Overview
Die Vorlesung behandelt Potenzen mit ganzzahligen und rationalen Exponenten, einschließlich wichtiger Sonderfälle und der Verbindung zu Wurzeln.
Ganzzahlige Potenzen
- Potenz aⁿ bedeutet: a wird n-mal mit sich selbst multipliziert.
- Potenz mit negativem Exponenten: a⁻¹ = 1/a, nur für a ≠ 0 definiert.
- Allgemein: a⁻ⁿ = 1/(aⁿ).
- Wichtig: Brüche und Potenzen lassen sich wechselseitig umwandeln.
- Beispiele: 3⁻² = 1/9, 5³ = 1/(5⁻³).
- Sonderfälle:
- a⁰ = 1 für alle a (inklusive 0⁰ = 1 als Konvention).
- 0ⁿ = 0 für n > 0.
- a¹ = a (ändert nichts).
Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln
- Wurzeln sind Potenzen mit rationalen Exponenten: a^(n/m) = m-te Wurzel aus aⁿ.
- Wurzeln aus Quadraten: √(x²) = |x|.
- Wurzel aus positiver Zahl gibt nur positive Werte zurück.
- Beispiele:
- ³√8 = 2, da 2³ = 8 → 8^(1/3) = 2.
- ⁵√(a⁷) = a^(7/5).
- ³√(1/a) = a^(-1/3).
- Bei ungeradem Wurzelexponent kann der Radikand auch negativ sein: ³√(-8) = -2.
- Für praktische Rechnungen empfiehlt sich Umformung von Wurzeln in Potenzschreibweise.
Graph der Quadratwurzelfunktion
- √x ist nur für x ≥ 0 definiert und liefert nur nichtnegative Werte.
- Graph startet bei (0|0), steigt zunächst steil an und flacht dann ab.
- Die Quadratwurzel ist die Umkehrfunktion der Parabel auf der rechten Seite.
Key Terms & Definitions
- Potenz — Wiederholte Multiplikation einer Zahl (Basis) mit sich selbst.
- Exponent — Gibt an, wie oft die Basis multipliziert wird.
- Radikand — Die Zahl unter dem Wurzelzeichen.
- Wurzel — Umkehrung der Potenzierung, z.B. √a als a^(1/2).
- Umkehrfunktion — Eine Funktion, die eine andere rückgängig macht.
Action Items / Next Steps
- Üben Sie das Umwandeln von Brüchen in Potenzen und zurück.
- Merken Sie sich die Sonderfälle der Potenzgesetze.
- Wiederholen Sie die Eigenschaften und den Graphen der Quadratwurzelfunktion.