Tonguç Akademi 9. Sırf kanalından herkese merhabalar arkadaşlar. Gerçek sayı aralıklarının gösterimi konusu ile sizlerle birlikteyiz. Hiç vakit kaybetmeden başlayalım. Evet arkadaşlar yeni bir hafta, yeni bir matematik dersi ve haftanın başı her zaman olduğu gibi, her zaman olacağı gibi. Hemen programımıza bakalım.
Evet arkadaşlar bugün ayın son günü ama diğer programa baktığımızda, Ekim ayına baktığımızda aslında birinci gün sayabiliriz. Yine pazartesi gündeyiz ve matematik dersi ile birlikteyiz. Tonguç Akademi sizler için yine haftalık programını hazırladı. Bakın bu ayın sonunda ne var?
Birinci dönem, birinci yazılı kampı var. Çünkü Kasım ayına hemen yazılılarla başlayacağız. O yüzden biz de hemen ne yaptık? Sizler için güzel bir yazılı kampı hazırladık.
Bütün derslerden çok güzel bir şekilde yazılıya %100 uyumlu olacak. Meve %100 uyumlu olacak. Sorularla sizlerle birlikte olacağız.
Sözü fazla uzatmayalım. Hemen arkadaşlar konumuza geçelim. Ne dedik?
Gerçek sayı aralıkta dedik. Gerçek sayı aralığının gösteriminde... Ne yapacağız?
İşlemlerden, sembollerden yararlanacağız. Sonra bunlar arasında bağları tanıyacağız, tanımlayacağız. Sonrasında da arkadaşlar probleme uygun olanları belirleyeceğiz. Ve en sonunda da uygun şekilde kullanmaya bakacağız.
Ne yaptık? Bunlar bizim öğrenme çıplarımız. Milli Eğitim Bakanlığı ne yaptı?
Yeni bir fethat hazırladı. Ve öğrenme çıpları bizim için önemli. Anahtar kelimelimiz neler? Aralık, birleşim işlemi, eşitsizlik, fark işlemi, kesim işlemi ve tümleme.
Geçen hafta sizlerle ayrıntılı bir kümeye dersi yapmıştık. Bakın... Sakın o dersi gereksiz olarak veyahut da ya bizim okulda böyle göstermediler diye düşünmeyin.
Geçen seneki müfredattaki küme mantığının çok benzerini yaptık. Niye? Çünkü orası tam anlaşılmadan buraya gelinmez. Bazı arkadaşlar belki orayı atlamış olabilirler. Veyahut da bugünkü derste okuldaki gerçek sayıların gösterimi dersini anlayamayan arkadaşlar geçen haftaki küme konusunu kesinlikle izlesinler.
Çünkü ayrıntılı ve çok müthiş bir ders oldu. Haberiniz olsun. Sözü fazla uzatmayalım.
Temel kabullenme peki neyi bilmen lazımdı 8. sınıftan bakalım biliyor musun? Gerçek sayı aralıklarını sayı doğrusu üzerinde gösterebildiğini kabul ediyor. Ne yapıyor Milli Eğitim Bakanlığı?
ÖSYM diyecektim az kalsın. Ne yapacaksın? Sen bir sayı doğrusunda sıfırın yerini, birin yerini, eksi birin yerini bilip ne yapacaksın?
Sayı aralıklarının sayı doğrusu üzerinde gösterebildiğini sen kabul edeceksin ve ona göre de devam edeceksin. Aslında çok bir şey bilmene gerek yok zaten ayrıntısı size anlatacağız. Şimdi dersimize hızlıca başlayalım. Gerçek sayı aralıkları.
Sayı doğrusunda farklı iki noktanın arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşan kümeyi aralıklarıyla ne yapacağız? Farklı iki nokta arasındaki tüm gerçek sayılar. Çok basit bir mevzu.
A, B, X gerçek sayılar. Ne olacak? A ile A, B'den küçük olacak. Ve ona göre baktığımızda, üç noktaların aralığa dahil olduğu kümelere kapalı aralık diyeceğiz. Ve bunu nasıl göstereceğiz?
Köşeli parantezle. Dik. Dikkat köşeli parantezle göstereceğiz arkadaşım.
Peki bunu ben sayı doğrusuna nasıl göstereceğim? İçi dolu bakın içi dolu yuvarlaklarla göstereceğim. Ve ben bunu matematiksel olarak nasıl göstereceğim? Bakın burada eşitliklerin dahil oldu. Köşeli parantez içi dolu yuvarlak ve ne yapıyorsun?
Eşitlik dahil olan eşitsizlik işaretini koyuyorsun. Yani eşit olduğunu gösteriyorsun bunların. Hem de aynı zamanda a küçük eşittir. X Küçük eşittir B diye bunu da okuyorsun.
Uç noktaların aralığa dahil olmadığı kümeleri de açık aralık diyeceğiz. Ve bunu nasıl göstereceğiz? Köşeli parantez değil normal parantezle göstereceğiz. Ve bunun anlamı da ne olacak?
A ile B arasındaki bütün gerçek sayılar olacak arkadaşlar. Peki bunu sayı doğrusunda nasıl gösteriyoruz? Açık yuvarlakta.
Ne demek bu? A dahil değil. B dahil değil. Peki bunu ben matematiksel nasıl gösteriyorum? A küçüktür.
X küçüktür. B olarak gösteriyorum. Bunu bazı arkadaşlar şaşırıyor. Bazen şöyle oluyor. Derste de soruluyor mesela.
A, B nedir arkadaşım diyorum. Diyor ki sıralı ikili. Doğru. Doğru söylüyorsun. Sıralı ikili anlamına da gelir.
Ama konuya göre değişir. Mesela eşitsizliklerle ilgili bir şey yapıyorsan. 11. sınıfta eşitsizlik sistemi görüyorsan.
