अनियमित समाकलन की व्याख्या

Hello students, आप सभी का मेरे YouTube channel Maths by Jeetendra Kumar में स्वागत हैं. आज हम नया chapter start करेंगे, Improper Integrals. तो चलिए, Improper Integrals से start करते हैं, सबसे पहले कुछ definitions हैं, ये देख लीजिए. तो चलिए, कुछ definitions देखिए. सबसे पहले definition पढ़ेंगी, Infinite Intervals. तो Infinite Intervals से पहले, interval ही समझिए क्या होते हैं. interval समझिए क्या होते हैं, हमारे पास कोई set है, x such that a less than equal to x less than equal to b, x such that x ऐसा है, ठीक है, a less than equal to x less than equal to b, तो यही आता है इसमें, तो यह set, यह set क्या कलाता है, close interval कहा लाता है, यह set कहा लाता है, close interval, और किस से denote करते हैं इसको, a, b से, तो interval क्या होता है, कोई एक set होता है, अभी जैसे कोई एक और set ले लिया मैंने, suppose मैंने यहाँ पर माल लिया, एक set हमारे पास है, x such that, किसी set में, x ऐसा है, a less than x less than b, तो यह set क्या कहलाता है open interval और किसके बराबर होता है बोलिए open interval open interval को इस तरीके से denote करते हैं a, b या इसको ऐसे भी लिख सकते हैं open को इस तरीके से भी लिख सकते हैं कैसा interval है open interval तो interval ना को यह क्या होता है set होता है जैसे यह close interval a, b है तो यह एक set है जिसके अंदर AB है, BB है और इसके बीच की सारी values हैं, यह कैसा interval है, open interval, इस set के अंदर A और B के बीच की सारी values हैं, इसको इस तरीके से लिखते हैं, open interval A भी पढ़ते हैं, इसको open interval A भी पढ़ते हैं, तो इसका बतलब क्या है, इस set के अंदर A और B के बीच की सारी value है, जहां B बड़ा है, यह सी, यह भी कह सकते हैं, जहां B किस से बड़ा है, A से बड़ा, हमें से B बड़ा होगा, इसमें किस स ठीक है, तो यह बनेगा इस तरीके से यहां से, तो कैसा interval होगा है, इसको बोलते हैं left half open interval, और इसको ऐसा भी लिख सकते हैं, a, b इधर की साइड से close, किधर की साइड से open है, left, तो इसका मतलब यह है, सेट के अंदर a और b के बीच की value है, और ठीक है, यह से बड़े, बी से छोटे, और कौन भी है इसके अंदर, बी भी है, तो इस सेट को हम क्या बोलते हैं, left half open interval, और मालिए कोई सेट यह ले लिया, यहाँ पर equal आ गया, और यहाँ पर क्या आ गया, less than आ गया, तो इस सेट को हम क्या बोलेंगे, right half open interval इस set में बोलिए किसकी value तो है इसके अंदर A और B के बीच के सारे मान है और इसमें A भी है और कोन नहीं है इसके अंदर B नहीं है और जहां B बड़ा है A से B इन में A से बड़ा ही होगा तो interval क्या होता है कोई set होता है बास समझ में आगई तो अब हम पढ़ रहे हैं क्या, infinite interval, तो infinite interval देखें क्या होता है, the interval, अभी जैसे interval की length ही बात करते हैं, इसमें length का जिकर भी हुआ, देखें कोई interval हमारे पास, यह है बाल लिया, 2, 3, क्लोज इंटरवल 23 है, इसकी जो लेंथ लेते हैं, इसकी लेंथ होती है B-A, इसमें से घटा दीजिए, तो इसकी लेंथ कितनी आएगी, B-A यानि कि कितनी आएगी, एक आएगी, जो कि कैसा नंबर होगा, फाइनाइट नंबर होगा, तो यहाँ पर देखें क्या कहा गया, the interval whose length, length कह दीजी है क्या कह दीजी, range कह दीजी, is infinite, is said to be, is said to be an infinite interval, यह नहीं कि जिस interval की जो length हो, कैसी हो, infinite हो, तो वो interval ही कैसा कह लाता है, infinite interval कह लाता है, thus the interval जैसे हमने a, infinity, minus infinity to b, minus infinity से लिखे infinity, इनकी सबी की length कैसी है, infinite, इसकी length कैसी है, infinite, यानि कि length कैसे निकालेंगे, infinity में इसे खटा देंगे, तो infinity में कुछ खटा देजे, वो भी क्या आएगा, इनफिनाइट ही आएगा, ठीक है, या ऐसा समझिए, अलग जिस इंटरवल में इनफाइनाइट आ जाएगा, वो कैसा होगा, इनफाइनाइट इंटरवल होगा, ठीक है, यानि कि जिनकी लेंथ, या जैसे रेंज कह दीजिए, इसकी रेंज कहां से कहां तक गई, तो जिनकी range या length कैसी हो? Infinite हो, तो वो क्या कहलाएगा? Infinite, interval कहलाएगा, तो ये हमारे interval a to infinity, minus infinity to b, and minus infinity to infinity, और कैसे हैं ये? Infinite interval, ठीक है? इसके बाद में bounded function, bounded function, a function fx is said to be bounded कोई function क्या कहलाएगा, bounded कहलाएगा over the interval i i कोई interval है, i कोई भी interval हो सकता है, ठीके कुछ भी interval हो सकता है, इस तरीके से दे दिया मान लिया, 1, 2 दे दिया है, जो भी देगा, दे देगा वो interval, तो I क्या है कोई भी यह? interval है, if there exists two real numbers, A and B, जिसमें B बड़ा है किस से? A से, such that, ऐसा हो जाए, A less than equal to Fx less than equal to B, for all, x belongs to i यदि fx जो है bound हो जाए किसके बीच में a और b के बीच में x belongs to 4 all इसको बोलते हैं 4 all वो role सभी के लिए, x उसमें से कुछ भी ले लिजी, तो कैसा होना चाहिए वो, bounded होना चाहिए, तो ऐसा function ही क्या कहलाता है, bounded function कहलाता है, और bounded के बाद, इसके बाद आएगा unbounded function, अब unbounded function कैसा होता है, समझी, मालिया कोई तो बारे सामने function लिख दिया, fx बराबर 1 upon, 1 upon x minus 5, यह उपर चली है कुछ भी लिख दिया, x, ठीक है, चलो यही लिख दिया कोई function, इसमें interval दे दिया, interval दे दिया इसमें, 2, 5, i interval दे दिया, इस interval के लिए हमें देखना, यह bounded function है या unbounded function है, यदि यह function इसके किसी point पे infinity आ जाएगा, तो यह कहलाएगा उस point पे unbounded function. अब जैसे x बराबर 5 है, तो इसके अंदर है नहीं है 5? है. जदी मैं यह 5 रखूँगा, तो 5 minus 5? 0. तो function कैसा हो जाएगा? Infinity आ जाएगा. तो यह function x बराबर 5 पर unbounded है. ठीक है? अभी जैसे interval कुछ और होता है. 