IIT GWE Mains और गणित की तैयारी

IIT GWE Mains और GWE Advanced Mathematics की आपको त्यारी करवाई जा रही है बिल्कुल Free of Cost हम 100% Free of Cost Quality Online Education देते हैं Kindergarten से 12th Standard तक आप हमारे Notes, PDFs और E-Books के लिए भी Team से Contact कर सकते हैं इसके लिए आपको इसी वीडियो के Description में दिये लिंक Get Notes पर क्लिक करना होगा हम Coordinate Geometry पूरा चंक आपका खत्म कर चुके हैं अब हम आपके Calculus को कर रहे हैं और इसके बाद Vactor Synth 3D, Algebra और Trigonometry कम्प्लीट करेंगे Calculus का first chapter आपका Relations and Functions चल रहा है हम Concepts के साथ उने Example से Consolidate करते हैं Assignment Questions आपकी Practice के लिए देते हैं और इसके बाद हम Practice Questions के जरिये हर तरहे के Questions का Exposure लेते हैं और Finally, JWE Advanced के Previous Years Questions के साथ Chapter को Culminate करते हैं हम बात कर रहे हैं Functions की, Relations की specifically functions की और अब हम specifically बात करेंगे trigonometric functions की. I would say, trigonometry में जो हम chapter पढ़ेंगे trigonometric functions, वो बेशक इसी बात का extension होगा जो आज हम पढ़ रहे हैं, पर कहीं सारे students के मन में यह बात है कि sir, trigonometry पूरे mathematics में use होगी, तो क्यों आप पहले trigonometry नहीं ले रहे हो? मेरा कहना है, ऐसे हर चीज हर कहीं ना कहीं use होगी, जैसे की quadratic हर जगी use हो रहा होगा. लोगारिदम हो रहा होगा, complex numbers कहीं भी पूछा जा सकता है, तो IIT, JWE, Main, so JWE Advanced यही करता है, वो आपसे कोई भी concept, किसी भी दूसरे concept मर्ज करके, मिंगल करके पूछता है, तो हमें क्या करना होगा, हमें पढ़ना तो सब कुछ है न, तो trigonometry का जहां तक सवाल है, जो भी काम की बाते, जो आपको पूरे mathematics में लगने वाली है, except trigonometry जो हम whole unit पढ़ेंगे उसके अलावा, तो उसका एक अच्छा discussion अभी हम शुरू कर रहे हैं, ये functions का ही part है, हम trigonometry में जितने भी functions आते हैं, sin theta, cos theta, या इन्हें भी कहले, sin x, cos x, tan x, फिर उसके बाद cos x, sec x, or cot x, और फिर inverse trigonometric functions, इनका एक detailed discussion यहाँ कर रहे हैं, बश्चरते, यह सारी चीज़ें आपके mathematics में ही काम आएंगी, इनके graph, इनकी domain, इनकी range, इनके अलग-लग important कुछ crucial formula हम यहाँ discuss करेंगे, जिसकी help से आप mathematics में हर एक concept समझ सकते हैं, तो नहीं संदे यह अच्छा part आपका है. पर बेशक, trigonometry as a whole हम discuss करेंगे detail में, जब trigonometry पूरा वो chunk पढ़ेंगे, जहाँ पर trigonometric ratios, trigonometric identities, trigonometric inequations, trigonometric functions, inverse trigonometric functions, height and distance, properties and solution of triangle, वो एक अलग chunk जब हम cover करेंगे, तब की बात अलग है, पर I hope अभी आपको agenda clear है, जैसे हम algebra में logarithm as a chapter completely cover करेंगे, पर logarithm as a topic अभी हम functions में भी पढ़ेंगे, लोगेरिथमिक फंक्शन की बात करेंगे तो लोगेरिथम क्या होता है कैसे उसका ग्राफ बनता है डोमेन और इंज और उसपर बेस्ट क्वेश्चन्स और उसकी प्रॉपरिटीज तो उसका एक अच्छा डिस्कॉशन जैसे ट्रोमेटिक फंक्शन का हम कर रहे हैं लोगेरि� इनिक्रालिटी इसको लेकर, I hope आपको सारी बातें याद हैं, इसी तरीके से ये चाप्टर आपको बहुत हद तक कई सारी चीज़े सिखा देगा, I hope आपको यकीन है, चीज़े कैसे हो रही हैं, with that अगर मैं Trigonometric Functions में आपके function sin x के साथ चीज़े शुरू करूँ तो आपको सम मैं आपको बता दूँगा ऐसा क्यों दिखता है, पर अबे फिलाल वस आप मेरी इस बात पर यकीन कर लीजे कि साइन एक्स का ग्राफ कुछ ऐसा दिखता है, ये एक साइनो सुडल वेव होती है, जब आप एक्स की अलग लग, ठीटा की अलग लग वाल्यूज रखते हैं, त somewhat like this, बहुत ही properly मैंने नहीं बनाया, but कोशिश किया कि चीज़े आपको मैं समझा पाऊं, और इस तरीके से वो चलेंगी, इस तरीके से चीज़े कुछ निकल रही होती है, अब क्या हो रहा होता है, ये कुछ values हैं, जो कुछ fixed values हैं, and obviously, after a certain amount of practice, कुछ वक्त, के बाद आप भी बहुत accustomed, acquaintance used to हो जाएंगे सारे integrometric और inverse trigonometric functions के graphs के साथ जैसे अगर मैं बात करूँ, angle, theta या उसे बेफलाल कह लें x की सारी values अगर मैं यहां लिखूँ और y की सारी values यहां लिखूँ तो आप यह पाएंगे कि sin x जो आपका function है वो हमेशा आपका minus 1 से 1 के बीच की ही सारी values attain करता है बशर्ते यह continuous ग्राफ है और यह x-axis पर minus infinity से प्लस infinity तक की सारी values ले सकता है इसमें से कोई परिशानी नहीं होती यह बात समझ पा रहे हैं, दूसरी बात, यह जो values हैं, कैसा pattern, कैसा behavior दिखाती हैं, तो पहली बात तो 0 पर sine x जो होता है, I'm really sorry, 0 पर जो आपका sine x होता है, वो 0 होता है, फिर अगली बार वो pi पर वापस 0 होता है, फिर 2 pi पर वो वापस 0 होता है, फिर 3 pi पर वो वापस 0 होता है जिनने याद रख कर आप इन problems को और अच्छे से work out कर सकते हैं, अगर मैं sin x के graph इस function को study करूँ तो, दूसरी बात आप पाएंगे कि sir, जब आपके पास कुछ इस तरीके से मिलती है, जैसे pi by 2 है न, जैसे कि 2 pi plus pi by 2, जिसे मैं कहूँगा 3 pi by 2, यह 5 pi by 2 होगा है न, अब really sorry, 2 और 3 के विच में ढाई आता है, तो that's 5 pi by 2 है न, minus, believe कितना, 3π by 2, तो कुछ चीजों को लेकर अगर मैं आपसे opinion अपना discuss करूँ, तो कुछ values ऐसी होती हैं सर, जहाँ पर आपको sin theta या sin x कितना मिलता है वार, similarly कुछ values ऐसी होती हैं, जैसे कि क्या 3π by 2, जैसे वहाँ होगा 7π by 2, जैसे यहाँ रहा minus π by 2, यह कुछ ऐसी minus 1, I hope आपको कुछ 0 से πाई ले लिया, या 2 पाई से 3 3π ले लिया, तो ये वो zones हैं, जहाँ पर ये क्या है, positive, minus πाई से 0 ले लिया, पाई से 2πाई ले लिया, 3पाई से 4पाई ले लिया, ये वो x की values हैं, जहाँ पर आपका expression क्या होता है, negative, तो कुछ बातें, कुछ values मैं आपसे चाहता हूँ कि आप observe करें, although इनको अच्छे से हम समझेंगे, trigonometric, functions जब एक chapter की तरह हम पढ़ेंगे, अभी philatograhmatic functions को हम study कर रहे हैं, तो सबसे पहले, अगर हम इसके domain की बात करो, तो sir हम minus infinity से plus infinity तक जा रहे हैं, तो इस function के domain को देखूं, तो ये सारी real values होंगे, मतलब minus infinity से plus infinity तक सारी, अच्छा sir, इसकी range को लेकर आपका क्या opinion है, मेरे ख्याल से मैं sorted हूँ, range जो है sir वो आपकी, इसके लिए minus 1 से 1 तक है, क्योंकि इसके beyond ये नहीं जा रहे हैं, ना तो ये minus 1 से कभी छोटा होगा, ना ही ये plus 1 से कभी भी बड़ा होगा, क्या एक ग्राफ अच्छे से समझ आ रहा है, कुछ और ज़रूरी बात है, जो हमने discuss की इनी को लेकर clarity लेते हैं, सबसे ज़रूरी बात, आप खुद सोच के देखो, सर, जब आपका sin x minus 1 से 1 के बीच ह माइनस वन से वन के बीच की सारी वैल्यूस का अगर मैं स्क्वेर कर दू या मॉड कर दू तो वो वैल्यूस कहां से कहाता होगी, वो सब आपकी कहां से कहाता होगी सर, वो सब वैल्यूस आपकी जीरो से वन तक होगी, क्योंकि आप सारी नेगेटिव वैल्य� और एक और वो बात कहना चाहता है, जिन बातों को लेकर मैं आपसे एक discussion कर चुका हूँ, बट फिर भी एक बार discuss अगर करें, तो sin 0 कब होता है, सर, देखो सर, 0 कब हो रहा है, अगर मैं sin x के पूछू कि आप 0 कहां होते हो, तो वो लेकर 0 पर, pi पर, 2 pi पर, 3 pi पर, minus pi पर, minus 2 pi पर, तो मतलब अगर मुझे कभी भी life में मिलता है, sin x का value 0, तो मैं बस ये नहीं कहूँगा कि x की value 0 है, मैं ये कहूँगा कि सर, फिर x की value, पाई का कोई भी multiple हो सकती है, वो पाई का कोई भी एक multiple हो सकती है, मैं natural क्यों लिख रहा हूँ, मैं इसे क्या लिखूँ, integer, आप देखो ना, 0 into pi, 1 into pi, 2 into pi, 3 into pi, इन सब पर आपका sin x कैसा हो रहा है, 0, जैसे कि मुझसे कोई कहे, कि sin x जो है आपका, वो कैसा है, भी 1, sin x 1 उसने कुछ generalize करके लिखा, कैसा, 4n plus 1 times pi by 2, इसका मतलब है, बहुत ध्यान से सुनना, कि pi by 2 का वो multiple, multiple जो कि πाई by 2 का वो multiple जिसे 4 से divide करने पर एक remainder मिलता है इसका क्या मतलब अब देखो ना पाई by 2 का multiple क्या है पर 1 पाई by 2 का multiple कौन सा है 5 तो अब देखो ना 1 5 और इसके बाद अगला क्या मिलेगा अगला मिलेगा आपको 9 अच्छा यहाँ पर भी ऐसे मिले x1 के equal मिले, तो मैं बड़े आराम से generalize कर पाऊंगा, कि sir, pi by 2, 5 pi by 2, है न, minus 3 pi by 2, ये वो सारे उस category के multiples हैं, pi by 2 के, जो की किस तरीके के हैं बई, जो की 4 से divide होने पर, जो की 4 से divide होने पर remainder एक देते हैं, ये x की वो सारी values हैं, क्या ये साधरन सी बात आप सभी को समझ आई, sir, इसी तरीके से आप और conclusions दे सकते हो, क्या हाँ, जैसे sin x हमने पता किया, 1 cup कब होता है, क्योंकि एक period, periodic function है, यह repeat हो रहा है, तो महज एक ही x की value है, नहीं होगी, जहां है 1 होगा, इसे repetitively, pattern में आपको values मिलती चली जाएंगी, यह many to one function है, अगर आप चीज़ें और अच्छे से सोच पा रहे हैं, तो, जैसे अगर मैं लिखता हूँ, सर, sin x की value कब-कब minus 1 होगी, तो मैं कहूँगा देखो आप खुद pattern देख पाओगे इस बार समझो 3 x 2 आप सुन रहे हैं क्या 3πi2 मतलब क्या, अब देखो, 3πi2 के बाद यहाँ पर क्या आ रहा होगा, 7πi2, आप देख पा रहे हो अगर मैं कुछ कहना चाहूं तो, जैसे यहाँ पर क्या है, minus πi2, अगर अभी इसको negative पाट हो लेकर confused भी हो, तो 3πi2, 4 के terms में सोचो, पहली बात तो, पi2 के सारे कैसे odd multiples हैं, क्योंकि पi2 का even multiple होगा, तो वो कुछ ऐसा बन जाएगा, I hope आप समझ पारे हो, तो पi2 के odd multiples कैसे होंगे, या तो, 4 के multiple से 1 कम होंगे, या 4 के multiple से 1 जादा होंगे, sorry, I hope आप मेरी बात सुच पारे हो, तो यहाँ पर 4 के multiple से 1 जादा है, तो यह कैसे multiple है, 4 के multiple से 1 कम, और 4 के multiple से 1 कम होना मतलब क्या, मतलब 4n-1 form है, क्या आप मेरी बात से सामना थे, तो जैसे यहाँ पर, यानि 4 के multiple से कैसे, 4 के multiple से 1 कम, यानि I hope अब आप ऐसा मुझपा रहे हो, और इस तरीके से n जो है वो आपका क्या है यहाँ पर integer, क्या यह patterns आप देख पा रहे हो, जैसे for example कल को मुझसे किसे ने पूछा होता, कि sin x, x की किन-किन values के लिए positive है, x की किन-किन values के लिए negative है, जैसे for example, मुझे कोई पूछता कि सर sign x जो ��ै वो positive है तो मैं क्या कहता मैं कहता सर ये x की इन values के लिए positive जैसे pattern आप recognize करना आपको click करेगा देखो सर minus 2 pi से minus pi आप सुन रहे हैं क्या जैसे की 0 से π, 2π से 3π, मतलब सर, π के even multiple से π के odd multiple तक, π के even multiple से π के odd multiple तक, पि के even multiple से पि के odd multiple तक, मतलब अगर मैं इसे simple सी language में conclude करूँ, पि के even multiple से लेके पि के odd multiple तक, तो मैं क्या कहूँगा, मैं कहूँगा सर, पि का even multiple मतलब क्या, 2n पि, और पि का odd multiple क्या, वो हो जाएगा 2n प्लस 1π, तो इस दर्मियान, यहाँ पे of course n क्या है, n कोई भी integral value है, आप n की कोई भी value रखे, जैसे कि मान लो 0 रखा, तो यह हो गया 0, यह हो गया 1, तो देखो 0 से πाई, आप समझ पारे हो, अब 0 से पाई, अच्छा, इस तरीके से अगर कोई भी zone में चुन लू, तो उस zone में आ� करता हूं इसी बात यह क्या लिख रहा हूं मैं यह लिख रहा हूं जैसे कुछ वैल्यूज आती चली जा रही है यूनियन फिर आप क्या लिख रहे हैं तो आप लिख रहे हो माइनस टू पाइस से माइनस पाइस फिर माइनस पाइस जीरो तो लोगी नहीं हमें पास कुछ सेम पैटर्न दिख रहा है, जैसे कि मुझे कुछ सेम पैटर्न दिख रहा है, कैसा दिख रहा है, जैसे कि let's say दिख रह 1 square, plus 2 square, plus 3 square ऐसा दिखता चला जा रहा है, तो मैं क्या