Tabii ki de orada sıralı ikiliden bahsetmiyordur. Ama fonksiyon konusu göreceksin 11. sınıfta. Orada tabii ki de sıralı ikiden bahsediyordur. Bunu iyi anlamamız lazım. Uç noktalarından.
biri dahil diğeri dahil değilse buna da yarı açık ya da yarı kapalı diyoruz. Burada da ne oluyor arkadaşlar? Ya baştan açık oluyor sondan kapalı ya da baştan kapalı sondan açık oluyor. Nasıl gösteriyoruz? İkisini de nasıl gösterdiysek bu sefer ne yapıyoruz?
Eşitlik neredeyse oraya açık Kapalı yuvarlak koyuyoruz. Eşitlik nerede yoksa da oraya açık yuvarlak koyuyoruz. Çok fazla uzatmaya gerek yok.
Basit bir mevzu. Aralıkları parantezli olarak ifade ediniz diyor. Şimdi bakın yapacağımız olay dediğim gibi çok basit.
Parantezli derken neden başlıyoruz? Köşeli mi? Köşesiz mi? Normal mi?
Bir tarafı köşeli bir tarafı köşesiz mi? Bundan bahsediyorum arkadaşım. O zaman hemen toparlayalım. Bakın ikisi de dahil.
İkisi de dahilse hemen ben bunun altına bir şunu yazayım. Ne diyorum? Eksi 3 küçük eşittir. X küçük eşittir.
5 diyorum. Yani 3 eksi 3 ile 5 dahil. Dahilse ne yapıyorduk?
Köşeli parantez. O zaman eksi 3, 5 köşeli parantez. Ne demek?
Bu aradaki her şey ve sınırlarım, uç sınırlarım. Eksi 3 ve 5 olabilir demek. Geldim bir alttakine.
Bakıyorsun ne var burada arkadaşım? Eksi 4 küçük eşittir. X küçük eşittir yok. Eşittir yok.
Çok dikkat. Bir an düştük hemen. Ne olacak burası? Küçüktür 6 dediğim. O zaman ne yapıyorum ben de?
Bu da nedir? Açık aralıktı. Bir önceki kapalı aralıktı. Açık aralık olduğuna göre.
Açık yazdım normal parantez. Eksi 4, 6 yazdım ve geçtim. Geldim buraya. Yarı kapalı ya da yarı açık diyoruz burada. Ne yapacağız?
2. Bakın açık olduğu için küçüktür. X küçük eşittir. Bu sefer kapalı burada. 9. Hızlıca ne yaptın? 2,9 kapalı.
Yapmış oldum. Sakın kaçırmayalım. Basit bir mevzu.
Bunu bu şekilde geçelim. Geldik bir sonraki soruya. Diyor ki aralıkları sayı doğrusuna gösteririz. E zaten bu bizim kabulümüzde aslında.
Temel kabullerde vardı. Biz bunu gösterelim ama. Ne var burada arkadaşım?
Bir kapalı aralık var. Şuraya bir 0 yazalım. Sonrasında şuraya bir 7 yazalım. Ve şuraya da yakınlara bir yere de eksi 3 yazalım. Eksi 3 var mı?
Var. O zaman kapalı aralık. 7 var mı? Var.
O zaman kapalı aralık. Hemen ne olacak o zaman? Bu aradaki her şey ve benim sınırlarım.
Bu aradaki her şey ve benim sınırlarım. Unutmayalım. Hemen 0'ı şuraya koydum.
Bakın 9 şurada olsun. 13'te buna nazaran biraz daha. Eksi 13'te daha ileride olsun. O zaman ne yapıyorum şimdi?
Eksi 13 kapalı dediği için hemen bir kapalı yuvarlaklıyorum. Burada da açık dediği için ne yapıyorum? Açık bir yuvarlak yapıyorum.
Benden ne istiyor peki? Arasındaki tüm real sayıları... İstiyor tüm gerçek sayıları istiyor. Devam edelim bakalım sonra ne yapacağız?
Burada ne diyor? Açık diyor. Açık diyor.
O zaman yine ben sıfır koyayım. Bakın sıfır her zaman tam orta noktada. Sekizi şuraya koydum. Bu 9'a göre bakmaya gerek yok. Kendi içinde yapıyorum.
Buraya da eksi 2'yi koydum. Gördüğün gibi iki taraf da açık olduğuna göre o zaman açık güvarlak. Açık güvarlak.
Çünkü bu bir açık aralık. O zaman ne oldu? Eksi 2 ile 8 arasında ve gerçekten de eksi 2 ile 8 arasında. Yani...
Eksi 2 dahil değil 8 dahil değil arkadaşım. Bunu da bu şekilde söylemiş olalım. Şimdi geldik bu bizim asıl bunu gerçek hayatta nasıl kullanacağımıza. Gerçek yaşam durumlarının gerçek sayı aralıklarına gösterimi. Bu çok önemli.
Günlük yaşam içinde gerçek sayı aralıklarını kullanırız. Örneğin bir iş ilanında adam bize 24-30 yaş aralığındaki adaylar işe başvurabilecekler derse biz de bunu ne yaparız? Aralık kavramıyla düşünebiliriz.
Örneğin. Bir apartmanda bulunan asansör en çok 250 kilogram ağırlık taşıyabilmektedir. Bak şimdi sen burada en çok 250 olman lazım. Yani iki kişi biniyorsa 120-130 kiloysa bir sıkıntı yok.
Ama ikisi de 130 olursa büyük ihtimal 3. kattan hemen hızlı bir şekilde en alt kata inmiş olursun. Tabii biraz sıkıntılı olabilir. Buna göre bu asansörün taşıma kapasitesinin aralığını cebirsel temsil sayı doğrusu...
aralık ve küme gösterimiyle yapın diyor. Hemen bakın. Cebirsel temsil.
Cebirsel temsil dediğimiz şu. Hiç binmeyebilir. Yani hiçbir kilo olmayabilir.