2, 3 होता है, इसके बीच का कुछ भी मान रख देना, कभी भी infinity हो जाएगा क्या ही, नहीं होगा, तो ये function इस interval के लिए कैसा है, bounded है, ठीक है, मैंने कुछ और ले लिया यहाँ पर suppose, मैंने 4, 6 ले लिया, इसके लिए बताना bounded या unbounded, bounded कैसा है, अरे इसके बीच में तो 5 भी है, इसके बीच में 5 है नहीं है तो 5 रखूँगा तो क्या हो जाएगा ठीक है, infinity आ जाएगा, तो ये function x बराबर 5 पर कैसा आएगा, unbounded, 5 है नहीं इसमें, अरे दिखी तो नहीं रहा, है तो, क्योंकि इनके बीच, इसका मतलब क्या होता है, इनके बीच का कोई भी मान ले सकते हैं, ठीक है, तो इनके बीच में 5 है नहीं है, तो इस interval के लिए function कैसा ठीक है तो यह definition note करिए, चलिए अब मैं unbounded के बारे में लिखवा देता हूँ, इसको note कर लिजी, इसके बाद चलिए unbounded function की definition लिखेंगे चलिए unbounded function देखिए a function fx is set to be unbounded एक function क्या कहलाएगा unbounded कहलाएगा at a point ठीक है एक point पर if it's became infinite यदि यह क्या बन जाएगा, infinite, at that point, यदि उस point पर क्या बन जाएगा, वो infinite बन जाएगा, तो function उस point पर क्या कहलाएगा, unbounded, thus the function, कोई हमने function ले लिया, इस परकार यह कोई function है, fx बराबर कितना, x square upon x minus 4 into x minus 5 तो ये function किस-किस point पे infinite बनेगा x बराबर 4 पे और x बराबर किस पे 5 पे तो ये जो function है is कैसा है ये unbounded at each of points x equal to 4, x equal to 5 तो कोई function किसी point पे यदि क्या बन जाएगा infinite बन जाएगा, तो वो function उस point पे क्या कहलाएगा, unbounded कहलाएगा, बस बन आ गई, ठीक है, चलिए इसको note कर लीजी, चलिए अब monotonically increasing function, तो monotonically increasing function क्या होते हैं, a real valued function, कोई function कैसा है, real valued function, ठीक है real valued function कैसे होते हैं, कोई function है fx, suppose x square है, और interval ये दे दिया, 1, 2 दे दिया, तो इस interval की value कुछ भी रखेंगे, तो f की value हमेशा real ही आएगी, इस interval की कुछ भी value रखेंगे, लेंगे वन से लेकर टू के बीच कुछ भी रख दीजिए इसमें तो कैसी वैल्यू आएगी वैसे फंक्शन को हम क्या बोलेंगे वैल्यू फंक्शन बोलते हैं ठीक है तो कोई फंक्शन कैसा है वैल्यू जैनी कि इस फंक्शन वैल्यू किसी भी पॉइंट पर यह जो भी इंटरवल दे रखा उस पॉइंट पर कैसी आएं रियल आएं तो वह फंक्शन कैसा कहलाता है रियल वैल्यू फंक्शन तो ए रियल वैल्यू फंक्शन है डिफाइंड और अधिक जो आप देख सकते हैं on an interval, किसी interval में defined किया गया, उसके पीछे उसका interval दे दिया होगा, ठीक है, a real valued function, f, defined on an interval, i, कोई interval क्या दे रखा, i, is said to be monotonically increasing, तो क्या कहलाएगा, monotonically increasing कहलाएगा, if, x बड़ा है किससे, y से, implies कर जाए, fx greater than, y, for all, x y belongs to i जहां x y किसके elements हैं i के elements हैं इसको belong करते हैं यह ऐसे भी हो जाए और करके चाहो तो इसमें यह भी लिख सकते हैं x छोटा हो किसे? y से, और क्या आ जाए? fx less fy, for all xy belongs to i, तो लेस है तो लेस ही होना चाहिए, greater है तो क्या होना चाहिए? greater, तो ऐसा function कैसे कहलाते हैं? monotonically increasing, अभी ज़रा देखो, यहां देखिए, कोई मेरे पास function है, fx, fx बराबर चलिए, मैंने x ही ले लिया, और interval ले लिया इसका, कुछ भी interval ले लिया, चलिए 3, 4 ले लिया, ठीक है, x की value इसमें से कुछ ले लिजी, ठीक है, x की value मैंने ले लिए इसमें 3, ठीक है, x की value ले ली, कितनी इसमें, 3, y भी सीमे सी ले ली जी, 3, इसके अंदर है नहीं है, इरा, लो, close interval है, तो 3 भी इसके अंदर है, न, y का मान कुछ मैंने ले लिया, 3.5, दोनों बता न, i को ब्लॉंग कर रही है नहीं कर रही है, कर रही है इसको ब्लॉंग, तो यदि मैं f3 का मान निकल लूँगा तो 3 आएगा, और f 3.5 कमान निकल लूगा तो 3.5 आएगा, तो यहाँ से जैसे हम इसको देख रहे हैं, इस मैंसे दोनों में से कोई साइल यह लगा दीजी, तो देखना x कमान तो कितना तीम, y कमान, तो x बड़ा है या y बड़ा? y बड़ा अब function का मान निकल लेंगे यानि किस का मान निकल लेंगे? f3 का मान निकल लेंगे f3 का मान कितना आया? 3 वह x plus 1 भी हो सकता है function क्या भी हो सकता है? चलो x plus 1 ले लिया तो अब तुम मुझे f3 का मान बताओ 3 plus 1 कितना आएगा? 4 f किस का मान? 5 3.5 का मान बताओ 4.5 तो इसमें x कोन है 3 y कोन है 3.5 fx का मान तो यहाँ से देखिए यह आ रहा है तीन लेस्ट देन थ्री पॉइंट फाइव न और इससे आ क्या गया फंक्शन यानि कितना फ थ्री लेस्ट देन किससे आ गया थ्री पॉइंट फाइव नीचे साइड भी थोड़ा दिखा नहीं है तो कहने का मतलब है इन दोनों में से कोई सही, लेस है तो लेस ही होना चाहिए, या greater ले लिया, suppose x का मान क्या ले लिया, बड़ा किस से, y से, तो fx बड़ाना चाहिए, fy से, ऐसा function क्या कहलाएगा, monotonically increasing कहलाएगा, जैसे ये function मैंने लिखा, monotonically increasing function है, चीके, अब पढ़ेंगे हम monotonically decreasing function monotonically decreasing function देखें क्या होता है definition समझीए पहले definition समझीए monotonically decreasing की a real valued function a real valued function f defined on an interval i is said to be monotonically decreasing कोई function f है जो किस interval में define किया गया i interval में तो वो क्या कहलाएगा monotonically decreasing कहलाएगा कब कहलाएगा चलाएगा यदि x बड़ा हो y से और fx less आ जाए किस से, f y से, for all x y belongs to i, मलब x तो बड़ा है किस से, y से, but fx छोटा आ जाए किस से, f y से, अभी जैसे कोई function मैंने ले लिया आपके साबने, fx बराबर चली, 1 upon x ले लिया, इंटरवल ले लिया मैंने, चली ने 3-4 कहा था, 3-4 ले लिया दुबारे भी, ठीक है, x का मान बड़ा लेना y से, उसमें से लेना, एक्स चलो, 4 ले लिया, 3.9 भी ले सकते हैं, क्योंकि 3.9 भी है उसके अंदर, 3.8 ले सकते हैं, कुछ ले सकते हैं, चलिए जो तुम्हें अच्छा लगे, 4 अच्छा लगा हमें तो, 4 ले लिया, चलिए, ठीक है, एक्स कमान कितना ले लिया, 4, एक्स बड़ा लेना वाई से, 3.5 ले लीजिए, 3.3 ले लीजिए, तुम्हारी मरजी है, चलिए 3.3 ले लिया, ठीक है, अब इसमें ना FX कमान निकालिए, किस कमान निकालिए, FX का, FX मतलब क्या, F4, F4 कितना आएगा इसमें, 1 upon कितना आएगा, 4 आएगा, अब किस कमान निकाली है, FY का, FY का नीचे नहीं दिखेगा भी, चलो यहाँ को लिखता हूँ, FY कमान कितना, F3.3 कमान निकाल रहे हैं, 1 upon 3.3 तो यह देखिए 1 upon 4 बड़ा या 1 upon 3.3 बड़ा यानि कि जैसे हम ऐसे लिखते हैं वहीं 1.2 और 1.3 कौन बड़ा इसमें अरे जिसके निचे छोटी value तो इसमें इसमें देखना कौन बड़ा आ गया तो यहाँ से, बता ना Fy बड़ा है या Fx