करता हूँ, मैं एक simple सी बात लिख देता हूँ, इस summation को मैं क्या लिख देता हूँ, इस summation को मैं लिख देता हूँ कि sir, आपने कोई एक value लिए है, जिसका आप square कर रहे हो, तो आपने कोई एक value लिए है, जिसका आप square कर रहे हो, जिसका आप square कर रहे हो, और उसका आप sum करते चले जा रहे हो, लेकिन वो value जो है, वो आपकी 1 से शिरू हो रही है, मतलब पहले रही वो 1 square, फिर 2 square, फिर 3 square, इसी तरीके से अगर product होता कहीं, product कैसे होता है sir, जैसे product लिखा होता है आपका क्या, वो लिखा होता है let's say 1, into 2, into 3, ऐसा लिखा होता है ना कहीं तक तो उस product को ही लिखने का एक और तरीका क्या होता है जैसे अभी बीच में sign, sum था तो हमने summation sign लगा है अभी बीच में multiplication sign है तो multiplication के लिए हमारे पास कौन सा symbol reserved है? पाई तो आप क्या कर रहे हो? एक number का multiplication कर रहे हो लेकिन वो number कैसा है sir? वो number आपका जो है वो 1 से शुरू हो रहा है यह mathematical expressions हैं जैसे यहाँ पर मेरे union में मुझे एक pattern दिखाई दिया, मुझे union में एक pattern दिखाई दिया, union में क्या pattern दिखाई दिया, कि pi के किसी even multiple से odd multiple तक जाना है, तो मुझे क्या करना है, मुझे union लेना है, अच्छा, मुझे union कैसा लेना है, मुझे n की value, कहां से शुरू हो रही है, n की value आपकी, एक integer है, मैं न जहाँ पर of course मैं जान पा रहा हूँ n क्या है integer और इन सब pairs का मुझे क्या लेना है union अगर आप मेरी बात थोड़ी बहुत समझ पा रहे हो तो क्या ये बात अच्छे से clear हो रही है बहुत sorted से manner व ये जो है आपने क्या लिया है, ये आपने Union लिया है, बहुत confusing जो नहीं है, Union पे भी आप sample लिख सकते हो, बर ये sorted सा है, सारे, you know, even से odd, even से odd पाई के multiple सक, तो वो हमने यहां लिखी दिया है, और n को define कर दिया है, तो इन सब का क्या लिना है, Union, क्या ये बात आपको समझ आ रह कि sin x की value कब negative है, बस सवाल है, बाते हैं, जो निकल कर आ रही हैं, तो sin x की negative value कब है, सर उल्टा, जब वो pi के odd multiple से, pi के even multiple तक जा रही है, देखो ना, पाई के odd multiple से, pi के even multiple तक जा रही है, तो इस case में मैं क्या कहता, इस case में, अगर मुझसे कोई कहता कि sin x जो है आपका सर वो let's say negative है तो मैं किसके लिए कहता हूँ वो x की values मुझे दिख रही होती है सर कैसी I hope आप मैं directly answer लिख सकता हूँ मैं क्या लिखूँगा union ले लेना है मुझे किसका pi की odd multiple से याने क्या अब और multiple में थोड़ा ध्यान रखना है ना, जैसे कि आप ये मत कहते हैं ना, जैसे कि मैं लेता हूँ, जैसे 2n-1 times πाई, सुनिएगा देन से, और क्या, 2n पाई, है ना, आप ऐसा नहीं लिख सकते हैं, 2n plus 1 पाई से 2n पाई तक, उसमें तो आप ऐसा लिख दे रहे हो, 5 पा एंपाई तक नहीं लिखोगे, वरना आप मिथमाटिकली उसे गलत लिख रहे हो, क्या आपको ये बाते समझ आ रही हैं, बहुत confusing तो नहीं है, एक important बात हम miss कर रहे हैं, वो क्या, कि अगर कभी भी कोई कहे कि sin theta sin alpha के equal है, पहली बात तो हम इसे sin c minus sin d के formula से prove करेंगे, जो कि हम trigonometric equations, trigonometric functions पढ़ते हैं वक्त, formula जब discuss करेंगे, तब करेंगे, पर अभी मैं graph के थरू एक हलकास idea है न, कोई value हमसे उठा कर कही, कि सर, ये जो value है, ये theta की है, x की है, इन values के लिए value होगी, तो मैं कहूँगा, सर देखो, simple सी बात है, आप बताओ, ग्राफ में वो कहां मिल रही है, तो जैसे यह रही वो value, फिर वो यह रही value, है न, फिर वो value यह रही, इसी तरीके से, वो value आपको यहां कहीं मिलेगी, फिर वो value आपको, तो पहली बात तो, कोई भी अगर value है, तो periodically वो मिलती चली जाएगी, को मुझसे कहे कि आपका जो sin x है वो sin alpha के equal है तो मैं बस ये तो नहीं कहूँगा कि x जो है alpha के equal है इसके अलावा x और भी कहीं सारी values ले सकता है तो और क्या values ले सकता है जरा उस पर बात करते हैं सर देखो पहली बात तो हाँ यहाँ पर जो value मिलनी है, वो तो वही होगी, क्या alpha, the smallest possible value between minus pi by 2 and pi by 2, but आप समझो ना बात को sir, can I say कि अगर ये distance alpha है, तो technically ये distance भी तो alpha है, तो shall I say ये total distance pi है, ये alpha है, तो ये कितना होगा, ये होगा pi minus alpha, बस एक pattern आपको दिखाना चाहूँ, same technically ये जो distance है, ये भी तो अलफा है पर ये 3 पाइस अलफा पी तो यह point क्या होगा, यह point हो जाएगा 3π minus α. Do you all agree with what I am trying to convey here? मैं simple सी बात कहा रहा हूँ कि sir, πाई के odd multiple से alpha distance आगे जाओ, और पाई के even multiple से alpha distance पीछा हो, और इसको लिखने का तरीका है, आपके पास पाई का कोई ना कोई multiple है, अब अगर वो odd है, तो subtract करना है, यह formula कैसे बन रहा है, कि इसका graphical explanation समझ आ रहा है, मैं mathematical explanation दूँगा, लेकिन जब हम trigonometric equations पढ़ेंगे, जाए उतना समझाने के लिए ये एक formula हमारा बना है मैंने अभी सिर्फ आपके सामने sin x को प्रस्तूत करने की कोशिश किये और समझाने की कोशिश किये कि sin x कैसे behave करता है कब वो greater than 0 होगा कब वो equal to 0 हो जाएगा कब वो 1 होगा कब minus 1 होगा sin x sin alpha के तो पूरे mathematics में आपको trigonometry से related बातों को लेकर तो कोई जादा तरह तरीके से परिशान नहीं कर पाएगा कुछ भी सोचना होगा ना, आप इस तरीके से सोच पाएंगे, और ये सारी बाते कहां से हमने निकाली, ये सारी बाते ग्राफ से निकाली, तो इनकेज सर, मुझे ये सब रटना पड़े मैं कहूँगा, फटाफट कहीं भी फसो, तो फटाफट ग्राफ बना लो, ये ग्राफ आइडिया रहना चाहिए, मैं कह साथ दक्ता हूँ कि साइनिक्स 0 से 5 होता है, कॉसिक्स 0 पर 1 हो जाता है, बस इतना सा फर्क है, कॉसिक्स का भी 2 मिनिट में मिल जाएगा, और उसमें भी तो इसी से हमने सारी चीज़े बिल्ड करी हैं और कुछ बातें उसने कही कि हमने observe किया कि sin x कैसा function है एक periodic function, periodic function का मतलब वो बार अपनी बात को दोहराता है अपनी बात को repeat करता है जैसे कि अगर मैं आपसे कहूँ तो देखो सर जो value minus pi by 2 से pi by 2 तक मिली वो वापस वही सारी values वापस आपको मिलेंगे आप देखो ना जो minus pi by 2 से pi by 2 तक आपको वाल्यूज मिली, वही वाल्यूज आपको वापस मिलीगी, इसी कौन सी वाल्यूज जो नहीं मिल रही है, आप देखो, पाई बाई टू से थी पाई बाई टू तक वापस आपको सारी वाल्यूज मिल रही है, मतलब ये अपने आपको रिपीट करता है, दोहराता है, minus pi by 2 से pi by 2 तक का, ये zone बार repeat होता है, ये part बार repeat होता है, और अगर थोड़ी सी confusion है, तो मैं इसको ऐसा भी लिख सकता हूँ, minus pi से pi वाला हिस्सा, उठा के बार replace करो, अब देखो ये वाला हिस्सा, अगर और clarity के लिए, मैं समझाओ, I'm really sorry, minus 5 से plus 5 तक का हिस्सा, यह हिस्सा आप देखो, यह पकड़ के चलो आप, यह हिस्सा उठा लो आप, यह हिस्सा बार-बार उठा-उठा के रखो, रिप्लेस करते जाओ, यह बस यही बनता चला जाएगा, कि आप मेरी इस बात से agree करते हैं, I hope आपको बाते समझ जा रही हैं, जो मैं कहना, समझाना, या बोलना चाहरो, है न, तो इस तरीके से फंक्शन चलता है, और यही बातें यहाँ पर लिखनी की कोशिश कर रहा है, कि यह minus पाई से पाई तक का यह जो zone है, यही बात iterate होती है, पाई से 3 पाई में भी यही same zone iterate हो रहा है, minus आपका क्या, 2 पाई से, minus 3 पाई से minus पाई के लिए भी चीज़ें वैसी ही repeat हुई है, तो क्या आपको यह बात clear हो रही है, कि बात बस इतनी सी है, कि यह अपने आपको बार दोहराता है, repeat करता है, यह एक iterative, यह एक periodic, यह एक recurring, यह एक repeating function है, याद रहेगा, और वो किस length को repeat करता है, 2 पाई length को, हम इसे क्या कहेंगे, इस function का period. हम periodic function explicitly discuss करेंगे, but चुकी अभी हम trigonometric function discuss कर रहे हैं, तो ये बात निकली है, तो discuss कर लेते हैं, क्योंकि graph के तरू इसे observe करना बड़ा आसान है, ना? एक और बात आप ध्यान से रखेगा, या, कि कोई भी curve, अगर कोई भी curve origin के respect में symmetrical हो, तो ऐसे function को हम odd function कहते हैं. कि अगर उसमें मैं x की जगे minus x पास करूँ, तो अगर मुझे minus f of x मिल जाए, तो हम उसे odd function कहते हैं, तो कुछ तो भी पढ़ा रहे हो, मेरे आइकिन करिए, even function और odd function explicitly पढ़ेंगे, पर चुकी अभी बात निकली है, और ये बाते अगर अभी ही कर ली जाएं, तो और अच्छा रहेगा, तो trigonometric function एक odd function है, यानि कि अगर मुझे कभी कोई पूछे, sin minus let's say pi by 3 की value, तो मैं कहूँगा कुछ मत सोचिए, आप minus sin pi by 3 की value निकाल लीजे, ये एक ही बात है. इसको कहने की वजह, ग्राफिकली अगर मैं बोलू, तो जैसा origin के इस तरफ बन रहा है, वैसा ही origin के इस तरफ बन रहा है, जैसा origin के इस तरफ ग्राफ बन रहा है, वैसे इस तरफ बन रहा है, मतलब अगर origin के respect में कोई ग्राफ symmetrical है, तो उस function को हम कहते हैं एक odd function, याद रहे कि x की multiple values मिल रही हैं, मतलब x की multiple values के लिए y की एक single value exist करती है, और यह होगा क्योंकि यह periodic function है, तो this is quite evident and apparent that this is going to be a many one function, technically सच कहूं तो सारे ही trigonometric functions आपके periodic और many one होते हैं, और वो even और odd में भी लगभग सारे ही categorize किया जा सकते हैं, और सब कुछ ही किया जा सकता है, क्या बात आपको समझ जाएगी, sign x को लेकर हर एक बात clear है क्या, अगर sign x समझ आये, तो move करते हैं, अब हम क्या होगा, किस पर, कॉसेक्स को लेकर जब मैं सारी बाते करूँगा, तो मैं फिर से यही एडिया लूँगा सर, कि एक काम करते हैं, बनाते हैं कॉसेक्स का ग्राफ, ताकि सारी चीज़ें क्लियर हो जाएं, कॉसेक्स के ग्राफ में चीज़ें बहुत मुश्किल नहीं है, तो sin x का ही ग्राफे याद रखेगा सेम चीजें वही हैं, sinusoidal way है बस इस function में चीजें थोड़ी सी shift हो जाएंगे गौर से सुनियेगा इस बार चीजें आपकी कुछ ऐसी चल रही होंगे बहुत अच्छा तो नहीं बना है मतलब अच्छा मतलब अगर मैं symmetry ढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूं� तो मैं कहूँगा ये minus 1 से 1 तक होता है क्या आप मुझे इस बात का जवाब दे सकते हैं कि cos x का mod कहां से कात होगा सर साफ बात है अगर आप cos x का mod पूछें या फिर आप cos x का square कर दें ये तै बात है कि ये आपकी हमेशा कहां से कहां तक होगी ये value आपकी हमेशा 0 से 1 तक होगी क्योंकि अब आपने सारी minus 1 से 0 की value को आपने 0 से 1 में convert कर दिया है अब क्या मैं इस graph को लेकर थोड़े points आपको denote करता हूँ ये मैंने कहीं बार बनाई बनाया है तो मुझे यह भी याद हो जाएगा कि इस तरीके से चलता है पाई बाई टू है ना यह होता है पाई, यह हो जाता है आपका थ्री पाई बाई टू, यह आपका होता है टू पाई, और यह क्या हो जाता है भी आपका फाई बाई टू, इस तरीके से चल रहा होता है, है ना यह हो जाता है आपका minus pi और यह होगा कि आपका minus 3 pi by 2, आप एक बहुत ही अच्छी चीज़ यहाँ पर देखेंगे, और बस वही चीज़ आपकी help करेगी चीज़ों को workout करने में, जैसे फिर से वही बात, अगर मैं आपसे पूछूं, कि यह कहां 1 होता है, तो आप कहेंगे सर देखो 0, 0 के बाद 2π, यह आपको दिख रहा है, जैसे कि 0 से पहले minus 2π, तो मैं कहूँगा, जब-जब मुझे कोई कहे कि cos x बताओ, कब-कब क्या होता है, 1, तो मैं कहूँगा, cos x अगर 1 होता है, तो यह कब-कब होता है, तो जब-जब x जो है आपका, किस category का हो, तो पाई का कोई even multiple, क्योंकि देखो ना 0, 0 के बाद 2π, तो पाई के सारे even multiples पर, even multiple मतलब क्या, पाई के सारे even multiple मतलब, 2 in π category, जहाँ पे of course आपके है जो n है, ये क्या है, ये n जो है सारे, ये क्या है integers, कोई परिशानी तो नहीं है इस बात से, है न, इसी तरीके से, अगर मुझसे कोई पूछता कि सर cos x कब minus 1 है, cos x आपका कब minus 1 है, तो फिर से pattern आप notice करिए, minus 1 कब