Burada tabii ki de hiç kimse binmezse o zaman asansör gitmez tabii ki de. Hiç kimsenin olmadığı yer haricinde herhangi bir kilo binecek ama ne olacak? En fazla 250 kiloya kadar gidecek.
Kim? Burada hatta kilo dediği için de K ile gösterebiliriz. Şimdi arkadaşım bu arada KG yazarsam kilogram anlamı çıkar.
Ben Matematiksel sembol olarak K harfini kullandım. K harfini diyelim. Bunu söyledik. Bir daha söylüyorum. Sıfır yok tabii ki de.
Çünkü sıfırla bir şey olmaz. Ne yaparsın? İşte atıyorum bir kilo patates aldıysan.
Bir kilo patatesi koyarsın. Basarsın üçe. Hop çıkar asansör.
Ama en fazla 250 kilo koyacaksın. Peki sayı doğrusuyla göstermek istesem ne yaparım? Hemen başka rengimi aldım.
Sayı doğru mu çizdim. Sayı doğrumun arasında ne var? Şurada bir sıfır var diye kabul edelim.
Bakın sıfırı ne yaptım? Açık yaptım. Tam belli olmuyor ama olsun. Açık aralık burası kapalı değil.
Bakın burası açık yuvarlak. Açık diye belirteyim. Belki sessiz de belki de görürsünüz.
Yanlış anlamayalım. Burada ne olacak arkadaşım? Kapalı bir 250 kilogram olacak. Ve sen ne yapacaksın? Sana nereyi soruyor?
Sana bu ikisinin arasını söylüyor. Bu da ne gösterimi arkadaşlar? Sayı doğrusu gösterimi. Bakın altlarında da yazalım.
Bu cebirsel temsil. Cebirsel temsil. Bu sayı doğrusu.
Bu sayı doğrusu. Sonrasında arkadaşım ne kaldı geriye? Bir de bana diyor ki aralık olarak göster diyor.
E aralık olarak da hemen şurada göstereyim. Bunu da pembe renkle gösterelim. Aralığım ne? Sıfır dahil değil.
250'ye kadar ve 250 olabilir. Çünkü en az en çok 250 dediği için bu da ne olacak arkadaşlar? Aralık gösterimi.
Bakın aralık gösterimi. Son olarak da bir tane de küme gösterimi kaldı. O küme gösterimi de.
Aralık gösterimi de söyledik. Kime gösterimi de nasıl olacak arkadaşlar? Onu da üstüne yazıyorum. Onu da maviyle yazalım.
Bakın o da A kümesi eşittir. Ne olacak? X öyle ki.
X öyle ki. X dediğim şey ne yapacak? Sıfırla 250 kilogram arasında olacak dedim. Ve kapattım.
Başka da bir şey söylemeye gerek yok. İlla tam sayı olacak diye bir şey yok. Bütün real sayılar olabilir dedim. Ve mevzuyu geçtim. Arkadaşlar çok uzatılacak bir şey yok.
Daha önemli yerlere girelim. Ahmet çalışmalarını düzenli şekilde yapabilmesi için kendini bir ders çalışma programı hazırlamıştır. Bu programda matematik dersi için başlangıç saatini 18, bitiş saatini 20 olarak göstermiştir. Ahmet'in matematik dersi çalıştığını cebirsel temsil. Hemen burada gösterelim cebirsel olarak.
Ne olacak? Ahmet 18'de başlayacak. Nereye kadar gidecek?
Bitiş saatini de 20 yapıyor. 20'de artık dersi bittiği için 20'de çalışmış olmuyor. Peki sayı doğrusu üzerinde gösterirsek ne olacak?
Ahmet bir kere ne yapacak arkadaşlar? Gelecek buraya. Saat 18'de çalışmaya başlıyor.
Ama 20'de bitiş yaptığı için o kısmı almıyorum. O yüzden de ne yapacak? Ahmet 18'de 20 arasında çalışmış olacak. Ve 20'de bıraktığı için 20'yi saymıyoruz. 18'de de başladığı için 18'i sayıyoruz.
Son olarak hemen aralıkta gösterelim son olarak. Aralıkta ne yapacağım arkadaşım? Kapalı tabii ki de 18. Açık tabii ki de 20 yapacağım ve olayı bitireceğim.
İşte bizim için cebirsel temsil sayı doğrusu ve aralık. Aralık göstergesi de bu olmuş olacak. Şimdi geldik de Ali ile Süleyman'a. Birisi neredeyse zayıflıktan ölecek.
49 kilo erkek olarak birisi de 65 kilo ve fit bir arkadaşımız. Geldik buraya Ali'nin ağırlığı 49 kilo Süleyman'ın ağırlığı 65 kilogramdır. Pakize'nin ağırlığı X olsun, Pakize'nin ağırlığının Ali ve Süleyman'ın ağırlığına göre X'in alabileceği gerçek sayı değerlerinin bulunduğu aralık değerleri aşağıdaki tabloda 4 farklı gösterimle verilmiştir.
Bakalım, sözel ifade, Pakize'nin ağırlığı Ali'nin ağırlığına eşit veya fazla, Süleyman'ın ağırlığından daha azdır. Aralık gösterimi, aralık adı, cebirsel temsil, küme gösterimi, sayı doğrusu bunların hepsini biraz önce görmüştük. Hemen başlayalım. Aralık gösterimi nedir arkadaşım? Pakize neymiş?
Ali'ye eşit. Zaten Ali çok zayıf olduğu için Ali'ye eşit ve nereye kadar? Süleyman'dan daha az.
Süleyman'dan az olduğunu biliyorum. Yani Süleyman'dan daha azsa o zaman 65'te olamaz. Peki buna ne diyorduk biz?
Yarı açık aralık diyorduk. Çünkü baştan kapalı, sondan açık. Yarı açık aralık diyorum. Hemen devam edelim. Lacivert'le geçelim.
