Hey la Big Genius, che abbia inizio anche questa magica avventura nel mondo degli esponenziali. Ma per far sì che sia tutto più chiaro, breve recap sulle potenze, le loro proprietà fondamentali e tutto quello che ci è poco chiaro. Ciao, qui Matteo, anche noto come Super Matteo, il tuo supereroe scientifico sempre a portata di click, pronto a darti una mano come al solito sia in matematica che in fisica.
E finalmente iniziamo lo studio delle funzioni esponenziali, ma prima di tutto quello che ci hanno studiato e spiegato fin da bambini, ovvero le proprietà delle potenze. Le potenze basilari, quindi numeri interi, positivi, negativi, ma anche numeri frazionari, insomma tutto quello che ci può davvero servire e ancora di più per affrontare al meglio. lo studio delle funzioni esponenziali. Dunque, ma che vuol dire fare una potenza?
Bah, semplicemente questo lo sai meglio di me, a elevato alla n significa semplicemente moltiplica tante volte quanto dice l'esponente stesso. Quindi 2 alla terza, 2 per 2 per 2, giusto, fa 8, complimenti, esatto. Dopodiché, da questa brevissima definizione puoi tirare fuori due concetti, stupidi ma fondamentali.
a elevato alla 1 fa a, qualunque sia a, a può essere un qualunque numero reale, un mezzo, radice di 2, pi greco, tant'è che tu solitamente non scrivi un mezzo alla 1, scriverai semplicemente un mezzo. E poi la seconda proprietà fondamentale, 0 moltiplicalo quante volte di pare, essendo l'elemento assorbente della moltiplicazione, 0 elevato alla n fa 0. Ops, occhio però alla penna. Se è 0 elevata alla 0, quelli bravi dicono che è undefined in inglese. Per noi amici un po'più dell'italiano, tecnicamente diremo che è indeterminato.
In che senso indeterminato? Nel senso che in certe situazioni si può anche calcolare, non calcolare, direi, ma fondamentalmente il risultato non è sempre chiaro e velocissimo da capire così, in tutte le situazioni. Resta per noi alla base il fatto che 0 alla 0 non si può fare.
Ok? Quindi, capite qui i due elementi fondamentali, bisogna ripassare anche le 5 proprietà fondamentali delle potenze. Ah, tu le sai, no? Giusto, esatto. Però mi raccomando, attenzione, perché le dobbiamo sapere in un verso, ma anche nell'altro.
Cioè dobbiamo saperle calcolare, ma eventualmente utilizzare anche per scomporre. Vabbè, bando alle chiacchiere, ripassiamo. A alla x per a alla y farà giustamente a elevato alla x più y.
Non interessa chi sia, ancora una volta, un qualunque numero reale e faccio la somma degli esponenti perché ho la stessa base nella moltiplicazione. Come puoi notare da questa scrittura, l'ordine non è molto casuale. cerca di studiarle esattamente così, tra poco ti sarà chiaro il perché. Mi raccomando, non mollare la presa. Dopodiché a alla x diviso a alla y sarà a elevato alla x meno y.
Ovviamente in questo caso a però deve essere necessariamente diverso da 0, perché in questo caso altrimenti otterremmo 0 diviso 0, che è un po'un'altra scrittura undefined, come dicono sempre quelli bravi. Giusto, quindi di conseguenza a elevato alla x elevato alla y invece è quella che noi chiamiamo potenza, di potenza, per diventare dei veri supereroi, giustamente, delle potenze, tanto per rimanere in tema, e quindi si fa il prodotto degli esponenti, lasciando ovviamente la stessa base. Poi successivamente a alla x per b alla x, qui cambia leggermente il giochino, se fino a questo momento ci siamo occupati di quella che è avere una stessa base, Adesso ci stiamo andando ad occupare, dopo aver visto la potenza di potenza, di quelle che hanno lo stesso esponente ma diverse base.
Ah, stai notando? Costruzione precisa. Per diviso, stessa base.
Per diviso, stesso esponente. Potenza di potenza nel bel mezzo. Studiarle così è anche un modo per ricordarle più semplicemente e facilmente e memorizzare, meccanizzare tutti i processi che ci servono di calcolo. Ok?