है, सर देखो, πाई x कैसा है, pi का कोई odd multiple, अगर ये pi का कोई odd multiple है, तो definitely आपके पास, जो ये category है, 2n plus 1 times pi, इसमें cos अगर आप pass करें, तो definitely वो क्या होगा, minus 1, कोई परिशानी, अच्छा, similarly अगर मैं पूछू, sir, cos x 0 कब-कब होता है, तो I think ये भी आप कह सकते हो, sir, cos x के 0 होने को लेकर भी, जादा कोई संदेह नहीं है, cos x 0 कब-कब हो रहा है, गौर से देखो, sir, cos x 0 होता है कब, minus πi by 2 पर, 3 πi by 2 पर, 5 πi by 2 पर, मतलब एक मज़ज़दार सी बात है सर, πi by 2 के सारे odd multiples पर, πi by 2 का even multiple अगर हुआ, तो वो तो πi 2 πi ऐसा भी बनने लगेगा, तो मैं क्या कुछ कोई रेंडम multiple नहीं लेना है, पi by 2 का एक odd multiple लेना है, तो मैं कहूँगा कि जब x जो है आपका, वो πi by 2 का एक odd multiple है, वो जब πi, बाई 2 का एक odd multiple है, तो उस case में आपको cos x क्या देगा, 0 values, I hope यही सारी values यहां लिखी हैं, देखो cos x 0 कब है, जब पाई बाई 2 का odd multiple है, cos x 1 कब है, जब पाई का even multiple है, और cos x minus 1 कब है, जब पाई का odd multiple है, odd multiple है, ये तीनों बातें समझ जाएं, और ये सारी बातें I hope हम discuss कर चुके हैं, अब आता हैं कुछ काम की बातों पर, पहली बात तो sir, cos x, cos alpha के, कब equal होता है, जरा गौर से देखेंगे, आप खुद कहेंगे कि हाँ sir, ये सही बात है, और इसका एक कारण है, cos x का एक even function होना, sir खुद कहेंगे कि सर वो तो ढूंढना आसान है, क्यों आसान है क्योंकि समझो, जैसे कि मालो यहाँ पर एक value है, मैंने एक value ढूंढनी चाही यह, और यह जो distance है, let's see यह क्या है, यह है alpha, मलब कोई मुझसे कह रहा है कि cos x जो है, वो cos alpha के equal है, कोई मुझसे कहता है कि cos x जो है, वो cos alpha के equal है, तो क्या आप कहेंगे कि x alpha के equal है, जी नहीं, x alpha के बेशक equal होगा, पर chances हैं कि कुछ और भी हमें मिले, जैसे यह distance अगर मैं आपसे मांगू, तो ये distance भी आप कहते है alpha symmetry है जैसा ये अदर जा रहे है वैसे अदर जा रहे है पर ये point distance wise भली ये alpha हो पर ये point क्या होगा ये होगा minus alpha ये होगा plus alpha आप मेरी बात समझ पा रहे हैं क्या अच्छा similarly अगर same logic से मैं आप से बात करूँ तो गौर से देखो ये जो point होगा जैसे 0 से alpha distance आगे और alpha distance पीछे मुझे point मिले ऐसे ही 2 pi से alpha distance पीछे मतलब 2π minus α, और 2π से α distance आगे, मतलब, 2π plus α, पर मुझे point मिलेगा, and same is going to happen here as well, मैं आपसे कहना चाहूँ, कि जो πाई के even multiples हैं न, जो पाई के even multiples हैं, उनसे alpha distance आगे, और alpha distance पीछे आपको सारे points मिलेंगे, आप मेरी बात समझ पारे हैं क्या, और n क्या है यहाँ पर वापस, n जो है आपके कोई भी integral, integer value है, बहुत complicated तो नहीं हो रहे, मैं कह रहा हूँ, मैं ऐसे trigonometric function जब हम पढ़ेंगे, तो cos c minus cos d के formula से भी prove करेंगे कि ऐसा क्यों हो रहा है, यहाँ सर 1 का बोता है, minus 1 का बोता है, 0 का बोता है आप कुछ generalize करके कहा दो कि इसके लिए बहुत ज़्यादा मेहनत आपको नहीं करनी पड़ेगी हैना, अब अगर मैं बात करूँ सर कि cos x आपका कब positive और कब negative होता है तो वापस आप ये बात निकाल सकते हैं सर cos x को लेकर, अगर मैं positive होने को लेकर आपसे बात करूँ minus 5 by 2 से 5 by 2 फिर 3 5 by 2 से 5 by 2 तो minus 5 by 2 से 3 5 by 2 मतलब opinion sorted है, opinion क्या है sir, कि अगर मुझसे कोई पूछे, कि cos x का positive है, मैं equal to 0 नहीं कह रहा, मैं कह रहा हूँ, cos x का positive है, यानि greater than 0 है, तो मैं कहूँगा, x की कैसी values है, x की वो सारी values, जो की कैसी है, ध्यान से देखो, pi by 2 के multiples हैं, तो पहली बात हो, 4 in plus minus 1 वाली form में होगी, पर ये कैसी form है, 4 in minus 1, और ये क्या है, 4 in plus 1, 4n-1 times πy2 से कहा तक? 4n plus 1 times πy2 तक का. क्या है कहानी, sorted, सुल्जिवी सी समझ आ रही है आप सभी को, इसमें कोई doubt, कोई दिक्कत, I hope नहीं है, इसी तरीके से, in case मुझे कोई पूछता, कि cos x कब negative है, जरा बताओ सर, तो मैं क्या कहूँगा भी, कि cos x जो आपका negative है, वो क्या होगा, गौर से सुनना, cos x जो negative है, फिर स वाले version से 4n-1, लेकिन गडबड कुछ है सर, गडबड क्या है सर, पहले से इस वाले part को देखो, इसको आप समझ पारे हो, कि हमने 4n-1, पाई बाई 2, एक सिकेन है, मैंने कुछ तो गलत लिखा है, अच्छे इसने उसको 2n-पाई से, पाई बाई 2 सब्टरक्ट और आड़ करके लिख दिया है, ठीक है, उसने क्या है, जरा मैं आप से वो बात कर लेता हूँ, सुनना, उसने बोला, कि आपको क्या चाहिए, है तो यह minus pi by 2 यह pi by 2 तो sir minus pi by 2 से pi by 2 तो मिल जा रहा है बिल्कुल सही बात है जैसे मैंने n की value क्या ले ली यह 1 जैसे मैं n की value 1 ले लेता हूँ तो 1 लेती क्या हो जाता है यह हो जाता है 3 pi by 2 और यह क्या हो जाता है 5 pi by 2 उसने क्या किया pi by 2 को अंदर multiply कर दिया है तो 2 से 2 cancel तो 2n pi minus pi by 2 2n pi plus pi by 2 sorted है लेकिन अब जब मुझे यह लिखना है कि cos 6 कब negative है तो ज़रा आप इस zone को थोड़ा observe करो तो पाई से, देखो इसको मैं कैसे लिखता हूँ, मैं पाई का एक odd multiple डूंड रहा हूँ, और उसमें पाई by 2 subtract कर रहा हूँ, और उसमें पाई by 2 add कर रहा हूँ, आप सुन रहे हो क्या, मैं क्या कर रहा हूँ, मैं union ले रहा हूँ, और इसको मैं generalize करके भी लिख दूँगा, 2n plus 1, आप सुन रहे हैं क्या, उसमें से हम पहले क्या करेंगे, उसमें से हम पहले pi by 2 subtract किया, तो 2n plus 1 में से मैंने क्या किया, pi by 2 subtract किया, आप सुन रहे हैं क्या, बहुत simple सी बात है, कोई परिशानी तो नहीं है, और इसी तरीके से, मैं क्या करूँगा, इसी तरीके से, मैं एक और काम करूँगा कि उसी odd multiple में से है, of course यहाँ पर यह जो आपके n है, वो कोई भी integer है, जो n है आपका, वो कोई भी integer है, उसी तरीके से pi by 2k, मतलब I'm really sorry, पाई के है न, यह जो है, यह 2n plus 1 times पाई है, मुझे यहाँ पर पाई भी लिख लेना चाहिए, मैं यहाँ पर लिख देता हूँ, कोई परेशानी तो नहीं है, मतलब इससे थोड़ा साफ ही लिखें तो अच्छा है, आपको परेशानी नहीं होगी, नियान से सुनेगा, अगर इस बात को इतने complicated manner में लिखते हुए न के बजाए मैं इसे और साफ तौर पर लिखा तो देखो यह बन जाएगा 2n pi फिर यह होगा pi, pi minus pi by 2 तो यह क्या हो जाएगा, यह हो जाएगा 2n pi plus pi by 2 इसी तरीके से यह हो जाएगा कितना 2n pi plus pi by 2 तो यह क्या हो जाएगा 2n pi plus 3 pi by 2 मतलब आप इसे चाहते तो और साफ भाषा में 2n pi plus pi by 2 और 2n pi plus 3 pi by 2 भी लिख सकते हैं सकते थे, लेकिन मैंने यह इस तरीके से लिखा, जो तरीका आपको उसने यहाँ पर इस तरीके से लिख कर दिया है, खेर यह उसने सिर्फ greater than 0 के लिए बनाया है, हमने less than 0 के लिए भी बना लिया है, इसके अलावा इसको लिखने का और भी दूसरा तरीका हो सकता है, जब मैं pi और आप Union ले रहे हो, Union किसका ले रहे ह आप ले रहे हो, देखो, पाई अंदर multiply किया, तो 2n पाई, plus पाई, minus पाई बाई 2, पाई, minus पाई बाई 2 कितना, पाई बाई 2, तो यह कितना हो जाता है, यह हो जाता है, 2n पाई, plus पाई बाई 2, तो इस category से, आप देखो न, 2n पाई, जो आपका है, 2n पाई, plus 3 पाई बाई 2 तक, 2n पाई, plus, पाई प्लस पाई बाई टू, that is कितना, that is 3 पाई बाई टू, खेर, दोनों तरीके आपके वाज़िब हैं, दोनों तरीके जायज हैं, जो आपको ठीक लगे, जैसा आपको ठीक लगे, हमने point of reference अपना क्या माना है, 2 इन पाई, जैसे अगर कोई कहता, cos 6 जो है आपका, वो greater than 0 हो, तो यह जाएगा 2n पाई, minus पाई बाई 2, देखो ना, 2n पाई, minus पाई बाई, by 2, 2 and pi plus pi by 2, तो हमने point of reference अपना क्या मान लिया है, हमने point of reference अपना मान लिया है, कि सर ये जो है, ये तब होगा, जब x जो है आपका, किसे belong करें, union ले लो आप, n सारे integer value ले लो, कहां से कहां तक, 2 and pi में, से pi by 2 subtract करो, और 2 and pi में, और 2 and पाई में आप पाई 2 आड़ करो। इस तरीके से अगर आप union लेते हैं तो बेशक ये जो zone है आपका, ये हमेशा आपका एक positive value देगा cos x की। बहुत confusing तो नहीं हो रहा है। I hope चीज़ें समझ आती चली जा रही हैं। Even personally सच कहूँ तो मैं कभी इन्हें याद नहीं करूँगा। और समझूँगा कैसे हर बार cos x का graph बनाकर। वो सभाविक है कोई बुराई नहीं है इसमें बुक में अगर यह दिया है तो आपका क्या बन सकता है आपका एरिजिडल बन सकता है जो कि बिल्कुल सही है डिपेंड्स आप चीजें बना लाएं आप आंसर ले आप मैच कर लेंगे ऑप्शन देखकर क्या यह पैटर्न समझ पता है, तो आप बहुत आसानी से trigonometric functions पर waste questions को crack कर लेंगे और सोच पाएंगे आगे बढ़ते हैं, next graph हमारे 10x की तरफ जाते हैं cos x के किसी भी part में कहीं पर भी कोई doubt, I hope नहीं होना चाहिए next part पर अगर हमें move कर लो, next part जो निकल कर आता है, यह पहली बात तो है, even function, even function का मतलब होता है, कि अगर y axis के respect में कोई graph symmetric कर ले, देखो जैसा यह इदर बन रहे है, वैसा ही πाई बाई 2 से माइनस 3 पाई बाई 2 इदर बन रहे है, तो अगर y axis mirror image की तरह काम करे और जैसा ग्राफ इदर बन रहे है, वैसा ही इदर बने तो इस तरीके के function कम क्या कहते है even function और even function की खास बात क्या होती है अगर मैं उन में minus x pass करूँ x की जगे, तो वो आपको वही x दे देंगे, जैसे odd function में हम रख रहे थे, sin में minus x तो minus sin x बन रहा था, even function की खास बात क्या है, उसमें आप cos minus x को cos x ही बनता पाएंगे, यहाँ बहुत खुबसुरत सी बात है, जैसे जो cos 30 होगा, वही आपका cos minus 30 होगा, कि cos minus 5 by 6 कितना होगा, आप अगर cos 5 by 6 निकाल सकते हैं, खेर यह सारा discussion, periodicity के कारण कैसे pattern बनाया जा सकता है, प्रिग्नोमार्टरी में पढ़ेंगे, क्वाडरेंट थियोरी के थूब हम सारी चीज़ें डिसकस करेंगे, पर मेरा मानना है ये बात आपको समझ आ रही है कि ये कैसा फंक्षन है, ये एक एवन फंक्षन है, आई हॉप आपको दिखी रहा है कि ये एक मैनी वन फंक्षन है, की बात करो, तो फिर से देखो आप इसका period 2π पाएंगे, क्यों पाएंगे सर, simple सी बात है गौर से देखो जो कहानी 0 से 2π तक चली, वही कहानी वापस बार उठा के रख दी जाए तो वो अपने आपको repeat कर रहा है यह function भी कैसा है, periodic और cos x function के period के अगर मैं बात करूँ तो इसका period प्रियोड क्या होता है, इसका भी प्रियोड आपका 2π होता है, तो पहली बात तो याद रखेगा, आपके सारे ट्रिक्रोमाटरिक फंक्शन्स एक प्रियोडिक फंक्शन ही हैं, और कॉसिक्स और साइनिक्स दोनों का प्रियोड आपका 2π होता है, ये बात प्लीज याद र symmetrical है, तो हम ऐसे functions को even function कहते हैं, इसा हर function के लिए true है, कोई भी function अगर origin के respect में symmetrical है, तो वो एक odd function, और कोई भी function अगर y axis के respect में symmetrical है, तो वो एक even function होता है, दूसरी बात, many one तो यह है, क्या यह बात आपको समझ आई, move करते हैं, अब हम 10x पर, 10x के graph को लेकर थोड़ी सी clarity लेत और चीज़े समझते हैं, गौर से सुनियेगा, मज़ज़दार सी चीज़े हैं, आप बहुत खुबसुरत तरीके से चीज़े बनती हुई, होती हुई देख पाएंगे, है न, गौर से सुनते जाएगा, और चीज़े समझते जाएगा, काफी सारी मज़ज़दार चीज़े अ वा एक्सिस तो एक ही है बस ये कुछ लाइंस वैने खीची हैं जब कुछ मेरे कुछ परस्टनल कारणों की वज़ास से खीचें और आप भी ये बात समझ जाएंगे कि ऐसा करने के पीछे वज़ा क्या है जैसे ये रहा है आपका वा एक्सिस अगर कोई कंफ्यूजन है तो x-axis और इसे मान लेते हैं 2000-2000 तो ये मान लेते हैं x क्या बोल रहो हूँ, I'm really sorry ये क्या है आपका y-axis अब सुनते जाएगा, 10x का ग्राफ बड़ा खुबसूरत सा ग्राफ है, ये पहली बात तो periodic function है, मैं क्यों बना पा रहा हूँ, क्योंकि मुझे याद फिर यह होता है आपका क्या, 3 पाई बाई 2, है न, कुछ तो मैं गडबड कर रहा हूँ, है न, मैं बजाए इसके इसको ऐसा ले लेता तो जादा अच्छा रहता, पर चुकी अब बना लिया है, तो