Cebirsel temsiline bakalım. Cebirsel temsil ne olacak? Senin 49'un çok iyi bir şekilde var.
Pakize'nin P'sini koyalım buraya da. P'de ne olacak arkadaşlar? 65'den küçük olacak. Sayı doğrusu olarak göstersem ne yapacağım? Sayı doğrusu olarak da şöyle başı sona olsun sayı doğrusunun.
49 kilo kapalı. Ne olacak burada da? 65 kilo açık olacak.
Bakın bu kapalı. Bu da açık olacak. Ve bu arada bir yerde Pakize var.
Bunu söyledik. Küme gösterimi de ne olacak? Küme gösterimi hemen süslü parantez x öyle ki ne yapacaksın? Hemen burayı koysak yeter. 49 ile x ne arasında?
65 arasında diye söylesek bunu da bitirmiş oluruz. x öyle ki dedim mi olay bitiyor arkadaşım. İşte bu kadar mevzular bunlar. Geldik bir başka mevzuya.
Gerçek sayı aralıklarıyla yapılan işlemler. Şimdi yeniden matematiğin içine geldik. Ne yaptık? Gerçek sayı aralıklarıyla yani real sayılarda. Sayıların sayılara göre birbiriyle ilişkilerine bakacağız.
Aralıkların kesişimi. İlk önce iki tane sayı aralığı göreceğiz ve bunların ortakları. Geçen hafta o söylemişti kesişim neydi? Ortakların alınmasıydı.
İki aralığın kesişim kümesi iki aralıkta ortak bulunan sayılardan oluşur. Tabii ki de kesişim... Ne olacak?
Ortak olacak. A, B, C diye gerçek sayı ve sıralaması da A'dan B, C diye gidiyor. O zaman X dediğim şey A ile C arasındaysa, burada öbür aynı zamanda X dediğim şey B ile D arasındaysa arkadaşım, çok dikkat şimdi. Biri A ile C, aynı X, aynı zamanda B ile D arasında.
O zaman bu X nerede olabilir ki diye düşündüğümde, bu durumda iki aralığın kesişimi olan neresi? E bu aralıkta olamıyorum. İkisini aynı anda sağlaması için.
Bu aralıkta olamıyorum çünkü bunda var bunda yok. Bu A ile B arası bunda var bunda yok. Ama ikisinde de olan yer neresi? Gördüğüm gibi B ile C aralı. Peki kapalı açık mevzusuna baktığında burada B kısmı var ama bu adamda yok.
O zaman ben kimi kabul ediyorum? Yok'u kabul ediyorum. Çünkü niye?
Kezişim ortak olacak. İkisinde de aynı anda olacak. Bakıyorum C burada var ama bunda yok. O zaman yine neyi kabul ediyorum?
C'nin... olmadığını kabul ediyorum. Çok önemli bir mevzuydu. Yaptık bunu. Aralıklarda kesim kümesi bulurken alt sınırların büyüğü, üst sınırların küçüğü.
Aslında ben burada bunu eşitsizlik konusunda anlatıyorduk geçen sene. Eşitsizlik konusunda şöyle bir şey söylüyordum. Büyüklerden küçüğü, küçüklerden büyüğü.
Üst sınır değildi. Büyüklerden küçüğü, küçüklerden büyüğü alıyorsun. Kesişimde.
Kesişimde böyle yapıyorsun. Unutma, aklın olsun. Küçüklerden büyüğü, büyüklerden küçüğü alıyorsun. Ve... kesişimi bulmuş oluyorsun.
Burada da bu dikkat bizim için çok önemli bir mevzu. Geldik bir sonraki sayfaya. Ne var şimdi? Kesişimlerini al diyor.
Hemen alalım. Küçüklerden kimi alıyorsun? Büyük olanı ve sınırı yoksa yoksa. Bakın burada var burada yok.
O zaman ne yapıyorsun? Olmayanı alıyorsun. Büyüklerden de küçük olanı alacağım ve ne yapacağım? Kapalı çizeceğim.
Uzat. Çok pratik bir mantık. Hemen yapmış oldum. Bu ne tabii ki de?
A kesişim B kümesinden bahsediyorum. Hemen burada bu sefer düzgün yazalım. C kesişim D kümesine bakıyorum. Küçüklerden büyük olanı aldım.
Süper. Büyüklerden küçük olanı aldım. Tabii ki de 3 burada da var. Eksi 5 ile 8 arasında olduğu için. Burada da zaten sınırı da var.
Bunu da çok güzel bir şekilde yapmış olduk. Geldim buraya. E ile F'nin kesişimine bakıyorum.
Burada da... küçüklerden büyük olanı aldım yine. Eksi bir dahil. Büyüklerden de küçük olanı aldım.
Beşte yine ne olacak? Dahil aralıkta olacak. Çok basit mantık değil mi?
Çok iyi anladığınızı düşünüyorum. Ama lütfen unutma. Kesişim alırken ortak alacağın için küçüklerden büyüğü, büyüklerden de küçüğü alacaksın. Aklında olsun.
Burayı da bitirdik. Şimdi peki birleşimde ne yapacağız? Birleşimde de yine çok uzatmayacağım burada.
Neyi bilmem lazım? Bu sefer de küçüklerden, bakın alt sınır, küçüklerden küçüğü, büyüklerden büyüğü alacağım. Neden? Çünkü birleşim kümesi demek ne demekti?
Bütün her şeyin olması demekti. Geçen hafta çok güzel anlattık bunları. Bakın geçen haftaki hemen o kısma bakabilirsin. Geçen hafta ne dedik? Birleşim kümesinde Allah ne verdiyse herkes olacak.
