफ बनाने के लिए इतनी सी बात होगी ये लिखा अब बच्चों ये तो हुआ -1 ये हुआ प्व ओके ठीक है यहां पर मैं एंगल लिख देता हूं जी ये पाई बाटू मिलने वाला है जी ये पाई मिलेगा और जी माइनस पाई बाटू मिलने वाला है और यह पाई मिलेगा माइनस का पाई अब यह तो जीरो है सही ये जीरो है तो अब देखो यह जीरो है अब हमें ग्राफ देखो बेटा एक बिलंग टू माइनस हाफ माइव बा √2 तो डेफिनेटली भा x की वैल्यू -1 बा √2 कहा मिलेगा य मिल रहा होगा ओके और यह प्लस का वन ओके अब बात करें यह वैल्यूज -1 / √2 1 / √2 तो दैट मींस हम बात करें कि यह वैल्यू आ जाएगी तो यहां पा / 4 के आसपास जाने वाली है और पा / 4 तो प्लस का पा / 4 यहां मिलने वाला है भाई इतना ध्यान रखना है और माइ का पा / 4 यहां पर होगा - का पा / 4 यहां होगा तो इसका ग्राफ क्या होगा इतना ग्राफ इतना सा बन जाएगा है ना इतना सा ग्राफ बनने वाला है क्योंकि यहां से यहां तक लेना यार यहां से य तक ठीक है ठीक है बात समझ में आ गई तो बच्चों अब देखो यह ग्राफ तो हो गया अब इसकी रेंज भी पूछी है रेंज कैसे निकालेंगे क्योंकि इसी के अंदर रेंज है अब आपको पता लग रहा है -1 बा √2 यदि मैं डाल दूंगा तो यहां से मुझे माइनस 5/4 मिलने वाला है मिलेगा नहीं मिलेगा मतलब आउटपुट और बेटा न मैक्सिमम / √2 पटक देंगे तो ये प्लस का पाई बा फ मिलेगा तो डेफिनेटली इसकी रेंज क्या हो गई यह रेंज हो गई इस इसी के अंतर्गत रेंज पूछी गई है तो आंसर यह होगा ओके तो आप यहां ग्राफ के अकॉर्डिंग देख सकते हो रेंज यहीं से यहां तक तो जा रही है ना बस इतनी सी पार्ट की बात कर रहे हैं माइन पा बा 4 से प् पा बा तो ग्राफ चेंज भी किया जा सकता है किसी दूसरे इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन के लिए भी पूछा जा सकता है ओके तो आप ग्राफ कॉपी में बना बनाकर जरूर देखिएगा कि आपकी खुद की प्रैक्टिस हो और उसी से आपका कॉन्फिडेंस डेवलप्ड होगा ओके नेक्स्ट बात करे हैं कि इफ सा इवर्स x ग्रेटर देन कोस इवर्स x देन x शुड बी लाई इन च इंटरवल भाई सा इवर्स x ग्रेटर देन कोस इवर्स x की बात हो रही अब यहां पर चार ऑप्शंस है किसम वो सटीक बैठता है कौन सा ऑप्शन यहां करेक्ट होगा देखिए भाई सा इवर्स x ग्रेटर दन कोस इवर्स x है अब बच्चों सा इवर्स x को मैं लिख सकता हूं यह प्रॉपर्टी हमने अभी जस्ट डिस्कस की थी 5/2 - को इवर्स x अब कोस इवर्स x को उधर ट्रांसपोजिंग हम एक क्वांटिटी में कन्वर्ट कर लेते हैं तो 2 कोस इवर्स x हो जाएगा दोनों ऐड हो जाएंगे सब और यहां से अब होगा तो ये टू को इधर भेज दिया तो कोस इवर्स x होगा और को इवर्स x को इधर भेजिए तो को पा बा 4 और को पा बा 4 कितना हो 1 / √2 और यह x यही तो होगा ना है ना यही यही चीज है ओ हो हो सॉरी सॉरी सॉरी अपन ने साइन