ऐसा ही बनाते हैं, और इन चीज़ों को थोड़ा अगर shift कर दें, तो कर ले और अगर यह होगा पाई, तो मैं इस पार्ट को थोड़ा सा shift करके यहां ले आता हूँ, अगर आपको कोई आपत्ती ना हो तो, और इसी जरीके से इस वाले पार्ट को भी थोड़ा सा shift करके मैं यहां ले आता हूँ, अगर आपको कोई परिशानी ना हो तो, I hope आप लोग सु प्लस 3 पाइ बाइ 2 होगा, क्यों कर रहा हूँ ये सब आप समझ जाएंगे, बस थोड़ा पेशनस रखेगा और चीज़े धियान से सुनते चले जाएगा, जैसे ये ग्राफ आप ड्रॉप करेंगे, तो ये 0 पर 0 होता है, और जैसे आप पाइ बाइ 2 जग जाते हो, तो अपने आपको दोहराएगा, सेम जैसा 0 और पाई पर है, वैसे ही माइनस पाई पर होगा, माइनस पाई से माइनस पाई बिट होता है कि अपने आपको इंफिनिटी के तरफ जा रहा होगा, और माइनस पाई से अगर माइनस 3 पाई बिट तरफ, नेगेटिव साइड आकर आप पाई, अगली बार 2 पाई, फिर minus पाई, इन सब पर 0 होगा, अच्छा इन सब से पहले, कब 0 कब क्या नहीं होगा, आपके ये x-axis पर x की हर values के लिए exist करता है, except for कुछ values पर नहीं करता है, जैसे देखो सर, तो ये जो ग्राफ है ये infinity की तरफ जा रहे है लेकिन पाई बाई 2 पर ये infinity की तरफ approach करता है तो पाई बाई 2 पर ये exist नहीं करता है minus पाई बाई 2 पर आप इसे ढूढने के तरफ minus infinity की तरफ जाता हो दिखेगा इस तरफ से मतलब minus पाई बाई 2 पर भी exist नहीं करता है 3 पाई बाई 2 पर भी नहीं करता है minus 3 पाई बाई 2 ये पाई बाई 2 के किसी भी odd multiple पर ये exist नहीं करता है अगर मुझसे आप इसका domain पूछते हैं, तो मैं क्या कहता? मैं कहता सारे real numbers, minus infinity से सारे, plus infinity से सारे real numbers. लेकिन इसमें किस तरह के numbers मैं नहीं लोगा? मैं इसमें से आपके ये सारे numbers अठा दूँगा. किस तरीके के? जो आपके pi by 2 के कैसे multiple हो, जो आपके pi by 2 के odd multiples हो. वो सारे numbers जो pi by 2 के odd multiples हैं, जहाँ पे n क्या हो भी? जहाँ पे n एक integer हो. ये सारे numbers को मैं real numbers में से अठा दूँगा. अदलब, pi by 2, minus pi by 2, 3 pi by 2, minus 3 pi by 2. 5π by 2, minus 5π by 2, 7π by 2, minus 7π by 2, यह सारे numbers होने होगे, क्योंकि इन पर इसका वजूद नहीं है, यह क्यों नहीं है, जब हम trigonometric functions पढ़ेंगे, जब हम sinx upon cosx करेंगे, तो आपको देखाएंगे, कि जब-जब cosx आपका 0 होता है, तब-तब यह function problem create करता है, मैं y-axis पर read करता हूँ, तो y-axis पर मैंने देखना शुरू किया सर, तो यह ग्राफ minus infinity से plus infinity तक exist करता है, कहीं पर भी यह ग्राफ break नहीं हो रहा है, देखो न, minus infinity से लेकर मैं plus infinity तक जा पा रहा हूँ, तो y-axis पर यह सारी real values ले रहा है, तो मैं कहूँगा minus infinity से plus infinity, अब अगर मुझसे कोई कहता है कि 10x जो है सर, वो 0 है, अगर मुझे कोई कहता है कि 10x जो है वो 0 है तो मैं क्या कहूँगा भाई? मैं कहूँगा साफ बात है ये x की किन values के लिए 0 है? तो आप देखें सरा ये x की किन values के लिए 0 है? सर 0 के लिए, pi के लिए, minus pi के लिए, मतलब pi के सारे multiples के लिए मतलब मैं क्या कहूँगा x जब pi का कोई multiple हुआ x जब pi का कोई multiple हुआ तब आपका expression कैसा हुआ? तब आपका 10x जो है वो 0 हुआ और क्या, और अगर मैं आपसे पूछूं, ये कब positive है, तो 0 से बड़ा कब है, आप देख पारे हो, मैं बहुत आराम से conclude पर कुछाओंगा, कि 0 से pi by 2, pi से 3 pi by 2, यानि मैं ऐसा कहूँगा, कि pi के multiple से pi by 2 आगे और उसको बढ़ा दो, मतलब मैं एक बहुत सामाने भाषा कि 10x कब positive होता है, तो 10x कब 0 से बढ़ा है, तो मैं कहूँगा x की वो सारी values, कैसी, पाई के किसी भी multiple से आप उठाईए उसे, है न, पाई के किसी भी multiple से आप उसे उठाईए, और उस multiple में क्या add कर दीजे, उस multiple में आप पाई by 2, रखा तो वन से तक मतलब पाई से तक I hope आप मेरी बात समझ पारे हो अच्छे सर इसको और simplify करके लिख सकते थे कि बेशक जैसे आपको ठीक लगे वैसे लिखो जैसे कि इसी बात को लिखने का एक और तरीका क्या हो सकता था इसी बात को लिखने का तरीका हो सकता था यह डिपेंड करता है बुक में आपको कैसे दिया है प्लस 1 आप समझ रहे हो न यह क्या हो जाएगा तो 2n प्लस 1 टाइम्स पाई बाई 2 देख पा रहे हो तो, पाई, पाई बाई टू, अब आप n की value रखते जाओ, क्या आपको ये बात समझ आ रहे है, I hope ये बात आपको समझ आ रहे है, और क्या मैं कहना चाहरा हूँ, एक और चोटी सी बात मैं आपको दिखाना, समझाना ये बोलना चाहरा हूँ, कि अगर मैं प जैसे कि मुझे कोई कह रहा है कि सर आप बताओ 10x कब negative है तो दो बाते, दो बाते क्या सुनना दियां से पहला तरीका मैं सारे तरीके आपको सुनजाने की कोशिश करता हूँ कि सर आप क्या करो आप पहला तरीका तो ये लिख लो कि क्या आप कहा तक जाओ आप पाई के किसी multiple तक जाओ तो उसकी right hand limit क्या होगी अलग right hand side पर जो extreme होगा वो पाई का कोई multiple होगा जैसे कि मैंने क्या लिख लिया n पाई लेकिन कहा से जाना है सर उससे पाई बाई टू कम कर दो minus pi by 2 कर दो और वहाँ तक आओ, यानि क्या, आप क्या लिखो, n pi minus pi by 2, क्या आप मेरी बात समझ पा रहे हो, बड़ी साफ, सामाने, और जाहिर से बात है, आप इसे simplify कर सकते हैं क्या, बिल्कुल कर सकते हैं, I hope आप देख पा रहे हो, तो मैं क्या लिखूंगा, कि सर, n की value सारा बड़ी ही साफ, सुन्दर और सुल्य हुई सी यह बात आपके सामने लिखी हुई है। अच्छा सर इसमें आप एक बात मिस्कर रहे हो। क्या मिस्कर रहे हैं भी? कि सर अगर 10 में कोई value पूछी जाए, जैसे कि 10 में कोई value मुझसे पूछी जाए, सर आप क्या करो फिर वही बात। कि 10x अगर 10 alpha के equal है, तो यह रही है एक value, तो यह distance कितनी है? यह distance है आपकी alpha? तो 0 से alpha distance आगे गए, symmetry देखो, pi से भी आपको alpha distance आगे जाना है, मतलब यह point क्या होगा, यह point होगा pi plus alpha, आप सुन रहे हो क्या, मैं कैसे चीज़े सोचता हूँ, जैसे कि यह भी कितनी distance है, I hope वो graph मैंने बहुत कुबसूरती से नहीं बनाया, बट यह भी distance alpha है, तो अब minus pi से alpha distance right side है, तो minus pi plus alpha, आप समझ पारे हो क्या, आपको सिर्फ यह करना है, कि जो pi के multiples हैं, कि 10x जो है, 10x जो है वो 10 alpha के equal है तो आप x को क्या कहेंगे x को मैं कहूँगा कि pi का वो जो भी multiple है उसमें आप क्या करें alpha add कर दीजे वहाँ पर जो आपका n है वो कोई भी integer हो सकता है क्या आपको generalization समझ आ रहे हैं कि हम कैसे चीजे सोच रहे हैं, अच्छा इसके साथ I hope I need not tell you, mod 10 alpha है, 10 square alpha क्या होगा, वो बेशक सारे positive real numbers या non negative real numbers होगे है, 0 से आपके infinity तक, यह बात मेरे ख्याल से मुझे अब कहने की जरूरत नहीं है, domain हम discuss कर चुके हैं आपकी, सारे real numbers except for सारे pi by 2 के आपके odd multiples, 10x 0 का वो होगा, जब वो n पाई का multiple होगा, और 10x 10 alpha के एक वाले, तो वो होगा x जो होगा, वो महज़ alpha नहीं होगा, वो n पाई plus alpha category का एक number होगा, इसी के साथ, अब अगर मैं 10 को लेकर चीज़े conclude करूँ, तो 10 बड़ा सामाने सा function है, इसको लेकर हमें कुछ काम की, बहुत simple सी बाते पता चली हैं periodic function है, पर इस बार इसका period क्या है, सर minus pi by 2 से pi by 2 ये zone याद रखना, minus pi by 2 से pi by 2 वाला zone याद रखना, क्यों, क्योंकि देखो रहा है, यही बात को उठा के वापस रखनूँ, तो वापस यह बात बन जाती है, मतलब इस बार, इस function का period क्या होगा, इस function का period होगा, पाई, यह even है और आप देखो न, zero के इस तरफ जैसा है, वैसा ही इस तरफ है, I hope आपको चीज़ दिख रही है, तो एक ऐसा function हुआ, यह एक odd function हु y की किसी single value के लिए मुझे x की multiple values मिलना तै है तो मैं कहूँगा ये कैसा function है ये many one मैं अगर एक मोटा आपको idea देने की कोशिश करो तो अभी तक हमने महस तीन बातों पर बात की है sin x, cos x और 10 x बहुत खास, बहुत विशेश, बहुत ही dedicated, integrated सी बातें हमने नहीं किये बस मैंने आपको ये समझाने की कोशिश की कि graph कैसे बन रहे है यह बात आपके काम आईगी कि एक राफ ऐसे क्यों बन रहे हैं, यह values से बनते हैं, जो major values हम use करेंगे अकसर, वो ग्या होंगी, वो होंगी हमारी sine x. है ना, cos x और ये जो 10x आपके 3 है, इसमें अगर मैं 3 angles पर बात करो, sorry, कुछ major से angles पर बात करो, तो एक angle जिससे आप deal कर रहे होंगे वो होगा 0, एक होगा 30 degree, एक होगा 45 degree, एक होगा 60 degree, और एक होगा आपका 90 degree, है ना, दूसरी बात, मैं इन values को कैसे याद रखता हूँ, कैसे create करता हूँ, इसका तरीका बड़ा आसान सा है, पहले मैं लिखता हूँ, let's say, 0, 1, है ना, 2, 3 और 4, इन सब को मैं 4 से डिवाइट कर देता हूँ, तो 4 से डिवाइट कर दे, तो इन 4 से डिवाइट हो जाएंगे, और जब मैंने इन सब को 4 से डिवाइट किया, तो इन सब का मैं क्या ले लेता हूँ, under root, गौर से सुनिएगा, जैसे ही आपने इस तरीके का कोई operation किय गौर से सुनना, 0 upon anything is 0, 0 का under root 0, 1 by 4 का under root 1 by 2, 1 by 2 का under root 1 by root 2, यह हो जाना है root 3 by 2, और यह हो जाना है 1, याद रहे हैं, रहेगा, अब sin x का, मतलब जो angle wise अगर मैं बात करो, तो ये जो angle होते हैं, sin और cos में, complementary होते हैं, इसका क्या मतलब है, इसका अभी फिलाल ये मतलब याद रखे, कि अगर, जो sin 90 है, वही cos आपका 0 होगा, जो sin 60 है, वहाँ आपका cos 30 होगा, जो आपका sin 45 है, वही आपका cos 45 होग sin theta upon cos theta, तो 0 upon 1 कितना हो जाना है, क्या मुझे कुछ कहने की ज़रूरत है, सर यह हो जाता है 0, 2 से 2 cancel, तो यह कितना हो जाता है, 1 upon under root 3, 1 by root 2 से 1 by root 2 cancel, तो 1, 2 से 2 cancel, तो यह हो जाता है under root 3, और 1 upon 0 not defined, या फिर इसे आप कहना चाहें तो approaching infinity है ना, जिसे हम अक्सर 1 upon 0 है, infinity के तरह treat करेंगे, क्या आप मेरी बात समझ पारे हो, और इसी लिए आपका 10, 90, और इन सारी values पर not a defined, यानि infinity या minus infinity को approach कर रहा था, आप किसी भी trigonometric ratios, जो की इन angles पर based होंगे, इसे याद रखेगा, इससे काफी सारे काम आपके आसान हो जाएगी, एक हम quadrant theory भी पढ़ेंगे, जो कि मेरा कहना है, trigonometry जब हम पढ़ेंगे, तब ही पढ़ेंगे, अभी फिलाल उसको लेकर एक unnecessary का confusion create नहीं करेंगे, but बस आप ये बात याद रखेगा, क्योंकि ये सारे functions periodic है लिए मैं आपसे सारी बातें कह रहा हूँ, with that अब अगर मैं आगे बढ़ूं, तो सबसे काम की सबसे ज़रूरी बात, sign, cos और ten अभी हमने discuss किया, next lecture में हम cosec, sec और cot discuss करेंगे, सारी बातें, मतलब उनमें domain और range कैसे बदलता है, same नहीं है, चीज़ें बिलकुल उलट जाएंगी, वहाँ पर चीज़ें कैसे positive, कैसे negative, कब क्या होती हैं, उसको लेकर भी discussion, और वहाँ पर generalization की, अगर कोई value किसी value के equal है, और इनके reciprocal जो आपके functions हैं उनको लेकर continue करेंगे I hope आपको पता है ये आपकी हम IIT GWE means और GWE advanced mathematics की तियारी आपको करवा रहे हैं बिल्कुल free of cost I hope ऐसा आप जानते हैं और ये मेरा मानना है कि आप जानते हो कि ये तैयारी बहुत comprehensively और thoroughly आपको करवाई जा रही है एकदम full fledgedly बहुत dedicated manner में है ना क्योंकि हम क्या कर रहे हैं भी हम पूरा जो आपका mathematics का syllabus है उसे 5 chunks में divide करके ये सारी तैयारी कर रहे हैं पाँच chunks आपके जो होते हैं वो क्या हो जाते हैं भी coordinate geometry, calculus, vectors in 3D, algebra, trigonometry जैसे coordinate में हमने points, straight lines, pair of straight lines, circle parabola, ellipse और hyperbola cover किया, अब हम आपके calculus में यह सारी चीज़े कर रहे हैं, जहाँ पर हम relation in functions के बाद कहाँ पर shift हो जाना है, आपके limits, continuity, differentiation, differentiability जो basically का expression है, application of derivatives, इसके बाद हम कहा जाएंगे बई, उसके बाद हम आएंगे आपके indefinite integration, definite integration, area under the curve, और फिर differential equations, chapters हैं, जिनने बहुत अच्छे से हम पढ़ेंगे, ताकि कोई confusion वहाँ न रहे, क्योंकि अच्छे topics हैं, crucial हैं, और आप वहाँ गलती का कर देते हैं, तो उन्हें हम अच्छे से समझेंगे, और आप पाएंगे कि ये बहुत आसान से topics हैं, उसके बाद क्या करेंगे भी, इसके ब progression, जो sequence in series होता है, binomial expression, mathematical reasoning, statistics, और भी कहीं सारे topics. सारी चीज़े वहाँ cover हो जाएगी, बच्चे का trigonometry वह हम आखिरी में cover करेंगे, जहाँ पर trigonometric ratios, identities, inequations, functions, trigonometric आपकी inequalities, हर एक चीज़ अच्छे से discuss होगी. और ये सारी त्यारी बहुत strategically करवाई जा रही है, मतलब हम concepts कर रहे हैं, उनके हर एक चीज़ को build कर रहे हैं, example से consolidate कर रहे हैं, assignment questions आपकी practice के लिए दे रहे हैं. प्राक्टिस क्वेश्चन सारे चैप्टर का पूरा जो कंप्लीट हो जाता है वो चैप्टर ताकि आपको हर एक वैराइटी चाहे वो सिंगल करेक्ट हो, मल्टिपल करेक्ट हो, हर एक चीज़ को हम कवर कर रहे हैं, और क्या सर, इसके बाद भी हम चाप्टर कंप्लीट करते हैं, मतलब एक अच्छी तैयारी है आपकी, बिल्कुल फ्री आफ कॉस्ट, हम एक 100% फ्री आफ कॉस्ट क्वालिटी ओनलाइन एडुकेशन प्लाटफॉर्म है, kindergarten से 12th standard तक आप हमारे notes, pdfs और e-books भी download कर सकते हैं इसके लिए आपको इसी वीडियो के description में दिये गए link get notes पर click करना होगा with that let's call it a day ख्याल रखे अपना thank you so much for watching this video