Yani bunun hepsi, bunun hepsi olacak. O zaman bakıyorsun, bu aralık bu tarafa kadar olduysa bütün elemanları alacağım için... Küçük sınırlardan küçüğü, büyük sınırlardan da büyüğü alacağım. Unutmayalım arkadaşım.
O zaman ne oldu? A, D. Hemen ne yapmış oldum? A küçüktür, X küçüktür, D olmuş oldu. Küçüklerden küçüğü, büyüklerden de büyüğü alacağım. Ortak elemanlar varsa demiş.
Bunları söylemiş olduk. Hemen sorularımızın cevaplarına bakalım. Karşılığına çıkacak. Birleşimlerini bulunuz diyor.
Hemen bulalım. Küçüklerden küçüğü yazıyorum. Eksi 6. Büyüklerden de büyüğü yazıyorum.
O da zaten gördüğün gibi açık aralık. Hemen işlemin sembolünü de gösterelim. A birleşim B dedim.
Peki C birleşim D için ne dersin? C birleşim D içinde küçüklerden küçüğü kapalı aralık. Büyüklerden de büyüğü alıyorum.
Ne yapıyorum? O zaman o da kapalı. Çünkü sınır neredeyse onu almak zorundayım.
Geldim bir sonrakine. Burada da ne oldu? E birleşim F oldu. Küçüklerden. Küçüğü tamam.
Büyüklerden de büyüğü aldım. Ve olayı bitirdim. İnanın diğerine hiç bakmıyorum bile. Yani burada 7 var mı yok mu?
İşte burada 4 var mı yok mu? Hiç bakmıyorum. Çünkü benim işim dediğim gibi birleşimde herkes olması gerektiği için. Küçüklerin en küçüğü.
Büyüklerin de en büyüğünü alacaksın arkadaşım dedim. Burayı da bitirmiş oldum. Geldik aralıkların farkına.
Bu sefer çok dikkat edeceğiz. Muazzam önemli bir şey. Kimin kimden farkı olduğu çok önemli.
Bak ne yapmışız? İlk defa iki parçayı ayırıp anlatıyoruz. Çünkü burada kim kimden farklı onu göreceğiz. Bir aralığın diğer aralıktan farkı birinde olup diğerinde olmaması.
Ben zaten bunu oldum olası liseden beri hep aynı şekilde oturdum. Burada A fark B diye okumam ben bunu. A'da olacak B'de olmayacak.
Böyle bir şekilde ağzımla söylediğimi elimle de bulmaya çalışırım. Hemen bakın A kümesi A ile C arası. B kümesi B ile D arası. O zaman A'da olacak...
Bakın A'da olacak. Bir kere A. Senin bir kere sınırın C'den fazla olamaz.
A'dan da ötü yamaz. A'da olacak. Ama B'de olmayacak. O zaman B ile ortak kısmı siliyorum arkadaşım. Sildim.
Çok dikkat etmen gereken bir kısım. Senin burada B vardı. B ile ortağı sileceksin. B'de bakıyorum ki küçük B yok.
O zaman zaten B'yi götürecek bir durum yok. Senin o zaman buradaki... B'nin varlığı olacak arkadaşım. Çünkü sende vardı zaten. Sende olacak onda olmayacaktı.
Zaten onda da B yok. O yüzden bu kısma çok müthiş dikkat ediyorsun. Burası çok önemli. Bu durumda A fark B aralığı A açık B kapalı aralık olur. B sayısı A kümesinde varken B kümesinde yoktur.
Yani A fark B kümesinin elemanıdır. Bu yüzden aralığa dahil edilmiştir. Bak yazı şeklinde de söyledi. Ama ben sana söylüyorum A'da varım zaten B'de yokum.
İstediğim de buydu. A Açık B kapalı aralığı diyorum. Peki tam tersini düşünseydik bu sefer de kime bakacağım? Zaten B'de olanlara bakacağım.
Bakın benim odak noktam B kümesi. Niye? A'yı istemiyorum. B zaten kesinlikle olacak.
A'yı istemediğime göre o zaman A'nın şu ortak kısmını sildim. Peki C'yi ne yapıyorum? Silemiyorum.
Zaten C yok bunda. C yoksa o zaman ne yapacağım? Hemen burayı da düzgün bir şekilde söyleyeceğiz. Ne diyeceğiz arkadaşım burada?
Diyeceğimiz şey şu olacak. Hemen burası, burası arkadaşlar kapalı olacak. Bunu düzeltelim.
Burası kapalı olacak. Burası da açık olmuş olacak. Burası çok önemli bir mevzuydu. Çünkü ne diyorum ben? B'de olacak, A'da olmayacak.
C zaten B'de yok. Zaten D'de kendisinde de yok zaten. Orayı da söylemiş olalım.
Bu yüzden aralığa... dahil edilmiştir diyor. Burayı çok önemsemeden diyorum ya.
Burada da hızlı geçtim. Oraya hiç bakmayalım. Biz burayı düzgünce okuyalım. Bakın. Ne diyorum?
B'de var. A'da yok diyorum. B'yi bir kere aldım.
B ile D arasında bir yer. Ama kimi istemiyorum? A'yı istemiyorum.
A'nın bu kısmını sildim. Bakın. A'nın bu kısmını olan kısmını sildim. Sildim sildim. Peki ne diyorum?
Burada şimdi C kapalı duruyor. E ben neyi çıkardım? A'yı çıkardım. E A'y�� çıkartırsan A kümesini eksiltirsen.
E C zaten yoktu ki orada. B'de olacak A'da olmayacak. Bakıyorsun B'de zaten C var.
A'da yok o zaman ne yapacaksın? C'yi kapatacaksın. C'yi kapatacaksın. Sonra da ne yapacaksın? D zaten kendimden yoktu.
Kendimden olmadığı için de orayı da bu şekilde yaptık. Şimdi bakın burada lütfen kafanız karışmasın. Burası bu şekilde olacak. Süper bir şekilde. Burada nasıl söylediysek burada da aynısını söylemiş olacağız.