Successivamente, quindi, qui ti basterà fare app. per b elevato ancora una volta allo stesso esponente e qui invece ti basterà fare a diviso b elevato tutto all'esponente. Occhio qui, noi sappiamo però da veri big genius che la divisione è collegata alla frazione, quindi io potrei anche scriverti a fratto b elevato tutto alla x. Questa scrittura non è troppo diversa da questa scrittura e quindi di conseguenza io potrei anche scriverti alla x. fratto b alla x questa scrittura alla fine non è troppo diversa da questa scrittura come vedi sono quattro scritture tutte assolutamente plausibili anche qui però dobbiamo tenere a mente una cosa geniale ovvero che la b anche in questo caso deve essere diversa da zero, altrimenti andiamo a fare una divisione per zero e il gioco non è né carino né divertente.
Dopodiché, prendendo un altro colore, quindi abbiamo detto che questa si chiama potenza di potenza, permettimi di abbreviare pot, e poi successivamente queste invece sono quelle con lo stesso esponente. Beh, che dire, diciamo che il quadro della situazione è abbastanza chiaro. Andiamo a vedere qualche altra proprietà fondamentale, simpatica e carina.
cercando di capire anche il perché delle cose, come al solito, e facciamo un po'di chiarezza poi anche sugli esponenti frazionari. E là, big genius! Forse le proprietà delle potenze sono la parte più semplice, ma forse anche fondamentale, di questa storia sugli esponenziali. Perché? Perché da lì deriva tutto il contrario di tutto.
Abbiamo visto due proprietà fondamentali, a alla 1 uguale a, quindi ogni numero elevato alla 1 fa a se stesso. e ogni 0 elevato a un numero qualunque fa 0, a parte 0 alla 0. Esatto, vedo che cominciamo a capire. Yes, per qualunque domanda ovviamente commentino qua sotto, ci si becca, ci si legge là sotto. Lo so, sono in estremo ritardo con le risposte a volte, ma ce ne faremo una ragione e arriverò il prima possibile.
Come on! Quindi di conseguenza a alla 0 uguale 1. Anche questo lo sanno tutti, ma magari non tutti sanno esattamente il why, il perché. delle cose.
È fondamentale chiederselo. In questo caso, perché ogni numero elevato alla 0 fa 1? Ah, giusto, che cosa ho dimenticato di mettere?
La solita specifica. A deve essere diverso da 0. Indovina perché? Perché 0 alla 0 it's undefined, come dicono quelli bravi, no? Ok.
Quindi, di conseguenza, il perché è molto semplice. Proviamo a fare un ragionamento. Se io decidessi di ragionare A alla 0, come A...
alla n diviso a alla n tecnicamente questo io lo posso interpretare in due diverse maniere da una parte lo posso interpretare come a elevato alla n meno n che vuol dire a alla 0 perfetto magari non so quanto fa ma quindi diciamo che a alla n meno n sicuramente fa alla 0 dall'altra parte avendo sia la stessa base che la stessa esponente posso utilizzare anche l'altra proprietà In questo caso ho fatto la sottrazione degli esponenti e in questo caso potrei fare a diviso a tutto elevato alla n invece. Quindi leggerlo come 1 alla n ma 1 elevato ad ogni numero tecnicamente dovremmo sapere che fa 1 in quanto questo è l'elemento neutro della moltiplicazione. Quindi 1 per 1 per 1 per 1 per 1 per 1, ah sì giusto mi fermo, fa 1. Quindi di conseguenza 1 alla n se vuoi lo puoi aggiungere qua sopra e fa esattamente 1. Però guarda che cosa hai scoperto, hai appena scoperto che alla zero fa uno. Esatto, questo è il tuo momento wow.
Ok? Questo è perché dobbiamo sapere il perché delle cose, non dobbiamo dire wow, piove dal cielo che alla zero fa uno. No, alla zero fa uno perché si può dimostrare e perché si può spiegare.
