Selamlar güzel arkadaşım ben Mehmet Hoca'm. Rehber matematikte sıfırdan matematik dedik ve geldik. 13. bölüme.
Dile kolay abi. 13. bölüm diyorum sana. Yarısından azı kaldı diyorum. Ve hemen şöyle açıyorum bak. Neredeyiz?
Neredeyiz abi? Hemen açtım. Sayfa 137. sayfayı açıyorsun.
Nerede o? Hah buldum. 137. sayfayla başlıyoruz.
Bak abi parlama parlama ya. Parlama ne güzel gösteriyordum işte. 138, 139. sayfaları yapacağız beraber. Bitti mi? Bitti.
Bitti. Gerçekten bitti. Ama sonrasında etüt soruları gelecek. Bir de etüt sorularımızı çözeceğiz. Oh mis diyeceğiz.
Kitabın çoğu gitti. Azı kaldı. Hiç başlamasaydın hala olduğun yerde sayıyor olacaktın. Ama şimdi matematik adına bambaşka noktalara geliyoruz.
Sesim nasıl böyle daha net geliyorsa. Lafı daha fazla uzatmıyorum yeni ortamımda. İşte yeri geliyor şurada masanın başına geçip çekiyorum.
Yeri geliyor buraya. Abi duramıyorum yerimde diyorsan. Olacak olacak olacak o kadar tam yerine vaz geldi manzara koyduk. Öyle bir şarkı vardı galiba değil mi?
Elimizde kalemler önümüzde sıfır. sıfırdan matematik. Aynı heyecan, aynı enerji, aynı coşku, aynı mutlulukla matematik öğrenmeye devam ediyoruz. Gönder.
Aa gönder. Gönder gelsin o zaman diyorum ve geldi. Birazcık sert basmak gerekiyormuş. Hocam bugünkü başlığımız ne? Birinci dereceden denklemler.
Aslında çözümü gerçekten kolay olan bu birinci dereceden denklemlerde hem çözüm yollarını göreceğiz hem de bu çözüm yollarını yaparken nelere dikkat etmeliyiz onu öğreneceğiz. Ama her zaman olduğu gibi abi tanım. Hocam birinci dereceden denklemi tanım mı olur? Olur.
sandın? Her şeyin tanımı bizde mevcut abicim. A ve B birer gerçek sayı.
A sıfırdan farklı olmak üzere. Eğer senin elinde AX artı B eşittir sıfır şeklinde bir denklem varsa biz bu denkleme birinci dereceden bir bilinmeyen ne denklem diyeceğiz? X'in üstü birinci derecedense eğer bir olmak zorundadır.
Üstem kastım bak şurada hiçbir şey yazmıyorsa o X'in üstü bir kabul edilir. Biz ona ne diyeceğiz? Birinci dereceden anlamını oradan alacağız.
Peki denklemi sağlayan X değerlerine denklemin kökü adını vereceğiz. Hani ben sana soru da hocam X'i bulun demiyor. Ne diyor?
Denklemin kökünü bulun diyor. Ne demek hocam o? Abicim X değerini bulun demek denklemin kökünü bulun demek.
Aynı şeydir. Buna dikkat ediyorsun. Denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi adı verilir.
Hatta yazarken çözüm kümesi eşittir nokta nokta içine yazıyorduk. Böyle küme işareti koyuyorduk. Hatırladın mı onu da?
Hatırladım tabii çünkü benzerlerini daha öncesinde... da yapmıştık. Şimdi hemen sorulara geçelim artık.
Aşağıda verilen birinci dereceden bir bilinmeyenle denklemlerin çözüm kümelerinde bulundu diyor. Denklem çözülürken ne yapılır? Bilenle bilinmeyen diğer tarafa alınır.
Burada bilinmeyen olan 5x burada kalsın. 17'nin yanına artı 8'i gönderdim abi. 5x eşittir ne geldi? 25. Her tarafı 5'e böldüm. X'ine geldi 5. Bitti.
Ha derse ki eğer çözüm kümesini bulun şöyle yazmakta fayda var. Özellikle klasik sınavlarda zaten test olsa 5'i gördün mü yapıştırıyorsun. O ayrı.
Hocam bu tarz ifadeler geldiğinde varsa parantez önce yapılabiliyorsa ne yapıyorduk? Sadeleştirme yapıyorduk. 3'ü 3'e böldüm. 1, 27'i 3'e böldüm. 9 geldi.
Hocam burada 2x eksi 4 eşittir 9. 9'u aldım karşıya attım. 2x eşittir 13. Her tarafı 2'ye böldüm. Cevap 13 bölü 2. Hocam rasyonel cevap olur mu?
Olmaz mı? Paşa gönlümü isterse o da olur. Yine varsa önce sadeleştirme bak.
Eksi 2'ye 8 var. Eksi 2'yi eksi 2'ye böldüm gitti. 8'i eksi 2'ye böldüm.
Eksi 4 kaldı. Hocam bu tarafta 4x artı 1 karşıda eksi 4 var. Artı 1'i karşıya attım.
4x'in cevabı neye eşit çıktı? Eksi 5'e eşit çıktı. Her tarafı 4'e böldüm.
Eksi 5 bölü 4. Bu kadar abi. Bu kadar geç. Çözüm kümesini istemiyorum yazmak. O zaman geçtim.
Hocam senin verdiğin bu denklemde bu sefer sadeleştirme yapılmıyor. Sadeleştirme yapılmıyorsa direkt işlemlere başla. Ama burada önce dağıtmam lazım.
Bak 5x eksi 5. Yine burada da dağıtmam lazım. 3x artı 3. X'leri bu tarafa topladım. Bak burada 2x kaldı. Eksi 5 karşıya artı olarak geçti.
Burası 8 oldu. X'in cevabı ne geldi? Tas tamam 4 geldi.
Vurdum cevabı 4'e. Geçtim yenisine. Yine aynı mantıkla bak hocam bunu da dağıtacağım.
Bunu da dağıtacağım değil mi? Aynen öyle dağıtarak başlaman gerekiyor. Başladım. Burası 10x oldu.
2 kere 5'ten 10 geldi. Eksiyle çarpıyorsun dikkat et. Eksi 4x.