पर बेशक, trigonometry as a whole हम discuss करेंगे detail में, जब trigonometry पूरा वो chunk पढ़ेंगे, जहाँ पर trigonometric ratios, trigonometric identities, trigonometric inequations, trigonometric functions, inverse trigonometric functions, height and distance, properties and solution of triangle, वो एक अलग chunk जब हम cover करेंगे, तब की बात अलग है, पर I hope अभी आपको agenda clear है, जैसे हम algebra में logarithm as a chapter completely cover करेंगे, पर logarithm as a topic अभी हम functions में भी पढ़ेंगे, लोगेरिथमिक फंक्शन की बात करेंगे तो लोगेरिथम क्या होता है कैसे उसका ग्राफ बनता है डोमेन और इंज और उसपर बेस्ट क्वेश्चन्स और उसकी प्रॉपरिटीज तो उसका एक अच्छा डिस्कॉशन जैसे ट्रोमेटिक फंक्शन का हम कर रहे हैं लोगेरि� इनिक्रालिटी इसको लेकर, I hope आपको सारी बातें याद हैं, इसी तरीके से ये चाप्टर आपको बहुत हद तक कई सारी चीज़े सिखा देगा, I hope आपको यकीन है, चीज़े कैसे हो रही हैं, with that अगर मैं Trigonometric Functions में आपके function sin x के साथ चीज़े शुरू करूँ तो आपको सम मैं आपको बता दूँगा ऐसा क्यों दिखता है, पर अबे फिलाल वस आप मेरी इस बात पर यकीन कर लीजे कि साइन एक्स का ग्राफ कुछ ऐसा दिखता है, ये एक साइनो सुडल वेव होती है, जब आप एक्स की अलग लग, ठीटा की अलग लग वाल्यूज रखते हैं, त somewhat like this, बहुत ही properly मैंने नहीं बनाया, but कोशिश किया कि चीज़े आपको मैं समझा पाऊं, और इस तरीके से वो चलेंगी, इस तरीके से चीज़े कुछ निकल रही होती है, अब क्या हो रहा होता है, ये कुछ values हैं, जो कुछ fixed values हैं, and obviously, after a certain amount of practice, कुछ वक्त, के बाद आप भी बहुत accustomed, acquaintance used to हो जाएंगे सारे integrometric और inverse trigonometric functions के graphs के साथ जैसे अगर मैं बात करूँ, angle, theta या उसे बेफलाल कह लें x की सारी values अगर मैं यहां लिखूँ और y की सारी values यहां लिखूँ तो आप यह पाएंगे कि sin x जो आपका function है वो हमेशा आपका minus 1 से 1 के बीच की ही सारी values attain करता है बशर्ते यह continuous ग्राफ है और यह x-axis पर minus infinity से प्लस infinity तक की सारी values ले सकता है इसमें से कोई परिशानी नहीं होती यह बात समझ पा रहे हैं, दूसरी बात, यह जो values हैं, कैसा pattern, कैसा behavior दिखाती हैं, तो पहली बात तो 0 पर sine x जो होता है, I'm really sorry, 0 पर जो आपका sine x होता है, वो 0 होता है, फिर अगली बार वो pi पर वापस 0 होता है, फिर 2 pi पर वो वापस 0 होता है, फिर 3 pi पर वो वापस 0 होता है जिनने याद रख कर आप इन problems को और अच्छे से work out कर सकते हैं, अगर मैं sin x के graph इस function को study करूँ तो, दूसरी बात आप पाएंगे कि sir, जब आपके पास कुछ इस तरीके से मिलती है, जैसे pi by 2 है न, जैसे कि 2 pi plus pi by 2, जिसे मैं कहूँगा 3 pi by 2, यह 5 pi by 2 होगा है न, अब really sorry, 2 और 3 के विच में ढाई आता है, तो that's 5 pi by 2 है न, minus, believe कितना, 3π by 2, तो कुछ चीजों को लेकर अगर मैं आपसे opinion अपना discuss करूँ, तो कुछ values ऐसी होती हैं सर, जहाँ पर आपको sin theta या sin x कितना मिलता है वार, similarly कुछ values ऐसी होती हैं, जैसे कि क्या 3π by 2, जैसे वहाँ होगा 7π by 2, जैसे यहाँ रहा minus π by 2, यह कुछ ऐसी minus 1, I hope आपको कुछ 0 से πाई ले लिया, या 2 पाई से 3 3π ले लिया, तो ये वो zones हैं, जहाँ पर ये क्या है, positive, minus πाई से 0 ले लिया, पाई से 2πाई ले लिया, 3पाई से 4पाई ले लिया, ये वो x की values हैं, जहाँ पर आपका expression क्या होता है, negative, तो कुछ बातें, कुछ values मैं आपसे चाहता हूँ कि आप observe करें, although इनको अच्छे से हम समझेंगे, trigonometric, functions जब एक chapter की तरह हम पढ़ेंगे, अभी philatograhmatic functions को हम study कर रहे हैं, तो सबसे पहले, अगर हम इसके domain की बात करो, तो sir हम minus infinity से plus infinity तक जा रहे हैं, तो इस function के domain को देखूं, तो ये सारी real values होंगे, मतलब minus infinity से plus infinity तक सारी, अच्छा sir, इसकी range को लेकर आपका क्या opinion है, मेरे ख्याल से मैं sorted हूँ, range जो है sir वो आपकी, इसके लिए minus 1 से 1 तक है, क्योंकि इसके beyond ये नहीं जा रहे हैं, ना तो ये minus 1 से कभी छोटा होगा, ना ही ये plus 1 से कभी भी बड़ा होगा, क्या एक ग्राफ अच्छे से समझ आ रहा है, कुछ और ज़रूरी बात है, जो हमने discuss की इनी को लेकर clarity लेते हैं, सबसे ज़रूरी बात, आप खुद सोच के देखो, सर, जब आपका sin x minus 1 से 1 के बीच ह माइनस वन से वन के बीच की सारी वैल्यूस का अगर मैं स्क्वेर कर दू या मॉड कर दू तो वो वैल्यूस कहां से कहाता होगी, वो सब आपकी कहां से कहाता होगी सर, वो सब वैल्यूस आपकी जीरो से वन तक होगी, क्योंकि आप सारी नेगेटिव वैल्य� और एक और वो बात कहना चाहता है, जिन बातों को लेकर मैं आपसे एक discussion कर चुका हूँ, बट फिर भी एक बार discuss अगर करें, तो sin 0 कब होता है, सर, देखो सर, 0 कब हो रहा है, अगर मैं sin x के पूछू कि आप 0 कहां होते हो, तो वो लेकर 0 पर, pi पर, 2 pi पर, 3 pi पर, minus pi पर, minus 2 pi पर, तो मतलब अगर मुझे कभी भी life में मिलता है, sin x का value 0, तो मैं बस ये नहीं कहूँगा कि x की value 0 है, मैं ये कहूँगा कि सर, फिर x की value, पाई का कोई भी multiple हो सकती है, वो पाई का कोई भी एक multiple हो सकती है, मैं natural क्यों लिख रहा हूँ, मैं इसे क्या लिखूँ, integer, आप देखो ना, 0 into pi, 1 into pi, 2 into pi, 3 into pi, इन सब पर आपका sin x कैसा हो रहा है, 0, जैसे कि मुझसे कोई कहे, कि sin x जो है आपका, वो कैसा है, भी 1, sin x 1 उसने कुछ generalize करके लिखा, कैसा, 4n plus 1 times pi by 2, इसका मतलब है, बहुत ध्यान से सुनना, कि pi by 2 का वो multiple, multiple जो कि πाई by 2 का वो multiple जिसे 4 से divide करने पर एक remainder मिलता है इसका क्या मतलब अब देखो ना पाई by 2 का multiple क्या है पर 1 पाई by 2 का multiple कौन सा है 5 तो अब देखो ना 1 5 और इसके बाद अगला क्या मिलेगा अगला मिलेगा आपको 9 अच्छा यहाँ पर भी ऐसे मिले x1 के equal मिले, तो मैं बड़े आराम से generalize कर पाऊंगा, कि sir, pi by 2, 5 pi by 2, है न, minus 3 pi by 2, ये वो सारे उस category के multiples हैं, pi by 2 के, जो की किस तरीके के हैं बई, जो की 4 से divide होने पर, जो की 4 से divide होने पर remainder एक देते हैं, ये x की वो सारी values हैं, क्या ये साधरन सी बात आप सभी को समझ आई, sir, इसी तरीके से आप और conclusions दे सकते हो, क्या हाँ, जैसे sin x हमने पता किया, 1 cup कब होता है, क्योंकि एक period, periodic function है, यह repeat हो रहा है, तो महज एक ही x की value है, नहीं होगी, जहां है 1 होगा, इसे repetitively, pattern में आपको values मिलती चली जाएंगी, यह many to one function है, अगर आप चीज़ें और अच्छे से सोच पा रहे हैं, तो, जैसे अगर मैं लिखता हूँ, सर, sin x की value कब-कब minus 1 होगी, तो मैं कहूँगा देखो आप खुद pattern देख पाओगे इस बार समझो 3 x 2 आप सुन रहे हैं क्या 3πi2 मतलब क्या, अब देखो, 3πi2 के बाद यहाँ पर क्या आ रहा होगा, 7πi2, आप देख पा रहे हो अगर मैं कुछ कहना चाहूं तो, जैसे यहाँ पर क्या है, minus πi2, अगर अभी इसको negative पाट हो लेकर confused भी हो, तो 3πi2, 4 के terms में सोचो, पहली बात तो, पi2 के सारे कैसे odd multiples हैं, क्योंकि पi2 का even multiple होगा, तो वो कुछ ऐसा बन जाएगा, I hope आप समझ पारे हो, तो पi2 के odd multiples कैसे होंगे, या तो, 4 के multiple से 1 कम होंगे, या 4 के multiple से 1 जादा होंगे, sorry, I hope आप मेरी बात सुच पारे हो, तो यहाँ पर 4 के multiple से 1 जादा है, तो यह कैसे multiple है, 4 के multiple से 1 कम, और 4 के multiple से 1 कम होना मतलब क्या, मतलब 4n-1 form है, क्या आप मेरी बात से सामना थे, तो जैसे यहाँ पर, यानि 4 के multiple से कैसे, 4 के multiple से 1 कम, यानि I hope अब आप ऐसा मुझपा रहे हो, और इस तरीके से n जो है वो आपका क्या है यहाँ पर integer, क्या यह patterns आप देख पा रहे हो, जैसे for example कल को मुझसे किसे ने पूछा होता, कि sin x, x की किन-किन values के लिए positive है, x की किन-किन values के लिए negative है, जैसे for example, मुझे कोई पूछता कि सर sign x जो ��ै वो positive है तो मैं क्या कहता मैं कहता सर ये x की इन values के लिए positive जैसे pattern आप recognize करना आपको click करेगा देखो सर minus 2 pi से minus pi आप सुन रहे हैं क्या जैसे की 0 से π, 2π से 3π, मतलब सर, π के even multiple से π के odd multiple तक, π के even multiple से π के odd multiple तक, पि के even multiple से पि के odd multiple तक, मतलब अगर मैं इसे simple सी language में conclude करूँ, पि के even multiple से लेके पि के odd multiple तक, तो मैं क्या कहूँगा, मैं कहूँगा सर, पि का even multiple मतलब क्या, 2n पि, और पि का odd multiple क्या, वो हो जाएगा 2n प्लस 1π, तो इस दर्मियान, यहाँ पे of course n क्या है, n कोई भी integral value है, आप n की कोई भी value रखे, जैसे कि मान लो 0 रखा, तो यह हो गया 0, यह हो गया 1, तो देखो 0 से πाई, आप समझ पारे हो, अब 0 से पाई, अच्छा, इस तरीके से अगर कोई भी zone में चुन लू, तो उस zone में आ� करता हूं इसी बात यह क्या लिख रहा हूं मैं यह लिख रहा हूं जैसे कुछ वैल्यूज आती चली जा रही है यूनियन फिर आप क्या लिख रहे हैं तो आप लिख रहे हो माइनस टू पाइस से माइनस पाइस फिर माइनस पाइस जीरो तो लोगी नहीं हमें पास कुछ सेम पैटर्न दिख रहा है, जैसे कि मुझे कुछ सेम पैटर्न दिख रहा है, कैसा दिख रहा है, जैसे कि let's say दिख रह 1 square, plus 2 square, plus 3 square ऐसा दिखता चला जा रहा है, तो मैं क्या करता हूँ, मैं एक simple सी बात लिख देता हूँ, इस summation को मैं क्या लिख देता हूँ, इस summation को मैं लिख देता हूँ कि sir, आपने कोई एक value लिए है, जिसका आप square कर रहे हो, तो आपने कोई एक value लिए है, जिसका आप square कर रहे हो, जिसका आप square कर रहे हो, और उसका आप sum करते चले जा रहे हो, लेकिन वो value जो है, वो आपकी 1 से शिरू हो रही है, मतलब पहले रही वो 1 square, फिर 2 square, फिर 3 square, इसी तरीके से अगर product होता कहीं, product कैसे होता है sir, जैसे product लिखा होता है आपका क्या, वो लिखा होता है let's say 1, into 2, into 3, ऐसा लिखा होता है ना कहीं तक तो उस product को ही लिखने का एक और तरीका क्या होता है जैसे अभी बीच में sign, sum था तो हमने summation sign लगा है अभी बीच में multiplication sign है तो multiplication के लिए हमारे पास कौन सा symbol reserved है? पाई तो आप क्या कर रहे हो? एक number का multiplication कर रहे हो लेकिन वो number कैसा है sir?