Yani sınır bu taraftan bu tarafa geçmiş oldu. Yani kapalılık ne oldu? Bir bakıma.
Bizim zaten kendi sınırımızda kendi içimizde kalmış oldu. Geldim bir başka soruya. Şimdi buraya lütfen çok dikkat edelim. Bunu biz anlayalım biz yapalım.
Şimdi. Şimdi arkadaşım. Bir kere A'da olacak. Benim bakın kümem neresi A'daki kümem?
Eksi 2 kapalı 8 açık. Bak 8 açık. Gördük mü? Eksi 2 kapalı 8 açık.
Şimdi burada. Ben ne yapacağım? B'yi çıkartacağım. B nerede arkadaşım?
Eksi 5'ten başlıyor. Açık. Nereye kadar gidiyor? 6'ya kadar açık. Bakın bu açık.
Ben ne yapıyorum? A'da olacak. Yani eksi 2 ile 8 arasında olacak.
Yalnız B'yi kestirip atıyorum. Bak burayı komple sildin attın. Yalnız burada dikkat et.
B'de zaten 6 yoktu. O zaman B'de 6 yoksa sende olacak. Yani A fark B eşittir ne olmuş olacak?
6 kapalı 8 zaten bende yoktu. Açık aralık olacak. Şimdi tıpkısının benzerinin aynısını yapalım. Bakın şimdi bu sefer ne diyor bana? B farka bir kere sen B'yi gözün kapalı yaz.
Eksi 5 ile açık eksi 5 ile neresi? Açık 6 arası. Bak burası.
Ben ne istemiyorum peki? Ne olmasın diyorum? Ne olmasın diyorum?
eksi 2 ile bakın şurada bir kapalı eksi 2 var ve de 8 arası olmasın diyorum. O zaman burayı ne yaptım? Kestim attım.
Bak kestim attım. E bir dakika. 2 burada vardı. Kesip attığım yerde olduğuna göre o zaman kesip attığıma göre o zaman ne yapacağım? Eksi 5 hatta yazalım.
B fark A. O zaman ne oluyor? Eksi 5 açık. Eksi 2 açık olacak. Eksi 5 ile eksi 2 arasında olmuş olacak.
Gördün mü arkadaşım? Niye? Çünkü eksi 2 8 arasını kesip attım.
Eksi 2 A'daydı. Eksi'yi de kesip attığım için o zaman ne kalmış oluyor benim elimde? Eksi 2 açık aralığı son sınır olarak dahil oluyor.
Peki tümleyen mevzusu ne olacak? Tümleyen mevzusunu söylemiştik. Tümleyen demek o aralığın dışındaki herkes.
Hani bir küme varsa bu küme rasyonel sayılarsa. Ve dışarıda real sayılar varsa e tabii ki de o zaman benim evrenselim real sayılarsa gördüğün gibi ne oluyor? Bunun dışı da benim için Q'nun tümleyeni rasyonelin tümleyeni irrasyoneller İngilizce'deki ir ekinden dolayı hemen ne yaptı? Farklılaştırdı yani olayı tümlettirdi. Rasyonel olmayan dedirtirdi bana.
Devam edelim bakalım. A ve B gerçek sayıda olmak üzere. A küçüktür.
B ise... Bakın sen bu aralığı, sen bu aralığı bir küme olarak kabul ediyorsan A açık B açık diye A B arasını o zaman t��mleyenin senin bunların haricindekilerdir. E A yoksa tabii ki de tümleyeninde A olacak.
B yoksa tabii ki de tümleyeninde B olacak. Bu sefer de ne olacak? Bu aralık haricinde tümleyen çünkü bunların haricindeki bütün her şey olmuş olacak.
Bakın unutmayın burada müthiş bir olay var. Bu çünkü çok işimize yarayacak. Matematikte özellikle 11. sırtındaki eşitsizlik mevzusunda çok kullanılacak bu. Bakın burada ne var?
Sonsuzluktan A'ya A dahil birleşim nedir arkadaşım? B dahil artı sonsuza oldu. Tek bir şekilde şuraya bir şey ekleyelim.
O da eksi sonsuzdan gelsin. Bakın eksi sonsuzdan A'ya olacak birleşim. Burası da B'den artı sonsuza olacak. Genellikle artılar ne yapılar? Koyulmazlar.
Ama eksiler kesinlikle koyulması lazım arkadaşım. Burası da bizim için süper oldu. Gerçek sayılar aralık üzerine işlem yaparken uç noktaları dahil olup olmadıklarına dikkat edin. İşte ben de size bunu söylemiştim.
Bir tane daha bir şey göstereyim arkadaşım. Bakın bazen de şöyle de söyleyebilirsiniz. Hani fark işareti var ya.
Real sayılardan neyi çıkartıyorsun sen aslında? A, B açık aralığını çıkartıyorsun. İşte bu iki gösterim birbirinin aynısıdır.
Ne diyorum bak bütün herkes var ama A, B arası yok. İşte yokluk tümleyen aynı muhabbettir. Çünkü tamamının içinde ben bu kümeyi istiyorum.
Tamamının içinde ben bu kümeyi istemiyorum. Pardon ağzım dilim suçmuş olabilir orada yanlış anlaşılmasın. Tamamının içinde ben bunu istemiyorum. Tamamının real sayılarında ben bunu istemiyorum.
İşte bu iki gösterim birbirinin aynısıdır. Neden? Neden? Çünkü real sayılar eksi sonsuzla sonsuz arasıdır.
Sen gidip onun arasından bir parçayı bunu çıkartırsan o zaman ne olur? Böyle bir... iki kümenin birleşimi olur.
Ve ve ve ve unutmayalım. Ne diyor? Bak uç noktaların dahil olup olmadığı diyor. Benim çıkardığım kümede AB uç noktaları yoksa o zaman benim normal tümlediğim kümede olacak arkadaşım.