बड़ा? Fy बड़ा है. तो यहाँ क्या आ गया Fy? बड़ा है किसी? Fx. Fx. यह Fx, यह क्या लिख सकते हैं? Fx छोटा है? Fy. ऐसा लिख सकते हैं, तो यहां देखिए हुआ क्या था, हम लेके क्या चले थे इसमें, x बड़ा लेके चले थे किस से, y से, अरे यहां बड़ा था न, और fx छोटा या किस से, f y से, x बड़ा लेकर चलेते y से, यह चिम चेंज हो गया है न, greater का वहाँ क्या हो गया, less हो गया, तो ऐसा function क्या कहलाता है, monotonically decreasing, यह ऐसा हो जाए, यह तो x छोटा लेकर चलें किस से, y से, और f x बड़ा जाए किस से, ऐसा function भी क्या कहलाएगा, मόνο तो निगली decreasing function कहलाएगा बास अज़िमाई तो इन्होंने देखे ये कहा 4 all x y belongs to कोई भी अंक ले लीजिए उसका x y कुछ भी अंक ले लेंगे उसमें से ठीक है तो यानि कि x बड़ा है y से और f x छोटा हो जाए किस से y तो function कैसा कहलाएगा monotonically decreasing तो इसमें और करके भी चाहो तो लिख सकते हैं और करके क्या लिख सकते हैं x छोटा है किस से y से implies क्या कर जाए fx greater than fy 4 all xy belongs to i तो यह लिख दिजे note कर लिजे इसको ठीक है तो यह monotonically increasing और monotonically decreasing की definition हो गई है चलिए अब हम पढ़ेंगे proper integral, तो proper integral क्या होता है, समझिए, the definite integral, integral a to b fx dx is said to be proper integral, कोई integral, यदि कोई क्या होता है, कैसा integral है, यह कोई definite integral है, कोई nissit samakalan है, तो वो क्या कहलाएगा, proper integral कहलाएगा, if the rays of integration, जदी rays of integration is finite, rays of integration कैसा है, finite, and the integrand fx is bounded. तो कोई भी integral, कोई भी निश्चित समाकलन, कोई भी definite integral क्या कहलाएगा, proper integral क्या कहलाएगा, यदि उसकी range of integration तो कैसी है, finite है, और उसका integrand, यानि कि fx function कैसा है उसका, bounded है, तो वो integral क्या कहलाएगा, proper integral, देखे definite integral, तुम्हें मालूम ही होगा, definite integral क्या होता है, definite integral को हिंदी में कह ठीक है, मालिया limit 1 to 2 x square into dx, तो यह कैसा integral है, कोई भी definite integral है, कोई निश्चित समाकल है, नहीं क्योंकि इस integral की value निश्चित ही आती है, ठीक है, जैसे हम इसका मालिया integral करेंगे, तो x cube बटे कितना, 3 limit कितनी, 1, 2, यहाँ से कितना जाएगा, 8 upon 3, और minus की कितना जाएगा, 1 upon 3, तो इसका मान निशित आ गया, इसलिए इसको हम बोलते हैं निशित समाकलन, definite integral बोलते हैं इसको, कैसा integral है यह, definite integral, और यदि कोई integral यह दे दिया, माल लिया suppose, x into dx, इसका integral करेंगे तो, x2 by 2 plus c, यह definite integral नहीं है, इसका निश्चित मान नहीं है, यह c पर depend करेगा, ठीक है, कोई इसका निश्चित मान नहीं आया है, तो यह हमारा definite integral नहीं है, तो जब limit दिवी होती है, तो वह integral कैसा कहला था हमारा, definite integral, और यदि definite integral दिया हो, तो उसमें c नहीं जोडते, ठीक है, कोई तो कोई definite integral है, a to b fx into dx, यह integral ही क्या कलाएगा, इस set to be proper integral कलाएगा, if range of integration is finite होनी चाहिए, ठीक है, limit यानि कि finite होनी चाहिए, मतलब ऐसा नहीं होना चाहिए, कि 0 to infinity आए, सब finite होनी चाहिए, कि 1 to 5, 0 to 5, या 0 to 10, तो यह कैसा होना चाहिए, limit कैसे होना चाहिए, इसकी finite and integrand fx is bounded ठीक है, तो देखिए function, bounded function कैसे होती है, bounded function कैसे होते है, माल लिए कोई हमारे पास function है, fx कोई function है, ठीक है, suppose हमने माल लिया x square plus 5 upon x minus 1 माल लिया, और interval ले लिया 2, 3, यह कोई interval ले लिया, इस interval के लिए यह function, bounded function होगा, इसके बीच की value कुछ भी रख लेंगे, तो function कैसा होगा, यह भी हमने इसमें, यह भी हमने interval इसमें 0,2 ले लिया, कितना ले लिया, 0,2 open ले लिजिए, यह close ले लिजिए, चलिए यह ले लिया, तो इस interval के, यह फंक्शन होगा unbounded, क्योंकि इस interval के बीच में एक value आएगी, x equal to 1, और 1 रखेंगे तो 1 minus 1, 0, infinity हाँ जाएगा, तो यह वाला फंक्शन x बराबर 1 पर कैसा हो जाएगा, unbounded, तो जो फंक्शन किसी भी point पर क्या ना हो, unbounded ना हो, तो वो फंक्शन कैसा कहलाएगा, bounded, तो इस वाले ही, integral में function कैसा होना चाहिए, bounded होना चाहिए, तो यह कोई example भी लिख सकते हैं इसके, चलिए example number, first proper integral का कोई example लिख लिजी, जिसे माल लिया कोई भी लिया, R02, 0 to 5, 1 upon, चली x plus 1 ले लिया, into dx, अब यह देखिए proper integral है या नहीं है, limit कैसी होनी चाहिए, finite, finite limit है, function कैसा होना चाहिए, bounded, देखिए 0 से लेके 5 तक कुछ भी तुम इसमें रख दीजिए, कहीं पर भी infinity नहीं होने का, तो यह कैसा integral होगा, यह proper integral होगा, कैसा integral होगा, ये proper integral, और कोई example देख लीजी, example number 2, integral 0 to pi y 2 sin x into dx, अभी देखिए यहाँ पर limit finite है, और ये जो function है, इसके बीच किसी भी point पर infinity नहीं आएगा, तो ये function कैसा होगा, bounded function होगा, जिस integral की limit finite हो, function bounded हो, वह integral है, प्रोपर इंट्रिगल क्या कहलाएगा, ठीक है तो यह इंट्रिगल भी कैसा होगा, प्रोपर इंट्रिगल, और एग्जांपल ले लीजी, एग्जांपल चली, थर्ड ले लीजी, 0 to pi by 2, sin x upon x, sin x upon x into dx, इसको देखिए, limit finite है, function, function x बराबर 0 पे, यह देखिए x बराबर 0 पे unbounded होगा या नहीं होगा यह, x बराबर 0 पे इसकी हम limit देखेंगे, निकाल के, देखेंगे infinity आएगी, या यदि हम इसकी limit निकालते हैं, x tends to 0 पे, तो इसकी limit तो उसका मान किसके बराबर होता है, 1 की, तो x बराबर 0 पे इस function की value, ठीक है, infinity नहीं आईगी, कोई निश्चिती आईगी, इसलिए यह function भी कैसा होगा, bounded होगा, और limit कैसी है इसकी, finite है, इसलिए integral कैसा होगा, pro पर integral होगा. ठीक है, तो यह तीनों एग्जांपल किसके हो गए, proper, integral की, ठीक है, इसको note कर लीजिए, इसके बाद हम पढ़ते हैं, improper, integrals, ठीक है, इसको note कर लीजिए, इसके बाद improper, integrals, जैसे