Overview
Materi kali ini membahas cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradien garis singgung, serta contoh penyelesaiannya pada beberapa bentuk persamaan lingkaran.
Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran
- Lingkaran pusat (0,0) dan jari-jari R: ( y = Mx \pm R\sqrt{M^2 + 1} )
- Lingkaran pusat (A,B), jari-jari R: ( y - B = M(x - A) \pm R\sqrt{M^2 + 1} )
- Untuk bentuk umum ( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 ), tentukan pusat dan jari-jari sebelum gunakan rumus di atas.
Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran
- Pusat: ((-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}))
- Jari-jari: ( R = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C} )
Gradien Garis
- Garis ( y = ax + b ), gradiennya adalah a.
- Garis ( ax + by = c ), gradiennya ( -\frac{a}{b} ).
- Gradien antara dua titik: ( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} ).
- Garis sejajar: gradien sama.
- Garis tegak lurus: ( M_1 \times M_2 = -1 ).
Contoh Soal & Penyelesaian
- Soal 1: Lingkaran pusat (0,0), ( r = 5 ), gradien -2. Persamaan garis singgung: ( y = -2x \pm 5\sqrt{5} ).
- Soal 2: Lingkaran ( x^2 + y^2 - 2x - 2y - 23 = 0 ), gradien ( -\frac{3}{4} ), pusat (1,1), ( r = 5 ). Persamaan: ( 3x + 4y = 7 \pm 25 ).
- Soal 3: Lingkaran ( x^2 + y^2 - 2x + 4y - 21 = 0 ), sejajar ( x + 5y = 15 ), pusat (1,-2), ( r = \sqrt{26} ), gradien ( -\frac{1}{5} ). Persamaan: ( x + 5y = -9 \pm 26 ).
- Soal 4: Lingkaran ( x^2 + y^2 - 26x + 8y + 160 = 0 ), tegak lurus ( 12x + 5y = 10 ), pusat (13,-4), ( r = 5 ), gradien ( \frac{5}{12} ). Persamaan: ( 5x - 12y = 113 \pm 65 ).
- Soal 5: Lingkaran ( x^2 + y^2 = 8 ), menyinggung ( y = x + k ). Nilai k: ( \pm 4 ).
Key Terms & Definitions
- Pusat Lingkaran — Titik tengah lingkaran, dapat dicari dari bentuk umum persamaan lingkaran.
- Jari-jari (R) — Jarak dari pusat ke lingkaran, dihitung dari persamaan lingkaran.
- Gradien (M) — Kemiringan garis, penting untuk garis singgung.
- Garis Singgung — Garis yang menyinggung lingkaran di satu titik saja.
Action Items / Next Steps
- Kerjakan 10 latihan soal tambahan yang sudah disediakan.