Grundlagen der Vektorrechnung

Was ist ein Vektor?

• Ein Vektor ist im Wesentlichen ein Pfeil.
• Er hat eine Richtung und eine Länge.
• Vektoren können unterschiedliche Richtungen und Längen haben.

Schreibweise von Vektoren

• Vektoren werden mit einem Buchstaben und einem kleinen Pfeil darüber notiert.
• Notation in großen Klammern mit Koordinaten.
• Beispiel im Zweidimensionalen: Vektor ( \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} )
• Im Dreidimensionalen kommen zusätzliche Koordinaten hinzu.

Länge eines Vektors

• Länge (Betrag) eines Vektors: ( \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots} )
• Beispiel: Vektor ( \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} ) hat die Länge 5.
• Analog zu Satz des Pythagoras im 2D.

Richtungsvektor im Dreidimensionalen

• Koordinaten: ( \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} )
• Berechnung der Länge mit der gleichen Formel wie im 2D.

Gegenvektor

• Zeigt in die entgegengesetzte Richtung.
• Berechnung: Vorzeichen der Koordinaten umdrehen.
• Länge bleibt gleich.

Vektoraddition

• Koordinatenweise Addition der Vektoren.
• Grafisch: Pfeile hintereinander hängen.

Vektorsubtraktion

• Koordinatenweise Subtraktion der Vektoren.
• Grafisch: Gegenvektor addieren.

Verbindungsvektor

• Berechnung: hinterer Vektor - vorderer Vektor.
• Grafisch: Verbindung von Spitze zu Spitze.

Vielfache eines Vektors

• Vektor wird mit einem Skalar multipliziert.
• Verlängert oder verkürzt den Vektor.

Lineare Abhängigkeit

• Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind.
• Testen durch Lösung eines Gleichungssystems.
• Beispiel: Vektoren ( \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix} ) und ( \begin{pmatrix} 1 \ 2.5 \end{pmatrix} ) sind abhängig.

Fazit

• Die Grundlagen der Vektorrechnung sind wichtig für die weitere Mathematik.
• Wichtige Konzepte: Länge, Richtung, Addition, Subtraktion, Vielfache, und Abhängigkeit von Vektoren.