कि चेप्टर का नाम भी हमारे क्या है, improper, integrals, चली तो अब definition देखिए, ठीक है, इसको आप लो चलिए अब पढ़ेंगे हम improper integrals चलिए तो improper integrals देखिए improper integrals, the definite integral कोई निश्य समागलन integral a to b, f x, d x is said to be an improper integral यह इंटरीगल ही क्या कहलाएगा ठीक है यह डेफिनिट यानि के निशी समाकरन ही क्या कहलाएगा एक इंप्रूपर इंटरीगल कहलाएगा इफ यदि क्या हो जाए दी इंटरबल इस नोट फाइनाइट यदि जो interval है, यानि कि a से लेके b तक, is not finite, यदि finite ना हो, and function is bounded over the interval a, b, और function कैसा हो, bounded हो, over the interval a, b, जसे ऐसा समझ लीजी, चली कोई example ले लीजी, limit तो हो जाए, माल लिया, 0 to, 0 to 1 माल ली और यह माल ली हमने 1 अपून या x अपून माल लीजी लिमिट तो कैसी आनी चाहिए, लिमिट तो कैसी आ जाए, is not finite, तो जीरो से infinity ले सकते हैं, जीरो से क्या, infinity, x बटी, x square, plus 1 into dx, तो ये देखिए कोई भी integral, ठीक है दिया देंगे सभी, कोई भी integral, कोई भी निश्चित समाकलन क्या कहलाएगा, improper integral कहलाएगा, यदी, interval is not finite, यह जो interval है is not finite, तो यहाँ से 0 से infinity तक है, तो is not finite and function is bounded, और function कैसा हो, bounded हो over the interval, इस interval में function हो, फंक्शन कैसा होगा, बाउंडिट होगा, अब देखिए फंक्शन इसमें बाउंडिट कैसा होगा, जीरो से इंफिरिटी के बीच में कुछ भी वैल्यू रख दीजिए, कभी भी ये इंफिरिटी नहीं आएगा, जीरो से इंफिरिटी के बीच कोई भी वैल्यू रख दीजि यह एग्जांपल चली है, फर्स्ट आ गया, इसके बाद आगे पढ़िये, The interval a, b is finite, function तो कैसा हो, finite. ठीक है, वो interval, interval तो कैसा हो, finite, the interval a, b is finite and fx is not bounded over the interval a, b, तो interval तो कैसा होना चाहिए, finite और function is not bounded, function is not bounded over the interval a, b, चलिए example number 2 से सबजीए इसको, Example number 2 से, interval तो कैसा हो, finite हो, function is not bounded, चलिए example देखिए, माल लिया, 0 to 5 limit दी, 1 upon x minus 1, or x plus 4, into bx, तो यह भी improper integral कहलाएगा, कैसा कहलाएगा, improper integral क्यों कहलाएगा, क्योंकि second point में क्या था, limit finite और function unbounded, 0 और 5 के बीच में एक value ले लीजिए, 1, तो x बराबर 1 रखेंगे, तो function कैसा आ जाएगा, infinity, तो इस पर कैसा हो जाएगा, यह unbounded हो जाएगा, कैसा हो जाएगा इस पर, unbounded, तो यहाँ पर function unbounded है, limit finite है, इस condition में यह वाला integral कैसा कहलाएगा हमारा, improper integral कहलाएगा, ठीक है, third देखिए, neither the interval is finite, कोई interval एबी है, ना तो यह कैसा हो, finite, nor fx is not bounded, उन्हाँ ही function bounded हो, in the interval a, b, तो उस condition में भी हमारा, जो इंट्रिगल होगा, वो कैसा होगा हमारा, improper integral होगा, ठीक है, तो तीसरा example भी लिख सकते हैं, वे ना तो limit finite हो और ना ही function bounded हो तो वो integral भी क्या कहलाएगा हमारा improper integral कहलाएगा तीसरा example लिख लीजिए limit मालिया 0 to infinity 1 upon x x minus 5, और x plus 2 मान लिया, suppose, x plus 2 into dx, तो ये भी कैसा है हमारा, improper, integral है, क्योंकि, इसमें ना तो limit finite है, उन ना function bounded है, तो ये तिनों ही integral कैसे हैं, इन में से कोई सी भी condition बन जाएगी, तो function कैसा कहलाएगा हमारा, integral कैसा कहलाएगा हमारा, improper integral कहलाएगा, फिर एक बार समझ लीजिए, ध्यान दीजिए, कोई निश्चित समाकलन improper integral कहलाएगा, यदि interval is not finite, is not finite और function is bounded तो यह function bounded है और यहाँ पे जो interval है is not finite इसलिए यह integral कैसा है यह improper integral second point में the interval a b is finite the interval a b कैसा होना चाहिए finite 0 से लेके 5 नक है तो कैसा है यह finite है and f x is not bounded और f x is not bounded over the interval a b तो यह is not bounded तो unbounded कुन से point पे है ही x equal to 1 पे, तो यह भी कैसा होगी हमारा, improper, integral, फिर तीसरे point में क्या खा, इन्होंने neither the interval a, b is finite, ना तो हमारा interval finite है, ठीक है, nor fx is bounded, नहीं fx bounded है over the interval, जैसे कि यह हमारा example दिया, तो यह जो limit ना तो कैसी है हमारी, ना तो limit हमारी finite है, ना ही function हमारा bounded है, हमारा improper integral है ठीक है तो चलिए इसको सभी आप लोग note कर लीजिए तो चलिए सभी इसको note कर लीजिए सभी को सबंच में आ गया हो गई improper integral और proper integral ठीक है तो चलिए आज के लिए इतना ही बाकी next रन पर है ठीक है आप हमारा पेड़ कोर्स करने के लिए PCM Guru application डाउनलोड कर सकते हैं आप सकते हैं उस पर लाइफ क्लासिस होती है ठीक है जो फीस होती है उस एप्लीकेशन पर एक बुक की जो फीस होती है मात्र बारस रुपए पर बुक होती है आप कोर्स परसीज करने के लिए 969022448844 वो रिटेट वेब वाटसएप मैसेज कर सकते हैं ठीक है और अपने फी सबमिट करने के बाद आप वाटसएप पर ही अपना स्क्रीन सोड भेज सकते हैं फी सबमिट करने के बाद स्क्रीन सोड भेज के आप बैच में ऐड हो जाएंगे जाएंगे ठीक है वैसे यह बुक तो ज्यादातर आपकी YouTube पर करा दी मान लिया और कोई कोर्स पर चीज करना आपको सेकंड सेंप या किसी भी ठीक है तो कोर्स पर चीज करने के लिए आप एप्लीकेशन डाउनलोड करिए ठीक है और इस नंबर वाटसएप मैसेज करिए ठीक है और फी समिट करने के बाद तो फी समिट आप इस नंबर पर वैसे पॉइंट पर गूगल पर और भी मैं भी चलते हैं ठीक है तो इस नंबर पर भी पे कर सकते हैं या अब या आप वहाँ पर एक QR Code ले सकते हैं WhatsApp पर तो या QR Code पर आप अपनी fee submit करा सकते हैं ठीक है तो यह book तो अधिकतर यह पर्चेस करने के अवसर आपका वाश्यकता ना हो, यह बुक की ज़्यादातर लेक्चर हैं, आप जाकर प्लेलिस्ट में देख लीजिए, इस बुक की इंटरियल केलकुल्स के ज़्यादातर लेक्चर आपके यूट्यूब पर ही आ गए हैं, फिर भी आपको अदर कोई को

तो चलिए, कुछ definitions देखिए. सबसे पहले definition पढ़ेंगी, Infinite Intervals. तो Infinite Intervals से पहले, interval ही समझिए क्या होते हैं.

