फंक्शन का लेक्चर नोट्स

परिचय

• जैश्री कृष्ण, राधे।
• इस लेक्चर में फंक्शन की बुनियाद रखी जाएगी, जो कैल्कुलस का आधार है।
• सभी छात्रों को नोट्स बनाने के लिए कहा गया है।

फंक्शन की परिभाषा

• फंक्शन एक विशेष प्रकार का संबंध है जहाँ हर तत्व A का एक अद्वितीय तत्व B से जुड़ा होता है।
• हर संबंध फंक्शन नहीं होता, लेकिन हर फंक्शन एक संबंध होता है।
• फ़ंक्शन को ऐसे याद करें:
  • संबंध = पुरुष
  • फंक्शन = महापुरुष

फंक्शन के बुनियादी तत्व

• Pre-image: A का तत्व।
• Image: B का तत्व।
• Mapping: फंक्शन के द्वारा A से B तक का संबंध।
• फंक्शन का मान: F(A) = B।

फंक्शन की विशेषताएँ

• अगर A का एक तत्व B के दो तत्वों से जुड़ा है, तो वह फंक्शन नहीं है।
• Vertical Line Test: ग्राफ के किसी भी बिंदु पर वर्टिकल लाइन खींचने पर मिलते हैं, तो वह फंक्शन है।
• बुनियादी प्रकार:
  • पॉलिनॉमियल फंक्शन
  • रैशनल फंक्शन
  • लॉगरिदमिक फंक्शन
  • मॉडुलस फंक्शन
  • ग्रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन

विशेष फंक्शन

1. पॉलिनॉमियल फंक्शन: किसी भी अंश के रूप में।
2. रैशनल फंक्शन: दो पॉलिनॉमियल का अनुपात।
3. लॉगरिदमिक फंक्शन: केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए।
4. मॉडुलस फंक्शन: x के सकारात्मक मानों के लिए।
5. ग्रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन: x के सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है।
6. फ्रैक्शनल पार्ट फंक्शन: x का भिन्न भाग दर्शाता है।

फंक्शन की विशेषताएँ

• यदि A का तत्व हमेशा B के भीतर आता है तो वह बाउंडेड है।
• बाउंडेड फंक्शन: फंक्शन का मान एक निश्चित सीमा के भीतर रहता है।
• पीरियडिक फंक्शन: अपने मान को निश्चित अंतराल पर पुनरावृत्त करता है।

इंप्लिसिट और एक्सप्लिसिट फंक्शन

• इंप्लिसिट फंक्शन: वाय की मान को स्पष्ट रूप से एक्स के रूप में नहीं बताया जाता।
• एक्सप्लिसिट फंक्शन: वाय की मान को स्पष्ट रूप से एक्स के रूप में व्यक्त किया जाता है।

समापन

• विभिन्न प्रकार के फंक्शन और उनके गुणों पर चर्चा की गई।
• यह जानकारी परीक्षाओं में उपयोगी साबित होगी।
• छात्रों को सलाह दी गई है कि वे सभी प्रश्नों का अभ्यास करें।

• जैश्री कृष्ण, राधे।