Qui su SuperMatte cerco di spiegarti sempre tutto, il contrario di tutto, a volte non lo faccio per semplicità delle lezioni, per mancanza di tempo, per concentrarmi su altre cose. ma ovviamente tu puoi chiedere interagire con me anche sulle pagine social la pagina instagram la pagina facebook dove vuoi mi trovi a portata di click e infatti un giretto da sopra e sostanzialmente scopri un po'di cose interessanti che non mancano quasi mai quindi di conseguenza veniamo ad un'altra cosa e se ho l'esponente negativo matteo 2 alla meno 1 2 alla meno 3 2 alla meno un quarto e via dicendo ok in realtà si può fare Questi avranno insegnato che basta fare il reciproco e l'esponente diventa positivo. Questo che cosa significa?
Significa quindi che se ho 2 alla meno 1 diventa un mezzo alla 1. Questo significa che diventa 1 fratto a alla n, perché fondamentalmente qui sotto è come se ci fosse 1 e questo fosse tutto elevato alla meno n. Quindi fare il reciproco diventa 1 fratto a. Ricordati quindi che però 1 alla n fa 1, esattamente quello che abbiamo detto prima.
per ogni n e quindi di conseguenza si può scrivere anche come 1 fratto a elevato alla n. Questa più o meno è tutta la storiella. Anche qui la domanda diventa perché.
Il perché tecnicamente in questo caso lo possiamo andare a dimostrare in una maniera leggermente differente. Piccolo problemino tecnico ma siamo sempre qui con SuperMatte e abbiamo... a alla meno n uguale a alla meno n per 1 e quindi di conseguenza a alla meno n per a alla n fratto a alla n.
Esatto, dove eravamo rimasti? Stavo cercando di dimostrarti che a alla meno n effettivamente è 1 fratto a alla n. Quindi di conseguenza mi sono inventato una moltiplicazione.
Per 1, oh, non altero niente, no? Giusto, chiaro. Quindi di conseguenza però lo posso scrivere come a alla n fratto a alla n. Pure qui mi dai retta che non altero nulla.
Straordinario. Quindi sto cambiando la scrittura, ma non sto cambiando la sostanza, come piace a noi. E poi fondamentalmente io mi ritrovo così. a alla meno n per a alla n, che vuol dire a alla meno n più n, fratto a alla n, e quindi di conseguenza a alla 0 fratto a alla n. Ecco qui dimostrato che viene 1 fratto a alla n, o se preferisci 1 fratto a.
tutto elevato alla n. Questa è la motivazione per cui ti hanno spiegato quindi che basta fare il reciproco e cambiare il segno dell'esponente. Sai cosa?
Questo è comodo ad esempio per riuscire ad applicare le proprietà delle potenze anche quando lì apparentemente o complessivamente non si possono applicare. Ovvero sostanzialmente quello che ti sto dicendo è che se tu ad esempio hai un terzo alla seconda moltiplicato per 3 alla terza, qui tu sei fregato. Esatto perché non hai né la stessa base... nello stesso esponente, eppure hai un qualcosa di interessante, le basi sono perfettamente in reciproco l'una dell'altra, it's ok no? Quindi di conseguenza questo che vuol dire?
Vuol dire 3 alla meno 2 che moltiplica per 3 alla terza, questo che vuol dire? Questo vuol dire, si questo esponente lo metti dentro, lo metti fuori, insomma ok magari ti è venuto il dubbio ma è davvero in questo caso almeno per il momento è la stessa identica cosa, poi magari rimane incollato che vediamo che con i segnetti non è proprio la stessa identica cosa, succede sostanzialmente che viene 3 alla 1 che fa 3. Dice, ma Matteo se io invece avessi voluto girare l'altro e lavorare tutto in base a un terzo, ok campione, fai come ritieni più opportuno, funziona lo stesso. Esatto, quindi un terzo elevato alla seconda, stavolta cambi questo, un terzo alla meno 3, e magia delle magie, sorpresa delle sorprese.