Bunu da bu şekilde söylemiş olalım. Şimdi bana çok enteresan bir soru sordu. Ne yapıyor?
Hem kesişimi hem de neyi söylüyor bana? Hem kesişimi verdi hem de tümleyeni verdi. Hemen yapalım o zaman.
Hemen yapalım. Bunu sayı doğrusuna yapsak ultra müke süpersonik güzel olur ve de çok kolay olur. Bak şimdi bak.
Ne diyor bana? Eksi dörtle iki arası diyor. Yapalım.
Eksi dört nedir? Eksi dört nedir? Eksi dört sıfırdan küçük bir yerdedir.
Yani şurada bir yerde diyebiliriz. Eksi dört yok diyor. Tamam yok olsun. Devam edelim. İki de var diyor.
İkiyi de şurada var alalım. Ve bana ne diyor? Arası diyor.
Bak arası. Bu arası olacak. Ama soru ne diyor? Bunun haricindeki her yer diyor.
Hee. Eksi 4 yoktu. Tümleyeni olduğu için. Şimdi ne olacak? Eksi 4 olacak.
Ve bu sonsuz tarafa doğru gidecek. Aynı zamanda 2 vardı. Bu sefer ne olacak? 2 açık.
Nereye kadar gidecek? Buraya kadar gitmiş olacak. İşte bu kadar.
Bunu da halletmiş olduk. Bakın burada sınırlar neydi? Yoktu.
Tümleyeninde var. 2 vardı. Tümleyeninde yok.
Ne yaptık? Ters yöne de gittik. Bu aralığı çıkarmış olduk. Bana şimdi a ile kesişimini soruyor. A ile kesişimi demek.
A kümesini yazacağım. Ortakları da almış olacağım. Şimdi bak.
Eksi 1 ile. Bu arada kahverengiler benim kümem. Eksi 1 ile 5'i alıyorum. Hemen eksi 1 şurada. Eksi 1 kapalı aralıkmış.
Tamam. 5 de şurada. 5 de burada.
5'te açık aralıkmış. O yüzden de açık yuvarlak yaptığım. Şimdi bu aralıkta burası.
E bakıyorsun kahverengiyle benim. Pembe nerede kesiştiler? Nerede ortaklaştılar? İşte tam da şurada ortaklaştılar. O zaman A kesişim B'nin tümleyeni eşittir.
Ne olmuş oldu? Eksi 2 pardon normal 2 açık aralıkta 5. 2 ile 5 açık aralığı demiş olduğum. Şimdi burada lütfen dikkat edin.
Ben her zaman söylüyorum. Matematikteki en önemli kural nedir? Öğrenciler farklı farklı şeyler söylüyor.
Belki siz de farklı farklı şeyler söyleyeceksiniz. Ama bundan sonra bunu çok söyleyeceğiz. Matematikteki en önemli kural düzgün yazmaktır arkadaşım. Bak ne kadar düzgün yazdım.
Ve heyecan yapma sırayla. Bilginin üstüne bilgi koy. Bilginin üstüne bilgi koy.
Bilginin üstüne bilgi koy. Ve heyecan yapma. Sakin ol.
Güzel bir şekilde düzgün yaz. Olayı bitirirsin. Bak ne yaptım? Eksi iki, eksi dört iki arası diyordu.
Tümleyen dedim sınırları gördüm. Sonrasında da ne yaptım? Diğer kümeyi de yazdım. Ortaklarını çok temiz bir şekilde almış oldum.
İşte bu kadar. Geldik yavaş yavaş konunun sonuna doğru. Ne var arkadaşım burada? Z tam sayılar kümesi olmak üzere bana rasyonel aralıkla rasyonel aralık vermiş. Bu arada hocam eksi 2 rasyonel mi?
Her tam sayı rasyonel sayı olduğu için o da nedir? Bizim için rasyonel sayıdır dedik eksi 2'ye. Bak şimdi arkadaşım çok dikkat et. Ben ne yapacağım?
Bana birleşim diyor. A birleşim B diyor Birleşimde ne yapıyorduk biz İki kümenin bakın tertemiz yazıyorum A birleşim B A birleşim B'de ne yapıyorduk Küçüklerden küçük olanı Çünkü birleşimde herkes için içinde olması lazım Ben ne yapıyorum Sınırımı hemen en sona kadar çekiyorum Küçüklerden küçük olanını Eksi 4.5 eksi 2 Tabi ki de eksi 4.5 daha küçük Kapalı aralık Eksi 9 bölü 2'yi aldım Virgül Bir de neyi yapacağım arkadaşım? Büyüklerden de büyük olanı alacağım.
Bakın bu adam 5 küsur 6'ya yakın. Bu adam 11'e yakın. 10.5 tam 10.5. 10 ile 11 arası bu adam daha 6'lara bile gelememiş.
O zaman tabii ki de ne yapıyorum? Büyük olanı alıyorum. 21 bölü 2. Yalnız 21 bölü 2 ne olacak arkadaşım? Açık olacak.
Burayı sakın unutmayalım. Bunu söylemiş olalım. Çünkü niye? Büyük olanı aldım ve sınırım açıktı. Orayı da koydum.
Şimdi dikkat. Z ile yani Z ne demekti arkadaşlar? Tam sayı demekti.
Tam sayılar hatta. Tam sayılar kümesi demekti. Peki tam sayılar kümesiyle ben bu adamı kesiştirmem ne demek? Yani senin elinde eksi 4.5 şurada bir sıfır var.
Şurada kapalı bir eksi 4.5 var. Eksi 9 bölü 2. Şurada bir 10.5 var. Tamam o da.
o da bu arada açık sorun değil. 21 bölü 2. Sana ne diyor? Bu aralıktaki sayılarla tam sayıları kesiştir diyor.