क्या लगा दिया ग्रेटर देन तो चल रहा था और हमने लेस देन लगा दिया इट्स माय मिस्टेक सॉरी बच्चों यहां पर ये सिंगल चल रहा ये साइन तो यहां पर क्या होगा चेंज करो यार ये साइन तो ग्रेटर देन चल रहा था ग्रेटर देन चल रहा था ये थोड़ी चेंज होगा हमने माइनस से थोड़ी मल्टीप्लाई किया है जो हो गया ओके अब देखिए x < 1 / √2 दैट इज यही तो है ना भाई x क्या है मैक्सिमम वैल्यू कितना ले रहा है 1 / √2 त यही तो कहना चाह रहा है ना x अधिकतम कितना वैल्यू जाएगा 1 / √2 तक इससे ज्यादा तो नहीं जा सकता 1 / √2 से ज्यादा नहीं जाएगा तो इसका मतलब समझ में आ गया x की मैक्सिमम वैल्यू 1 / √2 होगी तो ऑप्शन तो यूं ही पता लग गया ना ऑप्शन की हेल्प ले लिया करो देखो यह तो गलत हो गया वन माइनस का आ रहा है गलत है भाई इसमें देखो मैक्सिमम वैल्यू कितनी है 1 / √2 बाकी इसमें वन वन तो जा ही नहीं रहा इस रो जाएगा नहीं तो ऑप्शन यहां पर करेक्ट है बी ऑप्शन यहां पर करेक्ट हो जाएगा अरे जीरो से / रट ही होगा उसके लिए जिसके लिए इक्वालिटीज ट्रू होगी है ना देखो फाइंड द डोमेन ऑफ दिस फंक्शन अब इस फंक्शन का डोमेन पता करना है साइन इवर्स x स्क माइ 4 भाई डोमेन कैसे पता करना है अभी एक सवाल क्या था सबसे पहले इसी में क्योंकि भाई यह जो चीज है यह वैल्यू कहां लाई कर करगी लाई बिटवीन x स् - 4 कहां -1 से + 1 ओके अब बच्चों भाई -1 से + 1 गया है हमें तो x की वैल्यू निकालनी है तो चार को हटाएंगे इक्वलिटी से तीनों ही टर्म्स में चार ऐड कर दीजिए जब चार ऐड करेंगे तो ये 3 हो गया है और ये x स् और ये 5 हो गया है हुआ कि नहीं हुआ इधर चार ऐड कर दो पांच हो गया इधर + च -1 है तो प्लस का थी हो गया और चार कैंसिल हो गया अब ये बना है क्या इसी को मैं ये लिख सकता हूं क्या क्या ऐसे लिखा जा सकता है क्या अ √5 जब स्क्वायर हटाएंगे तो अंडर रूट लग जाएगा √3 और √5 और ये मॉड्यूस ऑफ x के फॉर्म में लिखा जाएगा ठीक है ना क्योंकि इसमें पॉजिटिव नेगेटिव दोनों वैल्यू होगी अब इस इक्वलिटी को कैसे सॉल्व करते हैं एक चीज बता दूं पहले मैं ये दो पार्ट यहां दो पार्ट है ना अलग-अलग करके दिखा दूं भाई सिंस आपको मोड x ग्रे लेस √5 हो तब बेटा जो x की वैल्यू होती है वो - √5 से कहां के बीच में लाई करेगी - √5 से + √5 के बीच में लाई करती है इतना ध्यान रखो भाई यह इस तरह की सिचुएशन हो तो x की कौन सी वैल्यू हो पूछेगा भाई x की कौन सी वैल्यू के लिए इक्वलिटी सेटिस्फाई हो रही है जी भाई इन वैल्यूज के लिए ऑलवेज सेटिस्फाई हो जाएगी ठीक है तो इतनी बात हो गई कि मोड x < √5 के लिए x की वैल्यू - √5 से + √5 चलने वाली सिमिलर भाई एक और चीज़ था ज यहां पर √3 तो √3 मतलब यूं लिख लें x ग्रेटर दन इक्वल √3 की बात हो रही है यही तो लिखेंगे