ritorniamo esattamente alla stessa cosa 2-3-1 un terzo alla meno 1 ma questo è un esponente negativo giro per leggere e farvi vedere che il risultato è esattamente come quello ottenuto in precedenza 3 quindi un terzo alla meno 1 che vuol dire 3 alla 1 e che vuol dire 3 quindi sostanzialmente cosa hai imparato di nuovo oltre alle proprietà fondamentali delle potenze quello che devi ricordare sono 1 2 3 4 e 5 Ma bisogna ragionare un attimino anche sui segni delle potenze, tranquillo non ti sentire smarrito, ma troverai tutto all'interno di un fantastico formulario nel link in descrizione. Io più di questo non posso fare, non ti rimane che continuare a seguirmi. Ok Big Genius, so che sei stanco, so che è difficile, però spero che anche tu non stia prendendo troppo sotto gamba questa video-lezione sulle potenze e le proprietà delle potenze per arrivare poi agli esponenziali. perché molte cose poi si sbagliano sugli esponenziali, le equazioni e le disequazioni esponenziali diventano impossibili perché tutto questo non è chiaro. Ad esempio i segni delle potenze.
Più 2 alla seconda più 4, meno 2 alla seconda più 4. Più 2 alla terza più 8, meno 2 alla terza meno 8. Facciamo come il cruciverba. Noti anche tu le differenze? Esatto.
Il gioco è che praticamente se hai una base positiva o negativa... Non è importante fino a che hai l'esponente pari. Successivamente, se hai l'esponente dispari, avere base positiva o base negativa fa tutta la differenza del mondo.
Questo ovviamente è regolato dalla regola dei segni stessa, perché più 2 per più 2 per più 2, amen, più 8 e basta, più per più per più. Meno per meno, più per meno, meno. Una coppia di segni meno dà più. 3 segni meno danno complessivamente meno, dipende dal numero di segni meno, pari o dispari che essi siano. Qui c'è tutta la differenza del mondo.
Anche questo in realtà c'è molto comodo, spesso e volentieri, per calcolare. Perché? Perché ammetti caso che io ho 2 alla seconda per meno 2 alla terza. Ipoteticamente io qui non ho né la stessa base né lo stesso esponente, eppure la posso fare lo stesso. Perché la posso fare lo stesso?
Perché io mi invento che questo è meno 2 alla seconda. Perché tanto scrivere meno 2 alla seconda o scrivere 2 alla seconda, come ti ho fatto appena vedere qui sopra, è la stessa cosa. Esatto.
Quindi di conseguenza non ci sono problemi. A questo punto questo lo lasci scritto per meno 2 alla terza e questo ti diventa fantasmagoricamente meno 2 alla... quinta applicando poi semplicemente le proprietà delle potenze figo no quindi vuol dire che non sono i numeri a manipolare te ma sei tu che manipoli in continuazione i numeri ok questo è davvero il cambio di mindset fondamentale che devi prendere dalla lezione di oggi, ma in realtà un po'da tutte quelle qui su Supermatte, mi raccomando. Successivamente dice, ma Matteo avrei potuto farlo diversamente?
Sì, in questo caso specifico sì, perché questo aveva un esponente dispari, quindi ti saresti potuto divertire così. 2 alla seconda per 2 alla terza, questo restituisce un numero negativo, quindi di conseguenza bastava mettere un meno davanti a tutto, quindi di conseguenza diventa meno 2 elevato alla quinta, che fa meno 32. Grazie. ma anche questo faceva meno 32, quindi carta vince, carta perde, questo è il gioco delle tre carte, fai un po'come ti pare, ma la soluzione non cambia, ok?
Questo è davvero importante, quindi saper gestire i calcoli con base positiva viene sempre positivo, base negativa dipende se ho l'esponente pari o se ho l'esponente dispari. Successivamente, ultima accortezza da tenere a mente, per favore, scrivere meno 2 alla seconda è diverso da scrivere meno 2 alla seconda. Sarebbe sempre meglio utilizzare delle parentesi, ad esempio che vadano qui e che vadano qui. Ma per quale motivo? Perché questo fa più 4 e perché questo fa meno 4. E più 4 è diverso da meno 4. Questo è un errore chiave.
Apriamo le orecchie. perché è un errore che si fa in continuazione troppo spesso e che dobbiamo togliere, perché effettivamente alla fine è una cosa stupida. Quindi una cosa è che il meno sia inglobato nell'operazione di potenza, una cosa è che non sia inglobato. Qui la base è meno 2, qui la base è 2. Fai prima la potenza e poi applica il segno meno.