E kardeşim burada ne var? Eksi 5 var. Burada ne var? Eksi 4 var.
Nereye kadar? Şu 10.5 olduğuna göre şurada 10 var. Şurada da 11 var. O zaman ne yaptım ben? Eleman sayısını sorduğu için kimden başlayacak benim bu kümemin?
Hemen buraya da eşitini çekelim. Şöyle uzun boru gibi bir eşit yapalım. Ne diyorum o zaman ben?
Benim bu kümem süslü parantez eksi dörtten başlayacak. Nokta nokta sıfıra kadar gelecek. Nokta nokta nereye kadar gidecek?
Ona kadar gidecek. Neden hocam böyle yazdın? Genelde şöyle okuyorum ben.
Dört tane burada. Bir tane sıfır var burada. Sakın kaçırma. Bir de on tane de burada var.
Toplam kaç tane var? On beş tane elemanım vardır dedim arkadaşım. İşte bu mevzular böyle.
Burada mesela sıfırı görmesen dört eksi dört on dersin ki on dört yapıştır gitsin. tabii ki de öyle bir şey olmaz. Ne yapacaksın?
Ayrı ayrı yapıp orada sıfırı düşüneceksin. Geldik günümüzün son sorusuna ve bu soruyu da yaptıktan sonra artık ne yapacağız? Ödüllü soruyla sizleri baş başa bırakacağız.
Çok bomba gibi bir ders oldu. Hemen bakalım toparlanın. Bir alışveriş sitesinde bir kalem, bir defter almak isteyen Ahmet aradığı kriterleri fitrelediğinde tam bir yenilesi soru.
Hepimiz burada ne yapıyoruz? Sanal marketi kullanıyoruz. Ne yapıyoruz arkadaşım? İnşallah öyle bir şey yoktur.
Ne yapıyoruz? Biz hep alışveriş yapıyoruz internetten. Bu da tam bizim matematiğimize uyarlanmış bir soru. Ahmet aradığı kalemde filtre dediğinde kalem ve defterlerin fiyat aralıkları aşağıdaki görsellik gibidir diyor.
Bakıyorum görsele en düşük 40 lira en fazla 130 lira. En düşük 60 lira en fazla 210 lira diyor. Kalemin fiyat aralığında gerçek sayılar kümesi A olsun. Bir dakika bir dakika bir dakika. Kaleminki A ise o zaman A kümesine ben şöyle demiyorum.
En düşük fiyat 40. En yüksek fiyat 130. Tamam bomba gibi oldu. Buna da B kümesi diyor. B kümesinde de en düşük fiyat 60. Öyle bir fiyat var çünkü.
Kapalı aralık. Bir de ne yaptık? En yüksek fiyat 210 oldu.
Şimdi arkadaşlar bakın bize sorduğu soru şu. A'da olacak B'de olacak. A'da olmayacak. Bir dakika B'de olacaksa bir kere.
X 60 ile 210 arasında olacağım. Hemen şekli şemale bakıyorum. Bakın hemen şekli şemale bakıyorum.
Ben ne yapacağım? Kesinlikle ve kesinlikle. 60 ile 210 arasında bir yerde olacağım. Ama benden ne istiyor?
A olmasın diyor. Bakın A'yı kestirip atacağım şimdi. Hemen A nerede? Kapalı 40 ve kapalı 130. Şurada bir yerde. Burayı kestim attım.
Çünkü ne diyordu? A B'de olacak A'da olmayacak. A fark B. A fark B'yi yaptığımda B'yi yazdım. A'yı sildim attım.
Benim elimde sadece neresi kaldı? Burası kaldı. Bu arada 130 gitti mi? Evet dahildi gitti. Gittiyse o zaman ne olmuş oldu?
B fark. A kümesi. Bu arada slaşa dikkat edin.
Ters slaş olacak. Orayı unutmayın sakın. O zaman ne olmuş oldu?
130 dahil değil. 210 arası olacak ve 210 da dahildi. Bu arayı unutmayalım.
Tamam ama adam bana onu sormuyor. Adam bana diyor ki tümleyeni nedir diyor tümleyeni. Bunun tümleyeni nedir diye soruyor. O zaman ben de ne yapacağım burada?
Tabii ki de şöyle yapacağım. Ben ne görüyorum? 130 ile 210 arası olduğuna göre hemen bunun haricindeki her şey.
Nerede? Gerçek sayılarda işlem yaptığımıza göre. Real sayılara göre bakacağım.
O zaman ne olacak? B fark A'nın tümle yeni. Kim olacak? Bu aralık haricindeki herkes olacak.
Yani eksi sonsuzlar biliyorsunuz hep açıktı. Nereye kadar? 130'a kadar.
Bunun haricindekiler dediğim için bende 130 yok. Haricindekiler de var. Birleşim nereye kadar olacak? 210 vardı bende şimdi 210 olmayacak.
Nereye kadar gitti? Sonsuza kadar sonsuzluğa açık oldu. Dikkat edin bende olmayan şey tümle elimde olacak.
Bende olan şey tümle elimde olmayacak arkadaşım dedim. Ve bomba gibi bir dersi bir bitirdim. Arkadaşım unutma bak lütfen lütfen lütfen gördüğün gibi her hafta yeni bir konu geliyor. Programa takip et lütfen geri kalma.
Hafta sonu olmadı tekrar et. Konu tekrar yapacağına eksiklerini tamamla. Ve arkadaşım lütfen yetiş. Ve burada en önemli şey.
En önemli şey ödev, ödev, ödev. En önemli şey tekrar tekrar kendini geliştirmek. Testlerini çözmek.
Haberin olsun. Lütfen bütün derslerde sesleri çöz diyelim. Sözü fazla uzatmayalım. İşte bu haftanın ödülü sözü karşılığında.
Cevaplarınızı yoruma bekliyorum. Sizleri seviyorum. Bir dahaki derste görüşürüz.