वो number आपका जो है वो 1 से शुरू हो रहा है यह mathematical expressions हैं जैसे यहाँ पर मेरे union में मुझे एक pattern दिखाई दिया, मुझे union में एक pattern दिखाई दिया, union में क्या pattern दिखाई दिया, कि pi के किसी even multiple से odd multiple तक जाना है, तो मुझे क्या करना है, मुझे union लेना है, अच्छा, मुझे union कैसा लेना है, मुझे n की value, कहां से शुरू हो रही है, n की value आपकी, एक integer है, मैं न जहाँ पर of course मैं जान पा रहा हूँ n क्या है integer और इन सब pairs का मुझे क्या लेना है union अगर आप मेरी बात थोड़ी बहुत समझ पा रहे हो तो क्या ये बात अच्छे से clear हो रही है बहुत sorted से manner व ये जो है आपने क्या लिया है, ये आपने Union लिया है, बहुत confusing जो नहीं है, Union पे भी आप sample लिख सकते हो, बर ये sorted सा है, सारे, you know, even से odd, even से odd पाई के multiple सक, तो वो हमने यहां लिखी दिया है, और n को define कर दिया है, तो इन सब का क्या लिना है, Union, क्या ये बात आपको समझ आ रह कि sin x की value कब negative है, बस सवाल है, बाते हैं, जो निकल कर आ रही हैं, तो sin x की negative value कब है, सर उल्टा, जब वो pi के odd multiple से, pi के even multiple तक जा रही है, देखो ना, पाई के odd multiple से, pi के even multiple तक जा रही है, तो इस case में मैं क्या कहता, इस case में, अगर मुझसे कोई कहता कि sin x जो है आपका सर वो let's say negative है तो मैं किसके लिए कहता हूँ वो x की values मुझे दिख रही होती है सर कैसी I hope आप मैं directly answer लिख सकता हूँ मैं क्या लिखूँगा union ले लेना है मुझे किसका pi की odd multiple से याने क्या अब और multiple में थोड़ा ध्यान रखना है ना, जैसे कि आप ये मत कहते हैं ना, जैसे कि मैं लेता हूँ, जैसे 2n-1 times πाई, सुनिएगा देन से, और क्या, 2n पाई, है ना, आप ऐसा नहीं लिख सकते हैं, 2n plus 1 पाई से 2n पाई तक, उसमें तो आप ऐसा लिख दे रहे हो, 5 पा एंपाई तक नहीं लिखोगे, वरना आप मिथमाटिकली उसे गलत लिख रहे हो, क्या आपको ये बाते समझ आ रही हैं, बहुत confusing तो नहीं है, एक important बात हम miss कर रहे हैं, वो क्या, कि अगर कभी भी कोई कहे कि sin theta sin alpha के equal है, पहली बात तो हम इसे sin c minus sin d के formula से prove करेंगे, जो कि हम trigonometric equations, trigonometric functions पढ़ते हैं वक्त, formula जब discuss करेंगे, तब करेंगे, पर अभी मैं graph के थरू एक हलकास idea है न, कोई value हमसे उठा कर कही, कि सर, ये जो value है, ये theta की है, x की है, इन values के लिए value होगी, तो मैं कहूँगा, सर देखो, simple सी बात है, आप बताओ, ग्राफ में वो कहां मिल रही है, तो जैसे यह रही वो value, फिर वो यह रही value, है न, फिर वो value यह रही, इसी तरीके से, वो value आपको यहां कहीं मिलेगी, फिर वो value आपको, तो पहली बात तो, कोई भी अगर value है, तो periodically वो मिलती चली जाएगी, को मुझसे कहे कि आपका जो sin x है वो sin alpha के equal है तो मैं बस ये तो नहीं कहूँगा कि x जो है alpha के equal है इसके अलावा x और भी कहीं सारी values ले सकता है तो और क्या values ले सकता है जरा उस पर बात करते हैं सर देखो पहली बात तो हाँ यहाँ पर जो value मिलनी है, वो तो वही होगी, क्या alpha, the smallest possible value between minus pi by 2 and pi by 2, but आप समझो ना बात को sir, can I say कि अगर ये distance alpha है, तो technically ये distance भी तो alpha है, तो shall I say ये total distance pi है, ये alpha है, तो ये कितना होगा, ये होगा pi minus alpha, बस एक pattern आपको दिखाना चाहूँ, same technically ये जो distance है, ये भी तो अलफा है पर ये 3 पाइस अलफा पी तो यह point क्या होगा, यह point हो जाएगा 3π minus α. Do you all agree with what I am trying to convey here? मैं simple सी बात कहा रहा हूँ कि sir, πाई के odd multiple से alpha distance आगे जाओ, और पाई के even multiple से alpha distance पीछा हो, और इसको लिखने का तरीका है, आपके पास पाई का कोई ना कोई multiple है, अब अगर वो odd है, तो subtract करना है, यह formula कैसे बन रहा है, कि इसका graphical explanation समझ आ रहा है, मैं mathematical explanation दूँगा, लेकिन जब हम trigonometric equations पढ़ेंगे, जाए उतना समझाने के लिए ये एक formula हमारा बना है मैंने अभी सिर्फ आपके सामने sin x को प्रस्तूत करने की कोशिश किये और समझाने की कोशिश किये कि sin x कैसे behave करता है कब वो greater than 0 होगा कब वो equal to 0 हो जाएगा कब वो 1 होगा कब minus 1 होगा sin x sin alpha के तो पूरे mathematics में आपको trigonometry से related बातों को लेकर तो कोई जादा तरह तरीके से परिशान नहीं कर पाएगा कुछ भी सोचना होगा ना, आप इस तरीके से सोच पाएंगे, और ये सारी बाते कहां से हमने निकाली, ये सारी बाते ग्राफ से निकाली, तो इनकेज सर, मुझे ये सब रटना पड़े मैं कहूँगा, फटाफट कहीं भी फसो, तो फटाफट ग्राफ बना लो, ये ग्राफ आइडिया रहना चाहिए, मैं कह साथ दक्ता हूँ कि साइनिक्स 0 से 5 होता है, कॉसिक्स 0 पर 1 हो जाता है, बस इतना सा फर्क है, कॉसिक्स का भी 2 मिनिट में मिल जाएगा, और उसमें भी तो इसी से हमने सारी चीज़े बिल्ड करी हैं और कुछ बातें उसने कही कि हमने observe किया कि sin x कैसा function है एक periodic function, periodic function का मतलब वो बार अपनी बात को दोहराता है अपनी बात को repeat करता है जैसे कि अगर मैं आपसे कहूँ तो देखो सर जो value minus pi by 2 से pi by 2 तक मिली वो वापस वही सारी values वापस आपको मिलेंगे आप देखो ना जो minus pi by 2 से pi by 2 तक आपको वाल्यूज मिली, वही वाल्यूज आपको वापस मिलीगी, इसी कौन सी वाल्यूज जो नहीं मिल रही है, आप देखो, पाई बाई टू से थी पाई बाई टू तक वापस आपको सारी वाल्यूज मिल रही है, मतलब ये अपने आपको रिपीट करता है, दोहराता है, minus pi by 2 से pi by 2 तक का, ये zone बार repeat होता है, ये part बार repeat होता है, और अगर थोड़ी सी confusion है, तो मैं इसको ऐसा भी लिख सकता हूँ, minus pi से pi वाला हिस्सा, उठा के बार replace करो, अब देखो ये वाला हिस्सा, अगर और clarity के लिए, मैं समझाओ, I'm really sorry, minus 5 से plus 5 तक का हिस्सा, यह हिस्सा आप देखो, यह पकड़ के चलो आप, यह हिस्सा उठा लो आप, यह हिस्सा बार-बार उठा-उठा के रखो, रिप्लेस करते जाओ, यह बस यही बनता चला जाएगा, कि आप मेरी इस बात से agree करते हैं, I hope आपको बाते समझ जा रही हैं, जो मैं कहना, समझाना, या बोलना चाहरो, है न, तो इस तरीके से फंक्शन चलता है, और यही बातें यहाँ पर लिखनी की कोशिश कर रहा है, कि यह minus पाई से पाई तक का यह जो zone है, यही बात iterate होती है, पाई से 3 पाई में भी यही same zone iterate हो रहा है, minus आपका क्या, 2 पाई से, minus 3 पाई से minus पाई के लिए भी चीज़ें वैसी ही repeat हुई है, तो क्या आपको यह बात clear हो रही है, कि बात बस इतनी सी है, कि यह अपने आपको बार दोहराता है, repeat करता है, यह एक iterative, यह एक periodic, यह एक recurring, यह एक repeating function है, याद रहेगा, और वो किस length को repeat करता है, 2 पाई length को, हम इसे क्या कहेंगे, इस function का period. हम periodic function explicitly discuss करेंगे, but चुकी अभी हम trigonometric function discuss कर रहे हैं, तो ये बात निकली है, तो discuss कर लेते हैं, क्योंकि graph के तरू इसे observe करना बड़ा आसान है, ना? एक और बात आप ध्यान से रखेगा, या, कि कोई भी curve, अगर कोई भी curve origin के respect में symmetrical हो, तो ऐसे function को हम odd function कहते हैं.

कि अगर उसमें मैं x की जगे minus x पास करूँ, तो अगर मुझे minus f of x मिल जाए, तो हम उसे odd function कहते हैं, तो कुछ तो भी पढ़ा रहे हो, मेरे आइकिन करिए, even function और odd function explicitly पढ़ेंगे, पर चुकी अभी बात निकली है, और ये बाते अगर अभी ही कर ली जाएं, तो और अच्छा रहेगा, तो trigonometric function एक odd function है, यानि कि अगर मुझे कभी कोई पूछे, sin minus let's say pi by 3 की value, तो मैं कहूँगा कुछ मत सोचिए, आप minus sin pi by 3 की value निकाल लीजे, ये एक ही बात है. इसको कहने की वजह, ग्राफिकली अगर मैं बोलू, तो जैसा origin के इस तरफ बन रहा है, वैसा ही origin के इस तरफ बन रहा है, जैसा origin के इस तरफ ग्राफ बन रहा है, वैसे इस तरफ बन रहा है, मतलब अगर origin के respect में कोई ग्राफ symmetrical है, तो उस function को हम कहते हैं एक odd function, याद रहे कि x की multiple values मिल रही हैं, मतलब x की multiple values के लिए y की एक single value exist करती है, और यह होगा क्योंकि यह periodic function है, तो this is quite evident and apparent that this is going to be a many one function, technically सच कहूं तो सारे ही trigonometric functions आपके periodic और many one होते हैं, और वो even और odd में भी लगभग सारे ही categorize किया जा सकते हैं, और सब कुछ ही किया जा सकता है, क्या बात आपको समझ जाएगी, sign x को लेकर हर एक बात clear है क्या, अगर sign x समझ आये, तो move करते हैं, अब हम क्या होगा, किस पर, कॉसेक्स को लेकर जब मैं सारी बाते करूँगा, तो मैं फिर से यही एडिया लूँगा सर, कि एक काम करते हैं, बनाते हैं कॉसेक्स का ग्राफ, ताकि सारी चीज़ें क्लियर हो जाएं, कॉसेक्स के ग्राफ में चीज़ें बहुत मुश्किल नहीं है, तो sin x का ही ग्राफे याद रखेगा सेम चीजें वही हैं, sinusoidal way है बस इस function में चीजें थोड़ी सी shift हो जाएंगे गौर से सुनियेगा इस बार चीजें आपकी कुछ ऐसी चल रही होंगे बहुत अच्छा तो नहीं बना है मतलब अच्छा मतलब अगर मैं symmetry ढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूंढूं� तो मैं कहूँगा ये minus 1 से 1 तक होता है क्या आप मुझे इस बात का जवाब दे सकते हैं कि cos x का mod कहां से कात होगा सर साफ बात है अगर आप cos x का mod पूछें या फिर आप cos x का square कर दें ये तै बात है कि ये आपकी हमेशा कहां से कहां तक होगी ये value आपकी हमेशा 0 से 1 तक होगी क्योंकि अब आपने सारी minus 1 से 0 की value को आपने 0 से 1 में convert कर दिया है अब क्या मैं इस graph को लेकर थोड़े points आपको denote करता हूँ ये मैंने कहीं बार बनाई बनाया है तो मुझे यह भी याद हो जाएगा कि इस तरीके से चलता है पाई बाई टू है ना यह होता है पाई, यह हो जाता है आपका थ्री पाई बाई टू, यह आपका होता है टू पाई, और यह क्या हो जाता है भी आपका फाई बाई टू, इस तरीके से चल रहा होता है, है ना यह हो जाता है आपका minus pi और यह होगा कि आपका minus 3 pi by 2, आप एक बहुत ही अच्छी चीज़ यहाँ पर देखेंगे, और बस वही चीज़ आपकी help करेगी चीज़ों को workout करने में, जैसे फिर से वही बात, अगर मैं आपसे पूछूं, कि यह कहां 1 होता है, तो आप कहेंगे सर देखो 0, 0 के बाद 2π, यह आपको दिख रहा है, जैसे कि 0 से पहले minus 2π, तो मैं कहूँगा, जब-जब मुझे कोई कहे कि cos x बताओ, कब-कब क्या होता है, 1, तो मैं कहूँगा, cos x अगर 1 होता है, तो यह कब-कब होता है, तो जब-जब x जो है आपका, किस category का हो, तो पाई का कोई even multiple, क्योंकि देखो ना 0, 0 के बाद 2π, तो पाई के सारे even multiples पर, even multiple मतलब क्या, पाई के सारे even multiple मतलब, 2 in π category, जहाँ पे of course आपके है जो n है, ये क्या है, ये n जो है सारे, ये क्या है integers, कोई परिशानी तो नहीं है इस बात से, है न, इसी तरीके से, अगर मुझसे कोई पूछता कि सर cos x कब minus 1 है, cos x आपका कब minus 1 है, तो फिर से pattern आप notice करिए, minus 1 कब है, सर देखो, πाई x कैसा है, pi का कोई odd multiple, अगर ये pi का कोई odd multiple है, तो definitely आपके पास, जो ये category है, 2n plus 1 times pi, इसमें cos अगर आप pass करें, तो definitely वो क्या होगा, minus 1, कोई परिशानी, अच्छा, similarly अगर मैं पूछू, sir, cos x 0 कब-कब होता है, तो I think ये भी आप कह सकते हो, sir, cos x के 0 होने को लेकर भी, जादा कोई संदेह नहीं है, cos x 0 कब-कब हो रहा है, गौर से देखो, sir, cos x 0 होता है कब, minus πi by 2 पर, 3 πi by 2 पर, 5 πi by 2 पर, मतलब एक मज़ज़दार सी बात है सर, πi by 2 के सारे odd multiples पर, πi by 2 का even multiple अगर हुआ, तो वो तो πi 2 πi ऐसा भी बनने लगेगा, तो मैं क्या कुछ कोई रेंडम multiple नहीं लेना है, पi by 2 का एक odd multiple लेना है, तो मैं कहूँगा कि जब x जो है आपका, वो πi by 2 का एक odd multiple है, वो जब πi, बाई 2 का एक odd multiple है, तो उस case में आपको cos x क्या देगा, 0 values, I hope यही सारी values यहां लिखी हैं, देखो cos x 0 कब है, जब पाई बाई 2 का odd multiple है, cos x 1 कब है, जब पाई का even multiple है, और cos x minus 1 कब है, जब पाई का odd multiple है, odd multiple है, ये तीनों बातें समझ जाएं, और ये सारी बातें I hope हम discuss