interval समझिए क्या होते हैं, हमारे पास कोई set है, x such that a less than equal to x less than equal to b, x such that x ऐसा है, ठीक है, a less than equal to x less than equal to b, तो यही आता है इसमें, तो यह set, यह set क्या कलाता है, close interval कहा लाता है, यह set कहा लाता है, close interval, और किस से denote करते हैं इसको, a, b से, तो interval क्या होता है, कोई एक set होता है, अभी जैसे कोई एक और set ले लिया मैंने, suppose मैंने यहाँ पर माल लिया, एक set हमारे पास है, x such that, किसी set में, x ऐसा है, a less than x less than b, तो यह set क्या कहलाता है open interval और किसके बराबर होता है बोलिए open interval open interval को इस तरीके से denote करते हैं a, b या इसको ऐसे भी लिख सकते हैं open को इस तरीके से भी लिख सकते हैं कैसा interval है open interval तो interval ना को यह क्या होता है set होता है जैसे यह close interval a, b है तो यह एक set है जिसके अंदर AB है, BB है और इसके बीच की सारी values हैं, यह कैसा interval है, open interval, इस set के अंदर A और B के बीच की सारी values हैं, इसको इस तरीके से लिखते हैं, open interval A भी पढ़ते हैं, इसको open interval A भी पढ़ते हैं, तो इसका बतलब क्या है, इस set के अंदर A और B के बीच की सारी value है, जहां B बड़ा है, यह सी, यह भी कह सकते हैं, जहां B किस से बड़ा है, A से बड़ा, हमें से B बड़ा होगा, इसमें किस स ठीक है, तो यह बनेगा इस तरीके से यहां से, तो कैसा interval होगा है, इसको बोलते हैं left half open interval, और इसको ऐसा भी लिख सकते हैं, a, b इधर की साइड से close, किधर की साइड से open है, left, तो इसका मतलब यह है, सेट के अंदर a और b के बीच की value है, और ठीक है, यह से बड़े, बी से छोटे, और कौन भी है इसके अंदर, बी भी है, तो इस सेट को हम क्या बोलते हैं, left half open interval, और मालिए कोई सेट यह ले लिया, यहाँ पर equal आ गया, और यहाँ पर क्या आ गया, less than आ गया, तो इस सेट को हम क्या बोलेंगे, right half open interval इस set में बोलिए किसकी value तो है इसके अंदर A और B के बीच के सारे मान है और इसमें A भी है और कोन नहीं है इसके अंदर B नहीं है और जहां B बड़ा है A से B इन में A से बड़ा ही होगा तो interval क्या होता है कोई set होता है बास समझ में आगई तो अब हम पढ़ रहे हैं क्या, infinite interval, तो infinite interval देखें क्या होता है, the interval, अभी जैसे interval की length ही बात करते हैं, इसमें length का जिकर भी हुआ, देखें कोई interval हमारे पास, यह है बाल लिया, 2, 3, क्लोज इंटरवल 23 है, इसकी जो लेंथ लेते हैं, इसकी लेंथ होती है B-A, इसमें से घटा दीजिए, तो इसकी लेंथ कितनी आएगी, B-A यानि कि कितनी आएगी, एक आएगी, जो कि कैसा नंबर होगा, फाइनाइट नंबर होगा, तो यहाँ पर देखें क्या कहा गया, the interval whose length, length कह दीजी है क्या कह दीजी, range कह दीजी, is infinite, is said to be, is said to be an infinite interval, यह नहीं कि जिस interval की जो length हो, कैसी हो, infinite हो, तो वो interval ही कैसा कह लाता है, infinite interval कह लाता है, thus the interval जैसे हमने a, infinity, minus infinity to b, minus infinity से लिखे infinity, इनकी सबी की length कैसी है, infinite, इसकी length कैसी है, infinite, यानि कि length कैसे निकालेंगे, infinity में इसे खटा देंगे, तो infinity में कुछ खटा देजे, वो भी क्या आएगा, इनफिनाइट ही आएगा, ठीक है, या ऐसा समझिए, अलग जिस इंटरवल में इनफाइनाइट आ जाएगा, वो कैसा होगा, इनफाइनाइट इंटरवल होगा, ठीक है, यानि कि जिनकी लेंथ, या जैसे रेंज कह दीजिए, इसकी रेंज कहां से कहां तक गई, तो जिनकी range या length कैसी हो? Infinite हो, तो वो क्या कहलाएगा? Infinite, interval कहलाएगा, तो ये हमारे interval a to infinity, minus infinity to b, and minus infinity to infinity, और कैसे हैं ये? Infinite interval, ठीक है? इसके बाद में bounded function, bounded function, a function fx is said to be bounded कोई function क्या कहलाएगा, bounded कहलाएगा over the interval i i कोई interval है, i कोई भी interval हो सकता है, ठीके कुछ भी interval हो सकता है, इस तरीके से दे दिया मान लिया, 1, 2 दे दिया है, जो भी देगा, दे देगा वो interval, तो I क्या है कोई भी यह?

interval है, if there exists two real numbers, A and B, जिसमें B बड़ा है किस से? A से, such that, ऐसा हो जाए, A less than equal to Fx less than equal to B, for all, x belongs to i यदि fx जो है bound हो जाए किसके बीच में a और b के बीच में x belongs to 4 all इसको बोलते हैं 4 all वो role सभी के लिए, x उसमें से कुछ भी ले लिजी, तो कैसा होना चाहिए वो, bounded होना चाहिए, तो ऐसा function ही क्या कहलाता है, bounded function कहलाता है, और bounded के बाद, इसके बाद आएगा unbounded function, अब unbounded function कैसा होता है, समझी, मालिया कोई तो बारे सामने function लिख दिया, fx बराबर 1 upon, 1 upon x minus 5, यह उपर चली है कुछ भी लिख दिया, x, ठीक है, चलो यही लिख दिया कोई function, इसमें interval दे दिया, interval दे दिया इसमें, 2, 5, i interval दे दिया, इस interval के लिए हमें देखना, यह bounded function है या unbounded function है, यदि यह function इसके किसी point पे infinity आ जाएगा, तो यह कहलाएगा उस point पे unbounded function. अब जैसे x बराबर 5 है, तो इसके अंदर है नहीं है 5? है.

जदी मैं यह 5 रखूँगा, तो 5 minus 5? 0. तो function कैसा हो जाएगा? Infinity आ जाएगा. तो यह function x बराबर 5 पर unbounded है.