Eksiyle çarpıyorsun. Eksi 4. Eksi 6 çarpıma 4 kere 6'dan 24 ama artı 24. X'leri kendi içinde işleme alıyorum. 10x'den 8x'i çıkardım.
2x kaldı. Şu arkadaşları kendi içerisinde işleme aldım. 14. 14'ü karşıya attım 0. Hocam 2x eşittir 0 çıkıyor.
Sen böl her tarafı 2'ye. X'in cevabı ne oldu? 0 oldu güzel. Yine dağıtarak gelmeye devam ediyorum. 4x-4.
Hocam bak burada eksiği dağıtacağım değil mi? Eksi x artı 3 eşittir neye? 20'ye.
4x'den x'i çıkardım ne kaldı? 3x kaldı. Eksi 4 artı 3 daha ne yaptı?
Eksi 1 yaptı. Neye eşit? 20'ye eşit.
Eksi 1 aldım karşıya attım. 3x eşittir 21 çıktı. X'in cevabı neye eşit çıktı?
7'dir dedim. Vurdum soruma cevabı 7'ye. Geldim soruna o 1'e. Baktık soruya.
Denkleminin çözüm kümesi 4 olduğuna göre A kaçtır diye sormuş bana. Arkadaş çözüm kümesi demek aslında X'in yerine yazılabilecek olan değer anlamına geliyordu. Değil mi? Öyle demiştin hocam sen. Madem öyle dedin ben X yerine 4 yazarım. Bak burada x yerine 4 yazın.
4 ile de a'yı çarpınca 4 a geldi. Artı 5 eksi ne yazacağım? 4 kere 4'ten 16 yazacağım buraya.
Eksi 16. Karşıda kaç var hocam? 13 var. Hemen bunları işleme aldım.
Buradan ne kaldı? Eksi 11 kaldı. Eksi 11'i karşıya göndereceğim.
Burada 4 tane a'mız var. 13 artı 11. Ki onları topladım da 24 geldi. 4 a'ya eşitse her tarafı 4'e bölersem 4 kere 6 24'tir.
A'nın cevabı 6 gelir. Soru biter. Müthiş müthiş buraya kadar var mı kafalara takılan herhangi bir soru işareti kafamızda. Yok değil mi? O zaman yola devam diyorum ben de.
Hemen baktım sorun o 2'de 2x'li bir ifade diye başlıyor. Ama soru bana aslında neyi vermiş? Çözüm kümesini vermiş.
Yani diyor ki x'in yerine kardeş git 4'ü yaz. Hadi gel x yerine 4 yazalım. Bak burada 4 yazdım. 2 kere 4 8. x yerine 4 yazdım. 3 kere 4 12 oldu.
Yani şöyle bir ifade. 12 eksi a ifadesi. 4 eksi b ifadesi. Hocam yalnız soru A artı B'yi soruyor.
Panik yapma bekle. Hocam eksi içeri dığıtsak. Dığıt bakalım.
8 eksi 12 artı A eşittir 4 eksi B. Arkadaş bak bir daha bak soruya. Ne istiyor?
A artı B istiyor. A artı B'nin oluşması için eksi A'nın A'nın yanına geçmesi gerekiyor. Hemen şu işlemi yaptım.
Eksi 4. Eksi 4'ü karşıya gönderdim. Artık bu tarafa geçiyorum. A yerindeydi.
Eksi B yanına artı B olarak geldi. 4 yerindeydi. eksi 4. Karşıya artı 4 olarak geçti.
A artı B'nin cevabı 4 4 daha ne geldi? 8'dir dedi. Hocam benden istediğiniz cevabı buldum. Peki yine bu denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre çözüm kümesini bulun diyor. Hocam ya birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ne demekti?
Neye benzemek zorundaydı? Hani tanım bilmezsen yapamıyordun. A X artı B eşittir sıfıra benzemek zorunda.
Dikkat et X'in kuvveti kaç olmak zorunda dedim bir. Ama hocam senin verdiğin bu arkadaşla x'in kuvvetinde 2 yazıyor. İşte o olmayacak.
Ondan kurtulacaksın. Matematikte kurtulalım cümlesini ben bundan sonra kurduktan sonra senin bana söyleyeceğin şey hocam kurtulalım diyorsan o arkadaşın önündeki kat sayıyı 0'a eşitleyeceğiz demektir diyeceksin. Buradaki kat sayıyı 0'a eşitliyorsun.
Yani a-2'nin sonu 0'sa eğer a'ya kaç vermeliyim? 2. Gerçekten ben... A yerine 2 verince dikkat et. 2 eksi 2 çarpı x kare. Artı 5 x.
A yerine 2 verdim. Önünde de eksi olduğu için eksi 2. Onun da cevabı 13. Arkadaş zaten x karenin önü 0 olduğu için artık burası gitti diyebilir miyim? Ya 0 ile çarpılan x kare kaybolur gider.
Eksi 2'yi aldım karşıya attım. 5 x'in cevabı ne çıktı? 15. Her tarafı 5'e böldüm. X'in cevabı ne çıktı? 3. Yani senin benden istediğin hocam çözüm kümesi ise eğer...
bu çözüm kümesinin bir tane elemanı vardır. O da 3. Zaten biz denklemlere ufaktan bir giriş yapmıştık diyorsun. Basit denklemler demiştik daha öncesinde.
Ama şimdi ne diyorum? Birinci dereceden denklem diyorum. Ve burada çözüm kümesi her zaman gelmiyor.
Çözüm kümesi bazen değişebiliyor. İşte onun taktiklerini vereceğim sana. Hazır mısın? AX artı B eşittir 0 denkleminde eğer ki A0 B0'dan farklıysa çözüm kümesi boş kümedir.
Hatta hatta şöyle gösterilir. Çözüm kümesi eşittir. Sıfırın üstüne çizik atılır.
Bu üstüne sıfırın üstüne attığım çiziğin anlamı boş küme anlamına geliyor. Bu kümelerden bilen arkadaşlar biliyordur. Bilmeyenler için de hatırlatmış olalım. Tamam mı?
Hocam ne zaman oluyor bu durum? Bak buna çok dikkat et. A sıfıra eşit. B sıfırdan farklı. Eğer bunu görmüyorsan böyle diyemezsin.