कर चुके हैं, अब आता हैं कुछ काम की बातों पर, पहली बात तो sir, cos x, cos alpha के, कब equal होता है, जरा गौर से देखेंगे, आप खुद कहेंगे कि हाँ sir, ये सही बात है, और इसका एक कारण है, cos x का एक even function होना, sir खुद कहेंगे कि सर वो तो ढूंढना आसान है, क्यों आसान है क्योंकि समझो, जैसे कि मालो यहाँ पर एक value है, मैंने एक value ढूंढनी चाही यह, और यह जो distance है, let's see यह क्या है, यह है alpha, मलब कोई मुझसे कह रहा है कि cos x जो है, वो cos alpha के equal है, कोई मुझसे कहता है कि cos x जो है, वो cos alpha के equal है, तो क्या आप कहेंगे कि x alpha के equal है, जी नहीं, x alpha के बेशक equal होगा, पर chances हैं कि कुछ और भी हमें मिले, जैसे यह distance अगर मैं आपसे मांगू, तो ये distance भी आप कहते है alpha symmetry है जैसा ये अदर जा रहे है वैसे अदर जा रहे है पर ये point distance wise भली ये alpha हो पर ये point क्या होगा ये होगा minus alpha ये होगा plus alpha आप मेरी बात समझ पा रहे हैं क्या अच्छा similarly अगर same logic से मैं आप से बात करूँ तो गौर से देखो ये जो point होगा जैसे 0 से alpha distance आगे और alpha distance पीछे मुझे point मिले ऐसे ही 2 pi से alpha distance पीछे मतलब 2π minus α, और 2π से α distance आगे, मतलब, 2π plus α, पर मुझे point मिलेगा, and same is going to happen here as well, मैं आपसे कहना चाहूँ, कि जो πाई के even multiples हैं न, जो पाई के even multiples हैं, उनसे alpha distance आगे, और alpha distance पीछे आपको सारे points मिलेंगे, आप मेरी बात समझ पारे हैं क्या, और n क्या है यहाँ पर वापस, n जो है आपके कोई भी integral, integer value है, बहुत complicated तो नहीं हो रहे, मैं कह रहा हूँ, मैं ऐसे trigonometric function जब हम पढ़ेंगे, तो cos c minus cos d के formula से भी prove करेंगे कि ऐसा क्यों हो रहा है, यहाँ सर 1 का बोता है, minus 1 का बोता है, 0 का बोता है आप कुछ generalize करके कहा दो कि इसके लिए बहुत ज़्यादा मेहनत आपको नहीं करनी पड़ेगी हैना, अब अगर मैं बात करूँ सर कि cos x आपका कब positive और कब negative होता है तो वापस आप ये बात निकाल सकते हैं सर cos x को लेकर, अगर मैं positive होने को लेकर आपसे बात करूँ minus 5 by 2 से 5 by 2 फिर 3 5 by 2 से 5 by 2 तो minus 5 by 2 से 3 5 by 2 मतलब opinion sorted है, opinion क्या है sir, कि अगर मुझसे कोई पूछे, कि cos x का positive है, मैं equal to 0 नहीं कह रहा, मैं कह रहा हूँ, cos x का positive है, यानि greater than 0 है, तो मैं कहूँगा, x की कैसी values है, x की वो सारी values, जो की कैसी है, ध्यान से देखो, pi by 2 के multiples हैं, तो पहली बात हो, 4 in plus minus 1 वाली form में होगी, पर ये कैसी form है, 4 in minus 1, और ये क्या है, 4 in plus 1, 4n-1 times πy2 से कहा तक? 4n plus 1 times πy2 तक का. क्या है कहानी, sorted, सुल्जिवी सी समझ आ रही है आप सभी को, इसमें कोई doubt, कोई दिक्कत, I hope नहीं है, इसी तरीके से, in case मुझे कोई पूछता, कि cos x कब negative है, जरा बताओ सर, तो मैं क्या कहूँगा भी, कि cos x जो आपका negative है, वो क्या होगा, गौर से सुनना, cos x जो negative है, फिर स वाले version से 4n-1, लेकिन गडबड कुछ है सर, गडबड क्या है सर, पहले से इस वाले part को देखो, इसको आप समझ पारे हो, कि हमने 4n-1, पाई बाई 2, एक सिकेन है, मैंने कुछ तो गलत लिखा है, अच्छे इसने उसको 2n-पाई से, पाई बाई 2 सब्टरक्ट और आड़ करके लिख दिया है, ठीक है, उसने क्या है, जरा मैं आप से वो बात कर लेता हूँ, सुनना, उसने बोला, कि आपको क्या चाहिए, है तो यह minus pi by 2 यह pi by 2 तो sir minus pi by 2 से pi by 2 तो मिल जा रहा है बिल्कुल सही बात है जैसे मैंने n की value क्या ले ली यह 1 जैसे मैं n की value 1 ले लेता हूँ तो 1 लेती क्या हो जाता है यह हो जाता है 3 pi by 2 और यह क्या हो जाता है 5 pi by 2 उसने क्या किया pi by 2 को अंदर multiply कर दिया है तो 2 से 2 cancel तो 2n pi minus pi by 2 2n pi plus pi by 2 sorted है लेकिन अब जब मुझे यह लिखना है कि cos 6 कब negative है तो ज़रा आप इस zone को थोड़ा observe करो तो पाई से, देखो इसको मैं कैसे लिखता हूँ, मैं पाई का एक odd multiple डूंड रहा हूँ, और उसमें पाई by 2 subtract कर रहा हूँ, और उसमें पाई by 2 add कर रहा हूँ, आप सुन रहे हो क्या, मैं क्या कर रहा हूँ, मैं union ले रहा हूँ, और इसको मैं generalize करके भी लिख दूँगा, 2n plus 1, आप सुन रहे हैं क्या, उसमें से हम पहले क्या करेंगे, उसमें से हम पहले pi by 2 subtract किया, तो 2n plus 1 में से मैंने क्या किया, pi by 2 subtract किया, आप सुन रहे हैं क्या, बहुत simple सी बात है, कोई परिशानी तो नहीं है, और इसी तरीके से, मैं क्या करूँगा, इसी तरीके से, मैं एक और काम करूँगा कि उसी odd multiple में से है, of course यहाँ पर यह जो आपके n है, वो कोई भी integer है, जो n है आपका, वो कोई भी integer है, उसी तरीके से pi by 2k, मतलब I'm really sorry, पाई के है न, यह जो है, यह 2n plus 1 times पाई है, मुझे यहाँ पर पाई भी लिख लेना चाहिए, मैं यहाँ पर लिख देता हूँ, कोई परेशानी तो नहीं है, मतलब इससे थोड़ा साफ ही लिखें तो अच्छा है, आपको परेशानी नहीं होगी, नियान से सुनेगा, अगर इस बात को इतने complicated manner में लिखते हुए न के बजाए मैं इसे और साफ तौर पर लिखा तो देखो यह बन जाएगा 2n pi फिर यह होगा pi, pi minus pi by 2 तो यह क्या हो जाएगा, यह हो जाएगा 2n pi plus pi by 2 इसी तरीके से यह हो जाएगा कितना 2n pi plus pi by 2 तो यह क्या हो जाएगा 2n pi plus 3 pi by 2 मतलब आप इसे चाहते तो और साफ भाषा में 2n pi plus pi by 2 और 2n pi plus 3 pi by 2 भी लिख सकते हैं सकते थे, लेकिन मैंने यह इस तरीके से लिखा, जो तरीका आपको उसने यहाँ पर इस तरीके से लिख कर दिया है, खेर यह उसने सिर्फ greater than 0 के लिए बनाया है, हमने less than 0 के लिए भी बना लिया है, इसके अलावा इसको लिखने का और भी दूसरा तरीका हो सकता है, जब मैं pi और आप Union ले रहे हो, Union किसका ले रहे ह आप ले रहे हो, देखो, पाई अंदर multiply किया, तो 2n पाई, plus पाई, minus पाई बाई 2, पाई, minus पाई बाई 2 कितना, पाई बाई 2, तो यह कितना हो जाता है, यह हो जाता है, 2n पाई, plus पाई बाई 2, तो इस category से, आप देखो न, 2n पाई, जो आपका है, 2n पाई, plus 3 पाई बाई 2 तक, 2n पाई, plus, पाई प्लस पाई बाई टू, that is कितना, that is 3 पाई बाई टू, खेर, दोनों तरीके आपके वाज़िब हैं, दोनों तरीके जायज हैं, जो आपको ठीक लगे, जैसा आपको ठीक लगे, हमने point of reference अपना क्या माना है, 2 इन पाई, जैसे अगर कोई कहता, cos 6 जो है आपका, वो greater than 0 हो, तो यह जाएगा 2n पाई, minus पाई बाई 2, देखो ना, 2n पाई, minus पाई बाई, by 2, 2 and pi plus pi by 2, तो हमने point of reference अपना क्या मान लिया है, हमने point of reference अपना मान लिया है, कि सर ये जो है, ये तब होगा, जब x जो है आपका, किसे belong करें, union ले लो आप, n सारे integer value ले लो, कहां से कहां तक, 2 and pi में, से pi by 2 subtract करो, और 2 and pi में, और 2 and पाई में आप पाई 2 आड़ करो। इस तरीके से अगर आप union लेते हैं तो बेशक ये जो zone है आपका, ये हमेशा आपका एक positive value देगा cos x की। बहुत confusing तो नहीं हो रहा है। I hope चीज़ें समझ आती चली जा रही हैं। Even personally सच कहूँ तो मैं कभी इन्हें याद नहीं करूँगा। और समझूँगा कैसे हर बार cos x का graph बनाकर। वो सभाविक है कोई बुराई नहीं है इसमें बुक में अगर यह दिया है तो आपका क्या बन सकता है आपका एरिजिडल बन सकता है जो कि बिल्कुल सही है डिपेंड्स आप चीजें बना लाएं आप आंसर ले आप मैच कर लेंगे ऑप्शन देखकर क्या यह पैटर्न समझ पता है, तो आप बहुत आसानी से trigonometric functions पर waste questions को crack कर लेंगे और सोच पाएंगे आगे बढ़ते हैं, next graph हमारे 10x की तरफ जाते हैं cos x के किसी भी part में कहीं पर भी कोई doubt, I hope नहीं होना चाहिए next part पर अगर हमें move कर लो, next part जो निकल कर आता है, यह पहली बात तो है, even function, even function का मतलब होता है, कि अगर y axis के respect में कोई graph symmetric कर ले, देखो जैसा यह इदर बन रहे है, वैसा ही πाई बाई 2 से माइनस 3 पाई बाई 2 इदर बन रहे है, तो अगर y axis mirror image की तरह काम करे और जैसा ग्राफ इदर बन रहे है, वैसा ही इदर बने तो इस तरीके के function कम क्या कहते है even function और even function की खास बात क्या होती है अगर मैं उन में minus x pass करूँ x की जगे, तो वो आपको वही x दे देंगे, जैसे odd function में हम रख रहे थे, sin में minus x तो minus sin x बन रहा था, even function की खास बात क्या है, उसमें आप cos minus x को cos x ही बनता पाएंगे, यहाँ बहुत खुबसुरत सी बात है, जैसे जो cos 30 होगा, वही आपका cos minus 30 होगा, कि cos minus 5 by 6 कितना होगा, आप अगर cos 5 by 6 निकाल सकते हैं, खेर यह सारा discussion, periodicity के कारण कैसे pattern बनाया जा सकता है, प्रिग्नोमार्टरी में पढ़ेंगे, क्वाडरेंट थियोरी के थूब हम सारी चीज़ें डिसकस करेंगे, पर मेरा मानना है ये बात आपको समझ आ रही है कि ये कैसा फंक्षन है, ये एक एवन फंक्षन है, आई हॉप आपको दिखी रहा है कि ये एक मैनी वन फंक्षन है, की बात करो, तो फिर से देखो आप इसका period 2π पाएंगे, क्यों पाएंगे सर, simple सी बात है गौर से देखो जो कहानी 0 से 2π तक चली, वही कहानी वापस बार उठा के रख दी जाए तो वो अपने आपको repeat कर रहा है यह function भी कैसा है, periodic और cos x function के period के अगर मैं बात करूँ तो इसका period प्रियोड क्या होता है, इसका भी प्रियोड आपका 2π होता है, तो पहली बात तो याद रखेगा, आपके सारे ट्रिक्रोमाटरिक फंक्शन्स एक प्रियोडिक फंक्शन ही हैं, और कॉसिक्स और साइनिक्स दोनों का प्रियोड आपका 2π होता है, ये बात प्लीज याद र symmetrical है, तो हम ऐसे functions को even function कहते हैं, इसा हर function के लिए true है, कोई भी function अगर origin के respect में symmetrical है, तो वो एक odd function, और कोई भी function अगर y axis के respect में symmetrical है, तो वो एक even function होता है, दूसरी बात, many one तो यह है, क्या यह बात आपको समझ आई, move करते हैं, अब हम 10x पर, 10x के graph को लेकर थोड़ी सी clarity लेत और चीज़े समझते हैं, गौर से सुनियेगा, मज़ज़दार सी चीज़े हैं, आप बहुत खुबसुरत तरीके से चीज़े बनती हुई, होती हुई देख पाएंगे, है न, गौर से सुनते जाएगा, और चीज़े समझते जाएगा, काफी सारी मज़ज़दार चीज़े अ वा एक्सिस तो एक ही है बस ये कुछ लाइंस वैने खीची हैं जब कुछ मेरे कुछ परस्टनल कारणों की वज़ास से खीचें और आप भी ये बात समझ जाएंगे कि ऐसा करने के पीछे वज़ा क्या है जैसे ये रहा है आपका वा एक्सिस अगर कोई कंफ्यूजन है तो x-axis और इसे मान लेते हैं 2000-2000 तो ये मान लेते हैं x क्या बोल रहो हूँ, I'm really sorry ये क्या है आपका y-axis अब सुनते जाएगा, 10x का ग्राफ बड़ा खुबसूरत सा ग्राफ है, ये पहली बात तो periodic function है, मैं क्यों बना पा रहा हूँ, क्योंकि मुझे याद फिर यह होता है आपका क्या, 3 पाई बाई 2, है न, कुछ तो मैं गडबड कर रहा हूँ, है न, मैं बजाए इसके इसको ऐसा ले लेता तो जादा अच्छा रहता, पर चुकी अब बना लिया है, तो ऐसा ही बनाते हैं, और इन चीज़ों को थोड़ा अगर shift कर दें, तो कर ले और अगर यह होगा पाई, तो मैं इस पार्ट को थोड़ा सा shift करके यहां ले आता हूँ, अगर आपको कोई आपत्ती ना हो तो, और इसी जरीके से इस वाले पार्ट को भी थोड़ा सा shift करके मैं यहां ले आता हूँ, अगर आपको कोई परिशानी ना हो तो, I hope आप लोग सु प्लस 3 पाइ बाइ 2 होगा, क्यों कर रहा हूँ ये सब आप समझ जाएंगे, बस थोड़ा पेशनस रखेगा और चीज़े धियान से सुनते चले जाएगा, जैसे ये ग्राफ आप ड्रॉप करेंगे, तो ये 0 पर 0 होता है, और जैसे आप पाइ बाइ 2 जग जाते हो, तो अपने आपको दोहराएगा, सेम जैसा 0 और पाई पर है, वैसे ही माइनस पाई पर होगा, माइनस पाई से माइनस पाई बिट होता है कि अपने आपको इंफिनिटी के तरफ जा रहा होगा, और माइनस पाई से अगर माइनस 3 पाई बिट तरफ, नेगेटिव साइड आकर आप पाई, अगली बार 2 पाई, फिर minus पाई, इन सब पर 0 होगा, अच्छा इन सब से पहले, कब 0 कब क्या नहीं होगा, आपके ये x-axis पर x की हर values के लिए exist करता है, except for कुछ values पर नहीं करता है, जैसे देखो सर, तो ये जो ग्राफ है ये infinity की तरफ जा रहे है लेकिन पाई बाई 2 पर ये infinity की तरफ approach करता है तो पाई बाई 2 पर ये exist नहीं करता है minus पाई बाई 2 पर आप इसे ढूढने के तरफ minus infinity की तरफ जाता हो दिखेगा इस तरफ से मतलब minus पाई बाई 2 पर भी exist नहीं करता है 3 पाई बाई 2 पर भी नहीं करता है minus 3 पाई बाई 2 ये पाई बाई 2 के किसी भी odd multiple पर ये exist नहीं करता है अगर मुझसे आप इसका domain पूछते हैं, तो मैं क्या कहता?