दूसरी चीज जब इस तरह का सिंबल सिंबल देखो इधर खुल रहा है या इधर खुल रहा था ठीक है ना तो इस केस में क्या होगा बेटा x की वैल्यू कहां से कहां तक लाई करेगी तो x की वैल्यू माइनस इनफिनिटी से - √3 तो x बिलोंग टू माइनस इनफिनिटी से - √3 यूनियन √3 से प्लस इनफिनिटी चलने वाली होती है इस तरह के तब जाकर ये इन क्लिटी सेटिस्फाई होगी एज यू कैन सी आप कोई भी वैल्यू पुट करके देख लो जिसके लिए हमेशा ये ट्रू बन रही है तो आई होप ये समझ में आया होगा अब हमें तो एक कॉमन सॉल्यूशन ढूंढना है जो इस इस फंक्शन के लिए डोमेन का काम करें इस फंक्शन के लिए डोमेन का काम करें तो डोमेन का काम करने के लिए क्या करें भाई क्या कर ें हम ये देख ले यहां पर अच्छा एक नंबर लाइन डिनोट कर लो यार एक नंबर लाइन डिनोट कर लो और सारे नंबर्स जितने भी नंबर मिलेंगे सबको यहां पर हम प्लॉट कर देते हैं सबको यहां पर हम प्लॉट कर दें तो बच्चों भाई √5 मिला था यह √5 माइनस का डाल दो यह √3 डाल दो यह रथ प्लस का यहां डाल दिया रट फ य पर डाल दिया अब जरा देखो एक लाई कर रहा है इसके बीच में इसका मतलब एकस यहां से यहां तक लाई कर रहा था ठीक है और एक एक और एक एकस लाई कर रहा माइनस इनफ माइन रथ भाई ये यहां से य इधर चलने वाला क ठीक है यहां से अब एक रथ से यहां से तो ये इधर चलने वाला अब आपको इक्टी वाला चैप्टर पढ़ा होगा आई होप उससे आप आईडिया लगा सकते हो कि कॉमन रेंज कहां से कहां तक मिली हुई है कॉमन रेंज का मतलब भाई दोनों में कॉमन पार्ट नजर आ गया होगा यह वाली वैल्यूज और यह वाली वैल्यूज दैट मींस - √5 से - √3 यूनियन √3 से √5 दैट मींस हम इसका डोमेन की बात करेंगे तो मुझे मिल गया है बेटा x बिलोस टू माइनस ये वाली चलने वाली यूनियन √3 टू √5 दिस भी आंसर ऐसे ढूंढते हैं आंसर ये इस फंक्शन के लिए डोमेन बन गया हो सकता है यह थोड़ा सा कॉम्प्लिकेटेड हो इसमें हम इलिटीज कांसेप्ट यूज कर रहे हैं लेकिन इससे थोड़ से आपके कांसेप्ट जरूर क्लियर होंगे कि ये मॉड्यूस वाली देखो मॉड्यूस के भी अंदर एक कांसेप्ट यज लिया मडुसला पार्ट तो ये ये चीज भी आपको समझ में आ ग होगी और इक्वलिटी का कांसेप्ट भी इसमें यूज हुआ है वो भी आपको समझ में आया होगा ओके तो बच्चों इस तरह के और भी क्वेश्चंस आपसे पूछे जा सकते हैं आपको सिर्फ इन चैप्टर्स के क्वेश्चंस की प्रैक्टिस बनाए रखनी है क्योंकि ये मैथमेटिक्स पार्ट है और मैथमेटिक्स में सिर्फ एक ही चीज आपकी स्ट्रांग कर सकती है वो है प्रैक्टिस प्रैक्टिस प्रैक्टिस ओके इसी तरह के और भी चैप्टर्स के वीडियो के लिए हमारे चैनल को लाइक और सब्सक्राइब करो और और को भी अपने जितने भी दोस्त हैं उनके साथ भी शेयर करो सो दैट उनकी भी मदद हो सके ओके मिलते हैं नेक्स्ट वाले लेक्चर में थैंक यू m