Şimdi bak sorusuna geçelim. Olayı anlayacaksın. Verilen denklem var. Evet hocam bu denklemin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre A kaçtır? Denklemin çözüm kümesi boş kümedir lafını okuduğun andan itibaren senin aklına tek bir şey gelecek.
AX artı B eşittir sıfır benim denklemim. Bu A'nın önündeki yani X'in önündeki kat sayı olan A'nın sıfır B'nin de sıfırdan farklı olması gerekti. Hemen gideceksin bunu soruda yerine yapacaksın. Hocam X'in önünde A eksi 5 var bu ifade sıfır olacak. Tek başına duran.
Ama karşıda 0 yazmıyor hocam. E bunu düzenle o zaman değil mi? Önce düzenlemem lazım.
a-5x artı 17 de bu tarafa gelince ne olacaktır? x-11 eşittir 0 oldu. Artık bu denkleme benzedi.
Benzediğine göre önündeki kat sayı 0. Sabit duran sayının da 0'dan farklı olması lazım. Gerçekten sabit duran sayı 0'dan farklı mı? Farklı. O zaman benim tek çözmem gereken yer burası.
A-5 sıfıra eşit olmalı. A-5 sıfıra eşitse A5'tir. A'yı soruyordun soru biter.
Bu denklemi için A eşit 5 iken çözüm kümesi boş küme oluyor. Bir tane daha çözelim. Denklemin de A'yı yerine. Hangi değer için X bulunamaz? Ya arkadaş X bulunamaz demek çözüm kümesi boş küme olsun demekle aynı şeydir.
Bu soruları çevirirler çevirirler kıvırırlar kıvırırlar bu şekilde de sorabilirler. Madem böyle sordunuz hocam. Hallederiz diyeceksin ve diyeceksin ki ardından hocam burası kesinlikle sıfıra eşit olmalı sabit kesimde sıfırdan farklı olmalı diyeceksin. Ardından yapacağın işlem a eksi 6 eşittir sıfır olmalı 4 eksi b'nin de sıfırdan farklı olması gerekir. Eksi 6'yı aldım karşıya attım a'nın cevabı ne çıktı?
6 çıktı. B'yi aldım karşıya attım b eşit değildir ne çıktı? 4 çıktı.
Yani a'nın 6 değeri ve b'nin 4'ten farklı olduğu durumlarda x değerini bulamam. Çok güzel soru. Çok güzel soru.
Şimdi devam. Taktiklerle yola devam ediyoruz. Sıradaki taktik ne diyor bana? AX artı B eşittir sıfır denkleminde. A sıfır, B'de sıfır ise bu denklemin tüm gerçel sayılar için ne yapılırmış?
Çözümü sağlanırmış. Ve çözüm kümesi tüm gerçel sayılar oluyormuş. Eğer A'da sıfır, B'de sıfırsa çözüm kümesine yazacağın işlem şudur bak. Bütün real sayılar. Zaten bak sayı kümelerini anlattım da söylemiştim.
Demiştim ki tek... başına R varsa o bir real sayı anlamına gelir. Çözüm kümesi real sayılar.
Yani X'in yerine abicim ne yazıyorsan yaz cevap gelecek. Cevap istediğin gibi gelecek bir de. Şimdi okuyorum soruyu.
Denkleminin çözüm kümesi tüm gerçel sayılar olduğuna göre bu şu anlama geliyor. Hocam AX artı B eşittir sıfır denkleminde A'da sıfırdır B'de sıfırdır. İkisi de sıfırsa sağlanır. Başka durumda değil.
Bak kalkıp sadece A sıfır B sıfırdan farklı. Abi o farklı bir durum. O farklı bir durum. Sen A'nın da B'nin de sıfır olduğu duruma dikkat edeceksin.
Şimdi X'in önündeki kat sayı da sıfır olacak. Tek başına sabit takılan ifade de sıfır olacak. Yani A-1'in cevabı sıfır. A'nın cevabı ne olacak?
1. Hocam B-2'nin cevabı sıfır. B'nin cevabı ne olmalı? 2. Soru neyi soruyordu bize?
A artı B'yi soruyordu. A'yı 1 buldun. B'yi 2 buldun. Topladın.
Cevap ne geldi? Tas tamam 3 geldi. Vurdum cevabı. Gönlün der gelsin hocam dedim. Anlıyoruz galiba.
Matematikte anlamadığımız yer kalmayacak. Yapacağız beraber. Bir yudum su alalım daha güzel olsun. Şöyle bir geniş açı vereyim sana ben. Bir geniş açı vereyim nasıl?
Çok şükür suyumuzu da içtik. Haydi bakalım yola devam. Hocam sıradaki soru da ne diyor bize? Bıdı bıdı denetleminin çözüm kümesi gerçel sayılar olduğuna göre. Gerçel sayılar diyorsa olay belli.
X'in önündeki kat sayı da 0. Sabit yani oradaki bütün elemanlarda, X'iz elemanların tamamı da 0 eşit olacak. Bu ne demek oluyor? 2A-6'nın cevabı 0. B artı 4'ün cevabının 0 olduğu anlamına gelir. Hocam 2A eşitse 6'ya.
Her tarafı 2'ye böldüm. A'nın cevabı ne geldi? 3 geldi. Onu alttan kenara attım. B artı 4 sıfırı yesesi.
B'deki o 4'ü karşıya attım. Eksi 4 oldu. B'nin de cevabı eksi 4 geldi.
Artık sadece A çarpı B'yi bulacağım. 3 çarpı eksi 4 diyorum. Cevap ne geldi? Eksi 12. Benden istenen cevap eksi 12'dir dedim.
Son bir durum daha kaldı. Hocam çözüm kümesiyle ilgili. A x artı B eşittir.
Sıfır denkleminde yine evet A sıfırdan farklı. B sıfırsa kök kesinlikle sıfır gelecektir. Yani X'in yanında herhangi bir sayı yoksa kök her zaman sıfır gelir.
7X eşitse sıfıra. Zaten sen bu denklemi çözmeyi biliyorsun. Ne diyorsun hocam her tarafı 7'ye bölerim.
