क्रॉस प्रोडक्ट का परिचय

Overview

इस लेक्चर में वेक्टर के क्रॉस प्रोडक्ट (cross product) या वेक्टर प्रोडक्ट की पूरी जानकारी दी गई है, जिसमें परिभाषा, नियम, उदाहरण, संक्षिप्त ट्रिक्स व डिटर्मिनेंट द्वारा हल और विशेष प्रश्न शामिल हैं।

क्रॉस प्रोडक्ट की परिभाषा व बेसिक नियम

• दो वेक्टर A व B का क्रॉस प्रोडक्ट भी एक वेक्टर होता है, इसे A × B कहते हैं।
• क्रॉस प्रोडक्ट का मान: |A||B|sinθ × n̂, जहां θ = A व B के बीच कोण, n̂ = दोनों के लंबर यूनिट वेक्टर।
• A × B के दिशा में n̂ होता है, जो A और B के प्लेन के लंबर होता है: यानी या ऊपर या नीचे।
• A × B ≠ B × A, दोनों की दिशा विपरीत होती है, पर मैग्निट्यूड बराबर।
• Right hand thumb rule व screw rule से दिशा पता करते हैं।

क्रॉस प्रोडक्ट के विशेष नियम व शॉर्ट ट्रिक्स

• i × j = k, j × k = i, k × i = j (साइक्लिक ऑर्डर), उल्टा चलने पर नेगेटिव साइन −।
• i × i = j × j = k × k = 0 (सेल्फ क्रॉस प्रोडक्ट शून्य वेक्टर देता है)।
• क्रॉस प्रोडक्ट में कॉम्यूटेटिव प्रॉपर्टी लागू नहीं होती: A × B ≠ B × A, बल्कि A × B = −(B × A)।
• डिटरमिनेंट विधि: A × B = |î ĵ k̂| के साथ वेक्टर A व B की वैल्यू भरें और क्रॉस प्रोडक्ट आसानी से निकाल सकते हैं।

उदाहरण व सवाल हल करने का तरीका

• यदि A = 2i + 3j + 4k, B = 3i + 2j + 3k, तो डिटरमिनेंट तरीके से ट्रिपल क्रॉस मल्टीप्लाई करें।
• मैग्निट्यूड निकालने के लिए: √(i कौफिशिएंट² + j² + k²)
• यदि A × B = 0, तो A व B या तो समानांतर या प्रतिलोम (0° या 180°) होंगे।
• यदि |A × B| = |A · B| तो θ = 45°।
• यदि a · b = 0, तो वेक्टर आपस में लंबर (perpendicular) हैं।

क्रॉस प्रोडक्ट के उपयोग व एप्लीकेशन

• टॉर्क (Torque) = r × F, r = पोजीशन वेक्टर, F = फोर्स वेक्टर।
• ट्रायंगल या पैरेललोग्राम का क्षेत्रफल = ½|A × B| या |A × B|।

Key Terms & Definitions

• क्रॉस प्रोडक्ट (Cross Product) — दो वेक्टरों का गुणनफल, जो एक नया वेक्टर देता है।
• न्यूनतम वेक्टर (Unit Vector, n̂) — परिमाण 1 वाला वेक्टर, जो दिशा दिखाता है।
• राइट हैंड थम्ब रूल — उंगलियां A से B की ओर घुमाएं, अंगूठा दिशा दिखाता है।
• डिटरमिनेंट (Determinant) — i, j, k व वेक्टर कम्पोनेंट्स से क्रॉस प्रोडक्ट हल करने का तरीका।
• साइक्लिक ऑर्डर — i × j = k, j × k = i, k × i = j

Action Items / Next Steps

• होमवर्क: A = i + j + 2k, B = 2i + 3j − k का A × B और उसका मैग्निट्यूड निकालें।
• अगले वीडियो में: ट्रायंगल लॉ, क्षेत्रफल, पोजीशन वेक्टर व अन्य वेक्टर टॉपिक्स पर ध्यान दें।
• पिछले वीडियो में दिए गए डॉट प्रोडक्ट और इसकी तुलना दोहराएं।