मैं कहता सारे real numbers, minus infinity से सारे, plus infinity से सारे real numbers. लेकिन इसमें किस तरह के numbers मैं नहीं लोगा? मैं इसमें से आपके ये सारे numbers अठा दूँगा.

किस तरीके के? जो आपके pi by 2 के कैसे multiple हो, जो आपके pi by 2 के odd multiples हो. वो सारे numbers जो pi by 2 के odd multiples हैं, जहाँ पे n क्या हो भी? जहाँ पे n एक integer हो. ये सारे numbers को मैं real numbers में से अठा दूँगा.

अदलब, pi by 2, minus pi by 2, 3 pi by 2, minus 3 pi by 2. 5π by 2, minus 5π by 2, 7π by 2, minus 7π by 2, यह सारे numbers होने होगे, क्योंकि इन पर इसका वजूद नहीं है, यह क्यों नहीं है, जब हम trigonometric functions पढ़ेंगे, जब हम sinx upon cosx करेंगे, तो आपको देखाएंगे, कि जब-जब cosx आपका 0 होता है, तब-तब यह function problem create करता है, मैं y-axis पर read करता हूँ, तो y-axis पर मैंने देखना शुरू किया सर, तो यह ग्राफ minus infinity से plus infinity तक exist करता है, कहीं पर भी यह ग्राफ break नहीं हो रहा है, देखो न, minus infinity से लेकर मैं plus infinity तक जा पा रहा हूँ, तो y-axis पर यह सारी real values ले रहा है, तो मैं कहूँगा minus infinity से plus infinity, अब अगर मुझसे कोई कहता है कि 10x जो है सर, वो 0 है, अगर मुझे कोई कहता है कि 10x जो है वो 0 है तो मैं क्या कहूँगा भाई? मैं कहूँगा साफ बात है ये x की किन values के लिए 0 है? तो आप देखें सरा ये x की किन values के लिए 0 है? सर 0 के लिए, pi के लिए, minus pi के लिए, मतलब pi के सारे multiples के लिए मतलब मैं क्या कहूँगा x जब pi का कोई multiple हुआ x जब pi का कोई multiple हुआ तब आपका expression कैसा हुआ?

तब आपका 10x जो है वो 0 हुआ और क्या, और अगर मैं आपसे पूछूं, ये कब positive है, तो 0 से बड़ा कब है, आप देख पारे हो, मैं बहुत आराम से conclude पर कुछाओंगा, कि 0 से pi by 2, pi से 3 pi by 2, यानि मैं ऐसा कहूँगा, कि pi के multiple से pi by 2 आगे और उसको बढ़ा दो, मतलब मैं एक बहुत सामाने भाषा कि 10x कब positive होता है, तो 10x कब 0 से बढ़ा है, तो मैं कहूँगा x की वो सारी values, कैसी, पाई के किसी भी multiple से आप उठाईए उसे, है न, पाई के किसी भी multiple से आप उसे उठाईए, और उस multiple में क्या add कर दीजे, उस multiple में आप पाई by 2, रखा तो वन से तक मतलब पाई से तक I hope आप मेरी बात समझ पारे हो अच्छे सर इसको और simplify करके लिख सकते थे कि बेशक जैसे आपको ठीक लगे वैसे लिखो जैसे कि इसी बात को लिखने का एक और तरीका क्या हो सकता था इसी बात को लिखने का तरीका हो सकता था यह डिपेंड करता है बुक में आपको कैसे दिया है प्लस 1 आप समझ रहे हो न यह क्या हो जाएगा तो 2n प्लस 1 टाइम्स पाई बाई 2 देख पा रहे हो तो, पाई, पाई बाई टू, अब आप n की value रखते जाओ, क्या आपको ये बात समझ आ रहे है, I hope ये बात आपको समझ आ रहे है, और क्या मैं कहना चाहरा हूँ, एक और चोटी सी बात मैं आपको दिखाना, समझाना ये बोलना चाहरा हूँ, कि अगर मैं प जैसे कि मुझे कोई कह रहा है कि सर आप बताओ 10x कब negative है तो दो बाते, दो बाते क्या सुनना दियां से पहला तरीका मैं सारे तरीके आपको सुनजाने की कोशिश करता हूँ कि सर आप क्या करो आप पहला तरीका तो ये लिख लो कि क्या आप कहा तक जाओ आप पाई के किसी multiple तक जाओ तो उसकी right hand limit क्या होगी अलग right hand side पर जो extreme होगा वो पाई का कोई multiple होगा जैसे कि मैंने क्या लिख लिया n पाई लेकिन कहा से जाना है सर उससे पाई बाई टू कम कर दो minus pi by 2 कर दो और वहाँ तक आओ, यानि क्या, आप क्या लिखो, n pi minus pi by 2, क्या आप मेरी बात समझ पा रहे हो, बड़ी साफ, सामाने, और जाहिर से बात है, आप इसे simplify कर सकते हैं क्या, बिल्कुल कर सकते हैं, I hope आप देख पा रहे हो, तो मैं क्या लिखूंगा, कि सर, n की value सारा बड़ी ही साफ, सुन्दर और सुल्य हुई सी यह बात आपके सामने लिखी हुई है। अच्छा सर इसमें आप एक बात मिस्कर रहे हो। क्या मिस्कर रहे हैं भी? कि सर अगर 10 में कोई value पूछी जाए, जैसे कि 10 में कोई value मुझसे पूछी जाए, सर आप क्या करो फिर वही बात। कि 10x अगर 10 alpha के equal है, तो यह रही है एक value, तो यह distance कितनी है? यह distance है आपकी alpha? तो 0 से alpha distance आगे गए, symmetry देखो, pi से भी आपको alpha distance आगे जाना है, मतलब यह point क्या होगा, यह point होगा pi plus alpha, आप सुन रहे हो क्या, मैं कैसे चीज़े सोचता हूँ, जैसे कि यह भी कितनी distance है, I hope वो graph मैंने बहुत कुबसूरती से नहीं बनाया, बट यह भी distance alpha है, तो अब minus pi से alpha distance right side है, तो minus pi plus alpha, आप समझ पारे हो क्या, आपको सिर्फ यह करना है, कि जो pi के multiples हैं, कि 10x जो है, 10x जो है वो 10 alpha के equal है तो आप x को क्या कहेंगे x को मैं कहूँगा कि pi का वो जो भी multiple है उसमें आप क्या करें alpha add कर दीजे वहाँ पर जो आपका n है वो कोई भी integer हो सकता है क्या आपको generalization समझ आ रहे हैं कि हम कैसे चीजे सोच रहे हैं, अच्छा इसके साथ I hope I need not tell you, mod 10 alpha है, 10 square alpha क्या होगा, वो बेशक सारे positive real numbers या non negative real numbers होगे है, 0 से आपके infinity तक, यह बात मेरे ख्याल से मुझे अब कहने की जरूरत नहीं है, domain हम discuss कर चुके हैं आपकी, सारे real numbers except for सारे pi by 2 के आपके odd multiples, 10x 0 का वो होगा, जब वो n पाई का multiple होगा, और 10x 10 alpha के एक वाले, तो वो होगा x जो होगा, वो महज़ alpha नहीं होगा, वो n पाई plus alpha category का एक number होगा, इसी के साथ, अब अगर मैं 10 को लेकर चीज़े conclude करूँ, तो 10 बड़ा सामाने सा function है, इसको लेकर हमें कुछ काम की, बहुत simple सी बाते पता चली हैं periodic function है, पर इस बार इसका period क्या है, सर minus pi by 2 से pi by 2 ये zone याद रखना, minus pi by 2 से pi by 2 वाला zone याद रखना, क्यों, क्योंकि देखो रहा है, यही बात को उठा के वापस रखनूँ, तो वापस यह बात बन जाती है, मतलब इस बार, इस function का period क्या होगा, इस function का period होगा, पाई, यह even है और आप देखो न, zero के इस तरफ जैसा है, वैसा ही इस तरफ है, I hope आपको चीज़ दिख रही है, तो एक ऐसा function हुआ, यह एक odd function हु y की किसी single value के लिए मुझे x की multiple values मिलना तै है तो मैं कहूँगा ये कैसा function है ये many one मैं अगर एक मोटा आपको idea देने की कोशिश करो तो अभी तक हमने महस तीन बातों पर बात की है sin x, cos x और 10 x बहुत खास, बहुत विशेश, बहुत ही dedicated, integrated सी बातें हमने नहीं किये बस मैंने आपको ये समझाने की कोशिश की कि graph कैसे बन रहे है यह बात आपके काम आईगी कि एक राफ ऐसे क्यों बन रहे हैं, यह values से बनते हैं, जो major values हम use करेंगे अकसर, वो ग्या होंगी, वो होंगी हमारी sine x. है ना, cos x और ये जो 10x आपके 3 है, इसमें अगर मैं 3 angles पर बात करो, sorry, कुछ major से angles पर बात करो, तो एक angle जिससे आप deal कर रहे होंगे वो होगा 0, एक होगा 30 degree, एक होगा 45 degree, एक होगा 60 degree, और एक होगा आपका 90 degree, है ना, दूसरी बात, मैं इन values को कैसे याद रखता हूँ, कैसे create करता हूँ, इसका तरीका बड़ा आसान सा है, पहले मैं लिखता हूँ, let's say, 0, 1, है ना, 2, 3 और 4, इन सब को मैं 4 से डिवाइट कर देता हूँ, तो 4 से डिवाइट कर दे, तो इन 4 से डिवाइट हो जाएंगे, और जब मैंने इन सब को 4 से डिवाइट किया, तो इन सब का मैं क्या ले लेता हूँ, under root, गौर से सुनिएगा, जैसे ही आपने इस तरीके का कोई operation किय गौर से सुनना, 0 upon anything is 0, 0 का under root 0, 1 by 4 का under root 1 by 2, 1 by 2 का under root 1 by root 2, यह हो जाना है root 3 by 2, और यह हो जाना है 1, याद रहे हैं, रहेगा, अब sin x का, मतलब जो angle wise अगर मैं बात करो, तो ये जो angle होते हैं, sin और cos में, complementary होते हैं, इसका क्या मतलब है, इसका अभी फिलाल ये मतलब याद रखे, कि अगर, जो sin 90 है, वही cos आपका 0 होगा, जो sin 60 है, वहाँ आपका cos 30 होगा, जो आपका sin 45 है, वही आपका cos 45 होग sin theta upon cos theta, तो 0 upon 1 कितना हो जाना है, क्या मुझे कुछ कहने की ज़रूरत है, सर यह हो जाता है 0, 2 से 2 cancel, तो यह कितना हो जाता है, 1 upon under root 3, 1 by root 2 से 1 by root 2 cancel, तो 1, 2 से 2 cancel, तो यह हो जाता है under root 3, और 1 upon 0 not defined, या फिर इसे आप कहना चाहें तो approaching infinity है ना, जिसे हम अक्सर 1 upon 0 है, infinity के तरह treat करेंगे, क्या आप मेरी बात समझ पारे हो, और इसी लिए आपका 10, 90, और इन सारी values पर not a defined, यानि infinity या minus infinity को approach कर रहा था, आप किसी भी trigonometric ratios, जो की इन angles पर based होंगे, इसे याद रखेगा, इससे काफी सारे काम आपके आसान हो जाएगी, एक हम quadrant theory भी पढ़ेंगे, जो कि मेरा कहना है, trigonometry जब हम पढ़ेंगे, तब ही पढ़ेंगे, अभी फिलाल उसको लेकर एक unnecessary का confusion create नहीं करेंगे, but बस आप ये बात याद रखेगा, क्योंकि ये सारे functions periodic है लिए मैं आपसे सारी बातें कह रहा हूँ, with that अब अगर मैं आगे बढ़ूं, तो सबसे काम की सबसे ज़रूरी बात, sign, cos और ten अभी हमने discuss किया, next lecture में हम cosec, sec और cot discuss करेंगे, सारी बातें, मतलब उनमें domain और range कैसे बदलता है, same नहीं है, चीज़ें बिलकुल उलट जाएंगी, वहाँ पर चीज़ें कैसे positive, कैसे negative, कब क्या होती हैं, उसको लेकर भी discussion, और वहाँ पर generalization की, अगर कोई value किसी value के equal है, और इनके reciprocal जो आपके functions हैं उनको लेकर continue करेंगे I hope आपको पता है ये आपकी हम IIT GWE means और GWE advanced mathematics की तियारी आपको करवा रहे हैं बिल्कुल free of cost I hope ऐसा आप जानते हैं और ये मेरा मानना है कि आप जानते हो कि ये तैयारी बहुत comprehensively और thoroughly आपको करवाई जा रही है एकदम full fledgedly बहुत dedicated manner में है ना क्योंकि हम क्या कर रहे हैं भी हम पूरा जो आपका mathematics का syllabus है उसे 5 chunks में divide करके ये सारी तैयारी कर रहे हैं पाँच chunks आपके जो होते हैं वो क्या हो जाते हैं भी coordinate geometry, calculus, vectors in 3D, algebra, trigonometry जैसे coordinate में हमने points, straight lines, pair of straight lines, circle parabola, ellipse और hyperbola cover किया, अब हम आपके calculus में यह सारी चीज़े कर रहे हैं, जहाँ पर हम relation in functions के बाद कहाँ पर shift हो जाना है, आपके limits, continuity, differentiation, differentiability जो basically का expression है, application of derivatives, इसके बाद हम कहा जाएंगे बई, उसके बाद हम आएंगे आपके indefinite integration, definite integration, area under the curve, और फिर differential equations, chapters हैं, जिनने बहुत अच्छे से हम पढ़ेंगे, ताकि कोई confusion वहाँ न रहे, क्योंकि अच्छे topics हैं, crucial हैं, और आप वहाँ गलती का कर देते हैं, तो उन्हें हम अच्छे से समझेंगे, और आप पाएंगे कि ये बहुत आसान से topics हैं, उसके बाद क्या करेंगे भी, इसके ब progression, जो sequence in series होता है, binomial expression, mathematical reasoning, statistics, और भी कहीं सारे topics.

सारी चीज़े वहाँ cover हो जाएगी, बच्चे का trigonometry वह हम आखिरी में cover करेंगे, जहाँ पर trigonometric ratios, identities, inequations, functions, trigonometric आपकी inequalities, हर एक चीज़ अच्छे से discuss होगी. और ये सारी त्यारी बहुत strategically करवाई जा रही है, मतलब हम concepts कर रहे हैं, उनके हर एक चीज़ को build कर रहे हैं, example से consolidate कर रहे हैं, assignment questions आपकी practice के लिए दे रहे हैं. प्राक्टिस क्वेश्चन सारे चैप्टर का पूरा जो कंप्लीट हो जाता है वो चैप्टर ताकि आपको हर एक वैराइटी चाहे वो सिंगल करेक्ट हो, मल्टिपल करेक्ट हो, हर एक चीज़ को हम कवर कर रहे हैं, और क्या सर, इसके बाद भी हम चाप्टर कंप्लीट करते हैं, मतलब एक अच्छी तैयारी है आपकी, बिल्कुल फ्री आफ कॉस्ट, हम एक 100% फ्री आफ कॉस्ट क्वालिटी ओनलाइन एडुकेशन प्लाटफॉर्म है, kindergarten से 12th standard तक आप हमारे notes, pdfs और e-books भी download कर सकते हैं इसके लिए आपको इसी वीडियो के description में दिये गए link get notes पर click करना होगा with that let's call it a day ख्याल रखे अपना thank you so much for watching this video

Transcript for:IIT GWE Mains और गणित की तैयारी

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