Bak 7'ler birbirini götürdü. 0 bölü 7'nin sıfır olduğunu biliyorsun. Böylelikle çözüm kümesine gelmiş oldu.
Sıfır gelmiş oldu. İstediğim değere de ulaşmış oldum. Şöyle bir emek kokan birinci sayfaya bir bakalım mı?
Her seferinde bitirdikten sonra bakmanda bence fayda var. Şuranın güzelliğine bir bakar mısın? Şuradaki lezzete bir bakar mısın?
Bak gerçekten döşedik işlemleri ya. Şimdi hani o geçenki dersten de farklı artık. Biz daha önce ne yaptık?
Basit denklemleri çözdük. Şimdi ne yapıyoruz aslında? Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlere geçeceğiz.
Daha öncesinde bilinmeyenimiz kimdi mesela? X'de hocam. Şimdi ne yapacağım?
İki tane bilinmeyen yazacağım sana. Hem X olacak hem Y olacak. Madem iki tane bilinmeyen olunca hocam işlemlerde bir değişiklik oluyor mu?
E gel bakalım. nasıl çözülüyor onu anlatacağım. Farklı metotları var.
Ama bu metotlarda ben hep bir tanesini kullanıyorum. En sık kullandığım var. Onu da söyleyeceğim.
Baktık. İçinde birden fazla bilinmeyen olan birden fazla denklemin oluşturduğu sisteme biz birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi diyeceğiz. 5x artı 3'ye eşit 7. 5x eksi 5'ye eşittir 12. Mesela bu sisteme biz ne diyeceğiz?
Birinci dereceden x ve y'ye bağlı iki bilinmeyenli denklem sistemi adını vereceğiz. Bak. X ve Y'ye bağlı. İki bilinmeyenli denklem sistemi.
Ama kaçıncı dereceden? Birinci dereceden. Nereden anlıyorsun hocam birinci dereceden olduğunu?
X'in üstündeki kuvvet de bir. Y'nin üstündeki kuvvet de bir. İkisi de bir olduğu için ne dedim?
Dedim ki hocam bunlar birinci dereceden. Peki X ve Y denkleminin çözüm kümesini bulacağız. İşte bulduğumuz bu sıralı ikiye de çözüm kümesinin elemanı adını vereceğiz. Başlayalım bakalım yavaş yavaş çözmeye.
Önce bunu anladık mı biz? Yani yukarıdaki tanımı anladığımızı anlamadığımıza dair bir soru çözmüş olalım. Yukarıda x'ye değişkenine bağlı birinci dereceden 2 bilinmeyenli denklemin eksi 2'ye 5 sıralı ikilisi için denklem sağlanıyorsa a değeri nedir?
Şimdi bunun anlamı şu. Eksi 2'ye 5 sağlanıyorsa demek Hocam gel x yerine eksi 2'ye yerine 5 yaz bu denklem sağlansın demektir. Denklemde x gördüğüm yere eksi 2 yazdım. O nasıl bir eksi 2? Tövbe yarabbim bir şey olmuş o eksi 2. Ardından eksi 3'ümü yazdım.
Y yerine kaç yazdım? 5 yazdım. Artı a yazdım.
Cevap da eşittir 7. Geldim işlemi yapacağım. Eksi 15, eksi 2, artı a eşit 7. Hocam bak burası eksi 17 geldi. Eksi 17'yi karşıya artı olarak attım. 17, 7 daha cevap 24 geldi.
Doğru cevap a için 24'tür. Hemen alttakine indim. Yukarıda x'i'ye değişkenine bağlı birinci dereceden iki bilim yani ne denklemde. Sırasıyla dediğine göre x'i verdim y'yi verdim sana diyor. Ne yapıyorsun?
Hemen gidip yerine yapıştırıyorsun. a artı 3 çarpı x yerine 2 yazdım. Eksi 3 çarpı y yerine eksi 3 yazdım. Artı 15'in cevabı ne olacak?
Sıfır. Hemen işlemi yapalım. Bak bunu dağıtarak geldim.
2a artı 6. Eksi 3'te eksi 3'ü çarptım. 3 kere 3 9 ama artı 9 artı 15'in cevabı ne oldu? Yine sıfır çıktı. Şu arkadaşları topladım 15. 15'te 15'i topladım 30. 30'u karşıya atıp 2A'ya eşitledim.
O da eksi 30. Her tarafı 2'ye böldüm. A'nın cevabı ne geldi? Eksi 15 geldi. Al sana bir tane daha cevap.
Olay bitti. Şimdi benim tek yaptığım buraya gelene kadar aslında ne biliyor musun? Birinci dereceden iki bilimlendi. Denklem sistemi de çözüm kümesinin elemanları verilirse ne yapılır?
Gider yerine yazarım. İstenen her şeyi bulabilirim. Peki hocam ya bize iki tane denklem verirlerse? ve yerine yani bir şekilde bunları çöz derlerse nasıl çözeceğiz? 3 tane yöntem var.
Bunlardan birincisi yerine yazma metodu. Yerine yazma metodu nedir? Ya bakacaksın buradaki elemanlardan birini gidip diğerini de yerine yazacaksın.
Tek mantığı budur. Mesela ne diyorsun hocam? 2 tane denklem var mı? Var.
Olduğuna göre denklemleri sağlayan x'i yederlerini sırayla bana bul diyor. Ben bunun bütün metotlarını anlatacağım sana. Belki bu yöntem sana uzun da gelecek. Ama önce bunu öğrenmelisin. Yeri gelir bununla ilgili bir soru sorarsa adam Abiciğim Mehmet Hoca anlattı.
Sıfırdan matematikte ben bunu öğrendim. Karşıma her gelen soruyu deviririm diyebilmelisin. Yani her türlü devirebilirim diyebilmelisin. Bu daha mantıklı bir cümle oldu.
Peki yerine yazma metodu nedir hocam? Bunlardan birini seçiyorsun. Mesela bak burada artı y var.
Burada eksi y var. Ben diyorum ki hocam burada ben y'yi karşıya atmak istiyorum. 7'yi de bu tarafa atacağım. x eksi 7 neye eşittir?
y'ye eşittir. Ben bundan sonra y gördüğüm yere ne yazabilirim? x eksi 7. 7 yazabilirim.