Ma se ti metti una parentesi in più, sii, matematici bravi dicono che è velleitario, amen, mettitela, leggilo meglio e continua a seguirmi perché non ho finito. abbiamo anche gli esponenti frazionari. Lo so, sei stanco e io con te, però non potevo mollarti a metà così. C'è un ultimo grande concetto da capire e da sviluppare. Le potenze con esponente frazionario sono sempre uguali a delle radici e viceversa, cioè puoi sempre leggere le radici con esponente frazionario.
In realtà quest'ultima formulazione è la più importante perché vuol dire che tu da qui... Passi qui e poi mi vai ad utilizzare le proprietà delle potenze per lavorare in maniera molto più semplice. Ti faccio vedere, fermo lì. Quindi di conseguenza innanzitutto questo vale con n diverso da 0 e questa è la motivazione per cui non hai mai visto nella tua vita un n tecnicamente negativo. Ma in realtà n potrebbe essere un qualunque numero più complicato, potrebbe essere sia un mezzo, potrebbe essere meno 3, potrebbe essere meno 4. Questo non è...
importante anche perché alla meno 4 ad esempio l'hai visto sotto una radice quindi effettivamente quel meno si potrebbe poi riportare qui leggendolo come la frazione il meno messo o sopra o sotto mi raccomando questo è importante quindi non ti spaventare n però non può essere uguale a 0 perché n sta a denominatore quindi di conseguenza divisione per un numero uguale a 0 questo significa impossibile quindi non va bene non ci siamo quello che tecnicamente dobbiamo poi stare attenti Attenti, di questo tranquillo, non ti vado a dare adesso dimostrazioni, definizioni, concetti variegati, solo una rapida applicazione. La rapida applicazione è questo, quindi se io ho a elevato alla tre quinti, quindi quello che sta tecnicamente al numeratore è l'esponente della base, quello che sta al denominatore è l'indice della radice. Sostanzialmente questo quindi che cosa vuol dire? Vuol dire che io avrò la radice quinta di a elevato alla terza, ad esempio, se lo faccio con a generico. Ma vuol dire che se ho la radice quadrata di 3 lo posso scrivere come 3 alla 1 mezzo.
Vedi? Il 2 che sta sotto finisce all'iddice della radice e quello che sta tecnicamente al numeratore finisce all'esponente della base di quello che sta sotto la radice. Questo lo dovresti aver studiato a occhio e croce nell'ambito dei radicali.
Perché diventa importante? Ma diventa importante perché immagina di avere radice di 3 per 3. Questa cosa tecnicamente nell'ambito delle proprietà delle potenze, nell'ambito quindi degli esponenziali che ci stiamo accingendo a studiare, è meglio leggerla come 3 alla un mezzo che moltiplica 3. Questo è alla 1 un mezzo più 1. Tecnicamente dicono faccia tre mezzi, quindi 3 alla tre mezzi. Ma in effetti questo tutto torna perché volendo questa è una radice quadrata di 3 alla terza e se riporti fuori dalla radice ritorni di nuovo come 3 radica al 3. che non è altro che radice di 3 per 3. Insomma, come vedi, ha un cerchio che si chiude.
Questo lo puoi utilizzare appunto con i numeri positivi e negativi. Altra accortezza, ricordati che il 2 qui è dato per scontato, quindi lo devi leggere tu. Qui invece l'1 è dato per scontato, anche perché qui perché il 2 è dato per scontato? Ma perché l'1 non avrebbe senso?
In quanto tecnicamente se io avessi 1 qui sopra, questo qui sarebbe 1. denominatore quindi sarebbe come dire alla 5 fratto 1 che sarebbe come dire la la radice unesima non so neanche come si pronunci di a alla quinta non è molto interessante perché significa appunto semplicemente alla quinta e quindi svanisce l'essenza stessa della radice io spero che sia tutto chiaro non è finita ovviamente la storia rispetto a per arrivare agli esponenziali manca la cosa forse più importante l'esponente reale Ma davvero oggi non c'era più tempo, siamo stanchi, quindi iscriviti al canale e rimani incollato perché sarà subito la prossima avventura. Qui puoi ricapitolare tutti i concetti sulle funzioni matematiche in generale per cominciare a ripassare e qui il video migliore a scelta per te per continuare a studiare con me.