ठीक है? अभी जैसे interval कुछ और होता है. 2, 3 होता है, इसके बीच का कुछ भी मान रख देना, कभी भी infinity हो जाएगा क्या ही, नहीं होगा, तो ये function इस interval के लिए कैसा है, bounded है, ठीक है, मैंने कुछ और ले लिया यहाँ पर suppose, मैंने 4, 6 ले लिया, इसके लिए बताना bounded या unbounded, bounded कैसा है, अरे इसके बीच में तो 5 भी है, इसके बीच में 5 है नहीं है तो 5 रखूँगा तो क्या हो जाएगा ठीक है, infinity आ जाएगा, तो ये function x बराबर 5 पर कैसा आएगा, unbounded, 5 है नहीं इसमें, अरे दिखी तो नहीं रहा, है तो, क्योंकि इनके बीच, इसका मतलब क्या होता है, इनके बीच का कोई भी मान ले सकते हैं, ठीक है, तो इनके बीच में 5 है नहीं है, तो इस interval के लिए function कैसा ठीक है तो यह definition note करिए, चलिए अब मैं unbounded के बारे में लिखवा देता हूँ, इसको note कर लिजी, इसके बाद चलिए unbounded function की definition लिखेंगे चलिए unbounded function देखिए a function fx is set to be unbounded एक function क्या कहलाएगा unbounded कहलाएगा at a point ठीक है एक point पर if it's became infinite यदि यह क्या बन जाएगा, infinite, at that point, यदि उस point पर क्या बन जाएगा, वो infinite बन जाएगा, तो function उस point पर क्या कहलाएगा, unbounded, thus the function, कोई हमने function ले लिया, इस परकार यह कोई function है, fx बराबर कितना, x square upon x minus 4 into x minus 5 तो ये function किस-किस point पे infinite बनेगा x बराबर 4 पे और x बराबर किस पे 5 पे तो ये जो function है is कैसा है ये unbounded at each of points x equal to 4, x equal to 5 तो कोई function किसी point पे यदि क्या बन जाएगा infinite बन जाएगा, तो वो function उस point पे क्या कहलाएगा, unbounded कहलाएगा, बस बन आ गई, ठीक है, चलिए इसको note कर लीजी, चलिए अब monotonically increasing function, तो monotonically increasing function क्या होते हैं, a real valued function, कोई function कैसा है, real valued function, ठीक है real valued function कैसे होते हैं, कोई function है fx, suppose x square है, और interval ये दे दिया, 1, 2 दे दिया, तो इस interval की value कुछ भी रखेंगे, तो f की value हमेशा real ही आएगी, इस interval की कुछ भी value रखेंगे, लेंगे वन से लेकर टू के बीच कुछ भी रख दीजिए इसमें तो कैसी वैल्यू आएगी वैसे फंक्शन को हम क्या बोलेंगे वैल्यू फंक्शन बोलते हैं ठीक है तो कोई फंक्शन कैसा है वैल्यू जैनी कि इस फंक्शन वैल्यू किसी भी पॉइंट पर यह जो भी इंटरवल दे रखा उस पॉइंट पर कैसी आएं रियल आएं तो वह फंक्शन कैसा कहलाता है रियल वैल्यू फंक्शन तो ए रियल वैल्यू फंक्शन है डिफाइंड और अधिक जो आप देख सकते हैं on an interval, किसी interval में defined किया गया, उसके पीछे उसका interval दे दिया होगा, ठीक है, a real valued function, f, defined on an interval, i, कोई interval क्या दे रखा, i, is said to be monotonically increasing, तो क्या कहलाएगा, monotonically increasing कहलाएगा, if, x बड़ा है किससे, y से, implies कर जाए, fx greater than, y, for all, x y belongs to i जहां x y किसके elements हैं i के elements हैं इसको belong करते हैं यह ऐसे भी हो जाए और करके चाहो तो इसमें यह भी लिख सकते हैं x छोटा हो किसे?

y से, और क्या आ जाए? fx less fy, for all xy belongs to i, तो लेस है तो लेस ही होना चाहिए, greater है तो क्या होना चाहिए? greater, तो ऐसा function कैसे कहलाते हैं? monotonically increasing, अभी ज़रा देखो, यहां देखिए, कोई मेरे पास function है, fx, fx बराबर चलिए, मैंने x ही ले लिया, और interval ले लिया इसका, कुछ भी interval ले लिया, चलिए 3, 4 ले लिया, ठीक है, x की value इसमें से कुछ ले लिजी, ठीक है, x की value मैंने ले लिए इसमें 3, ठीक है, x की value ले ली, कितनी इसमें, 3, y भी सीमे सी ले ली जी, 3, इसके अंदर है नहीं है, इरा, लो, close interval है, तो 3 भी इसके अंदर है, न, y का मान कुछ मैंने ले लिया, 3.5, दोनों बता न, i को ब्लॉंग कर रही है नहीं कर रही है, कर रही है इसको ब्लॉंग, तो यदि मैं f3 का मान निकल लूँगा तो 3 आएगा, और f 3.5 कमान निकल लूगा तो 3.5 आएगा, तो यहाँ से जैसे हम इसको देख रहे हैं, इस मैंसे दोनों में से कोई साइल यह लगा दीजी, तो देखना x कमान तो कितना तीम, y कमान, तो x बड़ा है या y बड़ा?

y बड़ा अब function का मान निकल लेंगे यानि किस का मान निकल लेंगे? f3 का मान निकल लेंगे f3 का मान कितना आया? 3 वह x plus 1 भी हो सकता है function क्या भी हो सकता है? चलो x plus 1 ले लिया तो अब तुम मुझे f3 का मान बताओ 3 plus 1 कितना आएगा? 4 f किस का मान?

5 3.5 का मान बताओ 4.5 तो इसमें x कोन है 3 y कोन है 3.5 fx का मान तो यहाँ से देखिए यह आ रहा है तीन लेस्ट देन थ्री पॉइंट फाइव न और इससे आ क्या गया फंक्शन यानि कितना फ थ्री लेस्ट देन किससे आ गया थ्री पॉइंट फाइव नीचे साइड भी थोड़ा दिखा नहीं है तो कहने का मतलब है इन दोनों में से कोई सही, लेस है तो लेस ही होना चाहिए, या greater ले लिया, suppose x का मान क्या ले लिया, बड़ा किस से, y से, तो fx बड़ाना चाहिए, fy से, ऐसा function क्या कहलाएगा, monotonically increasing कहलाएगा, जैसे ये function मैंने लिखा, monotonically increasing function है, चीके, अब पढ़ेंगे हम monotonically decreasing function monotonically decreasing function देखें क्या होता है definition समझीए पहले definition समझीए monotonically decreasing की a real valued function a real valued function f defined on an interval i is said to be monotonically decreasing कोई function f है जो किस interval में define किया गया i interval में तो वो क्या कहलाएगा monotonically decreasing कहलाएगा कब कहलाएगा चलाएगा यदि x बड़ा हो y से और fx less आ जाए किस से, f y से, for all x y belongs to i, मलब x तो बड़ा है किस से, y से, but fx छोटा आ जाए किस से, f y से, अभी जैसे कोई function मैंने ले लिया आपके साबने, fx बराबर चली, 1 upon x ले लिया, इंटरवल ले लिया मैंने, चली ने 3-4 कहा था, 3-4 ले लिया दुबारे भी, ठीक है, x का मान बड़ा लेना y से, उसमें से लेना, एक्स चलो, 4 ले लिया, 3.9 भी ले सकते हैं, क्योंकि 3.9 भी है उसके अंदर, 3.8 ले सकते हैं, कुछ ले सकते हैं, चलिए जो तुम्हें अच्छा लगे, 4 अच्छा लगा हमें तो, 4 ले लिया, चलिए, ठीक है, एक्स कमान कितना ले लिया, 4, एक्स बड़ा लेना वाई से, 3.5 ले लीजिए, 3.3 ले लीजिए, तुम्हारी मरजी है, चलिए 3.3 ले लिया, ठीक है, अब इसमें ना FX कमान निकालिए, किस कमान निकालिए, FX का, FX मतलब क्या, F4, F4 कितना आएगा इसमें, 1 upon कितना आएगा, 4 आएगा, अब किस कमान निकाली है, FY का, FY का नीचे नहीं दिखेगा भी, चलो यहाँ को लिखता हूँ, FY कमान कितना, F3.3 कमान निकाल रहे हैं, 1 upon 3.3 तो यह देखिए 1 upon 4 बड़ा या 1 upon 3.3 बड़ा यानि कि जैसे हम ऐसे लिखते हैं वहीं 1.2 और 1.3 कौन बड़ा इसमें अरे जिसके निचे छोटी value तो इसमें इसमें देखना कौन बड़ा आ गया तो यहाँ से, बता ना Fy बड़ा है या Fx बड़ा? Fy बड़ा है. तो यहाँ क्या आ गया Fy?