Şimdi birinci denklemi aldım geldim. X artı aa hocam Y'ye gördüğümüz yere dedin ki X eksi 7 yazılabiliyor. Onun da cevabı neye eşit? 10'a 3'e eşit. 7'yi aldım karşıya attım.
X'leri topladım. 2X eşittir 20 geldi. X'in cevabı ne geldi?
10. Zaten birinci dereceden birbirine ne denkleme dönüştü çözdüm onu. E Y'yi nasıl bulacağız? E git burada yerine yaz. Y dediğim değer 10 yani X eksi 7'ye eşit. Y dediğim değer kaça eşit?
3'e eşit. Hatta hatta bunları böyle sıralı ikili biçimde yazarsan çözüm kümesini 10,7 yazıyorsun cevabı bitiriyorsun. Ama mantığı anlıyor musun?
Bir tane daha çözelim. Yine yerine yazma metodu. Mesela bak denklemde direkt x'in neye eşit olduğu verilmiş. 3x artı 4'e 48'miş. O zaman x'i gidelim aşağıdaki denklemleri yerine yazarım.
İlla y'yi yerine yazacağız diye bir kural yok çünkü. Şimdi ben burada x yerine ne yazabiliyorum? Y artı 2. Burada da 3'ü yazdım. X yerine ne yazabiliyorum diyorum.
Bak aslında buradaki ifade kim? x'in ta kendisi ama onun yerine ne yazdım? y artı 2 yazdım.
Demiş adam sen eşit demiş. Bunu git kullan demiş. Dediği için de kullandım. Artı 4y cevap neye eşit? 48'e.
Hocam bir dağıt gel bakayım. 3y artı 2 yarı 3'ten 6 artı 4y eşit 48. Ya bunlarla mı korkutacaksın hocam bizi? Biz bu denklemlerin altından girdik üstünden çıktık.
4y pardon 3y artı ne var? Bir de 4y var. Topladım ne yaptı? 7y yaptı. 6'yı karşıya attım.
42 kaldı. Her tarafı 7'ye böldüm. 6 kere 7 42. Y'nin cevabı 6. Y'nin cevabı 6 ise X'i bulurum.
X eşittir. 6 artı 2 yani Y artı 2 olduğu için. X'in cevabına geldi 8. X ve Y değerlerini bulduk. 8,6 dedim bir soru daha bitti. Hemen üst tarafa geçtim.
Metotları vermeye devam edeceğim ama bir tane daha bundan çözelim. Yine... ne demiştik? Yerine yazma metodu.
Buradaki y'lerden birini yalnız bırakmak çok kolay gözüküyor. Ben de diyorum ki arkadaş bak bu y'yi bu tarafa alayım 12'yi bu tarafa alayım. 2x eksi 12 denen ifadene eşit y'yi.
Gidiyorum y'yi burada yerine yazacağım. 3x önünde eksi olduğu için y'yi yerine yazarken parantezi unutma. Soru gider.
Parantezi unutma. Gel. 3x eksi y yerine 2x eksi 12 yazdım.
Cevap? Cevap 19 eşit. Hocam x'i dağıtacağız.
3x eksi 2x artı 12 eşittir 19. 3x'den 2x çıktı. X kaldı. 12'yi karşıya attım. 19'dan 12 çıktı.
7 kaldı. X'in cevabı 7. 2 çarpı 7 eksi 12 bana neyi verecek? Y'yi verecek.
2 kere 7 14. 14'ten 12 çıktı. Y'nin de cevabı 2 geldi. Sen benden... 7,2 sıralı ikilisini mi istiyordun?
Bitti. Olay bu kadar. Şimdi geldi bir ikinci metodu ki benim en çok kullandığım metotlardan biri yuk etme metodu. Alt alta yazıp toplayıp çıkardığımızda ya da topladığımızda ya da belli bir katsayıyla çarpıp birbirini yuk edip gönderebiliriz.
Tabi bu böyle anlatılınca hocam sen ne diyorsun ona dönüyor olay. Öyle yapmayacağım. Şöyle yapacağım. Bak yukarıda iki tane denklem var. X artı Y'nin cevabı kaç?
13. Hocam 2X eksi Y'nin cevabı kaç? 5. Aklıma direkt şu fikrin gelmesi lazım. Ben bunları alt alta toplarsam artı y'ye cırt, eksi y'ye cırt birbirini götürür mü? Götürür hocam. E burada 2x var, burada da x var.
Topladım ne yaptı? 3x yaptı. 13, 5 tane yaptı 18. Her tarafı 3'e böldüm. x eşittir.
3 kere 6'dan 18 geldi mi? Geldi. Artık x'i buldun. y'yi gidip herhangi bir denklemde yerine yazman yeterli.
x yerine 6 yazdım. y'yi buradan bulmaya çalışacağım. 13'tü karşıda.
y'yi de buradan. 6'yı karşıya attığımda 4, 3 tane yaptı. 7 yaptı.
Y'nin de cevabı 7 geldi. Yani cevabımız 6,7'dir dedim. Güzel. Bu iyice taşlar yerine oturması için farklı örnekler çözmekte fayda var. Özellikle bak mesela böyle bir örnek.
Hocam sen diyorsun ki bunları alt alta toplasak. Bak birbirlerine ne X'ler götürüyor ne Y'ler götürüyor. Demek ki burada başka bir şey mi yapacağız? Aynen öyle.
Burada kendine bir eleman seçeceksin. Mesela ben Y'leri seçtim. Çünkü bir tanesinin önündeki kat sayı 1. Diğerinin önündeki kat sayı 3. Ben bunları yok ederim dedim. Alt alta topladığımda götürmem için y'lerin önündeki kaç sayılar zıt işaretli olmalı? Biri artı 3 ise diğeri eksi 3 olmalı.
O zaman diyorum ki ben bu denklemde gördüğüm herkesi her şeyi 3 ile çarpayım ama eksi 3 ile. Böylelikle denklemin değeri ne olmaz? Değişmez. Birinci denkleme dokunmadım dikkat et. İkinci denkleme geldim.
