Forelæsning Noter

Introduktion

• Forelæsningen streames live, og spørgsmål kan stilles i chatten eller via mail til rene-math.au.dk.
• Forelæsningen optages, og slides vil blive tilgængelig efterfølgende.

Diagonaliserbare Matriser

• En matrix A er diagonaliserbar, hvis den kan skrives som ( P \times D \times P^{-1} ) hvor P er en inverterbar matrix og D er en diagonal matrix.
• A er similær med en diagonal matrix.
• En kvadratisk matrix er diagonaliserbar, hvis der findes en lineært uafhængig egenvektor.
• Algebraisk multiplicitet skal stemme overens med geometrisk multiplicitet for at diagonalisere.

Linær Afbildning og Basis

• Repræsentation af en linær afbildning i en anden basis.
• Matrixrepræsentation givet ved baser B og C.
• Notation for B-matrisen i basis.

Geometri i Rn

• Generalisering af geometriske begreber til højere dimensioner.
• Fokus på længde af vektor og vinkelrethed i vektorrum.
• Indre produkt (skalarprodukt/prikprodukt) og dets rolle i geometri.

Indre Produkt

• Defineret mellem to vektorer u og v som ( u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + ... + u_n \cdot v_n ).
• Kan også udtrykkes som matriksmultiplikation ( u^T \cdot v ).
• Egenskaber: symmetri, distributivitet, skalar multiplicativitet, og positiv definit.

Længde og Afstand i Vektorrum

• Længde af vektor defineret som kvadratroden af vektorens indre produkt med sig selv.
• Afstanden mellem to vektorer u og v defineret som længden af ( u - v ).

Ortogonalitet

• To vektorer er ortogonale, hvis deres indre produkt er 0.
• Pythagoras-sætningen generaliseret til ortogonale vektorer.

Ortogonalt Komplement

• Defineret som mængden af vektorer, der er ortogonale på en given mængde.
• Kan findes ved at løse ligningssystemer for ortogonalitet.

Ortogonal og Ortonormal Mængde

• En ortogonal mængde har vektorer, der er parvist ortogonale.
• En ortonormal mængde har vektorer, der er parvist ortogonale og har længde 1.

Ortogonal og Ortonormal Basis

• En ortogonal basis er en basis, hvor vektorerne er ortogonale.
• En ortonormal basis er en basis, hvor vektorerne er ortonormale.
• Fordel ved at bruge ortonormal basis: lettere at udtrykke vektorer i basis.

Ortogonale Matriser

• En kvadratisk matrix med ortonormale søjler.
• Bevarer længde og indre produkt ved afbildning.
• Inversen af en ortogonal matrix er dens transponerede.

Afstand fra Vektor til Linje

• Projektion af en vektor ned på en linje for at finde korteste afstand.
• Projektion givet ved formel: ( y^\widehat{} = \frac{y'u}{u'u} \times u ).
• Afstand findes som længden af forskellen mellem vektoren og dens projektion.