बड़ा है किसी? Fx. Fx. यह Fx, यह क्या लिख सकते हैं? Fx छोटा है?

Fy. ऐसा लिख सकते हैं, तो यहां देखिए हुआ क्या था, हम लेके क्या चले थे इसमें, x बड़ा लेके चले थे किस से, y से, अरे यहां बड़ा था न, और fx छोटा या किस से, f y से, x बड़ा लेकर चलेते y से, यह चिम चेंज हो गया है न, greater का वहाँ क्या हो गया, less हो गया, तो ऐसा function क्या कहलाता है, monotonically decreasing, यह ऐसा हो जाए, यह तो x छोटा लेकर चलें किस से, y से, और f x बड़ा जाए किस से, ऐसा function भी क्या कहलाएगा, मόνο तो निगली decreasing function कहलाएगा बास अज़िमाई तो इन्होंने देखे ये कहा 4 all x y belongs to कोई भी अंक ले लीजिए उसका x y कुछ भी अंक ले लेंगे उसमें से ठीक है तो यानि कि x बड़ा है y से और f x छोटा हो जाए किस से y तो function कैसा कहलाएगा monotonically decreasing तो इसमें और करके भी चाहो तो लिख सकते हैं और करके क्या लिख सकते हैं x छोटा है किस से y से implies क्या कर जाए fx greater than fy 4 all xy belongs to i तो यह लिख दिजे note कर लिजे इसको ठीक है तो यह monotonically increasing और monotonically decreasing की definition हो गई है चलिए अब हम पढ़ेंगे proper integral, तो proper integral क्या होता है, समझिए, the definite integral, integral a to b fx dx is said to be proper integral, कोई integral, यदि कोई क्या होता है, कैसा integral है, यह कोई definite integral है, कोई nissit samakalan है, तो वो क्या कहलाएगा, proper integral कहलाएगा, if the rays of integration, जदी rays of integration is finite, rays of integration कैसा है, finite, and the integrand fx is bounded. तो कोई भी integral, कोई भी निश्चित समाकलन, कोई भी definite integral क्या कहलाएगा, proper integral क्या कहलाएगा, यदि उसकी range of integration तो कैसी है, finite है, और उसका integrand, यानि कि fx function कैसा है उसका, bounded है, तो वो integral क्या कहलाएगा, proper integral, देखे definite integral, तुम्हें मालूम ही होगा, definite integral क्या होता है, definite integral को हिंदी में कह ठीक है, मालिया limit 1 to 2 x square into dx, तो यह कैसा integral है, कोई भी definite integral है, कोई निश्चित समाकल है, नहीं क्योंकि इस integral की value निश्चित ही आती है, ठीक है, जैसे हम इसका मालिया integral करेंगे, तो x cube बटे कितना, 3 limit कितनी, 1, 2, यहाँ से कितना जाएगा, 8 upon 3, और minus की कितना जाएगा, 1 upon 3, तो इसका मान निशित आ गया, इसलिए इसको हम बोलते हैं निशित समाकलन, definite integral बोलते हैं इसको, कैसा integral है यह, definite integral, और यदि कोई integral यह दे दिया, माल लिया suppose, x into dx, इसका integral करेंगे तो, x2 by 2 plus c, यह definite integral नहीं है, इसका निश्चित मान नहीं है, यह c पर depend करेगा, ठीक है, कोई इसका निश्चित मान नहीं आया है, तो यह हमारा definite integral नहीं है, तो जब limit दिवी होती है, तो वह integral कैसा कहला था हमारा, definite integral, और यदि definite integral दिया हो, तो उसमें c नहीं जोडते, ठीक है, कोई तो कोई definite integral है, a to b fx into dx, यह integral ही क्या कलाएगा, इस set to be proper integral कलाएगा, if range of integration is finite होनी चाहिए, ठीक है, limit यानि कि finite होनी चाहिए, मतलब ऐसा नहीं होना चाहिए, कि 0 to infinity आए, सब finite होनी चाहिए, कि 1 to 5, 0 to 5, या 0 to 10, तो यह कैसा होना चाहिए, limit कैसे होना चाहिए, इसकी finite and integrand fx is bounded ठीक है, तो देखिए function, bounded function कैसे होती है, bounded function कैसे होते है, माल लिए कोई हमारे पास function है, fx कोई function है, ठीक है, suppose हमने माल लिया x square plus 5 upon x minus 1 माल लिया, और interval ले लिया 2, 3, यह कोई interval ले लिया, इस interval के लिए यह function, bounded function होगा, इसके बीच की value कुछ भी रख लेंगे, तो function कैसा होगा, यह भी हमने इसमें, यह भी हमने interval इसमें 0,2 ले लिया, कितना ले लिया, 0,2 open ले लिजिए, यह close ले लिजिए, चलिए यह ले लिया, तो इस interval के, यह फंक्शन होगा unbounded, क्योंकि इस interval के बीच में एक value आएगी, x equal to 1, और 1 रखेंगे तो 1 minus 1, 0, infinity हाँ जाएगा, तो यह वाला फंक्शन x बराबर 1 पर कैसा हो जाएगा, unbounded, तो जो फंक्शन किसी भी point पर क्या ना हो, unbounded ना हो, तो वो फंक्शन कैसा कहलाएगा, bounded, तो इस वाले ही, integral में function कैसा होना चाहिए, bounded होना चाहिए, तो यह कोई example भी लिख सकते हैं इसके, चलिए example number, first proper integral का कोई example लिख लिजी, जिसे माल लिया कोई भी लिया, R02, 0 to 5, 1 upon, चली x plus 1 ले लिया, into dx, अब यह देखिए proper integral है या नहीं है, limit कैसी होनी चाहिए, finite, finite limit है, function कैसा होना चाहिए, bounded, देखिए 0 से लेके 5 तक कुछ भी तुम इसमें रख दीजिए, कहीं पर भी infinity नहीं होने का, तो यह कैसा integral होगा, यह proper integral होगा, कैसा integral होगा, ये proper integral, और कोई example देख लीजी, example number 2, integral 0 to pi y 2 sin x into dx, अभी देखिए यहाँ पर limit finite है, और ये जो function है, इसके बीच किसी भी point पर infinity नहीं आएगा, तो ये function कैसा होगा, bounded function होगा, जिस integral की limit finite हो, function bounded हो, वह integral है, प्रोपर इंट्रिगल क्या कहलाएगा, ठीक है तो यह इंट्रिगल भी कैसा होगा, प्रोपर इंट्रिगल, और एग्जांपल ले लीजी, एग्जांपल चली, थर्ड ले लीजी, 0 to pi by 2, sin x upon x, sin x upon x into dx, इसको देखिए, limit finite है, function, function x बराबर 0 पे, यह देखिए x बराबर 0 पे unbounded होगा या नहीं होगा यह, x बराबर 0 पे इसकी हम limit देखेंगे, निकाल के, देखेंगे infinity आएगी, या यदि हम इसकी limit निकालते हैं, x tends to 0 पे, तो इसकी limit तो उसका मान किसके बराबर होता है, 1 की, तो x बराबर 0 पे इस function की value, ठीक है, infinity नहीं आईगी, कोई निश्चिती आईगी, इसलिए यह function भी कैसा होगा, bounded होगा, और limit कैसी है इसकी, finite है, इसलिए integral कैसा होगा, pro पर integral होगा. ठीक है, तो यह तीनों एग्जांपल किसके हो गए, proper, integral की, ठीक है, इसको note कर लीजिए, इसके बाद हम पढ़ते हैं, improper, integrals, ठीक है, इसको note कर