Eksi 3 ile çarptım. Eksi 9x. Eksi 3 ile çarptım. Eksi 3y.
Eksi 3 ile çarpacağım. 3 kere 1 3 2 kere 3 6 eksi 63. Şimdi diyorum ki hocam ben bunları alt alta toplarsam eğer cırtsana cırtsana bunlar gitti. Eksi 9 x'den artı 2 x'e eklediğimde ne yapar?
Eksi 7 x yapar. Şu 63'den 28'e kenarda bir çıkarayım hele biliyorum. Şurada 5 kaldı. Şurada da 3 kaldı. Eksi 35 kaldı hocam.
Her tarafı eksi 7'ye bölersem ne kalır? X yerine 5 kalır. Olay bitti. istediğim denklemde de yerine yazıyorum bak burada yerine yazmak istedi canım 3 kere 5 15 artı y cevap neye eşit 21'e eşit aldım bunu karşıya attım y neye eşit 6'ya eşit peki x'i ve y'yi buldum sıralı 2'li olarak yazdım 5,6 bir sorunun daha köküne kibrit suyunu sıktık arkadaş oluyor mu?
bak yok etme metodu yerine yazma metodu hangisi senin kolayına geliyorsa demek ki ya Mehmet Hoca bunu yok etme metodu abi sen bilirsin orada ben sana karışamam hangisi senin kolayına geliyorsa mesela burada Yerine yazamazsın zaten. Kimi kimin yerine yazıyor. Yani saçma sapan denklemler var.
Ama yok etmeye uğrarsan 4y ile 8y bir şekilde aynı kat sayıya sahip olabilirler. Ya da böyle biri artılı biri eksili. Mesela ben bunu eksi 2 ile çarpıp dağıtırsam.
Bak eksi 8y'ye gelecek. İşime geliyor. Direkt çarptım geldim.
Eksi 14x. Eksi 8y. Eşittir 27 2 ile çarptım.
Eksi 2 ile çarptım. Eksi 54. Hemen altında 5x. Artı 8'ye cevap eşittir 33. Deminden beri yaptığım gibi alt alta toplayacağım. Diyeceğim ki hocam artı 8'ye eksi 8'ye birbirini 7 götürdü. Peki eksi 14 eksi artı 5 eksi daha ne yapar?
Eksi 9 eksi yapar. Hemen bu tarafa geldim. Buradan ne geldi?
Şuradan 1 geldi. Şuradan 2 geldi. Eksi 21 yaptı değil mi? İşlem hatası da olmasın.
İşte tam burada güzel arkadaşım. Bak tam sayı gelmiyor uğraştıracak bizi. O zaman farklı şeyleri de düşünmen lazım. İşte bu yok etme metodunda olmadık şeyler bazen aklına gelecek.
Mesela bak bir daha yazıyorum. 7x artı 4y cevap eşittir 27 hocam. Evet. 5x artı 8y cevap eşittir 33 hocam.
Alt alta bir toplasaydık bunları. Direkt mi hocam? Hani yok edecektik?
Bekle. Alt alta topladım da ne geldi? 12x.
Alt alta topladım da ne geldi? 12y. Bunları topladım da ne geldi?
60. Hocam sol taraf 12 parantezine alınıyor. Yani 12 çarpı x artı y eşittir 60. Her tarafı 12'ye bölersem sadeleşiyor hocam. x artı y'ye direkt geldi 5. Hocam ayrı ayrı x ile y'yi bulmadık.
Bazen direkt x ve y'yi istemiyor toplamı falan. Ya da farkı istiyorsa ona göre işlem yapmak lazım. İşi kolaylaştırmak. Mesela bak burada ne var?
x eksi y var hocam. Hee. Bir düzenleme mi yapalım hocam?
Bak yaz bunu. 5 x eksi 3 y eşittir 18. Evet hocam. Bunu da yaz.
2 y eksi 3 x pardon 4 x'miş. Eksi 4 x eşittir 2 hocam. Yine alt alta topluyorum.
Dikkat et. Kimle kimi toplayabilirsin? X'leri toplayabilirsin.
Hocam biri 5X biri eksi 4X. Geriye kaldı X. Harikasın.
Şimdi kimle kimi toplayacaksın? Eksi 3Y ile artı 2Y'yi toplayacaksın. Eksi 3Y artı 2Y daha ne yapar?
Eksi Y yapar. 18 2 daha ne yaptı? 20. Hocam direkt cevap geldi. Eksi Y farkını biz direkt bulduk. Olay bitti işte.
Yok etme metodunda da bazen illa yok etmek zorunda değilsin. Direkt alt alta topladığında ya da çıkardığında. Aradın cevabı bulabilirsin.
Şöyle emek kokan bir sayfayı daha görelim. Hay maşallah diyorum. Şimdi karşılaştırma metodu yapacağız.
Onlarla ilgili soruları çözüp olaya noktayı koyacağız. Ama buraya kadar. Hocam ben dinledim biraz yoruldum diyor. Sen şöyle bir 5 dakika bir durdur videoyu. Bir çık bir dolaş gel.
Kendine gel. Aynı enerjiyi istiyorum çünkü. Kaldığımız yerden. Ne diyoruz?
Karşılaştırma metodu gelsin. Evet karşılaştırma metodu dedin hocam. O nedir onu da bir anlatır mısın?
Hemen anlatalım bak şimdi. Bu üçüncü ve son maddemiz. Karşılaştırma metoduyla da biz bu denklemleri çözebiliriz. Aslında hani böyle yerine yazma metodundan çok da farklı bir şey değil bak.
Bize yine iki tane bilinmeyenli iki tane denklem verecekler. X eşittir 2'ye artı 1. X eşittir 5'ye eksi 2 olduğuna göre. X çarpı Y'yi istiyorum desem senden şunu yapacaksın.
Hocam bu da X bu da X. Madem bu X'ler birbirine eşit o zaman buradaki ifadeler de birbirine eşit olmaz mı? Ya tabii ki olur 2'ye artı 1 eşitse eğer 5'ye eksi 2'ye al sana denklem.
Hem de nasıl denklem? Bir bilinmeyenli denklem. Hemen aldım 2 y'yi bu tarafa attım 3 y'ye kaldı.
Bunu bu tarafa attım 3 kaldı. Y'nin cevabı ne geldi? 1. İster birinci denklemde ister ikinci denklemde.
Ben birinci denklemde y yerine 1 yazdım. X yerine gelen cevap 3 oldu. Sen ne istiyordun?
X çarpı y'yi 1 çarpı 3'ten doğru cevap. Tas tamam 3'tür dedim. Bak yine aynı mantıklı hareket ediyorum. İster yerine yazma metodu. İstersen karşılaştırma metodu.
Özünde yaptığımız iş o. Hocam bak ben buradaki x'i karşıya atsam. Y'nin cevabı eşittir. 10-3x gelir mi?
Gelir. Bu sefer y'yi bu tarafa atıp 5'i bu tarafa atsam. Y eşittir.
2x-5 gelir mi? O da gelir. Eee ikisi de y'ye eşitse bu denklemler birbirine eşittir. 10 eşittir 3x'e.
2x eşittir 5'e. 3x'i bu tarafa aldım burada. 5x oldu. Bunu karşıya attım. 15 oldu.
X'in cevabı ne geldi? 3. Gidiyorum. Birinci denklemde yerine yazıyorum.
10. eksi 3 çarpı 3'ten y'nin cevabı 1 geldi. E soru benden x ve y değerlerini bul diyor ya da çözüm kümesi sıralı ikilisini bul diyor. Onun da cevabı 3,1'dir dedim. Hemen indim aşağıya. Artık yeter dedim ben bunları kafama göre çözmek istiyorum.
Hani işte onun şey yap bunu yap. Ya abi ben kendi kafama göre çözeceğim. Hani karşına soru geldiğinde 3 tane metot biliyorum.
Hangisi? İstediğinle çöz. Paşa gönlün ne dersin onunla çöz.
Mesela ben. Ya arkadaşım ben bunu buradan karşıya atınca y'nin cevabı eşittir x artı 4 geliyor. E ben burada da y yerine bu değeri yazınca bu işlemler çok kolayıma gitti. O zaman ben böyle çözeceğim. Kimse sana bir şey demeyecek.
Yap, yaptım bunu. Bunları dağıttım içeriye. 2x eksi 3x eksi 12 eşittir 8. Şunları çıkardım. Eksi 8x kaldı.
Bunu karşıya attım. 20 oldu. X'in cevabı ne geldi?
Eksi 20 geldi. Hocam biz y'yi arıyorduk. Y neye eşitti?
Eksi 20 artı 4'e eşit. Onun cevabı neye eşit olur? Eksi 16'ya. Y istiyordum bitti. Peki bunu nasıl yapacağız?
Fark etmez. İstediğini git kullan. Bak burada direkt y'nin cevabı verilmiş.
Giderim y yerine denklemi yazarım. İşlem çok kolay olur. Y yerine ne yaz diyor? 5x-3 yaz dedi.
Geri kalan denklem elemanlarına dokunmadım. Bunu geldim dağıttım içeriye. 10x-6-3x eşittir 15 hocam. 10x'den 3x çıktı ne kaldı?
7x. 6'yı karşıya attım ne oldu? 21. X'in cevabı ne geldi?
3. Ama biz sadece x istemiyoruz. X'i eğer 3 bulursan 5 çarpı 3 eksi 3 y'ye eşitmiş. Şurası 15. 3'ü gitti ne kaldı? 12. Y'nin de cevabı 12'dir.
O halde o sıralı ikiliyi yazalım. 3,12 aradığımız cevaptır dedim. Hemen bir alttakine geçtirelim. Hocam bunu da farklı çöz.
Tamam farklı çözelim. Direkt gözüme çarpan bak. Eksi b'ye artı 3 b. Hocam ben bunu 3 ile çarparsam bu denklemleri de alt alta toplarsam b'ler birbirini götürecek.
Tam olarak öyle zaten. Amaç ya A'yı ya B'yi götürmektir ki diğer denklemi bulasın. Alt alta topluyorum. Cırtsana cırtsana bunlar gitti. 3A 2 daha ne yaptı?
5A yaptı. 27 3 daha 30 yaptı. Her tarafı 5'e böldüm.
A'nın cevabı 6 geldi. Ama ben A'yı istiyormuşum. Bitti bu kadar.
Ben acaba dedim B'yi de mi istiyor? Hayır bu kadar. Hocam burada AX artı B'ye eşittir 11. AX eksi B'ye eşittir eksi 1. A ve B değerleri veriliyor. Bak A1 B eşittir 2 seçilirse X artı Y toplamı ne olur diyor. Önce yerine yazalım.
X artı 2Y'nin cevabı neye eşit? 11'e eşit. X yine A'ya 1 verdiğim için B yerine 2 yazdım. Eksi 2'ye eşittir eksi 1'e eşit.
Ben buradan x artı y'yi istiyorum. Öyle halde diyorum ki alt alta bunları toplasam şu arkadaşlar birbirini yer. Burada 2x kalır.
Karşıda artı 10 kalır. Her tarafı 2'ye bölerim. X'in cevabı ne gelir?
5. Giderim burada yerine yazarım. 5 artı 2y'nin cevabı eşitse eğer 11'e 2y'nin cevabı eşittir 6'ya y'nin cevabı 3'tür hocam. Biz ne arıyoruz?
x artı y'yi yani 5 artı 3'ü doğru cevap. Tas tamam 8 olacaktır. 11. soruya geldik.
Günün son sorularına geliyoruz artık. Artık bu konuda noktasını koyacağız. Etis sorularına geçeceğiz. Orada daha çok yeni nesil sorular çözeceğiz.
Onu söyleyeyim baştan. Yukarıda verilen x'ye değişkenine bağlı denklem sisteminin çözüm kümesi eksi 1'e 4 olduğuna göre a çarpı b çarpımı nedir? Şimdi bu denkleme bağlı çözüm kümesi eksi 1'e 4 demek hocam x yerine eksi 1 y yerine kalk oraya 4'ü bir zahmet yaz demek. Hadi gidelim yazalım. x yerine eksi 1 yazınca dikkat et eksi a oldu.