लीजिए, इसके बाद improper, integrals, जैसे कि चेप्टर का नाम भी हमारे क्या है, improper, integrals, चली तो अब definition देखिए, ठीक है, इसको आप लो चलिए अब पढ़ेंगे हम improper integrals चलिए तो improper integrals देखिए improper integrals, the definite integral कोई निश्य समागलन integral a to b, f x, d x is said to be an improper integral यह इंटरीगल ही क्या कहलाएगा ठीक है यह डेफिनिट यानि के निशी समाकरन ही क्या कहलाएगा एक इंप्रूपर इंटरीगल कहलाएगा इफ यदि क्या हो जाए दी इंटरबल इस नोट फाइनाइट यदि जो interval है, यानि कि a से लेके b तक, is not finite, यदि finite ना हो, and function is bounded over the interval a, b, और function कैसा हो, bounded हो, over the interval a, b, जसे ऐसा समझ लीजी, चली कोई example ले लीजी, limit तो हो जाए, माल लिया, 0 to, 0 to 1 माल ली और यह माल ली हमने 1 अपून या x अपून माल लीजी लिमिट तो कैसी आनी चाहिए, लिमिट तो कैसी आ जाए, is not finite, तो जीरो से infinity ले सकते हैं, जीरो से क्या, infinity, x बटी, x square, plus 1 into dx, तो ये देखिए कोई भी integral, ठीक है दिया देंगे सभी, कोई भी integral, कोई भी निश्चित समाकलन क्या कहलाएगा, improper integral कहलाएगा, यदी, interval is not finite, यह जो interval है is not finite, तो यहाँ से 0 से infinity तक है, तो is not finite and function is bounded, और function कैसा हो, bounded हो over the interval, इस interval में function हो, फंक्शन कैसा होगा, बाउंडिट होगा, अब देखिए फंक्शन इसमें बाउंडिट कैसा होगा, जीरो से इंफिरिटी के बीच में कुछ भी वैल्यू रख दीजिए, कभी भी ये इंफिरिटी नहीं आएगा, जीरो से इंफिरिटी के बीच कोई भी वैल्यू रख दीजि यह एग्जांपल चली है, फर्स्ट आ गया, इसके बाद आगे पढ़िये, The interval a, b is finite, function तो कैसा हो, finite.

ठीक है, वो interval, interval तो कैसा हो, finite, the interval a, b is finite and fx is not bounded over the interval a, b, तो interval तो कैसा होना चाहिए, finite और function is not bounded, function is not bounded over the interval a, b, चलिए example number 2 से सबजीए इसको, Example number 2 से, interval तो कैसा हो, finite हो, function is not bounded, चलिए example देखिए, माल लिया, 0 to 5 limit दी, 1 upon x minus 1, or x plus 4, into bx, तो यह भी improper integral कहलाएगा, कैसा कहलाएगा, improper integral क्यों कहलाएगा, क्योंकि second point में क्या था, limit finite और function unbounded, 0 और 5 के बीच में एक value ले लीजिए, 1, तो x बराबर 1 रखेंगे, तो function कैसा आ जाएगा, infinity, तो इस पर कैसा हो जाएगा, यह unbounded हो जाएगा, कैसा हो जाएगा इस पर, unbounded, तो यहाँ पर function unbounded है, limit finite है, इस condition में यह वाला integral कैसा कहलाएगा हमारा, improper integral कहलाएगा, ठीक है, third देखिए, neither the interval is finite, कोई interval एबी है, ना तो यह कैसा हो, finite, nor fx is not bounded, उन्हाँ ही function bounded हो, in the interval a, b, तो उस condition में भी हमारा, जो इंट्रिगल होगा, वो कैसा होगा हमारा, improper integral होगा, ठीक है, तो तीसरा example भी लिख सकते हैं, वे ना तो limit finite हो और ना ही function bounded हो तो वो integral भी क्या कहलाएगा हमारा improper integral कहलाएगा तीसरा example लिख लीजिए limit मालिया 0 to infinity 1 upon x x minus 5, और x plus 2 मान लिया, suppose, x plus 2 into dx, तो ये भी कैसा है हमारा, improper, integral है, क्योंकि, इसमें ना तो limit finite है, उन ना function bounded है, तो ये तिनों ही integral कैसे हैं, इन में से कोई सी भी condition बन जाएगी, तो function कैसा कहलाएगा हमारा, integral कैसा कहलाएगा हमारा, improper integral कहलाएगा, फिर एक बार समझ लीजिए, ध्यान दीजिए, कोई निश्चित समाकलन improper integral कहलाएगा, यदि interval is not finite, is not finite और function is bounded तो यह function bounded है और यहाँ पे जो interval है is not finite इसलिए यह integral कैसा है यह improper integral second point में the interval a b is finite the interval a b कैसा होना चाहिए finite 0 से लेके 5 नक है तो कैसा है यह finite है and f x is not bounded और f x is not bounded over the interval a b तो यह is not bounded तो unbounded कुन से point पे है ही x equal to 1 पे, तो यह भी कैसा होगी हमारा, improper, integral, फिर तीसरे point में क्या खा, इन्होंने neither the interval a, b is finite, ना तो हमारा interval finite है, ठीक है, nor fx is bounded, नहीं fx bounded है over the interval, जैसे कि यह हमारा example दिया, तो यह जो limit ना तो कैसी है हमारी, ना तो limit हमारी finite है, ना ही function हमारा bounded है, हमारा improper integral है ठीक है तो चलिए इसको सभी आप लोग note कर लीजिए तो चलिए सभी इसको note कर लीजिए सभी को सबंच में आ गया हो गई improper integral और proper integral ठीक है तो चलिए आज के लिए इतना ही बाकी next रन पर है ठीक है आप हमारा पेड़ कोर्स करने के लिए PCM Guru application डाउनलोड कर सकते हैं आप सकते हैं उस पर लाइफ क्लासिस होती है ठीक है जो फीस होती है उस एप्लीकेशन पर एक बुक की जो फीस होती है मात्र बारस रुपए पर बुक होती है आप कोर्स परसीज करने के लिए 969022448844 वो रिटेट वेब वाटसएप मैसेज कर सकते हैं ठीक है और अपने फी सबमिट करने के बाद आप वाटसएप पर ही अपना स्क्रीन सोड भेज सकते हैं फी सबमिट करने के बाद स्क्रीन सोड भेज के आप बैच में ऐड हो जाएंगे जाएंगे ठीक है वैसे यह बुक तो ज्यादातर आपकी YouTube पर करा दी मान लिया और कोई कोर्स पर चीज करना आपको सेकंड सेंप या किसी भी ठीक है तो कोर्स पर चीज करने के लिए आप एप्लीकेशन डाउनलोड करिए ठीक है और इस नंबर वाटसएप मैसेज करिए ठीक है और फी समिट करने के बाद तो फी समिट आप इस नंबर पर वैसे पॉइंट पर गूगल पर और भी मैं भी चलते हैं ठीक है तो इस नंबर पर भी पे कर सकते हैं या अब या आप वहाँ पर एक QR Code ले सकते हैं WhatsApp पर तो या QR Code पर आप अपनी fee submit करा सकते हैं ठीक है तो यह book तो अधिकतर यह पर्चेस करने के अवसर आपका वाश्यकता ना हो, यह बुक की ज़्यादातर लेक्चर हैं, आप जाकर प्लेलिस्ट में देख लीजिए, इस बुक की इंटरियल केलकुल्स के ज़्यादातर लेक्चर आपके यूट्यूब पर ही आ गए हैं, फिर भी आपको अदर कोई को

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