2 kere 4, 8 oldu. Cevap 6'ya eşit. Bak, eksi 1'e 4 yazdım. İkinci denkleme geçmedim bile. Dedim ki, at bunu karşıya.
Eksi A'nın cevabı 6 eksi 8'e, eksi A'nın cevabı eksi 2'ye, hocam A'nın cevabı 2. A'yı buldum bile. Şimdi geldi bu ikinci denkleme. X yerine eksi 1 yazdım, 2 ile çarptım eksi 2. Eksi 3 çarpı Y yerine 4 yazdım, cevap B'ye eşit.
Hocam bak buradan da 12 geliyor, eksi 12. Eksi 2 daha ne yaptı? Eksi 14 yaptı. Bu da kimin cevabı? B'nin cevabı. Biz A çarpı B'yi arıyorduk.
2 çarpı eksi 14. 2 kere 4 8. 2 kere 1 2. Ama eksi 28 dedim. 12'nin sorumu da bitirdim. Günün son 2 sorusu.
12 ve 13 diyeceğiz. Soruları bitireceğiz. Bir tane yeni nesil soru çözelim bakalım.
Bununla ilgili nasıl bir yeni nesil soru gelebiliyor? Yukarıda kenar uzunlukları eşlik dörtgenler aşağıdaki gibi konumlandırılıyor. Kenar uzunlukları veriliyor. O eşlik dörtgenleri bir soldaki gibi bir de sağdaki gibi konumlandırıyoruz.
A, B değerlerini bul diyor. Ne anlama geliyor bu? Diyor ki git uzun kenar yerine B yaz. Kısa kenar yerine A yaz.
Aha da oradaki uzunluğu veren denklemi kendine oluştur. Yav yeni nesil dedin kendine oluşturuyor. Hocam uzuna B dedin. Evet kısaya A dedin.
Demek ki iki tane B ile de A'yı toplarsam cevap 48 geliyor. Harikasın. Buradan ne istiyorsun hocam sen?
A, B değerlerini istiyorsun. Yukarıdakini eksi bir ile çarpıyorum bak. Her şeyi eksi bir ile çarpıyorum.
Eksi A eksi B eşittir. Eksi 28. Buradan da 2B artı A eşittir. 48. Alt alta toplarsan cırtsana cırtsana A'lar gitti. 2B'den bir tane B gitti. B kaldı.
Şu iki arkadaşı birbirinden çıkarttım. 20 kaldı. Demek ki B'ci yeri neymiş? 20 birimmiş.
Biz A'yı da bulacağız tabii. Böyle bırakmayacağız. Bu denklemde yerine yazıyorum.
A artı B'yi 20 buldum. Cevap 28'e eşit. 20'yi karşıya attım.
A'da 8 birim çıktı. A'yı da 8 birim buldum. soru A ve B'ye değerlerini bulun diyor. E bitti hocam.
A virgül B'yi yazacak olsam mesela 8 virgül 20'dir dedim. 12. soru biter. Hocam 13. soru. Günün son sorusu. Yalnız bu dakikaya kadar hocam beğenmedim videoyu unuttum aman diyeyim.
Aman diyeyim ben bak bu kameraya çok para verdik. Valla kamera patladı bozuldu gitti. E kampın ortasında da 20 iş günü kameranın tamir süresini bekleyecek halimiz de yok.
Yalnız değdi be. Abi şu görüntü kalitesi maşallah. Pıh pıh maşallah kameraya tükürdüm. Gel.
Denklem sistemini sağlayan x ve y değerleri için x çarpı y çarpımını arıyorum. Hemen gideceğim x'i iyi bulacağım. Ama nasıl bulayım?
Bak biz böyle denklemlere alıştık değil mi? Bunları karşıya atalım. Biraz güzelleştirelim.
Hani biraz da estetik durması lazım. Sorunun ki soruyu çözesin. 2x artı 3y'nin de cevabı 4 eşit.
Hocam x'i iyi istiyorum. Demek ki birini yok edeceğim. Bak burada x'i var, burada artı 3 var. O zaman geldim bunu 3 ile çarptım yazdım.
9x eksi 3y eşittir eksi 15. Kabul mü? İn aşağı. 2x artı 3y eşittir 4. Kabul.
Alt alta topla. Cırt sana cırt sana bunlar gitti. Burada ne kaldı? 11 tane x.
Karşıda ne kaldı? Eksi 11. Her tarafı 11'e böldün. X'in cevabı ne geldi? Eksi 1 geldi. Bir dakika bunu daha güzel yazalım.
Eksi 1 geldi. Gidip istediğin yerde yerine yazacaksın artık. Ben şurada yerine yazdım. Eksi 1 yazdım.
Eksi 2 artı 3y. Cevap 4. Aldım karşıya attım. 3'e eşittir 6. Her tarafı 3'e böldüm. Y eşittir 2. Y'yi de buldum, X'i de buldum.
X eşittir, X'e 1. Y eşittir 2 için çarpımı yaptım da doğru cevap. Eksi 2'dir dedim. Bir sorunun daha, hatta bir konunun daha sonuna geldik. Birinci dereceden denklemler bitti.
Finito! Şuranın güzelliğine bak. Hemen arkasından etüs soruları gelecek.
Birinci dereceden denklemlerle ilgili hem yeni nesil soruların olduğu, hem öğrendiklerimizin tekrarı olabilecek nitelikteki soruları çözeceğiz. Altyazı Ama şimdi şu tikimizi bir atalım bakalım. Bir görelim bakalım. Nerede bizim takvimimiz? Takvimimiz gelsin dedim.
Takvimi aldım karşıma. Hocam biz birinci dereceden deklarında video dersi izledik. Şimdi sırada etüt var.
Hemen arkasından ödev soruları var. Onları da tikleyeceğiz. Bir günün daha sonuna geleceğiz. Ama ne yapacağız?
Videoyu beğenmeden, yorum atmadan ki yorumlar çok kıymetli ki yorumlarınız azaldı. İnanın her beye hocam ben geçen derslerden birkaçını da yorum attım. Hepsini atman inan benim için çok önemli, çok değerli. Haydi bakalım bir sonraki derste görüşene kadar.
Kendine iyi bakıyorsun. Etiş surlarında da yine beraberiz. Hoşçakal.